Hydrostatik_Skript

SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU

Stefan Krger

Hydrostatik von Schiffen

August 2008

Institut furEntwerfen von Schiffen und SchiffssicherheitProf. Dr.-Ing. Stefan Kruger


Prof. Dr.-Ing. Stefan Kruger

23. April 2013


Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 41.1 Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ansichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Linienriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Volligkeitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Flachentragheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Gesetz des Archimedes 102.1 Druckverteilung im Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Schwimmender Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Kleine Anderungen der Schwimmlage 153.1 Beliebige, kleine Anderung der Schwimmlage . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Tiefertauchung um T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Verdrehung um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Verdrehung um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Schwimmkorper unter aueren Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Stabilitat von Schwimmlagen 27

5 Kleine Schwimmlagenanderungen intakter Schiffe 325.1 Krangung um : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Trimm um : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Einheitstrimmmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Stabilitatsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Pantokarenen und Stabilitatshebelarme 386.1 Pantokarenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Stabilitatshebelarme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.1 Schiffskorper unter der Wirkung eines krangenden Momentes Mund auermittiger Lage yG des Gewichtsschwerpunktes . . . . . . . 42

6.3 Pantokarenen und Hebelarme unvertrimmter Quader . . . . . . . . . . . . 466.3.1 Berechnung des Verdrangungsschwerpunkts und der Pantokarenen

gekrangter Quader (Formschwerpunktskurve) . . . . . . . . . . . . 466.3.2 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwer-

punktes und der Pantokarenen fur die Bereiche I und 1. . . . . . . 476.3.3 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwer-

punktes und der Pantokarenen fur die Bereiche II und 2. . . . . . . 496.3.4 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrangungsschwer-

punkts und der Pantokarenen fur die Bereiche III und 3. . . . . . . 51

Prof. Dr.-Ing. Stefan Kruger www.ssi.tu-harburg.de Seite: 2/77


6.3.5 Krummung, Krummungsradius der Formschwerpunktskurve (Me-tazentrische Evolute) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.6 Metazentrische Evolute eines Quaders fur die Bereiche I und 1. . . 556.3.7 Metazentrische Evolute fur die Bereiche II und 2. . . . . . . . . . . 566.3.8 Metazentrische Evolute eines Quaders fur die Bereiche III und 3. . 566.3.9 Stabilitatskurven bzw. Pantokarenen . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.10 Hebel des aufrichtenden Momentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.4 Schiff und Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Krangende Momente 647.1 Moment durch seitlichen Winddruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Moment bei Drehkreisfahrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 Verschiebung von Flussigkeiten in Tanks mit freien Oberflachen . . . . . . 657.4 Moment durch Verrutschen von Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5 Moment durch Wasser an Deck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.6 Moment durch Vereisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.7 Moment durch Personen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.8 Moment durch hangende Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.9 Moment durch Trossenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.10 Moment durch Propellerdrehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.11 Momentenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.12 Stabilitatsforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8 Schiff mit Grundberuhrung 688.1 Schiff sitzt mit der ganzen Lange des Kiels auf. (Schiff im Dock) . . . . . 688.2 Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest. (Strandung, Aufdrehen beim

Stapellauf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9 Stapellauf 749.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10 Erweiterungen und Notizen 7710.1 Pantokarenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77



1 Grundlagen

1.1 Hauptabmessungen

Abbildung 1: Hauptabmessungen, nach Normentwurf DIN 81 209-1



Bezeichnung Einheit Bedeutungdeutsch englisch

LOA LOA m Lange uber alles, vom vordersten zum hintersten fes-ten Punkt

LPP LPP m Lange zwischen den Loten (Perpendiculars)LWL LWL m Lange in der SchwimmwasserlinieDWL CWL m KonstruktionswasserlinieVL FP m Vorderes Lot (Fore Perpendicular), Schnittpunkt

CWL mit Mallkante VorderstevenHL AP m Hinteres Lot (After perpendicular), Mitte Ruder-

schaftBOA BOA m Breite uber allesT, TDWL T, d, TD m Konstruktionstiefgang gemessen auf halber Lange

zwischen den LotenH D m SeitenhoheF F m Freibord m3 Verdrangtes Volumen des Schiffes auf Spanten t Deplacement: Verdrangte Masse

MS CL Mittschiffsebene (Centreline plane)HS,

MF Hauptspant

WL WL WasserlinieSB SB Steuerbordseite (starboard)BB, XB PS, XB Backbordseite (portside)

Tabelle 1: Einige wichtige Abmessung

In der Seefahrt wird das gebunkerte Suwasser als Frischwasser bezeichnet, in Anlehnungan das englische Wort freshwater fur Suwasser.

1.2 Koordinatensystem

Man fuhrt ein schiffsfestes Koordinatensystem ein. Ublicherweise liegt der Koordina-tenursprung im hinteren Lot (HL) auf der Hohe der Basis in der Schiffsmitte. Die x-Achse geht entlang der Schiffslangsachse, die y-Achse ist die Querachse und die z-Achsedie Hochachse. Da der Ursprung in der Schiffsmitte liegt, konnen die y-Werte sowohlpositiv als auch negativ sein. Fur die Backbordseite sind die y-Werte positiv und furdie Steuerbordseite negativ. Die x-Werte werden zum Bug hin positiv gezahlt, alles washinter HL liegt wird negativ.



Abbildung 2: Schiffsfestes Achsensystem, nach Normentwurf DIN 81 209-1

1.3 Ansichten

Man denkt sich den Schiffsrumpf von Ebenen parallel zu den Ebenen des kartesischenKoordinatensystems zerschnitten. Die Projektionen der so entstandenen Umrisslinien aufjeweils eine gemeinsame Zeichenebene ergeben drei Ansichten des Schiffskorpers (sieheAbbildung 3):

Spantenriss (body plan) in der y,z-Ebene (Spanten, frames,sections),

Langsriss (sheer plan) in der x,z-Ebene (Schnitte, buttocks),

Wasserlinienriss (half-breadth plan, water-line plan) in der x,y-Ebene (Wasserlinien,waterlines).



Abbildung 3: Projektion des Schiffskorpers in die drei Ebenen des kartesischen Koor-dinatensystems. Wegen der Ubersichtlichkeit ist der Ursprung verschobengezeichnet.

Ein weiterer Schnitt, der in einem Winkel zur Mittschiffsebene gelegt wird, dient derKontrolle des Linienverlaufs und wird Sentenriss (plan of diagonals) genannt. Ausgehendvon der Mittschiffsebene werden geneigte Schnitte gefuhrt, die moglichst viele Spantenmoglichst senkrecht schneiden. Es ergeben sich den Wasserlinien ahnliche Kurven.

1.4 Linienriss

Der Linienriss enthalt den Spantenriss, den Langsriss und den Wasserlinienriss. Bei derEntwicklung des Linienrisses mussen die Linien

straken, d.h. sie mussen stetig verlau-

fen.

Spanten: Lpp wird in eine gerade Anzahl gleicher Abstande eingeteilt (z.B. 10 oder20); es entstehen 10 bzw. 20 Konstruktionsspanten, wobei man mit der Zahlungam AP mit 0 beginnt. Da an den Schiffsenden starke Krummungen der Auenhautauftreten, werden hier meist weitere Spanten in engeren Abstanden angeordnet.Im Spantenriss wird das Vorschiff rechts und das Hinterschiff links dargestellt.

Schnitte: Der Umriss stellt Vor- und Hintersteven, die Aufbauten und den Decks-verlauf dar. Dabei werden die halben Schnitte durch die vordere Schiffshalfte rechtsund die durch die hintere Schiffshalfte links dargestellt.

Wasserlinien: Glatte Abstande, z.B. 0,5 m oder 1 m usw. Zusatzlich wird die Kon-struktionswasserlinie CWL eingezeichnet. Es wird jeweils nur die Backbordhalfte



dieser Kurven in den Linienriss eingezeichnet.

Abbildung 4: Linienriss

1.5 Volligkeitsgrade

Unter dem Volligkeitsgrad oder der Volligkeit versteht man im Schiffbau das Verhaltnis

einer beliebig geformten Flache zur Flache des umschreibenden Rechtecks,

eines beliebig geformten Korpers zum Volumen des umschreibenden Quaders.

Die Volligkeitsgrade charakterisieren die Schiffsform.



Definition Bezeichnung Erlauterung

CWP =AWL B

Volligkeitsgradder Wasserlinien-flache

Verhaltnis der auf Mallkante bezogenen Was-serlinienflache zum umschreibenden Recht-eck

CM =AMB T

Volligkeitsgradder eingetauchtenHauptspantflache

Verhaltnis der auf Mallkante bezogenen ein-getauchten Hauptspantflache zu dem Recht-eck aus Breite und Tiefgang

CB =V

L B T

Blockkoeffizient Verhaltnis des Volumens des Unterwasser-schiffes zum umschriebenen Quader

CP =V

AM L

Zylinderkoeffizientoder Scharfegrad

Verhaltnis des Volumens des Unterwasser-schiffes zum Volumen des aus Hauptspant-flache und Lange gebildeten Korpers

1.6 Flachentragheitsmomente

Im Schiffbau gibt es fur die Flachentragheitsmomente der Wasserlinienflache verschie-dene ubliche Bezeichnungen. So wird das Flachentragheitsmoment um die x-Achse auchBreitentragheitsmoment genannt, ubliche Bezeichnungen sind: IxS = IWL = IT . Das Fla-chentragheitsmoment um die y-Achse wird auch Langentragheitsmoment genannt undhat die Bezeichnungen: IyS = IWLL = IL.



2 Gesetz des Archimedes

Diese Dokumentation wurde erstellt aufgrund der Vorlage von Prof. Kloppenburg, ehem.Inst. f. Schiffbau.

2.1 Druckverteilung im Wasser

Neben dem bereits in Kapitel 1 erwahnten schiffsfesten Koordinatensystem wird einortsfestes Koordinatensystem eingefuhrt. Das globale Koordinatensystem , , (xi, eta,zeta) orientiert sich an der Wasseroberflache. Die , -Ebene ist die Wasseroberflacheoder eine dazu parallele Ebene, weist senkrecht nach unten (zum Erdmittelpunkt).Das ruhende Wasser besitzt die Dichte und damit das spezifische Gewicht (g). Dasspezifische Gewicht gibt den Quotienten aus Gewichtskraft (gravity, Abkurzung G) undVolumen an:

G

V=m gV

= g

Die Flussigkeitssaule hat den Querschnitt A und die Hohe . Dann existieren an derWassersaule folgende Vertikalkrafte (Krafte, die nach oben zeigen, werden positiv ge-zahlt), siehe Abbildung 5 .

Wasserdruck p

Luftdruck pB .

GlobalesKoordinatensystem

A

.

Abbildung 5: Absoluter Wasserdruck

F0 = p0 A (Druckkraft an der Oberseite) (2.1)FG = G = (g) V = (g)A (Gewicht) (2.2)FS = p A (Druckkraft an der Unterseite) (2.3)



Das statische Gleichgewicht liefert:F = p0 A (g)A + p A = 0 (2.4)

Damit erhalt man in der Tiefe einen Uberdruck von:

(p p0) = (g) (2.5)

Der Uberdruck ist die Differenz zwischen dem Umgebungsdruck p0 und dem Druck p inder Tiefe .

2.2 Schwimmender Korper

Es gibt zwei Schwimmzustande fur Schwimmkorper: voll getaucht und teilweise getaucht.Ein voll getauchter Schwimmkorper befindet sich in nur einem Medium, wie z.B. ein U-Boot ganz unter Wasser, ein teilweise getauchter Schwimmkorper befindet sich in zweiMedien, wie z.B ein konventionelles Frachtschiff in Luft und Wasser.Daraus ergeben sich fur das Schwimmverhalten, z.B. die Schwimmstabilitat, unterschied-liche Zusammenhange. Bei einer Krangung eines Uberwasserschwimmkorpers verandertsich die Form des eingetauchten Volumens, entsprechend muss sich auch die Lage desAuftriebsschwerpunktes andern. Wird ein Unterwasserschwimmkorper gekrangt, so an-dert sich die Lage des Auftriebsschwerpunktes nicht, da sich die Wasser verdrangendeForm nicht andert. Im Auftriebsschwerpunkt greift die Auftriebskraft FB an.Es existiert ein schwimmender/teilweise eingetauchter Korper mit einer UnterwasserformS(,) siehe Abbildung 6.

(,)S

GB

.

W

FB

pdA

dA

pBdA Krper

G

...

BdV

Abbildung 6: Auftrieb

Denkt man sich eine Saule mit dem Querschnitt dA aus dem Korper herausgeschnitten,wirken an der Saule folgende Vertikalkrafte, wobei die Krafte, die nach oben zeigen,



wieder positiv gezahlt werden:

dFB = (p pB) dA = (g) dA = (g) dV. (2.6)

Momente von dFB um die und Achse:

dMB = dFB = (g)dA = (g)dV,

dMB = dFB = (g)dA = (g)dV. (2.7)

Hier bedeutet dV den eingetauchten/schraffierten Volumenanteil.Fur den Gesamtauftrieb gilt dann:

FB =

SdFB = (g)

SdA = (g)V ; > 0. (2.8)

FB ist die Gesamtauftriebskraft.S ist der eingetauchte, benetzte Oberflachenanteil des Korpers.V ist das eingetauchte Korpervolumen, d.h. seine Verdrangung.B(B; B; B) ist der Auftriebsschwerpunkt, d.h. der Volumenschwerpunkt der verdrang-ten Flussigkeit.

Momente des Gesamtauftriebs FB um die bzw. Achse:

MB =

SdMB = (g)

SdA = (g)

SdV = (g)MV = (g)BV,

MB =

SdMB = (g)

SdA = (g)

SdV = (g)MV = (g)BV. (2.9)

MB bzw. MB nennt man Auftriebsmoment, bei MV bzw. MV spricht man vom Vo-lumenmoment.

Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtkorper:

Drei Gleichgewichtsbedingungen definieren die hydrostatische Schwimmlage eines teil-getauchten Korpers: Eine translatorische (Kraftegleichgewicht in -Richtung) und zweirotatorische (Momentengleichgewicht um die -Achse und um die -Achse) Gleichge-wichtsbedingungen.

Kraftegleichgewicht:

G+ FB = G+ (g)V = 0

Daraus folgt das Gesetz des Archimedes:

G = g = (g)V (2.10)



In Worten:

Das Gewicht eines Schwimmkorpers ist gerade so gro wie das Gewicht des von ihmverdrangten Wassers.Anders: Die Auftriebskraft eines schwimmenden Korpers ist gleich der Gewichtskraftdes verdrangten Flussigkeitsvolumens.G ist die Gewichtskraft - kurz das Gewicht - des Schwimmkorpers, = V ist sein Deplacement (Masse; Einheit in t),V ist das eingetauchte Volumen (wird im Schiffbau auch mit dem Symbol 5 gekenn-zeichnet).

Momentengleichgewicht:

G(G; G; G) ist der Gewichtsschwerpunkt.

Moment um die Achse:

G G +MB = G G + (g)BV = 0.

Daraus folgt:G = B (2.11)

Moment um die Achse:

G G +MB = G G + (g)BV = 0.

Daraus folgt:G = B (2.12)

In der Gleichgewichtslage liegen Gewichtsschwerpunkt G und AuftriebsschwerpunktB auf einer gemeinsamen vertikalen Wirkungslinie.



Beispiele:

Beispiel 1:Ein Holzflo mit dem Volumen VFl = 0,8m

3 und der Dichte von Holz H = 0,7tm3

schwimmt in Suwasser (engl. freshwater; FW = 1tm3

); g = 9,81ms2

= 9,81Nkg = 9,81kNt .

Bei welcher Beladung F geht das Flo unter?Man betrachtet das Kraftegleichgewicht FB GF = 0 kurz bevor das Flo untergeht,also wenn es vollstandig getaucht ist; das eingetauchte Volumen entspricht dann demGesamtvolumen des Floes. Daraus folgt:

F = FB G = (FW H)g VFl = (1,0 0,7)t

m3 9,81kN

t 0,8m3 = 2,35kN.

Beispiel 2:Ein Ponton (L = 7m; B = 2m; = 6t) schwimmt in Seewasser (SW = 1,03t/m

3).a) Welcher Tiefgang stellt sich ein?b) Welche Masse m muss zu-/abgeladen werden, damit eine Tiefgangszu-/abnahme vonT = 0,15m erreicht wird?

Zu a):Mit = SW V = SW L B T findet man:

T =

SW L B=

6t

1,03 tm3 7m 2m

= 0,416m.

Zu b):

m = SW L B T = 1,03t

m3 7m 2m 0,15m = 2,16t.



3 Kleine Anderungen der Schwimmlage

Dieses Kapitel beschaftigt sich mit der Betrachtung der Krafte und Momente an einembeliebig geformten Korper, wenn dieser kleine Anderungen seiner Schwimmlage erfahrt.Hier wird also die Theorie hergeleitet, die dann im Kapitel

Kleine Schwimmlageande-

rungen intakter Schiffe auf Schiffe angewendet wird. Wichtig ist, dass die Formeln dieserbeiden Kapitel nur fur kleine Neigungen gelten.Wie in der Einfuhrung bereits benutzt, ist bei der Betrachtung schwimmender Kor-per im allgemeinen eine Unterscheidung zwischen einem globalen/ortsfesten (; ; ) undeinem lokalem/korperfesten (x; y; z) Koordinatensystem notig oder nutzlich. Die ein-schrankende Aussage hier, dass namlich nur kleine Anderungen der Schwimmlage be-trachtet werden sollen, ist dagegen so gemeint, dass diese Unterscheidung zwischen denbeiden Koordinatensystemen nicht erforderlich ist.Der Unterschied beider Systeme sei also klein und vernachlassigbar. Deshalb wird im Fol-genden immer nur vom globalen Koordinatensystem gesprochen werden. Die ; Ebenesei wieder horizontal, also parallel zur Wasseroberflache, die ihrerseits als unveranderlichangesehen wird. Dagegen kann der Koordinatenursprung beliebig gewahlt werden. Nachder Wahl bleibt das Koordinatensystem (; ; ) fest. Veranderungen der Schwimmlagewerden als Veranderungen im gewahlten Koordinatensystem angegeben, s. Abb. 7.Ausgehend von einer statischen Gleichgewichtslage, F = 0; M = 0, sollen kleineVeranderungen / Abweichungen von einer erwarteten/gewollten Schwimmlage betrach-tet werden.Der Schwimmkorper erfahre kleine Verschiebungen (Translationen) und Verdrehungen(Rotationen). Er besitzt sechs Freiheitsgrade, drei translatorische und drei rotatorische.Verschiebungen in und Richtung (also Bewegungen parallel zur Wasseroberfla-che), sowie Drehung um die Achse bewirken keine Veranderung des eingetauchtenVolumens/ Auftriebs, dadurch ergeben sich keine zusatzlichen Kraft- bzw. Momenten-wirkungen. Bezuglich dieser drei Freiheitsgrade befindet sich der Korper im indifferentenGleichgewicht.

3.1 Beliebige, kleine Anderung der Schwimmlage

Eine beliebige, kleine Veranderung der Lage des Schwimmkorpers enthalt ein T als Ver-schiebung in Richtung und Drehungen um die Achse und um die Achse.Jede dieser anteiligen Lageanderungen des Schwimmkorpers liefert eine Veranderung deseingetauchten Volumens um V und fuhrt dadurch zu Anderungen des Auftriebs FBund der Auftriebsmomente MB und MB. Es werden nun also die Anderungen desAuftriebs und der Auftriebsmomente fur die drei Anderungen der Schwimmlage naherbetrachtet:

1. Tiefertauchung um T (translatorische Bewegung in Richtung der -Achse),

2. Verdrehung um (rotatorische Bewegung um die -Achse),

3. Verdrehung um (rotatorische Bewegung um die -Achse).



3.2 Tiefertauchung um T

Aw

T ursprgl.WL

Schwimmwasserlinie

Krper

dA

Abbildung 7: Tiefertauchung um T

Vergroerung des Tiefgangs T um T liefert eine Veranderung des Volumens um V ,siehe Abbildung 7:

V =

Aw

T dA = T

Aw

dA = TAw. (3.1)

mit Aw als Flache der Schwimmwasserlinie (WL-Flache)

Auftriebsanderung:

Mit dem Gesetz des Archimedes

FB = (g)V (3.2)

deltaFB = (g)V (3.3)

findet man den Differenzenquotienten

FBT

= (g)V

T= (g)Aw. (3.4)

Beim Grenzubergang T 0 wird daraus der Differentialquotient:

FBT

= (g)Aw. (3.5)

FB sei positiv bei einer Tiefgangszunahme, dann ist FB nach oben gerichtet.



Anderung des Momentes MB des Auftriebs FB (Auftriebsmoment um die -Achse):

MB = FB = (g)V = (g)T

Aw

dA (3.6)

Der Schwerpunkt der WL-Flache habe die Koordinaten F (w; w), berechnet aus

Aw w =Aw

dA; Aw w =Aw

dA. (3.7)

Damit wird

MBT

= (g) w Aw, (3.8)

und beim Grenzubergang T 0 :

MBT

= (g) w Aw. (3.9)

Anderung des Auftriebsmomentes MB( um die -Achse):

MB = FB = (g)V = (g)T

Aw

dA,

Damit wirdMBT

= (g) w Aw,

und beim Grenzubergang T 0 :

MBT

= (g) w Aw.

Zusammenstellung : Aufgrund einer Tiefertauchung T ergibt sich:

FBT

= (g)Aw;MBT

= (g) w Aw;MBT

= (g) w Aw.

3.3 Verdrehung um

Rechts-(Links-)Drehung des Korpers um die negative (positive) Achse um .

(Eine Verdrehung um die horizontale Achsen liefert zunachst eine Horizontalverschie-bung des Korpers um d, womit keine Anderung des eingetauchten Volumens verbun-den ist. Allerdings ist als zusatzlicher Effekt mit der Verdrehung auch eine paralleleTiefertauchung um (d)2 verbunden. Letztere ist jedoch von hoherer Ordnung kleinund damit vernachlassigbar. Gleiches gilt auch fur eine Verdrehung um die Achse.)



h=

WL

ursprgl. WL

dA

Krper

..

rr

B

B

Krper

Abbildung 8: Verdrehung um (links) und Auswanderung des Auftriebsschwerpunktes(rechts).

Verdrehung um liefert, siehe Abbildung 8 (links):

V =

Aw

h dA = Aw

dA = w Aw.

Auftriebsanderung:

FB

= (g)V

= (g) w Aw

bzw.FB

= (g) w Aw.

Anderung des Auftriebsmomentes MB :

MB = FB = (g)V = (g)

Aw

dA.

MB

= (g)J

bzw.MB

= (g)J.

I =Aw

dA Zentrifugalmoment der WL-Flache, bezogen auf die und Achse.




Moment des eintauchenden Volumens V :

MB1 = FB = (g)V = (g)

Aw

2dA.

MB1

= (g)I

bzw.MB1

= (g)I.

I =Aw

2dA Tragheitsmoment der WL-Flache bezogen auf die Achse.

Moment durch Anderung der Lage des Auftriebsschwerpunktes B, s. Abb. 8 (rechts),(Anderung des Momentes MB der Gesamtverdrangung V ) :

B=rcos

B

=rs

in

r

.

.

B

.

B

Br

r

Abbildung 9: Anderung B bei Verdrehung um

Der Auftriebsschwerpunkt habe die Koordinaten B(B; B; B). Durch Drehung um wandert er nach B, r bleibt erhalten, andert sich um (), siehe Abbildung 9.

B = r cos; B = r sin.

B =dBd

() = d(r cos)d

= r sin = B ;

dBd

= B;dBdT

=dBd

= 0.

Bei diesem Anteil der Anderung des Auftriebsmomentes ist die Gesamtverdrangung be-teiligt!

MB2 = B (g)V = (g) BV



MB2

= (g)BV

bzw.MB2

= (g)BV.

Zusammenstellung : Aufgrund einer Verdrehung um die negative Achse ergibtsich:

FB

= (g)wAw;MB

= (g)I;MB

= (g)(I + BV ).

3.4 Verdrehung um

Rechtsdrehung des Korpers um die positive Achse um .Verdrehung um liefert, s. Abb. 10 (links):

Krper

WL

ursprgl. WL

dA

h=

r

B

=rs

in

=rcosB .

.

B

.

B

Br

r

Abbildung 10: Verdrehung um

V =

Aw

h dA =

Aw

dA = w Aw

Auftriebsanderung:

FB

= (g)V

= (g) w Aw

bzw.FB

= (g)w Aw.




Moment des eintauchenden Volumens:

MB1 = FB = (g)V = (g)

Aw

2 dA

MB1

= (g)I

bzw.MB1

= (g)I.

I =Aw

2dA Tragheitsmoment der WL-Flache bezogen auf die Achse.

Moment durch Anderung der Lage des Auftriebsschwerpunktes B.

Durch Drehung um wandert der Auftriebsschwerpunkt nach B, r bleibt erhalten, andert sich um , s. Abb. 10 (rechts).

B = r cos; B = r sin

B =dBd

() = r sin = B

dBd

= B;dBdT

=dBd

= 0.

MB2 = B (g)V = (g) BVMB2

= (g)BV

bzw.MB2

= (g)BV.

Anderung des Auftriebsmomentes MB:

MB = FB = (g)V = (g)

Aw

dA

MB

= (g)I

bzw.MB

= (g)I.



Zusammenstellung : Aufgrund einer Verdrehung um die positive Achse ergibtsich:

FB

= (g)w Aw;MB

= (g)(I + BV );MB

= (g)I.

Gesamtanderung dFB (totales Differential) des Auftriebs aufgrund von dT ; d; d :

dFB =FBT

dT +FB

d +FB

d

= (g)[Aw dT + wAw d + wAwd]. (3.10)

Gesamtanderung dMB des Auftriebsmomentes:

dMB =MBT

dT +(MB1 +MB2)

d +

MB

d

= (g)[wAwdT + (I + BV )d + Id]. (3.11)

Gesamtanderung dMB des Auftriebsmomentes:

dMB =MBT

dT +MB

d +(MB1 +MB2)

d

= (g)[wAwdT + Id + (I + BV )d]. (3.12)

Die neun Ableitungen von FB; MB; MB nach T ; ; lassen sich in folgender Kurz-schreibweise zusammenfassen:

(FB;MB;MB)

(T ;;)=

FBT

FB

FB

MBT

MB

MB

MBT

MB

MB

= A

A = (g)

Aw wAw wAw

wAw (I + BV ) I

wAw I (I + BV )

. (3.13)Die Matrix A der Ableitungen ist quadratisch und symmetrisch.Die drei Gleichungen 3.10, 3.11, 3.12 zur Berechnung der Anderungen von Auftrieb undAuftriebsmomenten lassen sich damit in folgender Kurzschreibweise zusammenfassen: dFBdMB

dMB

= A dTdd

. (3.14)



3.5 Schwimmkorper unter aueren Einwirkungen

Bisher wurde statisches Gleichgewicht angenommen,F = 0;

M = 0. Jetzt soll der

Fall behandelt werden, dass sich endliche Resultierende ergeben, d.h. von auen wird aufden Korper eingewirkt.

Resultierende Vertikalkraft:F = FB W

bzw.F = FB W.

Da sich durch Anderung der Schwimmlage das Gewicht des Schwimmkorpers nichtandert (G = konst.), verschwinden auch alle Ableitungen

G

T=G

=G

0.

und es kann G 0 gesetzt werden und somit:

F = FB.

Die Definition von F ist: Wenn eine Tiefertauchung T eintritt, ist FB > G F > 0. Damit weist F positiv nach oben, was jedoch auch bedeutet, dass dieauere Einwirkung den Schwimmkorper nach unten druckt.

Resultierende Momente :

Achse:M = MB G G

bzw.M = MB G G.

Achse:M = MB G G

bzw.M = MB G G.



Anderung der Schwerpunktskoordinaten :

G

r

G rcos=

rsin

=

G.

.

G

.G

G

r

r

Abbildung 11: Anderung G bei Verdrehung um

Der Gewichtsschwerpunkt habe die Koordinaten G(G; G; G). Drehung um um die negative Achse, siehe Abbildung 11: G = r cos; G = r sin;G =

dGd () = r sin = G . Bei einer Verschiebung um T andert sich

G nicht, auch nicht durch Verdrehung um .Zusammengefasst:

dGd

= G;dGdT

=dGd

= 0.

Drehung um um die positive Achse:

G = r cos; G = r sin

G =dGd

() = r sin = G .

Bei einer Verschiebung um T andert sich G nicht, auch nicht durch Verdrehungum .Zusammengefasst:

dGd

= G;dGdT

=dGd

= 0.

Die Gesamtanderungen von F ; M; M (totales Differential) aufgrund von dT ; d; d:

dF = dFB =FT

dT +F

d +F

d

= (g)[AwdT + wAwd + wAwd] (3.15)

dM = dMB GdG =MT

dT +M

d +M

d

= (g)[wAwdT + (I + BV )d + Id]GG d (3.16)



dM = dMB GdG =MT

dT +M

d +M

d

= (g)[wAwdT + Id + (I + BV )d]GG d (3.17)

Hier wurden dFB; dMB und dMB von vorne ubernommen, s. Gl. (3.10); (3.11) und(3.12).Die neun Ableitungen von F ; M; M nach T ; ; lassen sich in folgender Kurz-schreibweise zusammenfassen:

(F ;M;M)

(T ;;)=

FT

M

F

MT

M

M

MT

M

M

= S (3.18)

S = (g)

Aw wAw wAw

wAw (I + BV ) IGG/(g)

wAw I (I + BV )GG/(g)

(3.19)

Die Matrix S der Ableitungen ist quadratisch und symmetrisch, d.h.:

S = S.

S ist die transponierte Matrix zu S. Fur die Elemente der Matrix S gilt deshalb:

aik = aki.

Hier bedeutet i den Zeilenzahler und k den Spaltenzahler.

Fur Gleichgewicht der Vertikalkrafte gilt:

G = (g)V = FB.

Dann wird aus der Matrix S:

S =

(g)Aw (g)wAw (g)wAw

(g)wAw G(I/V + B G) (g)I(g)wAw (g)I G(I/V + B G)

. (3.20)Das Gleichungssystem 3.15; 3.16; 3.17 lasst sich analog zu Gl.3.14 ebenfalls in kurzerMatrizenschreibweise darstellen: dFdM

dM

= S dTdd

. (3.21)



Zu gegebenen dT ; d; d lassen sich hiermit direkt die aus Gewicht G und Auftrieb FBresultierenden Krafte und Momente bestimmen, indem die Matrix S mit dem Vektor dTdd

multipliziert wird. Sind jedoch resultierende Krafte oder Momente gegeben,ist die Schwimmlagenanderung durch Losung des resultierenden Gleichungssystems zuermitteln.



4 Stabilitat von Schwimmlagen

Stabilitat ist die Fahigkeit eines Schwimmkorpers, sich aus einer geneigten Lage (Kran-gung) wieder selbststandig aufzurichten. Allgemein wird die Stabilitat von folgendenFaktoren beeinflusst:

die Form des Unterwasserschiffes, z.B. vollige oder weniger vollige Hauptspantform,

die Verhaltniswerte der Hauptabmessungen, z.B. B/T, T/D,

vom Freibord; bei geringem Freibord taucht Seite Deck zu fruh ein,

die Lage des Gewichtsschwerpunktes; ein tiefliegender Gewichtsschwerpunkt fuhrtzu starken aufrichtenden Momenten (Schiff ist steif), ein hochliegender Gewichts-schwerpunkt bewirkt nur ein geringes aufrichtendes Moment (Schiff ist rank),

auere Einflussgroen wie Winddruck, uberkommende Wassermassen bei Seegang.

Der Schwimmkorper befinde sich in der Gleichgewichtslage:

F = M = M 0.

Die Schwimmlage ist stabil, wenn kleine Schwimmlageanderungen (T ; ; ) in belie-biger Kombination eine positive (zu leistende) Arbeit erfordern, d.h der Schwimmkorperwird versuchen in die aufrechte Position zuruckzukehren.Wiederholung der Vorzeichendefinitionen, s. Abb. 12:

T Tiefertauchung des Korpers:Kraft F nach oben.

Rechtsdrehung um Achse:Moment M linksdrehend um .

Linksdrehung um Achse:Moment M rechtsdrehend um .

Schwimmlageanderungen (T ; ; ) und daraus resultierende Krafte/Momente sindentgegengesetzt gerichtet.



T

R

R

R

T

Abbildung 12: Vorzeichendefinition

Tiefertauchung T erfordert die Arbeit, s. Abb.13:

L1 =

T0+TT0

FdT =1

2TF .

Hier ist T0 der Gleichgewichtstiefgang.Treten auerdem Anderungen (; ) auf, so ist die Gesamtarbeit:

L =1

2(TF + M + M).

In Matrizenschreibweise: (siehe KapitelKleine Anderung der Schwimmlage )

2L = (T )

FMM

2L = (T ) S

T

.Die Schwimmlage ist dann und nur dann stabil, wenn 2L fur beliebige Vektoren (T ; ; ) 6=(0; 0; 0); positiv ist: d.h. wird S von rechts mit einem Vektor 6= (0; 0; 0) und von links mitdemselben Vektor multipliziert, muss sich eine positive Zahl ergeben. S ist positiv definit.Eine Dreiecksmatrix mit nur positiven Elementen in der Hauptdiagonalen ist positiv definit.Deshalb muss S in eine Dreiecksmatrix umgeformt werden. a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

E1 A B0 E2 C

0 0 E3



R

L1

T0T

R

T

Abbildung 13: Arbeit bei Tiefertauchung T

1.Index i =Zeile,2.Index k =Spalte.Da die Matrix S symmetrisch ist, sind die Elemente aik = aki.

1.)2.)3.)

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

(a12/a11) (2. 1.)(a13/a11)

(3. 1.)Damit sind aus der zweiten und dritten Zeile die jeweils ersten Elemente a12; a13 entferntund man erhalt:

1.)2.)3.)

a11 a12 a130 (a22 a212/a11) (a23 a12a13/a11)0 (a23 a12a13/a11) (a33 a213/a11)

(a23a12a13/a11a22a212/a11

) (3. 2.)Die Dreiecksmatrix wird schlielich zu: a11 a12 a130 (a22 a212/a11) (a23 a12a13/a11)

0 0 (a33 a213/a11)(

(a23a12a13/a11)2a22a212/a11

)



Damit werden die Elemente der Hauptdiagonalen der Dreiecksmatrix und nach demErsetzen der aik aus der Matrix S zu:

E1 = a11

= (g)Aw

E2 = a22 a212/a11= (g)(I + BV )GG (g)2wAw

E3 = a33 a213/a11 1

E2(a23 a12a13/a11)2

= (g)(I + BV )GG (g)2wAw 1

E2((g)I (g)wwAw)2

E2;E3 lassen sich mit Hilfe des Steinerschen Satzes vereinfachen:

I 2wAw = IS

IS ist das Flachentragheitsmoment der WL-Flache Aw um eine zur Achse paralleleAchse durch den Schwerpunkt der WL-Flache.

I 2wAw = IS

IS ist das Flachentragheitsmoment der WL-Flache Aw um eine zur Achse paralleleAchse durch den Schwerpunkt der WL-Flache.

I wwAw = IS

IS ist das Zentrifugalmoment der WL-Flache Aw bezuglich der Schwerpunktsachsender WL-Flache.

E1 = (g)Aw

E2 = (g)(IS + BV )GG

E3 = (g)(IS + BV )GG 1

E2(g)2I2S

Da G = (g)V > 0 und fur die stabile Schwimmlage die Ei > 0; (i = 1; 2; 3) sein mussen,wird durch G bzw. (g)V geteilt. Damit ist die Schwimmlage nur und nur dann stabil,wenn

1.) Aw > 0;

2.) IS/V + B G > 0;

3.) IS/V + B G (ISV

)2/(IS/V + B G) > 0.

Ist eine der drei Groen gleich Null, die anderen jedoch groer Null, so kann dieSchwimmlage stabil, instabil oder indifferent sein.



So ist z.B. bei einem Fisch Aw = 0. Er befindet sich in einem indifferenten Gleichgewicht.Da G = (g)V, kann der Fisch ohne Arbeitsaufwand vertikal verschoben werden.Ist nur eine der drei Groen kleiner Null, so ist die Schwimmlage instabil, d.h. dieSchwimmlage verandert sich ohne Arbeitsaufwand in eine neue, stabile Gleichgewichts-lage.



5 Kleine Schwimmlagenanderungen intakter Schiffe

Wir betrachten symmetrische, aufrecht schwimmende Schiffe, bei denen das Archimedi-sche Gesetz

G = (g)V = FB

erfullt ist. Sie sollen kleine Anderungen (T ; ; ) der Schwimmlage erfahren.

Alle Formeln sind nur gultig fur kleine Anderungen der Schwimmlage. Praktisch be-deutet das, dass beispielsweise die Formanderung der Wasserline durch Ein- bzw. Aus-tauchen infolge von Trimm, Krangung oder Tiefertauchung verschwindend gering istund im Wesentlichen der Ausgangsform entspricht. Absolute Zahlenwerte konnen furmoderne Schiffslinien nicht angegeben werden.

Beim Schiff nennt man die Anderung um T Tiefertauchung, die Anderung um Krangung und die Anderung um Trimm.Das schiffsfeste Koordinatensystem (x; y; z) und das an der Wasseroberflache orien-tierte raumfeste Koordinatensystem (; ; ) fallen ungefahr zusammen. Somit konnen(M;M;F) durch (Mx;My;Fz) ersetzt werden. Dabei ist: Schiffslangsrichtung x; nachBackbord y; nach oben z. Die x,zEbene ist die Mittschiffs- und Symmetrieebene; dafurgilt: yw = 0; Ixy = 0, da das Flachendeviationsmoment Ixy fur symmetrische Korpergleich Null wird.Da yw = 0 und Ixy = 0, vereinfacht sich die Matrix der Auftriebs-/Momentenanderungenzu (siehe Kapitel

Kleine Anderungen der Schwimmlage ):

Fz/T Fz/ Fz/My/T My/ My/Mx/T Mx/ Mx/

= S

S = (g)

Aw xwAw 0xwAw G(g)(Iy/V + zB zG) 00 0 G(g)(Ix/V + zB zG)

Multipliziert man S mit der Spaltenmatrix (T ; ; ) ergibt sich:

Fz = (g)Aw(T + xw);

My = (g)xwAwT +G(Iy/V + zB zG);Mx = G(Ix/V + zB zG).

Legt man den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt der WL-Flache so wird:

xw = 0; Ix IxS = IWL; Iy IyS = IWLL.



Dann gilt:

Fz = (g)AwT ;

My = G(IWLL/V + zB zG);Mx = G(IWL/V + zB zG).

Danach bewirkt eine Vertikalkraft im WL-Schwerpunkt nur eine Anderung des Tief-gangs um (T ). Trimm und Krangung bleiben unverandert. Ein Moment um Quer-oder Langsachse (y , oder xAchse) andert nur Trimm oder Krangung um () oder(). Der Tiefgang am WL-Schwerpunkt bleibt unverandert, da das Schiff um den WL-Schwerpunkt dreht.

5.1 Krangung um :

Durch die Krangung andert sich die Form des eingetauchten Volumens des Schiffes; derAuftriebsschwerpunkt B wandert nach B (s. Abb. 10). Die neue Wirklinie der Auftriebs-kraft geht durch den Punkt B und schneidet die bisherige Wirklinie der Auftriebskraftim Punkt M, dem Metazentrum. Der Begriff

meta (griech.: scheinbar) weist darauf

hin, dass dieser Schnittpunkt kein wirkliches Zentrum ist, also nicht festliegt. Die Bahn,auf der sich das Metazentrum bewegt, heit Evolvente. Bei Schiffsformen ist das Meta-zentrum aber fur kleine Krangungswinkel bis etwa 10 ein fester Punkt. Vor allem inalterer Literatur wird das Metazentrum als scheinbarer Drehpunkt oder Aufhangepunktgedeutet.

Durch die Krangung erfolgt eine Verschiebung eines Keilvolumens von der austauchen-den Seite zur eintauchenden Seite. Die Keilvolumina setzen sich aus VolumenteilchenV zusammen, die alle horizontal und vertikal verschoben werden; es entstehen so ho-rizontale und vertikale Verschiebungsmomente. Die Summe der Verschiebungsmomenteder Teilvolumen entspricht dem Verschiebungsmoment der Gesamtverdrangung. Mit derGesamtverschiebung des Autriebsschwerpunktes (yB ,zB) gilt fur die Verschiebungsmo-mente in y-Richtung yB V und in z-Richtung zB V (siehe Abbildung 14):



FBBz

yB

K

B

M

B

G

x y

.

.

.

.

.h

dA

W

z

Abbildung 14: Krangung um

1. Die Verschiebung in y-Richtung:

yBV =

Aw

ydV =

Aw

ydz dA =Aw

yy dA = Aw

y2dA = IT

Daraus folgt:

yB =IWLV

In dem annaherungsweise rechtwinkligen Dreieck BBM sieht man, dass fur kleineWinkel gilt:

yB

BM= sin()

Damit ist:

BM =yB

=IWLV

2. Die Verschiebung in z-Richtung:

In z-Richtung wandert der Auftriebsschwerpunkt kaum aus, so dass zB zB ist.



Metazentrum: Die z-Koordinate von M ist:

zM =yB

+ zB

IWLV

+ zB

Beim Schiff bedeuten:

IxSV

=IWLV

= BM ; zB = KB; zG = KG; zM = KM

KM = BM +KB = IWL5 +KB

Eine Krangung um ruft ein aufrichtendes Moment MA hervor:

Rx = MA = FB h = G h

Aus der Abbildung liest man ab: h = GM . Daraus folgt:

MA = G GM

GM nennt man die (Breiten-)Metazentrische Hohe. GM = KB+BMKG Wird allege-mein vom Metazentrum oder der metazentrischen Hohe gesprochen, so ist in aller Regeldas Breitenmetazentrum gemeint. Fur ubliche Handelsschiffe ist GM wenige Dezimeterbis wenige Meter.

5.2 Trimm um :

My = G(IWLLV

+ zB zG) = GGML

GML = KB +BML KG

Hier bedeutenIySV

=IWLLV

= BML,

ML das Langenmetazentrum und GML die Langenmetazentrische Hohe. Fur ublicheHandelsschiffe ist GML von der Groe der Schiffslange oder groer.Bei kleinen Drehungen (; ) ist die Lage von M ; ML etwa konstant, aber nichtgleich. M und ML unterscheiden sich erheblich. Als Abschatzung dient:

BM LB3; BML L3B BML

BM(L

B

)2



5.3 Einheitstrimmmoment

Das Einheitstrimmmoment ET ist dasjenige Trimmmoment, das eine gesamte Trimm-anderung von t = 1m hervorruft.Herleitung: t sei der Unterschied der Tiefgange an vorderer und hinterer Ahming (Ah-ming: Tiefgangsmarken, die am Bug, am Heck und mittschiffs angebracht sind. DieTiefgangsangabe wird vom Kiel gerechnet.), LA Lpp sei der Abstand zwischen denAhmingen, siehe Abbildung 15).

t = Tv Th = tanLA

Fur kleine Trimmanderungen gilt dann mit tan :

t = LA .

LA

t

Abbildung 15: Trimmanderung

Das trimmende Moment errechnet sich dann

My = G GML = G GML t

LA.

Trimmende Momente My werden durch Langsverschiebung von Massen mi hervorge-rufen:

My = gi

mixi = gGMLLA

t.

Mit = V als Masse (Deplacement) des Schiffes wird das Trimmmoment zu:

Myg

=i

mixi = GMLLA

t

bzw. das Einheitstrimmmoment ET (Trimmmoment fur 1m Tiefgangsunterschied) wirdzu:



ET = GMLLA

=

LA(KB +BML KG).

Da (KB KG) BML ist, kann vereinfacht berechnet werden:

ET

LABML =

LA IWLL

V=IWLLLA

.

Einheitskrangungsmoment:

Analog zum Einheitstrimmmoment kann auch ein Einheitskrangungsmoment berechnetwerden:

EK =

B(KB +BM KG) =

B(KB +

IWLVKG).

B ist die Breite des Schiffes. Das Einheitskrangungsmoment findet in der Praxis nahezukeine Verwendung.

5.4 Stabilitatsbedingungen

Stabilitatsbedingungen fur die Schwimmlage eines intakten Schiffes:

1.) Aw > 0;

2.) IWLLV + zB zG = BML +KB KG = GML > 0;3.) IWLV + zB zG

(IxySV

)2/(IWLLV + zB zG

)> 0.

Fur zur Mittschiffsebene symmetrische Schiffe wird JxyS = 0, so dass sich die Stabili-tatsbedingung 3.) vereinfacht:

3.)IWLV

+ zB zG = BM +KB KG = GM > 0.

Falls M unterhalb von G liegt (negatives GM), ist das Schiff instabil, der Krangungs-winkel vergroert sich dann eventuell bis zum Kentern. Falls G und M an derselbenStelle liegen, befindet sich das Schiff im indifferenten Gleichgewicht.

Damit sind Schiffe stabil, wenn Aw, GML und GM >0.

Da GM GML, bleibt im Wesentlichen die Berechnung von GM zur Uberprufung derStabilitat.



6 Pantokarenen und Stabilitatshebelarme

Die Bedingung fur kleine Neigungen ist nun nicht mehr erfullt; die Formeln aus dem Ka-pitel

Kleine Schwimmlageanderungen intakter Schiffe konnen nicht benutzt werden.

Die Anderungen der Schwimmlage sind also nun nicht mehr klein, d.h. das schiffsfes-te (lokale) x; y; zKoordinatensytem und das globale ; ; -Koordinatensystem fallennicht mehr zusammen. Der Koordinatenursprung ist fur beide Systeme gleich, namlichKielpunkt K im Schnitt von Mittschiffs- und Hauptspantebene, siehe Abbildung 16 undAbbildung 17.

FB

x

y

z

.

.

B

WL

.

Abbildung 16: Lokales und globales Koordinatensystem in der y; zEbene

WL

y

z

x

Abbildung 17: Lokales und globales Koordinatensystem in der x; zEbene

x; y; zKoordinatensystem xLangsachse, positiv nach vorn,



yQuerachse,positiv nach Bb, zHochachse, positiv nach oben.

; ; Koordinatensystem ; Achsen, parallel zur Wasseroberflache, Achse, senkrecht nach oben.

6.1 Pantokarenen

Bei den Pantokarenen handelt es sich um das Lot vom Kielpunkt auf die Wirklinie derAuftriebskraft FB, sie werden im Allgemeinen mit w abgekurzt. Diese Strecke w andertsich mit der Krangung, dem Trimm und dem Tiefgang. Fur eine konstante Krangung kann dann die zugehorige Pantokarene bestimmt werden.Die aus Auftrieb (g)V und Gewicht G resultierenden Krafte und Momente sind (sieheauch Kapitel

Kleine Schwimmlageanderungen intakter Schiffe ):

die resultierende Vertikalkraft F = (g)V G;

das resultierende Moment um die Querachse (Trimmmoment) M = (g)BV GG;

das resultierende Moment um die Langsachse (krangendes Moment)M = (g)BVGG.

Mit FB = (g)V = G folgt:

F = 0; M = (B G)G; M = (B G)G.

Hier wird B = w bezeichnet.w ist das Lot vom Kielpunkt K auf die Wirkungslinie von FB bei vorgegebener Neigung, aus Abbildung 18 liest man ab:

w = yB cos+ zB sin.



B=w

yB

zB

z Bsin

yBcos

y

z

.

.

WL

. B

Abbildung 18: Berechnung von w aus den lokalen Koordinaten von B

Die Bestimmung der Pantokarene w ist eine geometrische Aufgabe, d.h. Berechnungvon Volumen und Volumenschwerpunkten (yB; zB). Die Pantokarene ist vom Tiefgangbzw. eingetauchten Volumen, dem Trimm bzw. Gewichtsschwerpunkt in Schifflangsrich-tung und der Krangung abhangig:

w = f(T ;;) = f(V,xG;).

Die Pantokarene fur vorgegebene konstante Krangung hangt damit nur noch vomTiefgang bzw. eingetauchten Volumen und dem Trimm bzw. Gewichtsschwerpunkt inSchifflangsrichtung ab:

w = f(V ;xG) mit = konst.

Berechnung der Pantokarenen:Die Berechnung der Pantokarenen erfolgt also uber die Bestimmung des Verdran-gungsschwerpunkts B(yB; zB). Dies geschieht zunachst im lokalen System, dannerfolgt mit w = yB cos+ zB sin die Umrechnung uber den Krangungswinkel ins globale System.

Trimmausgleich:Fur alle Volumina V und Krangungswinkel wird der Trimmwinkel = konst.;in der Regel = 0 angenommen. Da aber im Allgemeinen die Langskoordinatedes Auftriebsschwerpunktes B vom verdrangten Volumen und vom Krangungs-winkel abhangt B = f(V,); wobei die Anderungen allerdings klein sind, bleibtein kleines resultierendes Trimmmoment, da der Gewichtsschwerpunkt ja konstantbleibt fur alle Anderungen der Schwimmlage (G = konst.). In der Regel wird dieseAbhangigkeit des Auftriebsschwerpunktes vom Trimmwinkel jedoch vernachlassigt.



Pantokarenen ohne Trimmausgleich:Rechnet man die Pantokarene ohne Trimmausgleich, tut man damit so, als verhieltesich B wie G. Die Lage des Auftriebsschwerpunktes bleibt dann konstant.

Pantokarenen mit Trimmausgleich:Rechnet man mit Trimmausgleich, wird nur fur = 0 der Trimmwinkel = konst.,in der Regel = 0 angenommen. Fur > 0 wird das Trimmmoment durch einenveranderten Trimmwinkel ausgeglichen.

Pantokarenen mit Trimmausgleich fallen immer kleiner aus als ohne. Der Unterschiedist dann besonders deutlich, wenn die Unterwasserform stark asymmetrisch zur Lagexw des Wasserlinienschwerpunktes ist. Bei Symmetrie von Vor- und Hinterschiff ist im-mer M 0, dann liegt fur alle der Verdrangungsschwerpunkt B in der Symmetrie-/Hauptspantebene.

6.2 Stabilitatshebelarme

Eine Gleichgewichtslage mit der Krangung = EQ (EQ als Abkurzung fur Equi Libri-um) ist dadurch gegeben, dass Auftrieb und Gewicht gleich gro sind und die jeweiligenSchwerpunkte erdfest ubereinander liegen, siehe Abbildung 19.

G

B

K

LC

FB

G

K

LC

G

B

FB

G

Abbildung 19: Gleichgewichtslage; links: yG = 0 rechts: yG 6= 0

Bildet man nun das Moment um den Kielpunkt K, ergibt sich:MK = 0 = B(yB cosEQ + zB sinEQ)G(yG cosEQ + zG sinEQ)

Daraus folgt die Gleichgewichtsbeziehung:

yB cosEQ + zB sinEQ = yG cosEQ + zG sinEQFur einen Winkel, in dem sich das Schiff nicht in einer Gleichgewichtslage befindet, giltfur den Stabilitatshebelarm h:

h = yB cos+ zB sin w=Pantokarene

yG cos zG sin



Liegt der Massenschwerpunkt auf Center Line, d.h. yG = 0, vereinfacht sich h zu:

h = w zG sin

h

= 0 Gleichgewichtslage

> 0 aufrichtender Hebel (stabil; ruckdrehendes Moment)

< 0 krangender Hebel (instabil; krangendes Moment)

Ist h > 0, so nimmt der Schwimmkorper eine Schwimmlage mit kleinerer Krangung ,fur h < 0 mit groerer Krangung ein.Eine stabile Gleichgewichtslage erfordert zusatzlich

dh

dEQ=dhaufrichtend

d+dhkrangend

d> 0.

Tragt man die Hebel h uber die Winkel auf, entsteht die sog. Hebelarmkurve. Bestimmtman bei = 0 die Steigung der Tangente an die Hebelarmkurve, ergibt sich daraus dasAnfangsmetazentrum GM (siehe Abbildung 22).

GM =dh

d=dw

d zG sin

d=dw

d zG cos

GM = dwd KG cos

Der maximale Hebel gibt das maximal ertragbare Moment an.

6.2.1 Schiffskorper unter der Wirkung eines krangenden Momentes M undauermittiger Lage yG des Gewichtsschwerpunktes

Die Koordinaten des Massenschwerpunktes sind G(xG; yG; zG = KG). Im globalen Sys-tem wird aus

G = yG cos+KG sin.

Mit yG 6= 0 wird eine auermittige Lage des Gewichtsschwerpunktes zugelassen, wie siesich aus einer seitlichen Verschiebung einer Masse m ergibt.

Fur die Gleichgewichtslage eines Schiffes, auf das zusatzlich ein aueres krangendesMoment M wirkt, gilt fur das Momentengleichgewicht um K:

MK = 0 = FB w G(KG sin+ yG cos)M

0 = w KG sin yG cosMG

w = KG sin+ yG cos+MG

haufr = hkr

(6.1)



R

FB

KGsin

yG

y Gcos

y

z

.

. .

B.w

h

.

WL

W

m

G

Abbildung 20: Schiffskorper unter der Wirkung eines krangenden Momentes M undauermittiger Lage yG des Gewichtsschwerpunktes.

Damit wird in der Gleichgewichtslage der aufrichtende Hebel gleich dem krangenden Hebel.

Das Momentengleichgewicht kann um jeden beliebigen Punkt gebildet werden, wie bis-her um den Kielpunkt K, so wird der aufrichtende Hebel (als derjenige Hebel, der zuraufrichtenden Kraft FB gehort) gleich der Pantokarene. Bildet man das Momentengleich-gewicht um den Punkt X, so ergibt sich der aufrichtende Hebel (Hebel zur Kraft FB) zuw KG sin. Im Grunde sind diese nur verschiedene Notationen.

Beispiel:

Das Deplacement eines Schiffes betragt in Seewasser (SW = 1025kg/m3) = 1025t.

Eine Ladung m = 102,5t werde parallel zum Doppelboden um yk = 5m seitlich ver-schoben, KG = 5m, die Pantokarenen seien bekannt. Die Verdrangung betragt V =/ = 1000m3. Durch die Ladungsverschiebung krangt das Schiff, der Krangungswinkelder neuen Gleichgewichtslage wird nun gesucht.Wird in einer Masse eine Teilmasse verschoben, so erfahrt der Gesamtschwerpunkt einegleichsinnige, parallel gerichtete Verschiebung, vergleiche Verschiebungssatz formuliertvon Herner. Die beiden Momente, gebildet aus Verschiebungsweg und Masse sind gleichgro: yG = yk m. Daraus folgt: Die auermittige Lage des Gewichtsschwerpunktesbetragt nach der Verschiebung

yG = (yk m)/ = 5 102,5/1025m = 0,5m.

Mit den gegebenen Pantokarenen konnen dann die Hebelarme h = wzGsinyGcosbestimmt werden:



10 20 30 40 50

w in [m] 1,0 2,0 2,95 3,82 4,40

h in [m] -0,36 -0,18 0,02 0,28 0,24

Tragt man nun den Hebel h uber den Winkel auf, so ergibt sich die Hebelarmkurvefur ein Schiff mit auermittiger Lage des Gewichtsschwerpunktes. Der Schnittpunkt beih = 0 mit der -Achse zeigt den Krangungswinkel der Gleichgewichtsschwimmlage mitEQ 29, also der Winkel, den das Schiff aufgrund der Ladung einnehmen wird, sieheAbbildung 21.

0,1

0,2

0,3

h [m]

-0,3

-0,2

-0,1

0010 20 30 40

Abbildung 21: Hebelarmkurve

Alternativ lasst sich die Hebelarmkurve des Schiffes ohne Ladeverschiebung mit h =wzG sin (yG = 0) berechnen (siehe Abbildung 22). Zusatzlich wird der Hebelarm derLadeverschiebung yG cos als eigene Kurve uber den Krangungswinkel aufgetragen:

10 20 30 40 50

w in [m] 1,0 2,0 2,95 3,82 4,40

h in [m] 0,13 0,29 0,45 0,61 0,57

yG cos in [m] 0,49 0,47 0,43 0,38 0,32

So liefert der Schnittpunkt der beiden Kurven h() und yG cos auch hier den Kran-gungswinkel der Gleichgewichtsschwimmlage mit EQ 29.



10o

20o

40o

30o

50o

57,3o

29o

cosyG

cosyG

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

GM

0

mmh

h

Abbildung 22: Bestimmung des Krangungswinkels

Beide Betrachtungen liefern als Gleichgewichtsschwimmlage denselben Krangungswin-kel; im ersten Fall werden fur das Schiff direkt die Hebelarme mit Ladeverschiebungberechnet, indem angenommen wird, der Gewichtsschwerpunkt des Schiffes habe sichverschoben. Im zweiten Fall hingegen wird die Ladeverschiebung als ein krangendes Mo-ment aufgefasst (siehe Kapitel

Krangende Momente ) und mit der Hebelarmkurve des

ungekrangten Schiffes aufgetragen.

Bei in aufrechter Schwimmlage symmetrischen Korpern ist die Mittschiffsebene (,Ebene)die Symmetrieebene.

M = G hG yG cos

Fur die Anderung des krangenden Momentes gilt:

dMd

= Gdh

d+G yG sin.

Fur kleine Krangungen ( 0) und verschwindendes yG wird daraus mit = x :

dMxd

= Gdh

d

=0

.

Fur kleine Winkel war fruher gefunden worden:

Mx = G GM

bzw. fur 0 :dMxd

=0

= G dhd

=0

= G GM.



Dann wirddh

d

=0

= GM = tan =GM

1.

Die Flache unter der Hebelarmkurve gibt die Arbeit an. 1 im Bogenma entspricht einemWinkel von = 57,3. Zeichnet man bei = 0 die Tangente an die Hebelarmkurve, solat sich bei = 57,3 das GM der aufrechten Schwimmlage ablesen, siehe Abbildung22.Betrachtet man die Hebelarmkurve mit der Ladungsverschiebung, erkennt man, dass dieSteigung im Punkt 0 negativ ist, das Schiff hat also aufgrund der verschobenen Ladungein negatives GM und seine Gleichgewichtslage nicht mehr bei = 0 sondern bei 29

6.3 Pantokarenen und Hebelarme unvertrimmter Quader

6.3.1 Berechnung des Verdrangungsschwerpunkts und der Pantokarenengekrangter Quader (Formschwerpunktskurve)

Hier wird zunachst nun fur unvertrimmte Quader gezeigt wie der Verdrangungsschwer-punkt bestimmt werden kann. Daraus ergeben sich mit den Krangungswinkeln dannunmittelbar die Pantokarenen. Die Bezeichnungen Verdrangungs- oder Auftriebs- oderFormschwerpunkt werden in gleicher Bedeutung benutzt und bezeichnen den Schwer-punkt des eingetauchten Volumens des Quaders bzw. des Schwimmkorpers.Ubergeordnetes Kriterium ist, dass der Betrag des eingetauchten Volumens

V0 = LBT = konst. (6.2)

fur alle Neigungen erhalten bleibt. Es kommt nur zur Anderung der Form des einge-taucheten Volumens. Implizit heit das jedoch auch, dass das Volumen des Uberwasser-schiffes Vu = LBF = konst. fur alle Neigungen erhalten bleibt, beide Volumen sindeinander komplementar. Fur das Gesamtvolumen V des Quaders gilt immer

V = V0 + Vu. (6.3)

Es wird nun zwischen zwei Fallen unterschieden:1. Fall: Das Volumen das oberhalb der Wasseroberfache liegt ist groer als das Volumenunterhalb der Wasseroberflache, das bedeutet Freibord F ist groer als Tiefgang T.2. Fall: Das Volumen das oberhalb der Wasseroberfache liegt ist kleiner als das Volumenunterhalb der Wasseroberflache, das bedeutet Freibord F ist kleiner als Tiefgang T.

1. Fall 2.Fall

F/T > 1 : (Abb. 23, links) F/T < 1 : (Abb. 23, rechts)Bereich I: 0 tan < T/(B/2) (Kimmtaucht aus.)

Bereich 1: 0 tan < F/(B/2) (SeiteDeck taucht ein.)

Bereich II: T/(B/2) tan 1

90

o

B

M

F/T=0,333

x xxx

oo

o o

Abbildung 32: Auftriebsschwerpunktskurve und metazentrische Evolute eines Quadersmit F/T < 1



0o

1

2

90o

90

o

1

2

B

M

F/T=0.333

xx

x

x

o

o

o

o

Abbildung 33: Vergroerte Darstellung der Auftriebsschwerpunktskurve und metazen-trischen Evolute eines Quaders mit F/T < 1, s. Abb. 32.

Quader mit F/T > 1. Besonders hervorgehoben sind die Krangungen bei = 0; I ; II ; 90o.

Bei I taucht die Kimm aus, bei II taucht Seite Deck ein. Bei diesen Krangungen zeigtdie eingetauchte Breite B jeweils einen Knick, s. Gl. 6.23; 6.24; 6.26.Dieser Umstandfuhrt auch zu Spitzen bzw. Knicken bei der metazentrischen Evolute.Die Abb. 32 zeigt die Formschwerpunktskurve und die metazentrische Evolute fur einenQuader mit F/T < 1, zur Verdeutlichung vergroert in der Abb. 33. Besonders hervorge-hoben sind auch hier die Krangungen bei = 0; 1; 2; 90

o. Bei 1 taucht Seite Deckein, bei 2 taucht die Kimm aus. Bei diesen Krangungen zeigt auch hier die eingetauch-te Breite B jeweils einen Knick, s.Gl. 6.23; 6.25; 6.26.Der Verlauf der metazentrischenEvolute ist im Bereich des Winkels 1 und in der Umgebung des Winkels 2 in der Abb.34 nochmals vergroert worden, damit der Verlauf auch im Einzelnen deutlich wird.

6.3.9 Stabilitatskurven bzw. Pantokarenen

Die in den vorhergehenden Abschnitten - s. Gl. 6.10, 6.14, 6.17 - bereitgestellte Theoriegestattet auch die Stabilitatskurven bzw. Pantokarenen zu berechnen. Dabei handeltes sich um die Lange des Lotes gemessen vom Kielpunkt K bis zur Wirkungslinie desAuftriebs, s. Abb.25.



1 F/T=0.333

M

o

o

2

F/T=0.333

Abbildung 34: Metazentrische Evolute eines Quaders mit F/T < 1 im Bereich des Win-kels 1 (links) und des Winkels 2 (rechts).

H/B=1,0H/B=0,625 H/B=1,6T/H=0,1

T/H=0,9

H

B K K. .K .

Abbildung 35: Schematische Darstellung der fur die Berechnung der Pantokarenen be-nutzten Geometrien.

Zur Beschreibung der Geometrie eines eingetauchten Quaders genugen zwei unabhan-gige Parameter, namlich das Seitenverhaltnis H/B des gesamten Rechteckquerschnittsund das Seitenverhaltnis T/B des eingetauchten Rechteckquerschnitts. Damit gleichwer-tig ist T/H = (T/B)/(H/B) = Vo/V = L B T/L B H als der Verhaltniswert fur denanteilig eingetauchten Unterwasserteil des Quaders. Die Berechnung der Pantokarenenkann also so erfolgen, dass fur ein festes H/B das T/H und damit die relative Verdran-gung Vo/V systematisch variiert wird. Fur jede Kombination von H/B und T/H sinddie gewunschten Krangungswinkel zu rechnen. Die fur die Beispielrechnungen benutz-



KG sin

K

90G

h

y

.

.

.(B)

(B)

w

z

.

Abbildung 36: Berechnung des aufrichtenden Hebelarmes.

ten Geometrien sind schematisch in der Abb. 35 dargestellt. Fur drei verschiedene H/Bsind die dimensionslosen Pantokarenen w/B als Funktion von T/H mit als Parameteraufgetragen. Auerdem sind die Pantokarenen eingezeichnet, bei denen die Kimm aus-bzw. Seite Deck eintaucht.

6.3.10 Hebel des aufrichtenden Momentes

Der Hebel des aufrichtenden Momentes - s. Abb. 36 - berechnet sich aus

h = w KG sin. (6.27)

Fur die Beispiele der Abb. 37 wurde die Berechnung fur jeweils drei verschiedene KGdurchgefuhrt, namlich fur H/B = 0,625 mit KG = 0,5H; 0,6H = 0,7H, fur H/B = 1,0mit KG = 0,4H; 0,5H = 0,6H und fur H/B = 1,6 mit KG = 0,3H; 0,4H = 0,5H.Parameter ist T/H = 0,3; 0,5; 0,7. Die fur die Beispielrechnungen benutzten Geometriensind schematisch in der Abb. 37 dargestellt.



KG/H=0,5; 0,6; 0,7 KG/H=0,4; 0,5; 0,6 KG/H=0,3; 0,4; 0,5

H

..

.G

..

.G ..

.G

T/H=0,3

T/H=0,7

H/B=0,625 H/B=1,0 H/B=1,6

T/H=0,5

B .K .K .K

Abbildung 37: Schematische Darstellung der fur die Berechnung der Hebelarme benutz-ten Geometrien.

6.4 Schiff und Quader

Fur unvertrimmte Schiffe mit senkrechten Seitenwanden werden die Pantokarenen anna-hernd wie fur einen Quader berechnet, solange das Deck noch nicht ein- und der Bodennoch nicht austaucht, das sind die Bereiche I und 1 der vorhergehenden Betrachtung..

w = yB cos+ zB sin

Mit yB = BM tan und zB = KB +BM tan2 /2 wird daraus

w =

(BM

(1 +

tan2

2

)+KB

)sin =

(KM +BM

tan2

2

)sin.

Diese Beziehung wird fur Abschatzungen der Stabilitat auch bei Schiffen angewandt,obwohl im Vor- und Hinterschiff die Wande normalerweise nicht senkrecht sind. Dengroten Einfluss auf die Pantokarenen hat jedoch das breite parallele Mittelschiff.Zur Verbesserung der Abschatzung fur Schiffe schreibt man:

w =

(KM + BM tan

2

2

)sin

bzw.

h =

(GM + BM tan

2

2

)sin.

Fur Konstruktionstiefgang wird = 1 und fur Ballasttiefgang = 0,6 gesetzt.Der Term

BM tan2

2sin

wird Formzusatzstabilitat genannt.

Bsp.:



WL( = 0 )

WL( >

0)

B B o

..

M

K

.w..

Abbildung 38: Formzusatzstabilitat eines Kreiszylinders

Wie gro ist fur die Formzusatzstabilitat eines Schiffes mit kreiszylindrischen Span-ten?Der Auftriebsschwerpunkt bewegt sich auf einem konzentrischen Kreis, der Kreismittel-punkt ist gleichzeitig das Metazentrum M , d.h. w = KM sin. Daraus folgt = 0, s.Abb. 38.

Bsp.:Bei einem Schiff ist das Anfangs- GM < 0. Welcher Krangungswinkel stellt sich ein?Unter der Annahme, da keine aueren Momente vorhanden sind, gilt

h =

(GM + BM tan

2

2

)sin = 0.

Es gibt zwei Losungen:1.) = 0.

Es besteht instabiles Gleichgewicht, da die Stabilitatsbedingung GM > 0 nicht erfulltist.

2.) 1;2 = arctan

2GM BM

.



1/2

instabil stabil

h

Abbildung 39: Gleichgewichtslage bei negativer Anfangsstabilitat

Das Schiff liegt gekrangt mit den Winkeln 1 oder 2. Das unterschiedliche Vorzeichenweist darauf hin, das eine Krangung entweder nach BB oder StB vorliegen kann, s. Abb.39.



7 Krangende Momente

Damit ein Schiff nicht kentert, durfen die gleichzeitig auftretenden krangenden Momentenicht groer sein als das aus Auftrieb und Gewicht resultierende aufrichtende Moment.

7.1 Moment durch seitlichen Winddruck

Die seitliche Windkraft auf das Uberwasserschiff

FL = cw

2v2AL

bewirkt gemeinsam mit einer entgegengesetzt gleich groen Stutzkraft Fw durch desWasser am Unterwasserschiff ein krangendes Moment. Dieses kann wie folgt abgeschatztwerden:

hoF

W

FL

T/2

Abbildung 40: Krangendes Moment durch Winddruck

M = cw

2v2AL0h0(0,25 + 0,75 cos

3 ).

Es bedeuten: = 1,25kg/m3 Dichte der Luft einschlielich Regen, Gischt usw.; v Windgeschwindigkeit in einer mittleren Hohe des Uberwasserschiffes; cw 2v

2 = 0,3 kN/m2 fur Watt- und Kustenfahrt; = 0,6 kN/m2 fur kleine Fahrt; = 1,0 kN/m2 fur Mittlere und Groe Fahrt als brauchbare Werte; AL0 Uberwasser-Lateralplanflache des ungekrangten Schiffes; h0 Vertikaler Abstand des Schwerpunktes von AL0 von T/2. Damit nimmt man an,



dass die Stutzkraft Fw auf halbem Tiefgang angreift. (0,25 + 0,75 cos3 ) stammt aus Versuchsergebnissen.In der Resolution A.749(118) vom Nov.1993 werden inzwischen weitergehende Empfeh-lungen gegeben, die auch das Rollen des Schiffes aufgrund des Seeganges mitberucksich-tigen.

7.2 Moment bei Drehkreisfahrt

Auf das Schiff wirkt im Massenschwerpunkt eine nach auen gerichtete Zentrifugalkraft,namlich

FZF = v2

R.

v Schiffsgeschwindigkeit im Drehkreis; R Drehkreisradius.Die Gegenkraft im Wasser wird wieder auf T/2 bei ungekrangter Lage angenommen.Dann wird das krangende Moment zu:

M = FZF

(KG T

2

)=

v2

R

(KG T

2

).

v2/R cdv20/L v0 Dienstgeschwindigkeit bei Geradeausfahrt; cd Vom Ruderwinkel abhangiger Beiwert; L Schiffslange in der CWL.Eine ubliche Naherung ist:

M = 0,02v20L

(KG T

2

).

7.3 Verschiebung von Flussigkeiten in Tanks mit freien Oberflachen

Durch Verschieben des Massenschwerpunktes der Flussigkeit mit freier Oberflache kommtes zu einer scheinbaren Reduktion der metazentrischen Hohe:

GMr = GM i

L

iTV

= KB +IWLVKG

i

L

iWLV

.

Tanks, zwischen denen Flussigkeit hin- und herstromen kann, mussen wie ein Tank be-handelt werden. iWL ist fur die gemeinsame Schwerpunktsachse zu berechnen.Tanks, die mit dem Auenwasser in Verbindung stehen, sind bei der Berechnung desIWL der WLFlache zu berucksichtigen, d.h. ihre freien Oberflachen sind abzuziehen.



7.4 Moment durch Verrutschen von Ladung

7.5 Moment durch Wasser an Deck

7.6 Moment durch Vereisung

7.7 Moment durch Personen

7.8 Moment durch hangende Lasten

7.9 Moment durch Trossenzug

7.10 Moment durch Propellerdrehmoment

7.11 Momentenbilanz

hA h krh kr 1

h kr 2

h kr 3

h A

A B C

. .

AB

C

.

Abbildung 41: Momentenbilanz

In Abb. 41 sind dem Hebel des aufrichtenden Momentes hA drei mogliche Verlaufekrangender Hebel gegenubergestellt. Die Gleichgewichtsbedingung hA = hkr ist fur hkr1uberhaupt nicht erfullt, somit gibt es hier auch keine Gleichgewichtsschwimmlage. DieKurve hkr3 dagegen schneidet den aufrichtenden Hebel in den Punkten A und C. Beidestellen somit eine Gleichgewichtsschwimmmlage dar, jedoch ist nur der Fall A stabil, weilhier allein bei Neigung uber den Winkel A hinaus der aufrichtende Hebel uberwiegt,das Schiff also in die Ausgangslage zuruckgedreht wird. Als Stabilitatskriterium lasstsich demnach formulieren:

dhAd

>dhkrd

A

.



Diese Bedingung ist fur C nicht erfullt.Im Punkt B haben dagegen hA und hkr2 nur einen Beruhrungspunkt,d.h.

dhAd

=dhkrd

B

.

Bei einem Krangungswinkel > B ist hkr > hA, das Schiff kentert.

7.12 Stabilitatsforderungen

Die International Maritime Organisation (IMO), eine Unterorganisation der UNO,gibt in ihrer Resolution A.749 (18)vom 4.November 1993 folgende allgemeinen Empfeh-lungen zur Intaktstabilitat von Passagier- und Frachtschiffen:1. Die Flache unter der Kurve des aufrichtenden Hebels sollte bis zu einem Krangungs-winkel von = 300 nicht kleiner als 0,055m radiant sein, bis zu = 400 nicht kleinerals 0,09m radiant. Zusatzlich soll die Flache unter der Hebelarmkurve zwischen = 300und = 400 nicht kleiner als 0,03m radiant sein.2. Der aufrichtende Hebel sollte bei einem Krangungswinkel 300 mindestens 0,20mbetragen.3. Der Maximalwert des aufrichtenden Hebels sollte bevorzugt bei 300 vorliegen,nicht aber unterhalb von 250.4. Die Anfangsmetazentrische-Hohe GM0 sollte nicht kleiner als 0,15m sein.5. Bei Passagierschiffen sollte der Krangungswinkel durch uberlaufen von Passagieren zueiner Seite oder bei Drehkreisfahrt 100 nicht ubersteigen.Fur andere Schiffstypen gibt die Resolution weitere spezielle Empfehlungen.



8 Schiff mit Grundberuhrung

8.1 Schiff sitzt mit der ganzen Lange des Kiels auf. (Schiff im Dock)

B

WL

T0

M0

WL 0

BB

K

G

W

R

..

.

.

.T

WL

M

.F

Abbildung 42: Schiff im Dock

Durch Fallen des Wasserstandes wird der Auftrieb kleiner, wahrend das Gewicht gleichbleibt, siehe Abbildung 42.

G > FB; T < T0.

T0 ist der Tiefgang bei freiem Schwimmen. Der Auftriebsverlust wird durch die Aufla-gerkraft R ubernommen. Stabilitat bedeutet GM > 0.Gleichgewichtsbedingungen:

G = FB +R R = G FB.

Moment um den Kielpunkt K :

M(K)A = (KM FB KG G) sin

= (KM(GR)KG G) sin= (GM GKM R) sin.

Klammert man G aus, so wird

M(K)A = G

(GM KM R

G

)sin = G GM sin.

Hier bedeutet

GM

= GM KM RG

= GM KM(

1 FBG

)=

(KM FB

GKG

).



T0

KG

KM;

0

=f(T)

KM

FBW

FBW

T

KM

KM

T

Abbildung 43: Ermittlung des Tiefgangs, bei dem h = 0.

Die metazentrische Hohe GM0 des freischwimmenden Schiffes wird in doppelter Weiseverandert: M 6= M0, da bei geringerem Tiefgang T, d.h. bei veranderter WL-Flache und kleine-rem V zu ermitteln; GM wird um KM R/G reduziert.

Die Auflagerkraft R fuhrt zu einer Verminderung der Querstabilitat!Es werde untersucht:Wann ist die Schwimmlage stabil, indifferent oder instabil,d.h. wann ist GM

> 0; GM

= 0; GM

< 0?

Dafur werde das aufrichtende Moment nocheinmal aufgeschrieben:

M(K)A = (KM FB KG G) sin = G(KM

FBGKG) sin = h G.

Man bezeichnet

h = (KMFBGKG) sin

als den reduzierten Hebel, s. Abb. 43.

h > 0 : KMFBG

> KG stabil,

h = 0 : KMFBG

= KG indifferent,

h < 0 : KMFBG

< KG instabil!



8.2 Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest. (Strandung, Aufdrehen beimStapellauf)

T x TR

FB

.R

W

a

b

.

.

Abbildung 44: Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest

Bestimmung der Gleichgewichtsschwimmlage, siehe Abbildung 44:F = 0 = FB +RG G = FB +R.

Moment um den Lagerpunkt:M (R) = 0 = FB aG b.

Die Gleichgewichtsschwimmlage, bestimmt durch Tx lasst sich grafisch bestimmen,siehe Abbildung 45:

TT 1 T 3T 2

T x

FB

FB

W.bFB.a

FB.a

Abbildung 45: Ermittlung der Tiefgangsanderung Tx

T FB a FBT1 FB1 a1 FB1T2 FB2 a2 FB2T3 FB3 a3 FB3



Praktische Durchfuhrung der Rechnung:Annahme: Trimmwinkel sei klein, sodass cos 1; b konst.; TR konst..Fur mindestens drei vertrimmte WL, die alle durch TR verlaufen, werden mit Hilfe desKurvenblatts die Verdrangung V und der Abstand a des Verdrangungsschwerpunktesbestimmt. Der Schnittpunkt von a FB = f(T ) und b G = konst. liefert das Tx derGleichgewichtsschwimmlage.

Stabilitat:Die Drehachse bei Krangungen um verlauft durch K1 und parallel zur Wasseroberfla-

FB

K2 K1K3

KB

Drehachse

W

..

R

..G.B

. .KAbbildung 46: Stabilitat eines aufsitzenden Schiffes

che, siehe Abbildung 46. Da die beteiligten Krafte FB; G; R alle vertikal gerichtet sind,muss der Drehmomentenvektor dazu senkrecht, also horizontal, gerichtet sein.Die Punkte K1; K2; K3 liegen auf der Drehachse des Schiffes. Das Moment um diehorizontale Drehachse durch den Aufsitzpunkt K1, siehe Abbildung 47, wird zu:

M(K1)A =

(FB K3M G K2G

)sin = G

(FBGK3M K2G

)sin = G h

h =

(FBGK3M K2G

)sin

Fur kleine Trimmwinkel wird K1 K2 K3 und fur kleine Krangungswinkel wirdsin . (

FBGK3M K2G

)(FBGKM KG

)= GM



WL

BK1/2/3

G

W

..

R

FB

WL

.

.M

Abbildung 47: Krangung eines aufsitzenden Schiffes

K1K2K3

M*

KB b

a

M

B

W

G.. ...

..

K. .

Abbildung 48: Bestimmung des aufrichtenden Momentes

GM

ist die wirksame metazentrische Hohe, siehe Abbildung 48.M liegt auf der Verbindung von K1 mit M oberhalb von G!Mit Hilfe des Strahlensatzes findet man

K2M

b=K3M

a b

a=K2M

K3M KM

KM.

Aus dem Momentengleichgewicht ergibt sich:

FB a = G b b

a=FBG.



Wird dieses in die Gleichung fur GM

eingesetzt, bekommt man:(FBGKM KG

)=

(b

aKM KG

)=(KM

KG)

= GM.



9 Stapellauf

9.1 Allgemeines

Der Stapellauf kommt nur noch bei wenigen Werften zum Einsatz; die meisten Schiffewerden heute in Trocken- oder Schwimmdocks gebaut. Nach der Fertigstellung des Schif-fes werden diese geflutet bzw. abgesenkt, bis das Schiff aufschwimmt. Trotzdem hat sichauch hier der Name Stapellauf erhalten.Grundsatzlich gibt es zwei Arten des Stapellaufs. Das Schiff kann zum einen der Langenach, meistens mit dem Heck voran (Langsstapellauf) oder seitlich (Querstapellauf) aufeiner schragen Bahn ins Wasser gelassen werden. Bei Hochseeschiffen kommt im Allge-meinen der Langsstapellauf zur Anwendung, bei Binnenschiffen, oft auch bei U-Booten,der Querstapellauf. Das Schiff wird in geneigter Lage auf der Helling (auch Helgen ge-nannt) gebaut und ruht wahrend der Bauzeit auf der Pallung. Auf Holzschlitten gleitetdas Schiff dann die Bahn hinunter, wobei zur Uberwindung des Reibwiderstandes entwe-der Fette oder Teflonplattchen) notig sind. Der Vorteil der Teflonplattchen liegt darin,dass die Sektionen direkt auf den Schlitten zum Ablaufen gebaut werden konnen undnicht noch umgesetzt werden mussen, um das Fett aufzutragen.

Der Stapellauf ist ein kritischer Moment fur das Schiff. Beim Langsstapellauf wirkengroe Krafte (vor allem Langsbiegekrafte) auf den Rumpf, der zuerst nach unten durch-gebogen wird (hogging), sobald das Heck das Ende der Rampe erreicht hat. Anschlieendschwimmt das Heck auf, so dass der Rumpf nur auf dem Bug aufliegt und nach obendurchgebogen wird (sagging). Zudem hat das Schiff zu dieser Zeit nur eine geringe Roll-stabilitat und kann leicht kentern.Beim Querstapellauf hingegen gerat das Schiff beim Eintauchen durch die Bremswirkungdes Wassers in starke Seitenlage.

9.2 Ablauf

Wird die Haltevorrichtung entfernt, fahrt das Schiff los, sofern die Bahn stark genuggeneigt ist. Die Bahn muss so stark geneigt sein, dass die Grenzhaftung uberwundenwird. In seltenen Fallen wird mit einem Hydraulikstempel das Schiff angeschoben, umdie Haftreibung zu uberwinden.Fur den Grenzwinkel 0 gilt tan(0) = 0, so dass 0 arctan(0) sein muss.Beispiele fur Haftungskoeffizienten 0:Teflon: 0 0,026Fett: 0 0,018Sobald die Grenzhaftung uberwunden ist, gleitet das Schiff mit dem Gleitreibungskoef-fizienten die Bahn hinunter.Solange sich das Schiff noch nicht im Wasser befindet, gilt fur die Beschleunigung langsder Bahn:



m x = G tan() G (9.1)

Taucht das Schiff ein, kommen zu den bisherigen Kraften noch die Komponenten desAuftriebs und der Widerstandskraft des Wassers FH dazu:

m x = G tan() GB tan() FH (9.2)

Ist der Massenschwerpunkt uber die Hinterkante der Bahn (HKB) gefahren, besteht dieGefahr, dass das Schiff um den Auflagepunkt an der HKB kippt. Dies passiert wenn derAuftrieb des bereits eingetauchten Schiffsvolumens zu diesem Zeitpunkt noch nicht grogenug ist. Die Grenzbedingung fur dieses Kippen ergibt sich aus dem Momentengleich-gewicht um den Punkt HKB:

MHKB = 0 = G xG B xB G xG = B xB (9.3)

Die Restkraft ergibt sich dann aus dem Kraftegleichgewicht zu:

F = 0 = R+B G R = GB (9.4)

Von dem Moment an, in dem das Heck in das Wasser eintaucht, erhalt das Heck stetigmehr Auftrieb. Dann liegt das Schiff also nur am Bug auf Vorderkante-Schlitten (VKS)auf, was eine groe Beanspruchung durch die Langsbiegekrafte fur den Rumpf in Langs-richtung darstellt. Fur das Momentengleichgewicht um diesen Punkt VKS gilt dann:Aufdrehen bedeutet, dass das Schiff anfangt aufzuschwimmen, aber der Auftrieb nochzu klein ist, damit das Schiff komplett freischwimmt.

MV KS = 0 = G xGVKS B xBVKS G xGVKS = B xBVKS (9.5)

Ist die Restkraft R=0, schwimmt das Schiff frei.

Folgende Probleme konnen auftreten:

Das Schiff kippt. Das Schiff dreht nicht rechtzeitig auf und kippt dann um Hinter-kante Bahn. Diese Schadensart fuhrt unter Umstanden zu einem Totalverlust desSchiffes bei gleichzeitigen Schaden an Schlitten und Bahn. Daher muss das Kippenunter allen Umstanden vermieden werden. Offensichtlich neigt das Schiff vor allemdann zum Kippen, wenn der Massenschwerpunkt weit hinten liegt und gleichzei-tig hinten wenig Auftrieb entsteht, z. B. weil das Schiff sehr schlank ist oder beiniedrigem Wasserstand.



Das Schiff dumpt. Das Schiff schwimmt an Hinterkante Bahn nicht frei und falltdann ins Wasser. Das Dumpen fuhrt nur dann zu einem Schaden, wenn das Schiffim Verlauf seiner Fallkurve entweder auf das Hellingende oder auf den Gewasser-boden aufschlagt. Dann allerdings kann die Beschadigung betrachtlich sein. Imallgemeinen dumpen Schiffe dann, wenn der Massenschwerpunkt so weit vorneliegt, dass beim freigeschwommenen Schiff vorne ein groerer Tiefgang vorliegt alsder Wasserstand an Hinterkante Bahn.

Das Schiff kentert beim Aufdrehen. Schiffe kentern beim Stapellauf von vorne-herein, wenn deren seitliche Auswanderung des Massenschwerpunkts das Kippmo-ment der Bahn uberschreitet. Dies kommt allerdings -selbst bei nur einer Mittelbahn-praktisch nicht vor. Allerdings ist zu beachten, dass Schiffe wahrend der Aufdreh-phase kentern konnen, da die Restkraft am Bugschlitten ein krangendes Momentverursacht. Im wesentlichen sind lange, schlanke Schiffe kentergefahrdet, die hoheRestkrafte bei geringen KM-Werten aufweisen.



10 Erweiterungen und Notizen

10.1 Pantokarenen

Auszug aus Soding Skript

1. Pantokarenenohne Trimmausgleich: Der Gewichtsschwerpunkt in Langsrichtung

xG wird abhangig von der Verdrangung und so angenommen, dass der Trimmdes Schiffes fur verschiedene und konstant (meist geich Null) ist. Dies wird auchRechnung mit festem (oder konstantem) Trimm genannt. Es wird keine Gleichge-wichtslage betrachtet.

2. Pantokarenenmit Trimmausgleich: xG wird nur von der Verdrangung abhan-

gig angenommen, so dass sich bei = 0 ein konstanter Trimm (meist gleich Null)einstellt. xG ist jedoch nicht von abhangig, so dass sich fur 6= 0 andere Trimm-winkel ergeben. Es wird jeweils eine Gleichgewichtslage fur jeden Krangungswinkelbetrachtet.


1 Grundlagen1.1 Hauptabmessungen1.2 Koordinatensystem1.3 Ansichten1.4 Linienriss1.5 Vlligkeitsgrade1.6 Flchentrgheitsmomente

2 Gesetz des Archimedes2.1 Druckverteilung im Wasser2.2 Schwimmender Krper

3 Kleine nderungen der Schwimmlage3.1 Beliebige, kleine nderung der Schwimmlage3.2 Tiefertauchung um T3.3 Verdrehung um 3.4 Verdrehung um 3.5 Schwimmkrper unter ueren Einwirkungen

4 Stabilitt von Schwimmlagen5 Kleine Schwimmlagennderungen intakter Schiffe5.1 Krngung um :5.2 Trimm um :5.3 Einheitstrimmmoment5.4 Stabilittsbedingungen

6 Pantokarenen und Stabilittshebelarme6.1 Pantokarenen6.2 Stabilittshebelarme6.2.1 Schiffskrper unter der Wirkung eines krngenden Momentes M und auermittiger Lage yG des Gewichtsschwerpunktes

6.3 Pantokarenen und Hebelarme unvertrimmter Quader6.3.1 Berechnung des Verdrngungsschwerpunkts und der Pantokarenen gekrngter Quader (Formschwerpunktskurve)6.3.2 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrngungsschwerpunktes und der Pantokarenen fr die Bereiche I und 1.6.3.3 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrngungsschwerpunktes und der Pantokarenen fr die Bereiche II und 2.6.3.4 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrngungsschwerpunkts und der Pantokarenen fr die Bereiche III und 3.6.3.5 Krmmung, Krmmungsradius der Formschwerpunktskurve (Metazentrische Evolute)6.3.6 Metazentrische Evolute eines Quaders fr die Bereiche I und 1.6.3.7 Metazentrische Evolute fr die Bereiche II und 2.6.3.8 Metazentrische Evolute eines Quaders fr die Bereiche III und 3.6.3.9 Stabilittskurven bzw. Pantokarenen6.3.10 Hebel des aufrichtenden Momentes

6.4 Schiff und Quader

7 Krngende Momente7.1 Moment durch seitlichen Winddruck7.2 Moment bei Drehkreisfahrt7.3 Verschiebung von Flssigkeiten in Tanks mit freien Oberflchen7.4 Moment durch Verrutschen von Ladung7.5 Moment durch Wasser an Deck7.6 Moment durch Vereisung7.7 Moment durch Personen7.8 Moment durch hngende Lasten7.9 Moment durch Trossenzug7.10 Moment durch Propellerdrehmoment7.11 Momentenbilanz7.12 Stabilittsforderungen

8 Schiff mit Grundberhrung8.1 Schiff sitzt mit der ganzen Lnge des Kiels auf. (Schiff im Dock)8.2 Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest. (Strandung, Aufdrehen beim Stapellauf)

9 Stapellauf9.1 Allgemeines9.2 Ablauf

10 Erweiterungen und Notizen10.1 Pantokarenen

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