Inflation des Universums - ZAH, Landessternwarte Königstuhl · Gliederung 1. Der Standardurknall und die resultierenden Probleme 2. Warum Inflation? Wie werden die Probleme gelöst

5.07.2011 | TU Darmstadt | FB Physik | Astrophysik Seminar | Patrick Wieth 1

Inflation des Universums

Gliederung

1. Der Standardurknall und die resultierenden Probleme

2. Warum Inflation? Wie werden die Probleme gelöst 3. Wie Inflation? Formulierungen und Folgen 4. Störungen und warum sie Struktur schaffen

5. Quantum Loop Cosmology

6. Stringtheorien

7. Dank und Quellen


Der Standardurknall

Der Standardurknall ist sehr erfolgreich. Mit dem kosmologischen Prinzip, der Universalität der physikalischen Gesetze und den Friedmann-Gleichungen lässt sich die Evolution unseres Universums gut beschreiben.

Zu den erklärbaren Phänomenen gehört die Herkunft des CMB, der Isotopenverteilung, sowie das Alter und die Größe des Universums.

Es gibt allerdings einige “fine-tuning“ Probleme.


Skalenproblem


Flachheitsproblem

𝐻2 =8𝜋𝐺

3𝑐2𝜌 −

𝑘𝑐2

𝑎2+Λ𝑐2

3

Die erste Friedmann-Gleichung ergibt:

𝜌𝑐 =3𝐻2

8𝜋𝐺 c = 1 Λ = 0

Mit folgenden Bedingungen:

Ergibt sich die relative Dichte Ω:

Ω =ρ

𝜌𝑐=

𝑘

𝐻2𝑎2+ 1

Ω − 1 =𝑘

𝑎 2 𝐻 =

𝑎

𝑎

Einsetzen des Hubbleskalars ergibt:


Ω𝑖 − 1 < 10−62

Horizontproblem

Betrachtet man das Spektrum des CMB, so

stellt man fest, dass es isotrop ist, d.h. es spielt keine Rolle an welches Ende des Horizonts man schaut.

Der CMB ist ca. 300.000 Jahre nach

Entstehung des Universums ausge- koppelt.

Es sollten also nur Regionen, die innerhalb

von 300.000 Jahren equilibriert werden konnten, gleich aussehen.

Tatsächlich ist das gesamte beobachtbare

Universum in dieser Größenordnung homogen.


Exotische Teilchen und Struktur

In der GUT-Phase des Standardurknallmodells müssten magnetische Monopole entstanden sein.

Außerdem müssten sie heute noch vorhanden sein und Einfluss auf die Struktur des Universums haben.

Das Universum ist zwar auf den größten Skalen homogen, auf kleineren Skalen hingegen, das sind Galaxienhaufen, Galaxien usw., ist es hingegen inhomogen. Diese Struktur vermag das Standardmodell nicht zu erklären.


Warum Inflation?

Weil die Probleme gelöst werden!

Das Skalenproblem löst sich, wenn man eine passende Dauer der inflationären Phase voraussetzt.

𝑑𝑡

𝑎(𝑡)

𝑡𝑑𝑒𝑐

𝑡∗

≪ 𝑑𝑡

𝑎(𝑡)

𝑡0

𝑡𝑑𝑒𝑐


Das Horizontproblem lässt sich über die „Teilchenhorizonte“ beschreiben:

Die Inflation löst dieses Problem, da der bereits equilibrierte Bereich aufgebläht wird.

Lösung des Flachheitsproblems

Ω − 1 =𝑘

𝑎 2 ⇒

𝑑 Ω − 1

𝑑𝑡= −𝑎

2 𝑘

𝑎 ³

Es lässt sich sofort sehen, dass |Ω-1| für negative 𝑎 anwächst und für positive abfällt.

Während der Inflation ist 𝑎 ≫ 0 wodurch die relative Energiedichte Ω gegen 1 geht.

Es muss also keine Anfangs-bedingung geben, bei der Ω extrem nah an 1 ist.

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑎

𝑑𝑡

−2

= −2𝑑𝑎

𝑑𝑡

−3

∗𝑑2𝑎

𝑑𝑡2= −2

𝑎

𝑎³


Das Problem, dass Ω zu Beginn so extrem nah an 1 sein muss, damit das Universum heute noch flach sein kann, löst sich mit Inflation ohne Weiteres auf.

𝐻 + 𝐻² =𝑎

𝑎= −

4𝜋𝐺

3𝑐²𝜌 + 3𝑝

Bedingung für Inflation


Die zweite Friedmann-Gleichung besagt:

Wir fordern, damit Inflation stattfindet:

𝑎 > 0

Es ergibt sich für Dichte und Druck:

𝑝 < −𝜌

3

Eine häufige Wahl stellt 𝑝 = −𝜌 dar. Als Lösung der Friedmann-Gleichungen ergibt sich:

𝑎 𝑡 ~ 𝑒𝐻𝑡

Außerdem muss die Inflation auch ein Ende finden.

Danach verhält sich das Universum entsprechend der Standardurknalltheorie

D.h. während der Inflation beschleunigt sich die Expansion des Universums

Danach wird sie immer langsamer…

Bis der Term der kosmologischen Konstante Λ in der Friedmann-Gleichung dominiert.

𝐻2 =8𝜋𝐺

3𝑐2𝜌 −

𝑘𝑐2

𝑎2+Λ𝑐2

3

Auslöser einer Inflation

Wenn eine Inflationsphase einige Probleme löst, bleibt die Frage, warum diese überhaupt stattfinden soll.

Ein möglicher Auslöser der Inflation sind kosmische Skalarfelder. Die Annahme ist, dass vor der GUT-Phase, als alle Kräfte außer der Gravitation ver-

einigt waren, das Universum nur aus einem Skalarfeld, dem Inflatonfeld bestand. Dieses Inflatonfeld läuft in ein Minimum und sorgt währenddessen für ein

exponentielles Wachstum des Universums. Wenn es im Minimum angelangt ist, muss diese Phase enden und in den Verlauf des

Standardurknalls übergehen, wie wir ihn derzeit beschreiben. Das Skalarfeld muss nicht nur ein Minimum haben, es kann sowohl lokale als auch

globale Minima besitzen. Der Übergang von einem ins andere Minima wird häufig als Übergang von einem „falschen“ in ein „echtes“ Vakuum beschrieben.

Es lässt sich eine Analogie zu den Phasenübergängen und Ordnungsparametern

erkennen.


Das Inflatonfeld

𝜌𝜑 =1

2𝜑 ² + 𝑉 𝜑 𝑃𝜑 =

1

2𝜑 ² − 𝑉 𝜑

Wir beginnen mit einem homogenen Skalarfeld 𝜑 , das durch die Energiedichte 𝜌𝜑

Und den Druck 𝑃𝜑 beschrieben wird.

𝑉 𝜑 =1

2𝑚²𝜑²

𝐻² =8𝜋

3𝑀𝑃2 𝑉 𝜑 +

1

2𝜑² 𝜑 + 3𝐻𝜑 = −𝑉′(𝜑)

Wir verwenden das „massive scalar field“, welches einem HO-Potential entspricht:

Setzt man die obigen Gleichungen in die Friedmann-Gleichungen ein und geht vom Verhalten einer idealen Flüssigkeit aus, so erhält man die Gleichungen:


Slow-roll Approximation

𝐻² ≈8𝜋

3𝑀𝑃2 𝑉 𝜑 3𝐻𝜑 ≈ −𝑉′(𝜑)

Bei einer Inflation muss 𝑎 > 0 gelten. Daraus folgt, dass 𝜑 ² < 𝑉(𝜑) ist (Druck wird negativ). Die Gleichungen der letzten Folie vereinfachen sich damit zu:


Außerdem definieren wir die slow-roll Parameter, die sich folgendermaßen aussehen:

𝜀 𝜑 =𝑀𝑃2

16𝜋

𝑉′

𝑉

2

η 𝜑 =𝑀𝑃2

8𝜋

𝑉′′

𝑉

Hier beschreibt ε die Steigung und η die Krümmung des Skalarfelds. Wir benötigen ε<1, damit es überhaupt Inflation gibt und η<1, damit die Inflation hinreichend lang andauern kann. Die Anzahl der Größenordnungen von e, die der Raum aufgebläht wird, ergibt sich als:

𝑁 = ln𝑎 𝑡𝑒𝑎 𝑡𝑖

= 𝐻 𝑑𝑡 𝑡𝑒

𝑡𝑖

≈ −8𝜋

𝑀𝑃2

𝑉

𝑉′𝑑𝜑

𝜑𝑒

𝜑𝑖

Chaotic Inflation


Chaotic Inflation stellt eine mögliche Inflationstheorie dar. Sie verwendet das „massive scalar field“, welches bereits vorgestellt wurde.

𝑉 𝜑 =1

2𝑚²𝜑²

Es ergeben sich die gekoppelten Gleichungen in der slow-roll Näherung und deren Parameter zu:

3𝐻𝜑 + 𝑚²𝜑² = 0 𝐻² =4𝜋𝑚²𝜑²

3𝑀𝑃2 𝜀 = η =

𝑀𝑃2

4πφ²

Ferner lässt sich das Integral auswerten, das uns verrät, wie stark die Inflation ist:

−8𝜋

𝑀𝑃2

𝑉

𝑉′𝑑𝜑

𝜑𝑒

𝜑𝑖

= 2𝜋𝜑𝑖2

𝑀𝑃2 −

1

2= 𝑁

Chaotic Inflation


𝜑 +12𝜋

𝑀𝑃2 𝜑 𝜑 ² + 𝑚²𝜑² + 𝑚²𝜑 = 0

Es lässt sich eine geschlossene Form für die gekoppelten DGLen finden:

Diese nichtlineare DGL 2. Ordnung lässt sich auf eine DGL 1. Ordnung reduzieren:

𝜑 = 𝜑 𝑑𝜑

𝑑𝜑

⇒ 𝑑𝜑

𝑑𝜑= −

12𝜋

𝑀𝑃2 𝜑 ² + 𝑚²𝜑² +

𝑚²𝜑

𝜑

Dieses Ergebnis können wir mit Phasenraumdiagrammen analysieren!

Chaotic Inflation


𝜑 𝑎𝑡𝑡𝑟 ≈ −𝑚𝑀𝑃2

12𝜋

𝜑𝑎𝑡𝑡𝑟 ≈ 𝜑𝑖 −𝑚𝑀𝑃2

12𝜋𝑡 − 𝑡𝑖

Am Attraktor lässt sich 𝜑 finden als:

Uns interessiert besonders der rechtsseitige Attraktor, da dies unseren slow-roll Näherungen entspricht:

Dies verliert seine Gültigkeit, wenn das Feld ins Minimum läuft

Chaotic Inflation

𝑎 𝑡 ≈ 𝑎𝑖 exp −𝑚2

6𝑡𝑖 − 𝑡 ²

𝐻 𝑡 ≈4𝜋

3𝑀𝑃2𝑚𝜑 𝑡

𝑎𝑓

𝑎𝑖≈ exp

2𝜋𝜑𝑖2

𝑀𝑃2

∆𝑡 ≈ 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 ≈ 12𝜋𝑡𝑃𝜑𝑖𝑚

Aus dem vorherigen lässt sich ableiten:

Der Hubble-Parameter fällt linear mit 𝜑

Mit einer abgeschätzten Zeitdauer, bis das Skalarfeld ins Minimum läuft ergibt sich die Inflation zu:


Störungen

Während der Inflation gibt es Vakuumfluktuationen Sie werden aufgeblasen, d.h. die entstehenden virtuellen Teilchen

werden so stark separiert, dass sie nicht mehr in kausalem Kontakt stehen

Die Fluktuationen sind dann keine kleinen Störungen mehr, sondern klassische Moden des Skalarfelds.

Wir kennen einen vergleichbaren Prozess am Ereignishorizont schwarzer Löcher

Die aufgeblasenen Fluktuationen sind die Keime der Struktur


Propagation von Fluktuationen


Spektralindex

Störungsrechnung angewendet auf die Einstein-Gleichungen ergibt ein skalares Störungsspektrum Ƥ𝑠.

Die Herleitung beginnt mit einem diagonalen Energietensor und gelangt über die Bardeen Potentiale, im Super-Hubble-Limit zur Mukhanov-Sasaki Gleichung, woraus das skalare Störungsspektrum wie folgt erhalten werden kann:

Ƥ𝑠(𝑘) =𝑘3

2𝜋2𝑣𝑘𝑧

2

Es ergibt sich der Spektralindex damit als:

𝑛𝑠 = 1 +𝑑 lnƤ𝑠𝑑 ln 𝑘


Loop quantum gravity


Ungestörte Quantisierung der Relativitätstheorie Singularitäten werden durch quantengeometrische Effekte aufgehoben Abseits von Singularitäten dominiert die Metrik der Relativitätstheorie

Big Bounce


Stringtheorie


5-11 dimensionaler Raum Unser Universum ist ein

Unterraum, mit weniger Dimensionen

Die anderen Dimensionen können nicht wahrgenommen werden, weil sie entweder zu klein eingefaltet sind oder unser Raum eben nur ein Unterraum ist

Inflation bedingt durch Wechselwirkung einer Bran und Anti-Bran in der Nähe unseres Universums.

Ende der Inflation durch Annihilation der Branen

Ziemlich verrückt

Zusammenfassung


Inflation ersetzt nicht die Standardurknalltheorie, erweitert sie aber und löst dabei viele Probleme!

Es gibt kein bestätigtes Modell der Inflation.

Die Theorien der Inflation sind schwer zu überprüfen.

Inflation der Theorien zur Inflation Frage nach der Herkunft der Skalarfelder wird aufgeworfen.

„Laut Inflationstheorie sind die mehr als hundert Milliarden Galaxien, die im All wie himmlische Diamanten schimmern, nichts als Quantenmechanik, die in großen Buchstaben an den Himmel geschrieben wurde. Für mich ist diese Erkenntnis eines der größten Wunder des modernen wissenschaftlichen Zeitalters.“ – Brian Greene

Dank und Quellen

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Bild und Textquellen:

http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/mcamenzi/

Spektrum der Wissenschaft Februar 2008

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Cosmology

Bildquellen:

http://map.gsfc.nasa.gov/media/060915/index.html

http://map.gsfc.nasa.gov/media/ContentMedia/990006b.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Horizon_problem.svg

http://home.fnal.gov/~carrigan/pillars/Big_bang_chart_fnal.png

http://krishnascience.info/images/LQC.jpg

http://esartulinoc.files.wordpress.com/2010/06/cys4.gif

http://www.astro.ucla.edu/~wright/CMB-MN-03/inflating_bubble.html






http://en.wikipedia.org/wiki/Categroy:Cosmology







http://home.fnal.gov/~carrigan/pillars/Big_bang_chart_fnal.png











Documents

Inflation des Universums - ZAH, Landessternwarte Königstuhl · Gliederung 1. Der Standardurknall und die resultierenden Probleme 2. Warum Inflation? Wie werden die Probleme gelöst