Information · 2018-12-05 · 61 4.4 Runden von Zahlen – Überschlagen von Ergebnissen 70 4.5 Flexibles Rechnen – im Kopf oder schriftlich? 72 4.6 Schriftliche Division durch

Bildungsstandards –für höchste Qualitätan Österreichs Schulen

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Themenheft Mathematik „Operieren“ Volksschule Grundstufe I + II

Themenheft Mathematik „Operieren“

Volksschule Grundstufe I + II

Impressum

Herausgeber:Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklungdes österreichischen Schulwesens

BIFIE I Department Bildungsstandards & Internationale AssessmentsAlpenstraße 1215020 Salzburg

in Kooperation mit demBundesministerium für Bildung und FrauenMinoritenplatz 51014 Wien

Themenheft Mathematik „Operieren“. Volksschule Grundstufe I + IIBIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2015ISBN 978-3-7011-7967-1

Einbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg& Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & ServicesLayout & Satz: Doris Karlovits, BIFIE I Zentrales Management & ServicesRedaktion & Lektorat: Brigitte Zöchlinger & Stefan Terler, BIFIE I Zentrales Management & ServicesDruck: Steiermärkische Landesdruckerei GmbH, 8020 GrazVertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.H. Nfg. & Co.KG

Die angebotenen Texte und Beispiele zur Umsetzung im Unterricht können an österreichi-schen Schulen und an Pädagogischen Hochschulen in den Bereichen der Aus-, Fort- und Weiterbildung von Lehrerinnen und Lehrern in dem für die jeweilige Lehrveranstaltung erfor-derlichen Umfang von der Website des BIFIE (https://www.bifie.at) heruntergeladen, kopiert und verbreitet werden.

Autorinnen und Autoren:Maria FastAndrea GerberChristina HaberfellnerMaria KothRudolf LangerFranz NöstererFranz PlatzgummerKatharina SpielBrigitte Zöchlinger

Koordination: Brigitte Zöchlinger

Inhalt

3 Vorwort

5 1 Operieren im Mathematikunterricht der Grundschule

7 2 Operieren als Kompetenzbereich der Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe

8 2.1 Begriffe zum Kompetenzbereich Operieren 12 2.2 Rahmen- und Lernbedingungen 13 2.3 Querverbindungen zwischen allgemeinen und inhaltlichen Kompetenzen

19 3 Unterrichtskultur, die das Operieren fördert

19 3.1 Aufgabentypen gezielt einsetzen 19 3.2 Operieren im Rahmen der inhaltlichen Kompetenzbereiche 21 3.3 Verstehen und Anwenden von Strategien 22 3.4 Üben als wesentlicher Bestandteil des Mathematikunterrichts

25 4 Möglichkeiten zur Umsetzung im Unterricht

25 4.1 Zählen und Vorstellen 33 4.2 Auf dem Weg zu automatisierten Grundaufgaben 56 4.3 Zählen und Bündeln – die Macht der 10 61 4.4 Runden von Zahlen – Überschlagen von Ergebnissen 70 4.5 Flexibles Rechnen – im Kopf oder schriftlich? 72 4.6 Schriftliche Division durch einstellige Zahlen 81 4.7 Tabellen, Grafiken und Diagramme lesen, verstehen, zeichnen und ergänzen 88 4.8 Operieren mit Größen 98 4.9 Operieren im Bereich Geometrie

103 5 Literaturverzeichnis

106 Anhang

106 Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe 109 Rechtliche Grundlagen

3

Vorwort

Das vorliegende Themenheft zur allgemeinen Kompetenz Operieren im Fach „Mathematik“ ist das vierte und letzte einer Publikationsreihe, die das Praxishandbuch für die Bildungsstandards in Mathematik auf der 4. Schulstufe ergänzt.

Das Heft verfolgt das Ziel, den Wandel vom Rechnen und Abarbeiten von Routinen hin zum Operieren und flexiblen Einsatz mathematischer Verfahren im Grundschulunterricht zu unter-stützen. Operieren ist mehr als das Beherrschen von algorithmischen Verfahren und umfasst auch das Zählen, Schätzen und Runden von Zahlen und Größen, Vergleichen und Umwandeln von Größen, Strukturieren und Zeichnen von geometrischen Figuren und das Lesen und Ge-stalten von Tabellen oder Grafiken.

Das vorliegende Themenheft soll Lehrerinnen und Lehrern durch seinen praxisorientierten Zu-gang Hilfestellungen bei der Umsetzung eines kompetenzorientierten Unterrichts in der Volks-schule bieten, indem es einerseits wesentliche fachdidaktische Prinzipien skizziert und anderer-seits praxisnah erprobte Verfahren und Methoden für die Unterrichtsarbeit beschreibt.

Wir hoffen, allen Lehrerinnen und Lehrern mit dieser Publikation Anregungen für ihre Unter-richtsgestaltung bieten zu können und eine kontinuierliche Weiterentwicklung der Unterrichts-kultur anzuregen.

Mag. Simone BreitLeiterin des Departments Bildungsstandards & Internationale Assessments

Themenheft Mathematik „Operieren“, Volksschule Grundstufe I + II 5

„Was man nicht versteht, besitzt man nicht.“(Johann Wolfgang Goethe)

Mathematik begegnet uns im täglichen Leben, zudem ist sie bedeutsam bei vielen techni-schen Errungenschaften und für jeglichen naturwissenschaftlichen Fortschritt. Mathematik zeichnet sich durch eine spezielle Form der Kommunikation und Notation aus. „Schüler/innen lernen die Zeichen der Mathematik als eigene Sprache und als eigenes Regelwerk kennen. Sie erfahren in der Auseinandersetzung mit Zahlen, Rechenoperationen und geometrischen Figuren die Notwendigkeit von tragfähigen Begriffen und Regeln.“ (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 6). Dazu sind fachgerechte mathematische Verfahren, Methoden und Strategien notwendig.

Nach wie vor ist ein wichtiges Ziel des heutigen Mathematikunterrichts, dass die Kinder sicher und schnell rechnen können. Der allgemeine mathematische Kompetenzbereich Operieren ist, wie auch im Kompetenzmodell ersichtlich (vgl. Abbildung 1, S. 7), umfassender als „Rechnen“ und enthält neben dem Arbeiten mit Zahlen und Operationen auch das Arbeiten mit Größen sowie das Arbeiten mit Ebene und Raum. Operieren bedeutet, mathematische Verfahren zielführend, flexibel und korrekt einzusetzen. Operieren bezieht sich nicht nur auf Kopfrechnen und das Beherrschen von algorithmischen Verfahren, sondern auch auf Zählen, Schätzen und Runden von Zahlen und Größen, Vergleichen und Umwandeln von Größen, Strukturieren und Zeichnen von geometrischen Figuren sowie Lesen und Gestalten von Ta-bellen oder Grafiken.

Solide Kenntnisse im Schreiben von Ziffern, beim Verwenden von Mess- und Zeichengerä-ten, beim sicheren Beherrschen des Einspluseins und Einmaleins sowie der algorithmischen Rechenverfahren sind notwendige Grundlagen für erfolgreiches Handeln im Mathematikun-terricht. Tätigkeiten des Operierens sind unter anderem Fertigkeiten, die unmittelbar zur Ver-fügung stehen sollen und daher geübt werden müssen. In der didaktischen Umsetzung wird unterschieden zwischen Fertigkeiten,

� die eher angeleitet vermittelt werden, und solchen, � die als Routinen, ausgehend von prozesshaft einsichtigem Lernen, langfristig zur

automatisierten Wiedergabe von Ergebnissen führen.

Ziffern formgerecht im richtigen Bewegungsablauf zu schreiben, ein Mess- oder Zeichenge-rät und letztendlich einen Algorithmus zu benutzen, lernen Kinder vorwiegend unter sorgfälti-ger Anleitung. Dabei wird die Mathematik als Kulturtechnik vermittelt, damit z. B. ein fachge-rechtes Umgehen mit dem Geo-Dreieck bzw. eine ökonomische Sprech- und Schreibweise bei den schriftlichen Rechenverfahren garantiert ist. Hingegen ist es kaum zielführend, wenn Routinen, wie z. B. das Einspluseins und das Einmaleins, die ebenfalls „sicher und schnell“ (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 18) beherrscht werden müssen, rein mechanisch eingeübt wer-den. Reines Anleiten oder permanentes Memorieren, auch wenn es spielerisch bzw. elek-tronisch verpackt ist, sind nicht sinnvoll. Ausgehend vom Verständnis der Aufgaben- und Zahlbeziehungen sollen operative und strukturorientierte Übungsformen eingesetzt werden, die letztendlich zum automatisierten Inhalt führen.

Fertigkeiten, auswendig gewusste Grundaufgaben und algorithmische Verfahren stellen zwar eine notwendige Grundlage erfolgreichen mathematischen Handelns dar, sind aber allein nicht ausreichend. Die Kompetenz Operieren kann nicht auf das Abarbeiten von Routinen reduziert werden. Sie ist charakterisiert durch ein verfügbares Handlungsvermögen, welches das Kind situativ einsetzen kann. Operieren heißt daher unter anderem, Zusammenhänge zu entdecken, zu untersuchen und nach Verallgemeinerung zu streben. Das gilt für Vorgehens-weisen wie Kopfrechnen in mehreren Teilschritten, halbschriftliches Rechnen, Maßumwand-lungen, das Zerlegen und Zusammensetzen geometrischer Figuren.

1 Operieren im Mathematikunterricht der Grundschule

Der Kompetenzbereich Operieren in den Bildungsstandards

notwendige solide Kenntnisse

bewusstes Erkennen und Nutzen mathematischer Zusammenhänge

6 Themenheft Mathematik „Operieren“, Volksschule Grundstufe I + II

Kinder im Grundschulalter bringen oft bemerkenswerte kognitive und ausgezeichnete motiva-tionale Voraussetzungen für eine verständnisorientierte Auseinandersetzung mit mathemati-schen Inhalten mit. Laut TIMSS-Studie 2011 (vgl. Wallner-Paschon, 2012, S. 57) haben 43 % der Kinder in Österreich ein hohes Vertrauen in ihre mathematischen Fähigkeiten. Umgekehrt fällt auf, dass wenige Kinder mit einem hohen Selbstkonzept tatsächlich leistungsstark in Mathematik sind (4 %) und 15 % sogar zu den Leistungsschwächsten zählen. So scheint es wichtig, dass im Mathematikunterricht der Volksschule die Kinder nicht nur meinen, dass sie etwas können, sondern dass sie tatsächlich mathematische Inhalte verstehen, um sie nach Goethe zu „besitzen“, damit Wissen im Sinne von Kompetenz verfügbar ist.

Wie auch bei allen anderen Themenheften kann eine solche Broschüre nur allgemeine Kon-zepte und Fallbeispiele anbieten, jedoch keine Rezepte. Bisher ist es nicht gelungen, bessere Lernerfolge durch Rezepte, nämlich durch detailliert vorgegebene Unterrichtskonzeptionen und -materialien zu erreichen. Das erstaunt wenig, denn der entscheidende Faktor für einen erfolgreichen Unterricht ist das didaktische Verständnis der Lehrperson. Auch die besten Werkzeuge und Materialien versagen, wenn sie nicht adäquat angewendet werden. Aufga-ben gehören in längerfristig angelegte Arrangements eingebettet, durch welche die Kinder Verständnis erwerben und diese nicht nur unverstanden abarbeiten.

Selbstkonzept in Mathematik

Möglichkeiten und Grenzen einer Broschüre


Operieren wird in den Bildungsstandards als eigener Kompetenzbereich innerhalb der allge-meinen mathematischen Kompetenzen genannt. Diese Kompetenzen betonen wichtige As-pekte des Mathematikunterrichts, die bisher wenig berücksichtigt wurden.

„Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen Auseinanderset-zung mit der Mathematik. Es handelt sich um prozessbezogene Kompetenzen, die Schüler/innen in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erwerben. Die angeführten Kompetenzen beschreiben Handlungen, die für die Bearbeitung und Nutzung der inhaltlichen Teilbereiche notwendig sind.“

(BIFIE & BMUKK, 2011, S. 8)

Operieren Kommunizieren

Modellieren Problemlösen

Arbeiten mit Ebene und Raum

Arbeiten mit Zahlen

Arbeiten mit Operationen Arbeiten mit Größen

Kompetenzbereiche

Allgemeine mathematischeKompetenzen

Inhaltliche mathematischeKompetenzen

Abb. 1: Kompetenzbereiche (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 7)

2 Operieren als Kompetenzbereich der Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe


In der Verordnung über Bildungsstandards im Schulwesen (BGBl. II, Nr. 1/2009) lautet der Text zum Kompetenzbereich Operieren (AK 2):

Mathematische Abläufe durchführenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, � arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, � geometrische Konstruktionen durchführen.

Mit Tabellen und Grafiken arbeitenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Tabellen und Grafiken erstellen, � Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.

2.1 Begriffe zum Kompetenzbereich Operieren

AlgorithmusEin Algorithmus ist eine exakt beschriebene Vorgehensweise zum Lösen eines (mathemati-schen) Problems in endlich vielen und eindeutig beschriebenen Schritten. Sie führen, wenn sie wie vorgegeben durchgeführt werden, garantiert zur richtigen Lösung. Jedes mit einem Algorithmus lösbare mathematische Problem kann auch von einer Rechenmaschine / einem Computer gelöst werden.

Algorithmische VerfahrenBei algorithmischen Verfahren werden mit Hilfe von festgelegten Regeln, nämlich dem Algo-rithmus, Probleme, wie z. B. – in der Volksschulmathematik – die schriftlichen Rechenverfah-ren, gelöst.

AnalogieaufgabeBei Analogieaufgaben wird eine bekannte Struktur auf etwas Neues angewandt. Beim münd-lichen Rechnen wird etwa von einer verwandten Aufgabe im kleinen Zahlenraum auf eine Aufgabe im größeren Zahlenraum geschlossen, z. B.: 3 + 4 = 7. Daraus folgt in einem Analo-gieschluss: 13 + 4 = 17, 23 + 4 = 27, 30 + 40 = 70, 300 + 400 = 700.

Arithmetische MusterArithmetische Muster sind Gesetzmäßigkeiten und Strukturen, die im Zusammenhang mit Zahlen und deren Verknüpfungen auftreten, z. B.: 1, 3, 5, 7, 9 oder 11 + 1, 12 + 2, 13 + 3, 14 + 4 usw.

Bauplan eines BauwerksAls Bauplan wird ein Grundriss bezeichnet, in dem die Anzahl der im jeweiligen Feld überein-ander gestapelten Würfel angegeben ist.

Abb. 2: Bauplan

2 2 1


FlächeninhaltDer Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Um den Flächeninhalt anzugeben, werden Flächenmaße (z. B. m2, cm2) verwendet.

Geometrische MusterGeometrische Muster sind Gesetzmäßigkeiten und Strukturen, die im Zusammenhang mit geometrischen Inhalten und deren Darstellungen auftreten.

Abb. 3: geometrische Muster

Größe / GrößenbereichGrößen sind objektiv messbare Eigenschaften von Gegenständen oder Vorgängen. Es sind Eigenschaften, die sich quantifizieren lassen und daher in Zahlen ausgedrückt werden können.

Man unterscheidet zwischen (1) dimensionslosen Größen und (2) Größen, die einem be-stimmten Größenbereich zugeordnet sind.

(1) In der Volksschule tritt die dimensionslose Größe Anzahl auf, der keine Maßeinheit zugeordnet ist. Eine Bezeichnung der Einheit, wie etwa Stück (St.) ist möglich, aber nicht unbedingt notwendig.

(2) Jede Maßeinheit wird einem Größenbereich zugeordnet, wie z. B. dem Größenbereich Länge: Meter (m), Kilometer (km) bzw. Zoll, Seemeile usw.

Um eine Größe anzugeben, muss eine Maßzahl und eine Maßeinheit angegeben werden, z. B.: 5 m

Ein und dieselbe Größe kann auf verschiedene Weise dargestellt werden, wie z. B. 5 m = 50 dm = 500 cm = 5 000 mm.

Die Größe bleibt immer die gleiche, nur die Maßzahl und die Maßeinheit ändern sich. Daher können Größenangaben umgewandelt werden.

Grundaufgabenadditive Grundaufgaben: Einspluseins, Einsminuseinsadditive Rechenoperationen im Zahlenraum (ZR) 20, deren Summanden einstellig sind (inkl. Umkehraufgaben)multiplikative Grundaufgaben: Einmaleins, Einsineinsmultiplikative Rechenoperationen im Zahlenraum (ZR) 100, deren Faktoren einstellig sind (inkl. Umkehraufgaben)

Maßzahl Maßeinheit


Halbschriftliches RechnenHalbschriftliches Rechnen ist mündliches Rechnen, bei dem die individuellen Zwischenschrit-te / -ergebnisse aufgeschrieben werden, z. B.:

82 – 39 = 354 + 37 =

82 – 40 = 42 350 + 30 = 380

42 + 1 = 43 4 + 7 = 11

380 + 11 = 391

KonstruierenUnter Konstruieren versteht man das Darstellen geometrischer Figuren mit Hilfe von Zeichen-geräten.

KopfrechnenBeim Kopfrechnen werden die Aufgaben, ohne die Zwischenschritte zu notieren, nur „im Kopf“ gerechnet. Es wird lediglich das Ergebnis notiert oder ausgesprochen. Statt Kopfrech-nen wird auch gelegentlich der Terminus mündliches Rechnen ohne Notation der Zwischen-schritte verwendet.

MessenMessen ist der Vergleich eines Repräsentanten eines Größenbereichs mit einem anderen, wobei üblicherweise ein Repräsentant eine normierte Maßeinheit ist. Beim Messen stellt man fest, wie oft ein Repräsentant in der zu messenden Größe enthalten ist.

Mündliches RechnenMündliches Rechnen umfasst Kopfrechnen, überschlagendes Rechnen und halbschriftliches Rechnen. Mündliches Rechnen (Rechnen mit Zahlen) beruht im Gegensatz zum schriftlichen Rechnen (Rechnen mit Ziffern) auf Zahlvorstellungen und wird nicht nach Algorithmen durch-geführt. Mündliches Rechnen ermöglicht daher individuelle Lösungswege.

NetzNetze sind flächige, zusammenhängende Modelle von Körpern. Netze entstehen durch Ab-rollen und Umfahren aller Begrenzungsflächen oder durch Aufschneiden und Auseinander-klappen der Begrenzungsflächen des Körpers.

RechenoperationIn der Grundschulmathematik versteht man darunter die vier Grundrechnungsarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.Arten: - additive Rechenoperationen: Addition und Subtraktion - multiplikative Rechenoperationen: Multiplikation und Division

RundenBeim Runden werden Näherungswerte aus bereits vorhandenen Zahlen durch das Anwenden fester Regeln ermittelt. Das Rundungszeichen „≈“ bedeutet „ungefähr gleich“ oder „rund“.

SchätzenBeim Schätzen wird eine unbekannte Größe durch gedankliches Vergleichen (Messen) mit bekannten Größen ermittelt. Solche bekannte Größen können beispielsweise die Schrittlän-ge oder die Körpergröße sein. Diese werden dann zum gedanklichen Ausmessen benutzt. Durch Bestimmen eines passenden Operators (der angibt, wie oft die bekannte Größe in der unbekannten Größe enthalten ist) wird das Ergebnis ermittelt, z. B. die Höhe des Turnsaales mittels Körpergröße eines Kindes bestimmt.


Schriftliches RechnenBeim schriftlichen Rechnen werden die Ergebnisse mit Hilfe eines Algorithmus (nach genau festgelegten Regeln) ziffernweise ermittelt. Die komplexe Gesamtrechnung wird in einzelne Grundaufgaben zerlegt.

TauschaufgabeDie Bezeichnung Tauschaufgabe wird in der Volksschule synonym für das Kommutativgesetz verwendet. Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition und die Multiplikation. Bei Tausch-aufgaben werden die Summanden bzw. Faktoren der ursprünglichen Aufgabe vertauscht, z. B.:

2 + 3 = 5 3 + 2 = 5 4 · 5 = 20 5 ∙ 4 = 20

ÜberschlagsrechnungÜberschlagen heißt, (mit gerundeten Zahlen) das Ergebnis einer Rechenoperation ungefähr zu berechnen, z. B:

379 ∙ 8 ≈ 3 200 (400 ∙ 8 = 3 200)

UmfangDie Länge des Randes bzw. der Begrenzungslinie von ebenen geometrischen Figuren wird als Umfang bezeichnet. Der Umfang kann durch Abmessen oder Berechnen ermittelt wer-den.

UmkehroperationDarunter versteht man die zu einer Operation inverse Operation, z. B.:

4 + 3 = 7 Umkehroperation: 7 – 3 = 4, 15 : 5 = 3 Umkehroperation: 3 ∙ 5 = 15

ZahlbeziehungenZahlbeziehungen beschreiben Relationen zwischen Zahlen, z. B.:

� Feststellen, welche Zahl größer bzw. kleiner ist, � Bestimmen von Vorgänger und Nachfolger, � Unterscheiden von geraden und ungeraden Zahlen, � Bestimmen des Doppelten / der Hälfte einer Zahl, � Erkennen der Vielfachen bzw. Teiler einer Zahl.

ZeichnungEine Zeichnung kann sowohl freihand als auch mit Zeichengeräten durchgeführt werden. Im Gegensatz zur Skizze, die sich auf das mathematisch Wesentliche beschränkt, kann die Zeichnung auch mathematisch nicht Relevantes enthalten.


2.2 Rahmen- und Lernbedingungen

Die folgenden Rahmen- und Lernbedingungen sollen gute Voraussetzungen für das Operie-ren im Mathematikunterricht schaffen.

Unterschiedliche Verarbeitungsmöglichkeiten sollen im Unterricht Platz finden.(z. B.: Probieren, systematisches Vorgehen, Gleichungen lösen, algorithmische Verfahren durchführen …)

Grundlegende Verfahren müssen im Unterricht gesichert werden.Es muss genügend Übungszeit für die Kinder eingeplant werden, damit sie

� die additiven und multiplikativen Grundaufgaben im mündlichen Bereich schnell und sicher beherrschen und

� die Durchführung der schriftlichen Rechenverfahren automatisieren.

Aufgaben sind so zu gruppieren, dass verschiedene Denkmuster und Lösungsstruk-turen gefordert werden.Innerhalb eines Aufgabenblocks sollten mindestens zwei Denkmuster vorkommen. Das Üben unter Ausschaltung des Denkens, wie dies vielfach in Aufgabenblöcken provoziert wird, kann dazu führen, dass das mathematische Verständnis gänzlich vernachlässigt wird und nur noch das unverstandene Abarbeiten von Routinen stattfindet.

Der sachgerechte Umgang mit Zeichen- und Messgeräten muss gesichert sein.Mit Hilfe von Lineal und Geodreieck können die Kinder millimetergenau messen, parallele Geraden und rechte Winkel zeichnen. Die korrekte Handhabung von Messgeräten, z. B. Waa-gen oder Uhren, tragen zum vertiefenden Verständnis von Größen bei (vgl. BIFIE & BMUKK, 2011, S. 11).


2.3 Querverbindungen zwischen allgemeinen und inhaltlichen Kompetenzen

Mathematische Kompetenzen im Rahmen der Bildungsstandards beinhalten zwei Kompo-nenten:

� allgemeine mathematische Kompetenzen � inhaltliche mathematische Kompetenzen

Allgemeine mathematische Kompetenzen beziehen sich auf Mathematik als Tätigkeit und sind prozessorientiert. Inhaltliche mathematische Kompetenzen spiegeln die spezifischen Gegenstandsbereiche und Sachverhalte der Mathematik wider. Beide Komponenten sind untrennbar miteinander verbunden, weil für die Lösung einer mathematischen Aufgabenstel-lung beide Komponenten benötigt werden (vgl. BIFIE & BMUKK, 2011, S. 7).

IK 4

IK 3

IK 2

IK 1AK 1

AK 2

AK 4AK 3

AK 1: Modellieren

AK 2: Operieren

AK 3: Kommunizieren

AK 4: Problemlösen

IK 1: Arbeiten mit Zahlen

IK 2: Arbeiten mit Operationen

IK 3: Arbeiten mit Größen

IK 4: Arbeiten mit Ebene und Raum

Abb. 4: Verknüpfung AK / IK

Die allgemeine mathematische Kompetenz Operieren kann mit allen inhaltlichen mathemati-schen Kompetenzen verknüpft werden.

Operieren – Arbeiten mit Zahlen

IK 1 AK 2

Abb. 5: Knoten AK 2 / IK 1


Beispielaufgabe:Welche Zahlen kannst du jeweils einsetzen, wenn auf Hunderter gerundet wurde? Kenn-zeichne alle passenden Zahlen.

3 585 3 644 3 610 3 545 ? ≈ 3 600

6 240 6 450 6 350 6 388 ? ≈ 6 400

990 1 070 1 145 1 055 ? ≈ 1 100

In dieser Aufgabe werden die folgenden Teilkompetenzen angesprochen: Die Schülerinnen und Schüler können

� Zahlen [...] strukturieren (AK 2), � Zahlen auf volle [...] Hunderter [...] runden (IK 1).

Operieren – Arbeiten mit Operationen

IK 2

AK 2


Beispielaufgabe:Berechne und überprüfe das Ergebnis mit einer geeigneten Probe.

548 67 · 24 3 725 : 3 = 379 174 – 185

Bei dieser Aufgabe werden die folgenden Teilkompetenzen angesprochen: Die Schülerinnen und Schüler können

� arithmetische Operationen und Verfahren durchführen (AK 2), � die Algorithmen der schriftlichen Verfahren […] durchführen (IK 2), � die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen (IK 2).


Operieren – Arbeiten mit Größen

IK 3

AK 2


Beispielaufgabe:Ordne diese Maßangaben der Größe nach.

10 cm 100 cm 10 m 1 mm 10 mm

> > > >

10 dag 1 kg 10 g 10 kg 1 t

< < < <

10 s 1 h 1 min 100 min 1 s

< < < <


� [...] Größen […] strukturieren (AK 2), � Größen miteinander vergleichen (IK 3).

Operieren – Arbeiten mit Ebene und Raum

IK 4

AK 2



Beispielaufgabe:Setze dieses Muster fort.


� geometrische Konstruktionen durchführen (AK 2), � vorgegebene geometrische Muster erkennen […] und fortsetzen (IK 4), � geometrische Figuren zeichnen und konstruieren (IK 4).

Operieren – Arbeiten mit Größen und Arbeiten mit Ebene und Raum

Eine Verknüpfung von mehreren inhaltlichen Kompetenzen mit dem Operieren wird im folgen-den Beispiel dargestellt.

IK 4

IK 3

AK 2

Abb. 9: Knoten AK 2 / IK 3, IK 4

Beispielaufgabe:Berechne den Umfang dieses Rechtecks.


� […] Größen und geometrische Figuren strukturieren (AK 2), � mit geeigneten Maßeinheiten messen (IK 3), � den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen (IK 4).


Operieren und Kommunizieren – Arbeiten mit Zahlen und Arbeitenmit Operationen

Die folgende Aufgabe zeigt eine Verknüpfung mit dem allgemeinen Kompetenzbereich Kom-munizieren und mehreren inhaltlichen Bereichen.

IK 2

IK 1 AK 2AK 3

Abb. 10: Knoten AK 2, AK 3 / IK 1, IK 2

Beispielaufgabe:Größer oder kleiner?Setze die Zeichen < oder > ein, ohne zu rechnen.Begründe deine Entscheidungen.

3 · 7 3 · 9 24 : 6 24 : 8

80 – 45 80 – 65 65 – 31 43 – 31

28 + 56 37 + 56 8 + 4 – 3 8 – 4 + 3

In dieser Aufgabe werden die folgenden Teilkompetenzen angesprochen: Die Schülerinnen und Schüler

� können Zahlen […] strukturieren (AK 2), � können […] Aussagen und Handlungsweisen begründen (AK 3), � können […] Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen (IK 1), � verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen (IK 2).


Zunehmender Grundbestandteil des Unterrichts ist, dass die Schüler/innen selbstständig, selbst organisiert und in eigener Verantwortung lernen. Dabei sind kooperative Arbeitsformen hilfreich. Unterricht wird dahingehend methodisch und didaktisch angepasst, indem vermehrt entdeckende bzw. handlungsorientierte Unterrichtsformen zum Einsatz kommen. Dadurch werden soziale, aber auch methodische Kompetenzen im Hinblick auf das eigene Lernen gefördert.

3.1 Aufgabentypen gezielt einsetzen

Gut gewählte Aufgaben sind zentraler Bestandteil des Mathematikunterrichts. Diese werden von den Lehrerinnen und Lehrern eingesetzt, um ein Aneignen und Systematisieren von ma-thematischen Inhalten zu ermöglichen und das Entwickeln von Lösungsstrategien zu fördern. Des Weiteren dienen sie den Schülerinnen und Schülern zur Orientierung im individuellen Lernprozess.

Für Lehrer/innen stellt sich die interessante Herausforderung, eine Aufgabe zu einer sinnvol-len, das Lernen unterstützenden zu gestalten. Dabei ist zu analysieren, welches mathemati-sche Potenzial enthalten ist und welche inhalts- bzw. prozessbezogenen (allgemeinen) Kom-petenzen gefördert werden. Gegebenenfalls sind diese Aufgaben dahingehend zu verändern. Die Auswahl der Aufgaben und der Anspruch, dass Kinder diese Aufgaben verstehen lernen, beeinflusst die Vorbereitung und Durchführung des Unterrichts.

3.2 Operieren im Rahmen der inhaltlichen Kompetenzbereiche

Anhand der folgenden Tabelle werden mögliche Aspekte des Operierens in Verknüpfung mit den inhaltlichen Kompetenzen deutlich gemacht.

Inhaltliche Kompetenzbereiche

Aspekte des Operierens

Arbeiten mit Zahlen Zählen DarstellenVergleichen und OrdnenZerlegen und ZusammensetzenBündeln und Entbündeln

RundenSchätzen von Anzahlen

Erstellen, Lesen und Interpretieren von Tabellen und Grafiken

Arbeiten mit Operationen Dazugeben und ZusammenfügenWegnehmen und Ergänzen Vervielfachen Teilen und Messen

automatisiertes Ausführen der additiven Grundaufgaben im Zahlenraum 20 (Einspluseins)

3 Unterrichtskultur, die das Operieren fördert

sinnvolle Aufgaben


automatisiertes Ausführen der multiplikativen Grundaufgaben im Zahlenraum 100 (Einmaleins)

Durchführen passender Rechenstrategien bei Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, wie z. B. schrittwei-ses, stellenweises Rechnen

Auswählen lassen und Durchführen passender Rechentypen (Kopfrechnen, halbschriftliches Rechnen, schriftliche Verfahren)

Ausführen der schriftlichen Rechenverfahren

Verstehen der Funktion und Anwendungsmöglichkeiten des überschlagenden Rechnens

Überprüfen von Rechenergebnissen, Durchführen von Rechenproben

Arbeiten mit Größen Maßeinheiten kennen und diese den Größenbereichen zuordnenGrößen vergleichen und ordnenGrößen umwandelnGrößen messenbeim Messen geeignete Maßeinheiten verwendenGrößen schätzen mit Größen rechnen

Arbeiten mit Ebene und Raum

Legen – Auslegen, Nachlegen, Zerlegen und Zusammen-setzenFalten und SchneidenSpannenZeichnen – freihand und mit Lineal

Figuren und Muster zeichnenVergrößern und Verkleinern

Modelle von Körpern herstellenKörpern ihre Netze zuordnen und umgekehrt

Umfang messen und berechnen, Flächeninhalt von Rechtecken berechnen


In der Arithmetik geht es unter anderem um das Erkennen des Einsatzes passender Strate-gien im Rahmen des Kopfrechnens und in Formen des halbschriftlichen Rechnens. Voraus-setzungen dafür sind ausreichende Einsichten in den Aufbau und das Wesen von Zahlen im Sinne eines Zahlenblicks (vgl. Schütte, 2008. S. 104–106), die Fähigkeit, flexibel zu denken und dieses Denken rechnerisch umzusetzen.

Der Auftrag „Überlege, wie du schlau rechnen kannst?“ initiiert die Förderung des Zahlen-blicks (Schütte, 2008, S 123 – 131). „Strategische Werkzeuge“ nach Rathgeb-Schnierer (2006, S. 55) erleichtern den Kindern das Lösen von Additions- und Subtraktionsaufgaben. Dazu gehören zum Beispiel: geschicktes Zerlegen und Zusammensetzen von Zahlen, Nutzen von Analogien, Verändern von Aufgaben (gleichsinnig, gegensinnig), Nutzen von Beziehun-gen bei Rechenoperationen und Zahlen. Dabei ist die Reflexion über die zu treffenden bzw. die getroffenen Entscheidungen in allen Phasen des Unterrichts wesentlich (ICH-DU-WIR-Phase, Strategiekonferenz usw. Anregungen dazu finden sich im Themenheft „Kommunizie-ren“ (BIFIE & BMUKK, 2010, S. 10–13)).

In der Geometrie schaffen Lehrer/innen Bedingungen, damit Schüler/innen grundlegende Kompetenzen erwerben. Die Schüler/innen sammeln geometrische Erfahrungen, um den sie umgebenden Raum zu erschließen und Raumvorstellung einschließlich der räumlichen Orien-tierung zu entwickeln. Wesentliche Grundaktivitäten sind Zeichnen, Legen, Spannen, Falten und Schneiden. Der Geometrieunterricht kann als große Chance genutzt werden, durch ge-eignete Aufgabenstellungen andere Inhalte des Grundschulunterrichts zu durchdringen, zu veranschaulichen, zu erklären und letztendlich zu verstehen (vgl. Franke, 2007, S. 19).

Ein weiteres wichtiges Anliegen der Grundschulmathematik ist der Erwerb von Größenvor-stellungen und Größenbegriffen. Nur über Sach- und Anwendungssituationen kann es zur Entwicklung von Größenbegriffen und zu realistischen Größenvorstellungen kommen. Zum Erwerb von Kompetenzen im Sinne des Operierens sammeln die Schüler/innen Erfahrungen zum Grundvorgang des Messens. Größen werden mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten verglichen und mit verschiedenen Messgeräten gemessen.

3.3 Verstehen und Anwenden von Strategien

Im Unterricht sollten Kinder mathematische Operationen ausführen, nachvollziehen und re-flektieren. Grundlage dafür sind das Anwenden bereits bekannter Denkmuster, das Kennen mathematischer Regelmäßigkeiten sowie das Erkennen mathematischer Beziehungen.

Im Mathematikunterricht geht es vorrangig darum, Verstehensprozesse in Gang zu bringen, „laufen zu lassen“ und im weitesten Sinn „auf Schiene“ zu bringen. Voraussetzung dafür ist, dass den Schülerinnen und Schülern passende Darstellungsformen wiederholt angeboten werden. Darüber hinaus muss den Kindern Zeit und Raum zum Nachvollziehen und selbst-ständigen Entdecken mathematischer Zusammenhänge gegeben werden. Im Sinne einer neuen Aufgabenkultur ist es erforderlich, Situationen zu schaffen, in denen für die Kinder die Möglichkeit besteht, sich auf einen Verstehensprozess einzulassen.

Die jeweiligen Entwicklungs- und Lerngeschichten der Schüler/innen beeinflussen deren ma-thematische Grundkompetenzen. Aus diesem Grund ist von Beginn an die Heterogenität ei-ner Gruppe zu berücksichtigen, da Schüler/innen zur selben Zeit unterschiedliche Strategien zeigen und bestrebt sind, für sie passendere zu finden. Um diese „geheimen und privaten“ Rechenwege kennenzulernen, ist der Unterricht so zu arrangieren, dass Kommunikations-anlässe geschaffen werden, in denen die Schüler/innen ins Gespräch kommen können (vgl. Hess, 2012, S. 110).

Arithmetik

Geometrie

Größen

Verstehensprozesse anleiten

Heterogenität berücksichtigen


Ein Unterricht, der etwa nach dem ICH-DU-WIR-Prinzip aufgebaut ist, unterstützt einen sol-chen Verstehensprozess. Zunächst wird das eigene Konzept für die Bearbeitung eines Pro- blems erstellt und vorgestellt, danach werden Überlegungen anderer angehört und überdacht. Im Anschluss kann eine Reflexion des Gesamten stattfinden. Die Entwicklung mathemati-scher Lösungsstrategien versteht sich als kontinuierlicher Prozess. Dies ist nicht zusätzliches Programm, sondern integraler Bestandteil des Mathematikunterrichts. Die Lehrpersonen nehmen verfügbare Strategien auf und geben möglichst zeitig Anregungen und Ideen in Rich-tung eines beziehungsreichen Rechnens. Am Ende des Prozesses haben die Schüler/innen dahingehend Kompetenzen erworben, unterschiedliche Wege zur Verfügung zu haben und aus diesen Verfahren das für die jeweilige Situation passende auszuwählen.

3.4 Üben als wesentlicher Bestandteil des Mathematikunterrichts

Beim Üben werden grundlegendes Basiswissen bzw. Elemente eines Verstehensprozesses eingeprägt, um in der Folge flexibles Denken beim Anwenden mathematischer Verfahren gewährleisten zu können. Des Weiteren werden die Schüler/innen befähigt, Arbeitstechni-ken, Methoden, Verfahren usw. vielfältig anzuwenden und souverän auszuführen. Gleichzeitig werden allgemeine kognitive und prozessbezogene Kompetenzen gefördert (vgl. Käpnick, 2014, S. 130).

Automatisierendes Üben ist wesentlicher Bestandteil zur Beherrschung von grundlegenden Fertigkeiten. Durch Automatisierung wird zum einen das Gedächtnis der Kinder entlastet und zum anderen wieder Platz für die Konzentration auf neue Lerninhalte geschaffen.

Automatisieren bezieht sich einzig auf Inhalte, die direkt abrufbar sind. Im Mathematikunter-richt der Volksschule trifft das auf nicht allzu viele Bereiche zu. Automatisieren im Kompetenz-bereich Operieren ist für folgende Inhalte wesentlich:

� Lesen und Schreiben von Ziffern und Zahlen, � Lösen von Grundaufgaben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

(Einspluseins, Einmaleins).

Wird automatisierendes Üben zu oft eingesetzt bzw. findet es zu eintönig statt, wird es von den Kindern meist als langweilig empfunden. Sind automatisierende Übungsformate differen-ziert und abwechslungsreich aufbereitet, steigern sie die Motivation der Kinder und tragen zum Kompetenzerwerb bei.

Um Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verständnisorientiert ausführen zu können, sind das Erkennen und Erfassen von Zahlbeziehungen sowie das Verständnis von Operationsbeziehungen und die Einsicht in Aufgabenbeziehungen notwendig. Damit Kinder Zahl- und Aufgabenbeziehungen erkennen, sind die gestellten Aufgaben so zu konzipieren, dass verschiedene Denkmuster und Lösungsstrukturen möglich sind.

automatisieren

beziehungsreiches Üben

ICH-DU-WIR-Prinzip


Um mathematisches Lernen und Verstehen ausreichend und nachhaltig zu festigen und eine Automatisierung der Anwendung des Wissens gewährleisten zu können, kommt den unter-schiedlichen Formen des Übens besondere Bedeutung zu.

Werden Aufgaben gestellt, in denen die Schüler/innen Rechenvorteile finden, nutzen, über-prüfen und mathematische Muster entdecken können, spricht man von „beziehungsreichem Üben“. Durch das Erforschen, Entdecken, Erkennen und letztendlich Verstehen von Bezie-hungen wird die Beweglichkeit des Denkens gefördert und gefordert. Beim operativen Üben, einem Teilbereich des beziehungsreichen Übens, wird insbesondere der Aufbau des Ver-ständnisses für Beziehungen zwischen Zahlen und Operationen (z. B. Tausch-, Umkehr- und Nachbaraufgaben) gefördert. Parallel zu einer gründlichen Erschließung von Rechenstrategi-en sind beziehungsreiches und automatisierendes Üben wesentliche Aspekte des erfolgrei-chen Lernens.


4.1 Zählen und Vorstellen

Zahlentreppe

Bei der Zahlentreppe ist die Reihenfolge der (natürlichen) Zahlen, gekoppelt mit der jeweiligen Anzahl, sichtbar. Die Zahlentreppe schafft die Voraussetzungen dafür, dass z. B. 3 nicht allein als das dritte gezählte Element, sondern als drei Elemente umfassend interpretiert wird.

Dazu bedarf es 45/55 Würfel/Plättchen, um die Anzahlen von 1 bis 9/10 zu legen. Die einzel-nen Anzahlen werden aufsteigend (senkrecht / waagrecht) gelegt und die Ziffer / Zahl dazuge-schrieben. Die Zahlentreppe kann auch gezeichnet werden.

Abb. 11: Zahlentreppe mit Würfeln

Gezeigt wird eine gebaute Zahlentreppe, bei der für die Kinder eine steigende Anzahl zu erkennen ist. Die Kinder zeigen auf den jeweiligen Turm und sagen die passende Anzahl, eventuell legen sie ein Ziffernkärtchen dazu.

Abb. 12: gezeichnete Zahlentreppe

Die Arbeit mit der Zahlentreppe ermöglicht den Kindern, Zahlen in unterschiedlichen Reprä-sentationsformen (enaktiv, ikonisch, symbolisch) darzustellen.

4 Möglichkeiten zur Umsetzung im Unterricht


Vom Zählen zum mentalen Erfassen von Anzahlen

Im Anfangsunterricht sollen Kinder vorgegebene Anzahlen (Zahlbilder) auffassen und Anzah-len selbst darstellen können. Erfahrungsgemäß sehen Kinder vorerst einzelne Elemente und zählen sie ab. Kleine Anzahlen bis zu 4 bzw. 5 erfassen sie simultan. Ausgehend von diesen elementaren Fähigkeiten und Fertigkeiten sollen im Anfangsunterricht strukturierte Zahlvor-stellungen entwickelt werden. Eine Anzahl größer als 5 kann quasi-simultan durch visuelle Gruppierungen (z. B. 7 als 5 + 2) oder durch seine immer feste Gestalt (z. B. Würfelbild) erfasst werden.

Freie Formen von Darstellungen

Passende Aufgaben helfen zu erkennen, dass die Anzahl auch dann gleich bleibt, wenn die einzelnen Elemente anders angeordnet oder von einem anderen Blickwinkel aus betrachtet werden. Hier legen Kinder immer 4 Plättchen in verschiedenen Anordnungen, um sie bezüg-lich der Anzahl (4) als unverändert zu erkennen.

Abb. 13: freie Darstellungsformen der Anzahl 4


Strukturierte Zahldarstellungen

Aus verschiedenen Anordnungen von gleichen Anzahlen im Zehnerfeld bzw. der linearen Anordnung soll das einzelne Kind leicht aufzufassende Punktebilder identifizieren.

Wie viele?

Vorlage Rusti schreibt eine Plusrechnung, wenn der Fünferstreifen nicht vollständig ist.

Abb. 14: Zehnerfeld Abb. 15: Bearbeitung von Rusti

Vorgegebene Anzahl: Wie viele? Bo ermittelt die Anzahl und schreibt sie auf.

Abb. 16: lineare Darstellung von 10 Abb. 17: Bearbeitung von Bo

Wie kannst du dir die Zahl gut merken? Male an.

Vorgegebene Zahlen Rusti malt verschiedene Muster bei den einzelnen Anzahlen. 10 umkreist er, das Anmalen ist ihm zu mühsam.

Abb. 18: Zehnerfeld – Vorlage Abb. 19: Bearbeitung von Rusti

Vorgegebene Zahl Bo malt bei 6 die fünf Kreise im ersten Fünferstreifen und noch einen Kreis im folgenden Fünferstreifen an.

Abb. 20: lineare Zahldarstellung – Vorlage Abb. 21: Bearbeitung von Bo

Die selbst dargestellten Anzahlen werden mit denen von anderen Kindern verglichen und z. B. mit der Frage „Musst du zählen oder siehst du das?“ besprochen. So verbalisiert ein Kind: „Nach fünf Punkten ist ein Abstand und dann ist da noch einer und so hab ich erkannt, dass es sechs Punkte sind“.

Ziel ist, dass die Kinder die Veranschaulichung sehen und „lesen“ können und nicht mehr einzelne Punkte abzählen müssen. Denn erst, wenn die Kinder die Anzahl ohne abzuzählen auffassen können, können sie sich diese auch vorstellen.

Übung zur Zahlauffassung

Übung zur Zahldarstellung


Vorstellen und Notieren von verdeckten Plättchen

Ausgehend von sichtbaren Anzahlen werden in einem weiteren Schritt die Anzahlen (teilwei-se) verdeckt bzw. verbal beschrieben, sodass die Kinder die Anzahl ohne unmittelbare Sicht auf das Material bestimmen können.

Eine Anzahl von Plättchen wird auf den Tageslichtprojektor gelegt. Dabei wird auf einen Abstand (oder Farbwechsel) nach dem fünften Plättchen geachtet. Die Anzahl wird durch Zählen oder (quasi-)simultan nochmals bestimmt. Dazu wird die Zahl geschrieben oder eine Zahlenkarte dazugelegt. Bis auf ein Kind (bzw. die Lehrkraft) schauen alle Kinder weg bzw. halten sich die Augen zu. Ein Kind (bzw. die Lehrkraft) verdeckt einige Plättchen. Nun schau-en wieder alle hin. Wie viele Plättchen sind verdeckt?

Nachfolgend bearbeiten Kinder bildliche Zahldarstellungen.

Bo schreibt die Anzahlen der jeweiligen Reihe auf.

Tamara ordnet jedem versteckten Element eine Zählzahl zu. Sie findet die Lösung durch die Zuordnung von Zählzahlen und noch nicht aus der Vorstellung heraus.

Abb. 22: Zahlvorstellung von Bo Abb. 23: Zahlvorstellung von Tamara

Bo kann von den gesehenen auf die verdeckten Anzahlen übertragen.

Tamara denkt fortlaufend Plättchen weiter.

Abb. 24: Bearbeitung von Bo Abb. 25: Bearbeitung von Tamara

Nicht alle Zahldarstellungen sind für alle Kinder gleich gut geeignet. Wie in der oberen Abbil-dung ersichtlich, „sieht“ Tamara den Zehnerstreifen ohne Abstand. Sie belegt den Abstand im vorgegebenen Zehnerstreifen, indem sie entweder ein Plättchen zeichnet oder die jeweilige Zählzahl in den Abstand schreibt. Bei Anzahlen kleiner als 5 weiß sie daher die passen-de Anzahl der verdeckten Plättchen. Bei Anzahlen größer als 5 notiert sie jeweils eine um 1 größere Zahl.

Daher ist es wichtig, nicht nur eine Art der Zahldarstellung anzubieten, damit Kinder individu-elle Zahlvorstellungen entwickeln können.

Übungen zur Zahlauffassung (verdeckte Plättchen)


Luis zeichnet die „verdeckten“ Plättchen am Arbeitsblatt ein. Bei der linearen Darstellung von 7 notiert er außer der Zahlzerlegung durch die verdeckten Plättchen auch die ihm schon geläufige Fünfer-Zerlegung. Während er bei der linearen Darstellung die Plättchen noch ein-zeichnet, kann er sich beim Zehnerfeld die „verdeckten“ Plättchen bereits vorstellen und zeichnet sie nicht mehr ein.

Abb. 26: Zahlvorstellung, notiert als Zahlzerlegung

Zahlzerlegung

Die Einsicht in die Teile-Ganzes-Beziehung ist eine wichtige Kompetenz in der Zahlbegriffs-bildung, um die Zahlen als Zusammenfassungen (-setzungen) anderer Zahlen zu verstehen. Das Erkennen dieser Zahlbeziehungen ist notwendig, damit Kinder Additionen und Subtrak-tionen über Aufgaben- und Zahlbeziehungen und nicht nur über Zählen lösen können.

Idee: „Zerlegungsteller“

In einem ersten Zugang wird mit Material experimentiert. Dies soll zur Einsicht führen, dass eine bestimmte Anzahl beliebig in zwei oder mehrere kleinere Anzahlen zerlegt werden kann. Durch die verschiedenen Zerlegungen werden zwar die Teilanzahlen, jedoch nicht die Ge-samtzahl verändert.

Dafür wird pro Kind ein Pappteller benötigt, auf den in der Mitte entweder Wolle oder ein Band geklebt wurde (den Mittelstrich könnte man die Kinder aber auch zeichnerisch gestal-ten lassen).Nun werden z. B. noch 5 Würfel, Steine … gebraucht. Alle Würfel werden auf den Teller gelegt, es wird geschüttelt.Wie viele Würfel liegen rechts, wie viele links vom Mittelstrich?Die Ergebnisse werden so lange aufgeschrieben, bis es keine weiteren Lösungen mehr gibt.


Wie kannst du die Zahl 5 zerlegen?Wie viele verschiedene Zerlegungen / Zusammensetzungen findest du?Glaubst du, dass du alle Möglichkeiten, die es gibt, gefunden hast?

Abb. 27–30: Zahlzerlegungen

Im nächsten Schritt liegen z. B. auf der einen Seite 3, auf der anderen Seite 4 Bohnen. Wel-che Zerlegung erhält man, wenn man von den 4 Bohnen eine Bohne auf die andere Seite schiebt? Das Kind kann auf den Teller schauen, aber die Bohnen nicht mehr verschieben, um die Lösung zu finden.

In einem weiteren Schritt werden Plättchen von einem Partnerkind hinter einer Abdeckung auf den Teller gelegt. Die Gesamtzahl, z. B. 7, ist bekannt. Das Partnerkind nennt eine Teilzahl, z. B. 2.

� Wie viel fehlt auf 7? � Das Kind sagt: 7 = 2 + 5.

Im letzten Schritt wird das Material „nur“ in der Vorstellung genutzt. Dem Kind wird eine Zahl vorgegeben, es soll die Ergänzung zur vereinbarten Zahl nennen (vgl. Wartha & Schulz, 2013).

„Zerlegungsteller“


Zerlegungen der Zahl 10 an den Händen mithilfe eines Stifts

Die Hände werden mit ausgestreckten Fingern auf den Tisch gelegt. Ein Stift wird zwischen zwei Finger gelegt und das Kind gibt möglichst schnell an (ohne zu zählen), wie viele Finger links und rechts vom Stift sind.

Abb. 31: 10 = 3 + 7 / 10 ist gleich 3 plus 7 Abb. 32: 10 = 7 + 3 / 10 ist gleich 7 plus 3

Im nächsten Schritt wird der Stift nicht mehr zwischen die Finger gelegt, sondern es wird nur mehr die erste Zahl genannt. Das Kind kann noch auf die Finger schauen, um die Lösung zu finden.

Abb. 33: Zahlzerlegung mit Hilfe der Finger

Nachfolgend werden die Finger (mit Papier, einem Tuch) abgedeckt. Es wird eine Zahl ge-nannt und das Kind spricht die Zahlzerlegung. Es wird beispielsweise „eins“ genannt. Das Kind spricht: 10 = 1 + 9.

Abb. 34: Zahlzerlegung ohne Materialsicht

Im letzten Schritt wird das Material nur in der Vorstellung genutzt. Dem Kind wird eine Zahl genannt, es soll die Ergänzung zur vereinbarten Zahl nennen. Die einzelnen Übungen können jeweils durch Notationen begleitet werden (vgl. Schipper, 2009).

Zahlzerlegungen mit Hilfe der Hände


Baupläne – Zählen gekoppelt mit Raumvorstellung

Die Würfelbauwerke sind als Bild vorgegeben und können eventuell unterstützend nachge-baut werden. Dabei lernen die Kinder, zweidimensionale Darstellungen mit dreidimensionalen Objekten zu verbinden. Manche Würfel sind im Bild ganz oder teilweise versteckt, diese müs-sen von den Kindern „gesehen“ / erkannt und erfasst / gezählt werden. In die Baupläne wird die jeweilige Anzahl der übereinander gebauten Würfel in das passende Feld eingetragen.

Abb. 35 – 37: Bauen nach Bauplan

Gespräch zwischen zwei Kindern: Ivan: „Ahhhh, das ist ja ur leicht. Das sind 6 Würfel!“PAUSEAlexander: „Wieso 6?“Lehrerin: „Ihr könnt das Würfelbauwerk auch mit euren Würfeln nachbauen!“

Kinder bauen das Würfelbauwerk nach.

Alexander: „Hihihihihihi, das können gar nicht 6 Würfel sein, die müssen ja auch wo drauf-stehen!“Ivan: „Stimmt, dann sind es 9. 3 davon sieht man aber nicht!“

Wie viele Würfel? Schreibe den Bauplan.

Abb. 38–39: Notieren der jeweiligen Anzahl von Würfeln im Bauplan

Zählen und Raumvorstellung


4.2 Auf dem Weg zu automatisierten Grundaufgaben

Sowohl in der fachdidaktischen Literatur als auch in den Bildungsstandards wird die Bedeu-tung von automatisierten Grundaufgaben betont. So werden in den Bildungsstandards als grundlegende Kompetenzen angeführt:Die Schülerinnen und Schüler

� beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20, � beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100.

Unter den additiven Grundaufgaben versteht man alle Additionen mit einstelligen Summan-den und deren Umkehraufgaben (Subtraktionen), das heißt alle Aufgaben des Einspluseins (Einsminuseins). Die multiplikativen Grundaufgaben umfassen alle Aufgaben des Einmaleins (Einsineins). Das sind Multiplikationen, deren Faktoren einstellig bzw. 10 sind, sowie deren Umkehraufgaben (vgl. BIFIE & BMUKK, 2011, S. 157).

Additive Grundaufgaben

Verstehen von Operationsstrukturen

Die „Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen“ (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 18) ist eine wesentliche Voraussetzung für das Verstehen und demzufolge auch für die Automatisierung der additiven Grundaufgaben. Damit sind unter anderem die Tätigkeiten des Dazugebens, Wegnehmens und Ergänzens gemeint, die als Plus- bzw. Minusaufgabe „übersetzt“ werden.

In den nachfolgenden Bildern legen die Kinder mit verschiedenen Materialien und notieren die passenden Rechnungen.

Abb. 40 – 42: Legen mit Materialien

Legen mit verschiedenen Materialien


Eine Möglichkeit der Veranschaulichung für die Operationen des „Wegnehmens“ bietet die Minusschachtel. Die hier dargestellte Minusschachtel wurde gemeinsam mit Kindern aus einem Schuhkarton hergestellt. Die Kinder schneiden ein Loch in den Deckel und bekleben die obere Hälfte der Schachtel mit buntem Papier.

Abb. 43: Minusschachtel

Die Kinder schreiben die Rechnung, z. B. 10 – 7 = ___. Ein Kind legt 10 Zaubersteine (oder anderes Legematerial) auf den Deckel.

Das Kind schiebt 7 Steine in die „Grube“.

Abb. 44: Minuend 10 Abb. 45: Wegnehmen von 7 (Subtrahend)

Das Kind „begreift“, dass diese Steine weg sind! Sie liegen nirgendwo sichtbar.

7 Steine sind in die Schachtel gefallen.

Abb. 46: Differenz 3 (Ergebnis) Abb. 47: Subtrahend auf dem Schachtelgrund

„Minusschachtel“


Operative Übungsformen

TauschaufgabeZugang 1:Ein Kind legt auf einem abgeschlossenen Platz (Pappteller, Schachteldeckel) eine Rechenauf-gabe, z. B. 4 + 1. Auf die Sprechweise der Summanden von links nach rechts muss geachtet werden. Das gegenübersitzende Kind verbalisiert ebenfalls die Rechnung. Es zeigt sich, dass dieselben Plättchen verschiedene Rechnungen ergeben. „Hinterfragende“ Kinder können den Platz „tauschen“, um sich zu überzeugen, dass dies auch tatsächlich so ist. Mögliche Verbalisierungen sind z. B. „4 + 1 ist dasselbe wie 1 + 4, nur von der anderen Seite. Es sind immer dieselben Plättchen, deshalb kommt dasselbe heraus.“

Kind 1: 1 + 4 = 5

Kind 2: 4 + 1 = 5

Abb. 48: Tauschaufgabe

Zugang 2:Die Tauschaufgabe wird durch das „Tauschen“ der Hände veranschaulicht. Das Kind sieht die Hände der Lehrperson oder des Partnerkindes.

Abb. 49: „aktives Tauschen“

Anschließend rechnen die Kinder Aufgaben, z. B.:8 + 1 = oder 7 + 1 = oder 2 + 6 = oder 1 + 5 =1 + 8 = 1 + 7 = __ + __ = __ + __ =

Impuls / Frage: Das Ergebnis ist gleich – warum ist das so?

Letztendlich wird das Anwenden der Tauschaufgabe als Rechenvorteil geübt: Welche Aufgabe ist für dich einfacher zu lösen: 1 + 8 oder 8 + 1? (vgl. Gaidoschik, 2007, S. 126–127)

Tauschaufgaben in unterschiedlichen Darstellungen


Umkehr- oder ProbeaufgabeZugang 1: Die Kinder legen eine Rechenaufgabe. Sie legen zu 5 Plättchen 2 dazu. Es ergibt sich die Rechnung 5 + 2 = 7. Anschließend werden die zwei dazugeschobenen Plättchen wieder weggeschoben. Daraus ergibt sich die Rechnung 7 – 2 = 5.

5 + 2 = 7 7 – 2 = 5

Abb. 50: Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion

Zugang 2: Ein Kind steht beim „Zahlenband“ und führt eine Rechnung, z. B. 2 + 3, aus. Es steht auf 2, hüpft 3 Einheiten am „Zahlenband“ weiter und steht bei 5. Ein Kind schreibt an der Tafel, die anderen Kinder schreiben im Heft die Rechnung 2 + 3 = 5 mit. Ein weiteres Kind geht zum hüpfenden Kind und dreht es bewusst um – das Kind kehrt um, verbindend zur „Umkehrauf-gabe“. Das Kind hüpft wieder 3 Einheiten zum Ausgangspunkt zurück. Alle Kinder schreiben die Aufgabe im Heft mit.

Abb. 51 – 53: „Umkehren“ am Zahlenband

Als Rechenvorteil kommt die Umkehraufgabe vor allem dann in Betracht, wenn das Ergebnis 1 oder 2 beträgt. 8 – 7 ist leicht zu lösen, wenn dabei an 7 + _ = 8 gedacht wird. Der Gedan-kenschritt kann einerseits aus dem gedanklichen Kontext der Zahlzerlegung (8 = 7 + 1) oder aus der Addition (7 + 1) erschlossen werden.

Aufgabenfamilie Aufgabenfamilien betonen den Zusammenhang zwischen verschiedenen Rechenaufgaben. Zu einer Aufgabenfamilie gehören neben der Aufgabe selbst die Tauschaufgabe und die bei-den Umkehraufgaben. Mit dem Wissen über Beziehungen zwischen den Rechenaufgaben lässt sich z. B. jede Subtraktion auf eine Addition bzw. additive Ergänzung, eng gekoppelt mit der Zahlzerlegung, zurückführen. Aufgabenfamilien weisen nicht nur auf den Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion hin, sondern helfen auch beim Automatisieren der Grund-aufgaben (vgl. Schipper, 2009, S. 115).

Umkehraufgaben in unterschiedlichen Darstellungen

Aufgabenfamilien – Beziehungen erkennen


Die folgende Abbildung verdeutlicht die Beziehung zwischen Umkehr- und Tauschaufgaben:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Umkehr- oder Probeaufgabe

Taus

ch-

aufg

abe

7 – 2 = 5

7 – 5 = 2

Taus

ch-

aufg

abe

Umkehr- oder Probeaufgabe

Abb. 54: Beziehung Umkehr-/Tauschaufgabe

„Wenn ich eine Rechnung weiß, kenne ich eigentlich vier Aufgaben“. Aus der Zahlzerlegung (dem Zahlentripel) 7 = 5 + 2 und der Kenntnis von Tausch- und Um-kehraufgaben ergeben sich die folgenden Rechenaufgaben:

2 + 5 = 7

7 – 5 = 2

2 + __ = 7

5 + 2 = 7

7 – 2 = 5

5 + __ = 7

Abb. 55: Aufgabenfamilie

Interpretieren von Abbildungen Anhand von Abbildungen sollen Kinder selbst Rechnungen finden. Durch das Finden von Geschichten werden die Zusammenhänge zwischen Tauschaufgabe, Umkehraufgabe und additivem Ergänzen klarer, z. B.:

� 7 Kerzen sind auf der Torte, 3 wurden ausgelöscht 7 – 3 = 4. � Lea wird 7 Jahre alt. 4 Kerzen hat Mama schon angezündet 4 + _ = 7. � Auf der Geburtstagstorte sind schon 4 Kerzen angezündet, 3 brennen noch nicht 4 + 3 = 7.

Abb. 56: Geburtstagstorte


Übersicht der additiven Grundaufgaben im Zahlenraum 10 bzw. 20

Das Einspluseins als automatisiertes Wissen, über das nicht mehr nachgedacht werden muss, sondern auf das routiniert zugegriffen werden kann, bedarf beim Lernen besonderer Techniken. In der Einpluseinstafel sind auf einen Blick alle 121 Aufgaben des Einpluseins sichtbar, die von den Kindern bis zum Ende der ersten Schulstufe im Zahlenraum 10 aus-wendig gewusst bzw. im Zahlenraum 20 schnell abgeleitet werden sollen. Durch das Vertau-schungsgesetz a + b = b + a wird die Anzahl der einzuprägenden Aufgaben von 121 auf 66 reduziert. Von den noch verbleibenden 66 Aufgaben sind etwa die Hälfte vom Typ + 0, + 1 (+ 2).

0 m

ehr

1 m

ehr

2 m

ehr

9er-

Tric

k

10 m

ehr

+ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

0 0 + 0 0 + 10

1 1 + 1 1 + 9

2 2 + 2 2 + 8

3 3 + 2 3 + 3 3 + 7

4 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 6

5 5 + 5

6 6 + 2 6 + 3 6 + 4 6 + 6

7 7 + 2 7 + 3 7 + 4 7 + 6 7 + 7

8 8 + 2 8 + 3 8 + 4 8 + 6 8 + 7 8 + 8

9 9 + 1 9 + 9

10 10 + 0 10 +10

Abb. 57: Einspluseinstafel

Die Fünferaufgaben sind dann „leicht“, wenn sich das Kind, ausgehend von spezifischen Zahldarstellungen, wie z. B. Finger einer Hand, Würfelbilddarstellungen mit Fünf, Zehnerstrei-fen, Zwanzigerfeld (Rechenschiffchen), die Fünferbündelung visuell vorstellen kann und somit das Ergebnis unmittelbar zur Verfügung hat.

Einspluseinstafel als Stütze für das Automatisieren


Die Verdoppelungen (abfallende Diagonale) und die Zehnersummen (aufsteigende Diagonale) begrenzen die zentralen Einspluseins-Aufgaben im Zahlenraum bis 10. Wenn Kinder im Zah-lenraum 10 die Aufgabentypen + 0 und + 1 sowie die Verdoppelungen, die Zehnersummen und die Fünferaufgaben beherrschen, so bleiben noch die Aufgaben:

� 3 + 2 � 4 + 2; 4 + 3 � 6 + 2; 6 + 3 � 7 + 2

Übungsmöglichkeiten zum Automatisieren von additiven Grundaufgaben im Zahlenraum 10 bzw. 20

ZehnersummenDie Zahlenpaare 0 und 10, 1 und 9, 2 und 8 , 3 und 7, 4 und 6, 5 und 5 werden jeweils auf die Vorder- und Rückseite einer Karte geschrieben. Dem Kind wird eine Seite kurz gezeigt, z. B. die Zahl 6. Das Kind soll dann die Zahl auf der Rückseite angeben und dazu sprechen „10 (ist) gleich 6 plus 4“. Weitere Möglichkeiten der Sprechens: „10 minus 6 (ist) gleich 4“ oder „6 plus 4 (ist) gleich 10“.

„Schnipp-Schnapp“Spiel für zwei Personen mit zwölf Karten (Karten von 0 bis 10, die Karte mit der 5 ist zweimal vorhanden). Die Karten werden gut gemischt und gleichmäßig an die zwei Mitspieler/innen verteilt. Die erhaltenen Karten werden verdeckt im Stapel auf den Tisch gelegt. Ein Kind deckt die oberste Karte seines Stapels auf und legt sie schnell offen vor dem verdeckt liegenden Stapel ab. Dann legt das zweite Kind die oberste Karte seines Stapels offen und sagt „Schnipp“, wenn die beiden Zahlen keine Zehnerzerlegung ergeben. Die beiden offenen Kar-ten bleiben liegen. Dann deckt wieder das erste Kind die oberste Karte auf. Wenn die offenen Karten eine Zehnerzerlegung ergeben, ruft das Kind „Schnapp“ und bekommt alle Karten der offenen Stapel.

� Variation: Wenn die offenen Karten eine Zehnerzerlegung ergeben, bekommt derjenige alle Karten der offenen Stapel, der die Zahlzerlegung spricht, wie z. B. „4 + 6“ (und nicht „Schnapp“).

� Variation: Es können auch alle anderen Zahlzerlegungen mit den entsprechenden Karten gespielt werden.

� Variation: Mit einem doppelten Kartensatz dauert das Spiel länger.

Möglichkeiten zum Automatisieren


Verliebte Zahlen – Spiel mit der Fliegenklatsche

Material: Zweimal Zahlenkarten von 0–10, beliebig viele Fliegenklatschen

Ein Stapel wird verdeckt aufgelegt. Ein Stapel wird gut sichtbar am Boden verteilt.

Vom verdeckten Stapel wird die erste Karte aufgedeckt. Wurde z. B. 4 aufgedeckt, müs-sen die anderen Kinder schnell die 6 suchen (Ergänzung auf 10) und mit der Fliegenklat-sche „draufschlagen“. Das Kind, das zuerst auf die Zahl 6 „klatscht“, darf die Zahlenkar-te nehmen. Das Kind, das die meisten Zahlenkarten hat, gewinnt.

Abb. 58 – 60: „Verliebte Zahlen“

Verdoppeln – Halbieren Alle Verdoppelungsaufgaben 0 + 0, 1 + 1, 2 + 2 … 10 + 10 werden auf Kärtchen geschrie-ben, die Aufgabe auf die Vorderseite, das Ergebnis auf die Rückseite. So kann in beide Rich-tungen gefragt werden, z. B. „Wie viel ist 4 + 4?“ („Was ist das Doppelte von 4?“) oder „Was ist die Hälfte von 8?“. Aufgabentypen + 0 und + 1 „Vorgänger“ / “Nachfolger“ Die Aufgaben sollen mündlich angeboten werden. Zunächst ist es günstig, dem Kind eine Zahl zu zeigen und dazu zu sprechen. Dem Kind wird eine Zahl genannt und das Kind ant-wortet mit der nächstgrößeren (+ 1) bzw. der nächstkleineren (– 1) Zahl. Das gleiche Vorge-hen ist auch mit + 2 / – 2 möglich (vgl. Jansen & Lorenz, 2005).

0 + 1 = 5 + 1 = 1 – 1 = 6 – 1 = 0 + 2 = 5 + 2 = 2 – 2 = 6 – 2 =

1 + 1 = 6 + 1 = 2 – 1 = 7 – 1 = 1 + 2 = 6 + 2 = 3 – 2 = 7 – 2 =

2 + 1 = 7 + 1 = 3 – 1 = 8 – 1 = 2 + 2 = 7 + 2 = 4 – 2 = 8 – 2 =

3 + 1 = 8 + 1 = 4 – 1 = 9 – 1 = 3 + 2 = 8 + 2 = 5 – 2 = 9 – 2 =

4 + 1 = 9 + 1 = 5 – 1 = 10 – 1 = 4 + 2 = 9 + 2 = 10 – 2 =


Auswahl und Abruf geeigneter Strategien

Auch wenn die Kinder operative Übungen wie Tausch- und Umkehraufgaben bzw. die „Auf-gabenfamilie“ verstehen und Zahlzerlegungen bereits können, soll das Abrufen bzw. die Aus-wahl geeigneter Strategien geübt werden. Dafür ist es wichtig, dass verschiedene Strategien eigene Namen erhalten und ihre Vor- und Nachteile diskutiert werden (vgl. Gerster & Schulz, 2004).

Rechnenmit der Null

Eins mehr VerdoppelnVerdoppeln

+1Fünfer-Trick

Zehner-summen

1 + 00 + 1

0 + 11 + 0

0 + 00 + 11 + 0

5 + 11 + 5

1 + 99 + 1

2 + 00 + 2

2 + 11 + 2

1 + 11 + 22 + 1

5 + 22 + 5

2 + 88 + 2

3 + 00 + 3

3 + 11 + 3

2 + 22 + 33 + 2

5 + 33 + 5

3 + 77 + 3

4 + 00 + 4

4 + 11 + 4

3 + 33 + 44 + 3

5 + 44 + 5

4 + 66 + 4

5 + 00 + 5

5 + 11 + 5

4 + 44 + 55 + 4

6 + 00 + 6

6 + 11 + 6

5 + 5

7 + 00 + 7

7 + 11 + 7

8 + 00 + 8

8 + 11 + 8

9 + 00 + 9

9 + 11 + 9

10 + 00 + 10

Abb. 61: Einspluseins im ZR 10 – Zuordnung von Rechenaufgaben zu Rechenstrategien

In dieser Aufstellung fehlen die Rechnungen 4 + 2, 6 + 2, 7 + 2 und 6 + 3 (siehe Einsplusein-stafel). Diese Aufgaben werden in einem nächsten Schritt als „Zwei-Mehr“-Aufgaben bzw. als weitere Aufgaben eingegliedert.

Strategien benennen und anwenden


Rechnenmit der Null

Eins wenigerEins Unterschied

HalbierenUmkehraufgabe

zum Verdoppeln

Fünfer-TrickZehner-

MinusaufgabenZehnersummen

1 – 01 – 1

1 – 1 1 – 16 – 56 – 1

10 – 910 – 1

2 – 02 – 2

2 – 1 2 – 17 – 57 – 2

10 – 810 – 2

3 – 03 – 3

3 – 13 – 2

2 + _ = 34 – 2

8 – 58 – 3

10 – 710 – 3

4 – 04 – 4

4 – 14 – 3

3 + _ = 46 – 3

9 – 59 – 4

10 – 610 – 4

5 – 05 – 5

5 – 15 – 4

4 + _ = 58 – 4

6 – 06 – 6

6 – 16 – 5

5 + _ = 610 – 5

7 – 07 – 7

7 – 17 – 6

6 + _ = 7

8 – 08 – 8

8 – 18 – 7

7 + _ = 8

9 – 09 – 9

9 – 19 – 8

8 + _ = 9

10 – 010 – 10

Abb. 62: Einsminuseins im ZR 10

Fehlend sind in dieser Aufstellung � 9 – 2; 9 – 3; über die Aufgabenfamilie auch: 9 – 7; 9 – 6 � 8 – 2; über die Aufgabenfamilie auch 8 – 6 � 7 – 3; über die Aufgabenfamilie auch 7 – 4 � 6 – 2; über die Aufgabenfamilie auch 6 – 4 � 5 – 2; über die Aufgabenfamilie auch 5 – 3

Es empfiehlt sich, diese in einem weiteren Schritt als „Zwei weniger“- und „Zwei Unterschied“-Aufgaben einzugliedern.


Auf einem Blatt (an der Tafel) sind bekannte Vorgangsweisen / Strategien, z. B. „Rechnen mit der Null“, „Einseraufgabe“, „Fünferaufgabe“, „Verdoppeln / Halbieren“, sichtbar. Die Kinder ordnen Aufgabenkärtchen zu. Anschließend schreiben sie passende Aufgaben dazu. Damit sollen Zahlbeziehungen erkannt werden, die das Rechnen erleichtern.

Abb. 63–64: Durch Zuordnen Zahl- und Aufgabenbeziehungen erkennen

Abb. 65 – 66: Aufgaben den Strategien zuordnen

Zahl- und Aufgabenbezie-hungen erkennen

Aufgaben werden den einzelnen Gruppen zugeordnet – weitere passende Aufgaben werden gesucht


Einseraufgaben und deren Umkehrungen (Eins mehr, Eins weniger, Eins Unterschied) erkennen

Besonders Zahlentripel, die 1 enthalten, eignen sich, um mit Hilfe von Zahl- und Aufgaben-beziehungen den Unterschied von eins für vorteilhaftes / geschickteres Rechnen zu nützen.

Rechne. Fällt dir etwas auf?Erfinde selbst solche Rechnungen.

Schreibe zu einer Plusrechnung die Umkehraufgabe.

Schreibe die passende Platzhalteraufgabe zu einer Minusaufgabe.

Schreibe noch eine andere Rechnung auf, bei der du mit der Platzhalteraufgabe die Rechnung einfacher lösen kannst.

Abb. 67: Aufgabenfamilien erkennen und anwenden

auf dem Weg zum vorteilhaften Rechnen


Multiplikative Grundaufgaben

Die Automatisierung des Einmaleins ist als langfristiges Ziel zu sehen, wobei der Weg dort-hin von entscheidender Bedeutung ist. Generell ist davon abzusehen, vorschnell eine Auto-matisierung zu verlangen und abzuprüfen. Es müssen flexibles Erfassen von multiplikativen Situationen und Darstellungen sowie das Ausnutzen von Beziehungen von Anfang an Thema sein, da diese grundlegend für erfolgreiches Automatisieren sind. Bereits bei der Einführung sollen die Kinder individuelle Sichtweisen einbringen, darüber diskutieren können und sich die Inhalte durch vielfältige einführende Übungen entdeckend aneignen. Um dies gewährleisten zu können, müssen einige Voraussetzungen gegeben sein, welche im Folgenden skizziert werden.

Zahlenraum 100 � Orientieren im ZR 100 � Aufbau des dekadischen Stellenwertsystems

Operationsverständnis � Addition � Subtraktion � von der Addition zur Multiplikation

Kopfrechnen � Einspluseins / Einsminuseins � ZE + E (ZE + ZE) � Verdoppeln / Halbieren

Begriffe � Addieren / Subtrahieren (Zusammenzählen, Wegzählen ...) � Plusrechnung, Minusrechnung, Malrechnung � Verdoppeln / Halbieren

Die Multiplikation als Addition gleicher Summanden

Bei der ersten Erarbeitung der Multiplikation wird diese meist als wiederholte Addition gleicher Summanden gedeutet. In der fachdidaktischen Literatur werden dazu der zeitlich-sukzessive und der räumlich-simultane Aspekt unterschieden.

Mögliche Aufgaben zum zeitlich-sukzessiven Aspekt � Susi geht 4-mal in die Küche und holt jedes Mal zwei Becher mit Saft. � Stelle 2-mal einen Dreier-Turm auf den Tisch. � Hol bitte 5-mal jeweils vier Stifte.

Alle Aufgaben sind immer sprachlich zu begleiten. Beispielsweise ist zwischen „5-mal“ und „vier Stifte“ eine kurze Pause zu machen, sodass in der Anweisung der Multiplikator „5-mal“ deutlich hervorgehoben wird.

Voraussetzungen

Beziehung Multiplikation – Addition


Mögliche Aufgaben zum räumlich-simultanen Aspekt � 6 Packungen zu jeweils 5 Stiften liegen auf dem Tisch. � Die Bilder sind vorgegeben, die Malsätzchen werden dazugesagt bzw. aufgeschrieben.

Abb. 68: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 ∙ 3 Abb. 69: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4

� Kinder suchen solche Situationen und fotografieren sie (Handy). � Aus Zeitungen werden passende Bilder ausgeschnitten und aufgeklebt.

Zwischen den beiden Aspekten steht ein enger Zusammenhang. So führt fast jede zeitlich-sukzessive Handlung zu einer räumlich-simultanen Darstellung.

� Lege mit den Plättchen 5-mal eine Vierer-Gruppe. Zeichne diese Gruppen ins Heft und schreib das Malsätzchen dazu.

Erst wenn die eindeutigen Handlungen / Bilder richtig als Malaufgaben genannt bzw. aufge-schrieben werden, kann zu zweideutigen Darstellungen übergegangen werden. Da die Ab-stände zwischen den einzelnen Elementen in den Darstellungen alle gleich sind, kann ein eindeutiges Zusammengehören / Gruppieren nicht erkannt werden. Es sind daher zwei multi-plikative Deutungen möglich: 4 ∙ 3 6 ∙ 9 3 ∙ 4 9 ∙ 6

Abb. 70–71: Malaufgaben erkennen

Dies ist der Zeitpunkt, um im Bereich des Multiplizierens über Tauschaufgaben zu sprechen.

Fast

, 200

5

Darstellung von Malaufgaben

zweideutige Darstellung von Malaufgaben


Beziehungsreiches Üben von Malaufgaben

Wie bei additiven Grundaufgaben ist es ebenso bei Einmaleinsaufgaben möglich, mathema-tische Beziehungen zwischen verschiedenen Malaufgaben zu entdecken, zu erkennen und zu nutzen. Erst nach dem Aufbau der Grundvorstellungen geht es um die systematische Er-arbeitung der Einmaleinsreihen. Wesentlich ist dabei, die Beziehungen der Reihen unterein-ander herauszuarbeiten.

Rechenwege beschreibenSchwierige Aufgaben des Einmaleins lassen sich auf einfachere zurückführen. Werden solche Beziehungen vor oder bei der Einführung thematisiert, hilft das dem Kind, noch nicht auto-matisierte Resultate bei Bedarf herzuleiten. Solche Einsichten laufen nicht von selbst ab. Sie müssen von der Lehrperson initiiert, von den Kindern angenommen, gelernt und zu einer systematisch angewandten Denkgewohnheit werden. In einem ersten Schritt geht es nicht um das rasche Assoziieren von Ergebnissen, sondern um das bewusste Herstellen von Be-ziehungen zwischen den Einmaleinssätzchen und das Verbalisieren dieser Beziehungen. Im Besonderen geht es um die Malaufgaben 1 ∙ x, 2 ∙ x, 5 ∙ x und 10 ∙ x, die als Kernaufgaben (Königs-, Stammaufgaben, ...) bezeichnet werden (siehe S. 52).

Besondere Bedeutung bei der Erarbeitung und Automatisierung des Einmaleins haben Ar-beitsmittel und Veranschaulichungen. Anhand dieser werden Strategien gebildet und Bezie-hungen entdeckt. Darauf aufbauend können die Kinder dann Vorgehensweisen auch be-schreiben und begründen. Ein konstantes Ziel ist die Versprachlichung anhand von Darstellungen und Symbolen.

Ausgehend vom Hunderterfeld werden Punktestreifen bzw. Punktefelder benannt. Die Dar-stellung kann auch auf kariertem Papier in Karostreifen bzw. Karofeldern erfolgen.

Punktestreifen Punktefeld Karostreifen Karofeld

Manchmal ist es hilfreich, wenn Kinder Karostreifen oder Karofelder ausschneiden.

Abb. 72: Karostreifen

Beziehungen zwischen Malreihen entdecken


Aufgaben finden

Schreibe zum Punktefeld eine Malaufgabe.

3 · 4 __ · __ __ · __ __ · __

Zeichne eigene Punktefelder. Schreibe Malaufgaben dazu.

__ · __ __ · __ __ · __ __ · __

Drehen

Schreibe zu jedem Punktefeld eine Malaufgabe. Vergleiche die Aufgaben. Was ist anders? Was ist gleich?

__ · __ __ · __ __ · __ __ · __

Zeichne die passenden Punktefelder.

2 · 6 6 · 2 3 · 4 4 · 3

Drehe eigene Punktefelder.

__ · __ __ · __ __ · __ __ · __

4 2 4 6 5 5

3 2 2 3


Verdoppeln

Verdopple das Punktefeld. Schreibe die Malaufgaben dazu. Vergleiche die Aufgaben. Was ist anders? Was ist gleich?

2 · 3 = 6 4 · 3 = 12 __ · __ = __ __ · __ = __

Bei 2 Streifen habe ich 6 Punkte.Bei 4 Streifen habe ich 12 Punkte.Ich habe doppelt so viele Streifen, daher habe ich auch doppelt so viele Punkte.

Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Ich habe doppelt so viele Streifen, daher habe ich auch doppelt so viele Punkte.

Verdopple eigene Felder. Schreibe die Malaufgaben dazu.

2 ·__ = __ 4 · __ = __ __ · __ = __ __ · __ = __

Bei 2 Streifen habe ich __ Punkte.Bei 4 Streifen habe ich __ Punkte.Ich habe doppelt so viele Streifen, daher habe ich auch doppelt so viele Punkte.

Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Ich habe doppelt so viele Streifen, daher habe ich auch doppelt so viele Punkte.

Halbieren

Halbiere das Punktefeld. Schreibe die Malaufgaben dazu. Vergleiche die Aufgaben. Was ist anders? Was ist gleich?

10 · 4 = 40 5 · 4 = 20 __ · __ = __ __ · __ = __

Bei 10 Streifen habe ich 40 Punkte.Bei 5 Streifen habe ich 20 Punkte.Ich habe halb so viele Streifen, daher habe ich auch halb so viele Punkte.

Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Ich habe halb so viele Streifen, daher habe ich auch halb so viele Punkte.

4 3 12 8 3


Halbiere eigene Felder. Schreibe die Malaufgaben dazu.

10 · __ = __ 5 · __ = __ __ · __ = __ __ · __ = __



Zusammensetzen

Setze Punktefelder zusammen, bei denen ein Einerstreifen (1 · _ ), ein Zweierfeld (2 · _ ), ein Fünferfeld (5 · _ ) oder ein Zehnerfeld (10 · _ ) vorkommt.

2 · 4 = 81 · 4 = 43 · 4 = 12

5 · 4 = 202 · 4 = 87 · 4 = 28

Bei 2 Streifen habe ich 8 Punkte.Bei 1 Streifen habe ich 4 Punkte.Bei 3 Streifen habe ich daher 8 + 4 Punkte. 3 ∙ 4 = 2 ∙ 4 + 1 ∙ 4

Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich daher __ + __ Punkte. 7 ∙ 4 = 5 ∙ 4 + 2 ∙ 4


Setze eigene Punktestreifen aus anderen Punktestreifen oder -feldern zusammen, bei denen ein Einerstreifen (1 · _ ), ein Zweierfeld (2 · _ ), ein Fünferfeld (5 · _ ) oder ein Zehner-feld (10 · _ ) vorkommt.

__ · __ = ____ · __ = ____ · __ = __

__ · __ = ____ · __ = ____ · __ = __

Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich daher __ + __ Punkte.

Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich daher __ + __ Punkte.

Zerlegen

Zerlege Punktefelder, bei denen ein Einerstreifen (1 · _ ), ein Zweierfeld (2 · _ ), ein Fünfer-feld (5 · _ ) oder ein Zehnerfeld (10 · _ ) vorkommt.

10 · 3 = 30 1 · 3 = 3 9 · 3 = 27

10 · 4 = 40 2 · 4 = 8 8 · 4 = 32

Bei 10 Streifen habe ich 30 Punkte.Bei 1 Streifen habe ich 3 Punkte.Bei 9 Streifen habe ich daher 30 – 3 Punkte. 9 ∙ 3 = 10 ∙ 3 – 1 ∙ 3

Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich daher __ – __ Punkte. 8 ∙ 4 = 10 ∙ 4 – 2 ∙ 4


Zerlege eigene Punktestreifen aus anderen Punktestreifen oder -feldern, bei denen ein Einerstreifen (1 · _ ), ein Zweierfeld (2 · _ ), ein Fünferfeld (5 · _ ) oder ein Zehnerfeld (10 · _ ) vorkommt.

__ · __ = __1 · __ = ____ · __ = __

__ · __ = ____ · __ = ____ · __ = __

Bei 10 Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich daher __ – __ Punkte.

Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich __ Punkte.Bei __ Streifen habe ich daher __ – __ Punkte.

Kernaufgaben (Königs-, Stammaufgaben ...)

Sind die Kinder schon erfahren im Hinblick auf Denken in Zusammenhängen, beziehungsrei-ches Üben und geschicktes Rechnen, wird es ihnen möglich sein, auf Basis der Kernaufga-ben des Einmaleins recht schnell die anderen Aufgaben zu ermitteln.

Als Kernaufgaben werden folgende Aufgabentypen bezeichnet:

Kernaufgaben mögliche Beziehungen Bezeichnung

0 · x =1 · x =2 · x =5 · x =

10 · x =

3 · x = 2 · x + 1 · x4 · x = 2 · x + 2 · x6 · x = 5 · x + 1 · x7 · x = 5 · x + 2 · x8 · x = 10 · x – 2 · x9 · x = 10 · x – 1 · x

Nachbaraufgabe Verdoppelungsaufgabe

Es bedarf anschließend Aufgaben, bei denen die Kinder die Lösung mit Hilfe der passenden Kernaufgaben finden sollen.

Rechnung: 9 ∙ 6 = __ Rechnung: 9 ∙ __ = __

Rechnung: 6 ∙ 8 = __ Rechnung: 6 ∙ __ = __

Ich denke an 10 ∙ 6 – 1 ∙ 6.

Ich denke an 10 ∙ __ – 1 ∙ __.

Ich denke an 5 ∙ 8 + 1 ∙ 8. Ich denke an

5 ∙ __ + 1 ∙ __.


Kinder entwickeln mit der Zeit eigene Strategien, z. B.: „Wenn ich eine Einmaleins-Aufgabe nicht weiß, dann denke ich an eine Nachbaraufgabe oder an die Tauschaufgabe.“

Abb. 73–74: mit Hilfe passender Kernaufgaben Einmaleinsaufgaben lösen (mit Material)

Abb. 75: mit Hilfe passender Kernaufgaben Einmaleinsaufgaben lösen (ohne Material)


Beziehungen zwischen den Einmaleinsreihen

Außer den Tauschaufgaben, welche fast von Beginn an thematisiert werden, helfen weite-re Übungen, um Beziehungen zwischen den Einmaleinsreihen aufzuzeigen. Durch den Ver-gleich der Malreihen untereinander lassen sich z. B. zwischen den Malreihen von 2 und 4 bzw. von 4 und 8 viele Zusammenhänge entdecken.

Muster auf der HundertertafelJedes Kind färbt die Ergebniszahlen je einer Einmaleinsreihe auf der Hundertertafel. Die Hun-dertertafeln werden nach möglicher Verwandtschaft sortiert. Durch das Sortieren und anhand der Muster gelingt es den Kindern, die Zusammenhänge zu versprachlichen.

Abb. 76: Hundertertafel

Muster auf dem ZahlenbandBeim Zahlenband steht die Reihenfolge der Zahlen im Vordergrund. Die Kinder verschaffen sich einen Überblick, indem sie Einmaleinsbänder selbst herstellen. Sie markieren ihre Lieb-lingsreihe mit zehn Büroklammern oder Mini-Wäscheklammern auf einem teilweise beschrif-teten Zahlenband oder auf einem Maßband.

Abb. 77–78: Zahlenband

Hundertertafel

Zahlenband


Die Einmaleinsbänder werden umgekehrt (Zahlenseite versteckt) an einer Pinnwand befes-tigt. Nun versuchen die Kinder herauszufinden, welche Reihe sich hinter welchem Band ver-steckt. Dazu müssen sie viele Beziehungen anwenden. Die Zehnerreihe wird rasch erkannt, weil ihre letzte Klammer am Ende des Bandes steckt, die Fünferreihe, weil sie bis zur Mitte geht. Ausgehend von der Zehnerreihe kann auch die Neunerreihe gefunden werden. Bezie-hungen zwischen Achter- und Viererreihe können entdeckt werden. Ist eine Reihe erkannt, wird das zugehörige Einmaleinsband mit der Zahlenseite nach vorne gehängt. Fehlende Rei-hen werden eruiert und ebenfalls als Einmaleinsbänder gestaltet. Die Bänder werden grup-penweise, z. B. nach 2er-, 4er- und 8er-Reihe, sortiert (vgl. Moser-Opitz & Schmassmann, 2002, S. 77–78).


4.3 Zählen und Bündeln – die Macht der 10

Die Entwicklung des Verständnisses für Bündelung und Stellenwert ist ein Prozess, der im Anfangsunterricht beginnt und auf der vierten Schulstufe sicher noch nicht abgeschlossen ist. Dabei ist das Verständnis des Aufbaus für den Hunderter- und Tausenderraum von ganz entscheidender Bedeutung, weil die Struktur dieser Zahlenräume sich in den größeren Zah-lenräumen wiederfindet. Bedeutsam bei der Umsetzung ist, dass die Kinder das Bündeln und Entbündeln im wahrsten Sinn des Wortes begreifen, ihnen also im Unterricht vielfältige Ma-terialerfahrungen zuteilwerden. Die Kinder sollen das Ergebnis konkreter Bündelungshand-lungen, geleitet durch Handlungen und Notationen (Verschriftlichungen), als Zahldarstellung im dekadischen Positionssystem erkennen. Ebenso sollen sie symbolisch notierte Zahlen wieder handelnd als eine Menge von Objekten darstellen können.

Zählen, Bündeln und Symbolisieren

Kinder werden aufgefordert, eine von ihnen selbst / von einem anderen Kind / von der Lehr-person bestimmte Menge von Würfeln, Eislöffeln … zu zählen und die Zahl entweder zu notieren, mit Ziffernkärtchen oder mit dem Montessori-Kartensatz zu legen. Geschickte wer-den „Häufchen“ zusammengeben, andere werden fortlaufend zählen. Ausgehend von frei gewählten Bündelungen der Kinder wird die systematische Zehnerbündelung erarbeitet.

Abb. 79 – 81: frei gewählte Bündelungen

Notationen der losen Mengen: „Übersichtliches Legen“ der Menge bewirkt, dass die Zahl leichter erkannt wird. Finden von verschiedenen Namen für dieselbe Anzahl.

vorerst mit denselben Ziffern eventuell auch als Zahlzerlegungen

Eintrag in Stellenwerttabelle3 Zehnerbündel und 6 Einzelne (Verbalisieren) 3 Z + 6 E30 + 6 36

32 + 4 …20 + 16 …


Systematische Zehnerbündelungen

Eine lose Menge … … wird in Bündel zu jeweils 10 zusammengefasst.

Abb. 82: lose Anzahl Abb. 83: Zehnerbündel

10 solche Zehnerbündel werden zu einem 100er zusammengefasst.

Abb. 84: Hunderterbündel

Ausgehend von Bündelungen im Alltag werden Veranschaulichungen, z. B. Systemblöcke, eingesetzt.

1 H 2 Z 6 E= 126

2 H 3 Z 5 E = 235

Abb. 85: Bündelungen – Systemblöcke 1 Abb. 86: Bündelungen – Systemblöcke 2


Entbündeln

Ein Zehnerbündel wird entbündelt.

Abb. 87: Entbündeln

Kinder legen mehrere Zehnerbündel oder Zehnerstangen. Dann sollen Einzelne weggenommen werden. Anschließend wird die Handlung notiert.

Abb. 88: Zehnerstangen Abb. 89: Zehnerstange wird entbündelt

Abb. 90: Notation der Zahlen


Veranschaulichung des Zehnerübergangs mit Hilfe des Entbündelns:

Abb. 91–94: Zehnerübergang mit Entbündeln

Kinder legen Zehnerbündel oder Zehnerstangen und bestimmen dann die Hälfte.Die Hälfte von 20, 40, 60 ist einfach, bei 30, 50, 70 muss ein Bündel aufgebrochen werden. Als Verschriftlichung bietet sich z. B. 30 = 15 + 15, 30 : 2 = 15 an.

10 Einer sind jeweils zu einer Zehner-stange gebündelt/„zusammengeklebt“.

Eine Zehnerstange wird wieder in 10 Einer entbündelt/„getauscht“.

Abb. 95: Halbieren mit Entbündeln 1 Abb. 96: Halbieren mit Entbündeln 2


Zählen, Bündeln und Symbolisieren

In Gruppenarbeit werden Anzahlen über 100 gebündelt.

Kinder legen Anzahlen zu jeweils 10 Holz-perlen. Anschließend werden jeweils 10 mal 10 Holzperlen auf Teller gelegt.

Im nächsten Schritt werden „Hunderter-teller“ gelegt.

Abb. 97: Bündeln von großen Anzahlen 1 Abb. 98: Bündeln von großen Anzahlen 2


4.4 Runden von Zahlen – Überschlagen von Ergebnissen

Gerade in der heutigen Zeit der elektronischen Rechengeräte kommt dem überschlagenden Rechnen große Bedeutung zu. Im Alltag ist es oft erforderlich, mit dem Taschenrechner er-mittelte Rechenergebnisse durch einen Überschlag zu kontrollieren. Beim Einkaufen ist es sinnvoll, den zu zahlenden Betrag durch einen Überschlag abzuschätzen oder sich bereits während des Einkaufs einen groben Überblick über den Warenwert zu verschaffen.

Vom mathematischen Standpunkt aus erscheint bedeutsam, dass Überschlagsrechnun-gen dazu beitragen, den Aufbau von Größenvorstellungen bei den Kindern zu fördern: Beim Überschlagen wird tatsächlich mit großen Zahlen gerechnet, beim Anwenden der Algorith-men der schriftlichen Rechenverfahren dagegen nur mit Ziffern. Die schriftlichen Rechenver-fahren führen das Rechnen mit großen Zahlen auf das Einspluseins bzw. Einmaleins zurück, der Blick auf die großen Zahlen geht dabei leider verloren.

Runden von Zahlen

Erstmals lernen die Kinder das Runden von Zahlen in der 3. Schulstufe kennen. Im Tausen-derraum der 3. Schulstufe kann auf volle Zehner bzw. volle Hunderter gerundet werden, im größeren Zahlenraum der 4. Schulstufe dann zusätzlich auch auf volle Tausender, Zehntau-sender oder Hunderttausender.

Wesentlich ist die Erkenntnis, dass es beim Runden einer Zahl nur auf die Ziffer unmittelbar rechts neben der Rundungsstelle ankommt: Hat die nächstkleinere Stelle den Wert 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet. Hat diese Stelle den Wert 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet.

Runde auf Zehner: Runde auf Hunderter:

242 ≈ ______ 784 ≈ ______ 242 ≈ ______ 784 ≈ ______

575 ≈ ______ 337 ≈ ______ 575 ≈ ______ 337 ≈ ______

409 ≈ ______ 295 ≈ ______ 409 ≈ ______ 295 ≈ ______

Runde auf Tausender: Runde auf Zehntausender: Runde auf Hunderttausender:

348 492 ≈ ________ 143 915 ≈ ________ 187 639 ≈ _______

739 516 ≈ ________ 695 327 ≈ ________ 419 563 ≈ _______

499 623 ≈ ________ 230 991 ≈ ________ 550 104 ≈ _______

Bedeutung des überschlagenden Rechnens

Rundungsregel


Eine hilfreiche Vorübung zum Runden ist das Bestimmen der beiden Nachbarzehner (bzw. der Nachbarhunderter, Nachbartausender usw.) einer vorgegebenen Zahl:

Wie heißen die Nachbarzehner? Wie heißen die Nachbartausender?

410 417 420 215 624

739 934 813

293 120 039

604 679 412

Interessant sind daneben auch die folgenden Umkehraufgaben zum Runden. In der folgen-den Aufgabe sind die Zahlen der ersten Spalte auf volle Zehntausender gerundet angegeben. Die unbekannte ZT-Stelle ist daher eindeutig bestimmt. Die Zahlen der zweiten Spalte dage-gen sind auf Hunderttausender gerundet. Hier gibt es mehrere Möglichkeiten für die fehlende Stelle an der ZT-Stelle.

Wie kann die fehlende Ziffer heißen? Finde alle Möglichkeiten.

4_8 352 ≈ 480 000 3_2 651 ≈ 300 0002_4 681 ≈ 220 000 6_4 285 ≈ 700 0007_5 894 ≈ 750 000 4_8 352 ≈ 500 000

Im Folgenden steht der „Spielraum“ der gerundeten Zahlen im Mittelpunkt. Hier ist danach gefragt, in welchem Bereich die gerundeten Zahlen liegen können.

Runden auf volle Hunderter: Runden auf volle Zehntausender:

gerundeteZahl

mindestens höchstens gerundeteZahl

mindestens höchstens

800 750 849 50 000

2 100 90 000

1 900 450 000

Von Anfang an sollte auch die Bedeutung des Rundens im Alltag betont werden. In der fol-genden Aufgabe geht es darum, zu entscheiden, in welchen Situationen Runden sinnvoll ist bzw. wo es tatsächlich auf die exakten Zahlenwerte ankommt.

Nachbarzehner – Nachbarhunderter

Umkehraufgaben zum Runden


Bei welchen Zahlen ist es sinnvoll zu runden? Auf welche Stelle würdest du runden?Welche Zahlen dürfen keinesfalls gerundet werden?

Telefonnummer: 0662 1423 386Entfernung Wien – Salzburg: 317 kmEinwohnerzahl einer Stadt: 278 618Höhe eines Bergs: 3 798 mPostleitzahl: 7343Länge des Schulwegs: 835 mGeburtsdatum: 13.8.2006

Das Runden von Entfernungen stellt eine wichtige kontextgebundene Anwendung des Run-dens dar.

Wie weit ist es ungefähr nach Graz, nach Klagenfurt, nach Villach? Runde die angegebenen Entfernungen.

Runden im Alltag


Überschlagen von Rechenergebnissen bei Addition und Subtraktion

Wichtige Techniken des überschlagenden Rechnens sind:

Erst runden, dann rechnen

Beispiel: gerundet auf Tausender: gerundet auf Hunderter:

3 248 3 000 3 200

6 729 7 000 6 700

4 542 5 000 4 500

14 519 Überschlag: 15 000 Überschlag: 14 400

Hier werden zunächst alle Zahlen den Regeln entsprechend gerundet, dann wird mit diesen gerundeten Zahlen ein Überschlagsergebnis ermittelt. Diese Methode führt bei Additionen und Subtraktionen zu recht genauen Überschlägen.

Das Beispiel zeigt außerdem: Feinere Rundung führt zwar zu etwas genaueren Ergebnissen, ist aber mit deutlich größeren Anforderungen an das Kopfrechnen verbunden.

Die Kinder sollten im Unterricht ausdrücklich zum Runden auf größere Einheiten angehalten werden, um den Rechenaufwand beim Überschlagen gering zu halten.

Abbruchverfahren

Beispiel: Abbrechen nach der Tausenderstelle:

3 248 3 ___

6 729 6 ___

4 542 4 ___

14 519 Überschlag: 13 000

Ein sehr schnelles, allerdings mit größeren Fehlern behaftetes Verfahren ist das sogenannte Abbruchverfahren: Hier werden die einzelnen Zahlen nicht gerundet, sondern einfach nach der größten Stelle „abgebrochen“.

Abbruchverfahren mit Ausgleichsrechnung

Beispiel: Abbrechen nach der Tausenderstelle:

3 248 3 ___

6 729 6 ___

4 542 4 ___

14 519 Überschlag: 13 000 Korrektur: 248 + 729 ≈ 1 000

542 ≈ 500

korrigierter Überschlag: 14 500

Hier wird zunächst überschlägig nach dem Abbruchverfahren gerechnet, dann wird der Feh-ler unter Berücksichtigung der restlichen Stellen korrigiert.

Anwenden des Rundens beim überschlagenden Rechnen


Gleichsinniges bzw. gegensinniges Verändern

Dieses Verfahren liefert recht genaue Überschlagsrechnungen und ist besonders dann gut einzusetzen, wenn nur zwei Zahlen addiert bzw. subtrahiert werden sol-len. Bei der Addition führt das gegensinnige Verändern der beiden Summanden zu gu-ten Überschlägen, bei der Subtraktion das gleichsinnige Verändern der beiden Zahlen:

Beispiel: 43 628 + 27 793 = 71 421 Überschlag: 40 000 + 30 000 = 70 000

abgerundet aufgerundet

53 731 – 25 849 = 27 882 Überschlag: 50 000 – 20 000 = 30 000

abgerundet abgerundet

oder 60 000 – 30 000 = 30 000

aufgerundet aufgerundet

Viele Kinder sehen die Bedeutung von Überschlagsrechnungen nicht ein und betrachten diese als unnötigen zusätzlichen Aufwand: Warum soll man zuerst mühevoll überschlagen, wenn man anschließend dann sowieso das exakte Ergebnis ausrechnet? Dazu kommt, dass das Überschlagen Kindern oft schwerer fällt als das Ausführen der schriftlichen Rechenope-rationen.

Durch Aufgabentypen, bei denen das Überschlagen im Mittelpunkt steht, kann man die Kompetenz des überschlägigen Rechnens besonders gut fördern:

Überschlage das Ergebnis und setze das richtige Zeichen (< oder >) ein.

338 + 169 500 364 – 243 100

425 + 152 600 662 – 471 200

241 + 453 700 831 – 513 300

175 + 632 800 931 – 513 400

325 + 574 900 726 – 255 500

Überschlage die Ergebnisse und färbe jedes Kästchen in der richtigen Farbe.

Ergebnis

kleiner als

300

Ergebnis

zwischen

300 und 500

Ergebnis

größer als

500

741 – 219 942 – 628 737 – 482 918 – 421 764 – 256

827 – 562 654 – 345 784 – 248 823 – 319 942 – 651

Fördern des überschlagenden Rechnens


Wähle zwei dieser Zahlen und addiere.

146 447

426385319

292

257168

+ =

Rechne 5 Aufgaben mit Ergebnis zwischen 400 und 500. Rechne 5 Aufgaben mit Ergebnis zwischen 600 und 700.

Das Überschlagen von Additions- bzw. Subtraktionsergebnissen kann auch in inhaltlichen Kontexten sinnvoll angewendet werden. Bei den folgenden Aufgaben geht es um das Über-schlagen von Entfernungen bzw. das Überschlagen von Geldwerten:

Wie weit ist es ungefähr a) von Wien nach Innsbruck, b) von Salzburg nach Bregenz, c) von Wien nach Venedig?

Überschlage die angegebenen Entfernungen.

Hier sind Ausschnitte von Kassabons abgebildet. Überschlage zuerst und rechne dann erst nach.Reichen 10 Euro?

O ja O ja O ja O ja O ja O ja

O nein O nein O nein O nein O nein O nein

3,283,153,36

2,284,251,262,25

2,955,961,18

1,784,923,18

3,272,293,091,16

4,283,392,28

Anwenden des Überschlagens im inhaltlichen Kontext


Überschlagen von Rechenergebnissen bei der Multiplikation

Wesentlich schwerer als das Überschlagen von Additions- und Subtraktionsaufgaben fällt den Kindern der Überschlag beim Multiplizieren. Für die Volksschule erscheint es hier ausrei-chend, Folgendes zu erkennen und sinnvoll anwenden zu können:

Werden beide Faktoren einer Multiplikation abgerundet, so erhält man als Produkt eine Zahl, die kleiner als das gesuchte Ergebnis ist (= untere Schranke des Ergebnisses). Werden bei-de Faktoren aufgerundet, so erhält man eine Zahl, die größer als das gesuchte Produkt ist (= obere Schranke des Ergebnisses).

Beispiel: Das Ergebnis der Multiplikation 43 · 68 soll überschlagen werden.Der Überschlag 40 · 60 = 2 400 liefert eine untere Schranke des gesuchten Ergebnisses.Der Überschlag 50 · 70 = 3 500 liefert eine obere Schranke des gesuchten Ergebnisses.Daraus folgt: Das Ergebnis der Multiplikation 43 · 68 liegt zwischen 2 400 und 3 500.

Eine wichtige Grundlage des Überschlagens von Multiplikationsergebnissen ist neben dem Runden von Zahlen vor allem das sichere Beherrschen des Einmaleins mit Stufenzahlen (Zehner-, Hunderter-, Tausenderzahlen …). Im Hinblick darauf sollte bereits in der dritten Schulstufe dem Zehnerzahleneinmaleins große Beachtung geschenkt werden. Die Kinder sollen die Einmaleinsaufgaben mit Zehnerzahlen in Analogie zu den Aufgaben des kleinen Einmaleins sehen und sicher anwenden können.

Zu jeder Aufgabe des Einmaleins gibt es eine Malaufgabe mit Zehnerzahlen.Rechne zuerst die passende Aufgabe des kleinen Einmaleins.

4 · 3 = ____ 3 · __ = ____ 6 · __ = ____ __ · __ = ____

4 · 30 = ____ 3 · 50 = ____ 6 · 80 = ____ 7 · 20 = ____

Croissants 1 2 8 3 5 6 10

Gramm 60 240 420 540

Grapefruits 1 3 5 2 8 7 9 10

Preis in Cent 80 320 480

Im größeren Zahlenraum der vierten Schulstufe wird darauf aufbauend das Einmaleins mit Stufenzahlen eingeführt.

Einschranken von Ergebnissen

Einmaleins mit Stufenzahlen


In zwei Schritten rechnen: 24 · 100 = 24 · 10 · 10 = 2 400

29 · 100 = _________ 72 · 100 = _________

36 · 100 = _________ 80 · 100 = _________

60 · 100 = _________ 99 · 100 = _________

In drei Schritten rechnen: 20 · 30 = 2 · 10 · 3 · 10 = 6 · 10 · 10 = 600

80 · 20 = _________ 50 · 300 = _________

60 · 40 = _________ 80 · 800 = _________

30 · 70 = _________ 90 · 700 = _________

60 · 300 = 6 · 10 · 3 · 100 = 18 · 10 · 100 = 18 000

18 1 000

606

240

Vergleiche und rechne.

240 2 400 24 000

80 · 3 800 · 3 8 000 · 3

8 · ____ 80 · ____ 800 · ____

8 · ____ 80 · ____

8 · ____

Finde immer eine zweite Aufgabe mit gleichem Ergebnis.

40 · 60 9 · 60 300 · 40 6 · 200 6 000 · 8 900 · 2 50 · 40

Bei den folgenden Aufgaben steht das Überschlagen der Multiplikationsaufgaben im Mittel-punkt, es wird nicht verlangt, die Multiplikationen exakt auszurechnen:

Was kann ungefähr stimmen? Kennzeichne das Feld.

67 · 4 ≈ 2 400 240 280 2 800

309 · 6 ≈ 1 800 2 400 180 240

684 · 8 ≈ 5 000 5 600 6 000 7 200

2 715 · 3 ≈ 6 000 7 000 8 000 9 000

in Schritten rechnen


Runde zuerst und rechne dann erst aus.Setze richtig ein: <, > oder = ?

63 · 21 53 · 31 55 · 55 58 · 52 73 · 25 37 · 52

61 · 32 51 · 42 96 · 23 69 · 32 86 · 34 68 · 43

Suche jeweils passende Zahlen.Beginne mit einem Überschlag und achte auf die Endziffer.

6 870426400

96

4912

________ · ________ = 2 400 ________ · ________ = 42 630

________ · ________ = 5 112 ________ · ________ = 40 896

________ · ________ = 83 520 ________ · ________ = 19 600

________ · ________ = 4 702 ________ · ________ = 38 400


4.5 Flexibles Rechnen – im Kopf oder schriftlich?

Im Mathematikunterricht der Volksschule werden drei Rechentypen unterschieden: das mündliche Rechnen, das halbschriftliche und das schriftliche Rechnen. Der Lehrplan definiert die „Bedeutung des mündlichen Rechnens für die Förderung des Zahlenverständnisses, der Rechenfertigkeit, des Operationsverständnisses und für das Lösen von Sachproblemen“ (vgl. Wolf, 2009, S. 217). Ebenso ist in den Bildungsstandards das „sichere Beherrschen des mündlichen Rechnens“ (IK 2) festgehalten (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 18). Das Durchführen von Rechenoperationen in Form des mündlichen Rechnens ist mit und ohne Anschreiben von Rechensätzchen möglich. Geschieht dies ohne das Anschreiben von Teilschritten und erfolgen die Schritte zur Lösung im Kopf, so kann dies als „Kopfrechnen“ bezeichnet werden.

Halbschriftliches Rechnen erfolgt durch Zerlegen und Notieren einzelner Teilschritte. Dabei sind individuelle Denkschritte, die unmittelbar mit Zahlvorstellungen, Zahlbeziehungen und Rechengesetzen verbunden sind, erwünscht. Dieser Rechentypus wird oftmals als Vorstufe zur Durchführung des schriftlichen Algorithmus verwendet (siehe S. 73–76).

Bei schriftlichen Rechenverfahren werden die Ergebnisse nach festgelegten Regeln (Algo-rithmen) ziffernweise ermittelt. Dies empfinden Schüler/innen oftmals als wesentliche Erleich-terung gegenüber dem Kopfrechnen oder halbschriftlichen Rechnen. Das Beherrschen des schriftlichen Rechnens gilt allerdings nicht als Krönung aller Bemühungen. Ein ausreichendes Zahlverständnis und Sicherheit beim Lösen von Aufgaben im kleinen Zahlenraum im Sin-ne des mündlichen Rechnens sind wesentliche Voraussetzungen für halbschriftliches und schriftliches Rechnen.

Alle drei genannten Rechentypen haben Vor- und Nachteile. Die Kinder sollten im Lauf der Volksschulzeit lernen, abhängig vom Zahlenmaterial, aber auch von persönlichen Vorlieben diese Typen flexibel auszuwählen und anzuwenden. Schüler/innen werden angeregt, darüber nachzudenken, welche „Methode“ für bestimmte Aufgaben geeignet ist. Die Entscheidung, in welcher Form sie eine Aufgabenstellung lösen, hängt nicht nur von „objektiven Kriterien“ – wie Zahlbeziehungen oder Zahlengröße –, sondern auch von „subjektiven Kriterien“ – wie individuellen Zugängen – ab.

Die Förderung des flexiblen Rechnens basiert auf der individuellen und der gemeinsamen Reflexion über die von den Kindern gewählten Rechenwege. Das Bedürfnis der Schüler/in-nen, eine Aufgabe „schnell und sofort“ ausrechnen zu wollen, wird durch Überlegungen zum flexiblen Rechnen verlangsamt, da zunächst überlegt werden muss, welches Verfahren auf-gabenbezogen vorteilhaft einzusetzen ist. Daher ist laut Selter (2003, S. 57) genauso wichtig wie das Nachdenken über das flexible Rechnen auch die regelmäßige Übung im flexiblen Rechnen. Flexibles Rechnen sollte daher nicht nur isoliert eingesetzt werden, sondern auch in Übungsphasen angeregt werden.

mündliches Rechnen – „Kopfrechnen“

halbschriftliches Rechnen

schriftliches Rechnen

flexibles Rechnen


Abb. 99–100: flexibles Rechnen


4.6 Schriftliche Division durch einstellige Zahlen

Der Lehrplan der österreichischen Volksschule sieht in der 3. Schulstufe die Einführung des schriftlichen Dividierens durch einen einstelligen Divisor im Zahlenraum 1 000 und in der 4. Schulstufe das schriftliche Dividieren durch ein- und zweistellige Divisoren im Zahlenraum 100 000 vor. Im Folgenden wird ein möglicher verständnisorientierter Zugang zum schriftli-chen Divisionsalgorithmus in Anlehnung an Grosser und Koth (2007) skizziert.

Einführung der schriftlichen Division im Zahlenraum 1 000

Wiederholung des Einsineins mit Rest

Eine unverzichtbare Voraussetzung für das erfolgreiche Ausführen des schriftlichen Divisi-onsverfahrens ist das sichere Beherrschen des Einsineins mit Rest. Es erscheint daher empfehlenswert, unmittelbar vor Einführung des schriftlichen Divisionsverfahrens das Eins- ineins zu wiederholen und anhand vielfältiger Aufgabenformate zu automatisieren.

Wie viele Packungen kann man füllen? Wie viel Stück bleiben Rest?

Äpfel 25 33 52 23 46 39 57 29 31

Packungen 4

Rest

Wie groß ist der Rest?

17 38 19 41 22 46 13 29 32 24

beim Teilen durch 5 2

beim Teilen durch 7

beim Teilen durch 9

Wie heißt die nächstkleinere Zahl, die ohne Rest durch 8 teilbar ist?

35 20 5214

2775 69 45

58

32 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

Lehrplanbezug

Einsineins mit Rest als Voraussetzung für das schriftliche Dividieren


Veranschaulichen der Idee des Divisionsalgorithmus anhand eines halb-schriftlichen Lösungswegs

Anhand des gerechten Teilens von Geldbeträgen kann die Idee des schriftlichen Divisions-algorithmus auf der Handlungsebene vorbereitet werden. Über das Handeln mit konkretem Material kommt man zu dem unten dargestellten halbschriftlichen Lösungsweg:

Beispiel: 546 : 2 =

Wir teilen zuerst die Hunderter, dann die Zehner und zum Schluss die Einer.

546 : 2 = 273 5 H : 2 = 2 H Rest: 1 H 14 Z : 2 = 7 Z 6 E : 2 = 3 E

1 H = 10 Z

Der Rest beim Teilen der fünf Hunderter wird in Zehner umgewandelt. Genauso wandelt man einen allfälligen Rest beim Teilen der Zehner in Einer um.

Handlungsorientiertes Arbeiten erscheint hier unerlässlich: Der praktische Umgang mit dem Rechengeld hilft dabei, die Idee des Algorithmus zu verstehen und zu begründen.

Kennenlernen des schriftlichen Divisionsalgorithmus. Ausführen einfacher Divisionen mit Hilfe eines Stellenrasters

Nun wird das schriftliche Divisionsverfahren als Kurzschreibweise des bisher betrachteten halbschriftlichen Verfahrens präsentiert. Eine mögliche Sprechweise zur Ausführung des Al-gorithmus wird vorgeschlagen (siehe nachfolgendes Beispiel). Während bei diesem halb-schriftlichen Lösungsweg von der Vorstellung des Teilens ausgegangen wird, wird beim schriftlichen Algorithmus üblicherweise die Sprechweise des Messens verwendet.

(Grosser & Koth, 2007)

halbschriftliches Dividieren


Beispiel: 784 : 4 =

Halbschriftliches Verfahren

784 : 4 = 196 7 H : 4 = 1 H Rest: 3 H 38 Z : 4 = 9 Z Rest: 2 Z 24 E : 4 = 6 E

Division in der Langform Stellen-werte:

Sprich: Schreibe:

H Z E H Z E

7 8 4 : 4 = 1 9 6

– 4

3 8

– 3 6

2 4

– 2 4

0 R

H

Beginne bei den H4 in 7 gleich 1-mal1 ∙ 4 = 4Minus Strich4 plus 3 gleich 7

14–_____3

Z

Nächste Stelle 8 herab4 in 38 gleich 9-mal9 ∙ 4 = 36MinusStrich36 plus 2 gleich 38

8936–_____2

E

Nächste Stelle 4 herab4 in 24 gleich 6-mal6 ∙ 4 gleich 24MinusStrich24 plus 0 gleich 24Null Rest

4624–_____0Rest

Division in der Kurzform Stellen-werte:

Sprich: Schreibe:

H Z E

7 8 4 : 4 = 1 9 6

3 8

2 4

0 R

H4 in 7 geht 1-mal.1 ∙ 4 = 4, plus 3 gleich 7

13

ZNächste Stelle 8 herab4 in 38 geht 9-mal9 ∙ 4 = 36, plus 2 gleich 38

892

ENächste Stelle 4 herab4 in 24 geht 6-mal6 ∙ 4 = 24, plus 0 gleich 24

460R

Es empfiehlt sich, zum Einstieg nur solche Aufgabenstellungen zu betrachten, � bei denen die Hunderterstelle des Dividenden größer als der oder gleich dem Divisor ist, � bei denen die Ziffer Null weder im Dividenden noch im Ergebnis auftritt, � bei denen kein Rest bleibt.

Bei allen diesen Aufgaben ist das Ergebnis eine dreistellige Zahl, Stellenwertüberlegungen sind daher noch nicht erforderlich. Die Kinder sollen sich zunächst voll und ganz auf die Aus-führung des Algorithmus konzentrieren können. Auch Probleme im Umgang mit der Ziffer Null (die empirischen Untersuchungen zufolge für einen hohen Prozentsatz der Divisionsfehler verantwortlich sind) werden zunächst bewusst ausgeklammert.

vom halbschriftlichen zum schriftlichen Dividieren


Es empfiehlt sich, die ersten Beispiele mit Rechengeld zu veranschaulichen und sie sowohl in halbschriftlicher als auch in schriftlicher Notation zu rechnen. Die Kinder sollen dabei die einzelnen Rechenschritte der beiden Lösungswege vergleichen.

Beispiel: 632 : 4 =

632 : 4 = ___ H : 4 = ___ H __ Z : 4 = ___ Z __ E : 4 = ___ E

H Z E H Z E

6 3 2 : 4 = 1

– 4

H Z E

6 3 2 : 4 =

Für manche Kinder stellt die Langform eine Erleichterung dar, weil hier mehr Teilschritte notiert werden.

Sicherheit im Ausführen des schriftlichen Divisionsalgorithmus gewinnen

Weitere Schritte auf dem Weg zum sicheren Ausführen des Algorithmus könnten nun sein:

Bearbeiten von Divisionsaufgaben ohne Hilfe eines Stellenrasters: Anfangs erleichtert ein vorgegebener Stellenraster das Ausführen des Verfahrens. Nun sollen erstmals Aufgaben ohne vorgegebenen Raster ins Heft geschrieben werden. Dabei sollte unbedingt auf die Bedeutung des stellenwertrichtigen Untereinanderschreibens der Ziffern hingewiesen werden.

Divisionen, bei denen die Ziffer Null im Dividenden oder im Quotienten vorkommt:Erst nachdem die Kinder eine gewisse Sicherheit im Ausführen einfacher schriftlicher Di-visionen erworben haben, werden nun mögliche Probleme mit der Ziffer Null thematisiert:

� Null an der Zehnerstelle oder an der Einerstelle des Dividenden � Null tritt im Ergebnis auf

Veranschaulichung mit Rechengeld


Selbst Kinder, die das Verfahren der schriftlichen Division prinzipiell verstanden haben, haben oft Schwierigkeiten im Umgang mit der Ziffer Null. Insbesondere muss bewusst gemacht werden, dass eine im Dividenden vorkommende Ziffer Null genauso herabgeholt werden muss wie jede andere Ziffer (z. B. 804 : 2). Weitere häufige Fehler im Zusammenhang mit der Ziffer Null sind:

� der Zwischennullfehler Bei der Division 936 : 9 = 104 wird die stellenwertbelegende Ziffer Null im Ergebnis nicht angeschrieben.

� der Endnullfehler Bei der Division 840 : 6 = 140 wird die Endziffer Null des Ergebnisses nicht angeschrie-ben (vgl. Schipper, Dröge & Ebeling, 2000).

Kennenlernen von Divisionen mit einem zweistelligen ErgebnisErst jetzt werden Aufgaben betrachtet, bei denen die Hunderterstelle des dreistelligen Divi-denden kleiner als der einstellige Divisor ist (z. B. 246 : 3). Bei diesen Divisionen erhält man als Ergebnis eine zweistellige Zahl.

Neu kommt also dazu, dass ab jetzt bei jeder Division darauf geachtet werden muss, wie viele Stellen das Ergebnis haben wird.

Beispiel: 246 : 3 =

246 : 3 = 2 H : 3 = 0 H Rest: 2 H

3 in 2 geht 0-malund 2 bleibt Rest.

24 Z : 3 = 8 Z 6 E : 3 = 2 E

0 H + 8 Z + 2 E = 82Null Hunderter schreiben wir nicht auf.Wir beginnen die Rechnung gleich mit 24 : 3.

H Z E Z E

2 4 6 : 3 = 8 2

0 6

0 R

Abb. 101: Zwischennullfehler

Abb. 102: Endnullfehler

die Ziffer Null beim Dividieren

Stellenwert des Quotienten


Schriftliche Divisionen mit RestErst jetzt, nachdem die Kinder bereits eine gewisse Sicherheit im Umgang mit dem Divisions-algorithmus erworben haben, werden Aufgabenstellungen mit von Null verschiedenem Rest thematisiert.

Vergleiche die Ergebnisse. Vergleiche die Divisionsreste.

100 : 7 = 150 : 4 = 100 : 8 = 400 : 9 = 600 : 3 =

200 : 7 = 250 : 4 = 200 : 8 = 500 : 9 = 700 : 3 =

300 : 7 = 350 : 4 = 300 : 8 = 600 : 9 = 800 : 3 =

Erkennen, dass schriftliche Divisionen mit Hilfe einer Multiplikation überprüft werden könnenDa das schriftliche Divisionsverfahren vielen Kindern Schwierigkeiten bereitet, kommt der Möglichkeit, Divisionsergebnisse durch eine Rechenprobe überprüfen zu können, große Be-deutung zu.

Beispiel:

H Z E

4 7 7 : 3 = 1 5 9

1 7

2 7

0 R

Probe: 159 · 3 477 159 477

H Z E

7 6 5 : 6 = 1 2 7

1 6

4 5

3 R

Probe: 127 · 6 762 762 + 3 = 765

: 3

· 3


Aufgabenbeispiele zur schriftlichen Division durch einstellige Zahlen im größeren Zahlenraum

Auf der 4. Schulstufe wird das Dividieren durch eine einstellige Zahl wiederholt und gefestigt und auch auf größere Zahlenräume erweitert. Gerade bei Aufgaben mit großen Dividenden erscheint es wichtig, das Ergebnis zuerst größenordnungsmäßig abzuschätzen.

Überlege zuerst, wie viele Stellen das Ergebnis haben wird.

76 359 : 3 = ________ 66 318 : 7 = ________

26 322 : 3 = ________ 86 366 : 7 = ________

Die folgenden Aufgaben zeigen: Halbiert (bzw. drittelt) man den Divisor, so wird das Ergeb-nis verdoppelt (bzw. verdreifacht) und umgekehrt.

Vergleiche die Rechnungen und die Ergebnisse!

13 938 : 6 = ______ 28 809 : 3 = ______ 97 360 : 4 = ______

13 938 : 3 = ______ 28 809 : 9 = ______ 97 360 : 2 = ______

Aufgaben mit ZiffernmusternDie Dividenden und auch die Ergebnisse der folgenden Aufgabengruppen zeigen ein regel-mäßiges Ziffern- und Zahlenmuster und laden zum Entdecken von Zahlbeziehungen ein.

Welche Aufgabe passt zum Schluss?

64 395 : 9 36 115 : 5

65 394 : 9 37 225 : 5

66 393 : 9 38 335 : 5

_______ : _ _______ : _

Aufgaben mit Ziffernkarten

Lege mit diesen fünf Ziffernkarten eine möglichst große Zahl und dann eine möglichst kleine Zahl. Wie groß ist der Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen?Dividiere diesen Unterschied durch 9.a)

4 5 6 82 b)

3 5 6 71

Bestimmen der Stellenwerte

Einsatz von Ziffernkarten

Entdecken von Zahlbeziehungen


Setze die Ziffern

4 5 6 72 8 so in die Kästchen ein, dass das Ergebnis der Division a) möglichst groß ist, b) möglichst klein ist,c) zwischen 5 000 und 6 000 liegt, d) zwischen 15 000 und 16 000 liegt,e) zwischen 9 000 und 10 000 liegt, f) zwischen 19 000 und 20 000 liegt.

: =

Fehler in vorgegebenen Lösungswegen entdeckenJede der drei Aufgaben in nachfolgendem Beispiel illustriert einen für die schriftliche Division typischen Fehler: Im ersten Beispiel kommt der Zwischennullfehler vor, im zweiten Beispiel der Endnullfehler. Im dritten Beispiel wird der zu kleine Teilquotient 8 bestimmt, und dann wird fälschlich noch einmal im selben Stellenwert dividiert. Eine vorherige Abschätzung der Stellenzahl des Ergebnisses kann dabei helfen, solche Fehler zu vermeiden.

Welche Fehler haben sich in diesen Aufgaben versteckt? Überlege und stelle richtig.

2 7 4 5 : 9 = 3 50 4 5

0 0 R

3 6 2 0 : 8 = 4 54 20 2 R

4 8 5 6 : 7 = 6 8 1 36 50 9

2 60 5 R

Vielfältige Anwendung der Division in SachaufgabenSchließlich sollten schriftliche Divisionen zur Lösung von Sachaufgaben in verschiedenen inhaltlichen Kontexten angewendet werden, wobei sowohl die Deutung des Dividierens als Teilen als auch die Deutung als Messen Berücksichtigung findet.

Hier sollte unbedingt auch der sinnvolle Umgang mit Divisionsresten in Sachaufgaben the-matisiert werden: Abweichend von der klassischen Rundungsregel (0 bis 4 wird abgerundet, 5 bis 9 wird aufgerundet) wird in diesem Fall durch die vorliegende inhaltliche Situation be-stimmt, ob man aufrunden oder abrunden muss.

(vgl. Grosser & Koth, 2007)

Anwendung in Sachaufgaben

Fehler entdecken


Zur Staffelschreibweise der schriftlichen Division

Die folgende Abbildung zeigt zwei mögliche Schreibweisen derselben Divisionsaufgabe:

1 7 1 4 7 : 4 = 4 2 8 61 1

3 42 7

3 R

1 7 1 4 7 : 4 = 4 2 8 6– 1 6

1 1– 8

3 4– 3 2

2 7– 2 4

3 R

Bei der links dargestellten kürzeren Schreibweise werden die einzelnen Teilprodukte gebil-det, und es wird jeweils gleich im selben Arbeitsschritt im Kopf durch Ergänzen subtrahiert. Manchen Kindern fällt das Multiplizieren und gleichzeitige Ergänzen im Kopf schwer. In die-sem Fall ist es daher üblich, das Bilden eines Teilprodukts und das anschließende Subtrahie-ren in zwei separaten Arbeitsschritten durchzuführen (siehe Darstellung oben rechts).

Beim Dividieren durch einstellige Zahlen sollte man, umgekehrt, leistungsstarke Kinder in der 4. Schulstufe ermutigen, diese Divisionen ohne jegliches Anschreiben von Resten im Kopf auszuführen (vgl. Padberg & Benz, 2011). Hilfreich dabei ist es, wenn die Ergebnisziffern (analog zum schriftlichen Multiplizieren mit einstelligen Zahlen) stellenrichtig unter die entspre-chenden Ziffern des Dividenden geschrieben werden dürfen, z. B.:

1 7 1 4 7 : 4 =4 2 8 6 R 3


4.7 Tabellen, Grafiken und Diagramme lesen, verstehen, zeichnen und ergänzen

Damit Schüler/innen die in den Bildungsstandards geforderten Kompetenzen Tabellen und Grafiken erstellen bzw. Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen erwerben, sollte ein situations- und altersangemessener Zugang in Form von Aufgabenbeispielen aus der Lebenswirklichkeit (vgl. BIFIE & BMUKK, 2012, S. 47– 51 und S. 60 – 61) des Kindes und in Ansätzen auch rein formal, wie die nachfolgenden Aufgabenbeispiele es zeigen, geplant und gestaltet werden.

Tabellen und Grafiken tragen zum leichteren Erfassen und besseren Verstehen von Zah-lenmaterial bei, sprechen allerdings nicht von selbst. Nachfolgend werden Denk- bzw. Lö-sungsschritte angeführt, die zum Lesen, Verstehen und Zeichnen von sowie zum Eintragen in Tabellen und Diagrammen notwendig sind.

Tabellen lesen und verstehen � Überschrift der Tabelle lesen

- Lies die Überschrift oder den Text unter der Tabelle. - Weißt du schon etwas zu diesem Thema?

� Spalten lesen- Schau die Spalten genau an. - Lies die Überschrift jeder Spalte und fahre mit dem Finger die Spalten von oben nach

unten nach.

� Zeilen lesen- Schau die Zeilen genau an, sie gehen von links nach rechts.- Fahre jede Zeile mit dem Finger nach.

� Jede Zeile Spalte für Spalte lesen und Aussagen dazu formulieren- Fahre in jeder Zeile von Spalte zu Spalte. - Sage, was im jeweiligen Feld steht und was damit gemeint ist.

� Fragen beantworten, Zeile und Spalte dazu suchen- Stelle eine Frage zur Tabelle.- Schau in der passenden Spalte und Zeile nach.

(vgl. Wedel-Wolff, 2005, S. 32)

Diagramme zeichnen und ablesen � Linien (Achsen) einzeichnen

- Zeichne die Grundlinie (waagrecht / horizontal).- Zeichne die Maßstabslinie (senkrecht / vertikal).

� Skalieren (Striche einzeichnen und Abstände im Plan und in der Wirklichkeit festlegen)- Trage die Striche auf der Maßstabslinie ein (Abstand auf dem Plan wird festgelegt).- Ermittle die Differenz zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert. - Dividiere / teile überschlägig die Differenz durch die Anzahl der Abstände zwischen

den jeweiligen Strichen. - Lege die Abstände fest (Abstand in der Wirklichkeit wird festgelegt).

Bezug zu den Kompetenzen

Hilfen für das Lesen und Verstehen von Tabellen

Umgang mit Diagrammen


� Zahlen am Rand aufschreiben- Beginne mit 0 oder mit einer Zahl, die kleiner als der niedrigste Wert ist. - Trage die Zahlen auf der Maßstabslinie ein.

� Streifen zeichnen- Zeichne die passende Anzahl von Streifen.

� Streifen beschriften - Schreibe die passenden Namen unter die Streifen.

� Streifen ausmalen- Male die Streifen passend zu den vorgegebenen Zahlen an.

� Zu jedem Streifen eine Aussage / einen Satz sagen / formulieren- Schieb das Lineal parallel zur Grundlinie bis zum Ende des Streifens und lies die Zahl

an der Maßstabslinie ab.

� Fragen zu den Diagrammen beantworten- Stelle eine Frage zum Diagramm. - Schaue beim passenden Streifen nach und verwende ein Lineal, um die passende

Zahl in der Maßstabslinie zu finden.

Tabellen lesen und verstehenHäufige Vornamen in Österreich:In der Tabelle stehen die häufigsten Vornamen von Kindern, die 2012 geboren wurden.

Rang Bubennamen Anzahl Rang Mädchennamen Anzahl

1 Lukas 874 1 Anna 814

2 Tobias 771 2 Hannah 708

3 Maximilian 769 3 Lena 684

4 Luca 754 4 Sarah 674

5 David 743 5 Sophie 614

6 Jakob 696 6 Emma 554

7 Felix 689 7 Julia 544

8 Elias 670 8 Marie 542

9 Jonas 669 9 Leonie 525

10 Paul 666 10 Laura 518

Finde den häufigsten Bubennamen:

Auf welchem Platz ist Sophie?

Welche Vornamen gibt es häufiger als Lena?

Wer nimmt bei den Buben Rang 9 ein?

Quelle: http://www.statistik.at/web_de/statistiken/bevoelkerung/geburten/haeufigste_vornamen/ [14. 09. 2013]

Kompetenz: Die Schüler/innen können Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.


Zahlen in Tabellen eintragen

Trage in jedes Feld vier passende Zahlen ein.

ungerade gerade

__ < 500

__ > 500

ungerade gerade

__ < 5 000

__ > 5 000

Einmaleinszahlen – Trage in jedes Feld vier passende Zahlen ein.

Viererzahlen Dreierzahlen

__ < 20

__ > 20

Sechserzahlen Achterzahlen

__ < 40

__ > 40

Gibt es Zahlen, welche in zwei Felder passen?

Kompetenz: Die Schüler/innen können Tabellen und Grafiken erstellen.


Von der Tabelle zum Diagramm

Die höchsten Berge in den Bundesländern

Bundesland höchster Berg Höhe des Berges

Wien Hermannskogel 542 m

Niederösterreich Schneeberg 2 076 m

Burgenland Geschriebenstein 884 m

Oberösterreich Hoher Dachstein 2 995 m

Salzburg Großvenediger 3 662 m

Tirol Großglockner 3 798 m

Vorarlberg Piz Buin 3 312 m

Steiermark Hoher Dachstein 2 995 m

Kärnten Großglockner 3 798 m

Abb. 103: Informationen aus Tabellen entnehmen

Kompetenz:Die Schüler/innen können Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.


Abb. 104: Diagramm erstellen

Kompetenz:Die Schüler/innen können Tabellen und Grafiken erstelllen.


Vom Diagramm zur Tabelle

Größe der Bundesländer

Niederö

sterre

ich

Steierm

ark Tirol

Oberö

sterre

ich

Kärnte

n

Salzbu

rg

Burge

nland

Vorar

lberg

Wien

0

5 000

10 000

15 000

20 000

Fläche in km2

Abb. 105: Diagramm - Größe der Bundesländer

Kompetenz: Die Schüler/innen könnenInformationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.


Das größte Bundesland ist ____________________________. Es ist ungefähr _________ km² groß.

Das Bundesland ___________________ ist ungefähr halb so groß wie Niederösterreich. Es ist ungefähr _________ km² groß.

Das zweitgrößte Bundesland ist ________________________ . Es ist ungefähr _________ km² groß.

Zwei Bundesländer sind ungefähr gleich groß, nämlich _____________ und _____________.Sie sind ungefähr ______________________ km² groß.

Das kleinste Bundesland ist ______________________. Es ist ungefähr _________ km² groß.

Übertrage die Werte aus dem Diagramm in die Tabelle.

Bundesland ungefähre Größe

Niederösterreich 19 000 km²

Schreibe die Bundesländer in die erste Spalte. Ermittle aus dem Diagramm die ungefähre Größe jedes einzelnen Bundeslandes in km² und trage die Zahl in die Tabelle ein.

Kompetenz: Die Schüler/innen können Tabellen und Grafiken erstellen.


4.8 Operieren mit Größen

Im Folgenden werden konkrete Beispiele für Übungsformen zum Operieren mit Größen vor-gestellt. Die einzelnen vorgestellten Aufgabenformate können analog auch in den anderen Größenbereichen eingesetzt werden.

Größenbereich Geld

Geldbeträge mit Münzen und Geldscheinen legen

Lege 188 € mit Spielgeld und schreibe auf.

Schreibe so: 122 € = 100 € + 20 € + 1 € + 1 €

Finde drei verschiedene Möglichkeiten.

Abb. 106: Geldbeträge legen 1

Lege 910 € mit möglichst wenigen Scheinen und Münzen.

Schreibe so: 254 € = 200 € + 50 € + 2 € + 2 €

Abb. 107: Geldbeträge legen 2


Wechsle in kleinere Münzen. Wie viele Münzen brauchst du?

_____ 5-Cent-Münzen _____ 10-Cent-Münzen _____ 20-Cent-Münzen

Geldbeträge ordnen – Geldbeträge vergleichen

Vergleiche die Geldbeträge: < oder = oder >?

2 € 65 c 2,56 € 330 c 3 € 3 c 1,09 € 1,10 €

1 € 28 c 1,82 € 805 c 8 € 5 c 4,13 € 4,31 €

4 € 7 c 4,70 € 777 c 7 € 77 c 8,36 € 8,63 €

Ordne diese Geldbeträge der Größe nach.

500 c5 € 4 c50 c

5,40 €

0,54€4 €

_____ < _____ < _____ < _____ < _____ < _____

Kennzeichne gleiche Geldbeträge mit der gleichen Farbe.

330 € 3 c 303 c 3 € 3 c 30,30 € 3,30 € 330,03 €

3 € 30 c 3 € 3 c

300 € 30 c 300 c 30 c 3 030 c 0,30 € 0,03 € 300,30 €


Mit Geld rechnen

Ergänze auf 10 €. Ergänze auf 100 €.

1 € 90 c + _______ 55,80 € + _______

4 € 50 c + _______ 89,90 € + _______

7 € 99 c + _______ 48,50 € + _______

2 € 45 c + _______ 10,10 € + _______

Du bezahlst mit einem 200-Euro-Schein.Wie viel Geld bekommst du zurück?

a) 178 € b) 119 € c) 89 € d) 24 €

Wie viel c sind … Wie viel € sind …

9 c mehr als 9 € _______ c 10 c mehr als 1 € _______ €

9 c weniger als 9 € _______ c 10 c weniger als 1 € _______ €

10 c mehr als 10 € _______ c 101 c mehr als 10 € _______ €

10 c weniger als 10 € _______ c 101 c weniger als 10 € _______ €

Berechne den Preis.

Gewicht 10 dag 5 dag 20 dag 25 dag 30 dag 50 dag

Preis 1,20 €

Abb. 108: Preise berechnen


Größenbereich Längen

Längen messen

Gib die Längen der Strecken in mm an.

A B C D E F

Strecke AB AC CD BD CE BF

Länge der Strecke _____ _____ _____ _____ _____ _____

Längenmaße umwandeln

24 cm 5 mm = ____ mm 80 mm = ____ cm 124 mm = ____ cm ____ mm

50 cm 4 mm = ____ mm 530 mm = ____ cm 375 mm = ____ cm ____ mm

15 cm = ____ mm 990 mm = ____ cm 99 mm = ____ cm ____ mm

Trage die Längen in die Tabelle ein und schreibe sie mehrnamig.

m dm cm mm

248 cm 2 4 8 2 m 4 dm 8 cm

749 mm

305 cm

460 mm

Längen ordnen – Längen vergleichen

Vergleiche die Längen: < oder = oder >?

22 mm > 2 cm 404 mm 44 cm 2 cm 6 mm 206 mm

22 mm 20 mm

50 cm 5 dm 77 cm 7 m 4 dm 8 cm 480 cm

4 dm 40 cm 99 mm 9 dm 8 dm 7 mm 870 mm

Ordne diese Längen der Größe nach.

400 cm470 cm8 dm70 cm4 km7 m

_____ < _____ < _____ < _____ < _____ < _____


Mit Längen rechnen

Wie viel m sind … Wie viel cm sind …

1 m mehr als 5 km _______ m 1 cm weniger als 5 m _______ cm

10 m weniger als 10 km _______ m 5 cm mehr als 10 m _______ cm

1 m mehr als 100 km _______ m 2 cm mehr als 20 m _______ cm

1 m weniger als 100 km _______ m 2 cm weniger als 20 m _______ cm

Größenbereich Gewichte

Mit dem Gewichtssatz der Balkenwaage vertraut sein

Hier siehst du einen Gewichtssatz für eine Balkenwaage:

Abb. 109: Gewichtssatz (nach Grosser & Koth, 2012)

Setze mit Gewichten dieses Gewichtssatzes zusammen.

Schreibe so:

a) 245 g 245 g = 200 g + 20 g + 10 g + 10 g + 5 g

b) 179 g

c) 863 g

d) 481 g

Gewichtsmaße umwandeln

14 t = ____ kg 1

2 kg = ____ dag 12 kg = ____ g

2 34 t = ____ kg 2 12 kg = ____ dag 34 kg = ____ g

1 18 t = ____ kg 34 kg = ____ dag 1 14 kg = ____ g

1g 2g 2g 5g 10g 10g 20g 50 g 100g 100g 200g 500g


Gewichte ordnen – Gewichte vergleichen

Trage die Gewichte in die Tabelle ein und schreibe sie mehrnamig.

kg dag g

486 g

2 577 g

3 050 g

277 dag

1 248 g

Kennzeichne gleiche Gewichte mit der gleichen Farbe.

2 kg 4 dag 40 dag 2 g 24 dag 204 dag 204 g 42 dag

2 dag 4 g 402 g

2 kg 40 dag 240 g 24 g 240 dag 420 g 20 dag 4 g

Kennzeichne gleiche Gewichte mit der gleichen Farbe.

2 t 20 kg 2 222 kg 2 200 kg 2 t 2 kg 2 000 kg 2 t 222 kg

2 002 kg 2 t 22 kg

2 t 220 kg 2 t 200 kg 2 t 2 022 kg 2 220 kg 2 020 kg


Größenbereich Zeit

Mit der Uhr vertraut sein

Wie spät ist es? Schreibe zwei mögliche Uhrzeiten auf.

Zeichne die Zeiger ein.

7:20 14:45 4:10 21:25

Mit dem Kalender vertraut sein

Heute ist Sonntag, der 8. Juli.

Übermorgen ist ________________, der ____. Juli.

Vorgestern war ________________, der ____. Juli.

Heute in zwei Wochen ist ________________, der ____. Juli.

Heute vor zwei Wochen war _________________, der ____. ___________.

Zeitmaße umwandeln

Verwandle in Minuten.

1 h 20 min = _____ min 5 h 15 min = _____ min

2 h 30 min = _____ min 3 h 48 min = _____ min

Verwandle in Stunden und Minuten.

100 min = ___ h ____ min 445 min = ___ h ____ min

250 min = ___ h ____ min 284 min = ___ h ____ min


Verwandle in Minuten und Sekunden.

200 s = ___ min ___ s 245 s = ___ min ___ s

333 s = ___ min ___ s 120 s = ___ min ___ s

14 h = ____ min 1

2 min = ____ s 12 Jahr = ____ Monate

34 h = ____ min 2 12 min = ____ s 3

4 Jahr = ____ Monate

1 12 h = ____ min 1 14 min = ____ s 12 Tag = ____ Stunden

Mit Zeitmaßen rechnen

Wie viele Minuten fehlen bis zur nächsten vollen Stunde?

um 8:20 Uhr 40 min um 7:15 Uhr ________ um 19:17 Uhr ________

um 9:50 Uhr ________ um 2:25 Uhr ________ um 17:48 Uhr ________

um 6:10 Uhr ________ um 3:35 Uhr ________ um 15:22 Uhr ________

Wie viele Minuten sind vergangen?

von 8:20 bis 8:55 Uhr 35 min von 17:14 bis 17:56 Uhr ________

von 6:30 bis 7:12 Uhr ________ von 14:07 bis 14:42 Uhr ________

von 9:10 bis 10:15 Uhr ________ von 19:06 bis 19:51 Uhr ________

Wie viele Stunden und Minuten sind vergangen?

a) von 8:50 bis 11:30 Uhr b) von 14:28 bis 17:54 Uhr

Variante 2:

Variante 1:

Abb. 110–112: berechnen der Zeitdauer


Größenbereich Flächeninhalte

Flächeninhalte messen

Wie viel cm2 sind diese Flächenstücke groß? Zeichne die Zentimeterquadrate ein.

__6__ cm2

____ cm2 ____ cm2

____ cm2

____ cm2Abb. 113: Flächeninhalte messen


Diese Flächen können mit ganzen und halben Zentimeterquadraten ausgefüllt werden. Wie viel cm2 sind die einzelnen Flächen groß?

A

B

C D

E

F

G

A B C D E F G

2 cm2

Färbe Flächenstücke dieser Größe:

1 cm2 25 mm2 70 mm2 250 mm2 400 mm2 575 mm2

Abb. 114: Zentimeterquadrate

Abb. 115: Millimeterquadrate


4.9 Operieren im Bereich GeometrieDem Entwickeln der Raumvorstellung sollte in der Grundschule von der ersten Schulstufe an besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden. In den allgemeinen mathematischen Kompe-tenzen heißt es, die Schüler/innen können geometrische Figuren strukturieren und geome-trische Konstruktionen durchführen. Die Arbeit mit den Plättchen (siehe unten) unterstützt diese Forderung. Da in der Grundschule vor allem im 2-dimensionalen Bereich gearbeitet wird, gilt es, den 3-dimensionalen Raum ganz bewusst zu fördern. Dafür wird hier exemplarisch die Arbeit mit den „Kantenmehrlingen“ (Abb. 131–132) angeboten.

Figuren legen und zeichnen

Die Figuren (z. B. 6 Plättchen) können je nach Schulstufe verschieden eingesetzt werden.

1. Schulstufe: Gleiche Anzahlen auf unterschiedliche Weise darzustellen, ist eine Möglichkeit, das Abstraktionsprinzip des Zählens zu festigen.

2. Schulstufe: Die gelegten Figuren werden unter dem Aspekt „symmetrisch oder nicht“ be-trachtet.

3. Schulstufe: Eine nicht symmetrische Figur wird durch Umlegen eines oder mehrerer Plätt-chen zu einer symmetrischen Figur.

Kennt man die Kantenlänge der Plättchen, kann der Umfang der Figur immer berechnet werden.

4. Schulstufe: Der Flächeninhalt dieser Figuren bleibt immer gleich, egal, welche Form sie auch haben. Kennt man den Flächeninhalt eines Plättchens, kann der Flä-cheninhalt der Figur immer berechnet werden.

Lege mit 6 (5, 4) Plättchen verschiedene Muster und male diese auf das Dreieckspapier (Dreieck-Punktgitter) / Karopapier (Karo-Punktgitter).Je nach Vereinbarung müssen sich die Plättchen an einer ganzen Seite berühren (oder nicht).

Material: Plättchen aus Moosgummi / Holz / Karton ... Isometrisches Papier: Dreieckspapier, Karopapier, Dreieck-Punktgitter, Karo-Punktgitter

Dreieckspapier Dreieckpunktgitter

Karopapier Karo-PunktgitterAbb. 116: Legen mit Plättchen

Arbeit im zweidimensionalen Bereich


Beispiel

Abb. 117 – 124: Legen und Zeichnen


Mit Lineal und Geo-Dreieck zeichnen und messen

Zeichne diese Rechtecke fertig. Verwende dein Geodreieck.

Abb. 125: Rechtecke zeichnen

Miss die Längen dieser Strecken.

Abb. 126: Strecken zeichnen

Setze dieses Muster fort.

Abb. 127: Muster fortsetzen


Raumvorstellung beim Würfel

Die Kinder bauen aus Quadraten Würfel und zerlegen diese wieder.Mittels geeignetem Material (z. B. Polydron, Clixi, Lokon ...) sollen die Kinder möglichst viele

� verschiedene Quadratsechslinge finden und danach daraus die Würfelnetze isolieren. Im Vordergrund stehen die Teilkomponenten der visuellen Wahrnehmung, nämlich Wahr-nehmungskonstanz und Wahrnehmung räumlicher Beziehungen.

� Würfelnetze finden und aufzeichnen. � Erst später wird vereinbart, dass nur jene Quadratsechslinge als verschieden gelten, die

weder durch Spiegelung noch durch Drehung aufeinander abgebildet werden können (daher kennen wir nur elf verschiedene Würfelnetze).

Das Material ermöglicht den Kindern, sofort zu überprüfen, ob aus dem jeweiligen Quadrat-sechsling ein Würfel zusammengebaut werden kann oder nicht. Kinder können im Anschluss daran durch ein eigenes System die gefundenen Quadratsechslinge in eine eigene Ordnung bringen.

Zusammengeklickte Flächenmodelle sollen auf verschiedene Art und Weise auseinanderge-klappt und die so entstandenen Netze aufgezeichnet werden.Für ein fundamentales Begriffsverständnis sind beide Handlungen – das Zusammenklappen und das Auseinanderklappen – notwendig.

Abb.128: Arbeit mit dem Flächenmodell

Arbeit im dreidimensionalen Bereich


Würfelkanten biegen und einzeichnenZur Förderung der Raumvorstellung bei Würfeln werden aus Pfeifenputzern „Kantenmehrlin-ge“ geformt.

Es wird zuerst 2-dimensional und danach 3-dimensional mit verschiedenen Kantendrillingen und Kantenvierlingen gearbeitet.

Abb. 129–130: Kantenmehrlinge mit Pfeifenputzern

Die folgenden Arbeitsblätter („Wo hat sich die Figur versteckt?“) können differenziert einge-setzt werden. Leistungsschwächere Kinder zeichnen und suchen bei Würfeln nur im 2-di-mensionalen Bereich. Die leistungsstärkeren Kinder sind im 3-dimensionalen Bereich sehr gefordert, vor allem bei der Fähigkeit, sich Rotationen von Objekten vorzustellen.

Abb. 131–132: Kantenmodelle (Idee nach http://www.pikas.uni-dortmund.de)

Kantenvierlinge

Kantendrillinge


Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schul-wesens (BIFIE) & Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) (Hrsg.) (2010). Themenheft Mathematik „Kommunizieren“. Volksschule Grundstufe I + II. Graz: Leykam. Ver-fügbar unter https://www.bifie.at/node/316 [14.10.2014].

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Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schul-wesens (BIFIE) & Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) (Hrsg.) (2012). Themenheft Mathematik „Modellieren“. Volksschule Grundstufe I + II. Graz: Leykam. Verfüg-bar unter https://www.bifie.at/node/1578 [14.10.2014].

Fast, M. (2005). Mathematische Leistung und intellektuelle Fähigkeiten. Integrative Bega-bungsförderung bei Sechs- bis Zehnjährigen. Wien: Lit.

Franke, M. (2007). Didaktik der Geometrie in der Grundschule. Heidelberg: Spektrum.

Gaidoschik, M. (2007). Rechenschwäche vorbeugen. Das Handbuch für LehrerInnen und Eltern. Wien: öbv/hpt.

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Grosser, N. & Koth, M. (2012). Alles klar! 3. Übungsheft. Sachrechnen und Größen. Linz: Veritas.

Hess, K. (2012). Kinder brauchen Strategien. Eine frühe Sicht auf mathematisches Verste-hen. Seelze: Klett-Kallmeyer.

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Käpnick, F. (2014). Mathematiklernen in der Grundschule. Heidelberg: Springer.

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5 Literaturverzeichnis


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Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (2000). Handbuch für den Mathematikunterricht. 4. Schuljahr. Hannover: Schroedel.

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Wolf, W. (Hrsg.). (2009). Lehrplan der Volksschule. Graz: Leykam.


Anhang

Allgemeine mathematische Kompetenzen (AK)

Kompetenzbereich: Modellieren (AK 1)

1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen

Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� aus Sachsituationen relevante Informationen entneh-men,

� passende Lösungswege finden, � die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.

1.2 Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragen

Kompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können

� zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen.

Kompetenzbereich: Operieren (AK 2)

2.1 Mathematische Abläufe durchführenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, � arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, � geometrische Konstruktionen durchführen.

2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Tabellen und Grafiken erstellen, � Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.

Kompetenzbereich: Kommunizieren (AK 3)

3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen


� mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen,

� ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren, � Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und

Handlungsweisen begründen.

3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen


� ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentations-formen festhalten,

� Zeichnungen und Diagramme erstellen.

Kompetenzbereich: Problemlösen (AK 4)

4.1 Mathematisch relevante Fragen stellenKompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können

� ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen.

4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden,

� zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

Inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK)

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Zahlen (IK 1)

1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Zahlen im Zahlenraum 100 000 lesen und darstellen, � sich im Zahlenraum 100 000 orientieren, Zahlen

vergleichen und diese in Relation setzen, � arithmetische Muster erkennen, beschreiben und

fortsetzen.

Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe


1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, … Zehntausender runden,

� Anzahlen schätzen.

1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Bruchzahlen darstellen, � Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen, � Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Operationen (IK 2)

2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammen-hänge verstehen

Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenopera-tionen,

� können die Zusammenhänge zwischen den Grundrech-nungsarten erklären,

� können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses,

� können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben verwenden.

2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20,

� beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundauf-gaben im Zahlenraum 100,

� können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen,

� können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen, � können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Über-

schlagsrechnungen durchführen.

2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenver-fahren,

� können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen,

� können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Größen (IK 3)

3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen,

� können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben,

� können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.

3.2 Größen messen und schätzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� beherrschen den Grundvorgang des Messens, � können mit geeigneten Maßeinheiten messen, � können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise

begründen.

3.3 Mit Größen operierenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Größen miteinander vergleichen, � mit Größen rechnen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Ebene und Raum (IK 4)

4.1 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen


� geometrische Körper und Flächen benennen, � die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben, � Modelle von geometrischen Körpern herstellen, � geometrische Figuren zeichnen oder konstruieren.


4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen,

� vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst entwickeln oder fortsetzen,

� den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit herstellen.

4.3 Mit geometrischen Figuren operierenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusam-mensetzen,

� Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und umgekehrt.

4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheits-längen messen,

� den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen, � den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels

Einheitsflächen messen, � den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berech-

nen.


Rechtliche Grundlagen

Siehe dazu:

BGBI. I Nr. 117/2008BGBI. II Nr. 1/2009


Notizen

www.bifie.at

Leykam [email protected]

ISBN 978-3-7011-7967-1

Documents

Information · 2018-12-05 · 61 4.4 Runden von Zahlen – Überschlagen von Ergebnissen 70 4.5 Flexibles Rechnen – im Kopf oder schriftlich? 72 4.6 Schriftliche Division durch