Institutionelles Asset Management Mag. Gerold Permoser, CFA INNOVEST Finanzdienstleistungs AG Kärntner Straße 28 1010 Wien

Institutionelles Asset Management

Mag. Gerold Permoser, CFAINNOVEST Finanzdienstleistungs AGKärntner Straße 281010 Wien

Tag 3 2Mag. Gerold Permoser, CFAInstitutionelles Asset Management

Inhaltsangabe

Portfoliooptimierung – ein Beispiel Probleme der Portfoliooptimierung Lösungsansätze für diese Probleme Literaturverzeichnis


Markowitz Portfolio Selection

Die Portfoliokonstruktion hängt von Rendite und Risiko ab:

n

iiiP RwR

1

.

ijjij

n

i

n

jiijj

n

i

n

jiP kwwww ......

1 11 1

2

In Matrizenschreibweise

RwR TP .

wVwTP ..2

R: Renditevektor

w: Gewichtungsvektor

wT: transponierter Gewichtungsvektor

V: Kovarianzmatrix


OptimierungsansatzDer Portfolionutzen wird optimiert:

2. PPRU Max!

Unter den Nebenbedingungen:

Inputparameter:

)...,,1,(, njiiji

Outputparameter:

11

n

iiw

)...,,1(0 niwi

1.

2.

nwww ,...,, 21


Inhaltsangabe



Probleme der Markowitz Optimierung

Die Annahmen, die der Theorie zugrunde liegen, sind z.T. unzutreffend:

Investoren agieren oft nicht risikoavers

Investments sind nicht beliebig teilbar (Mindestinvestitionsvolumen)

Steuern und Transaktionskosten verzerren das Ergebnis

Investoren beeinflussen durch ihre Aktionen den Preis eines Assets

Die Parameter für die Portfoliooptimierung müssen geschätzt werden. Damit ist man zwangsläufig mit Schätzfehlern konfrontiert.

Welche Auswirkungen haben diese Schätzfehler?

Welche Parameter sind besonders wichtig?


Bedeutung von Schätzfehlern (1) Wie wirken sich Fehler bei der Schätzung von Rendite, Varianz und Kovarianz

auf die Ergebnisse der Optimierung aus? Chopra/Ziemba haben 1993 eine Untersuchung zu diesem Thema verfasst Sie haben dabei die Auswirkung gleichgroßer Fehler bei den

Inputparametern auf die Outputparameter untersucht.

RisikoaversionFehler

Renditen vs. Varianzen

Fehler Renditen vs. Kovarianzen

Fehler Varianzen

versus Kovarianzen

hoch (Lamda = 4) 3.22 5.38 1.67mittel (Lamda = 2) 10.98 22.5 2.05niedrig (Lamda = 1.33) 21.42 56.84 2.68Quelle: Chopra/Ziemba, 1993

Diese Studie dient oft als Rechtfertigung für das geläufige Vorgehen der Praxis: Bei niedriger bis mittlerer Risikoaversion sollte kein hoher Aufwand bei der

Prognose der Kovarianzmatrix betrieben werden Für die Kovarianzmatrix werden meist historische Daten als Schätzer

verwendet


Bedeutung von Schätzfehlern (2)

Die Studien zeigen, dass historische Mittelwerte schlechte Schätzer für die zukünftigen Erträge sind

Die Güte historischer Daten für die Schätzung der zukünftigen Kovarianzmatrizen ist hingegen deutlich besser

Paper Untersuchungsgegenstand Datenfrequenz Untersuchungsperiode

Jorion, 1985 7 int. Aktienindizes monatlich Jan. 1971 bis Dez. 1983Sharpe, 1987 154 Fonds bzw. Indizes monatlich Jan. 1980 bis Dez. 1985Hepp, 1990 8 int. Aktien-/Bondindizes monatlich Dez. 1977 bis Dez. 1987Stucki, 1994 7 int. Aktienindizes wöchentlich u. jährlich Jan. 1979 bis Dez. 1993


Portfoliotheorie in der Praxis

Angesichts der Tatsache, dass die Inputparameter für die Portfolio-Optimierung nur geschätzt werden, wie sicher kann ein Investor sein, das „richtige“ optimale Portfolio gewählt zu haben?

Um diese Frage zu beantworten untersuchte Jorion in einer Studie 7 internationale und einen Welt-Rentenindex aus der Sicht eines US-Investors

Es wurden folgende Parameter berechnet: Total Return (Preisänderungen, Kuponzahlungen, Wiederveranlagung,

Währungsgewinn)

Standardabweichung Korrelationen


Ertrag, Risiko und Korrelation

Quelle: Jorion

Quelle: „International Portfolio Diversification with Estimation Risk“ Jorion, P. Journal of Business, July 1985, 259 – 278


Effiziente Portfolios



Design der Simulation

Schritt 1: Definiere t als die Zahl der Monate und n als die Anzahl der Assets, für die Daten zur Verfügung stehen. Führe unter der Annahme, die berechneten Parameter sind die „wahren“ Parameter der Returnverteilung und zu gegebenen Investorenpräferenzen eine Portfoliooptimierung durch. Resultat ist ein optimales Portfolio.

Schritt 2: Generiere mit den „wahren Parametern“ eine multivariate Normalverteilung und ziehe aus dieser einen (nx1) Vektor mit zufälligen Returns. Wiederhole diesen Vorgang t mal. Als Ergebnis erhält man für n Assets Zeitreihen für zufällige Monatsreturns für einen Zeitraum von t Monaten.

Schritt 3: Berechne auf der Basis dieser Daten Mittelwerte, Varianzen und Kovarianzen und führe eine Portfoliooptimierung durch.

Schritt 4: Berechne auf die selbe Art 1000 Portfolios. Das Ergebnis ist eine Verteilung der optimalen Portfolios.

Schritt 5: Bestimme ein Signifikanzniveau, z.B. 95%, und schließe die 5% der Portfolios mit dem schlechtesten Risiko/Ertragsverhältnis aus. Resultat ist ein Menge von „statistisch äquivalenten“ Portfolios.


Statistisch äquivalente Portfolios


Die statistisch nicht signifikant unterscheidbare optimale Portfolios bilden eine breit streuende Punktwolke und unterscheiden sich zum Teil deutlich von „wahren“ optimalen Portfolio!


Auswirkungen von Schätzfehlern Jobson und Korkie haben versucht, den Effekt von Schätzfehlern auf das Portfolio zu

beziffern. Zu diesem Zweck haben sie 20 Assets „konstruiert“. Sie haben zu diesem Zweck

Erträge, Standardabweichung und Korrelationen definiert. Die wahren Parameter der Returnverteilung sind damit bekannt.

Aus den Verteilungen haben sie dann 500 Mal jeweils 60 bzw. 100 Stichproben (= Monate) gezogen und aus diesen Erträge, Standardabweichungen und Korrelationen geschätzt. Auf der Basis dieser Schätzungen wurden dann optimale Portfolios berechnet.

In der folgenden Tabelle sind die durchschnittlichen Ergebnisse dargestellt:

Quelle: „Putting Markowitz theory to work“ ; Jobson, J.D.; Korkie, B; The Journal of Portfolio Management; Summer 1981; 70 – 74

"wahres optimales Portfolio"

durchschnittliche optimale Portfolios auf der Basis von Daten

für 60 Monate

durchschnittliche optimale Portfolios auf der Basis von Daten

für 60 MonateErtrag p.m. 1.38% 10% 5%Risiko p.m. 4.04% 35% 15%


Auswirkungen von Schätzfehlern Wichtigster Inputparameter für die Portfoliooptimierung ist der erwartete Ertrag.

Dieser ist aber auch der am schwersten zu bestimmende Inputparameter.

Kleine Änderungen der Input-Parameter (Return, Risiko, Korrelation) resultieren in gänzlich unterschiedlichen Efficient Frontiers. Damit haben schon geringe Schätzfehler, vor allem beim Ertrag, große Auswirkungen auf das Portfolio.

Diese starke Sensitivität des Optimierers führt zu in der Praxis unerwünschten Eigenschaften:

Hoher Turnover führt zu hohen Kosten. Bei ähnlichem Risiko führen schon geringe Unterschiede im Return zu

sogenannten Box Solutions. Error Maximizing.

Dies führt oft zu Problemen, wenn man mit Schätzern auf Basis historischer Daten arbeitet.

Neben den Schätzfehlern selbst, gibt es auch das Risiko, dass sich die zu schätzenden Parameter selbst im Zeitablauf ändern.


Die 10 besten und schlechtesten Monate!

0

100

200

300

400

500

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1,000

1,1001

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2

To

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S&P 500

S&P ohne 10 schlechtesten Monate

S&P ohne 10 besten Monate

Quelle: INNOVEST


Die 10 besten und schlechtesten Monate!

normal ohne min ohne max normal ohne min ohne maxAnfangswert 100 100 100 100 100 100Endwert 694,634,593.34 5,331,956,643.59 99,763,608.23 2,304,456.13 13,879,804.18 400,313.30 monat. Rendite 0.65% 0.73% 0.57% 0.80% 0.94% 0.66%jährliche Rendite 8.07% 9.16% 7.04% 10.02% 11.92% 8.21%

normal ohne min ohne max normal ohne min ohne maxAnfangswert 100 100 100 100 100 100Endwert 266,957.07 1,607,889.97 46,373.83 84,189.27 234,261.80 32,631.45 monat. Rendite 0.83% 1.02% 0.65% 0.94% 1.08% 0.80%jährliche Rendite 10.48% 13.01% 8.06% 11.85% 13.76% 10.10%

normal ohne min ohne max normal ohne min ohne maxAnfangswert 100 100 100 100 100 100Endwert 1,842.35 4,583.02 777.17 458.36 966.53 216.02 monat. Rendite 1.05% 1.39% 0.74% 0.84% 1.25% 0.42%jährliche Rendite 13.40% 17.95% 9.25% 10.56% 16.13% 5.21%

ab 1982 ab 1990

ab 1802 ab 1900

ab 1926 ab 1945

Quelle: INNOVEST


Inhaltsangabe



Lösungsansätze

Verbesserung der Renditeprognosen

Einsatz von Restriktionen(z.B ) Resampling

James Stein Schätzer Grinold/KahnBlack/Litterman-Ansatz

%300 iw

In der Praxis hat sich eine Vielzahl von Verfahren entwickelt, welche die Unsicherheit der geschätzten Inputparametern berücksichtigen.

Einige verwenden die gesamte Verteilung der geschätzten Parameter (Resampling)

Andere Verfahren versuchen die Sicherheit einer Prognose explizit einzubauen (Black/Littermann)

Allen Verfahren gemeinsam ist, dass man durch den Einsatz dieser Verfahren stabilere Portfolios erzeugt.


Nutzen der Markowitz Optimierung

Jeder Investor steht irgendwann vor der Entscheidung, wie er ein Portfolio konstruiert. Die Frage ist daher nicht, ob „Markowitz“ oder nicht, sondern „Markowitz“ oder was sonst.

Die Vorteile, von auf der Portfoliotheorie von Markowitz aufbauenden Verfahren sind:

Verfügbare Informationen über Finanzmärkte werden in der Entscheidungsfindung berücksichtigt.

Die Markowitz Optimierung liefert konsistente Lösungen für die Portfoliokonstruktion.

Viele Probleme der Portfoliooptimierung sind „behandelbar“. Vor allem in Verbindung mit stark quantitativen Investmentansätzen können Lösungen für die Probleme der Portfoliooptimierung gefunden werden. Manager die einen quantitativen Investmentansatz verfolgen, haben genaue Vorstellungen über die Güte ihrer Modelle bzw. die Kofidenz ihrer Schätzer.


Fragen

Aktuell, März 2006, empfiehlt Ihnen ein Berater, Ihre Veranlagung auf 1/3 Immobilien, 1/3 Emerging Markets Aktien und 1/3 Hedge Fonds umzustellen. Diese Gewichte sind das Ergebnis einer Portfoliooptimierung nach Markowitz. Was halten Sie von dieser Vorgehensweise?

Ein Manager empfiehlt Ihnen Japan aus Ihrer Veranlagung zu streichen. Was könnte hinter dieser Entwicklung stehen?

Was ist die Gefahr von extremen Portfoliopositionierungen?

Was ist üblicherweise das Ergebnis von „Verbesserungen“ der Inputparameter der Markowitz Optimierung?

Ein Berater erstellt Ertrags- und Risikoschätzungen für verschiedene Asset Klassen und erstellt auf der Basis dieser Werte ein Portfolio. Er geht von einem Ertrag von 12% für die Periode, für die das Portfolio geschätzt wurde, aus. Welches Risiko könnte diese Prognose enthalten?


Inhaltsangabe



Literaturverzeichnis „Active Portfolio Management“

Grinold, R. Kahn, R.N.2nd edition, 2000, New York

„Global Portfolio Optimization“Black, F.; Litterman, RFinancial Analysts Journal, Sep/Oct 1992

„Putting Markowitz theory to work“ Jobson, J.D.; Korkie, B

The Journal of Portfolio Management; Summer 1981, 70 – 74 „International Portfolio Diversification with Estimation Risk““

Jorion, P.Journal of Business; July 1985; 259 – 278

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Institutionelles Asset Management Mag. Gerold Permoser, CFA INNOVEST Finanzdienstleistungs AG Kärntner Straße 28 1010 Wien