Inverse Probleme

Anwendung bei der Experimentauswertung

Inverses Problem

b

a

dttftxKxb )(),()(

)(xb)(tf

• Aus indirekten Beobachtungen eines Objekts auf dessen physikalische Eigenschaften zurückschließen

• Beispiele:– Computer-Tomographie– Seismologie– Astronomie– Signalverabeitung und Mustererkennung– Auswertung von EXAFS-Daten

• Mathematische Formulierung:

),( txK

- gemessene/beobachtete Größe

- gesuchte physikalische Eigenschaft

- Integralkern, beschreibt wie die gesuchte physikalische Eigenschaft die gemessenen Größe erzeugt (Theorie)

Inverses Problem Lösung + Schwierigkeiten

b

a

dttftxKxb )(),()(

fAb

*

Die Fredholmsche Integralgleichung

wird diskretisiert, es entsteht ein Gleichungssystem

wobei b und f Vektoren, A eine Matrix sinddie formale Lösung der Gleichung wäre dann

bAf

*1aber 1. kleine Fehler in b, bzw. in A (Theorie kann ungenau sein!) führen zu

großen Abweichungen in f (Oszillationen)2. die Matrix A ist meist schlecht konditioniert, traditionelle Verfahren zur Berechnung der Inversen (Gauß-Jordan-Algorithmus, Adjunkte)

scheitern.

1. Schwierigkeit → Regularisierung

2

2

22

2*minarg fbfAf

2

2* bfA

2

2f

Suche nach Lösung, die folgender Bedingung genügt:

→ minimale Norm des Residuums und

→ minimale Norm der Lösung (Oszillationen!)

Regularisierungparameter klein → geringe Dämpfung der Oszillationen groß → Dämpfung der Struktur der Lösung

Minimierungsproblem (Methode der kleinsten Quadrate) führt zu

bAIAAf TT **12

es bleibt: - möglichst exakte Matrizeninversion - Bestimmung des Regularisierungsparameters

2.Schwierigkeit → Singulärwertzerlegung (SVD)

nnj

TT

T

wwwwdiagW

IVVUU

VWUA

...],[ 21,1

Jede rechteckige m x n Matrix A kann zerlegt werden in

mit

dabei hat U die gleiche Gestalt wie A, V ist eine quadratische n x n Matrix,nach den Regeln der Matrizenalgebra ergibt sich für die Inverse von A

][ 1

,11

111

nj

TT

wdiagW

UWVVWUA

der Wert w1/wn heißt Konditionszahl der Matrix A,wenn (Konditionszahl)-1 ~ Rechnergenauigkeit,dann ist A schlecht konditioniert.

Optimaler Regularisierungsparameter

TVWUA ** bAIAAf TT **

12

Einsetzen der Singulärwertzerlegung

in Gleichung für regularisierte Lösung

führt zu bUIW

WVf T *

22

für das Residuum ergibt sich bUIW

WIUfAb T ***

22

2

→ Norm der Lösung und Norm des Residuums als Funktion des Regularisierungsparameters λ

bAbUWVfw Tn **** 11

bAbUWVfw TT *1

**1

*221

Optimaler Regularisierungsparameter:1. kleiner Fehler 2. kleine Oszillationen der Lösung

L-KurveNorm der Lösung als Funktion der Norm des Residuums parametrisiert mitRegularisierungsparameter in logarithmischer Darstellung

λ32 = 0,17*10-16

λ22 = 0,55*10-4

λ12 = 2,51*10-2

Optimaler Regularisierungsparameter ~ Knick in der L-Kurve, maximale Krümmung der L-Kurve,

Anwendung: Analyse der Feinstruktur von Röntgenabsorptionsspektren (EXAFS)

AugereffektDer normierte oszillierende Teil des Spektrums (NOP)entsteht durch Interferenz bei der Rückstreuungherausgeschlagener Elektonen an benachbartenAtomen und wird bestimmt durch Nahordnung:• Entfernung zu nächsten Nachbarn Reff• Koordinationszahl N (Anzahl von Atomen mit Reff)• Debye-Waller-Faktor σ2

Nahordnung → Information über chemische Bindungz.B. wie werden radioaktive Stoffe im Abraum gebunden

Inverse Aufgabe: Bestimmung der Paarverteilungsfunktion

drkkrk

rrkfrg

kk

2sin2

exp),(*)(4

)(0

0

2 14*1

drrrgV

r

rrrg

rr

rg a

a

1

00

Nahordnung (Reff, N und σ2) wird beschrieben durch Paarverteilungsfunktion g(r)

Bestimmung von g(r) aus NOP χ(r) → inverse Aufgabe

Quantenmechanische Betrachtung:

reiteHalbwertsb -

4

maxarg

2

22

1

r

r

eff

drrgrN

rgR

Beispiel: Cm3+ in wässriger Lösung

4 5 6 7 8k ,[Å -1]

- 4

- 2

0

2

4

(k)k

3

Das langlebige Curium-Isotop spielt wichtige Rolle in Nuklearmülllagern, die Frage, von wievielen Sauerstoffatomen es in wässriger Lösung umgeben ist, hat Bedeutung für die Abschätzung seiner Mobilität.

Bei ROBL am ESRF in Grenoble wurden

• EXAFS-Spektren von Cm3+ in wässriger Lösung aufgenommen

• das NOP aus dem Spektrum bestimmt

• Mit Hilfe der Regularisierungsmethode bei optimalem Regularisierungsparameter konnte die Koordinationszahl mit 9.2 bestimmt werden

Bisherige (Fit)-Methoden ergaben in Abhängigkeit von Fit–Parametern Werte zwischen 8.4 und 9.3

Literatur

1. Numerical Recipes in Fortran, Cambridge University Press 1992, S.51 (FZD: I 2038)

2. Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion, Hansen, P.C., 1998, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, ISBN 0-89871-403-6

3. Hansen, P.C. The L-Curve and its Use in the Numerical Treatment of Inverse Problems (http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/publication_details.php?id=449)

4. Matlab Software for Regularization of Discrete Ill-Posed Problems (http://www2.imm.dttu.dk/~pch/Regtools/index.html http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=52&objectType=file)

5. Zeitschriften:• Inverse Problems, Elektonische Zeitschrift des IOP (Institut of Physics) zum Themenkreis Inverse

Probleme: http://www.iop.org/EJ/journal/IP (seit 1985)• Journal of Inverse and Ill Posed Problems, http://www.ingentaconnect.com/content/09280219