Kapitel 6 Differenzierbarkeit. Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 6.1 Die Definition 6.2 Die Eigenschaften 6.3 Extremwerte

Kapitel 6

Differenzierbarkeit

Kapitel 6

Differenzierbarkeit

Kapitel 6: Differenzierbarkeit

© BeutelspacherJuni 2005

Seite 2

InhaltInhalt

6.1 Die Definition

6.2 Die Eigenschaften

6.3 Extremwerte

6.1 Die Definition

6.2 Die Eigenschaften

6.3 Extremwerte



Seite 3

Was heißt „differenzierbar“?Was heißt „differenzierbar“?

Differenzierbare Funktionen sind „glatte“ Funktionen. Wir

beschreiben diese in vier Stufen.

1. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn man sie in

einem Schwung, ohne anzuhalten, zeichnen kann.

2. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie keine

Knicke hat.

3. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie in jedem

Punkt eine eindeutige Tangente hat. Entscheidend ist die

Eindeutigkeit: Sie muss in jedem Punkt eine Tangente haben, sie

darf aber auch keine zwei (oder noch mehr) haben.

Differenzierbare Funktionen sind „glatte“ Funktionen. Wir

beschreiben diese in vier Stufen.

1. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn man sie in

einem Schwung, ohne anzuhalten, zeichnen kann.

2. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie keine

Knicke hat.

3. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie in jedem

Punkt eine eindeutige Tangente hat. Entscheidend ist die

Eindeutigkeit: Sie muss in jedem Punkt eine Tangente haben, sie

darf aber auch keine zwei (oder noch mehr) haben.



Seite 4

Der DifferenzenquotientDer Differenzenquotient

4. (mathematische) Beschreibung:Was heißt: Die Funktion f ist „in einem Punkt“ x0 differenzierbar?

Wir setzen die dritte Beschreibung in mathematische Sprache um. Sei x ein Punkt mit x x0. Der zugehörige Differenzenquotient ist

.

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Geraden (Sekante) durch die Punkte (x0 f(x0)) und (x f(x)).

4. (mathematische) Beschreibung:Was heißt: Die Funktion f ist „in einem Punkt“ x0 differenzierbar?

Wir setzen die dritte Beschreibung in mathematische Sprache um. Sei x ein Punkt mit x x0. Der zugehörige Differenzenquotient ist

.

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Geraden (Sekante) durch die Punkte (x0 f(x0)) und (x f(x)).

. x-x

)f(x - f(x)

0

0



Seite 5

Die TangenteDie Tangente

Wie kann man die Tangente im Punkt (x0 f(x0)) beschreiben? Wir

lassen „einfach“ „x gegen x0 laufen“.

Präziser: (a) Wir betrachten eine beliebige Folge (xn), die gegen x0

konvergiert. (b) Für jedes Element xn der Folge betrachten wir den

zugehörigen Differenzenquotienten

(c) Wir betrachten die Folge der Differenzenquotienten. Diese kann

konvergieren, muss aber nicht. Und die Grenzwert können alle

gleich sein, müssen aber nicht.

(d) Die Funktion, die immer muss, ist differenzierbar:

Wie kann man die Tangente im Punkt (x0 f(x0)) beschreiben? Wir

lassen „einfach“ „x gegen x0 laufen“.

Präziser: (a) Wir betrachten eine beliebige Folge (xn), die gegen x0

konvergiert. (b) Für jedes Element xn der Folge betrachten wir den

zugehörigen Differenzenquotienten

(c) Wir betrachten die Folge der Differenzenquotienten. Diese kann

konvergieren, muss aber nicht. Und die Grenzwert können alle

gleich sein, müssen aber nicht.

(d) Die Funktion, die immer muss, ist differenzierbar:

0

0

x- x

)f(x -)f(x

n

n



Seite 6

Die DefinitionDie Definition

Definition. Sei f eine Funktion, und sei x0 ein Element ihres

Definitionsbereichs. Die Funktion f heißt differenzierbar im Punkt x0, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(a) Für jede Folge (xn), die gegen x0 konvergiert (wobei die xn aus

dem Definitionsbereich von f sind) konvergiert auch die Folge

der Differenzenquotienten.

(b) Alle Grenzwerte der Folgen , die in (a) auftreten,

sind gleich.

Definition. Sei f eine Funktion, und sei x0 ein Element ihres

Definitionsbereichs. Die Funktion f heißt differenzierbar im Punkt x0, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(a) Für jede Folge (xn), die gegen x0 konvergiert (wobei die xn aus

dem Definitionsbereich von f sind) konvergiert auch die Folge

der Differenzenquotienten.

(b) Alle Grenzwerte der Folgen , die in (a) auftreten,

sind gleich.

) x- x

)f(x -)f(x(

0

0

n

n

) x- x

)f(x -)f(x(

0

0

n

n



Seite 7

Die Definition (Fortsetzung)Die Definition (Fortsetzung)

Der (nach Definition) eindeutig bestimmte Grenzwert der

Differenzenquotienten einer differenzierbaren Funktion ist die Steigung der Tangente im Punkt x0.

Man nennt diesen Grenzwert auch den Differentialquotient oder die Ableitung im Punkt x0 und schreibt dafür f'(x0).

Man sagt, eine Funktion ist (überall) differenzierbar, wenn sie in

jedem Punkt differenzierbar ist.

Beispiel: Bei einer Funktion des Typs f(x) = mx + b ist jeder

Differenzenquotient gleich m, also sind auch alle Grenzwerte gleich

m. Somit ist die Funktion differenzierbar, und die Anleitung in jedem

Punkt ist m.

Der (nach Definition) eindeutig bestimmte Grenzwert der

Differenzenquotienten einer differenzierbaren Funktion ist die Steigung der Tangente im Punkt x0.

Man nennt diesen Grenzwert auch den Differentialquotient oder die Ableitung im Punkt x0 und schreibt dafür f'(x0).

Man sagt, eine Funktion ist (überall) differenzierbar, wenn sie in

jedem Punkt differenzierbar ist.

Beispiel: Bei einer Funktion des Typs f(x) = mx + b ist jeder

Differenzenquotient gleich m, also sind auch alle Grenzwerte gleich

m. Somit ist die Funktion differenzierbar, und die Anleitung in jedem

Punkt ist m.



Seite 8

Was heißt „nicht differenzierbar“?Was heißt „nicht differenzierbar“?

Um nachzuweisen, dass f nicht differenzierbar im Punkt x0 ist,

haben wir zwei Möglichkeiten:

Die Funktion f ist nicht differenzierbar im Punkt x0, wenn

mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen gilt:

(a) es gibt mindestens eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert

(wobei die xn aus dem Definitionsbereich von f sind), für die die

Folge () der Differentialquotienten nicht konvergiert.

(b) Es gibt zwei Folgen (xn) und (zn), die gegen x0 konvergieren,

so dass die zugehörigen Folgen der Differenzenquotienten zwar

konvergieren, aber gegen verschiedene Grenzwerte.

Um nachzuweisen, dass f nicht differenzierbar im Punkt x0 ist,

haben wir zwei Möglichkeiten:

Die Funktion f ist nicht differenzierbar im Punkt x0, wenn

mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen gilt:

(a) es gibt mindestens eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert

(wobei die xn aus dem Definitionsbereich von f sind), für die die

Folge () der Differentialquotienten nicht konvergiert.

(b) Es gibt zwei Folgen (xn) und (zn), die gegen x0 konvergieren,

so dass die zugehörigen Folgen der Differenzenquotienten zwar

konvergieren, aber gegen verschiedene Grenzwerte.



Seite 9

Beispiel: f(x) = x2Beispiel: f(x) = x2

6.1.1 Satz. Die Ableitung der Funktion f(x) = x2 ist f'(x) = 2x.

Insbesondere ist die Funktion f(x) = x2 differenzierbar.

Beweis. Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (xn) eine Folge, die

gegen x0 konvergiert. Dann gilt

Da (xn) gegen x0 konvergiert, konvergiert die Folge (xn+x0) gegen

2x0.

Also ist die Ableitung von f in dem beliebigen Punkt x0 gleich 2x0.

Daher ist die Ableitung von f(x) gleich 2x.

6.1.1 Satz. Die Ableitung der Funktion f(x) = x2 ist f'(x) = 2x.

Insbesondere ist die Funktion f(x) = x2 differenzierbar.

Beweis. Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (xn) eine Folge, die

gegen x0 konvergiert. Dann gilt

Da (xn) gegen x0 konvergiert, konvergiert die Folge (xn+x0) gegen

2x0.

Also ist die Ableitung von f in dem beliebigen Punkt x0 gleich 2x0.

Daher ist die Ableitung von f(x) gleich 2x.

. xx x- x

) xx)( x-(x

x- x

x-x

x- x

)f(x -)f(x0

0

00

0

20

2

0

0

nn

nn

n

n

n

n



Seite 10

Beispiel: f(x) = 1/xBeispiel: f(x) = 1/x

6.1.2 Satz. Die Funktion f(x) = 1/x hat die Ableitung f'(x) = –1/x2.

Insbesondere ist die Funktion f(x) = 1/x überall differenzierbar.

Beweis. Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (xn) eine beliebige

Folge, die gegen x0 konvergiert. Dann gilt

Da (xn) gegen x0 konvergiert, konvergiert die Folge –1/xnx0 gegen

–1/x02 .

Also ist die Ableitung von f im Punkt x0 gleich –1/x02 .

Daher ist die Ableitung von f(x) gleich –1/x2.

6.1.2 Satz. Die Funktion f(x) = 1/x hat die Ableitung f'(x) = –1/x2.

Insbesondere ist die Funktion f(x) = 1/x überall differenzierbar.



Da (xn) gegen x0 konvergiert, konvergiert die Folge –1/xnx0 gegen

–1/x02 .

Also ist die Ableitung von f im Punkt x0 gleich –1/x02 .

Daher ist die Ableitung von f(x) gleich –1/x2.

.xx

1-

) x- (xxx

) x-(x

x- x

1/x -1/x

x- x

)f(x -)f(x

0n0n0n

n0

0n

0n

0n

0n



Seite 11

Beispiel: f(x) = exp(x)Beispiel: f(x) = exp(x)

6.1.3 Satz. Die Exponentialfunktion f(x) = exp(x) hat die Ableitung

f'(x) = exp(x). Insbesondere ist die Exponentialfunktion überall

differenzierbar und ihre Ableitung ist gleich der Originalfunktion.



6.1.3 Satz. Die Exponentialfunktion f(x) = exp(x) hat die Ableitung

f'(x) = exp(x). Insbesondere ist die Exponentialfunktion überall

differenzierbar und ihre Ableitung ist gleich der Originalfunktion.



.x-x

)x-xexp( -1)(xexp

x-x

)x-xexp()exp(x -)exp(x

x- x

)x-xexp(x -)exp(x

x- x

)exp(x -)exp(x

x- x

)f(x -)f(x

0n

n0n

0n

n0nn

0n

n0nn

0n

0n

0n

0n



Seite 12

BeweisendeBeweisende

Da (xn) gegen x0 konvergiert, geht der erste Faktor gegen exp(x0);

der zweite Faktor konvergiert gegen 1 (ohne Beweis).

Also ist die Ableitung von f an der Stelle x0 gleich exp(x0). Das

heißt exp'(x) = exp(x) für alle x.

Da (xn) gegen x0 konvergiert, geht der erste Faktor gegen exp(x0);

der zweite Faktor konvergiert gegen 1 (ohne Beweis).

Also ist die Ableitung von f an der Stelle x0 gleich exp(x0). Das

heißt exp'(x) = exp(x) für alle x.



Seite 13

6.2 Differenzierbarkeit: Die Eigenschaften6.2 Differenzierbarkeit: Die Eigenschaften

Ziele:

1. Aus einer oder zwei differenzierbaren Funktionen mach eine

neue!

2. Eigenschaften einer differenzierbaren Funktion

Ziele:

1. Aus einer oder zwei differenzierbaren Funktionen mach eine

neue!

2. Eigenschaften einer differenzierbaren Funktion



Seite 14

Satz über Summe und ProduktSatz über Summe und Produkt

6.2.1 Satz. Seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann sind

auch die Summe f+g und das Produkt fg differenzierbare

Funktionen.

Es gelten (f+g)' = f' + g‘ (Summenregel),

(kf)' = kf‘‚ für jede reelle Zahl k,

(fg)' = f'g + fg‘‚ (Produktregel).

Beispiele: f(x) = x + 7x3 ist differenzierbar.

Die Funktionen x, x2, x3, x4, x5, ... sind differenzierbar.

Jedes Polynom („ganzrationale Funktion“) ist differenzierbar.

6.2.1 Satz. Seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann sind

auch die Summe f+g und das Produkt fg differenzierbare

Funktionen.

Es gelten (f+g)' = f' + g‘ (Summenregel),

(kf)' = kf‘‚ für jede reelle Zahl k,

(fg)' = f'g + fg‘‚ (Produktregel).

Beispiele: f(x) = x + 7x3 ist differenzierbar.

Die Funktionen x, x2, x3, x4, x5, ... sind differenzierbar.

Jedes Polynom („ganzrationale Funktion“) ist differenzierbar.



Seite 15

Beweis der SummenregelBeweis der Summenregel

Beweis. Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass f+g in

x0 differenzierbar ist.

Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn), die gegen x0

konvergiert. Da f in x0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge

gegen f'(x0).

Da g in x0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge

gegen g'(x0).

Beweis. Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass f+g in

x0 differenzierbar ist.



gegen f'(x0).

Da g in x0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge

gegen g'(x0).

) x- x

)f(x -)f(x(

0

0

n

n

) x- x

)g(x -)g(x(

0

0

n

n



Seite 16

Beweis der Summenregel (Fortsetzung)Beweis der Summenregel (Fortsetzung)

Also konvergiert die Folge

gegen f'(x0) + g'(x0).

Also ist f+g differenzierbar, und es gilt (f+g)' = f'+g'.

Also konvergiert die Folge

gegen f'(x0) + g'(x0).

Also ist f+g differenzierbar, und es gilt (f+g)' = f'+g'.

) x- x

)g)(x(f -)g)(x(f

x- x

))g(x)(f(x -)g(x)f(x

x- x

)g(x -)g(x

x- x

)f(x -)f(x(

0

0

0

00

0

0

0

0

n

n

n

nn

n

n

n

n



Seite 17

Produkt mit einer reellen Zahl: BeweisProdukt mit einer reellen Zahl: Beweis

Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass kf in x0

differenzierbar ist.



gegen f'(x0).

Also konvergiert folgende Folge gegen kf‘(x0):

Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass kf in x0




gegen f'(x0).

Also konvergiert folgende Folge gegen kf‘(x0):

) x- x

)f(x -)f(x(

0

0

n

n

). x- x

)f(x -)f(xk()

x- x

)kf(x -)kf(x(

0

0

0

0

n

n

n

n



Seite 18

Beweis der Produktregel Beweis der Produktregel

Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass fg in x0


Die Folge mit den Gliedern

konvergiert gegen f(x0)g’(x0) + f’(x0)g(x0).

Sei x0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass fg in x0


Die Folge mit den Gliedern

konvergiert gegen f(x0)g’(x0) + f’(x0)g(x0).

)g(x x- x

)f(x-)f(x

x- x

)g(x-)g(x)f(x

x- x

)))g(xf(x-)(f(x ))g(x-))(g(xf(x

x- x

))g(xf(x -))g(xf(x

x- x

)(fg)(x-)(fg)(x

00

0

0

0

0

000

0

00

0

0

n

n

n

nn

n

nnn

n

nn

n

n



Seite 19

Polynome sind differenzierbarPolynome sind differenzierbar

6.2.2 Satz. Sei f(x) = anxn + ... + a1x + a0 ein Polynom.

Dann ist f differenzierbar, und es gilt

f'(x) = nanxn–1 + (n–1)an–1xn–2 + ... + 2a2x + a1.

Beweis. Schritt 1: f(x) = xn ist differenzierbar,

und es gilt f'(x) = nxn–1. (Produktregel, Induktion nach n)Schritt 2: f(x) = anxn ist differenzierbar,

und es gilt f‘(x) = nanxn–1. (Schritt 1, Produkt mit einer reellen Zahl)

Schritt 3: f(x) = anxn + ... + a1x + a0 ist differenzierbar, und es gilt

f‘(x) = nanxn–1 + (n–1)an–1xn–2 + ... + 2a2x + a1 (Summenregel).

6.2.2 Satz. Sei f(x) = anxn + ... + a1x + a0 ein Polynom.

Dann ist f differenzierbar, und es gilt

f'(x) = nanxn–1 + (n–1)an–1xn–2 + ... + 2a2x + a1.

Beweis. Schritt 1: f(x) = xn ist differenzierbar,

und es gilt f'(x) = nxn–1. (Produktregel, Induktion nach n)Schritt 2: f(x) = anxn ist differenzierbar,

und es gilt f‘(x) = nanxn–1. (Schritt 1, Produkt mit einer reellen Zahl)

Schritt 3: f(x) = anxn + ... + a1x + a0 ist differenzierbar, und es gilt

f‘(x) = nanxn–1 + (n–1)an–1xn–2 + ... + 2a2x + a1 (Summenregel).



Seite 20

Quotientenregel, KettenregelQuotientenregel, Kettenregel

6.2.3 Quotientenregel. Seien f und g differenzierbare Funktionen

mit g(x) 0 für alle x. Dann ist auch der Quotient f/g

differenzierbar, und es gilt (f/g)‘ = (f‘g – fg‘)/g2.

6.2.4 Kettenregel. Seien f und g differenzierbare Funktionen.

Dann gilt (f g)‘(x) = f‘(g(x))g‘(x).

Dabei bedeutet die Hintereinanderausführung von Funktionen.

Man nennt f die äußere und g die innere Funktion; entsprechend

spricht man von der äußeren und inneren Ableitung.

6.2.3 Quotientenregel. Seien f und g differenzierbare Funktionen

mit g(x) 0 für alle x. Dann ist auch der Quotient f/g

differenzierbar, und es gilt (f/g)‘ = (f‘g – fg‘)/g2.

6.2.4 Kettenregel. Seien f und g differenzierbare Funktionen.

Dann gilt (f g)‘(x) = f‘(g(x))g‘(x).

Dabei bedeutet die Hintereinanderausführung von Funktionen.

Man nennt f die äußere und g die innere Funktion; entsprechend

spricht man von der äußeren und inneren Ableitung.



Seite 21

Differenzierbarkeit und StetigkeitDifferenzierbarkeit und Stetigkeit

6.2.5 Satz. Wenn eine Funktion differenzierbar ist,

dann ist sie auch stetig.

Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht! (Betragsfunktion!)

Beweis. Sei x0 eine beliebige reelle Zahl.

Wir zeigen, dass f stetig in x0 ist.

Sei also (xn) eine beliebige Folge, die gegen x0 konvergiert.

Wir müssen zeigen, dass die Folge (f(xn)) gegen f(x0) konvergiert.

Dazu genügt es zu zeigen, dass die Folge (f(xn) – f(x0)) gegen 0

konvergiert.

6.2.5 Satz. Wenn eine Funktion differenzierbar ist,

dann ist sie auch stetig.

Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht! (Betragsfunktion!)

Beweis. Sei x0 eine beliebige reelle Zahl.

Wir zeigen, dass f stetig in x0 ist.

Sei also (xn) eine beliebige Folge, die gegen x0 konvergiert.

Wir müssen zeigen, dass die Folge (f(xn)) gegen f(x0) konvergiert.

Dazu genügt es zu zeigen, dass die Folge (f(xn) – f(x0)) gegen 0

konvergiert.



Seite 22

BeweisBeweis

Da f differenzierbar in x0 ist, konvergiert die Folge

gegen f'(x0).

Trick: Wir betrachten die Folge

Die rechte Seite ist Produkt von zwei Folgen, nämlich von

und

Beide Folgen konvergieren: die erste gegen f'(x0), die zweite gegen

0. Also konvergiert die Produktfolge (anbn) gegen das Produkt der

Grenzwerte, d.h. gegen f'(x0)0 = 0.

Also konvergiert (f(xn)–f(x0)) gegen 0, also (f(xn)) gegen f(x0).

Somit ist f stetig in x0.

Da f differenzierbar in x0 ist, konvergiert die Folge

gegen f'(x0).

Trick: Wir betrachten die Folge

Die rechte Seite ist Produkt von zwei Folgen, nämlich von

und

Beide Folgen konvergieren: die erste gegen f'(x0), die zweite gegen

0. Also konvergiert die Produktfolge (anbn) gegen das Produkt der

Grenzwerte, d.h. gegen f'(x0)0 = 0.

Also konvergiert (f(xn)–f(x0)) gegen 0, also (f(xn)) gegen f(x0).

Somit ist f stetig in x0.

) x- x

)f(x -)f(x(

0

0

n

n

)). x- x( x- x

)f(x -)f(x())f(x -)f(x( 0

0

00 n

n

nn

) x- x

)f(x -)f(x()a(

0

0

n

nn ). x- x()b( 0nn



Seite 23

6.3 Minimum, Maximum, Extremum6.3 Minimum, Maximum, Extremum

Definition. Sei f eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b]. Wir sagen, dass f an einer Stelle x0 ein Maximum annimmt, wenn

es eine Umgebung von x0 gibt, so dass f(x0) f(x) für alle x aus

der Umgebung gilt.

Analog: Minimum. Extremum ist Minimum oder Maximum.

Achtung: Plural heißt Minima, Maxima, Extrema.

6.3.1 Satz. Sei f eine auf dem Intervall [a, b] differenzierbare Funktion. Wenn x0 ein Extremum ist, dann ist f‘(x0) =0.

Beweis. Sei z.B. x0 ein Maximum. Dann gibt es eine -Umgebung

von x0, in der alle Funktionswerte kleiner als f(x0) sind.

Definition. Sei f eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b]. Wir sagen, dass f an einer Stelle x0 ein Maximum annimmt, wenn

es eine Umgebung von x0 gibt, so dass f(x0) f(x) für alle x aus

der Umgebung gilt.

Analog: Minimum. Extremum ist Minimum oder Maximum.

Achtung: Plural heißt Minima, Maxima, Extrema.

6.3.1 Satz. Sei f eine auf dem Intervall [a, b] differenzierbare Funktion. Wenn x0 ein Extremum ist, dann ist f‘(x0) =0.

Beweis. Sei z.B. x0 ein Maximum. Dann gibt es eine -Umgebung

von x0, in der alle Funktionswerte kleiner als f(x0) sind.



Seite 24

BeweisBeweis

Wir betrachten eine Folge (xn), deren Glieder in der -Umgebung

liegen und größer als x0 sind. Es folgt

Wenn entsprechend (xn) eine Folge ist, deren Glieder in der -Umgebung liegen und kleiner als x0 sind, folgt

Da f differenzierbar ist, müssen die Grenzwerte übereinstimmen. Es folgt f‘(x0) = 0.

Wir betrachten eine Folge (xn), deren Glieder in der -Umgebung

liegen und größer als x0 sind. Es folgt

Wenn entsprechend (xn) eine Folge ist, deren Glieder in der -Umgebung liegen und kleiner als x0 sind, folgt

Da f differenzierbar ist, müssen die Grenzwerte übereinstimmen. Es folgt f‘(x0) = 0.

.0 x- x

)f(x -)f(xlim

0

0 n

n

.0 x- x

)f(x -)f(xlim

0

0 n

n



Seite 25

Satz von RolleSatz von Rolle

6.3.2 Satz. Seien a < b reelle Zahlen, und sei f eine

differenzierbare Funktion. Wenn f(a) = f(b) ist, dann gibt es eine reelle Zahl x0 zwischen a und b mit f'(x0) = 0.

Insbesondere gilt: Zwischen je zwei Nullstellen liegt eine waagrechte

Tangente.

Beweis. Falls f konstant ist, folgt die Behauptung sofort. Sei f nicht konstant. Dann hat f ein Maximum oder Minimum x0

(da f stetig ist). Nach Satz 6.2.6 ist dann f(x0) = 0.

Michel Rolle (1652 – 1719), französischer Mathematiker.

6.3.2 Satz. Seien a < b reelle Zahlen, und sei f eine

differenzierbare Funktion. Wenn f(a) = f(b) ist, dann gibt es eine reelle Zahl x0 zwischen a und b mit f'(x0) = 0.

Insbesondere gilt: Zwischen je zwei Nullstellen liegt eine waagrechte

Tangente.

Beweis. Falls f konstant ist, folgt die Behauptung sofort. Sei f nicht konstant. Dann hat f ein Maximum oder Minimum x0

(da f stetig ist). Nach Satz 6.2.6 ist dann f(x0) = 0.

Michel Rolle (1652 – 1719), französischer Mathematiker.



Seite 26

MittelwertsatzMittelwertsatz

6.3.3 Satz. Seien a < b reelle Zahlen, und sei f eine differenzierbare Funktion. Dann gibt es eine Zahl x0 [a, b] mit

Mit anderen Worten: Es gibt eine reelle Zahl x0, an dem die Kurve

die gleiche Steigung wie die Sekante hat.

6.3.3 Satz. Seien a < b reelle Zahlen, und sei f eine differenzierbare Funktion. Dann gibt es eine Zahl x0 [a, b] mit

Mit anderen Worten: Es gibt eine reelle Zahl x0, an dem die Kurve

die gleiche Steigung wie die Sekante hat.

.a - b

)f(a -f(b))(xf' 0



Seite 27

BeweisBeweis

Beweis. Wir definieren folgende Hilfsfunktion h:

Diese Funktion ist differenzierbar.

Ferner gilt h(a) = f(a) und h(b) = f(a). Also können wir den Satz von Rolle anwenden: Es gibt ein x0 aus [a, b] mit h‘(x0) = 0.

Das heißt

Das ist die Behauptung.

Beweis. Wir definieren folgende Hilfsfunktion h:

Diese Funktion ist differenzierbar.

Ferner gilt h(a) = f(a) und h(b) = f(a). Also können wir den Satz von Rolle anwenden: Es gibt ein x0 aus [a, b] mit h‘(x0) = 0.

Das heißt

Das ist die Behauptung.

.a - b

)f(a -f(b)-)(xf')(xh' 0 00

.a) -x (a - b

)f(a -f(b)-f(x)h(x)



Seite 28

Ableitung und monotone FunktionenAbleitung und monotone Funktionen

6.3.4 Satz. Sei f eine Funktion, die im Intervall [a, b] differenzierbar

ist. Wenn für alle x aus [a, b] gilt f‘(x) > 0 (bzw. f‘(x) < 0), dann ist

f im Intervall [a, b] streng monoton wachsend (bzw. streng

monoton fallend).

Beweis. Sei f‘(x) > 0 für alle x aus [a, b].

Angenommen, f wäre nicht streng monoton wachsend. Dann gäbe

es a‘, b‘ [a, b] mit a‘ < b‘, aber f(a‘) f(b‘). Nach dem Mittelwert-satz gibt es dann ein x0 mit f‘(x0) = (f(b‘) – f(a‘))/(b‘ – a‘) 0.

Dies widerspricht der Voraussetzung. Also ist die Annahme falsch.

Daher gilt die Behauptung.

6.3.4 Satz. Sei f eine Funktion, die im Intervall [a, b] differenzierbar

ist. Wenn für alle x aus [a, b] gilt f‘(x) > 0 (bzw. f‘(x) < 0), dann ist

f im Intervall [a, b] streng monoton wachsend (bzw. streng

monoton fallend).

Beweis. Sei f‘(x) > 0 für alle x aus [a, b].

Angenommen, f wäre nicht streng monoton wachsend. Dann gäbe

es a‘, b‘ [a, b] mit a‘ < b‘, aber f(a‘) f(b‘). Nach dem Mittelwert-satz gibt es dann ein x0 mit f‘(x0) = (f(b‘) – f(a‘))/(b‘ – a‘) 0.

Dies widerspricht der Voraussetzung. Also ist die Annahme falsch.

Daher gilt die Behauptung.



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ExtremwertbestimmungExtremwertbestimmung

6.3.5 Satz. Sei f eine differenzierbare Funktion, die im Punkt x0

zweimal differenzierbar ist. Wenn gilt f‘(x0) = 0 und f‘‘(x0) < 0 (bzw.

f‘‘(x0) > 0), dann hat f in x0 ein Maximum (bzw. ein Minimum).

Beweis. Wir setzen f‘‘(x0) < 0 voraus. Das bedeutet, dass der

Grenzwert der Differenzenquotienten

kleiner als Null ist. Also gibt es auch eine -Umgebung von x0, so

dass für alle x aus dieser -Umgebung der entsprechende

Differenzenquotient

kleiner als Null ist.

6.3.5 Satz. Sei f eine differenzierbare Funktion, die im Punkt x0

zweimal differenzierbar ist. Wenn gilt f‘(x0) = 0 und f‘‘(x0) < 0 (bzw.

f‘‘(x0) > 0), dann hat f in x0 ein Maximum (bzw. ein Minimum).

Beweis. Wir setzen f‘‘(x0) < 0 voraus. Das bedeutet, dass der

Grenzwert der Differenzenquotienten

kleiner als Null ist. Also gibt es auch eine -Umgebung von x0, so

dass für alle x aus dieser -Umgebung der entsprechende

Differenzenquotient

kleiner als Null ist.

0

0

x- x

)(xf' -)(xf'

n

n

0

0

x-x

)(xf' -(x)f'



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BeweisabschlussBeweisabschluss

Das bedeutet:

f‘(x) > 0 für x < x0 und

f‘(x) < 0 für x > x0.

Also ist f „links von x0“ streng monoton steigend und „rechts von x0“

streng monoton fallend.

Daher muss bei x0 ein Maximum vorliegen.

Das bedeutet:

f‘(x) > 0 für x < x0 und

f‘(x) < 0 für x > x0.

Also ist f „links von x0“ streng monoton steigend und „rechts von x0“

streng monoton fallend.

Daher muss bei x0 ein Maximum vorliegen.

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Kapitel 6 Differenzierbarkeit. Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 6.1 Die Definition 6.2 Die Eigenschaften 6.3 Extremwerte