Kapitel 8

Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2

Bewegung von geladenen

Teilchen im Magnetfeld

2

Übersicht

Bewegung eines Teilchens im Magnetfeld

Multipolentwickung des Magnetfeldes

Multipolstärken

Exakte Teilchenbahn im Quadrupol

Transformationsgleichungen in Matrizenschreibweise

Differentialgleichung für die Teilchenbewegung I

FODO Zelle [slide]

Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen

Koordinatensystem in Bezug auf die Idealbahn

Nur transversale Komponenten des Magnetfeldes werden berücksichtigt:

Es wird angenommen, dass die Abweichung der Teilchenbahn klein im Vergleich zum Radius ist (x,z << R)

x

)),,(,),,,(( szx0szx zx BBB

R

4

Bewegung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld

),,(),,(

),,(),,(

/:

:

)),,(,),,,((

szxp

e

szxR1

:Ebene vertikalen der in Bewegung

szxp

e

szxR1

:vmp mit sich ergibt Kräfte der chtGleichgewi dem Aus

RvmlkraftZentrifuga

vemit Teilchen geladenes einfach ein für ftLorentzkra

:Ebene enhorizontal der in Bewegung

szx0szx

x0

z

z0

x

2

f

z0x

zx

B

B

F

BF

BBB

5

Multipolentwicklung

...!!

...!!

)(

...!!

)(

32

3

3

z

302

2

z

20z0

0z0

z0

0

3

3

z

32

2

z

2

z0zz

xo31

xm21

xkR1

xdx3

d

p

ex

dx2

d

p

ex

dx

d

p

e

p

ex

p

e

:damit sich ergibt Es

ert.multiplizi p

e mit und

xdx3

dx

dx2

dx

dx

dx

:entwickelt Sollbahn die um wirdMagnetfeld Das

BBBBB

BBBBB

6

Definition der Multipolstärken

3

z

30

2

z

20

z0

0z0

dx

d

p

eo : abilitätenStrahlinst von ungUnterdrück

zur und n,Feldfehler von Korrektur zur Oktupol

dx

d

p

em :tätChromatizi der onKompensati zur Sextupol

dx

d

p

ek :ngFokussieru zur eldQuadrupolf

p

e

R1

:nkungStrahlable zur Dipolfeld

B

B

B

B

7

Rechteckmodel für einen Quadrupolmagnet

dx

sd

p

esk z0 )()(

B

s

z

s

k(s)

k0

0

Quadrupolmagnet mit k = k0 innerhalb des Magneten,

und k = 0 ausserhalb

8

0szsk(s)'z' leichungBewegungsg die sich ergibt dz

sdB

p

esk mit

szdz

sdBsB

:slenkungTeilchenau

zur alproportion sMagnetfeld des dieStärke ist agnetQuadrupolm Im

p

sBq(s)'z'

vm

sBq(s)'z' sBvq

dszd

vm

:sich ergibt vdtds mit

sBvqdtz(t)d

m

:sich ergibt mm Masse ischenrelativist der Mit

gungBeschleuni Masse Kraft :Beziehung der aus sich ergibt

Bewegung vertikale die für atengerkoordinBeschleuni den in leichungBewegungsg Die

x0

xx

x

0

xx2

22

0

x2

2

0

0

)()()(

)(

)()(

)(

)()()(

)(

Ableitung der Bewegungsgleichung für die vertikale Bewegung

9

Teilchenbewegung im Quadrupol

0k : k konstantem mit Quadrupol nderFokussiere

0k : k konstantem mit Quadrupol renderDefokussie

dsx(s)d

(s)' x'mit

dxsd

pe

skmit0sxsk(s)' x'

2

2

z0

)()()()(

B

)cos()sin()('

)sin()cos()(

)cosh()sinh()('

)sinh()cosh()(

skBkskAksx

0k Für skBskAsx

skBkskAksx 0k Für

skBskAsx

10

Transformationsgleichungen

)cos()sin()('

)sin()cos()(

sk(0)x'skkx(0)sx

skk(0)x'

skx(0)sx

Defokussierender Quadrupol

k > 0

Fokussierender Quadrupol

k < 0

)cosh()sinh()('

)sinh()cosh()(

:

:

sk(0)x'skkx(0)sx

ksk

(0)x'skx(0)sx

damitk(0)x'

B Bk(0)x'

x(0)A Ax(0)

:gilt 0s FürungenRandbeding

11

Transformationsgleichungen - Matrixschreibweise

)cosh()sinh()('

)sinh()cosh()(

sk(0)x'skkx(0)sx

ksk

(0)x'skx(0)sx

(0)x'mx(0)m)s('x

(0)x'mx(0)m)s(x

2221

1211

)cosh()sinh(

)sinh()cosh(

skskk

skk1

skmm

mm

2221

1211M

Defokussierender Quadrupol

k > 0

12

Transformationsmatrizen für Teilchenkoordinaten

10

L1MD Driftstrecke der

Länge L

Defokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s

)cosh()sinh(

)sinh()cosh(

skskk

skk

1sk

MQD

)cos()sin(

)sin()cos(

skskk

skk

1sk

MQF

Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s

13

Teilchenbahn im defokussierenden Quadrupol:

Quadrupolstärke: k 0.21

m2

xs s( ) xs0 cosh k s xs'0

ksinh k s

xc s( ) xc0 cosh k s xc'0

ksinh k s

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 20.002

0.001

0

0.001

0.002

xs s( )

xsn s( )

xc s( )

xcn s( )

s

Beispiel: Teilchenbahn im defokussierenden Quadrupol

14

Beispiel: Teilchenbahn im fokussierenden Quadrupol

Quadrupolstärke: k 0.11

m2

xs s( ) xs0 cos k s xs'0

ksin k s

xc s( ) xc0 cos k s xc'0

ksin k s

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 20.002

0.001

0

0.001

0.002

xs s( )

xc s( )

xsn s( )

xcn s( )

s

15

Transformationsmatrizen – Dünne Linsennäherung

Defokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s

Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s

1sk

s1MQD

1f1

01

/M

Fokussierende dünne Linse

1sk

s1MQF

16

Generelle Differentialgleichung für die Teilchenbewegung

pp

s1

sxsks

1(s)'x'

2

)(

)()()(

Ableitung siehe K.Wille, S.54-58

tärkeQuadrupols die ist k(s)

p Sollimpuls vom Impulses des g Abweichundie ist pp

des Ablenkfeldes adiusKrümmungsr der ist s

)(

0sxsk(s)'x' )()( Differentialgleichung ohne Ablenkfeld

17

Teilchenbewegung im Ablenkmagneten

Ablenkmagnet mit dem Ablenkradius

)cos()sin(

)sin()cos(

s1

s11

s1

s1

MB

Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k

0sxsk(s)' x' )()(

0sxs

1(s)'x'

2

)(

)(

)(s1

k(s)- :entspricht Es 2

Lösung für Ablenkmagnet ähnelt Lösung für Quadrupole

Ein Ablenkmagnet bewirkt in der horizontalen Ebene eine schwache Fokussierung

18

Teilchentransport durch eine komplexe Struktur:F0D0 Zelle

lD=2.60 m

lq=0.40 m

QF QD QFDipol Dipol

F0D0 Zelle

MQF MQD MQFMQDMD MD

lD=2.60 m

lq=0.20 m lq=0.20 m

19

Teilchentransport durch eine komplexe Struktur:F0D0 Zelle

QF QD QFDipol Dipol

F0D0 Zelle

MQF MQFMQDMD MD

k(s)

MQD

Definitionen

Anzahl der F0D0 Zellen in einem Kreisbeschleuniger : NF0D0 8

Quadrupolstärken: horizontal: kf 1.2m 2 vertikal: kd 1.2m 2

Länge eines Quadrupol: lq 0.4m

Länge der Driftstrecke: ld 2.6m

Länge einer Zelle: LF0D0 2 lq 2 ld

Länge des Beschleunigers mit 8 Zellen: LB 8 LF0D0

LF0D0 6 m und LB 48 m

Transformationsmatizen für die horizontalen Teilchenkoordinaten x0

xp0

:

mit der Quadrupolstärke k ergibt sich

f 0.5 lq kf

d 0.5 lq kd ,

Damit ergeben sich die folgenden Matrizen:

Horizontal fokussierender (halber) Quadrupol

MQF

cos f

kf m2

sin f

sin f kf m2

cos f

MQF

0.976

0.238

0.198

0.976

Vertikal defokussierender (halber) Quadrupol

MQD

cosh d

kd m2

sinh d

sinh d kd m2

cosh d

MQD1.024

0.242

0.202

1.024

Driftstrecke: MD1

0

ld

m

1

MQF0.976

0.238

0.198

0.976

MQD1.024

0.242

0.202

1.024

MD1

0

2.6

1

Es ergibt sich für die Transformationsgleichung einer F0D0 Zelle:

Mzelle MQF MD MQD MQD MD MQF

Mzelle0.056

0.1

9.966

0.056

Beispiel der Teilchentransformation durch eine Zelle :

Annahme:x0

xp0

1

0

Daraus ergibt sich : x1

xp1

Mzelle

x0

xp0

=> x1

xp1

0.056

0.1

24

Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen

• Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen• Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen

prinzipiell "relativ" einfach• Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex

• Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird?

• Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen

Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt:

Betatronfunktion und Betatronschwingung