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1 Die Veranstaltung ”Praktische Mathematik für In-genieure”

1.1 Ziele Ausgangspunkt für die Konzipierung dieser Lehrveranstaltung im Bereich der Grundausbildung in Numerischer (Praktischer) Mathematik für Ingenieure sind die Situation der Studenten und die Qualifikationsanforderungen für IngenieurInnen in ihrem späteren Tätigkeitsfeld. Es soll den Studierenden die Möglichkeit geboten werden, neben dem Erlernen der Numeri-schen Mathematik, Fähigkeiten zu entwickeln, die für ihre Berufspraxis von Bedeutung sind. Eine weitere Forderung ist, die Numerische Mathematik anwendungsorientiert zu vermitteln, d.h., anhand von für IngenieurInnen interessanten Problemstellungen. Im Einzelnen haben wir für die Lehrveranstaltung folgende Lernziele festgelegt.

Didaktische Ziele: • Vermittlung des Sinnzusammenhanges zwischen Ingenieurproblemen, mathematischer

Formulierung, numerischen Verfahren und Computeranwendung. • Kooperation und Kommunikation in einer Gruppe. • Selbständige Arbeitsorganisation im Team. • Exemplarische, aktive Aneignung der numerischen Verfahren. • Kritische Auseinandersetzung mit der Arbeitsform und dem Gruppenprozess • Formulierung und Weitervermittlung von Arbeitsergebnissen. fachliche Ziele • Modellbildung und mathematische Formulierung. • Auswahl und Beurteilung von numerischen Verfahren hinsichtlich ihrer Eignung für das

vorliegende Problem. • Anwendung der für die Lösung des Problems erforderlichen numerischen Verfahren. • Auswertung und Interpretation der gewonnenen Resultate.

Diese Lernziele sollen in einer Lehrveranstaltungsform, die wir ”projektorientiertes Studium in Kleinstgruppen” nennen, realisiert werden.

1.2 Inhalt Die einzelnen Aufgaben, die von jeder Gruppe bei ihrem Projekt bearbeitet werden müssen, sind folgende:

• Erstellung eines voraussichtlichen Zeitplanes (mit fortlaufender Überprüfung), • Erarbeiten der Projektdefinition (komplexe technische Problemstellung), • Beschreibung der wesentlichen Einflüsse in einem physikalischen Modell, • Mathematische Formulierung des physikalischen Modells, • Erarbeitung, Auswahl und Beurteilung der benötigten numerischen Methoden,

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• Anwendung der numerischen Methoden auf das mathematisierte physikalische Modell, d.h., Aufstellung eines Algorithmus,

• Programmierung (einschließlich Testen der erstellten Programme), • Auswertung und Interpretation der numerischen Resultate (Parameteranalyse), • Schriftlicher Abschlußbericht, • Präsentation.

1.3 Form Alle Teilnehmer dieser LV werden in Gruppen von 4 Studenten zusammengefasst. Jede Gruppe bearbeitet ein so genanntes ”Projekt”, das heißt eine technische Problemstellung, deren Lösung die Anwendung numerischer Verfahren notwendig macht. Die wichtigste Arbeitsform in unserer LV ist, ganz im Gegensatz zu einer herkömmlichen LV, die Gruppenarbeit. Vom zeitlichen Aufwand sind für die Gruppenarbeit pro Woche ca. 6 Stunden einzuplanen. In der Gruppe vollzieht sich die eigentliche Arbeit an dem Projekt. Die Bearbeitung und die Lösung aller Einzelprobleme, in die sich die komplexere Ausgangsproblemstellung zer-legen lässt, geschieht gleichermaßen von allen Gruppenmitgliedern. Die Gruppe muss die Prob-lemstellung sinnvoll in Einzelprobleme zerlegen, die Aufteilung der Arbeit vornehmen und das Zusammenfügen der Arbeitsergebnisse innerhalb des selbst gesteckten Zeitrahmens zu einem Ganzen organisieren. Da man im herkömmlichen Lehrbetrieb an der Universität in der Regel zum Einzelarbeiter erzogen wird, ist die Fähigkeit zu einer ergiebigen Gruppenarbeit und deren Organisation wenig entwickelt. Die erfolgreiche Bearbeitung eines Projekts setzt aber die gut funktionierende Gruppenarbeit voraus.

Abb. 1: Organisationsform der Lehrveranstaltung

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Die anderen Arbeitsformen neben der Gruppenarbeit (siehe Abb. 1) haben bei der Bearbeitung des Projekts eine Unterstützungsfunktion für die Gruppe. In der Sprechstunde, in der jede Gruppe pro Woche einmal erscheint, werden Fragen, die im Zusammenhang der Projektbear-beitung auftreten, besprochen. Die Gruppe berichtet über den Stand ihrer Arbeit, trägt ihre un-gelösten Probleme vor, erhält Erklärungen und Lösungshinweise, bekommt Anregungen zur weiteren Arbeit. In der Sprechstunde sollte auch über die Gruppenarbeit selbst gesprochen wer-den. Da die Sprechstunde zu kurz ist, um auch detaillierte fachspezifische Kenntnisse und Einsichten zu vermitteln, wird diese Funktion von den Blockkursen übernommen. Jede Gruppe muss bei der Bearbeitung ihres Projekts mehrere numerische Verfahren anwenden. Diese Verfahren werden in den Blockkursen vermittelt, die zu jedem Thema nach Absprache mit dem zuständi-gen Tutor angeboten werden. Die Wissensvermittlung im Blockkurs wird mit entsprechenden Skripten zu den einzelnen numerischen Verfahren unterstützt. Die Trennung in Sprechstunden und Blockkursen ist aus zwei Gründen wichtig:

1. Die Sprechstunde hat die Rolle eines Wegweisers, aber nicht einer Kurzvorlesung. 2. Die numerischen Verfahren sind im Allgemeinen zu umfangreich, als das sie in einer

halben Stunde abgehandelt werden könnten. Mit Problemen bei der Erstellung und Implementierung der Programme kann sich die Gruppe an die Programmierberatung wenden. Im Unix-Pool MA 241 bieten die Tutoren jeweils zwei Stun-den Programmierberatung an. Für die Bearbeitung eines Projekts gibt es also vier Arbeitsformen:

• Gruppenarbeit, • Sprechstunde, • Blockkurse, • Programmierberatung.

1.4 Merkblatt zur Scheinvergabe Das Projekt der Lehrveranstaltung ”Praktische Mathematik für Ingenieure” schließt mit einem Bericht ab, der die wesentlichen Arbeitsphasen der Gruppe widerspiegelt. Der Bericht sollte auch einem ”Uneingeweihten” einen Überblick über das Projekt ermöglichen und Studenten nachfolgender Semester als Arbeitsunterlage dienen können. Besonders interessant ist z.B.:

• Beschreibung der technischen Problemstellung, • Mathematisches Problem, Modell, Vereinfachungen, • Numerisches Problem, • Darstellung der numerischen Verfahren, Fehlerbetrachtung, Stabilität, • Programmdokumentation, • Testen der Programme mit bekannten Lösungen, • Parameterdiskussion, • Vergleich mit Realität, soweit möglich Kritik und Vergleich mit anderen Arbeiten, • Kritik der Lehrveranstaltung.

Die Erstellung des Berichtes soll nicht mehr als 20 Stunden Arbeitsaufwand pro Person (etwa

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80 Stunden pro Gruppe) beanspruchen. In einer Präsentation soll Studierenden, die an anderen PPM-Projekten gearbeitet haben oder im nächsten Semester die Veranstaltung belegen wollen, in aller Kürze das Projekt vorgestellt werden. Der Vortrag soll nicht länger als 15 Minuten dauern und erfordert damit die Konzentra-tion auf das Wesentliche. Dies sind kurz die Problemstellung und die Art der sich daraus erge-benden Gleichungen, um damit das gewählte numerische Verfahren zu begründen. Sind so die Vorraussetzungen geschaffen, können die eigentlichen Ergebnisse der Projektarbeit vorgestellt werden, also entweder die Parametervariation oder was auch immer gemacht wurde. Der Übungsschein bzw. die Prüfungsnote (je nach Studiengang) wird vergeben, wenn der Abschlußbericht obige Kriterien erfüllt, die Sprechstunden mit den AssistentInnen die Selbständigkeit der Arbeit erkennen lassen und die Präsentation stattgefunden hat.

Projektkatalog Auf den folgenden Seiten findet man mögliche Aufgabenstellungen aus verschiedenen Berei-chen der Ingenieurwissenschaften unter Angabe der auftretenden mathematischen Schwer-punkte. Den TeilnehmerInnen der semesterbegleitenden LV soll dieser Projektkatalog nur als Anregung dienen, aus welchen Bereichen mögliche Aufgabenstellungen kommen können. Ein konkretes technisches Problem auszuwählen, bleibt der Gruppe überlassen. Dabei können ohne weiteres alle Projektvorschläge:

• gekoppelt berücksichtigt (z.B. ?? mit ?? als gekühlten Batch-Reaktor), • Parameter-optimiert (z.B. Turmdrehkran ??) oder • regelungstechnisch bearbeitet werden.

Die TeilnehmerInnen des Intensivkurses haben weniger Zeit für die Modellbildung und damit weniger eigene Gestaltungsmöglichkeiten des Projekts in dieser ersten Phase. Sie entscheiden sich für eines der Themen aus dem Projektkatalog und programmieren innerhalb der intensiv betreuten Zeit einen allgemeinen Fall. Daran anschließend beginnt der Teil der Arbeit, den die Gruppe mehr selbst gestaltet, nämlich, welche Aspekte genauer untersucht werden sollen (Pa-rameteranalyse, Vergleich mit anderen Verfahren, Genauigkeitsuntersuchungen). Bei allen vorgegebenen Aufgaben handelt es sich um von uns bereits getestete Probleme. Wir haben für diese Problemstellungen bereits konkrete Vorstellungen über den Lösungsweg und werden Euch frühzeitig mit den notwendigen numerischen Verfahren vertraut machen. Die nu-merische Lösung soll derart allgemein gestaltet sein, dass prinzipiell jedes andere Problem der gleichen Kategorie mit dieser Lösung behandelt werden kann. Außerdem gehören neben der Variation von physikalischen Parametern auch die Variationen von numerischen Parametern (Schrittweite etc.) zur Projektaufgabe. Näheres hierzu erfahrt Ihr in den Sprechstunden.

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2 Technische Mechanik Physikalisches Problem: Die technische Mechanik gliedert sich im Allgemeinen in zwei Schwerpunkte: Die Strukturmechanik und die Festkörpermechanik. In der Bewegung starrer Körper wird das dynamische Verhalten von Kombinationen aus Massen, Federn, Dämpfern und Gelenken, untersucht. Hiermit lassen sich sehr viele Modelle zur ersten Auslegung von technischen Systemen entwickeln. Es können z.B. Motorräder in Be-zug auf Straßenlage vs. Fahrkomfort ausgelegt werden. In der Strukturmechanik kann man die physikalischen Problemstellungen in zwei Kategorien einteilen. Zum einen in Probleme auf Grund statischer Belastungen und zum anderen Probleme durch dynamische Lasten. Bei den statischen Problemen steht im allgemeinen die Festigkeit und die auftretenden Defor-mationen im Vordergrund. Hervorgerufene Spannungen und Verschiebungen dürfen gewisse Grenzwerte nicht überschreiten, so dass die Konstruktion nicht gefährdet ist. Interessant ist in diesen Zusammenhang die Ermittlung von kritischen Lasten und konstruktiven Maßnahmen zur Verbesserung der Struktur. Die dynamischen Lasten sind meist kleiner als die statischen, so dass bei dynamischen Prob-lemstellungen nicht Festigkeitsprobleme, sondern Eigenschwingungsverhalten und Resonanz-frequenzen im Vordergrund stehen. Die Berücksichtigung der Eigenschwingungen, kritischen Drehzahlen, Resonanzfrequenzen beim Bau einer Maschine ist eine der unerlässlichen Bedin-gungen, unter denen erst die Sicherheit einer Maschine verbürgt werden kann. Für Körper, die in der Praxis resonanzgefährdet sind, müssen die Eigenschwingungen berechnet werden (Fre-quenz und Schwingungsform). Fast jede technische Konstruktion ist schwingungsgefährdet, wie zum Beispiel eine Radaufhängung, ein Fernsehturm, ein Flugzeugflügel, eine Brücke, eine Tur-binenschaufel oder ein Windmühlenflügel. Interessante Fragestellung ist dabei wieder, wie kann man konstruktiv die Gefahr der Resonanzkatastrophe in den Griff bekommen und welchen Ein-fuß hat zum Beispiel die Dämpfung auf das Verhalten. Auf den folgenden Seiten sind einige Vorschläge zu diesem Themenbereich vorgestellt.

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2.1 Starrkörpermechanik 2.1.1 Hubschwingung Physikalisches Problem: gedämpfte Schwingung Problembeschreibung: Um ein Fahrzeug dynamisch auszulegen, muß ein Kompromiss zwischen Fahrkomfort und guter Straßenlage gefunden werden. Die Stoßdämpfer müssen so ausgelegt sein, daß die Räder nicht springen. Anhand realistischer Fahrzeugdaten (Reifen, Stoßdämpfer, Federn) kann das Schwingungsverhal-ten mithilfe eines beliebig komplizierten Modells untersucht werden. Schwerpunkt dieses Projektes sollte die Untersuchung von sinnvollen Parameter-Variationen sein.

Abb.: ZieglerCAT-Chopper

Abb.: Hubschwingung

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2.1.2 Optimalsteuerung eines Turmdrehkranes Physikalisches Problem: Weg-/Zeit-Optimierung Problembeschreibung: Heutzutage sind Turmdrehkräne bei größeren Bauvorhaben unverzicht-bar. Oftmals wiederholen sich gleiche Lastbewegungen mehrmals am Tag. Aus diesem Grund hat eine Firma, die solche Kräne herstellt, angedacht, diesen Prozess zu auto-matisieren. Hierbei soll ein Computer, dem man den Zielpunkt mitteilt, den Kranführer unterstützen. Für die Baufirma hätte dies den großen Vorteil, dass die Arbeitsabläufe effizienter durchgeführt werden könnten. Gesucht ist hier eine Steuerstrategie, die eine Last möglichst schnell von einem Ausgangspunkt zum Zielpunkt bewegt. Ebenfalls ist noch zu bedenken, dass die Last mit einer sehr kleinen Ge-schwindigkeit (möglichst Null!!) am Ziel ankommt, damit sie die abnehmenden Bauarbeiter nicht verletzt.

Abb.: Turmdrehkran

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2.1.3 Simulation eines Billiardspiels Physikalisches Problem: Punktmechanik, Bewegungsgleichungen, Kollision von Kugeln mit Wänden und anderen Kugeln, Optimierung Problembeschreibung: Die Bewegung von Partikeln spielt in der Praxis häufig eine Rolle (siehe Beispiel der Partikelbewegung in Fluiden). Dabei soll hier anhand dieses einfachen Beispieles der Ablauf einer Partikelverfolgung modelliert werden, wobei die Billiardkugeln möglichst schnell eingelocht werden sollen. Es bieten sich viele Möglichkeiten zur Modellierung und Optimierung.

Abb.: Billiardtisch mit Kugeln

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2.1.4 Simulation eines Skateboarddrives Physikalisches Problem: Mehrkörperdynamik, allgemeine Bewegungsgleichungen, differentiell-algebraische Gleichungen (DAEs), numerische Simulation des Bewegungsablaufes Numerischer Schwerpunkt: numerisches Lösen von DAEs, Regularisierung von DAEs, Nutzung und Einbindung von Simulationssoftware Problembeschreibung: Die Simulation der Bewegungsabläufe von Mehrkörpersystemen spielt in der Entwicklung und Analyse von Maschinen im Fahrzeugbau, im Flugzeugbau, in der Maschinen-konstruktion und vielen anderen technischen Bereichen eine wichtige Rolle. Aber gerade die nu-merische Simulation von Mehrkörpersystemen ist ein nichttriviales Problem und es sind noch viele Fragen ungeklärt.

Abb.: Simulation des Fahrweges

Die Herausforderung in diesem Projekt ist die numerische Simulation des Bewegungsablaufes ei-nes Skateboarddrives. Hierzu ist zunächst das Skateboard mit Fahrer zu modellieren, die so ge-wonnenen Bewegungsgleichungen hinsichtlich ihrer numerischen Eigenschaften zu analysieren und geeignet zu lösen. Zum numerischen Lösen soll bereits verfügbare Simulationssoftware verwendet und ihre Brauch-barkeit beurteilt werden. Abschließend sind die gewonnenen numerischen Resultate geeignet dar-zustellen und zu visualisieren.

Abb.: Das Modell des Skateboards mit Fahrer

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2.1.5 Der Mechanikbaukasten - Elchtest Physikalisches Problem: Modellierung und Simulation von komplexen mechanischen Starrkör-persystemen

Problembeschreibung: Denkt man an die Mechanik I-III Vorlesungen zurück, so erinnert man sich vor allem an Bewegungsdifferentialgleichungen, die man zwar erfolgreich aufstellen, aber e-ben nicht lösen konnte. In diesem Projekt geht es um die numerische Lösung und Simulation sol-cher mechanischer Systeme mit dem Ziel, deren Verhalten anhand von Parametern zu ergründen, zu variieren und zu optimieren. Es könnte im Rahmen dieses Projekts zum Beispiel das Fahrverhalten eines Automobils in einer Kurve untersucht werden (Der ,,Elchtest”). Wann kippt es, wann rutscht es und wovon hängt dies ab? Oder es ließe sich untersuchen, wovon es abhängt, dass eine Kirchenglocke erklingt oder auf ewig stumm bleibt.

Abb.: Eine Auswahl an „Mechanikbausteinen“

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2.1.6 Bewegungsablauf von Himmelskörpern Physikalisches Problem: Gravitation bei N-Körper-Systemen Problembeschreibung: Den Bewegungsablauf eines Planeten in unserem Sonnensystem stellt man sich oft idealisiert als Zweimassenproblem (Sonne-Planet) vor, so daß bei zweidimensionaler Betrachtung der Planet eine Kreis- oder Ellipsenbahn um die Sonne beschreibt. Unregelmäßigkei-ten in der Bahnkurve entstehen unter Berücksichtigung weiterer Himmelskörper (Monde etc.), de-ren Massen gravitativ miteinander wechselwirken. Die mechanische Grundlage zur Bearbeitung des Projekts stellt das Newtonsche Gravitationsge-setz, angewendet auf ein N-Körper-System dar. Es sind verschiedene Problemstellungen denkbar:

1. Störung der Erdbahn durch den eigenen Mond. 2. Störung von Erd- und Mondbahn durch weitere Himmelskörper. 3. Wie fängt sich ein Planet einen Kometen ein? 4. Welche Beschleunigung erfährt die Erde durch einen Kometeneinschlag?

Es können aber auch hypothetische Planetensysteme berechnet werden, mit der Fragestellung, ob das System einen stabilen Zustand findet oder die Planeten in das Zentralgestirn hineinspiralen.

Beispiel: Störung der Bahn eines Kometen 0 durch einen Planeten. Der Komet würde seinen Lauf längs der gestrichelten Linie fortsetzen, wenn keine Störung durch den Planeten aufgetreten wäre. Die Anzie-hung des Planeten verwandelt die ursprüngliche parallelähnliche Bahn in eine elliptische Bahn. Die-ser Komet würde sich als Mitglied in die Kometenfamilie des Planeten einreihen.

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2.2 Strukturmechanik 2.2.1 Fachwerke und Stabwerke Problembeschreibung: Wenn das Eigengewicht einer Konstruktion minimiert werden soll, so führt dies immer wieder auf Fachwerke oder Stabwerke. Beispiele hierfür sind Brücken oder Masten. Wesentlich ist bei einem Stabwerk, dass ein Gitterstab nur Kräfte in axialer Richtung übertragen kann. Die Gelenke können keine Momente übertragen. Beim Fachwerk sind die Verbindungen starr und können so Momente übertragen. Die Anschluss-elemente müssen dem entsprechend auch Momente übertragen können. Man arbeitet dann mit Balken. Fragestellung ist hier wieder die statische Festigkeit oder das dynamische Verhalten bei Erregung.

Abb.: Fachwerke und Stabwerke

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2.2.2 Fahrrad- und Motorradrahmen Problembeschreibung: Ein Beispiel für eine Fachwerkkonstruktion ist der Fahrradrahmen. Hierbei ist zu untersuchen, wie die Fahreigenschaften eines Fahrrades oder Motorrades von der Steifigkeit des Fahrzeugrahmens und von den dynamische Erregungen abhängen. Interessant ist die Fragestellung: Wie muß ein Fahrrad- bzw. Motorradrahmen konstruiert sein, daß er sich bei geringem Eigengewicht möglichst wenig unter den Belastungen verformt. Weiterhin ist sinnvoll zu untersuchen, ob es Fahrsituationen und Belastungen gibt, bei denen der Rahmen zu schwingen beginnt.

Abb.: Fahrradrahmen

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2.2.3 Flugzeugtragfläche Problembeschreibung: Ein ganz typisches Beispiel für eine schwingungsanfällige Struktur ist ei-ne Flugzeugtragfläche. Sie wird sowohl von den Triebwerken als auch von den Luftkräften dyna-misch belastet. Das daraus resultierende Flattern, das sich in bestimmten Flugsituationen auf-schaukeln kann, ist ein sehr ernstes Problem, dass man in den Griff bekommen muss. Aber auch die statische Seite ist ein interessantes Problem. Je nach Situation muss die Tragfläche den Flugzeugrumpf oder sich selbst und das Gewicht der Triebwerke tragen. Hinzu kommen noch Torsionsmomente durch den exzentrischen Angriff der aerodynamischen Kräfte und durch die Pfei-lung des Flügels.

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2.2.4 Eigenfrequenzen eines Windradmastes Problembeschreibung: Beim Bau von Windrädern stößt man auf eine Fülle von konstruktiven und physikalischen Problemen, die aufgrund ihrer komplexen Struktur Vorkenntnisse aus sehr vie-len Disziplinen notwendig machen. Es ist darauf zu achten, daß die Drehbewegung des Rotors nicht zu unerwünschten Schwingungen führt. Dabei kann man schon an einfachen, überschaubaren Modellen sehen, in welchen Konstruktionsfehlern der “Wurm“ in Form einer Resonanz steckt. Durch eine immer vorhandene Unwucht können Eigenschwingungen des Mastes angeregt werden. Es ist daher sinnvoll, dessen Eigenfrequenz vor dem Erstellen der Anlage zu kennen (sprich zu be-rechnen) und durch geeignete konstruktive Änderung in die gewünschte Richtung zu verschieben.

Abb.: Windrad

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2.2.5 Eigenfrequenzen eines Flügels

Problembeschreibung: Auch bei den Windradflügeln können Eigenschwingungen angeregt wer-den - z.B. durch den Einfluss des Windschatten des Turmes. Es ist daher sinnvoll, die Eigenfrequenzen des Flügels vorher berechnen zu können und gegebe-nenfalls durch konstruktive Maßnahmen zu verändern, um unerwünschte Resonanzen auszu-schließen.

Abb.: Rotorblatt einer Windkraftanlage

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2.2.6 Akustische Schwingungen in einer Schiene Physikalisches Problem: Wellenausbreitung in soliden Stoffen

Problembeschreibung: Ein großes Problem in der fortschreitenden Technik ist die Lautstärkeregulierung. Die größten Lärmfaktoren sind zumeist die Resonanzschwingungen. Wenn eine Eisenbahn über eine Schiene fährt, breitet sich der Schall in der Schiene so aus, dass noch Meilen davon entfernt der Zug wahrzunehmen ist. In diesem Projekt könnte untersucht werden: • Wann das Gleis zum Schwingen angeregt wird? • Wie führt dies zu Lärm? • Wie hängt der Lärm von den Eigenschwingungen ab? • Wie hängen die Eigenschwingungen von Form und Länge der Gleise ab?

Abb.: Schiene mit Rad

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2.2.7 Wendeltreppe, Glockenturm, Radaufhängung und was sonst noch alles schwingen kann

Problembeschreibung: Schwingungsprobleme können nahezu überall auftreten. Eine etwas ausgefallenere Aufgabe ist die Berechnung der Wendeltreppe im Mathe-Gebäude. Jeder, der schon einmal die Treppe benutzt hat, weiß, dass diese Treppe leicht in Schwingung gerät. Ist das mulmige Gefühl unbegründet oder sind bestimmte Lastfälle denkbar, in denen tatsächlich etwas passieren könnte? Weitere denkbare Aufgaben sind zum Beispiel der Glockenturm am Hansaplatz (können die Schwingungen der Glocken den Turm zum schwanken bringen?) oder eine moderne Radauf-hängung. Euren eigenen Ideen sind hier keine Grenzen gesetzt.

Abb.: Wendeltreppen

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3 Strömungsmechanik 3.1 Partikelbewegung in strömenden Fluiden Physikalisches Problem: Strömungsmechanik, Anwenden Newton’scher Gesetze und Arbei-ten mit semi-empirischen Formeln (z.B. Widerstandskoeffizienten der Partikel) bei vorgegebe-ner Fluidströmung Problembeschreibung: In der Praxis der Industrie kommt es oft vor, dass feste oder fluide Partikel in einem Fluid strömen. Beispiele sind Falltürme zur Erzeugung pulveriger Substanzen oder der Transport von Feststoffen in Rohrleitungen. In diesen Fällen geht es zwar immer um die Bewegung von Partikelschwärmen mit komplizier-ten physikalischen Wechselwirkungen und möglicherweise hohen Partikeldichten, jedoch ist das Einzelpartikelverhalten ein maßgeblicher Faktor für die Modellierung von Partikelschwär-men und damit von Interesse. Mögliche Problemstellungen sind dabei: • Staupunktsströmungen • Grenzschichtströmungen • Variation von Parametern wie Partikelanzahl, Masse, Anfangsbedingungen, Partikelform

u.s.w.

Abb.: Partikel in einer Wirbelschicht

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3.2 Potentialströmungen (durchströmte Rohre, Windkanal) Physikalisches Problem: Potentialströmungen Problembeschreibung: Die Berechnung von Strömungsfeldern ist häufig Grundlage der Be-schreibung physikalischer Vorgänge in Apparaten. Eines der einfachsten Modelle zur Berücksichtigung von Strömungsvorgängen stellt die Potenti-altheorie dar. Sie ist trotz aller Einschränkungen geeignet, grundlegende Aussagen z.B. über den Auftrieb eines Körpers in einer Strömung wiederzugeben. Ein Beispiel kann der sogenannte Flattnerrotor sein, bei dem der Vortrieb eines Schiffes durch das Rotieren eines senkrecht zum Schiffdeck aufgestellten Zylinders erreicht wird.

Abb.: Strömungsfeld um einen rotierenden Zylinder

Abb.: Kanalströmung

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4 Stoff- und Wärmetransport 4.1 Wärmeisolation im Altbau Physikalisches Problem: Instationäre Wärmeleitung mit unterschiedlichen Randbedingungen Problembeschreibung: Wärmeisolation kann dazu beitragen, erhebliche Mengen Energie zu spa-ren. Als einfaches Modell könnte die Temperaturverteilung in einem Mauerquerschnitt zwischen zwei Fenstern untersucht werden, um Aufschluss über die Wirksamkeit verschiedener Isolations-maßnahmen zu erhalten. Möglich ist hier der Vergleich verschiedener Fenstertypen und unterschiedlicher Wärmedäm-mungsschichten.

Abb.: Haus mit (A) und ohne (B) Wärmedämmfenster

Abb.: Wärmeisolation

Im Rahmen der Projektarbeit sollen instationäre Temperaturfelder verschiedener zweidimensiona-ler Mauerquerschnitte bestimmt werden. Die Randbedingungen sollen sinnvoll modelliert werden.

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4.2 Fußbodenheizung Physikalisches Problem: Stationäre Wärmeleitung mit unterschiedlichen Randbedingungen Problembeschreibung: Die Temperaturverteilung an der Fußbodenoberfläche ist von der Tempe-ratur des Heizmediums und dem Fußbodenaufbau abhängig. Die Kenntnis der Temperaturvertei-lung im Fußboden ist für die Wirksamkeit der Heizungsanlage und zur Vermeidung von Baukörper-schäden, die durch zu hohe thermische Materialspannungen ausgelöst werden könnten, wichtig. Die Auswirkungen folgender Einflussgrößen können zum Beispiel untersucht werden: 1. Fußbodenbelag (Keramik, Holz, PVC) 2. Vorlauftemperatur 3. Rohrdurchmesser 4. Abstand der Rohre 5. Rohrform 6. Wärmeleitbleche.

Abb.: Fußbodenheizung nach Verlegung

Im Rahmen der Projektarbeit sollen stationäre Temperaturfelder verschiedener zweidimensionaler Fußbodenquerschnitte bestimmt werden. Die Randbedingungen sollen sinnvoll modelliert werden.

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4.3 Gasturbine - Schaufelkühlungsproblem

Physikalisches Problem: Stationäre Wärmeleitung mit unterschiedlichen Randbedingungen Problembeschreibung: Gasturbinen mit offenem Prozess findet man als Flugtriebwerke und bei Stromerzeugungsantrieben. Steigerungen der Leistungsfähigkeit dieser Turbinen sind durch Erhö-hen der Prozesstemperatur vor der Turbine möglich. Eine Erhöhung der Prozesstemperatur führt zu einer höheren Temperatur in den Turbinenschaufeln. Dieses ist aber nicht erwünscht, da tempe-raturbedingte Werkstoffprobleme auftreten (Warmfestigkeit, stärkere Korrosion). Mit Hilfe der Schaufelkühlung können Turbinen bei höheren Gastemperaturen eingesetzt werden und damit der thermische Wirkungsgrad gesteigert werden. Gelingt es, die Kühlung so wirksam anzulegen, dass die Temperaturdifferenz zwischen Heißgas und Turbinenoberfläche mehr als 50% beträgt – bei ca. 1200°C Heißgas – so ließe sich der Wirkungsgrad um 10% steigern. Die Turbinenschaufel wird innen mit Luft gekühlt, die durch kreisförmige Kanäle gepumpt wird. Durch Konvektion überträgt das Heißgas Wärme auf die Schaufeloberfläche. Im Rahmen der Projektarbeit sollen stationäre Temperaturfelder verschiedener zweidimensionaler Turbinenschaufelquerschnitte bestimmt werden, um die Wirksamkeit der Kühlung zu beurteilen. Die Randbedingungen sollen sinnvoll modelliert werden.

Abb.: Turbinenschaufel

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4.4 Lagerung radioaktiver Abfälle in Salzstöcken Physikalisches Problem: Instationäre Wärmeleitung mit unterschiedlichen Randbedingungen. Problembeschreibung: Radioaktive Abfälle müssen über Jahrtausende sicher gelagert werden. Sie enthalten radioaktive Substanzen, die, sofern sie über das Grundwasser oder die Atmosphäre in den menschlichen Körper gelangen, in kleinsten Mengen tödlich sind. Die Einlagerung in Salzstöcken wird zur Zeit ’erprobt’. Eines der bei der Lagerung entstehenden Probleme ist die Wärmeentwicklung der Abfälle durch den radioaktiven Zerfall und deren Auswirkungen auf die umliegenden Gesteinsschichten. Mit einem einfachen Modell kann die Temperaturverteilung in der Nähe der eingelagerten Abfälle in einem Salzstock berechnet werden. Im Rahmen der Projektarbeit sollen instationäre Temperaturfelder verschiedener zweidimensiona-ler Querschnitte bestimmt werden. Die Randbedingungen sollen sinnvoll modelliert werden.

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4.5 Temperaturverteilung im Absorberquerschnitt Physikalisches Problem: Stationäre Wärmeleitung mit unterschiedlichen Randbedingungen. Problembeschreibung: Um Sonnenenergie für die Warmwasserbereitung zu nutzen, benötigt man Sonnenkollektoren. Die einfacheren Bauformen bestehen aus einer Absorberplatte, die durch die Strahlung der Sonne aufgeheizt wird und einem aufgeschweißten Rohr bzw. Kanalsystem, in dem ein aufzuheizendes Medium fließt. Bei der Konstruktion der Absorber ist es sinnvoll, Kenntnisse über die mögliche Wärmeverteilung in verschiedenen Konstruktionsvarianten zu haben. Dabei interessieren Parameter wie Plattendicke, Rohrabstand- und durchmesser, Art der Schweißverbindung und verschiedene Konstruktionsvarianten (s. Bild). � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Abb.: Zwei mögliche Absorberquerschnitte

Im Rahmen der Projektarbeit sollen stationäre Temperaturfelder verschiedener zweidimensionaler Absorberquerschnitte berechnet und dargestellt werden. Die Randbedingungen sollen sinnvoll mo-delliert und variiert werden.

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4.6 Smog über Berlin

Physikalisches Problem: Konvektion - Diffusion Problembeschreibung: Smog ist die Bezeichnung für die sichtbaren Verunreinigungen über städ-tischen oder industriellen Ballungsräumen. Die wichtigsten Schadstoffe aus Kraftwerken sind Schwefeldioxid, Stickoxid und Staub. Um die Konzentrationsverteilung an Smog über Berlin zu berechnen, wird ein finites Rechteckgitter über Berlin gelegt und in dem betrachteten Gebiet die Schadstoffkonzentration bilanziert. Es könnte zum Beispiel untersucht werden:

1. Wie wirkt sich eine Verringerung der vorhandenen Grünflächen aus? 2. Was für einen Effekt hat ein autofreier Tag? 3. Der Unterschied zwischen schwach- und starkwindigen Tagen.

Im Rahmen der Projektarbeit sollen die räumliche und zeitliche Entwicklung der Schadstoffkon-zentration berechnet werden. Dabei sind die Randbedingungen sinnvoll zu modellieren.

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4.7 Reaktor Physikalisches Problem: Stoffmengenänderungen durch chemische Reaktionen Problembeschreibung: In der chemischen Industrie geht es immer um Reaktionen und damit auch um Reaktoren. Die meisten Reaktoren lassen sich nach den stattfindenen physikalischen Vorgängen in zwei ideale Reaktortypen unterteilen: Den Rührkesselreaktor (stirred tank reactor) und den Rohrreaktor (tubular reactor). Je nach Betriebsweise – isotherm, adiabat, weder noch – ergeben sich aus den Stoff- und Ener-giebilanzen mit denen das Reaktorverhalten beschrieben wird, algebraische Gleichungen oder ge-wöhnliche- und partielle Differentialgleichungen mit i.a. nichtlinearem Quellterm.

Im Rahmen der Projektarbeit soll zuerst einmal ein Programm geschrieben werden, das ein oder mehrere Reaktortypen simuliert. Hat man ein solches Programm erstellt, sind verschiedene Prob-lemstellungen denkbar:

1. Für eine bekannte Reaktion den Reaktor auslegen 2. Bei unbekannter Reaktion aus Messwerten (Wärmestromsignal bei isothermer Reakti-

on) Reaktionsparameter ermitteln 3. Zu gemessenen Konzentrationsverläufen passende Reaktionsmodelle ermitteln

(Optimierung). Betrachtet werden kann z.B. ein idealer, isotherm betriebener Rührkesselreaktor ohne kontinuierli-chem Zu- oder Abfluss – dem sogenannten Batch Reaktor. Bei bekannten Reaktionsgleichungen sollen die Stoffmengenänderungen simuliert werden.

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4.8 Auslegung einer Solaranlage Physikalisches Problem: Energiebilanzen der einzelnen Bauteile Problembeschreibung: Eine Technik der Energiegewinnung unter Verzicht fossiler Brennstoffe ist die Erwärmung von Brauchwasser mittels einer solarthermischen Anlage. Dazu muß eine Solaran-lage bedarfsgerecht ausgelegt sein. Um die durch die Solarstrahlung bereitgestellte Energie zu ermitteln, müssen die Bilanzgleichun-gen für die einzelnen Komponenten der Anlage aufgestellt werden, die über die Eingangs- bzw. Ausgangstemperaturen voneinander abhängen. Es sind verschiedene Problemstellungen denkbar:

1. Vergleich verschiedener Kollektortypen 2. Ausnutzung und Effizienz 3. Tagesverlauf oder Jahresverlauf

Abb.: Haus mit Solaranlage

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4.9 Evakuierung von öffentlichen Gebäuden Physikalisches Problem: Weg-/Zeit-Optimierung Problembeschreibung: Im Falle eines Brandes in öffentlichen Gebäuden wie zum Beispiel Fuß-ballstadien, Schulen oder Universitäten ist es wichtig, die darin befindlichen Personen so schnell wie möglich zu evakuieren. Bei der Erstellung von Fluchtplänen ist die Dauer der Evakuierung eine entscheidende Größe. Oftmals wird diese Evakuierungsdauer experimentell (wie z.B. durch Probe-alarme) bestimmt. Ziel dieses Projektes ist die mathematische Modellierung und numerische Simu-lation der Menschenströme durch die Räume und Flure der Gebäude, um daraus Rückschlüsse zur Fluchtplanerstellung zu ziehen.