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10.04.2012

Wolfgang Westenberger :

Kegeltheorem

A Einführung

Zur Überprüfung des von Isaac Newton stammenden Schalentheorems wird die Gravitationswirkung der in dem Volumen einer Kugel gleichförmig verteilten Masse auf einen Bezugspunkt A durch in der Kugel enthaltene Kegel beschrieben.Punkt A soll der unterste Punkt der Oberfläche der Kugel sein und wird als Ausgangspunkt für die betrachteten Kegel verwendet.Zu klären ist, ob der gemeinsame Wirkpunkt, in welchem die gesamte Masse der Kugel als Punktmasse vereint dieselbe Wirkung auf A in Betrag und Richtung hat wie die in der Kugel gleichmäßig verteilte Masse, im geometrischen Zentrum der Kugel zu lokalisieren ist.

B Geometrische Grundlagen

(1) Die Gravitationswirkung eines Objekts ist proportional zu seiner Masse.

(2) Die Gravitationswirkung eines Objekts ist umgekehrt proportional zum Quadrat seines Abstands.

(3) Die Fläche eines Kreises oder einer Scheibe nimmt mit dem Quadrat des Radius zu.

(4) Der Rauminhalt einer Kugel, und bei gleichbleibender Dichte auch die Zahl der darin enthaltenen Objekte, nimmt mit der dritten Potenz des Radius zu.

C Masseverteilung und Wirkung von Kegeln innerhalb einer Kugel

(a) Wenn eine im geometrischen Zentrum Z der Kugel lokalisierte Masse auf den Bezugspunkt A den Abstand R und die Wirkung 1 hat, dann hat die gleiche Masse im Abstand 2R die Wirkung 0,25 und im Abstand 0,5R die Wirkung 4. [2]

(b) Von A ausgehend können beliebige Kegel mit der Geraden AZ als Symmetrieachse in die Kugel hinein konstruiert werden, dabei bildet die seitliche Begrenzungsfläche eines Kegels den Winkel alpha (> 0° und < 90°) mit der Geraden AZ.

(c) Der Kegel ausgehend von A wird begrenzt durch den Schnittpunkt der Seitenwand mit der Kugel. Die Länge s der Seitenwand ist jeweils < 2R.

(d) Alle Schnittpunkte des Kegels mit der Kugeloberfläche können durch eine horizontale Ebene verbunden werden, diese Ebene schneidet die Gerade AZ in der Höhe H. Es gilt H < s < 2R. Diese horizontale Ebene soll die obere Begrenzung des jeweiligen Kegels bilden.

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(e) Jede horizontale Ebene durch H bildet eine Kreisfläche mit Radius r, dem Abstand zur Schnittlinie; jede dieser Kreisflächen soll proportional zu ihrer Fläche Masse enthalten.

(f) Der Radius r der horizontalen Kreisfläche innerhalb des Kegels ist proportional zu seinem Abstand von A, entsprechend der Höhe H. Es gilt r = sinus alpha .

(g) Die Kreisfläche nimmt mit dem Quadrat des Radius zu, entsprechend pi*r². [3]

(h) Die mit der Kreisfläche verbundene Masse nimmt ebenfalls mit r² zu. [3]

(i) Für Kreisflächen innerhalb eines Kegels gilt:Bei einer Verdopplung einer Höhe h einer Kreisfläche (mit h < H/2) nimmt die Wirkung der Masse entsprechend dem Quadrat des Abstands auf ein Viertel des Ausgangswerts ab und gleichzeitig nimmt die Masse der Kreisfläche auf den vierfachen Wert zu.Oder allgemein:Jeder beliebige (zu AZ orthogonale) Kreis innerhalb desselben Kegels hat dieselbe Wirkung bezogen auf A.Begründung:Die mit dem Quadrat des Abstands zunehmende Masse gleicht die mit dem Quadrat des Abstands abnehmende Wirkung aus.

(j) Bei gleichmäßiger Massendichte ist die Wirkung der oberhalb der halben Höhe H/2 gelegenen Massen genau gleich der unterhalb davon lokalisierten Massen desselben Kegels. [i]Der gemeinsame Wirkpunkt Wp aller Massen eines Kegels befindet sich als Punktmasse in H/2.Allgemein gilt, dass der gemeinsame Wirkpunkt mehrerer auf AZ liegender Wirkpunkte zwischen dem nächsten und dem entferntesten Wirkpunkt liegt. (Genauere Ausführungen dazu bei Westenberger 2012.)

(k) Abhängig vom Winkel alpha unterscheiden sich die einzelnen Kegel in ihrer Höhe H.Je kleiner alpha, desto größer wird H.Der kleinste Winkel (alpha > 0) führt zu einer beliebig kleinen massehaltigen horizontalen Kreisfläche nahe dem oberen Kugelpol. Es gilt s < 2R und H < s. Der gemeinsame Wirkpunkt dieses Kegels ist in dem Punkt H/2. Dabei ist H/2 < R, also wenig unterhalb von Z.Der größte Winkel (alpha < 90°) führt zu einer ebenso kleinen Kreisfläche nahe dem unteren Kugelpol (= A). Entsprechend klein sind s und H/2. Bei alpha = 45° erhalten wir H = R und s = R*Wurzel aus 2;der Wirkpunkt H/2 ist entsprechend bei R/2.Die Länge s der seitlichen Begrenzung des Kegels ist also bei kleinstem alpha maximal und nimmt kontinuierlich mit größer werdendem alpha ab, davon abhängig auch das jeweilige H und H/2.Der Wirkpunkt H/2 ist bei minimalem alpha am höchsten lokalisiert, dicht unterhalb von Z. Bei größer werdendem alpha wird H/2 kleiner und beträgt bei alpha 45° noch R/2.Kegel mit alpha > 45° haben ihr jeweiliges H/2 unterhalb von R/2.

(l) Bei mehreren von A ausgehenden Kegeln soll die Masse des inneren Kegels (mit kleinerem alpha) diesem zugeordnet bleiben, während der äußere Kegel (mit größerem alpha) um die Masse vermindert wird, die dem inneren Kegel bis zu Höhe H des äußeren Kegels zugeordnet wird (In-Kegel). Der übrig bleibende Um-Kegel hat seinen Wirkpunkt immer noch in H/2. Begründung: Beide Kegel folgen derselben Regel, wonach die Wirkung pro Masseeinheit in der zu AZ

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orthogonalen Kreisfläche bei wachsender Höhe H mit dem Quadrat des Abstands abnimmt; gleichzeitig nimmt die Gesamtmasse pro Kreisfläche bei größer werdendem H mit r² zu, so dass insgesamt jede Kreisfläche die gleiche Wirkung auf A ausübt. [1, 2, 3, i] Deshalb folgen auch die reduzierten Ebenen des Umkegels dieser Regel.

(m) Für die Mittelachse mit alpha = 0, entsprechend der Geraden AZ, gilt die Regel der konstanten Wirkung nicht. Der gemeinsame Wirkpunkt von Massen auf dieser Geraden ist deshalb näher an A als der Mittelpunkt Z, also Wp < R . [1, 2, a]

D Anwendung

D1 Die Wirkung der vollständigen Masse einer Kugel auf einen Oberflächenpunkt A kann mit Kegeln, die von A ausgehen, beschrieben werden; wir haben zu untersuchen, ob alle Masse der Kugel dieselbe Gesamtwirkung auf A ausübt, als wenn alle Masse der Kugel als Punktmasse im Zentrum Z vereinigt wäre, wie es das Schalentheorem beschreibt, also ob Wp = R.

D2 Für die Masse der Mittelachse AZ ist der Wirkpunkt Wp <R . [m]

D3 Für die kleinste Kreisfläche mit alpha > 0 ist der gemeinsame Wirkpunkt H/2 des Kegels geringfügig, aber eindeutig < R . [c, d, k]Der Kegel mit dem kleinsten Winkel alpha hat ein geringes Volumen, eine geringe Masse und eine geringe Wirkstärke.

D4 Für einen Kegel mit alpha = 45° ist das Volumen maximal, deshalb auch die darin enthaltene Masse. [4]Der Wirkpunkt H/2 ist bei R/2. [k]

D5 Für alpha > 45° wird das Volumen wieder geringer, der Wirkpunkt H/2 ist kleiner als R/2.

D6 Die Höhe H eines Kegels wird also von einem Maximalwert (für minimales alpha) kontinuierlich kleiner mit steigendem alpha, und wird minimal bei alpha nahe 90°. [k]

D7 Bei der Betrachtung sich überlagernder Kegel nehmen wir an, dass die gesamte Masse eines inneren Kegels diesem zugeordnet wird, und die Masse des äußeren Kegels deshalb verringert wird. [l]Wir betrachten zunächst den längsten Kegel bei minimalem alpha mit Wirkpunkt < R . [k, D3] Dann nehmen wir den Kegel mit alpha = 45° dazu und subtrahieren davon die Masse des In-Kegels (unterer Bereich des ersten schmalen Kegels bis zur Höhe H des breiten Kegels); die Rest-Masse des Um-Kegels überwiegt immer noch deutlich gegenüber der Masse des schmalen Kegels;der Wirkpunkt des Umkegels ist bei H/2 = R/2 ; [l]der gemeinsame Wirkpunkt beider Kegel (also der Abstand der Punktmasse der beiden vereinigten

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Kegel von A) ist wegen der größeren Masse des äußeren Kegels nahe R/2.Als Nächstes nehmen wir noch einen Kegel bei maximalem alpha dazu, und stellen fest, dass sein Wirkpunkt bei H/2 nahe A ist, sein geringes Volumen noch reduziert wird durch den Inkegel des 45°-Kegels und deshalb seine Wirkung vergleichsweise sehr gering ist.Die addierte Wirkung der Massen aller drei Kegel führt zu einem gemeinsamen Wirkpunkt nahe R/2.

D8 Es gibt keinen von A ausgehenden Kegel mit Mittelachse AZ, dessen in seinem Wirkpunkt vereinigte Punktmasse einen Abstand von A größer oder gleich R hätte.Mehrere (Teil-)Kegel haben deshalb einen gemeinsamen Wirkpunkt Wp < R .

D9 Eine infinitesimale Betrachtung kann die gesamte Masse einer Kugel mit ihrer Wirkung auf A berücksichtigen. Der gemeinsame Wirkpunkt der infinitesimalen Kegel hat von A einen Abstand Wp < R .Um dies im Einzelnen auszuführen, beginnen wir mit dem kleinsten Winkel alpha, der den schmalsten Kegel beschreibt mit der längsten Seitenlänge s und dem höchsten Wert für H.Der Wirkpunkt Wp dieses Kegels, in dem vereinigt die gesamte Masse des Kegels als Punktmasse dieselbe Gravitationswirkung auf A ausübt wie die verteilte Masse des Kegels, ist in dem Punkt H/2 unterhalb des Kugelmittelpunkts Z lokalisiert. Es gilt deshalb Wp < R . [i, j, k] Der nach dem kleinsten Winkel alpha nächst größere Winkel alpha hat eine größere obere Kreisfläche, eine etwas kleinere Seitenlänge s und ein entsprechend verkleinertes H. Deshalb ist der Wirkpunkt Wp dieses Kegels in H/2 etwas unterhalb des ersten Wirkpunkts lokalisiert. Also Wp < R . [D6]Um den gemeinsamen Wirkpunkt beider Kegel zu erhalten, von dem aus die als Punktmasse vereinigte Masse, die im vom ersten und nächsten Kegel begrenzten Volumen enthalten ist, auf den Punkt A wirkt, berücksichtigen wir den Um-Kegel des zweiten Kegels, also seine an der Seitenwand s gelegene äußere Schale, die vom ersten Kegel nicht umfasst wird, und von der wir wissen, dass der Wirkpunkt bei H/2 ist, genau wie für den kompletten Kegel. [l]Der gemeinsame Wirkpunkt des ersten und des nächsten Kegels muss zwischen dem ersten H/2 und dem nächsten H/2 lokalisiert sein. Deshalb auch hier Wp < R. [j] Für jeden weiteren angrenzenden Kegel und seinen Umkegel mit wachsendem alpha gilt dieselbe Gesetzmäßigkeit: mit größer werdendem alpha wird s und damit auch H kleiner und damit rückt der jeweilige Wirkpunkt Wp = H/2 weiter nach unten, weg von Z und unterhalb des gemeinsamen Wirkpunkts aller vorherigen Kegel mit kleinerem alpha. Der neue gemeinsame Wirkpunkt, der den vorhergehenden Wirkpunkt aller Kegel mit kleinerem alpha und den Wirkpunkt des aktuellen Umkegels beinhaltet, rückt demnach weiter nach unten, weg von Z. Also Wp < R . [j, D6]Dies setzt sich bis zum größten alpha <90° fort, so dass bei infinitesimaler Betrachtung für die gesamte Masse im gesamten Volumen einer Kugel gilt Wp < R .Wenn man zur Vervollständigung noch die Gerade AZ, alpha = 0, mit ihrer Masse berücksichtigt; wird der obere Kreisradius = 0, s nimmt die Länge 2R an, ebenso H = 2R, H/2 = R,aber auch hier ergibt sich: Wp < R . [1, 2, a, m]

D10 Eine alternative Betrachtung, welche statt der Kreisebene in Höhe H eine obere Begrenzung des Kegels durch einen Kugelflächenausschnitt mit Radius s verwendet, kommt qualitativ zum selben Ergebnis.

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D11 Bei der Betrachtung der Gravitationswirkung der Massen wurde nicht darauf eingegangen, dass die Massen in der jeweiligen Ebenen je nach ihrem Winkel zu AZ eine Wirkung haben, die sich von der Wirkung einer Masse direkt auf AZ unterscheidet (sogenannte Wirkmasse entsprechend dem Cosinus). Dies muss jedoch hier nicht berücksichtigt werden, weil die innerhalb desselben Kegels korrespondierenden Ebenen gleiche Winkelverhältnisse aufweisen. (Der Aspekt der Wirkmassen wird ausführlich behandelt bei Westenberger 2012.)

E Schlussfolgerung

Eine Analyse der Gravitationswirkung von gleichmäßig verteilter Materie in einer Kugel durch Berechnung der Wirkung kegelförmiger Volumina führt zu dem Ergebnis, dass die gesamte Masse der Kugel auf einen Punkt A an ihrer Oberfläche so wirkt, als ob alle Masse in einem Punkt näher als das Zentrum vereinigt wäre, also in einem Abstand Wp < R.

Dieses Ergebnis steht im Gegensatz zu Newtons Schalentheorem, wo gilt, dass die gesamte Masse im Zentrum wirken sollte, also im Abstand Wp = R.

F Es handelt sich hier um die zweite theoretische Widerlegung von Newtons Schalentheorem nach der schon erfolgten Widerlegung über die kreisförmige Verteilung der Massen einer Kugel (Westenberger 2012). Außerdem erfolgte bereits eine praktische Widerlegung anhand der galaktischen Rotationskurve (Westenberger 2011).

Literatur:

Westenberger W, 2011 (Books on demand, Norderstedt): Dark matter: Who will save the materia obscura? Wer rettet die Dunkle Materie?

Westenberger W, 2012: www.issuu.com/w.k.regrebnetsew/docs/gravitationstheorem_version2