Results in Mathematics Vol. 17 (1990)

0378-6218/90/020140-09$1.50+0.20/0 (c) 1990 Birkhauser Verlag. Basel

Kettenregel-Polynome in der affinen Kurventheorie

Helmut Pabel

Das Verhalten der iterierten Ableitungen dPx/dtP einer parametrisierten Kurve t ....... x(t) bei einem Parameterwcchsel wird - unabhangig von der betrachteten Geome­trie - allein durch die klassische Kettenregel der Analysis bestimmt. Eigenschaften der auftretenden KeHenregel-Polynome findet man in der Literatur kaum bzw. an unerwarteter Stelle (siehe {Good] S. 148). Hier sollen clnige ihrer Anwendungen in der klassischen tiquiaffinen Kurventheorie nach Blaschke (lBla!) und cler halbinvarianten ("relativen") KUNlentheorie nach Barthel (siehe [Barl mit den dortigen Literaturan­gaben) vorgestellt werden. Hierbei zclgt sich zum einen, daB jeder halbinvarianten Kurventheorie, definiert durch einen beliebigen linearen Zusammenhang liings Kur­ven, eine Klasse von mctrischen Kurventheorien natiirlich zugeordnet sind. Anderer­seits konnen unter einer solchen allgemeinen halbinvarianten Kurventheorie durch Forderungen an die auftretenden Kriimmungsformen ganz verschiedenartige Theo­rien, von der aquiaffinen his zur i~otropen Kurventheorie, zusammengefaBt werden.

I. Kettenregel-Polynome

Fur C""'-F\.mktionen x,y,S mit x = yo s gilt mit xp:= x(p),sp:= s(p),Yp:= yep) 0 s

die K ettenregd

(1) ,

Xp = :LQ!(S\,S2, ... ) Yk k:: \

(p;' 1)

mit den Kettenregel-Polynomen (jetzt in unabhangigen Variablen S!,S2,"')

(2) =

wenn nii,,) die Viclfachheit der Zahl p in clem k-tupel (in) = (it. ... ,ik ) angibt.

Pabel 141

Bcispielc sind

Q~(SI""'Sp) = sp Q:-I(SI>S2) = (~)3~-2"2

Q:(SI> ... ,Sp_l ) = Ej.::t(j)sp- jSj Q:(31) = 5~

Sie bilden eine (unendliche) KeHenregdmatri:t (Q:(so») , wenn man Q:(So) = 0 •. ,~I

fur k > p setzt. Fur cinen Ausschnitt 1 ~ k,p ~ n gilt

(x), ... ,xn) = (YI>'" ,Yn) . (Q:(so»)

Mit Hilfe dieser Matrix lassen sich die iterierten Ableitungen einer Komposition exp 03 sowie einer inversen F\mktion 3 = .'I-I cxplizit durch die Ableitungen der F\mktion .'I selbst darstellen:

a. Fur die Ableitungen der Komposition expos mit einer C""·f'unktion 3 gilt ,

(3) (e')(p)= Q,(5I!""Sp)e' mit Q,(SI> ... ,5,):= l:Q!(S\) .. . ,3p-Hd. k=1

b. 1st die F\mktion .'I invertierbar mit 3 := 5-1, so liefert die Kettenregel, angewandt auf x = yos und Y = x 03, zuniichst

aho (4)

mit der inversm KeHenTf!gdmatri:t (O:(s".)):= (Q:(so)rl

. Nach dem Laplace'­

schen Entwicklungssatz gilt wegen der Diagonalgestalt der Matrix (Q.3Lft=I .... n fur k $. p

det(Q'l, ... , S; ,· ·· ,Q~)lo= I ..... n ~

(')

= Q:'~'Q: det(S;,Qt+I,···,Q;)lo=k, .... l'

, (1)'·' ( k)' Q' Q'.' Q: ... Q; - p - . [HI'" I' J'

wenn A(I .. . p] = ~ E .. es .. sgn 1r A .. CI) ..... (p) die Antisynunetrisierung cines Ausdrucks Al "1' bczeichnet. Daraus folgt

Q'(; ) - Q- '(, ) - .'1-(.+"'+1') (-1)'·' (p _ k)' Q k ... Q'" (, ) I' 0 - I' 0 - I . [HI I' I 0 .

Insbesondere crrcchnen sich die iterierten Ableitungen von 3 selbst zu I

- -Q'(-)- ·"+···+')(-1)'·'( _1)' Q'···n"'( ) 3, - , 30 - .'II p. [2 '-11"1' I So .

IEine einfachere expJizite Darstellung scheint nicht bekannt tu Gein .

142 Pabel

Eine Rekursionsfonnel hierfiir ist

II. Affine Kurventheorien

Wit betrachten im folgenden C«>·Kurven des affineo Raumes An (n;:: 2) mit lokalen Parametrisierungen t t-+ x(t ). 2

1. Aquiaffine Kurventheorie im (A",v)

Ais Modell einer metrischen Kurventheorie skizzieren wit die (auf beliebige Dimen­sion n ausgedehnte) klassische Blaschkesche Theorie in einem affinen Raum An mit Volumenform v, wobei wit

iiberall (x, ... , x(n) ) linear unabhangig und o.B.d.A. v(x, ... , x(n)) > 0

fUr unsere Kurven voraussetzen: Die von der Affinbogcnlangt!

ds = v(xt, .. . ,Xn)l/N dt mit xp;= d!x/dtP , N:= 1 + ... + n = (n; 1) induzierle Bogeniiingenparameterdarstellung s 1-1 i(s) mit x = i 0 s liefert eine invu.rinnte Begleitba"i3 (ZI, .. . ,x,,) mit xp:= d'Pr/d!JP , v(rl •... ,i .. );:::::; 1 . Die Ablei­tungsgleichungen

(5)

definieren die aquiaffinen Krummungen

(6) - ( - -, - ) " .. _k = - V Xh"" x .. , ... ,X ..

~

" )

(k ~ 1, .. . ,n)

wobei aus Normierungsgriinden -"0 = - 1; (v(x" ... ,x .. )) = 0 gilt. Die Funktionen s .... -"1(8), ... , -" .. _1(8) bilden dann eine unabhiingiges und vollstiindiges Invarianten· system. 3

Die iiquiaffinen Grollen konnen aus einer allgemeinen Parameterdarstellung t .... x(t)

2Die Be!chrilnkung l'Iuf Kutven des An is~ unwesen~lith. OIlS Foigende gill sinngemii.8 l'Iuch fUt Kut­yen in einer bel iehigen orientierten ~fI'Innigfl'll~igkeit Mn, l'Iusgestl'ltte~ mit einem symmettisthen amnen Zusammenhang. Gegebenenfalts vorausgesetzte Volumenformen seien dann als parallel angenommen.

'Oieser Aulbau einer Kurventheorie ist rut j ede Bogenliinge & mogtich, wobei dann allerdings i.l'I. KO f, 0 III be rii cksithti~n ist.

Pabel 143

berechnet werden: Dazu benutzen wir die parameterabhangigen "Ableitungsgleichun­gen" (7)

mit Funktionen

(k~l, ... ,n)

Satz 1: Fur die tiquiaffine Begleitba"i$ (XIt .. . , in) und die tiquiaffinen Krummungen KI>' .. , Kn_1 gelten in allgemeinen Parametem die Beruhnung,formeln

(p~l, ... ,n)

(p~I, ... ,n- l)

BeweiJ: Anwendung der Kettenregel (1) auf x = x 0 s liefert mit (4) sofort die erste Forme!' Unter Verwendung def Ableitungsgleichungen (5) und (7) erhiilt man einerseits

"" xn+l = LQ!+I(so)ik .=1

" L [Q!+I(so) - S~+IKn_.l x. .=1

und andererseits auch

Ein Vergleich liefert nach Umnumerierung die Fonnel (10) .

Berner-k u ng 1 : a . Die angegebene Gleichung (10) fUr die Affinkriimmungen vcrallgemeinert und ver­einfacht wescntlich die in [Bar] 8 .10/11 angegebene Darstellung. 8ie ist dort fur die rein affine Kurventhcorie formuliert, auf die im niichsten Abschnitt eingegangen wird. b. Diesclbe Gleichung ist auch giiltig fur p = 0 und liefert

N- (n+l) - 2 .

Bei Verwendung einer beliebigen Bogenlange s (siehe Fu6note 3) ist also die Bedin­gung Ko == 0 aquivalent zu

144 Pabel

d.h. dazu, daB s proportional zur iiquiaffinen Bogenliinge ist. c. Aus (9) und (10) sind RUch die hohen AbleitungJordnuTigen ...4.( ••• ) der Blaschke­schen aquiaffinen GroBen abzulesen: Nach Definition gilt

a1w

A(x,)::::p , A()'p)::::n+l , A(sp+I)=n+p ,

A(x,,) :::: n + p - 1 A(~p)=n+p+l

mit clem Maximum 2n - 1 und mit clem Maximum 2n .

2. Halbinvariante (relative) Kurventheorie im (An, V')

In [Bar] wird eine affine Kurventhoorie konzipiert, die unter Verzicht auf Vorgabe einer Volumenfonn nur einen speziellen intrinsischen ZU3Q,mmenh4ng liings def Kurve benutzt - seine Definition wird am Ende dieses Abschnitts angegeben. Hier soli eine solche Kurventheorie in einem allgemeineren Rahmen vorgestellt werden.

Geometrisch kann dn lineareT Zwammenhang TV lang~ tiner KUMJe t ...... x(t) fo1-gendermaBen definiert werden: Zu tangentialen C""'-Vektorfeldern X, Y#-O langs der Kurve existieren eindeutig Zerlegungen der Ableitungen dyX in tangentiale und transversale Antcile, dyX = dyXIT + dyXl.l , so daB sich die Tangentialanteile V'yX := dyXIT (IIX) derivativ in X sowie linear (iiber den C""'-Funktionen) in Y verhalten. Es geniigt, bezuglich einer ParametrisierWlg t I-t x(t) die durch 'ili:ldt = ')'(t)i:(t) definierte lokale Zu"o.mmenhllngd:omponente t I-t ')'(t) zu kennen.

Bei3piel: 1m euklidischen Raum (An, < » tiefcrt Orthogonalprojektion den "Levi­Civita-Zusammenhangn langs der Kurve:

x X "yX ~< dyX,iXl > 'IXI ~ dy[logL(X)J·X

mit L(X):= IXI. Die lokale Zusammenhangskomponente ergibt sich zu

d ')' = dt logL(i:) = sis

mit der euklidischen Bogenlange s. Es gilt das "Ri«i-Lemma"

dy[L(X)[ ~ L("yX) bzw.

das die Langentreue des Zusammenhangs beschreibt.

Allgemein gilt fUr die Beziehungen zwischen linearen Zusammenhangen und allge­meinen Langenfunktionen lii.ngs einer Kurve das

Lemma: Homogene Langenfunktionen X I-t L(X) fUr tangentiale Vektorfelder X lii.ngs einer Kurve (und damit Bogenlangenfunktionen t I-t set) := f L(i» sowie

Pabel 145

lineart ZU$ammenhange X ....... VX fUr solche Vektorfelder (und damit Zu"ammen­hang$komponenten t ....... ")'(t)) konnen durch die Riui-Gleichung VL == 0 fest einan­der zugeordnct werden: Ihre lokale Darstellung ")' = sis liiBt sich durch s = exp(f ")') bis auf affine Transfonnationen eindeutig nach.'l auflOsen. so daB eine bijektive Zuord­nung")' ..... [$J = {C($ - $0) Ie> O} zwischen linearen Zusammenhangen und affinen Klassen von Langenfunktionen besteht.

Ein linearer Zusammenhang V. gegeben durch t ....... ")'(t). liefert wegen V/!{dll = ")' ~ und dual dazu V dt = -")' dt' invariante Differentiale fur I-Formen 'P liings der Kurve

'P=z(t)dt => V'P=(i-,,),z)(t)de

entsprechend fur hahere Formen nach dcr Produktregel

'P=z(t)dt P => Vip = (i-p,,),z)(t)dt p+1

Fur die dem Zusammenhang V zugeordneten Bogcnlangen s gilt V ds =: 0 , eine an­dere Form der obigen Ricci-Gleichung. Diese Difl'erentialc ermoglichen eine zuminclest halbinvariante Kurventheorie:

Sab 2: Jeder lineare ZU.'Iammenhang lting$ KUf'Ven lie/ert - geeignete Restriktionen an die betrachtete Kurvenklasse vorausgesetzt - halbinvariante Begleitba$en mit zugehorigen halbinvarianten KrUmmungen.

Die Konstruktion dieser GroBen verliiuft folgendermaBen: Man erhaIt zumichst linear unabhiingige vektorwertige Differentiale 1'1 •... , 'Pn durch die Festsetzung

(11) 'PI :=dx

Die lokalen Darstellungcn

(12) (p~I, . .. ,n)

fUhren dann zu einer halbinvarianten Begleitba"i$ t ....... (zdt) .... 'zn(t» mit clem Transformationsgesetz zp(t) = zp(i) (dtldt)P bei einem Parameterwe<:hsel t ....... t(t) auf der Kurve. Invariante Kriimmung$differentiale Qo, .. . ,Qn-l erhaIt man durch die Zerlegung

und damit halbinvariante KrUmmungen t ....... ( ... o(t) ........ n_t(t)) aus den lokalen Darstellungen

(p~O, ... ,n-l)

146 Pabel

mit clem Transformationsgesetz "'p(t) = itp(i) (di/dt)P+l bei einem Parameterwech­scI. ( Damit ist eine Kurventheorie moglich wie im metrischen Fall, im vorigen Absclmitt am Beispiel cler ii.quiaffinen Theorie skizziert. Allerdings hat man nur invariantc Rich­tungcn, kcinc Llingcnnormierung.

Explizite Formeln zur Berechnung der - halbinvarianten Basisvektoren zp = 2:::"'113;("'(, i', ... ) x" und cler - halbinvarianten Kriimmungen "'p = fp(X"X2,'" ;"'(, i', ... ) beziiglich eines vorgegebenen Zusammenhangs 'il mit Komponente t t-+ "(t) - bisher wurclen nur TeillOsungen gefunden, siehe [Bar] 5.8/9 - , sind nun unter Benutzung der zugeordneten Bogenla.ngenfunktionen t ...... set) leicht aufzusteUen: 1st S irgcndeine 'il zugeordnete Bogenla.nge und s t-+ xes) die zugehorige Kurven­darstellung, so gilt wegen 'il ds = 0

a100 (13)

mit

unablUingig von der Auswahl von s. Daraus folgt nach cler Kettenregel unter Beriick­sichtigung cler Gestalt (2) cler Kettenregel-Polynome

, , , x" = EQ!(s,,) x" = LQ!(sa) ,i-A: Zk = LQ!(I,s/s,S"/,i, ... ) Z"

k=1 i:=:l obi

und umgekehrt nach (4) zp = r:::1 ¢:(l,j/s, "$"/s, ... ) x" . Vollstandige Elimination jedweder BogenJa.nge s ist wegen cler eingangs angegebenen Forme! (3) zur Berechnung der iterierten Ableitungen (elp

) ebenfalls moglich: Aus s = exp(f "() folgt danach Sp+ 1 = s(p) = Q,,("(, i', . .. ) s . Analoges Vorgehen mit Hilfe von (10) und (13) fur die halbinvarianten Kriimmungen liefert zusammenfassend den

Satz 3 : Fur die halbinvariante Beglcitba"is (z" ... , zn) tmd die halbinvllrillnten K rum­mungen "'0, ... , "'n_1 gelten in beliebigen Pllrllmdern die Berechnung~formeln

Z" =: 2::::1 Q!(1,Qt("(),Q2("(,i'), ... ) Xi: (p=l, ... ,")

" = >::=, A, Q:=W, Q.(,), ... ) + Q::;:W,Q.(,),···) (p=O, ... ,"-l).

Bemerkung 2 (hinsichtlich eines Fundamenlalsatzes): Die Kriimmungen "0,"" "n-I in einer metrischen (oder auch halbinvarianten) Kur­ventheorie sind keine unabhangigen Invarianten. Die Nonnierungsbedingung L(i') =

(Die hlbinvariant.en Basisveklorf!n und Kriimmungen sind damit K-T~n50rrn im Sinne von (Bar] 5.7.

Pabel 147

const liefert eine im allgemeinen differentielle Relation zwischen ihnen. Hierzu gehen wir Beispiele an in der affinen Ebene (n = 2) mit der elnzig wesentlichen Ableitungs­gleichWlg i'" = -~I i' - ~o i" ;

1. In der euklidiJchen Geomdrie mit L(i) = Iii gilt i'" = - k~ x' + (k' /k}i" mit der euklidischen Kriimmung k. Es besteht die durch .ii: 1 = k~ , .ii:o = - k' /k gegebene differentielle Relation zwischen ~o und ~I

2. In der tiquiaffinen Geomdrie mit L(i) = v(i,i)I/3 gilt immer i'" = -~Ii'. Die Relation lautet: .ii:o == 0 .

3. In der iJotropen Geomdrie mit L(i) =< A, i >= Al . i ' + A~ . i~ gilt immer i'" = - ito i" . ~ Die Relation lautet: ~I == 0 .

(A E IR')

Unter der Vielfalt der moglichen !inearen Zusammenhiinge V liings Kurvcn im An lassen sich - in Anlehnung an die obigen Beispiele 2 und 3 - folgende geometrisch auszeichnen;

Sab 4:

a. 1m affinen Raum An gibt eJ genau emen linearen ZUJammenhang 'V ltingJ (HaupHyp-} Kurt/en t ...... x(t), for den die KrummungIJform 0"0 (und damit aIle KriimmungIJfunktionen KO) identiIJch verJchwinden. 6 Die zugehorigen Bo· genltingen IJind gerade die Affinbogenltingen t ...... set) = fv(x" . .. ,xn)'/N(t)dt bezuglich aller moglichen Volumenformen v im An, definieren alIJo iiquiaffine Kurventheorien.

b. 1m affinen Raum An IJind aile linearen Zwammenhtinge 'V ltinglJ (zultilJlJiger) Kurven t 1-+ x(t), for welche die KrummungJ/orm 0n_1 (und damit aile KrUm· mungJfunktionen Kn_l) identiuh veruhwinden, durch die zugehorigen Bogen· Liingen t ...... set) =< A ,x(i) > mit einem StellungJvektor A E JR" 7 gegeben, definieren al.!o isotrope Kurventheorien .

Die reIJtlichen KriimmungIJformen bilden j eweil.! unabhtingige InlJ4rianfen fUr cine Kurve.

Bewei&.- a. folgt schon aus der Bemerkung l.b b. Aus den Berechnungsformeln von Satz 3 erhii.lt man zunii.chst

.. _I n

Kn_1 = L: AkQ~_k(l,sl';,···) + Q~+I(I, sis, .. . ) = s-I (IJ(n+ l ) + L: An_jS(j). k=O j=1

5Siehe etwa !Sachs) S. 103 ff., insbesondere 5. 121. 6Dieser Zus&mmenhang wird in {Bat) dutchgangig benut1t. 1Die euklidisehe Formulierung ist unwesent lich. Affin invariant isl die durch den Slellungsvektor A

definierle Hyperebene der isolropen Richlungen.

148 Pabel

Zur Bestimmung aller Bogenlangen s mit "' .. -I =: 0 ist also die !ineate Differen­tialgieiclnlllg sC"+I) + L:j'=1 >' .. _js(j) = 0 zu losen. t ....... 2:(t) selbst und damit alle Linearkomhinationen t _< A,x(t) > ihrer Komponentenfunktionen sind aber nach den Ableitungsgleichungen (7) LOsungen, so dafi nach clem Eindeutigkeitssatz gilt 8(t) =< A,x(t) > (+30)' 0

Die hobe A bleitungsordnung cler Affinbogenlinge in der Blaschkeschen Rquiaffinen Kurvcntheorie liefert - siehe Bemerkung 3.c - eine Bcgleitbasis def Ableitungsord­nung 2n - 1 und ein System skalarer Invarianten der Ordnung 2n. Nach clem Vorbild von Wintcrnitz fur die Dimension n = 3 (siehe [Blal § 30) wurde von Paukowitsch ([Pau] 1977) im n-dimensionalen iiquiaffinen Raum (A",v) eine Begleitbasis def mi· nimalen Ableitungsordnung n + 1 mit zugehorigen Invarianten der Ordnung n + 2 konstruiert. In dieser Winternitz· Theorie spielen ebenfalls die Kettenregei-Polynome eine bedeutende Rolle. Dies wird gesondert in [Pab] untersucht.

Literatur

[Bar] Barthel, W. : Zur affinen Dijferentialgeometrie - Kurventheorie in der allgemeinen Affingeometrie . Proc. Congress of Geometry, Thessaloniki 1987 (Ed. by N.R. Stephanidis), 5-19.

[B1a] Blaschke, W . : Vorle."mgen uber Differentialgeometrie . II. Affine DiJ. /erentialgeometrie. Springer, Berlin 1923.

[Good] Goodman, T.N.T.: PropertieJ 0/ p·SplineJ. J. of Approx. Theory 44 (1985), 132-153.

[Pab] Pabel, H.: Zur affinen Winternitz·Theorie. Preprint Wiirzburg 1989.

[Paul Paukowitsch, H .-P. : Begleitfiguren und Jnvarianteru:YJtem minimaler Dijferentiatioru:ordnung von Kurven im reellen n·dimeru:ionalen affinen Raum. Monatsh. Math. 85 (1977), 137-148.

[Sachs] Sachs, H.: Ebene JJotrope Geometrie. Vieweg, Bra.unschweig/Wiesbaden 1987.

Mathematisches Institut der Universitiit Wiirzburg Am Hubland 0-8700 Wiirzburg

Eingegangen am 10. Juli 1989