Bewegung auf der Kreisbahn

Inhalt

• Weg-Zeitgesetz nach der cos- oder sin- Funktion• Komponenten des „Fahrstrahls“:

– Funktionen von Radius und Winkel

• Zeit einer Periode• Die Winkelgeschwindigkeit• Bewegung auf der Kreisbahn und Schwingung

00s

Beispiel: Bewegung einer Masse zwischen zwei Federn

Spezielles Weg-Zeit Gesetz für den Weg

Der Weg folgt einer cos Funktion der Zeit

Der Weg folgt einer cos Funktion der Zeit

Gleiches Weg-Zeit Gesetz für den dazu senkrechten Weg

Bewegung auf beiden Wegen

Beide Wege folgen einer cos Funktion der Zeit

Addition beider zueinander senkrechter Wege

Es folgt eine Kreisbewegung!

Bewegung auf einer Kreisbahn – Vektor der Geschwindigkeit

Es variiert die Richtung des Orts-Vektors

Bewegung auf einer Kreisbahn – Vektor des Orts

Es variiert die Richtung des Orts-Vektors

Vom Vektor zum Mittelpunkt überstrichener Winkel φ

Zeit t

Zeit und überstrichener Winkel

0

2π

5s

*Johannes Kepler (*1571) nannte diesen Vektor „Fahrstrahl“

*

Einheit

1 (oder 1 rad) Überstrichener Winkel

1 sZeit zum „Überstreichen“ des Winkels

1 1/s Winkelgeschwindigkeitt

Die Winkelgeschwindigkeit

t

Einheit

1 sPeriode, Zeit einen Umlauf, Winkel 2π

1 1/s Winkelgeschwindigkeit

Periode und Winkelgeschwindigkeit

T

T

2

Formulierung von Drehungen in einer Ebene

• Drehungen in einer Ebene ändern einen Winkel und lassen den Radius konstant

• Die Komponenten des Fahrstrahls sind Funktionen von Radius und Winkel

Komponenten des Fahrstrahls

r y

x

Einheit

1 m Komponenten des Vektors1m

1 m Betrag, „Radius“

1rad Winkel

cosrx

sinry

r

Einheit

1 m Ortsvektor

1 m Betrag, „Radius“

1rad Winkel

Komponenten des Fahrstrahls bei Drehung um den Mittelpunkt

r sinr

cosr

sin

cosrr

r

Nur der Winkel ändert sich, der

Radius bleibt konstant

1

1

1

1

2

2

2

2

Komponente y bei Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

t

trty sin)( s T

yy

Komponente x bei Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

t

trtx cos)(

xy

s T

Versuch

• Konstruktion einer Sinus-Kurve durch Aufzeichnung der Projektion einer Kreisbewegung als Funktion der Zeit

Zusammenfassung

• Fahrstrahl: Vektor vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Kreisumfang

• Die Komponenten des Fahrstrahls sind Funktionen von Radius r und Winkel φ, z. B.:

– x = r · cos φ – y = r · sin φ

• Drehung um des Fahrstrahls um den Mittelpunkt ändert den Winkel, der Radius bleibt konstant

• Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit verhalten sich die Komponenten des Fahrstrahls wie die Amplituden von Schwingungen in Form von Sinus- bzw. Kosinus Funktionen der Zeit

finis

t

trty sin)( s T

yy