MATHEMATISCHE MODELLIERUNG AM BEISPIEL VERSCHIEDENER FALLSTUDIEN

Seminar Angewandte Mathematik für LAK

Professor Schmitt

Maria Hutsteiner, Kerstin Kranz

ÜBERBLICK

Was ist Modellierung?

Fallbeispiele:

1. Müllabfuhr – Optimierungsproblem

2. Rettungshubschrauber – Standortbestimmung

Zusammenfassung

MODELLIERUNG

Reales Problem Mathematisches Problem

Reale Lösung Mathematische Lösung

Modellbildung

Analyse

Simulation

Interpretation

Überprüfung

MÜLL MÜLL MÜLL

Stadtreinigungen entsorgten 2007: Hamburg: ~754000 t, 587 kg pro Einwohner,

2066 t täglich Österreich: ~430 kg pro Einwohner

Optimale Route: Spart Treibstoff, Zeit Geld

Mei Go Guan „Chinesisches- Postboten-Problem“

ROUTENPLANUNG -MÜLLABFUHR

Optimierungskriterien: Sackgasse Einbahnstraße jede Straße mind. einmal abfahren Anfangspunkt = Endpunkt

MODELLIERUNG- GRAPHENTHEORIE

aus Straßennetz Graph erstellen Graph: Ein Graph besteht aus einer Menge

von Knoten, Kanten und einer Zuordnung, die jeder Kante ein Knotenpaar zuweist (Knoten sind Endpunkte der Kante)

Grad: Anzahl der Kantenenden an einen Knoten

MODELLIERUNG- GRAPHENTHEORIE

Straßen gerade Kanten Kreuzungen, Ende Sackgasse Knoten

Kantengewichte (verschiedene Parameter wie z.B. Weglänge, Durchfahrtszeit usw.)

EULERGRAPHEN- EULERTOUREN

Eulerweg: Ein Weg, der durch jede Kante eines zusammenhängenden Graphen genau einmal führt, heißt Eulerweg

Eulergraph: Ein Graph, der eine Eulertour enthält, heißt Eulergraph

Eulertour: Eulerweg mit gleichem Start-und Zielpunkt

Algorithmen: Zwiebelschalen- Algorithmus (Hierholzer-Algorithmus) Fleurys Algorithmus

ZWIEBELSCHALEN-ALGORITHMUS

1. Schritt: Wähle einen Startknoten

2. Schritt: Gehe auf unmarkierten Kanten und markiere diese Falls alle markiert Schritt 3 Falls nicht, suche neuen Startknoten, wiederhole

Schritt 2

3. Schritt: Gehe entlang des ersten Kreises bis er einen weiteren berührt; gehe weiter auf dem neuen bis dieser wieder einen weiteren berührt usw.

Gehe den zuletzt begonnenen zu Ende, dann den vorhergehenden, usw. bis alle Kanten besucht wurden

FLEURYS- ALGORITHMUS

Brücke: Kante in einem Graphen, bei deren Wegnahme der Graph in zwei Komponenten zerfallen würde

1. Schritt: beginne mit beliebiger Kante

2. Schritt: wähle nächste Kante so, dass sie im Restgraphen keine Brücke bildet

…

grün = Brücke

UNGERADE KNOTEN

Knoten besitz ungeraden Grad Bsp. 2 ungerade Knotengrade

Mehr als 2 ungerade Knotengrade: Anzahl gerade: wie oben Anzahl ungerade: ????

UNGERADE KNOTEN

Satz: In jedem Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade.

Satz: Die Summe aller Knotengrade eines Graphen = doppelte Anzahl der Kanten,

(da jede Kante die Summe aller Knotengrade genau um 2 erhöht (Anfangs- und Endknoten))

aus jedem Graph lässt sich Eulergraph entwickeln

THE PERFECT MATCH

Matching: Teilgraph, in dem alle Knoten höchstens Grad 1 haben

Minimal: Summe der Kantengewichte ≤ Summe der Kantengewichte bei jedem anderen Matching, das diese Knoten verbindet

Perfektes Matching: nur Knoten vom Grad 1, alle Knoten sind zu Paaren verbunden

STANDORTWAHL FÜR RETTUNGSHUBSCHRAUBER

AUSGANGSPROBLEM: Ein Rettungshubschrauber soll mehrere

Einsatzgebiete optimal versorgen.

Was heißt „optimal“?

BEISPIEL: gleichmäßig schnelle Versorgung der Unfallopfer

BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung

Vereinfachte Modellannahmen: Modellieren Einsatzgebiete sowie

Hubschrauberstandort als Punkte in der Ebene Flugzeit zw. A und B – proportional zur Länge der

geraden Strecke zw. A und B Es wird nur die Zeit bis zur Erstversorgung des

Unfallopfers berücksichtigt Unfallhäufigkeit ebenfalls nicht berücksichtigt

BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung

Wenn wir annehmen, dass M Einsatzorte Ex1(a11 | a12), Ex2(a21 | a22),..., ExM(aM1 | aM2) zu beachten sind und X(x1 | x2) irgendein Standort für den Hubschrauber ist, so ist für m = 1,…, M

die Euklidische Entfernung zwischen dem m-ten Standort Exm(am1 | am2) und X

BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung

CENTER ZIELFUNKTION

CENTER STANDORTPROBLEM

2 4 6 8 10-4 -2

2

4

6

8

10

Ex1(3,5 | 6)

Ex2(-1,5 | 10)

X(1 | 8)

ZWEI EINSATZORTE:

Mittelpunkt der Strecke zw. den beiden Einsatzorten

Außerhalb der beiden Kreisscheiben ist die Entfernung sowohl von Ex1 als auch von Ex2 größer als r*.

In der (gelben) Kreisscheibe um Ex1 mit Radius r* hat jeder Punkt X außer X* eine Entfernung von Ex2, die größer als r* ist. Analog hat jeder Punkt X außer X* in der (grünen) Kreisscheibe um Ex2 mit Radius r* eine Entfernung von Ex1, die größer als r* ist.

21 43

4

2

1

3

5

Ex1(1 | 2) Ex2(5 | 2)X*(3 | 2)

r* r*

2 4 6 8 10-4 -2

-2

2

4

6

8

10

X(3 | 4)

Ex1(-2 | 2)

Ex3(-5 | -1)

Ex2(5 | 9)

DREI EINSATZORTE – FALL1:(Spitzwinkeliges Dreieck)

Umkreismittelpunkt

Der einzige Punkt mit Euklidischer Entfernung kleiner oder gleich r* zu allen drei existierenden Standorten ist X*.

Ex2(2 | 6)

Ex1(2 | -2)

42

86

4

2

6

-2

10

Ex3(8 | 0)

X*(4 | 2)

2 4 6-4 -2

-2

2

4

6

XU(-2 | -4)

Ex2(1 | 3)

-8 -6

-4

-6

XM(0 | 1)

Ex1(-5 | 3)

Ex3(5 | -1)

FALL2:(Stumpfwink. Dreieck)

FALL2:(Stumpfwink. Dreieck)

Seien Ex1 und Ex2 die Endpunkte der längsten Seite und X* der Mittelpunkt dieser Seite.Dann gilt für jeden Standort X, der von X* verschieden ist:

FALL 3 (?) – rechtwinkeliges Dreieck

SATZ:

MEHR ALS DREI EINSATZORTE:

Lösung durch Probieren?

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

Ex1(0 | 0)

Ex2(9 | -2)

X1(4 | 5)

12

14

-2

Ex3(7 | 13)

Ex4(4 | 15)

100

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

Ex1(0 | 0)

Ex2(9 | -2)

12

14

-2

Ex3(7 | 13)

Ex4(4 | 15)

X2(5 | 4)

122

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

Ex1(0 | 0)

Ex2(9 | -2)

12

14

-2

Ex3(7 | 13)

Ex4(4 | 15)

X3(5 | 5)

101

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

Ex1(0 | 0)

Ex2(9 | -2)

X1(4 | 5)

12

14

-2

Ex3(7 | 13)

Ex4(4 | 15)

100

MEHR ALS DREI EINSATZORTE:

Zurückführung auf das Problem mit zwei oder drei Einsatzorten

Für alle Paare und Tripel in der Menge Ex mache das folgende:

Schritt 1: Bestimme den optimalen Center Standort X‘ und den optimalen Zielfunktionswert r‘ für das Center Standortproblem mit zwei bzw. drei Einsatzorten.

Schritt 2: Bestimme den Kreis mit Radius r‘ um X‘. Falls die entsprechende Kreisscheibe alle Punkte in Ex enthält, ist X‘=X* und r‘=r* (X*... Optimaler Center Standort, r*... Optimaler Center Zielfunktionswert)

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12X*(3 | -1)

r* ≈ 15,8

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

> 90°

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

> 90°

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12

3 6 9 12 15

3

6

9

12

15

Ex1(-12 | 4)

Ex2(14 | 7)

18-6

-3

Ex3(18 | -6)

Ex4(-9 | -5)

-3

-6

-9

-9-12X*(3 | -1)

r* ≈ 15,8

Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE

1) Intuitive Lösungsfindung

w1, w2 ... Unfallhäufigkeiten in Ex1 u. Ex2

Bsp.: w1< w2 , etwa w1=1, w2=2

- Hubschrauber wird näher an Ex2 heranrücken

Ex1Ex2

1 21 2 1 2

1 2 1 2

1 2*

3 3

w wX Ex Ex Ex Ex

w w w w

Schwerpunkt

Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE

2) Zielfunktion und Optimierung

Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE

2) Zielfunktion und Optimierung

2 21 1 2 2( ) : ( , ) ( , )F X w d Ex X w d Ex X

Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE

2) Zielfunktion und Optimierung

Minimierung der Zielfunktion führt zur Lösung:

2 21 1 2 2( ) : ( , ) ( , )F X w d Ex X w d Ex X

1 21 2

1 2 1 2

*w w

X Ex Exw w w w

Schwerpunkt

Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – N EINSATZORTE

Zielfunktion:

Bedingung:

Lösung:

2

1

( ) : ( , )N

i ii

F Q wd P Q

1

( ) 2 ( ) 0N

i ii

gradF Q w P Q

1

1

N

i iiN

ii

w PQ

w

n Hubschrauber – m Einsatzorte

LÖSUNGSALGORITHMUS:

Wähle n verschiedene Einsatzorte als Hubschrauberstandorte zufällig aus.

Ordne jeden Einsatzort einem ihm nächstgelegenen Hubschrauberstandort zu.

Verlege jeden Hubschrauber in den optimalen Standort der ihm zugeordneten Einsatzorte. Bewegt sich dabei kein Hubschrauber mehr, halte an, andernfalls gehe zu 2.

n Hubschrauber – m Einsatzorte - BEISPIEL

ZUSAMMENFASSUNG

Optimierung des Weges in vielen Bereichen anwendbar (Busrouten, Speditionen, Postboten, Museen)

Ortlieb et. al. Mathematische Modellierung. Vieweg und Teuber, Wiesbaden, 2007.

Hamacher, E. Korn, R. Korn, Schwarze. Mathe und Ökonomie. Universum Verlag, Wiesbaden, 2004.

Gritzmann, Brandenberg. Das Geheimnis des kürzesten Weges. 3. Auflage, Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, 2005.