TeildruckDie Verkaufsauflage ist verfügbar unter der ISBN 978-3-12-736089-9.

Nordrhein-Westfalen

Mathematik

Mein Abi-Coach

Abitur

2020mit Orig

inal-

Prüfungsaufgab

en

und Lösungen

Grundkurs

Lambacher Schweizer

Auf diesen Seiten steht alles Wichtige rund um die Abiturprüfung und Hilfreiches für die Vorbereitung.

1. Einfach planen

So einfach lernt man mit dem Abi-CoachLambacher Schweizer Mathematik

6 Einführung6 Einführung

Der dritte Teil „Fertigkeiten“ umfasst grundlegende Fertigkeiten, die für eine Bewältigung der Abituraufgaben eine wesentliche Voraussetzung sind. Sie finden eine große Zahl von Fertigkeiten zur Algebra, Analysis, Geometrie und Stochastik. Diese Fertigkeiten werden verbal beschrieben und inhaltlich erläutert. Anhand von ausführlich dargestellten Beispielen können Sie Ihre eventuell ver-schütteten Kenntnisse in den genannten Bereichen wieder zielgerichtet auffrischen. Dem dienen auch weitere Übungsaufgaben zur jeweiligen Fertigkeit. Zu allen Auf- gaben werden Endergebnisse, in etlichen Fällen auch relevante Zwischenergeb-nisse genannt. An dieser Stelle sei auch auf die Tabelle (unter www.klett.de mit dem Online Code jc8z3i abrufbar) verwiesen, mit der Sie Ihre Arbeit strukturieren und or- ganisieren können. Die Tabelle macht Ihnen einen Vorschlag, wie Sie das Durch-arbeiten der Fertigkeiten auf die bis zum Abitur verbleibende Zeit verteilen können. Hier können Sie angeben, welche Fertigkeiten Sie bereits beherrschen. Das 2. Tabellenblatt zeigt, welche Fertigkeiten für welche Abituraufgaben grund- legend sind und welche Abituraufgaben (oder Teile davon) Sie also bereits be- arbeiten können sollten.

3. Abiturvorbereitung mit dem Abi-Coach

Im Folgenden sind drei mögliche Szenarien beschrieben, wie Sie sich mit dem Abi-Coach individuell auf Ihr Abitur vorbereiten können:

(A)Sie wollen sich systematisch und langfristig auf Ihr Abitur vorbereiten und dabei alle wichtigen Grundlagen gut trainieren:Arbeiten Sie möglichst frühzeitig, z. B. beginnend mit der Qualifikationsphase, zu-nächst im Teil 3 die Fertigkeiten durch. Orientieren Sie sich hierbei daran, welche Themen in Ihrem Unterricht behandelt werden oder wurden; ggf. hilft Ihnen auch Ihre Lehrkraft bei der Auswahl derjenigen Fertigkeiten, die Sie bereits trainieren können. Sie können im Abi-Coach bei jeder Fertigkeit vermerken, ob Sie diese beherrschen oder noch weiter trainieren müssen. Falls Sie hierfür die Tabelle (unter www.klett.. de mit dem Online Code jc8z3i abrufbar) benutzen wollen, zeigt Ihnen diese auf dem 2. Tabellenblatt, welche Fertigkeiten für welche Abituraufgaben grundlegend sind und welche Abituraufgaben (oder Teile davon) Sie also bereits bearbeiten können sollten.Alternativ können Sie auch der Randspalte der Abitur-Lösungen (S. 27 ff., S. 60 ff., S. 94 ff. und S. 123 ff.) entnehmen, welche Fertigkeiten beim Lösen angewandt wurden.Nutzen Sie die Chance, diese Aufgaben schon frühzeitig zu lösen: Dies gibt Ihnen Sicherheit und Selbstbewusstsein für die künftige Prüfung. Beim Lösen der Auf-gaben können Ihnen die gestuften Tipps eine wertvolle Hilfe sein.Einige Wochen vor dem Abitur können Sie dann vorgehen, wie unter (C) be-schrieben.

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Zum Tool für den individuellen Trainingsplan einfach bei www.klett.de ins Suchfeld eingeben: jc8z3i

2. Einfach ausprobieren

Mit Original-Abiturprüfungen aus vergangenen Jahren den eigenen Lernstand feststellen. Mein Abi-Coach hilft mit Tipps weiter.

88 Abitur 2019

Abitur 2019

AufgabenPrüfungsteil A (hilfsmittelfreier Teil)

a) Gegeben sind die Funktionen g und h durch die Gleichungen

g (x) = x 2 – x + 1 mit x ∈ ℝ und

h (x) = – x 2 – 5 x + 1 mit x ∈ ℝ.

(1) Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für x = – 2 und x = 0 schneiden.

(2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von g und h einschließen.

b) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x ⋅  e 2 x + 2 ; x ∈ ℝ.

(1) Bestimmen Sie die 1. Ableitung.

Für die 2. Ableitung von f gilt: f ” (x) = (4 x + 4) ⋅  e 2 x + 2 .

(2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes. Hinweis: Auf den Nachweis einer hinreichenden Bedingung kann ver-zichtet werden.

c) In einer Urne befinden sich drei rote und sieben weiße Kugeln.

(1) Zweimal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eine der entnommenen Kugeln weiß ist.

(2) Zehnmal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der entnommenen weißen Kugeln.

Begründen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass keine der folgenden Abbildungen 1 und 2 die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellt.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1

0

0,2

0,3

0,4

k

P (X = k)

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1

0

0,2

0,3

0,4

k

P (X = k)

Abbildung 1 Abbildung 2

2 P Tipp 1

4 P Tipp 2

3 P Tipp 3

3 P Tipp 4

3 P Tipp 5

3 P Tipp 6

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3. Einfach trainieren

3

137Algebra – Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen

Ergebnis:a) x = 9 _ 5 b) L = { } c) L = ℝ d) x =

6 _ 5 t

F 2 Quadratische Gleichungen lösen

Wenn in einer Gleichung die Lösungsvariable, meist x, in der zweiten Potenz, aber keiner höheren Potenz vorkommt, dann handelt es sich um eine quadratische Gleichung.

Jede quadratische Gleichung kann unter Verwendung der Rechengesetze auf die Form x 2 + p x + q = 0 gebracht werden.

Die Kurzschreibweise für die Lösungen lautet x 1/2 = – p _ 2 ± √

______ (

p _ 2 )

2 – q .

Die Lösungen lauten dann x 1 = – p _ 2 + √

______ (

p _ 2 )

2 – q ; x 2 = –

p _ 2 – √

______ (

p _ 2 )

2 – q .

Hinweise1. Wenn p = 0 ist, dann lautet die Gleichung x 2 + q = 0. Hier verwendet man nicht die p q-For-

mel. Allerdings hat diese Gleichung auch nur für q < 0 eine Lösung.2. Wenn q = 0 ist, dann lautet die Gleichung x 2 + p x = 0. Hier klammert man x aus (siehe Bei-

spiel e)).3. Wenn es sich um eine biquadratische Gleichung a x4 + b x2 + c = 0 handelt, dann führen Sie

eine Substitution mit x2 = u durch, lösen die entstandene quadratische Gleichung mit der Variablen u und machen anschließend die Resubstitution, um die Lösungen der ursprünglichen Gleichung zu erhalten (siehe Beispiel f)).

4. Wenn digital ermittelte Lösungen nicht exakt sind, geben Sie diese als Näherungswerte und sinnvoll gerundet an. Häufig reichen eine oder zwei Nachkommastellen aus.

⚠ Achten Sie bei der digitalen graphischen Bestimmung von Lösungen darauf, dass Sie Lösun-gen außerhalb des eingestellten Graphikbildschirms nicht übersehen. Ändern Sie gegebenenfalls die Bildschirmeinstellungen.

BeispielLösen Sie die Gleichung.

a) x2 + x = 6 b) 4 x2 = 3 x – 9 _ 16 c) 1 _ 2 x

2 + x + 3 _ 2 = 0

d) (x – 1)2 = (2 – x)2 + 2 x – 3 e) 4 x2 + 6 x = 0 f) 2 x4 – 17 x2 – 9 = 0Lösung:a) x2 + x = 6

x2 + x – 6 = 0

x 1/2 = – 1 _ 2 ± √

_____ ( 1 _ 2 )

2 + 6

x 1/2 = – 1 _ 2 ± √

_ 25 _ 4

x 1/2 = – 1 _ 2 ±

5 _ 2

x1 = – 1 _ 2 +

5 _ 2 = 2; x2 = – 1 _ 2 –

5 _ 2 = – 3

Die Gleichung hat die Lösungen 2 und – 3.

b) 4 x2 = 3 x – 9 _ 16

4 x2 – 3 x + 9 _ 16 = 0

x2 – 3 _ 4 x + 9 _ 64 = 0

x 1/2 = 3 _ 8 ± √

______ ( 3 _ 8 )

2 – 9 _ 64

x 1/2 = 3 _ 8 + √

_ 0

x = 3 _ 8

Die Gleichung hat nur die Lösung 3 _ 8 .

… da bin ich noch unsicher … das kann ich ( jetzt)

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Hier hilft Mein Abi-Coach beim Training: Erklärungen, passende Beispiele und ent sprechende Übungsaufgaben mit Lösungen.

1818 Abitur 2019Abitur 2019

TippsFolgende Tipps geben eine erste Hilfestellung:

Tipp 1 Setzen Sie die Funktionsterme der Funktionen g und h gleich.

Tipp 2 Wie kann man das Maß der Fläche, die die Graphen zweier Funktionen ein- schließen, ermitteln ?

Tipp 3 Bestimmen Sie die 1. Ableitung der Funktion f.

Tipp 4 Ermitteln Sie die Wendestelle(n) der Funktion f.

Tipp 5 Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm.

Tipp 6 Berechnen Sie zunächst den Erwartungswert von X. Beachten Sie, dass P (X ≦ 10) = 1 ist.

Tipp 7 Wenn der Punkt B auf der Geraden g liegt, müssen seine Koordinaten die Geraden-gleichung erfüllen.

Tipp 8 Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors ⟶

AC .

Tipp 9 Die Koordinaten der Punkte erfüllen die Funktionsgleichung.

Tipp 10 Berechnen Sie die Anzahl der Glasfaserhaushalte.

Tipp 11 Berechnen Sie das Verhältnis zwischen dem Wert der Modellierung und dem Wert der Erhebung.

Tipp 12 Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion.

Tipp 13 Interpretieren Sie das Ergebnis der Ableitung im Kontext.

Tipp 14 Berechnen Sie den angegebenen Quotienten.

Tipp 15 Bilden Sie die Funktion d als Differenzfunktion und ermitteln Sie anschließend den Hochpunkt des Graphen dieser Funktion.

Tipp 16 Überlegen Sie, welche Bedeutung die Differenzfunktion d hat.

Tipp 17 Interpretieren Sie das Datum als einen Wert der Variablen.

Tipp 18 Berechnet werden soll die wachsende Anzahl der Glasfaserhaushalte in einem bestimmten Zeitraum.

Tipp 19 Überlegen Sie, welche Voraussetzungen der gesuchte Term haben muss.

Tipp 20 Interpretieren Sie die Änderungsrate im Sachzusammenhang.

Tipp 21 Bestimmen Sie durch Einsetzen der Werte für k die konkreten Gleichungen der drei Scharvertreter f 0 , f 1 und f 2 .

Tipp 22 Nutzen Sie aus, dass die Koordinaten des gegebenen Punktes die Funktions- gleichung des gesuchten Scharvertreters erfüllen.

Tipp 23 Bestimmen Sie 1. und 2. Ableitungsfunktion der Funktion f 1 .

Tipp 24 Berechnen Sie die Nullstellen von f 1 .

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2323Tipps

Tipp 48 Nach einer ungeraden Anzahl von Drehungen befindet sich eine ungerade Anzahl von Gummibärchen auf dem Spielbrett.

Tipp 49 Berechnen Sie → x 9 = A 9 ⋅ → x 0 .

Tipp 50 Beachten Sie, dass Katja mindestens vier Vorwärtsschritte machen muss, um das Spiel zu beenden. Die Summe aus der Anzahl der Vorwärtsschritte und der Anzahl der Rückwärtsschritte ist hier 6.

Tipp 51 Beachten Sie, dass man für jeden Rückwärtsschritt einen Vorwärtsschritt benötigt, damit das System sich wieder im selben Zustand Z i (i = 1, 2, 3) befindet.

Tipp 52 Man benötigt 2 ⋅ 6 + 4 = 16 Drehungen, damit Katja genau 10 Gummibärchen erhält. Berechnen Sie ⟶ x 16 = A 16 ⋅

→ x 0 .

Tipp 53 X beschreibt die Anzahl der Jahreskartenbesitzer, die an einem bestimmten Tag das Schwimmbad besuchen.

Tipp 54 Berechnen Sie P (X > 210) = P (X ≧ 211) = 1 − P (X ≦ 210).

Tipp 55 Es gilt μ = n ⋅ p = 2000 ⋅ 0,1 = 200 und σ = √ _________

n ⋅ p ⋅ (1 − p) = √ ___________

2000 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 ≈ 13,42. Beachten Sie, dass die Zufallsgröße X nur natürliche Zahlen annehmen kann.

Tipp 56 Der gesuchte Wert von k muss folgende Bedingung erfüllen: P (X < k) = P (X ≦ k − 1) ≦ 0,1

Tipp 57 Sie können B als „Jahreskartenbesitzer besucht das Bad“ interpretieren. Beachten Sie, dass ‾ B das Gegenereignis zu B ist.

Tipp 58 Das Ereignis B ‾ B (Jahreskartenbesitzer 1 besucht das Bad und Jahreskarten- besitzer 2 besucht das Bad nicht) hat die Wahrscheinlichkeit r.

Tipp 59 Beachten Sie, dass nur die Säulen mit k ≦ 220 dunkel eingefärbt sind.

Tipp 60 Berechnen Sie P (X ≦ 220) mit dem Taschenrechner.

Tipp 61 Berechnen Sie den Erwartungswert von Z.

Tipp 62 Berechnen Sie, wie viele Jahreskartenbesitzer an dem bestimmten Tag mindestens ins Bad kommen müssen, damit die Einnahmen des Besitzers mindestens 1000 € betragen.

Tipp 63 Beachten Sie, dass die Schwimmbadleitung, falls mindestens 215 Jahreskarten-besitzer ins Bad kommen, davon ausgeht, dass die Umbaumaßnahmen wirken.

Tipp 64 Beachten Sie, dass die Schwimmbadleitung jetzt die Wirksamkeit der Umbau-maßnahmen falsch beurteilt, falls höchstens 214 Jahreskartenbesitzer an diesem bestimmten Tag das Bad besuchen.

Folgende Tipps helfen, Lücken zu schließen:

Tipp 1 Bearbeiten Sie aus F 2 die Beispiele a) und b) sowie die Aufgabe a), c) und d).

Tipp 2 Bearbeiten Sie aus F 23 das Beispiel 1 und die Aufgabe 1 a) und aus F 27 den 2. Fall, das Beispiel 2 und die Aufgabe 2.

Tipp 3 Bearbeiten Sie aus F 11 Beispiele b) und c), aus F 12 Beispiel b) und aus F 13 Beispiel a).

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Die Tipps helfen in drei Stufen zur Lösung, am Ende mit einem Verweis an die richtige Stelle im Trainingsteil: zum Beispiel F 2

Mein Abi-Coach führt in drei Schritten zum erfolgreichen Abitur.

Abi – mach’s einfach!Abitur

2020

2

Inhalt

Einführung 4

1. Informationen zum Abitur 2020 4

2. Aufbau des Abi-Coach 5

3. Abiturvorbereitung mit dem Abi-Coach 6

Abiture 8

Abitur 2019 8

Aufgaben 8Tipps 18Lösungen 27

Abitur 2018 41

Aufgaben 41Tipps 52Lösungen 60

Abitur 2017 73

Aufgaben 73Tipps 85Lösungen 94

Abitur 2016 108

Aufgaben 108Tipps 115Lösungen 123

Abitur 2015, 2014 und 2012

Aufgaben, Tipps und Lösungen unter www.klett.de downloadbar mit Online Code jc8z3i

EINFACH AUSPROBIEREN

EINFACH PLANEN

3

EINFACH TRAINIEREN

Inhalt

Fertigkeiten 136

Algebra 136

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen 136

Analysis 145

Ableitungsregeln 145Anwendungen der Ableitung 149Stammfunktion, Integral, Integralfunktion 164Anwendungen des Integrals 167Funktionsbestimmungen 174Graphen 179Zusammenhänge zwischen den Graphen von Funktion, Ableitungsfunktion und Stammfunktion 183Bestandsfunktionen 191Funktionenscharen 198

Analytische Geometrie 201

Grundlegendes im Umgang mit Vektoren 201Gleichungen von Geraden und Ebenen 208Schnittprobleme und Lagebeziehungen 212Geometrische Anwendungsaufgaben 215Winkel 219

Stochastik 222

Grundlagen zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten 222Die Pfadregeln und ihre Anwendungen 224Anwendungen rund um Glücksspiele 227Binomialverteilungen 231Stochastische Prozesse 241

4

Einführung

1. Informationen zum Abitur 2020

Ihr Abitur 2020 wird aus zwei Teilen bestehen, dem Prüfungsteil A und dem Prüfungsteil B.Insgesamt erhalten Sie im Grundkurs 180 Minuten Bearbeitungszeit hierfür.

Prüfungsteil A (hilfsmittelfrei)Im hilfsmittelfreien Prüfungsteil A können Sie bis zu 24 Bewertungspunkte erhalten (von 104 Be-wertungspunkten für die gesamte Abiturprüfung). Sie dürfen maximal 45 Minuten an diesem Prüfungsteil A arbeiten. Bei der Bearbeitung dieses Prüfungsteils dürfen Sie keine Hilfsmittel außer einem Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung verwenden. Wenn Sie die Bearbeitung dieses Prüfungsteils A abgeschlossen haben, geben Sie diesen ab und erhalten die Hilfsmittel zur Bearbeitung des Prüfungsteils B (mit GTR oder CAS, Formelsammlung). Beachten Sie, dass Sie ab diesem Zeitpunkt also keine Veränderungen oder Ergänzungen am Prüfungsteil A mehr vornehmen können.Der Prüfungsteil A umfasst eher grundlegende Fragestellungen aus Analysis, analytischer Geo-metrie und Stochastik (inklusive stochastische Prozesse).

Prüfungsteil B (mit GTR oder CAS und Formelsammlung)Im Prüfungsteil B können Sie bis zu 80 Bewertungspunkte erhalten (von 104 Bewertungspunk-ten für die gesamte Abiturprüfung). Sie dürfen am Prüfungsteil B 180 Minuten abzüglich der für Teil A aufgewendeten Zeit (also 135 Minuten oder sogar länger) arbeiten. Aus dem vom Schulministerium vorgegebenen Aufgabensatz mit fünf Aufgaben stellen die Lehr-kräfte Ihrer Schule den Prüfungsteil B folgendermaßen zusammen:Zwei Aufgaben werden ausgewählt, wobei genau eine Aufgabe aus dem Gebiet Analysis stammen muss. Eine Aufgabenauswahl durch die Schülerinnen und Schüler ist nicht vorgesehen. Es wählen also nicht Sie, sondern Ihre Lehrkräfte aus. Bei der Bearbeitung des Prüfungsteils B dürfen Sie nun den GTR (oder das CAS) und die Formelsammlung verwenden.Die Aufgaben der vergangenen Jahre eignen sich gut, um sich durch deren Bearbeitung auf das Abitur 2020 vorzubereiten. Sie sollten sich lediglich bewusst sein, dass seit dem Abitur 2017 im Prüfungsteil B der Einsatz des GTR stärkeres Gewicht erhält.

5Einführung

2. Aufbau des Abi-Coach

Der Abi-Coach besteht aus drei Teilen.

In diesem ersten Teil „Einführung“ erhalten Sie Informationen zum Abitur und Hilfestellungen, wie Sie sich individuell mithilfe dieses Buches auf Ihr Abitur vorbereiten können.

Im zweiten Teil „Abiture“ folgen – jeweils für einen Jahrgang zusammengefasst – Abituraufgaben, Tipps hierzu und Lösungen.Hier finden Sie Original-Abituraufgaben-Sätze aus Nordrhein-Westfalen für das Fach Mathematik, die in den letzten Jahren vorgelegt wurden. Sie können diese Original-aufgaben bearbeiten und Ihre Ergebnisse anhand der Lösungen überprüfen. Wo es inhaltlich aufgrund veränderter Anforderungen im Abitur geboten war, wurden die Aufgabenstellungen des Abiturjahrganges 2016 so geändert, dass Sie sie zur Vorbereitung auf Ihr Abitur sinnvoll nutzen können. Alle Änderungen bzw. Ergänzungen sind durch graue Schriftfarbe kenntlich gemacht. Insbesondere wurde für diesen Prüfungsjahrgang 2016 ein Prüfungsteil A (hilfsmittelfreier Teil) ergänzt.

Falls Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben jedoch Schwierigkeiten haben, können Sie auf gezielte Tipps des Buchs zurückgreifen. Zu jeder Frage in den Abiturauf-gaben ist die Nummer eines Tipps angegeben. Hinter jeder dieser Nummern ver- bergen sich Tipps von drei verschiedenen Stufen. In jedem Tipp der ersten Stufe wird ein eher knapper und allgemein gehaltener Impuls gegeben, mit dem Sie die Aufgabe dann doch vielleicht selbstständig lösen können. Reicht dieser Anstoß nicht aus, dann hilft Ihnen möglicherweise der Tipp der zweiten Stufe. Er ist deut-lich konkreter und zeigt einen möglichen Einstieg, um die Fragestellung erfolg-reich zu bearbeiten. Wenn Sie auch damit noch nicht zum Ziel kommen, unterstützt Sie ein Tipp dritter Stufe, der zumeist auch in den dritten Teil des Buches verweist, sodass Sie Lücken schließen können. Im Anschluss an die Tipps finden Sie ausführliche, schülergerechte Lösungen, gegebenenfalls ergänzende Abbildungen und oft auch alternative Lösungswege. Zur raschen Orientierung sind die Endergebnisse der Teilaufgaben blau hinter-legt gedruckt. In der Randspalte sind, auf einen Blick erfassbar, die grundlegenden Fertigkeiten aufgeführt, welche Sie für diese Lösungen beherrschen müssen. Somit können Siez. B. auch vor dem Lösen von Abituraufgaben die benötigten Fertigkeiten wieder-holen.

6 Einführung6 Einführung

Der dritte Teil „Fertigkeiten“ umfasst grundlegende Fertigkeiten, die für eine Bewältigung der Abituraufgaben eine wesentliche Voraussetzung sind. Sie finden eine große Zahl von Fertigkeiten zur Algebra, Analysis, Geometrie und Stochastik. Diese Fertigkeiten werden verbal beschrieben und inhaltlich erläutert. Anhand von ausführlich dargestellten Beispielen können Sie Ihre eventuell ver-schütteten Kenntnisse in den genannten Bereichen wieder zielgerichtet auffrischen. Dem dienen auch weitere Übungsaufgaben zur jeweiligen Fertigkeit. Zu allen Auf- gaben werden Endergebnisse, in etlichen Fällen auch relevante Zwischenergeb-nisse genannt. An dieser Stelle sei auch auf die Tabelle (unter www.klett.de mit dem Online Code jc8z3i abrufbar) verwiesen, mit der Sie Ihre Arbeit strukturieren und or- ganisieren können. Die Tabelle macht Ihnen einen Vorschlag, wie Sie das Durch-arbeiten der Fertigkeiten auf die bis zum Abitur verbleibende Zeit verteilen können. Hier können Sie angeben, welche Fertigkeiten Sie bereits beherrschen. Das 2. Tabellenblatt zeigt, welche Fertigkeiten für welche Abituraufgaben grund- legend sind und welche Abituraufgaben (oder Teile davon) Sie also bereits be- arbeiten können sollten.

3. Abiturvorbereitung mit dem Abi-Coach

Im Folgenden sind drei mögliche Szenarien beschrieben, wie Sie sich mit dem Abi-Coach individuell auf Ihr Abitur vorbereiten können:

(A)Sie wollen sich systematisch und langfristig auf Ihr Abitur vorbereiten und dabei alle wichtigen Grundlagen gut trainieren:Arbeiten Sie möglichst frühzeitig, z. B. beginnend mit der Qualifikationsphase, zu-nächst im Teil 3 die Fertigkeiten durch. Orientieren Sie sich hierbei daran, welche Themen in Ihrem Unterricht behandelt werden oder wurden; ggf. hilft Ihnen auch Ihre Lehrkraft bei der Auswahl derjenigen Fertigkeiten, die Sie bereits trainieren können. Sie können im Abi-Coach bei jeder Fertigkeit vermerken, ob Sie diese beherrschen oder noch weiter trainieren müssen. Falls Sie hierfür die Tabelle (unter www.klett.. de mit dem Online Code jc8z3i abrufbar) benutzen wollen, zeigt Ihnen diese auf dem 2. Tabellenblatt, welche Fertigkeiten für welche Abituraufgaben grundlegend sind und welche Abituraufgaben (oder Teile davon) Sie also bereits bearbeiten können sollten.Alternativ können Sie auch der Randspalte der Abitur-Lösungen (S. 27 ff., S. 60 ff., S. 94 ff. und S. 123 ff.) entnehmen, welche Fertigkeiten beim Lösen angewandt wurden.Nutzen Sie die Chance, diese Aufgaben schon frühzeitig zu lösen: Dies gibt Ihnen Sicherheit und Selbstbewusstsein für die künftige Prüfung. Beim Lösen der Auf-gaben können Ihnen die gestuften Tipps eine wertvolle Hilfe sein.Einige Wochen vor dem Abitur können Sie dann vorgehen, wie unter (C) be-schrieben.

7Einführung 7

(B)Sie wollen mittelfristig vor dem Abitur Lücken schließen und das Aufgabenformat der Abituraufgaben kennenlernen:Damit sollten Sie spätestens etwa drei bis vier Monate vor dem Abitur beginnen.Überlegen Sie, welche Fertigkeiten im Teil 3 des Abi-Coach Sie bereits beherrschen und welche Sie noch üben müssen. Um dies zu entscheiden, können Sie die Lösun- gen der Beispiele nachvollziehen und einzelne Aufgaben bearbeiten und Ihre Er- gebnisse überprüfen.Arbeiten Sie diejenigen Fertigkeiten, bei denen Sie noch unsicher sind, gründlich durch.Kreuzen Sie im Abi-Coach oder der Tabelle (unter www.klett.de mit dem Online Code jc8z3i abrufbar) an, welche Fertigkeiten Sie beherrschen.Die Tabelle zeigt Ihnen auf dem 2. Tabellenblatt, welche Fertigkeiten für welche Abituraufgaben grundlegend sind und welche Abituraufgaben (oder Teile davon) Sie also bereits bearbeiten können sollten.Alternativ können Sie auch der Randspalte der Abitur-Lösungen (S. 27 ff., S. 60 ff., S. 94 ff. und S. 123 ff.) entnehmen, welche Fertigkeiten beim Lösen angewandt wurden.Bearbeiten Sie nun diese Abiture (oder Teile davon), für die Sie die grundlegenden Fertigkeiten zu beherrschen meinen. Beim Lösen der Aufgaben können Ihnen die gestuften Tipps eine wertvolle Hilfe sein. Sowohl die Tipps der 3. Stufe, als auch die abgedruckten Musterlösungen geben Hinweise, wo ggf. Lücken zu schließen sind, welche Fertigkeiten Sie also noch einmal trainieren sollten.

(C)Sie wollen simulieren, wie sich das Abitur „anfühlt“:Dies ist erst sinnvoll, wenn Sie im Unterricht alle abiturrelevanten Inhalte kennen-gelernt haben – oder Sie verzichten ggf. auf Aufgabenteile, für die Sie noch nicht gerüstet sind.Lesen Sie zunächst die Informationen zum Abitur 2020 auf Seite 4 des Abi-Coach.Wählen Sie ein Abitur aus, d. h. einen vollständigen Prüfungsteil A und zwei Auf- gaben aus dem zugehörigen Prüfungsteil B, wobei genau eine Aufgabe aus dem Bereich Analysis stammen muss. Anhand der erreichbaren Punkte können Sie abschätzen, wieviel Zeit Sie sich für die Bearbeitung nehmen können: Für ein voll-ständiges Abitur mit 104 erreichbaren Punkten haben Sie eine Bearbeitungszeit von 180 Minuten.Lösen Sie nun diese ausgewählten Aufgaben. Beachten Sie dabei, dass Sie bei den Aufgaben des Prüfungsteils A keine Hilfsmittel (Taschenrechner, Formelsamm- lung) benutzen dürfen. Verzichten Sie darauf, Tipps nachzuschlagen oder in die Lösungen zu sehen.Arbeiten Sie konzentriert innerhalb der vorgesehenen Zeit.Wenn Sie Ihr „Simulations-Abitur“ beendet haben, kontrollieren Sie Ihre Ergebnis-se. Bei den Musterlösungen des Abi-Coach sind alle Ergebnisse blau hinterlegt, was Ihnen den Abgleich erleichtert. Dort, wo Sie Schwierigkeiten hatten, prüfen Sie Ihren Rechenweg bzw. Ihre Über-legungen und korrigieren Sie gegebenenfalls. Es empfiehlt sich, entsprechende Tipps nachzuschlagen und erneut eine Lösung zu versuchen. Führt auch das nicht zum Erfolg, vollziehen Sie die abgedruckte Musterlösung nach und bearbeiten Sie noch einmal die in Tipps und Lösungen genannten Fertigkeiten.

88 Abitur 2019

Abitur 2019

AufgabenPrüfungsteil A (hilfsmittelfreier Teil)

a) Gegeben sind die Funktionen g und h durch die Gleichungen

g (x) = x 2 – x + 1 mit x ∈ ℝ und

h (x) = – x 2 – 5 x + 1 mit x ∈ ℝ.

(1) Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für x = – 2 und x = 0 schneiden.

(2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von g und h einschließen.

b) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x ⋅  e 2 x + 2 ; x ∈ ℝ.

(1) Bestimmen Sie die 1. Ableitung.

Für die 2. Ableitung von f gilt: f ” (x) = (4 x + 4) ⋅  e 2 x + 2 .

(2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes. Hinweis: Auf den Nachweis einer hinreichenden Bedingung kann ver-zichtet werden.

c) In einer Urne befinden sich drei rote und sieben weiße Kugeln.

(1) Zweimal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eine der entnommenen Kugeln weiß ist.

(2) Zehnmal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der entnommenen weißen Kugeln.

Begründen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass keine der folgenden Abbildungen 1 und 2 die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellt.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1

0

0,2

0,3

0,4

k

P (X = k)

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1

0

0,2

0,3

0,4

k

P (X = k)

Abbildung 1 Abbildung 2

2 P Tipp 1

4 P Tipp 2

3 P Tipp 3

3 P Tipp 4

3 P Tipp 5

3 P Tipp 6

9Aufgaben – Prüfungsteil A 9

d) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (0 | 2 | 2), B (4 | – 1 | z) und C (– 3 | y | 6) mit y, z ∈ ℝ gegeben.

(1) B liegt auf der Geraden g : →

X = ( 0

2 2

) + r ⋅  ( – 1

0,75 − 2

)

mit r ∈ ℝ.

Bestimmen Sie den Wert von z.

(2) Zeigen Sie, dass der Abstand von A und C mindestens 5 beträgt.

3 P Tipp 7

3 P Tipp 8

1010 Abitur 2019

Prüfungsteil B (mit Hilfsmittel)

Aufgabe B1

Die Zahl der Haushalte in Deutschland, die über einen Glasfaseranschluss erreich- bar sind, wächst ständig. Aber nicht alle erreichbaren Haushalte nutzen auch ihre Anschlüsse. Die Abbildung 1 zeigt die Anzahl der Haushalte mit genutztem Glasfaseranschluss (im Folgenden Glasfaserhaushalte genannt) für die Jahre 2011 bis 2017. Dabei wird auf der t-Achse die Zeit in Jahren seit dem 01. 01. 2011 und auf der y-Achse die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend angegeben.

Abbildung 1

a) Die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend wird durch eine Exponential- funktion f der Form f (t) = a ⋅  e b ⋅ t modelliert, deren Graph durch die Punkte P 1 (0 | 296) und P 2 (4 | 590) verläuft. Diese Funktion soll für Prognosen bis zum Jahr 2026 (t = 15) genutzt werden.

(1) Geben Sie den Parameter a an und bestimmen Sie b auf drei Nach- kommastellen genau.

Im Folgenden soll mit f (t) = 296 ⋅  e 0,17 ⋅ t weitergearbeitet werden.

(2) Im Jahr 2017 wurden in einer Erhebung ca. 880 000 Glasfaserhaushalte gezählt.

Bestimmen Sie die sinnvoll gerundete Anzahl der Glasfaserhaushalte, die sich bei der Modellierung mit der Funktion f für den 01. 01. 2017 ergibt.

Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung zu dem Wert aus der Erhebung.

(3) Bestimmen Sie im Modell für 0 ≦ t ≦ 15 den Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der Glasfaserkabel am schnellsten wächst. Bestimmen Sie die zugehörige Wachstumsgeschwindigkeit und geben Sie die Einheit an.

1 3 52 4 6 7

Zeit

2011

2015

2017

O

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Haushalte in Tsd.

4 P Tipp 9

4 PTipp 10Tipp 11

5 P

Tipp 12

Tipp 13

11Aufgaben – Prüfungsteil B 11

Neben der Anzahl der Haushalte mit genutztem Glasfaseranschluss wird auch die Gesamtzahl der Haushalte erhoben, die über einen Glasfaseranschluss erreichbar sind, unabhängig davon, ob sie ihn nutzen oder nicht. Diese Zahl der erreichbaren Haushalte wird durch die Funktion g mit g (t) = 416,5 ⋅ t + 434 modelliert. Dabei wird auf der t-Achse die Zeit (in Jahren) seit dem 01. 01. 2011 und auf der y-Achse die Anzahl der Haushalte in Tausend angegeben (siehe Abbildung 2).

b) (1) Bestimmen Sie f (4) _ g (4) und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusam-menhang.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch den Hochpunkt der Funktion d mit d (t) = g (t) – f (t), 0 ≦ t ≦ 15.

(3) Interpretieren Sie die Bedeutung des Hochpunktes der Funktion d im Sachzusammenhang.

Abbildung 2

Es wird prognostiziert, dass der Markt für Glasfaseranschlüsse im weiteren Verlauf in eine Sättigungsphase eintritt, da eine zunehmende Zahl von Haushalten bereits über einen Glasfaseranschluss verfügt. Im Folgenden wird die Funktion f nur zur Prognose der Anzahl von Glasfaserhaushalten in Tausend bis zum 01. 01. 2026 (t ≦ 15) genutzt. Der momentane Zuwachs der Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend pro Jahr ab dem 01. 01. 2026 (t ≧ 15) wird durch die Änderungsrate z mit der Funktionsgleichung z (t) = 50,32 ⋅ e 6,99 − 0,296 ⋅ t modelliert.

c) (1) Bestimmen Sie die Anzahl der Glasfaserhaushalte am 01. 01. 2026. Bestimmen Sie die Anzahl der Glasfaserhaushalte, die gemäß der Model-lierung vom 01. 01. 2026 bis zum 01. 01. 2036 hinzukommen.

(2) Geben Sie einen Ansatz für einen Funktionsterm h an, der für t ≧ 15 die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend modelliert. Eine Vereinfachung oder Berechnung ist nicht erforderlich.

(3) Es gilt: z (t) > 0 und z’ (t) < 0 für alle t ∈ ℝ. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Interpretieren Sie die Aussage für t ≧ 15 im Sachzusammenhang.

4 P Tipp 14

7 P Tipp 15

2 P Tipp 16

2 4 6 8 10 12O

200400600800

10001200140016001800200022002400260028003000320034003600

t

Haushalte in Tausend

f(t)

g(t)

6 P

Tipp 17

Tipp 18

4 P Tipp 19

4 P Tipp 20

1212 Abitur 2019

Aufgabe B2

Für jede reelle Zahl k ≧ 0 ist durch die Gleichung f k (x) = x 3 − k ⋅ x; x ∈ ℝeine Funktion f k gegeben.

a) (1) Die in der Abbildung 1 dargestellten Graphen I, II und III gehören jeweils zu einem der Werte k = 1, k = 2 und k = 3.

Entscheiden Sie, welcher Graph zu welchem Wert gehört.

(2) Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den der Punkt (0,5 | – 1) auf dem Graphen von f k liegt.

Abbildung 1

Im Folgenden wird die konkrete Funktion f 1 mit der Gleichung f 1 (x) = x 3 – x; x ∈ ℝ betrachtet.

b) Untersuchen Sie die Funktion f 1 rechnerisch auf lokale Extremstellen. c) (1) Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die für x ≦ 0 vom

Graphen von f 1 und der x-Achse eingeschlossen wird.

(2) In der Abbildung 2 sehen Sie den Graphen von f 1 und eine Gerade g a : y = a ⋅ x, die den Graphen von f 1 an drei Stellen x = s 1 , x = 0 und x = s 3 schneidet.

Geben Sie für die in Abbildung 2 dar- gestellte Situation ohne weitere

Berechnung den Wert des Integrals ∫ s 1

s 3

( f 1 (x) – a ⋅ x) d x an.

Begründen Sie Ihre Angabe.

d) (1) Zeichnen Sie die Gerade t : y = – 0,25 x + 0,25 in die Abbildung 1 ein.

(2) Weisen Sie rechnerisch nach, dass t eine Tangente an den Graphen von f 1 ist.

(3) Die Tangente t und der Graph von f 1 schließen eine Fläche ein. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

(4) Zeigen Sie: Für jede Zahl r > 0 ist die Gerade durch die Punkte A r (– r | f 1 (– r)) und B r (2 ⋅ r | f 1 (2 ⋅ r)) eine Tangente an den Graphen von f 1 im Punkt A r .

1

I

II

III 0,5

1,5

2

2,5

–1

–2

–1,5

–2,5

10,5–1–2 –0,5–1,5 21,5Ox

fk(x)

3 P Tipp 21

3 P Tipp 22

7 P Tipp 23

6 P Tipp 24

f1(x)

xs3

ga

f1

s1

Abbildung 2

5 P Tipp 25

2 P Tipp 26

5 P Tipp 27

4 P Tipp 28

5 P Tipp 29

13Aufgaben – Prüfungsteil B 13

Aufgabe B3

Die Abbildung zeigt den Würfel ABCDEFGH mit G (5 | 5 | 5) und H (0 | 5 | 5) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Punkte I (5 | 0 | 1), J (2 | 5 | 0), K (0 | 5 | 2) und L (1 | 0 | 5) liegen jeweils auf einer Kante des Würfels.

Abbildung

a) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte D und F an.

b) Zeichnen Sie das Viereck IJKL in die Abbildung ein.

c) Das Viereck IJKL liegt in einer Ebene Q. Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene Q auf.

[Mögliche Lösung: Q : →

X = ( – 2

5 4

) + k ⋅  ( – 5

5 1

) + l ⋅  ( – 6

5 2

) mit k, l ∈ ℝ]

d) Stellen Sie die Raumdiagonale ‾ AG in Parameterform dar.

Berechnen Sie den Schnittpunkt U von ‾ AG mit der Ebene Q.

e) Zeigen Sie, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei Seiten gleich lang sind.

Weisen Sie nach, dass die Seite ‾ IL des Trapezes doppelt so lang ist wie die Seite ‾ JK .

f) Berechnen Sie die Größe eines Innenwinkels des Trapezes IJKL.

g) Der Punkt P (4 | 0 | 2) liegt auf der Strecke ‾ IL . Zeigen Sie, dass

→ JP auf

→ IL senkrecht steht.

h) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes IJKL.

i) Gegeben ist die Ebene S : →

X = v ⋅  ( – 1

– 5 5

) + w ⋅  ( – 5

5 1

) mit v, w ∈ ℝ.

Der Punkt K liegt in einer Ebene T, die parallel zu S ist. Untersuchen Sie, ob auch der Punkt L in T liegt.

O

1

1

x1

1 x2

x3

E H

D

G

C

A

B

F

2 P Tipp 30

4 P Tipp 31

4 P Tipp 32

3 P

4 P

Tipp 33

Tipp 34

2 P

4 P Tipp 35

Tipp 36

4 P Tipp 37

3 P Tipp 38

5 P Tipp 39

5 P Tipp 40

1414 Abitur 2019

Aufgabe B4

Katja isst sehr gerne Gummibärchen. Ihre Mutter möchte verhindern, dass Katja zu viele Gummibärchen auf einmal isst. Die beiden vereinbaren, einmal täglich ein Spiel mit dem folgenden Glücksrad und Spielbrett durchzuführen:

Abbildung 1

Das Glücksrad hat vier gleich große Sektoren mit den Farben rot, gelb, grün und blau. Das zugehörige Spielbrett besteht aus 4 Feldern in den gleichen Farben. Zu Beginn des Spiels ist das Spielbrett leer. Mit dem Glücksrad aus Abbildung 1 wird eine der 4 Farben bestimmt. Ist das Feld mit dieser Farbe leer, so wird dieses mit einem Gummibärchen belegt. Liegt bereits ein Gummibärchen in diesem Feld, dann erhält Katja das Gummibärchen, sodass das Feld danach wieder leer ist. Das Spiel endet, wenn alle 4 Felder belegt sind und Katja erhält die vier auf dem Spielbrett liegenden Gummibärchen.Das Spiel kann als stochastischer Prozess mit den Zuständen Z 0 , Z 1 , Z 2 , Z 3 und Z 4 modelliert werden. Dabei beschreibt der Zustand Z 0 ein leeres Spielbrett und Z 1 , Z 2 , Z 3 und Z 4 beschreiben die Zustände mit genau einem, zwei, drei oder vier Gum-mibärchen auf dem Spielbrett. Das Spiel endet, sobald der Zustand Z 4 erreicht ist.

a) Auf dem Spielbrett liegen zwei Gummibärchen. Das Spiel befindet sich also im Zustand Z 2 .

Ermitteln Sie alle möglichen Zustände, die nach zwei weiteren Glücksraddrehun-gen auftreten können.

b) Das Histogramm in der folgenden Abbildung 2 gibt für jedes n mit n ≦ 25 die Wahrscheinlichkeit p (n) dafür an, dass sich ein Spiel ab dem Spielbeginn nach höchstens n Glücksraddrehungen im Zustand Z 4 befindet.

Abbildung 2

rot

SpielbrettGlücksrad

gelb

blau grün

rot gelb

blau grün

4 P Tipp 41

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24

0,1

0

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

n

p(n)

15Aufgaben – Prüfungsteil B 15

(1) Begründen Sie im Sachkontext, weshalb p (n) = 0 für n ≦ 3 ist.

(2) Geben Sie einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Spiel nach höchstens 25 Glücksraddrehungen beendet ist.

c) Die folgende Matrix A modelliert die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen Z 0 , Z 1 , Z 2 , Z 3 und Z 4 .

von Z 0 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 nach

A =

⎛

⎜ ⎝

0

0,25

0

0

0

1

0

0,5

0

0

0 0,75 0 0,75 0 0

0

0,5

0

0

0

0

0

0,25

1

⎞

⎟ ⎠

Z 0

Z 1

Z 2 Z 3

Z 4

(1) Erstellen Sie ein zu A passendes Übergangsdiagramm mit den ent- sprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten.

(2) Bestimmen Sie das Matrix-Vektor-Produkt A 10  ⋅ 

⎛

⎜ ⎝

1

0

0 0

0

⎞

⎟ ⎠

und interpretieren Sie

die ersten beiden Komponenten des Ergebnisvektors im Sachzusammen-hang.

(3) Bestimmen Sie mithilfe der Matrix A die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: (Zur Erinnerung: Zum Spielbeginn ist das Spielbrett leer.)

E 1 : Ab dem Spielbeginn endet ein Spiel nach höchstens 12 Glücksrad- drehungen.

E 2 : Ab dem Spielbeginn endet ein Spiel nach genau 12 Glücksrad- drehungen.

E 3 : Ab dem Spielbeginn liegen nach 9 Glücksraddrehungen genau 2 Gummibärchen auf dem Spielfeld.

E 4 : Ab dem Spielbeginn liegen nach 9 Glücksraddrehungen höchstens 2 Gummibärchen auf dem Spielfeld.

d) Während eines Spiels wechselt mit jeder Glücksraddrehung die Anzahl der Gummibärchen auf dem Spielfeld. Entweder kommt ein Gummibärchen dazu (Vorwärtsschritt in Richtung Z 4 ) oder Katja erhält ein Gummibärchen vom Spielbrett (Rückwärtsschritt in Richtung Z 0 ). Immer erhält Katja am Spielende die vier Gummibärchen auf dem Spielbrett.

(1) Ein Spiel endet nach 6 Glücksraddrehungen.

Geben Sie begründet an, wie viele Gummibärchen Katja insgesamt bekommen hat.

(2) Begründen Sie, dass am Ende eines Spiels genau vier Vorwärtsschritte mehr als Rückwärtsschritte aufgetreten sind.

(3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Katja am Ende eines Spiels höchstens 10 Gummibärchen erhalten hat.

2 P Tipp 42

2 P Tipp 43

5 P Tipp 44

5 P Tipp 45

11 P

Tipp 46

Tipp 47

Tipp 48

Tipp 49

3 PTipp 50

3 P Tipp 51

5 P Tipp 52

1616 Abitur 2019

Aufgabe B5

Für ein Schwimmbad besitzen 2000 Personen eine Jahreskarte. Für einen be-stimmten Tag beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Jahreskartenbesitzer, die das Schwimmbad besuchen. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass X binomialverteilt ist. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jahreskartenbesitzer an diesem Tag das Schwimmbad besucht, 10 %.

a) (1) Es gilt P (X = 210) ≈ 2,2 %.

Interpretieren Sie diese Aussage im Sachzusammenhang.

(2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 210 Jahres-kartenbesitzer das Schwimmbad besuchen.

(3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von X höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(4) Bestimmen Sie die größte natürliche Zahl k, für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als k Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen, kleiner als 10 % ist.

(5) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, das durch das abgebildete Baumdiagramm dargestellt wird.

Geben Sie ein Ereignis an, dessen Wahrschein- lichkeit 1 − (r + s) beträgt.

Abbildung 1

b) Abbildung 2 zeigt das Histogramm zu P 2000 ; 0,1 (X = k).

Abbildung 2

(1) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang eine Fragestellung, die zu der in Abbildung 2 dargestellten Situation passt.

(2) Bestimmen Sie die in Abbildung 2 dunkel dargestellte Wahrscheinlichkeit auf vier Nachkommastellen genau.

2 P Tipp 53

3 P Tipp 54

6 P Tipp 55

4 P Tipp 56

BB

B_B

_B

_B

s

r0,1

0,9

0,1

0,9

0,1

0,94 P

Tipp 57

Tipp 58

k

P2000 ; 0,1 (X = k)

140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 2500

0,01

0,02

0,03

3 P Tipp 59

2 P Tipp 60

17Aufgaben – Prüfungsteil B 17

c) Auf dem Gelände des Schwimmbades wird ein Kiosk betrieben. Der Besitzer nimmt vereinfachend an, dass jeder Gast 4 €, 12 € oder gar kein Geld an seinem Kiosk ausgibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast 4 € ausgibt, betrage 50 %, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast 12 € ausgibt, betrage 30 %.

(1) Am betrachteten Tag besuchen 660 Personen das Bad. Bestimmen Sie die Höhe der Einnahmen, mit denen der Besitzer des Kiosks

rechnen kann.

(2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Besitzer des Kiosks an dem betrachteten Tag erwartete Einnahmen von den Jahreskartenbesitzern hat, die mindestens 1000 € betragen.

d) Die Schwimmbadleitung hat die Außenanlagen komplett umgestaltet. Nun hofft sie, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür erhöht hat, dass ein zufällig ausgewählter Jahreskartenbesitzer an einem Tag, der mit dem in der Einleitung genannten vergleichbar ist, das Schwimmbad besucht. Daher zählt sie an ei-nem solchen vergleichbaren Tag die Anzahl der Besucher mit Jahreskarte. Falls es 215 oder mehr sind, will die Schwimmbadleitung davon ausgehen, dass die Umbaumaßnahmen wirksam waren.

(1) X sei die in a) betrachtete Zufallsgröße.

Ermitteln Sie P 2000 ; 0,10 (X ≧ 215) und erläutern Sie die Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang.

(2) Die getroffenen Maßnahmen mögen Erfolg gehabt haben. Die Wahrschein-lichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jahreskartenbesitzer an dem betrachteten Tag das Schwimmbad besucht, betrage nun 12 %. Für diesen Tag beschreibt die neue Zufallsgröße Y die Anzahl der Jahreskartenbesitzer, die das Schwimmbad besuchen. Dabei sei p neu = 0,12 und n = 2000. Vereinfachend soll wieder davon ausgegangen werden, dass Y binomial-verteilt ist.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schwimmbadleitung in der vorliegenden Situation die Wirksamkeit der Umbaumaßnahmen falsch beurteilt.

3 P Tipp 61

4 P Tipp 62

5 P Tipp 63

4 P Tipp 64

1818 Abitur 2019Abitur 2019

TippsFolgende Tipps geben eine erste Hilfestellung:

Tipp 1 Setzen Sie die Funktionsterme der Funktionen g und h gleich.

Tipp 2 Wie kann man das Maß der Fläche, die die Graphen zweier Funktionen ein- schließen, ermitteln ?

Tipp 3 Bestimmen Sie die 1. Ableitung der Funktion f.

Tipp 4 Ermitteln Sie die Wendestelle(n) der Funktion f.

Tipp 5 Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm.

Tipp 6 Berechnen Sie zunächst den Erwartungswert von X. Beachten Sie, dass P (X ≦ 10) = 1 ist.

Tipp 7 Wenn der Punkt B auf der Geraden g liegt, müssen seine Koordinaten die Geraden-gleichung erfüllen.

Tipp 8 Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors ⟶

AC .

Tipp 9 Die Koordinaten der Punkte erfüllen die Funktionsgleichung.

Tipp 10 Berechnen Sie die Anzahl der Glasfaserhaushalte.

Tipp 11 Berechnen Sie das Verhältnis zwischen dem Wert der Modellierung und dem Wert der Erhebung.

Tipp 12 Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion.

Tipp 13 Interpretieren Sie das Ergebnis der Ableitung im Kontext.

Tipp 14 Berechnen Sie den angegebenen Quotienten.

Tipp 15 Bilden Sie die Funktion d als Differenzfunktion und ermitteln Sie anschließend den Hochpunkt des Graphen dieser Funktion.

Tipp 16 Überlegen Sie, welche Bedeutung die Differenzfunktion d hat.

Tipp 17 Interpretieren Sie das Datum als einen Wert der Variablen.

Tipp 18 Berechnet werden soll die wachsende Anzahl der Glasfaserhaushalte in einem bestimmten Zeitraum.

Tipp 19 Überlegen Sie, welche Voraussetzungen der gesuchte Term haben muss.

Tipp 20 Interpretieren Sie die Änderungsrate im Sachzusammenhang.

Tipp 21 Bestimmen Sie durch Einsetzen der Werte für k die konkreten Gleichungen der drei Scharvertreter f 0 , f 1 und f 2 .

Tipp 22 Nutzen Sie aus, dass die Koordinaten des gegebenen Punktes die Funktions- gleichung des gesuchten Scharvertreters erfüllen.

Tipp 23 Bestimmen Sie 1. und 2. Ableitungsfunktion der Funktion f 1 .

Tipp 24 Berechnen Sie die Nullstellen von f 1 .

1919Tipps

Tipp 25 Verdeutlichen Sie sich anhand der vorliegenden Skizze, welche inhaltliche

Bedeutung der Wert des Integrals ∫ s 1

s 3

( f 1 (x) − a ⋅ x) d x hat.

Tipp 26 Welche Informationen liefern die Parameter m und b in einer Geradengleichung y = m ⋅ x + b ?

Tipp 27 Beachten Sie, dass eine Gerade eine Tangente an einen Funktionsgraphen darstellt, wenn sie in einem gemeinsamen Punkt dieselbe Steigung wie die Funktion hat.

Tipp 28 Bestimmen Sie die Schnittstellen der Geraden t und der Funktion f 1 , indem Sie die Funktionsterme von t und f 1 gleichsetzen.

Tipp 29 Ermitteln Sie mithilfe der Steigungsformel m = y 2 − y 1

_ x 2 − x 1 die Steigung der Geraden

durch die Punkte A r ( − r | f 1 (− r)) und B r ( 2 ⋅ r | f 1 (2 ⋅ r)) .Tipp 30 Nutzen Sie aus, das die Punkte D und F Eckpunkte eines Würfels sind.

Tipp 31 Orientieren Sie sich in dem dreidimensionalen Koordinatensystem und markieren Sie die Punkte I, J, K und L in der vorgegebenen Skizze.

Tipp 32 Wählen Sie drei beliebige Punkte der Ebene Q aus.

Tipp 33 Stellen Sie eine Parametergleichung der Geraden durch die Punkte A und G auf.

Tipp 34 Die Koordinaten des Schnittpunktes U der Raumdiagonalen ‾ AG mit der Ebene Q müssen beide Parametergleichungen erfüllen.

Tipp 35 Überlegen Sie, welche besonderen Eigenschaften ein Trapez aufweist.

Tipp 36 Bestimmen Sie die Verbindungsvektoren →

IL und →

JK .

Tipp 37 Wählen Sie einen Innenwinkel des Trapezes aus und überlegen Sie, welche Vektoren die Trapezseiten, die an dem ausgewählten Winkel anliegen, darstellen.

Tipp 38 Wie prüft man, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen ?

Tipp 39 Machen Sie sich – eventuell anhand einer Skizze – klar, wie man den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Trapezes bestimmen kann.

Tipp 40 Welche Beziehung besteht bei zwei parallelen Ebenen zwischen den jeweiligen Richtungsvektoren ?

Tipp 41 Beachten Sie, dass sich die Anzahl der Gummibärchen auf dem Spielbrett nach jeder der nächsten zwei Drehungen um 1 verändert.

Tipp 42 Beachten Sie, dass die Anzahl der Gummibärchen auf dem Spielbrett pro Drehung um höchstens eins zunehmen kann.

Tipp 43 Sie können den Näherungswert direkt der Abbildung 2 entnehmen.

Tipp 44 Verwenden Sie die im Aufgabentext gegebenen Abkürzungen für die fünf verschie-denen Zustände des stochastischen Prozesses.

Tipp 45 A 10  ⋅ 

⎛

⎜ ⎝

1

0

0 0

0

⎞

⎟ ⎠

können Sie direkt mit dem GTR berechnen.

2020 Abitur 2019Abitur 2019

Tipp 46 Die Startverteilung lautet → x 0 = 

⎛

⎜ ⎝

1

0

0 0

0

⎞

⎟ ⎠

.

Tipp 47 Die Startverteilung lautet → x 0 = 

⎛

⎜ ⎝

1

0

0 0

0

⎞

⎟ ⎠

. Beachten Sie, dass hier P (n = 12) gesucht ist.

Tipp 48 Beachten Sie, dass die Zahl 9 eine ungerade Zahl ist.

Tipp 49 Die Startverteilung lautet → x 0 = 

⎛

⎜ ⎝

1

0

0 0

0

⎞

⎟ ⎠

.

Tipp 50 Beachten Sie, dass Katja, außer am Spielende, nur dann ein Gummibärchen erhält, falls man einen Rückwärtsschritt macht.

Tipp 51 Beachten Sie, dass man mindestens vier Vorwärtsschritte benötigt, um das Spiel zu beenden.

Tipp 52 Bestimmen Sie zunächst die Anzahl der Drehungen, die man benötigt, damit Katja genau 10 Gummibärchen erhält.

Tipp 53 Beachten Sie die Definition der Zufallsgröße X.

Tipp 54 Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit p = 0,1 und n = 2000.

Tipp 55 Berechnen Sie zuerst den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ für diese Binomialverteilung.

Tipp 56 Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit p = 0,1 und n = 2000.

Tipp 57 Das Baumdiagramm veranschaulicht ein zweistufiges Zufallsexperiment.

Tipp 58 Beschreiben Sie das Ereignis, das laut Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit r besitzt.

Tipp 59 Beachten Sie, dass die Abbildung 2 das Histogramm einer Binomialverteilung zeigt.

Tipp 60 Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit p = 0,1 und n = 2000.

Tipp 61 Z beschreibt die Einnahmen in Euro, die der Besitzer des Kiosk pro Gast erhält.

Tipp 62 Aus Teilaufgabe c) (1) wissen Sie, dass ein Gast des Schwimmbades im Durchschnitt 5,60 € am Kiosk ausgibt.

Tipp 63 Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit p = 0,1 und n = 2000.

Tipp 64 Die Zufallsgröße Y ist binomialverteilt mit p = 0,12 und n = 2000.

Folgende Tipps geben eine weitere Hilfestellung:

Tipp 1 Nach Umformung entsteht eine quadratische Gleichung.

Tipp 2 Geben Sie ein Integral an, das das Maß der gesuchten Fläche beschreibt, und be-stimmen Sie eine Stammfunktion.

2121Tipps

Tipp 3 Verwenden Sie die Produkt- und Kettenregel zur Bestimmung der 1. Ableitung von f.

Tipp 4 Verwenden Sie die notwendige Bedingung für Wendestellen.

Tipp 5 Das Gegenereignis lautet: „Beide entnommenen Kugeln sind weiß“. Berechnen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis.

Tipp 6 Der Erwartungswert von X ist 7 und damit ganzzahlig. Was bedeutet dies für die Wahrscheinlichkeit von X = 7 im Vergleich mit den anderen Wahrscheinlichkeiten für X ≠ 7 ?

Tipp 7 Setzen Sie die Koordinaten von B in die Geradengleichung ein und vereinfachen Sie das erhaltene Gleichungssystem so weit wie möglich. Nutzen Sie aus, dass es eindeutig lösbar sein muss.

Tipp 8 Berechnen Sie die Länge des Vektors ⟶

AC . Sie erhalten einen von z abhängigen Term.

Tipp 9 Stellen Sie mithilfe der Koordinaten der Punkte die entsprechenden Funktions-gleichungen auf.

Tipp 10 Ermitteln Sie die Anzahl der Jahre seit Beginn der Aufzeichnung.

Tipp 11 Bilden Sie den Quotienten aus dem Wert der Modellierung und dem Wert der Erhebung.

Tipp 12 Berechnen Sie die Funktionswerte der Ableitung für 0 ≦ t ≦ 15.

Tipp 13 Interpretieren Sie das Ergebnis der Ableitung an der Stelle 15 im Kontext.

Tipp 14 Berechnen Sie f (4) und g (4). Danach bilden Sie den entsprechenden Quotienten.

Tipp 15 Verwenden Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für lokale Extrema.

Tipp 16 Die Funktion f beschreibt die Anzahl der Glasfaserhaushalte, die Funktion g beschreibt die Anzahl der Glasfaseranschlüsse, egal ob verwendet oder nicht.

Tipp 17 Der 01. 01. 2016 beschreibt t = 15.

Tipp 18 Berechnen Sie das Integral über z (t) im Intervall von 15 (01. 01. 2026) bis 25 (01. 01. 2036).

Tipp 19 Die Ausgangsfunktion und die Funktion der Änderungsrate müssen miteinbezogen werden.

Tipp 20 Interpretieren Sie die Aussagen z (t) > 0 und z’ (t) < 0.

Tipp 21 Ermitteln Sie z. B. die Nullstellen der drei Scharvertreter.

Tipp 22 Setzen Sie die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Funktionsschar ein und lösen Sie die erhaltene Gleichung nach k auf.

Tipp 23 Benutzen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung zur Bestimmung der lokalen Extremstellen.

Tipp 24 Die Größe des von dem Graphen von f 1 mit der x-Achse im 2. Quadranten ein-

geschlossenen Flächenstücks wird durch das Integral ∫ − 1

0

f (x) d x gegeben.

Tipp 25 Überlegen Sie, wie man das Maß der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen be-rechnet und welchen Einfluss dabei die Lage der beiden Graphen zueinander hat.

Tipp 26 Wie muss das Steigungsdreieck im vorliegenden Fall aussehen ?

2222 Abitur 2019Abitur 2019

Tipp 27 Bestimmen Sie die Stellen, an denen die Funktion f 1 dieselbe Steigung wie die Gerade t hat. Nutzen Sie dabei aus, dass die Steigung der Funktion f 1 durch ihre Ableitung f 1 ’ ermittelt wird.

Tipp 28 Berechnen Sie die Größe des eingeschlossenen Flächenstücks mithilfe eines ge-eigneten Integrals.

Tipp 29 Bestimmen Sie die Steigung der Funktion f 1 an der Stelle x = − r.

Tipp 30 Beachten Sie die besondere Lage der Punkte D und F im Koordinatensystem.

Tipp 31 Verbinden Sie die eingezeichneten Punkte I, J, K und L. Sie erhalten ein in dem Würfel liegendes Viereck.

Tipp 32 Bestimmen Sie mit der Dreipunkteform der Ebenengleichung eine Parameter- gleichung für die Ebene Q.

Tipp 33 Welche Einschränkung muss für den Parameter der Gleichung der Geraden AG gelten, damit nur die Punkte der Strecke ‾ AG erfasst werden ?

Tipp 34 Setzen Sie die Terme der Parametergleichungen der Strecke ‾ AG und der Ebene Q gleich und lösen Sie das entstehende Gleichungssystem.

Tipp 35 Weisen Sie die Parallelität der Seitenvektoren →

IL und →

JK nach und bestimmen Sie die Länge der Seitenvektoren

→ IJ und

→ KL .

Tipp 36 Berechnen Sie die Länge der Vektoren →

IL und →

JK und vergleichen Sie.

Tipp 37 Berechnen Sie mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren die Größe des ausgewählten Innenwinkels.

Tipp 38 Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren →

IL und →

JP .

Tipp 39 Für den Flächeninhalt F eines gleichschenkligen Trapezes gilt F = 0,5 ⋅ (a + c) ⋅ h, wobei a und c die Längen der parallelen Seiten und h die Höhe des Trapezes sind.

Tipp 40 Ermitteln Sie mithilfe des angegebenen Punktes und der Richtungsvektoren eine Parametergleichung für die Ebene T.

Tipp 41 Falls die Anzahl der Gummibärchen bei beiden Drehungen jeweils um 1 zunimmt, dann befinden sich 4 Gummibärchen auf dem Spielbrett. Welchem Zustand ent-spricht dies ?

Tipp 42 Nach drei Drehungen befinden sich höchstens drei Gummibärchen auf dem Spiel-brett.

Tipp 43 Die Abbildung 2 zeigt für jedes n mit n ≦ 25, die Wahrscheinlichkeit p (n) dafür an, dass das Spiel nach höchstens n Glücksraddrehungen beendet ist.

Tipp 44 Im Übergangsdiagramm benötigen Sie insgesamt acht Pfeile, von denen nur einer am gleichen Zustand endet, an dem er auch beginnt. Notieren Sie die in der Matrix A gegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten auf den entsprechenden Pfeilen.

Tipp 45 Die Komponenten des erhaltenen Verteilungsvektors ⟶ x 10 sind die gesuchten Wahr-scheinlichkeiten. Die beiden ersten Komponenten beziehen sich auf die Zustände Z 0 und Z 1 .

Tipp 46 Berechnen Sie ⟶ x 12 = A 12 ⋅ → x 0 .

Tipp 47 Berechnen Sie ⟶ x 12 = A 12 ⋅ → x 0 und

⟶ x 11 = A 11 ⋅ → x 0 .

2323Tipps

Tipp 48 Nach einer ungeraden Anzahl von Drehungen befindet sich eine ungerade Anzahl von Gummibärchen auf dem Spielbrett.

Tipp 49 Berechnen Sie → x 9 = A 9 ⋅ → x 0 .

Tipp 50 Beachten Sie, dass Katja mindestens vier Vorwärtsschritte machen muss, um das Spiel zu beenden. Die Summe aus der Anzahl der Vorwärtsschritte und der Anzahl der Rückwärtsschritte ist hier 6.

Tipp 51 Beachten Sie, dass man für jeden Rückwärtsschritt einen Vorwärtsschritt benötigt, damit das System sich wieder im selben Zustand Z i (i = 1, 2, 3) befindet.

Tipp 52 Man benötigt 2 ⋅ 6 + 4 = 16 Drehungen, damit Katja genau 10 Gummibärchen erhält. Berechnen Sie ⟶ x 16 = A 16 ⋅

→ x 0 .

Tipp 53 X beschreibt die Anzahl der Jahreskartenbesitzer, die an einem bestimmten Tag das Schwimmbad besuchen.

Tipp 54 Berechnen Sie P (X > 210) = P (X ≧ 211) = 1 − P (X ≦ 210).

Tipp 55 Es gilt μ = n ⋅ p = 2000 ⋅ 0,1 = 200 und σ = √ _________

n ⋅ p ⋅ (1 − p) = √ ___________

2000 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 ≈ 13,42. Beachten Sie, dass die Zufallsgröße X nur natürliche Zahlen annehmen kann.

Tipp 56 Der gesuchte Wert von k muss folgende Bedingung erfüllen: P (X < k) = P (X ≦ k − 1) ≦ 0,1

Tipp 57 Sie können B als „Jahreskartenbesitzer besucht das Bad“ interpretieren. Beachten Sie, dass ‾ B das Gegenereignis zu B ist.

Tipp 58 Das Ereignis B ‾ B (Jahreskartenbesitzer 1 besucht das Bad und Jahreskarten- besitzer 2 besucht das Bad nicht) hat die Wahrscheinlichkeit r.

Tipp 59 Beachten Sie, dass nur die Säulen mit k ≦ 220 dunkel eingefärbt sind.

Tipp 60 Berechnen Sie P (X ≦ 220) mit dem Taschenrechner.

Tipp 61 Berechnen Sie den Erwartungswert von Z.

Tipp 62 Berechnen Sie, wie viele Jahreskartenbesitzer an dem bestimmten Tag mindestens ins Bad kommen müssen, damit die Einnahmen des Besitzers mindestens 1000 € betragen.

Tipp 63 Beachten Sie, dass die Schwimmbadleitung, falls mindestens 215 Jahreskarten-besitzer ins Bad kommen, davon ausgeht, dass die Umbaumaßnahmen wirken.

Tipp 64 Beachten Sie, dass die Schwimmbadleitung jetzt die Wirksamkeit der Umbau-maßnahmen falsch beurteilt, falls höchstens 214 Jahreskartenbesitzer an diesem bestimmten Tag das Bad besuchen.

Folgende Tipps helfen, Lücken zu schließen:

Tipp 1 Bearbeiten Sie aus F 2 die Beispiele a) und b) sowie die Aufgabe a), c) und d).

Tipp 2 Bearbeiten Sie aus F 23 das Beispiel 1 und die Aufgabe 1 a) und aus F 27 den 2. Fall, das Beispiel 2 und die Aufgabe 2.

Tipp 3 Bearbeiten Sie aus F 11 Beispiele b) und c), aus F 12 Beispiel b) und aus F 13 Beispiel a).

2424 Abitur 2019Abitur 2019

Tipp 4 Bearbeiten Sie die Fertigkeit F 20 .

Tipp 5 Bearbeiten Sie aus F 68 das Beispiel 1 sowie die Aufgabe 1.

Tipp 6 Entnehmen Sie der Abbildung 2 näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten für X = 6, 7, 8 und 9 und addieren Sie diese Werte. Bearbeiten Sie aus F 75 das Beispiel 2 und die Aufgabe 2.

Tipp 7 Lesen Sie den Einführungstext von F 54 und behandeln Sie die Beispiele und die Aufgabe.

Tipp 8 Überlegen Sie anhand des erhaltenen Terms, welche minimale Länge der Vektor ⟶

AC haben kann. Bearbeiten Sie aus F 45 das Beispiel und die Aufgabe.

Tipp 9 Bearbeiten Sie aus F 4 das Beispiel 1.

Tipp 10 Von 2011 bis 2017 sind es sechs Jahre. Berechnen Sie f (6).

Tipp 11 Berechnen Sie f (6) _ 880 und 1 − f (6)

_ 880 .

Tipp 12 Das ermittelte Maximum beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit.

Tipp 13 Das ermittelte Maximum f ’ (15) beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit in der Einheit „Tausend Glasfaserhaushalte pro Jahr“.

Tipp 14 Der Quotient beschreibt den Anteil der Glasfaserhaushalte.

Tipp 15 Bearbeiten Sie aus F 18 das Beispiel b).

Tipp 16 Die Funktion d beschreibt die Anzahl der Glasfaserhaushalte, die diesen Anschluss nicht nutzen.

Tipp 17 Der Funktionswert an der Stelle t = 15 beschreibt die Anzahl der Glasfaserhaus-halte.

Tipp 18 Erarbeiten Sie die Fertigkeiten F 25 und F 39 .

Tipp 19 Erarbeiten Sie die Fertigkeit F 39 .

Tipp 20 Betrachten Sie die Ungleichungen getrennt voneinander. Erarbeiten Sie die Fertig-keit F 21 .

Tipp 21 Ordnen Sie mithilfe der Nullstellen die Graphen zu. Bearbeiten Sie zudem aus F 42 das Beispiel 1.

Tipp 22 Bearbeiten Sie aus F 42 den Einführungstext und das Beispiel 1.

Tipp 23 Beachten Sie F 8 , F 9 und F 10 und bearbeiten Sie aus F 18 das Beispiel a) sowie die Aufgabe a).

Tipp 24 Bestimmen Sie eine Stammfunktion zu f 1 und berechnen Sie mit ihrer Hilfe das

Integral ∫ − 1

0

f ( x) d x. Bearbeiten Sie aus F 23 das Beispiel 1 a) und die Aufgabe 1 a)

und aus F 26 die Aufgabe 2 a).

Tipp 25 Nutzen Sie die Symmetrie der Funktion f 1 und der Geraden g a aus und geben Siedie Größe des angegebenen Integrals an. Bearbeiten Sie aus F 27 den 2. Fall und lösen Sie die Aufgabe 2 a).

Tipp 26 Zeichnen Sie mithilfe des y-Achsenabschnitts und eines geeigneten Steigungsdrei-ecks die Gerade t in die Abbildung 3 ein.

2525Tipps

Tipp 27 Zeigen Sie, dass an einer der gefundenen Stellen die Funktionswerte der Funktion f 1 und der Geraden t übereinstimmen. Bearbeiten Sie aus F 15 die Hinweise, das Beispiel 1 und die Aufgabe 1 a).

Tipp 28 Bearbeiten Sie aus F 27 den Einführungstext sowie das Beispiel 2 und die Auf-gabe 2.

Tipp 29 Bearbeiten Sie aus F 15 den Teil 4 des Einführungstextes sowie das Beispiel 2 und die Aufgabe 2.

Tipp 30 Bearbeiten Sie aus F 52 die Beispiele 1 und 2 sowie die Aufgabe 2.

Tipp 31 Bearbeiten Sie aus F 52 die Beispiele und die Aufgabe 2.

Tipp 32 Betrachten Sie aus F 55 die Möglichkeit 1 und behandeln Sie das Beispiel 1 und die Aufgabe 1.

Tipp 33 Arbeiten Sie von F 53 den Fall 1 durch und bearbeiten Sie das Beispiel 1 und die Aufgabe 1.

Tipp 34 Bearbeiten Sie aus F 59 das erste Beispiel und die Aufgabe 1. Beachten Sie auch die Fertigkeit F 7 .

Tipp 35 Bearbeiten Sie aus F 44 und F 45 die Beispiele und die Aufgaben.

Tipp 36 Nutzen Sie als Hilfe aus F 44 und F 45 die Beispiele und die Aufgaben.

Tipp 37 Bearbeiten Sie aus F 65 das Beispiel 1 sowie die Aufgabe 1.

Tipp 38 Bearbeiten Sie aus F 51 das Beispiel und die Aufgabe.

Tipp 39 Beachten Sie, dass die Länge des Vektors →

JP der Höhe des Trapezes entspricht. Bestimmen Sie die benötigten Seitenlängen des Trapezes und setzen Sie sie in die Formel für den Flächeninhalt ein.

Tipp 40 Führen Sie eine Punktprobe mit der gefundenen Ebene T durch. Bearbeiten Sie aus F 56 das Beispiel und die Aufgabe.

Tipp 41 Wenn sich 4 Gummibärchen auf dem Spielbrett befinden, dann befindet sich das System im Zustand Z 4 . Falls die Anzahl der Gummibärchen bei beiden Drehungen jeweils um 1 abnimmt, dann befinden sich keine Gummibärchen auf dem Spielbrett ( Z 0 ). Beachten Sie, dass die Anzahl der Gummibärchen nach zwei Drehungen auch unverändert sein kann.

Tipp 42 Beachten Sie, dass das Spiel erst dann beendet ist, falls sich vier Gummibärchen auf dem Spielbrett befinden.

Tipp 43 Sie können einen Näherungswert an der Säule für n = 25 direkt ablesen.

Tipp 44 Bearbeiten Sie aus F 77 c das Beispiel 2 und die Aufgabe 1.

Tipp 45 Bearbeiten Sie aus F 80 das Beispiel 2 und die Aufgabe 1. Die erste Komponente von ⟶ x 10 gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das System nach 10 Drehungen im Zustand Z 0 befindet, d. h., es befindet sich kein Gummibärchen auf dem Spielbrett.

Tipp 46 Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel beendet ist, ist der Wert, der in der letzten Komponente der Verteilung ⟶ x 12 steht. Bearbeiten Sie aus F 80 das Beispiel 2 und die Aufgabe 1.

2626 Abitur 2019Abitur 2019

Tipp 47 Die letzte Komponente von ⟶ x 12 liefert P (n ≦ 12), die letzte Komponente von ⟶ x 11

liefert P (n ≦ 11). Beachten Sie, dass P (n ≦ 12) − P (n ≦ 11) = P (n = 12) gilt. Bearbeiten Sie aus F 80 das Beispiel 2 und die Aufgabe 1.

Tipp 48 Es können nach neun Drehungen nicht genau zwei Gummibärchen auf dem Spiel-brett liegen, somit ist die Wahrscheinlichkeit für E 3 gleich null.

Tipp 49 Die Summe der ersten drei Komponenten der Verteilung → x 9 ist die gesuchte Wahr-scheinlichkeit. Bearbeiten Sie aus F 80 das Beispiel 2 und die Aufgabe 1.

Tipp 50 Damit das Spiel nach genau sechs Drehungen beendet ist, muss man einen Rück-wärtsschritt und fünf Vorwärtsschritte machen. Beachten Sie, dass Katja am Spiel-ende vier Gummibärchen erhält.

Tipp 51 Da sich nach einem Paar aus Rückwärtsschritt und Vorwärtsschritt der Zustand des Systems nicht verändert, benötigt man noch zusätzlich zu diesen Paaren vier weitere Vorwärtsschritte.

Tipp 52 Bearbeiten Sie aus F 80 das Beispiel 2 und die Aufgabe 1.

Tipp 53 Hier wird die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag genau 210 Jahres-kartenbesitzer das Schwimmbad besuchen, berechnet.

Tipp 54 Bearbeiten Sie aus F 73 das Beispiel 3 und die Aufgaben 1 c) und 1 e).

Tipp 55 Berechnen Sie P (194 ≦ X ≦ 206) und bearbeiten Sie aus F 74 das Beispiel 3b, und die Aufgabe 3 und aus F 73 das Beispiel 4 und die Aufgabe 1 f).

Tipp 56 Bearbeiten Sie aus F 73 das Beispiel 2 und die Aufgaben 1 b) und 1 d).

Tipp 57 Von den 2000 Jahreskartenbesitzern werden zwei zufällig ausgewählt und befragt, ob sie an dem bestimmten Tag im Schwimmbad waren.

Tipp 58 Das Ereignis E: „Genau einer der beiden Jahreskartenbesitzer besucht das Bad.“ hat die Wahrscheinlichkeit r + s. Formulieren Sie das Gegenereignis von E in Worten.

Tipp 59 Die dunkel getönte Fläche steht für die Wahrscheinlichkeit, dass von den 2000 Jah-reskartenbesitzern höchstens 220 am bestimmten Tag das Schwimmbad besuchen.

Tipp 60 Bearbeiten Sie aus F 73 das Beispiel 2 und die Aufgaben 1 b) und 1 d).

Tipp 61 Sie müssen den Erwartungswert von Z noch mit 660 multiplizieren. Bearbeiten Sie aus F 70 das Beispiel 1 und die Aufgabe 1.

Tipp 62 Es müssen mindestens 179 Jahreskartenbesitzer an diesem bestimmten Tag ins Bad kommen. Berechnen Sie P (X ≧ 179). Bearbeiten Sie aus F 73 das Beispiel 3 und die Aufgabe 1 c) und 1 e).

Tipp 63 Wenn mindestens 215 Jahreskartenbesitzer an diesem bestimmten Tag das Bad be- suchen, würde die Schwimmbadleitung, obwohl sich die Wahrscheinlichkeit nicht erhöht hat, von der Wirksamkeit der Umbaumaßnahmen ausgehen. Bearbeiten Sie aus F 73 das Beispiel 3 und die Aufgaben 1 c) und 1 e).

Tipp 64 Berechnen Sie P (Y ≦ 214). Bearbeiten Sie aus F 73 das Beispiel 2 und die Auf-gabe 1 b).

27Lösungen – Prüfungsteil A 27

LösungenPrüfungsteil A (hilfsmittelfreier Teil)a) (1) Um die Schnittstellen der Funktionen g und h zu bestimmen, setzt man die

Funktionsterme gleich:

g (x) = h (x) ⇔ x 2 − x + 1 = − x 2 − 5 x + 1 ⇔ 2 x 2 + 4 x = 0 ⇔ 2 x ⋅ (x + 2) = 0 ⇔ x = 0 ⊽ x = − 2

Die Schnittstellen der Funktionen g und h sind x = 0 und x = − 2.

(2) Das absolute Flächenmaß der von den Graphen g und h eingeschlossenen Fläche wird gegeben durch:

| ∫ − 2 0 (g (x) − h (x)) d x | = | ∫ − 2 0 (2 x 2 + 4 x) d x | = | [ 2 _ 3 x 3 + 2 x 2 ] − 2 0 | = | 0 −  ( 2 _ 3 ⋅ (− 2 ) 3 + 2 ⋅ (− 2 ) 2 ) | = | − 8 _ 3 | = 8 _ 3

Das von den Graphen g und h eingeschlossene Flächenstück ist 8 _ 3 FE groß.

b) (1) f ’ (x) = 1 ⋅  e 2 x + 2 + x ⋅ 2 ⋅  e 2 x + 2 = (2 x + 1) ⋅  e 2 x + 2

(2) Notwendige Bedingung für eine Wendestelle: f ” (x) = 0

(4 x + 4) ⋅  e 2 x + 2 = 0

  4 x + 4 = 0  ⊽   e 2 x + 2 = 0

  4 x + 4 = 0, da e 2 x + 2 ≠ 0 für alle x ∈ ℝ

  4 x = − 4, also x = − 1

Laut Aufgabenstellung kann auf den Nachweis der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

f (− 1) = − 1 ⋅  e 2 ⋅ (− 1) + 2 = − 1

Der Wendepunkt hat die Koordinaten W (− 1 | − 1).

c) (1) Sei Y: „Anzahl der entnommenen weißen Kugeln“

P (Y ≦ 1) = 1 − P (Y = 2) = 1 − 0,7 ⋅ 0,7 = 0,51

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine der Kugeln weiß ist, beträgt 0,51 (51 %).

F 2

F 27

F 23

F 11F 12F 13

F 20

0,30,7 0,30,7

weiß

weiß

rot

0,30,7

weiß

rot

rot

F 68

2828 Abitur 2019

(2) X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,7. Für den Erwartungswert von X gilt: μ = 10 ⋅ 0,7 = 7

Wenn der Erwartungswert μ ganzzahlig ist, dann muss die Säule für X = μ am höchsten sein. In der Abbildung 1 ist jedoch die Säule für X = 3 am höchsten, daher kann Abbildung 1 nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen.

Es ist P (6 ≦ X ≦ 9) = P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9).

Wenn Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X wäre, dann würde gelten: P (X = 6) > 0,25, P (X = 7) > 0,35, P (X = 8) > 0,3 und P (X = 9) > 0,15 Somit wäre bereits die Summe dieser vier Werte größer als 1. Dies steht im Widerspruch dazu, dass für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung gelten muss, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ist. Also kann auch Abbildung 2 nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen.

d) (1) Wenn der Punkt B auf der Geraden g liegt, müssen seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen, d. h., es muss eine bestimmte reelle Zahl r ∈ ℝ geben, für die gilt:

( 4

− 1 z ) = (

0 2

2 ) + r ⋅  (

− 1 0,75

− 2 )

⇔ {

4 = − r

− 1 = 2 + 0,75 r z = 2 − 2 r

⇔ { r = − 4

− 1 = 2 − 3 z = 2 + 8

⇔ { r = − 4

0 = 0 z = 10

Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn z = 10 ist. Daraus folgt:

Der Punkt B (4 | − 1 | 10) liegt auf der Geraden g.

(2) Der Abstand der Punkte A und C entspricht der Länge des Vektors ⟶

AC . | ⟶ AC | = | ( − 3 y 6 ) − ( 0 2 2 ) | = ( − 3 y − 2 6 − 2 ) = ( − 3 y − 2 4 ) = √ _____________ (− 3 ) 2 + (y − 2 ) 2 + 4 2 = √ ________ 25 + (y − 2 ) 2 Da der Term (y − 2 ) 2 ≧ 0 ist, ist der Radikand 25 + (y − 2 ) 2 ≧ 25,

d. h. √ ________

25 + (y − 2 ) 2 ≧ 5.

Damit ist | ⟶ AC | ≧ 5, d. h., der Abstand von A zu C ist mindestens 5.

F 74

F 75

F 54

F 7

F 45

29Lösungen – Prüfungsteil B 29

Prüfungsteil B (mit Hilfsmittel)

Aufgabe B1

a) (1) f (t) = a ⋅  e b ⋅ t P 1 (0 | 296) liefert a ⋅  e b ⋅ 0 = 296 ⇔ a = 296

P 2 (4 | 590) liefert a ⋅  e b ⋅ 4 = 590 ⇔ 296 ⋅  e 4 b = 590 ⇔ e 4 b = 590

_ 296

⇒ b = 1 _ 4 ln ( 590

_ 296 ) ≈ 0,172

(2) f (t) = 296 ⋅  e 0,17 ⋅ t 01. 01. 2017: also 6 Jahre nach Beginn der Erhebung

f (6) = 296 ⋅  e 0,17 ⋅ 6 = 296 ⋅  e 1,02 ≈ 820,866

Es sind ungefähr 820 000 Glasfaserhaushalte.

prozentuale Abweichung:

f (6)

_ 880 ≈ 820

_ 880 ≈ 0,932 und 1 − 0,932 = 0,068

Die prozentuale Abweichung beträgt ungefähr 6,8 %.

(3) f ’ (t) = 296 ⋅ 0,17 ⋅  e 0,17 ⋅ t = 50,32 ⋅  e 0,17 ⋅ t Das Maximum von f ’ erhält man durch gezieltes Ausprobieren. Der GTR

liefert t = 15 mit f ’ (15) ≈ 644,453

Zum Zeitpunkt t = 15 wächst die Anzahl der Glasfaserhaushalte am schnellsten, nämlich mit etwa 644 000 Haushalten pro Jahr.

Alternative Lösung: Da die Funktion f ’ streng monoton wachsend ist, wird das Maximum von f ’ am Intervallende t = 15 angenommen.

b) (1) f (4) _ g (4) = 296 ⋅  e 0,17 ⋅ 4

___ 416,5 ⋅ 4 + 434 = 296 ⋅  e 0,68

__ 2100 ≈ 0,28

Der Wert 0,28 beschreibt den Anteil der Glasfaserhaushalte am 01. 01. 2015, die ihren Glasfaseranschluss auch nutzen.

(2) d (t) = g (t) − f (t) = 416,5 t + 434 − 296 ⋅  e 0,17 ⋅ t d’ (t) = 416,5 − 296 ⋅ 0,17 ⋅  e 0,17 ⋅ t = 416,5 − 50,32 ⋅  e 0,17 ⋅ t d” (t) = − 50,32 ⋅ 0,17 ⋅  e 0,17 ⋅ t = − 8,5544 ⋅  e 0,17 ⋅ t

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle: d’ (t) = 0

416,5 − 50,32 ⋅  e 0,17 ⋅ t = 0

− 50,32 ⋅  e 0,17 ⋅ t = − 416,5

e 0,17 ⋅ t = 8,277 03

0,17 ⋅ t = ln (8,277 03)

t = 100 _ 17  ⋅ ln (8,277 03)

t ≈ 12,43

F 4

GTR F 4

GTR

F 12

F 12F 13

F 18

3030 Abitur 2019

Hinreichende Bedingung für eine Extremstelle: d’ (t) = 0 ∧ d” (t) ≠ 0 d’ (12,43) = 0 ∧ d” (12,43) = − 8,5544 ⋅  e 0,17 ⋅ 12,43 < 0, also liegt ein Maximum

vor. d (12,43) = g (12,43) − f (12,43) = 416,5 ⋅ 12,43 + 434 − 296 ⋅  e 0,17 ⋅ 12,43

≈ 3162,04

H (12,43 | 3162,04)

(3) Die Funktion d gibt die Anzahl der Haushalte an, die einen Glasfaser- anschluss haben, ihn aber nicht benutzen. Im Punkt H ist diese Anzahl maximal.

c) (1) f (15) = 296 ⋅  e 0,17 ⋅ 15 = 296 ⋅  e 2,55 ≈ 3790,9

Die Anzahl der Glasfaserhaushalte am 01. 01. 2016 beträgt etwa 3,79 Millionen.

∫ 15

25

z (t) d t = ∫ 15

25

5 0,32 ⋅  e 6,99 − 0,296 ⋅ t d t ≈ 2064,39 ≈ 2064

Im angegebenen Zeitraum nimmt die Anzahl der Glasfaserhaushalte um etwa 2 064 000 zu.

(2) h (t) = f (15) + ∫ 15

t

z (x) d x

(3) z (t) = 50,32 ⋅  e 6,99 − 0,296 ⋅ t

z (t) > 0 bedeutet, dass die Anzahl der Glasfaserhaushalte ab t = 15 wächst. z’ (t) < 0 bedeutet, dass die Anzahl der Glasfaserhaushalte immer lang- samer wächst.

Aufgabe B2

a) (1) Durch Einsetzen der konkreten Werte für den Parameter k erhält man: f 1 (x) = x 3 − x; f 2 (x) = x 3 − 2 x; f 3 (x) = x 3 − 3 x

Durch die Lösung der Gleichungen x 3 − x = 0 bzw. x 3 − 2 x = 0 bzw. x 3 − 3 x = 0 erhält man bei f 1 die Nullstellen x = 0 ⊽ x = 1 ⊽ x = − 1, bei f 2 die Nullstellen x = 0 ⊽ x ≈ 1,4 ⊽ x ≈ − 1,4 und bei f 3 die Nullstellen x = 0 ⊽ x ≈ 1,73 ⊽ x ≈ − 1,73.

Durch Vergleich mit der Abbildung 1 ergibt sich:

Graph III gehört zu k = 1, Graph II zu k = 2 und Graph I zu k = 3.

(2) Der Punkt (0,5 | − 1) liegt auf dem Graphen des gesuchten Scharvertreters, d. h., seine Koordinaten erfüllen seine Funktionsgleichung:

f k (0,5) = − 1 ⇔ 0, 5 3 − k ⋅ 0,5 = − 1 ⇔ 0,125 + 1 = 0,5 ⋅ k ⇔ 1,125 = 0,5 ⋅ k ⇔ k = 2,25

Der Punkt (0,5 | − 1) liegt auf dem Graphen des Scharvertreters f 2,25 .

GTR F 25

F 39

F 39

F 21

F 42

F 33

F 42

31Lösungen – Prüfungsteil B 31

b) f 1 ’ (x) = 3 x 2 − 1 f 1 ” (x) = 6 x

Notwendige Bedingung für lokale Extrema: f 1 ’ (x) = 0 ⇔ 3 x 2 − 1 = 0 ⇔ x 2 =

1 _ 3 ⇔ x = − √

_ 1 _ 3 ≈ − 0,58 ⊽ x = √

_ 1 _ 3 ≈ 0,58

Hinreichende Bedingung für lokale Extrema:

f 1 ’ (− √ _

1 _ 3 ) = 0 ∧ f 1 ’ (− 1) = 2 > 0 ∧ f 1 ’ (0) = − 1 < 0, d. h., bei x = − √ _

1 _ 3 liegt ein

Vorzeichenwechsel von + nach − vor, demnach liegt bei x = − √ _

1 _ 3 ein lokales Maximum vor.

f 1 ’ ( √ _

1 _ 3 ) = 0 ∧ f 1 ’ (0) = − 1 < 0 ∧ f 1 ’ (1) = 2 > 0, d. h., bei x = √ _

1 _ 3 liegt ein

Vorzeichenwechsel von − nach + vor, demnach liegt bei x = √ _

1 _ 3 ein lokales Minimum vor.

Die Funktion f 1 hat an der Stelle x = − √ _

1 _ 3 ein lokales Maximum und an der

Stelle x = √ _

1 _ 3 ein lokales Minimum.

c) (1) Bestimmung der Nullstellen der Funktion f 1 :

f 1 (x) = 0  ⇔  x 3 − x = 0  ⇔  x ( x 2 − 1) = 0  ⇔  x = 0 ⊽ x = − 1 ⊽ x = 1

Eine Stammfunktion zu f 1 ist F 1 mit F 1 (x) = 1 _ 4 x

4 − 1 _ 2 x 2 . Dann ist

∫ − 1

0

f 1 ( x) d x = [ 1 _ 4 x

4 − 1 _ 2 x 2 ] − 1

0 = ( 1 _ 4  ⋅  0 4 −

1 _ 2  ⋅  0 2 ) − ( 1 _ 4  ⋅ (− 1 ) 4 −

1 _ 2  ⋅ (− 1 ) 2 )

= − 1 _ 4 + 1 _ 2 =

1 _ 4

Der Inhalt der Fläche, die für x ≦ 0 vom Graphen von f 1 und der x-Achse eingeschlossen wird, beträgt 0,25 FE.

(2) ∫ s 1

s 3

( f 1 (x) − a ⋅ x) d x = 0, denn es gilt:

Da in ihren Funktionstermen nur ungerade Exponenten auftreten, ver-laufen die Graphen der Funktion f 1 und der Geraden g a punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Daher gilt s 1 = − s 3 und die beiden Flächen, die die Graphen der beiden Funktionen von s 1 bis 0 bzw. 0 bis s 3 einschließen, sind gleich groß. Im Intervall [ s 1 ; 0] verläuft der Graph von f 1 oberhalb des

Graphen von g a , d. h. ∫ s 1

0

( f 1 (x) − a ⋅ x) d x > 0, im Intervall [0 ; s 3 ] verläuft der

Graph von f 1 unterhalb des Graphen von g a , d. h. ∫ 0

s 3

( f 1 (x) − a ⋅ x) d x < 0.

Somit gilt: ∫ s 1

s 3

( f 1 (x) − a ⋅ x) d x = 0

F 8F 9F 10

F 18

F 3

F 23

F 26

F 27

F 33

3232 Abitur 2019

d) (1) In der Geradengleichung von t : y = − 0,25 ⋅ x + 0,25 gibt − 0,25 die Steigung und 0,25 den y-Achsenabschnitt an.

Damit ergibt sich für die Gerade t der nebenstehende Graph:

(2) Damit t eine Tangente an den Graphen von f 1 darstellt, muss es mindes-tens eine Stelle geben, an der der Graph von f 1 dieselbe Steigung wie die Gerade t, also − 0,25, hat. Bestimmung der Stellen, an der der Graph von f 1 die Steigung − 0,25 hat:

f 1 ’ (x) = − 0,25 ⇔ 3 x 2 − 1 = − 0,25 ⇔ 3 x 2 = 0,75 ⇔ x 2 = 0,25 ⇔ x = 0,5 ⊽ x = − 0,5

Zudem gilt: f 1 (− 0,5) = (− 0,5 ) 3 − (− 0,5) = 0,375 und t (− 0,5) = − 0,25 ⋅ (− 0,5) + 0,25 = 0,375,

d. h., der Punkt (− 0,5 | 0,375) ist ein gemeinsamer Punkt der Graphen von t und f 1 .

Die Gerade t ist in dem Punkt (− 0,5 | 0,375) eine Tangente an den Graphen von f 1 . Die Steigung beider Funktionen beträgt in diesem Punkt − 0,25.

(3) Um die Schnittstellen der Geraden t und f 1 zu bestimmen, bestimmt man die Lösungen der Gleichung

− 0,25 ⋅ x + 0,25 = x 3 − x ⇔ − x 3 + 0,75 x + 0,25 = 0. Der GTR liefert als Lösungen x = − 0,5 oder x = 1.

Das gesuchte Flächenmaß erhält man durch:

∫ − 0,5

1

( − x 3 + 0,75 x + 0,25) d x = [ − 1 _ 4 x

4 + 3 _ 8 x 2 + 1 _ 4 x ] − 0,5

1

= (− 1 _ 4 +

3 _ 8 +

1 _ 4 ) − (−

1 _ 64 +

3 _ 32 −

1 _ 8 ) =

3 _ 8 +

3 _ 64 = 27

_ 64

Der Inhalt der Fläche, die von der Tangente t und dem Graphen von f 1

eingeschlossen wird, beträgt 27 _ 64 ≈ 0,42 FE.

(4) Wegen f 1 (− r) = (− r ) 3 − (− r) = − r 3 + r und f 1 (2 r) = (2 r ) 3 − (2 r) = 8 r 3 − 2 r haben die Punkte A r und B r die Koordinaten A r (− r | − r 3 + r) und

B r (2 r | 8 r 3 − 2 r) . Für die Steigung der Geraden durch die Punkte A r (− r | − r 3 + r) und

B r (2 r | 8 r 3 − 2 r) erhält man nach der Steigungsformel:

m = y B r − y A r __ x B r − x A r

= 8 r 3 − 2 r − (− r 3 + r)

___ 2 r − (− r) = 9 r 3 − 3 r

__ 3 r = 3 r 2 − 1

1

I

II

III0,5

1,5

2

2,5

–1

–2

–1,5

–2,5

10,5–1–2 –0,5–1,5 21,5Ox

fk(x)

F 15

F 27

33Lösungen – Prüfungsteil B 33

Für die Steigung des Graphen von f im Punkt A r (− r | f 1 (− r)) gilt: f 1 ’ (− r) = 3 (− r )

2 − 1 = 3 r 2 − 1.

Da die Steigung der Geraden durch A r (− r | f 1 (− r)) und B r (2 r | f 1 (2 ⋅ r)) mit der Steigung des Graphen von f 1 übereinstimmt und der Punkt A r (− r | f 1 (− r)) auf dem Graphen von f 1 liegt, handelt es sich bei der Geraden durch A r (− r | f 1 (− r)) und B r (2 r | f 1 (2 ⋅ r)) um die Tangente an den Graphen von f 1 im Punkt A r .

Aufgabe B3

a) Durch Ablesen erhält man: D (0 | 5 | 0) und F (5 | 0 | 5).

b)

c) Ein Stützvektor der Ebene Q, in der sich das Viereck IJKL befindet, ist z. B. der

Vektor →

OI = ( 5

0 1

) , als Richtungsvektoren können z. B. →

IJ = ( − 3

5 − 1

) und

→

IL = ( − 4

0 4

) gewählt werden.

Damit ergibt sich:

Eine Parametergleichung der Ebene Q, in der sich das Viereck IJKL befindet,

lautet: Q : →

X = ( 5

0 1

) + k ⋅  ( − 3

5 − 1

) + m ⋅  ( − 4

0 4

) ; k, m ∈ ℝ

d) Die Gleichung der Geraden, auf der sich die Raumdiagonale ‾ AG befindet,

lautet: →

X = ( 0

0 0

) + n ⋅  ( 5

5 5

) ; n ∈ ℝ. Hieraus ergibt sich:

Die Raumdiagonale ‾ AG hat die Parametergleichung →

X = n ⋅ ( 5

5 5

) mit n ∈ ℝ; 0 ≦ n ≦ 1.

F 15

F 52

O

1

21 3 4 5

x1

12

34

5

x2

x3

E H

D

K

JI

L

G

C

A

B

F2

3

4

5

F 52

F 55

F 53

3434 Abitur 2019

Um den Schnittpunkt U der Raumdiagonalen und der Ebene Q zu bestimmen, setzt man die Terme der Geraden- und Ebenengleichung gleich:

n ⋅  ( 5

5 5

) = ( 5

0 1

) + k ⋅  ( − 3

5 − 1

) + m ⋅  ( − 4

0 4

) ⇔ { 5 n = 5 − 3 k − 4 m

5 n = 5 k 5 n = 1 − k + 4 m

⇔ { 5 k = 5 − 3 k − 4 m

5 n = 5 k 5 k = 1 − k + 4 m

⇔ { 8 k = 5 − 4 m

n = k 6 k = 1 + 4 m

   ⇔ { 8 k = 5 − 4 m

n = k 14 k = 6

⇔

⎧

⎪

⎨ ⎪

⎩

m = 11 _ 28

n = 3 _ 7

k = 3 _ 7

d. h. ⟶

OU = 3 _ 7 ⋅  ( 5

5 5

) =

⎛

⎜ ⎝

15 _ 7

15 _ 7

15 _ 7

⎞

⎟ ⎠

Der Schnittpunkt U der Raumdiagonalen ‾ AG und der Ebene Q ist U ( 15

_ 7 | 15 _ 7 | 15 _ 7 ) . Hinweis:

Wählt man für die Parametergleichung von Q die Kontrolllösung, so liefert das entsprechende Gleichungssystem zwar andere Parameterwerte, aber den-selben Punkt U.

e) Wegen →

IL = ( − 4

0 4

) und →

JK = ( − 2

0 2

) gilt: →

IL = 2 ⋅  →

JK

Die Vierecksseiten ‾ IL und ‾ JK sind parallel. Das Viereck IJKL ist daher ein