Mathematik und Politik: Von Macht, Quadratwurzeln und ...€¦ · Mathematik und Politik: Von Macht, Quadratwurzeln und Ministern Werner Kirsch Fakult at fur Mathematik und Informatik

Mathematik und Politik:Von Macht, Quadratwurzeln und

Ministern

Werner Kirsch

Fakultat fur Mathematik und Informatik

Zum Jahr der MathematikFernUniversitat Hagen, Oktober 2008

Mathematik und Politik Jahr der Mathematik 2008

Parlamente


Parlamente


Parlamente


Parlamente


Parlamente – gleiches Stimmrecht fur alle

Abstimmungsmodus

Jedes Mitglied des Parlaments hat eine Stimme.

Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig. (Quorum: 1/2)

Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit bei Verfassungsanderungen.

(Quorum: 2/3)

Ein Mitglied des Parlamentes vertritt die Wahler seinesWahlkreises. Die Wahlkreise haben ungefahr die gleiche Große.



Abstimmungsmodus




(Quorum: 2/3)




Abstimmungsmodus




(Quorum: 2/3)




Abstimmungsmodus


Fur einen Beschluss ist (in der Regel) mehr als die Halfte derStimmen notwendig.

(Quorum: 1/2)


(Quorum: 2/3)




Abstimmungsmodus




(Quorum: 2/3)




Abstimmungsmodus




(Quorum: 2/3)




Abstimmungsmodus




(Quorum: 2/3)




Abstimmungsmodus




(Quorum: 2/3)



Rate


Rate


Rate


Rate


Rate


Bundesrat – unterschiedliche Stimmgewichte

Abstimmungsmodus

Die Mitglieder des Bundesrates vertreten ihre Lander.

Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.


Gelegentlich werden auch andere Mehrheiten verlangt, z.B.:Zwei-Drittel-Mehrheit (Quorum: 2/3)



Abstimmungsmodus







Abstimmungsmodus


Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat.

Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.





Abstimmungsmodus


Wegen ihrer unterschiedlichen Große haben die Lander drei bissechs Stimmen im Bundesrat. Stimmgewichte gi ∈ {3, 4, 5, 6}

Die Stimmen konnen nur im Block abgegeben werden.





Abstimmungsmodus







Abstimmungsmodus







Abstimmungsmodus






Der Rat der Europaischen Union

Der Rat der EU ist (gemeinsam mit dem Europa-Parlament)das gesetzgebende Organ der EU.

Der Rat (Ministerrat) besteht aus je einemRegierungsvertreter der Mitgliedsstaaten.

Traditionell haben die Vertreter im Rat ein Stimmgewicht, dasvon der Bevolkerungsgroße des jeweiligen Landes abhangt.

Seit dem Vertrag von Nizza (gultig seit der Osterweiterung2004) ist das Abstimmungsverfahren im Rat deutlichkomplizierter:

Dreistufiges Verfahren nach dem Vertrag von Nizza.

”Doppelte Mehrheit“nach dem Reformvertrag

(Verfassungsentwurf)






























Beispiel:Rat vor der Osterweiterung

Deutschland 10 Belgien 5

Frankreich 10 Schweden 4

UK 10 Osterreich 4

Italien 10 Danemark 3

Spanien 8 Finnland 3

Niederlande 5 Irland 3

Griechenland 5 Luxemburg 2

Portugal 5

Quorum 71,2%mindestens 62 aus 87 Stimmen

































Rate – Weitere Beispiele

Der Internationaler Wahrungsfond

Das Wahlmannergremium der US-Verfassung (ElectoralCollege)

Der UN-Sicherheitsrat






















Der Stadt”rat“ist ein

”Parlament“


Gewichtete Abstimmungssysteme


Ein gewichtetes Abstimmungssystem besteht aus einer MengeW = {1, 2, . . . ,N} von Wahlern, Stimmgewichten g1, . . . , gN ,gi ≥ 0 und einem Quorum q.

Das Abstimmungsverhalten des Wahlers i bezeichnen wir mit Xi :Xi = 1 bedeutet der Wahler stimmt zu.Xi = 0 bedeutet der Wahler stimmt nicht zu.

Bei einer Abstimmung werden also∑N

i=1 gi Xi Stimmen fur denVorschlag abgegeben. Der Vorschlag ist angenommen, wenn gilt:

N∑i=1

gi Xi > qN∑

i=1

gi .

Wir bezeichnen ein gewichtetes Abstimmungssystem mitGewichten g1, . . . , gN und Quorum q mit [q; g1, . . . , gN ].




Ein gewichtetes Abstimmungssystem besteht aus einer MengeW = {1, 2, . . . ,N} von Wahlern, Stimmgewichten g1, . . . , gN ,gi ≥ 0 und einem Quorum q.

Das Abstimmungsverhalten des Wahlers i bezeichnen wir mit Xi :Xi = 1 bedeutet der Wahler stimmt zu.Xi = 0 bedeutet der Wahler stimmt nicht zu.

Bei einer Abstimmung werden also∑N

i=1 gi Xi Stimmen fur denVorschlag abgegeben. Der Vorschlag ist angenommen, wenn gilt:

N∑i=1

gi Xi > qN∑

i=1

gi .

Wir bezeichnen ein gewichtetes Abstimmungssystem mitGewichten g1, . . . , gN und Quorum q mit [q; g1, . . . , gN ].


Stimmgewicht und Einfluss

Stellen wir uns vor, die Stadte Hagen und Dortmund beschließen,demnachst eng zusammenzuarbeiten.

Dazu bilden die beiden Oberburgermeister den”DoHa–Rat“, der

fur beide Stadte verbindliche Entscheidungen trifft.






















Ein Vorschlag fur das Abstimmungsverfahren

Hagen hat etwa 195 Tausend Einwohner,Dortmund ca. 583 Tausend.

Also erhalt Herr Demnitz 2 Stimmen ,Herr Langemeyer bekommt 6 Stimmen.

Entschieden wird mit einfacher Mehrheit.

Herr Dr. Langemeyer freut sich uber dieses Verfahren!


























Die EWG

Deutschland 4

Frankreich 4

Italien 4

Niederlande 2

Belgien 2

Luxemburg 1

Quorum: 70 %mindestens 12 Stimmen

Fazit: Luxemburg hat keinerlei Einfluss.


Die EWG

Deutschland 4

Frankreich 4

Italien 4

Niederlande 2

Belgien 2

Luxemburg 1




Die EWG

Deutschland 4

Frankreich 4

Italien 4

Niederlande 2

Belgien 2

Luxemburg 1




Die EWG

Deutschland 4 4

Frankreich 4 4

Italien 4 4

Niederlande 2 3Belgien 2 2

Luxemburg 1 1

Quorum:mindestens 12 Stimmen

Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien.


Die EWG

Deutschland 4 4

Frankreich 4 4

Italien 4 4

Niederlande 2 3Belgien 2 2

Luxemburg 1 1


Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien.


Die EWG

Deutschland 4

Frankreich 4

Italien 4

Niederlande 2

Belgien 2

Luxemburg 1


Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien oder dieNiederlande.


Die EWG

Deutschland 4

Frankreich 4

Italien 4

Niederlande 2

Belgien 2

Luxemburg 1


Fazit: Luxemburg hat den gleichen Einfluss wie Belgien oder dieNiederlande.


Etwas Theorie

Ein Zusammenschluss von Wahlern (Abgeordnete, Mitgliedereines Gremiums) heißt Koalition.

Es gibt 2N Koalitionen. Jeder Wahler ist an 2N−1 Koalitionenbeteiligt.Zur Erinnerung: 23 = 2 · 2 · 22N = 2 · 2 · . . . · 2︸︷︷︸

N−mal

Eine Koalition K heißt gewinnend, wenn sie einen Beschlussdurchsetzen kann (uber eine ausreichende Mehrheit verfugt).

Ein Wahler w in einer Koalition K heißt entscheidend (furK ), wenn K mit w gewinnend ist, aber ohne w verlierend ist.


Etwas Theorie



N−mal




Etwas Theorie


Es gibt 2N Koalitionen. Jeder Wahler ist an 2N−1 Koalitionenbeteiligt.

Zur Erinnerung: 23 = 2 · 2 · 22N = 2 · 2 · . . . · 2︸︷︷︸

N−mal




Etwas Theorie



N−mal




Etwas Theorie



N−mal




Etwas Theorie



N−mal




Machtindex nach Banzhaf

Fur jeden Wahler w zahlen wir die Anzahl η(w) derKoalitionen, in denen er entscheidend ist.

Dann ergibt

β(w) =η(w)

2 N−1

den Anteil der Koalitionen, fur die w entscheidend ist, unterallen Koalitionen, an denen w beteiligt ist. Wir nennen dieseZahl die totale Banzhafmacht von w .

Den (prozentualen) Anteil eines Wahlers w an der Macht allerWahler nenen wir den Banzhaf-Index oder den MachtindexB(w) von w .




Dann ergibt

β(w) =η(w)

2 N−1






Dann ergibt

β(w) =η(w)

2 N−1






Dann ergibt

β(w) =η(w)

2 N−1




Beispiel: Ministerrat der EWG

Staat Stimmgewicht Machtindex

Deutschland 4 23,8 %

Frankreich 4 23,8 %

Italien 4 23,8 %

Niederlande 2 14,3 %

Belgien 2 14,3 %

Luxemburg 1 0 %

Quorum: mindestens 12 Stimmen


Abstimmungsverfahren im Rat der EU (aktuell)

Das derzeit gultige Abstimmungsverfahren im Rat wurde aufdem EU-Gipfel in Nizza beschlossen. Es umfasst dreiKriterien.

1 Qualifizierte Mehrheit (ca. 74 %) bei einem gewichtetenAbstimmungssystem.

2 Einfache Mehrheit der Staaten.3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerung

reprasentieren.

Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, die doppelteMehrheit:

1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerung

reprasentieren.






reprasentieren.



reprasentieren.





2 Einfache Mehrheit der Staaten.

3 Die Befurworter mussen mindestens 62 % der EU-Bevolkerungreprasentieren.



reprasentieren.






reprasentieren.



reprasentieren.


Stimmgewichte nach Nizza

Staat Bev. Stimmen Staat Bev. Stimmen

Deutschland 82,5 29 Osterreich 8,1 10

Frankreich 59,6 29 Bulgarien 7,9 10

UK 59,3 29 Danemark 5,4 7

Italien 57,3 29 Slowakei 5,4 7

Spanien 41,6 27 Finnland 5,2 7

Polen 38,2 27 Irland 4,0 7

Rumanien 21,8 14 Litauen 3,5 7

Niederlande 16,2 13 Lettland 2,3 4

Griechenland 11,0 12 Slowenien 2,0 4

Portugal 10,4 12 Estland 1,4 4

Belgien 10,4 12 Zypern 0,7 4

Tschechien 10,2 12 Luxemburg 0,5 4

Ungarn 10,1 12 Malta 0,4 3

Schweden 8,9 10 Summe 484,3 345

Quorum 255 Stimmen

oder 258 ?


Stimmgewichte nach Nizza

Staat Bev. Stimmen Staat Bev. Stimmen

Deutschland 82,5 29 Osterreich 8,1 10

Frankreich 59,6 29 Bulgarien 7,9 10

UK 59,3 29 Danemark 5,4 7

Italien 57,3 29 Slowakei 5,4 7

Spanien 41,6 27 Finnland 5,2 7

Polen 38,2 27 Irland 4,0 7

Rumanien 21,8 14 Litauen 3,5 7

Niederlande 16,2 13 Lettland 2,3 4

Griechenland 11,0 12 Slowenien 2,0 4

Portugal 10,4 12 Estland 1,4 4

Belgien 10,4 12 Zypern 0,7 4

Tschechien 10,2 12 Luxemburg 0,5 4

Ungarn 10,1 12 Malta 0,4 3

Schweden 8,9 10 Summe 484,3 345

Quorum 255 Stimmen oder 258 ?






reprasentieren.



reprasentieren.


Machtverhaltnisse nach Nizza

Staat Bev. BI: Nizza Staat Bev. BI: Nizza

Deutschland 82,5 7,78 Osterreich 8,1 3,09

Frankreich 59,6 7,78 Bulgarien 7,9 3,09

UK 59,3 7,78 Danemark 5,4 2,18

Italien 57,3 7,78 Slowakei 5,4 2,18

Spanien 41,6 7,42 Finnland 5,2 2,18

Polen 38,2 7,42 Irland 4,0 2,18

Rumanien 21,8 4,26 Litauen 3,5 2,18

Niederlande 16,2 3,97 Lettland 2,3 1,25

Griechenland 11,0 3,68 Slowenien 2,0 1,25

Portugal 10,4 3,68 Estland 1,4 1,25

Belgien 10,4 3,68 Zypern 0,7 1,25

Tschechien 10,2 3,68 Luxemburg 0,5 1,25

Ungarn 10,1 3,68 Malta 0,4 0,94

Schweden 8,9 3,09 Summe 484,3 100,00






reprasentieren.

Der inzwischen gescheiterte Verfassungsentwurf sollte einneues Abstimmungsverfahren einfuhren, diedoppelte Mehrheit:


reprasentieren.






reprasentieren.



reprasentieren.






reprasentieren.


1 Qualifizierte Mehrheit (55 %) der Staaten.

2 Die Befurworter mussen mindestens 65 % der EU-Bevolkerungreprasentieren.






reprasentieren.



reprasentieren.


Machtverhaltnisse: Nizza und ’doppelte Mehrheit’

Staat Bev. Nizza R.V. Staat Bev. Nizza R.V.

Deutschland 82,5 7,78 11,87 Osterreich 8,1 3,09 2,52

Frankreich 59,6 7,78 8,73 Bulgarien 7,9 3,09 2,50

UK 59,3 7,78 8,69 Danemark 5,4 2,18 2,19

Italien 57,3 7,78 8,44 Slowakei 5,4 2,18 2,19

Spanien 41,6 7,42 6,38 Finnland 5,2 2,18 2,17

Polen 38,2 7,42 5,89 Irland 4,0 2,18 2,02

Rumanien 21,8 4,26 4,22 Litauen 3,5 2,18 1,96

Niederlande 16,2 3,97 3,51 Lettland 2,3 1,25 1,81

Griechenland 11,0 3,68 2,87 Slowenien 2,0 1,25 1,78

Portugal 10,4 3,68 2,80 Estland 1,4 1,25 1,70

Belgien 10,4 3,68 2,80 Zypern 0,7 1,25 1,62

Tschechien 10,2 3,68 2,78 Luxemburg 0,5 1,25 1,59

Ungarn 10,1 3,68 2,76 Malta 0,4 0,94 1,58

Schweden 8,9 3,09 2,62 Summe 484,3 100,00 100,00


Der EU-Gipfel in Brussel: Juni 2007

Entscheidung uber das Abstimmungsverfahren im Rat.


Quadratwurzel ...

... oder Tod !


Quadratwurzel ...

... oder Tod !


Der EU-Gipfel in Brussel: Juni 2007

Gipfelergebnis


Kommentare

The square root of all the European Union’s problemsFinancial Times, June 12, 2007

The Poles’ slogan for the summit - ”the square root or death” -neatly combines obscurity, absurdity and vehemence, ...

Almost nobody else wants the baffling square root system, but thePoles have the power to block any agreement.

”The Poles really could bring the whole thing crashing down,” saysa senior British diplomat ...


Kommentare

The square root of all the European Union’s problemsFinancial Times, June 12, 2007

The Poles’ slogan for the summit - ”the square root or death” -neatly combines obscurity, absurdity and vehemence, ...

Almost nobody else wants the baffling square root system, but thePoles have the power to block any agreement.

”The Poles really could bring the whole thing crashing down,” saysa senior British diplomat ...



Trotzdem: Was ist das Quadratwurzelsystem ?

Man nehme fur jeden Staat seine Bevolkerung in Millionen,also z.B. Deutschland 81, Polen 36 usw.

Man ziehe daraus die Quadratwurzel (=Wurzel), also z.B.√81 = 9 fur Deutschland, oder

√36 = 6.

Diese Zahlen ergeben die Stimmgewichte.

Man setze das Quorum auf 61%.

Damit ergibt sich ein gewichtetes Abstimmungssystem.





√36 = 6.








√36 = 6.








√36 = 6.








√36 = 6.








√36 = 6.





Vergleich der Systeme

Bev. Nizza Ref.v. QW Bev. Nizza Ref.v. QW

DE 82,5 7,78 11,87 9,54 AT 8,1 3,09 2,52 2,98

FR 59,6 7,78 8,73 8,11 BG 7,9 3,09 2,50 2,94

GB 59,3 7,78 8,69 8,09 DK 5,4 2,18 2,19 2,44

IT 57,3 7,78 8,44 7,95 SK 5,4 2,18 2,19 2,44

ES 41,6 7,42 6,38 6,77 FI 5,2 2,18 2,17 2,40

PL 38,2 7,42 5,89 6,49 IE 4,0 2,18 2,02 2,09

RO 21,8 4,26 4,22 4,90 LT 3,5 2,18 1,96 1,95

NL 16,2 3,97 3,51 4,23 LV 2,3 1,25 1,81 1,60

GR 11,0 3,68 2,87 3,49 SI 2,0 1,25 1,78 1,48

PT 10,4 3,68 2,80 3,39 EE 1,4 1,25 1,70 1,22

BE 10,4 3,68 2,80 3,38 CY 0,7 1,25 1,62 0,89

CZ 10,2 3,68 2,78 3,36 LU 0,5 1,25 1,59 0,70

HU 10,1 3,68 2,76 3,34 MT 0,4 0,94 1,58 0,66

SE 8,9 3,09 2,62 3,14 484,3 100 100 100


Vergleich der Systeme

Staat Nizza Reform-V. Staat Nizza Reform-V.

Deutschland -18,45 24,34 Osterreich 3,63 -15,50

Frankreich -4,05 7,67 Bulgarien 5,08 -15,15

UK -3,81 7,44 Danemark -10,52 -10,04

Italien -2,14 6,06 Slowakei -10,48 -10,00

Spanien 9,58 -5,74 Finnland -9,01 -9,54

Polen 14,26 -9,35 Irland 4,32 -3,29

Rumanien -13,10 -13,89 Litauen 11,57 0,30

Niederlande -5,98 -17,00 Lettland -22,05 13,07

Griechenland 5,66 -17,56 Slowenien -15,74 19,72

Portugal 8,69 -17,35 Estland 2,21 39,22

Belgien 8,99 -17,12 Zypern 40,26 81,38

Tschechien 9,80 -17,23 Luxemburg 77,76 126,34

Ungarn 10,15 -17,34 Malta 42,30 138,56

Schweden -1,54 -16,62




Was ist ein gerechtes Abstimmungssystem ?

Grundannahme: Reprasentative Demokratie funktioniert!

Die Regierungen vertreten im Rat die Interessen ihrer Burger.

Die Regierungen wissen, wie die Mehrheit in ihrem Land inder zur Abstimmung stehenden Frage denkt.

Die Regierungen stimmen so ab, wie die Mehrheit in ihremLand mochte.

Damit ist das System Wahler – Ministerrat ein zusammengesetztesAbstimmungssystem, in dem die Wahler (indirekt) Einflussausuben. Wir konnen daher von der Macht eines Wahlers beiAbstimmungen im Rat sprechen.





































Schematische Darstellung

Vorschläge Wähler Abstimmung Abstimmung der Wähler im Ministerrat

X12

X12

X13

.

.

. X1N

Staat 1

ω

XM1

XM2

XM3

.

.

. XML

Staat M

Y1

Rat

Z

YM


Ein Kriterium fur Gerechtigkeit

Bei einem gerechten Abstimmungssystem im Rat sollte jederWahler, unabhangig von seinem Herkunftsland den gleichenEinfluss auf Entscheidungen des Rates haben.


Ein Kriterium fur Gerechtigkeit

Bei einem gerechten Abstimmungssystem im Rat sollte jederWahler, unabhangig von seinem Herkunftsland den gleichenEinfluss auf Entscheidungen des Rates haben.


Ein bisschen Kombinatorik

Fragestellung

Gegeben N Objekte (z.B. Lotto: Zahlen von 1 bis 49) ,auf wie viele Arten kann ich daraus K Objekte aussuchen (z.B. 6Richtige) ?

Antwort

Auf(

NK

)Arten.

Dabei ist:(

NK

)= N!

K ! (N−K)!

und N! = N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 3 · 2 · 1:



Fragestellung


Antwort

Auf(

NK

)Arten.

Dabei ist:(

NK

)= N!

K ! (N−K)!

und N! = N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 3 · 2 · 1:



Fragestellung


Antwort

Auf(

NK

)Arten.

Dabei ist:(

NK

)= N!

K ! (N−K)!

und N! = N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 3 · 2 · 1:


Beispiel

Beim 6 aus 49 Lotto gibt es(49

6

)= 13.983.816

Moglichkeiten.


Der Einfluss eines Wahlers in seinem Land

Wir betrachten einen Wahler w in einem Land mitN = 2n + 1 Einwohnern.

Bei einer Abstimmung in seinem Land ist w entscheidend,wenn eine Abstimmung der anderen Wahler ein Patt ergibt,wenn also n Wahler mit ’JA’ und n Wahler mit ’NEIN’stimmen.

Es gibt(2n

n

)solcher Koalitionen.





Es gibt(2n

n






Es gibt(2n

n






Es gibt(2n

n



Die Macht eines Wahlers

Danach ist die Macht β(i) eines Wahlers gegeben durch:

β(i) =1

22n

(2n

n

)=

(2n)!

22n n! n!

≈ 22n n2n e−2n√

4πn

22n nn nn e−n e−n√

2πn√

2πn

≈ C√N

Resultat

Damit jeder Wahler im Rat den gleichen Einfluss hat, muss derEinfluss des Regierungsvertreters proportional zur Quadratwurzelaus der Bevolkerungszahl seines Landes sein.

Quadratwurzelgesetz von Penrose (1946).




β(i) =1

22n

(2n

n

)

=(2n)!

22n n! n!

≈ 22n n2n e−2n√

4πn


2πn√

2πn

≈ C√N

Resultat






β(i) =1

22n

(2n

n

)=

(2n)!

22n n! n!

≈ 22n n2n e−2n√

4πn


2πn√

2πn

≈ C√N

Resultat






β(i) =1

22n

(2n

n

)=

(2n)!

22n n! n!

≈ 22n n2n e−2n√

4πn


2πn√

2πn

≈ C√N

Resultat






β(i) =1

22n

(2n

n

)=

(2n)!

22n n! n!

≈ 22n n2n e−2n√

4πn


2πn√

2πn

≈ C√N

Resultat






β(i) =1

22n

(2n

n

)=

(2n)!

22n n! n!

≈ 22n n2n e−2n√

4πn


2πn√

2πn

≈ C√N

Resultat






β(i) =1

22n

(2n

n

)=

(2n)!

22n n! n!

≈ 22n n2n e−2n√

4πn


2πn√

2πn

≈ C√N

Resultat




Vom Einfluss zum Stimmgewicht

Problem

Wie finden wir ein Abstimmungssystem, bei dem die Macht geradenach dem Quadratwurzelgesetz verteilt ist ?

Der ’Jagiellonische Kompromiss’

Verteile die Stimmgewichte nach den Quadratwurzeln.

Suche systematisch nach einem Quorum, bei dem auch derMachtindex nach den Quadratwurzeln verteilt ist.

Ergebnis: Bei q = 61, 2% praktisch vollstandig gegeben.

Wurde von Wojchiech S lomczynski und Karol Zyczkowski vonder Jagiellonischen Universitat in Kraukau vorgeschlagen.



Problem









Problem









Problem









Problem









Problem









Problem








Ein probabilistischer Zugang

Das Model

Es gibt M Staaten (Untereinheiten): S1, . . . ,SM , die eineZusammenschluss (Union) bilden.

Staat Sν has Nν Wahler.

Das Wahlverhalten des Wahlers i im Staat Sν ist Xνi .

Xνi = 1 steht fur ’JA’ und Xνi = −1 fur ’NEIN’.

Xνi = Xνi (ω) hangt vom Abstimmungsgegenstand, demVorschlag ω ab.



Das Model








Das Model








Das Model








Das Model








Das Model








Das Model









X12

X12

X13

.

.

. X1N

Staat 1

ω

XM1

XM2

XM3

.

.

. XML

Staat M

Y1

Rat

Z

YM


Die Mehrheitsmeinung

Aus dem Abstimmungsverhalten der Wahler ergibt sich dieMehrheitsmeinung im Staat Sν aus:

Xν =Nν∑i=1

Xνi

Sie ist ’JA’ wenn Xν > 0.Analog ergibt sich die Mehrheitsmeinung (Popular Vote) in derUnion aus:

X =M∑

ν=1

Xν =M∑

ν=1

Nν∑i=1

Xνi




Xν =Nν∑i=1

Xνi

Sie ist ’JA’ wenn Xν > 0.

Analog ergibt sich die Mehrheitsmeinung (Popular Vote) in derUnion aus:

X =M∑

ν=1

Xν =M∑

ν=1

Nν∑i=1

Xνi




Xν =Nν∑i=1

Xνi

Sie ist ’JA’ wenn Xν > 0.Analog ergibt sich die Mehrheitsmeinung (Popular Vote) in derUnion aus:

X =M∑

ν=1

Xν =M∑

ν=1

Nν∑i=1

Xνi


Abstimmung im Rat

Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von Sν im Ratso, wie es die Mehrheit in Sν erwartet.Also ist das Abstimmungsergebnis im Rat:

Z =M∑

ν=1

gν χ(Xν) =M∑

ν=1

gν χ(Nν∑i=1

Xνi )

wobei χ(x) =

{1 falls x > 0−1 falls x ≤ 0

Die Große∆ = | Z − X |

heißt das Demokratiedefizit.


Abstimmung im Rat

Nach unserer Grundannahme stimmen der Vertreter von Sν im Ratso, wie es die Mehrheit in Sν erwartet.

Also ist das Abstimmungsergebnis im Rat:

Z =M∑

ν=1

gν χ(Xν) =M∑

ν=1

gν χ(Nν∑i=1

Xνi )

wobei χ(x) =





Abstimmung im Rat


Z =M∑

ν=1

gν χ(Xν) =M∑

ν=1

gν χ(Nν∑i=1

Xνi )

wobei χ(x) =





Abstimmung im Rat


Z =M∑

ν=1

gν χ(Xν) =M∑

ν=1

gν χ(Nν∑i=1

Xνi )

wobei χ(x) =





Demokratische Machtverteilung

Wir mochten die Stimmgewichte gν im Rat so wahlen, dass dasDemokratiedefizit so klein wie moglich ist.

Minimierungs-Aufgabe

Finde die gν so dass

∆ = ∆(g1, . . . , gν)

miminal ist.






∆ = ∆(g1, . . . , gν)

miminal ist.






∆ = ∆(g1, . . . , gν)

miminal ist.


Wir suchen die optimalen Gewichte gν so, dass dasDemoklratiedefizit im Mittel moglichst klein ist. Genauer: Wirwollen die gν so bestimmen, dass die mittlere quadratischeAbweichung des Ratsvotums vom Bevolkerungsvotum minimal ist:

E( ∆2 ) = E( |Z − X |2 )

E ist der erwartete Wert bezuglich einer Wahrscheinlichkeit P, diewir noch spezifizieren mussen.


Wir suchen die optimalen Gewichte gν so, dass dasDemoklratiedefizit im Mittel moglichst klein ist. Genauer: Wirwollen die gν so bestimmen, dass die mittlere quadratischeAbweichung des Ratsvotums vom Bevolkerungsvotum minimal ist:

E( ∆2 ) = E( |Z − X |2 )

E ist der erwartete Wert bezuglich einer Wahrscheinlichkeit P, diewir noch spezifizieren mussen.




X12

X12

X13

.

.

. X1N

Staat 1

ω

XM1

XM2

XM3

.

.

. XML

Staat M

Y1

Rat

Z

YM


Symmetrie der Abstimmungsergebnisse

Annahmen

1 Die Vorschlage ω sind zufallig.

2 Wir nehmen an, dass jeder Vorschlage ω und sein Gegenteil ωmit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

3 Die Wahler reagieren in rationaler Weise auf die Vorschlage,insbesondere:

Xνi (ω) = −Xνi (ω)

Daraus folgt

P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})

insbesondere:

P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1

2



Annahmen





Daraus folgt

P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})

insbesondere:

P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1

2



Annahmen





Daraus folgt

P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})

insbesondere:

P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1

2



Annahmen





Daraus folgt

P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})

insbesondere:

P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1

2



Annahmen





Daraus folgt

P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})

insbesondere:

P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1

2



Annahmen





Daraus folgt

P({Xνi} = {aνi}) = P({Xνi} = {−aνi})

insbesondere:

P(Xνi = 1) = P(Xνi = −1) =1

2


Annahmen II

Unabhangigkeit

Die Abstimmungsergebnisse in verschiedenen Staaten sindunabhangig voneinander:Xνi and Xκj sind (stochastisch) unabhangig, falls ν 6= κ

Ergebnis

Die optimalen Gewichte gν sind gegeben durch:

gν = E( |Xν | ) = E( |Nν∑i=1

Xνi | )

Problem

Berechne E( |∑N

i=1 Xi | ) !


Annahmen II

Unabhangigkeit


Ergebnis


gν = E( |Xν | ) = E( |Nν∑i=1

Xνi | )

Problem

Berechne E( |∑N

i=1 Xi | ) !


Annahmen II

Unabhangigkeit


Ergebnis


gν = E( |Xν | ) = E( |Nν∑i=1

Xνi | )

Problem

Berechne E( |∑N

i=1 Xi | ) !


Unabhangige Wahler

Annahme

Die Xi sind ebenfalls unabhangig.

Ergebnis

E( |N∑

i=1

Xi | ) ∼√

N


Unabhangige Wahler

Annahme


Ergebnis

E( |N∑

i=1

Xi | ) ∼√

N


Unabhangige Wahler

Annahme


Ergebnis

E( |N∑

i=1

Xi | ) ∼√

N


Modelle der statistischen Physik

Wahler als ’Spins’

Statt die Werte Xi = 1,−1 als ’JA’ oder ’NEIN’ zuinterpretieren, konnten wir uns auch kleine Elementarmagnete(Spins) vorstellen, die nach ’oben’ oder ’unten’ ausgerichtetsind.

Damit stehen Modelle der statistischen Mechanik zurVerfugung, z.B. das Curie-Weiss-Modell des Magnetismus.

Die Spins (Wahler) interagieren miteinander und versucheneine gemeinsame Richtung (Meinung) zu finden. Die Starkeder Wechselwirkung wird durch einen Parameter J ≥ 0beschrieben.


























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