Mathematik verstehen, behalten und anwenden – Konsequenzen für Lerninhalte und Lernmethoden

Regina Bruder TUD MNU 16.4.2003

Mathematik verstehen, behalten und anwenden – Konsequenzen für Lerninhalte und Lernmethoden

Prof.Dr. Regina Bruder TU DarmstadtMNU Frankfurt 16.4.2003


Was soll im Mathematikunterricht wie gelernt werden?

Und: Warum?

Orientierung an

- Entwicklungen in der Mathematik und ihren Anwendungen

- soziologischen Einsichten

Folgerungen zu Lernzielen für Mathematik (H. Winter u.a.)

- Ergebnissen der Lehr- und Lernforschung (Weinert u.a.)

- Erfahrungswissen

Aktuelle Diskussion


Was sich Lernende wünschen und vorstellen:

• vorurteilsfreie Lehrer/innen, die gut erklären können

• ernst genommen werden und etwas „Sinnvolles“ lernen (müssen)

• Lernchancen erhalten – toleranter Umgang mit Fehlern und klare Orientierungen

• ein harmonisches Lernumfeld und gerechte Beurteilungen

Aktuelle Diskussion - verschiedene Perspektiven


Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte?

Themenfelder für vernetztes Lernen

Gliederung

Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können?

Handlungskompetenzen spezifizieren

Moderne Methoden basierend auf erprobten Lehr- und Lernkonzepten


Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik

verstanden,

behalten und

angewendet werden können?

Erscheinungen der Welt um uns ... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen.

Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Mathematische Gegenstände ... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art ... begreifen.

Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen)

Lernziele – drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik


Verstehen, Behalten und Anwenden können – aber was?

Lernziele – ein Beispiel

Einstieg:

Gedankenexperiment: Wer ist schneller?

Ein Ruderboot auf einem See rudert eine bestimmte Strecke gleichmäßig hin und wieder zurück.

Zur gleichen Zeit startet ein gleich starkes Ruderboot auf einem Fluss und fährt die gleiche Streckenlänge genauso wie das andere – jedoch einmal flussaufwärts und einmal flussabwärts.


1. Für einen 800m-Lauf wird eine bestimmte Zeit anvisiert. Daraus wird die durchschnittliche Rundenzeit t ermittelt. Um sich vom Feld abzusetzen, soll die erste Runde jedoch 10sec schneller sein als bei gleichmäßigem Tempo notwendig wäre.

Wie viel Zeit steht dann für die 2.Runde zur Verfügung?

800m-Zeit insgesamt: 2 t 1.Runde: t – 10 sec

2.Runde: t + 10 sec

Mathematische Beschreibung: Arithmetisches Mittel a b2



2. Ein Geldverleiher möchte einen durchschnittlichen Zinssatz von 8% pro Jahr erreichen. Er bietet einem Kunden an, im ersten Jahr nur 2% Zinsen zu zahlen, dafür im 2.Jahr dann 14%. Die Zinsen sollen zusammen mit der Rückzahlung des Kapitals am Ende des 2.Jahres fällig werden.

Problem:

1 1 1 6 6 481 0 0

2 ,

1 1 1 1 6 2 821 0 0

1 41 0 0 , 1 0 2 1 1 4 1 0 7 8 3, , ,

Mathematische Beschreibung: Geometrisches Mittela b



Beobachtung: Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel.

Fragen: Ist das immer so? Warum denn?

Beschreibungsebene der Mathematik:

Vermutung: a b2 a b> a,b pos. reell

Begründung durch eine geometrische Interpretation:

a b

a b2

a b



a b2

a ba b

a ba b

2

Erweiterung: Gibt es einen algebraischen Zusammenhang zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel ?

a b2

• X = ( ( )²a bDer Kathetensatz ermöglicht eine Verknüpfung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel X

ab

a b

2



Arithmetisches Mittel

Geometrisches Mittel

3. Für einen Besuch bei Freunden wurde für die Autofahrt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h eingeplant.

Leider gab es einen Stau, so dass die erste Hälfte der Strecke nur mit einem „Schnitt“ von 50km/h absolviert wurde.

Wie schnell hätte auf der zweiten Hälfte gefahren werden müssen, um trotzdem wie vorgesehen am Ziel einzutreffen?

a b2

a b



Für die Zeit gilt bei konstanter Geschwindigkeit :

Fahrzeit 1. Hälfte + Fahrzeit 2.Hälfte = Gesamtzeit

ts

v

s s

v

s2 2

5 0 1 0 0

s s

v

s

1 0 0 2 1 0 0

Interpretation: Die für den Gesamtweg geplante Zeit ist bereits nach der 1.Weghälfte abgelaufen!

t t t gesam t1 2



Was ist das für ein „Mittelwert“?

Für die Geschwindigkeit gilt: vs

t

Dann gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die beiden Weghälften:

vs

t t

1 2

Und mit ts

v

Vereinfacht ergibt sich:

vs

v v

s s2

1

2

2

v

v v

21 1

1 2

Harmonisches Mittel



Fragen: Wo liegt das harmonische Mittel im Vergleich zu den beiden anderen Mittelwerten?

Termumformung von zu vv v

v v

v v

v v

2 2

2 1

1 2

1 2

1 2

a b

a b2 a b

21 1a b

v

v v

21 1

1 2

Beschreibungsebene der Mathematik:

Lernziele – ein Beispiel: Mittelwerte im Mathematikunterricht


Weitere Mittelwerte:

Quadratisches Mittel und Kubisches Mittel

mit Anwendungen:

- Standardabweichung - Wann ist ein Weinbecher halb voll?

*Weiterung:

Konstruierbarkeit der Winkeldreiteilung

a b2 2

2

a b3 3

3

2

- Mittelwerte im Mathematikunterricht


Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik

verstanden,

behalten und

angewendet werden können?

Lernziele – Folgerungen für den Lehrplan?

Funktion von Mathematik zur Aufklärung struktureller Unterschiede in realitätsbezogenen Situationen erkennen

Der Begriff Mittelwert besitzt verschiedene Ausprägungen

Beispielkontexte und Visualisierungen als Merkhilfen

Mittelwerte als mathematische Modelle begreifen und in verschiedenen Kontexten wiedererkennen und nutzen


Folgerungen für Lehrplan, Standards und Schulcurriculum?

Lernziele – Folgerungen?

Einige Defizite von Stoffplänen können überwunden werden durch schulspezifische Akzentuierungen, insbesondere:

- Ausweisen von Themenfeldern mit einem Realitätsbezug, um Vernetzungen zu ermöglichen, Strategien zur Wissensentwicklung kennen zu lernen und die Kraft von Mathematisierungen zu erfahren

Beispiele:

Mittelwerte, Fibonaccizahlen - Fünfeck, Kryptographie, Verpackungsoptimierung, Bezierkurven...


Vorwürfe an Mathematiklehrpläne von KÜHNEL:

Kühnel, J.: Neubau des Rechenunterrichts. Leipzig 1916

„1. Sie sind in ihrer Stoffülle undurchführbar, oder sie verführen...zu oberflächlicher Behandlung und veranlassen damit auch die Schüler zu Oberflächlichkeit.

2. Sie befördern die Methode des Stopfens, sie machen den Schüler satt und verleiden ihm Lernen und Schule.

3. Sie können viel zu wenig Rücksicht nehmen auf das jugendliche Verständnis und die jugendliche Entwicklung...

4. Sie bringen eine durch nichts zu rechtfertigende, aber in den meisten Fällen recht schädliche Verfrühung mit sich.

5. Ihr Durcharbeiten gibt in keiner Weise die Gewähr dafür, daß der betreffende Schüler nachher wirklich etwas leisten wird.“

Lehrpläne – verschiedene Perspektiven


Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte?

Themenfelder für vernetztes Lernen

Gliederung

Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können?

Handlungskompetenzen spezifizieren

Moderne Methoden basierend auf erprobten Lehr- und Lernkonzepten


Methodische Umsetzung – am Beispiel Problemlösen

Lernziel und Lernchance im MU:

Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen)

Weg zur Umsetzung:

1. Zielkonkretisierung über Teilhandlungen des Problemlösens

2. Theoretisches Konzept zum Problemlösenlernen entwickeln und erproben (DFG-Projekt)

3. Unterrichtskonzept zum Problemlösenlernen in die Aus- und Fortbildung und in Lernmedien integrieren:

Begründeter Methodeneinsatz


Die Lernenden

- erkennen mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen und können solche Fragestellungen formulieren

• Stadtrundgang mit der Mathematikbrille...

• Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- wo wird dabei Mathematik benötigt?

• Wo und wie benötigt man im Alltag Strukturieren, Kombinieren, Optimieren, Entscheidungen begründen, Verallgemeinern, Interpretieren...

Teilhandlungen des Problemlösens


- kennen mathematische Modelle bzw. geeigneteVorgehensweisen zur (kreativen) Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situationsgerecht anwenden

Funktionen, Gleichungen,

Visualisierungen ( geometrische Figuren und Beziehungen ),

zentrale mathematische Ideen (Approximieren- Optimieren, Algorithmieren...) und

heuristische Strategien...

Die Lernenden

- können mathematische Fragen finden und formulieren



- entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln

- Strategien für selbstreguliertes Lernen (insbesondere Willensstrategien) vermitteln

- Erfolgserlebnisse ermöglichen

- Binnendifferenzierung

- Anlässe für eigenverantwortliches Lernen

Die Lernenden- können mathematische Fragen finden und formulieren

- kennen mathematische Modelle und können Vorgehensweisen anwenden



• besondere Leistungen in Mathematik finden weniger Anerkennung als in anderen Bereichen, begünstigen u.U. eine Außenseiterrolle

Probleme leistungsstarker Schüler/innen im MU – Probleme von Begabtenerkennung und -förderung

• geringe Akzeptanz alternativer Lösungsideen im MU führt zur Resignation – Talente können verkümmern, Verhaltensauffälligkeiten sind eine mögliche Folge

• Unterforderung im Mathematikunterricht hemmt die Leistungsbereitschaft

Lernziel Problemlösen


Mathematik verstehen, behalten und anwenden lernen – aber wie?

Wesentliche Bedingungen für das Entstehen von Lernhandlungen:

• Lernaufgaben

Handlungsaufforderungen: WAS? WARUM das?

• Orientierungsgrundlagen für die erforderlichen Handlungen

WIE kann ich vorgehen?

Lernziel Problemlösen – Lehr- und Lernkonzepte


Verstehen – behalten – anwenden können erfordert: Zielklarheit: Vergewissern, ob die „gestellten“

Lernziele mit den individuellen Lernaufgaben übereinstimmen

Ausgangsniveau: Vergewissern, ob die Lernenden eine realistische Chance haben, die Lernaufgabe zu bewältigen

Lernziele – Lernaufgaben


TIMSS-Videostudie - Muster des deutschen MU

1. Einführung:

Besprechung der Hausaufgabe.

2. Wiederholung:

kurze Wiederholungsphase bei zügigem Interaktionstempo

3. Erarbeitung: neuer mathematischer Stoff wird im fragend-

entwickelnden Unterrichtsgespräch auf eine einzige Lösung hin relativ kurzschrittig erarbeitet

4. Übung in Stillarbeit ähnliche Aufgaben zur Einübung des Verfahrens

5. Hausaufgaben

Unterrichtsrealität


• Zu wenig kreativitätsfördernde Anforderungen

• Es genügt nicht, die Lernenden mit geeigneten Aufgaben nur zu konfrontieren und darauf zu hoffen, dass diese dann auch gelöst werden (können)!

Flexibles Arbeiten mit Aufgaben:

Aufgaben abwandeln, erweitern, auswählen, finden, gruppieren, vergleichen, werten...

Heuristische Bildung und Selbstregulation

• Kurzschrittig geführtes unreflektiertes Lernen behindert die Anwendungsfähigkeit und Verfügbarkeit des Wissens

Lernumgebungen für nachhaltiges Lernen: Themenfelder

Unterrichtsrealität und Folgerungen:


Verschiedene Lernziele – verschiedene Lehr-Lernmethoden


Verstehen, Behalten und Anwenden können – Verstehen, Behalten und Anwenden können – moderne und altbekannte Unterrichtsmethodenmoderne und altbekannte Unterrichtsmethoden

modulare Arbeitsplanung – semantische NetzeAufgabenkonzept für eine Unterrichtseinheitpermanente Wiederholung (Kopfübung,

Mathematikführerschein, Wissensspeicher anlegen)

Methodentraining (Heuristik) und

Methodenreflexion (Lernprotokolle)Teilhandlungen ausbilden

Handlungsorientierungen – aber wie?


Was unterscheidet den MU in testerfolgreichen, kulturell vergleichbaren Ländern von weniger erfolgreichen?

IMST-Studie, Klagenfurt 1999

• tiefgreifende Veränderungen in der Unterrichtskultur in den letzten Jahrzehnten (selbst. Lernen, Realitätsnähe)

• gut funktionierende Unterstützung für die Schulpraxis

• Autonomie, Verantwortung und Ansehen der Lehrkräfte auf relativ hohem Niveau gehalten

• enge Zusammenarbeit zwischen universitären Institutionen und Schulpraxis

• Initiativen in der Lehreraus- und Fortbildung

• staatliche Investitionen in fachdidaktische Forschung und Entwicklung

Unterrichtsrealität und Vergleichsstudien


Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

www.math-learning.com

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Mathematik verstehen, behalten und anwenden – Konsequenzen für Lerninhalte und Lernmethoden