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1 Mathematische Grundlagen der Vermessung Mathematische Grundlagen der Vermessung Univ.-Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch Universität Siegen http://www.uni-siegen.de/dept/fb10/verm Stand: 2008-03 Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung

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SchulungUniv.-Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch Universität Siegen
http://www.uni-siegen.de/dept/fb10/verm Stand: 2008-03
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MathematikMathematik
Differentielgeometrie Topologie
Taschenrechner Geodreieck
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- Länge/Fläche/Volumen - Konstanten - Ebener Winkel: Grad, Gon, Bogenmaß - Drehsinn von Koordinatensystemen - Koordinatensystem: mathematisch und geodätisch - Ebener Winkel: Umrechnung
Planimetrie = ebene Geometrie (griechisch: Flächenmessung) Figuren in einer Ebene wie Kreis, Dreieck, Vieleck, Kegelschnitte
- beliebige und rechtwinklige Dreiecke - Lehrsätze - Darstellung der Lehrsätze - abgeleitete Größen - Flächenberechnungen im allg. Dreieck
Trigonometrie (griechisch: Dreiecksmessung) Berechnung von Seiten, Winkel und Flächen von Dreiecken aus 3 bekannten Größen über trigonometrische Winkelfunktionen
Grundlage: rechtwinklige Dreiecke, in die alle ebenen Dreiecke zerlegt werden können.
- Rechtwinkliges Dreieck - Winkelfunktionen - Goniometrische Gleichungen - Dreieckstypen - schiefwinkliges Dreieck
Vektorrechnung
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Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
Seneca-Zitat: vor ca. 2000 Jahren (Lucius Annäus Seneca, römischer Philosoph, Berater v. Nero)
“ Lange ist der Weg durch Lehren ... und wirksam durch Beispiele ”
... und wozu dies alles?
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LiteraturLiteratur
Kahmen, Heribert: Vermessungskunde. De Gruyter Lehrbuch, 19. Auflage, Berlin, 1997.
Torge, Wolfgang: Geodäsie. De Gruyter Lehrbuch, 2. Auflage, Berlin, 2003. (1. Auflage 1975)
Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, (1979). (uralt ... heute aktuellere Auflage!)
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MaßeinheitenMaßeinheiten
Länge m 1 km = 1000 m 1 dm = 0,1 m = 10 cm 1 cm = 0,01 m 1 mm = 0,001 m
Fläche m2 1 km2 = 1000 m * 1000 m = 106 m2
1 ha = 100 m * 100 m = 104 m2
1 a = 10 m * 10 m = 102 m2
Volumen m3 1 Kubikmeter = 1m3 = 106 cm3
1 Liter = 1 l = 1 dm3
1 gallon (brit) = 1 gal = 4,546 dm3
1 gallon (usa) = 1 gal = 3,786 dm3
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π = 3,14159265359 ...
200 gon / π = 63,66197724 ... gon (früher ρ − rho in Gon) 180 o / π = 57,29577951 ... o (früher ρ − rho in Grad)
Lichtgeschwindigkeit: cV = 299 792 458 m/s im Vakuum
also ca: 300 000 km/s
1 Seemeile = 1852 m 1 mile = 1 mi = 1609,344 m 1 yard = 1 yd = 3 ft = 0,9144 m 1 foot = 1 ft = 12 in = 0,3048 m 1 inch = Zoll “ oder in = 0,0254 m
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1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r2 > r1) α = r2 - r1
– Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 4 * 90o = 360o
1o = 60’ ; 1’ = 60 “
– Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 4*100 gon=400 gon 1 gon = 100c ; 1c = 100cc ; 1 gon = 1000 mgon
– Bogenmaß dimensionslos * unabhängig von Kreisradius r * nur! abhängig von Größe des Winkels α
b/r = const = Arc α = Bogenmaß von α
Der Radiant ist derjenige Winkel, für den das Längenverhältnis Kreisbogen b zu Radius r den Zahlenwert 1 hat!
Einheitenzeichen: rad (SI-Einheit)
Richtung r1 zu P1
Richtung r2 zu P2
S α b r
b = r arcα
b/r = 1 rad Winkel rad[gon]: 1 rad=200gon/π Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung
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Richtung r1 zu P1
Richtung r2 zu P2
S α b r
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1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r2 > r1) α = r2 - r1
– Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung:
123, 4561 gon = 123 gon +
456,1 mgon = 123 gon +
x y
“links herum”
Uhr 12
“entgegen Uhrzeigersinn”
Daumen
12
90o
180o
x
α 90o
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Maßeinheiten Koordinatensysteme Maßeinheiten Koordinatensysteme
Mathematisches System Geodätisches System x dreht über den kürzeren Winkel zu y ... x dreht über den kürzeren Winkel zu y ...
entgegen dem Uhrzeigersinn „linksrum“
Entspricht: „Schraube rausdrehen“ dh. z-Achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik)
Konventionelle Systembezeichnung: Rechtssystem
Entspricht: „Schraube eindrehen“ dh. z-Achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik)
Systematische Systembezeichnung: Rechtssystem
Systematische Systembezeichnung: Linkssystem
x y
x = Hochwert
y = Rechtswert
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mit U=2 πr folgt:
U / 400 gon = 2 πr / 400 gon = U / 360o = 2 πr / 360o =
b / α gon = b / α gon = b / α o b / α o
umgestellt nach b/r folgt:
b/r = const = Arc α = π / 200 gon * α gon = π / 180o * α o
speziell für r=1: Bogenmaß arc α = Länge des Kreisbogenstückes b! für beliebigen Radius gilt: arc α = b1/r1 = b2/r2 = ...
1 Vollwinkel = 360 o ... entsprechen 400 gon ... entsprechen 2 π (in Einheit rad)
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PlanimetriePlanimetrie
Beliebiges Dreieck Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180o = 200 gon: α + β + γ = 180o = 200 gon
Rechtwinkliges Dreieck: γ = 90o α β
γ
A
C
.
Katheten: a,b ... schließen den rechten Winkel ein Hypotenuse: c ... liegt dem rechten Winkel gegenüber Hypotenusenabschnitte: p,q ... Projektion der Katheten auf Hyp. Höhe: h
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Kathetensatz (Euklid): b2 = p * c und a2 = q * c
Höhensatz (Euklid): h2 = p * q
1. und 2. Binomische Formel: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
4
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Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
1. und 2. Binomische Formel: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
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Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
Beweis mit 1. Binomischer Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 =
aus Zeichnung ...
5
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Hypotenusenabschnitte: p = (b2 - a2 + c2)/(2c) q = (c2 - b2 + a2)/(2c)
Kontrolle: p + q = c
Höhe: h = (b2 - p2)1/2
20
a
c
21
Höhenformel:
F= ( a * ha)/2 mit ha Höhe mit Fußpunkt auf Seite a
F= ( b * hb)/2 mit hb Höhe mit Fußpunkt auf Seite b
F= ( c * hc)/2 mit hc Höhe mit Fußpunkt auf Seite c
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α A
.
Wird ein Strahlenbüschel (Strahl A-B-B’ und Strahl A-C-C’) durch eine Parallelenschar (Linie B-C und Linie B’-C’) geschnitten, so entstehen ähnliche Dreiecke.
C’
B’
a’
c’
b’
β
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Trigonometrie Ähnliche Dreiecke Trigonometrie Ähnliche Dreiecke
2 Figuren sind ähnlich, wenn sie in der Form ihrer Fläche übereinstimmen!
2 Winkel
Übereinstimmung im Verhältnis zweier Seiten u. Gegenwinkel der größeren Seite.
Übereinstimmung im Verhältnis der drei Seiten.
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G egenka thete
Ankathete
In diesen Dreiecken ist das Verhältnis der Seiten zueinander gleich, nur von α (Winkel im Schnittpunkt des Strahlenbüschels) abhängig! und unabhängig vom Dreieck!
a/b = a’/b’= ... = Gegenkathete/Hypotenuse c/b = c’/b’= ... = Ankathete/Hypotenuse a/c = a’/c’= ... = Gegenkathete/Ankathete
für α:
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Definition: Für 0 < α < 90o
sin α := a/b = Gegenkathete/Hypotenuse cos α := c/b = Ankathete/Hypotenuse tan α := a/c = Gegenkathete/Ankathete = sin α / cos α cot α := 1/ tan α = c/a = Ankathete/Gegenkathete
Funktionswerte: α o gon sin α Merke! cos α
0 0 0 0 1/2 √0 1 π/6 30o 200/6 1/2 1/2 √1 1/2 √3 π/4 45o 50 1/2 √2 1/2 √2 1/2 √2 π/3 60o 200/3 1/2 √3 1/2 √3 1/2 π/2 90o 100 1 1/2 √4 0
Periode: sin u. cos: Funktionsbild wiederholt sich nach 2π/ 360o / 400 gon sin (x+2π ) = sin x und cos (x+2π ) = cos x
tan u. cot: Funktionsbild wiederholt sich nach π/ 180o / 200 gon
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Trigonometrie Goniometrische Gleichungen (Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)
Trigonometrie Goniometrische Gleichungen (Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)
Trigonometrischer Pythagoras: sin2 α + cos2 α = 1
Additionstheoreme: sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β
tan (α+β) = (tan α + tan β)/(1− tan α tan β ) tan (α−β) = (tan α − tan β)/(1+ tan α tan β )
α A
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hieraus folgt:
sin 2α = 2 sin α cos α doppeltes Argument sin α = 2 sin α/2 cos α/2
cos 2α = 1 − 2 sin2 α doppeltes Argument = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1
tan 2α = 2 tan α / (1− tan2 α) doppeltes Argument
(analog: Formeln für halbes Argument und n-faches Argument)
sin α + sin β = 2 sin (α+β)/2 cos (α−β)/2 sin α − sin β = 2 cos (α+β)/2 sin (α−β)/2 cos α + cos β = 2 cos (α+β)/2 cos (α−β)/2 cos α − cos β = 2 sin (α+β)/2 sin (α−β)/2
α A
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29
αA
C
B
b
c
a
β
γ Sinussatz: a/b = sin α / sin β a/c = sin α / sin γ b/c = sin β / sin γ
Cosinussatz: a2 = b2 + c2 - 2bc cos α b2 = a2 + c2 - 2ac cos β c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ
bzw.
cos α = (b2 + c2 - a2 )/(2bc) cos β = (a2 + c2 - b2 )/(2ac) cos γ = (a2 + b2 - c2 )/(2ab)
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αA
C
B
b
c
a
β
γ
Projektionssatz: Berechnung einer Dreiecksseite (z.B. c), wenn die beiden anderen Dreiecksseiten (z.B. a und b) und ihre Gegenwinkel (z.B. α und β) gegeben sind.
a = b cos γ + c cos β b = a cos γ + c cos α c = a cos β + b cos α
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Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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Vektoren allgemein
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Ortsvektor eines Punktes in der Ebene, aufgespannt durch die Einheitsvektoren e1, e2
- Einheitsvektoren e1, e2
e1
e2
e1
e2
v1
v2
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Ortsvektor eines Punktes im Raum, aufgespannt durch die Einheitsvektoren e1, e2 , e3
- Einheitsvektoren e1, e2 , e3
e1
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Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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Linearkombination: Addition von Vektoren in der Ebene
- a = a1 · e1 + a2 · e2
- b = b1 · e1 + b2 · e2
- a+b = [a1+b1 a2+b2] e1 e2
e1
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Linearkombination: Zahlenbeispiel für Addition von Vektoren in der Ebene
- a = 1 · e1 + 0 · e2
- b = 0 · e1 + 1 · e2
- a+b = [1 1] e1 e2
e1
e2
a
b
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Linearkombination: Subtraktion von Vektoren in der Ebene
- a = a1 · e1 + a2 · e2
- b = b1 · e1 + b2 · e2
- a-b = [a1-b1 a2-b2] e1 e2
e1
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Linearkombination: Zahlenbeispiel für Subtraktion von Vektoren in der Ebene
- a = 2 · e1 + 1 · e2
- b = 1 · e1 + 1 · e2
- a-b = [1 0] e1 e2
e1
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Linearkombination: Addition und Subtraktion von Vektoren im Raum analog
- a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3
- b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3
- a+b = [a1+b1 a2+b2 a3+b3] e1 e2 e3
- a-b = [a1-b1 a2-b2 a3-b3] e1 e2 e3
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Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt - a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3
- a * b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = |a| |b| cos α
mit α= eingeschlossener Winkel von a und b!
|v| … Betrag (Länge) des Vektors a
Interpretation: = 0 : Vektoren stehen senkrecht!
Verwendung zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zweier Vektoren!
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Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektorprodukt - a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3
- a × b = (a2b3 - a3b2) · e1 + (a3b1 - a1b3) · e2 + (a1b2 - a2b1) · e3
mit ^ oder × für Kennzeichnung der Operation „Kreuzprodukt“
Interpretation: Das Vektorprodukt zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von a und b aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten a und b .
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Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Spatprodukt - a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3 - c = c1 · e1 + c2 · e2 + c3 · e3
V = c · (a × b)
Interpretation: Skalarprodukt eines Vektors mit dem Vektorprodukt zweier anderer Vektoren Wir erhalten einen Skalar, der auch Spatprodukt genannt wird. Der resultierende Skalar ergibt das Volumen des von den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds.
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Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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1. Die Aufgabe
1
3
2
Kiste2
Bestimme die Länge der Basis (rot) und ihre Komponenten in einem Koordinatensystem, welches durch die Lage von Kiste1 definiert ist!
Weder das Zentrum von Kiste1 noch das von Kiste2 sind direkt zugänglich. Das Koordinatensystem ist in Kiste1 gelagert. Die Lösung soll für jede beliebige Lagerung von Kiste1 Gültigkeit besitzen.
Für die Lösung verwendet werden sollen Beobachtungen mit einer Totalstation und elementare Vektorrechnung.
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2. Lösungskonzept
Kiste1 1
2 5
• Definition eines „übergeordneten“ Bezugssystems, von dem aus sowohl Kiste1 als auch Kiste2 sichtbar sind
:= Instrumentensystem
• Bestimmung der Koordinaten der Kiste1 und der Kiste2 mit einer Totalstation und geeigneten Reflektoren im Instrumentensystem
• Berechnung des Basisvektors im Instrumentensystem
• Transformation des Basisvektors in das System von Kiste1.
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3. Instrumentensystem
Kiste1 1
2 5
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4. Messpunkte Kiste2
Aufriss: z
52
5. Kiste1
Kiste1 1
2 5
1
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6. Kiste1 Systemorientierung
zugänglich! Kiste1
1 2
1
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7. Kiste1-Messpunkte
Kiste1 1
Definition durch Koordinaten der Messpunkte in diesem System.
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1
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8. Klassifikation der Bestimmungsgrößen
• Messgrößen (Koordinaten aus Messung mit Totalstation) Koordinaten von im Instrumentensystem
Forderung: • Systemspezifische Komponenten • Messgrößen werden als Input angeboten
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9. Beurteilung der Bestimmungsgrößen
• Instabile Definition des Systems!!
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10. Komposition der definierten Elemente: Berechnung des Basisvektors im Instrumentensystem
Kiste1 1 2
Konstruierter Normalenvektor der Oberfläche von Kiste1
Ortsvektor des Diagonalenschnittpunkts der Messpunkte auf Kiste2
Konstruierter Normalenvektor der Fläche der Messpunkte auf Kiste1
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11. Transformation des Basisvektors vom Instrumentensystem in das System von Kiste1
Kiste1 1
• Messgrößen (Koordinaten aus Messung mit Totalstation) Koordinaten von im Instrumentensystem
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12. Kontrollkriterien
Kiste1 1
• Basisidentität bei simulierten (fehlerfreien) Messpunkten und hieraus vorgegebenen Koordinaten im Instrumentensystem (Demodaten)
• Genauigkeitsaussage bei realen (fehlerbehafteten) Messpunkten und hieraus ermittelten Koordinaten im Instrumentensystem
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Mathematische Grundlagen der Vermessung
Anwendungen
Literatur
Maßeinheiten
MaßeinheitenKonstanten
TrigonometrieDreieckstypen
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 1.Die Aufgabe
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 2.Lösungskonzept
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 3.Instrumentensystem
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 4. Messpunkte Kiste2
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 5.Kiste1
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 6. Kiste1 Systemorientierung
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 7. Kiste1-Messpunkte
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 8. Klassifikation der Bestimmungsgröße
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 9. Beurteilung der Bestimmungsgrößen
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 10. Komposition der definierten Element
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 11. Transformation des Basisvektors vom
Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 12. Kontrollkriterien