Universitat RostockInstitut fur Mathematik

Prof. Dr. G. MayerDr. K.–Th. Heß

Musterklausur Numerische Mathematikund Stochastik fur Ingenieure

Numerikteil

Bearbeitungszeit fur Numerik– und Stochastikteil zusammen: 120 Minuten

Aufgabe 1

Berechnen Sie mit dem Gaußschen Algorithmus unter Verwendung von Spaltenpivotsuche undexpliziter Zeilenvertauschung die Losung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit

A =

0 4 −41 3 12 2 −2

und b =

4100

.

Aufgabe 2

Bestimmen Sie zur Funktion f mit f(x) = 4 sin(π

6x), x ∈ R, das Interpolationspolynom p

hochstens vierten Grades zu den Stutzstellen −3,−1, 0, 1, 3 in der Newtonschen Darstellung.

Aufgabe 3

Mit Sn werde der Wert der summierten Simpson–Regel fur das Integral I =∫ 10 f(x) dx, f(x) =

xe−x, bei Unterteilung des Integrationsintervalls in n gleich lange Teilintervalle bezeichnet.(Auf jedes der n Teilintervalle wird also die einfache Simpson–Regel angewandt.)

a) Berechnen Sie S3.

b) Wie groß muss man n wahlen, um |Sn − I| = |RSn(f)| ≤ 10−8 garantieren zu konnen,wenn bekannt ist, dass im Integrationsintervall die Abschatzung |f (4)(x)| ≤ 4 gilt.

Aufgabe 4

Die Funktion f mit y = f(x) = −|x| , x ∈ R, soll auf dem Intervall [−1, 1] durch einenkubischen Spline s approximiert werden. Berechnen Sie s(x), wenn die Stutzstellen x0 = −1,x1 = 0 und x2 = 1 lauten und s den naturlichen Randbedingungen s′′(−1) = s′′(1) = 0genugt.

Aufgabe 5

Gegeben sind die Matrizen

A =

1 0 12 3 22 6 11

, Q =1

3

1 −2 22 −1 −22 2 1

, R = 3

1 2 30 1 20 0 1

.

1

a) Zeigen Sie durch Nachrechnen, dass Q eine orthogonale Matrix ist und dass die Darstel-lung A = Q ·R gilt.

b) Fuhren Sie fur die Matrix A1 = A einen Schritt des QR–Verfahrens durch. (Nur Berech-nung der neuen Matrix A2, nicht deren QR–Zerlegung!)

Aufgabe 6

Berechnen Sie mit dem expliziten Euler–Verfahren bei konstanter Schrittweite h = 1/2 eineNaherung an der Stelle x = 3 fur die Losung y des Anfangswertproblems

y′ =y

x2, y(1) = 2.

Viel Erfolg!

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