Niedersachsen - nibis.de · für Schulentwicklung und Bildung (NLI) Keßlerstraße 52, 31134 Hildesheim Schriftleitung der Reihe „nli-Beiträge“ Geometrie Dr. Friedrich Winterhager

Herausgeber Niederschsisches Landesinstitut fr Schulentwicklung und Bildung (NLI) Kelerstrae 52, 31134 Hildesheim

Schriftleitung der Reihe nli-Beitrge Dr. Friedrich Winterhager Redaktion beim NLI Dr. Peter Gaschler

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Hildesheim, November 2003

Niederschsisches Landesinstitut fr Schulentwicklung und Bildung (NLI)

Unterrichtsbeispiele zur Geometrie und Algebra in den Schuljahrgngen 7-10 des Gymnasiums Hans Kramer Hans-Dieter Stenten-Langenbach (Redaktion)

nli-Beitrge 76

Niedersachsen G

Inhalt

Seite

1 Einleitung 5 2 Winkel in Ebene und Raum 9 2.1 Rahmenrichtlinien - Baustein Winkel in Ebene und Raum 9 2.2 Parkettierung - von den Kongruenzabbildungen zum Winkelsummensatz 10 2.3 Winkel in Ebene und Raum - Kantenmodelle und Schrgbilder 29 3 Kreisgleichungen und Kreisfunktionen 52 3.1 Rahmenrichtlinien - Baustein Kreisgleichungen und Kreisfunktionen 52 3.2 Unterrichtseinheit Kreisgleichungen und Kreisfunktionen 53 3.2.1 Ein periodischer Vorgang und seine funktionale Erfassung 54 3.2.2 Datenerhebung und Auswertung bei periodischen Prozessen 63 3.2.3 Einfhrung der Sinus- und Kosinusfunktion 76 3.2.4 Parameteranpassung bei Sinus- und Kosinusfunktionen 85 3.2.5 Klassenarbeitsaufgaben 87 4 Literatur 90 Anhang Teilnehmerinnen und Teilnehmer an der Arbeitstagung Geometrie/Algebra

(Juni 2002 in Melle) 91

1 Einleitung

Im August 2003 wurden die neuen Rahmenrichtlinien fr den Mathematikunterricht am Gymnasium,

Klasse 7 - 10 aufsteigend fr die Klassen 7 und 9 in Kraft gesetzt. Mit den neuen Richtlinien sollten

auch neue Intentionen von Unterricht transportiert werden, die sich aus der Unterrichtsforschung der

letzten 20 Jahre ableiten lassen. Um diese Intentionen deutlich zu machen, wurde im Frhsommer

2003 ein umfangreicher Materialienband mit vielen Anregungen zur Umsetzung der Bausteine der

Stochastik verffentlicht. Er basiert auf den Ergebnissen einer Arbeitstagung, die im Februar 2002 in

Loccum stattfand.

Diese Materialiensammlung ist als erster Teil einer Art Handreichung zu den neuen Rahmenrichtlinien

zu verstehen. Im Juni 2002 wurden auf einer zweiten Arbeitstagung in Melle zwei Bausteine der Geo-

metrie und Algebra auf die Ebene des realen Unterrichts bertragen. Hierbei wurde exemplarisch fr

jeweils einen Baustein aufgezeigt, wie man die dort benannten Inhalte und Methoden in Unterricht

einbetten kann. Damit ist der zweite Teil der Materialiensammlung fr die neuen Rahmenrichtlinien

entstanden. Im November 2003 werden dieser Tradition folgend auf einer Tagung des NLI weitere

Bausteine fr den Unterricht aufbereitet.

Seit ber 10 Jahren existiert im Angesicht des Einzugs von grafischen und algebraischen Rechnersys-

temen in Schule und Unterricht die von Wilfried Herget aufgeworfene Frage: Wie viele Termumfor-

mungen braucht der Mensch?. Die Antwort ist immer noch nicht gefunden, sichere Erkenntnis ist heu-

te aber, dass jede Schlerin und jeder Schler auch im Bereich der Termumformungen basale Fertig-

keiten und Fhigkeiten bentigt, um bei komplexeren Termen Strukturen zur Problemlsung erkennen

zu knnen. Der Rechner mit seinen grafischen und algebraischen Mglichkeiten kann zwar grafische

Darstellungen und algebraische Umformungen trivialisieren, allerdings nicht den damit zusammen-

hngenden Erkenntnisprozess. Um diesen Erkenntnisprozess zu strken, knnen aber grafische und

algebraische Systeme mithelfen. Sie erlauben durch einen schnellen Wechsel der Betrachtungsebe-

ne, geometrische und algebraische Aspekte viel besser zu verknpfen. Darber hinaus kann im Be-

reich der Funktionenlehre zwischen den Darstellungsebenen Term-Tabelle-Graph jederzeit beliebig

gewechselt werden. Die rein symbolische Untersuchung steht damit nicht mehr allein im Zentrum der

Betrachtung. Durch die Mglichkeiten der in den Rahmenrichtlinien als Standardwerkzeug definierten

Graphikrechner sind reale Situationen heute auch ohne bertriebenen Aufwand sinnvoll in Unterricht

integrierbar. Gerade im Feld der periodischen Prozesse bieten sich mit derartigen Werkzeugen die

Modellierung und Analyse von realen Prozessen an.

Der Baustein Kreisgleichungen und Kreisfunktionen gehrt unbestritten zum Standard des Mathema-

tikcurriculums des Sekundarbereichs I. Er wird berwiegend an der Nahtstelle zwischen Sek. I und

Sek. II angesiedelt, da die zugrunde liegenden Untersuchungsmethoden sich beiden Stufen zuordnen

5

lassen. In dem ausgewhlten Baustein werden darber hinaus Vernetzungen von Geometrie und Al-

gebra deutlich: Der Kreis, den Lernenden bisher nur als geometrisches Objekt bekannt, soll mit Hilfe

von Gleichungen in Koordinaten- und Parameterform beschrieben werden. Dabei muss deutlich wer-

den, wie geometrische Objekte algebraisch erfasst werden knnen. Die Betrachtung der zeitlichen

Vernderung der Koordinaten x(t) und y(t) eines Punktes auf der Kreislinie fhrt auf die Kosinus- bzw.

Sinusfunktion und deren Eigenschaften. Periodische Vorgnge sollen durch trigonometrische Funktio-

nen beschrieben werden.

Die Intentionen dieses Bausteins machen deutlich, dass nicht nur Inhalte, sondern insbesondere auch

mathematische Untersuchungsmethoden im Zentrum des Unterrichtes stehen sollen. Experimentellen

Zugngen wird genauso der Weg geffnet wie der Auswertung von Daten oder der gebundenen An-

weisung zur Funktionsuntersuchung. In dem Baustein sollen die Schlerinnen und Schler verschie-

dene Darstellungsformen eines Kreises kennen lernen. Die Betrachtung der Kreislinie als Punktmenge

ergibt die Gleichung x2+y2 = r2. Die Beschreibung der Bewegung eines Punktes P(x|y) auf dem Kreis

fhrt auf die Parameterdarstellung [x(t)=rcos(t); y(t)=rsin(t)]. Die Variation der Lage des Kreises, des

Anfangspunktes und der Durchlaufgeschwindigkeit einer Kreisbewegung spiegelt sich in der Funktion

mit der Gleichung y=asin(cx+d)+b in einer Vernderung der Parameter wider, die Anzahl der Wie-

derholungen in der Definitionsmenge. Aus dem Graphen der Sinusfunktion ergibt sich unmittelbar die

Eigenschaft der Periodizitt, die von der Kreisbewegung herrhrt. Mit technischen Hilfsmitteln knnen

die Schlerinnen und Schler den Einfluss aller Parameter auf Lage und Form der Graphen mit der

Gleichung y = asin(cx+d)+b experimentell erkunden.

Die hier vorgestellten Materialien bercksichtigen diese Aspekte des Bausteins und stellen einen mg-

lichen Unterrichtsgang explizit vor.

Schon 1996 wurde die Frage gestellt, ob sich infolge der Verfgbarkeit informatorischer Systeme un-

ser Verstndnis von und unsere Einsicht in Geometrie verndert. Nach Holland1 kann man die Geo-

metrie auffassen als

Lehre vom Anschauungsraum

Beispiel einer deduktiven Theorie

bungsfeld fr Problemlsen

Vorrat mathematischer Strukturen.

Diese Intention von Geometrie wird darber hinaus noch verknpft mit zwei total gegenstzlichen Auf-

fassungen von Unterrichtsformen, dem lernzielorientierten, durch operationalisierte Lernziele geprg-

ten Unterricht und dem problemorientierten, entdeckenden Unterricht. Beide Sichtweisen kann man

durch folgende Zitate charakterisieren:

1 Holland, Gerhard: Geometrie in der Sekundarstufe - Didaktische und methodische Fragen. Spektrum Verlag, Heidelberg 1966,

S. 7.

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Wer nicht wei, wohin er will, braucht sich nicht zu wundern,

wenn er ganz woanders ankommt.

(Robert Mager, 1965)

Ein Mann kommt am weitesten, wenn er nicht wei, wohin er geht.

(Oliver Cromwell, 1599 - 1658)

Diese beiden Zitate verdeutlichen berzeichnend den Unterschied zwischen lernzielorientiertem und

offenem Unterricht. Anzustreben ist aber eher ein Unterricht, der von den am Unterricht beteiligten

Personen gemeinsam inszeniert wird, also eine Mischung aus offenem Unterricht mit geplanten und

angestrebten Bildungszielen.

Der Leiter der Arbeitsgruppe Geometrie, Herr Dr. E. Beutler, hat in seiner Reflexion zur Arbeit folgen-

des zusammengefasst:

Nach den Intentionen der neuen Rahmenrichtlinien soll der Geometrieunterricht das Anschauungs-

vermgen entwickeln sowie das Alltagswissen von Figuren und Krpern verfeinern und systematisie-

ren. Entwicklung des Anschauungsvermgens und Begriffsbildung bedingen einander und werden

durch eigenttiges Problemlsen im Unterricht mageblich gefrdert. Dabei stehen nicht Begriffe

selbst im Zentrum, sondern Probleme, zu deren Bearbeitung Begriffe als Werkzeug geschaffen wer-

den.

Geometrieunterricht umfasst den Umgang mit ebenen und rumlichen Figuren und initiiert damit ein

Wechselspiel von konkreter Erfahrung und gedanklicher Aktivitt. Dies geschieht unter anderem beim

Messen, bei der Konstruktion mit Zeichengerten (...), bei der Herstellung von Krpern und beim Ein-

satz von Geometriesoftware (Rahmenrichtlinien 2003, Kp. 2.4).

Diesen Forderungen liegen im Vergleich zu den alten Rahmenrichtlinien keine wesentlich neuen Er-

kenntnisse zugrunde. Aber: sie befanden sich damals nur in der Prambel; es gab keine Hinweise

darauf, wie sie in den einzelnen Unterrichtseinheiten umgesetzt werden knnen. In den neuen Rah-

menrichtlinien wird versucht, den Empfehlungen fr den Mathematikunterricht an Gymnasien (Nieder-

schsisches Kultusministerium o. J.) hinsichtlich einer engeren Verknpfung von Inhalten und Metho-

den gerecht zu werden. In einzelnen Bausteinen stehen Hinweise dazu.

Um diese Hinweise noch konkreter und lebendiger werden zu lassen, haben sieben Kollegen den

Baustein 3.2.3 Winkel in Ebene und Raum feingearbeitet. Gerade weil er Altbekanntes beinhaltet,

kann man an diesem Baustein besonders gut darlegen, wie man diese Inhalte im Sinne der obigen In-

tentionen erarbeiten sollte. Herausgekommen sind zwei Unterrichtsvorschlge - Parkettierung - von

den Kongruenzabbildungen zum Winkelsummensatz sowie Winkel in Ebene und Raum - Kantenmo-

delle und Schrgbilder -, wobei durch Basteln und Untersuchung von Kantenmodellen ernst gemacht

wird mit der schon immer gestellten Forderung nach der Entwicklung und Frderung des rumlichen

Anschauungsvermgens. Ihre Zugnge knnten unterschiedlicher kaum sein: whrend der erstge-

7

nannte Beitrag auf massivem Softwareeinsatz basiert, ist der zweite stark handlungsorientiert. Beiden

Vorschlgen gemeinsam ist jedoch, dass man an ihnen insbesondere aufzeigen kann,

dass beim Lsen der jeweils zugrunde liegenden Probleme fortwhrend ein Wechselspiel zwi-

schen konkreter Erfahrung und gedanklicher Aktivitt stattfindet

wie dabei Begriffe und ihre Zusammenhnge als Werkzeuge geschaffen werden mssen und last

but not least

an welchen Stellen die fr die Geometrie so wichtigen heuristischen Strategien erworben und ge-

schult werden knnen.

In die Bearbeitung dieser beiden Bausteine wurden alte und neue Technologien nebeneinander inte-

grativ eingesetzt. So wird deutlich, dass sowohl traditionelle als aus neue Techniken ihren Platz in ei-

nem modernen Mathematikunterricht haben. Beide tragen dazu bei, dass zum Durchdringen der Pro-

blemfelder Mathematik als Prozess erfahren, verstanden und umgesetzt wird.

Der besondere Dank fr die Erstellung dieser Materialiensammlung gilt allen Multiplikatorinnen und

Multiplikatoren, die an der Arbeitstagung im Juni 2002 in Melle mitgewirkt haben. Sie haben mit gro-

em Engagement in der kurzen Zeit vor Ort und auch bei der anschlieenden berarbeitung der Ma-

terialien zu Hause in eindrucksvoller Weise die neuen Ideen und Schwerpunkte dieser Bausteine he-

rausgestellt.

Neben dieser gedruckten Fassung ist eine ausfhrlichere elektronische Version auf dem Niedersch-

sischen Bildungsserver abgelegt [http://nibis.ni.schule.de/nibis.phtml?menid=808].

Bckeburg, im Oktober 2003 Heiko Knechtel

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2 Winkel in Ebene und Raum

2.1 Rahmenrichtlinien - Baustein Winkel in Ebene und Raum

Bei der Bearbeitung konkreter Problemstellungen aus der ebenen und rumlichen Geometrie sollen

Erfahrungen ber den Einfluss von Winkelgren auf Gestalt und Existenz von Figuren und Krpern

gesammelt werden.

Winkelgren sind im Zusammenhang mit Streckenlngen geeignet, Punkte und Wege in der Ebene

zu beschreiben. Dabei treten Wechsel- und Stufenwinkel im Kontext von Peilaufgaben oder Parkettie-

rungsproblemen auf.

Fragen nach der Mglichkeit, Figuren und Krper zu konstruieren, sollen im Wechselspiel mit der Un-

tersuchung von Winkeln und Winkelsummen in Vielecken beantwortet werden. Dazu sollen Modelle

von Krpern (Pyramide, Oktaeder, Dodekaeder usw.) gebaut werden, wobei der Einfluss der Winkel

auf deren Gestalt besonders deutlich wird. Kantenmodelle haben den Vorteil, dass man in sie hinein-

sehen kann, dass sie informationsreiche Schattenbilder ergeben und dass sie die Zeichnung der

Schrgbilder erleichtern knnen. Darber hinaus wird das rumliche Anschauungsvermgen weiter

entwickelt, indem gedachte Krper beschrieben, gezeichnet und untersucht werden.

Auerdem sollen mithilfe von Winkelsummenstzen fr Vielecke nichtevidente geometrische Aussa-

gen aufgedeckt und begrndet werden, wie etwa Aussagen ber platonische Krper, Passung von

Parkettbausteinen oder mgliche Winkelkombinationen in Vielecken.

Inhalte und Verfahren Hinweise

Erfahrungen mit Winkeln in der Ebene (Orientie-rung oder Parkettierung)

Winkelpaare (Stufen-, Wechsel-, Scheitel- und Nebenwinkel)

Winkelsummensatz fr Innenwinkel in n-Ecken

Erfahrungen mit Winkeln im Raum bei der Her-stellung von Krpern (Kantenmodelle oder Netze)

Darstellung von Krpern durch Schrgbilder

VERNETZUNG Orientierung im Raum Triangulation Lngen, Flcheninhalte, Rauminhalte und deren Terme (3.2.6) Stabilitt durch Dreiecke

DIDAKTIK/METHODIK Geometrieprogramme, 3D-Computergrafik Festigen von Grundfertigkeiten im Konstruieren und Messen

ERWEITERUNG Polarkoordinaten propdeutisch Winkelsumme auf der Kugel platonische und archimedische Krper Eulerscher Polyedersatz

(aus: Niederschsisches Kultusministerium: Rahmenrichtlinien fr das Gymnasium, Schuljahrgnge 7-10, Mathematik. Hanno-ver 2003, Seite 20)

9

2.2 Parkettierung - von den Kongruenzabbildungen zum Winkelsummensatz

In dieser Unterrichtseinheit sollen unter dem Aspekt des entdeckenden Lernens zunchst vorgege-

bene Parkettierungen der Ebene (Fubodenmosaike, Bilder von Escher o. .) betrachtet und hin-

sichtlich ihrer Struktur analysiert werden.

Unter Einsatz von DGS und mit Hilfe der ihnen vertrauten Kongruenzabbildungen versuchen die

Schlerinnen und Schler sodann, Parkettierungen mit einfachen Grundfiguren (regelmigen und

unregelmigen Vielecken) selbst herzustellen. Dabei werden Winkelbeziehungen erkennbar, die

Motivation und Begrndung fr den Winkelsummensatz fr die Innenwinkel in n-Ecken liefern.

Anschlieend knnen die Schlerinnen und Schler mit komplexeren Grundfiguren experimentieren

und auf diese Weise die gewonnenen Erkenntnisse absichern, vertiefen bzw. auch erweitern.

Diese Unterrichtseinheit eignet sich in besonderer Weise als Verbindungsglied zwischen den Bau-

steinen 3.2.4 (Symmetrien ...) und 3.2.3 (Winkel in Ebene und Raum). Sie ermglicht und fordert

selbstttiges experimentelles Arbeiten, sie regt zu eigenstndigem Experimentieren an und leistet

einen Beitrag zur Entwicklung strukturellen Denkens.

Die nachfolgenden Ausfhrungen enthalten im Original diverse Links, die unter

[http://nibis.ni.schule.de/nibis.phtml?menid=808] heruntergeladen werden knnen.

Unterrichtsorganisation:

Partner-/Gruppenarbeit

Dauer der Unterrichtseinheit:

6 bis 8 Stunden

besondere Materialien/Technologie:

mindestens ein PC-Arbeitsplatz fr je zwei

Schlerinnen und Schler

DGS (z. B. DynaGeo, Cabri, Cinderella, Geo-

next)

notwendige Vorkenntnisse:

Baustein 3.2.4 (Symmetrie ...)

geometrische Abbildungen mit und ohne

DGS

Gliederung

2.2.1 Beschreibung der Unterrichtseinheit 11

2.2.2 Aufgaben 13

2.2.3 Arbeitsbltter 14

2.2.4 Literatur/Links 15

2.2.5 Kontakt 15

2.2.6 Anlagen 16

10

2.2.1 Beschreibung der Unterrichtseinheit

1. Stufe: Betrachtung von Parkettierungen (Anlage 1)

sthetische Wahrnehmungen

(Wieder-)Erkennen von Strukturen (Symmetrien/Kongruenzabbildungen)

Motivierung zur 2. Stufe: Wir versuchen das selbst einmal mit einfachen Figuren.

2. Stufe: Parkettierungen mit vorgegebenen Vielecken

Experimentierphase mit elektronischen Arbeitsblttern (DynaGeo) (Anlage 2 und 3)

In der elektronischen Fassung ergibt sich Anlage 3 aus der Anlage 2 durch Benutzung des Links

.

Die Schlerinnen und Schler versuchen mit Hilfe geeigneter Kongruenzabbildungen Parkettie-

rungen aus je einer der gegebenen Grundfiguren (regelmiges Drei-, Vier-, Fnf-, Sechs- bzw.

Achteck sowie allgemeines Viereck) zu erzeugen.

Erste Beobachtungen und Vermutungen (Da geht es, dort geht es nicht.) sollen schlielich zur

Formulierung und Begrndung erster Stze fhren wie

- Die Ebene lsst sich mit regelmigen Drei-, Vier- und Sechsecken lckenlos parkettieren,

mit regelmigen Fnf- bzw. Achtecken dagegen nicht.

- Eine lckenlose Parkettierung der Ebene mit Vierecken gelingt entweder nur bei Verwendung

spezieller Vierecke oder bei Verwendung von Punktspiegelungen.

Diese Beobachtungen und Begrndungen werfen weiterfhrende Fragen auf, z. B. die nach weite-

ren Gesetzmigkeiten bei der Parkettierung mit allgemeinen Vielecken.

3. Stufe: Von der Parkettierung zum Winkelsummensatz

Experimentelles Arbeiten mit DGS Die Schlerinnen und Schler untersuchen anhand allgemeiner Drei-, Vier- bzw. Fnfecke (didak-

tische Reduktion) Phnomene und Gesetzmigkeiten bei der Erstellung von Parketten.

Sie sollen lokale Winkelbeziehungen entdecken und formulieren und schlielich die Bedeutung

der Winkelsumme an den Berhrungspunkten erkennen.

Hinfhrung zu dem Winkelsummensatz fr Drei- bzw. Vierecke Auf einem Print-Arbeitsblatt (Anlage 4) sollen die Schlerinnen und Schler zunchst Winkel glei-

cher Gre markieren und anschlieend mit Hilfe von Symmetrie- bzw. Kongruenzbetrachtungen

Beziehungen fr die Innenwinkel eines Drei- bzw. eines Vierecks herleiten (Winkelsummensatz fr die Innenwinkel im Drei- bzw. Viereck).

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In einem zweiten Schritt (Markierung von Winkeln gleicher Art) werden die Begriffe Scheitel-, Stu-fen- und Wechselwinkel eingefhrt und veranschaulicht.

Der Winkelsummensatz fr die Innenwinkel in n-Ecken kann nun sinnvollerweise ber Iteration (sukzessives Hinzufgen von Dreiecken) motiviert, hergeleitet und bewiesen werden.

4. Stufe: Mgliche Fortfhrungen

Fr die Fortfhrung der Unterrichtseinheit gibt es - je nach Zeit bzw. Motivation und Leistungsfhigkeit

der Lerngruppe - z. B. die folgenden Optionen.

Option A: Parkettierungen mit zwei oder auch drei unterschiedlichen regelmigen Vielecken Hierbei gibt es sehr interessante und motivierende Konstellationen, bei deren Analyse u. a. die Ver-

knpfung geometrischer Strukturen und algebraischer Gesetzmigkeiten notwendig wird.

Option B: Parkettierungen mit (einheitlichen) Vielecken ohne Verwendung von Punktspiege-lungen

Hier sollen die Schlerinnen und Schler zunchst Grundfiguren (Vielecke) mit Hilfe von Kongruenz-

abbildungen lokal vervielfltigen. Auf diese Weise wird ein kleiner Ausschnitt eines Parketts erstellt.

Eine lckenlose Parkettierung wird dadurch hufig noch nicht erreicht, was durchaus von Vorteil ist.

Unter Einsatz des DGS-Zug-Modus sollen die Schlerinnen und Schler sodann in experimenteller

Weise spezielle Lsungen bzw. Bedingungen fr eine lckenlose Parkettierung herausfinden. Speziel-

le Lsungen sind z. B. geeignete gleichschenklige Dreiecke, Parallelogramme/Rauten, geeignete

gleichschenklige Trapeze. Eine spezielle Bedingung kann z. B. die ausschlieliche Verwendung von

Drehungen um 60 sein.

Ausstiege

Escher-Parkettierungen

Parkettierungen mit Hilfe der Geometriesoftware TesselMania

(http://www.worldofescher.com/down/tessdemo.exe)

Flchenstze fr Vielecke

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http://www.worldofescher.com/down/tessdemo.exe

2.2.2 Aufgaben Parkettierung mit nur einer Sorte von Vielecken 1. Erzeuge mit Hilfe regelmiger Vielecke eine lckenlose Parkettierung der Ebene. Begrnde,

bei welchen Vielecken ist dies mglich und bei welchen nicht. [Lsung] (Quelle: http://www.isb.bayern.de/gym/math_inf/akcas/parkett.pdf).

2. Erzeuge mit Hilfe unregelmiger Vielecke eine lckenlose Parkettierung der Ebene. Bei wel-

chen Vielecken ist dies mglich, bei welchen nicht? [Lsungsbeispiele: 1, 2, 3 (Anlage 5), 4, 5] (geo-Dateien, in der elektronischen Fassung verfgbar).

3. Betrachte ganz genau das Schattenbild des Dodekae-

ders. Ist ein Parkett aus Fnfecken doch mglich? [Lsung] (Anlage 6) (geo-Datei, in der elektronischen Fassung verfgbar).

4. Verwende nun als Ausgangsfigur ein regelmiges Drei-,

ein Vier- bzw. ein Sechseck. Untersuche, ob und wie sich mit Hilfe der dir bekannten Kongruenzabbildungen eine lckenlose Parkettierung der Ebene erzeugen lsst.

5. Verwende als Ausgangsfigur ein unregelmiges Drei-, ein Vier- bzw. ein Sechseck. Verfahre

ansonsten wie in Aufgabe 4.. 6. Betrachte spezielle Vierecke (Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez - Anlage 7) und finde

heraus, mit welchen unter ihnen man eine lckenlose Parkettierung der Ebene erzeugen kann, ohne dabei Punktspiegelungen zu verwenden. [Lsung] (= Text DynaGeo, Anlage 7) (geo-Dateien, in der elektronischen Fassung verfgbar).

7. Nachdem du nun mit verschiedenen Vielecken Parkette erzeugt hast, soll es jetzt um die Er-

zeugung einfacher Escher-Parkette gehen. Dazu findest du im Anhang drei Anleitungen, wie du geeignete Ausgangsfiguren erzeugen kannst. (Konstruktionen nach [4], Seiten 143 (Anlage 8), 144 (Anlage 9), 146 (Anlage 10)).

8. In der Abbildung sind zwei Verfahren (aus [5]) dargestellt, wie man zu Bausteinen fr Escher-

Parkette kommt. Probiere die beiden Verfahren aus und versuche sie zu verallgemeinern. (An diese beiden Verfahren knnten sich Experimente mit TesselMania anschlieen.)

13
http://www.isb.bayern.de/

Parkettierung mit zwei oder drei verschiedenen regelmigen Vielecken 9. Erzeuge mit den folgenden (regelmigen!) Ausgangsfigu-

ren lckenlose Parkettierungen: Viereck und Dreieck, Sechseck und Dreieck, Achteck und Viereck, Sechseck und Viereck und Dreieck.

10. Finde analog zu Aufgabe 9. eigene Kombinationen. 11. Experimentiere analog zu den Aufgaben 9. und 10. mit

Kombinationen aus unregelmigen Vielecken. 12. Markiere in einem der drei regulren Parkette (vgl. Ergebnis aus Aufgabe 1.) die Seitenmittel-

punkte und verbinde sie im Uhrzeigersinn mit Strecken. Entstehen auf diese Weise wieder Par-kette? Beschreibe die Eigenschaften hinsichtlich Flchenarten und Aufbau der Ecken. In der Abbildung rechts findest du ein Beispiel.

Allgemeine Aufgaben 13. Wie viele rechte Winkel vertrgt (eigentlich) ein Vieleck? [Lsung] (Anlage 11).

14. Flle die folgende Tabelle fr re-gelmige n-Ecke aus. Stelle je eine Formel auf, mit der man aus der Eckenzahl die Winkelsumme bzw. die Gre eines Winkels berechnen kann. Setze dann die Tabelle mit sehr groen Ecken-zahlen fort. Was fllt dir auf? [Lsung] (Anlage 12).

15. Begrnde mit der Tabelle aus Aufga

nen, wenn man a) nur eine Sorte n-Ecke verwendet b) mehrere Sorten n-Ecke verwendet[Lsung] (Quelle: http://www.isb.baye

2.2.3 Arbeitsbltter 1. Elektronische Arbeitsbltter (DynaG

Vier-, Fnf-, Sechs- bzw. Achtecken s 2. Print-Arbeitsblatt (Anlage 4) zum Win

14

Anzahl der Ecken 3 4 5 6 8 10 12 15 18

Winkelsum-me

Gre eines
Winkels
be 14., welche regelmigen n-Ecke sich fr Parkette eig-

. rn.de/gym/math_inf/akcas/parkett.pdf).

eo) (Anlage 2) zur Parkettierung mit regelmigen Drei-, owie mit einem unregelmigen Viereck.

kelsummensatz fr Drei- bzw. Vierecke.
http://www.isb.bayern.de/

2.2.4 Literatur/Links [1] Posamentier, A. S.: Arbeitsmaterialien Mathematik. Ernst Klett Schulbuchverlag, Stuttgart 1994, S.

122 ff. [2] http://mathforum.org/sum95/suzanne/tess.intro.html [3] http://www.isb.bayern.de/gym/math_inf/akcas/parkett.pdf [4] Bigalke, H.-G. (Hrsg.): Heinrich Heesch - Gesammelte Abhandlungen. Verlag Franzbecker, Bad

Salzdetfurth 1986, S. 139 ff und S. 158 ff. [5] MatheNetz 7, Ausgabe N (Schulbuch), Westermann, Braunschweig 2000, S. 139. [6] Tarassow, L.: Symmetrie, Symmetrie! Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 1999, S.

39 ff. [7] http://www.toppoint.de/~freitag/penrose/f-d-penrose.html

2.2.5 Kontakt Lars Buse [email protected]

Jrg Kaletta [email protected]

Christian Ptter [email protected]

15
http://www.isb.bayern.de/mailto:[email protected]:[email protected]

2.2.6 Anlagen Anlage 1

Schne Bilder Arbeitsauftrag In den folgenden Bildern kannst du verschiedene Kongruenzabbildungen wiederfinden. Nenne sie und kennzeichne sie in den Bildern.

16

Aufgaben Schau dir das obige Bild genau an. Male die Grundfigur farbig, durch die dieses Bild erzeugt wird. Verdeutliche in dem Bild, welche geometrischen Abbildungen auf die Grundfigur angewendet worden sind, um diese einheitliche Flche zu erzeugen.

17

Anlage 2 Parkettierungen mit Hilfe von Kongruenzabbildungen aus vorgegebenen Startobjekten

Im ersten Teil dieser Unterrichtsreihe hast du in fertigen Parketten die dir bekannten Kongruenz-

abbildungen wiederentdecken knnen. Jetzt sollst aus vorgegebenen Vielecken jeweils durch geeig-

nete Kongruenzabbildungen Parkette erzeugen.

Vorgehensweise Durch Klicken auf die obigen n-Ecke startest du die zugehrigen Dateien in DynaGeo.

Bearbeite die Aufgaben in obiger Reihenfolge.

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Anlage 3 Elektronisches Arbeitsblatt in DynaGeo

Arbeitsauftrag 1. Untersuche experimentell, ob sich die Bildschirmflche mit der Ausgangsfigur parkettieren lsst. Verwende dazu Kongruenzabbildungen. 2. Notiere, welche Kongruenzabbildungen du benutzt hast und speichere die Datei.

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Anlage 4 Winkelzusammenhnge an Parketten

'

'

'

Scheitelwinkel Stufenwinkel Wechselwinkel

Auftrag I: Markiere in den hervorgehobenen Figuren Winkel gleicher Gre und begrnde. Schliee aus den bisherigen berlegungen auf die Innenwinkelsumme im Dreieck bzw. Viereck. Auftrag II: Markiere - wenn mglich - in den beiden Parketten Paare von Scheitelwinkeln und vergleiche ihre Gren. Verfahre ebenso mit Stufen- bzw. Wechselwinkeln. Definitionen:

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Anlage 5 Lsungsbeispiel - Aufgabe 2

21

Anlage 6 Lsung - Aufgabe 3

126

90 108

Antwort: Als Schatten ergibt sich sowohl als uere Begrenzung wie auch als innere Flche ein regulres Fnfeck. Die anderen 5 Fnfecke sind aber nicht regulr, was die Winkel zeigen.

So ist zwar lokal ein Parkettausschnitt mglich, aber keine vollstndige Parkettierung mit Fnfecken. Denn dann msste man passend zu jedem groen Auenfnfeck" wieder je 5 nicht-regulre groe Fnfecke anlegen und so weiter. Es ergbe sich eine nicht konvergente Folge von nicht-regulren Fnfecken.

Der Schatten eines Dodekaeders

22

Anlage 7 Trapez - Aufgabe 6

Finde verschiedene Parkettierungen der Bildschirmebene mit dem vorgegeben Viereck! Verwende Spiegelungen und Verschiebungen!

Text zur Lsung - Aufgabe 6

Parkette aus Vierecken lassen sich ohne Punktspiegelung aus Parallelogrammen erzeugen. Also auch aus den speziellen Parallelogrammen Rechteck und Raute.

Es gelingt bei Trapezen nur mit Punktspiegelungen; dann sogar mit asymmetrischen Trapezen, wenn man mit "Streifenparketten" zufrieden ist.

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Anlage 8

Whle 3 Punkte A, B, C als Ecken eines gleichseitigen Dreiecks und markiere den Punkt M in der Mitte von AB. Verbinde A mit C durch eine willkrliche Linie. Drehe AC um C in die Lage CB um den Winkel von 600. Verbinde A mit M durch eine ebenfalls willkrliche Linie und drehe AM um M um 1800 in die Lage MB. Die fertige Form. Die Bezeichnung dieses Formentyps lau-tet CC6C6.

24
gaschlerb1.jpg

Anlage 9

Whle 4 Punkte A, B, C, D als Ecken ei-nes Vierecks so, dass je ein Paar aufein-ander folgender Seiten gleich lang sind. Verbinde A mit D durch eine willkrliche Linie. Spiegele diese an einer Achse parallel BD, die ebenso weit von A wie von BD entfernt ist und verschiebe sie in Richtung DB um die halbe Strecke DB. Verbinde ebenso D mit C durch eine will-krliche Linie. Verschiebe ihr Spiegelbild parallel zu DB bis zur Deckung mit CB.

25
gaschlerb2.jpg

Anlage 10

Whle 4 Punkte A, B, C, D als Ecken ei-nes Parallelogramms.

Verbinde A mit D durch eine willkrliche Linie. Verschiebe AD parallel nach BC. Verbinde C mit D durch eine ebenfalls willkrliche Linie. Verschiebe CD parallel nach BA.

26
gaschlerb3.jpg

Anlage 11

Anzahl Ecken 3 4 5 6 8 10 12 15 18 36 45 72 90 180 360 3600

Winkelsumme 180 360 540 720 1080 1440 1800 2340 2880 6120 7740 12600 15840 32040 64440 647640

Winkelsumme durch 90 2 4 6 8 12 16 20 26 32 68 86 140 176 356 716 7196

max. Anzahl rechter Winkel 1 4 3 5 6 7 9 11 13 24 31 49 61 121 241 2401

(durchschnittliche) Gre der/des

letzten Winkel(s) 45 - 135 270 270 270 330 338 342 330 354 356,09 356,9 358,47 359,24 359,92

maximale Anzahl rechter Winkel in einem Vieleck

0

100

200

300

0 50 100 150 200 250 300 350 400Eckenzahl

max

. Anz

ahl r

echt

er W

inke

l

27

Anlage 12

Anzahl Ecken 3 4 5 6 8 10 12 15 18 36 45 72 90 180 360 3600

Winkelsumme 180 360 540 720 1080 1440 1800 2340 2880 6120 7740 12600 15840 32040 64440 647640

Winkelgre eines Winkels 60 90 108 120 135 144 150 156 160 170 172 175 176 178 179 179,9

Winkelgre eines Winkels

0

50

100

150

200

0 100 200 300 400

Winkelsumme

010000200003000040000500006000070000

0 100 200 300 400

28

2.3 Winkel in Ebene und Raum - Kantenmodelle und Schrgbilder

Kantenmodelle rumlicher Krper haben gegenber den blichen Modellen aus Netzen den Vorteil,

dass man sehen kann, was wichtig ist: ihre Ecken und Kanten; den Raum, den sie umfassen, ihr

Inneres also; und wie sich alles zusammenfgt. Kantenmodelle lassen informationsreiche Schat-

tenbilder zu und erleichtern das Zeichnen von Schrgbildern. Didaktisch besonders wertvoll sind

Kantenmodelle, deren Eckverbindungen nicht durch Kugeln aus Plastilin o. . hergestellt werden,

sondern durch Eckenhtchen aus Papier. In ihnen steckt fast die gesamte Winkelgeometrie der

siebten Klassenstufe; ohne grundlegende Kenntnisse ber Winkel knnen manche Eckenhtchen

nicht gebaut werden.

Im Folgenden wird ein nach Stunden gegliederter Unterrichtsgang vorgestellt, bestehend aus zwei

Teilen. Im ersten Abschnitt sollen die Schlerinnen und Schler mehrere Kantenmodelle selbst her-

stellen. Geleitet wird diese Bauphase von der Frage, welche Formen der Eckenhtchen zu regel-

migen Krpern fhren knnen und welche nicht. Als Nebenprodukt fllt dabei der klassische Satz

ber die fnf Platonischen Krper ab.

Im zweiten Abschnitt werden zunchst die Prinzipien fr das Zeichnen von Schrgbildern anhand

der gebastelten Krper erarbeitet und auf die Stmpfe der Platonischen Krper angewendet.

Die Aufforderung, vor dem Bau derartiger Krper eine Materialliste aufzustellen, kann zu verschie-

denartigen berlegungen ber den Zusammenhang zwischen den Anzahlen der Ecken, Kanten

und Flchen fhren. Diese Aktivitten werden untersttzt durch eine Tabelle, die von Beginn an um

die Daten der neu hinzukommenden Krper schrittweise erweitert wird. Der Abschluss der Unter-

richtseinheit ist die Erkenntnis, die im Eulerschen Polyedersatz zusammengefasst wird.

In dieser Unterrichtseinheit werden viele verschiedene Fhigkeiten und Fertigkeiten angesprochen,

insbesondere die Schulung des rumlichen Sehvermgens und die Erarbeitung heuristischer Stra-

tegien. Wie man diese weiter entwickeln kann, soll abschlieend an einigen Aufgaben exemplarisch

aufgezeigt werden.


Handlungsorientierung: Basteln in Partnerarbeit


14 bis 16 Stunden (incl. Lernkontrolle)

besondere Materialien:

Strohhalme, Tonpapier, Kleber (siehe Anlage 1)


Winkel, Messen von Winkelgren

29

Gliederung 2.3.1 Bau von Kantenmodellen Platonischer Krper - Winkelsummensatz 30

2.3.2 Schrgbilder von Kantenmodellen - Eulerscher Polyedersatz 33

2.3.3 Aufgaben 37

2.3.4 Lsungen 39

2.3.5 Literatur 43

2.3.6 Kontakt 44

2.3.7 Anlagen 45

2.3.1 Bau von Kantenmodellen Platonischer Krper - Winkelsummensatz

1. Stunde

Die Lehrkraft prsentiert pro Gruppentisch mglichst ein

Kantenmodell mit Eckenhtchen (kein Plastilin), das ei-

ne hhere Komplexitt als ein Wrfel besitzt. Hier: ein Ikosaeder (= Zwanzigflchner)

Eure Vorgnger haben diese Modelle gebaut. Was ben-

tigen wir und was haben wir zu beachten, wenn wir auch

derartige Krpermodelle bauen wollen?

Zu erwartende Reaktionen:

Strohhalme, die gleich lang sind

Eckenhtchen aus Papier

Grundformen der Htchen sind wohl Kreise; sie werden den Flchen stckweise durch Falten an-

gepasst

Aussagen zur Anzahl der Strohhalme und der Htchen.

Wie sind bei den Eckenhtchen die Faltkanten herzustellen?

Die Lehrkraft lenkt die Aufmerksamkeit auf das einfachste Krpermo-

dell, den Wrfel. Da die bentigten rechten Winkel allen bekannt sind, kann dieser von allen Schlerinnen und Schlern als erstes Modell

gebaut werden. Die Aufforderung Baut mit Hilfe von Strohhalmen und

Eckenhtchen einen Wrfel knnte einigen Schlerinnen und Sch-

lern Schwierigkeiten bereiten. Deshalb mssen die zugehrigen

Eckenhtchen gemeinsam geplant werden. Speziell der Fakt des Kleberestes muss verdeutlicht

werden.

Klebe- rest

30

Hausaufgabe zur bernchsten Stunde (aus logistischen Grnden sollte erfahrungsgem eine Stun-

de bersprungen werden): Materialbeschaffung (siehe Anlage 1) und Bau eines Wrfels

2. Stunde

Zeichne den Wrfel ab. (Schrgbild, schon auf Parallelitt der Kanten achten)

Vorgabe des nchst komplexeren Krpers: Tetraeder (= Vierflchner)

Wie sind die Eckenhtchen anzufertigen, welche Winkelgren treten auf?

Denkbare Strategien, wenn der Winkelsummensatz noch nicht bekannt ist:

die Schlerinnen und Schler

zeichnen ein gleichseitiges Dreieck und messen die auftretenden Winkel

messen an den vorhandenen Objekten die auftretenden Winkel und vergleichen gegebenenfalls

die Messwerte

(alternativ: der Winkelsummensatz fr Dreiecke wird aufgestellt).

Bau eines Tetraeders, Zeichnen seines Schrgbildes (die hinteren Kanten sollen gestrichelt werden),

gegebenenfalls als Hausaufgabe

3. Stunde

Bei einem Tetraeder hat jedes Eckenhtchen drei 60o-Winkel. Fhren Eckenhtchen mit vier 60o-Winkeln auch zu einem regelmigen Krper?

Aufforderung zur Konstruktion:

bastelt einige derartige Eckenhtchen ...,

klebt jeweils vier gleich lange Strohhalme in sie hinein ...,

vervollstndigt zu einem geschlossenen Krper ...,

es entsteht ein ...?

Beobachtungen zum entstandenen Objekt:

es besteht aus zwei zusammengesetzten quadratischen

Pyramiden

es ist begrenzt von 8 Flchen: Achtflchner Oktaeder

alle Raumdiagonalen haben die gleiche Lnge

es gibt drei quadratische Schnittflchen.

31

Sptestens hier sollte jede Schlerin und jeder Schler eine Tabelle folgender Form anlegen, die zu-

knftig erweitert werden soll:

Figur Anzahl der Flchen Anzahl der Ecken Anzahl der Kanten Tetraeder Wrfel Oktaeder ...

Hausaufgabe: Ausfllen der Tabelle

4./5. Stunde

Prsentation des Ikosaeders aus der Einstiegsstunde

Wie kann man diesen Krper in unsere bisherigen

Betrachtungen einordnen?

(Eckenhtchen mit fnf 60o-Winkeln)

Ausreizen der gleichseitigen (= regelmigen) Dreiecke als Deckflchen:

es gibt keine weiteren Mglichkeiten als Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder

Fortsetzung der Systematisierung der Mglichkeiten fr regelmige Krper

Ausreizen der Quadrate (= regelmige Vierecke) als Deckflchen:

es gibt nur die Mglichkeit eines Wrfels

Prsentation eines Dodekaeders (= Zwlfflchners)

Wie kann man diesen Krper in unsere Betrachtungen einordnen?

(Die Deckflchen bestehen aus regelmigen Fnfecken)

Ausreizen der regelmigen Fnfecke als Deckflchen:

es gibt neben dem Dodekaeder keine weiteren Mglichkeiten, da die auftretenden Winkel

stumpf sind

Die Schlerinnen und Schler knnen jetzt unmittelbar erkennen, dass regelmige Vielecke mit noch

hherer Eckenzahl nicht mehr als Deckflchen von regelmigen Krpern auftreten knnen. Sie ha-

ben damit ein Ergebnis hergeleitet, das schon in der Antike eine fundamentale Rolle gespielt hat:

Es gibt genau fnf regelmige, d. h. Platonische Krper. 6. Stunde

Zum Abschluss dieser ersten Phase unserer Unterrichtseinheit soll jedes Zweierteam alternativ ein

Dodekaeder oder Ikosaeder bauen.

32

Hinweis: Ab einer gewissen Komplexitt sollten die Kantenmodelle nur noch in der Schule angefertigt

werden, da sie den Transport von und nach Hause nur schwerlich berstehen wrden.

Zuvor sollten jedoch die exakten Winkelgren zur Konstruktion der Eckenhtchen eines Dodekae-

ders ermittelt werden. Das kann auf zwei verschiedene Arten geschehen:

aus dem Winkelsummensatz fr n-Ecke ergibt sich als Winkelgre

(( 5 2 ) * 180 o) / 5 = 108o

aus dem Winkelsummensatz fr Dreiecke in Verbindung mit den Basiswinkeln in gleichschenk-ligen Dreiecken ergibt sich

180 - (360 / 5) = 108 .

Bau der Dodekaeder und Ikosaeder

Mgliche Ergnzungen:

1. Historisches: Bedeutung der Platonischen Krper bei den alten Griechen und in der Renaissance

(siehe Anlage 3).

2. Gegenseitige Ein- und Umbeschreibung von Wrfeln und Oktaedern (Dualitt bezglich der Ecken

- und Kantenzahlen - siehe Aufgaben 7 und 8).

3. Weitere Dualitt eines Krpers und des Krper, dessen Ecken auf den Mittelpunkten des Aus-

gangskrpers liegen (siehe Tabelle aus der 3. Stunde): Dodekaeder-Ikosaeder.

4. Ein- und Umbeschreibung von Wrfeln und Tetraedern mit Hilfe von Bindfden oder dem 3D-

Programm Schnitte von Schumann [2].

5. Bau eines Sierpinski-Tetraeders (siehe Anlage 2).

6. Vergleich der Stabilitt von Wrfeln und Krpern, die Dreiecke als Deckflchen besitzen.

7. Anfertigung von Netzen Platonischer Krper.

2.3.2 Schrgbilder von Kantenmodellen - Eulerscher Polyedersatz

7. Stunde

Zeichne ein Schrgbild deines Oktaeders, der auf einer seiner Ecken steht. Die hinteren Kanten sol-

len gestrichelt gezeichnet werden.

Vergleich der Bilder

33

Vorgabe der Schrgbilder von Ikosaeder und Dodekaeder:

gemeinsame Analyse:

Erhaltung der Parallelitt der Kanten

jede sichtbare Flche hat eine (gespiegelte) Partnerflche mit

gestrichelten Kanten, zum Beispiel:

8. Stunde

Fr eine intensivere Schulung des rumlichen Vorstellungsvermgens mssen die Schlerinnen und

Schler weitere Objekte kennen lernen. Dafr sind insbesondere die Stmpfe Platonischer Krper geeignet, wobei man sich auf Modelle mit lngengleichen Kanten beschrnken sollte.

Die Vorderansichten einiger Stmpfe werden den Kantenmodellen der Platonischen Krper gegen-

bergestellt.

34

Zum Beispiel spaltet si

Aus welchen Platonischen Krpern sind die abgebildeten Krper entstanden und wie

Wrfelstumpf Kuboktaeder Oktaederstumpf Rhombenkuboktaeder

ch b el

?

eim bergang vom Wrf zum Wrfelstumpf jede Ecke in drei Ecken auf.

Dagegen kann das Kuboktaeder sowohl aus einem Wrfel als auch aus einem Oktaeder entwickelt

werden. [2]

Ergnze die Vorderansicht des Kuboktaeders zum Schrgbild.

Wesentliche Konstruktionsidee: Welche gestrichelte Partnerflche zu einer

sichtbaren Flche ist als erste zu konstruieren?

Hausaufgabe: Vervollstndige die Vorderansicht des Wrfelstumpfes zum

Schrgbild.

Hinweis: Fr einen Schler der 7. Klasse gibt es nur wenige Objekte, die fr eine Vervollstndigung

des Schrgbildes geeignet sind. Der Einsatz dieser wenigen Objekte muss deshalb vorab

geplant werden.

9. Stunde

Erfahrungsgem ist diese Stunde mit der Besprechung der Hausaufgabe voll ausgefllt.

(Der Einsatz einer Overheadfolie ist hier anzuraten.)

Hausaufgabe siehe Aufgabe 8

10. Stunde

bungen zur Konstruktion von Schrgbildern (siehe Aufgaben 5 - 7)

11.-13. Stunde

Sucht euch aus folgenden vier Vorderansichten einen Krper zum Basteln aus. Stellt zuvor eine Ma-

terialliste auf: Wie viele Eckenhtchen und wie viele Strohhalme msst ihr vorbereiten?

Wrfelstumpf Kuboktaeder Oktaederstumpf Rhombenkuboktaeder

Zur Erstellung einer Materialliste knnten die Schlerinnen und Schler folgende unterschiedliche

Mglichkeiten des Vorgehens vorschlagen:

35

Die Vorderansicht wird zu einem Schrgbild vervollstndigt, so dass die Ecken und Kanten abge-

zhlt werden knnen.

Der Zusammenhang zwischen Ecken- und Kantenzahl wird von den begrenzenden Flchen aus

erschlossen; so gilt zum Beispiel fr einen Oktaederstumpf:

Er besitzt 4 + 4 = 8 Sechsecke und 4 + 2 = 6 Quadrate mit insgesamt 8 * 6 + 6 * 4 = 72 Fl-

chenecken. Da an jeder Krperecke drei Flchen zusammenstoen, ergeben sich fr diesen Kr-

per insgesamt 72 / 3 = 24 Krperecken. Von jeder dieser Ecken gehen drei Kanten aus. Da jede

Kante aber zwei Krperecken verbindet, gibt es insgesamt (24 * 3) / 2 = 36 Kanten.

Speziell bei Stmpfen kann man die Eckenzahl gem der Entstehungsgeschichte herleiten:

Wie spalten sich die Ecken des Grundkrpers auf?

Obwohl der zu erwartende Vorschlag Verdoppelung der Anzahlen aller in der Vorderansicht

sichtbaren Flchen, Kanten und Ecken in die Irre fhrt, kann er eine lohnende Diskussion initiie-

ren (Heuristik).

Basteln der Modelle

mgliche Hausaufgabe: Aufgabe 9

14. Stunde

Als (krnender) Abschluss der Unterrichtseinheit knnen die Schlerinnen und Schler die Erkenntnis

gewinnen, die in dem berhmten Eulerschen Polyedersatz zusammengefasst wird. Dazu mssen sie

eigentlich nur die Tabelle aus der 3. Stunde um die Daten der neu hinzugekommenen Krper erwei-

tern.

Knnt ihr einen Zusammenhang zwischen den Anzahlen der Ecken, Flchen und Kanten erkennen?

Kantenzahl = Eckenzahl + Flchenzahl 2

Besttigung dieses Satzes an einem unbekannten Krper

Mgliche Ergnzungen:

1. Erzeugung von Schattenbildern Platonischer Krper bei einer punktfrmiger Lichtquelle (die Kan-

ten knnen dabei berschneidungsfrei dargestellt werden (Schlegel-Diagramm)).

2. Intensiveres Studium der bergnge von Krpern zu ihren Stmpfen (3D-Programm von Schu-

mann [2]).

36

2.3.3 Aufgaben 1. Bestimme die Gre eines Winkels

a) in einem regelmigen Zehneck

b) in einem regelmigen n - Eck (Formel erstellen).

2. Konstruiere ein Eckenhtchen mit r = 3 cm fr einen

a) Fuball (Ikosaederstumpf) b) Cubus simus c) Ikosidodekaederstumpf

(Hinweis: Fr diesen Aufgabentyp ist jeder noch so komplizierte Archimedische Krper geeig-

net, wenn ein entsprechendes Bild vorhanden ist.)

3. (nach [4]) Knnte es ein Polyeder geben, dessen Eckenhtchen an ein regelmiges Fnfeck,

zwei regelmige Dreiecke und ein regelmiges Sechseck angrenzen?

Begrnde deine Entscheidung.

4. Vielleicht hast du beim Bau der Kantenmodelle schon folgendes bemerkt: Je mehr Ecken ein Pla-

tonischer Krper hat, um so kleiner ist der Winkel des Kleberestes seiner Eckenhtchen. Diese

Beobachtung kann man noch verbessern:

Stelle dazu eine Tabelle auf, in der du fr jeden Platonischen Krper neben seiner Eckenzahl die

Winkelgre fr den entsprechenden Kleberest notierst. Betrachte nun jeweils diese beiden Zah-

len - was fllt dir auf? Versuche, deine Erkenntnis in Worte/in eine Formel zu fassen.

37

5. (nach [1.c]) Ergnze die gegebenen Kanten eines Wrfels jeweils zu einem vollstndigen Schrg-

bild. (Achtung: Es kann mehrere Mglichkeiten geben!)

a) b)

6. (nach [1.b]) berlege, wie man in den nebenstehenden Wrfel ein Okta-

eder einbeschreiben knnte. Beachte dabei die Anzahlen der Ecken und

Flchen der beiden Krper (siehe Tabelle).

Fhre die Konstruktion aus.

7. (nach [1.b])

a) Zeichne einen in das linke Oktaeder einbeschriebenen Wrfel (siehe Anlage 4).

Vergleiche die Kantenlnge des Wrfels mit der Hhe des Oktaeders. Was fllt dir auf?

b) Wie knntest du denjenigen Wrfel konstruieren, der um dieses Oktaeder passt?

Fhre die Konstruktion im rechten Oktaeder durch (siehe Anlage 4). (Teil b ist evtl. zu schwer!)

8. Vervollstndige das Schrgbild des nebenstehenden Oktaederstumpfes.

(Es empfiehlt sich die Vorgabe einer ersten gestrichelten Kante.)

38

9. Ermittle, ausgehend von der Anzahl der Flchen und ihrer Ecken, die Anzahlen der Ecken und

Kanten der folgenden Krper (mit hnlicher Begrndung wie in der 11.-13. Stunde).

Rhombenkuboktaeder Kuboktaederstumpf

10. Dodekaederstumpf (alle auftretenden Kanten sind gleich lang)

a) Zeige, dass jede Ecke eines Dodekaederstumpfes gleich ge-

baut ist.

b) Konstruiere eine derartige Ecke mit Berechnungen.

c) Wie viele Ecken hat ein Dodekaederstumpf?

(Zur Erinnerung: ein Dodekaeder besitzt 20 Ecken.)

d) Wie viele Kanten besitzt er? Begrnde.

11. Ein Fuball heit in der Sprache der Krper Ikosaederstumpf.

a) Wie viele Ecken hat ein Fuball?

b) Wie viele Flchen hat er, wie viele Fnf- und wie viele Sechsecken

besitzt er?

c) Ermittle die Anzahl der Kanten (= Nhte).

(Zur Erinnerung: Ein Ikosaeder (= Zwanzigflchner) hat 12 Ecken.)

12. Wie viele Farben bentigst du mindestens zur jeweiligen Einfrbung der Deckflchen eines Tetra-

eders, Wrfels, Oktaeders, Dodekaeders und Ikosaeders? Dabei sollen zwei Deckflchen, die ei-

ne gemeinsame Kante besitzen, verschieden gefrbt werden.

2.3.4 Lsungen

Zu 1: a) Das regelmige Zehneck zerlegt man in zehn gleichschenklige, kongruente Teildreiecke. Beide

Basiswinkel eines solchen Teildreiecks ergeben zusammen den gesuchten Winkel des Zehnecks.

Nun gilt fr den spitzen Winkel: 360 o / 10 = 36 o.

Daraus folgt: Der gesuchte Winkel besitzt die Gre 180 o 36 o = 144 o.

b) Das n-Eck lsst sich auf gleiche Weise in gleichschenklige Teildreiecke zerlegen. Hier gilt nun fr

den spitzen Winkel: 360 o / n . Daraus folgt fr die gesuchte Winkelgre: 180 o - 360 o/n.

39

Alternativ: Ist die Formel fr die Winkelsumme im n-Eck bekannt, ergibt sich folgende Winkelgr-

e, da alle n Winkel im regelmigen n-Eck gleich gro sind: (( n 2 ) * 180 o)/n.

Zu 2: a) Fuball (Ikosaederstumpf):

anstoende Flchen: 2 Sechsecke, 1 Fnfeck

Winkelgre im Sechseck: 180 o 360 o / 6 = 120 o

Winkelgre im Fnfeck: 180 o 360 o / 5 = 108 o

) Cubus simus:

anstoende Flchen: 4 Dreiecke, 1 Quadrat

) Ikosidodekaederstumpf:

toende Flchen: 1 Quadrat, 1 Sechseck, 1 Zehneck

o

u 3: n die in einem Eckenhtchen auftretenden Winkel haben Gr

120

120

108

Gre des Restwinkels fr den Kleberest: 12 o

90 60

60 60 60

c

Winkelgre im Dreieck: 60 0

Winkelgre im Quadrat: 90 o

Gre des Restwinkels: 30 o

d

ans

Winkelgre im Quadrat: 90 o

en von 108 (5-Eck), 2 x 60

90 144

120

Winkelgre im Sechseck: 120

Winkelgre im Zehneck: 144 o

Gre des Restwinkels: 6 o

ZJa, den

(zwei 3-Ecke) und 120 (6-Eck), so dass ein Kleberest mit der Winkelgre von 12 bleibt.

40

Zu 4: Ecken- Gre des zahl E Kleberestes

Tetraeder 4 180 Beobachtung:

Wrfel 8 90 Das Produkt aus Eckenzahl und

Oktaeder 6 120 Restwinkel betrgt immer 720 :

Dodekaeder 20 36 E x = 720

Ikosaeder 12 60 (R. Descartes, um 1620)

Zu 5: a) b)

Zu 6: Hinweise: Bestimme die Mittelpunkte der Seitenflchen (am bes-

ten mit dnnen Bleistiftslinien, die spter weg radiert werden).

Verbinde diese Punkte: hintere Linien gestrichelt, vordere Linien

bei scheinbarer berschneidung der Wrfelkanten unterbrochen.

Zu 7: Hinweise zur Konstruktion:

a) Markiere die Mittelpunkte (= Umkreismittelpunkte, Schwer-

punkte oder Hhenschnittpunke) der gleichseitigen Dreiecke (analog zum Hinweis zu Aufgabe 6).

Verbinde sodann diese Mittelpunkte. Das Oktaeder ist dreimal so hoch wie der Wrfel.

41

b) Die Eckpunkte des Oktaeders sind die Mittelpunkte der Flchen des umbeschreibenden Wrfels.

Zu 8: Hinweis: Wichtig ist, dass es zu jeder sichtbaren Kante eine gestri-

chelte Parallele gibt und zu jeder sichtbaren Flche einen gestrichel-

ten Partner.

Zu 9: Das Rhombenkuboktaeder besteht aus 4 + 4 = 8 Dreiecken und 5 + 5

+ 4 + 4 = 18 Quadraten mit insgesamt 8 * 3 + 18 * 4 = 96 Flchenecken. An jeder Krperecke stoen

4 Flchen zusammen, es ergeben sich 96 / 4 = 24 Krperecken. Von jeder gehen 4 Kanten aus. Da

jede Kante 2 Krperecken verbindet, gibt es (24 * 4) / 2 = 48 Kanten.

Das Kuboktaeder besteht aus 3 + 3 = 6 Achtecken, 4 + 4 = 8 Sechsecken und 2 + 2 + 4 + 4 = 12

Quadraten mit insgesamt 6 * 8 + 8 * 6 + 12 * 4 = 144 Flchenecken. An jeder Krperecke stoen 3

Flchen zusammen, es ergeben sich 144 / 3 = 48 Krperecken. Von jeder gehen 3 Kanten aus. Da

jede Kante 2 Krperecken verbindet, gibt es (48 * 3) / 2 = 72 Kanten.

Zu 10: a) An jeder Ecke stoen 2 Zehnecke und 1 Dreieck zusammen, wie aus dem Bild erkennbar ist.

b) Winkelgre im Zehneck: 144 o

Winkelgre im Dreieck: 60 o

144 144

60

Gre des Restwinkels: 12 o.

c) Das Dodekaeder besitzt 20 Ecken. Jede dieser Ecken wird durch

einen Schnitt in 3 Ecken aufgespalten, also resultierend 20 * 3 =

60 Ecken.

d) Aus c) wissen wir, dass der Krper 60 Ecken besitzt.

Von jeder Ecke gehen 3 Kanten aus. Jede Kante verbindet 2 Krpe

(60 * 3) / 2 = 90 Kanten.

recken. Also gibt es insgesamt

42

Zu 11: a) Ein Ikosaeder besitzt 12 Ecken. Ein Schnitt spaltet jede dieser Ecken in 5 Ecken auf. Also erge-

ben sich fr den Fuball 12 * 5 = 60 Ecken.

b) Das Ikosaeder hat bei 20 Dreiecken 12 Ecken. Aus jeder der 12 Ecken entsteht durch Schnitt ein

Fnfeck, die 20 Dreiecke werden zu Sechsecken gestutzt. Also hat der Ikosaederstumpf 20

Sechsecke und 12 Fnfecke, also 32 Flchen.

c) Aus a) ist bekannt, dass der Fuball 60 Ecken besitzt. Von jeder Ecke gehen 3 Kanten aus, jede

Kante verbindet 2 Ecken. Also gibt es insgesamt ( 60 * 3 ) / 2 = 90 Kanten.

Zu 12: Fr das Oktaeder gengen zwei Farben und fr den Wrfel sowie fr das Ikosaeder drei Farben; da-

gegen sind fr das Tetraeder und das Dodekaeder vier verschiedene Farben erforderlich - eine ganz

ungewohnte Anordnung der Platonischen Krper!

2.3.5 Literatur [0] Kroll, W. (Hrsg.): Zeichnen II. In: Mathematik lehren 17 (August 1986), Friedrich Verlag, Velber

1986; insbesondere die Bastelanleitung von W. Kroll: Kantenmodelle. [1] Kroll, W. (Hrsg.): Neue Impulse fr die Raumgeometrie. In: Mathematik lehren 77 (August 1996),

Friedrich Verlag, Velber 1996; insbesondere: a) der Basisartikel von W. Kroll: Raumgeometrie, eine curriculare Herausforderung b) der Beitrag B. E. Nlle: Die platonischen Krper c) das Schler-Arbeitsheft: Mathe-Welt ber Wrfel: Bausteine der Raumgeometrie.

[2] Schumann, H.: Raumgeometrie - mit und ohne Computer. In: Mathematik lehren 67 (Dezember 1994), Friedrich Verlag, Velber 1994.

[3] Toepell, M. (Hrsg.): Platonische Krper - Unterricht und Geschichte. In: Der Mathematikunterricht 4 (1991), Friedrich Verlag, Velber 1991; insbesondere: a) die historische Fundgrube von M. Toepell: Platonische Krper in Antike und Neuzeit b) der praxisbezogene Beitrag von W. Gerecke: Platonische Krper - Eine Unterrichtsreihe in

Klasse 10. [4] Gerlach, C.: Was alles in den Wrfel passt - die Platonischen Krper. In: Mathematik lehren 98

(Februar 2000), Friedrich Verlag, Velber 2000. [5] Krger, U.-H.: Das grte Sierpinski-Tetraeder der Welt - oder: Von der Idee zum Weltrekord. In:

Materialien Band 7 der Lehrerakademie Bremen (Herbst 1999). [6] Mandelbrot, B.: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhuser Verlag, Basel, Boston 1987.

43

2.3.6 Kontakt Dr. Eckhart Beutler [email protected]

Dr. Klaus Buchhaupt [email protected]

Hans Kramer [email protected]

Dietrich Meyer [email protected]

44
mailto:[email protected]:[email protected]

2.3.7 Anlagen Anlage 1 Hinweise zum Material und zur Konstruktion von Kantenmodellen (nach [0]) Kanten: Strohhalme sind am schnsten; man kann sie in Bastel- und Spielzeuglden erhalten. Die

leichter zu beschaffenden Plastikhalme (nicht zu dick) tun es aber auch. Wenn nicht gerade spezielle

Krper (zum Beispiel wenn ein Krper in einen anderen eingepasst werden soll) gebaut werden sol-

len, hat sich eine Kantenlnge von 10 bis 12 cm (halbe Strohhalmlnge) bewhrt. Die Schlerinnen

und Schler sollten zunchst ein Eichma aus einem Strohhalm herstellen, nach dem die weiteren

Kanten zugeschnitten werden.

Eckenhtchen: Farbiges (Ton-)Papier (mindestens 80 g/m2) bekommt man in Copy-Shops bezie-

hungsweise Schreibwarengeschften. Normales Schreibmaschinenpapier ist nicht zu empfehlen, da

es nach dem Trocknen des flssigen Klebstoffs leicht wellig wird. Zur Konstruktion der Eckenhtchen

sind Kreise mit einem Radius von 2 cm bis 2,5 cm optimal (sthetik kontra Stabilitt).

Konstruktion: Man sollte keine der zugeschnittenen Strohhalme ganz in die uerste Ecke des Ht-

chens schieben, weil sonst die Krperkanten nicht gleich lang wrden. Wenn man besonders regel-

mige Krper herstellen will, sollte man eine kleine Holz- oder Glasperle (Durchmesser ca. 4 mm) in

die Ecke des Htchens kleben. Als Klebstoff empfiehlt sich ein schnell abbindender Kleber, den man

jeweils auf der Falzkante leicht antrocknen lsst, bevor man den Strohhalm andrckt. Wenn der Kr-

per fertig ist, sollte man zum Zwecke einer besseren Haltbarkeit noch etwas flssigen Klebstoff in je-

des Eckenhtchen geben.

Organisationsform: Gute Grnde sprechen dafr, die Kantenmodelle in Zweierteams anfertigen zu

lassen: man kann so konomischer arbeiten; nur gut funktionierende Teams bauen gute Modelle; im

Unterrichtsgang treten Probleme auf, die ein einzelner mglicherweise nur schwer lsen kann.

45

Anlage 2 Sierpinski-Tetraeder: Bauanleitung

Gleichgroe Tetraeder kann man schrittweise (iterativ) zu einem fraktalen Krper zusammenbasteln,

der in Analogie zum bekannten Sierpinski-Dreieck auch Sierpinski-Tetraeder genannt wird. Es ist ein

lohnendes Vorhaben, denn es kann dabei der Sinn fr sthetik geweckt, die rumliche Vorstellungs-

kraft weiter entwickelt und nicht zuletzt die Fhigkeit geschult werden, sich in ein (schrittweise immer

greres) Team einzubringen.

Wenn man ein derartiges Projekt plant, sollte man schon die Tetraeder aus der 2. Stunde genormt an-

fertigen lassen. Im Hinblick auf die Gre des endgltigen Sierpinski-Tetraeders sowie auf die Materi-

alkosten empfiehlt sich eine Strohhalmlnge von 6 - 7 cm (Strohhalme dritteln); als Radien der E-

ckenhtchen gengen hier 2 cm. berlegungen zur Farbigkeit dieser Htchen knnen das Endobjekt

noch reizvoller machen.

In einem ersten Schritt werden vier Ausgangstetraeder

(auch Motive genannt) zu einem neuen Tetraeder der 1.

Stufe zusammengefgt. Eine feste, geradlinige Verbin-

dung zwischen je zwei Tetraedern kann man folgender-

maen herstellen: Man schneidet die aneinander gren-

zenden Eckenhtchen an ihren Spitzen so ab, dass man

in die entsprechenden Strohhalme einen passenden, mit

Flssigkleber bestrichenen Schaschlikstab jeweils zur

Hlfte hineinschieben kann. Sierpinski-Tetraeder der 1.Stufe2

Man kann sich die Entstehung eines Sierpinski-Tetraeders auch folgendermaen vorstellen: Das Mo-

tiv wird zunchst auf doppelte Kantenlngen (= achtfaches Volumen) vergrert. Daraufhin wird aus

seiner Mitte ein Krper entfernt - welche Gestalt hat dieser Krper?

Fr den zweiten Schritt bentigt man vier der soeben fertiggestellten Tetraeder der 1. Stufe (insge-

samt also 4 = 16 Motive). Diese vier Tetraeder werden wie eben beschrieben mit Schaschlikstben

verbunden. Ein Sierpinski-Tetraeder der 3. Stufe sieht schon recht eindrucksvoll aus. Die 4 = 64 er-

forderlichen Motive kommen schnell zusammen, wenn jede Schlerin und jeder Schler der Klasse

drei Exemplare bastelt. Bei vier Parallelklassen schafft man mit vier Sierpinski-Tetraedern der 3. Stufe

ein Sierpinski-Tetraeder der 4. Stufe, bestehend aus 44 = 256 Motiven; mit den vier Klassenstufen der

Mittelstufe gar das unten abgebildete Sierpinski-Tetraeder der 5. Stufe mit 45 = 1024 Motiven - ein

46

2 aus: Zeitler, H., Neidhardt, W.: Fraktale und Chaos. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1993, S. 132.

Weltrekord, fr den die Kooperativen Gesamtschulen in Weyhe einen Eintrag in das Guinness-Buch

der Rekorde beantragt haben. [5]

Sierpinski-Tetraeder der 5. Stufe (aus [6], Tafel 155)3

47

3 aus: Mandelbrot, B.: Die fraktale Geometrie der Natur, Tafel 155. Birkhuser Verlag, Basel, Boston 1987.

Anlage 3 Historisches zu den Platonischen Krpern (nach [3.a])

Platonische Krper spielten in zwei Phasen der Kulturgeschichte eine herausragende Rolle:

a. in der Antike, verbunden mit den Namen Platon und Euklid sowie

b. zur Zeit der Renaissance, als Johannes Kepler entscheidende Impulse vorgab.

zu a.: Selbst in Mathematikerkreisen ist es nicht Allgemeingut, dass die Elemente von Euklid (ca.

340 - 270 v. Chr.), das Grundlagenwerk der griechischen Mathematik (und der Geometrie bis zum

Ende des 19. Jahrhunderts!), ganz im Hinblick auf die fnf Platonischen Krper geschrieben wurden.

Ihre Bedeutung hatte philosophische und religise Grnde: Die vollkommene Regelmigkeit dieser

auch als kosmisch bezeichneten Krper wurde als gottgegeben betrachtet; nach der Naturphiloso-

phie Platons (427 - 347 v. Chr.) kamen nur sie als Bausteine der vier Elemente Feuer, Erde, Wasser

und Luft in Frage.

Da den alten Griechen eine zentrale Rolle im Geschichtsunterricht der 7. Klassenstufe zukommt, ist

folgende Aufgabenstellung (nach [4]) auch im Sinne des Fachbergriffs recht sinnvoll:

Lies dir folgendes Textstck aus Platons Timaios sorgfltig durch und ordne anschlieend den Ele-

menten Feuer, Erde, Wasser, Luft sowie dem Weltganzen jeweils einen Platonischen Krper zu.

[ ... ] Verteilung der ursprnglichen Krper an die vier Grundstoffe

[ ... ] jetzt aber wollen wir die unserer Rede zufolge entstandenen Gattungen in Feuer, Erde, Wasser und Luft tei-

len. Der Erde wollen wir die Wrfelgestalt zuweisen, denn die Erde ist von den vier Gattungen die unbeweglichste

und dazu muss derjenige [Krper] werden, welcher die festesten Grundflchen hat. [ ... ] dem Wasser dagegen

die unter den brigen [von Dreiecken begrenzten] Krpern am mindesten bewegliche Gattung, die beweglichste

dem Feuer, die dazwischenliegende der Luft; weiter den kleinsten Krper dem Feuer, den grten dem Wasser,

den mittleren der Luft; die schrfste Spitze ferner dem Feuer, die zweite der Luft, die dritte dem Wasser. Bei die-

sen allen muss also dasjenige, welches die wenigsten Grundflchen hat, von Natur aus das beweglichste sein,

indem es allerwrts hin das schneidendste und schrfste von allen ist sowie auch das leichteste, da es aus den

wenigsten gleichfrmigen Teilen besteht; das zweite muss in denselben Beziehungen die zweite, das dritte die

dritte Stelle einnehmen.

5

10

[ ... ] Da aber noch eine fnfte Zusammenfgung brig war, so benutzte Gott diese fr das Weltganze.

zu b.: Das Interesse an Platonischen Krpern erwachte erst wieder im 16. Jahrhundert. Das spiegelt

sich in diversen Bildern und Konstruktionsanleitungen von Renaissance-Knstlern wider (u. a. von

Albrecht Drer und von Leonardo da Vinci, der perspektivisch vollendete Abbildungen, auch von Kan-

tenmodellen, angefertigt hat (siehe [3.a]). Vor allen anderen ist aber der Philosoph, Astronom und Ma-

thematiker Johannes Kepler (1571 - 1630) zu nennen, fr den ganz im Sinne seiner Zeit - die Mathe-

48

matik weniger zur technischen Nutzung der Natur diente als vielmehr dazu, die Menschen ber die

wunderbaren Taten Gottes aufzuklren. In seiner Schrift Das Weltgeheimnis (1596) setzte er als

Beweis fr die Harmonie in der Welt die von ihm berechneten Bahnen der damals - auer der Erde -

fnf bekannten Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn in Beziehung zu den Umkugeln der

konzentrisch angeordneten fnf Platonischen Krper. hnlich akribisch wie Platon zweitausend Jahre

zuvor begrndete Kepler ihre Zuordnung in seinem Weltbild, auch bei ihm wird das Dodekaeder (Um-

kugel der Erde) dem himmlischen Krper berlassen.

Wenn auch diese Theorie mit der Entdeckung weiterer Planeten an Reiz verlor, so hat sich Kepler mit

der Weiterentwicklung der Theorie der Platonischen Krper und der Polyeder bleibende Verdienste

erworben. So sind von ihm der Keplerstern, eine Durchdringung zweier Tetraeder, sowie der Kep-

lersche Sternkrper, ein mit zwlf Sternspitzen versehener Dodekaeder, untersucht worden. Schlie-

lich hat sich Kepler auch um die Beschreibung der Dualitt von Platonischen Krpern verdient ge-

macht. Unterrichtlich bietet sich zu diesem Thema ein kleiner Abschnitt aus seinem Hauptwerk, der

Weltharmonik (1619), fr folgende Aufgabenstellung an:

In folgendem Text von Kepler werden mehrere Beziehungen zwischen jeweils zwei Platonischen Kr-

pern recht bildhaft angesprochen. Versuche, diese Beziehungen so genau wie mglich zu beschrei-

ben und zu begrnden.

Es treten nun unter den Figuren zwei bemerkenswerte Prchen auf, die je aus verschiedenen Klassen zusam-

men gestellt sind. Die Mnnchen sind der Wrfel und das Dodekaeder aus der Klasse der primren Krper, die

Weibchen sind das Oktaeder und das Ikosaeder, die sekundren Krper. Dazu kommt gleichsam ein Einzelgn-

ger oder Zwitter, das Tetraeder, da es sich selbst einbeschreiben lsst, wie jene Weibchen den Mnnchen einbe-

schrieben werden knnen . . . 5

Wie ferner das Tetraeder Element, Eingeweide und gleichsam eine Rippe des Mnnchens Wrfel ist, so ist in an-

derer Weise das Weibchen Oktaeder Element und Teil des Tetraeders.

49

Anlage 4 Kopiervorlagen Zu Aufgabe 7:

Zur 8. Stunde:

Wrfelstumpf Kuboktaeder

50

Zu Aufgabe 8:

51

3 Kreisgleichungen und Kreisfunktionen

3.1 Rahmenrichtlinien - Baustein Kreisgleichungen und Kreisfunktionen

Der Kreis, den Lernenden bisher nur als geometrisches Objekt bekannt, soll nun mithilfe von Glei-

chungen in Koordinaten- und Parameterform beschrieben werden. Dabei muss deutlich werden, wie

geometrische Objekte algebraisch erfasst werden knnen.. Die Betrachtung der zeitlichen Vernde-

rung der Koordinaten x(t) und y(t) eines Punktes auf der Kreislinie fhrt auf die Kosinus- bzw. Sinus-

funktion und deren Eigenschaften. Periodische Vorgnge sollen durch trigonometrische Funktionen

beschrieben werden.

In diesem Baustein sollen die Schlerinnen und Schler verschiedene Darstellungsformen eines Krei-

ses kennen lernen. Die Betrachtung der Kreislinie als Punktmenge ergibt die Gleichung x2+y2 = r2. Die

Beschreibung der Bewegung eines Punkte P(x|y) auf dem Kreis fhrt auf die Parameterdarstellung

[x(t)=rcos(t); y(t)=rsin(t)]. Die Variation der Lage des Kreises, des Anfangspunktes und der Durch-

laufgeschwindigkeit einer Kreisbewegung spiegelt sich in der Funktion mit der Gleichung

y=asin(cx+d)+b in einer Vernderung der Parameter wider, die Anzahl der Wiederholungen in der

Definitionsmenge. Aus dem Graphen der Sinusfunktion ergibt sich unmittelbar die Eigenschaft der Pe-

riodizitt, die von der Kreisbewegung herrhrt. Mit technischen Hilfsmitteln knnen die Schlerinnen

und Schler den Einfluss aller Parameter auf Lage und Form der Graphen mit der Gleichung

y = asin(cx+d)+b experimentell erkunden.

Inhalte und Verfahren Hinweise

Modellierung periodischer Vorgnge Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion

Beschreibung des Kreises in Koordinaten- und Parameterdarstellung:

(x xM)2 + (y yM)2 = r2 [x(t) = rcos(t) + xM ; y(t) = rsin(t) + yM] Einheitskreis, sin(x) + cos(x)=1

Bogenma

Trigonometrische Funktionen: y = asin(cx+d)+b und y = acos(cx+d)+b Parametervariation

Wechsel zwischen grafischer und symbolischer Darstellungsebene

VERNETZUNG Rechtwinklige Dreiecke (3.3.5) Koordinatisierung (3.3.4) Parametervariation (3.2.9; 3.3.4) periodische Vorgnge: Gezeiten, Tonschwin-gungen, Wechselspannung, Biorhythmus u. a. Astronomie

DIDAKTIK/METHODIK Experimente zu periodischen Vorgngen Wechsel der Darstellungen Entdeckendes Lernen

ERWEITERUNG Additionstheoreme Kreis und Spiralen in Polarkoordinaten, Schrau-benlinie Kugelkoordinaten verwandte Figuren in Parameterdarstellung: El-lipse, Lissajous-Figuren, Astroide u. a.

(aus: Niederschsisches Kultusministerium: Rahmenrichtlinien fr das Gymnasium, Schuljahrgnge 7-10, Mathematik. Hanno-ver 2003, Seite 35)

52

3.2 Unterrichtseinheit Kreisgleichungen und Kreisfunktionen"

Bei dem vorgestellten Zugang wird Datenmaterial (experimentell gewonnene Daten und Erhebun-

gen) zu periodischen und verwandten Vorgngen verwendet, um charakteristische Eigenschaften

periodischer Funktionen zusammenzutragen. Der beschreibende Aspekt steht zunchst im Vorder-

grund; die Funktionsgleichungen werden im Verlauf der Unterrichtseinheit entwickelt.

In der untenstehenden bersicht werden zwei alternative Wege fr diese Unterrichtseinheit aufge-

zeigt, deren Inhalte im Mittelteil identisch sind:

Typisch fr diese Unterrichtseinheit ist der Umgang mit realem Datenmaterial, die Modellierung auf

verschiedenen Abstraktionsebenen, Gruppenarbeit und ihre Prsentation sowie der Einsatz von

GTR und DGS. Die Arbeitsauftrge sind bewusst offen gehalten, damit Raum fr verschiedene L-

sungsideen gegeben wird.


statistische Erhebungen, GTR oder leistungs-

fhigeres System

DGS, CBR (fr linken Durchgang)

notwenige Vorkenntnisse:

der Baustein Von der Konstruierbarkeit zur

Berechenbarkeit (3.3.5) ist behandelt wor-

den;

Sinus-, Kosinus-Beziehungen sind bekannt

Arbeit mit Listen

Eigenschaften periodischer Funktionen durch Untersu-chung und Manipulation ex-perimentell ermittelter Daten

Modellierung des Datenma-terials durch Parameteran-passung bei Sinusfunktio-nen

Modellierung der nichtstan-dardisierten WAS-Funktion mit einer Sinus-Funktion

Zugang zu Sinus- und Kosinus-funktion ber geometrische berlegungen am Kreis mit an-schlieender Algebraisierung

Beschreibung periodischer und quasiperiodischer Vor-gnge unter Nutzung vor-handenen Datenmaterials

53

3.2.1 Ein periodischer Vorgang und seine funktionale Erfassung

In den ersten fnf Stunden der Unterrichtseinheit zum Baustein Kreisgleichungen und Kreisfunktio-

nen sollen die Schlerinnen und Schler aus Messreihen die charakteristischen Eigenschaften von

Sinusfunktionen herausfinden. Dazu sind keine physikalischen Kenntnisse notwendig.

Im Mittelpunkt dieser Unterrichtseinheit stehen sehr einfach aufzunehmende Messreihen (siehe

elektronische Version), die dann mit Hilfe eines GTR ausgewertet werden. Die Auswertung fhrt zu

Eigenschaften einer periodischen Funktion und thematisiert gleichzeitig die Verschiebungen, Stau-

chungen und Streckungen der Graphen. Erst nach Behandlung der Kreisbewegung und der zuge-

hrigen grafischen Darstellung in den folgenden Stunden knnen die Schler durch einen Vergleich

der beiden Graphen herausfinden, dass die Messkurven (hier genannt WAS-Funktion) durch eine

Sinusfunktion modellierbar sind und einen Funktionsterm fr die WAS-Funktion angeben.

Bei dieser Vorgehensweise ist besonders vorteilhaft, dass die trigonometrischen Funktionen noch

unbekannt sind und die Funktionsterme auch nicht bentigt werden. Die Wandabstandsfunktion

(WAS-Funktion) wird ausschlielich ber die Messdaten begrifflich festgelegt, die dann nach Ein-

fhrung der Sinus- und Kosinusfunktionen mithilfe von Sinustermen beschrieben wird. Alle Untersu-

chungen werden durch Listenmanipulationen der Messdaten mit dem Taschenrechner vorgenom-

men. Durch die direkte Verknpfung der mathematischen Auswertung der Messdaten mit dem an-

schaulichen Experiment haben insbesondere schwchere Schlerinnen und Schler die Mglich-

keit, Eigenschaften periodischer Funktionen selbststndig zu entdecken.


Durchfhrung und Auswertung von Experimen-

ten in Gruppenarbeit


ca. 5 Stunden


CBR zur Abstandsmessung, grafikfhiger Ta-

schenrechner


aus dem vorangegangenen Unterricht sollte

bekannt sein:

Umgang mit Listen, grafische Darstellung von

Listen, Manipulation von Listen, der Funktions-

begriff sowie Streckung/Stauchung und Ver-

schiebung von Funktionsgraphen

54

Gliederung

Ein periodischer Vorgang und seine funktionale Erfassung 55

Darstellung der WAS-Funktion durch eine Sinusfunktion 61

Hinweise zur Aufnahme der Messreihe 61

Informationen zur Einfhrung des Bogenmaes 62

Kontakt 62

Ein periodischer Vorgang und seine funktionale Erfassung Im Folgenden werden die ersten fnf Stunden der Unterrichtseinheit beschrieben, in denen die Eigen-

schaften periodischer Funktionen untersucht werden. Daran anschlieend muss die Definition der Si-

nus- und Kosinusfunktionen erfolgen, bevor die Darstellung der WAS-Funktion mithilfe von Sinuster-

men thematisiert wird.

Darstellung der einzelnen Stunden In den Stundenbeschreibungen sind Lehrziele, Arbeitsauftrge fr die Schlerinnen und Schler, er-

wartete Schlerleistungen und Hausaufgabenstellungen enthalten. Das zentrale Experiment dieser

Unterrichtseinheit wird im Anhang beschrieben. Die Messreihen sind im Taschenrechnerformat ber

die elektronische Version zu beziehen [http://nibis.ni.schule.de/nibis.phtml?menid=808].

Erste Stunde In der ersten Stunde soll das Experiment durchgefhrt und beschrieben werden, bevor anhand der

grafischen Darstellung der Messwerte die Eigenschaften periodischer Funktionen herausgearbeitet

werden.

Lehrziele

Die Schlerinnen und Schler sollen

die ermittelten Messwerte als zeitlichen Verlauf des Abstandes zur Wand interpretieren knnen

erlutern knnen, dass die Zuordnung Zeit Wandabstand eine Funktion ist

die Periodizitt der Wandabstandsfunktion WAS benennen und ermitteln knnen.

Durchfhrung

In Gruppenarbeit sollen jeweils eine Messreihe experimentell mit dem Abstandsmessgert CBR auf-

genommen und die Messwerte auf jeden Taschenrechner der Gruppe bertragen werden.

Arbeitsauftrag:

Untersuche die Messreihe auf auffllige Eigenschaften.

55

Erwartete Schlerleistungen

grafische Darstellung: , Achsenbenennung ( )t WAS t

erlutern, dass die Zuordnung eine Funktion ist

erkennen und ermitteln der Periode, z. B. aus zeitlicher Lage

der Maxima t = 2,2 s

WAS in m

t in s

In der elektronischen Version befinden sich die Daten im Ordner Daten/Was,

hier: Y1.8xl ber MX1.8xl.

Hinweise

Der Begriff Periode wird als WAS (t+T) = WAS (t) eingefhrt.

Alle Messreihen sollten am Ende der Stunde gesichert werden!

Hausaufgabe: Eine zentral gegebene Messreihe eines periodischen Zusammenhangs soll unter Ver-

wendung der neu eingefhrten Eigenschaften vollstndig ausgewertet werden.

Zweite Stunde In der zweiten Stunde werden die Messreihen unterschiedlicher Schlergruppen grafisch miteinander

verglichen. Dazu mssen die Messreihen so verndert werden, dass der Einfluss der unterschiedli-

chen Startzeitpunkte aufgehoben wird, so dass grafisch lediglich eine Verschiebung in x-Richtung

vorgenommen wird.

Lehrziele


das unterschiedliche Aussehen der Messkurven am Experiment erlutern knnen

durch geeignetes Zurechtschneiden und Verschieben der Kurven die Graphen miteinander ver-

gleichen knnen

die vorgenommene Verschiebung mathematisch beschreiben knnen.

56

Dazu werden die Messkurven in einer Grafik dargestellt:

die unterschiedlichen Startparameter mssen zum besseren

Vergleich angeglichen werden

Daten/Was: MY3.8xl / MY4.8xl ber MX3.8xl / MX4.8xl

z. B.: Positionen der ersten Minima ermitteln [z. B. mit TRA-

CE start festlegen]

die Messwerte vor start lschen [seq(L1(x),x,start,94)]


durch Subtraktion des jeweils ersten Listenwertes [(L1-(L1(1)]

die neue Startzeit auf Null setzen


Erwartete Schlerauswertung

Alle Kurven haben die gleiche Periode. Die Periode ist also unabhngig von der Heftigkeit der Schwin-

gung.

Alle schwanken um einen gleichen mittleren Wert.

Sie unterscheiden sich durch den Startvorgang und in ihrem jeweiligen minimalen und maximalen

Wandabstand.

Hinweise

Die Verschiebung in Richtung der t-Achse wird als WAS (t0)=WAS(t-tMin) beschrieben.

Hausaufgabe:

Die Schlerinnen und Schler erhalten zwei Messreihen, die mit unterschiedlichem Wandabstand und

unterschiedlicher maximaler Auslenkung aufgenommen wurden, zur Auswertung:

57


Dritte Stunde In dieser Stunde versuchen die Schlerinnen und Schler durch vertikale Verschiebungen, in der gra-

fischen Darstellung die Versuchsreihen zu vergleichen.

Lehrziele


durch vertikale Verschiebung und Streckung bzw. Stauchung Messkurven zu Messungen in un-

terschiedlichem Wandabstand vergleichen knnen.

Erwartete Lsung der Hausaufgabe:

Daten/Was: MY10.8xl/MY11.8xl ber MX10.8xl / MX11.8xl

Hinweise

Ein vertiefender Vergleich der Messkurven erfordert eine Verschiebung der Kurven in y-Richtung:

z. B. auf gleiche Anfangspunkte

58

Gnstiger ist eine Verschiebung beider Kurven bzgl. der jeweiligen Ruhelage.

WAS(t)-WASRuhelage = WAS (t) - 0,5*[WAS (tMax)+WAS (tMin)]

Hausaufgabe:

Die Schlerinnen und Schler sollen untersuchen, ob die verschobenen Kurven durch geeignete Stre-

ckungen oder Stauchungen zur Deckung zu bringen sind.

Vierte Stunde In der vierten Stunde versuchen die Schlerinnen und Schler durch horizontale Verschiebungen, in

der grafischen Darstellung die Versuchsreihen zu vergleichen.

Lehrziele


durch horizontale Verschiebung und Streckung bzw. Stauchung Messkurven zu Messungen mit

unterschiedlichen Schwingungsdauern vergleichen knnen.

Erwartete Lsung der Hausaufgabe:

grafische Darstellung mit dem Streckfaktor als Verhltnis der

jeweiligen Maximalwerte

Durchfhrung

In Gruppenarbeit sollen zwei Messreihen mit jeweils unterschiedlicher Pendellnge aufgenommen

werden. Die Schlerinnen und Schler erhalten dann die Aufgabe, in Gruppenarbeit die grafische

Darstellung auf ihre charakteristischen Eigenschaften zu untersuchen. Dazu mssen sie eine geeigne-

te Verformung angeben, mit der die beiden Kurven zur Deckung zu bringen sind.

59

Erwartete Schlerleistung

Die Schlerinnen und Schler bestimmen die jeweiligen Periodenlngen und ggf. weitere Eigenschaf-

ten.

Die Kurven mssen lngs der t-Achse gestreckt bzw. gestaucht werden. Der Streckfaktor ergibt sich

aus dem Verhltnis der Periodenlngen.

Hinweise

Die Streckung in Richtung der t-Achse wird durch WAS(Faktor t) beschrieben.

Fnfte Stunde In der fnften Stunde sollen die Schlerinnen und Schler ihre in der Unterrichtseinheit erworbenen

Kenntnisse ber periodische Vorgnge auf das Anwendungsproblem bertragen knnen.

Lehrziele


ihnen bekannte periodische Vorgnge nennen und beschreiben knnen

periodische Vorgnge nach unterschiedlichen Kriterien einordnen knnen.

Durchfhrung

Mgliche Beispiele:

Ton auf Oszilloskop

Herzschlag

Gezeiten

Tageslngen

Temperaturverlufe

Schaukel/Pendel

60

Wechselstrom, -spannung

Kolbenbewegung beim Ottomotor

berschwemmung groer Flsse

Auftreten von Erdbeben

Atmung

Karussell fahren

Leuchtturmfeuer

Motordiagnose auf Oszilloskop

Darstellung der WAS-Funktion durch eine Sinusfunktion

Durch die relativ spte Darstellung der WAS-Funktion durch eine Sinusfunktion knnen die Schlerin-

nen und Schler selbststndig ihre erlernten Kenntnisse ber periodische Funktionen anwenden und

nach erfolgter Definition der Sinusfunktion durch Vergleich einen Term fr die WAS-Funktion aufstel-

len. Dazu gibt es die Mglichkeit, Periode, maximale Auslenkung, Verschiebung und Stauchung aus

der grafischen Darstellung der Messwerte zu entnehmen. Eine weitere Mglichkeit stellt die Sinusre-

gression des Taschenrechners dar. Es sollten beide Mglichkeiten genutzt werden, da bei dieser

komplizierteren Regression nicht immer eine numerische Lsung mit dem Taschenrechner gelingt

(siehe Klassenarbeitsaufgabe 5, Seite 89).

Hinweise zur Aufnahme der Messreihe

Die Messwerte werden mit dem CBR von Texas Instruments auf-

genommen. Der Aufbau ist sehr einfach, so dass die Messung

sich in jeden Klassenraum problemlos durchfhren lsst. Zudem

ist die Versuchsdurchfhrung nicht anfllig gegen Strungen.

Selbst wenn das CBR trudelnd schwingt, sind die Messdaten gut

zur Auswertung geeignet.

Den experimentellen Aufbau zeigen die folgenden Bilder. Auf dem

ersten Bild ist die Aufhngung des CBR dargestellt. Hier eignet

sich z. B. ein Besenstil, der auch auf Schultern von Schlern posi-

tioniert werden kann. Auf dem zweiten Bild wird das Befestigen

des Fadens durch einfaches Einklemmen im Scharnier des CBR

gezeigt.

61

Informationen zur Einfhrung des Bogenmaes

Das Winkelma ist ein in der Geometrie hufig verwendetes Ma, welches einen sehr hohen An-

schauungsgrad besitzt. Zudem ist eine vielfltige Winkelteilung ohne Vorkommen von Bruchzahlen

mglich. Fr die Schlerinnen und Schler besteht somit keine Notwendigkeit, ein neues Ma

einzufhren.

In einem Lehrervortrag soll die Lehrkraft nun die Entstehung des Winkelmaes, ggf. in einem histori-

schen Zusammenhang, und die Nachteile dieses Maes aufzeigen. Fr die Anwendungen in Natur-

wissenschaft und Technik wird ein Ma bentigt, das sich in das SI-Einheitensystem einfgt. Hier

muss auf die DIN-Norm 1315 verwiesen werden. Dort werden drei Winkeleinheiten genannt:

Radiant: Der Winkel ergibt sich in der SI-Einheit, wenn die Bogenlnge und der Radius in der

SI-Einheit Meter eingesetzt werden (Einheitenzeichen: rad).

Diese Winkeleinheit, und nur diese, darf durch die Zahl 1 ersetzt werden.

Grad: Der Grad ist der 360ste Teil des Vollwinkels. Einheitenzeichen: .

Gon: Das Gon ist der 400ste Teil des Vollwinkels. Einheitenzeichen: gon.

Kontakt

Elmar Haberich [email protected]

Frauke Seeger [email protected]

Jrgen Wulftange [email protected]

62
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]

3.2.2 Datenerhebung und Auswertung bei periodischen Prozessen

Die Betrachtung von verschiedenen Anlssen, die zu periodischen Vorgngen fhren, bietet die

Chance, in der Umwelt vielfach vorkommende periodische Vorgnge zu klassifizieren. Schlerinnen

und Schler erfahren die Beschreibungsmglichkeiten der Mathematik.

Die bei periodischen und verwandten Prozessen wesentlichen Eigenschaften werden herausgear-

beitet. An dieser Stelle wird Modellbildung vorbereitet, indem die bedeutsamen Eigenschaften der

Funktionen ermittelt werden. Eine mgliche Reihenfolge fr den Unterricht wird vorgestellt.


Methoden fr diesen Zugang:

Recherche durch Schlerinnen und Schler

in Zeitungen, Zeitschriften

Vorgaben von Beispielen


4 Stunden


Kalender, statistische Erhebungen ber Wet-

terdaten

grafikfhiger Taschenrechner; Taschencom-

puter

Gliederung

Ziele 64

Anlsse 64

Welches Wetter herrscht in Lillehammer? 65

Sonnenaufgang und -untergang 66

Mondaufgang und -untergang 68

Ausblick und Vertiefungen 72

Literatur 75

Kontakt 75

63

Ziele

Es sollen

Graphen periodischer, nichtperiodischer sowie quasiperiodischer Vorgnge erstellt werden

Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der grafischen Darstellung beschrieben und der Zu-

sammenhang dem Sachverhalt zugeordnet werden

die Begriffe Periodizitt, Periodenlnge, aktueller Ausschlag, Startwert, Verschiebung und Spiege-

lung, wie sie fr die Erfassung der allgemeinen Kreisfunktion unabdingbar sind, erarbeitet werden.

Es knnen auch harmonische Vorgnge von anderen abgegrenzt werden.

Durch die Wahl der Gre Zeit wird eine mglicher Zugang zur Parameterdarstellung bereitet.

Die Entwicklung der expliziten Funktionsgleichung erfolgt erst im Anschluss an die nchste Teileinheit.

Anlsse

Anlass Schwerpunkt Anmerkungen

Quelle

Wetter in Lillehammer Tagestemperatur Nachttemperatur Sonnenstunden Regentage

Temperaturwerte das Ergebnis ist eine Jahreskurve, wenn mit lang-jhrigen Monatsmittelwerten gearbeitet wird; die Frage nach den Abweichungen (Klimaschwan-kungen) kann thematisiert werden

Reisefhrer Statistisches Jahrbuch

Sonnenaufgang/ Sonnenuntergang Tageslnge

die Daten beziehen sich auf wchentliche Anga-ben im Kalender

Kalender

Mondaufgang/ Monduntergang Mondscheindauer

die Fortschreibung eines jhrlichen Rhythmus wird durch das Beispiel inhaltlich gefrdert (peri-odischer Aspekt)

Kalender

Renn-/Teststrecken intuitiver Zugang zu Geschwindigkeitsgraphen (Weg-Geschwindigkeits-Graph)

MatheNetz 10, Wester-mann Verlag; Internet

EKG Nutzung von EKG-Aufnahmen Arztpraxis

Herzfrequenz Messung der eigenen Herzfrequenz Sonde fr Herzfrequenz mit CBL (Texas Instru-ments)

Bttcher-Datentechnik, Lbeck

Wasserstnde Wasserstnde an Kstenstandorten Bundesamt fr Schiff-fahrt und Hydrographie, www.bsh.de

64

Welches Wetter herrscht in Lillehammer?

Aus Reisefhrern oder anderen Datenquellen knnen Angaben ber langjhrige Monatsmittelwerte

zum Klima entnommen und dargestellt werden. Es lassen sich interessante Gesetzmigkeiten ent-

decken.

durchschnittliche Temperaturen in C Lillehammer

Tag Nacht

Sonnenstunden pro Tag Regentage

Januar -5,7 -12,1 1,1 9

Februar -3,7 -11,4 2,0 7

Mrz 1,7 -7,6 4,4 5

April 8,0 -1,8 6,3 7

Mai 14,7 3,1 7,1 6

Juni 19,8 7,8 8,0 11

Juli 21,8 10,5 7,6 13

August 19,6 9,2 6,6 11

September 14,2 5,0 4,5 10

Oktober 7,0 0,5 2,6 9

November 0,6 -4,1 1,3 9

Dezember -2,9 -8,2 0,5 1

Arbeitsauftrag

Verschaffe dir einen grafischen berblick ber die Wetterdaten und beschreibe die Graphen.

65

Graphen

Tagestemperatur Nachttemperatur Temperaturdifferenz

Abb. 1a Abb. 1b Abb. 1c

In der elektronischen Version befinden sich die Daten im Ordner Daten/Wetter.

L1: Nummerierung von 1 bis 12 L2: durchschnittliche Tagestemperatur in C L3: durchschnit

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Niedersachsen - nibis.de · für Schulentwicklung und Bildung (NLI) Keßlerstraße 52, 31134 Hildesheim Schriftleitung der Reihe „nli-Beiträge“ Geometrie Dr. Friedrich Winterhager