TECHNISCHE MECHANIK 5(1984)Heft1

Manuskripteingang: 23. 12. 1982

Numerische Untersuchung von periodischen Schwingungen des

Gestells ebener Mechanismen

Nguyen van Khang

l. Einleitung

Die Steigerung der Arbeitsgeschwindigkeit der Maschi-

nen bedeutet auch vergrößerte Trägheitskräfte. Diese

Kräfte wirken auf das Gestell. Deshalb ist es nötig, den

Massenausgleich an Mechanismen und die Schwingungen

des Gestells zu untersuchen.

Im folgenden werden die gleichzeitig parametererregten

und erzwungenen Schwingungsdifferentialgleichungen

des Gestells ebener Mechanismen beschrieben. Dann

wird die numerische Berechnung der dynamischen Stabi-

litätsparameter und der periodischen Schwingungen des

Gestells mit Hilfe der elektronischen Rechentechnik be-

handelt.

2. Schwingungsdifferentialgleichungen des Ge-

stells ebener Mechanismen

Um die Wirkung der am Gestell angreifenden Massen-

kräfte zu veranschaulichen, sei angenommen, da13 dieses

elastisch gelagert ist (Bild l). Die Bewegung soll aus der

statischen Ruhelage heraus betrachtet werden. Der Ein-

fluß des Eigengewichtes, der je nach Federanordnung

auftritt, wird außer acht gelassen. Die Herleitung der

Schwingungsdifferentialgleichungen des Gestells ebener

Mechanismen wurde in [l], [2] ausführlich behandelt.

Geht man von kleinen Schwingungen aus und verwirft

die nichtlinearen Glieder, so erhält man die linearen

Schwingungsdifferentialgleichungen des Gestells ebener

Mechanismen [2]:

.. I _ .. . I .

(mr + ms) 5F - (>32 mi Yi + mG noW’F + b1’51? - 2(‚E2mi5'0‘1’rI: l:

I I

+ 01151? + 012771? + (£13 *_22mi)’i)‘1’r : —‚22mixi (1)l: l:

.. I — . . ' I ‚ .

(mr +mG)"F + (.Ezmixi + ms EON’F + 1Jan + 2(_22mixi)‘I’Fl: l:

I u I u

+ c21h“ + c22 77F + (023 +i§2mixi)‘1’F Z -E2miyi (2)

I _ .. I _ u

452mm +l“I; "0)51? + (izmixi + "‘0 LOW

I .2 _2 I 2 2 _ I _ 1 ..

‘LUFJ’EJi+mG(1<’()+7?0)+.2 mi(X.+y~)+250.E mixi+2n0.2 miYil‘I’F1=2 1=2 ‘ ' 1:2 1:2

I _ I _ I _ .

+ ['03 + 2.22“1i(xi"‘i+Yi3'i)+ 250.22mi*i+ 2770.22miYi1‘I'Fl: l: l:

_ I

+0315F +032711? +033‘I’F 2‘50;

I

_‘2.. I. I ..

mi(xiYi”Yixi)_.2_: 11%l 2 1—2

l4

_ I N

miYi+noi§2mm

(3)

SF, 77F Koordinaten des Schwerpunktes F des Gestells

_ ‘ im raumfesten E-n-System

T" n 2—0, 50 Koordinaten des Punktes 0 im gestellfesten

System

y sci Drehung des Getriebegliedes i bzgl. x-Achse

\PF Drehung des Gestells bzgl. E-Achse

Vi Die F ederkonstanten cij (cü = werden nach den in

[1] beschriebenen Formeln berec net.

Für eine günstige Beschreibung der Bewegungsgleichun-

o gen des Gestells führen wir neue Bezeichnungen ein:

I

E11 3 E mi Xi

i=2 '

I

a2 2 .2 mi Yi (5)1:2

g g ä I 2 2/ ‚ / /,/ / .// a3 :

1—2

Bild l I

34 2 :2 [mi (xiyi’Yiii)+Ji 451] (7)

Dabei bedeuten:

bi Dämpfungsbeiwert Im Maschinenbau werden häufig ungleichmäßig über-

cij Federkonstante setzende Mechanismen mit gleichmäßig umlaufender An-

mi Masse des Getriebegfiedesi triebskurhel (ql = Q t) verwendet. Im folgenden soll die-

mF Masse des (hastens ser wichtige Fall untersucht werden. Damit sind a-l (Qt)

mG Masse des Getriebes (mG = 2 mi)

Xi, yi Koordinaten des Schwerpunktes des Getriebe-

gliedes i im gestellfesten x—y-System

(i = l, . . . , 4) periodische Funktionen von t mit der

Periode T = 2 Tr/Q:

Nun können die linearen Schwingungsdifferentialglei-

chungen des Gestells ebener Mechanismen (1) bis (3) in

I Anzahl der Geniebeglieder (i = 1 für Gestell) der folgenden Matrizendarstellung geschrieben werden:

Ji x Massenträgheitsmoment des Getriebegliedes i M (Q + B (at) + C (Qt) q Z h (Qt) (8)

bzgl. seiner Schwerpunktachse V

JF Massenträgheitsmoment des Gestells bzgl. seiner Dabei Sind:

Schwerpunktachse

mF+mG 0 —mGfio—32

Z 0 mF + mG mG £0 + a1

1.. _ _2 _2 _ _

—mG"0'-a2 mGEO+~alJF+i§21i+mG(£o+n0)+33+2£031+2noa2

b1 0 -2a2

mm) : 0 b2 2211 (10)

0 0 ä3+2€0ä1+2170ä2+b3

c11 c12 C13 - ä2

C(m) Z c21 C22 C23 + 51 (11)

C31 c32 c33

15

<I>(T) =

.. äl

um) = _ 52

-§0 ä21‘770 äl—a4

3. Bestimmung der Stabilitätsparameter und der

periodischen Lösungen eines linearen Diffe-

rentialgleichungssystems

Wir betrachten ein homogenes lineares Differentialglei-

chungssystem

, n), (13)

wobei psj (t) stetige periodische Funktionen von t mit

der Periode T sind.

Das Gleichungssystem (13) kann in der folgenden Matri-

zendarstellung geschrieben werden:

x = P(t)x (14)

ltS : P81(t)x1+"' + Psn(t)xn;(s=1,...

Es seien xsj (t) ein Fundamentalsystem von Lösungen

der Gln. (13). Der erste Index bezeichnet hier und im

folgenden die Nummer der Funktion in einer bestimm-

ten Lösung und der zweite Index die Nummer der Lö-

sung. Mit den Bezeichnungen

x11(T) X12(T)-~-x1n(T) 1 0.-.

x21(T) X22(T)-~X2n (T) ‚ E = 0 1

X111 Xn2 ' ' ‘ Xnn 0 0 - - -

(15)

läßt sich die charakteristische Gleichung des linearen

Differentialgleichungssystems mit periodischen Koeffi-

zienten (13) in der Form

|<I>(T) _ pEI = 0 (16)

beschreiben .

Zur Berechnung der Werte von Elementen der Matrix

(I>(T) werden wir eine numerische Methode benutzen.

Dazu teilen wir das Intervall [0, T] in m gleiche Teile der

Länge

h:ti—ti_1=

EIH

ein; h ist die Schrittweite. Die Teilpunkte sind:

0: t0 <t1<...<tm__l<tm = T

Nach dem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung [4]

werden die Näherungswerte von Elementen der Matrix

(I) (T) nach folgender Formel berechnet [5]:

W) 2314 Ai ' (17)

l6

q = "r (12)

Dabei sind:

M_1:

' h

ma h[P(ti_1)+4P(ti_1 +5) +P(ti)1

2 h 2 h h

+h [P(ti_1)P(ti-1+§)+P (ti—1+§)+P(ti—l+§)P(ti)]

3

mm) P2 (ti—1 +523) + P2(ti_1 + g) P091

4

+ E;— P<ti_1)P2<ti_1 +§>P<ti>} <i=1‚2‚...‚m) (18>

Aus Gl. (16) kann man die Ermittlung der Wurzeln der

charakteristischen Gleichung in die Berechnung der Ei-

genwerte und zugehörigen Eigenvektoren der Matrix

<I> (T) überführen:

(chm—Pk E) Yk = 0 (19)

Mithin setzt sich der Rechenalgorithmus zur Bestim-

mung der Wurzeln der charakteristischen Gleichung des

linearen Differentialgleichungssystems mit periodischen

Koeffizienten (13) aus folgenden Operationen zusam-

men:

1. Berechnung der Werte von Elementen der Matrix

(I) (T) nach der Formel (l7)

2. Berechnung aller Eigenwerte pk und zugehöriger

Eigenvektoren yk der Matrix (I)(T) nach der Glei-

chung (19).

Es ist zu beachten, daß die Eigenwerte und Eigenvek-

toren der nichtsymmetrischen reellen Matrizen komplex

werden können. Jedoch bei der Untersuchung der Stabi-

lität des linearen Differentialgleichungssystems (13) ist

es notwendig, nur den Eigenwert mit höchstem Betrag

zu berechnen.

Zur Bestimmung des stabilen Parametervektors des

linearen Differentialgleichungssystems mit periodischen

Koeffizienten (13) werden wir die in [6] aufgezeichnete

Methode benutzen.

Nun betrachten wir ein inhomogenes lineares Differen—

tialgleichungssystem

‚2 = P(t)x + f(t) I (20)

wobei die Matrix P (t) und der Vektor f (t) periodisch in

t mit der Periode T sind.

Wenn das Differentialgleichungssystem (14) keine perio-

dische Lösung mit der Periode T (außer der Lösung

x = 0) hat, so gibt es genau eine periodische Lösung mit

der Periode T vom Differentialgleichungssystem (20).

Daraus folgt: wenn alle Wurzeln pk der charakteristi-

schen Gleichung (16) dem Betrage nach kleiner als Eins

sind, so hat das Differentialgleichungssystem (20) genau

eine periodische Lösung mit der Periode T Zur nu-

merischen Ermittlung der periodischen Lösung des linea-

ren Differentialgleichungssystems mit periodischen Koef-

fizienten (20) läßt sich oft vorteilhaft die in [5] aufge-

zeichnete Methode anwenden.

4. Berechnung der dynamischen Stabilitätspara-

meter und periodischen Schwingungen des

Gestells

Mit den Substitutionen

q 0

x = .. ‚ mm) = '(21)

q LMJ

[ 0 i E

PM = ------ --:------- -- <22)i _M—lc 1' -M-IB

erhält man aus Gl. (8) das lineare Schwingungsdifferen-

tialgleichungssystem des Gestells ebener Mechanismen in

folgender Form

k z P(Slt)x + um) (23)

Hierbei sind die Matrix P(Q t) und der Vektor f(S2 t)

periodisch nach t mit der Periode T = 2 n/Q.

Mit der Matrizendarstellung (23) ist es günstig, die im

Abschnitt 3 aufgezeichnete Methode zur Berechnung der

dynamischen Stabilitätsparameter und periodischen

Schwingungen des Gestells ebener Mechanismen anzu-

wenden.

Entsprechend der angegebenen Methode wurde im Lehr-

stuhl Theoretische Mechanik der Polytechnischen Hoch-

schule Hanoi ein Teilprogramm zur Ermittlung der dyna-

mischen Stabilitätsparameter und periodischen Schwin-

gungen des Gestells ebener Koppelgetriebe aufgebaut.

Als Programmiersprache wurde FORTRAN verwendet.

5. Anwendungsbeispiel

Das mechanische Modell des Gestells eines viergliedrigen

Getriebes ist in Bild 2 dargestellt.

Die Daten des viergliedrigen Getriebes werden in der Ta-

belle l angegeben.

Außerdem müssen wir die Daten der geometrischen und

kinetischen Parameter des Gestells angeben:

Tabelle l

Glied l- n. m. J.

i (ein) (an?) (crib (kgö (kgc‘mz)

2 7,00 3,00 0,00 0,50 35,00

3 37,00 18,00 0,00 0,60 70,00

4 16,00 8,00 0,00 0.25 60,00

Bild 2

502-210, glz—Blüv E22—l0y§3=lo»g4=3lo

50: 210, 51 :——2l0‚ 1723—210, 7—2—3Z—2l0,174:—210

mF = 18kg, JF=7800kgcm2

kj=ko,1?j=k0 0:1,...,4)

Die numerische Berechnung dieses Beispieles erfolgte mit

dem Teilprogramm zur Ermittlung der dynamischen Sta-

bilitätsparameter und periodischen Schwingungen des

Gestells ebener Koppelgetriebe für mehrere Varianten

auf der EDV-Anlage Minsk—32.

0,5 ' l

mm \ l'

———— —-—n- 360min-' i

n-ZAOrnln"

Bild 3

l7

77:

AW" —————— n-360 m'n"' — n- 2190 min"

0.2"

0,1 - /___\

/// \\/ \

0 \ :180 350

\ / '\\\ /// 91

-01« M—flz

-0‚2-Bild 4-

V;

4 ———— n- 360 min"

n - 21:0 rrn‘n'1

ÜmZ -

Rad

{m1.- //“\\

/// \\

/ \\—————\/ \

/ \

0 \ -

f/ 180 \36052!

// \

/ \._ // \\

\_‚ // \\

Bild 5

Tabelle 2

norm-1) pm

240 0,602127

360 0,508802

Für die Dämpfungszahlen b1 = 0,5 kg/s, b2 = 0,5 kg/s, b3

= 0,05 kgm/s, die Federkonstante ko = ko = 200kp/cm

und die Länge lo = 10 cm werden die erhaltenen Berech-

nungsergebnisse in den Tabellen 2 und 3 sowie in den

Bildern 3 bis 5 dargestellt. Die Tabelle 2 zeigt den Betrag

der Wurzeln mit höchstem Wert der charakteristischen

Gleichung bei verschiedenen Umdrehungszahlen des An-

triebsgliedes.

Tabelle 3

t= 0s n= 240 min-1 n= 360 min-1

5F (m) 0,000224 0,000501

nF (m) _ 0,000001 _ 0,000000

\I/F (Rad) — 0,000729 — 0,001636

gF (m/s) 0,002318 0,011054

fa: (m/s) ~ — 0,000022 — 0,000197

\IIF (I/s) _ 0,008151 _ 0,039094

18

In der Tabelle 3 sind einige Berechnungsergebnisse der

Anfangswerte der periodischen Lösungen dargestellt. Die

Bilder 3, 4 und 5 zeigen an, wie sich die Schwingungen

des Gestells eines viergliedrigen Getriebes ändern.

LITERATUR

[I] Nguyen van Khang: Über die Relativbewegung ebener

Mechanismen. Rev. Roum. Techn. -— Mec. Appl. 23

(197a), N. 2, p. 311 _ 319.

[2] Nguyen van Khang: Zur Berechnung der dynamischen

Stabilitätsbedingungen und periodischen Schwingungen

des Gestells ebener Mechanismen. Rev. Roum. Techn. —

Mec. Appl. 25 (1980), N. 2, p. 269 — 284.

[3 ] Demidowitsch, B. P.: Lektionen über die mathematische

Stabilitätstheorie (russ.). Moskau: Verlag Nauka 1967.

[4 ] Collatz, L.: Numerische Behandlung von Differentialglei-

chungen. Berlin - Göttingen —— Heidelberg: Springer-Ver-

lag 1955.

[5 ] Ronto, W. A.: Über die Lösungen der linearen Differen-

tialgleichungssysteme mit periodischen Koeffizienten

(russ.). Sammelbd. „Metod integralnych mnogoobrasii w

nelineinych differenzialnych urawnenijach”. Kiew: Izd.

Institut für Mathematik 1973.

[6] Nguyen van Khang: Bestimmung der Stabilitätsparame-

ter eines linearen Differentialgleichungssystems mit perio-

dischen Koeffizienten (vietnames.). Journal of Mechanics,

Hanoi 1981, N. 3, S. 12 — 16.

[7 ] Hale, J. K.: Oscillations in nonlinear systems. New York:

McGraw-Hill 1963.

[8 ] Gumpert, W.: Zum Verfahren von Blaeß für die numeri-

sche Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Berichte des IV. lKM, Band 2, Weimar 1967.

Anschrift des Verfassers:

Dr.-Ing. Nguyen van Khang

Polytechnische Hochschule

Lehrstuhl Theoretische Mechanik

Hanoi