Physik A – VL9 (26.10.2012)

Angewandte Dynamik – Bewegungsgleichungen,

Beispiel: Planetenbewegungen

• Bewegungsgleichungen

• Beispiel: Planetenbewegungen

Bewegungsgleichungen

• Darstellung von Bewegungen über Bewegungsgleichungen:

2

2

dt

rdm

dt

vdmamF

0)( vtm

Fdt

m

Ftvdt

m

Fvd

v0 = 0: t

m

Ftv

)(

00

2

2

1)()( rtvtF

mdt

tvdtr

v0 = 0, s0 = 0:2

2

1)( tF

mtr

Anfangs- / Randbedingungen

tFvmvm

)(

Bewegungsgleichungen

• Beispiel: Darstellung des Wurfverhaltens über Bewegungsgleichung

gmF

Wirkende Kraft:

Vektorielle Bewegungsgleichung: Anwendbar auf beliebige Wurfbewegungen!

00

2

0

2

2

1

2

1)( rtvtgrtvtgm

mtr

Beispiel 1: senkrechter Wurf, Bewegungsgleichung in Komponentenschreibweise

1. Anfangsbedingungen:

0

00

0;

0

0

vvr

2. Bewegungsgleichung:

tvgttytr

0

2

2

10

)(

0)(

Vergleich mit Beziehung für Wurfhöhe aus kinematischer Betrachtung: 2

02

tg

tvh

Bewegungsgleichungen

• Beispiel: Darstellung des Wurfverhaltens über Bewegungsgleichung

gmF

Wirkende Kraft:

Vektorielle Bewegungsgleichung: Anwendbar auf beliebige Wurfbewegungen!

00

2

2

1)( rtvtgm

mtr

Beispiel 2a: schräger Wurf, BG in Komponentenschreibweise

1. Anfangsbed.:

00

00

0

0

00sin

cos;

0

0

v

v

v

vvr

y

x

2. Bewegungsgleichung:

2

00

00

2

1sin

cos

)(gttv

tv

tr

Gleichung für Ort der Kugel aus der Kinematik: 2

,0,02

1; gttvystvxs yyxx

gtv

vtv

00

00

sin

cos)(

Bewegungsgleichungen

• Beispiel: Darstellung des Wurfverhaltens über Bewegungsgleichung

gmF

Wirkende Kraft:

Vektorielle Bewegungsgleichung: Anwendbar auf beliebige Wurfbewegungen!

00

2

2

1)( rtvtgm

mtr

Bewegungsgleichung:

2

00

00

2

1sin

cos

)(gttv

tv

tr

Beispiel 2b: schräger Wurf, Wurfparabel aus Bewegungsgl.

00

00cos

cos

v

xttvx

2

0000

00

2

00cos2

1

cossin

2

1sin

v

xg

v

xvgttvy

2

0

22

0

0cos2

tan xv

gxy

Wurfparabel aus

Kinematik: 2

2

,0,0

,0

2x

v

gx

v

vy

xx

y

Bewegungsgleichungen

mit der Differentialgleichung

können alle Bewegungsvorgänge aufgrund ihrer Ursache (resultierende Kraft

auf den Körper) beschrieben werden.

rmvmamF

Die wichtigsten Zusammenhänge der Kinematik

Planetenbewegungen

Anwendungsbeispiel: Planetenbewegung und Gravitationsgesetz

• Massen ziehen sich gegenseitig an; Beispiel: Sonne und Planeten

• aus astronomischen Beobachtungen der Planeten kann das Gravitationsgesetz

hergeleitet werden

Johannes Kepler leitete mit Hilfe dieser Daten die Keplerschen Gesetze ab. Er erkannte jedoch nicht das Gravitationsgesetz, das er daraus hätte herleiten können.

Johannes Kepler(1571 – 1630)

Tycho Brahe(1546 – 1601)

Tycho Brahe sammelte von 1571 – 1601 mit bloßem Auge (ohne Fernrohr) sehr genaue Daten der Planetenbewegung

Planetenbewegungen

Geschichtliches: geozentrisches vs. heliozentrisches Weltbild

geozentrisches Weltbild (Ptolemäus 84-160 n. Chr.)

Einteilung der hellsten

Sterne in Tierkreiszeichen

(Antike)

Im Mittelalter:Hildegard von Bingen:

de operati dei

Erde ruht im

Zentrum des

Universums,

Planeten, Mond

und Sonne um-

kreisen sie.

heliozentrisches Weltbild (Nikolaus Kopernikus 1473-

1543, Galileo Galilei (1564 -

1642)

Sonne ruht im Zentrum,

Planeten umkreisen sie

Tag und Nacht lassen sich durch die Eigenrotation

der Erde erklären

Planetenbewegungen

Die Keplerschen Gesetze

1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem

Brennpunkt die Sonne steht

2. Ein von der Sonne zum

Planeten gezogener Fahrstrahl

überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Johannes Kepler(1571 – 1630)

3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die

dritten Potenzen der großen Halbachsen der Bahnellipsen.

.3

2

3

1

2

2

2

1 constCr

r

T

T

T1

T2

r2

r2

Planetenbewegungen

Johannes Kepler(1571 – 1630)

vereinfachende Annahme: Planeten bewegen sich auf

Kreisbahnen

Nach dem Gesetz von ‘actio = reactio’ wechselwirkt die Erde mit der Sonne.

Beide Körper ziehen sich mit der Kraft F an:

Johannes Kepler leitete mit Hilfe der Daten Tycho Brahes die Keplerschen Gesetze ab. Er erkannte jedoch nicht das Gravitationsgesetz, das er daraus hätte herleiten können.

Die Grundlage dafür schuf Newton:

Tycho Brahe(1546 – 1601)

r

M

m

F

F = m2r

Kraft der Sonne auf die Erde2

2 2

TmrrmmaF

3. Kepler’sches Gesetz:

.32

3

2

3

1

2

2

2

1 constrTCr

r

T

T

3

2

3

2

2

2 444

rCm

rCmr

TmrF

Gravitationsgesetz

Newton 1686

2

211

2

22

2

1068,64

mit 4

kg

Nm

CMG

r

mMG

rCMmMF

Planetenbewegungen

Bestimmung der Gravitationskonstante:

• Cavendish (1797) mit Gravitationsdrehwaage von John Michell

Messung der Kraft zwischen einer Probe und einer festen Masse

durch Messung der Anziehung zwischen den Massen:

Henry Cavendish(1731 – 1810)2

12

21

r

mmGFG

%21kg

Nm1075,6

2

211

1797,

CavendishG

• heutiges Experiment

Messung der Kraft über Torsionsfaden, Bestimmung der Auslenkung über Spiegel

und Licht-/Laserstrahl

2

311

s

kgm10673,6G

Planetenbewegungen

Planetenbewegung und Gravitationsgesetz:

Kosmische/astronautische Geschwindigkeiten

Geschwindigkeiten: 1. Umlaufbahn, Fluchtgeschwindigkeiten: 2. Erde, 3. Sonnensystem,

4. Milchstrasse

• um einen Körper der Masse m im Schwerefeld anzuheben, muss Arbeit gegen die

Schwerkraft geleistet werden:

Arbeit für Hub von r1 auf r2:

2

1

2

121

2

11r

r

r

r rrGmMdr

r

mMGdrFW

Arbeit für Hub von r1 = R = Erdradius auf Höhe h: r2 = R + h

hR

hmgR

hR

h

R

GmM

hRRGmMW

11

g auf der Erdoberfläche

(Erdradius R, Erdmasse M)2R

MG

m

Fg G 2r

mMGmaF

2

2

2 )()()(

hR

Rg

hR

MG

m

Fhg G

g in Höhe h über der Erdoberfläche

Arbeit für R >> h: mghhR

h

R

GmMW

Planetenbewegungen

Planetenbewegung und Gravitationsgesetz:

Kosmische/astronautische Geschwindigkeiten

1. kosmische Geschwindigkeit: Geschwindigkeit auf

einer stabilen Umlaufbahn

• Geschwindigkeit auf einer Umlaufbahn:

Schwerkraft = Fliehkraft: FF = FG

2

2

22

)()(

)(

hR

RmghgmF

hR

mvhRmF

G

F

)()(

2

hR

gRhv

• Für erdnahe Satelliten (h << R):

km/s 9,71 gRv

1. kosmische Geschwindigkeit

Planetenbewegungen

Planetenbewegung und Gravitationsgesetz:

Kosmische/astronautische Geschwindigkeiten

2. kosmische Geschwindigkeit: Fluchtgeschwindigkeit

von der Erde bzw. von einer Umlaufbahn

• Fluchtgeschwindigkeit von Umlaufbahn:

kinetische Energie so groß wie Arbeit,

um Körper ins Unendliche zu bringen

)/(1

1

2

1 2

hRmgR

Rh

hmgRWmvEkin

)/(1

2

hR

gRv

gRvh 2 km/s 2,1122 gRv

2. kosmische Geschwindigkeit

Planetenbewegungen

Erste und zweite kosmische Geschwindigkeit: Flugbahnen

km/s 2,112

km/s 9,7

2

1

gRv

gRv

http://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_%28Mathematik%29

Planetenbewegungen

Wie können Kräfte auf große Distanzen wirken ?

gelöst durch Konzept des Feldes:

Gravitationsfeld

Gravitationsgesetz

Eine kurze Diskussion des Gravitationsgesetzes:

• Analogie zwischen Gravitationsgesetz und zweitem Newtonschen Axiom: Masse

Masse ist Ursache für die Trägheit:

träge Masse

Masse verursacht Gravitationskraft:

schwere Masse

- Das Äquivalenzprinzip geht auf Überlegungen von Galileo Galilei (1636/38) zurück.

- Die Äquivalenz von träger Masse und schwerer Masse wird in Isaac Newtons

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) formuliert, bleibt aber dort

unerklärt.

- Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie (Albert Einstein 1916)

gmF sG

amF t

• experimentell findet man: träge Masse = schwere Masse:

ga

mm ts

Alle Körper fallen (bei vernachlässigter Reibung mit der Luft) im Erdschwerefeld gleich,

unabhängig von ihrer Masse.

Träge Masse kann sich ändern, schwere Masse nicht

Beispiel: Gewichtsbestimmung im Aufzug

• Wenn ein Aufzug startet oder bremst, ändert sich die

resultierende Kraft auf die Waage, nicht die Gewichtskraft:

gmmgF Messung „Normalfall“:

)(/ agmF real

downup Im Aufzug:

g

agmm real

Messung

)(

kg 70;m/s 1 2 realma

kg 9,66

kg 1,77

down

Messung

up

Messung

m

m

Zusätzliche Beschleunigung ändert die träge Masse, nicht aber die schwere Masse

Gravitationsgesetz

FFF G

up

FF

F

G

down

Zusammenfassung

• Bewegungsgleichungen

Mit der Differentialgleichung

können alle Bewegungsvorgänge aufgrund ihrer Ursache (resultierende Kraft auf den Körper)

beschrieben werden.

• Planetenbewegungen

• Planeten bewegen sich im heliozentrischen System: Sonne im Mittelpunkt, Planeten kreisen darum

• aus den Kepler‘schen Gesetzen kann das Gravitationsgesetz hergeleitet werden.

• Berechnung von 1. (7,9 km/s) und 2. kosmischer Geschwindigkeit (11,2 km/s)

• Diskussion des Gravitationsgesetzes

• Masse verursacht Gravitationskraft: schwere Masse

• Masse ist Ursache für die Trägheit: träge Masse

• Äquivalenzprinzip: träge Masse = schwere Masse

Alle Körper fallen (bei vernachlässigter Reibung mit der Luft) im Erdschwerefeld gleich,

unabhängig von ihrer Masse.

• träge Masse kann sich ändern (zusätzl. Beschleunigung), schwere Masse nicht

rmvmamF