Quantenoptische Effekte

moderat intensiver Laserfelder

Sebastian Will

Sommerakademie in Alpbach, September 2004

Arbeitgruppe 2: „Materie in intensiven Laserfeldern“

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Inhaltsübersicht

• Einführung

• Grundlegende Konzepte

• Licht-Atom-Wechselwirkung im Zwei-Niveausystem

• Licht-Atom-Wechselwirkung im Drei-Niveausystem

• electromagnetically induced transparency (EIT)

• lasing without inversion (LWI)

• Zusammenfassung

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Einführung

• Beantwortung der Frage für einfache, aber wichtige Spezialfälle.

• Beobachtung von unintuitiven Effekten:

• EIT: Strahlung wird nicht absorbiert,

obwohl eine „passende“ Frequenz eingestrahlt wird.

• LWI: Lasertätigkeit ist möglich,

obwohl keine Inversion im Medium vorliegt.

Wie reagiert ein Atom auf die Einstrahlung von Licht?

• Nur mit den Gesetzen der Quantenmechanik verständlich!

• Interferenzfähigkeit kohärenter quantenmechanischer Zustände!

4

Der Doppelspaltversuch – Welcher Weg?

ba 2

1

Experiment:

• Beschuss des Doppelspaltes mit einzelnen Elektronen

• Hinter Doppelspalt ist der Weg des Elektrons unbestimmt!

kohärente Superposition:

Es gibt Orte auf Schirm, wo Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null ist!

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Grundlegende Konzepte

• Diskrete Energieniveaus für Elektronen im Atom:Kontinuum

c

b

a

• Energieniveaus sind Eigenzustände des atomaren Hamiltonoperators:

aaH a0 wobei )(2

2

0 rVm

pH

• Beschreibung der Quantendynamik grundsätzlich durch:

Ht

i

Schrödinger-Gleichung

• Behandlung des Atoms: quantenmechanisch (einzelne Atome)

• Behandlung des Lichtes: klassisch („viele“ Lichtteilchen)HIER:

6

Das 2-Niveau-System

• Betrachte nur zwei atomare Niveaus, eingestrahltes

Licht monochromatisch und nahezu resonant.

d

EdV

• Wechselwirkungsenergie für Teilchen mit Dipolmoment in elektrischem

Feld: wobei ),( trEE

und red

• Dipolnäherung: Beachte, dass Wellenlänge des sichtbaren Lichtes

wesentlich größer als Ausdehnung des Atoms (Faktor: ~10000)!

Feld kann im Bereich des Atoms als konstant angesehen werden!

)(),(~),( 0 tEtrEtrE

a

b

7

Der 2-Niveau-Hamiltonoperator

• Allgemeinste Wellenfunktion des 2-Niveau-Atoms:

Wahrscheinlichkeitsamplituden

• Beschreibung der Dynamik durch Schrödinger-Gleichung:

)()( tHti

10 HHH wobei

• Atomarer Hamiltonoperator: bbaaH ba 0

8

Hamiltonoperator der Störung

wobei das Dipolmatrixelement definiert ist als:

)(1 tEreH

Es sei o.B.d.A.: )0,0,(EE

)(1 tEbbaaxbbaaeH

)(tEabdbade baab

abd

iabbaab edbxaedd *

mit 1 bbaa

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Dynamik der Wahrscheinlichkeitsamplituden

• Einsetzen von E-Feld in Schrödinger-Gleichung liefert:

)cos()( 0 tEtE

ai

Rbbb

bi

Raaa

CteiCiC

CteiCiC

)cos(

)cos(

• Wobei die „Rabi-Frequenz“ definiert ist als:

Hängt ab von: • Dipolmatrixelement

• Lichtfeldamplitude

• Transformiere in ein Bezugssystem, das mit Eigenfrequenzen und rotiert:a b

tibb

tiaa

b

a

eCc

eCc

Abspaltung der schnellen Dynamik!

und variieren nur noch langsam!ac bc

10

)(2

)(2

)()(

)()(

titia

iRb

titib

iRa

eeceic

eeceic

Die langsame Dynamik der Wahrscheinlichkeitsamplituden

• Einsetzen liefert:

Rotating-Wave-Approximation:

• Im Fall kleiner Verstimmungen :

im Vergleich zu extrem schnell oszillierender Term.

• Hier relevante Zeitskala:

ba

tie )( tie )(

1

-Terme sind vernachlässigbar!tie )(

11

Allgemeine Lösung des DGL-Systems

• Der Ansatz:

liefert die allgemeine Lösung:

wobei 2222 )( RR „verallgemeinerte Rabi-Frequenz“

• Spezialfall: 1)0(,0)0(,0 ba cc

12

Resonante Wechselwirkung im 2-Niveau-System

• Lösung: 2cos)(

2sin)(

ttc

titc

b

a

Oszillation zwischen Grund-

und angeregtem Zustand!

• Es gilt: 1)()(22

tctc baWahrscheinlichkeitserhaltung!

Absorption:

Elektronen werden angeregt.

Emission:

Elektronen gehen in Grundzustand.

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Erweiterungen des 2-Niveau-Modells

• Beschreibung des Systems durch Dichtematrixformalismus

• Einführen von spontanen Zerfallsraten

• Berücksichtigung der Stark-Verschiebungen durch Atom-Atom-Kollisionen

Man sieht dann:

In gedämpften 2-Niveau-Systemen ist keine Inversion erreichbar!

14

Das 3-Niveau-System

• Dynamik des Systems wesentlich vielfältiger als im 2-Niveau-System!

• Unerwarteter Effekt:

Trotz resonanter Einstrahlung:

keine Absorption bei geeigneter Präparation des Systems.

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Der 3-Niveau-Hamiltonoperator

• dipolerlaubte Übergänge:

verbotener Übergang:

ca

ba

cb

resonante Einstrahlung!

• 3-Niveau-Hamiltonoperator:

10 HHH mit

ccbbaaH cba 0

..2

2211

211 chcaeebaeeH tiiR

tiiR

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Dynamik im 3-Niveau-System

• Wellenfunktion des Atoms:

cetcbetcaetct tic

tib

tia

cba )()()()(

• Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung liefert:

ai

Rc

ai

Rb

ci

Rbi

Ra

cei

c

cei

c

cecei

c

2

1

21

2

1

21

2

2

2

17

Allgemeine Lösung des DGL-Systems

• Anfangszustand sei:

22

21 RR

ceb i 2sin2cos)0(

• Dann ist die allgemeine Lösung:

2sin2cos2sin

)( )(21

11

iR

iRa ee

titc

2sin4sin22cos2cos1

)( 221

21

222

21 tettc iRRRRb

2sin2cos2cos4sin21

)( 21

22

2212

21 iRR

iRRc ettetc

wobei

Atom in seinem Zustand gefangen, falls:

2121 ,2,RR

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Dunkelzustand

• Unter diesen Bedingungen sind nämlich:

• Anschauliche Erklärung:

0)( tca

2

1)( tcb

ietcc

2

1)(

STATISCH!

Es gibt zwei kohärente Wege für die Absorption, die destruktiv interferieren!

• Hier:

Keine Aufenthaltwahrscheinlichkeit auf bestimmtem Energieniveau.

• Ähnlich bei Doppelspalt:

Keine Aufenthaltswahrscheinlichkeit an einem bestimmen Ort.

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EIT – electromagnetically induced transparency

3112, undab

• Ähnlich wie oben, jedoch:

• schwacher Probe-Laser mit Frequenz

• starker Drive-Laser mit Frequenz

• Ausgangszustand:

• Berücksichtigung des spontanen Zerfalls

• Unter bestimmten Bedingungen absorbiert Medium keine Strahlung, z.B.:

• Anschauliche Erklärung:

b)0(

...

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LWI – lasing without inversion

Frage: Ist Lasertätigkeit möglich auch ohne Inversion?

Antwort: Ja! Denn wir haben gesehen: Man kann Absorption verhindern!

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Das Konzept von LWI (1)

• Wie oben: nur erlaubt.

• resonante Einstrahlung!

ca

ba

• Betrachte zwei Grenzfälle:

Anfangszustand:1 icba eccc

2

10,

2

10,00

Für kurze Zeiten: )21 (21

22)( i

Ri

Ra eeti

tc

mit 21 RR

21

222

cos14

)(t

tca

21Falls ist 0)(2

tca Dunkelzustand!

22

Das Konzept von LWI (2)

2 00,00,10 cba ccc

2

cost

tca

Anfangszustand:

2

sin*

1 titc R

b

2

sin*

2 titc R

c

1 t

titc Rb 2

*1

titc Rc 2

*2

Emissionswahrscheinlichkeit:4

)()(22

22 ttctc cb

Kombination der beiden Grenzfälle:

• Es ist stimulierte Emission auch ohne Inversion machbar!

• Ausblick: Bau eines Röntgenlasers!

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Zusammenfassung

• Das 2-Niveau-Atom führt bei der Einstrahlung von nahezu resonantem Licht

Rabi-Oszillationen aus.

• Die Dynamik des 3-Niveau-Atoms ist wesentlich komplexer:

• Durch Quanteninterferenzen kann sogar bei resonanter Einstrahlung die Absorption

ausbleiben.

• Dadurch sind folgende Effekte möglich:

• EIT – electromagnetically induced transparency

• LWI – lasing without inversion

FRAGEN?!

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Literatur

• Scully, Marlan O./ Suhail Zubairy, M.: Quantum Optics, Cambridge

University Press (1997)

• Sakurai, J. J.: Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley

Publishing Company (1994)