Quantitative Unternehmensführung: Denken in Austauschraten

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Vorwort

Am 14. Juli 2005 vollendet Klaus-Peter Kistner sein 65. Lebensjahr. Dieses Er-eignis sowie Wertschatzung, Dank und freundschaftliche Verbundenheit mit unse-rem akademischen Lehrer sind der Anlass zur Herausgabe der vorliegenden Festschrift, in der sich Freunde, Weggefahrten, Kollegen und Schliler aus Wissen-schaft und Praxis zusammengefunden haben, um den Jubilar mit Beitragen aus seinen breit angelegten Interessenschwerpunkten in Forschung und Lehre zu eh-ren. Da die wirtschaftswissenschaftliche Fakultat der Universitat Bielefeld seit nunmehr tiber 30 Jahren die wissenschaftliche Wirkungsstatte von Klaus-Peter Kistner ist, sind fast alle Autoren auf verschiedene Weise mit dieser akademischen Institution verbunden.

Der Titel der vorliegenden Festschrift wurde gewahlt, um die wissenschaftliche Position von Klaus-Peter Kistner zu beschreiben: Der Schwerpunkt seines Arbei-tens liegt auf der Entwicklung von quantitativen Modellen zur Unterstutzung von Entscheidungen der Unternehmensfuhrung. Sein okonomisches Credo ist dabei die Notwendigkeit eines Denkens in Austauschraten, um die Vorteilhaftigkeit von Entscheidungsalternativen unter Berticksichtigung von zumindest teilweise kon-fliktaren einzel-, aber auch gesamtwirtschaftlichen Zielen beurteilen zu konnen.

Die vorliegenden Beitrage lassen sich vier Themengebieten zuordnen, die gleichzeitig das wissenschaftliche Wirken und die vielfaltigen Interessen von Klaus-Peter Kistner widerspiegeln: Als Schliler von Horst Albach und wissen-schaftlicher Enkel von Erich Gutenberg hat Klaus-Peter Kistner stets groBen Wert auf die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre als Wurzel und Klammer der ver-schiedenen Spezialgebiete gelegt. Daher befassen sich die im ersten Teil zusam-mengefassten sechs Beitrage dieser Festschrift mit sehr unterschiedlichen Aspek-ten der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre.

Ein wesentlicher Schwerpunkt der Arbeiten von Klaus-Peter Kistner ist die be-triebliche Produktion. Gegenstand der vier Beitrage im zweiten Teil ist die Produktionstheorie, deren Weiterentwicklung in Bezug auf aktuelle Themen wie den Umweltschutz stets sein besonderes Interesse gegolten hat. Wahrend sich die Produktionstheorie in erster Linie mit den quantitativen Beziehungen zwischen den bei der Produktion auftretenden Faktoreinsatz- und Ausbringungsmengen befasst, steht bei der Produktionsplanung, der die drei Beitrage des dritten Teils zugeordnet sind, die Gestaltung und Koordination des Produktionsprozesses im Vordergrund.

Als Inhaber des Lehrstuhls fur Betriebswirtschaftslehre und Unternehmensfor-schung an der Fakultat fur Wirtschaftswissenschaften der Universitat Bielefeld ist Klaus-Peter Kistner auch der Weiterentwicklung und Anwendung von Methoden des Operations Research, das hier im vierten Teil mit zwei Beitragen zu den Be-reichen Warteschlangentheorie und genetische Algorithmen vertreten ist, stets eng verbunden gewesen.

VI Vorwort

Die Konzeption der vorliegenden Festschrift geht zu groBen Teilen auf das Wirken unserer im Herbst 2004 leider viel zu friih verstorbenen Freundin und Kollegin Frau PD Dr. Marlies Rogalski zurlick, die das Buch urspriinglich zu-sammen mit uns herausgeben und auch einen eigenen Beitrag verfassen wollte. Anstelle des Beitrags von Frau Rogalski finden Sie einen Abdruck ihrer letzten Veroffentlichung, die im Handworterbuch Unternehmensrechnung und Controlling erschienen ist. Wir widmen das Buch auch dem Andenken an Frau Rogalski und hoffen, dass das Ergebnis der von ihr mit initiierten Arbeit ihren Vorstellun-gen entspricht.

Wir wurden uns freuen, wenn die Beitrage der vorliegenden Festschrift nicht nur beim Jubilar, sondern auch bei einem breiten Leserkreis auf Interesse stieBen. Allen Autoren aus Wissenschaft und Praxis, die sich ohne Zogern zur Mitwirkung an dieser Festschrift bereit erklart haben, ist es zu verdanken, dass das vorliegende Werk zum Ehrentag von Klaus-Peter Kistner entstanden ist. Ihnen alien sei an dieser Stelle von Seiten der Herausgeberinnen gedankt fur ihr Engagement und ihre Fachkompetenz, die sie in den jeweiligen Beitragen unter Beweis gestellt haben.

Dank geblihrt auch Herrn Dipl.-Ok. Carsten Greb und Frau Auguste Lamers vom Lehrstuhl fur Produktionswirtschaft an der Ruhr-Universitat Bochum, die durch die technische Betreuung der Manuskripterstellung bzw. durch akribisches Korrekturlesen der Beitrage einen nicht unerheblichen Anteil an dem vorliegenden Werk haben.

Weiter danken wir alien Personen, Firmen und Institutionen, die einen finan-ziellen Beitrag zur Abdeckung der Druckkosten dieser Festschrift geleistet haben. Namentlich hervorheben mochten wir in diesem Zusammenhang Herrn Dr. Wolfgang Bollhoff, Herrn Michael J. Beck von McKinsey & Company, Herrn Ortwin Goldbeck, Herrn Sven Kistenpfennig, Herrn Wolf D. Meier-Scheuven, Herrn Gerd Seidensticker sowie Herrn Prof. Dr. h.c. Steiner fur ihr auBerordentliches Engagement.

Frau Dr. Martina Bihn und Frau Gabriele Keidel vom Physica-Verlag danken wir ftir die kompetente Hilfe bei den wahrend der Entstehungszeit aufgetretenen verlegerischen und satztechnischen Fragestellungen.

Essen und Leopoldshohe Marion Steven im April 2005 Susanne Sonntag

VII

Der Druck der vorliegenden Festschrift wurde freundlicherweise finanziell unter-stiitzt von:

B GOLDBECK

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a K I S T E N P F E N N I G

BOLLHOFF

Inhaltsverzeichnis

Erster Teil: Allgemeine Betriebswirtschaftslehre

Theorie der Produktion - Theorie der Firma 3 Horst Albach

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag 21 Alfred Luhmer

Der Einfluss der steuerlichen Behandlung von Schuldzinsen auf die Vorteilhaftigkeit fremdfinanzierter Investitionen 39 Rolf Konig

Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung 49 Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses 67 Ulrike Settnik

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsunternehmen 89 Stephan Schumacher

Zweiter Teil: Produktionstheorie

Applied Performance Measurement: A Case Study Using DEA and Other Frontier Production Function-Related Indexes 107 Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutern fur die betriebliche Praxis 125 Peter Letmathe

Betriebsplankostenrechnung 149 Marlies Rogalski t

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion 159 Susanne Sonntag

X Inhaltsverzeichnis

Dritter Teil: Produktionsplanung

Lerneffekte in der Materialwirtschaft 187 Marion Steven

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien 205 Christian Bierwirth

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen 223 Sven Behrens

Vierter Teil: Operations Research

A Modified (S-1, S) Perishable System Under Renewal Demands 247 Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

Ameisensysteme und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung 261 Martin Feldmann

Autorenverzeichnis 281

Erster Teil

Allgemeine Betriebswirtschaftslehre

Theorie der Produktion - Theorie der Firma

Horst Albach

Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat, Humboldt-Universitat zu Berlin

1. Einleitung

Im Jahre 2003 forderte Harald Dyckhoff eine „Neukonzeption der Produktions-theorie"^ Dabei geht es ihm insbesondere darum, die Produktionstheorie aus ih-rem „offenbar zu engen Korsett des traditionellen Verstandnisses von Produktionstheorie" zu befreien. Dieser Aufsatz hat erstaunlicherweise eine Diskussion uber Stand und Zukunft der Produktionstheorie ausgelost^. Zu dieser Diskussion soil hier ein kritischer Beitrag geliefert werden. Das erscheint umso wichtiger, als Dyckhoff die Notwendigkeit einer „Neukonzeption" mit der ebenso provokanten wie abwegigen Frage einleitet: „Ist die Produktionstheorie tot oder nur schein-tot?"^ Ich widme diesen Aufsatz meinem ehemaligen Mitarbeiter, meinem Kolle-gen und Freund Klaus-Peter Kistner in Dankbarkeit fiir seine Beitrage zur Produk-tionstheorie" .

2. Produktionstheorie als Theorie der Unternehmung

Es besteht offenbar Einvemehmen darUber, daB die betriebswirtschaftliche Produktionstheorie von Erich Gutenberg begrlindet wurde. Gutenbergs Erster Band „Die Produktion" ist also nicht eng, sondem eine umfassende Theorie der Unternehmung (theory of the firm). Sie baut auf dem Axiom auf, daB die Unternehmung ein produktivitatsorientierter, systembezogener Agent in der Marktwirt-schaft ist, der Produkte von gesellschaftlichem Nutzen herstellt, indem er unter der Leitung des dispositiven Faktors verschiedene Arten von Elementarfaktoren kom-biniert.

Dyckhoff (2003), S. 705-732 Vgl. die Aufsatze von Zelewski, SchneeweiB, Behrens, Houtman, Steinmetz, Corsten, Gossinger in Heft 5 der ZfB 2004. Dyckhoff (2002) Hier seien zunachst nur die beiden Hauptwerke erwahnt: Kistner, K-P: Produktions- und Kostentheorie, 2. Aufl., Heidelberg 1993; Kistner, K-P, Steven, M: Produktionsplanung, Heidelberg 1990.

Horst Albach

Die Produktionstheorie Gutenbergs ist also alles andere als eine linear-limitationale technisch zu verstehende Produktionsfunktion. Wenn das der Fall ware, hatte sich Konrad Mellerowicz nicht so zu ereifern brauchen. Aber er er-kannte wie Curt Sandig, daB Erich Gutenberg eine ganz neue AUgemeine Be-triebswirtschaftslehre entwickelt hatte. Der Streit iiber die Giiltigkeit des Ertrags-gesetzes war der Ausdruck des blanken Entsetzens darliber, daB es ein junger Mann gewagt hatte, den Altmeister der Betriebswirtschaftslehre, Eugen Schma-lenbach, vom hohen Sockel zu stUrzen.

Aber auch ohne solche dogmenhistorischen Betrachtungen zeigt die Lekture der „Produktion", daB hier eine allgemeine Theorie der Unternehmung vorliegt. Gutenberg spricht von der „Produktivitatsbeziehung". Die „Produktionsfunktion" ist nur der formale Ausdruck fur dieses „produktive System" Betrieb und Unternehmung. Ein Ingenieur mag den Output der Produktionsfunktion rein quantitativ verstehen, der Betriebswirt muB den Output als am Markt verwertbar verstehen. Die absatzpolitischen Instrumente der Leistungsverwertung sind in der „Produkti-on" schon mitbedacht, die Bedingungen ihres Einsatzes werden im Zweiten Band „Der Absatz" entwickelt.

Aber auch die Beschaffung der Faktoreinsatzmengen ist in der „produktiven Beziehung" mitgedacht. Im KombinationsprozeB werden Faktoren unterschiedli-cher Qualitat eingesetzt, ihre Ergiebigkeit hangt von einer Fulle individueller, technischer und marktwirtschaftlicher Bedingungen ab, und der jeweilige techno-logische Kenntnisstand in einer Gesellschaft kommt in den Faktorproportionen wertmaBig zum Ausdruck. Gutenberg hat Zeit seines Lebens besonderen Wert auf die Abschnitte iiber die Ergiebigkeit der Produktionsfaktoren gelegt. Sie bringen die Fiille seiner praktischen Erfahrungen, aber auch die Tiefe seiner Auseinander-setzung mit den Lehren von Alfred Marshall und Josef Schumpeter zum Ausdruck.

Gutenbergs Produktionsfunktion enthalt Produktionsfaktoren, die bei Vermeh-rung dieselbe Qualitat aufweisen. In Ricardos Produktionstheorie dagegen werden Ackerboden eingesetzt, die bei Vermehrung des Bodeneinsatzes immer schlechter werden. Das Problem der Qualitat in der Produktionstheorie ist also schon friih geklart worden. In seiner Schrift zur „Theorie der Qualitat und Quantitat in der Produktions- und Kostentheorie" hat Wolfgang LUcke dieses Thema jiingst wieder aufgegriffen^.

Ob die Formalisierung der Produktionstheorie Gutenbergs^ zu einer Verengung der Sichtweise gefuhrt hat, mag dahingestellt bleiben. Sie war notwendig, um bis-her nicht geloste Probleme in die Theorie der Unternehmung konsistent einbauen zu konnen.

5 Lucke (2003) 6 Vgl. z.B. Kistner (1981b), S. 145-151; Wittmann (1968); Wittmann (1962), S. 385-407;

Wittmann (1966), S. 11-36.


3. Umweltschutz in der Theorie der Unternehmung

Eine der Erweiterungen der Produktionstheorie war und ist die Einbeziehung der Nutzung von Umwelt in die Reihe der Produktionsfaktoren und der Herstellung von umweltschadigenden Kuppelprodukten. Diese Integration der Umwelt in die Theorie der Unternehmung erfolgte zwangslaufig aus der Theorie selbst, als er-kannt wurde, daB die Umwelt ein knappes Gut ist. In die Produktionsfunktion ge-hen namlich alle knappen Faktoren ein. In der alteren Produktionstheorie war die Umwelt ein freies Gut, sie hatte also keinen Platz in der Produktionsfunktion. Nun wurde sie zum knappen Faktor.

Klaus-Peter Kistner war nach meiner Kenntnis der erste Betriebswirt, der Um-welteinflusse in der Produktionstheorie berucksichtigte"^. Die Erweiterung der Produktionstheorie um Umwelteinflusse wird besonders deutlich, wenn man die erste Auflage von Kistners Produktions- und Kostentheorie mit der zweiten Auflage vergleicht. In der ersten Auflage erscheinen Umwelteinflusse noch nicht. Hier geht es um die Einbeziehung des technischen Fortschritts in die Produktionstheo-rie^ In der zweiten Auflage werden dann die „Umweltwirkungen der Produktion" thematisiert^. Mit Recht spricht Marion Steven von einer „Erweiterung produkti-onstheoretischer Konzepte um Umweltaspekte"^^. Noch im Jahre 1991 meinte Marion Steven, „daB Umwelt nicht gleichrangig zu den klassischen Faktoren in ein Produktionsfaktorsystem integriert werden kann"^^ Wenig spater unterscheidet Steven zwischen der Umwelt als Produktionsfaktor und der Umwelt als Gut. Die Entsorgung von Abfallen ist in ihrem Modell ein Inputfaktor, die Verwertung von Abfalien ist ein Output. Es geht ihr auch nicht um rein quantitative Beziehungen. Vielmehr stellt sie interessante Uberlegungen zu „Wertansatzen fur Umweltguter" an^ . In ihrer dynamischen Produktionsfunktion verbindet sie technischen Fort-schritt und Umweltschutz^^ Im Jahre 1993 legten Kistner und Steven eine schone produktionstheoretische Analyse von Umweltfaktoren und Umweltgiitern in In-put-Output-Systemen vor " , deren Ergebnisse die Autoren wie folgt zusammenfas-sen: Es besteht „eine weitgehende formale Aquivalenz von traditionellen Gutem und Umweltgiitern, so daB es moglich ist, bewahrte Konzepte der Produktionstheorie wie die lineare Aktivitatsanalyse um Umweltaspekte zu erweitern bzw. auf Umweltschutzprobleme anzuwenden. Insbesondere ist der Nachweis erbracht worden, daB auch eine um Umweltguter erweiterte lineare Technologic folgende neoklassische Eigenschaften aufweist: 1. Substitutionalitatsbeziehungen, 2. Er-tragsgesetzliche Beziehungen, 3. Transformationsbeziehungen"^^. Dyckhoff unter-

7 Kistner (1983), S. 389-395 8 Kistner (1981a) 9 Kistner (1993) 10 Steven (1992) (Vorwort) 11 Steven (1991), hier S. 521 12 Steven (1992), S. 79ff. 13 Steven (1992), Abschnitt 5.3; vgl. auch: Steven (1994a), S. 493-513 14 Kistner u. Steven (1993), S. 106-125 15 Kistner u. Steven (1993), S. 123

6 Horst Albach

scheidet den „ProzeBbezug" mit den Dimensionen Input und Output und die „0b-jektkategorie" mit den Dimensionen Gut, Neutrum und Ubel. Entsprechend wird dann unterteilt in die Gutfaktoren, die Beifaktoren und die Ubelfaktoren, entsprechend auf der Outputseite in die Gutprodukte, die Beiprodukte und die Ubelpro-dukte „AbfaH"^ . Marion Steven hat auch gezeigt, wie die Produktionstheorie mit Umweltfaktoren und -giitern auf Probleme der Produktionsplanung angewendet werden kann, als sie die umweltgerechte Gestaltung von Just-in-Time-Problemen untersuchte ' . Die Umwelt gehort heute zum selbstverstandlichen (weil knappes Gut) Stoff der Lehrbticher der Produktionstheorie^^ und der Allgemeinen Be-triebswirtschaftslehre^^.

4. Dienstleistungen in der Theorie der Unternehmung

In der achten Auflage seiner „Einfuhrung in die Produktionswirtschaft" stellt Christoph SchneeweiB fest , Dienstleistungen werden in der Produktionstheorie ungeniigend erfaBt. In der jiingeren Diskussion wiederholt er diese These und er-hofft von einer „Erweiterung (der Produktionstheorie) zumindest konzeptionelle Einsichten im Bereich der Dienstleistungsproduktion"^^ Erich Gutenberg verstand seine Produktionstheorie nicht als eine Theorie des Industriebetriebs. Nach seiner Ansicht umfaBt die „betriebliche Leistungserstellung" auch „die Bereitstellung von Diensten durch die Dienstleistungsbetriebe", und das schon im Jahre 195 P^. Gutenberg wies zugleich auf die Vielfalt der Dienstleistungsbetriebe hin: „Dienste Oder Dienstleistungen gibt es in vielerlei Art und Form". Er erwahnte ausdriicklich die Handelsbetriebe, die Kreditinstitute, die Transportbetriebe, die Versicherungs-gesellschaften und die Treuhandbetriebe. In einer jUngeren Arbeit von Marion Steven und Sonja Schade wird behauptet: „Bislang existiert in der Produktionstheorie kein allgemeiner Ansatz zur Analyse industrieller Dienstleistungen"^^ Ob das so ist, hangt von der Definition von „industriellen Dienstleistungen" ab. Aber wenn dem tatsachlich so ware, ist das ja nur Herausforderung, einen solchen allgemeinen Ansatz zu schaffen oder neue Teilprobleme zu losen, um schlieBlich zu einer allgemeinen Theorie vorzustoBen. Und gerade das tun Steven und Schade in ihrem schonen Aufsatz. Eine Ubersicht liber Dienstleistungsunternehmen^"^ und Dienstleistungsmarkte^^ ergibt eine groBe Vielfalt an Erscheinungsformen. Es ist daher verstandlich, daB es zunachst gait, eine Vorstellung vom Forschungsobjekt

i6Dyckhoff(1991),S.291f 17 Steven (1994b) 18 Dinke lbach u. Rosenberg (1994); Dyckhoff (1993); Steven (1998) 19 Albach (1999a) , Kapitel 9 20 SchneeweiB (2002) 21 SchneeweiB (2004), S. 501 22Gutenberg(1951), S. 2 23 Steven u. Schade (2004), S. 543 24 Albach (1989a) , S. 397-420 25 Albach (1989b)


aus der Empirie zu gewinnen, sodann theoretische Konzepte zu ubertragen oder zu entwickeln und schlieBlich den AnschluB an die Allgemeine Theorie der Unter-nehmung herzustellen.

Besonders eng orientiert sich Hedderich in seiner Theorie des Handelsbetriebs an Gutenbergs Produktionstheorie^^. In seinem Diskussionsbeitrag aus dem Jahre 1983 forderte er „einen geistigen Umbruch" in der Handelsbetriebslehre^'^. Er schlug die Entwicklung von Kapazitatsfunktionen fur die theoretische Durchdrin-gung der Warenprozesse vor. Die Warenprozesse stehen im Mittelpunkt seiner formalen Theorie des Handelsbetriebs^^. Sie durchlaufen mehrere Stufen mit ge-gebenen Kapazitaten. Die GroBe der Zwischenlager und „Wartesysteme" hangt von den Bearbeitungszeiten ab. Neben den „Produktionskosten" unterscheidet Hedderich auch die Transaktionskosten: Anbahnungskosten („Kontaktierungskos-ten" (Baligh-Richarts-Effekt)), die Verhandlungs- und AbschluBkosten („Eini-gungskosten" (Griebel-Effekt)), die Priifungskosten („Produktunterschiede") und die Transportkosten.

Von Dienstleistungsproduktion wird man fUglich wohl auch bei der universita-ren und der betrieblichen Ausbildung sprechen diirfen. Nicht alle Auseinanderset-zungen iiber Hochschulokonomie sind der Produktionstheorie zuzuordnen. Es sollte jedoch kein Zweifel daran bestehen, daB das Werk „Hochschulplanung" von Albach, Fandel und Schuler als ein Beispiel fiir die Integration des Dienstleis-tungsprozesses „Tertiarer Bereich" in die Produktionstheorie zu gelten hat . In dieser Arbeit wird auf eine Dissertation von Southwick aus dem Jahre 1967 hin-gewiesen, in der der ProduktionsprozeB einer Hochschule durch eine linear-homogene Produktionsfunktion beschrieben wird^°. Die Autoren der „Hochschul-planung" lehnen diesen Ansatz ab, weil die Produktionskoeffizienten zu hoch ag-gregiert sind und keinen Kontakt zu Studienordnungen, Priifungsordnungen und Kapazitaten von Raumen und Personal haben. Sie setzen sich auch mit den Versu-chen von Bolsenkotter auseinander, der die Lehrveranstaltung als Output und die Studenten, die daran teilnehmen, als Input in seiner Produktionsfunktion der Hochschule versteht^^ Albach, Fandel und Schuler betrachten die Hochschule als einen mehrstufigen Dienstleistungsbetrieb, der den Inputfaktor „Abiturient" mit anderen Inputfaktoren (Betriebsmittel, Werkstoffe, Personal unterschiedlicher Ka-tegorien) kombiniert und jedes Semester (entsprechend der Studienordnung) ein Zwischenprodukt bestimmter Qualitat herstellt, bis das Endprodukt „Absolvent" hergestellt ist und die Universitat/Hochschule verlaBt. Dieses theoretische Modell

^ Hedderich (1986), S. 484-499; in dem Aufsatz liber „Leistung und Kapazitat im Han-delsbetrieb" finden sich ein Ertragsgebirge und eine Abbildung, die Handelsformen als ProzeBgeraden im Sinne linear-limitationaler Produktionsfunktionen in einem System von Warenprozessen und Serviceprozessen beschreibt. Vgl. Hedderich u. Hedderich (1987), S. 793-815.

27 Hedder ich (1983) , S. 684-685 28 Hedder ich (1978) , S. 579-595 29 Albach et al. (1978) 30 Southwick (1967) 31 Bolsenkot ter (1968) , S. 214-226

8 Horst Albach

wurde unmittelbar fiir die praktische Kapazitatsplanung der Hochschule einge-setzt: Bei gegebener Kapazitatsausstattung und angenommener drop-out-rate nach jedem Semester (nach der Zwischenpriifung besonders hoch, hier aber auch An-satz zu zyklischer Produktion) kann eine bestimmte Anzahl von Hochschulanfan-gern aufgenommen werden. Wird einer Universitat eine bestimmte Anzahl von Studienanfangern zugewiesen, dann braucht die Hochschule eine wohl definierte Anzahl von Raumen verschiedener (von der Studienordnung und der gewiinschten Schuler-Lehrer-Relation abhangiger) GroBe und Ausstattung und eine bestimmte Anzahl von Assistenten und Professoren. Neben den Bildungsprozessen werden Forschungsprozesse unterschieden^^. Im Jahre 2004 haben GUnter Fandel und Steffen Blaga ein „produktionstheoretisches Beschreibungsmodell" der Dienstleis-tungsproduktion in Hochschulen veroffentlicht^^. In der Festschrift fiir Klaus Brockhoff betrachten sie die Qualitat von Studenten als Input und als Output von Bildungsprozessen eines jeden Semesters des Studiengangs, ganz im Sinne der „Hochschulplanung" aus dem Jahre 1978 " .

Ein ahnliches produktionstheoretisches Modell wie in Albach, Fandel, Schuler wurde fiir die Dienstleistung „Betriebliche berufliche Ausbildung" entwickelt und in der Praxis empirisch getestet^^. Auch hier wird der BildungsprozeB als ein line-ar-limitationaler ProduktionsprozeB angenommen, an Daten aus der Praxis empirisch iiberpriift und zur Berechnung der Netto-Investitionsausgaben fur berufliche Bildung in verschiedenen Ausbildungsberufen genutzt.

Eine „Krankenhausbetriebslehre" hat schon im Jahre 1973 der Gutenberg-Schiiler Siegfried Eichhorn vorgelegt^^. Von Dieter Farny stammt eine „Produkti-ons- und Kostentheorie der Versicherung*' " .

Eine umfassende Darstellung der Dienstleistungsproduktion hat Rudolf Maleri vorgelegt. Das Buch, auf der 1973 erschienenen ersten Auflage aufbauend, liegt heute in der vierten Auflage vor und verweist ausdrucklich auf die betriebswirt-schaftliche Produktionstheorie als theoretische Grundlage^^ Maleri untersucht eingehend die internen Produktionsfaktoren und die extemen Produktionsfaktoren des Kombinationsprozesses bei Dienstleistungen^^. Die Unterscheidung von internen und externen Produktionsfaktoren der Dienstleistungsproduktion hat sich

32 Vgl . auch: Schuler (1977), S. 123-145; Fandel (1977), S. 146-175. 33 Fandel u. Blaga (2004a), S. 119-138 3 Fandel u. Blaga (2004b), S. 390-406 35 Edding et al. (1974), S. 29-68 36 Eichhorn (1975) 37 Farny (1965) 3 Maleri (1997); mit dem „dienstleistungsspezifischen Produktionsfaktorsystem" hat sich

Maleri auch in dem von Gardini herausgegebenen Handbuch uber „Intemationales Dienstleistungsmanagement" beschaftigt. Vgl. Maleri (2004), S. 3-28. Die Meinung Ma-leris, da6 die meisten der in der Betriebswirtschaftslehre verbreiteten Faktorsysteme fiir die Erklamng der Dienstleistungsproduktion nicht geeignet seien, wird hier nicht geteilt. Die Begrundung gibt Maleri selbst (S. 16) bei der Gegenuberstellung intemer und exter-ner Produktionsfaktoren. Sie sind tiberwiegend identisch.

3 Mit den extemen Faktoren in der Dienstleistungsproduktion hat sich auch Ursula Frietz-sche (2001) ausfuhrlich beschaftigt.


durchgesetzt: „Die Produktion der Marktleistung erfolgt im Dienstleistungsbetrieb durch die Kombination der nach Herstellung der Leistungsbereitschaft bereitge-stellten betrieblichen Faktorpotentiale mit dem extemen Faktor und weiteren (in-ternen) Produktionsfaktoren. Es ist hierbei ein optimales Verhaltnis von Faktor-einsatzen zur Ausbringung zu finden. Die Beziehung zwischen Produktionsaus-bringung und Faktoreinsatzen wird als Produktionsfunktion bezeichnet'"^^.

Ob die Unterscheidung zwischen intemen und extemen Produktionsfaktoren wirklich notwendig ist und als criterium discernens fUr die Theorie der Dienstleis-tungsproduktion verwendet werden sollte, mag man bezweifeln. Meiner Ansicht nach sind zunachst die Produktivitatsbeziehungen zu klaren. Erst dann sind die Verftigungsrechte an den Produktionsfaktoren zu untersuchen. Die Vertragsbezie-hungen umfassen neben den Fremdleistungen auch Mitwirkungsbeziehungen der verschiedensten Art. Ein einfaches Beispiel mag diese Uberlegungen unterstrei-chen. Die JahresabschluBprlifung eines Unternehmens durch den Dienstleistungsbetrieb WP-Gesellschaft beginnt erst, wenn der Prlifer die Priifungsbereitschaft erklart hat. Daftir hat der Vorstand des zu priifenden Unternehmens zu sorgen. Der Faktorinput ist also ein prufungsfahiger JahresabschluB. Er ist der „Werkstoff" der Dienstleistung JahresabschluBprtifung. Der Priifer legt die Priifungsfelder unab-hangig vom Auftraggeber fest. An dem PrufungsprozeB selbst miissen die Mitar-beiter des Auftraggebers mitwirken. Sie sind Einsatzfaktoren, die sich nur in ih-rem rechtlichen Status, nicht jedoch in ihrer wirtschaftlichen Bedeutung von den Priifungsassistenten unterscheiden. Bei der Priifungsgesellschaft entstehen die Ausgaben ftir die Priifungsassistenten, bei dem gepriiften Unternehmen entstehen die Opportunitatskosten fiir die bei der Priifung eingesetzte Zeit. In die Produktionsfunktion gehen diese „externen" Faktoren also ununterscheidbar von den inter-nen ein. Bei den SchluBgesprachen mit dem Vorstand des gepriiften Unternehmens mag es zu Versuchen der Einwirkung auf das Priifungsergebnis kommen, und es kommt nach meiner Erfahrung auch vor, daB als Folge der Diskussion bei der Bilanzsitzung des Aufsichtsrats der Priifungsbericht umgeschrieben oder er-ganzt werden muB. Hier mag man dann von „externen" Produktionsfaktoren spre-chen, aber produktionstheoretisch bereitet die Einbeziehung dieser Faktoren in die Produktionsfunktion keine Schwierigkeiten. Es liegt nichts anderes als ein Produk-tionsprozeB mit Zyklen vor, und zyklische Produktionsstrukturen werden seit Ian-gem in der Produktionstheorie untersucht. Beispiele liefern vor allem Recycling-Prozesse^S Innovationsprozesse^^ und Transformationsprozesse'^^

40Frietzsche(2001),S. 186 1 Kistner u. Steven (1990), S. 211; Steven (1998), Abschnitt 3.3.2.1; Albach (1999a), S.

381; Dinkelbach (1987); Bruns u. Steven (1997), besonders S. 9 ff. uber „Zyklische Ent-sorgungsstrukturen".

2 DePay (1995) 3 Schmidt (1999); Reetz (1999); Wellershoff (1998); Albach (1995), S. 53-83; Albach

(1999b)

10 HorstAlbach

5. Organisation in der Theorie der Unternehmung

Dyckhoff vertritt die Ansicht, die Produktionstheorie vernachlassige die „Interak-tionen zwischen Subjekten", wortlich: „Die Vernachlassigung von Interaktionen zwischen Subjekten impliziert eine Abgrenzung der Produktionstheorie von der Managementlehre, besonders von der Organisation und der Personalfiihrung'"^^. Diese These tibersieht die ausfiihrliche Untersuchung der Ergiebigkeit des Faktors objektbezogene Arbeit im Ersten Band der „Grundlagen" von Erich Gutenberg. In diesem Kapitel verarbeitet Gutenberg die Erkenntnisse der relevanten Nachbardis-ziplinen wie Arbeitswissenschaft, Betriebssoziologie und Betriebspsychologie. Die Interaktionen mit Kollegen und Vorgesetzten werden ausfuhrlich diskutiert und auf ihre Wirkungen auf die Ergiebigkeit der objektbezogenen Arbeit hin un-tersucht. „Das Verhalten des einzelnen Menschen im KombinationsprozeB wird zusatzlich zunachst aus vorwiegend arbeitswissenschaftlichen und individualpsy-chologischen Determinanten hergeleitet: aus dem Gefuhl der Arbeitsverfremdung, aus dem LeistungsbewuBtsein und aus Geftihlen der Freundschaft und Solidaritat mit den anderen Mitarbeitem des Unternehmens, spater aus sozialpsychologischen Determinanten wie den gesellschaftlichen Strukturen und dem Interaktions- und Rollensystem des Unternehmens erklart"" . Dies ist dogmenhistorisch deshalb von Bedeutung, weil der Faktor Arbeit bis dahin in der mikrookonomischen Produktionstheorie als homogener Produktionsfaktor behandelt wurde. Gutenberg zeigt, daB es sich um einen sehr heterogenen Faktor handelt. In der Analyse der Ergiebigkeit der verschiedenen Arten und Qualitaten objektbezogener Arbeit werden sie aus der personalen Betrachtung in die funktionale Betrachtung transponiert, also gleichnamig gemacht, und gehen als ein homogener „funktionaler" Faktor in die Produktionsfunktion ein. „Der Betrieb ist ein auf funktionale Kooperation aller Menschen angelegtes Gebilde""^ .

Die Organisation ist in Gutenbergs Produktionstheorie auch dadurch beriick-sichtigt, daB der dispositive Faktor Aufgaben („Arbeitsverrichtungen") an die ob-jektgebundenen Mitarbeiter delegiert. Wenn diese sich im Sinne der Teambedin-gung verhalten und wenn die Informationsstruktur vollkommen ist, liegt eine optimale Organisationsstruktur vor. Davon geht Gutenberg im Ersten Band aus. „In der 23. Auflage ist die Betriebsorganisation eine Theorie der optimalen hierar-chischen oder kooperativen Leitungssysteme'"^''.

Gutenberg hat bewuBt darauf verzichtet, die Organisation in einer Produktionsfunktion zu formalisieren. Das haben diejenigen getan, die an dem Gebaude von Gutenberg systematisch weiter gearbeitet haben. Der erste, der sich der Aufgabe stellte, den dispositiven Faktor in die Produktionsfunktion zu integrieren, war Wolfgang Lucke. Im Jahre 1986 erschien sein Aufsatz „Dispositive Faktoren und Management - Eine vergleichende Betrachtung" in der Gedachtnisschrift fur Pro-

^4 Dyckhoff (2003), S. 722 5 Albach (1982), S. 6 6 Albach (1982), S. 5

^'^ Albach (1982), S. 10

Theorie der Produktion - Theorie der Firma 11

fessor Saburo Kojima' ^ Llicke stimmt Gutenberg darin zu, daB die schopferisch-innovative Unternehmerfunktion des dispositiven Faktors sich schlecht gesetz-maBig in einer Produktionsfunktion abbilden laBt" . Dies trifft jedoch nicht fiir die Funktionen Organisation und Kontrolle zu. Es ist durchaus moglich, diese Funkti-onen als differenzierte Arbeit in die Produktionsfunktion zu integrieren. Diese Uberlegungen muBten jedem Betriebswirt plausibel erscheinen, der sich mit Frederick Taylor's „Wissenschaftlicher Betriebsfuhrung" auseinandergesetzt hatte. Die Meister in Taylor's System iiben dispositive Funktionen aus, sie gehoren dem dispositiven Faktor an, ohne ihn in der von Gutenberg gemeinten vollen Breite ab-zubilden. Die Produktionsfunktion laBt sich also als ein zweistufiger Produkti-onsprozeB verstehen: die Meister wirken als Input auf die Ergiebigkeit des Pro-duktionsfaktors „objektgebundene Arbeit" in instruierender und kontrollierender Funktion ein, dieser so veranderte Produktionsfaktor geht dann als objektgebun-dene Arbeit in das Bearbeitungsobjekt, den Output, ein.

Diese Gedanken Taylor's finden sich in der Organisationstheorie von Martin Beckmann wieder. Beckmann wurde allerdings vor allem durch seine Kollegen an der Cowles Foundation, Jakob Marschak und Roy Radner, die die Teamtheorie als Theorie horizontaler Organisationen entwickelt hatten, dazu inspiriert, eine Theorie hierarchischer Organisationen zu formulieren. Sein Buch „Rank in Organizations"^^ hatte jedoch eine iiber diese Motivation hinausgehende Bedeutung. Die Produktionsfunktion, die Martin Beckmann fiir Dienstleistungsbetriebe entwickelt, enthalt zwei Typen von Arbeit als Produktionsfaktoren, die objektgebundene Arbeit und die (an-)leitende Arbeit. Beckmann spezifiziert die Produktionsfunktion funktional als Ertragsgesetz. Dadurch erhalt er eine eindeutige Losung: die Kon-trollspanne - und damit die Anzahl der hierarchischen Stufen im Unternehmen. Die Kontrollspanne ist der Quotient aus prozentualer Lohndifferenz zwischen ob-jektbezogener und leitender Arbeit. Das GroBenwachstum der Organisation (die Anzahl der Rangstufen) ist wegen der Linearhomogenitat der Produktionsfunktion nicht begrenzt. Mit „Rank in Organizations" stellte Beckmann die Verbindung zur Bildungsokonomie Gary Becker's her, in der die Theorie der differenzierten Ar-beitskrafte - angelernt und firmenspezifisch ausgebildet - eine zentrale Rolle spielt. Martin Beckmann hat seine Theorie der „Organizational Production Functions" in den bertihmten Tinbergen Lectures weiter ausgebaut^^ Besonders schon hat Jim Hess die Erweiterung der Produktionstheorie um die Theorie der hierarchischen Organisation formuliert: „The authority vested in the employer is mutually beneficial for the following reasons. Division of labor into a sequence of small tasks performed by specialized workers is productive because it allows the workers to accumulate task-specific skills, minimize set-up costs, and facilitate technological progress. When work involves synchronized labor of various types,

^^ Lucke (1986), S. 36-48; Der Aufsatz erschien als Arbeitsbericht 2/1991 unter dem Titel „Dispositiver Faktor - Management - Ein Vergleich" in Gottingen im September 1991.

"^ Vgl. zu einer ausfuhrlichen Darstellung der „Wurzeln der produktivitatstheoretischen Sichtweise des dispositiven Faktors": Hermann (1994).

50 Beckmann (1978) 51 Beckmann (1983), besonders S. 94-126

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the measurement of effort either by observing output or monitoring workers is difficult, so inspectors of labor inputs are desirable. The individual who holds the position of inspector has an advantage over the workers in efficiently acquiring information about the uncertain aspects of production. The workers' inability to verify the inspector's conclusions about the state of nature prevents the use of a contingency contract for employment of labor and thus narrows the choice of employment contracts to those which prespecify a work assignment independent of the state of nature or those which give the inspector authority to unilaterally adjust the assignments to best correspond to the state. Under very general conditions the ex post flexibility provided by an authoritative contract makes it desirable to incorporate the role of director with the role of monitor in the position of the boss"^^. Hess spricht damit einmal die Rolle des Inspektors als Instruktor im Sinne Beck-manns an. Zum anderen weist er auf die Rolle des Inspektors als Motivator im Sinne Arrow's hin^ .

Martin Beckmann hat die Organisations-Produktionsfunktion auf den Fall des Industriebetriebs, der mit Betriebsmitteln arbeitet, erweitert. Er benutzt auch fur die industrielle Produktion eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Die Ergeb-nisse andern sich gegenliber der Dienstleistungs-Produktionsfunktion nicht. Peter Witt hat mit einer Drei-Faktoren-Cobb-Douglas-Produktionsfunktion versucht, die Corporate Governance Systeme von Deutschland, Japan und den USA miteinan-der zu vergleichen^" . Unterstellt man nun aber Substitutionalitat der Produktions-faktoren nur bei der dispositiven Arbeit und macht die Limitationalitatsannahme von objektbezogener Arbeit und Betriebsmitteln fiir die Produktionsstufe der ob-jektgebundenen Arbeit, dann ergibt sich auf dieser Stufe eine andere Optimalitats-bedingung fur die Kontrollspanne als ftir die hoheren hierarchischen Stufen der Organisation. Die Kontrollspanne ist auf der untersten Hierarchiestufe stets kleiner als auf den hoheren Stufen. Je kapitalintensiver die Produktion ist, desto kleiner ist die Kontrollspanne^^.

Die Betriebsmittelausstattung wird in der statischen Produktionstheorie als ge-geben angenommen. Die Betriebsmittel als ein langlebiger Gebrauchsfaktor mtis-sen jedoch instand gehalten und schlieBlich ersetzt werden. Das sind MaBnahmen, die in den Aufgabenbereich des dispositiven Faktors fallen, also letztlich organisa-torische MaBnahmen. Fur die Instandhaltungs- und WartungsmaBnahmen haben Kistner und Luhmer eine Losung vorgetragen^^. In diesem Modell werden die Kosten des Betriebsmitteleinsatzes einschlieBlich der Instandhaltungskosten unter der Bedingung, daB die Nachfrage befriedigt wird, minimiert.

Investitionen in den Bestand an Betriebsmitteln werden in der Produktionstheorie als Ubergange von einer Produktionsfunktion auf eine neue verstanden. Diese Ubergange verursachen Anpassungskosten. Diese werden in den dynamischen

52 Hess (1983), S. 97 53 Arrow (1985), S. 47 54 Wit t (2004), S. 309-333 55 Albach (1982) , S. 13 5^ Kistner u. L u h m e r (1988), S. 63-83 ; vgl. auch die Ausftihrungen zum Betr iebsmit telein-

satz in der Produkt ions theor ie bei Kistner (1991), vor allem S. 149 ff.


Produktionsfunktionen vom Typ Epstein-Denny explizit modelliert ' . Auf die Weiterentwicklungen dieser Theorie braucht hier nicht im einzelnen eingegangen zu werden. Hier soil nur auf ihre Bedeutung flir die Einbeziehung der Organisati-onstheorie in die produktivitatsorientierte Theorie der Untemehmung hingewiesen werden. Bei limitationaler Produktion ist es nicht gerechtfertigt, zwischen kapital-gebundenem technischem Fortschritt und arbeitsgebundenem technischem Fort-schritt zu unterscheiden, wie es traditionell in volkswirtschaftlichen Wachstums-modellen geschieht. Vielmehr wird ein separater Produktionsfaktor „Know-how-Kapital" eingeftihrt, der auch das sog. Organisationskapital neben dem techni-schen Wissen und der Kenntnis der Markte umfaBt. Dieses Know-how-Kapital wird durch Organisationslernen verandert. Die Effizienz des Organisationslernens wird durch die Corporate Governance-Struktur beeinfluBt. Eine solche dynami-sche Produktionsfunktion hat Stefan Kayser entwickelt und empirisch getestet -mit Uberzeugendem Erfolg^^ Es ist angesichts dieses Standes der Forschung schwer einsichtig, warum die Theorie der Produktionsfunktionen „in Zukunft nur noch eingeschrankt Anregungen"^^ geben sollte. Hier ist vielmehr noch viel For-schungsarbeit zu leisten - im vorvertraglichen Bereich natUrlich.

Die dynamischen Produktionsfunktionen sind stets Bestandteile - im allgemei-nen Nebenbedingungen - von Entscheidungsmodellen, in denen der Kapitalwert von Cash Flows oder von Ausgaben maximiert bzw. minimiert wird. Die Produk-tionstheorie ist also stets „entscheidungsorientiert". Die Forderung nach einer „entscheidungsorientierten Offnung der Produktionstheorie" rennt also offene TU-ren ein^°. Die jiingste Veroffentlichung von Horst Wildemann zeigt sehr schon, daB Erlose, Gewinne und andere ZielgroBen den „Wertbeitrag der Produktion" ausmachen und daB „modulare Organisationsstrukturen" und „Organisationsler-nen" Forschungsgegenstande einer so verstandenen Produktionstheorie sind^^

6. Produktionstheorie und Produktionsmanagement

Die Kluft zwischen Theorie und Anwendung ist in fast alien Wissenschaften in den letzten Dezennien enger geworden. Gleichwohl ist nicht zu leugnen, daB sie besteht. Das gilt auch fiir die Produktionstheorie. „KochbUcher", welche diese Kluft nicht erkennen lassen, sind fur die Unternehmensplanung gefahrlich. Das Beispiel der Arbeitsablaufplanung ist ein schones Beispiel fiir die Verkleinerung der Kluft zwischen Theorie und Praxis. Vor funfzig Jahren hatten die Betriebswir-te in der Praxis nur Gantt-Charts zur Hand, wenn sie die Ablaufe in der Produktion von Mehrproduktuntemehmen mit mehrstufiger Fertigung losen wollten. Dank

57 Epstein u. Denny (1963), S. 647-674 58 Kayser (1999), S. 225f 59 Behrens et al. (2004) , hier S. 508 ^^Zelewski (2004) , S. 487 , hier S. 490 unter Verweis auf Dyckhoff (2003) , vor al lem S.

718f. 61 Wi ldemann (2004), S. 385-404

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der Fortschritte in der Diskreten Mathematik konnen heute Probleme mit tausen-den von Auftragen und tausenden von Maschinen optimal gelost werden.

Die Fortschritte in der Diskreten Mathematik haben auch erhebliche Bedeutung fur die Hierarchische Produktionsplanung, in der das Rucksack-Problem eine ent-scheidende Rolle spielt. Der Weiterentwicklung der Hierarchischen Produktionsplanung hat Klaus-Peter Kistner eine Reihe von wichtigen Beitragen gewidmet^^. In diesen Arbeiten setzt sich Kistner eingehend mit der Kluft zwischen Theorie und Praxis der Produktionsplanung auseinander. Er zeigt, daB die Kluft durch hierarchische Planung deutlich verkleinert werden kann, und zwar, well bei dieser Planungsmethode

1. genau definierte Planungsbereiche voneinander unterschieden und die wenigen Schnittstellen zwischen ihnen sinnvoll koordiniert werden,

2. die nattirliche Zeitstruktur des Planungsprozesses ausgenutzt wird, 3. die Datenfulle durch Aggregation reduziert wird.

Der Hierarchischen Produktionsplanung widmen Kistner und Steven daher auch einen groBen Teil ihres Lehrbuchs „Produktionsplanung"^^

Zu den Anfangen der Hierarchischen Produktionsplanung kann man auch die Bemtihungen zahlen, die Zentralitat der Produktionsplanung mit Hilfe der Linea-ren Programmierung durch Dezentralisation in der Organisation und Dekomposi-tion in der Durchfuhrung der Planung aufzuheben. Es ist bereits 1966 gezeigt worden, daB die dezentrale Planung bei vom Unternehmensziel abweichenden Zielvorstellungen der Unternehmensbereiche (Divisions) eine „hierarchische Ko-ordination" erfordert, wenn eine second-best-Losung vermieden werden soil. Die Zentrale hat stets „organisatorische Unsicherheit", sie kann das Problem des „cheating" nicht vermeiden^" . Heute wissen wir, daB im dezentralen Mehrpro-duktunternehmen mit knappen zentralen Ressourcen das Produktionsprogramm von Art und Form des Rechnungswesens, von den Zielvorgaben fur die Ge-schaftsbereiche und von den Wettbewerbern abhangt^ . Delegation als Instrument der Organisationsgestaltung fuhrt zu verscharftem Wettbewerb aller Unternehmensbereiche. Das sehr aggressive Wettbewerbsverhalten der Geschaftsbereichs-leiter kann von der Zentrale aber durch die Umlage von Fixkosten auf die Ge-schaftsbereiche gesteuert werden. Besonders interessant sind die Auswirkungen von anreizkompatiblen Vertragen auf die Produktionsentscheidungen in den Ge-schaftsbereichen. Der Geschaftsbereichsleiter verhalt sich am Markt besonders aggressiv - d.h. er produziert besonders viel und bietet die Produkte zu niedrigen Preisen an - wenn sein Gehalt an das Geschaftsbereichsergebnis gebunden ist. Wenn sein Gehalt sowohl an das Ergebnis seines Geschaftsbereichs als auch an

62 Kistner (1987); Kistner u. Switalski (1987) 63 Kistner u. Steven 1990; Kistner u. Steven (1991), S. 97-113; vgl. auch: Switalski (1989);

vgl. ferner: Fandel et al. (1994); in der 2. Auflage dieses Werkes wird nur kurz auf Vor-teile und Nachteile der Hierarchischen Produktionsplanung eingegangen: S. 521f.

64 Albach (1967), S. 332-438 , vor allem S. 362ff. und Anhang 3 65Neubauer(2001)


den Gewinn des ganzen Untemehmens gebunden ist, verhalt sich der Geschaftsbe-reichsleiter weniger aggressiv gegenuber seinen Wettbewerbern.

Wie dicht heute Produktionstheorie und Produktionsplanung beieinander lie-gen, zeigt das Werk von Alf-Joachim Harkort: „Die Schachbrettmontage"^^. In diesem Werk wird auf der Grundlage der Produktionstheorie von Erich Gutenberg ein komplexes System von Produktionsfunktionen auf drei Ebenen entwickelt, der Makroebene, der Mikroebene und der Logistikebene. Das Modell umfaBt alle Ar-beitsablaufstrukturen des Produktionssystems „Schachbrettmontage" und alle in-nerbetrieblichen Transportleistungen. Die Arbeitsablaufe und Transporte von einer Montagestation zur anderen werden in einem Film sehr eindrucksvoU abgebildet. Mit dem Modell konnen die Auswirkungen von Anderungen der GroBe der Mon-tagestationen (Anzahl der Arbeitsplatze), der Bearbeitungszeiten und der Trans-portzeiten auf den Output an Fahrzeugen simuliert werden.

7. Schlussbemerkung

Ziel dieser Bemerkungen zu Entwicklung und Stand der Produktionstheorie war es, die Behauptung zurtickzuweisen, es bedlirfe einer „Neukonzeption der Produktionstheorie". Es bedarf der systematischen Weiterentwicklung der Produktionstheorie. Klaus-Peter Kistner ist ein Vorbild fur alle Wissenschaftler, die wissen, daB sie „Riesen" sind, die auf den Schultern von „Riesen" sitzend am wissen-schaftlichen Fortschritt in der Theorie der Unternehmung auf produktivitatsorien-tierter Grundlage arbeiten und sich dariiber freuen, daB die nachste Generation von „Riesen" schon herangewachsen ist " .

Ich habe in diesem Beitrag nicht alle Forschungsergebnisse angesprochen, die Klaus-Peter Kistner auf dem Gebiet der Produktionstheorie vorgelegt hat, wie z.B. das LosgroBenproblem^^, das Wartungsproblem bei storanfalligen Anlagen^^, die Warteschlangentheorie^^ und die Probleme, welche von komplexen Produktions-strukturen aufgeworfen werden •'

Ich habe auch nicht alle Probleme angesprochen, die im Rahmen der Produktionstheorie behandelt und gelost worden sind. Hier seien nur beispielhaft das Problem der Mehrbetrieblichkeit'^^ oder das Problem der mehrstufigen Mehrprodukt-Produktion mit Zwischenlagern bei Unsicherheit liber die Nachfrage nach den Produkten' ^ erwahnt.

Die Forderung nach einer Neukonzeption der Produktionstheorie hat selbst ei-nen produktionstheoretischen Hintergrund: die Arbeitsteilung zwischen dem

66 Harkor t (2001) 67 Mer ton (1993) 68 Kistner u. Switalski (1988), S. 335-380 69 Kistner (1981c) , Kistner u. Subramanian (1974), S. 117-129 70 Kistner (1974) 71 Kistner u. L u h m e r (1977), S. 767-786 72 Schwalbach (1981) 73 Inderfurth (1992) , S. 1085-1104

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Denk-AnstoBer und dem Denker' ' . Ich freue mich daruber, daB Klaus-Peter Kistner zu den Denkern gehort, und ich wunsche ihm, daB er sich auch in den kommenden Jahren neuen Problemen stellt und sie durch Nachdenken lost, vîe er das in der Vergangenheit in so erfreulicher Weise getan hat.

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wirtschaft 74: 487-497

Variable kalkulatorische Abschreibungen -Ein Nachtrag

Alfred Luhmer

Fakultat fur Wirtschaftswissenschaft, Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg

1. Problemstellung

Die Frage nach der Bemessung kalkulatorischer Abschreibungen hat in den friihen achtziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts einiges Interesse deutschsprachi-ger akademischer Betriebswirte auf sich gezogen. Den AnstoB gab ein Aufsatz von Peter Swoboda (1979), der auf die einschlagigen Arbeiten von Preinreich (1937) und Hotelling (1925) aufmerksam machte. Auch Klaus-Peter Kistner und der Verfasser dieser Zeilen beschaftigten sich daraufhin mit dem Thema und un-tersuchten speziell das Problem der Auflosung der investitionstheoretisch ermittel-ten Abschreibungen in einen zeitablaufbedingten (fixen) und einen nutzungsab-hangigen (variablen) Anteil (1981, insbesondere S. 167 und 176f). Hans-Ulrich Kiipper (1985) hat den investitionstheoretischen Ansatz der Bemessung von Abschreibungen zu einer allgemeinen, investitionstheoretischen Fundierung der Kostenrechnung erweitert.

In neuerer Zeit hat Christoph SchneeweiB (2003) den Ansatz wieder aufgegrif-fen und als hierarchische Dekomposition eines Entscheidungsproblems identifi-ziert. In seinem Konzept unterstutzt die Investitionsrechnung die Entscheidungen liber die zur Verfugung zu stellenden Kapazitaten und die Ersatzpolitik, wahrend die Kostenrechnung die Entscheidungen der Kapazitatsnutzung unterstutzen soil. Die Investitionsrechnung nimmt dabei die Top-Ebene der Hierarchic ein, die Kostenrechnung die Basis-Ebene. Die Top-Ebene beeinflusst die Entscheidungen der Basis-Ebene durch Vorgaben („Instruktionen") und ist fUr ihre Entscheidungen darauf angewiesen, zu antizipieren, wie die Basis-Ebene auf die Vorgaben rea-giert. Dazu verwendet sie ein vergrobertes Modell der Entscheidung auf der Basis-Ebene. Die Entscheidung der Basis-Ebene uber die Nutzung des Potentials andert dessen Zustand, worauf die Top-Ebene bei den nachgelagerten Investitionsent-scheidungen reagiert. Das Modell der Basisentscheidung, von dem die Top-Ebene ausgeht, basiert auf der Vorstellung einer unendlichen Kette identischer Ersatzin-vestitionen, deren erstes Glied bereits einige Perioden der Nutzung hinter sich hat. Die Cash Flows in der Entscheidungsperiode der Kostenrechnung hangen von der tatsachlichen Inanspruchnahme ab. Der Investitionskalkul unterstellt demgegen-iiber eine konstante Planbeschaftigung. Die Abweichung zwischen tatsachlicher

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Beschaftigung und Planbeschaftigung fuhrt zu einer „Beschaftigungsabweichung" der Abschreibung, die als variable kalkulatorische Abschreibung interpretiert wer-den kann.

Der Wert der vorhandenen Maschine besteht darin, dass zur Aufrechterhaltung der Kapazitat nicht sofort ein Neukauf erforderlich ist. Als variable Abschreibung (d.h. als Grenzkosten der Maschinennutzung, die verursachungsgemaB fur einen Kostentrager zu kalkulieren sind) ist die Anderung dieses Wertes zu verstehen, die infolge der zusatzlichen Inanspruchnahme durch den zu kalkulierenden Kostentrager eintritt. Die variable kalkulatorische Abschreibung ergibt sich folglich als Dif-ferenz zwischen dem Barwert der Ersatz- und Instandhaltungsausgaben nach und vor optimaler Anpassung des Ersatz- und Instandhaltungsplans an die Inanspruchnahme durch den zu kalkulierenden Kostentrager.

Als Basis der Instandhaltungs- und Ersatzplanung vor Berlicksichtigung des zu kalkulierenden Kostentragers schlagen Kistner und Luhmer a.a.O. fiir den Fall einer stationaren Umwelt eine konstante erwartete Nutzungsintensitat vor, so dass sich die Grenzkosten der Maschinennutzung als Beschaftigungsabweichung dar-stellen lassen. Gegen die Annahme einer konstanten Planbeschaftigung bei der Moglichkeit kurzfristig abweichender Istbeschaftigung hat Reinhold Roski (1987) den Vorwurf der Inkonsistenz erhoben. Er kritisiert sie mit dem Argument, die Inanspruchnahme mlisse endogen bestimmt werden, statt sie exogen vorzugeben. In einem deterministischen Modell konne die tatsachliche Beschaftigung nicht von der Planbeschaftigung abweichen. Er schlug ein kontroll-theoretisches Optimie-rungsmodell vor, das Beschaftigung und Ersatzinvestitionen simultan optimieren soUte. Statt eines exogen vorgegebenen Pfades ftir die Nutzungsintensitat sei der angesichts der erwarteten Auftragslage optimale Pfad zugrunde zu legen. Die kon-trolltheoretische Modellierung optimiert die Nutzungsentscheidung simultan mit der Investitions- und Instandhaltungsplanung und definiert die Grenzkosten der Maschineninanspmchnahme mit Hilfe der Kozustandsvariablen zu den von der Inanspruchnahme abhangigen Zustandsvariablen. Zwar kann die Top-Ebene kon-troll-theoretische Kalkule einsetzen, um bei nicht-stationaren Erwartungen einen optimalen Pfad ftir die Nutzungsintensitat zu bestimmen. Auch dieser Pfad ist aber aus Sicht der Basisebene exogen und kann nicht deren detaillierte Informationen einbeziehen.

Bei Annahme im strengen Sinne deterministischer Erwartungen ist der Vorwurf der Inkonsistenz durchaus berechtigt. Hans-Ulrich Klipper (1988) hat jedoch das einfache Modell gegen diesen Vorwurf verteidigt. Das Konsistenzpostulat, wie es Roski erhebt, trifft namlich auf die praktische Schwierigkeit, dass der Verlauf der Nachfrage, der ftir die optimale Bestimmung der Inanspruchnahme bekannt sein mtisste, dies tatsachlich nicht ist. Investitionsrechnungen basieren stets auf unge-wissen Erwartungen. Sie bewerten Projekte ublicherweise anhand von erwarteten Cash Flows, die mit Hilfe eines risikoangepassten Kapitalkostensatzes diskontiert werden. Die Nutzungsentscheidung hingegen hat bereits eine wesentlich sicherere Informationsbasis als die Investitionsrechnung und kann von (fast) sicheren Erwartungen ausgehen. Die Inkonsistenz lost sich durch Hierarchisierung der Teil-probleme auf, entsprechend dem sehr allgemeinen Konzept, wie es SchneeweiB als theoretische Grundlage zur praktischen Bewaltigung von Interdependenzen

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag 23

ausgearbeitet hat und das im tJbrigen Voraussetzung jeder starren, roulierenden Planung ist.

Bleibt man aber bei Roskis Konsistenzanforderung, dann sieht man sich einem Spezialfall des so genannten Opportunitatskostendilemmas gegeniiber: die Oppor-tunitatskosten (hier die variablen Abschreibungen) werden erst zusammen mit dem optimalen Ersatz-, Instandhaltungs- und Nutzungsplan bekannt, dann aber nicht mehr gebraucht. Die Bestimmung variabler kalkulatorischer Abschreibungen hat also nur dann einen Sinn, wenn man von einer Situation hierarchischer Planung ausgeht. Sie sind aus dem Modell der Topebene zu bestimmen und dann den Entscheidungen der Basisebene zugrunde zu legen. Die Top-Ebene antizipiert zwar die Entscheidung auf der Basisebene, jedoch lediglich in Form eines vergro-berten Modells; sie muss ihre Entscheidung zum Teil festlegen, bevor die genauen Daten fur die Nutzungsentscheidungen bekannt werden und kann diese daher auch nicht detailliert vorweg nehmen. Sie kann lediglich in der nachsten Periode auf den Zustand reagieren, den die Nutzungsentscheidung der laufenden Periode her-beigefiihrt hat. Eine analoge Argumentation mag sich auch in anderem Zusam-menhang gegen den Einwand des Opportunitatskostendilemmas anfiihren lassen.

Die vereinfachende Annahme einer konstanten Nutzungsintensitat entspricht einer von zwei moglichen Vorgehensweisen, um eine Entscheidung auf einen Kostenkalktil zu reduzieren. Entweder man betrachtet eine individuelle Periode und berucksichtigt die Nachwirkungen der Entscheidungen fur diese Periode durch Bewertung eines geeignet modellierten Zustands am Periodenende oder man geht von einem stationaren, unendlich oft wiederholten Zyklus aus, wie beim klassischen LosgroBenmodell. Die zweite dieser Moglichkeiten beruht auf der Annahme einer konstanten Nutzungsintensitat. Ahnlich wie beim LosgroBenmo-dell ist in einem Modell roulierender Planung angesichts der Unsicherheit langfris-tiger Erwartungen bei zahlreichen Anwendungsfallen kaum zu erwarten, dass die Vernachlassigung von Nichtstationaritaten die Planung kurzfristiger Dispositionen wesentlich in die Irre fiihrt.

Die Investitionsrechnung auf der Grundlage erwarteter Cash Flows, die mit einem risikoangepassten Kapitalkostensatz diskontiert werden, ist allerdings Ein-wanden ausgesetzt. Besonders die Bestimmung des risikoangepassten Kapitalkos-tensatzes macht Schwierigkeiten. Als theoretische Grundlage dazu dient das Capital Asset Pricing Modell. Es beruht auf der Annahme, dass fur den Kapital-markt lediglich Erwartungswert und systematisches Risiko eine Rolle spielen. Der risikoangepasste Kapitalkostensatz fur ein Projekt ergibt sich als risikofreie Rendi-te + systematisches Risiko mal Marktpreis des Risikos, d.h. der Differenz aus Rendite des Marktportefeuilles und risikofreier Rendite. Zeitkonstanz der Parameter vorausgesetzt, erhalt man eine Kleinstquadrateschatzung des systematischen Risikos einer Anlage durch Regression der beobachteten Renditen der Anlage gegen die Rendite des Marktportefeuilles, das in der Regel durch einen umfassenden Aktienindex reprasentiert wird. Die Voraussetzung, dass die Regressionskoeffi-zienten im Lauf der Zeit konstant bleiben, ist in der Regel nicht erfullt. Daher ver-fiel man auf die Idee, das systematische Risiko durch eine multiple Regression un-ter Einbeziehung fundamentaler Kennzahlen des Unternehmens zu bestimmen. Auch das verbessert die Schatzungen kaum wesendich. Die Hohe eines plausiblen

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Kapitalkostensatzes wird von verschiedenen Autoren sehr verschieden einge-schatzt. Die in der Praxis verwendeten „Hurdle rates" erscheinen jedoch allgemein als sehr hoch; sie werden haufig als Instrument zur Bewaltigung eines „hidden in-formation"-Problems erklart. Bei aller grundsatzlichen Fragwtirdigkeit der Kapi-talwertmethode besteht fiir die Praxis bisher kaum eine vemunftige Alternative.

In neuerer Zeit wird noch ein anderer Einwand gegen die Kapitalwertmethode besonders hervorgehoben: wenn das Management die Cash Flows nach der ersten Investitionsentscheidung noch beeinflussen kann, dann unterstellt die Kapitalwertmethode allenfalls optimale Erwartungswerte der Cash Flows auf der Basis der Information im Investitionszeitpunkt, wahrend eigentlich fiir die Bewertung die erwarteten optimal an die jeweils herrschende Situation angepassten Cash Flows relevant sind. Harvey M. Wagner (1969) hat das in seinem klassischen Lehrbuch des Operations Research als „Fallacy of the Averages" bezeichnet. Die Kapitalwertmethode auf der Basis erwarteter Cash Flows vernachlassigt den Wert der von einem verniinftigen Betreiber der Anlage zu erwartenden optimalen An-passungen, mit denen er auf die im Laufe der Zeit zugehenden Informationen optimal reagiert. Wie die neuere Literatur zur Investitionsrechnung bei Ungewissheit zeigt, kann die Anwendung der Kapitalwertmethode auf erwartete Cash Flows da-her zu einer Unterbewertung von Investitionen fiihren. Diesen Fehler soil die Me-thode der Realoptionsbewertung vermeiden. Sie unterscheidet sich insbesondere dadurch von den herkommlichen Verfahren flexibler Planung, dass man im flexib-len Planungskalkiil nicht einfach den risikoangepassten Kapitalkostensatz fiir das durch die erwarteten Cash Flows charakterisierte Projekt verwendet, sondern dem Einfluss der durch die Flexibilitat sich andernden Risikocharakteristik auf die Ka-pitalkosten explizit Rechnung zu tragen versucht. Ziel der folgenden tjberlegun-gen ist, hieraus Konsequenzen fiir die Bemessung variabler kalkulatorischer Ab-schreibungen zu Ziehen. Sie soUen eine einfache, aber nicht zu unrealistische Modellierung des Abnutzungsprozesses einer Maschine daraufhin untersuchen, wie sich die Verwendung dieses Kalkuls auf die variablen kalkulatorischen Ab-schreibungen auswirkt.

2. Grundmodell: Variable kalkulatorische Abschreibungen auf der Basis erwarteter Cash Flows

Betrachtet sei eine Maschine, deren Nutzung stochastische Erlose G pro Zeitein-heit liefert. Die Realisation des Periodenerloses wird jeweils zum Periodenende beobachtet und bestimmt die Erloserwartung fiir die anschlieBende Periode. tJber deren Produktion wird am Periodenanfang entschieden. Dies ist durchaus nicht untypisch fiir die Nutzungsentscheidungen von Maschinen. So wird etwa am An-fang einer Flugplanperiode auf der Basis von Erloserwartungen entschieden, eine bestimmte Strecke zu bedienen, die entsprechenden Kosten sind damit fest dispo-niert. Es handelt sich um Betriebs- und Instandhaltungskosten, die von der kumu-lativen Inanspruchnahme und dem Alter der Maschine abhangen.


Die tatsachlichen Auszahlungen fur Instandhaltung und Betrieb sind sto-chastisch. Man denke etwa an die notwendigen Reparaturen eines Fahrzeugs. Al-lerdings kann man, so sei angenommen, aus dem vergangenen Verlauf der Zah-lungsreihe keine zusatzliche Information iiber deren zukunftigen Verlauf ableiten. Daher erfolgen auch keine Anpassungen der Instandhaltungs- und Ersatzpolitik nach Reparaturen. Die Zahlungen dafur werden also durch ihre Erwartungswerte erfasst. Der Erwartungswert der Instandhaltungs- und Betriebskosten sei alters-und nutzungsabhangig angenommen. Er bestehe aus einem fixen Anteil und einem variablen Anteil. Der fixe Anteil ist von der momentanen Inanspruchnahme x un-abhangig, der variable Anteil ist zur momentanen Inanspruchnahme proportional. Die variablen Stuckkosten und ein Teil der Fixkosten steigen mit der kumulativen Inanspruchnahme der Maschine ZQ - z, gemessen durch die Anzahl der Leistungs-einheiten, die die Maschine bisher erbracht hat. Die Konstante Zo dient dazu, den Einfluss des VerschleiBes auf die Kosten zu kalibrieren; je groBer zo, desto lang-samer wirkt sich der VerschleiB kostenerhohend aus; ZQ lasst sich als Leistungspo-tential der neuen Maschine im Sinne von Gutenberg (1983, 9. Kapitel, Abschnitt 1) interpretieren, die Zustandsvariable z als Restpotential der gebrauchten Maschine. Die Fixkosten enthalten auBerdem einen rein altersabhangigen Anteil F{t), Speziell habe eine Maschine des Alters t nach einer kumulativen Inanspruchnahme Zo - z erwartete Instandhaltungs- und Betriebskosten von

Z

pro Periode. Dabei muss man natlirlich die Koeffizienten CQ und C\ entsprechend anpassen. CQIZQ steht ftir die Fixkosten und Ci/zo ftir die variablen Sttickkosten je-weils im Neuzustand. Fiir z -> 0 gehen die Periodenkosten gegen Unendlich^ Wenn das Alter t der Maschine eine bestimmte Grenze Tmax uberschreitet, wird sie unbrauchbar.

Die Annahme mit der Inanspruchnahme steigender Betriebskosten war bereits in unseren fruheren Beitragen enthalten und hat bereits damals die Kritik von Adolf Stepan (1981, S. 13f und 69) hervorgemfen. Er hielt diese Annahme fur unrealistisch, Maschinen wur-den so lange betrieben, wie ihr Output und ihre Verfugbarkeit technisch definierten An-spruchen genugten, und dann abgeschafft. In der Tat haben Vorstudien zu einem kleine-ren Praxisprojekts zum Fuhrparkmanagement einer StraBenbauverwaltung unter Leitung des Verfassers innerhalb der beobachteten Lebensdauer der Fahrzeuge keinerlei Anhalts-punkte fur steigende Betriebskosten ergeben. Im Gegenteil sah es so aus, als ob die Kosten anfangs sanken, um dann innerhalb einer plausiblen Nutzungsdauer auf einem niedri-gen Niveau zu verharren. Die hier verwendete Modellierung geht auf diesen Einwand insofern ein, als sie einen langen Zeitraum praktisch flacher Kosten ermoglicht, dem schlieBlich gegen Ende der Lebensdauer im Erwartungswert stark ansteigende Kosten folgen. Das starke Ansteigen im Erwartungswert lasst sich dadurch rechtfertigen, dass gegen Ende der Lebensdauer das Risiko eines Versagens der Maschine stark steigt, was mit sehr hohen Kosten verbunden ist. Das gibt m.E. auch die Erfahrungen kostenbewuss-ter Autobesitzer gut wieder, die ihren Wagen so lange fahren, bis sie zu sehr furchten miissen, liegen zu bleiben oder zu verunglticken.

26 Alfred Luhmer

Anders als die beobachteten Ausgaben flir Instandhaltung und Betrieb seien die beobachteten Cash Flows als informativ fiir die kiinftigen Cash Flows angenom-men. Wiederum der Einfachheit halber sei unterstellt, dass der potentielle Cash Flow, der in der vergangenen Periode hatte erreicht werden konnen, wenn die Maschine eingesetzt worden ware, am Periodenende beobachtet werden kann. Wurde die Maschine tatsachlich eingesetzt, so entspricht dieser Cash Flow der betreffen-den Buchhaltungszahl, anderenfalls sollte die Marktforschung die entsprechende Information liefern konnen. Der erwartete Cash Flow der Folgeperiode, der als Grundlage der Einsatzplanung der Maschine dient, richte sich nach der Beobach-tung des Vorperioden-Cash-Flows. Die Maschine wird in der folgenden Periode eingesetzt, wenn der erwartete Cash Flow hoher ist als die variablen Kosten des Einsatzes, einschlieBlich der im Folgenden zu bestimmenden variablen Abschrei-bung. Dies ist eine Folge der (in der momentanen Inanspruchnahme) linearen Kos-tenfunktion. Wenn der erzielbare Stuckdeckungsbeitrag positiv ist, wird die Maschine mit ihrer voUen Kapazitat genutzt, anderenfalls iiberhaupt nicht. Die Leistungseinheit sei so skaliert, dass die Periodenkapazitat der Maschine gleich eins ist.

Als Anwendungen kommen Passagierflugzeuge, Reisebusse, LKW oder Schif-fe in Frage. Ein Unternehmen kann mehrere dieser Maschinen nebeneinander ha-ben. Sie konnen unabhangig voneinander bewertet werden, solange die erzielbaren Deckungsbeitrage von der verfiigbaren Kapazitat unabhangig sind, d.h. solange die Nachfrage nach den Leistungen zum gegebenen Preis vollkommen elastisch ist. Die gewahlte Modellierung spricht nicht dagegen, dass ein Fahrzeug in einer Periode Leerfahrten machen kann oder dass im Flugzeug Platze frei bleiben. Die Maschine arbeitet wahrend der vollen Periode, die verursachten Kosten sind nutz-lastunabhangig, die Nutzlast bestimmt aber den Deckungsbeitrag je Leistungseinheit.

Am Ende jeder Periode wird auf der Topebene daruber entschieden, ob eine Er-satzmaschine bestellt werden soil, die dann nach einer bestimmten Lieferzeit zur Verfugung steht. Die Ersatzpolitik werde nicht in Form eines bestimmten Ersatz-zeitpunkts, sondern als zustandsabhangige Regel definiert. (Jber die momentane Inanspruchnahme wird auf der Basisebene entschieden. Bei ihrer Entscheidung Uber die Ersatzpolitik antizipiert das die Topebene. Die Zustandsentwicklung hangt aber von der Inanspruchnahme ab, uber die die Basisebene entscheidet. Fur deren Entscheidungen sind wiederum die anzusetzenden variablen Abschreibun-gen maBgebend, die von der Ersatzregel abhangen.

2.1 Antizipierte Inanspruchnahmeentscheidungen in Abhangigkeit vom Zustand auf der Basis erwarteter Deckungsbeitrage und Ersatzregel

Die optimale Entscheidung zu bestimmen, ist ein dynamisches Optimierungsprob-lem. Zustandsvariablen sind: das Alter / und die kumulative Inanspruchnahme z der Maschine. Die optimale Entscheidung setzt sich grundsatzlich aus zwei Teilen zusammen, der Entscheidung, die Maschine zu behalten {x~^) oder abzuschaffen

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Bin Nachtrag 27

{X - 0) und - falls man sich entschieden hat, die Maschine zu behalten - der Ent-scheidung tiber die Nutzung in der laufenden Periode. Grundsatzlich kann es optimal sein, in einer Periode die fixen Kosten selbst dann in Kauf zu nehmen, wenn man nicht produziert, um die Maschine fiir zukiinftige Perioden zu erhalten, in de-nen die Produktion wieder profitabel ist. Wird die Maschine bereits vor dem Ende der maximalen Lebensdauer râx abgeschafft, so soil sie im Modell den Zustand z - 0 annehmen: xk^) = 0 => z = 0. Der Einfachheit halber sei ein Modell in diskre-ter Zeit betrachtet. Man beginnt bei t - T^^. Offenbar ist der Ertragswert in Tmax null: VCTmax. "i) = 0. Bezeichne g := EG und p =1/(1 + r) den Diskontierungsfaktor zum risikoangepassten Kapitalkostensatz r. Angenommen sei, dass die Kosten am Anfang der Periode zu bezahlen sind, wahrend der Erlos am Periodenende ein-geht. Dann erhalt man fiir den Ertragswert der Maschine die Rekursionsformel:

V(t,z) = max

pV(t + U-l) + p g - ^ O l ^ _ ^ ( ^ ) ; (/,z) = x( ,z) = l

pV(t-\-lz) 10 z

•F(t) x(t,z) = 0

X(t,z) = x(t,z) = 0

Durch Induktion sieht man, dass V{t, z) fiir alle t strikt monoton fallend oder null ist. Ist aber V(t -\-l, z) = 0, so ist es optimal, die Maschine schon in t abzuschaffen, es sei denn, in t ist es optimal, zu produzieren.

Wenn es optimal ist, in Periode t + I zu produzieren, dann auch in t. D.h. wenn die optimale Produktion in einer Periode t einmal null ist, dann ist dies auch fiir alle spateren Perioden der Fall, die Maschine kann dann sofort abgeschafft werden. Dies kann man wie folgt einsehen: Sei r + 1 die letzte Periode, in der die optimale Produktion positiv ist. Eine solche Periode muss wegen des endlichen Horizonts jedenfalls existieren. Bezeichne z den Ausgangszustand dieser Periode. Fiir diese Periode gilt dann:

F(r + l,z) = 0 + pg -^—^-F(^ + 1)> 0 z

Der Ausgangszustand in Periode tmuss dann z+ I gewesen sein, so dass:

28 Alfred Luhmer

F(^,z + l) = max

z \p + pg-^0 + 1

z - 1 •Fit)

Cr. +Cl

0

Z-1

Die Differenz der beiden ersten Alternativen ist gleich

(< o +< i) 1 1

z - 1 P + P^ • "" > p g - - ^ > F ( r + l ) > 0 ,

z - 1 z - 1

also positiv. Es kann also nicht optimal sein, in Periode t nicht zu produzieren, aber trotzdem die Maschine nicht abzuschaffen. Wenn jedoch V{t, z - 1) = 0 ware, dann ware die Maschine schon in t abzuschaffen und in f +1 konnte nicht mehr produziert werden. Daher muss es optimal sein, in t zu produzieren. Alter und VerschleiB laufen also planmaBig vollig parallel, es gilt z{t) = zo-t. Dennoch kann es ex post vorkommen, dass in einer Periode nicht produziert wird, obwohl in Zu-kunft ausreichende Deckungsbeitrage zu erwarten sind.

Aus diesen LFberlegungen folgt, dass die Top-Ebene in ihrer roulierenden Planung als Restlebensdauer der vorhandenen Maschine

T(tz) = mm\T^^^-t,z- ^0+^1 Pg

(2.1)

wahlt, worin \_yj die groBte ganze Zahl kleiner oder gleich 3; bezeichne. Die planmaBige Lebensdauer einer neuen Maschine ist T := 7(0, Zo)- Wenn die neue Maschine nach einer Lieferzeit / zur Verftigung steht, dann wird die Ersatzma-schine bestellt, sobald

max • / oder z = z- ^0+^1

pg gilt.

2.2 Der Wert der vorhandenen Maschine

Fiir die roulierende starre Planung ist der Ertragswert der vorhandenen Maschine bis zu ihrem geplanten Ersatzzeitpunkt:

nt,z) V(t,z)= X P'

T = 0

pS-S^l^-Fit) Z-T


Der gesamte Ertragswert einer unendlichen Ersatzkette von okonomisch gleichen Maschinen bei Annahme stationarer Deckungsbeitrage und Anschaffungskosten in Hohe von A betragt folglich:

W(t,z) = Vit, z) + p ('' > X p"^ [V(0, ZO)-A]

1 - /

Der Wert der vorhandenen Anlage besteht dann in der Differenz W{t,z) + A- W(0, ZQ). Als variable kalkulatorische Abschreibung der laufenden Periode wird die Top-Ebene dem Betrieb D(t,z) = W(t + l,z) - W(t + l,z + 1) vorgeben, namlich den Unterschied zwischen dem Wert einer in der laufenden Periode nicht genutzten Maschine im Vergleich zu dem einer genutzten Maschine zum Periodenende. Man erhalt:

D(t,z) = V(t +1 ,z ) - V(t +1,z-1) + (p^('+l'^) -p^ '+l--!))^^Q'"0>--^ \-p^

Die variable kalkulatorische Abschreibung hangt davon ab, ob der Ersatzzeitpunkt gemaB Gleichung (2.1) durch Abnutzung oder altersbedingt eintritt. Im zweiten Fall ist T(t +l,z) = T(t+l,z- 1), so dass

r=0 {Z-T){Z-T-\)

gilt. In diesem Fall wirken sich nur die abnutzungsabhangigen fixen und variablen Bestandteile der Betriebs- und Instandhaltungskosten auf die variable Abschreibung aus. Bei abnutzungsbedingtem Nutzungsdauerende schiebt sich dieses um eine Periode hinaus, man spart also zusatzlich die Kapitalkosten auf den Barwert der Ersatzkette, allerdings fallen dafiir die Betriebskosten der vorhandenen Maschine eine Periode langer an. Beide Effekte heben sich - der klassischen Bedin-gung fUr den optimalen Ersatzzeitpunkt entsprechend - annahemd auf, so dass diese Effekte vernachlassigt werden konnen. Weder die rein altersabhangigen Fix-kosten noch die Hohe der erwarteten Deckungsbeitrage haben einen Einfluss auf die variable kalkulatorische Abschreibung.

3. Variable kalkulatorische Abschreibungen bei flexibler Planung

Untersucht sei nun, wie sich die variablen kalkulatorischen Abschreibungen bei flexibler Planung auf der Top-Ebene bestimmen lassen. Der zufallsabhangige De-ckungsbeitrag sei dabei als multiplikativer Binomialgitterprozess modelliert, wie

30 Alfred Luhmer

dies in der Literatur zu Realoptionen (z.B. in Copeland u. Antikarov (2003) oder Luenberger (1997)) oft geschieht. Als theoretische Rechtfertigung dafiir lasst sich anfiihren, dass - wie Paul A. Samuelson (1965) gezeigt hat - ein informationseffi-zienter Futures-Markt, der haufige, unabhangige, rein zufallige Informationsereig-nisse zu verarbeiten hat, als Preisprozess einen Diffusionsprozess liefert. Als Approximation in diskreter Zeit entspricht dem ein Binomialgitter, das durch folgen-de Parameter bestimmt ist:

• die Faktoren u bzw. d, mit denen das Ausgangsniveau bei einer Aufwarts-bzw. Abwartsbewegung zu multiplizieren ist,

• die risikoadjustierten Wahrscheinlichkeiten p bzw. (1 - /?) fiir eine Aufwarts-sowie eine Abwartsbewegung der Zufallsvariablen G.

Die Parameter des Gitters sind durch Erwartungswert und Volatilitat des Diffusi-onsprozesses bestimmt (hierzu: z. B. Luenberger (1997), Abschnitte 11.1 und 11.9). Allerdings sind verschiedene aquivalente Gitterdarstellungen des Prozesses moglich, es besteht ein Freiheitsgrad in dem Gleichungssystem zur Bestimmung der Parameter. Insbesondere kann man ohne Einschrankung der Allgemeingultig-keit d= l/u setzen. Dies sei im Folgenden so angenommen.

Der Ertragswert der vorhandenen Maschine bei flexibler Planung basiert auf der Annahme, dass der risikoadjustierte Kapitalkostensatz r, den man bei der Er-mittlung des Ertragswerts bei starrer Planung verwendet hat, ein echter Marktzins ist, d.h. dass man die erwarteten Cash Flows fiir den mit seiner Hilfe berechneten Ertragswert am Kapitalmarkt verkaufen kann. Der Ertragswert tritt damit an die Stelle eines Kapitalmarktpreises fiir den starr geplanten Zahlungsstrom. Tom Copeland hat diese Annahme unter dem - wohl nicht ganz ironiefreien - Akronym „MAD" (fiir „Marketed Asset Disclaimer") eingefuhrt (Copeland u. Antikarov (2003), S. 94f). Kennt man zusatzlich den Zinssatz fiir risikofreie Anlagen, dann lasst sich aus diesen beiden „Assets" ein risikofreies Portefeuille konstruieren, dessen Wert zum risikofreien Zinssatz diskontiert werden kann, um zu einer (Pseudo-)Marktbewertung zu gelangen.

3.1 Wert einer Maschine bei festem Ersatzzeitpunkt

Die nun zu betrachtende Situation tritt immer dann auf, wenn der Ersatzzeitpunkt nicht zustandsabhangig bestimmt wird, sondern bereits festliegt, also auch im all-gemeinen Fall, wenn die Ersatzmaschine eine langere Lieferzeit hat und schon be-stellt ist. Bezeichne T den Lieferzeitpunkt der Ersatzmaschine. Dann gilt in T fiir den Wert der vorhandenen Maschine: V(T, z) = 0 fiir alle z. LFber den Freiheitsgrad des Binomialgittermodells sei so verfiigt, dass d= l/u. Fiir t <T sind zwei Falle zu unterscheiden, zum einen, dass die Maschine bis zur Lieferung der Ersatzmaschine in Bereitschaft gehalten werden muss und zum anderen, dass sie auch schon vorzeitig abgeschafft werden kann.

Zunachst sei der Fall betrachtet, dass die Maschine bis zum Ersatzzeitpunkt je-denfalls gehalten werden muss. Dann sind die rein zeitabhangigen Kosten F(t) ir-


relevant. Man erhalt ftir den Wert Vs{t, z, g) der Maschine im Zeitpunkt t die Re-kursionsgleichung:

Vs(t,z,g) = pf max Vs(t + l,z-\,gu)p + Vs(t + l,z-l,gd)(l-p) + g- ci

zpf

[Vsit +1, z, gu)p +Vs{t + \,z, gd\\ - p)

Co •F(t)

Die variable Abschreibung zum Ende der Periode t (also fiir ^ - 1 bis t) ist dann definiert als erwarteter Wertverlust der Maschine infolge der Produktion, d.h. als:

Ds (t, z, g) = Vs(t^ 1, z, gu)p -hVsit^ 1, z, gd)(l - p)

-{Vs{t-^\,z-\,gu)p^-Vs{t + \,z-\,gd){\-p)) (3.1)

Kann man dagegen die Maschine jederzeit vor der Lieferung der neuen stilllegen und damit auf ihre Kapazitat verzichten, so erhoht sich der Wert der Maschine, weil die Fixkosten abgebaut werden konnen, wenn sich absehen lasst, dass sie durch die Produktion nicht gedeckt werden. Der Wert der Maschine mit Stillle-gungsoption folgt dann der Rekursionsgleichung:

F(/,z,g) = max^

Pf max

Co

V{t +1, z - 1 , gu)p + V(t + l,z-1, gd)il - p)

+ g-zpf

y{t +1, z, gu)p + V(t +1, z, gd)il - p)

•F(t)

0

Die variable Abschreibung ergibt sich analog zu (3.1) (ohne den Subindex S). Die Entwicklung beider Werte sowie die der nutzungsabhangigen Abschreibungen las-sen sich leicht mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms berechnen. Ein Beispiel zeigt Abb. 1.

32 Alfred Luhmer

Daten go = Co =

5 1 3 4

i'f =

u = P =

0,98 2

0,6

t = F,= g =

0 2 5

1 1,2 10

2,5

2 1,3 20

5 1,25

3 1

40 10

2,5 0,6251

Behalten bis zum Ersatzzeitpunkt Zo

4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1

1 1

Vs(t,g,z) 1 20,72 34,03

2,989

31,21 1,205

41,9 7,036

-1,529

40,92 6,049

-2,087

38,29 3,638

-2,711

37,21 7,8

0,45 -1,25 36,87 7,467 0,117

-1,333 36,2

6,8 -0,55

-1,5 34,2

4,8 -2 -2|

Mit Stilllegungsoption Zo

4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1

1 1

V(t,g,z) 1 21,42 34,12

3,934

31,52 2,517

41,9 7,036

0

40,92 6,265

0

38,29 4,422

0

37,2| 7,8

0,45 0

36,87 7,467 0,117

0 36,2

6,8 0 0

34,2 4,8

0

o|

B inomialgitterdarstellung des Erlosprozesses

Variable Abschreibung x^^ t = l 2,407

2 0,987 0,815

3 0,333 0,333 0,2331

2,54 1,696

0,667 0,667 0,467

21 1,78 1,07

t = l 2,127

2 0,9

0,463

3 0,333 0,333

0,2|

2,313 1,106

0,6671 0,447

0,07|

2 1,2

0

Variable Abschreibung x'

0 u\

^

1 2 1 1 1 1

1

1 1 0 1|

0

3 1 1 1 0 1 1 1

i_o_

oQl 0

0 1 2 3 1 1 1 1 1 1

0 1 0

1 1 1

0 1 0

1 1

CD 1 0 0

0 1

•HO]

Abb. 1. Wertentwicklung und variable Abschreibung einer Maschine wahrend der Liefer-zeit der Ersatzmaschine


Die Wertentwicklung ist in Abhangigkeit vom Zustand z gezeigt; die einzelnen Zellen korrespondieren fiir jeden Zustand z zu den entsprechenden Zellen des Bi-nomialgitters des Erlosprozesses. Zellen fiir Zustande, die nicht auftreten konnen, sind leer gelassen. Auch die variablen Abschreibungen sind nach demselben Muster wie die Erlose im Binomialgitter des Erlosprozesses angeordnet; sie sind Er-wartungswerte zu den risikoangepassten Wahrscheinlichkeiten (also Sicherheits-aquivalente), wie sie sich im Zeitpunkt der Produktionsentscheidung darstellen. (Der angegebene Zeitpunkt ist aber das Periodenende.) Im rechten Drittel der Ta-belle sind die zustandsbedingten optimalen Produktionsmengen eingetragen.

Die Pfeile zeigen die Folge der Produktionsmengen an fiir die Erlosentwick-lung u->d-û^û, Wie man sieht, kann es durchaus vorkommen, dass die Produk-tion selbst ohne Stilllegungsoption unterbrochen und dann wieder aufgenommen wird.

Die Stilllegungsoption erhoht den Wert der Maschine erheblich. Man kann leicht Beispiele konstruieren, bei denen die Maschine ohne die Stilllegungsoption einen negativen Wert hat, mit Stilllegungsoption dagegen einen positiven, ja sogar kann es - je nach Erlosentwicklung - vorkommen, dass sie dann sogar bis zum Schluss durchgehalten wird. Die Stilllegungsoption hat natiirlich nur dann einen positiven Wert, wenn die Fixkosten positiv sind, d.h. wenn CQ > 0 oder F{t) > 0 fiir mindestens ein /. Erscheint eine Null am Anfang einer Zeile in der Werttabelle, so bedeutet das, dass es optimal ist, die Maschine in der betreffenden Periode bei dem betreffenden Zustand abzuschaffen. Rechts davon auftretende positive Werte konnen nur dann realisiert werden, wenn die Maschine vorher nicht abgeschafft wurde. Das kann dann der Fall sein, wenn der Erlosprozess einen Abwartsschritt macht, um den betreffenden Wert zu erreichen. Die Werte werden aber jedenfalls fiir die rekursive Berechnung der Vorperiodenwerte benotigt. In dem Beispiel zeigt sich, dass die Stilllegungsoption insgesamt zu hoheren Produktionsmengen fiihren kann als der Zwang zum Behalten.

Behauptung: Die Moglichkeit der vorzeitigen Stilllegung reduziert die variable Abschreibung.

Der Beweis kann induktiv gefiihrt werden, ist aber trivial und wird daher weg-gelassen. Der Effekt ist darauf zuruckzufiihren, dass die Nachwirkungen produkti-onsbedingter Zustandsverschlechterungen durch die Stilllegung abgeschnitten werden. Dieser Effekt ist jedoch nicht allein auf die verschleiBzustandsabhangigen Fixkosten CQJZ zuriickzufiihren. Wie das Beispiel in den Abbildungen zeigt, konnen die variablen Abschreibungen durch die Stilllegungsoption selbst dann strikt abnehmen, wenn CQ = 0 ist. Das hangt damit zusammen, dass in Perioden, in denen die Maschine bei Stilllegungsoption schon nicht mehr da ware, bei zwangsweisem Festhalten an der Maschine Produktion verlustreduzierend sein kann. Die Be-triebskosten dieser Perioden werden aber durch Produktion in friiheren Perioden verschlechtert; dieser Umstand kommt in einer hoheren nutzungsabhangigen Abschreibung zum Ausdruck. Das ist durchaus kompatibel mit der Beobachtung des Beispiels, dass bei Stilllegungsoption (bei der angenommenen Erlosentwicklung) in alien Perioden produziert wird, wahrend die hohere variable Abschreibung bei Zwang zum Behalten in der zweiten Periode zum Produktionsstopp fiihrt. Bei die-

34 Alfred Luhmer

ser Erlosentwicklung wird die Maschine auch bei StilUegungsoption bis zum Schluss durchgehalten.

Abb. 2 zeigt fur das Beispiel die Abnahme der variablen Abschreibung durch die StilUegungsoption.

Abnahme der variablen Abschreibung durch StilUegungsoption

^0

4

3

2

0,44204 0,026133 0,137867

0,28684 0,596811

0 0,0333333 0,0833333

0 0,0666667 0,1666667

0,065 0,2975

0,401056

Abb. 2. Wirkung der StilUegungsoption auf die variable Abschreibung

3.2 Ersatzoption bei einperiodiger Lieferzeit

Nun sei der entgegengesetzte Fall betrachtet, dass die Maschine jederzeit gegen feste Anschaffungskosten A ersetzt werden kann. Die neue Maschine wird dann am Ende der Periode verfugbar, zu deren Beginn die Ersatzentscheidung getroffen wurde.

Eine perfekte Analogic zum deterministischen Modell der unendlichen identi-schen Ersatzkette ist hier allerdings nur schwer zu erreichen. In jedem moglichen Ersatzzeitpunkt ist dazu eine zustandsabhangige Schatzung des Wertes der Ersatzkette erforderlich, die - streng genommen - denselben Flexibilitaten Rechnung tragen muss, die im Anfangsglied der Kette bestehen. Die Realoptionsliteratur halt hierzu meines Wissens noch keine Losung bereit, man verwendet vielmehr den Wert der Investition ohne die Flexibilitat. Mit anderen Worten modelliert man die Situation als Kaufoption auf das Projekt ohne Flexibilitat.^

Allerdings erscheint die Vemachlassigung der typischen Flexibilitaten in der Nutzung einer Maschine dann problematisch, wenn die Maschine ohne die Flexibilitat einen negativen Wert haben wUrde, nur infolge der Moglichkeit zeitweiser Oder dauerhafter Stilllegung aber lohnend sein mag. Insbesondere die Moglichkeit, eine anstehende Ersatzanschaffung hinauszuzogem, solange der Erlosprozess in einem ungtinstigen Zustandsbereich verharrt, kann bei hohen Fixkosten den Wert einer Maschine stark erhohen.

^ Copeland u. Antikarov (2003, S. 236f.) wamen ausdriicklich davor, die Analyse zu iiber-komplizieren und raten dazu, die Zahl der als relevant betrachteten Flexibilitatsoptionen einzuschranken.


In der Rekursionsformel fiir den Wert der Maschine kann man nun nicht mehr den Zeitindex mit dem Alter identifizieren, so dass s als Zeitindex eingefiihrt sei. Zur Verktirzung der Schreibweise sei ferner die Bezeichnung E^ fiir den Erwar-tungswert zu den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten p, I - p fiir den Binomi-alprozess g eingefiihrt; dessen Zustand zum Beginn der Periode ist g, d.h. es be-deutet

E^V, (t, z\g):= V, (/, z, gu)p + V, (t, z, g^)(l - p\

Eine Rekursionsformel im strengen Sinne lasst sich fiir die Wertentwicklung nun nicht mehr angeben. Die Wertentwicklung sollte aber folgendes System von Glei-chungen (fiir alle Perioden s des betrachteten Zeitraums) erfiillen:

( i ^ F , + l ( 0 , z o | g ) - v 4 ) p / + m a x | o , p ^ g - ^ ^ ^ - F ( 0

Fy(^,z,g) = max Pf maxs E^F,^l(^ + l , z - l | g ) + g - -

zpj

£^K,^l(^ + l , z - l | g ) z

Die erste Zeile in der groBen geschweiften Klammer bezieht sich dabei auf die Er-satzalternative. Entscheidet man sich im Zeitpunkt s fiir einen Ersatz, so bleibt noch zu entscheiden, ob man in Periode s mit der alten Maschine weiterproduziert Oder sie sofort abschafft. Den Beitrag der besseren dieser beiden Alternativen zeigt der zweite Summand in der ersten Zeile. Am Ende der Periode steht dann die neue Maschine zur Verfiigung. Die Anschaffungskosten werden bei Lieferung fal-lig. Durch die Ersatzbeschaffung wird der VerschleiBzustand z auf ZQ zuriickge-setzt und das Alter t auf 0. Allerdings ist jetzt das Alter der Maschine nicht mehr identisch mit dem Zeitindex. Daher ist s als Zeitindex neu einzufiihren. Entspre-chend der ublichen erneuerungstheoretischen Modellierung der unendlichen iden-tischen Ersatzkette erwirbt man mit dem Anschaffungspreis zum Ersatzzeitpunkt denselben Wert, den eine neue Maschine im Zeitpunkt 5 = 0 gehabt hatte, hatte zu diesem Zeitpunkt dieselbe Erlossituation geherrscht wie in dem nun betrachteten Knoten des Binomialgitters. Dieser Wert ist allerdings unbekannt und rekursiv nicht zu ermitteln. Man benotigt daher eine Schatzung. Hier sei folgender - zuge-geben nicht gerade durch theoretische Sauberkeit glanzende - Vorschlag zur Dis-kussion gestellt:

Man beachte, dass diese Kosten hier mit dem risikofreien Zinssatz diskontiert werden, daher wird ein fiir die herkommliche Berechnung des Kapitalwerts typischer Fehler ver-mieden, der darin besteht, negative Cash Flows mit demselben (hoheren) risikoangepass-ten Zinssatz abzuzinsen wie positive.

36 Alfred Luhmer

E^V,^liO,zo\g) =

0 wenn der unter 2.1 dargestellte Algorithmus

fiir g den Wert F (0 , ZQ , g) = 0 liefert.

-^Fo(0,zo,go) sonst. ^0

Damit reprasentiert ein zustandsabhangiges Vielfaches des (unbekannten) An-fangswerts der Maschine den benotigten Wert. Flir den Fall g = go ist diese Festle-gung unmittelbar plausibel. Fiir groBe Werte von g/go unterschatzt diese Approximation den Wert, denn der Erlos im Ersatzzeitpunkt verhalt sich annahmegemaB zum Ausgangserlos wie g/go. Der Erlos ist aber Wert + Kosten, die Kosten sind dagegen wesentlich weniger sensitiv bezuglich des Erloses.

Wird g hinreichend klein, so wird der Wert in einer endlichen Periode irgend-wann null. Man muss also nur mit Hilfe des Algorithmus fur diesen Fall auspro-bieren, wo hier die Schwelle liegt.

Die extremen Werte werden im tJbrigen nur mit geringen Wahrscheinlichkeiten erreicht, so dass der Fehler im Rahmen der Datengenauigkeit ertraglich bleiben dUrfte. Damit wird das Gleichungssystem ftir die Wertentwicklung aber zur Re-kursionsgleichung, die sich z.B. durch Wertiteration losen lasst. Praktisch mag man fiir didaktische Beispiele sogar versuchen, sie durch die „Zielwertsuche" in Excel® anzugehen. Streng genommen ist die Existenz eines Fixpunktes hier wegen des unstetigen Zustandes naturlich nicht gesichert. Dennoch wird die Vorgabe einer akzeptablen Fehlertoleranz zum Erfolg fiihren.

Praktisch wird man einen bestimmten Untersuchungszeitraum wahlen, von dem man annehmen kann, dass seine Lange eine Oberschranke fiir die (zustandsabhan-gige) Nutzungsdauer ist, die Endwerte im Horizont schatzen und fur diese End-werte die Rekursion laufen lassen, um dann mit Hilfe der Zielwertsuche die Ober-einstimmung zwischen Anfangswert und Endwert herzustellen. Es sei dem interes-sierten Leser iiberlassen, die Excel®-Tabelle der Abbildung 1 entsprechend zu er-weitern.'

4. Schluss

Die hier vorgelegten tjberlegungen sollen das Problem der variablen kalkulatori-schen Abschreibungen wieder in Erinnerung rufen. Es scheint geniigend Maschi-nen zu geben, fur die dieses Problem nicht irrelevant ist, z.B. teure Baumaschinen, Flugzeuge oder Fahrzeuge. Mogen an die Relevanz dieses Problems eigentlich von je her nur wenige Betriebswirte geglaubt haben und die Zeit inzwischen iiber die Modelle der 80er Jahre hinweg gegangen sein, vielleicht gehort es dennoch

Bei Interesse werden die Excel®-Tabellen der Abbildungen 1 und 2 auf Anforderung per e-mail ([email protected]) gem zugesandt. Der Verfasser wiirde auch gem an einer praktischen Erprobung des Modells mitwirken.

mailto:[email protected]


nicht ganz zum alten Risen. Im Rahmen eines hierarchischen Planungssystems konnte man variable kalkulatorische Abschreibungen nach der hier beschriebenen Methode auf der Grundlage einer roulierenden flexiblen Planung bestimmen und der Basisebene, d.h. dem Produktionsplaner, zustandsabhangig vorgeben, damit er auf der Grundlage der ihm zur Verfiigung stehenden detaillierteren Informationen iiber Nachfrage und Deckungsbeitrage die Nachwirkungen gegenwartiger Nut-zung auf die zukiinftigen Kosten (im Sinne von Opportunitatskosten) besser ein-schatzen kann. Die explizite Berlicksichtigung stochastischer Einfltisse auf die er-zielbaren Deckungsbeitrage fuhren zu reichhaltigeren Entscheidungsmoglich-keiten, die bei der Bemessung einzubeziehen sind.

Der Kalkiil, aus dem auf der Top-Ebene die variablen kalkulatorischen Abschreibungen bestimmt werden, kann darliber hinaus als Investitionscontrolling-Instrument aufgefasst werden. Denn er verfolgt die relevante Umweltentwicklung hinsichtlich Stilllegung und Ersatzpolitik mit Hilfe eines flexiblen Planungskal-kiils. Fiir diese Art Kalktile haben neuere Entwicklungen auf dem Gebiet der In-vestitionsrechnung zur Bewertung von Realoptionen erhebliche und sehr relevante Fortschritte gebracht. Ein Zahlenbeispiel sollte das Prinzip zeigen, nach dem sich diese Planungskalklile praktisch bewaltigen lassen, wobei sie dann als Nebenpro-dukt auch die variablen kalkulatorischen Abschreibungen liefern. Fiir die Praxis miissten die Beispiele stark erweitert und verfeinert werden. Dabei wiirden Ent-scheidungszeitpunkte iiber die Produktion nicht nach jeder Aufwarts- oder Ab-wartsbewegung des Erloses eingebaut, sondem erst nach u.U. ziemlich vielen, so dass die Verteilung des Erloses im jeweiligen Entscheidungszeitpunkt nicht mehr eine Zwei-Punktverteilung, sondern eine reichhaltigere Binomial verteilung wiirde. Problematisch bleibt die Bestimmung der Parameter des Binomialgitters und die a priori etwas zweifelhaften Annahmen, die man dazu braucht. Hier wird aber die in vollem Gange befindliche praktische Priifung der Realoptionstheorie mehr Klar-heit schaffen.

Literatur

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38 Alfred Luhmer

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Der Einfluss der steuerlichen Behandlung von Schuldzinsen auf die Vorteilhaftigkeit fremdfinanzierter Investitionen

Rolf Konig

Fakultat ftir Wirtschaftswissenschaften, Universitat Bielefeld

1. Einleitung

Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Frage, wie und in welchem MaBe die ertragsteuerliche Behandlung von Schuldzinsen die Vorteilhaftigkeit fremdfinanzierter Investitionen beeinflusst und wie sich die so identifizierten steuerlichen Wirkungen erklaren lassen. Dabei wird der Komplex der Gesellschafter-Fremd-finanzierung ausgeklammert, d.h. im Folgenden wird stets von einer Fremdfinan-zierung durch fremde Dritte ausgegangen.

2. Das Modell

Es wird von einem Kapitalmarkt ausgegangen, auf dem die Eigenkapitalaufnahme beschrankt ist und vom Marktzinssatz abweichende Soll-Zinssatze zugelassen sind. Es sei von sicheren Erwartungen ausgegangen.

Wir betrachten eine Kapitalgesellschaft, die ihre Gewinne vollstandig thesau-riert.^ Dem Unternehmen stellt sich im Zeitpunkt t = 0 die Moglichkeit, eine Re-alinvestition durchzuftihren, welche in den Zeitpunkten t = 1 bis t = T Ein- und Auszahlungen verursacht und unter Vernachlassigung der durch die Fremdfinan-zierung ausgelosten Zahlungen einen positiven Kapitalwert KQ aufweist. Auf-grund fehlender Mittel muss die Investition durch Aufnahme eines Darlehens fremdfinanziert werden, der Darlehensgeber steht dabei in keinem Gesellschafter-Verhaltnis zu dem betrachteten Unternehmen.

Die Investition verursache in / = 0 eine Investitionsausgabe in Hohe von /Q , die im Zuge der Darlehensaufnahme zu finanzieren ist. Auf dem Kapitalmarkt

^ Durch diese Annahme wird die Ebene der hinter der Gesellschaft stehenden Investoren und damit insbesondere deren Konsumentscheidungen ausgeklammert, somit eine Tren-nung zwischen Konsum- und Investitionsentscheidungen, die unter der Annahme abwei-chender Soil- und Habenzinssatze ansonsten theoretisch nicht begriindbar ist, erzwungen.

40 Rolf Konig

konnen freie Mittel zum Zinssatz / angelegt werden. Im Zeitraum t = \,...,T er-wirtschaftet das Unternehmen anderweitig Gewinne in ausreichendem MaBe, so dass die durch die Fremdfinanzierung verursachten Zins- und Tilgungszahlungen, soweit sie durch die aus der Investition resultierenden Einzahlungsuberschtisse nicht gedeckt sind, jederzeit bedient werden konnen. Somit mindern die Zins- und Tilgungszahlungen (sowie eventuell aus der Investition resultierende Auszah-lungsuberschUsse) die Mittel, die auf dem Kapitalmarkt zum Zinssatz / angelegt werden konnen, und sind demgemaB im Zeitpunkt ^ = 0 mit dem Barwert, basie-rend auf dem Marktzins / als KalkulationszinsfuB, zu bewerten.^

Der Gesamt-Kapitalwert vor Steuern CQ der fremdfinanzierten Investition er-gibt sich durch

Q - ^0 + ^0 ' (2.1)

wobei FQ den Kapitalwert der Fremdfinanzierung bezeichnet. Dieser stellt sich wie folgt dar:

(2.2)

wobei Z/^ und TIL^ die Zins- bzw. Tilgungszahlungen der Periode t bezeichnen. Die Zinszahlungen der Periode t ergeben sich mit

ZI,=p'RS,_^ (2.3)

mit p als SoU-Zinssatz und ^ / _ i als Restschuld zum Ende der Vorperiode, d.h. es ist:

RSt_x = IQ

Mit ^ = 1 + z folgt damit aber fur FQ :

7=1 (2.4)

ô=^-Z i=\

P-t-\

7=1

\A

(1 + 0"' yj

= I,-I,.P-.(X-q-T)-Y^ t = \

t-\ \

-q

Ohne diese Annahmen kann auf das Kapitalwertkriterium nicht zurtickgegriffen werden, vgl. hierzu Konig u. Wosnitza (2004), S. 102f. u. 135ff. sowie Schreiber (2004), S. 508ff. Die folgende Herleitung umfasst nicht alle Rechenschritte, sondern nur die wichtigsten Zwischenschritte; diese sind Ausfluss einer geeigneten Umstellung der auftretenden Doppelsumme sowie der Anwendung der Formel fiir die endliche geometrische Reihe.

Steuerliche Behandlung von Schuldzinsen 41

T „ r

' =1 ' t=\

= Io-Io-^-J:TILrq-'+-îTILrq-'

1=1

• 0 , (2.5)

' ^ t=l

wobei

T

e:=Y,TIL,(l-q-') (2.6) t=l

den barwertmaBigen Vorteil angibt, den der Darlehensnehmer aus der Verteilung der Zahlung IQ auf die Zeitpunkte t = 1 bis t = T hat.

Die Besteuerung wird in folgender Form berticksichtigt: Die Ertrage aus der Realinvestition und die Zinsertrage aus Anlagen auf dem Kapitalmarkt zum Zins-satz / werden mit dem Ertragsteuersatz s belastet. Daraus ergibt sich ein nachsteu-erlicher KalkulationszinsfuB i^ von

^•^=(1-^)'^' (2.7)

Um die Wirkungen der steuerlichen Behandlung der Schuldzinsen isoliert identifi-zieren und analysieren zu konnen, sollen die fiir die Realinvestition relevanten Abschreibungen so ausgestaltet sein, dass die Besteuerung, bezogen auf die Realinvestition, entscheidungsneutral wirkt. Aufgrund der getroffenen Annahmen bie-ten sich hierfiir die Ertragswertabschreibungen an, d.h. insgesamt wird auf die Realinvestition das System der Besteuerung des okonomischen Gewinns angewendet."^ BekanntermaBen gilt damit fur den Kapitalwert nach Steuern der Realinvestition die Beziehung:

Die steuerliche Entlastung der Darlehenszinsen erfolgt mit dem Steuersatz Sp. Fiir den nachsteuerlichen Kapitalwert der Finanzierung folgt damit analog zu oben:

Fos=Io-t[(^-^F)ZIt-^TIL,](lîsr' t=l

^ Vgl. hierzu insbes. Schneider (1992), S. 218ff.

42 RolfKonig

wobei 05 definiert ist durch

T

(ds:=YTILt{\-q-s')

und ^5- = 1 + i^ ist.

(2.9)

(2.10)

3. Steuerliche Wirkungen

Um zu untersuchen, ob von der ertragsteuerlichen Behandlung der Schuldzinsen Einflusse auf die Vorteilhaftigkeit einer fremdfinanzierten Investition ausgehen, gehen wir wie folgt vor: Zunachst wird ftir den vorsteuerlichen Fall ein kritischer Fremdkapitalzinssatz p^ bestimmt, bei dem der Gesamtkapitalwert der fremdfinanzierten Investition gerade Null wird. Dieser kritische Zinssatz bestimmt sich aus der Gleichung:

^0 - - ^ 0 (3.1)

/?0 gibt also den Fremdkapitalzinssatz an, den die Realinvestition gerade noch verkraften kann, ohne im Vergleich zur Unterlassensalternative nachteilhaft zu werden. Entsprechend bestimmen wir den nachsteuerlichen kritischen Zinssatz PQS aus der Bedingung:

Wegen (2.8) wird (3.2) zu:

Wegen (2.5) und (2.9) folgt:

1-^10 = 1-1^^.^1.0, 1 - 5 /

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Hieraus lasst sich ableiten:

Pos = l-s

l-Sf

l-s l-Spl

_0 0,

-Po + 0 (3.5)

0 s)


Der nachsteuerliche Schwellenwert flir den Fremdkapitalzins ergibt sich somit als gewichtetes Mittel aus dem vorsteuerlichen Schwellenwert und dem Anlagezins /. Wegen i^ < i und TIL^ > 0 gilt

@>@s und weiter

Daraus folgt wiederum

0 1--®-

(3.6)

(3.7)

i>P^' (3.8)

Das heiBt: Werden die Ertrage aus der Realinvestition bzw. aus der Kapitalanlage mit demselben Steuersatz belastet, mit dem der durch die Fremdfinanzierung ver-ursachte Zinsaufwand entlastet wird (^ = ^^7), so ist p^^ > p^ . Die Realinvestition kann unter Beriicksichtigung von Steuern einen hoheren Fremdkapitalzinssatz verkraften als im Fall ohne Beriicksichtigung von Steuem, die Besteuerung wirkt somit investitionsfordernd in dem Sinne, dass sich die Fremdfinanzierung erst bei hoheren Zinssatzen schadlich auf die Vorteilhaftigkeit der Investition auswirkt. Dieser Effekt wird noch verstarkt, wenn Sf > s gilt, wenn also die Schuldzinsen mit einem hoheren Steuersatz entlastet als die Ertrage belastet werden.

Nach aktuellem Steuerrecht gilt fiir den hier betrachteten Fall und unter Ver-nachlassigung des Solidaritatszuschlags

s = sS'^s^-s^''s\ (3.9)

wobei s^^ den effektiven Gewerbesteuersatz und s den Korperschaftsteuersatz darstellen. Fiir die Bestimmung des Entlastungssatzes Sp ist die gewerbesteuerli-che Hinzurechnungsvorschrift des § 8 Nr. 1 GewStG zu beachten, gemaB dem die Halfte der Dauerschuldzinsen bei der Ermittlung des Gewerbeertrags wieder hin-zuzurechnen sind, was im Ergebnis dazu fiihrt, dass die Fremdkapitalzinsen bei der Gewerbesteuer zur Halfte bzw. mit dem halben effektiven GewSt-Satz entlastet werden. Daraus folgt:

s,= -s^'-\-s^--s^'s^ (3.10)

2 2

Somit gilt

sp<s, (3.11) und der oben beschriebene investitionsfordernde Effekt wird durch die Divergenz der Steuersatze s und Sf kompensiert. Das AusmaB der Kompensation hangt dabei von der Differenz der Steuersatze ab. Die beiden gegenlaufigen Effekte heben sich genau dann auf, wenn

44 Rolf Konig

POS = PO (3.12)

gilt. Dies ist gemaB (3.5) dann der Fall, wenn fiir den vorsteuerlichen Schwellenwert PQ die Beziehung

Pa \-s 0

7;—Po + \-Sp

erfUllt ist, woraus folgt:

1 -0

0 S J

PQ {\-S)@-{\-SF)@S

(3.13)

(3.14)

Ein einfaches Beispiel moge die theoretisch erhaltenen Ergebnisse veranschauli-chen. Wir betrachten den einfachen Fall eines Endfalligkeitsdarlehens, d.h. die Tilgung erfolgt in einem Betrag am Ende der Laufzeit. Es gilt also:

, 0 t = \,..,T-\ TIL.=\ fur

t 1 , ^^j

Die GroBen 0 und 05 ergeben sich mit

0 = / o ( l - 9 - ^ )

bzw.

(3.5) wirddamitzu:

PQS \-s

l-Sp

^-T '-"-'.,„.il^-T

1 - ^ ^ '

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

Bei einem unterstellten gewerbesteuerlichen Hebesatz von 400% gilt fiir die Steu-ersatze s und Sp.

5 = - + 0,25---0,25 = 0,375 6 6

(3.19)

sowie

5/, = l . l + 0 , 2 5 - - - - 0 , 2 5 = 0,3125 ^ 2 6 2 6

(3.20)

Wir unterstellen weiter einen Anlagezins von / = 10% . Tabelle 1 gibt in Abhan-gigkeit vom vorsteuerlichen Schwellenwert PQ und dem Planungshorizont T den nachsteuerlichen Schwellenwert pos an.


Tabelle 1. Vor- und nachsteuerliche Schwellenwerte

Po=10% Po=ll% Po=12% Po=13% Po=14% Po=15%

T=2 9,09%

10,47% 11,85% 13,24% 14,62% 16,00%

T=4 9,09%

10,43% 11,77% 13,11% 14,44% 15,78%

T=6 9,09%

10,39% 11,69% 12,99% 14,28% 15,58%

T=8 9,09%

10,35% 11,61% 12,88% 14,14% 15,40%

T=10 9,09%

10,32% 11,55% 12,78% 14,01% 15,23%

Die kursiv gedruckten Zellen geben die Falle an, in denen der nachsteuerliche Schwellenwert den vorsteuerlichen ubersteigt. Wie man sieht, ist dies bei hohen vorsteuerlichen Schwellenwerten der Fall. Bei zunehmendem Planungshorizont sinkt der nachsteuerliche Schwellenwert. Fiir die verschiedenen Planungshorizonte ergeben sich gemaB (3.14) die in Tabelle 2 angegebenen Schwellenwerte, bei denen keine steuerlichen Wirkungen auftreten:

Tabelle 2. Schwellenwerte

Po=Pos

T=2 12,3815%

T=4 12,6877%

T=6 13,0463%

T=8 13,4696%

T=10 13,9742%

4. Entscheidungsneutrale Entlastung von Schuldzinsen

Mit der bis hier vorgenommenen Analyse lassen sich steuerliche Wirkungen zwar identifizieren, aber nicht erklaren. Es stellt sich die Frage, wie eine ertragsteuerli-che Entlastung der Schuldzinsen ausgestaltet werden miisste, ohne dass sie die Vorteilhaftigkeit der fremdfinanzierten Investition beeintrachtigt. Da wir auf der Ebene der Realinvestition die Ertragswertabschreibungen angesetzt haben, um den Kapitalwert unverandert zu erhalten, miisste demgemaB auf der Ebene der Finan-zierung ebenfalls das System der Besteuerung des okonomischen Gewinns ange-wendet werden.

Hierzu gehen wir von einem vorgegebenen Fremdkapitalzinssatz p aus. Die Fremdkapitalzinsen mlissen in diesem entscheidungsneutralen System mit dem-selben Steuersatz entlastet werden, mit dem die Ertrage belastet werden, d.h. es gilt:

.ok , Sp =S (4.1)

Anders als im aktuellen Steuerrecht mussen auch die Tilgungszahlungen steuer-lich entlastet werden, im Gegenzug mussen bei der Berechnung der periodischen Bemessungsgrundlagen Zuschreibungen A^ vorgenommen werden, die sich als Differenz zweier aufeinander folgender Ertragswerte der Zins- und Tilgungszahlungen ergeben. Formal bedeutet dies:

46 Rolf Konig

A, = FW,.j-FW,

wobei

T FW,= J^{ZIj-^TILj){\î)<J-'^

Durch geeignete Umformungen lasst sich zeigen, dass gilt:

FW,=^ Y^TILj-^^^ Y^TILj{\ + i)-^J-'^

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Hieraus wiederum lasst sich fiir die „Ertragswertzuschreibungen" Q leicht die Beziehung

(4.5)

herleiten. Fiir die periodische Bemessungsgrundlage B^j^ ^ ergibt sich im ent-scheidungsneutralen System der Besteuerung des okonomischen Gewinns

woraus fiir die periodische Steuerentlastung S^j^j folgt:

s^ dk,t

(4.6)

(4.7)

Der nachsteuerliche Barwert Wgj^ der gesamten Steuerentlastungen iiber den Pla-nungshorizont ergibt sich mit:

's 1 - ^ . ( 0 - 0 , ) (4.8)

Fiir die periodische Bemessungsgrundlage B, und die daraus resultierende Steuerentlastung S/ im aktuellen Steuerrecht gilt dagegen

Bt=-ZI, (4.9)

bzw.


Sf=Sf' ZIf (4.10)

Hieraus resultiert ein nachsteuerlicher Barwert W dtr gesamten Steuerentlastungen der Perioden t = l,...,T mit:

^ = , ^ . ^ . . 0 ^ ^S

(4.11)

Gilt W^j^ =W, so treten keine steuerlichen Wirkungen auf. Gilt W^/^ <W, so liegt eine steuerliche Begunstigung vor, wahrend im Fall W^f^ > W eine steuerliche Benachteiligung gegeben ist.

Aus diesen Ergebnissen lassen sich einige Aussagen ableiten:

1. Nur im Fall p = / stimmen die Bemessungsgrundlagen nach aktuellem Steuer-recht und im System der Besteuerung des okonomischen Gewinns Uberein. Es gilt dann:

W Wok « Sp (4.12)

Bei divergierenden Steuersatzen kommt es hier immer zu Verzerrungen.

2. Sind die Steuersatze identisch, so gilt:

W\

<

=

> Wok <^ P'

<

= >

(4.13)

In diesem Fall kommt es zu steuerlich induzierten Verzerrungen, wenn der Sollzinssatz vom Anlagezinssatz abweicht.

3. Geht man von den realistischen Konstellationen Sf <s und p > i aus, so gilt:

W<W^k

<^ sp • — •@s < ^ ®S'^ \ - ^ ' 's 's

•{e-@s)

O p- <l ( 0 - 0 ^ ) (4.14)

Ob eine steuerliche Benachteiligung oder eine steuerliche BegUnstigung vor-liegt (oder - zufallig bedingt - keine Wirkung auftritt) hangt also im Wesentli-chen einerseits vom Verhaltnis der Steuersatze s und Sf ab, andererseits vom

48 Rolf Konig

Verhaltnis der GroBen 0 und 0^, welches wiederum durch den Planungshori-zont T bestimmt wird. Dabei treten dann keine Wirkungen auf, wenn

Wok=W (4.15)

gilt, was aquivalent ist zu:

( 1 - ^ X 0 - 0 ^ ) P = —^ ——I (4.16)

Dies entspricht aber gerade dem Ergebnis (3.14).

5. Fazit

Die im aktuellen Steuerrecht verankerte Behandlung von Fremdkapitalzinsen fiihrt zu Verzerrungen im Sinne einer Beeinflussung der Vorteilhaftigkeit fremdfinan-zierter Investitionen. Die Richtung der auftretenden Verzerrungen ist nicht eindeu-tig, d.h. es konnen steuerinduziert sowohl Begiinstigungen als auch Benachteili-gungen auftreten. Ursache hierfiir ist die Tatsache, dass die Ertragswertentwick-lung der Zins- und Tilgungszahlungen nicht in adaquater Weise bei der Ermittlung der Bemessungsgrundlage beriicksichtigt werden.

Literatur

Konig R, Wosnitza M (2004) Betriebswirtschaftliche Steuerplanungs- und Steuerwirkungs-lehre. Physica, Heidelberg

Schneider D (1992) Investition, Finanzierung und Besteuerung. 7. Aufl Gabler, Wiesbaden Schreiber U (2004) Besteuerung der Unternehmen. Springer, Berlin Heidelberg New York

Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung

Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

Institut fiir Marketing, Humboldt-Universitat zu Berlin

1. Einfuhrung

Bei der Durchsicht ftihrender deutschsprachiger Zeitschriften auf dem Gebiet der betriebswirtschaftlichen Forschung fallt eine deutliche Zunahme von Artikeln auf, die sich einer Forschungsfrage iiber den Einsatz von Strukturgleichungsmodellen (SEM) bzw. „Kausalmodellen" nahern. Die Strukturgleichungsmethodik, die ur-sprlinglich in der psychologischen und sozialwissenschaftlichen Forschung zur Bereinigung von Messfehlern in Daten und zum Test so genannter nomologischer Netzwerke eingesetzt wurde, hat besonders im Marketing, der Organisations-sowie der Managementforschung zunehmende Verbreitung gefunden. Der For-schungsansatz beruht im Allgemeinen darauf, dass durch die Befragung von Kun-den Oder Schlusselinformanten die wahrgenommenen Auspragungen produkt- o-der firmenspezifischer Merkmale erfasst werden, wobei davon ausgegangen wird, dass die Befragungsdaten Informationen zu Konstrukten liefern, die einen Einfluss auf betriebswirtschaftlich relevante ZielgroBen haben. Die Strukturgleichungsme-thodologie leistet dabei sowohl eine Validierung der zugrunde gelegten Messmo-delle als auch einen Test der Hypothesen liber vermutete Wirkungsstrukturen. Mit der Anwendung von Strukturgleichungsmodellen konnen Ergebnisse von groBerer Validitat als z.B. mit Regressionsanalysen erzielt werden, sofern der Forscher die Annahmen und Voraussetzungen fur die Anwendung der Methodik beachtet. Al-lerdings drangt sich bei der Lekttire vieler Beitrage der Verdacht auf, dass gerade in den deutschsprachigen Zeitschriften der methodischen Vorgehensweise sowie der angemessenen Dokumentation und Interpretation der Ergebnisse relativ wenig Beachtung geschenkt wird.

Vor diesem Hintergrund soil in diesem Beitrag eine Bestandsaufnahme der in den wichtigsten deutschsprachigen betriebswirtschaftlichen Zeitschriften zwischen 1990 und 2003 erschienenen Beitrage mit Strukturgleichungsmodellen erfolgen. Die Studie knupft damit zum Teil an eine Untersuchung von Homburg und Baum-gartner (1995) an, beschrankt sich allerdings nicht nur auf Anwendungen in der Marketingforschung, sondern ist durch Beriicksichtigung aller einschlagigen Beitrage in den ausgewerteten Fachzeitschriften thematisch breiter angelegt.

50 Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

Zielsetzung dieses Beitrags ist es, Aussagen iiber die Berticksichtigung der Anwendungsvoraussetzungen, die gewahlten Schatzverfahren und die Glite der publizierten Modelle zu treffen. Wir werden dabei wie folgt vorgehen: Zunachst wird im zweiten Abschnitt die Grundstruktur eines LISREL-Modells aufgezeigt -LISREL stellt den dominierenden Ansatz zur Schatzung von Strukturgleichungs-modellen dar. Darliber hinaus wird auf das grundlegende Schatzprinzip sowie die Moglichkeiten der Modellbeurteilung eingegangen. Der dritte Abschnitt dokumen-tiert die Bestandsaufnahme der ausgewahlten Publikationen. Im Anschluss an eine (jbersicht der Artikel werden Informationen zu ihrer Verteilung auf die ausgewer-teten Zeitschriften und iiber die Zeit sowie zum primaren Forschungsfokus gege-ben. Die Beurteilung der Beitrage erfolgt danach auf aggregierter Basis hinsicht-lich der StichprobengroBe, der Verteilung der Daten, des eingesetzten Schatzver-fahrens sowie der verwendeten Gtitekriterien. Der Beitrag schlieBt mit einer grundsatzlichen Bewertung der methodischen Qualitat betriebswirtschaftlicher Anwendungen der Strukturgleichungsmethodologie.

2. Die Strukturgleichungsmethodik

Die Strukturgleichungsmethodik wird in der betriebswirtschaftlichen Forschung insbesondere zur Berticksichtigung und Kontrolle von Messfehlereinflussen bei der Verwendung von Befragungsdaten eingesetzt (Hildebrandt 1984; Homburg u. Giering 1997). Methodisch vereint die Strukturgleichungsmethodik verschiedene multivariate Analysetechniken, deren Integration die Analyse von Beziehungs-strukturen zwischen nicht beobachtbaren (latenten) Variablen und beobachtbaren (manifesten) Variablen ermoglicht. Ein Strukturgleichungsmodell kann daher als Kombination von regressions- und faktoranalytischen Methoden aufgefasst werden (Hildebrandt 1995; Ullmann 1996). Zur Entwicklung der Strukturgleichungsmethodologie haben Forscher aus verschiedenen Wissenschaftsbereichen beige-tragen; den groBten Beitrag hat dabei die psychometrische Methodenforschung geleistet. Fiir Marketinganwendungen wurde der Ansatz der Strukturgleichungs-modelle insbesondere durch Bagozzi (1980) und Fornell (1982) vorangetrieben. LISREL als erste kommerziell verfiigbare Software wurde so popular, dass diese Methodik zeitweise auch als LISREL-Ansatz bezeichnet wurde. Obwohl inzwi-schen eine Reihe alternativer Programme vorliegt (z.B. AMOS, EQS, CALIS, Mplus; vgl. zu einem aktuellen Programmuberblick Hildebrandt 2004), soil die LISREL-Nomenklatur in der folgenden Darstellung als Grundlage dienen.

2.1 Die Modellstruktur

Die Strukturgleichungsmethodik ist den konfirmatorischen Analysetechniken zu-zuordnen. Dabei stellt die Modellbildung, d.h. die theoretische Herleitung von Hypothesen iiber die Beziehungsstrukturen in der betrachteten Variablenmenge, den ersten Schritt der Analyse dar. Die vermuteten Beziehungen werden mithilfe

Stmkturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung 51

eines Pfaddiagramms grafisch abgebildet (vgl. Abb. 1). Mit den heute verfugbaren Programmsystemen (z.B. LISREL oder AMOS) wird diese grafische Struktur fur den Anwender automatisch in eine mathematische Struktur uberfiihrt (vgl. Hilde-brandt 2004). Kennzeichnend fiir die Struktur der Modelle ist die explizite Unter-scheidung zwischen Messtheorie (Messmodell) und Substanztheorie (Strukturmo-dell), wie sie auch in Abb. 1 in LISREL-Notation erkennbar ist. Das Messmodell beschreibt die Beziehungen zwischen den unbeobachtbaren theoretischen Kon-strukten (den latenten Variablen i,< 2» i ^^^ Vi) ^^^ i^ren Indikatoren (den beobachteten Variablen x^,,..,x^ midy^,...,y^). Das Strukturmodell hingegen bildet die vermuteten Kausalbeziehungen zwischen den latenten Variablen ab.

.5, —

S , —

5 . _

s.—

X2 = ^x2 ^1 + ^2

^3 = ^x3 ^2 + S3

X4 = ^x4 ^2 + S4

r | l = Y l l ^ l + Y l 2 ? 2 + Cl

r|2 = 721 ^1 + Y22 ^2 + P21 rii + ^2

Abb. 1. Ein Strukturgleichungsmodell

yi = ?iyir|i + s i

y2 = A.y2r|i + S2

y3 = ' yS r|2 + S3

y4 = ^y4 r|2 + 84

Ein vollstandiges LISREL-Modell kann in Matrixnotation mithilfe der folgenden drei Gleichungen beschrieben werden (vgl. Joreskog u. Sorbom 1996):

Strukturmodell:

(2.1)

Messmodell:

A: = A ^ + < , (2.2)

wobei 7] und ^ die Vektoren der endogenen und exogenen latenten Variablen kennzeichnen. y und x sind Vektoren der beobachteten Indikatoren, und ^, s und d reprasentieren Fehlervariablen. Weiterhin erfassen die Parametermatrizen B


und r die Beziehungen im Strukturmodell und A^ und A^ die Beziehungen im Messmodell. Ein allgemeines LISREL-Modell beruht dabei auf folgenden Basis-annahmen:

^ ist unkorreliert mit ^ ,

€ ist unkorreliert mit 77,

S ist unkorreliert mit ^ ,

^ , e und S sind untereinander unkorreliert und

I - B ist nicht singular.

nsgesamt sind zur Spezifikation eines vollstandigen LISREL-Modells acht Para-metermatrizen notwendig, die die Kovarianzstruktur der empirischen Daten erfas-sen soUen. Neben den bereits oben definierten Matrizen B,r,A,,und A, fiir die strukturellen Beziehungen bzw. Messrelationen beinhalten die Matrizen O , ^ , 0 ^ und ©^ jeweils die Varianzen und Kovarianzen der exogenen latenten Variablen, der Residualvariablen der endogenen latenten Variablen sowie der Residualvariab-len der beobachteten Indikatoren x und j .

Gegenliber anderen multivariaten Analyseverfahren weist die Strukturglei-chungsmethodik den Vorteil auf, dass Messfehler liber die Faktormodelle sowohl fur die abhangigen als auch fiir die unabhangigen Variablen modelliert werden. Weiterhin gestattet die Schatzung der Messfehleranteile, die Reliabilitat und Vali-ditat der vorgegebenen Messmodelle zu liberpriifen. Alle Beziehungen zwischen den Variablen des Modells werden simultan geschatzt, was mit keiner anderen im Marketing etablierten multivariaten Analysetechnik moglich ist (in der Okono-metrie gehoren simultane Mehrgleichungsmodelle selbstverstandlich zum Stan-dardrepertoire).

2.2 Die Modellschatzung

Die Datengrundlage fiir die Analyse von Strukturgleichungsmodellen des LISREL-Typs bilden im Allgemeinen die Varianzen und Kovarianzen der beobachteten Variablen. Um die Modellparameter schatzen zu konnen, muss aus den Modellgleichungen eine Kovarianzstrukturgleichung hergeleitet werden, die die Populationskovarianzmatrix der beobachtbaren Variablen Z zum Vektor der Modellparameter u in Beziehung setzt:

Z = I ( ^ ) . (2.3)

Diese Gleichung wird auch als Fundamentaltheorem der Strukturgleichungsme-thodik bezeichnet (Bollen 1989). Der Parametervektor o setzt sich aus den Ele-menten der Parametermatrizen des Modells zusammen. Demzufolge kann Z auch als Funktion der einzelnen Parametermatrizen des Modells ausgedruckt werden (vgl. Homburg u. Hildebrandt 1998), d.h.

S = z ( B , r , A ^ , A , , O , % 0 , , 0 , ) . (2.4)


Unter der Annahme, dass ein spezifiziertes Modell korrekt ist, lieBe sich die Popu-lationskovarianzmatrix exakt reproduzieren. Eine exakte Reproduktion kann je-doch i.d.R. allein deswegen nicht erreicht werden, weil die Populationskovari-anzmatrix S nicht bekannt ist und stattdessen mit der Stichprobenkovarianz-matrix S gearbeitet werden muss. Fiir die Schatzung des Modells auf Basis dieser Matrix muss das Modell identifiziert sein, d.h. die Informationen in den Daten mtissen in alien Teilbereichen des Modells ausreichen, um in den Gleichungen die zu schatzenden Parameter eindeutig bestimmen zu konnen (vgl. Joreskog u. Sor-bom 1996). Ist dieses Identifikationsproblem gelost, besteht das Schatzproblem gemaB dem Fundamentaltheorem der Strukturgleichungsanalyse darin, den Para-metervektor u zu bestimmen, der zu einer moglichst guten Reproduktion der ge-gebenen Stichprobenkovarianzmatrix S durch die modellimplizierte Kovarianz-matrix ^{o) ftihrt. Hierzu werden die Parameter so geschatzt, dass eine Fitfunktion F = F{S,l,{u)) minimiert wird. Die am haufigsten verwendeten Schatzverfahren fiir Strukturgleichungsmodelle sind die Maximum Likelihood (ML) und die Generalized Least Squares (GLS) Schatzmethode, die folgende Fit-funktionen verwenden:

Fîio) = log I X ( u ) I +tr(si:-\u))- log I 5 I -{p + q) (2.5)

und

FGLs(^) = -fn \s-Ao))w-'f (2.6)

wobei als Gewichtsmatrix W~ in F ^ haufig S~ gewahlt wird. p steht fiir die Anzahl der beobachtbaren endogenen Variablen im Modell, q fiir die Anzahl der exogenen Variablen und tr bezeichnet die Spur einer Matrix. Beide Verfahren lie-fern unter der Annahme einer multivariaten Normalverteilung der Variablen a-symptotisch unverzerrte, konsistente und effiziente Schatzer. Da die Annahme der multivariaten Normalverteilung in der Praxis jedoch haufig verletzt wird, sind alternative Schatzverfahren mit formal weniger restriktiven Verteilungsannahmen vorgeschlagen worden (z.B. ULS, WLS), auf die im Abschnitt 3.2.3 naher einge-gangen wird (vgl. auch Joreskog u. Sorbom 1996).

2.3 Die Beurteilung von l\/lodellstrukturen

Die Beurteilung der Gute des geschatzten Modells besteht in der Priifung, wie gut die theoretischen Hypothesen die in den Stichprobendaten vorliegenden Bezie-hungen erklaren. Am Anfang jeder Modellbeurteilung sollte zunachst eine Plausi-bilitatsprUfung der geschatzten Parameter stehen (Bagozzi u. Baumgartner 1994). Dabei wird gepriift, ob die Vorzeichen und die Werte der geschatzten Parameter mit den aufgrund theoretischer Voriiberlegungen vermuteten Zusammenhangen iibereinstimmen. Unplausible bzw. unzulassige Parameterschatzer (z.B. negative Varianzen) sind haufig Hinweise auf Fehlspezifikationen oder Schatzprobleme. Liegen keine derartigen Anomalien vor, so kann der Anwender fur die weitere


Prlifung auf eine breite Palette an Fit-MaBen zuriickgreifen, mit deren Hilfe die Anpassung der geschatzten Modellstruktur an die Daten beurteilt werden kann. Die globalen Fit-MaBe geben Aufschluss dariiber, in welchem AusmaB die ge-schatzte Kovarianzmatrix von der empirischen abweicht. Hierzu kann der For-scher u. a. die ;i; -Teststatistik einsetzen.

Der x"-Test ist ein inferenzstatistisches globales GutemaB. Fur eine Stichpro-be vom Umfang A ist bei korrekter Spezifikation des Modells die Teststatistik

T = {N-\)F {2.1)

X^ -verteilt mit 1 / 2\p + q\p + g - 1 ) - r Freiheitsgraden, wobei (/> + q) die An-zahl der beobachtbaren Variablen im Modell ist und r fur die Anzahl der zu schat-zenden Parameter steht. Im Gegensatz zu den meisten anderen statistischen Tests erfordert der x^ -Test nicht signifikante Werte flir die Teststatistik, um das spezi-fizierte Modell als durch die Daten gestutzt zu akzeptieren. Der Test ist allerdings an vier relativ strenge Annahmen gebunden:

• die beobachtbaren Variablen sind multivariat normalverteilt, • es wird die Kovarianzmatrix der beobachtbaren Variablen analysiert, • es liegt ein hinreichend groBer Stichprobenumfang (» 200) vor, und • das spezifizierte Modell ist das wahre Modell, d.h. das Modell, das die unbe-

kannte Populationskovarianzmatrix exakt reproduziert.

Die Verletzung einer oder mehrerer dieser Annahmen ftihrt zu einer geringeren Vertrauenswtirdigkeit des x^ -Tests. Doch selbst bei Erftillung aller Annahmen ist die ;if^-Teststatistik problembehaftet. tJber den Faktor ( A ^ - 1 ) nimmt die Stich-probengroBe Einfluss auf den Wert der Teststatistik 7, so dass in groBen Stichpro-ben selbst sehr kleine Abweichungen der modellimplizierten von der empirischen Kovarianzmatrix zu signifikanten ;^^-Werten fuhren, wohingegen die Abweichungen in kleineren Stichproben tendenziell vernachlassigt werden (Bollen 1989). Um die Probleme des x^ -Tests zu tiberwinden, wurde eine Vielzahl de-skriptiver globaler Fit-MaBe entwickelt. Ubersichten dazu findet der Leser z.B. bei Homburg u. Baumgartner (1998), Bollen (1989) und Faulbaum u. Bentler (1994).

Neben den globalen Fit-MaBen existieren lokale GlitemaBe, die nur Teilstruktu-ren des spezifizierten Modells Uberprufen. Als inferenzstatistisches GutemaB ist hier die z-Statistik zu nennen, durch die die einzelnen Parameterschatzwerte auf ihre Signifikanz gepriift werden konnen. Die Teststatistik

(2.8) SE{V)

mit SE als Standardfehler ist bei korrekter Spezifikation des Modells normalverteilt. Als deskriptive GiitemaBe berechnen die Standardprogramme Indizes fiir die Indikatorreliabilitat, die Faktorreliabilitat und das BestimmtheitsmaB der latenten endogenen Variablen F^ .

In den meisten SEM-Softwarepaketen wird inzwischen eine Vielfalt von An-passungsmaBen berechnet, was den Benutzer vor das Problem der Auswahl geeig-

Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung 55

neter Kennzahlen stellt. Allgemein wird empfohlen, globale und lokale Fit-MaBe zu verwenden. So konnen globale Fit-MaBe Abweichungen aufdecken, die bei der Beurteilung einzelner Modellkomponenten nicht erkennbar sind. Trotz guter glo-baler Fit-MaBe konnen aber auch lokale GiitemaBe spezifische Probleme in Teil-strukturen des Modells aufdecken. Deshalb mtissen bei der Modellbeurteilung immer globale und lokale Fit-MaBe und die Komplexitat des Modells mit berlick-sichtigt werden. Fine vollstandige Systematik fiir die Nutzung der Fit-MaBe bei unterschiedlichen Stichproben, Modellstrukturen und Datentypen steht noch aus (zu Empfehlungen siehe z.B. Tanaka 1993). Hier mtisste im Einzelfall eine Prii-fung der Angemessenheit bestimmter Gutekriterien vorgenommen werden. Ein Problem stellt die Festlegung von Schwellenwerten fiir die einzelnen Fit-MaBe dar. Neuere Simulationsstudien (z.B. Hu u. Bentler 1999) legen den Schluss nahe, dass gangige Daumenregeln (z.B. CFI > 0,9 oder RMSEA < 0,08) zu wenig sensi-tiv gegeniiber substantiellen Fehlspezifikationen der Modellstruktur sind. Daruber hinaus wird eine „blinde" Anwendung von vorgegebenen Schwellenwerten fur die verwendeten Fit-Indizes nicht empfohlen, da ihre Validitat von einer Vielzahl von Kontexteffekten (z.B. fehlende Normalverteilung, Schatzmethodik oder Modell-komplexitat) abhangig ist (vgl. Hu u. Bentler 1998).

3 Bestandsaufnahme und Beurteilung der empirischen Anwendung von Strukturgleichungsmodellen

3.1 Die analysierten Quellen und Beitrage mit Strukturgleichungsmodellen

Fur die Bestandsaufnahme betriebswirtschaftlich ausgerichteter Forschungsarbei-ten, in denen die Strukturgleichungsmethodologie zum Einsatz kommt, wurden die Jahrgange 1990 bis 2003 der Zeitschriften „Die Betriebswirtschaft (DBW)", „Zeitschrift fiir Betriebswirtschaft (ZfB)" und „Zeitschrift fiir betriebswirtschaftli-che Forschung (ZfbF)", sowie fiir „Schmalenbachs Business Review (SBR)" die Jahrgange 2000 bis 2003 ausgewertet. Abgedeckt werden damit die wichtigsten Publikationsorgane der deutschsprachigen Betriebswirtschaftslehre (vgl. z.B. Hennig-Thurau et al. 2004; Schlinghoff u. Backes-Gellner 2002). Insgesamt lieBen sich 53 Beitrage identifizieren, die bei der Datenanalyse ausschlieBlich oder zu-mindest partiell (z.B. zur VaHditatsprufung) auf den SEM-Ansatz zuruckgreifen (siehe Tabelle 1). Die Artikel verteilen sich dabei wie folgt auf die vier Journale: 19 (DBW), 2 (SBR), 19 (ZfB) und 13 (ZfbF).

Wie Abb. 2 zu entnehmen ist, erscheinen zwar seit den 1990er Jahren regelma-Big einschlagige Forschungsarbeiten in den ausgewerteten Zeitschriften; mit dem Jahr 1999 setzt jedoch ein deutlicher Anstieg der jahrlichen Publikationszahl ein, der seinen vorlaufigen Hohepunkt im Jahr 2001 erreicht. Hier werden insgesamt 11 Beitrage veroffentlicht. Geht man davon aus, dass in den drei Zeitschriften DBW, ZfB und ZfbF (inkl. SBR) pro Jahr etwa 130 Artikel erscheinen, dann ent-spricht dies einem Anteil von etwas mehr als 8%.

0

2

4

6

8

10

12

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Jahr

An

za

hl d

er B

eiträ

ge


Tabelle 1. tJberblick der ausgewerteten Artikel

DBW Joseph/Knauth/

Gemiinden 1992 Fritz 1995 Benkenstein 1996 Hansen/Hennig-Thurau/

Wochnowski 1997 Dichtl/Hardock/Ohlwein/

Schellhase 1997 Lechler/Gemunden 1998 Schefczyk/Gerpott 1998 Homburg/Kiedaisch 1999 Homburg/Krohmer/

Workman 2000 Herrmann/Huber/

Braunstein 2000 Gerpott/Rams 2000 Matiaske/Mellewigt 2001 Homburg/Kebbel 2001 Helmig/Dietrich 2001 Hennig-Thurau/Hansen

2001 Stock 2002 Bauer/Sauer/Merx 2002

Stock 2003 Kressmann/Herrmann/

Huber/Magin 2003

SBR Leker 2001 Schaffer/Willauer 2003

ZfB Bbckenholt/Homburg 1990 Gabele/Moraw 1991 Hildebrandt 1992 Geyer/Steyrer 1994 Schewe 1994 Fritz 1994 Hildebrandt/Annacker 1996 Bauer/Huber/Betz 1998 Homburg/Garbe 1999 Gierl/Helm/Satzinger 1999 Herrmann/Huber 2000 Hauschildt/Schlaak 2001 Homburg/Stock2001 Kuester/Homburg/

Robertson/Schafer2001

Betz/Krafft 2002 Huber/Herrmann/Peter

2003 Baldauf/Cravens 2003 Walter/Gemtinden/Auer

2003 Ernst 2003

ZfbF Homburg/Dobratz 1991 Schewe 1993 Kirchmann 1996 Herrmann/Huber/Wricke

1999 Schefczyk 1999 Becker 2001 Jenner2001 Homburg/Kebbel 2001 Krafft/Litfm 2002 Franke/Luthje 2002 Homburg/Falinacht/

Gunther 2002 Bauer/Mader/Huber 2002 Ernst 2003

12

0) D)

:ro ^ + j

0) CQ 0)

•o

£ ro N C

<

10

H

6

4

2

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ cf cf cf cf

Jahr

Abb. 2. Zeitliche Entwicklung der jahrlichen Publikationszahl


Tabelle 2 zeigt in aggregierter Form, welchen thematischen Schwerpunkten die einzelnen Beitrage zuzuordnen sind. Die Einordnung in die Kategorien Innovation, Marketing, Personalmanagement, Unternehmensfuhrung sowie Sonstiges (z.B. methodische Beitrage) erfolgte je nach Zeitschrift anhand der angegebenen Schlusselworter bzw. der Klassifizierung gemaB des Journal of Economic Literature Classification System (JEL) sowie aufgrund eigener Einschatzung. Nicht ganz uberraschend dominieren mit knapp der Halfte der Beitrage (49,1%) Anwendun-gen im Bereich des Marketing. Diese Beitrage sind dabei zu einem wesentlichen Teil der Erfolgsfaktoren- und Kauferverhaltensforschung zuzurechnen, bei denen mit Befragungsdaten gearbeitet wird. Relativ haufig wird darliber hinaus die Strukturgleichungsmethodologie auch flir Fragestellungen der Unternehmensfuhrung (20,8%) und des Innovationsmanagements (13,2%) eingesetzt.

Tabelle 2. Primarer Forschungsfokus

Fokus

Innovation

Marketing

Personalmanagement

Unternehmensfuhrung

Sonstiges

Anzahl

7

26

4

11

5

Prozent

13,2%

49,1%

7,5%

20,8%

9,4%

3.2 Die Beurteilungskriterien und die Bewertung der Beitrage

Die Beurteilung der Beitrage erfolgt anhand ausgewahlter Kriterien, die wesent-lich flir die Validitat und Interpretierbarkeit der empirischen Ergebnisse sind. Im Einzelnen sind dies die StichprobengroBe, die Verteilung der Variablen in der Stichprobe, das verwendete Schatzverfahren sowie die angegebenen Fit-MaBe. Nachfolgend werden die Kriterien und die zugehorigen Befunde fur die ausgewer-teten Artikel dargestellt.

3.2.1 Die StichprobengroBe

Die gangigen Verfahren zur Schatzung von Strukturgleichungsmodellen (z.B. ML Oder GLS) beruhen auf einer asymptotischen Theorie. Dies bedeutet, dass die Schatzer zwar in sehr groBen Stichproben (streng genommen TV -^ oo ) unverzerrt sind, in kleinen Stichproben aber verzerrt sein konnen (vgl. Bollen 1989). Die An-forderung groBer Stichprobenumfange ist in praktischen Anwendungen (insb. bei Befragungen) haufig nicht zu erfullen. Simulationsstudien haben jedoch gezeigt, dass robuste Schatzergebnisse auch bei moderaten StichprobengroBen zu erreichen sind (zu einer Zusammenfassung des aktuellen Forschungsstandes siehe z.B. Urban u. Mayerl 2003). Unter Robustheit wird dabei die Eigenschaft eines Schatzers verstanden, selbst bei Verletzung bestimmter Annahmen (z.B. bei Abweichungen


von der Normalverteilung) valide Ergebnisse zu ermoglichen. Der Stichproben-umfang wirkt dabei grundsatzlich positiv auf die Robustheit der Schatzparameter, der geschatzten Standardfehler sowie der Fit-MaBe, interagiert allerdings in kom-plexer Weise mit einer Vielzahl von Einflussen (z.B. Anzahl der Indikatoren sowie die durchschnittliche Anzahl von Indikatoren pro Faktor, Hohe der Faktorla-dungen, Schiefe und Wolbung der Verteilung, kontinuierliche vs. kategoriale Daten; vgl. Hoogland 1999; Marsh u. Hau 1999). Die Orientierung an „universel-len" Daumenregeln (z.B. Verhaltnis von Anzahl der Beobachtungen zu Anzahl der Parameter groBer oder gleich 5; vgl. Bentler u. Chou 1987) zur Festlegung der er-forderlichen StichprobengroBe muss daher inzwischen als uberholt gelten. Eine Beurteilung, ob die Anzahl der Beobachtungen fur die Schatzung eines spezifi-schen Modells ausreichend ist, kann daher serioserweise nur unter Beriicksichti-gung der konkreten Auspragungen aller oben genannten Kriterien erfolgen. Auf-grund des komplexen Zusammenspiels dieser Faktoren lasst sich dies i.d.R. nur auf Basis von Simulationsstudien realisieren (siehe hierzu Muthen u. Muthen 2002; Urban u. Mayerl 2003). Die Erhebung der StichprobengroBen in den aus-gewerteten Studien hat somit eher deskriptiven Charakter. Im Allgemeinen ist allerdings davon auszugehen, dass Studien mindestens ab Fallzahlen von weniger als 100 Beobachtungen als sehr problematisch gelten mlissen. Tabelle 3 sind In-formationen liber die in den Artikeln verwendeten StichprobengroBen zu entneh-men.

Tabelle 3. StichprobengroBen

Kategorien

0-100

101-200

201-300

301-1.000

> 1.000

keine Angaben

Anzahl

4

15

8

18

6

2

Prozent

7,5%

28,3%

15,1%

34,0%

11,3%

3,8%

Deutlich wird, dass auch sehr kleine Untersuchungssamples mit der Strukturglei-chungsmethodik analysiert worden sind. Allerdings ist der Anteil der Beitrage, die aufgrund zu geringer Fallzahl (A < 100) definitiv als problematisch angesehen werden muss, mit 7,5% relativ gering (hinzuzurechnen sind moglicherweise je-doch diejenigen Studien, die keine Angaben tiber die StichprobengroBe machen). Bei Stichprobenumfangen zwischen 101 und 200 (28,3%) ist eine detaillierte Analyse der zuvor angesprochenen EinflussgroBen erforderlich, um Aussagen tiber die Angemessenheit der StichprobengroBe machen zu konnen. Dies ist aber in der uberwiegenden Anzahl der Falle aufgrund der unzureichenden Informationsbasis nicht moglich. Trotzdem kann vermutet werden, dass aufgrund negativer Faktoren


wie z.B. der Verwendung von Rating-Skalen (d.h. geordnet-kategorialen Daten) oder Abweichungen von der Normalverteilung, ein nicht unerheblicher Anteil der publizierten Studien eine zu geringe Zahl von Beobachtungen aufweist, um zu va-liden Ergebnissen zu gelangen.

3.2.2 Die Stichprobenverteilung

Die in den Softwareprogrammen (z.B. LISREL) voreingestellte ML-Schatzung setzt im Prinzip eine multivariate Normalverteilung der Variablen voraus. Zwar liefert der ML-Ansatz auch bei fehlender Normalverteilung asymptotisch unver-zerrte Schatzer und im Falle nichtsignifikanter Kurtosis auch asymptotisch korrek-te Standardfehler und x^ -Statistiken (vgl. Bollen 1989); von Interesse ist aber das Verhalten dieses Schatzers in praxisrelevanten Stichprobenumfangen. Die Ergeb-nisse entsprechender Simulationsstudien spiegeln die Erkenntnisse der asymptoti-schen Betrachtung insofem wider, als sich die Parameter-Schatzer als vergleichs-weise robust erwiesen haben (z.B. im Vergleich zu verteilungsfreien Schatzern), Standardfehler und Teststatistik aber starker durch Abweichungen von der Vertei-lungsannahme betroffen sind (vgl. z.B. Boomsma u. Hoogland 2001; Olsson et al. 2000). Das genaue AusmaB der Verzerrungen hangt allerdings wiederum von ei-ner Vielzahl weiterer Einflussfaktoren wie z.B. der Verwendung geordnet-katego-rialer Daten (vgl. z.B. DiStefano 2002) ab.

Um zumindest ansatzweise beurteilen zu konnen, ob eine ML-Schatzung oder aber alternative Schatzverfahren (z.B. robuste Schatzverfahren) der Datenlage an-gemessen sind, sind Angaben uber die Verteilung der Daten (z.B. Schiefe, Wol-bung) zwingend erforderlich. Umso erstaunlicher ist es, dass in 90% der Studien keinerlei Angaben zur Verteilung der Daten gemacht werden. In den ubrigen 10% wird die fehlende Normalverteilung der Variablen zwar erwahnt; fUr keine der Arbeiten liegen jedoch explizite Angaben uber Schiefe/Kurtosis oder Tests auf multivariate Normalverteilung vor. Eine Beurteilung ist daher fiir den groBten Teil der ausgewerteten Arbeiten nur eingeschrankt moglich.

3.2.3 Das eingesetzte Schatzverfahren

FUr die Schatzung von Strukturgleichungsmodellen mit latenten Variablen stehen in den einschlagigen Softwarepaketen neben der ML-Schatzung weitere Schatzverfahren, z.B. GLS oder WLS, zur Verfiigung (vgl. z.B. Joreskog u. Sorbom 1996). Diese unterscheiden sich sowohl in ihren Anforderungen an die Daten als auch in ihren Schatzeigenschaften. Da der ML- und der GLS-Schatzer bereits in Abschnitt 2.2 behandelt wurden, wird nachfolgend nur auf den ULS-Schatzer so-wie auf verteilungsfreie Verfahren eingegangen.

Das ULS-Verfahren kommt zwar ohne Annahme der Multinormalverteilung aus, besitzt aber z.B. gegeniiber der ML-Schatzung eine Reihe von Nachteilen (vgl. z.B. Bollen 1989). Zum einen erweist sich der Schatzer als weniger effizient, zum anderen reichen fiir die Interpretation der Ergebnisse die reinen Parameter-schatzwerte nicht aus. Soil aber die Anpassungsgiite des Modells oder die Signifi-


kanz der Schatzer Uberpriift werden, miissen letztlich doch wieder Verteilungsan-nahmen getroffen werden, die mit der Wahl dieser Methodik gerade umgangen werden sollten, Des Weiteren ist der ULS-Schatzer weder skaleninvariant noch skalenfrei (vgl. BoUen 1989). Die fehlende Eigenschaft der Skaleninvarianz fiihrt dazu, dass sich, im Unterschied z.B. zur ML-Schatzung, bei einer Anderung der Skalierung der exogenen und/oder endogenen Indikatoren die Werte der Fit-Funktion ebenfalls verandem. Gleichzeitig las sen sich die ursprlinglich geschatz-ten Parameter bei Veranderung der Skalierung nicht konsistent in die neuen Parameter uberfuhren. Aufgrund der Skalenabhangigkeit wird daher die Schatzung auf Basis einer Korrelationsmatrix vorgeschlagen. Letztlich kann aufgrund der ge-nannten Probleme die Verwendung dieses Schatzers nicht empfohlen werden.

Bei starkerer Abweichung von der Normalverteilungsannahme stehen im Prin-zip verteilungsfreie Verfahren wie z.B. der WLS-Schatzer (Browne 1982, 1984) zur Verfugung. Fur den praktischen Einsatz dieser Schatzverfahren bestand aller-dings lange Zeit eine grundlegende Hiirde in der erforderlichen StichprobengroBe. Auch wenn letzdich wieder eine Vielzahl von Faktoren die notwendige Fallzahl determiniert, ist im Regelfall von Umfangen deutlich iiber 1.000 Beobachtungen auszugehen (vgl. Boomsma u. Hoogland 2001). Mit dem Programm Mplus steht jedoch mittlerweile ein Schatzer (WLSMV) bereit, der mit einer deutlich geringe-ren Fallzahl auskommt (vgl. Muthen et al. 1997). Die Informationen uber die ein-gesetzten Schatzverfahren sind in Tabelle 4 zusammengestellt.

Tabelle 4. Schatzverfahren

Schatzer

ML

ULS

WLS

keine Angaben

Anzahl

9

17

1

26

Prozent

17,0%

32,1%

1,9%

49,0%

Bei den verwendeten Schatzverfahren dominiert eindeutig die ULS-Methode (32,1%), gefolgt von der ML-Schatzung (17%). Die gehaufte Anwendung der ULS-Methodik stellt damit nach wie vor ein Spezifikum der deutschsprachigen Forschung dar (vgl. Homburg u. Baumgartner 1995). Die Wahl des ULS-Schat-zers wird zwar in ganz wenigen Fallen durch die Stichprobeneigenschaften moti-viert (fehlende Normalverteilung, kleine Stichprobe), es liegt allerdings die Ver-mutung nahe, dass auch die im Vergleich zur ML-Schatzung i.d.R. deutlich besseren Fit-MaBe eine Rolle spielen. Mit nur einer Anwendung ist die WLS-Schatzung dagegen praktisch ohne Bedeutung. Dies ist sicherlich auf die extremen Anforderungen an den erforderlichen Stichprobenumfang zuruckzufuhren. Nega-tiv zu beurteilen ist die groBe Anzahl an Studien, in denen keine explizite Angabe der verwendeten Schatzmethode erfolgt (49%).


3.2.4 Die angegebenen Fit-MaBe

Fur die Beurteilung und Interpretation der Analyseergebnisse sind Gute-MaBe er-forderlich, die Aufschluss dartiber geben, wie gut das geschatzte Modell in der Lage ist, die Ausgangsdaten, d.h. im Regelfall die entsprechenden Varianzen und Kovarianzen, zu reproduzieren. Die Defizite des hierftir entwickelten z^ -Tests sind hinlanglich bekannt (vgl. z.B. Bollen 1989 sowie die Ausfuhrungen in Ab-schnitt 2.3) und haben zur Entwicklung zahlreicher approximativer Fit-MaBe ge-fuhrt (zu einem Uberblick siehe z.B. Homburg u. Baumgartner 1998). Da eine vollstandige Angabe aller globalen Fit-MaBe nicht sinnvoll ist, steht der Anwen-der vor dem Problem, eine Auswahl treffen zu miissen. Um ein moglichst umfas-sendes Bild der Anpassungsgute zu vermitteln, sollten die Fit-Indizes dabei unter-schiedlichen Kategorien (z.B. inferenzstatistische MaBe wie der RMSEA, inkre-mentelle AnpassungsmaBe wie der CFI usw.) entstammen (vgl. Homburg u. Baumgartner 1998). Tabelle 5 gibt Auskunft dartiber, wie oft die zur VerfUgung stehenden Gutekriterien in den ausgewerteten Beitragen herangezogen wurden.

Tabelle 5. Fit-MaBe

Fit-MaB

GFI

AGFI

Chi^ bzw. Chi^/df

RMSEA

RMR

Anzahl

36

34

24

17

15

Prozent''

90,0%

85,0%

60,0%

42,5%

37,5%

Fit-MaB

CFI

NFI

NNFI

Sonstige

Keine Angab.

Anzahl

13

9

4

7

13

Prozent ^

32,5%

22,5%

10,0%

17,5%

24,5%^^

" Basis: Anzahl der Studien, die Fit-MaBe berichten (= 40); ^ Basis: alle Studien (= 53)

Da die Validitat der substantiellen Befunde einer Studie ganz entscheidend von der Anpassungsgute des postulierten Modells abhangt, kann eine fundierte Beurteilung der Qualitat durch den Leser nur dann erfolgen, wenn geeignete Fit-MaBe dokumentiert werden. Unverstandlich ist daher, dass selbst in neuerer Zeit Arbei-ten publiziert werden, in denen keinerlei Angaben uber den Modell-Fit gemacht werden (24,5%). Die mit Abstand am haufigsten verwendeten Fit-MaBe sind der GFI und der AGFI (90 bzw. 85%), sowie mit gewissem Abstand das z^-Kriterium (60%). Vor dem Hintergrund, dass Hu und Bentler (1998) aufgrund um-fangreicher Simulationen zu dem Ergebnis kommen, dass GFI und AGFI fur die Modellbeurteilung nicht geeignet sind, gibt diese Praxis zu einiger Besorgnis An-lass. Verscharft wird dieses Problem noch dadurch, dass 62,5% der Studien, die uberhaupt Gutekriterien berichten, das postulierte Modell allein aufgrund dreier Oder weniger akzeptierter Fit-MaBe als empirisch haltbar ansehen (siehe Tabelle 6). Gutekriterien mit vorteilhafteren Eigenschaften wie z.B. RMSEA, CFI, NNFI


Oder der (standardisierte) RMR werden dagegen vergleichsweise wenig genutzt (vgl. Hu u. Rentier 1998, 1999).

Tabelle 6. Erflillte Fit-MaBe

Anzahl erfiillter Fit-MaBe pro Studie

0

1

2

3

4

5

>5

Anzahl

3

5

8

9

6

6

3

Prozent ^

7,5%

12,5%

20,0%

22,5%

15,0%

15,0%

7,5%

^ Basis: Anzahl der Studien, die Fit-MaBe berichten (= 40)

4. Schlussfolgerungen

Die Anwendung der Strukturgleichungsmethodologie in der deutschsprachigen betriebswirtschaftlichen Forschung hat seit Ende der 1990er Jahre deutlich zuge-nommen. Die Griinde konnen einerseits darin gesehen werden, dass die Anwen-dungssoftware zunehmend komfortabler geworden ist, andererseits aber auch in der sehr viel groBeren Akzeptanz der Methodik in internationalen Zeitschriften und den verstarkten methodischen Anforderungen an Nachwuchswissenschaftler. Die wissenschaftliche Auseinandersetzung mit der SEM-Methodologie hat sogar zu einer eigenstandigen Zeitschrift - Structural Equation Modeling - gefuhrt. Die gestiegene Zahl von Anwendungen mit Strukturgleichungsmodellen spiegelt aber auch die zunehmende Forschung mit Befragungsdaten wider, die besonders im Marketing und in der verhaltenswissenschaftlichen Organisationsforschung ver-breitet ist. Hier geht man von Messfehlern in den Daten aus und versucht diese auf statistischem Wege zu kontrollieren. Ob diese Vorgehensweise richtig ist und bes-sere Erkenntnisse bringt, soil hier nicht diskutiert werden; es soil nur gepruft werden, ob die Forscher mit der machtigen Methodik angemessen umgehen, um zu gehaltvollen Ergebnissen zu gelangen.

Nimmt man die auf relativ wenige Kriterien fokussierte Analyse der wissen-schafdichen Arbeiten in diesem Beitrag als Ausgangspunkt, so sind an der Validi-tat vieler Studien Zweifel angebracht. Zunachst konnten wir beobachten, dass die Methodik auch eingesetzt wird, wenn die Datenbasis fiir empirische Analysen mit einem Programm wie LISREL eigendich zu klein ist. Hier kann vom Forscher eingewandt werden, dass fiir manche Probleme schlicht nicht mehr Daten vorlie-gen. Dann sollte allerdings auf eine Analyse mit Strukturgleichungsmodellen bes-ser verzichtet werden. Allenfalls fiir bestimmte Modelltypen und unter Einbezie-


hung von Korrekturfaktoren sind auch ftir kleine Stichproben Analysen moglich. Die Anforderungen der Schatzmethoden an die Daten werden haufig scheinbar ohne Priifung als erftillt angesehen. Hier weist im Vergleich mit internationalen Standards die deutschsprachige Forschung einige Defizite auf. Besonders in psy-chologisch orientierten Zeitschriften (z.B. Journal of Consumer Research) werden hartere MaBstabe angelegt. Von daher ist zu fordern, dass die Verfasser in geeig-neter Weise dokumentieren, dass die gewahlte Methodik fur den entsprechenden Anwendungsfall geeignet ist. Bei der Wahl der Schatzverfahren scheint die ULS-Methode zu dominieren; eine abschlieBende Beurteilung ist aufgrund der groBen Dunkelziffer bei den eingesetzten Schatzverfahren nicht moglich. Diese Domi-nanz ist insofern nicht gerechtfertigt, als davon auszugehen ist, dass haufig auch bei Verletzung der Verteilungsannahme der ML-Schatzer die besten Eigenschaf-ten aufweist; allerdings miissten dann die Satorra-Bentler x^ -Statistik (Satorra u. Bentler 1988) und robuste Standardfehler genutzt werden. Die Akzeptanz von Un-tersuchungsergebnissen auf der Basis relativ weniger und zum Teil ungeeigneter Fit-MaBe (z.B. x'» GFI, AGFI) kann insgesamt nicht uberzeugen. Eine Begrtin-dung fur die ausgewahlten Fit-MaBe wird selten gegeben und ein generelles Muster ist nicht zu erkennen. Insgesamt sollten verstarkt aussagekraftigere Gtitekrite-rien wie z.B. RMSEA, CFI oder NNFI zum Einsatz kommen.

Die vorliegende Bestandsaufnahme von betriebswirtschaftlichen Anwendungen mit Strukturgleichungsmodellen hat einige methodische Defizite identifiziert, die dazu fuhren, dass Forschungsresultate von methodisch sachkundigen Lesern als im strengen Sinne nicht empirisch gestiitzt angesehen werden konnen. Dies bedeu-tet aber nicht zwangslaufig, dass tatsachlich ungiiltige Ergebnisse produziert wor-den sind. Eine methodisch angemessene und gut dokumentierte Vorgehensweise bei der Bearbeitung interessanter Fragestellungen wiirde daher die substantiellen Befunde von der statistischen Seite absichern und Zweifel an deren Validitat aus-raumen. Angaben tiber die Verteilungseigenschaften der Stichprobe, die verwen-dete Software und das eingesetzte Schatzverfahren, die Anzahl der geschatzten Parameter bzw. Freiheits grade so wie die Fit-MaBe sollten unabdingbare Voraus-setzung ftir eine Veroffentlichung sein.

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Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses

Ulrike Settnik

Bundesanstalt fUr Finanzdienstleistungsaufsicht, Bonn

1. Problemstellung

Dem seit Jahren ansteigenden Wettbewerbsdruck auf Produkt- und Kapitalmark-ten versuchen zahlreiche Unternehmen durch die Verfolgung externer Wachs-tumsstrategien in Form von Unternehmenszusammenschlussen zu begegnen: So wurden im Rahmen der funften groBen, so genannten „Merger Wave", die seit Beginn der Industrialisierung die international Wirtschaft uberrollt hat, bei Zu-sammenschlussen allein im Rekordjahr 2000 weltweit geschatzte 1.099 Mrd. US-$ umgesetzt.^

Wahrend der empirischen Relevanz von Unternehmenszusammenschlussen in der okonomischen Literatur mittlerweile mit einer Fiille von Studien Rechnung getragen wird^, ist ihre theoretische Fundierung aufgrund des Fehlens einer ge-schlossenen „Unternehmenszusammenschlusslehre" in Verbindung mit dem Feh-len einer geschlossenen „Theorie der Unternehmung", die das hierarchisch dar-uber einzuordnende Untersuchungsobjekt Unternehmung erklart (die Palette der Theorien reicht von den „Klassisch-neoklassischen Ansatzen" bis hin zu den „Modernen Institutionenokonomischen Ansatzen"), unzureichend. Zum einen be-dingt dieser Mangel, dass die betriebswirtschaftliche Auseinandersetzung mit Unternehmenszusammenschlussen derzeit weniger in einem umfassenderen Rahmen unter Einbeziehung strategischer Aspekte als vielmehr auf der Ebene „techni-scher" Einzelfragen wie z.B. der UnternehmensbewertungZ-preisfindung sowie der steuerlichen und formaljuristischen Gestaltung des Eigentumerwechsels stattfindet und daher bislang eher komplexitatserhohend denn erkenntnissteigernd wirkt. Zum anderen sind Analysen von Unternehmenstransaktionen deshalb in hohem MaBe durch das den jeweiligen Analysen zugrunde liegende - entweder klassisch-neoklassische oder institutionenokonomische - Unternehmensmodell determiniert, welches sowohl die Transaktionstypen als auch die Kriterien und Methoden signi-

1 Vgl. Financial Times Deutschland vom 27.03.2003, S. 20. ^ Bei Eckhardt (1999) findet sich im Anhang auf den S. 469-521 die wohl umfangreichste

Ubersicht uber empirische Kapitalmarktstudien zu Unternehmenszusammenschlussen aus verschiedenen Landem, die bis zu diesem Zeitpunkt durchgefuhrt worden sind.

68 Ulrike Settnik

fikant beeinflusst, die zur Beurteilung konkreter Ubernahmestrategien herangezo-gen werden.

Zur Reduzierung der aufgrund der Abhangigkeit vom jeweiligen Unterneh-mensmodell bestehenden Heterogenitat der Erklarungsansatze und zur Annahe-rung der darauf aufbauenden divergierenden Argumentationsketten werden zu-nehmend Forderungen nach einer integrativen Betrachtungsweise des Phanomens Unternehmenszusammenschluss erhoben.^ Unseres Erachtens bietet sich als ge-eignetes Bezugskonzept im Sinne eines ubergeordneten Meta-Denkmodells, das nicht auf der Ebene okonomischer Teildisziplinen angesiedelt ist und beliebig ein-zelne, einleuchtend klingende Argumente dieser Wissenschaftsgebiete kombiniert (wie es in der Vergangenheit bei verschiedenen Integrationsversuchen geschah" ), sondern davon abstrahierend konstruktiv zur okonomischen Erklarung und Gestal-tung des Sachverhalts beitragt, die sozio-okonomische Tauschtheorie von Coleman an.

Gegenstand der folgenden Ausfuhrungen ist daher zunachst eine qualitative Be-schreibung des tauschtheoretischen Grundmodells und zweier ausgewahlter Mo-dellspezifikationen^, bevor diese tjberlegungen unter den jeweiligen Blickwinkeln der existierenden „Theorien der Unternehmung" exemplarisch auf „Zusammen-schlusse von Versicherungsunternehmen" angewendet werden. Auf dem traditio-nell stark regulierten deutschen Versicherungsmarkt lassen sich seit der Schaffung des europaischen Binnenmarktes fiir Finanzdienstleistungen im Jahre 1994 und der dadurch einsetzenden Liberalisierungs- und Deregulierungsprozesse vermehrt Zusammenschlusse beobachten, so dass mit der Ausrichtung des Modells darauf zugleich die notwendige Verbindung zur Empiric gezogen wird.

2. Das Grundmodell der Tauschtheorie

Zentrale Begriffe eines Tauschsystems im Sinne Colemans stellen einerseits Ak-teure und Ereignisse bzw. Ressourcen so wie andererseits Kontrolle und Interesse dar. Akteure und Ereignisse bilden dabei die auf der Mikro-, d.h. der Handlungs-ebene angesiedelten Basiselemente, wahrend ihre Beziehungen zueinander mit Hilfe von Kontrolle und Interesse, zu finden auf der Makroebene des Erklarungs-schemas, definiert werden.^

Als Akteure fungieren in erster Linie handelnde Individuen, es konnen darunter aber auch korporative Akteure verstanden werden, denen individuelle Akteure zu-vor Handlungsrechte ubertragen haben.' Samtliche Akteure zeichnen sich durch

3 Siehe dazu Sautter (1989), S. 58, und Ploger u. Kruse (2001), S. 3. ^ Vgl. Sautter (1989), S. 76. ^ Die Ideen des hier erlauterten Ansatzes sind uberwiegend mathematisch prazisiert wor-

den, wlirden an dieser Stella jedoch den Rahmen sprengen, so dass der interessierte Leser auf Coleman (1991, 1992, 1994), insbesondere auf den dritten Band (1994), verwiesen wird. Vgl. Coleman (1991), S. 34.

" Vgl. zur Theorie korporativer Akteure umfassend Coleman (1974/75) und (1979). 6

Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses 69

Rationalitat und Egoismus aus, d.h. sie sind rational im Sinne des Maximierungs-prinzips, und sie handeln egoistisch, da ihre (individuellen) NutzenkalkUle nicht die Vermehrung oder Verminderung des Nutzens anderer implizieren. Ereignisse bzw. Ressourcen verkorpern „Guter" bzw. „Unguter", in Anlehnung an die volkswirtschaftliche Terminologie sind damit private teilbare Giiter und Dienst-leistungen gemeint, die unter der Kontrolle von Akteuren stehen, im Gegensatz zu offentlichen Glitern, die u.a. Eigenschaften wie Unteilbarkeit und externe Effekte aufweisen. Kontrolle bedeutet hier, dass die Akteure in Bezug auf die Ressourcen mit Handlungs- oder Verfiigungsrechten ausgestattet sind, die - wie aus Property-Rights-theoretischer Sicht bekannt^ - in Rechte der Nutzung, der Aneignung von Ertragen und der LFbereignung von Ereignissen differenziert werden konnen; sie sind in der jeweiligen Verfassung eines Tauschsystems fixiert. Der Begriff des In-teresses wird inhaltlich offen gehalten und weitgehend in alltagssprachlicher Ma-nier verwendet (z.T. heiBt es praziser subjektives Interesse aus Sicht des Akteurs oder EigenintQrQSSQ), d.h. Akteure interessieren sich fiir bestimmte Ereignisse, und das macht diese entweder zu Giitern oder zu UngUtern. Ein Kind will die strafende Hand seiner Mutter vermeiden und tauscht eine absonderliche Geschichte, welche die Mutter zum Schmunzeln bringt (das „Gut"), gegen das Unterlassen der Strafe (das „Ungut").

Wie kommt nun ein Tauschsystem zustande? Zur Realisierung von Eigeninte-ressen ware es nicht unbedingt notwendig, mit anderen Individuen bzw. Institutio-nen in einen Tauschprozess einzutreten. Falls die Akteure namlich samtliche Ressourcen, an denen sie interessiert sind, vollstandig kontrollieren konnten, hatte man es lediglich mit einer Menge von Akteuren zu tun, die zur Wahrung ihrer In-teressen unabhangig voneinander Kontrolle dartiber ausubten und diese verbrau-chen wtirden; ihre Handlungen waren dann sehr einfach zu beschreiben.^ Die Vor-aussetzung fiir die Existenz eines geschlossenen Tauschsystems bildet das strukturelle Charakteristikum, dass die Akteure bestimmte Ressourcen, die ihre In-teressen befriedigen sollen, eben nicht vollig kontrollieren, sondern sie erleben, dass einige dieser Ressourcen partiell oder sogar vollstandig von anderen Akteuren kontroUiert werden, und umgekehrt. Eine solche KontroUverteilung erfordert nun - wenn die Annahme der Interessenbefriedigung seitens der Akteure aufrecht-erhalten wird - Transaktionen zwischen den Akteuren.^^

Die minimale Basis fiir ein Tauschsystem stellen zwei Akteure dar, die jeweils bestimmte Ressourcen kontrollieren, an denen der andere interessiert ist. Das spe-zielle Interesse gerade an denjenigen Ressourcen, die vom anderen kontroUiert werden (m.a.W. die Existenz von Interessenverflechtungen), bewegt die beiden als zielgerichtete Akteure, (Tausch-)Handlungen zu voUziehen. Diese Struktur ist verantwortlich fiir die Interdependenz oder den Systemcharakter ihrer Handlungen; Abb. 1 veranschaulicht sie graphisch.

^ Siehe zum Property-Rights-Ansatz die grundlegenden Arbeiten von Coase (1960), Alchi-an (1965) und Demsetz (1967).

^ Coleman (1991), S. 35, fiihrt beispielhaft fiir eine derartige Konstellation als Ressourcen Nahrungsmittel an, bei denen die Kontrolle durch ihren Verzehr ausgeubt wird.

10 Vgl. Coleman (1991), S. 36.

70 Ulrike Settnik

Akteure Ereignisse Akteure

Ai • Ei • Ai

Kontrolle interesse

Abb. 1. Bilaterales Tauschsystem mit zwei Akteuren und zwei Ressourcen/Ereignissen

Damit sind die grundlegenden Termini der Tauschtheorie dargelegt. Die Modellie-rung des Austausches geschieht logisch ausgehend von der geschilderten Kontroll-und Interessenverteilung, welche quasi dessen institutionelle Pramissen reprasen-tieren. Akteure maximieren ihren Nutzen, indem sie entweder teilbare Ressourcen, die sie zur Interessenbefriedigung benotigen, unter ihrer eigenen Kontrolle selbst verbrauchen oder bei Uberschussnachfrage unter Beriicksichtigung ihrer individu-ellen Budgetausstattung^* Kontrollrechte mit anderen Akteuren, die sich durch ein tjberschussangebot auszeichnen, austauschen. Diese anderen werden die angebo-tenen Ressourcen akzeptieren, sofern sie damit ihre eigene Situation verbessern konnen. Der Tauschprozess kommt in dem Moment zum Stillstand, in dem aus weiteren Tauschhandlungen keine Verbesserungen individueller Positionen mehr resultieren, ohne gleichzeitig diejenigen der anderen zu verschlechtern.

Die beschriebene Losung entspricht dem Wettbewerbs-Gleichgewicht der Neo-klassik, welches sich fUr den bilateralen Fall zweier Akteure und Ereignisse an-schaulich anhand der Edgeworth-Box illustrieren lasst. So zeigt Abb. 2 jeweils zwei Indifferenzkurven der Akteure Ai und A2; die Kurven von Ai weisen die ubli-che Form auf, diejenigen von Ai sind spiegelbildlich zum Ursprung eingetragen. Beide Akteure sind in gleichem MaBe an den Ereignissen interessiert, d.h. Xji = 0,5 fur / = 1,2 und 7 = 1 , 2 . Der Punkt p auf der Budgetgeraden P kennzeichnet die primare Ressourcenausstattung von Ax und A2, Ax verfugt iiber 0,15 Kontrolle von Ex und liber 0,85 von £"2; reziprok verhalt sich der Sachverhalt fiir A2. Aufgrund der Differenz von Kontrollrechten und Interessen ergeben sich Tauschmoglichkei-ten zwischen den Akteuren. Die Flache zwischen den Indifferenzkurven 4 und 4 beinhaltet alle Punkte, bei denen sich die Akteure besser stiinden als im Aus-gangspunktp. Speziell fiir das bilaterale Monopol existiert nun ein Spektrum pare-tooptimaler Losungen, das durch die so genannte Kontraktkurve K abgebildet wird. Welche dieser Reallokationen eintritt, ist nicht determiniert, sondern hangt

Analog zur Vorgehensweise in der Okonomie werden uber eine Nutzenfunktion Interessen und Budgetausstattung der Akteure kombiniert, dies entspricht zugleich der in der Wert-Erwartungs-Theorie angelegten motivationstheoretischen Annahme, dass inneres zu auBerem Handeln wird, wenn zur Motivation des Handelnden die Fahigkeit zur Hand-lungsausfiihrung tritt. Tauschtheoretisch betrachtet stellen die Instrumente zur Hand-lungsausfuhrung jedoch nicht personliche Fahigkeiten, sondern handelbare Ressourcen dar. Siehe grundlegend zur Wert-Erwartungs-Theorie u.a. Heckhausen (1989), S. 168ff.


von den Verhandlungsfahigkeiten der Akteure ab. Je groBer die Zahl der Akteure ist, desto geringer wird der Einfluss des Einzelnen, und bei einer hinreichend gro-Ben Zahl stellt sich das Konkurrenzgleichgewicht ein, hier unter Punkt /? * zu er-kennen, bei dem die Indifferenzkurven 4* und 4 * der Akteure die Budgetgerade P tangieren.

^ i

Cl2i p \

yK ^ 2

Ai c,,

Abb. 2. Edgeworth-Box (Gleichgewicht in einer Tauschdyade)

Das beschriebene Modell des Austausches weist drei bedeutende Implikationen auf:

• Erstens verlangt es die Moglichkeit der ungestorten Kommunikation jedes in-teressierten Akteurs mit jedem anderen; die Zugangsstruktur zum Tauschsys-tem spiegelt demnach eine so genannte Vollstruktur wider.

• Zweitens muss beriicksichtigt werden, dass ein Tausch Zeit benotigt. Entspre-chend spielt Vertrauen eine groBe Rolle, d.h. die Akteure vertrauen darauf, dass die jeweils anderen ihren Verpflichtungen nachkommen und die Ressour-cen auch tatsachlich tibergeben. Vollstandigkeit der Zugangsstruktur und des Vertrauens - zusammenfassend von Coleman als „vollkommenes soziales Ka-pital" bezeichnet^^ - bilden ein perfektes soziales System.

^ Coleman (1991), S. 389-417, widmet der Erlauterung des sozialen Kapitals im Rahmen seiner AuBerungen zur Handlungstheorie ein ganzes Kapitel. Er fiillt den Begriff mit mehreren Bedeutungsinhalten, indem er ihn einerseits auf kollektives Handeln projiziert (dann versteht er darunter die Etablierung und Akzeptanz formeller wie informeller Normen, die den Austausch und die Investition in kollektive Projekte erleichtem). Ande-rerseits verwendet er ihn wegen seines speziellen Nutzens fur den individuellen Akteur,

72 Ulrike Settnik

• Die dritte Annahme postuliert vollstandige Konvertierbarkeit der Ressourcen, es existieren also keinerlei Restriktionen, die den Austausch bestimmter Ressourcen - in Form von Verboten etc. - verhindern konnten, weil dieser gesell-schaftspolitisch nicht erwunscht ware (darunter fiele z.B. der Kauf von Wah-lerstimmen gegen Entgelt). Alle drei soziologisch ausgedruckten Annahmen sind den okonomischen Formulierungen zur Beschreibung eines vollkomme-nen Marktes Equivalent, m.a.W. ist das Konzept des vollkommenen Hand-lungssystems als Analogon zum vollkommenen Wettbewerbsmarkt der Oko-nomie zu interpretieren.

Im Ergebnis liefert die Tauschtheorie drei zentrale Resultate:

• Informationen uber den relativen Wert der Ressourcen im Handlungssystem, • die Macht der Akteure sowie • die Verteilung der Ressourcen nach dem Austausch.

Samtliche Resultate beziehen sich auf die Makroebene des Systems. Die Gleich-gewichtsverteilung der Ressourcen ist vor allem deshalb interessant, weil der Ver-gleich der Verteilung vor und nach dem Austausch einen geeigneten Ansatzpunkt bietet, um die Frage nach denjenigen Akteuren zu beantworten, die miteinander womoglich in einen Tauschprozess treten (diese Frage wird auch in der okono-misch fokussierten Auseinandersetzung mit Unternehmenszusammenschlussen immer wieder aufgeworfen). Der Wert indiziert die Knappheit einer Ressource und stellt wie im okonomischen Standardmodell eine Funktion von Angebot und Nachfrage dar. Macht bedeutet nichts anderes als die bewertete Ressourcenaus-stattung der Akteure, sie ist gewissermaBen das soziologisch interessante Ergebnis des Tauschprozesses, wohingegen die Kehrseite der Medaille - der Wert der Ressourcen - in okonomischer Hinsicht im Mittelpunkt des Interesses steht.

3. Modellspezifikationen

Das beschriebene Grundmodell kann in vielerlei Hinsicht modifiziert werden und als Basis fiir komplexere und zugleich realitatsnahere Modelle dienen. Im Folgen-den werden zwei Spezifikationen skizziert, die insbesondere vor okonomischem Hintergrund interessant erscheinen, namlich die Abbildung von Marktunvoll-kommenheiten mit Hilfe von Transaktionskosten^^ und mangelndem Vertrauen (Misstrauen).

in diesem Sinne besteht das individuelle soziale Kapital aus der Summe seiner personli-chen Gutschriften, die in perfekten sozialen Systemen mit seiner Macht identisch sind.

^ Siehe zum Transaktionskostenkonzept die grundlegenden Arbeiten von Coase (1937) und Williamson (1989, 1990).

Ein sozio-okonomisches Modell des Untemehmenszusammenschlusses 73

3.1 Einbeziehung von Transaktionskosten

Transaktionskosten im Rahmen der Tauschtheorie verkorpern Reibungsverluste bei den Tauschhandlungen der Akteure, die von keiner der an einem Tausch betei-ligten Parteien wieder wettgemacht werden konnen. " Die Reibungsverluste stellen dabei Verluste in striktem Sinne dar, d.h. sie fallen nicht zugunsten anderer Akteure an, sondern flieBen dem Tauschsystem insgesamt ab. ^ Sie konnen auBerdem unterschiedlich hoch und unter den Tauschpartnem unterschiedlich aufgeteilt sein. Eine reziproke Formulierung ftir das Auftreten von Transaktionskosten ist, dass derartige Kosten die Effizienz des Austausches mindern. Solche Ineffizienzen be-ruhen haufig auf logistischen und/oder anderen Kommunikationshemmnissen, so mUssen zur Durchfuhrung der Tauschhandlungen von den Akteuren u.a. raumli-che, zeitliche und/oder soziale Distanzen uberwunden werden. ^ Besonders wich-tig ist an dieser Stelle festzuhalten, dass sich das Auftreten von Transaktionskosten auf Paare von Akteuren bezieht, und nicht auf Paare von Ressourcen, was ebenso denkbar ware und von Coleman auch im weiteren Verlauf seiner Ausfiih-rungen als zusatzliche Modellerweiterung diskutiert wird. ' Im letztgenannten Fall entstehen Transaktionskosten jedoch nicht - eher unbewusst und unerwunscht -durch bestimmte Austauschhemmnisse, sondern werden normalerweise bewusst durch akteursunspezifisch ausgerichtete Gesetze, Normen oder Vorschriften er-zeugt.

Welche Auswirkungen besitzt nun die Beriicksichtigung von Transaktionskosten auf die Ressourcenallokation im Vergleich zu einer Situation ohne derartige Austauschhemmnisse? Zu konstatieren ist hier zunachst, dass die Erweiterung des Systems um diese Komponente nicht das ursprtingliche Interesse tangiert, welches jeder einzelne Akteur an verschiedenen Ressourcen aufbringt, denn ein Interes-senausgleich ist weiterhin - wenn auch nur iiber „Umwege" - zu erzielen. Solange das Netzwerk der Akteursverflechtungen wegen der Transaktionskosten nicht in isolierte Teilstrukturen zerfallt, die getrennt voneinander analysiert werden muss-ten, da die Paare von Akteuren nicht mehr liber indirekte Tauschhandlungen ver-knupft waren, werden also trotz Ineffizienzen Ressourcen zwischen den Akteuren flieBen. Diese Annahme gilt selbst dann, wenn die Transaktionskosten zwischen einigen Paaren prohibitiv hoch sein sollten.

1 Vgl. Coleman (1994), S. 87. ^ Somit kann nicht mehr wie im Grundmodell von einem geschlossenen System gespro-

chen werden, sondern es gilt stattdessen die Annahme eines ojfenen Systems dergestalt, dass sich die Akteure auch fur Ressourcen interessieren, die auBerhalb des eigentlichen Tauschsystems platziert sind. Siehe detailliert zum Konzept des offenen Tauschsystems Coleman (1994), S. 39ff.

i^Vgl. Coleman (1994), S. 92. ^ Da die Behandlung solcher Kosten analog derjenigen der Behandlung von Kosten bei In

effizienzen zwischen Paaren von Akteuren konfiguriert ist, soil hier auf eine separate Be-trachtung verzichtet werden. Der Leser sei dazu auf die Uberlegungen bei Coleman (1994), S. 92-96, verwiesen.

74 Ulrike Settnik

Ebenso wenig beeinflussen sie die Ressourcenverteilung im Gleichgewichtszu-stand, denn die Existenz indirekter Tauschhandlungen impHziert quasi eine „Ket-tenreaktion", indem Akteur /, falls er von Akteur h keine Ressourcen aufgrund seiner ungunstigen Tauschposition erhalten kann, diese von g bekommt, nachdem g sie von / erworben hat, der sie zuerst von h bezog. Wenn samtliche Paare von Akteuren mit Hilfe solcher indirekten Tauschhandlungen agieren (/ -^ g, g -^ I, I -^ h), sind lediglich die relative Macht der Akteure sowie der relative Wert der Ereignisse direkt von den Transaktionskosten betroffen. Die Veranderung der Machtverteilung bedingt vor allem einen Ruckgang bei den Werten bzw. bei den Preisen derjenigen Ressourcen, welche gerade im Interesse von Akteuren liegen, die aufgrund von Tauschrestriktionen an Macht eingebiiBt haben, da ihre Kauf-kraft und mithin ihre Nachfrage nach den entsprechenden Gutern nun geringer ausfallt. ^

3.2 Einbeziehung von Misstrauen

Bisher gingen wir von der Existenz eines allgemeinen Tauschmediums aus, das sich mit dem Terminus des „vollstandigen Vertrauens" umschreiben lasst ; gleichzeitig reprasentiert vollstandiges Vertrauen ein zentrales Kriterium zur Bil-dung des perfekten Systems. Diese Annahme unterstellt, dass jede tatsachliche Ubertragung von Kontrollrechten eines Akteurs / auf einen anderen Akteur h kos-tenlos und umgehend mit einem Ruckfluss von Ressourcen an i ausgeglichen wird. Dieser Sachverhalt ist als direkte Zugriffsmoglichkeit von Geber i vermittels seiner Gabe auf die Lieferungen des Nehmers h und seiner Schuldner zu interpre-tieren. Die Vergabe von (individuellem) Vertrauen ist unter dieser Pramisse dem-nach eigentlich nicht notwendig, da der Austausch keinerlei Risiken birgt bzw. das Vertrauen, welches in sozialen Systemen die Mittlerfunktion von Geld tibernimmt, eben voUstandig ist; Coleman beschaftigt sich trotzdem ausfuhrlich mit den Kon-sequenzen, die es fur die Funktionsweise eines Tauschsystems besitzt.^^

Die Abkehr von der Pramisse des vollstandigen Vertrauens lasst sich mit Hilfe einer einfachen Modifikation in das System integrieren, indem man die vormals

1 Vgl. Matiaske (1999), S. 242. Im Gegensatz zu Coleman (1994), S. 91, nimmt Matiaske deshalb auch Konsequenzen fur die Ressourcenverteilung im Gleichgewicht an, seiner Meinung nach konnen hier Akteure, die keine Transaktionskosten tragen miissen, u.U. ihre Position gegenuber einem friktionslosen Zustand verbessem.

^ Matiaske (1999), S. 187-206, setzt sich aus der Perspektive verschiedener wissenschaftli-cher Theorien (u.a. Sozialpsychologie, Spieltheorie) ausfuhrlich mit dem Begriff des Vertrauens als Tauschmedium auseinander, das allgemein als sehr fragiles Konstrukt gilt, weshalb die Entscheidung Colemans, es als Basiskriterium seiner linearen Handlungs-theorie zu verwenden, von Matiaske zu Beginn als „tollkuhne Idee" bezeichnet wird. Der Verfasser selbst kommt allerdings nach Abschluss der Diskussion zu dem Ergebnis, die Vertrauensproblematik sei theoretisch auf verschiedene Weise und recht einfach losbar, demnach sei eine Anwendung des Tauschmodells auch unter dieser Pramisse akzeptabel.

20 Formal geschieht dies bei Coleman (1994), S. 105-109.

Bin sozio-okonomisches Modell des Untemehmenszusammenschlusses 75

als ein Ereignis konzipierte Tauschhandlung in zwei Komponenten aufspaltet: Ei-nerseits in ein (Zahlungs-)Versprechen und andererseits in die Lieferung der Leis-tung (in okonomischen Systemen bezeichnet man diesen Sachverhalt ublicherwei-se als „Lieferung gegen Rechnung"). Lieferungen des Treugebers / e A und der Ressourcenriickfiuss von Treunehmer h e A fallen also auseinander, d.h. die Lieferung von / gestattet keinen direkten Zugriff mehr auf die Gegengabe des Neh-mers h. Akteur / erhalt statt eines Verfiigungsrechts lediglich ein Zahlungsver-sprechen auf die erwarteten Riickflusse des Nehmers h, so dass flir ihn bei dieser Art der Ressourcenubertragung ein Risiko auftritt, und zwar in Abhangigkeit von der Einschatzung der Bonitat des Schuldners. Ein Tauschsystem mit zwei Akteu-ren / und h, in dem / sofort liefert und h erst zeitverzogert, ist demnach im Gegen-satz zum perfekten System, das beim bilateralen Tausch zwei Ereignisse aufweist, durch drei Ereignisse gekennzeichnet: Ei stellt die Lieferung von Gut 1 durch i dar, E2 bildet das Versprechen von h ab, Gut 2 tatsachlich zu liefern, und im Rah-men von E^ erfolgt schlieBlich die Lieferung von Gut 2 durch h?^ Die Lieferung wird dabei teilweise vom jeweiligen Zahlungsversprechen determiniert; d.h. es e-xistieren nun auch direkte Beziehungen zwischen einzelnen Ereignissen (Versprechen -> Leistungen), die im Basismodell nicht auftreten. Somit ist eine Erweite-rung der Konzeption des Grundmodells erforderlich, die in einer Verfeinerung der Interessenverflechtungen zwischen den Akteuren miindet, wie aus Abb. 3 ersicht-lich.

Akteure

Ai —

Ereignisse

- • E,

Akteure

•^2 ^ ' - 2

Kontrolle Abhangigkeit Interesse

• • A ,

Abb. 3. Beziehungen im erweiterten Tauschmodell bei Auftreten von Misstrauen

Anhand von Beispielen wird deutlich, dass die Macht eines Akteurs, dessen Lieferung von Versprechen abhangt, denen man nicht uneingeschrankt vertraut, ab-nimmt, m.a.W. der Wert von Versprechen niedriger ist als der Wert von Ressour-cen ohne Versprechen.^^ Infolgedessen reduziert sich bei vorherrschendem Misstrauen im System insgesamt der Umfang des Tausches im Vergleich zu einer Situation mit vollstandigem Vertrauen. Allerdings stellt sich der urspriingliche Wert der Ressourcen desjenigen Akteurs, der umgehend liefert, dem also von den anderen vertraut wird, hier hoher dar; er ist somit in der Lage, seine individuelle Situation gegenliber einer Situation voUstandigen Vertrauens zu verbessern. Diese

21 Vgl. Coleman (1994), S. 109. 22 Vgl . Co leman (1994), S. l l O f und Mat iaske (1999), S. 2 4 7 f

76 Ulrike SeUnik

Resultate konnen fUr eine bilaterale Tauschsituation unter Misstrauen als typisch charakterisiert werden.

Der Vergleich beider Modellspezifikationen zeigt, dass das Auftreten von Transaktionskosten und Misstrauen ahnliche Konsequenzen ftir ein Tauschsystem hervorrufen. Der zentrale Unterschied besteht darin, dass Misstrauen die Analyse auf einfache, direkte Tauschhandlungen beschrankt, wahrend bei Berucksichti-gung von Transaktionskosten auch langere Tauschketten zum Tragen kommen konnen.

4. Der Zusammenschluss von Versicherungsunter-nehmen als sozio-okonomischer Tausch

Unter einem Unternehmenszusammenschluss versteht man in der einschlagigen Literatur im weitesten Sinne die (dauemde) Verbindung von rechtlich und/oder wirtschaftlich selbststandigen Unternehmen zwecks Verfolgung einer - z.T. ge-meinsamen - wirtschaftlichen Zielsetzung.^^ Diese Definition bildet nun die Richtschnur zur Identifikation der ftir das Tauschmodell charakteristischen Ele-mente Akteure und Ereignisse auf der Mikroebene, die durch die auf der Makro-ebene angesiedelten Konstrukte Kontrolle (durch bestimmte Akteure) sowie Inte-resse (an bestimmten Ereignissen) miteinander verflochten sind.

4.1 Akteure bei Zusammenschlussen von Versicherern

Neben Individuen fungieren als reale Handlungseinheiten in Tauschsystemen phy-sisch nicht-greifbare Akteure, die so genannten korporativen Akteure (synonym finden die ^Qgxiii juristische Personen oder Korporationen Anwendung). Sie ent-stehen, sobald mehrere individuelle Akteure ihre Ressourcen in einen gemeinsam genutzten Pool einbringen.^^ Bestand dieser Pool bereits vorher, spricht man von einer Teilnahmeentscheidung, wird dadurch ein solcher Pool neu geschaffen, von einer Grlindungsentscheidung. Die Existenz korporativer Akteure setzt demnach die rationale Entscheidung individueller Akteure gegen den individuellen Einsatz ihrer Ressourcen und fur deren gemeinsamen Einsatz (Verbrauch oder Tausch mit anderen individuellen bzw. korporativen Akteuren) in einem Pool voraus. Die Alternative wird immer dann gewahlt, wenn die Differenz aus dem Nutzenerwar-

^ Aussagekraftige Ubersichten uber die zahlreichen Auspragungen untemehmerischer Zu-sammenarbeit wie Kooperation, Fusion, Konzembildung etc. finden sich bei Schubert/ Kilting (1981), S. lOf. und Bamberger (1994), S. 6.

'^^ Die Beispiele fur kollektive Akteure reichen von Zweierbundnissen wie der Ehe bis hin zu vielkopfigen Vereinen, Gemeinden, Kirchen und Staaten. Gepoolt werden konnen Ressourcen wie Geld in Form von Investitionen oder Mitgliedsbeitragen, aber auch Rechte (z.B. das Recht einer Gewerkschaft, im Namen ihrer Mitglieder flachendeckende Tarifvertrage abzuschliefien).

Bin sozio-dkonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses 77

tungswert der mit dem Ressourcenpooling zu erwartenden Synergieeffekte und dem Kostenerwartungswert des Verlustes an Kontrolle liber die eingebrachten Ressourcen positiv ist .

Auch und gerade Untemehmen zahlen aus unserer Sicht zum Typ der korpora-tiven Akteure. Nicht alle sind jedoch entwicklungsgeschichtlich als „moderne korporative Akteure" einzustufen, denn die Eigentumer-Unternehmer neoklassi-scher Pragung zeichnen sich dadurch aus, dass sie als natiirliche Person(en) und Initiator(en)/Organisator(en) korporativen Handelns mit den jeweiligen korporati-ven Akteuren (in diesem Fall den Untemehmen) eine faktisch unauflosliche Ge-meinschaft bilden - Zielsetzung und Existenz des korporativen Akteurs Unter-nehmen werden hier in hohem MaBe von Zielsetzung und Existenz bestimmter individueller Akteure - den jeweiligen Eigentumern - determiniert. Dieser ist demzufolge nicht beliebig austauschbar, sondern haftet personlich - wie allein der Begriff Personengesellschaft besagt - mit seinem Vermogen fur Verbindlichkeiten der Gesellschaft gegentiber AuBenstehenden.^^ Das neoklassische Unternehmens-modell lasst sich deshalb gut in die Kategorie fruher korporativer Akteure einord-nen.

Demgegenuber weisen Untemehmen institutionenokonomischer Pragung das charakteristische Attribut moderner korporativer Akteure auf: Die vollstandige Definition des Konstruktes tiber die dort eingebrachten Ressourcen (finanzielle Mittel, Kapital). Die Funktion der Eigentiimer bzw. Aktionare reduziert sich hier auf die Bereitstellung von materiellen/immateriellen Ressourcen; sie selbst als natiirliche Personen stellen keine Grundelemente der Struktur des korporativen Akteurs mehr dar und sind somit jederzeit ersetzbar. ' Daraus eroffnen sich den indi-viduellen Akteuren ebenfalls neue Freiheiten, indem sie nun ihrerseits die Ressourcen aus dem korporativen Akteur zuriickziehen und alternativen Verwen-dungsmoglichkeiten zufiihren konnen, ohne befurchten zu miissen, zugleich ihre Identitat zu verlieren (wie es friiher bei Ausschluss eines Handwerkers aus seiner Zunft der Fall gewesen ware).

Am Beispiel der Versicherungswirtschaft, insbesondere bei Versicherungsver-einen (VVaG) und Versicherungs-Aktiengesellschaften (V-AG), lasst sich unseres Erachtens die Entwicklung von Untemehmen hin zu modernen korporativen Ak-

25 Vgl. Kossbiel u. Spengler (1992), Sp. 1952. 2 Beim Einzelunternehmen ist dies in vollem Umfang der Fall, aber auch bei Personenge-

sellschaften mit mehreren Gesellschaftem, beispielsweise der Offenen Handelsgesell-schaft (OHG), gilt zumindest im AuBenverhaltnis weiterhin das Postulat der unbe-schrankten Haftung samtlicher Eigentiimer.

2" Auch die real agierenden Agents, die zwecks Handlungsfahigkeit bei korporativen Akteuren eingesetzt werden mussen, spiegeln sich in der Struktur moderner korporativer Akteure nicht als natiirliche Personen wider, sondern fiillen lediglich Positionen (Ge-schaftsfiihrer, Abteilungsleiter usw.) aus, sind also gleichfalls austauschbar. Die Bezie-hung dieser Agents zum korporativen Akteur ist vertraglich geregelt, indem sich die A-gents verpflichten, dem korporativen Akteur ihre personlichen Dienste (Arbeitskraft) im Austausch gegen eine extrinsische Kompensation (einen festgelegten Einnahmestrom) zur Verfiigung zu stellen.

78 Ulrike Settnik

teuren sehr gut nachvollziehen. Zeichneten sich die ersten VVaG, deren Ursprun-ge in den fruhen Brandgilden zu finden sind, durch eine kleine, geschlossene Mit-gliederzahl mit vielfaltigen personlichen Beziehungen untereinander und ohne echte Austrittsmoglichkeit aus, so agiert der heutige groBe VVaG^^ bzw. seine Agents in Form des Vorstands weitgehend unabhangig von den jeweiligen Mit-gliedern. Sie konnen zwar bei Bedarf satzungsbedingt zur Zahlung von Nach-schussen aufgefordert werden^^; eine Umsetzung dieser Vorschrift fand in den letzten Jahrzehnten auf dem deutschen Markt jedoch nie statt.

Andererseits verfugen die individuellen Akteure nun liber die Option, ihre Res-sourcen in Form der gezahlten bzw. zukunftig zu zahlenden Versicherungsbeitrage abzuziehen.^^ Damit ist jedoch zugleich der Verzicht auf den Versicherungsschutz verbunden, der zwar bei erneutem Abschluss eines Versicherungskontraktes wie-der erworben werden kann, spartenabhangig allerdings zu erheblich schlechteren Konditionen (in der privaten Kranken- und Lebensversicherung). Darliber hinaus erreicht der Riickkaufswert in der Lebensversicherung, definiert als derjenige Geldbetrag, der dem Versicherungsnehmer bei vorzeitiger KUndigung seines Kon-traktes zusteht, nur ein sehr geringes AusmaB, so dass de facto die Freiheiten der individuellen Akteure im VVaG stark eingeschrankt sind. Aus ihrer Perspektive ist Unabhangigkeit vom korporativen Akteur deshalb eher bei der V-AG gegeben, wo sich die Verbindung zum Unternehmen allein aus ihrer Eigentumerposition heraus ableiten lasst. Umgekehrt gilt dies ebenso fiir den korporativen Akteur: Mittelabfluss ist hier nicht gleichzusetzen mit dem gleichzeitigen Verlust von Bei-tragseinnahmen, sondern allein mit dem Verlust von Eigenkapital. V-AG repra-sentieren folglich modeme korporative Akteure.

4.2 Ereignisse bei Zusammenschlussen von Versicherern

Ein Tauschsystem kann entweder durch eine groBe Anzahl unterschiedlicher Er-eignisse/Ressourcen oder durch eine einzige, zum Tausch angebotene bzw. nach-gefragte Ressource gekennzeichnet sein; Matiaske entwirft z.B. ein sozio-okono-misches Grundmodell des Austausches bei lateraler Kooperation mit Informa-

^ Der groBe VVaG ist anders als der kleine nicht auf einen nach sachlichen, ortlichen oder personenbezogenen Kriterien begrenzten Wirkungskreis beschrankt, sondern betreibt das Versicherungsgeschaft professionell, uberregional und generell; er ist in seiner okonomi-schen Bedeutung heute mit V-AG und Offentlich-Rechtlichen Versicherungsanstalten (ORA) gleichzusetzen. Siehe genauer Hoppmann (2000), S. 36ff. Ein Beispiel fiir einen solchen groBen VVaG ist in der privaten Krankenversicherungssparte der Debeka VVaG, der seit Jahren vordere Platze in den Rankings der Versicherungsuntemehmen einnimmt. Gemessen an den jahrlichen Brutto-Beitragseinnahmen im Jahre 2002 verkorperte er bei-spielsweise bei 55 Unternehmen die zweitgroBte Versicherungsgesellschaft. Vgl. Jahres-bericht BaFin 2002, Teil B, Tabellen 460 und 560.

^ Dieser Sachverhalt zahlt zum vorgeschriebenen Mindestinhalt der Satzung eines VVaG, vgl. dazu die §§ 24-27 VAG.

^ Fama u. Jensen (1983), S. 326, setzen diese Moglichkeit deshalb mit einer effektiven Kontrollmoglichkeit durch den Produktmarkt gleich.


tion^^. Die Nachfrage nach Informationen spielt vermutlich auch bei einer Vielzahl von Unternehmenszusammenschltissen in der Praxis eine herausragende Rolle, besonders in Branchen, in denen sie als Produktionsfaktor einen elementaren Be-standteil des Leistungsprozesses darstellt. Zu einer solchen Branche zahlt die Ver-sicherungswirtschaft, deren Produktion des immateriellen Gutes „bedingtes Versi-cherungsschutz(-versprechen)" besonders auf effiziente Informationsverarbeitung angewiesen ist. ^ Diese Informationen stammen dabei einerseits aus dem Einzel-geschaft, andererseits werden auf den Versicherungsbestand, d.h. auf der Gesamt-heit der Vertrage fokussierte Informationen, gegliedert nach Kunden, Versiche-rungssparten, Regionen etc., - welche im Prinzip Aggregate einzelgeschaftsbezo-gener Informationen bilden - aufbereitet, um beispielsweise als prognostische Grundlage zur Erstellung interner Sterbetafeln oder Schadensstatistiken zu die-nen. ^

Das Interesse an der Ressource Information wird bei Versicherungsunterneh-menszusammenschlussen zum groBten Teil mit Hilfe des Erwerbs eines Versiche-rungsbestands befriedigt werden konnen. Wegen der versicherungsspezifischen Abhangigkeit von Produktion und Absatz fungiert der Versicherungsbestand je-doch nicht nur als Produktionsfaktor, indem dort der zur Produktion notwendige Risikoausgleich im Kollektiv stattfindet, sondern dieser ist auBerdem Ausdruck flir das Produktionsergebnis, also die in der Vergangenheit erfolgreich getatigten Vertragsabschliisse. Dadurch erhalt der Akteur gleichzeitig direkten Zugang zu den Kunden, d.h. zum Markt. Zur effizienten Nutzung dieses Zugangs ist eine weitere Ressource, namlich die Aufienorganisation notwendig, welche die Ge-samtheit von MitarbeiternAêrmittlern nebst sachlichen Betriebsmitteln ein-schlieBlich der darin verankerten organisatorischen Regelungen umfasst. Ihr interner Auf- und Ausbau gestaltet sich i.d.R. sehr langwierig und ist mit hohen Kosten verbunden, so dass Akteure, die die externe tjbernahme dieses Produktionsfaktors beabsichtigen, mit Zeit- und Zugangsvorteilen gegenuber Konkurrenten, die internes Wachstum, d.h. Wachstum aus eigener Kraft, praferieren, rechnen konnen.

Zeitvorteile lassen sich auch mittels der tJbernahme der Ressource menschliche Arbeitskraft generieren, da der Anteil von Arbeits- und Dienstleistungen des (In-nendienst-)Personals am Gesamtfaktoreinsatz gemaB dem immateriellen Charakter des Gutes Versicherungsschutz traditionell hoch ist und seine Qualitat entschei-dend von deren Leistungen abhangt. Verfugt das zu ubernehmende Versiche-rungsunternehmen dadurch bei den Kunden bereits uber einen Goodwill, ist auf-grund des Spill-Over-Ejfekts^^ anzunehmen, dass im Zuge eines Zusammen-

31 Siehe Matiaske (1999), S. 268 ff. 3 Vereinzelt gehen Versicherungswissenschaftler mittlerweile so weit, Information als ori-

ginaren Output von Versicherungsuntemehmen, d.h. als Kemprodukt, zu interpretieren. Siehe dazu Muller (1995), S. 1024, der im einschlagigen Schrifttum als einer der wich-tigsten Vertreter dieser Produktauffassung gilt.

33 Daruber hinaus werden gesamtunternehmens- und selbstverstandlich auch umweltbezo-gene Informationen zur Versicherungsschutzproduktion benotigt.

3 Die Idee des Spill-Over-Effekts besagt, dass (positive) Erfahmngen von Kunden mit ei-nem bestimmten Produkt des Unternehmens oft auf alle anderen desselben Unterneh-

80 Ulrike Settnik

schlusses auch das Kauferunternehmen kunftig davon profitiert und Economies of Scope^^ realisiert, sofern es iiber ein zum Partner komplementar angelegtes Pro-duktsortiment verftigt. Vordergriindig betrachtet verkorpem dementsprechend ma-terielle und immaterielle Produktionsfaktorbiindel zur Erweiterung der Kapazita-ten diejenige Menge von Ereignissen E, die fUr die korporativen Akteure „Ver-sicherungsuntemehmen" im Rahmen von Zusammenschlussen auf der einen Seite interessant sind und auf der anderen Seite von ihnen kontrolliert und zum Tausch angeboten werden. Tatsachlich wird damit implizit der Erwerb von Zeit- und Zu-gangsvorteilen zum Versicherungsmarkt angestrebt, die bei effizienter Nutzung der darin befindlichen Potenziale eine Vielzahl weiterer Vorteile, beispielsweise in Form von Kostensenkungen und Umsatzsteigerungen mittels Synergieeffekten, eroffnen konnen.

4.3 Kontrollverflechtungen bei Zusammenschlussen von Versicherern

Die Anwendung des Tauschmodells in seiner Grundform verlangt bzgl. der Kon-trolle nur eine eindeutige Aussage dartiber, wer de facto handlungsberechtigt ist; Fragen nach der Entstehung der Kontrollverteilung sowie den ursprunglich Hand-lungsberechtigten werden hier nicht beantwortet, dazu mtissten weitere modifi-zierte Modelle entwickelt werden. Bei Unternehmenszusammenschlussen lassen sich eindeutig korporative Akteure in Form der daran beteiligten Unternehmen als kollektive Handlungsberechtigte identifizieren. Da sie jedoch physisch nicht-greif-bare Konstrukte ohne eigene Handlungsfahigkeit verkorpem, sind es in der Praxis die bereits angesprochenen Agents, denen die Eigentumer bzw. Principals (um mit der aus der Principal-Agent-Theorie^^ vertrauten Terminologie zu sprechen, deren Gebrauch hier sinnvoll erscheint und zudem den engen inhaltlichen Bezug zur Okonomie verdeutlicht) in der Hoffnung auf personliche Nutzenmaximierung Kontrollrechte iiber ihre Ressourcen einraumen.^"^ Die Delegation von Entschei-

mens iibertragen werden und daher im Rahmen von Zusammenschlussen ohne zusatzh-chen Marketingaufwand weitere Wettbewerbsvorteile fiir den neuen Untemehmensver-bund entstehen konnen. Vgl. Moller (1983), S. 142f

^ Economies of Scope, auch Verbundeffekte genannt, entstehen durch die mehrfache, zeit-gleiche und/oder zeitverzogerte Verwendung von unvollstandig teilbaren Produktionsfak-toren bei der Entwicklung, Erstellung und Vermarktung von mehreren (ahnhchen) Pro-dukten, die entweder durch die Herstellung eines Produktes nicht voll ausgelastet sind (dazu zahlen u.a. VerwaUungstatigkeiten) oder anderen Produkten kostenlos zur Verfii-gung stehen konnen, wie z.B. bereits erworbenes speziahsiertes Forschungs-Know-how.

^ Siehe dazu grundlegend Ross (1973), Jensen u. Meckling (1976) und Pratt u. Zeckhauser (1985). Umfassende Auseinandersetzungen mit der Theorie im deutschsprachigen Schrifttum nehmen u.a. Elschen (1991) und Picot et al. (1999) vor.

^ Vgl. Coleman (1979), S. 29. Dem EigentUmer-Untemehmer neoklassischer Pragung ist es dagegen mit Hilfe der Vereinigung von aktiven und passiven Eigentumsrechten in seiner Hand weiterhin moglich, alleinige, direkte Kontrolle iiber die sich in seinem Besitz


dungsmacht „bezahlen" sie also mit dem Verlust direkter Kontrolle. Dieser direkte Kontrollverlust soil durch Etablierung von Marktmacht- und Organisations-machtmechanismen abgeschwacht werden, wobei Marktmacht die Leichtigkeit charakterisiert, mit der der individuelle Akteur seine Ressourcen zurtickziehen und alternativ verwenden kann, wahrend unter Organisationsmacht die Moglichkeit des Einzelnen, intern auf Entscheidungen des korporativen Akteurs Einfluss zu nehmen, verstanden wird. ^

In diesem Zusammenhang ist allerdings der Aspekt der „Bundelung von Macht" als zunehmend bedeutsam einzuschatzen, d.h. Macht, die sowohl losgelost von ihren urspriinglichen Kontrolleuren operiert als auch isolierbar ist von denen, die jeweils Gebrauch von ihr machen. ^ Vor allem der heutige VVaG ist davon be-troffen, zu dem die individuellen Akteure eine doppelgleisige Beziehung unterhal-ten: Eine korperschaftliche als Mitglieder/Eigentumer und eine vertragsrechtliche als Versicherungsnehmer, wobei der Erwerb der Mitgliedschaft direkt an die Be-grundung eines Versicherungsverhaltnisses gekoppelt ist." ^ Endet das (meist) zeit-lich befristete Versicherungsverhaltnis, wird automatisch die Mitgliedschaft auf-gehoben, ohne dass gezahlte Beitrage wieder zuriickflieBen; das angesammelte Vermogen gehort juristisch gesehen nicht den Mitgliedern, sondern dem Verein, obwohl jeder Akteur mit Zahlung seiner Versicherungspramien zum Aufbau des Eigenkapitals beigetragen hat. Die korporative Macht des VVaG rekrutiert sich demnach zu einem erheblichen Teil aus den Ressourcen ehemaliger Mitglieder, was die Kontrolle des Gebildes, genauer gesagt seiner Agents in Form des Managements, extrem erschwert, da das interne Organisationsmachtpotenzial der Principals stets auf die von ihnen kontrollierten Ressourcen zu bestimmten Zeitpunk-ten limitiert ist, die nicht notwendigerweise mit den Gesamtressourcen ubereinstimmen."^^ Es wird weiterhin durch das Fehlen von extern ausgerichteter (Kapital-)Marktmacht dezimiert, da - anders als bei den Eigentumem von V-AG, die eine korperschaftliche Beziehung zu ihrem Versicherer unterhalten und denen zur alternativen Anlage ihrer Anteile der gesamte Kapitalmarkt zur Verfugung steht - die Mitgliedschaftsrechte am VVaG am Kapitalmarkt nicht verauBerbar sind.

befindlichen Ressourcen auszuuben, so dass er nicht unter einem signifikanten Machtver-lust leiden muss.

38 Vgl. Coleman (1979), S. 62. 39 Vgl. Coleman (1979), S. 41f. ^^ Vgl. § 20 VAG. ^^ Eine zusatzliche Schwachung vorhandener Organisationsmacht im groBen VVaG bedingt

die aus Praktikabilitatsgrlinden weit verbreitete Delegation der Stimmrechte an - von den Mitgliedern gewahlte - wenige MiigMtdQxvertreter, die erneut Probleme korporativen Handelns, dann auf einer anderen, ubergeordneten Ebene, hervorrufen. AuBerdem sind speziell im VVaG die Einflussmoglichkeiten des Vorstands erheblich, wenn dieser sat-zungsgemaB von seinem Recht Gebrauch macht, gemeinsam mit dem Aufsichtsrat die Mitglieder(-vertreter) ftir die Oberste Vertretung vorzuschlagen und dementsprechend wohl eher eine „managementfreundliche" Auswahl trifft.

82 Ulrike Settnik

Vor dem Hintergrund der Erkenntnisse aus der Theorie korporativer Akteure erstaunt daher die seit geraumer Zeit gefuhrte versicherungswissenschaftliche Diskussion um den Bedarf an verbesserten KontroUmoglichkeiten im VVaG"^^ tiberhaupt nicht.

4.4 Interessenverflechtungen bei Zusammenschlussen von Versicherern

Interessenverflechtungen bilden eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedin-gung des Tausches - dieser kommt nur zustande, wenn auf der einen Seite eine tiberschussnachfrage und auf der anderen Seite ein tJberschussangebot zu ver-zeichnen ist. Welche Interessen konnten Untemehmen als zielgerichtete, d.h. Nut-zen maximierende, korporative Akteure dazu bewegen, sich mit anderen zusam-menzuschlieBen? In der einschlagigen Literatur wird eine Vielzahl von Grunden diskutiert, deren Ursprunge sich allesamt jedoch entweder auf die neoklassische Oder auf die institutionenokonomische Theorie der Unternehmung zuriickfuhren lassen/^ (Tausch-)Handlungen des korporativen Akteurs „neoklassisches Unter-nehmen" korrespondieren dabei im Allgemeinen unmittelbar mit den personlichen Interessen des zugleich handlungsbefugten Eigentumer-Unternehmers, denn sein Einkommen setzt sich vorrangig aus denjenigen Uberschiissen zusammen, die durch seine unternehmerische Tatigkeit nach Entlohnung aller Produktionsfakto-ren iibrig bleiben: Das korporative Ziel „Maximierung des Unternehmensge-winns" stellt somit i.d.R. auch sein eigenes dar." ^

Fiir Agents in einer Kapitalgesellschaft ist die Situation eine andere: Direkt be-deutsam sind Transaktionen nur fiir die Ziele des korporativen Akteurs, ihre eige-nen Ziele werden nur indirekt tangiert. Aus dieser misslichen Verbindung heraus

42 Vgl. dazu Hoppmann (2000), S. 73-76. ^^ Stellvertretend fur viele seien hier die Monopolhypothese, die sich aus der Neoklassik als

Erklarungsansatz ableitet, und die Empire-Building-Hypothese, der der institutionenokonomische Ansatz zugrunde liegt, angefuhrt. Die Monopolhypothese erklart Unterneh-menszusammenschlusse durch die damit verknupfte Chance des Kauferunternehmens zur Erhohung von Marktmacht, indem es durch den Zusammenschluss mit einem Konkur-renten den Wettbewerb auf einem Markt begrenzt und daraus entstehende Monopolge-winne abschopfen kann. Vgl. insbesondere als Vertreter dieser Denkrichtung Trautwein (1990). Aus Sicht der Empire-Building-Hypothese kommen Zusammenschlusse primar wegen der dadurch moglichen Realisierung individueller Interessen des Managements wie Einkommenserhohungen, Macht- und Prestigestreben sowie dem Bedurfnis nach (Arbeitsplatz-)Sicherheit zustande. Eine umfassende Ubersicht uber die zahlreichen Vertreter dieser These findet sich bei Marris u. Mueller (1983), S. 41ff

^^ Demsetz (1983) relativiert diese Aussage spater dahingehend, dass ein Eigentiimer-Unternehmer nicht unbedingt den Gedanken der Gewinnmaximierung verfolgen muss, wenn er die Moglichkeit des Konsums am Arbeitsplatz besitzt (beispielsweise durch Schaffung einer angenehmen Arbeitsatmosphare) und die Kosten des dadurch entstehen-den Nutzenzuwachses geringer sind als der Einkommensverlust, der einen vergleichba-ren Konsumnutzen im privaten Haushalt hatte finanzieren konnen.

Bin sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses 83

ergeben sich eine Reihe gravierender Konsequenzen fiir die Interessenverteilung von Eigentumern und Unternehmensleitung. Coleman bezeichnet das Interesse angestellter Agents an den (Tausch-)Handlungen des korporativen Akteurs tref-fend als „abgeleitetes Interesse'"^^, dessen Starke davon abhangt, wie gut es diesem gelingt, die personlichen Interessen seiner Agents wie Reputation, Gehaltserho-hungen, Erhaltung des Arbeitsplatzes etc. an die Erreichung korporativer Interessen zu koppeln, m.a.W. Anreize zu schaffen, welche die Agents zu Handlungen im korporativen Interesse bewegen sollen. Die Erfolgsaussichten solcher Anreize werden allgemein als gering eingeschatzt, da fiir den Agent gerade negative Konsequenzen von Tauschhandlungen weniger bedeutsam sind als fiir individuelle Akteure.'*^ Dies lasst sich in Bezug auf Unternehmenszusammenschliisse empi-risch beispielhaft anhand des Managementeinkommens dokumentieren, das in vie-len Fallen selbst dann hohe Steigerungsraten aufwies, wenn der Zusammenschluss fiir die betroffenen Aktionare mit Wertminderungen einherging/"^

Auch die Wirksamkeit von Kontrollmechanismen hangt entscheidend von den Rahmenbedingungen ab: Je wettbewerbs-, allokations- und informationseffizienter sich der Markt fiir Unternehmenskontrolle darstellt, desto groBer ist die Wahr-scheinlichkeit, dass das Management im Interesse der Anteilseigner agiert, weil Fehlleistungen, die aus der Verfolgung personlicher Interessen resultieren und mit der Zweckentfremdung von Unternehmensressourcen verbunden sind, sofort mit einem Kursabschlag des Unternehmens sanktioniert und es zu einem begehrten Ubernahmeobjekt machen wurden, im Zuge dessen das verantwortliche Management mit seiner Entlassung rechnen miisste/^ Die erhoffte Disziplinierung kann jedoch bezogen auf den deutschen Versicherungsmarkt fiir Versicherungsvereine und auch ORA wegen ihrer Abkopplung vom Kapitalmarkt nicht greifen. Der in-

45 Coleman (1979) , S. 78 . 46 Vgl . Co leman (1979) , S. 78 . 4" Diese Beobach tungen werden in der Akquisi t ionsli teratur vorrangig zur Stutzung der

Empire -Bui ld ing-Hypothese , deren Hauptaussage bereits kurz in Fn. 41 erlautert wurde , angefuhrt.

4 Diese Aussage bi ldet den Kern der so genannten Disziplinierungs-Hypothese, e iner wei-teren These zur Erk la rung von Unternehmenszusammenschlussen , der die inst i tut ioneno-konomische Theor ie der U n t e m e h m u n g zugrunde liegt. Zusammensch lusse sind dem-nach eine Antwor t auf Managementfehl le is tungen be im u b e m o m m e n e n Objekt, die entweder aus mange lnden Managementfahigkei ten (als Beispiel kann die Situation klei-ner, stark expandierender Unternehmen angefuhrt werden, die infolge ihres W a c h s t u m s nun anderes K n o w - h o w benot igen als zur Grundungszei t , in Bezug auf Market ingst ra te-gien etc., und sich das entsprechende Wissen nicht rechtzeit ig angeeignet haben) oder aus individuel len Nutzenmaximierungska lkulen resultieren (das M a n a g e m e n t tatigt A u s -gaben zur personl ichen Bereicherung, beispielsweise in F o r m von Luxusd iens twagen , groBzugigen Spesenkonten usw., die dadurch zustande k o m m e n , dass der Bei t rag j edes e inzelnen Manage r s am Gesamtoutput schwer quantifizierbar ist und er insofem nicht den vollen Vortei l aus seiner Arbeit erhalt), so dass die Unternehmensressourcen in der Vergangenhei t subopt imal eingesetzt wurden, was zu einem Sinken des Marktwer tes im Vergle ich z u m Branchendurchschni t t fuhrte und die U b e m a h m e durch einen Wet tbewer-ber ermoglicht . Vgl . besonders Easterbrook u. Fischel (1991), S. 1169.

84 Ulrike Settnik

ternen Organisationsmacht werden in der Literatur sogar fur alle angesprochenen Rechtsformen wenige Chancen zur Disziplinierung des Managements und damit zur Verhinderung unerwunschter UnternehmenszusammenschlUsse eingeraumt, denn bei der Einrichtung von Mitglieder- bzw. Aktionarsvertretungen hingegen geschieht lediglich die Verlagerung der Probleme korporativen Handelns auf eine iibergeordnete Ebene. Machtmechanismen tragen also - analog zur Losung des KontroUproblems - allenfalls approximativ zur Losung des Interessenproblems bei." ^ Insgesamt ist davon auszugehen, dass sowohl personliche als auch korpora-tive Interessen fur UnternehmenszusammenschlUsse verantwortlich sind, wobei diese Interessen durchaus identisch sein konnen (im Falle des EigentUmer-Unternehmers etwa oder wenn es gelingen sollte, die personlichen Interessen un-mittelbar mit den korporativen zu verkniipfen).

5. Resumee

Das komplexe Phanomen des Unternehmenszusammenschlusses konnte mit Hilfe der sich auf wenige Basiselemente und Beziehungen konzentrierenden Tauschthe-orie erstmals vollstandig modelliert werden. Obwohl diese zunachst ganzlich von der bisher in der Literatur diskutierten Ebene divergierender Unternehmensmodel-le abstrahiert, gelingt es im konkreten Anwendungsfall trotzdem, die wichtigsten Facetten der aus den verschiedenen Modellen resultierenden Erklarungsansatze fUr Unternehmen und deren Zusammenschliisse in die Argumentation einzubeziehen.

Als zielgerichtete, handelnde Akteure konnen demnach Versicherer identifiziert werden, die sich - unter BerUcksichtigung ihrer Budgetausstattung - fiir bestimm-te Ressourcen (materielle/immaterielle ProduktionsfaktorbUndel wie Versiche-rungsbestand, Information, AuBendienstorganisation etc.) interessieren, welche wiederum von anderen Akteuren, d.h. anderen Versicherem, kontrolliert werden. Diese wollen die interessierten Akteure gegen Zahlung eines Entgelts^^ (im Falle

"^ Coleman (1979), S. 25ff., bezeichnet diejenige Situation als „grundlegendes Dilemma der Organisation", in der eine vollstandige Interessenangleichung von individuellen und korporativen Akteuren nur durch die restriktive Kegel der Einstimmigkeit aller Mitglieder als Handlungsvoraussetzung zustande kame, was wiederum deren Handlungsfahig-keit empfindlich beeintrachtigen und die Vorteile, die aus dem Ressourcenpooling er-wachsen sollen, negieren wurde.

^ Der Austausch von Ressourcen im Rahmen von Untemehmenszusammenschlussen ver-korpert folgerichtig keinen rein sozialen Tausch, in dem Vertrauen zusammen mit der Vollstandigkeit der Zugangsstruktur das vollkommene soziale Kapital darstellt, welches Austauschhandlungen auch ohne generelles Transaktionsmedium, verbindliche Eigen-tumstitel und schriftlich fixierte Vertrage ermoglicht. Vielmehr handelt es sich hier um einen sozio-okonomischen Tausch mit entsprechenden //«/Z7transaktionen (Non Cash Acquisitions in Form von Aktientausch sind in der Praxis kaum verbreitet, auBerdem werden auch dabei - genau genommen - die zu tauschenden Untemehmensanteile mit Preisen bewertet). Diese Tauschhandlung setzt also die allgemeine Akzeptanz eines mo-


des Zusammenschlusses handelt es sich dann i.d.R. konkret um den Kaufpreis) tauschen, um damit ausschlieBlich ihren - personlichen bzw. korporativen - Nut-zen befriedigen zu konnen, sofern die unter eigener KontroUe stehenden Ressour-cen dazu nicht ausreichen und die anderen Akteure in Bezug auf diese speziellen Ressourcen gleichzeitig ein Uberschussangebot aufweisen, sie m.a.W. diese Res-sourcen zur eigenen Nutzenbefriedigung im Zeitpunkt des Tausches nicht benoti-gen. Ob die betreffenden Transaktionen ungehindert (im Sinne Colemans ohne Reibungsverluste in Form von Transaktionskosten) ablaufen bzw. in einigen Tauschsituationen eventuell bestimmte Akteure gegentiber anderen (Informati-ons-)Vorteile besitzen, die dadurch Tauschgelegenheiten erleichtern, ist wiederum von zahlreichen Faktoren abhangig, die bei Bedarf in das Modell iiber die Einbin-dung direkter und indirekter Beziehungen aufgenommen werden konnen.^^

Somit steht alien okonomischen - sowohl den theoretisch als auch den empi-risch ausgerichteten - Analysen ein Meta-Denkmuster als gemeinsamer Aus-gangspunkt zur Verfiigung.

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^ Das Bild eines vollkommenen sozio-okonomischen Systems, das keine Restriktionen in Bezug auf die (Marktzugangs-)Struktur kennt, wird nur in wenigen Fallen angemessen sein. So setzen z.B. Interessenverflechtungen genaue Kenntnisse der handelnden Akteure iiber Werte von Ressourcen und Interessen anderer voraus. Ist der Kapitalmarkt jedoch aus verschiedenen Grunden informationsineffizient, existieren auf der einen Seite Unter-nehmen, die wegen auftretender myopischer Marktineffizienzen andere Unternehmen falsch bewerten und deshalb von einer Transaktion absehen. Auf der anderen Seite besitzen u.U. Unternehmen bzw. deren Manager aufgrund von Insiderinformationen bessere Kenntnisse iiber den „wahren Wert" der Ressourcen, d.h. des Zielobjekts, die sie gegentiber der unwissenden Konkurrenz auszeichnen und dementsprechend Transaktionen for-dern. Siehe zu den Kemaussagen informationseffizienzbezogener Hypothesen, die sich wiederum unter Aufweichung bestimmter Restriktionen aus der neoklassischen Theorie der Unternehmung herleiten lassen, grundlegend u.a. Steiner (1975) und Trautwein (1990), S. 286f.

86 Ulrike Settnik

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Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsunternehmen

Stephan Schumacher

E.ON Westfalen Weser AG, Herford

1. Einleitung

In 2003 wurden die Elektrizitatswerk Minden-Ravensberg GmbH (EMR) und die Elektrizitatswerk Wesertal GmbH (Wesertal) mit ihrem Vermogen als Ganzes auf die PES AG AG verschmolzen. Der Gesellschaftername wurde im Zuge der Ver-schmelzung zu E.ON Westfalen Weser AG (EWA) geandert. Mit der Verschmel-zung ist eines der groBten regionalen Energieversorgungsunternehmen in Deutsch-land entstanden. Die Kerngeschaftsfelder sind Strom, Erdgas, Warme, Wasser und Abwasser. Teilweise liber Tochtergesellschaften ist E.ON Westfalen Weser auf den Gebieten Entsorgung, Telekommunikation und Offentlicher Personenverkehr aktiv. GroBter Aktionar ist die E.ON Energie AG in Munchen mit rund 63% der Anteile. Die restlichen 37% der Anteile verteilen sich auf insgesamt 38 kommuna-le Anteilseigner im EWA-Netzgebiet.

Das Unternehmen erwirtschaftet einen Umsatz von mehr als 900 Mio. € und strebt mittelfristig ein Jahresergebnis von 70 Mio. € nach Steuern an. Direkt oder indirekt ist E.ON Westfalen Weser an 60 Gesellschaften beteiligt, die in den oben genannten Geschaftsfeldern tatig sind. Der Buchwert der Beteiligungen betragt mehr als 210 Mio. €.

Der Beteiligungsbereich tragt mit einem Ergebnis von ca. 11 Mio. € zum ge-samten Unternehmensergebnis bei. Dieser Ergebnisbeitrag soil in den nachsten Jahren auf ca. 15 Mio. € gesteigert werden. Neben der Verbesserung der Rendite im Beteiligungsbereich steht die Bereinigung des Beteiligungsportfolios im Vor-dergrund. Nicht werthaltige und nicht zum Kerngeschaft gehorende Beteiligungen sollen verauBert werden.

2. Organisation des Beteiligungsmanagements

Das Beteiligungsmanagement zielt auf die Optimierung des Beteiligungsportfolios und der Rendite des Beteiligungsbereichs ab. Es deckt vier Teilbereiche ab:

90 Stephan Schumacher

• Das Portfoliomanagement erarbeitet die Strategie fiir den Beteiligungsbereich und legt fest, in welchen Geschaftsfeldern neue Beteiligungen erworben wer-den soUen bzw. welche Beteiligungen zu verauBern sind, da sie nicht mehr zum Kerngeschaft des Mutterunternehmens gehoren bzw. die Renditevorgaben des E.ON-Konzerns auch langfristig nicht erfullen werden.

• Die Unternehmensanalyse ermittelt den Wert der vorhandenen Beteiligungen und der Gesellschaften, an denen Anteile erworben werden sollen.

• Die Beteiligungsbetreuung ist zustandig fiir die Beratung der in den Gremien der Beteiligungsgesellschaften vertretenen Mitarbeiter des Mutterunternehmens.

• Das Beteiligungscontroiling uberwacht durch permanente Soll/Ist-Vergleiche die Wirtschaftlichkeit der Beteiligungen und versucht, die Rendite des Beteili-gungsbereichs zu optimieren.

Die unterschiedlichen Aufgaben konnen organisatorisch verschiedenen Bereichen zugeordnet sein. Grundsatzlich finden sich bei Energieversorgern drei typische Organisationsformen fiir das Beteiligungsmanagement:

Das Akquisitionsmodell findet sich bei Unternehmen mit starken Akquisitions-tatigkeiten. Es trennt die Akquisition von der spateren Betreuung der Beteili-gungsgesellschaft. Portfoliomanagement und Unternehmensanalyse werden in ei-nem eigenen Bereich zusammengefasst, der unabhangig von der Beteiligungsbetreuung und dem Beteiligungscontrolling ist. Vorteil dieses Modells ist die Moglichkeit der groBeren Spezialisierung auf die unterschiedlichen Aufgaben. Wahrend beim Portfoliomanagement und bei der Unternehmensanalyse die Suche nach geeigneten Zielobjekten sowie deren Wertermittlung und damit vor allem auch strategische Fragen im Vordergrund stehen, sind die Tatigkeiten der Beteiligungsbetreuung und des Controlling auf operative Ziele ausgerichtet. Entspre-chend ergeben sich Unterschiede im Zeithorizont der Planung: Alle Prozesse der Akquisition sind eher mittel- und langfristig ausgerichtet, wahrend das Beteiligungscontrolling in erster Linie kurzfristige Renditeziele der Beteiligung im Fo-kus hat. Zu beriicksichtigen ist auch, dass die Ansprechpartner der Bereiche unter-schiedlich sind: Die fUr Akquisitionsprozesse zustandigen Mitarbeiter richten ihre Aktivitaten verstarkt auf den oder die Gesellschafter des Zielobjekts aus, wahrend Ansprechpartner fiir das Beteiligungscontrolling in erster Linie die Geschaftsfiih-rung oder die leitenden Angestellten der Beteiligungsgesellschaft sind. Dem Vorteil des Akquisitionsmodells, eine starkere Spezialisierung auf die einzelnen Aufgaben des M&A-Prozesses zu erreichen, steht als Nachteil die Gefahr von Informationsverlusten bei der LFbergabe der Beteiligung an den Bereich der Beteiligungsbetreuung nach Beendigung des Akquisitionsprozesses gegenuber.

Im kaufmdnnischen Modell werden die Aufgaben des Portfoliomanagements und der Beteiligungsbetreuung getrennt von denen der Unternehmensanalyse und des Controlling. Dieses Modell ist vor allem dann geeignet, wenn strategische Fragen zunachst isoliert von operativen Zielen behandelt werden sollen. Da die Unternehmensanalyse einschlieBlich Wertermittlung in einem anderen Bereich er-folgt als die Zielsuche, wird im Sinne eines Vier-Augen-Prinzips ein optimaler

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsuntemehmen 91

Ausgleich zwischen den strategischen und den operativen Zielen erreicht. Nachteil sind teilweise aufwandige Abstimmungsprozesse zwischen den Bereichen.

Beim integrierten Modell ist eine Organisationseinheit fur alle Funktionen des Beteiligungsmanagements vorgesehen. Vorteil dieses Modells ist die Vermeidung von Schnittstellen, insbesondere dann, wenn keine wesentlichen Investitions- oder DesinvestitionsmaBnahmen geplant sind bzw. bewusst strategische Fragen Rendi-tezielen untergeordnet werden. Die Betreuung der in den Gremien vertretenen Mitarbeiter der E.ON Westfalen Weser AG und des Beteiligungsuntemehmens selbst erfolgt aus einer Hand. Dadurch werden Informationsverluste zwischen den Bereichen innerhalb des Beteiligungsmanagements minimiert. Nach auBen tritt das Mutterunternehmen gegenuber den Beteiligungen nur mit einem Ansprech-partner auf.

Da der Umfang der Akquisitionsprozesse in Zukunft eher gering sein wird, hat sich E.ON Westfalen Weser flir das integrierte Modell entschieden.

Das Beteiligungsmanagement ist bei E.ON Westfalen Weser organisatorisch dem Geschaftsbereich Controlling zugeordnet. Dies ermoglicht die enge Einbin-dung des Beteiligungsmanagements in die ubrigen Planungs- und Controllingpro-zesse sowie die Anbindung an das ebenfalls dem Controlling zugeordneten Risi-komanagement. In regelmaBigen Planungsrunden erfolgt die Abstimmung zwischen dem Beteiligungsmanagement und der ubrigen Unternehmensplanung, um die flir EWA geltenden Zielvorgaben auf den Beteiligungsbereich herunter zu bre-chen. Entsprechend konnen so aktuelle Entwicklungen aus dem Beteiligungsbereich, die Auswirkungen auf das Beteiligungsergebnis haben, in der Unternehmensplanung zeitnah erfasst und beriicksichtigt werden.

3. Controlling-Prozesse des Beteiligungsmanagements

Zur Sicherstellung der untemehmensspezifischen Ziele von EWA ist eine zielge-richtete Steuerung und Koordination der unternehmerischen Aktivitaten aller Tochtergesellschaften notwendig. Das Controllingsystem zielt als zentrales Fiih-rungssystem vor allem auf die Steigerung des Unternehmenswerts sowie der Ren-dite des Beteiligungsbereichs ab. EWA ubernimmt in diesem Prozess als Flih-rungsgesellschaft folgende Funktionen:

• Leitungsfunktion EWA gibt die strategischen Entwicklungsschwerpunkte vor und stimmt diese mit den Beteiligungsgesellschaften ab. Falls erforderlich, sichert und steuert EWA die erforderlichen Finanzierungsmittel.

• Informations- und Kontrollfunktion Das laufende Geschaft einschlieBlich wichtiger Einzelstrategien der Beteiligungsgesellschaften wird kontrolliert und gesteuert. Basis hierfUr sind die von den Beteiligungen zu vorgegebenen Zeitpunkten abzugebenden Berichte.


• Beratungs- und Koordinationsfunktion Das Beteiligungsmanagement von EWA nimmt gegenuber den Beteiligungsge-sellschaften im Bedarfsfall eine Beratung in alien kaufmannisch relevanten Fragestellungen vor und koordiniert die Bearbeitung von technischen oder ju-ristischen Problemstellungen, die an das Mutterunteraehmen herangetragen werden.

Der Ausgangspunkt des Controlling-Prozesses ist das Planungs- und Budgetge-sprach, das mit den verantwortlichen Mitarbeitern der Beteiligung vor der Erstel-lung des neuen Wirtschaftsplans stattfindet. Ziel des Gesprachs ist die Festlegung der wichtigsten finanzwirtschaftlichen Ziele sowie der strategischen Untemeh-mensziele. Vorbereitend ermittelt das Beteiligungscontrolling auf der Grundlage der vorliegenden wirtschaftlichen Daten der Beteiligung wesentliche Kennzahlen und setzt diese in den Vergleich zu aggregierten Branchenkennzahlen. Dies er-moglicht eine detaillierte Ermittlung von Starken und Schwachen und zeigt ent-sprechende Verbesserungspotentiale auf (siehe hierzu Abschnitt 4). Aus den er-mittelten Verbesserungspotentialen wird zusammen mit den verantwortlichen Mitarbeitern der Beteiligung ein MaBnahmenkatalog erarbeitet, der die Ziele fur das neue Geschaftsjahr festschreibt. Zusatzlich werden die wichtigsten Eckdaten fiir Investitionen, Portfolio- und Wertentwicklung der jeweiligen Gesellschaft ver-abschiedet. Die Ergebnisse dieser Planungsrunde flieBen in den Wirtschaftsplan ein, der dann Aufsichtsrat und Gesellschafterversammlung des Beteiligungsunter-nehmens zur Genehmigung vorgelegt wird.

Der verabschiedete Wirtschaftsplan wird - teilweise unter Mitwirkung der Ge-schaftsftihrung bzw. Planungsabteilung der Beteiligungsgesellschaft - auf Quar-talsbudgets oder bei den groBeren Gesellschaften auf Monatsbudgets herunter gebrochen. Gegen diese Planzahlen werden dann im laufenden Wirtschaftsjahr die aus den Beteiligungen kommenden Monats- oder Quartalsberichte gespiegelt. Er-ganzend wird der Jahresabschluss des Vorjahres nach seiner Feststellung mit den vorliegenden Planungen verglichen, um zum einen die Kennzahlen zu aktualisie-ren und zum anderen die Planungen zu verifizieren.

Ziel ist es, Planabweichungen fruhzeitig sichtbar zu machen und gegebenen-falls KorrekturmaBnahmen einleiten zu konnen. Samtliche aus den Beteiligungen kommenden Berichte werden vom Beteiligungscontrolling zu einer Hochrechnung des Beteiligungsergebnisses von E.ON Westfalen Weser verdichtet, die selbst wiederum in die Gesamtunternehmensplanung einflieBt. Mit zunehmender Fort-schreitung des Wirtschaftsjahres werden die Hochrechnungen immer genauer und lassen eine gesicherte Prognose fur die Ergebnisse der Beteiligungen und damit des gesamten Beteiligungsergebnisses des Mutterunternehmens zu.

4. Steuerung des Wertbeitrags der Beteiligungen

Fiir das Beteiligungsmanagement werden spezielle Kennzahlen ermittelt. Neben Standard-Kennzahlen werden geschaftsfeldtypische Erfolgsfaktoren abgebildet. Dabei wird vor allem auf wertorientierte Kennzahlen abgestellt, die die Wertent-


wicklung und operativen Werttreiber der einzelnen Beteiligungen analysieren. Zentrale Idee der wertorientierten Erfolgsmessung ist, dass ein positives Unter-nehmensergebnis noch keine Aussage im Hinblick auf die Entwicklung des Un-ternehmenswerts der Beteiligung zulasst, da die Kosten des Eigenkapitals als we-sentliche Kostenkomponente nicht ins Kalkiil einbezogen werden. Ein zusatzlicher Wert wird nur geschaffen, wenn ein Unternehmen eine Rendite erwirtschaftet, die liber den risikospezifischen Kosten von Eigen- und Fremdkapital liegt.

Die wertorientierte Unternehmenssteuerung basiert im Wesentlichen auf zwei Instrumenten:

• Statische Performance Messung mit den Kennzahlen „Return on Capital Employed" (ROCE) und „Value Added" (siehe Abschnitt 4.1 und 4.2).

• Fallweise und bei Akquisitionen, Investitionen und Desinvestitionen Durchfuh-rung einer Unternehmensbewertung auf Basis dynamischer Wirtschaftlichkeits-rechnungen (siehe Abschnitt 5).

4.1 Return on Capital Employed (ROCE)

Der ROCE ist eine Gesamtkapitalrendite vor Steuern. Er wird als Quotient aus dem Betriebsergebnis vor Zinsen und Ertragssteuern (Earnings before Interest and Taxes = EBIT) und dem derzeit investierten Kapital (Capital Employed) berech-net:

ROCE= 15II Capital Employed

Der ROCE bildet die wirtschaftliche Entwicklung unabhangig von steuerlichen Einflussen ab. Der in den Zahler eingehende EBIT ist Indikator fiir den nachhaltig aus dem operativen Geschaft erzielbaren Erfolg auf das eingesetzte Kapital.

Das in den Nenner eingehende Capital Employed spiegelt das gesamte gebun-dene Kapital wider. Es wird ermittelt aus folgenden Positionen:

Buchwert der immateriellen Vermogensgegenstande und Sachanlagen + kumulierte Goodwill-Abschreibungen aus Einzelabschllissen und

aus der Kapitalkonsolidierung + Buchwert der Beteiligungen + kumulierte Goodwill-Abschreibungen aus der Equity-Bewertung + Vorrate + Forderungen aus Lieferungen und Leistungen + ubriges unverzinsliches Umlaufvermogen inkl. aktiver RAP - unverzinsliche Riickstellungen - Verbindlichkeiten aus Lieferungen und Leistungen - ubrige unverzinsliche Verbindlichkeiten inkl. passiver RAP = Capital Employed (CE)

In den ROCE flieBen als Netto-Kapitalrendite das Ergebnis und das Vermogen nach Abschreibungen ein. Zinstragende Aktiva (Ausleihungen, Wertpapiere, For-


derungen und liquide Mittel) werden sowohl im Zahler als auch im Nenner nicht beriicksichtigt, well sie nicht Bestandteil des operativen Geschafts sind. Beteili-gungen zahlen hingegen zum operativen Geschaft und werden daher bei der Be-rechnung des ROCE beriicksichtigt.

Der ROCE ist eine statische Kennzahl. Sinnvolle Aussagen liber die Weiter-entwicklung des Geschafts sind daher nur moglich, wenn der ROCE im Zeitablauf fur mehrere Perioden ermittelt und verglichen wird.

4.2 Value Added

Der Value Added (VA) dient als Indikator des absoluten Wertbeitrags einer Perio-de. Er drtickt den Erfolgsuberschuss aus, der iiber die Kosten des Eigen- und Fremdkapitals erwirtschaftet wird. Er tragt der Tatsache Rechnung, dass ein Un-ternehmen erst dann einen zusatzlichen Wert schafft, wenn die Rendite des inves-tierten Kapitals hoher als die durchschnittlichen Kapitalkosten des Eigen- und Fremdkapitals ist. Wie der ROCE ist auch der VA eine statische Kennzahl, die in ihrer zeitlichen Entwicklung zu interpretieren ist. Der VA ermittelt sich wie folgt:

VA = EBIT-kGK CE

mit:

VA - Value Added koK - Kapitalkosten vor Steuem in % CE - Capital Employed

Die Kapitalkosten werden als gewichteter Mittelwert der Eigen- und Fremdkapi-talkosten (Weighted Average Cost of Capital) berechnet. Die Renditeanspruche der Eigen- und Fremdkapitalgeber gehen mit den Marktwerten in die Mittelwert-bildung ein. In der Regel wird das bestehende Verhaltnis von Eigen- zu Fremdka-pital des betrachteten Untemehmens zur Mittelwertbildung herangezogen.

Die Renditeanspruche der Eigenkapitalgeber werden mit Hilfe des Capital Asset Pricing Models (CAPM) ermittelt. Die Renditeerwartung ergibt sich als Sum-me der sicheren Rendite, die mit einer risikofreien Anlage am Kapitalmarkt erzielt werden kann, und einer Risikopramie. Die Rendite fur risikofreie Kapitaleinlagen wird aus der Verzinsung langfristiger Staatsanleihen abgeleitet. Die Hohe der Risikopramie ist vom Kapitalmarkt abhangig und ergibt sich als Differenz aus der erwarteten Aktienmarktrendite und dem risikofreien Zins. Mit Hilfe des Gewich-tungsfaktors (Beta-Faktor) wird abgebildet, wie sich das betrachtete Unternehmen bei Renditeschwankungen im Vergleich zum Aktienmarkt verhalt. Ein Beta-Faktor groBer 1 signalisiert eine uberproportionale Entwicklung der Einzelrendite zur Rendite des Gesamtmarktportfolios, ein Beta-Faktor kleiner 1 eine unterpro-portionale Entwicklung. Das RisikomaB Beta kann entsprechenden Veroffentli-chungen entnommen werden. Sind diese nicht vorhanden, da das betrachtete Unternehmen nicht borsennotiert ist, kann es aus den Beta-Werten vergleichbarer, offentlich notierter Unternehmen abgeleitet werden. Bezogen auf Energieversor-gungsunternehmen wird in der Regel mit einem Beta-Faktor zwischen 0,2 und 0,7


gearbeitet. Grundsatzlich besteht bei der Ermitdung von Beta-Faktoren das Problem, dass diese sich aus der Vergangenheit ableiten und nicht notwendigerweise sicher ist, dass sie so in der Zukunft Bestand haben.

FUr den Fall, dass keine Markt- und Wettbewerbsdaten vorliegen, werden die Kapitalkosten unter Beriicksichtigung des Geschaftsfelds anhand qualitativer Ri-sikokriterien mit Hilfe eines Scoring-Modells abgeleitet. In das Modell gehen qualitative Faktoren wie die Konjunkturabhangigkeit, die GroBe des Unternehmens, die Wettbewerbssituation oder die Kostenstruktur ein. Die Kosten des Fremdkapi-tals werden aus stichtagsbezogenen marktgangigen Konditionen fur die Aufnahme von Fremdkapital abgeleitet, wobei die Steuer wirksame Abzugsfahigkeit der Fremdkapitalzinsen in Ansatz gebracht wird.

Unter Beriicksichtigung der genannten Faktoren wird der Kapitalkostensatz wie folgt ermittelt:

GK = EK • ^k + TpK • (l - s)- fk

mit:

TGK - gewichteter Gesamtkapitalkostensatz rEK - Eigenkapitalkostensatz rpK - Fremdkapitalkostensatz s - Ertragsteuersatz fk - Anteil Fremdkapital Ck - Anteil Eigenkapital

wobei:

mit:

rEK=rf+^. ( rM-rf )

rf - risikoloser Zins p - RisikomaB Beta rM - Marktrendite

und

Ck+fk =1

Die Kapitalkosten vor Steuem (koK) ergeben sich als:

TGK koK =

(1-s)

4.3 Performance-Messung anhand von Benchmarks

Die oben beschriebenen Kennzahlen lassen im Zeitablauf eine Bewertung der wirtschaftlichen Entwicklung eines Beteiligungsunternehmens zu und werden im Bedarfsfall um weitere Kennzahlen erganzt. Zusatzlich wird im Rahmen eines Benchmarking die Performance einer Beteiligung im Vergleich zu Unternehmen

Ist-Wert besser als Durchschnitt

Ist-Wert schlechter als Durchschnitt

Worst-in-

Class

Durch-

schnitt

Ist-Wert

2002

Zielwert

2007

Best-in-

Class

Bewertung anhand

der größennormier-

ten Vergleichswerte

1.226 1.600

Ausgeschütteter

Gewinn in T€

Ist-Wert 2002

in T€

Zielwert 2007

in T€

Beteiligungsrendite

ReVU-Sicht) in %

12,626,31

Beteiligungsrendite

ReVU-Sicht) in %

12,626,31

Ausgeschütteter

Gewinn in T€

710355

Ausgeschütteter

Gewinn in T€

710355

Capital Employed

(ReVU-Sicht) in T€

5.6245.624

Capital Employed


5.6245.624

Anteiliger Jahres-

überschuss in T€

710710

Anteiliger Jahres-

überschuss in T€

710710

Ausschüttungsquote

in %

10050,00

Ausschüttungsquote

in %

10050,00

Sonderaus-

schüttungen

00

Sonderaus-

schüttungen

00

Gesamtkapitalrendite

(Beteiligung) in %

12,4212,13

Gesamtkapitalrendite

(Beteiligung) in %

12,4212,13

EBIT (bereinigt)

In T€

2.5482.548

EBIT (bereinigt)

In T€

2.5482.548

Gesamtkapital in T€

20.51021.002


20.51021.002

Anteil an

Beteiligung in %

45,0045,00

Anteil an

Beteiligung in %

45,0045,00

Anteil an

Beteiligung in %

45,0045,00

Anteil an

Beteiligung in %

45,0045,00

XX XX

XX

--

++

//

Steuern

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsunternehmen 97

Fiir die Betrachtungen von Unternehmenswert und Buchwert von Beteiligun-gen wird ein Vergleichswert auf Basis von Multiples errechnet, die sich auf der Basis langjahriger Erfahrungswerte des E.ON-Konzerns und seiner Beteiligungen ableiten:

1. Multiple 1 = Umsatz Strom * 1,2 2. Multiple 2 = Umsatz Gas * 1,1 + Umsatz Wasser * 1,1 3. Multiple 3 = EBIT * 8 4. Multiple 4 = EBT * 9,5 5. Multiple 5 = JahresUberschuss * 14 6. Multiple 6 = Einwohner * 1050 €

Samtliche Multiples werden fiir mehrere Jahre ermittelt. Der Vergleichswert ergibt sich aus der Summe der Multiples iiber den Betrachtungszeitraum dividiert durch die Anzahl der verwendeten Multiples. Liegt der so ermittelte Unternehmenswert oberhalb des Buchwerts der Beteiligung, zeigt dies eine positive Wertentwicklung der Beteiligung. 1st der Unternehmenswert eines Beteiligungsunternehmens gerin-ger als der Beteiligungs-Buchwert, wird eine detaillierte Unternehmensbewertung angestoBen (Impairment-Test), die gegebenenfalls die Grundlage fiir eine notwen-dige Abschreibung auf den Buchwert der Beteiligung liefert.

Die einzelnen Kennzahlen werden im Rahmen der Gesamtauswertung unter-einander verkntipft und in eine Gesamtubersicht eingefugt. Fur eine Stadtwerke-Beteiligung ergibt sich damit z.B. der in Abb. 2 angegebene Auszug aus dem Kennzahlen-Netz werk:

Beteiligungsrendite ReVU-Sicht) in %

I 6,31 I I 12,62

I I I

Ausgeschütteter

Gewinn in T€

I 355 I I 710

Anteiliger Jahresüberschuss in T€

I II I

^

Anteil an

Beteiligung in %

45,00 I I 45,00

EBIT (bereinigt) In T€

^

Ausschüttungsquote in %

I I I

Gesamtkapitalrendite (Beteiligung) in % I 12,13 I I 12,42 I

IE

Capital Employed


I 5.624 I I 5.624 |

I II I

Anteil an Beteiligung in %


I rr

Sonderaus-schüttungen

•4)^

Abb. 2. Verkniipfung von Kennzahlen

Steuer n


Der Vergleich mit den anderen Beteiligungsunternehmen des E.ON-Konzerns er-gibt ein Starke-Schwachen-Profii flir das einzelne Unternehmen. Starke Abwei-chungen vom Durchschnittswert nach unten zeigen die Notwendigkeit von MaB-nahmen zur Verbesserung der in die Kennzahl eingehenden GroBen auf. Die Vergleichskennzahlen liefem Anhaltspunkte, welche MaBnahmen eingeleitet wer-den sollen.

Bei der Auswertung der Kennzahlenvergleiche ist allerdings zu berucksichti-gen, dass Kennzahlen nur verdichtete Informationen zur Beurteilung der v irt-schaftlichen Situation liefern. Durch die Kennzahlen wird eine Normierung er-reicht, die Uberhaupt erst einen Vergleich von Unternehmen unterschiedlicher GroBenordnung und Auspragung ermoglicht. Allerdings kann selbst die durchge-fiihrte GroBennormierung der Kennzahl nicht alle GroBenunterschiede zwischen den betrachteten Unternehmen ausgleichen. Deshalb sind die groBennormierten Kennzahlen durch weitere - z.T. auch qualitative - Informationen zu erganzen, bevor belastbare Aussagen zur wirtschafdichen Situation der Beteiligung oder Handlungsempfehlungen gegeben werden konnen. Hierunter fallen z.B.:

• Das regionale Marktumfeld: Aufgrund der Struktur der Energieversorgung, in der nach wie vor mehrere hundert Stadtwerke neben den groBen Energieversor-gern im Endkundengeschaft tatig sind, ergeben sich regionale Unterschiede bei den Preisniveaus fUr Energie und Warme. Bei der Bewertung der von den Beteiligungsunternehmen realisierten Margen im Energie- und Wassergeschaft ist hierauf Riicksicht zu nehmen.

• Kundenstruktur: Der Anteil von Privat- und Geschaftskunden hat maBgeblichen Einfluss auf die Preisstellung und erzielbaren Margen.

• Regionale Unterschiede: Die Kosten fur den Betrieb, die Instandhaltung von Netzen und auch die Hohe von spezifischen Investitionen sind stark davon ab-hangig, ob das Unternehmen in einer mehr stadtischen oder landlichen Region tatig ist.

• Mitarbeiterzahl: Bei Kennzahlen, die auf die Anzahl der Mitarbeiter abzielen, z.B. Umsatz pro Mitarbeiter, muss beriicksichtigt werden, dass der Anteil der Arbeiten, der an Fremdfirmen vergeben wird, bei den Unternehmen je nach Fir-menphilosophie unterschiedlich hoch ist.

• Geschdftsfelder: Bei Versorgungsuntemehmen ergeben sich starke Unterschiede bei Renditekennzahlen in Abhangigkeit davon, ob das Unternehmen die Sparten Strom, Gas und Wasser abdeckt oder nur Teile davon.

• Gesellschafterstruktur, Gerade bei Stadtwerken, an denen kommunale Gesell-schafter noch mit hohen Anteilen beteiligt sind, werden zum Teil neben Rendi-tezielen auch andere - eher im politischen oder sozialen Bereich - angesiedelte Ziele verfolgt.

• Informationsbasis: Die Informationen, die in den Kennzahlenvergleich einflie-Ben, kommen in hohem MaBe aus dem Beteiligungsunternehmen selbst. Auch wenn die Abfragen an die Beteiligungsunternehmen standardisiert sind und auf Plausibilitat durch das Beteiligungsmanagement des jeweiligen Mutterunter-nehmens gepriift werden, kann nicht ausgeschlossen werden, dass bestimmte


Angaben aufgrund von unterschiedlichen Erhebungsmethoden nicht einheitlich sind.

Aussagen zu Starken und Schwachen sowie die Ableitung von Handlungsempfeh-lungen miissen diese Aspekte ebenso beriicksichtigen wie die Entwicklung der Kennzahlen im Zeitablauf.

Wesentlich in dem Prozess des Benchmarking ist die Diskussion der Ergebnis-se mit den Verantwortlichen des Beteiligungsunternehmens selbst. Die sich aus dem Vergleich ergebenden Potentiale werden deshalb jahrlich in einem Planungs-gesprach aufgezeigt und abgeglichen. Erst danach werden feste MaBnahmen defi-niert und als Ziele vorgegeben. Im Rahmen des regelmaBigen Berichtswesens wird dann gepruft, inwieweit die Mafinahmen umgesetzt worden sind und welche Verbesserungen hieraus resultieren.

5. Ermittlung des Unternehmenswerts der Beteiligungen

Detaillierte Unternehmensbewertungen werden im Rahmen des Erwerbs bzw. des Verkaufs von Beteiligungen sowie zur tjberpriifung des Buchwerts der Beteili-gung (Impairment-Test) durchgefUhrt.

Eine erste Orientierung fiir den Unternehmenswert liefert die Bewertung auf Basis von Multiples (vgl. hierzu Abschnitt 4.3). Fiir tiefer gehende Analysen wird bei E.ON der Unternehmenswert mit Hilfe des Discounted Cash Flow (DCF)-Verfahrens auf der Basis des Weighted Average Cost of Capital (WACC)-Ansat-zes ermittelt. Dabei wird der Wert des Eigenkapitals indirekt aus der Differenz des Unternehmenswerts und des verzinslichen Fremdkapitals ermittelt. Der Unternehmenswert ergibt sich als Summe der diskontierten jahrlichen Free Cash Flows iiber den betrachteten Planungshorizont. Diese sind die den Eigen- und Fremdka-pitalgebern nach Unternehmenssteuern und Investitionen, aber vor Zinsen und Tilgung zur Verfiigung stehenden Zahlungsuberschusse. Vorteil dieser Methode ist, dass ein Unternehmenswert ermittelt wird, der unabhangig von der Kapital-struktur und dem damit verbundenen Finanzierungsrisiko ist. Zur Diskontierung wird der gleiche Kapitalkostensatz verwendet, der auch zur Ermittlung der Kenn-zahl des Value Added (vgl. Abschnitt 4.2) herangezogen wurde.

5.1 Ermittlung der laufenden Ein- und Auszahlungen

Zur Ermittlung der laufenden Ein- und Auszahlungen wird ein mehrperiodiger, in-tegrierter Geschaftsplan mit GuV, Bilanz und Kapitalflussrechnung entwickelt. Die Abschliisse der drei vorangegangenen Geschaftsjahre dienen zur Plausibilisie-rung der Planungsrechnung. Hieraus lasst sich der freie Cash Flow sehr einfach ableiten. Dariiber hinaus gelingt es auch, Zusammenhange aufzuzeigen und die Wertgeneratoren zu analysieren. Die Lange des Planungszeitraums hangt von ver-schiedenen Faktoren ab:


• Dem Zeitraum, fUr den fundierte Informationen ftir die Unternehmens- und Cashflow-Planung vorliegen,

• dem AusmaB der Schwankungen des Geschaftsverlaufs, • der Prognostizierbarkeit des Marktes, in dem das zu bewertende Unternehmen

operiert.

Grundsatzlich wird der Planungszeitraum so gewahlt, dass mittel- und langfristige Entwicklungstendenzen erfasst werden konnen.

In der Regel legt das Bewertungsobjekt eine entsprechende - teilweise von ei-nem unabhangigen Wirtschaftsprufer testierte - Unternehmensplanung vor. Diese wird kritisch gepriift und gegebenenfalls modifiziert. Dabei werden die bei E.ON geltenden Planungs- und Kalkulationsansatze berticksichtigt und mit denen der vom Bewertungsobjekt vorgelegten Planung abgeglichen. Zusatzlich werden die erwartete Marktentwicklung und Erfahrungen aus der Vergangenheit einbezogen. Sollte eine Unternehmensplanung fehlen, muss aus den vorhandenen Informationen eine eigene Planungsrechnung erstellt werden.

Aus den vorliegenden Planungsunterlagen werden dann die freien Cash Flows ftir die einzelnen Planjahre ermittelt. Dabei wird nach folgendem Schema vorge-gangen:

Operatives Ergebnis vor Zinsen und Steuern - Steuern auf das operative Ergebnis = operatives Ergebnis vor Zinsen nach Steuern + Abschreibungen +/- sonstige nicht zahlungswirksame Aufwendungen / Ertrage - Investitionen -/+ Anstieg / Rtickgang des Working Capital (Vorrate plus Saldo aus Forde-

rungen und Verbindlichkeiten aus Lieferungen und Leistungen) -/+ sonstige nicht ergebniswirksame Auszahlungen / Einzahlungen = laufende Ein- und Auszahlungen

In den Ein- und Auszahlungen werden keine Finanzierungseffekte abgebildet. Fi-nanzierungseffekte sind alle Zinsaufwendungen sowie die Aufnahme und Tilgung von Darlehen.

Bei der Ermittlung der Steuern auf das operative Ergebnis vor Zinsen und Steuern werden alle Steuern berticksichtigt, die das Unternehmen belasten. Vereinfa-chend wird hier mit einer durchschnittlichen Steuerbelastung von 40% gerechnet, die sich aus der Gewerbeertrag- und der Korperschaftsteuer sowie dem Solidari-tatszuschlag zusammensetzt. Die Steuer mindernde Wirkung des Zinsaufwandes wird durch den entsprechenden Abschlag in den Kapitalkosten abgebildet. Ein negatives operatives Ergebnis fuhrt nicht zu Steuergutschriften, da diese Effekte erst nach Integration des zu erwerbenden Unternehmens realisiert werden konnen. Verluste werden im Akquisitionsobjekt vorgetragen und mit spateren Gewinnen verrechnet.

1st geplant, gegen Ende des Planungshorizonts das Anlagevermogen oder das Working Capital zu verauBem, kann ein Restwert als Liquidationswert ermittelt werden. Hierfiir sind die erzielbaren VerauBerungserlose nach Steuern zu ermit-


teln. Hilfsweise konnen die Buchwerte der Vermogensgegenstande angesetzt wer-den.

5.2 Ermittlung des Entscheidungswerts

Der Barwert der laufenden Ein- und Auszahlungen wird durch Diskontierung der laufenden Ein- und Auszahlungen mit dem Kapitalkostensatz ermittelt:

BW=2]EAZt . ( l + rGK)-' t=0

mit: BW - Barwert der Ein- und Auszahlungen EAZt - Saldo der laufenden Ein- und Auszahlungen in Periode t T - Planungshorizont der Detailplanung roK - Kapitalkostensatz nach Steuem

Der so ermittelte Barwert der laufenden Ein- und Auszahlungen ist der Ausgangs-punkt fiir die Herleitung des Entscheidungswerts fur das zu bewertende Unter-nehmen. Die weiteren Rechenschritte zeigt nachfolgendes Schema:

Barwert der laufenden Ein- und Auszahlungen + Barwert des Fortfiihrungswerts + Marktwert der Beteiligungen + Marktwert der Zins tragenden Aktiva + Marktwert des sonstigen nicht operativen Vermogens = Gesamt- bzw. Unternehmenswert - Marktwert des verzinslichen Fremdkapitals inkl. Pensions-

und Entsorgungsriickstellungen = Wert des Eigenkapitals -/+ Barwert der Synergieeffekte = Entscheidungswert

Dem Barwert der Ein- und Auszahlungen ist der Fortfiihrungswert (Ewige Rente) hinzuzuaddieren. Der Fortfiihrungswert ist der Barwert der Ein- und Auszahlungen zum Zeitpunkt des letzten Detailplanungsjahres. Er wird auf den Entschei-dungszeitpunkt abgezinst:

mit: EAZT +1 - Saldo der Ein- und Auszahlungen in Periode T+1 roK - Kapitalkostensatz nach Steuem g - Wachstumsabschlag

Der Wachstumsabschlag beriicksichtigt, dass bei der Berechnung der ewigen Rente inflationsbedingte Erlos- und Kostensteigerungen und damit ein nominales


Wachstum nicht beriicksichtigt werden. Er wird in Abhangigkeit von der gegen-wartigen Inflationsrate festgelegt (zurzeit 1%).

Da der Fortfiihrungswert groBes Gewicht bei der Berechnung des Unterneh-menswerts hat, muss er sehr sorgfaltig geplant werden. Bei der Ermittlung der nachhaltigen Ein- und AuszahlungsuberschUsse ist von den Pramissen auszuge-hen, dass

• konjunkturelle Effekte eliminiert werden, • die Hohe der Abschreibungen der Hohe der Ersatzinvestitionen zur dauerhaften

Aufrechterhaltung der Leistungsfahigkeit des Untemehmens entspricht, • das Working Capital maOig wachst bzw. konstant bleibt.

Die Unternehmensbewertung trennt die operativen von den nicht operativen Be-reichen. Deshalb werden die einzelnen Telle des nicht operativen Bereichs wie Beteiligungen, Zins tragende Aktiva oder sonstiges nicht operatives Vermogen in der Regel in einer eigenen Rechnung bewertet und zu dem Barwert der Ein- und Auszahlungen sowie dem Barwert des FortfUhrungswerts addiert. Beteiligungen werden nach dem gleichen Schema wie oben bewertet. Fur den Fall, dass es sich bei den Beteiligungen um borsennotierte Unternehmen handelt, ergibt sich der Marktwert aus dem Borsenkurs. In Ausnahmefalien werden vereinfachend die oben beschriebenen Multiplikatoren verwendet.

Der Marktwert der Zins tragenden Aktiva ist in der Regel mit dem Buchwert identisch. FUr den Marktwert des sonstigen nicht operativen Vermogens wird der Liquidationswert angesetzt.

Der Wert des Eigenkapitals ist die Differenz zwischen dem Unternehmenswert und dem Marktwert des verzinslichen Fremdkapitals inklusive Pensionsruckstel-lungen. Zur Ermittlung dieser Werte werden im AUgemeinen die entsprechenden Buchwerte verwendet. Bei den Pensionsverpflichtungen wird gepruft, ob diese von dem Akquisitionsobjekt angemessen dotiert worden sind. Andemfalls sind bei der Bewertung entsprechende Korrekturen vorzunehmen.

GroBe Bedeutung bei der Ermittlung des Entscheidungswerts kommt der Kal-kulation von Synergieeffekten zu. Hierunter fallen alle Ein- und Auszahlungen, die erst nach Integration des Unternehmens in den Konzemverbund realisiert werden. Positive Synergien konnen sich z.B. durch die Reduktion der Energie-Beschaffungskosten ergeben, wenn es nach dem Beteiligungserwerb gelingt, die Beschaffungsaktivitaten des Beteiligungsunternehmens mit in die des Mutterun-ternehmens zu integrieren, um hierdurch GroBenvorteile zu realisieren. Grundsatz-lich konnen auch negative Synergien, z.B. durch Kosten fur die notwendige An-passung von EDV-Systemen, entstehen. Inwieweit Synergieeffekte berucksichtigt werden, ist unabhangig davon, ob diese im Akquisitionsobjekt oder im Mutterun-ternehmen entstehen.

Der Unternehmenswert ohne Synergiepotentiale dient zur Abschatzung der po-tentiellen Wertvorstellung des Verkaufers. Die Berucksichtigung von Synergieeffekten liefert die Basis zur Ermittlung der Preisobergrenze des Kaufers. Szenario-Techniken und Sensitivitatsanalysen, bei denen wesentliche Parameter, wie die Entwicklung von Rohmargen, variiert werden, ermoglichen die Abbildung von Risiken und Chancen.


5.3 Bewertung

Der wie oben beschriebene Entscheidungswert liefert die Grundlage fUr die Ver-handlungen mit dem Verkaufer der Anteile an einem Unternehmen. In der Regel wird der Kaufpreis, der tatsachlich gezahlt wird, hiervon abweichen, da

• haufig der Verkaufsprozess im Rahmen eines strukturierten Bieter-Verfahrens erfolgt. Die Angebote anderer Kaufinteressenten konnen Preis erhohende Ef-fekte auslosen, insbesondere dann, wenn mit der Beteiligung strategische Ziele verfolgt werden.

• im Falle des Erwerbs einer Mehrheitsbeteiligung in der Regel der Preis pro Prozentpunkt um den strategischen Aufpreis steigt, da es in diesem Fall dem Erwerber leichter fallt, seine mit der Beteiligung verfolgten Ziele umzusetzen.

• fur die Hohe des Kaufpreises auch der Zeitpunkt Bedeutung hat, zu dem die Transaktion stattfindet. So sind z.B. bei Offnung der Energiemarkte fiir Unter-nehmensbeteiligungen an Versorgungsunternehmen wesentlich hohere Kauf-preise gezahlt worden als in der jungeren Zeit, in der die Konsolidierung des Marktes praktisch abgeschlossen ist.

• Auf- und Abschlage auf den Kaufpreis sich auch in Abhangigkeit von den ver-traglichen Rahmenbedingungen des Akquisitionsobjekts und der daraus resul-tierenden individuellen Risikosituation ergeben. Ein Unternehmen mit langfris-tig marktgerechten Absatz- und Bezugskonditionen wird hohere Kaufpreise erzielen als ein Unternehmen, bei dem wichtige Kundenvertrage in Kurze aus-laufen und damit hier ein erhebliches Risiko von Kundenverlusten besteht.

• Sonderrisiken, die Uber die ublichen Marktrisiken hinausgehen, zur Reduktion des Kaufpreises fuhren. Ebenfalls kann es zu Abschlagen auf den Kaufpreis kommen, wenn gegenuber der Verkaufsseite bestimmte Garantien (z.B. Stand-ortgarantien) abzugeben sind, die die Integration der Beteiligung in das Mutter-unternehmen bzw. die Realisation der Synergien erschweren.

• auch die Qualifikation der Mitarbeiter und des Managements des zu erwerben-den Beteiligungsuntemehmens von Bedeutung ist.

Gerade zur Erfassung der zuletzt genannten Punkte wird in der Regel der Kaufer-seite im Rahmen einer Due Diligence der Einblick auch in vertrauliche Unterneh-mensdaten gewahrt. Die Kauferseite erhalt hier im Rahmen einer fest vorgegebe-nen Zeitspanne die Moglichkeit, samtliche relevanten Informationen zur Bewertung und damit zur Kaufpreisfindung in einem speziellen Datenraum zu ermitteln, um darauf aufbauend ein verbindliches Angebot an die Verkauferseite abgeben zu konnen. Nicht selten werden die im Rahmen der Due Diligence ausgelegten Informationen in den Kaufvertragen festgehalten, um spatere Regressansprliche des Kaufers an den Verkaufer auszuschlieBen.


6. Zusammenfassung

Das Beteiligungsmanagement von E.ON Westfalen Weser zielt stark auf die wert-orientierte Entwicklung der Beteiligungsunternehmen ab. Hierzu werden in Ab-stimmung mit der Beteiligungsgesellschaft Wirtschaftsplane, die als Zielvorgabe dienen, entwickelt und im laufenden Wirtschaftsjahr mit der aktuellen Entwicklung abgeglichen. Der Kennzahlenvergleich mit anderen Unternehmen unterstUtzt die Entwicklung eines Starken-ZSchwachenprofils und bildet die Basis fUr die Definition eines MaBnahmenkatalogs.

Der Nachweis der Werthaltigkeit einer Beteiligung sowie die Ermittlung des Kaufpreises bzw. der Untergrenze fur den VerauBerungserlos erfolgt mit Hilfe der Ertragswertrechnung auf der Basis der DCF-Methode auf der Basis des (WACC)-Ansatzes. Hierbei wird der Wert des Unternehmens als Summe der Free Cash Flows dargestellt. Hilfsweise konnen Multiples zur Abschatzung des Unterneh-menswerts eingesetzt werden.

Trotz der zum Teil sehr detaillierten Zahlensysteme mussen allerdings immer auch das Umfeld und die Rahmenbedingungen der Beteiligung gesehen werden. Dies setzt eine enge Zusammenarbeit der Mitarbeiter, die in den Gremien des Be-teiligungsunternehmens vertreten sind, der GeschaftsfUhrung der Beteiligung und des Beteiligungsmanagements voraus.

Zweiter Teil

Produl(tionstlieorie

Applied Performance Measurement: A Case Study Using DEA and Other Frontier Production Function-Related Indexes

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

Fakultat fiir Maschinenbau, Technische Universitat Wien

1. Introduction

"Efficiency" is a magic word and considered to be the solution to all problems in public management. Although it is a well-specified concept and is properly introduced in economics, "efficiency" has widely been misinterpreted so that it has become a buzzword among poHticians and journalists. Efficiency does not simply mean abstaining from wasting resources, it also means allowing for a substitution of inputs and outputs according to the goals and intentions of the productive units which are fully responsible for decision-making. This is particularly important in cases in which there is no functioning price system.

The health care sector is a very good example. In the health care system a well-working price system and, thus, functioning markets are missing. People in need of medical services are not able to shop around for the best "offer", and if so they could hardly work out the information necessary to ask for services they actually need. Have you ever watched a physician searching for treatment for family members or himself/herself? It is surprising how difficult it is even for "insiders" to sort out where to go and what to ask for. The health care market is failing just when people are in need of services; information asymmetries are emerging and leading to supplier-induced demand. It is a pity that the health care market has recently become a showcase concerning the attempt to change it into a competitive market, being well aware that the most important constituents, namely rational agents on the demand side, are lacking. Even if there were rational agents on both sides and competitive prices could be expected, the amount of supply promised by politicians and expected by the public would not correspond to the amount of supply provided/demanded by the agents.

In Austria it is said there is enough supply, but prices and rational agents are missing. For this reason, a surrogate price system (LKF, Leistungsorientierte Krankenanstalten Finanzierung), based on the concept of diagnoses related groups (DRGs) has been implemented for hospital service financing. Since the prices have been designed to cover full costs there is an incentive for the managers of a hospital to maximize margins given the hospital capacity. This incentive has led to

108 Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

a situation in which some diagnoses are profitable and others are not and, thus, services with high margins are enforced and services with low margins are "outsourced". Besides of these supply effects and other quality effects of the LKF we explore the question of whether the implementation of the surrogate price system LKF has improved the productivity of the hospital sector of a given region.

Since 1997, public hospital financing in Austria has been based on an activity-based hospital financing system called LKF. The LKF is a modified, Austrian-specific system of DRGs which is supposed to ensure that the billing of hospital services is based on services actually rendered. The serious changes in public sector hospital financing have been motivated by the necessary enhancement in hospital productivity to cope with increasing hospital costs. This paper suggests a broad framework using DBA and other frontier production function (FPF) related indices for assessing the evolution of public sector hospital performance. First, data from 22 Austrian public sector hospitals are analysed from 1997 to 2000, covering the first period of LKF validity, to investigate hospital performance. Secondly, performing several sensitivity analyses, we examine the robustness of the efficiency results. Thirdly, using the Malmquist productivity index, we analyse hospital data over time to illustrate productivity changes between 1997 and 2000 and to examine whether observed changes are due to efficiency or technology changes.

2. The LKF

In Austria, the activity-based hospital financing system LKF, introduced in 1997 and renewed in 2001 for another 4 years, follows a system which was designed to finance inpatient care retrospectively on the basis of a flat rate per inpatient day. The old financing system which had lasted for decades provided the undesirable incentive for hospital actors (doctors and management) to maximise the number of inpatient days and the length of stay (ref. Smith et al. 1997) in order to maximise the hospitals' reimbursement.

The LKF is a modified, Austrian-specific system of DRGs. The billing of actual hospital services is based on a system of credit points per inpatient case. The determination of the number of credit points per inpatient case can be traced back to the examination of public sector hospital costs and length of hospital stays for approximately 500,000 patients in 20 reference hospitals in the late 1980s. The credit point system is revised continually, changes in the nation-wide uniform number of credit points per case become effective every 1^ of January. The LICF comprises a core system and a steering system: The determination of the number of credit points per inpatient case is part of the LKF core system which is standardised in Austria. Within the LKF steering system the Landes funds - appointed to allocate budgets among hospitals - have the possibility of reassessing the total number of credit points reported by hospitals by admitting particular supply side factors beyond the influence of the particular hospital management (hospital type, hospital equipment, etc.) as these factors might adversely influence hospital per-

Applied Performance Measurement 109

formance. The steering factors are determined according to political decisionmaking processes at the provincial level, so that there are different steering factors (for the same (mixes of) supply side factors) in the different Austrian provinces.

Besides the core system and the steering system, the LKF is combined with prospectively fixed budgets to finance public hospitals. The (minimum) fixed federal LKF budget consists of (1) fixed payments from social health insurance, which correspond to the 1994 payments from social health insurance companies, annually adjusted according to pre-arranged rules of valorisation, (2) a fixed share of VAT revenues and (3) further federal lump sum payments. In addition, total funds to finance hospital care include (4) additional, small contributions from social health insurance (co-payments) and (5) further public contributions to cover extra costs in university hospitals.

The (federal) LKF budget is allocated according to pre-defined quotas to the nine Landes funds, one in each Austrian province. In Austria, roughly 50% of total public hospital costs are financed according to the LKF system. The remaining half has to be raised by hospital owners. The transfer of provincial LKF budgets to hospitals takes place differently in the Austrian provinces. As regards the sample hospitals, the process of transferring funds to hospitals happens as follows: The LKF funds are divided into payments to finance inpatient care, outpatient care and special investments. Payments to finance outpatient care (determined according to a past cost-past revenue ratio in the outpatient care unit) and special investments (determined according to political decisions) are subtracted from the provincial LKF budget which is then available for the activity-based financing of inpatient care.^ Hospitals, on the other hand, report the number of credit points according to the services rendered in the inpatient care unit. The number of credit points per hospital is multiplied by a hospital-specific steering factor, resulting in modified credit points, and, finally, the remaining LKF budget is divided by the total number of modified credit points and each hospital receives its respective budget share. Originally, the number of credit points per inpatient case corresponded to the average (median) full cost of inpatient treatment (ref. BMSG 1997). However, due to lump sum budgets, the more points that are reported, the smaller the corresponding value of one credit point, therefore creating the incentive to practice credit point maximisation.

Major revisions of the LKF core system concern, among others, the re-weighting of the intensive care component, the daily component and the coding of psychiatric care in 1999. Since re-calculations of the 1997 and 1998 credit points on the basis of the 1999 core system are not available, these facts have to be taken into consideration when interpreting the results of efficiency and productivity changes over time.

The specific issue of interest presented here is to analyse whether the LKF system has already been successful in reducing inefficiencies in the provision of pub-

^ In 1997 and 1998 the Landes fund additionally subtracted so-called balance funds which were used to compensate for variations in reimbursement in the first two years after the LKF introduction.


lie sector hospital care in Austria^ and to further investigate the efficiency results obtained from the analysis with regard to benchmarking purposes. Using Data Envelopment Analysis (DEA), we analyse the productive performance of 22 fund hospitals for the years 1997 - 2000. For that purpose, we calculate technical efficiency for each year separately. To ensure a correct comparison between hospitals and, subsequently, a derivation of meaningful benchmarking strategies for inefficient hospitals, the efficiency results are further classified with special attention given to those hospitals which are rated as fully efficient. This is done by applying several procedures: The first comprises the determination of arbitrary cross efficiency scores (ref. Doyle and Green 1994) to analyse whether there are relatively efficient hospitals which show efficiency scores based on unusual input-output weights. The next steps consist of analysing the frequency with which an efficient hospital appears in the reference set of inefficient ones (ref. Charnes et al. 1985) and calculating the input-oriented peer index (ref. Torgersen et al. 1996) to identify genuinely efficient hospitals. To judge the stability of the annual frontiers, we further calculate the super efficiency scores proposed by Andersen/Petersen (1993). Based on these results, we aim to judge the suitability of efficient hospitals as peers. Using the annual efficiency indexes we then examine whether appropriate incentives are provided for hospitals by analysing the correlation between hospital efficiency and annual budget shares obtained pursuant to the activity-based financing. Finally, we calculate Malmquist productivity indexes to be able to identify and, subsequently, separate efficiency from technology changes during the observation period.

Accordingly, this paper is organised as follows: Section 2 briefly describes DEA techniques which are employed in assessing the performance of public sector hospitals. Sample and parameters are defined in section 3. In section 4 the results derived from empirical observations are presented. The last section closes by briefly summarising the findings and discussing necessary and possible extensions to the existing analysis.

3. Efficiency Assessment Using DEA

DEA is a non-parametric approach^ which is used to construct an efficient production frontier from observed (multiple) inputs and (multiple) outputs by mathematical programming techniques. The inefficiency of each decision-making unit (DMU) is determined by its distance from the (piecewise) linear efficient frontier which is constructed from the best-practicing DMUs (ref. Farrell 1957).

First examinations of the Austrian hospital performance can be found in Hofmarcher et al. (2002), Stepan/Sommersguter-Reichmann (2002, 2004), and Sommersguter-Reichmann (2000). For an introduction to theory and applications see e.g. Charnes et al. (1997), Cooper et al. (2000), Thanassoulis (2001).


The CCR model, assuming constant returns to scale (CRS), proposed by Char-nes, Cooper and Rhodes in 1978 to evaluate technical efficiency has the form (in input-orientation):

min e (3.1)

s.t. eX^>XX (3.2)

XY>Y^ (3.3)

2 > 0, (3.4)

where

X denotes the mxn matrix for i = \,...,m inputs and J = l,...,k,...,n DMUs Y denotes the sxn matrix for the r = l,...,ss outputs and j = l,...,k,,..,n

DMUs Y denotes the output vector of DMU k X denotes the input vector of DMU k X denotes the multipliers.

The scalar variable 0, which corresponds to the Farrell measure of technical efficiency, gives the proportion of all inputs of DMU k which is sufficient to achieve the given outputs; i.e. (l - O) gives the necessary proportional reduction of all inputs of DMU k to be rated as 100% efficient. Thus, if DMU k is assigned the efficiency score 6 = 1, it is considered to be fully (100%) efficient, otherwise it is rated as inefficient. Besides the DEA efficiency score 0, solving (1) - (4) decides to what extent a DMU serves (via the multipliers A) as a reference (benchmark) for inefficient DMUs. This information is important with regard to the construction of virtual DMUs against which any inefficient DMU is compared.

The dual to (1)-(4) is

max Y^v^ (3.5) V, CD

S.t. Xô)^ = 1 (3.6)

YV^-XQ)^<0 (3.7)

v,(o>0, (3.8)

where v and co denote the optimal input and output weights assigned to the inputs and outputs of DMU k.

Obviously, each DMU can specify its own weights to obtain a maximum efficiency score of 100%. A DMU will not reach 100% DEA efficiency if there are other DMUs which do even better with DMU k's optimal input and output weights. The liberalism to choose weights opportunistically may result in quite


"exotic" optimal weights, thereby indicating that the DMU under analysis might have an unusual input-output mix. This may be problematic for benchmarking purposes since a DMU which is rated 100% efficient may be part of the reference set of inefficient DMUs and, therefore, determine their degree of inefficiency. In order to gain further insight into the results we, therefore, decided to carry out the following procedures: Firstly, we calculate the mean of arbitrary cross efficiency scores to obtain information on whether self appraisal (= DBA efficiency score) differs considerably from peer appraisal (= averaged cross efficiency scores) (ref. Sexton et al. (1986), and Doyle/Green (1994), regarding the introduction of cross efficiency scores, and Braglia/Petroni (1999), for the comparison of DEA with restricted weights and cross efficiency DEA). To determine DMU A:'s cross efficiency scores we simply apply the j ^k optimal input and output weights to the inputs and outputs of DMU k to obtain n-\ cross efficiency scores for DMU k. To be able to compare self with peer appraisal for each DMU we calculate the mean of the n-\ cross efficiency scores, representing the averaged peer appraisal."^

Secondly, we analyse the efficient DMUs' suitability of being enlisted as a benchmark for inefficient DMUs. This is done by investigating the frequency with which each efficient DMU appears in the inefficient DMUs' reference sets. Then we calculate the input-oriented peer index proposed by Torgersen et al. (1996), which is defined as the share of the weighted improvement potential for input / for which the peer is responsible in relation to the total weighted improvement potential for input i. Using this information we are able to identify those efficient hospitals which are rated genuinely efficient (ref. Thanassoulis 2001, pp. 97). Finally, the super efficiency scores introduced by Andersen/Petersen (1993) are used to gain insight into the influence of each peer on the shape of the derived efficiency frontier.

As regards the analysis of productivity changes over time, we then calculate an input-oriented Malmquist productivity index (MPI). The MPI, defined as ratio of distance functions d (ref. Shephard 1970), is estimated using DEA by exploring the fact that the value of the distance function is reciprocal to the Farrell measure of efficiency.

[d{X^J^Y^ =mme (3.9)

s.t. ex^>xx (3.10)

XY>Y^ (3.11)

/I > 0 (3.12)

4 In this analysis we rely on arbitrary cross efficiency scores; this means we do not calculate the full range of optimal weights. For details on the calculation of cross efficiency scores and the difficulties arising from the existence of multiple optimal weights see Doyle/Green (1994).


Following Fare et al. (1994) the input-based MPI can be expressed as

MPI(4+^7f^x^,r/)=

d\Xk\Yk') d^-\x,'-\Y,^-') d^-\x,^,Y,^)

1/2

= (3.13)

EFFCH TECHCH.

The first term represents a change in efficiency (= EFFCH), illustrating whether there is a move closer to the frontier, and the term inside brackets indicates a shift in the reference-technology (= TECHCH), calculated as the geometric mean of the shift in the technology observed at the production bundle (XJ^^Yl) on the one hand, and the shift in the technology observed at the production bundle (Xi''\Yl''^) on the other.5

4. Sample, Parameters and Methods

The original sample consisted of 25 fund hospitals which are eligible for financing by the LKF-system and which are located within one Austrian province.

To obtain information on the hospitals' performance, we apply the input-oriented CCR model. The input-oriented analysis is chosen since we assume that the use of hospital services is, to a great extent, random and, therefore, beyond the influence of the hospitals' decision-makers (doctors). Additionally, we assume a constant returns-to-scale technology since previous analyses (ref. Sommersguter-Reichmann/Stepan 2000, and Sommersguter-Reichmann 2000) revealed that scale efficiency is, on average, quite satisfactory.

For that purpose we have to quantify hospital production (output) and utilisation of resources (input). Since we are not able to measure the most appropriate hospital output, namely improvement in health status, it is necessary to define hospital output as the intermediate commodity of health services. For that purpose, the amount of modified credit points (PTS) is chosen as proxy for inpatient output. No further differentiating is made since the amount of modified credit points includes both the complexity of treatment, possible co-morbidities and particular supply side factors beyond the influence of hospitals. The total number of outpatient cases treated (CASE) is included to quantify the performance of the outpatient care units. The input vector comprises the full-time equivalent of labour (FTE) and the number of hospital beds (BED) as proxies for labour and capital inputs.

^ The increasing use of the approach proposed by Fare et al. (1994) has revealed several problems concerning the decomposition of the MPI. Since the debate on the most appropriate decomposition is still ongoing we accept this flaw. For further details see Grifell-Tatje/Lovell (1995, 1999) and Ray/Desli (1997).


Regarding the use of modified credit points in the output vector, we have to mention that the Landes fund changed steering factors in 1999. As regards the comparison of annual efficiency scores with annual budget shares, we calculate technical efficiency scores based on the steering factors prevailing in the respective year. To analyse efficiency changes over time we apply the 1999 steering factors to the core credit points in each year to avoid distorting effects on efficiency scores as a consequence of the changes in steering factors.^

As mentioned above, the analysis is performed in several stages. First, we calculate technical efficiency indexes based on the input vector X: {FTE, BED} and the output vector Y: {PTS, CASE} using the CCR model for each year separately. Consequently, mean efficiency scores in each year only represent the dispersion of efficiency scores within the sample; statements concerning the position of the annual production frontiers relative to the others are not yet possible. Based on the CCR efficiency results, we then perform the sensitivity analyses discussed in the previous section to obtain further information on the robustness of the efficiency results. Next, we analyse the incentives inherent in the LKF system by investigating the correlation between annual efficiency scores and hospital budgets. Finally, we apply the input-oriented Malmquist productivity index to analyse the position of annual production frontiers relative to each other and to determine whether the changes in productivity are due to moves closer to the frontier (efficiency changes) and/or to shifts in that frontier (technology changes).

5. Results and Interpretation

5.1 Contemporaneous Production Frontiers and Annual Efficiency Assessment

The results of the CCR model are summarised in Tables la and lb (column I). As indicated by the mean of technical efficiency scores, hospitals were, on average, closer to the annual best-practice frontier in 1997 than in any other year. The mean relative efficiency score decreased steadily from 86.5% in 1997 to 77.0% in 2000. The range of annual technical efficiency scores, however, increased steadily, amounting to 36.5% in 1997 and considerable 54.1% in 2000. The number of fully efficient hospitals also decreased from 4 in 1997 and 1998 to 2 in subsequent years. The following hospitals were rated fully efficient: 2, 3, 6 and 21 in 1997, 6, 7, 14 and 21 in 1998 and 14 and 21 in 1999 and 2000. There is only one hospital which was rated fully efficient in each year, namely hospital 21, and one hospital which was rated least efficient in each year, namely hospital 12.

^ The use of the 1997 (1998) steering factors did not result in significantly different efficiency scores when performing productivity analysis (over time).


Table la. Results of years 1997 and 1998

Hospital No.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Mean No. efficient

I

67.0

100.0

100.0

88.5

64.9

100.0

92.0

98.1

81.0

85.5

99.3

63.5

87.1

97.4

77.1

82.6

79.4

73.4

86.7

96.8

100.0

82.8

86.5 4

II

6 3 J "

98.4

97.9

85.3

55.4

92.4

83.9

79.7

77.7

81.9

97.1

53.0

85.2

93.4

71.2

80.3

74.0

71.4

83.3

93.7

97.9

78.6

sTT

1997

III

2,6,21

2

3

2,6,21

6

6

2,6

6,21

2,6,21

2,3

2,3

3,21

2,6

2,6

3,21

3,21

2,6

2,6,21

6,21

3,21

21

2,6,21

IV

11

6

12

12

V

104.9

100.3

112.4

118.2

VI

a

19.0

19.0

32.0

30.0

b

19.0

17.0

35.0

29.0

I

6 l 6 ~

95.7

92.5

84.4

72.7

100.0

100.0

93.3

77.3

80.8

89.3

58.5

79.4

100.0

66.5

93.7

79.0

81.0

85.0

92.6

100.0

81.1

s i s " 4

II

5 6 7 "

91.3

89.1

81.8

58.0

82.0

85.0

79.2

71.6

74.1

86.6

45.9

75.8

98.8

64.5

87.6

69.4

77.5

79.1

88.7

96.1

72.2

TTT"

1998

"nf"

T4jr 7,14

14,21

14

6,7

6

7

14,21

6,14

14,21

14,21

14,21

14,21

14

14,21

21

7,14

14,21

14,21

14,21

21

6,14

VI

3

3

16

12

V

100.2

100.2

112.2

110.7

VI

A

4.0

10.0

53.0

34.0

b

4.0

10.0

52.0

33.0

I Efficiency score

II Averaged cross efficiency score

III Reference set

IV Frequency of appearing in a reference set

V Super efficiency

VI Peer index

(a) FTE

(b) BED


Table lb . Results of

Hospital No.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Mean

No. efficient

I

5 8 l ~

98.4

85.6

76.1

59.0

97.1

89.4

91.3

66.0

76.2

90.3

57.8

73.0

100.0

58.5

80.6

74.6

71.8

80.9

85.3

100.0

72.3

79!2"

2

II

5 l 8 ~

95.8

83.4

74.6

50.8

86.0

82.3

82.2

63.7

70.9

89.5

39.8

70.5

100.0

57.4

77.9

69.0

69.1

76.6

80.3

96.9

68.3

7 4 6 "

years 1999 and 2000

1999

III

14,21

14,21

14,21

14,21

14

14

14

14,21

14,21

14,21

14,21

14,21

14,21

14

14,21

14,21

14

14,21

14,21

14,21

21

14,21

IV

20

16

V

118.2

125.8

VI

a

54.0

46.0

b

54.0

46.0

I

53.5

88.0

80.9

82.9

55.4

92.5

82.3

94.7

64.5

70.9

82.9

45.9

67.3

100.0

59.2

87.0

82.4

68.8

84.1

79.0

100.0

72.2

77.0

2

II

51.9

87.3

78.0

74.8

47.3

85.4

79.7

82.7

63.1

69.5

82.3

35.8

65.0

100.0

58.1

80.8

67.7

64.9

77.1

75.4

97.3

67.8

72.4

2000

•"In

TUT 14,21

14,21

14,21

14

14,21

14,21

14,21

14,21

14,21

14,21

14,21

14,21

14

14,21

14,21

14

14,21

14,21

14,21

VI

20

V

118.7

21 18 ^81.2

14,21

VI

a

60.0

40.0

b

60.0

40.0

I Efficiency score

II Averaged cross efficiency score

III Reference set

IV Frequency of appearing in a reference set

V Super efficiency

VI Peer index

(a) FTE

(b) BED

Since the range of technical efficiency is considerable, thereby indicating sufficient potential for performance improvement, it seems to be advisable to gain further insight into the efficiency results. The averaged cross efficiency scores (see Table 1, column II) were satisfactory for 3 out of 4 efficient hospitals in 1997 since the difference between self (DBA efficiency score) and peer appraisal (averaged cross efficiency scores) amounted to only 1.6% (hospital 2) and 2.2% (hospitals 3 and 21). Moreover, hospitals 2 and 21 are considered to be important


benchmarks as they appeared 11 and 12 times, respectively, in the reference sets of inefficient hospitals (see Table 1, column IV) and as they were responsible for 19% and around 30% of the total (radial) improvement potential (see Table 1, column VI). Hospital 3, with a frequency of appearing 6 times in inefficient hospitals' reference sets and with the highest peer indexes, was also far from being a self evaluator. However, as regards peer appraisal, hospital 6 was outranked by any other efficient hospital in 1997, with a difference between self and peer appraisal amounting to 7.6%. Since the impact of hospital 6 as a peer seems to be considerable (hospital 6 appears in the reference set of 12 inefficient hospitals), we further compared the virtual inputs and outputs of the efficient hospitals to exclude that hospital 6 relies on an atypical input-output relation and, therefore, lacks the qualification to be a peer (see Table 2): First, no efficient hospital attached zero weights to the inputs and outputs which had been used to assess hospital efficiency. However, there were differences among efficient hospitals in so far as two efficient hospitals (hospitals 2 and 6) obviously rated PTS and FTE higher in relation to CASE and BED. In any case, the results of hospital 6 resembled those of hospital 2 and did not reveal any distorting effects regarding the optimal weights. These results are confirmed by the relatively moderate super efficiency scores (see Table 1, column V) which ranged between 118.2% (hospital 21) and 100.3% (hospital 2).

Table 2. Virtual inputs and outputs of efficient hospitals

DMU

1997 Hospital 2 Hospital 3 Hospital 6 Hospital 21 1998 Hospital 6 Hospital 7 Hospital 14 Hospital 21 1999 Hospital 14 Hospital 21 2000 Hospital 14 Hospital 21

VX(FTE)

0.70933 0.22194 0.85480 0.19184

0.98857 0.99022 0.99141 0.82282

0.81057 0.75461

0.81094 0.18223

VX(BED)

0.29067 0.77806 0.14520 0.80816

0.01143 0.00978 0.00859 0.17718

0.18943 0.24539

0.18906 0.81777

UY(PTS)

0.91146 0.76024 0.91977 0.67481

0.99502 0.99535 0.99127 0.76245

0.82165 0.64125

0.82301 0.60014

UY(CASE)

0.08854 0.23976 0.08023 0.32519

0.00498 0.00465 0.00873 0.23755

0.17835 0.35875

0.17699 0.39986

The analysis of peer appraisal revealed a slightly different picture for the year 1998. As regards the fully efficient hospitals 6 and 7, the difference between self and peer appraisal amounted to a considerable percentage: 18.0% (hospital 6) and 15.0% (hospital 7), whereas there were only small discrepancies for hospitals 14 (1.2%) and 21 (3.9%). However, in 1998 hospitals 6 and 7 appeared only 3 times in inefficient hospitals' reference sets, so that their importance as a peer had diminished considerably. Consequently, their peer indexes also decreased to 4% and


10%, respectively. The analysis of virtual inputs and outputs, however, resembled the 1997 results so that the 1998 efficiency results seem to be based on correct comparisons. The super efficiency scores for the efficient hospitals 6 and 7 were even smaller than the smallest super efficiency score in 1997. The classification of the hospitals rated efficient in 1999 and 2000 (hospitals 14 and 21) revealed that in both years the difference between self and peer appraisal was negligibly small for hospital 21. For hospital 14, peer appraisal even fully corresponded to self appraisal in both years. The frequency of appearing in reference sets was high and approximately the same for both hospitals. The peer indexes differed, with the importance of hospital 14 decreasing between 1999 and 2000. Only for hospital 21 the super efficiency score increased to considerable 181.2% in 2000, which indicates that the frontier was no longer well supported by other hospitals. Overall, the results of the sensitivity analyses are considered to confirm the stability of efficiency results.

5.2 LFK and Incentive System

One of the main purposes of the LKF has been to reduce considerable inefficiencies in the field of hospital care. To achieve this, it is necessary to provide appropriate incentives for the decision-makers inside the hospitals. One such incentive could be that budget shares are linked with hospital performance. Consequently, in order to analyse whether there is any correlation between budget shares and hospital performance, we compare the annual hospital budgets with the efficiency scores of the same (Pearson^) and the previous year (Pearson") (see Table 3).

For that purpose, we first calculate the following two ratios: the total LKF budget per FTE (hereafter budget 1) and the total LKP budget minus special investment per FTE (hereafter budget 2) since the allocation of special investment might slightly distort the correlation results as it is allocated according to political decisions rather than productive performance. The correlation between technical efficiency and budget 1 increased from 1997 to 1999: starting with 0.65, the correlation coefficient increased to 0.93 in 1999. However, in 2000 the correlation coefficient was only 0.88. The correlation between budget 2 and technical efficiency also increased from 1997 (0.76) to 1998 (0.94), but then decreased again slightly to 0.91 in 1999 and 0.89 in 2000. Obviously, the allocation of special investments partly contributed to meeting the expectations regarding the activity-based financing. Concerning the decreased correlation in 1999 we have to bear in mind that, in 1999, the Landes fund changed the steering factors substantially. In addition, in 1999 there was no longer a variation fund, considered to compensate for budgetary hardship following the introduction of the LKF, as opposed to the preceding years. On the other hand, the effect of variation funds on the activity-based financing is considered to be minor since the balance funds, on average, only amounted to approximately 4% of total LKF funds. So, the 1999 result might point to an arbitrary selection of steering factors and, subsequently, to an arbitrary assignment of LKF inpatient budgets. As regards the correlation between LKF budgets and efficiency scores of the previous year, we obtain similar results: The


correlation between 1997 efficiency scores and 1998 budget 1 (2) was considerably higher than the correlation between 1997 technical efficiency and 1997 budget 1 (2) (0.78 and 0.85 respectively). With regard to the correlation between 1998 technical efficiency and 1999 budget 1 we find a correlation coefficient of 0.92, whereas the correlation between 1998 technical efficiency and 1999 budget 2 amounted to 0.90 and was therefore much lower than the correlation between 1999 figures. The analysis of 1999 efficiency scores and the budgets of the year 2000 reveals a smaller correlation than in the previous year. Overall, the correlation coefficients are considered to be satisfactory, although a detailed analysis regarding the composition of annual budgets, the effect of hospital performance on annual budgets and the impact on hospital performance of using and changing steering factors over the years should be further investigated by the Lander funds to ensure that appropriate incentives are provided.

Table 3. Efficiency and budget shares

Hospital 1

Hospital 2

Hospital 3

Hospital 4

Hospital 5

Hospital 6

Hospital 7

Hospital 8

Hospital 9

Hospital 10

Hospital 11

Hospital 12

Hospital 13

Hospital 14

Hospital 15

Hospital 16

Hospital 17

Hospital 18

Hospital 19

Hospital 20

Hospital 21

Hospital 22

Pearson^

Pearson"

I

32.61

37.32

37.93

38.85

38.19

39.51

36.88

45.21

34.13

34.35

40.27

24.91

44.61

49.74

33.68

34.47

32.83

34.53

30.63

44.17

38.96

36.64

0.649

™

1997 II

30.93

36.39

34.08

34.87

31.46

37.66

33.28

42.60

33.00

33.16

36.20

23.05

36.01

37.30

30.45

33.21

31.76

31.41

28.56

34.63

36.48

34.90

0.762

...

1 1

26.31

39.65

35.19

37.52

28.48

40.38

40.57

37.87

37.54

29.24

34.73

19.52

34.38

50.50

27.18

36.50

32.58

32.10

31.71

37.88

42.52

34.67

0.884

0.783

998 II

23.94

37.38

32.98

33.30

26.29

37.70

35.96

33.84

28.77

26.99

32.48

16.40

29.79

36.28

25.23

33.49

29.37

28.99

29.66

32.35

34.82

31.43

0.944

0.854

]

I

24.90

42.54

33.38

33.13

26.07

40.73

39.60

34.20

26.54

28.06

36.72

17.63

31.53

41.37

24.86

31.29

33.26

28.13

29.01

37.13

40.84

32.19

0.925

0.916

[999 II

22.99

41.30

31.93

32.82

23.47

40.16

35.62

33.38

26.33

27.04

35.86

15.05

28.73

39.89

23.42

30.99

30.42

26.70

28.52

28.79

34.56

29.60

0.910

0.897

I

24.21

40.92

32.65

37.84

26.12

44.51

35.68

37.95

27.10

28.24

36.33

15.71

30.11

44.18

26.03

37.32

35.37

27.93

31.17

34.60

31.84

31.90

0.878

0.832

^000 II

22.63

39.77

31.07

32.87

24.02

40.61

34.69

34.13

26.92

27.39

35.44

14.02

27.77

43.71

24.78

34.28

30.14

26.35

30.35

28.87

31.84

30.28

0.886

0.870

I Total LKF budget, per FTE II Total LKF budget without special investment/equipment, per FTE


5.3 Contemporaneous Production Frontiers and Assessment of Productivity Clianges over Time

Assessing productive performance over time using the input-oriented Malmquist productivity index (see Table 4) illustrates that total factor productivity increased from 1997 to 1998 by around 4.3%, whereas we found a considerable deterioration from 1998 to 1999 of about 7.2%. From 1999 to 2000 productivity increased again by around 1.3%. The decomposition of productivity changes using the approach proposed by Fare et al. (1994) throws light on these productivity changes: the increases in productivity from 1997 to 1998 and from 1999 to 2000 are exclusively due to increases in technology, indicating positive shifts in the efficient frontier from 1997 to 1998 of about 5.6% and from 1999 to 2000 of about 4.6%. The deterioration of total factor productivity from 1998 to 1999 is partly the result of a negative technology shift of approximately 3.2%. The negative shift in technology was the result of the major revisions concerning the calculation of credit points regarding the intensive care component and the credit points per psychiatric case. The analysis of the 1999 number of intensive care credit points revealed that the total number of intensive care credit points only amounts to approximately 50% of the average total number of intensive care credit points of the previous 2 years. Assuming comparable services rendered in the intensive care unit over the years, these results indicate that the attainable number of intensive care credit points was divided in half since 1999 given the same performance. Therefore, the positive shift in technology from 1997 to 1998 represented the (first) system change (from the financing per inpatient day to the financing per case), thereby reflecting the hospitals' attempts to maximise their share of the fixed budget by optimising the number of credit points to be earned. We have found similar results elsewhere (ref. Sommersguter-Reichmann 2000, Sommersguter-Reichmann/Ste-pan 2000), including the previous years 1994 to 1996, where we found a significantly positive shift in technology also from 1996 to 1997; the significant technology change from 1997 to 1998 being slightly weaker. In contrast, the decrease in technology from 1998 to 1999 was primarily the result of the (second) system change in terms of major revisions concerning the assignment of intensive and psychiatric care credit points. The renewed enhancement in technology from 1999 to 2000 might be the result of the continuous learning process regarding the activity-based statement of services which results in further optimisation of credit points.

Table 4. Malmquist productivity indexes

mean

MPI

1.043

1997/1998

TECHCH EFFCH

1.056 0.988

MPI

0.928

1998/1999

TECHCH EFFCH

0.968 0.958

MPI

1.013

1999/2000

TECHCH EFFCH

1.046 0.968

However, as regards the changes in technical efficiency, we find the following: on average, technical efficiency decreased annually, -1.2% from 1997 to 1998,


-4.2% from 1998 to 1999 and -3.2% from 1999 to 2000, indicating that the actual improvement in technical efficiency has not yet taken place. From an economic point of view, we draw the following conclusion: the results concerning the productive performance over time indicate that, obviously, there has not yet been any detailed analysis of incentive systems, neither in the phase of developing and introducing the LKF nor in the phase of actually applying the LKF system. However, since the Austrian Ministry of Health did not operationalise efficiency goals and possible sanctions, the only effects are ostensible improvements in terms of reductions in the number of hospital beds and average length of stay, which, in return, are compensated by increases in the total number of inpatients treated (ref. Sommersguter-Reichmann/Stepan 2000). Moreover, we assume that these effects are essentially the results of the fixed budget rather than of the activity-based financing.

Summing up, we found that the LKF system and its system changes are reflected in frontier shifts during the observation period, therefore representing artificial rather than actual technology changes. Technical efficiency, however, decreased rather than increased between 1997 and 2000. The efficiency results, in general, provide the first helpful information regarding the detailed analysis of the reasons of inefficiency by analysing the service production process of those hospitals rated efficient in single years. In any case, further research has to be carried out using more disaggregated data.

6. Summary and Conclusion

One of the main purposes of the activity-based financing has been to reduce considerable inefficiencies in the provision of hospital care. The analysis of productivity changes over time has revealed that the actual improvement in efficiency has not yet taken place. In return, our analysis reveals the incentives inherent in the new system expressed by the attempt to maximise the budget share by optimising the number of credit points. In addition, the correlation between budget share and efficiency in 1999 rather points to the arbitrary selection of steering factors and assignment of LKF budgets. For future research, it would be interesting to perform an efficiency analysis on a more disaggregated level of hospital performance, at the ward level, for example, to be able to analyse in detail which are the differences that render one hospital fully efficient and the next inefficient.

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Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutern fur die betriebliche Praxis

Peter Letmathe

Fakultat fUr Wirtschaftswissenschaft, Universitat Siegen

1. PersonlJche Vorgeschichte und Einleitung

Im Wintersemester 1990/91 bot Herr Kistner an der Universitat Bielefeld ein Seminar zu dem Thema „Der Faktor Zeit in der Produktionstheorie" an. Damals wie heute waren Seminarplatze ein knappes Gut und so konnte ich mich als frischge-backener Funftsemester glUcklich schatzen, einen Seminarplatz erhalten zu haben. Das zu bearbeitende Thema „Jahrgangsproduktionsfunktionen" hat die Grundlage fur weiter gehende Untersuchungen und damit auch fur den Beitrag in diesem Festband zu Ehren von Herm Kistner gelegt.

Zunachst las ich mich in die nur sparlich vorhandene Literatur zu diesem Thema ein, beschaftigte mich mit verschiedenen Fortschrittskonzepten und fragte mich, was ich Uber eine reine Zusammenfassung der Literatur hinaus noch tun konnte und miisste. So fUhrte mich mein Weg in die Sprechstunde von Herrn Kistner, den ich etwas ratios nach meinem weiteren Vorgehen befragte. Herr Kistner stellte mir zunachst einige Verstandnisfragen, wohl um zu Uberpriifen, ob ich mich uberhaupt schon mit dem Thema befasst hatte. In der weiteren Diskussi-on meinte er, dass ich neben dem technischen Fortschritt auch tribologische As-pekte in meine Ausfuhrungen einbeziehen konnte. AnschlieBend sprach Herr Kistner liber bestimmte Produktivitatsverluste, die sich wahrend der Lebensdauer einer Maschine einstellen konnten, und zeichnete mir auch diesbezUgliche Kur-venverlaufe auf. SchlieBlich sagte er noch, dass es wunschenswert ware, wenn ich meine Ausfuhrungen mit empirischen Daten belegen konnte. Ich entfernte mich daraufhin recht zugig aus der Sprechstunde. Dies hatte auch einen einfachen Grund: Der Begriff der Tribologie war mir zuvor noch nie begegnet und ich hatte auch keine Vorstellung, was sich dahinter verbergen konnte. So fiihrte mich mein erster Weg nach der Sprechstunde in die gut ausgestattete Bielefelder Bibliothek. Dort konnte ich in Erfahrung bringen, dass sich hinter dem Begriff der Tribologie verkUrzt ausgedriickt die Forschung tiber den VerschleiB von Betriebsmitteln und Werkstoffen verbirgt (Czichos u. Habig 2003, S. Iff.). Nun hatte ich also eine er-weiterte Aufgabenstellung: Neben dem technischen Fortschritt, der in Modellen zu Jahrgangsproduktionsfunktionen ohnehin betrachtet wird, sollte ich mich auch

126 Peter Letmathe

noch mit tribologischen Aspekten und der empirischen Fundierung des Gesamt-konzepts befassen.

Da die Bielefelder Universitat keine ingenieurswissenschaftliche Fakultat hat, fuhr ich per Fahrrad zur Bibliothek der Fachhochschule Lippe mit Sitz in Lemgo, um Naheres tiber tribologische Kurvenverlaufe in Erfahrung zu bringen. Die em-pirische Basis versuchte ich durch mehrere Anrufe bei Unternehmen zu legen, die ich nach sinkenden Produktivitaten bei ihren Maschinen befragte. Obwohl ich den Begriff der Tribologie tunlichst vermied, bekam ich lediglich ausweichende und manchmal sogar verstandnislose Antworten. Lediglich das Unternehmen Gilde-meister teilte mir mit, dass neuere Drehmaschinen eine hohere Produktivitat als al-te aufweisen und dass die Produktivitat von Drehmaschinen im Laufe ihrer Le-bensdauer leicht absinkt. Diese Aussage bildete dann die gesamte empirische Basis meiner Seminararbeit.

Herr Kistner lieB dann aber Gnade vor Recht ergehen und benotete meine Seminararbeit aus meiner damaligen und heutigen Sicht recht groBzUgig. Dennoch bin ich mir bewusst, dass ich ihm die Antwort noch immer schulde. So mochte ich diesen Beitrag fur einen zweiten Versuch nutzen, den es bei Seminararbeiten be-kanntlich nicht gibt. Zugleich verbindet sich mit den Ausfuhrungen dieses Bei-trags die Frage, ob produktionstheoretische Konzepte wie das der Jahrgangspro-duktionsfunktionen fiir die Betriebswirtschaftslehre einen echten Wert haben oder ob es sich hierbei lediglich um theoretische Abhandlungen im Sinne anspruchsvol-ler Denkspiele handelt. Diese Frage hat Herr Kistner durch die Forderung der empirischen Fundierung des Konzepts selbst aufgeworfen.

Jahrgangsproduktionsmodelle und -funktionen (vintage production functions) sind aus der neoklassischen Wachstumstheorie hervorgegangen und konnen auf Johansen (1959) und Solow (1960) zuriickgefuhrt werden (vgl. auch Kistner 1993, S. 48ff., sowie Kistner 1991, S. 157). Ausgangspunkt ist die substitutionale Pro-duktionsfunktion der allgemeinen Form

X(t) = F(K(t),A(tlR(t)), (1.1)

in die neben dem Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit (A) und Kapital (K) auch der technische Fortschritt (R) auf die Hohe des Outputs X in Abhangigkeit von der Zeit t einwirkt.

Die BerUcksichtigung des technischen Fortschritts, insbesondere des kapitalge-bundenen technischen Fortschritts (Solow 1957), geht von der Vorstellung aus, dass die in jedem Jahrgang installierten Kapitalgtiter einen eigenen technologi-schen Stand haben, der sich im Zeitablauf verbessert. Kapitalguter gleicher Art -jedoch aus unterschiedlichen Jahrgangen - werden also im Gegensatz zu her-kommlichen Betrachtungen als heterogen angesehen. Dies hat zur Folge, dass sich die Produktivitaten der Betriebsmittel einzelner Jahrgange unterscheiden, d.h. dass der Output bei gleichem Einsatz des Faktors Arbeit bei einer neuen Maschine ho-her ist als bei einer alten. Um diesen Effekt herauszuarbeiten, lasst sich die allge-meine Produktionsfunktion als Summe mehrerer Jahrgangsproduktionsfunktionen charakterisieren, wobei hier die Additivitat der Jahrgangsproduktionsfunktionen vorausgesetzt wird (Solow 1960, S. 92ff.):

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutem 127

X(t) = ^ r « = iF,(K,it),MO) (1.2)

mit: T Jahrgange ( r = l,...,/), in denen die Kapitalgiiter installiert worden sind

t aktuelle Periode X^ (t) Output der Kapitalgiiter aus dem Jahrgang r in Periode t

Jahrgangsproduktionsmodelle wurden und werden noch heute zur Schatzung des kapitalgebundenen technischen Fortschritts (vgl. z.B. Intriligator 1965, Wickens 1970, You 1976, Malcolmson u. Prior 1979, McHugh u. Lane 1983, Sakellaris u. Wilson 2004, de Groot et al. 2004) eingesetzt. In der Betriebswirtschaftslehre werden Jahrgangsproduktionsfunktionen jedoch bis auf wenige Ausnahmen (z.B. Kistner 1993, Fischer 1980, S. 321ff.) kaum diskutiert.

Die ursprunglichen Modelle zu Jahrgangsproduktionsfunktionen gehen davon aus, dass der Output der Kapitalgiiter, die im Folgenden entsprechend der Guten-berg'schen Produktionsfaktorklassifikation (vgl. Gutenberg 1983) als Betriebsmit-tel bezeichnet werden, ausschlieBlich vom Stand des technischen Fortschritts ab-hangt. Hier wird zusatzlich angenommen, dass eine weitere Abhangigkeit des Outputs vom (zeitbedingten) VerschleiB der Betriebsmittel gegeben sein kann. In diesem Fall konnen die hier beschriebenen Jahrgangsproduktionsfunktionen mit VerschleiBfaktorverbrauchsfunktionen, wie sie auf Stepan (1981, S. 16ff.) zuriick-fUhrbar sind, verkniipft werden. Die simultane Beriicksichtigung von VerschleiB und technischem Fortschritt fiihrt zu einer weiteren Erhohung von Produktivitats-unterschieden bei Betriebsmitteln aus verschiedenen Jahrgangen.

Es ist sicher kein Zufall, dass sich das weitere Vorgehen der Methoden bedient, die ich bei Herrn Kistner wahrend meines Studiums der Betriebswirtschaftslehre an der Universitat Bielefeld erlernt habe. Es handelt sich um die Aktivitatsanalyse, die lineare Programmierung und investitionsrechnerische Methoden. Zunachst wird der Beitrag durch ein handlungsleitendes Praxisbeispiel fundiert, um aufzu-zeigen, dass das Konzept der Jahrgangsproduktionsfunktionen iiber den urspriing-lichen Betrachtungsgegenstand hinaus erweitert werden kann und dass es auch zu einer Veranderung des betrieblichen Entscheidungsverhaltens beitragt. Im dritten Abschnitt wird angenommen, dass ein Unternehmen iiber verschiedene Betriebsmittel verfugt, die in unterschiedlichen Jahrgangen angeschafft worden sind. Aus den Maschinen der einzelnen Jahrgange und dem von ihnen jeweils reprasentier-ten Stand des technischen Fortschritts und ihres VerschleiBes lassen sich Aktivita-ten ableiten, die im Rahmen eines aktivitatsanalytischen Optimierungsmodells zur Bestimmung eines optimalen Produktionsprogramms herangezogen werden konnen. Der vierte Abschnitt untersucht, inwiefern technischer Fortschritt (vgl. Solow 1962) so wie VerschleiB das Investitionsverhalten und das Technologiemanage-ment eines Unternehmens beeinflussen (vgl. Kistner et al. 1989). Die Analyse greift die aktivitatsanalytischen tJberlegungen des dritten Abschnitts auf, geht al-lerdings nicht mehr von einem gegebenen Betriebsmittelbestand aus. Abschnitt fiinf enthalt eine kurze Zusammenfassung und einige Schlussbemerkungen.

128 Peter Letmathe

2. Handlungsleitendes Praxisbeispiel

Will man Wege aufzeigen, wie produktionstheoretische Konzepte - wie die Jahr-gangsproduktionsfunktionen - fiir anwendungsorientierte betriebswirtschaftliche Fragestellungen genutzt werden konnen, erscheint zunachst ein Blick in die Praxis als sinnvoll. Das gewahlte Beispiel entstammt einem Auftragsforschungsprojekt, bei dem die Ausgestaltung der Kostenrechnung in dem betreffenden Unternehmen im Vordergrund stand. Wie bei Auftragsforschungsprojekten Ublich, konnen an dieser Stelle der Name und die Produkte des Untemehmens nicht genannt werden. Eine Darstellung der mit dem Konzept der Jahrgangsproduktionsfunktionen ver-kniipften Problemstellung und der Losung ist hingegen in der gebotenen Detailtie-fe moglich.

Bei dem Unternehmen handelt es sich um einen GroBserienfertiger fiir die Au-tomobilindustrie. Die Produktpalette setzt sich aus verschiedenen Prazisionsteilen fUr verschiedene Anwendungszwecke zusammen. Die Produkte werden in einer mehrstufigen Fertigung aus verschiedenen Stahlsorten hergestellt. In den einzel-nen Produktionsstufen befinden sich zumeist (vermeintlich) identische CNC-Maschinen, die auf der Basis von Bauteilezeichnungen programmiert und einge-stellt werden. Wie alle Unternehmen in der Automobilindustrie steht auch dieses Unternehmen unter einem hohen Kostensenkungsdruck, der sich in zumeist jahr-lich sinkenden Preisen fiir die einzelnen Produkte niederschlagt. Das Unternehmen fiihrt daher umfangreiche kontinuierliche Verbesserungsanstrengungen durch und verfiigt tiber ein zertifiziertes Qualitatsmanagementsystem.

Bereits vor dem Projekt wurden vom Produktionsleiter des Unternehmens umfangreiche Analysen zu Produktivitatsverlusten und Verbesserungspotenzialen durchgefuhrt. Ein Teil der im Folgenden beschriebenen MaBnahmen wurde daher von der Untemehmensleitung selbst initiiert, wahrend ein anderer Teil wahrend des Projektverlaufs entwickelt wurde. Die Messung der Produktivitatsverluste er-folgte dabei in erster Linie durch den Anteil der Maschinenzeiten, in denen eine tatsachliche Teileproduktion stattfindet. Diese Zeiten definieren sich als Ferti-gungszeiten, in denen Telle gefertigt werden, die den Kundenspezifikationen hun-dertprozentig geniigen. Als Produktivitatsverluste werden hingegen alle Rtist- und Einstellungszeiten der Maschinen, die am Anfang eines Loses anfallenden An-laufverluste, Zeiten, in denen Qualitatsausschuss produziert wird, Stillstandszeiten der Maschinen z.B. infolge der NichtverfUgbarkeit eines Maschineneinstellers, Wartezeiten der Maschinen wegen fehlenden Materials sowie alle sonstigen Leer-zeiten und Verzogerungen gerechnet.

Trotz groBer Lose mit zum Teil mehrwochigen Maschinenlaufzeiten wurde die Produktionsleitung mit Anteilen der Gutteileproduktion konfrontiert, die sich zwi-schen 30% und 70% je Schicht bewegten. Ein erster Ansatzpunkt fiir Verbesse-rungen war die Standardisierung der Maschineneinstellung, die von verschiedenen Maschineneinstellern unabhangig voneinander vorgenommen wurde. Da das Unternehmen in der Regel im Dreischichtbetrieb produziert, kam es zu keiner Ab-stimmung zwischen den Maschineneinstellern. Probleme und Fehler bei der Maschineneinstellung wurden nur einzelfallbezogen behandelt, aber nicht systema-

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgiitem 129

tisch beseitigt. Eine der ersten MaBnahmen war es daher, einen Qualitatszirkel zu griinden, bei dem die Maschineneinsteller regelmaBig zusammengefuhrt wurden. Das Ziel war die Standardisierung der Maschineneinstellung unabhangig von dem einzelnen Einsteller und der jeweiligen Schicht. Die auf diese Weise erarbeiteten Best Practices zur Maschineneinstellung wurden anschlieBend dokumentiert und in Arbeitsanweisungen auch in visueller Form festgehalten.

CNC-Maschinen im Bereich der Zerspanung arbeiten haufig mit mehreren Werkzeugen zur Grob- und Feinbearbeitung der entsprechenden Telle. Beim be-trachteten Unternehmen werden bis zu zwolf Werkzeuge gleichzeitig in einer Ma-schine verwendet. Je nach Eingangsqualitat der Werkzeuge, des zu bearbeitenden Materials und der Maschineneinstellung kommt es immer wieder zu unvorherge-sehenen Werkzeugbriichen in der Maschine. Ein solcher Bruch fiihrt dazu, dass die bearbeiteten Telle nicht mehr innerhalb der Fertigungstoleranzen liegen. Je spater ein Werkzeugbruch bemerkt wird, desto hoher ist die Anzahl der nicht ver-wendbaren Telle. Zudem kann ein Werkzeugbruch auch dazu fUhren, dass die an-deren Werkzeuge einer Maschine ebenfalls beschadigt werden. Nach einem Werkzeugbruch muss die Maschine in der Kegel vollig neu eingestellt werden.

Einstellungsbedingte Werkzeugbruche konnten zwar durch die Standardisierung der Maschineneinstellung vermindert werden, dennoch traten welter erhebli-che Schwankungen bei der Gutteileproduktion auf, fUr die zunachst keine Ursache entdeckt werden konnte. Die weitere Analyse ergab, dass die schwankenden Aus-schussquoten weder auf einzelne Mitarbeiter noch auf einzelne Schichten zuruck-gefuhrt werden konnten. Ein erster Zusammenhang ergab sich jedoch zwischen den auftretenden Schwankungen und einzelnen Bearbeitungsmaschinen. Dabei handelte es sich durchweg um altere Maschinen, obwohl diese dem gleichen Typ und derselben Modellreihe wie die neueren Maschinen entstammten. Eine Ver-minderung der Gutteileproduktion trat bei den alteren Maschinen jedoch nicht durchgangig auf, sondem konzentrierte sich auf einzelne Zeitraume, die einzelnen Materialchargen zugeordnet werden konnten. Die Untersuchung der Eingangsma-terialien zeigte, dass die hoheren Ausschussquoten letztlich auf einen schwankenden Schwefelgehalt bei den angelieferten Stahlsorten zuruckzufiihren waren. Zwar wurde das Material, bevor es in die Fertigung ging, durch das Qualitatsmanage-ment gepriift, aber es stellte sich heraus, dass die Materialspezifikationen fUr die alteren Maschinen problematisch waren. AuBerdem hat der betrachtete Automo-bilzulieferer nur einen begrenzten Einfluss auf die Materialspezifikationen, da sich diese an Vorgaben der Systemlieferanten orientieren. Eine Anderung der Spezifi-kationen war auch nicht unbedingt erforderlich, da man durch eine veranderte Zuweisung von Material zu Maschinen weitgehend verhindern konnte, dass Stahle mit ungunstigem Schwefelgehalt auf Maschinen alterer Jahrgange eingelastet werden.

Betrachtet man das aufgetretene Problem, so liegt die Kombination zweier Ur-sachen vor. Eine schwankende Materialzusammensetzung fUhrt zu Problemen bei Maschinen alterer Jahrgange. Obwohl es sich um den identischen Maschinentyp handelt, ist es dem Hersteller der Maschine offensichtlich gelungen, die angebote-nen Maschinen im Zeitablauf von zwei bis drei Jahren hinsichtlich der Materialto-leranz zu optimieren. Offensichtliche Anderungen bei der Maschinengeschwin-

130 Peter Letmathe

digkeit und damit der Standard-Produktivitat hat es hingegen nicht gegeben. Auf-grund nicht verftigbarer Daten blieb allerdings unklar, ob die Ursache ftir die ver-besserte Materialtoleranz tatsachlich beim technischen Fortschritt oder beim vo-rangeschrittenen VerschleiB alterer Maschinen zu suchen ist.

Aus dem hier skizzierten Praxisbeispiel lassen sich gleich mehrere Schlussfol-gerungen ziehen. Das Problem konnte durch interne MaBnahmen, die sich auf eine richtige Zuordnung von Materialien zu Maschinen beziehen, weitgehend behoben werden. Letztlich handelt es sich dabei um eine MaBnahme der selektiven Anpas-sung bei nicht-identischen Maschinen, wie es bereits bei Gutenberg (1983, S. 386ff.) beschrieben wird. Fur das Konzept der Jahrgangsproduktionsfunktionen ergeben sich folgende Implikationen:

• Das Bewusstsein fur jahrgangsbezogenen technischen Fortschritt bzw. voran-schreitenden VerschleiB kann zur Losung produktionsplanerischer Probleme beitragen.

• Technischer Fortschritt bzw. VerschleiB kann sich durch verschiedene Konse-quenzen bemerkbar machen. Dabei kann es sich beispielsweise um die Verar-beitbarkeit von Materialien, um die Maschinenintensitat, um die Einsparung des Faktors Arbeit bzw. von Werkstoffen, um geringere Ausschussquoten, um geringere Laufkosten von Maschinen, um geringere Ansprliche an die Mitarbei-terqualifikation etc. handeln.

• Die Analyse des technischen Fortschritts oder VerschleiBes wird dadurch er-schwert, dass haufig multiple Ursachen fur Wirtschaftlichkeitsverluste vorhan-den sind, die lediglich in Kombination zu Problemen fuhren. Im betrachteten Beispiel waren dies die Materialzusammensetzung und die technische Verar-beitbarkeit von Materialien mit unterschiedlich hohem Schwefelgehalt. Solche multiplen Ursachen konnen z.B. mithilfe von Ursache-Wirkungs-Diagrammen herausgearbeitet werden. Die Priifung jahrgangsbezogener Unterschiede bei vermeintlich identischen Maschinen kann bei der Analyse hilfreich sein.

In der Summe zeigt sich durch das Praxisbeispiel die empirische Relevanz des Konzepts der Jahrgangsproduktionsfunktionen auch fUr betriebswirtschaftliche Problemstellungen. Das hier betrachtete Problem kann sowohl mit produktions-planerischen Methoden als auch mit dem Ersatz von alten CNC-Maschinen gelost werden. Beide Losungsmoglichkeiten werden daher in den Abschnitten drei und vier dieses Artikels naher beleuchtet.

3. Produktionsplanung unter Beriicksichtigung jahrgangsbezogener Unterschiede von Maschinen

Die Aktivitatsanalyse bildet schon seit Jahrzehnten sowohl in der Forschung als auch in der Lehre einen Schwerpunkt von Herm Kistner. Die auf Koopmans (1951) zurtickgehende Aktivitatsanalyse eignet sich sowohl zur Fundierung von Ergebnissen der neoklassischen Produktionstheorie (Kistner 1993, S. 54ff.) als auch fiir den unmittelbaren Einsatz in der Produktionsplanung. So kann und wird


die Aktivitatsanalyse auch zur Losung ftir das im Abschnitt zwei beschriebene handlungsleitende Praxisbeispiel verwendet werden. Dabei wird in diesem Abschnitt von einem gegebenen Betriebsmittelbestand des betrachteten Unterneh-mens ausgegangen, was dazu fuhrt, dass die mit den einzelnen Maschinen durch-fUhrbaren Aktivitaten (Prozesse) feststehen. Dennoch bestehen Freiheitsgrade und Substitutionsmoglichkeiten, da auf den einzelnen Maschinen verschiedene Aktivitaten durchfUhrbar sind und auBerdem die Betriebsmittel unterschiedlich ausgelas-tet werden konnen. Es ist daher zu zeigen, dass die geschickte Kombination der Produktionsmoglichkeiten der Maschinen einzelner Jahrgange zu verringerten Kosten fUhrt, ohne dass Lieferverpflichtungen des Untemehmens nicht erfullt werden konnen.

Durch das handlungsleitende Praxisbeispiel aus Abschnitt zwei ist klar gewor-den, dass technischer Fortschritt nicht linear alle mithilfe einer Maschine durch-ftihrbaren Prozesse betrifft. Vielmehr bezog sich das Praxisbeispiel auf Produkti-vitatsverluste alterer Maschinen, die nicht in der Lage waren, eine bestimmte Materialart mit zufriedenstellender Ausschussrate zu bearbeiten. Daraus ergibt sich unmittelbar das Problem einer verbesserten Zuordnung von Materialien zu Maschinen verschiedener Jahrgange, um erhohten Ausschuss und damit einherge-hende Produktivitatsverluste zu vermeiden. Ideal ist hier ein Produktionspla-nungsmodell, das den Einsatz eines einfachen Losungsverfahrens ermoglicht. Voraussetzung ist zunachst die Erfassung der Materialeigenschaften - im Beispiel insbesondere des Schwefelgehalts der eingesetzten Stahlsorten - , um die ftir ein derartiges Planungsmodell erforderlichen Informationen verfUgbar zu machen. Die genaue Materialzusammensetzung kann beispielsweise von der Qualitatssiche-rungsabteilung erfasst werden. Auch die obligatorische Angabe der Materialzusammensetzung durch den Lieferanten ist denkbar.

3.1 Aktivitatsanalytische Optimierung im statischen Fall

Eine Aktivitat ist eine Kombination von Einsatzmengen der Werkstoffe r = (ri, . . . ,r/), von Maschineneinsatzzeiten m = (mii,...,mif,...,mî ...mj^() der einzelnen Maschinentypen n = l,...,N der verschiedenen Jahrgange r = 1,...,/ und von Einsatzzeiten des Faktors Arbeit w = (wi,...,Wf^), welche die Herstel-lung einer bestimmten Kombination von Ausbringungsmengen x = (xi,...,xj) ermoglicht. Eine Aktivitat kann durch den Punkt y = (zw,r, w,x) dargestellt werden (in enger Anlehnung an Kistner 1993, S. 54). Ein Prozess ergibt sich durch die proportionale Ausdehnung aller Input- und Outputmengen der zugehorigen Basis-aktivitat (Kistner 1993, S. 56f.). FUr das betrachtete Praxisbeispiel ist es entschei-dend, die einzelnen Aktivitaten bzw. Prozesse so zu erfassen, dass die Maschinen-Material-Kombination als Ursache fUr iiberhohte Ausschussraten prazise einflieBt. Zum einen miissen bisher als gleichartig angesehene Materialien bezogen auf ihre spezifischen Materialeigenschaften - hier der Schwefelgehalt - separiert und ktinftig als unterschiedliche Materialien betrachtet werden. Zum anderen miissen bisher als identisch angesehene Maschinen bezogen auf ihre Anschaffungsjahr-

132 Peter Letmathe

gauge unterteilt und als unterschiedliche Maschinen erfasst werden. Darliber hin-aus konnen selbstverstandlich auch personenbezogene Produktivitatsunterschiede der einzelnen Arbeitskrafte berucksichtigt werden.

Im Ergebnis wird eine Aktivitat zur Herstellung einer bestimmten Produktart, die bisher nicht bezogen auf den Schwefelgehalt des eingesetzten Materials sowie auf die Maschinenjahrgange differenziert betrachtet wurde, in mehrere Aktivitaten unterteilt. Die Anzahl der Aktivitaten ergibt sich dann aus den moglichen Materi-al-Maschine-Mensch-Kombinationen. Dies fuhrt beispielsweise bei drei Material-arten, die unterschiedliche Intervalle an Schwefelgehalten abdecken, bei vier Ma-schinenjahrgangen und zwei Arbeitskraften zu insgesamt 24 Einzelaktivitaten.

Bei hinreichend differenzierten Aktivitaten >' = (w,r,w,x) lasst sich ein Pla-nungsmodell formulieren, das eine Zuordnung von Materialien und Arbeitskraften zu Maschinen generiert, die den erzielbaren Deckungsbeitrag maximiert. Der De-ckungsbeitrag der Periode t errechnet sich durch die mit Preisen bewerteten End-produkte abzuglich der Kosten des Maschineneinsatzes, der verbrauchten Materialien und der Einsatzzeiten der Arbeitskrafte:

J N t I K I^^t = YjPj'^j-YjYj^^t'^m-Yj^n'ri-Yj^^k'^k ^max! (3.1)

j=\ n=\t=\ i=\ k=\

mit: pj Erlos je Einheit des Produkts^

cnij^j Kostensatz je Maschinenstunde der Maschine vom Typ n (n = l,...,N) des Jahrgangs r (r = l,...,0

cri Kostensatz fUr eine Mengeneinheit der Materialart / (/ = !,..., / )

cwj^ Kostensatz je Stunde Arbeitszeit der Arbeitskraft k (k = l,...,K)

Diese Zielfunktion ist unter Beachtung der folgenden Nebenbedingungen zu opti-mieren:

1. Einhaltung der Materialrestriktionen Materialien werden grundsatzlich nach spezifizierten Normen bestellt, bei denen bestimmte Bestandteile - wie im Praxisbeispiel der Schwefelgehalt - schwanken konnen. Erst nach Anlieferung ist bekannt, wie hoch der konkrete Schwefelgehalt der angelieferten Materialien tatsachlich ist. Die Mengen der nach Bestandteilen spezifizierten Materialien ergeben zugleich die maximalen Verbrauchsmengen ri der einzelnen Materialien. Eine Nachbestellung innerhalb der Planungsperio-de ist damit ausgeschlossen.

Um Fehlmengen zu vermeiden und um sich zugleich gegen Ausschuss und an-dere Arten der Materialverschwendung abzusichern, wird das Unternehmen im-mer einen Teil der Materialien als Sicherheitspuffer am Lager behalten. Dennoch ist es ungunstig, wenn die Lagerbestande einzelner Materialarten zu hoch werden. Zum einen wUrde dies zu uberhohter Kapitalbindung fuhren und zum anderen konnen Probleme uberhohter Lagerhaltung, wie Verschwendung, auftreten (vgl. z.B. Chase et al. 2001, S. 398). Um diese negativen Effekte der Lagerhaltung zu

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgtitern 133

vermeiden, bietet es sich an, bei Materialien mit ungunstiger Zusammensetzung mit Mindestverbrauchsmengen r zu arbeiten.

Der Materialverbrauch einer spezifizierten Materialart / bezogen auf den Pro-zess / (/ = 1,...,Z) ergibt sich durch die Multiplikation der Prozesskoeffizienten an, die angeben, welche Menge der Materialart / bei einmaliger DurchfUhrung des Prozesses / verbraucht wird, mit der Durchfuhrungshaufigkeit des Prozesses /, die durch yi charakterisiert ist. Hinzu kommt der Materialverbrauchskoeffizient an der Materialart /, der auf die Einrichtung des Prozesses / zuriickzufiihren ist. Ein solcher Verbrauch ist in der Regel auf Anlaufverluste bei der Maschinenein-stellung zuriickzufiihren. Die Anzahl der RUstvorgange yi ergibt sich durch die maximalen Standzeiten^ der Bearbeitungswerkzeuge. Wahrend einer Bearbeitung wird angenommen, dass eine Unterbrechung des laufenden Prozesses solange nicht stattfindet, bis entweder die Werkzeuge ausgewechselt werden miissen oder die Planproduktionsmenge erreicht ist. Der Gesamtverbrauch r ist dann durch die Summe aller prozessbezogenen Verbrauchsmengen der Materialart / gegeben.

Fuhrt man die Bestimmungsgleichungen zu den Material verbrauchsmengen und die zugehorigen Mindest- und Maximalverbrauchsmengen zusammen, so er-geben sich folgende Nebenbedingungen:

rt=Y!yairyiâ^-y^]^rp (/• = i,...,/) /=1

(3.2)

2. Einhaltung der Kapazitatsrestriktionen Die Kapazitatsinanspruchnahme niy^ der Maschinen des Typs n eines Jahrgangs T ergibt sich durch die Maschinenzeiten wahrend der Herstellung von Gutteilen der Prozesse (/ = 1,...,L) sowie durch die einrichtungsbedingte und sonstige ein-malige Maschinenzeitinanspruchnahme je Los. Unter Beriicksichtigung der Kapa-zitatsobergrenzen w^ der Maschinentypen n-\,...,N der Jahrgange r = l,...,^ ergeben sich damit folgende Nebenbedingungen:

rnnr=Yk>mryi-^b^ryf]^^Z {n = \,„.,N, r = l,...,0 (3.3) /=l

mit: byî Zeitliche Inanspruchnahme des Maschinentyps n vom Jahrgang r bei einmaliger Durchfiihrung des Prozesses /

b^l Einrichtungsbedingte und sonstige einmalige zeitliche Inanspruchnahme des Maschinentyps n vom Jahrgang r je Los

7 Standzeiten geben an, welche Teilemenge mit einem Werkzeug bearbeitet werden kann. Die Standzeiten determinieren damit die maximale LosgroBe, nach der eine Umrustung der Maschine selbst dann erforderlich ist, wenn mit der Bearbeitung derselben Teileart fortgefahren wird.

134 Peter Letmathe

3. Begrenzung der Arbeitszeit Uber das betrachtete Praxisbeispiel hinaus sind auch mitarbeiterbezogene Fertig-keiten von Bedeutung, die durch eine sinnvoUe Zuordnung von Mitarbeitern zu Prozessen und damit auch zu Maschinen genutzt werden konnen. Die zeitliche In-anspruchnahme w/^ eines Mitarbeiters/: (k = l,...,K) berechnet sich durch die Arbeitszeiten wahrend der Herstellung von Gutteilen der Prozesse (/ = 1,...,Z) sowie durch die einrichtungsbedingte und sonstige einmalige zeitliche Inan-spruchnahme der Mitarbeiter je Los. Die zeitlichen Inanspruchnahmen der Mitarbeiter sind durch die Maximalarbeitszeit wj^ , die auch mogliche tFberstunden be-reits enthalten kann, begrenzt:

^k=T(ckryi + 4'yfh^k (k = i,...,K) (3.4) 1=1

n

Die Koeffizienten c/î sowie % umfassen die zeitliche Inanspruchnahme der Mitarbeiter k je Durchfuhrung des Prozesses / sowie die einrichtungsbedingten Arbeitszeiten je Los. 4. Berucksichtigung von Absatzober- und -untergrenzen Fur die Produkte sind Absatzuntergrenzen Xj , die sich durch vertragliche Ver-pflichtungen ergeben konnen, sowie Absatzobergrenzen Xj , die die maximal am Markt absetzbaren Mengen charakterisieren, zu beachten. Die Produktionsmengen Xj der Produkte y = 1,..., J erhalt man, indem man die Produktionskoeffizienten dji, die die Ausbringungsmenge des Produkts j je Durchfuhrung des Prozesses / angeben, mit den Prozesshaufigkeiten yi multipliziert und die Ergebnisse uber al-le Prozesse aufsummiert. Unter Berucksichtigung der Absatzunter- und -ober-grenzen sind folgende Nebenbedingungen relevant:

L

^^ ^^j=T'^ji'yi^^f a=1,.. . ,^) (3.5) 1=1

5. Erfassung von RUstvorgangen Wie bereits erwahnt, finden bei den einzelnen Prozessen Rustvorgange statt, wenn die Variable fiir die Prozesshaufigkeit yi des Prozesses / einen positiven Wert aufweist. In diesem Fall hat die Rustvariable yf des Prozesses / den aufgerunde-ten ganzzahligen Wert aus der Division der Prozesshaufigkeit yi durch die auf-grund der Werkzeugstandzeiten maximal zulassige LosgroBe yf^^^ . Falls der ent-sprechende Prozess / in der Betrachtungsperiode nicht genutzt wird, findet auch kein RUstvorgang statt. Somit gilt:

^R ^ I [yi/yr] falls y, lyr"" ^ N„ (3.6) I b / Z y r i + l sonst

^ Die eckige Klammer in der Formel steht fiir die GauB'sche Klammer.

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalglitem 135

Diese Nebenbedingungen lassen sich auf einfache Weise in eine lineare Form bringen, indem gewahrleistet wird, dass die Anzahl der Prozessdurchfuhrungen kleiner oder gleich dem Produkt aus der Anzahl der Rtistvorgange und der maximal zulassigen LosgroBe yf^^^ ist:

yi-yr^'-yfÔ (/ = 1,...,Z) (3.7)

6. Nichtnegativitatsbedingungen und Ganzzahligkeitsbedingungen Die Nichtnegativitatsbedingungen gewahrleisten, dass die Prozessdurchfuhrungs-haufigkeiten keine negativen Werte aufweisen konnen:

yi>0 (l = l,...,L) (3.8)

Die Nichtnegativitaten fUr ri,m^^ , wj^ und xj resultieren unmittelbar aus den Nebenbedingungen 3.2 bis 3.5.

AbschlieBend ist noch sicherzustellen, dass die Anzahl der Umriistungen je Prozess / nur nicht-negative ganzzahlige Werte annehmen kann:

yj^^ô (/ = i,...,^) (3.8)

Das dargestellte lineare Modell zur sinnvollen Maschinenbelegungsplanung bei jahrgangsbezogenen Unterschieden von typgleichen Maschinen bzw. von Maschi-nen mit uberlappendem Fertigungsspektrum lasst sich mit den Standardverfahren der linearen Programmierung losen. Allerdings ist zu beachten, dass der Losungs-aufwand mit dem Detaillierungsgrad der Prozesse aufgrund der enthaltenen Ganzzahligkeitsbedingungen erheblich ansteigen kann. Bei zu hoher Anzahl an Prozes-sen kann Abhilfe geschaffen werden, indem der Detaillierungsgrad der Prozesse entweder auf ein vertragliches MaB gesenkt wird oder indem die Rustvorgange in Form von pauschalen Kapazitatsabschlagen bei den einzelnen Maschinen beriick-sichtigt werden. Im letzteren Fall wird von den Ganzzahligkeitsbedingungen voll-standig abstrahiert. Bei beiden vorgeschlagenen Alternativen kann dann, um die Losbarkeit des Programmierungsmodells zu gewahrleisten, lediglich eine zufrie-den stellende, aber in der Regel keine optimale Losung mehr erzielt werden.

3.2 Praxisrelevanz von Jahrgangsproduktionsfunktionen

Anfangs wurde die Frage nach dem Wert von produktionstheoretischen Konzep-ten wie dem Konzept der Jahrgangsproduktionsfunktionen gestellt. Betrachtet man die hier dargestellte Situation, so lasst sich der damit einhergehende Nutzen fur die Unternehmen gleich auf dreierlei Weise verdeutlichen:

1. Niedrigere Ausschussquote: Durch die richtige Zuordnung von Materialien zu Maschinen kann die Ausschussquote deutlich gesenkt werden. Geht man bei Materialien mit einem hohen Schwefelgehalt von einer Ausschussquote von 20% gegenuber einer sonstigen Ausschussquote von 5% aus und betragt der Anteil des Materials mit hohem Schwefelgehalt ein Drittel, so fuhrt eine richtige gegenuber einer falschen Maschinenzuordnung zu einer Senkung der Aus-

136 Peter Letmathe

schussquote um 5%. Dies bedeutet zugleich eine 5%ige Senkung des Kapazi-tatsbedarfs, eine 5%ige Kostensenkung beim Einsatzmaterial, eine um 5% ge-ringere Beanspruchung von Arbeitskraft, einen geringeren Werkzeugeinsatz sowie eine verminderte Anzahl an Werkzeugbruchen. In der Summe kann man somit mindestens von einer 5%igen Kostensenkung fur die in diesem Beispiel betrachteten Produkte ausgehen.

2. Reduktion von Schwankungen and Erhohung der Planungssicherheit: Da Aus-schuss Uber den Zeitablauf nicht gleichmaBig auftritt, sondern sich in bestimm-ten Zeitpunkten hauft, unterliegt eine Fertigung, die jahrgangsbezogene Unter-schiede nicht beriicksichtigt, erheblichen Schwankungen. Diese Schwankungen fuhren zum einen dazu, dass eine erhebliche Planungsunsicherheit gegeben ist, da im Voraus nie bekannt ist, wann und in welchem AusmaB Schwankungen bei der Ausschussquote anfallen. Zum anderen muss Schwankungen durch eine vorgehaltene Reservekapazitat oder durch hohe Lagerbestande begegnet wer-den, da die jederzeitige Lieferfahigkeit gerade in der Automobilindustrie fur die Zulieferer obligatorisch ist (vgl. Letmathe 2002, S. 102ff.). Beides ist mit ho-hen Kosten verbunden, die durch eine Reduktion von Schwankungen erheblich gesenkt werden konnen. Die Planungssicherheit steigt bei einer Reduktion von Schwankungen massiv an, da Abweichungen von den Planvorgaben in geringe-rem AusmaB auftreten.

3. Herausstellung von Zusammenhdngen: Das vorgestellte Planungsmodell kann einer Sensitivitatsanalyse unterzogen werden, mit deren Hilfe Substitutionsbe-ziehungen und sonstige Zusammenhange naher untersucht werden konnen (vgl. Kistner 2003, S. 58ff.). Auf diese Weise lassen sich Wirkungsketten, die insbe-sondere Produktivitatsunterschiede bei unterschiedlichen Maschinenjahrgangen betreffen, erschlieBen, die sonst im Betriebsalltag verborgen blieben.

Fasst man den Wert des Konzepts der Jahrgangsproduktionsfunktionen fiir den statischen Fall zusammen, so kommt man zu dem Ergebnis, dass die dort disku-tierten Produktivitatsunterschiede die Problemsensibilitat erhohen und damit auch zu verbesserten Losungen in der Praxis beitragen konnen. Damit soil nicht gesagt werden, dass sich der Praktiker solche Losungen durch seine Intuition nicht selbst erarbeiten kann. Aber neben der Intuition konnen eben auch konzeptionelle An-satze zu erheblichen Verbesserungen fuhren. AuBerdem sollte nicht vernachlassigt werden, dass die konzeptionelle Schulung auch die spatere Intuition des Praktikers mit ausbildet.

4. Investitionsrechnerische Uberlegungen und Aspekte des Technologiemanagements

Im statischen Modell wurde von einer gegebenen Betriebsmittelausstattung ausge-gangen, die wahrend des betrachteten Planungshorizonts nicht beeinflusst werden kann. Bei langerfristiger Perspektive ergibt sich die Frage, ob und wann die vor-handenen Betriebsmittel ersetzt werden sollen und wie lange die bisherigen Basis-

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalglitem 137

technologien noch erfolgreich im Markt eingesetzt werden konnen. Hierbei ist ei-ne Reihe an Einzelaspekten zu beachten:

• Anschajfungskosten einer Anlage: Steigende Anschaffungskosten bei Anlagen mit einem hoheren technischen Fortschrittsniveau, das sich beispielsweise in einer hoheren Produktivitat niederschlagt, fuhren tendenziell dazu, dass Investi-tionen in neue Technologien verzogert werden bzw. vollstandig ausbleiben. Bei fallenden Preisen kommt es hingegen zu einem Vorziehen von Investitionen.

• Preisniveau der mit einem Betriebsmittel produzierten Telle: Bei einem sinken-den Preisniveau - wie dies beispielsweise in der Automobilindustrie beobacht-bar ist - konnen zufrieden stellende Margen bzw. Betriebsergebnisse nur dann erzielt werden, wenn den gesunkenen Preisen auch ein sinkendes Kostenniveau gegenubersteht. Dies lasst sich entweder durch die Investition in neue Technologien und konsequente Anstrengungen zur kontinuierlichen Verbesserung von Produktionsablaufen oder durch die Verlagerung von Produktionsstatten ins Ausland realisieren. Geringere Deckungsspannen einzelner Produkte konnen gegebenenfalls auch durch eine Steigerung der Absatzmengen kompensiert werden.

• Verschleifi von Betriebsmitteln: Der VerschleiB von Betriebsmitteln lasst sich zumindest teilweise durch eine vorbeugende Instandhaltung der Betriebsmittel auffangen. Der daruber hinaus auftretende VerschleiB fuhrt in der Tendenz dazu, dass sich die Deckungsspannen der hergestellten Telle, z. B. aufgrund einer erhohten Ausschussrate, verringern. Dies hat zur Folge, dass sich die Nut-zungsdauem der eingesetzten Betriebsmittel tendenziell verringern.

• Erfahrungskurvenejfekte bei vorhandenen bzw. neuen Betriebsmitteln: Erfah-rungskurveneffekte entstehen, wenn das Know-how der Mitarbeiter im Unter-nehmen gezielt dafur eingesetzt wird, die betrieblichen Ablaufe kontinuierlich zu verbessern. Durch solche Anstrengungen ist auch mit einem gegebenen Be-triebsmittelbestand eine erhebliche Produktivitatssteigerung moglich. Eine solche Steigerung wirkt dem Veralten von Maschinen aufgrund von VerschleiB und voranschreitendem technischen Fortschritt tendenziell entgegen. Bei der Investition in eine neue Technologic soUte prinzipiell darauf geachtet werden, dass die erworbenen Erfahrungskurveneffekte bei der Nutzung des neuen Be-triebsmittels nicht verloren gehen.

• Kostenentwicklung der mit einem vorhandenen Betriebsmittel produzierten Telle: Die Kostenentwicklung der produzierten Telle wird zum einen durch die Kostenentwicklung bei den Werkstoffen beeinflusst und zum anderen durch die Kosten des Faktors Arbeit. Bei den Werkstoffen hat es in der letzten Zeit insbe-sondere im Stahlbereich erhebliche Kostensteigerungen gegeben, die sich nega-tiv auf die erzielbaren Deckungsspannen auswirken. Der hohe Kostendruck fuhrt u.a. dazu, dass die Untemehmen versuchen, Kostensenkungen bei anderen Faktoren zu erzielen. Dies kann beim Faktor Arbeit dadurch geschehen, dass die Lohnhohe je Monat gesenkt, die Arbeitszeit je Woche erhoht oder die Ar-beitszeiten insgesamt flexibilisiert werden. Letzteres ermoglicht auch eine ver-besserte Reaktion auf die bereits angesprochenen Schwankungen. Daruber hin-

138 Peter Letmathe

aus konnen auch Lohnnebenkosten sowie Instandhaltung und Nachriistungskos-ten von Bedeutung sein.

• Technischer Fortschritt bei Betriebsmitteln, die auf alternativen Technologien beruhen: Alternative Technologien, die deutliche Produktivitatsspriinge erlau-ben, ftihren dazu, dass die Investition in neue Betriebsmittel vorgezogen wird. Sie verringern somit die Nutzungsdauer bei veralteten Technologien. Fiir das Unternehmen spielt es dabei eine erhebliche Rolle, ob die neuen Betriebsmittel auf der gleichen Basistechnologie wie die bisher eingesetzten oder auf einem vollkommen neuen Verfahren beruhen. Im ersteren Fall konnen vorhandene Er-fahrungskurveneffekte genutzt werden, wahrend im zweiten Fall eine Anpas-sung des betrieblichen Know-hows an die neue Basistechnologie erforderlich ist. In diesem Fall miissen beispielsweise Mitarbeiterschulungen durchgefuhrt und gegebenenfalls Neueinstellungen vorgenommen werden. Nicht immer ge-lingt es, das Know-how der Mitarbeiter an die Erfordernisse neuer Technologien anzupassen.

Die hier betrachteten Gesichtspunkte werden in den Teilabschnitten 4.1 bis 4.3 aufgegriffen, um verschiedene Aspekte von Investitionsentscheidungen und des Technologiemanagements naher untersuchen zu konnen.

4.1 Wirtschaftlichkeitsberechnungen ohne Beriicksichtigung von Ersatzinvestitionen

Ein adaquates Mittel, um die Wirtschaftlichkeit von Betriebsmitteln zu bestim-men, sind Methoden der dynamischen Investitionsrechnung, von denen im Fol-genden die Kapitalwertmethode herangezogen wird. Bei der Kapitalwertmethode werden neben der Anschaffungsauszahlung aêines Betriebsmittels auch die zeitpunktbezogenen Einzahlungen e{t) und Auszahlungen a{t) sowie der Rest-wert des Betriebsmittels beriicksichtigt. Die Differenz von Ein- und Auszahlungen bilden die zeitpunktbezogenen Zahlungssalden z{t) :

z(t) = e{t)-ait) (4.1)

Aufgrund des gestiegenen Kostendrucks im Wettbewerb und aufgrund der reali-sierbaren Vorteile des technischen Fortschritts wird von den Kunden eines Unter-nehmens haufig erwartet, dass die Preise fiir die gelieferten Produkte bzw. Teile in regelmaBigen Abstanden gesenkt werden. Geht man davon aus, dass dieser Pro-zess kontinuierlich ablauft und dass die Absatzmengen tiber die Zeit unverandert bleiben, so ergibt sich folgende Einzahlungsfunktion:

e(t) = p-x-e~^^ (4.2)

mit: p Ausgangspreisniveau je Teileeinheit X Teilemenge /5 Preissenkungsrate bei kontinuierlicher Senkung der Preise

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgtitem 139

In die Auszahlungsfunktion flieBen neben den Preisveranderungen bei den bezo-genen Werkstoffen die Erfahrungskurveneffekte des Betriebsmitteleinsatzes sowie die VerschleiBrate (vgl. hierzu auch die Kurvenverlaufe bei Czichos u. Habig 2003, S. 19ff.) des betrachteten Betriebsmittels ein. Fasst man diese drei Effekte zu einer Kostenanderungsrate a zusammen, so erhalt man folgende Auszahlungsfunktion:

a(0 = c-3c.^^' (4-3)

mit: c Ausgangskosten je Teil a Kostenanderungsrate bei kontinuierlicher Kostenanderung

Mit diesen Informationen lassen sich die zeitpunktbezogenenen Zahlungssalden ermitteln:

z(t)^P'X'e-^^ -cx-e"^^ (4.4)

Ohne Beriicksichtigung eines Restwerts ergibt sich die optimale Nutzungsdauer des Betriebsmittels bei monoton fallenden Zahlungssalden, indem man die Ein-zahlungsfunktion mit der Auszahlungsfunktion gleichsetzt:

I

K0 = /?-^-^"^^=^-3c-e"^=a(0 (4.5)

Als Ergebnis erhalt man:

I n ^ / = -

(4.6) a + yff

Bei einem Anfangspreisniveau von /? = 100, einem Ausgangskostensatz von c = 25, einer Preissenkungsrate von 4% und einer Kostenanderungsrate von 2% erhalt man beispielsweise eine optimale Nutzungsdauer von 23 Jahren.

Die Beriicksichtigung von realistischen Restwertentwicklungen, beispielsweise im Bereich von CNC-Maschinen, beeinflusst die optimale Nutzungsdauer kaum. Geht man beispielsweise von einer jahrlichen Abschreibungsrate von 25% (8 - 0,25) und Anschaffungskosten der hier betrachteten Maschine in Hohe von 300.000 Euro (a^ = 300.000) aus, so verringert die Beriicksichtigung der Rest-werte die optimale Nutzungsdauer nur um wenige Tage. Dies ist auch der Grund, warum viele Metallbearbeiter ihre Maschinen als Kapazitatsreserve im Maschi-nenbestand behalten, wenn bereits in eine Ersatzmaschine auf aktuellem technolo-gischen Niveau investiert wurde. Auf eine weitere Analyse des Einflusses des Restwerts auf die optimale Nutzungsdauer wird aus diesem Grund verzichtet. Um den Restwert jedoch in die Ermittlung des Kapitalwerts bei gegebener Nutzungsdauer einbeziehen zu konnen, wird von einer monoton fallenden und konvexen Restwertfunktion r(t) ausgegangen, wie sie beispielsweise durch

r(t) = a^'e-^' (4.7)

140 Peter Letmathe

charakterisiert ist. Dahinter steht die Annahme, dass der Restwert anfanglich stark abfallt, was beispielsweise mit den Installationskosten einer Anlage und dem Ver-lust fur alternative Eignungen erklart werden kann. Wahrend der Nutzungsdauer nimmt der Restwert zwar stetig ab, aber die absolute periodenbezogene Abnahme wird im Zeitablauf immer kleiner.

Die Uberlegungen zu den periodenbezogenen Zahlungssalden sowie zur Rest-wertentwicklung ermoglichen nun die Berechnung des Kapitalswerts CQ , wobei flir den betrachteten Investitionsgegenstand von einer optimalen Nutzungsdauer von T ausgegangen wird:

Co = -«o + J -, dt â^-e ^""^'^ (4.8)

r steht filr den KalkulationszinsfuB bei kontinuierlicher Verzinsung. Durch Berechnung des bestimmten Integrals erhalt man einen Kapitalwert in

folgender Hohe:

Q=-.+f^-(l-e-(^^^>^)-^-(l-e(«->^Ka.-.-^'^^^>^ (4.9) P+r ^ ' r-a ^ '

Setzt man die bereits angegebenen Beispieldaten ein, dann ergibt sich bei einer Absatzmenge von 1.000 Stiick je Periode, einer Nutzungsdauer von 23 Jahren und einem KalkulationszinsfuB von 8% ein Kapitalwert in Hohe von:

C , = - 3 0 0 . 0 0 0 ^ i ^ ^ : ^ . ( l - . - ^ ' i ^ - ^ 3 L 2 ^ 0,12 ^ ^ 0,06 ^ ^ (4.10)

+ 300.000-e"^'^^'^^ =168.900

Von diesem Kapitalwert sind nur 152 Euro auf den Restwert zuriickzufuhren. Zur Verdeutlichung von jahrgangsbezogenen Unterschieden ist es sinnvoll, die

zeitbezogenen Zahlungssalden wahrend der Nutzungsdauer der Investition naher zu betrachten. Um ausschlieBUch den VerschleiB sowie die Preisentwicklung ein-zubeziehen, werden Zinseffekte hier vernachlassigt. Bei den Einzahlungen zeigt sich, dass das Preisniveau wahrend der Nutzungsdauer der Investition um iiber 60% gefallen ist. Die um Zinseffekte bereinigten Auszahlungen sind hingegen um tiber 58% angestiegen. Am Ende der Nutzungsdauer liegen die Auszahlungen da-her in etwa auf dem Niveau der Einzahlungen. Diese Situation wird durch Abb. 1 veranschaulicht.

Wurde der Investor nach Ablauf der Nutzungsdauer eine identische Ersatzma-schine kaufen, so wtirden die verschleiBbedingten Mehrkosten zwar entfallen. Dennoch konnte er aufgrund des gesunkenen Preisniveaus nur ca. 20% der an-fanglichen Deckungsspanne je Produkteinheit realisieren wie bei der Vorganger-maschine. Selbst wenn man Lerneffekte einrechnet, durch die die Kosten je Produkteinheit durchschnittlich um 2% je Jahr wahrend der Nutzungsdauer der

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 5 10 15 20 25 30

Periode

Geldeinheiten

Einzahlungen Auszahlungen Zahlungssaldo

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Investitionszeitpunkte

Kapitalwert

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutern 141

Anlage gesunken sind, so wiirde die anfangliche Deckungsspanne nur auf ca. 32% des anfanglichen Niveaus der Vorgangermaschine ansteigen. Ein positiver Kapi-talwert konnte in beiden Fallen nicht mehr realisiert werden. Ein negativer Kapi-talwert ergibt sich sogar schon, wenn nach sieben Jahren in den gleichen Maschi-nentyp (kein technischer Fortschritt) investiert wiirde. Dies impliziert, dass zum einen das Technologietiming eine wichtige Rolle spielt und dass zum anderen eine hohe Maschinenauslastung gerade in den ersten Nutzungsjahren von entscheiden-der Bedeutung ist. Abb. 2 verdeutlicht die Abhangigkeit des Kapitalwerts vom In-vestitionszeitpunkt unter der Voraussetzung, dass technischer Fortschritt nicht ge-geben ist.

100000

80000

c ^ 60000

.E 40000 0 ^ 20000 O

0

-20000

k

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10

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">»* - ^ 20

. . . .

^ ^ ^ ^ ^ 30

" Einzahlungen • • •

Periode

Auszahlungen ^ Zahlungssaldo

Abb. 1. Zahlungsstrome der betrachteten Beispielinvestition

200000

150000

100000

50000

0

-50000

-100000

-150000

Investitionszeitpunkte

Abb. 2. Kapitalwertverlauf der betrachteten Investition

s

I

142 Peter Letmathe

Das hier herangezogene Beispiel verdeutlicht die Situation in der Automobilzulie-fererindustrie durchaus realistisch. Der technische Fortschritt im Bereich der Me-tallbearbeitungsmaschinen ist zwar vorhanden, er kompensiert die geforderten jahrlichen Preissenkungen bei den Zulieferteilen aber nicht vollstandig. Daher mussen die Automobilzulieferer einerseits in maschinengebundenen technischen Fortschritt investieren und andererseits zusatzlich eine hohe innerbetriebliche Lernrate realisieren (Jorgenson 1966, S. Iff.). Die damit einhergehende Situation wird im Folgenden aus der Perspektive des Technologiemanagements sowie aus der Perspektive des einzelnen Unternehmens naher beleuchtet.

4.2 Technologische Grundiiberlegungen

Die langfristige Nutzung einer Basistechnologie hangt davon ab, ob alternative Basistechnologien existieren, die zu Betriebsmitteln fiihren, mit denen bestimmte erfolgskritische Eigenschaften verbunden sind, wie eine hohere Produktivitat oder eine iiberlegene Qualitat. In diesem Zusammenhang sind einige Uberlegungen zum technischen Fortschritt anzustellen, die den Lebenszyklus von genutzten Basistechnologien zumindest teilweise erklaren konnen. Dabei wird zunachst ange-nommen, dass sich technischer Fortschritt und die damit einhergehenden Produk-tivitatssteigerungen bei derselben bzw. bei alternativen Basistechnologien in der bereits in Abschnitt 4.1 genutzten Preissenkungsrate p niederschlagen. Die Preis-senkungsrate spiegelt somit die allgemeinen, fUr das einzelne Unternehmen exo-genen Preissenkungen wider. Das Unternehmen hat nun die Moglichkeit, entwe-der durch interne kontinuierliche Verbesserungsanstrengungen oder durch Investi-tionen in neue Maschinen auf den Preisdruck zu reagieren.

Diese Unternehmensoptionen lassen zugleich SchlUsse zu den langfristigen Entwicklungsperspektiven von im Markt eingefiihrten Basistechnologien zu. So wird eine vorhandene Basistechnologie langfristig vom Markt verschwinden, wenn die Preissenkungsrate p hoher ist als die technische Fortschrittsrate X , die sich in den Investitionsgutern niederschlagt, plus der internen Lernrate // zumindest eines der Unternehmen, die die entsprechende Basistechnologie verwenden. Eine vorhandene Basistechnologie verschwindet also immer dann langfristig vom Markt, wenn Uber einen hinreichend langen Zeitraum gilt:

ef^ >e^^^ (4.11)

Wenn bei alien Unternehmen exakt die gleichen Voraussetzungen vorlagen, so wiirde eine derartige Konstellation dazu fiihren, dass eine veraltete Basistechnologie schlagartig ersetzt wird. Ein solcher Degenerationsprozess voUzieht sich im Allgemeinen jedoch liber einen langeren Zeitraum. Hierfur lassen sich folgende Grunde anfiihren:

• Unternehmen haben unterschiedliche interne Lernraten. Dadurch konnen einige Unternehmen dem Preisdruck langer standhalten als andere.


• Unterschiedliche Einsatzfelder derselben Basistechnologie fiihren dazu, dass uberlegene alternative Basistechnologien nicht alle Produktfelder einer bereits vorhandenen Technologie abdecken. Der Preisdruck ist in verschiedenen Mark-ten somit unterschiedlich hoch, so dass die obige Ungleichung nahezu nie gleichzeitig erfullt ist.

• Durch die Verlagerung von Betriebsmitteln in das Ausland konnen Kostenvor-teile erzielt werden, die den Lebenszyklus von vorhandenen Basistechnologien verlangem.

• Marktunvollkommenheiten fuhren dazu, dass der Preisdruck nicht in alien Markten gleichzeitig auftritt. AuBerdem existieren u.U. langfristige Rahmen-vertrage, die Zulieferer-Abnehmerbeziehungen regeln und einen schnellen Lie-ferantenwechsel entsprechend den Marktgegebenheiten erschweren. Hinzu kommt eine gewisse Markttragheit selbst dann, wenn keine langfristigen ver-traglichen Regelungen vorhanden sind. Weitere Marktunvollkommenheiten konnen sich durch asymmetrische Machtverteilungen zwischen Zulieferer und Abnehmer ergeben.

4.3 Uberlegungen aus der Sicht einzelner Unternehmen

Fiir das einzelne Unternehmen konnen sowohl der maschinengebundene techni-sche Fortschritt als auch die Preissenkungsrate als exogen angesehen werden. Es verbleibt daher nur die Moglichkeit, den technischen Fortschritt optimal auszunut-zen und in geeigneter Weise darauf zu reagieren. Um dies in gezielter Weise tun zu konnen, bietet sich ein dreistufiges Vorgehen an:

1. Auseinandersetzung mit der technologischen Entwicklung: Die gezielte Aus-nutzung technologischer Entwicklungen setzt voraus, dass sich das Unternehmen fruhzeitig mit der Erkennung und Prognose von Veranderungen im Ver-fahrens- und Produktbereich auseinandersetzt. Geeignete Methoden sind hier beispielsweise die Delphi-Methode, die Methode des morphologischen Kas-tens, Szenariotechniken, das Technology Monitoring und die Konkurrenzanaly-se. Auf diese Weise kann sich das Unternehmen fruhzeitig mit technologierele-vanten Signalen auseinandersetzen und erhalt Informationen uber die mit neuen Technologien verbunden Chancen und Risiken. Letztlich dient die Technolo-giefriiherkennung und -prognose dazu, Unsicherheit fiir die Unternehmensent-wicklung zu reduzieren, Informationen fiir die strategische Ausrichtung des Technologiemanagements zu erlangen und durch geeignete MaBnahmen zeit-bedingte Wettbewerbsvorteile zu realisieren. Wesentliche Betrachtungsfelder (Gerpott 1999, S. lOlff.) sind die Weiterentwicklungspotenziale und Grenzen bekannter Technologien, der Entwicklungsstand und Potenziale neuer Technologien, vorhandene Substitutionsbeziehungen zwischen Technologien, techno-logische Diskontinuitaten bei der Entwicklung von Verfahren und Produkten und Marktpotenziale von unterlegenen Technologien (Christensen 2000). Das Technologiemanagement legt damit wichtige Grundlagen sowohl fiir die Aus-nutzung vorhandener Technologien als auch fiir die Untemehmensstrategie. Als

144 Peter Letmathe

Folge der Technologiefriiherkennung und -prognose ergeben sich Handlungs-vorgaben fur die gezielte Technologieakquisition durch Forschung und Ent-wicklung, durch die Nutzung des Mitarbeiter-Know-hows, durch die Technolo-giebeschaffung von externen Quellen sowie durch die Technologieakquisition in Netzwerken. Beispielsweise konnen friihzeitig Mitarbeiter, die bereits mit neuen Technologien vertraut sind, von Mitbewerbem abgeworben werden, oder Forschungs- und Entwicklungsanstrengungen konnen gezielt auf kunftige Er-fordemisse abgestimmt werden. Strategische Mafinahmen: Im strategischen Bereich sollte sich das Unterneh-men so positionieren, dass es langfristig im Wettbewerb erfolgreich sein kann. Hierfur ist es zunachst sinnvoll, optimale Ersatzzeitpunkte fUr die vorhandenen Betriebsmittel zu bestimmen, um an den Vorteilen des technischen Fortschritts partizipieren zu konnen, ohne dass uberhohte Anschaffungskosten der einzel-nen Maschinen anfallen. Da sich mehrere der am Anfang dieses Abschnitts ge-nannten Parameter, wie die Anschaffungskosten, das Preisniveau der produzier-ten Telle, die Rate des technischen Fortschritts bei der derselben bzw. bei anderen Basistechnologien sowie die Kostenentwicklung bei Rohstoffen gleichzeitig und stetig verandern, ist eine solche Bestimmung keineswegs trivial. Erste Anhaltspunkte bilden die AusfUhrungen zum Technologiemanagement in Abschnitt 4.2. Wie allerdings gezeigt werden konnte, reicht es keineswegs aus, nur in Betriebsmittel zu investieren, die dem neuesten technologischen Standard entsprechen. Vielmehr sollte das Unternehmen aktiv versuchen, Ar-bitragemoglichkeiten zu erhalten bzw. auszubauen (z.B. Schneider 1995, S. 36ff.). Hierzu zahlt die langfristige Know-how-Entwicklung, die sich in verbes-serten Verfahren und Produkten niederschlagen kann. So kann sich das Unternehmen durch uberlegene Produkte eine temporare Monopolsituation sichern, die die Realisation hoher Deckungsspannen je Produkteinheit erlaubt. Ein Bei-spiel hierfur sind Bauteile, die mithilfe einer gezielten Leichtbauweise eine er-hebliche Gewichtsreduktion ermoglichen. Bei den Prozessen ist neben einer hohen Produktivitat auch eine herausragende Qualitat anzustreben, die von den Wettbewerbern nur schwer zu imitieren ist. Eine hohe Prozessqualitat kann ebenfalls zur Sicherung von Deckungsspannen und zur Erhohung von Absatz-mengen beitragen. Wenn es trotz dieser MaBnahmen zu einer Absenkung von Deckungsspannen kommt, so ist auch eine Verlagerung des Produktionsstand-orts in so genannte Niedriglohnlander in Betracht zu ziehen. Allerdings ist zu beriicksichtigen, dass neben niedrigen Lohnkosten auch ein hinreichendes Know-how der Mitarbeiter sowie eine befriedigende Infrastruktur in den ein-zelnen Landern vorhanden sein mlissen. Operative Mafinahmen: Der VerschleiB sowie der hohe Preisdruck fiihren wah-rend der Nutzungsdauer einzelner Betriebsmittel zu einer potenziellen Verrin-gerung der erzielbaren Deckungsspannen je Produkteinheit. Diesem Sachver-halt konnen die Unternehmen auf verschiedene Weise begegnen. Beriicksichtigt man, dass sich der Gesamtdeckungsbeitrag durch die Summe aller Deckungsspannen multipliziert mit den zugehorigen Absatzmengen der einzelnen Produkte ergibt, so konnen erhohte Liefermengen zu einer stabilen Deckungsbei-tragssituation beitragen. Dariiber hinaus gibt es verschiedene Moglichkeiten,

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgtitem 145

den Verlust an Deckungsspannen so gering wie moglich zu halten. Durch Total Productive Maintenance - also eine vorbeugende Instandhaltung von Betriebs-mitteln - konnen verschleiBbedingte Kostenerhohungen eliminiert bzw. verrin-gert werden (Takahashi u. Osada 1990). Die negativen Effekte des technischen Fortschritts auf die Deckungsspannen der Produkte konnen durch richtige Ma-schinenzuordnungen von Materialien bzw. Vorprodukten zu Maschinen - wie in Abschnitt 3.1 auf gezeigt - gemildert werden. Dabei liegt allerdings kein gleichmaBiger VerschleiB im Zeitablauf mehr vor (vgl. Stepan 1981, S. 68ff., Kistner et al. 1989, S. 388ff.). Eine weitere Moglichkeit besteht schlieBlich dar-in, die Kosten der einzelnen Produkte systematisch durch Ansatze der kontinu-ierlichen Verbesserung zu verringem. Kontinuierliche Verbesserungsprozesse fuhren nicht nur zu einer Kostensenkung, sondem erhohen langfristig auch das betriebliche Know-how. Dies kann auch nachfolgenden Betriebsmittelgenerati-onen zugute kommen, so dass langfristig eine verbesserte Wettbewerbssituation des Unternehmens denkbar ist.

In der Summe zeigt sich somit, dass es fur die Unternehmen zahlreiche Moglich-keiten gibt, sich erfolgreich dem Wettbewerb zu stellen. Allerdings ist hierfUr ein langfristig ausgerichtetes Technologic- und Kostenmanagement erforderlich.

5. Schlussbemerkungen

In diesem Beitrag konnte gezeigt werden, dass jahrgangsbezogene Unterschiede bei den Betriebsmitteln erhebliche Auswirkungen fur die Unternehmen mit sich bringen konnen. Das Beispiel aus der Automobilindustrie hat veranschaulicht, dass viele Automobilzulieferer unter erheblichem Kosten- und Wettbewerbsdruck stehen, dem sie durch gezielte MaBnahmen begegnen miissen. Ein Gesptir fur Marktveranderungen sowie den technischen Fortschritt ist dabei unbedingt erforderlich. Die Kenntnis von Konzepten wie das der Jahrgangsproduktionsfunktion kann sich ganz konkret - wie im dritten Abschnitt - auf die Planungsmechanismen im Unternehmen auswirken. Etwas abstrakter verhilft jahrgangsbezogenes Denken zu einer dynamischen Perspektive des Unternehmens, die sich in MaBnahmen wie einem gezielt ausgerichteten Wissensmanagement niederschlagen kann. Die in Abschnitt vier vorgeschlagenen MaBnahmen der Technologiefriiherkennung und -prognose sowie die operativen und strategischen MaBnahmen konnen genutzt werden, um Unternehmen auch in Zeiten der Globalisierung und einer zunehmen-den Komplexitat in stabilem Fahrwasser zu halten.

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Betriebsplankostenrechnung

Marlles Rogalskl* t

Fakultat fur Wlrtschaftswlssenschaften, Universltat Bielefeld

Zusammenfassung

Die Betriebsplankostenrechnung 1st Insbesondere auf elne Beurtellung alternatlver Produktionsprogramme und -prozesse ausgerichtet; als BeurtellungsmaBstab dlent der Perlodenerfolg. Grundlage slnd Betrlebsmodelle, die den Zusammenhang zwl-schen Faktorelnsatzen und Produktlonsprozessen durch eln multlvarlables llneares System von ElnflussgroBenfunktlonen abbllden und unter Elnsatz der Matrlzen-rechnung verarbeiten. Wesentliche Telle der Programm- sowle Vollzugsplanung werden In das Rechensystem Integriert, und bei entsprechender Struktur kann das Betrlebsmodell zur Optlmlerung herangezogen werden. Dabel wlrd auf elne stUck-bezogene Kosten- und Erlosbetrachtung verzlchtet, kostentragerbezogene Infor-matlonen konnen aber als sekundare ZlelgroBen abgeleltet werden. Der Elnsatzbe-relch 1st vor allem dort zu sehen, wo die Frelheltsgrade In der Produktlon hoch slnd.

1. Ziele und Grundlagen der Betriebsplankostenrechnung

Das Zlel der Betriebsplankostenrechnung, deren Entwlcklung auf LaBmann und Wartmann zuriickgeht (vgl. LaBmann 1968; LaBmann 1973; Wartmann 1963), 1st die perlodenbezogene Planung und Uberwachung der Produktlon. Dabel steht die kostenmdfiig fundierte Beurteilung alternativer Produktionsprogramme und -ver-fahren Im Vordergrund. Die Vlelzahl von ElnflussgroBen fuhrt dazu, dass Stuck-kosten bzw. -deckungsbeltrage nlcht als BeurtellungsmaBstab geelgnet slnd, da sle nlcht konstant, sondern das Ergebnls bestlmmter betrlebllcher Gegebenhelten (Er-zeugnlsprogramm, LosgroBen, technlsche Verfahren) slnd und dlese Konstellatlon

Marlies Rogalski konnte ihren fur diese Festschrift geplanten Beltrag uber „Betriebsmo-delle als Grundlage der Ressourcenplanung" leider nlcht mehr vollenden. Die Herausge-berinnen danken Herm Professor Dr. Hans-Ulrich Kupper und dem Schaffer-Poeschel Verlag fur die freundliche Genehmigung, stattdessen diesen Beitrag aus dem Handwor-terbuch Unternehmensrechnung und Controlling abdrucken zu durfen.

150 Marlies Rogalski t

ggf. einmalig ist (vgl. LaBmann 1983, S. 91). Als Kennziffer fiir die kurzfristige Unternehmenssteuerung dient deshalb der Periodenerfolg, der damit Grundlage fur Planung, Kontrolle und Dokumentation des Betriebsgeschehens ist. Die Be-triebsplankostenrechnung ist besonders flir Unternehmen geeignet, in denen die Freiheitsgrade bezuglich alternativer Produktionsverfahren, Einsatzstoffmischun-gen und des Produktionsprogramms hoch sind, wie z.B. in der GrundstoffIndustrie. Entsprechend liegen auch konkrete Fallbeispiele aus der Eisen- und Stahlin-dustrie vor (vgl. z.B. Bleuel 1980; ter Schuren u. Wartmann 1975; Wartmann 1963).

Die produktionstheoretische Basis der Betriebsplankostenrechnung sind Be-triebsmodelle (vgl. Franke 1972) mit linearen bzw. linearisierten EinflussgroBen-funktionen, die den Zusammenhang zwischen Faktoreinsatzen und Produktions-prozessen abbilden. Vorlaufer der Betriebsmodelle sind die statischen Input-Output-Modelle (vgl. Schweitzer u. Kiipper 1997, S. 59ff.): In dem Modell von Leontief wird jede Produktionsstelle durch einen Prozess dargestellt, der durch die Produktionsmenge als einzige EinflussgroBe determiniert wird (vgl. Leontief 1953). Physikalisch-chemische Zusammenhange werden in den Pichler-Modellen beriicksichtigt (vgl. Pichler 1961; Pichler 1966), die fiir Betriebe mit kontinuierli-cher Fertigung ausgelegt sind. Weitgehender ist Gutenbergs Theorie der Anpas-sungsformen, in der sich durch die verschiedenen Anpassungsformen nicht-lineare Input-Output-Beziehungen auf Basis verschiedener EinflussgroUen ergeben (vgl. Gutenberg 1983, S. 354ff.; Kistner 1993, S. 139ff.).

2. Aufbau der Betriebsplankostenrechnung

Ein wesentliches Merkmal der Betriebsplankostenrechnung ist die strikte Tren-nung zwischen Mengen- und Wertrechnung, Das Mengengerust wird auf der pro-duktionswirtschaftlichen Seite durch ein Betriebsmodell, auf der absatzwirtschaftlichen Seite durch ein Absatzmodell beschrieben (siehe Abb. 1). Diese Modelle erfassen die originaren produktionstechnischen bzw. absatzwirtschaftlichen sowie dispositive und kalkulatorische Zusammenhange mittels Einflussgrofien und Ein-flussgrdfienfunktionen. Durch die Bewertung mit Preisen gelangt man zu den Kos-ten bzw. Erlosen einer Periode und kann im letzten Schritt die Zielgrofie der Betriebsplankostenrechnung, den Periodenerfolg, ermitteln.

2.1 EinflussgroBen und EinflussgroBenfunktionen

Als EinflussgroBen werden im mathematisch-statistischen Sinne unabhangige Va-riablen bezeichnet, die im Rahmen eines technisch-organisatorischen Prozesses andere abhangige Variablen stochastisch oder deterministisch bestimmen (vgl. LaBmann 1968, S. 77). Sie werden als Kosteneinflussgrofien bezeichnet, wenn mit ihrer Veranderung eine Kostenveranderung verbunden ist. Zu unterscheiden sind primare EinflussgroBen und die daraus abgeleiteten sekundaren EinflussgroBen.

Betriebsplankostenrechnung 151

Primare Einflussgrofien konnen vom Untemehmen disponierbar sein (z.B. Pro-duktionsprogramm, LosgroBen, technologische Verfahren) oder extern vorgege-ben und damit fur das Unternehmen nicht disponierbar sein (z.B. Arbeitstage ei-ner Periode, Witterungsverhaltnisse). Die Disponibilitat der EinflussgroBen ist sowohl vom zeitlichen und sachlichen Bezugsrahmen der Planung als auch von Umweltbedingungen des Betriebes abhangig (vgl. Busse von Colbe u. LaBmann 1991, S. 209ff.). Sekunddre Einflussgrofien egj mit j = l,...,n (z.B. Bearbei-tungs- und Rustzeiten, Einsatzstoffbedarf) werden aus den primaren EinflussgroBen sowie bereits disponierten sekundaren EinflussgroBen sukzessiv mittels fol-gender EinflussgroBenfunktion abgeleitet:

m j'-l

^Sj =llîjegi + Y,akjegk i=\ k=l

mit: eg^ primare EinflussgroBe / eg,^ sekundare EinflussgroBe k ay.aj^j Direktbedarfskoeffizienten der primaren EinflussgroBen / bzw. der

sekundaren EinflussgroBen k fUr die sekundare EinflussgroBe 7

ZielgroBe = Periodenerfolg

Betriebs-kosten-modell

Kosten einer Periode Eriose einer Periode

k(eg) k(eg)

/ Bewertung \

e(eg) e(eg)

/ Bewertung \

primare EinflussgroBen -f(eg)-^

sekundare EinflussgroBen

Betriebsmodell

primare ^ . ^ sekundare EinflussgroBen EinflussgroBen

Absatzmodell

Absatz-erios-

modell

Abb. 1. Struktur der Betriebsplankostenrechnung

Dabei wird grundsatzlich von linearen EinflussgroBenfunktionen ausgegangen, bzw. davon, dass die Funktion fur die relevanten Teilbereiche abschnittsweise ap-proximativ linearisiert werden kann (vgl. Fischer u. Rogalski 1995, S. 55-57).

Ein Beispiel fur eine konkrete EinflussgroBenfunktion ist der Stromverbrauch eines Stahlwerkofens (vgl. LaBmann 1992, S. 304). Als primare EinflussgroBe wirkt die gesetzlich mogliche Betriebszeit (GBZ) in Stunden je Rechenperiode, sekundare EinflussgroBen sind die Menge fester Einsatzstoffe (Schrott) je Rechenperiode (FEG) sowie die Menge flussiger Einsatzstoffe (Roheisen) je Rechenperiode (REL). Der Stromverbrauch je Rechenperiode ist gegeben durch:


SV = 5,135 • FEG + 7,245 • REL + 888,047 • GBZ

Zur Ermittlung von EinflussgroBenfunktionen stehen analytische und statistische Verfahren zur Verfugung. Bei den analytischen Verfahren werden die Koeffizien-ten der EinflussgroBenfunktionen deduktiv festgelegt, indem naturwissenschaft-lich-technische Abhangigkeiten, theoretische Verbrauchsstudien oder arbeitswis-senschaftliche Erkenntnisse zugrunde gelegt werden. Statistische Verfahren leiten EinflussgroBenfunktionen aus den Istwerten vergangener Perioden regressionsana-lytisch ab. In der Praxis kann fiir die Ermittlung von EinflussgroBenfunktionen zum Teil auf Prozesssteuerungsmodelle zuruckgegriffen werden (vgl. Wartmann 1963; ter Schuren u. Wartmann 1975). Der Detaillierungsgrad dieser Modelle ist aber vielfach sehr hoch, so dass unter Wirtschaftlichkeitsaspekten EinflussgroBen mit geringerer Kostenwirkung eliminiert und nicht-lineare Beziehungen approxi-mativ linearisiert werden mussen (vgl. LaBmann 1983, S. 92).

2.2 Betriebsmodelle als Grundlage der Kostenplanung

Einflussgrofien und Einflussgrofienfunktionen bilden das BetriebsmodelU in dem die Verbrauchs- und Potenzialeinsatzfunktionen erfasst werden. Das Gleichungs-system kann in Vektor-Matrix-Notation dargestellt und in einer Strukturmatrix als allgemeines Ordnungsschema zusammengefasst werden (vgl. Sehner et al. 1974, S. 350). Abb. 2 zeigt allgemein den Aufbau einer Strukturmatrix fur eine Mengen-rechnung. Koeffizienten fur Faktorverbrauche konnen in Abhangigkeit von primaren und sekundaren EinflussgroBen angegeben werden. Im linken Teil der Strukturmatrix ist in der Kopfzeile der Vektor x der primaren EinflussgroBen enthalten. Die Matrix A enthalt in den Spalten die Koeffizienten fur Faktorverbrauche, die durch die zugehorigen primaren EinflussgroBen determiniert werden; die Zeilen konnen als Verwendungsnachweis der Faktorarten interpretiert werden.

Primare EinflussgroBen (x = m - dimensionaler Vektor)

Sekundare EinflussgroBen (f = n - dimensionaler Vektor)

Faktorverbrauche

- dimensionaler Vektor

f

X

Verbrauchskoeffizienten A = N * M - Matrix

f

^vv Nullwerte

^ \ y

^ \ i / VerbrauchskoeffizienteriV. B = N*N-Matrix ^ \

G) A-^

Abb. 2. Allgemeiner Aufbau der Strukturmatrix


Der Vektor / wird als Vektor der sekunddren Einflussgrofien in die Kopfzeile der Matrix B^ iibertragen; Koeffizienten fllr Faktorverbrduche in Abhangigkeit sekundarer EinflussgroBen werden in der Matrix B erfasst. Die Strukturmatrix enthalt das lineare Gleichungssystem der Faktorverbrauchs-EinflussgroBen-Beziehungen. Zyklen sind nicht zugelassen. Der Vektor / kann zeilenweise er-mittelt werden

(^/Iv

(^/Iv

'^îm)'^ î

• .« /m)-^ + (^/lv "A,i ffll

- l ) -

l /-lJ = f/

ftir / = 1

fiir i = 2,...

und wird zur Vereinfachung der Rechnungs- und Auswertungsprogramme weiter untergliedert (vgl. Sehner et al. 1974, S. 349). Die primdren Einflussgrofien werden in EinflussgroBen, die das Produktionsprogramm abbilden, in EinflussgroBen, die die Bedingungen des ProduktionsvoUzugs darstellen sowie eine EinflussgroBe, die die Anzahl der Planungsperioden angibt, aufgeteilt (vgl. LaBmann 1983, S. 96). Die sekunddren Einflussgrofien werden ebenfalls kategorisiert und geordnet, so dass anstelle einer zeilenweisen Ermittlung der sekundaren EinflussgroBen die Abrechnung durch Matrizenmultiplikation erfolgen kann. Abb. 3 zeigt den Aufbau einer Strukturmatrix fur einen Produktionsbetrieb, wobei Annahmen beziiglich der Beziehungen zwischen den EinflussgroBen - z.B. dass der Erzeugniseinsatzstoff-bedarf ausschlieBlich von primaren EinflussgroBen abhangt - die Struktur dieser Matrix determinieren.

ErzeugnisstoflF-

preise

Preise der Kostengiiter

fii:

EL

Erzeugnisstoff-bedarf

Fertigungszeitbedarf

der Potaizialfaktorai

Kostaigiiterbedarf

der Arbeitssysteme

SchlupfgrolJen ungaiutzter BCapazitatQi

n

12

12

Primare EinflussgroBen

Programm

xl

Al

A4

A2

Produktions-bedingungen

x2

A2

A5

AS

Perioden-anzahl

x3

A3

A6

A9

Sekundare EinflussgroBen

ErzeugnisstoflF-bedarf

n negîVe

Einheitsrmtrix

Bl

J

ErzeugnisstofF-bedarf

n

Einheitsimrix

B3

Restriktionen

b

Absatzmindest-/ -hochstmengqn

Beschaffijngs-

und Kapazitats-grenzen

Abb. 3. Strukturmatrix eines Betriebsmodells (in Anlehnung an Hahn u. LaBmann 1999, S. 333; LaBmann 1999, S. 96; Sehner et al. 1974, S. 351)

Das Betriebsmodell gibt die mengenmaBigen Beziehungen des Produktionssys-tems wieder. Fla.nkosten einer Periode konnen durch das Einfugen des Preisvek-tors (in der Abb. 3 unterteilt in p^ und P2) differenziert nach Kostenarten ermit-


telt werden. Der Vektor b enthalt Restriktionen (Absatz- sowie Beschaffungs-hochstmengen, Kapazitatsgrenzen) und ermoglicht lineare Optimierungsrechnun-gen. Dabei gehen in die Zielfunktion die Erlose der Produkte und die Kosten der Faktoren (EinflussgroBen) ein, da die produktbezogenen Stiickdeckungsbeitrage nicht eindeutig determiniert sind, z.B. weil Werkstoffe substituiert oder verschie-dene Produktionsverfahren gewahlt werden konnen (ausfuhrliches Beispiel vgl. Hahn u. LaBmann 1999, S. 334-338).

Grundsatzlich ist zur Ermittlung des Periodenerfolgs ein Absatzmodell als Basis der Erlosplanung und Erloskontrolle zu erstellen und in analoger Form in eine Strukturmatrix zu uberfuhren (vgl. Kolb 1978; LaBmann 1979; Wittenbrink 1975). Primare disponible EinflussgroBen konnen etwa Produktqualitaten, Rabattstaffeln, Vertriebswege oder sonstige absatzpolitische Instrumente sein; in Form von nicht-disponiblen EinflussgroBen konnen Konkurrenzpreise, Witterungseinflusse, Kon-junkturverlauf und Wechselkurse beriicksichtigt werden. Allerdings ist die Ermittlung von EinflussgroBenfunktionen auf der Absatzseite ungleich schwieriger als auf der Kostenseite, da sich die Beziehungen zwischen primaren und sekundaren EinflussgroBen nur schwer quantifizieren lassen und nicht fUr einen langeren Zeit-raum unverandert bleiben, da sich das Verhalten der Marktteilnehmer wandelt.

3. Anwendung der Betriebsplankostenrechnung

3.1 Periodenbezogene Produktions- und Kostenplanung

Die periodenbezogene Planung, Dokumentation und Kontrolle des Erfolges ist zentraler Rechnungszweck der Betriebsplankostenrechnung. Dabei wird tiber die Ermittlung von Eingangsdaten fiir Planungsmodelle hinausgegangen, indem die Programmplanung und wesentliche Telle der Vollzugsplanung in das Rechensys-tem integriert werden. Periodenkosten konnen fur alternative Vorgaben der primaren EinflussgroBen ausgewiesen werden. Diese Simulation verschiedener Produk-tionssituationen ist insbesondere fur die kurzzyklische Serien- und Sortenfertigung sinnvoll, die durch haufig wechselnde Produktionsprogramme, Verfahrensande-rungen durch LosgroBenvariation und Anderung der Sorten- und Serienfolgen ge-kennzeichnet ist. Im Rahmen der periodenbezogenen Produktions- und Kostenplanung wird die Trennung in Mengen- und Wertrechnung beibehalten. Bei kalkulatorischen Kostenarten (z.B. Abschreibungen) kann die Mengenkomponente eine fiktive GroBe sein und als Geldbetrag ausgedrtickt werden (vgl. LaBmann 1983, S. 93). Fiir gewahlte EinflussgroBenkonstellationen werden im ersten Schritt die Primarbedarfe mengenmaBig errechnet und Engpasse ermittelt.

Die Bewertung mit Preisen erfolgt in einem zusatzlichen Schritt. Dadurch werden die Kostenwirkungen alternativer betrieblicher Dispositionen aufgezeigt. Zu-dem wird es durch die explizite Einfuhrung des Preisvektors moglich, die Preise als weitere EinflussgroBe zu beriicksichtigen. Auswirkungen von Preisanderungen auf die Kosten sind unmittelbar zu erkennen, und AnpassungsmaBnahmen (Substi-tutionsprozesse) konnen eingeleitet werden (vgl. LaBmann 1973, S. 8). Bei ent-


sprechender Struktur kann das Betriebsmodell als Optimierungsmodell verwendet und so die Produktions- und Kostenplanung mit entsprechenden Verfahren gelost werden (vgl. LaBmann 1983, S. 90).

3.2 Abweichungsanalysen im Rahmen der Produktions- und Kostenkontrolle

Die Trennung von Mengen- und Wertgeriist und die explizite Beriicksichtigung mehrerer EinflussgroBen ermoglichen eine differenzierte Abweichungsauswer-tung. Die Gesamtabweichungen lassen sich trennen in Plan- und Verbrauchsab-weichungen. Planabweichungen ergeben sich aus der Gegeniiberstellung von Plan- und Sollkosten und sind das Resultat einer wissentlichen Veranderung der Planvorgaben wahrend der Realisationsphase (Programmanderungen, Verfahrens-abweichungen, Substitution von Werkstoffen). Verbrauchsabweichungen ergeben sich aus der Gegeniiberstellung von Soil- und Istkosten und konnen auf Unwirt-schaftlichkeit im Vollzug hinweisen. Liegen den EinflussgroBenfunktionen statis-tisch ermittelte Koeffizienten zu Grunde, handelt es sich bei den Sollkosten um Durchschnittswerte und es ist eine Streuung der Daten zu tolerieren. Abweichun-gen, die auBerhalb der Toleranzgrenzen liegen, sind genauer zu untersuchen. Wenn alle wesentlichen EinflussgroBen im Betriebsmodell abgebildet wurden, konnen Entstehungsort, Ursachen sowie Verantwortung der Abweichungen sehr differenziert aufgezeigt werden.

3.3 Kostentragerkalkulation

Die Kostenarten- und die Kostenstellenrechnung sind durch Erfassung der Ein-flussgroBen und Faktorverbrauche in der Strukturmatrix integriert. Eine sich an-schlieBende Kostentragerrechnung ist nicht zwangslaufig vorgesehen. Es werden weder Teil- noch Vollkosten auf die Kostentrager verrechnet, da die Gesamtkos-ten einer Periode ermittelt werden. Fiir die Produktions- und Absatzplanung wird eine stUckbezogene Kosten- und Erlosrechnung nicht fur sinnvoll erachtet, da durch die Beriicksichtigung mehrerer EinflussgroBen auch bei einem qualitativ und mengenmaBig konstanten Produktionsprogramm die Bandbreite der mogli-chen Kostentragerstuckkosten bzw. -erlose zu groB ist (vgl. LaBmann 1983, S. 91). Die Ableitung von Kostentragerinformationen als sekunddre Zielgrofien ist aber moglich und notwendig, z.B. fiir Bestandsbewertungen, Ermittlung zwischenbe-trieblicher Verrechnungspreise und Vorkalkulation. Da die Informationen in ele-mentarer Form in der Strukturmatrix erfasst sind und rechentechnisch aus dieser herausgelost werden, kann die Kostentragerrechnung sowohl auf Voll- als auch auf Teilkostenbasis in beliebiger Abstufung und Gliederung erfolgen (vgl. Schweitzer u. Kupper 1998, S. 366).


4. Einordnung der Betriebsplankostenrechnung

Die Relative Einzelkostenrechnung steht der Betriebsplankostenrechnung insofem konzeptionell nahe, als auch in diesem System die strikte Trennung von Mengen-und WertgerUst und die Erfassung von EinflussgroBen und EinflussgroBenfunktio-nen als wesentliche Bestandteile eines Kostenrechnungssystems gesehen werden (vgl. Riebel 1956, S. 285-289). Dabei wird in der Betriebsplankostenrechnung ausdrucklich berlicksichtigt, dass viele Kostenarten nicht nur von einer Einfluss-groBe, sondern haufig von mehreren EinflussgroBen unterschiedlicher Art und Starke abhangen (vgl. LaBmann 1968, S. 68). Die Strukturmatrix kann aufgrund ihrer Flexibilitat bezUglich verschiedener Auswertungsrechnungen als formalisier-te Grundrechnung im Sinne von Schmalenbach und Riebel (vgl. Schmalenbach 1956, S. 280; Riebel 1964, S. 84) interpretiert vêrden. Wesentliche Unterschiede ergeben sich aus der Auffassung des Periodenerfolgs als Kennziffer fiir die kurz-fristige Unternehmenssteuerung in der Betriebsplankostenrechnung, was von Riebel abgelehnt wird (vgl. LaBmann 1983, S. 88).

Wahrend in fruheren Veroffentlichungen noch die Nahe zur Relativen Einzelkostenrechnung betont wurde (vgl. LaBmann 1968, S. 69), wird die Betriebsplankostenrechnung in letzter Zeit eher als eine Erganzung und Modifikation der Grenzplankostenrechnung (vgl. LaBmann 1983, S. 90) bzw. der flexiblen Plankos-tenrechnung (vgl. LaBmann 1992, S. 300) gesehen. Eine Weiterentwicklung ge-geniiber der Plankostenrechnung ist insbesondere darin zu sehen, dass wesentliche Telle der Produktionsplanung simultan mit der Kostenrechnung durchgefUhrt werden und dabei multiple lineare EinflussgroBenfunktionen mit mehreren unabhan-gigen Variablen berlicksichtigt werden. Weitere Unterschiede bestehen in der Aufspaltung in Mengen- und WertgerUst anstelle der unterjahrigen Verwendung von Planpreisen in der flexiblen Plankostenrechnung (vgl. ausfiihrlicher zu kon-zeptionellen Unterschieden LaBmann 1992, S. 315-316; LaBmann 1983).

Im Hinblick auf die gestiegenen Gemeinkosten in den indirekten Bereichen ist zu fragen, ob eine Ubertragung der Vorgehensweise fiir den Fertigungsbereich auf die indirekten Bereiche moglich ist. Gerade fiir diese Bereiche wird immer wieder betont, dass die Produktionsmenge als alleinige EinflussgroBe nicht geeignet ist, um das Verhalten von Gemeinkosten abzubilden. Die Prozesskostenrechnung ver-sucht, diesen Mangel zu beheben, indem Prozesse mit weiteren EinflussgroBen als Kalkulationsobjekte eingefuhrt werden. Die Eignung der Prozesskostenrechnung als System zur Entscheidungsunterstiitzung leidet jedoch haufig darunter, dass diese EinflussgroBen letztlich durch die Schliisselung der Prozesskosten auf Kos-tentrager nivelliert werden. In der Betriebsplankostenrechnung werden viele pro-zessorientierte Einflussgrofien (z.B. Anzahl der Lose, Anzahl der Varianten) und deren Faktorverbrauchskoeffizienten bereits berlicksichtigt. Prinzipiell kann eine verstarkte Integration weiterer EinflussgroBen in das Betriebsmodell die Kosten-planung auch fiir die indirekten Bereiche verbessern. Dies setzt aber das Vorhan-densein von linearen bzw. zu linearisierenden Kostenfunktionen sowie die Beein-flussbarkeit der Kosten voraus.


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Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

Susanne Sonntag

noventum consulting GmbH, Munster

1. Problemstellung

Die Gutenberg'sche Theorie der Anpassungsformen bildet den Kern einer be-triebswirtschaftlichen Theorie der Produktion. Sie modelliert die Produktivitatsbeziehungen an den einzelnen, an der Produktion beteiligten maschinellen Anlagen.

Gutenberg stellt dabei schon in der ersten Auflage des ersten Bandes seiner „Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre" die Bedeutung der technischen Rah-menbedingungen der Produktion fur die Abbildung der Produktivitatsbeziehungen heraus. So verwendet er das Beispiel eines Motors, dessen Brennstoffverbrauch und PS-Leistung von der Drehzahl abhangen, sowie des WerkzeugverschleiBes von Dreh-, Fras- und Hobelbanken, der mit den Schnittgeschwindigkeiten bzw. der Hubzahl variiert.^ Eine weitergehende Diskussion der Auswirkungen der Vari-ierbarkeit derartiger technischer Parameter auf die Abbildung und die Eigenschaften der Produktivitatsbeziehungen erfolgt jedoch nicht.

Ziel dieses Beitrags ist es zu zeigen, wie die Variierbarkeit mehrerer technischer StellgroBen in die Gutenberg-Produktionsfunktion integriert werden kann und welche Auswirkungen sich daraus ftir deren Eigenschaften ergeben. Im Fol-genden werden daher zunachst die Eigenschaften der Produktivitatsbeziehungen der Gutenberg-Produktionsfunktion in der traditionellen Form dargestellt und an-schlieBend um die Berucksichtigung mehrerer technischer StellgroBen erweitert.

1 Vgl. Gutenberg (1951), S.222f.

160 Susanne Sonntag

2. Eigenschaften der Gutenberg-Produktionsfunktion mit der Intensitat als einziger StellgroBe

2.1 Verbrauchsfunktionen und Anpassungsformen

Bei der Frage nach den Bestimmungsfaktoren des Faktoreinsatzes geht die Theo-rie der Anpassungsformen davon aus, dass ein betriebswirtschaftlich relevantes Produktionsmodell berticksichtigen muss, dass der eigentliche Transformations-prozess an den einzelnen an der Produktion beteiligten maschinellen Anlagen stattfindet. Es gilt also zunachst, die Produktivitatsbeziehungen an den einzelnen Maschinen zu untersuchen, wobei Maschinen gleichen Typs zu Produktionsstellen zusammengefasst werden konnen.^ Die Produktivitatsbeziehungen der einzelnen Produktionsstellen lassen sich dann zu einem Produktionsmodell fur den gesamten Betrieb aggregieren.^

Jede Produktionsstelle erbringt einen maschinenspezifischen Output x, der in der Anzahl an Arbeitsverrichtungen, die die Produktionsstelle in der Betrach-tungsperiode erbringt, gemessen wird/ So ist der maschinenspezifische Output ei-ner Drehmaschine das Volumen an in der Betrachtungsperiode abgehobenem Span, der maschinenspezifische Output einer Bohrmaschine die Anzahl der in der Periode gebohrten Locher eines bestimmten Durchmessers usw.

Produktionsstellen weisen dartiber hinaus spezifische technische Eigenschaften z = (zj , . . . , z ) auf, die die Faktorverbrauchsmengen beeinflussen konnen. So ist beispielsweise der WerkzeugverschleiB einer Drehbank oder der Einsatz an Be-triebsstoffen wie Energie, KUhl- und Schmiermitteln abhangig von der Beschaf-fenheit des Werkzeugstahls oder von den Einstellungen von Vorschub, Schnitttie-fe und Schnittgeschwindigkeit.^ Dieser „Kranz der technischen Eigenschaften der Anlage"^ wird von Gutenberg als z-Situation bezeichnet, flir die weiteren tJberle-gungen jedoch als konstant vorausgesetzt.^

Die Leistung einer Produktionsstelle wird durch die Produktionsgeschwindig-keit d als maschinenspezifischer Output x, der je Zeiteinheit t erbracht wird, gemessen:

d = xlt

Sie kann in der Regel innerhalb eines technisch vorgegebenen Intervalls [d"^^ .d"^^^] variiert werden. Die Produktionsgeschwindigkeit determiniert nicht nur die Ausbringungsmenge, die in einem bestimmten zeitlichen Intervall reali-

2 Vgl. Gutenberg (1983), S. 326ff. 3 Vgl. Gutenberg (1983), S. 332 u. 336 und insbesondere Kloock (1969). 4 Vgl. Krelle (1969), S. 42ff.; Kilger (1958), S. 54f. 5 Vgl. Gutenberg (1983), S. 326. 6 Gutenberg (1983), S. 330. 7 Vgl. Gutenberg (1983), S. 330.

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion 161

sierbar ist, sondern auch die zur Herstellung einer Outputeinheit benotigten Fak-toreinsatzmengen.

Der Zusammenhang zwischen der Leistung einer Anlage und den zur Leis-tungserstellung benotigten Faktoreinsatzmengen wird in Verbrauchsfunktionen er-fasst. Diese geben fur jeden Produktionsfaktor / die Einsatzmenge r^ je Ausbrin-gungsmengen-Einheit x

a^^rjx

in Abhangigkeit von der Produktionsgeschwindigkeit d an:

ai=ai(d) (i = l,...,n)

Grundsatzlich ist es fur alle Einsatzfaktoren moglich, empirische Verbrauchsfunktionen zu ermitteln. Innerhalb des Modells der Theorie der Anpassungsformen ge-niigt es jedoch zunachst, plausible Annahmen uber ihre Verlaufe zu treffen.

So diirften die Verbrauchsfunktionen fiir Rohstoffe oder Bauteile, falls kein von der Produktionsgeschwindigkeit abhangiger Ausschuss auftritt, konstant, fUr Be-triebsstoffe wie Energie und Kiihlmittel sowie fur Rohstoffe, fur die es eine ver-brauchsoptimierende Produktionsgeschwindigkeit gibt, hingegen u-formig verlau-fen. Objektbezogene Arbeit fuhrt bei Zeitlohn zu konvexen, monoton fallenden Verbrauchsfunktionen; bei Akkordlohn ist die Verbrauchsfunktion unabhangig von der Produktionsgeschwindigkeit und damit ebenfalls konstant.

Bei der Ermittlung der Verbrauchsfunktionen fUr den Betriebsmitteleinsatz sind zwei Aspekte zu berucksichtigen: Die Einsatzdauer der Anlage und damit auch die Anzahl der durchfuhrbaren Arbeitsverrichtungen ist durch die Endlichkeit des Planungshorizonts begrenzt. Durch eine Erhohung der Produktionsgeschwindigkeit sinkt die zeitliche Inanspruchnahme der Anlage je Arbeitsverrichtung; die Verbrauchsfunktion fur den zeitlichen Anlageneinsatz ist somit ebenfalls konvex und monoton fallend. Zum anderen unterliegen die einzelnen Bauteile der Anlage einem NutzungsverschleiB. FUr diesen konnen analog zum Werkstoffverbrauch u-formige Verlaufe angenommen werden.^ ZeitverschleiB, KatastrophenverschleiB u.a. sind nicht durch die Produktion verursacht und somit auch nicht durch Pro-duktionsmodelle zu erfassen.

Der gesamte Faktoreinsatz einer Periode ergibt sich durch Multiplikation der Verbrauchsfunktion mit der in der Periode realisierten Ausbringungsmenge x. Er lasst sich durch Faktoreinsatzfunktionen r^ ausdriicken:^

r^ =ai(d)'X (i = \,...,n)

Die Hohe der Ausbringungsmenge einer Produktionsstelle im Betrachtungsinter-vall [0,r] hangt von der Einsatzzeit t einer jeden in der Produktionsstelle einge-setzten Maschine, von der Anzahl der dort eingesetzten Anlagen A und von der

8 Vgl. z.B. Betge, 1983, S. 24ff. 9 Vgl. Kistner (1993a), S.145f.

162 Susanna Sonntag

Produktionsgeschwindigkeit d, mit der diese betrieben werden, ab. Sie wird darge-stellt als Leistungsfunktion:

x = d't'N

Einsetzen der Leistungsfunktion in die Faktoreinsatzfunktionen liefert:

rj =aj(d)'d't'N (i = \,...,n)

Aus diesen Beziehungen wird deutlich, dass die Produktionsgeschwindigkeit d in Verbindung mit der Anzahl der eingesetzten Betriebsmittel A und deren Einsatz-dauer t sowohl die Hohe des Outputs als auch die des Faktoreinsatzes determi-niert. Die Faktoreinsatzmengen hangen somit nicht unmittelbar, sondern mittelbar liber diese Entscheidungsparameter von der Hohe des geplanten Outputs ab (vgl. Abb. 1).

Geplante Aus-bringungsmenge

v^ . ^ A ^ — _ _ _ _ ^

Entscheidungs-variablen

y f , - ^ n :

~ — — • ( i ^ ^ ^ — -

Faktoreinsatzmengen

- ^^^ n ^^^r:^^^ ^2

= ^ ^ r „

Abb. 1. Entscheidungsvariablen der Theorie der Anpassungsformen

Da die Hohe der Ausbringung einer Produktionsstelle von den drei Parametern Laufzeit der Anlagen, Anzahl eingesetzter Anlagen und Produktionsgeschwindigkeit determiniert wird, unterscheidet Gutenberg drei Moglichkeiten der Anpassung an veranderte Beschaftigungssituationen:^^

1. Zeitliche Anpassung: _ Die verfugbaren Anlagen N werden bei konstanter Produktionsgeschwindigkeit d nur wahrendder Zeitdauer t<T eingesetzt, die erforderlich ist, um die geplante Ausbringungsmenge x^ zu erzeugen; wahrend des verbleibenden Teils der Pla-nungsperiode stehen die Anlagen still:

x^ =d-t'N

und r^ = a^{d)'d't'N

t=xl{d'N)<T

• Vgl. Kistner (1993a) S. 147; Steven (1998), S. 129ff.


2. Quantitative Anpassung: _ Es werden bei konstanter Produktionsgeschwindigkeit d und konstanter Laufzeit T so viele Maschinen N<N eingesetzt, wie zur Erzeugung der Leistung x^ be-notigt werden.

x"" =d'T'N ^ N = [xy(d'T)]+l<N

und ri=ai(d)''d-T'N (i = \,...,n)

wobei [z] die groBte ganze Zahl kleiner als z bezeichnet.

2. IntensitatsmaBige Anpassung: Bei intensitatsmaBiger Anpassung wird die Ausbringung x^ bei konstanter Laufzeit T und konstanter Anzahl eingesetzter Anlagen N ausschlieBlich durch die Variation der Produktionsgeschwindigkeit d e [d^^^,d^^^] realisiert.

x^=d-T-N ^

und ri=aXd)-d-T-lv

mit x° e [x™" ,x"""], wobei gilt: ^min ^ ^ m i n . y , . ^ Und

d"^ <d = x^l{T-N)<d'

(/• = 1,...,«)

^max ^^max ^j^Jj

3. Mischformen Uber diese reinen Anpassungsformen hinaus besteht die Moglichkeit, diese - je nach den zugrunde liegenden betrieblichen Gegebenheiten - miteinander zu kom-binieren (zeitlich-quantitative bzw. zeitlich-intensitatsmaBige Anpassung) oder, falls eine zeitliche Anpassung nicht moglich ist, mit wechselnden Produktionsge-schwindigkeiten zu arbeiten (Intensitatssplitting).

Die Entscheidung, welche Form der Anpassung zu wahlen ist, kann zum einen technisch bedingt sein, wenn, wie z.B. bei einem Hochofen, eine zeitliche Anpassung nicht moglich ist oder Maschinen eingesetzt werden, deren Leistung sich nicht variieren lasst, oder aus okonomischen Entscheidungen resultieren. In die-sem Fall erfolgt die Argumentation jeweils uber die aus den Verbrauchsfunktionen abgeleiteten Kostenfunktionen.

Die Differenzierung von zeitlicher und quantitativer Anpassung, die kostenthe-oretisch wegen der Notwendigkeit der Berticksichtigung sprungfixer Kosten bei der Inbetriebnahme der Anlagen sinnvoll ist, ist produktionstheoretisch nicht er-forderlich. Da zu einer Produktionsstelle nur Maschinen gleichen Typs mit identi-schen Verbrauchsfunktionen gehoren, konnen die zeitliche und die quantitative Anpassung produktionstheoretisch zur zeitlich-quantitativen Anpassung mit der Interpretation des Entscheidungsparameters t<T als Maschinenlaufzeit bzw. zeitliche Kapazitat der gesamten Produktionsstelle zusammengefasst werden. Die Anzahl der Entscheidungsvariablen reduziert sich somit auf 2, namlich d und 0-

164 Susanne Sonntag

2.2 Eigenschaften der Gutenberg-Produktionsfunktion

Die Herleitung von Isoquanten und Produktionsfunktionen bei partieller Faktorva-riation und von deren Eigenschaften zur Beschreibung der Gutenberg-Produktionsfunktion ergibt sich aus deren Zusammenhang zur Linearen Aktivitatsanaly-se. ^ Wie Albach gezeigt hat, konnen Verbrauchsfunktionen - unter bestimmten Voraussetzungen - als Verallgemeinerung von Produktionsprozessen angesehen werden:^^

Ein Produktionsprozess im Sinne der Linearen Aktivitatsanalyse ist wegen der Proportionalitatseigenschaft linearer Technologien durch die zugehorigen Produk-tionskoeffizienten eindeutig determiniert; ebenso charakterisieren die Verbrauchsfunktionen und die Leistungsfunktion die Faktoreinsatzmengenverhaltnisse einer Produktionsstelle. Zu gegebenen Verbrauchsfunktionen a^ = a (<i) und gegebener Leistung^sfunktion x = d't erzeugt jede zulassige Produktionsgeschwindigkeit (i"^ <cl < d^^^ bei gegebenem zeidichen Einsatz der Produktionsstelle i eine Aktivitat im Sinne der linearen Aktivitatsanalyse:^^

y = (r^(d),r2(d),.,.,r„(dXx) = (a^(d)' x,^

mit x = d 't

Jede Produktionsgeschwindigkeit d e[d^^^ ,d^^^] determiniert somit einen Pro-duktionspunkt im 9i"^^.

Wenn die Einsatzzeit t der maschinellen Anlagen einer Produktionsstelle stetig variiert werden kann, dann gilt, dass Ausbringungsmenge und Faktoreinsatzmen-gen linear mit dem zeitlichen Einsatz der Produktionsstelle variieren:

x = d't

r. =ai(d)'d't (/ = !,...,«)

Damit sind sowohl die Faktoreinsatzmengenverhaltnisse

u

als auch die Produktionskoeffizienten

X

fur gegebene Produktionsgeschwindigkeit konstant fur alle Faktoren ij = \,..,,n mit / ^ j und r > 0 bzw. x > 0. (*) beschreibt somit immer dann einen Produk-

11 Vgl. Sonntag (2004), S. 48ff.; Kistner u. Sonntag (1993) S. 1297ff.; Kistner (1993a), S. 144f.

12 Vgl. Albach (1962), S. 154ff. 13 Vgl. Kistner (1993a), S. 145.


tionsprozess im Sinne der linearen Aktivitatsanalyse, wenn eine zeitliche Anpas-sung der Anlage moglich ist.

Das Vorgehen lasst sich fiir zwei Produktionsfaktoren anhand von Abb. 2 gra-phisch verdeutlichen: Die Verbrauchsfunktionen fiir die beiden Faktoren sind im II. bzw. im IV. Quadranten abgebildet. Die Faktoreinsatzmengen rj und 2 sind auf den positiven, die Intensitat d ist auf den negativen Achsenabschnitten abge-tragen. Dies bedingt, dass jeweils der Absolutwert abzulesen ist. Die Produktions-geschwindigkeiten d^, d^ und d^ determinieren iiber die Verbrauchsfunktionen ai{d) und a2{d) drei Aktivitaten, die im I. Quadranten als Produktionspunkte dargestellt sind:

0 X 0 0 i \ y={ala\A) y'={alal\)

Nur durch eine Variation der Einsatzzeit bei gegebener Produktionsgeschwindig-keit (zeitliche Anpassung) konnen Produktionspunkte auf den Geraden durch den

o n 1 1 9 9

Koordinatenursprung und die Punkte {a^âj), (îj^î) ^^^ (^15^2) erzeugt werden; diese reprasentieren die den Produktionsgeschwindigkeiten d^, d^ und d^ entsprechenden Produktionsprozesse.

Abb. 2. Konstruktion von Produktionsprozessen aus Verbrauchsfunktionen

166 Susanna Sonntag

Aus Verbrauchsfunktionen konnen also nur dann mehrere Produktionsprozesse abgeleitet werden, wenn sowohl die Produktionsgeschwindigkeit als auch die Einsatzzeit der Anlagen variabel sind (zeitlich-intensitatsmaBige Anpassung).

2.2.1 Eigenschaften der Gutenberg-Produktion In den reinen Anpassungsformen

Bei zeitlicher bzw. zeitlich-quantitativer Anpassung erfolgt die Produktion entlang eines Prozessstrahls. Die (gegebene) Produktionsgeschwindigkeit determiniert die Produktionskoeffizienten. Jede zulassige Ausbringungsmenge

x^ =d't<d'T

lasst sich in

t=x^/d<T

Zeiteinheiten realisieren. Dies^ determiniert dann die zur Produktion notwendigen Faktoreinsatzmengen r^ = ai(d)'d-t, (/ = 1,...,«). Die Isoquante besteht aus ei-nem Punkt im ^""^ .

Die Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation und der Expansionspfad sind linear, denn: Die lineare Erhohung der Einsatzmenge eines als variabel ange-nommenen Faktors erfolgt durch die Erhohung der Laufzeit der Anlage. Damit steigt die Ausbringungsmenge so lange linear an, wie Kapazitaten der als konstant angenommenen Faktoren zur Verfugung stehen.

Bei rein intensitatsmaBiger Anpassung ergibt sich fUr jede zulassige Ausbringungsmenge X^G[X"^\X"^"^] eine Produktionsgeschwindigkeit, mit der diese zu erzielen ist:

Diese determiniert wiederum die zur Produktion notwendigen Faktoreinsatzmengen r^=^ ai{d)'d'T, (i = \,...,n). Die Isoquante besteht ebenfalls aus einem Punkt im 9i"^'. Wegen der mit der Produktionsgeschwindigkeit variierenden Produktionskoeffizienten verandern sich die Faktoreinsatzmengenverhaltnisse mit der Produktionsgeschwindigkeit. Der Expansionspfad ist nicht-linear.

Die Produktionsfunktion bei Variation des Faktors 1 und gegebenen Bestanden r^ der Faktoren i = 2,...,n lasst sich aus der Faktoreinsatzfunktion des Faktors 1

r,(d) = a,id)'d'T

ermitteln. Da jede Ausbringungsmenge x mit genau einer zugehorigen Produktionsgeschwindigkeit d = x/T realisierbar ist, ergibt sich die ausbringungsbezoge-ne Faktoreinsatzfunktion zu:

Ri(x) = ai(x/T)'X

Die Inverse der ausbringungsbezogenen Faktoreinsatzfunktion ergibt die Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation:


x = fi(rO = Ri(ri) [rr <r^<rr'']

Die Ausbringung lasst sich so langc crhohen, bis entweder dcr Bestand cines kon-stantcn Faktors ausgeschopft ist (ic) oder die maximale Produktionsgeschwindig-kcitcrrcichtist(x"'^'').

Im Fall konvcxer Verbrauchsfunktionen weisen die (ausbringungsbczogenen) Faktorcinsatzfunktionen und damit auch deren Inverse maximal cincn Wendc-punkt auf. Falls die Faktorcinsatzfunktionen monoton sind, ergibt sich dcr in Abb. 3 skizzicrte s-formige Verlauf. FUr nicht-monotone Faktorcinsatzfunktionen und nicht-konvexe Verbrauchsfunktionen lasscn sich keinc allgemcincn Aussagen tref-fen.

Abb. 3. Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation bei rein IntensitatsmaBiger Anpassung

2.2.2 Eigenschaften in den gemischten Anpassungsformen

Kann bei zeitlich-intcnsitatsmaBiger Anpassung die Produktionsgeschwindigkeit in diskreten Schritten und die Einsatzdauer der Betriebsmittcl stctig variiert wer-den, dann beschrciben die Verbrauchsfunktionen cine lineare Technologic mit ci-ner cndlichcn Zahl von Produktionsprozessen; ein Wechsel dcr Produktionsgeschwindigkeit bcdcutct cincn Prozcsswcchscl und damit cine Vcrandcrung dcr Vcrhaltnissc dcr Einsatzmcngen der Produktionsfaktorcn. Bei stctig variicrbarer Intensitat ergibt sich cine verallgemeinerte lineare Technologic mit ubcrabzahlbar viclcn linearcn Produktionsprozessen.

168 Susanna Sonntag

Durch einen Wechsel der Produktionsgeschwindigkeit ergeben sich jedoch nur dann mehrere effiziente Produktionsprozesse und damit die Moglichkeit der Fak-torsubstitution, wenn es ein Intervall (df,d^) gibt (i ^ k;i,k = l,...,n), in dem mindestens zwei Verbrauchsfunktionen gegenlaufig sind, deren Ableitungen im Intervall (df,d^) somit unterschiedliche Vorzeichen aufweisen (vgl. hierzu noch einmal Abb. 2)}'^ Dabei bezeichnen (df,d^) die Intensitaten, fiir die die Verbrauchsfunktionen der Faktoren / bzw. k ein Minimum annehmen. Da zumindest die Verbrauchsfunktion fur den zeitlichen Betriebsmitteleinsatz streng monoton fallt, bedeutet dies allgemein, dass in Gutenberg-Produktionsmodellen bei zeitlich-intensitatsmaBiger Anpassung immer dann mehrere effiziente Produktionsprozesse und damit Substitutionsmoglichkeiten gegeben sind, wenn die Verbrauchsfunktion mindestens eines Produktionsfaktors einen steigenden Ast aufweist.

Allgemein ergibt sich das Gebiet, in dem eine Substitution von Einsatzfaktoren stattfinden kann, aus der Menge derjenigen Faktoreinsatzmengenkombinationen, denen Produktionsgeschwindigkeiten aus dem Intervall [d ,d^^^ ] zugrunde lie-gen, wobei gilt: ^

d^ =mm{d^\i = l,...,n\

Zur Herleitung der Isoquante und ihrer Eigenschaften werden die Verbrauchsfunktionen durch ein Naherungspolygon approximiert, d.h. fiir die relevanten Produktionsgeschwindigkeiten im Substitutionsintervall werden endlich viele Stutzstellen J^ eingefiihrt mit:

d'=dU.,.<d^=d'^'''

Der Wert af der Verbrauchsfunktion / an der Stiitzstelle d^ ist gegeben durch:

af=a,(d') (i = l..,,n;k = l,...J)

Weiter sei tj^ die Zeit, wahrend der die Produktionsstelle mit der Intensitat d^ ar-beitet. tj^ ist im Intervall [0,T ] variierbar, wobei sicherzustellen ist, dass die ge-samte verfugbare Maschinenzeit T nicht Uberschritten wird.

Fur die Herleitung der Isoquante sollen zwei Gruppen von Einsatzfaktoren Be-rticksichtigung finden: Faktoren, deren i^mâ^zmengen zu entlohnen sind, wie beispielsweise Rohstoffe, sowie Faktoren, die in gegebenen Bestanden bereitgestellt und endohnt werden miissen wie beispielsweise die zeitliche Maschinenkapazitat Oder Zeitlohne.

Nimmt man nun ohne Beschrankung der AUgemeinheit an, dass fiir die Faktoren / = 2,...,rti Einsatzmengenkonstanz, fiir die Faktoren i = n^-\-l,...,n Be-standskonstanz gilt, dann konnen die Isoquanten fiir die Faktoren (rj,/; ) bei zeit-lich-intensitatsmaBiger Anpassung durch parametrische Variation der Einsatzmen-

14 Vgl. insbesondere Albach (1962), S. 156. 15 Vgl. auch Krelle (1969), S. 45


ge Oder des Bestandes von r, (/ = 2,...,^) im folgenden Linearen Programm ab-geleitet werden:

•d' •t^î

en Nebenbedingungen

1.4-a' k=\

n=t4' k=\

k=\

t„>Q

•h--

•d'-

-x'

-r?

h^rf

mm!

(/ = 2,.. . ,«i)

(/ = «i +! , . . . ,«)

(^ = 1,...,/)

Im Fall des Intensitatssplittings, bei dem die Maschine nicht abgeschaltet werden kann, modifiziert sich die Kapazitatsrestriktion der Anlage zu:

A : = l

Aus den allgemeinen Eigenschaften parametrischer linearer Programme^^ folgt fiir die Eigenschaften der Isoquante:

• Die Isoquanten fiir die Faktoren mit Bestandskonstanz ergeben sich als stUck-weise lineare, streng monoton fallende Kurven mit einer endlichen Anzahl von Knickpunkten, in denen Prozesswechsel als Wechsel der Produktionsge-schwindigkeit stattfinden.

• Isoquanten fiir die Faktoren mit Einsatzmengenkonstanz konnen hingegen, wie Knolmayer (1983)^^ gezeigt hat, nicht-konvexe und steigende Bereiche aufwei-sen. Den Zusammenhang verdeutlicht Abb. 4.

Ungeachtet der Struktur des linearen Programms betragt der Freiheitsgrad der Substitution genau 1. Wegen der Leistungsfunktion x = d -t ist fUr jede Hohe der Ausbringung mit der Festlegung eines der beiden Parameter Laufzeit der Anlage Oder Produktionsgeschwindigkeit auch die Hohe des anderen Parameters und da-mit die Einsatzmenge aller an der Produktion beteiligten Einsatzfaktoren festge-legt.

r^ = a^(d)'X = ai(d)'d't (i = l,...,n)

16 Vgl. Kistner (1993b), S. 59ff. 17 Vgl. Knolmayer (1983), S. 1122ff.

170 Susanne Sonntag

de[d""",d^] dG[d];,d^] deid^d"^]

'' d e[d ,d\] (InefFizienter steigender Bereich)

d e [ 2 , "''^ ] (Effizienter steigender Bereich)

Abb. 4. Isoquante bei zeitlich-intensitatsmaBiger Anpassung und Einsatzmengenkonstanz

Zur Herleitung der Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation muss, um allgemeine Aussagen Uber ihre Form herleiten zu konnen, vorausgesetzt werden, dass die Verbrauchsfunktionen konvex und die resultierenden Faktoreinsatzfunk-tionen monoton sind. Da jede Produktionsgeschwindigkeit in Verbindung mit der Moglichkeit der zeitlichen Anpassung einen Produktionsprozess i.S.d. linearen Aktivitatsanalyse definiert, wird man zunachst denjenigen Prozess einsetzen, der die wenigsten Einheiten des variablen Faktors je Ausbringungseinheit benotigt, d.h. man produziert mit der Intensitat di , fUr die die Verbrauchsfunktion des variablen Faktors ai(d) ihr Minimum annimmt. Da der Produktionskoeffizient ai(di) bei konstanter Intensitat konstant ist, steigt die Ausbringungsmenge x linear mit der Einsatzmenge r^ des variablen Faktors:

rj = ai(di )'X


und damit «i(rfi°)

Wegen der Konstanz aller Produktionskoeffizienten bei Konstanz der Produkti-onsgeschwindigkeit steigen die Einsatzmengen aller Faktoren ^ (i = 2,...,n) e-benfalls linear an. Diese zeitliche Anpassung kann solange erfolgen, bis der Be-stand eines Faktors ausgeschopft wird.

Eine weitere Erhohung der Ausbringungsmenge ist nur dann moglich, wenn durch eine Erhohung der Produktionsgeschwindigkeit Einsatzmengen des Engpassfaktors durch Einsatzmengen des variablen Faktors substituiert werden konnen. Da die Verbrauchsfunktion des variablen Faktors fiir Produktionsgeschwin-digkeiten d>d^ steigt, ist dies dann und nur dann moglich, wenn die Verbrauchsfunktion des Engpassfaktors fur d>d^ fallt. In diesem Fall kann die Ausbringungsmenge durch intensitatsmaBige Anpassung solange weiter erhoht werden, wie Einheiten der sich ergebenden Engpassfaktoren durch den variablen Faktor ersetzt werden konnen, die Verbrauchsfunktionen der Engpassfaktoren also fallen (3c), oder die maximale Produktionsgeschwindigkeit erreicht ist (vgl. Abb. 5).

Fiir das Intensitatssplitting ist zusatzlich zu beachten, dass die Maschine nicht abgeschaltet werden kann und daher Mindesteinsatzmengen rj > r^^"^ auch fiir den als variabel angenommenen Faktor zu berucksichtigen sind.

Abb. 5. Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation bei gemischten Anpassungs-formen

172 Susanne Sonntag

3. Erweiterung der Gutenberg-Produktion urn technische StellgroBen

3.1 Technische StellgroBen In Verbrauchsfunktionen

Die Frage, wie der Zusammenhang zwischen der Veranderbarkeit technischer Va-riablen (z-Situation) und der okonomischen GroBen Faktoreinsatz und Produkti-onsgeschwindigkeit, die Gutenberg anfuhrt und in den Verbrauchsfunktionen mit

Gi =ai(z^,...,z^;d) (/ = ! , . . . ,« )

bezeichnet, fur weitergehende produktionstheoretische tJberlegungen berucksich-tigt werden kann, ist Thema des folgenden Abschnitts.

Die Betrachtung kann dabei in einem statischen Produktionsmodell reduziert werden auf die Beriicksichtigung stellbarer technischer GroBen. ^ Nicht-stellbare GroBen, wie exogene (Wind- oder sonstige Wetterverhaltnisse bei Transportpro-zessen oder Lichtverhaltnisse und Luftfeuchtigkeit beim Drucken) oder endogene Rahmenbedingungen der Produktion, wie sie durch konstruktive Daten der Ma-schine, durch ihren VerschleiBzustand oder aber durch das Material des zu bear-beitenden Werkstlicks bei spanabhebenden Prozessen gesetzt werden, beeinflussen zwar die Gestalt der Verbrauchsfunktionen^^, konnen aber nicht Entscheidungspa-rameter eines statischen Produktionsmodells sein. ^

Zur Integration technischer StellgroBen in das Gutenberg'sche Produktionsmodell sind folgende Schritte notwendig (vgl. Abb. 6): ^

• Zunachst sind die unabhangig voneinander variierbaren technischen StellgroBen s^ ( r = 1,..., O zu identifizieren.

• Es sind technische Verbrauchsfunktionen als Beziehungen zwischen den Fak-toreinsatzmengen je Outputeinheit und den technischen StellgroBen zu ermit-teln:

Gi =ai(s) (/ = !,...,«)

• Aus Beziehungen zwischen den technischen StellgroBen und der okonomischen Entscheidungsvariable Produktionsgeschwindigkeit lassen sich unter Umstan-

18 Vgl. im Einzelnen Sonntag (2004), S. 102ff 1 So geben z.B. Hersteller von Werkzeugmaschinen jeweils eigene Tabellen mit Empfeh-

lungen fur die vorzunehmenden Einstellungen der technischen Parameter Vorschub und Schnittgeschwindigkeit in Abhangigkeit vom Material des zu bearbeitenden Werkstucks heraus. Schwankende exogene Rahmenbedingungen finden iiber Durchschnitts- oder an-dere anzunehmende Werte bei der Formulierung von Verbrauchsfunktionen Beriicksichtigung.

^ Kistner u. Luhmer (1988), S. 63ff zeigen, wie z-Variable als Trager des VerschleiBzu-stands einer Anlage als StellgroBen eines dynamischen Modells Beriicksichtigung finden.

1 Vgl. hierzu auch das Vorgehen bei der Ermittlung von Engineering Production Functions bei Chenery (1949).

Technische

Stellgrößen

Geplante

Ausbringung

0

x

ök. Entschei-

dungsvariablen

Faktoreinsatz-

mengen

t

N

d

1r

2r

n

r

1s

2s

t

s

(…)

(…)

(…)


den q technische StellgroBen eliminieren. Mit den verbleibenden T -t-q StellgroBen lassen sich okonomische Verbrauchsfunktionen ermitteln als

a^ = a^(sj^(d;si\l = l,...,T;l j^ k);si\ I = \,...,T'J ^ k) (/ = !,...,«)

Da die technischen StellgroBen ausschlieBlich unabhangig voneinander variier-bare GroBen darstellen, besitzen technische wie okonomische Verbrauchsfunktionen 7 - 1 Freiheitsgrade.^^

Abb. 6. Okonomische Entscheidungsvariablen und technische StellgroBen

Das weitere Vorgehen soil anhand des Beispiels einer Drehmaschine verdeutlicht werden. Hierbei lasst sich das Volumen an je Zeiteinheit abgehobenem Span durch die (stellbaren) GroBen Vorschub, Drehgeschwindigkeit und Spantiefe be-einflussen, die jeweils in Abhangigkeit von den endogenen GroBen Werkstoff und Schneidstoff variierbar sind. Vorschub, Drehgeschwindigkeit und Spantiefe beein-flussen daruber hinaus sowohl den Verbrauch von Werkstoffen wie Kiihl- und Schmiermitteln, den Energieverbrauch und den VerschleiB von Werkzeug und Bauelementen als auch die Produktionsgeschwindigkeit als die je Zeiteinheit her-gestellte Ausbringungsmenge.^^

Zunachst werden die Zusammenhange zwischen den technischen StellgroBen und der Produktionsgeschwindigkeit aufgezeigt, um diese Beziehungen im Anschluss zu nutzen, um aus den technischen Verbrauchsfunktionen okonomische herzuleiten. Die Produktionsgeschwindigkeit einer Drehmaschine als der maschi-nenspezifische Output, der je Zeiteinheit erstellt wird, lasst sich interpretieren als das Volumen an Metall, das je Zeiteinheit zerspant wird. Dieses so genannte Zeit-spanvolumen wird in ingenieurwissenschaftlichen Publikationen mit der Variablen

^ Kistner (1993a), S. 141f. zeigt auf, unter welchen Voraussetzungen die Reduktion auf die Intensitat als einzige StellgroBe auch unter Benicksichtigung mehrerer technischer StellgroBen zulassig ist.

23 Vgl. Boge (1995), S. 833ff; Haberbeck (1968), S. 907. Die technischen Daten der fol-genden Ausfiihrungen basieren im Wesentlichen auf Stepan (1981), S. 97ff

174 Susanna Sonntag

V^ bezeichnet und in [mm^/min] gemessen. Es lasst sich durch die Einstellung dreier unabhangig voneinander variierbarer technischer StellgroBen beeinflussen: "^

1. Die Schnittbewegung wird durch die Drehung des Werkstlicks erzeugt. Die Ge-schwindigkeit der Schnittbewegung bezeichnet man als Schnittgeschwindigkeit V, Sie ergibt sich als die am Drehkreis des Werkstlicks gemessene Umfangge-schwindigkeit, die bei gegebenem Durchmesser des WerkstUcks von der Dreh-zahl der Hauptspindel abhangt. MaBeinheit sind [m/min].

2. Der Vorschub s gibt an, welche Strecke das Werkzeug wahrend einer Spindel-umdrehung langs der Drehkontur zuriicklegt. Gemessen wird der Vorschub in [mm].

3. Die Schnitttiefe a [mm] hangt im Allgemeinen von der Werksttickgeometrie des Rohlings und von der verlangten Oberflachengiite des zu fertigenden Werkstlicks, also von endogenen, nicht-stellbaren GroBen ab. Sie wird fur die fol-genden Uberlegungen zunachst als konstant angenommen.

Das Zeitspanvolumen und damit die Produktionsgeschwindigkeit ergibt sich mul-tiplikativ aus diesen drei Parametern:

V^ = V^ (a, s,v) = \ .000 -a-V'S [mm^/min]

Fur eine angenommene Schnitttiefe von a = 3mm erhalt man als Zeitspanvolumen in Abhangigkeit von Vorschub s und Schnittgeschwindigkeit v:

V^ (s, v) = 3.000 'V'S [mnv'/min]

Minimale und maximale Produktionsgeschwindigkeit resultieren aus den Interval-len, in denen die technischen Variablen variiert werden konnen. Im Beispiel sei die Schnittgeschwindigkeit v im Intervall 25 bis 265 [m/min], der Vorschub s im Intervall 0,15 bis 0,75 [mm] variierbar:

V e [25; 265] [m/min]

5 e [0,15; 0,75] [mm]

Damit variiert die Produktionsgeschwindigkeit bzw. das Zeitspanvolumen im Intervall 11.250 bis 596.250 [mmVmin]:

F G [11.250; 596.250] [mmVmin]

Wegen der multiplikativen Verknupfung von Schnittgeschwindigkeit und Vorschub lasst sich jede Produktionsgeschwindigkeit (auBer der minimalen und der maximalen) mit mehreren Kombinationen von Schnittgeschwindigkeit und Vorschub erzielen, die sich als konvexe, mqnoton fallende Isogeschwindigkeitslinien darstellen lassen (vgl. Abb. 7). Fiir V^ - V^ erhalt man im Beispiel:

— V — V V = v(s;V^) = — bzw. s = s(v;V^ ) = • 3.000-^ ' 3.000-v

2 Vgl. Stepan (1981), S. 98f.; Boge (1995), S. 832.


Das Beispiel macht deutlich, wie sich die Produktionsgeschwindigkeit d in Ab-hangigkeit von den technischen StellgroBen Sj. (r = 1,...,0 abbilden lasst:

d = d{s)

Diese Abhangigkeitsbeziehungen mlissen sich nicht immer so eindeutig aus tech-nologischen Zusammenhangen ableiten lassen wie im vorliegenden Beispiel, kon-nen aber in der Regel mit Hilfe geeigneter Approximationsverfahren ermittelt werden. ^

Die Ermittlung von okonomischen aus technischen Verbrauchsfunktionen wird fur das oben eingefuhrte Beispiel der Drehmaschine anhand von 2 Einsatzfaktoren verdeutlicht: Betrachtet werden der VerschleiB des DrehmeiBels und der Energie-verbrauch. Die Verbrauchsfunktion fur den DrehmeiBelverschleiB basiert auf in-genieurwissenschaftlichen Daten; ^ beide Verbrauchsfunktionen liegen zunachst in Abhangigkeit von den technischen Parametern Vorschub und Schnittgeschwin-digkeit vor. Die Ermittlung der okonomischen Verbrauchsfunktionen erfolgt dann auf der Basis des oben skizzierten Zusammenhangs zwischen Produktionsgeschwindigkeit und technischen StellgroBen Vorschub und Schnittgeschwindigkeit.

3004

250-

200-

150-

1004

50

0 -h -f- H h -0,4 0,5

4-+ 0,7 0,8 0 0,1 0,2 0,3

Abb. 7. Isogeschwindigkeitslinien

0,6

Zur Quantifizierung des VerschleiBes von Potenzialfaktorkomponenten wird die so genannte Standzeit T als die Zeit, wahrend der die Produktionsaufgaben, fUr die die Anlage konzipiert wurde, mit hinreichender Genauigkeit erfiillt werden kon-

25 Vgl . Haberbeck (1967) . 26 Vgl. Stepan (1981), S. 98f ; Boge (1995), S. 832.

176 Susanne Sonntag

nen, ermittelt. In den Ingenieurwissenschaften wurden fur den Werkzeugver-schleiB verschiedene Standzeitmodelle mit unterschiedlichem Erklarungsgehalt entwickelt. "^ Vorschub und Schnittgeschwindigkeit als VerschleiB verursachende GroBen beriicksichtigt die sog. Depiereux'sche Standzeitgleichung^^:

s,v) = e ^ " [mm]

mit: T = Standzeit der Schneide [min] V = Schnittgeschwindigkeit [m/min] s = Vorschub [mm]

ky, is, m, n, c sind von Schnittgeschwindigkeit v und Vorschub s unabhangig und -als exogene StellgroBen - bei gegebener Schneidstoff-Werkstoffpaarung, Schnei-dengeometrie, Schnitttiefe und Schneidfltissigkeit Konstante. Fiir die Schneidstoff-Werkstoffpaarung HM P 15-Cm55N und eine Schnitttiefe von a = 3 mm er-geben sich z.B. die Parameterwerte:

^,=2,34-10"^ / > 5 , 9 1 m = 2,5 « = 1,43 c = 7,16

Die Standzeit der Schneide in Abhangigkeit von Schnittgeschwindigkeit und Vorschub betragt dann:

c „2,5 J,43 (-2,3410"^ ^ ^ - 5 , 9 1 - ^ - 7 ^ + 7 , 1 6 )

T(s,v) = e 2,5 1,43 [^^-^j

Hieraus lasst sich fiir die o.a. Schneidstoff-Werkstoffpaarung folgende technische Verbrauchsfunktion ableiten:^^

a (s y) - ^^^''"^ ^ ^ ;2.341Q-^^H-5.91.4ff-7,16) ^ ' Vz(s,v) 3000-j-v

[Schneidenverzehr I mm ]

Sie ist in beiden technischen Parametern konvex und nimmt ihr globales Minimum bei einer Schnittgeschwindigkeit v^ von v^ =71,17277 m/min und einem Vorschub ^J i.H.v. 5- = 0,288688 mm ein. WUrde zur Optimierung des Einsat-zes der Werkzeugmaschine nur der VerschleiB des DrehmeiBels zugrunde gelegt, so ergabe sich fiir die betrachtete Schneidstoff-Werkstoffpaarung eine optimale Produktionsgeschwindigkeit von

27 Vgl . B o g e (1995) , S. 841f.; Stepan (1981), S. lOlf. 28 Vgl . Konig u. Depiereux (1969), S. 20 ; Stepan (1981), S. lOlf. 29 Vgl. Sonntag (2004), S. 11 If.


Vz=6l .640,174 [mmVmin]

die mit den Parametereinstellungen

v^= 71,17277 m/min und 5^=0,288688 mm

zu realisieren ware, Sowohl ein Abweichen von dem als verschleiBoptimal ermit-telten Zeitspanvolumen als auch eine Realisierung der verschleiBoptimalen Produktionsgeschwindigkeit mit einer anderen Kombination aus Schnittgeschwindig-keit und Vorschub wtirde zu einem hoheren VerschleiB des DrehmeiBels fuhren.

Eine weitere technische Verbrauchsfunktion soil ftir den Faktor Energie einge-fUhrt werden: Betrachtet werden zwei Motoren, die Vorschub und Schnittge-schwindigkeit regulieren. Unterstellt werde die folgende (hypothetische) technische Verbrauchsfunktion:

a^(v,5) = l,37-5^-l,5-5 + l,5 + (0,45-v^-150-v + 20.000)/10.000

Sie ist ebenfalls in beiden Parametern konvex. Das globale Minimum liegt bei v^= 166,6 m/min und ^^ = 0,547445 mm; das zugehorige, den Energie-verbrauch minimierende Zeitspanvolumen betragt:

Vz = 213.122 A9 [mm^/min]

Wie die Uberlegungen zur Quantifizierung der Produktionsgeschwindigkeit ge-zeigt haben, lasst sich jedes Zeitspanvolumen (auBer dem minimalen und dem maximalen) mit mehreren Kombinationen aus Schnittgeschwindigkeit und Vorschub realisieren, die als konvexe, monoton fallende Isogeschwindigkeitslinien darstellbar sind. Die okonomische Verbrauchsfunktion erhalt damit bei Variier-barkeit zweier technischer StellgroBen neben der Produktionsgeschwindigkeit eine weitere Dimension:

a^ = Qi {s\ v{s\ V^)) bzw. Gi = a^ (v; (v; V^))

Fur das eingefuhrte Beispiel ergibt sich: Substituiert man in den technischen Verbrauchsfunktionen a^(5,v)

3.000-5

und variiert die Produktionsgeschwindigkeit V^ parametrisch, so ergeben sich (weiterhin) dreidimensionale, wegen der Nicht-Linearitat der Isogeschwindigkeitslinien nicht mehr notwendigerweise konvexe okonomische Verbrauchsfunktionen:

Qi = ai{s\v(,s\V^))

V Ftir den DrehmeiBelverschleiB erhalt man wegen v =

3000-5

178 Susanne Sonntag

1 (2,34-10-5 .i^%|^^+5,91.^-7,16)

Fiir den Energieverbrauch gilt analog:

a^(5;v(^;F2)) =

= 1,37.^'-l,5.5 + l,5 + ( 0 , 4 5 . ( 3 ^ ) ^ - 1 5 0 . 3 ^ + 20.000)710.000

Die technischen Verbrauchsfunktionen ergeben sich - wie oben beschrieben - fUr T technische StellgroBen als Abbildung 91^ -^ 9 1 . Falls sich eine technische StellgroBe durch die okonomische StellgroBe Produktionsgeschwindigkeit erset-zen lasst, bleibt die Dimension des betrachteten Problems unverandert: Auch die okonomische Verbrauchsfunktion ist eine Abbildung 9^ -> 9^1 . Technische wie okonomische Verbrauchsfunktionen besitzen T -1 Freiheitsgrade.

Anders als bei den im Rahmen der Engineering Production Functions unter-suchten produktiven Zusammenhangen bestehen diese Freiheitsgrade auch ex post, bei gegebenem Anlagenbestand.

3.2 Eigenschaften der Produktivitatsbeziehungen

Die Uberlegungen im ersten Teil dieses Beitrags haben ergeben, dass die Guten-berg-Produktionsfunktion mit der Intensitat als einziger StellgroBe in den reinen Anpassungsformen limitational ist; die Isoquante besteht aus einem Punkt im SPJ"^^. Wegen

x = d't mit d^\dr'\dr'''-\ und 0 < / < r

lasst sich bei gegebener Zeit oder Intensitat jede Hohe der Ausbringung mit genau einer Einstellung des variablen Parameters erzielen. Damit sind uber die Verbrauchsfunktionen bzw. Faktoreinsatzfunktionen auch alle Faktoreinsatzmen-gen eindeutig festgelegt.

Fur die gemischten Anpassungsformen bestehen immer dann Substitutionsmog-lichkeiten und stetige Isoquanten, wenn die Verbrauchsfunktionen fur mindestens zwei Faktoren gegenlaufig sind. FUr Faktoren mit Bestandskonstanz sind die Isoquanten konvex und monoton fallend; fiir Faktoren, deren Einsatzmengen zu be-rucksichtigen sind, konnen sich nicht-konvexe oder steigende Bereiche ergeben.

Fiir die Verbrauchsfunktionen mit mehreren StellgroBen hat sich gezeigt, dass sich die okonomischen Verbrauchsfunktionen nicht auf eine Abbildung 5 + ^ " ^ I H reduzieren lassen; es verbleiben T-\ Freiheitsgrade. Damit bestehen auch in den reinen Anpassungsformen immer dann Substitutionsmoglichkeiten und stetige Isoquanten, wenn es einen Bereich gibt, in dem die Verbrauchsfunktionen fur mindestens zwei Faktoren gegenlaufig sind.

Das Substitutionsintervall S ergibt sich wieder aus dem jeweils groBten und kleinsten Wert, fur den die Verbrauchsfunktionen Minima einnehmen:


^ = b';^']

mit s^ =min|s*|/ = l , . . . ,«| und s^ =max|5'*|/ = l,...,A7|

Fur die Herleitung der Eigenschaften der Isoquanten lassen sich die Uberlegungen des 2. Abschnitts ebenfalls ubertragen: Fur Faktoren mit Bestandskonstanz erge-ben sich konvex mono ton fallende Isoquanten; fur Faktoren, deren Einsatzmengen abzubilden sind, konnen sich nicht konvexe und steigende Bereiche ergeben.^^ Der Freiheitsgrad der Substitution ergibt sich zu {Anzahl Stellgrofien - 1}; er erhoht sich in den gemischten Anpassungsformen auf {Anzahl Stellgrofien}.

Vorgehen und Ergebnis sollen noch einmal anhand des oben eingefiihrten Bei-spiels verdeutlicht werden. Sowohl bei zeitHch-quantitativer als auch bei rein in-tensitatsmaBiger Anpassung besteht wegen

x = V,'t

eine eindeutige, lineare Beziehung zwischen der fur den Betrachtungszeitraum ge-planten Ausbringungsmenge x und der Produktionsgeschwindigkeit bzw. der Maschinenlaufzeit, mit der diese zu reahsieren ist:

V,=^ bzw. t = -^ t V,

Beriicksichtigt man aber, dass im betrachteten Beispiel jede Produktionsgeschwindigkeit unabhangig davon, ob sie sich bei rein intensitatsmaBiger Anpassung durch Festlegen der Ausbringungsmenge ergibt oder ob sie bei rein zeitlicher Anpassung von vornherein gegeben ist, mit unterschiedlichen Einstellungen der technischen Parameter Schnittgeschwindigkeit und Vorschub realisiert werden kann, dann lassen sich die tJberlegungen zur zeitlich-intensitatsmaBigen Anpassung aus dem ersten Abschnitt ubertragen: Die Variierbarkeit der technischen StellgroBen bei gegebener Produktionsgeschwindigkeit eroffnet genau dann Sub-stitutionsmoglichkeiten, wenn die Verbrauchsfunktionen einen Bereich gegenlau-figer Steigung aufweisen.

Wahlen wir zur Verdeutlichung im gegebenen Beispiel ein Zeitspanvolumen von 105.000 mm^/min. Dann ergeben sich die okonomischen Verbrauchsfunktionen a^ = ai{s\v{s\Vz)) zu:

aE{s\v{s\Vz)) =

= U7-^^- l ,5 -5 + l,5 + (0,45-(35/5)^-150-35/^ + 20000)/10000

und

- 1 (2,34-10" .- ^5Ml_+5 9i.ll^_716) ao{s.v{s\Vz)) = e ,5 i,43

^ 105.000

Das Minimum der Energieverbrauchsfunktion liegt bei

30 Zur Herleitung im Einzelnen vgl. Sonntag (2004), S. 117ff.

180 Susanne Sonntag

Sg =0,2302 [mm] mit

das des DrehmeiBelverschleiBes bei

^^=0,40512731 [mm] mit

a ^ ( 4 ) = 1,98692,

a^(^^) = 4,4.10-

Bei Variation des Vorschubs s im Intervall_5' = [0,2302; 0,40512731] bestehen bei gegebener Produktionsgeschwindigkeit Kz =105.000 Substitutionsmoglich-keiten: Eine Erhohung des Vorschubs fuhrt zwar zu erhohtem Energieverbrauch, vermindert aber den DrehmeiBelverschleifi.

Die Isoquante zu einer gegebenen Ausbringungsmenge x = x lasst sich durch parametrische Variation von S in den Faktoreinsatzfunktionen

r, =ai(s;v(s;Vz))'X

bestimmen. Ftir x = 1 und Vz =105.000 ergibt sich der in Abb. 8 dargestellte Verlauf.

^FA^^^'Z)

2,4

2,3

«£ ( 4 ) =2,1571 2,1

a£ (5£) = 1,98692^

^7= 105.000

l,00E-07 l,50£-07 2,50E-07 ^ (s V )

Abb. 8. Isoquante bei Berucksichtigung mehrerer StellgroBen

Falls nur die beiden Faktoren DrehmeiBel und Energie am Produktionsprozess be-teiligt waren, fUhrte die Realisierung von Vorschtiben auBerhalb des Substitutions-intervalls 5" = [0,2302; 0,40512731] zu Verschwendung sowohl von DrehmeiBel-verschleiBeinheiten als auch von Energie; die nicht-konvexen Bereiche der Isoquante waren ineffizient. Sind jedoch mehr als zwei Faktoren zu betrachten, so ergibt sich das Substitutionsintervall - ganz analog zum Vorgehen bei der Be-


trachtung der zeidich-intensitatsmaBigen Anpassung in der Theorie der Anpassungsformen mit der Intensitat als einziger StellgroBe - zu:

mit s^ =min\s*\i = l,...,nj und ^ =max|5'*|/ = l,...,^|

Da im betrachteten Beispiel nur zwei technische StellgroBen zur Verfugung ste-hen, betragt der Freiheitsgrad der Substitution eins: Das Zeitspanvolumen lasst sich mit mehreren Kombinationen aus Vorschub und Schnittgeschwindigkeit rea-lisieren; legt man eine der beiden GroBen fest, ergibt sich die andere zwingend.

LieBe sich im betrachteten Beispiel zu einer gegebenen Schneidstoff-Werk-stoff-Kombination auch die Schnitttiefe in definierten Grenzen variieren, dann konnte jedes Zeitspanvolumen

Vz =1000-a-v^

mit drei unabhangigen Variablen und somit mit zwei Freiheitsgraden realisiert werden. Entsprechend erhoht sich der Freiheitsgrad der Substitution auf zwei. Allgemein ergibt er sich zu {Anzahl Stellgrofien - 1}.

Da der Freiheitsgrad der Substitution in den gemischten Anpassungsformen durch den zusatzlichen okonomischen Entscheidungsparameter um einen Grad Uber dem in den reinen Anpassungsformen liegt, ergibt er sich allgemein zu 7, der Anzahl der verfugbaren StellgroBen.

Die Uberlegungen zur Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation lassen sich ebenfalls analog ubertragen. Die Leistungsfunktion ergibt sich zu:

X = d{s)' t

Die Faktoreinsatzfunktionen lassen sich aus den technischen bzw. okonomischen Verbrauchsfunktionen herleiten:

î - î{§)'^- î{§)'^(^)• ^ technische bzw. okonomische r^ = Gi (d(s), s)'X = ai (d(s), s) • d(s) • / Faktoreinsatzfunktion

Da fUr den Fall, dass es ein Intervall gibt, in dem die Verbrauchsfunktionen ge-genlaufig sind, fur alle Anpassungsformen Substitutionsmoglichkeiten bestehen, ergeben sich die Produktionsfunktionen bei partieller Faktorvariation als Ergebnis eines Optimierungsprozesses: Bei rein zeitlicher Anpassung wird zunachst dieje-nige Einstellung der technischen StellgroBen gewahlt, die bezuglich des variablen Faktors verbrauchsminimal ist. Die Erhohung der Ausbringungsmenge durch zeit-liche Anpassung ist solange moglich, bis der Bestand eines fixen Faktors oder die zeitliche Kapazitat der Anlage ausgeschopft ist. Die Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation ist linear.

Bei rein intensitatsmaBiger Anpassung ist zu jeder Produktionsgeschwindigkeit die hinsichdich des variablen Faktors verbrauchsminimale Einstellung der technischen StellgroBen zu wahlen; eine Ausdehnung der Produktion kann solange er-folgen, wie Bestande fixer Faktoren verfugbar sind oder bisdie maximale Produk-

182 Susanne Sonntag

tionsgeschwindigkeit erreicht ist. Falls die Faktoreinsatzfunktionen monoton sind, ergibt sich wieder der in Abb. 3 skizzierte s-formige Verlauf. Fiir nicht-monotone Faktoreinsatzfunktionen und nicht-konvexe Verbrauchsfunktionen lassen sich kei-ne allgemeinen Aussagen treffen.

In den gemischten Anpassungsformen wird ebenfalls zunachst mit der hinsicht-lich des variablen Faktors verbrauchsminimalen Produktionsgeschwindigkeit bei zeitlicher Anpassung produziert, bis der Bestand eines fixen Faktors ausgeschopft ist. Falls die Verbrauchsfunktion des Engpassfaktors in diesem Punkt sinkt, ist ei-ne weitere Ausdehnung der Produktion solange moglich, wie durch Variation der StellgroBen Engpasseinheiten durch Einheiten des variablen Faktors substituiert werden konnen.

Die Eigenschaften der Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation stim-men somit mit denen iiberein, die sich ohne Beriicksichtigung mehrerer techni-scher StellgroBen ergeben, sind jedoch Ergebnis eines Optimierungsprozesses.

4. Zusammenfassung

Ziel dieses Beitrags war es zu zeigen, wie die bereits in der ersten Auflage von Gutenbergs „Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre. Band 1: Die Produktion" aufgezeigte Bedeutung technischer Parameter in die Theorie der Anpassungsformen integriert werden kann und welche Auswirkungen sich daraus fUr die Eigenschaften der Produktivitatsbeziehungen ergeben.

Die Beriicksichtigung mehrerer technischer StellgroBen ftihrt hierbei auch in den reinen Anpassungsformen zu substitutionalen Faktorbeziehungen, wenn es ei-nen Bereich gibt, in dem die Verbrauchsfunktionen mindestens zweier Faktoren gegenlaufig sind. Der Freiheitsgrad der Substitution ergibt sich in Abhangigkeit von der Anzahl zu berlicksichtigender StellgroBen zu [Anzahl Stellgrofien - 1}; in den gemischten Anpassungsformen stimmt er mit der Anzahl an StellgroBen iiberein.

Die Eigenschaften der Isoquanten stimmen mit denen der Theorie der Anpassungsformen mit der Intensitat und der Laufzeit der Anlage als einzigen Entschei-dungsvariablen iiberein: Fur Faktoren, fiir die Bestandskonstanz unterstellt werden kann, sind sie konvex und monoton fallend. Fiir Faktoren, die mit ihren Einsatz-mengen abgebildet werden miissen, konnen sich nicht-konvexe oder steigende Be-reiche ergeben.

Die Eigenschaften der Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation ver-andern sich durch die Beriicksichtigung mehrerer StellgroBen nicht. Sie sind jedoch Ergebnis eines Optimierungsprozesses.


Literatur

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Dritter Teil

Produlctionsplanung

Lerneffekte in der Materialwirtschaft

Marion Steven

Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaft, Ruhr-Universitat Bochum

1. Problemstellung

In den letzten Jahren sehen sich zahlreiche Unternehmen einem immer starkeren Kostendruck ausgesetzt. Daher ist die Suche nach Moglichkeiten zur systemati-schen Reduktion der mit der Wertschopfung verbundenen Kosten von groBer Be-deutung ftir die Erhaltung der Wettbewerbsfahigkeit eines einzelnen Unterneh-mens sowie auch der Gesamtwirtschaft. Einen in der Produktionsplanung bislang wenig beachteten Ansatzpunkt zur Beschreibung von im Produktionsbereich ge-gebenen Kostensenkungspotenzialen liefert das Konzept der Lernkurve. Die Kern-aussage der Lernkurventheorie besteht darin, dass bei jeder Verdopplung der ku-mulierten Produktionsmenge die Produktionskosten um einen bestimmten Pro-zentsatz sinken. Das daraus resultierende Kostensenkungspotenzial eroffnet dem Unternehmen zusatzliche Optionen sowohl bei marktorientierten Entscheidungen als auch bei Einzelfragen der Produktionsplanung.

Ausgehend von einer Darstellung der Entwicklung und der Grundlagen der li-nearen Lerntheorie nimmt der vorliegende Beitrag eine Integration von Lemkur-ven in verschiedene Bereiche der Materialwirtschaft vor und untersucht, inwiefern Lerneffekte bei der Materialbedarfsplanung, bei der Make or Buy-Entscheidung und insbesondere bei der LosgroBenplanung eine Rolle spielen. Die Ergebnisse werden an anderen Stellen, vor allem im Zusammenhang mit der Produktion auf Abruf, gewonnenen Erkenntnissen gegeniibergestellt.

2. Die Lernkurve

2.1 Historische Entwicklung der Lernkurventheorie

Auch wenn es bereits vorher vereinzelt ahnliche Aussagen gegeben hat (vgl. Smith 1776, Babbage 1835), wird der Ursprung der Lernkurventheorie fUr die mo-derne industrielle Produktion allgemein auf die von Wright (1936) vorgenommene empirische Untersuchung der Entwicklung der Stuckkosten bei der Flugzeugmon-tage in der amerikanischen Luftfahrtindustrie zuruckgefiihrt. Der grundlegende Zusammenhang der Lernkurventheorie besteht darin, dass es bei wiederholter

188 Marion Steven

Durchftihrung gleichartiger Tatigkeiten zu Lerneffekten kommt, durch die sich die Produktivitat des betrachteten Produktionsprozesses erhoht und die demzufoige zu einer Reduktion der Stiickkosten fuhren.

Dieser Zusammenhang wird in der produktionswirtschaftlichen Literatur iibli-cherweise wie folgt formuliert (vgl. z.B. Kistner 1993, S. 234; Kistner u. Steven 2002, S. 178; Fandel 1996, S. 166; Mochty 1996, Sp. 1076):

Mit jeder Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge ergeben sich Kostensenkungspotenziale, durch die es moglich wird, die durchschnittli-chen Stiickkosten um einen konstanten Prozentsatz zu senken.

Derartige Lerneffekte konnten empirisch in verschiedenen Industriebereichen nachgewiesen werden, z.B. in Raffinerien, in Stahl- und Elektrizitatswerken, in der Papier- und Glasindustrie, in der Textilbranche sowie im Automobilbau (vgl. Hieber 1991). Dabei wurden mit der Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge erfolgende Kostensenkungen zwischen 5% und 40% beobachtet. In der deutschsprachigen Literatur etablierte Baur (1967) aus umfangreichen statisti-schen Untersuchungen das „Lerngesetz der Produktion", das zu qualitativ gleichen Aussagen kommt.

Ursachlich fur diese Reduktion der Stuckkosten bei Erhohung der kumulierten Produktionsmenge ist die systematische Ausnutzung von Kostensenkungspoten-zialen, die aus verschiedenen Ansatzpunkten resultieren. Dazu zahlen nicht nur die bei der wiederholten Durchftihrung von bestimmten Verrichtungen zunehmenden Erfahrungen der Arbeitnehmer, sondern auch produktionsgerechtere Konstrukti-onsweisen, Verbesserungen der Prozess- und der Produktqualitat, Rationalisie-rungsmaBnahmen und andere organisatorische Anderungen.

Die Lernkurve erhalt man, indem man den oben beschriebenen Zusammenhang von kumulierter Produktionsmenge und Stuckkosten formalisiert bzv . grafisch darstellt. Abb. 1 zeigt eine idealtypische Lernkurve, bei der die Stiickkosten mit jeder Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge auf 80% des Ausgangs-werts fallen.

Die formale Darstellung der Lernkurve lasst sich wie folgt herleiten: Wright (1936, S. 124) definiert einen zunachst noch von der Produktionsmenge abhangi-gen Kostenanderungsfaktor F, der sich ergibt, indem man die Produktionsmenge mit einem konstanten Abnahmefaktor potenziert. Inhaltlich entspricht dieser Kostenanderungsfaktor dem Quotienten aus den Stiickkosten der ersten Einheit und den durchschnittlichen Stuckkosten der bislang hergestellten Einheiten:

Driickt man die kumulierte Produktionsmenge X mithilfe der bereits stattgefunde-nen Verdopplungen der urspriinglichen Produktionsmenge xi aus,

X = 2'^-jci (2.2)

so lasst sich dieser Kostenanderungsfaktor in eine von der Produktionsmenge un-abhangige Lernrate LR iiberfuhren, die angibt, auf welchen Prozentsatz vom Ur-

Lemeffekte in der Materialwirtschaft 189

sprungswert die Stiickkosten bei einer Verdopplung der kumulierten Produkti-onsmenge fallen:

J_ LR

= njj = F^ <^ F = LR~'' (2.3)

kumulierte Produktionsmenge

Abb. 1. Beispiel fur eine 80%-Lernkurve

Damit lautet die Lernkurve:

k{x) LR-'' k[x = 2'' •xi)=kx'LR'' (2.4)

Bezeichnet man die Lernrate LR mit (1 - a ) , so gibt a den Prozentsatz an, um den die Stuckkosten bei einer Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge ab-nehmen.

2.2 Lemkurve und Erfahrungskurve

Neben dem Konzept der Lemkurve findet auch die von der Boston Consulting Group entwickelte Erfahrungskurve (vgl. Henderson 1974) Verwendung, um die mit der Steigerung von Produktions- bzw. Abatzmengen einhergehenden Kosten-senkungen im Zeitablauf zu beschreiben. Auch die Erfahrungskurve ist empirisch fundiert und geht typischerweise mit Kostensenkungspotenzialen von 20-30%

190 Marion Steven

einher. Zwischen den beiden Konzeptionen bestehen jedoch folgende Unterschie-de:

• Wahrend sich die Aussagen der Lernkurve auf operative Vorgange im Produk-tionsbereich beschranken, stellt die Erfahrungskurve eine Verallgemeinerung des Ansatzes fUr das gesamte Unternehmen dar und wird vor allem in der stra-tegischen Unternehmensplanung eingesetzt.

• Wahrend die Lernkurve aus unternehmensinternen GroBen - v ie Produkti-onsmengen, Arbeitszeiten und Fertigungszeiten - abgeleitet wird, resultiert die Erfahrungskurve aus marktseitigen Entwicklungen. Empirisch ist sie in erster Linie auf die Entwicklung der Marktpreise bei zunehmender Absatzmenge an-statt auf Kosten gestiitzt.

• Neben den Auswirkungen von Lernvorgangen gehen in die Erfahrungskurve weitere dynamische Effekte wie der BetriebsgroBeneffekt, Rationalisierungsef-fekte und die Auswirkungen des technischen Fortschritts sowie statische Ska-leneffekte wie der Preiseffekt und der Fixkostendegressionseffekt ein (vgl. Mochty 1996, Sp. 1075f.).

Daher wird fiir die nachfolgenden produktionswirtschaftlichen Untersuchungen ausschlieBlich auf die Lemkurve zurtickgegriffen.

2.3 Theoretische Fundierung der Lernkurve

Obwohl auch andere Verlaufe der Lemkurve denkbar sind und empirisch bestatigt wurden (fiir einen tJberblick vgl. Laarmann 2005, S. 218ff), ist die in Abschnitt 2.1 bereits implizit unterstellte Annahme einer linearen Lernhypothese, die mit ei-ner konstanten Lernrate einhergeht, in der Literatur am weitesten verbreitet (vgl. auch Kistner 1981, S. 191f.). Stellt man eine lineare Lernkurve in einem doppelt logarithmischen Koordinatensystem dar, so erhalt man eine Gerade. In Abb. 2 sind die von Wright (1936, S. 125) ermittelten Lernkurven fiir Rohmaterialkosten (Lernrate 95%), fur Zukaufteile (Lernrate 88%) und fur Lohnkosten (80%) doppelt logarithmisch dargestellt, aus deren Addition sich die Lernkurve fiir die Ge-samtkosten eines Flugzeugs ableiten lasst.

Ein groBer Vorteil der linearen Lerntheorie ist die Moglichkeit, den Kurvenver-lauf bzw. die relevanten Parameter durch Anwendung der linearen Regression zu bestimmen. Formal ergibt sich der lineare Verlauf durch Logarithmieren der in Abschnitt 2.1 hergeleiteten Beziehung fiir die Lernkurve:

k[x = 2'''Xx)=kx'i^-af fur 0 < a < l (2.5)

<=> log2 k{x) = log2 ki-^n- log2 (l - a) (2.6)

Anstelle des leicht missverstandlichen Begriffs der Lernrate (l - a ) , die ein Ab-sinken der Stiickkosten auf einen bestimmten Prozentsatz des Ausgangswerts be-schreibt, empfiehlt sich die Verwendung des Lemgrads a, der dem Absinken der

Lerneffekte in der Materialwirtschaft 191

Stuckkosten um einen bestimmten Prozentsatz des Ausgangswerts entspricht und viel besser mit dem ublichen Verstandnis als Kostensenkungspotenzial korrespon-diert. Der Lemgrad einer 90%-Lernkurve betragt somit 10%.

o u

100 1000 Production Quantity N

10000 100000

Abb. 2. Lernkurven nach Wright (1936), S. 125

Eindeutiger und eleganter ist die einheitliche Verwendung einer Lernelastizitat, die das Verhaltnis zwischen dem relativen Anstieg der kumulierten Produktions-menge und der daraus resultierenden relativen Veranderung der Kosten angibt. Die Lernelastizitat z ist definiert als:

£ =• dK X_ dx' K

mit 0 < 6: < 1 (2.7)

Die Lernelastizitat zu einer 80%-Lernkurve mit einem Lemgrad a von 20% betragt:

f = l + log2( l -a ) = 0,678 (2.8)

Aufgrund der Lerneffekte ist der Zusammenhang zwischen den Produktionskosten K und der kumulierten Produktionsmenge X nicht linear, sondem konvex, so dass sich die folgende Gesamtmengen-Lemkurve ergibt:

K{x) = ki'X' (2.9)

Dividiert man durch die kumulierte Produktionsmenge, so erhalt man die zugeho-rigeDurchschnittsmengen-Lemkurve:

192 Marion Steven

k{x) = ^ = k,.^ = k,-X^-' (2.10)

Die obigen Betrachtungen gelten nicht nur fiir die Abhangigkeit der Kosten von der kumuiierten Ausbringungsmenge, sondem analog auch fiir DurchfUhrungszei-ten bzw. Faktoreinsatzmengen, die je Stiick ebenfalls systematisch mit der kumuiierten Produktionsmenge absinken.

Neben der hier durchgefiihrten Untersuchung der durchschnittlichen Kosten der gesamten Produktionsmenge (Durchschnittsbetrachtung) kann die Lernkurve auch zur Berechnung der Kosten der letzten produzierten Einheit formuliert werden (Einheitsbetrachtung). Alternativ zu der Lernkurve nach Wright wird in der Lite-ratur die Lernkurve nach Crawford diskutiert, die sich ebenfalls sowohl in einer Durchschnittsbetrachtung als auch in einer Einheitsbetrachtung darstellen lasst (vgl. Liao 1988). Bei den in Kapitel 3 untersuchten Anwendungen der Lerntheorie wird ausschlieBlich die Durchschnittsbetrachtung nach Wright verwendet.

2.4 Einsatzbereiche der Lernkurve

Bereits in den 1940er Jahren zeigte das US-amerikanische Militar groBes Interesse an der Lerntheorie, um die bei groBeren Stuckzahlen auf Seiten der Lieferanten zu erwartenden Kostensenkungen in den Verhandlungen iiber Angebotspreise bei der Vergabe von Auftragen fiir Flugzeuge und andere GroBgerate angemessen beriick-sichtigen zu konnen (vgl. United States Army Air Forces 1947/48). Inzwischen besteht fUr Anbieter militarischer Outer in den USA die Pflicht, die Kostensenkungen aufgrund von Lemeffekten explizit zu beriicksichtigen; eine aus para-metrischen Kostenschatzungen gewonnene Lemrate wird in der Regel zum festen Bestandteil der Vertragsunterlagen und damit zur Basis fiir die wahrend der Ver-tragslaufzeit anfallenden Zahlungen des Auftraggebers.

Dariiber hinaus werden Lernkurven in vielen Produktionsunternehmen in zahl-reichen betrieblichen Entscheidungsbereichen eingesetzt, z.B. bei der Angebotser-stellung, Vorkalkulation und Kostenschatzung, bei der Produktionsprogrammpla-nung und der Terminplanung, bei der Ermittlung von Vorgabezeiten fiir einzelne Produktionsvorgange, bei Preisverhandlungen mit Kunden und Lieferanten z.B. im Rahmen langerfristiger Zuliefervereinbarungen, bei der Kostenkontrolle sowie bei der Planung von Markteintrittsstrategien (vgl. z.B. Ostwald 1992).

Weiter lassen sich erwartete Lerneffekte bei der Gestaltung von Anreizsyste-men fiir den Produktionsbereich nutzen: Vereinbart man mit den Mitarbeitern ei-nen von beiden Seiten als realistisch angesehenen Lerngrad von z.B. 5%, der in einem bestimmten Zeitraum realisiert werden soil, so fiihren dariiber hinausge-hende Kosteneinsparungen zu einer Zusatzentlohnung fiir die Mitarbeiter, wahrend bei Verfehlen dieses Zielwerts zunachst die konkreten Ursachen ermittelt werden miissen (vgl. hierzu das Konzept von Letmathe 2002, S. 235ff.).

Keine Beriicksichtigung finden Lerneffekte hingegen iiblicherweise in den zur Unterstiitzung der operativen Produktionsplanung und -steuerung eingesetzten ERP- und APS-Systemen. Diese verwenden zur Ermittlung ihrer Planungsergeb-


nisse fast ausschlicBlich statische Algorithmen. Dies lasst sich damit begriinden, dass die deutlichsten Lerneffekte in der Anlaufphase neuer Produkte auftreten, in der vielfach noch keine Unterstiitzung durch das Planungssystem erfolgt, wahrend bei der spateren Serienproduktion kaum noch weitere Lerneffekte spurbar sind. Dennoch ist zu erwarten, dass die explizite Berticksichtigung von lembedingten Rtickgangen bei Faktoreinsatzmengen, Produktionszeiten und Stuckkosten zu ei-ner Verbesserung der von den Planungssystemen ermittelten Ergebnisse fUhren wUrde. Daher wird im folgenden Kapitel exemplarisch fUr die im Bereich der Ma-terialwirtschaft anfallenden Planungsaufgaben untersucht, welchen Einfluss Lerneffekte auf die von den Ublicherweise eingesetzten Planungsmodellen generierten Losungen haben konnen.

3. Beriicksichtigung von Lerneffekten in der Materialwirtschaft

Die Materialwirtschaft ist eines der Standardmodule in Produktionsplanungs- und -steuerungssystemen. Sie ermittelt zunachst im Rahmen der StUcklistenauflosung auf der Basis der durch das Produktionsprogramm gegebenen Primarbedarfsmen-gen an Endprodukten die von den verschiedenen Materialarten herzustellenden bzw. zu beschaffenden Mengen an Bauteilen und Vorprodukten, fasst dann diese Sekundarbedarfsmengen zu wirtschafdichen LosgroBen zusammen und ermittelt schlieBlich mithilfe der Vorlaufverschiebung den spatesten Starttermin dieser Lose, der noch eine termingerechte Bereitstellung des Materials auf den nachfolgen-den Produktionsstufen sicherstellt (vgl. z.B. Kistner u. Steven 2001, S. 268ff.).

In den folgenden Abschnitten werden einzelne Teilbereiche der Materialwirtschaft daraufhin untersucht, inwieweit Lerneffekte die Planungsergebnisse beein-flussen konnen (vgl. Laarmann 2005, S. 72ff.). Da die Aufgabe der StUcklistenauflosung durch das Auftreten von materialbedingten Lerneffekten nicht bzw. nur unwesentlich beeinflusst wird, konzentrieren sich die Ausfiihrungen auf die Mate-rialbedarfsplanung (Abschnitt 3.1), die Entscheidung zwischen der Eigenfertigung Oder dem Fremdbezug eines Materials (Abschnitt 3.2) und die LosgroBenplanung (Abschnitt 3.3).

3.1 Materialbedarfsplanung

Gegenstand der Materialbedarfsplanung ist die Ermittlung der auf einer bestimm-ten Fertigungsstufe benotigten Materialmengen. Bei Vorliegen von Lerneffekten sinkt der zu einer Materialart gehorige Produktionskoeffizient bei einer Steigerung der kumulierten Produktionsmenge entsprechend dem Lemgrad ab bzw. die zuge-horige Produktivitatskennzahl steigt an. Da damit je produzierter Einheit weniger Material benotigt wird, sinken auch die Materialstiickkosten bei einem Ansteigen der kumulierten Produktionsmenge systematisch ab.

194 Marion Steven

Dieser Kostenriickgang lasst sich teils auf betriebsinterne, teils auf externe Ur-sachen zuruckfiihren: Intern reduziert sich durch Lemeffekte das Mengengertist der Materialkosten, da Verschnitt, Ausschuss usw. umso starker zuriickgehen, je besser die Mitarbeiter die Fertigungsprozesse beherrschen. Die externen Ursachen des Kostenriickgangs wirken iiber die Materialpreise, die an die Lieferanten zu zahlen sind. Zu einem Ruckgang der Materialpreise bei steigender Abnahmemen-ge kann es zum einen lernunabhangig aufgrund von bestellmengenabhangigen Rabattstaffeln oder sonstigen Nachlassen kommen, zum anderen iiber beim Lieferanten stattfindende Lerneffekte, die dieser teilweise in Form von Preissenkungen an seine Abnehmer weitergibt. Derartige lernbedingte Preisnachlasse spielen vor allem in langfristig angelegten Abnehmer-Lieferanten-Beziehungen z.B. im Rah-men des Supply Chain Management eine groBe Rolle.

Bin Beispiel fiir die Verwendung von Materiallernkurven ist in der auf Wright zurtickgehenden Abb. 2 angegeben. Generell finden reine Materiallernkurven kaum Verwendung, da insbesondere die internen Lerneffekte haufig der Fertigung insgesamt und damit der Gesamtlernkurve zugerechnet werden. Weiter liegen die Lerngrade von reinen Materiallernkurven ublicherweise deutlich unter 5% (vgl. Liebau 2002), so dass die daraus resultierenden Kostensenkungspotenziale keine separate Erfassung rechtfertigen.

3.2 Make or Buy-Entscheidung

Bei der als Make or Buy-Entscheidung bezeichneten Wahl des Bezugswegs eines Materials wird aus den unterschiedlichen Kostenstrukturen der Alternativen Ei-genfertigung bzw. Fremdbezug die kritische Bedarfsmenge ermittelt, bei der beide Alternativen zu gleich hohen Kosten fuhren. Damit lasst sich fiir jede Bedarfsmenge die kostengiinstigere Bezugsalternative ermitteln.

Typischerweise ist die Eigenfertigung eines Materials mit Fixkosten Kf fUr die Bereitstellung der Fertigungseinrichtungen und relativ geringen variablen StUck-kosten ky{x) in der Fertigung selbst verbunden, wahrend der Lieferant beim Fremdbezug einen deutlich hoheren Preis je Einheit p verlangt. Die kritische Bedarfsmenge, bei der beide Bezugsalternativen zu gleich hohen Kosten fuhren, er-gibt sich aus folgender Gleichung:

Kf -\-ky{x)'X = p'X (3.1)

Aufgrund der Kostenstruktur wird tendenziell bei geringen Bedarfsmengen dem Fremdbezug und bei hohen Bedarfsmengen der Eigenfertigung der Vorzug gege-ben (vgl. Kistner u. Steven 2002, S. 236f.). Von weiteren, nicht in den Kosten er-fassten Entscheidungskriterien - wie Flexibilitat, Unabhangigkeit oder Lieferzu-verlassigkeit - sei hier abgesehen.

Werden nun bei der Eigenfertigung Lerneffekte beriicksichtigt, die sich auf die Stuckkosten auswirken, so lautet die relevante Kostenfunktion:

k^=ki'X^-^ (3.2)


Durch die Lerneffekte wird es zu Verschiebungen bei der kritischen kumulierten Bedarfsmenge kommen, bei der beide Aiternativen zu denselben Kosten fuhren (vgl. Laarmann 2005, S. 72ff.). Diese liegt - bei Verwendung der linearen Durch-schnittstheorie nach Wright - bei konstantem Angebotspreis p des Lieferanten und bekannten anfanglichen Stuckkosten k^ bei:

*1 • • « " " ' = ? (3.3)

Trotz anfanglich hoherer Kosten der Eigenfertigung sollte diese bevorzugt werden, wenn absehbar ist, dass aufgrund von Lerneffekten die bis zum Planungsho-rizont benotigte Gesamtmenge kostengtinstiger hergestellt als zugekauft werden kann. Andererseits muss berlicksichtigt werden, dass - wie in Abschnitt 3.1 disku-tiert - auch der Zulieferer Lerngewinne realisiert, die er im Idealfall Uber gUnsti-gere Preise an seinen Abnehmer weitergibt.

Im Zusammenhang mit der Make or Buy-Entscheidung lasst sich aus der Be-dingung ftir die kritische Bedarfsmenge auch der kritische Lerngrad LG ermitteln, den ein Unternehmen mindestens aufweisen muss, damit fiir eine bestimmte Bedarfsmenge die Eigenfertigung kostengtinstiger ist als der Fremdbezug:

LG = \-2^-^ (3.5)

mit:

£: - 1 = log X ' p_

(3.6)

Das nachfolgende Beispiel ist in Abb. 3 veranschaulicht. Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung, ob es ein Vorprodukt, dessen Herstellung nicht zu seinen Kernkompetenzen zahlt, selbst produzieren oder am Markt beziehen soil. Da aufgrund der schlechten Wirtschaftslage auf einer Mehrzweckmaschine ausreichend freie Kapazitaten fiir die Fertigung des Teils verfiigbar sind, fallen bei der Eigenfertigung keine fiir die Entscheidung relevanten, zusatzlichen Fixkosten an. Die Kosten der ersten Einheit werden auf 75 € geschatzt. Aufgrund von betrieblichen Aufzeichnungen aus der Fertigung ahnlicher Produkte erwartet der Betriebsleiter bei der Eigenfertigung einen Lerngrad von 10%.

Im Fall des Fremdbezugs kommen zwei Anbieter mit unterschiedlichen Kondi-tionen in Betracht. Anbieter A liefert das Vorprodukt zu einem mengenunabhan-gigen StUckpreis von 26 €. Anbieter B gewahrt einen mengenabhangigen Staffel-preis: Bei Abnahmemengen bis 1.500 Stiick verlangt er 28 € pro Stuck, fur alle daruber hinausgehenden Einheiten nur noch 16 € pro StUck. Abb. 3 zeigt deutlich, dass bei einer statischen Betrachtung, d.h. bei Vemachlassigung von Lerneffekten, die Eigenfertigung aufgrund der erwarteten (hier allerdings nicht explizit darge-

196 Marion Steven

stellten) Kosten von 75 € je Stiick sowohl von Anbieter A als auch von Anbieter B im gesamten Kurvenverlauf dominiert wtirde.

CO

CO

i N

s

37

28

26

22.46

17.06

"

-

1 1 1 1

eigene Lernkurve (Lerngrad: 10 %)

\ v Anbieter B (Staffelpreis)

1

Lerngrad '^^ >v 12.1 % \ ^ \ .

Lerngrad ' H*^**

10.4 % 1 i 1

• |

Anbieter A

(Einheitspreis)

V^^

1 ^ ^

•A

4

100 300 653 1064 2787 17026 Kumulierte Menge X [Stk.]

Abb. 3. Beispiel zur Make-or-Buy Entscheidung mit Lemeffekten

Eine vollig andere Entscheidungssituation ergibt sich jedoch bei einer dynami-schen Betrachtung. Aufgrund des Lerneffekts bei der Eigenfertigung stellt der Einheitspreis des Anbieters A nunmehr bis zu einer Bedarfsmenge von 1.064 Stuck die kostengunstigste Alternative dar. Zwischen 1.064 und 2.787 Stuck weist die Eigenfertigung die geringsten Kosten auf, wird jedoch bei groBeren Mengen vom Staffelpreis des Anbieters B dominiert. Bei einer Bedarfsmenge von mehr als 17.026 Stuck fUhrt die kontinuierlich fallende Lernkurve dazu, dass auch die Kos-tenvorteile des Staffelpreises durch die Eigenfertigung aufgeholt werden, fur alle groBeren Bedarfsmengen bleibt die Eigenfertigung die kostengUnstigste Bezugsal-ternative.

Der kritische Lerngrad, bei dem Anbieter B vollstandig aus der Betrachtung ausgeschlossen wUrde, liegt bei 10,5%. Die zugehorige, in Abb. 3 diinn gestrichelt dargestellte Lernkurve liegt knapp unterhalb der aufgrund der logarithmischen Darstellung konvex verlaufenden Preiskurve der Anbieters B.

Eine weitere mogliche Untersuchung ist die Bestimmung des erforderlichen Lerngrads in der eigenen Produktion, wenn bekannt ist, dass von dem Vorprodukt insgesamt 300 Stiick benotigt werden und die Eigenfertigung kostengunstiger sein soil als in diesem Fall der Festpreis des Anbieters A. Der kritische Lerngrad be-lauft sich auf:

LG = l-2^''^300(26/75)^j2,lO/ % (3.7)


Wird dieser Lerngrad als realisierbar angesehen, so sollte die Entscheidung fiir die Eigenfertigung fallen, andernfalls ist der Fremdbezug vorzuziehen.

Wie das Beispiel zeigt, ist die Make or Buy-Entscheidung bei Beriicksichtigung von Lerneffekten durchaus differenziert zu betrachten. Je groBer die im Betrieb Ublicherweise auftretenden Lerneffekte sind, desto eher dominiert die Eigenfertigung die Buy-Alternative. Bezieht man dariiber hinaus Wechselwirkungen zwi-schen verschiedenen Produkten in die tjberlegungen mit ein, so lasst sich durch eine Ausweitung des Eigenfertigungsanteils der im Betrieb herrschende Lerngrad tendenziell erhohen, so dass in zukunftigen Entscheidungssituationen mit einem noch schnelleren Absinken der Stuckkosten gerechnet werden kann. Es lasst sich weiter zeigen, dass der optimale Anteil an nach auBen zu vergebenden Auftragen mit der Geschwindigkeit des technischen Fortschritts sowie mit der Hohe der im eigenen Untemehmen erzielten Lerngewinne monoton fallt (vgl. Anderson u. Parker 2002, S. 313f.).

3.3 LosgroBenplanung

Die Aufgabe der LosgroBenplanung besteht in der Ermittlung der optimalen An-zahl von Teilen, die gemeinsam zu beschaffen (Bestellfall) bzw. herzustellen (Produktionsfall) sind (vgl. Kistner u. Steven 2001, S. 41ff.). Dabei gilt es, die folgenden gegenlaufigen Kostentendenzen gegeneinander abzuwagen: Mit jeder Bestellung eines Zukaufteils bzw. jeder Losauflage in der Eigenfertigung sind los-fixe Kosten in Hohe von kj^ verbunden, von denen somit die Tendenz ausgeht, die Gesamtbedarfsmenge auf moglichst wenige groBe Lose zu verteilen. AUer-dings muss die Menge, die nicht sofort weiterverarbeitet oder ausgeliefert wird, bis zum Bedarfszeitpunkt gelagert werden. Da die Lagerung eine Kapitalbindung im Umlaufvermogen bedeutet, fiir die Zinsen zu zahlen sind, miissen Lagerhaltungskosten ki angesetzt werden, die umso hoher sind, je groBer der Lagerbestand ist und je langer ein Teil im Lager liegt. Somit bewirken die direkt vom Lagerbestand abhangigen Kosten eine Tendenz zu moglichst groBen Losen. Die unter Kostengesichtspunkten optimale LosgroBe liegt dort, wo die Gesamtkostenfunkti-on, die sich als Summe aus losfixen Kosten und Lagerhaltungskosten ergibt, ihr Minimum hat.

Im klassischen Losgrofienmodell (vgl. Harris 1915; Andler 1929), einem einfa-chen Grundmodell fiir die LosgroBenplanung, das von kontinuierlicher Produktion und Nachfrage mit konstanten Raten x (Lagerzugangs- bzw. Produktionsrate) und d (Lagerabgangs- bzw. Nachfragerate) ausgeht und mit zyklischen Lagerbestands-verlaufen einhergeht, ergibt sich die optimale statische LosgroBe fiir den Produktionsfall nach folgender Formel:

2'kp 'd

1 - -V ^ y

198 Marion Steven

Da das klassische LosgroBenmodell das bekannteste Lagerhaltungsmodell ist, das sich in der Praxis groBer Beliebtheit erfreut und dessen Ergebnisse nur wenig sen-sitiv gegeniiber fehlspezifizierten Parametern oder bei Verletzung der allerdings recht restriktiven Annahmen sind, dient es im Folgenden als Basis fiir die Integration von Lerneffekten in die LosgroBenplanung. Analoge Uberlegungen sind auch fUr andere Lagerhaltungsmodelle moglich, die jedoch in der Kegel einerseits we-niger anschaulich, andererseits mathematisch anspruchsvoller und daher nicht mehr explizit losbar sind.

Ansatzpunkte fiir die Abbildung von Lernvorgangen sind die hinter den Kos-tenparametern des klassischen LosgroBenmodells, A: und ki, stehenden Prozes-se (vgl. Laarmann 2005, S. 76ff.). Wahrend die losfixen Kosten umso starker sin-ken, je haufiger der entsprechende Riistvorgang durchgefUhrt wird, hangen die Lagerhaltungskosten von der Kapitalbindung und damit iiber die Stiickkosten der Produkte von den Lernvorgangen im Fertigungsbereich ab. Je starker die Stiickkosten in der Produktion aufgrund von Lerneffekten zuriickgehen, desto geringer ist die Kapitalbindung je gelagerter Einheit und damit der Lagerhaltungskosten-satz. Wie in Abschnitt 3.2 wird auch hier auf die lineare Durchschnittstheorie nach Wright zuriickgegriffen, nach der sich die Gesamtkosten als

K{x)=kx'X^ (3.9)

bzw. die durchschnittlichen Stiickkosten als

k{x)=k^'X^-^ (3.10)

berechnen lassen. Zur Abbildung der Lerneffekte bei den Rustvorgdngen hangt die Verdopplung

der Anzahl der Riistvorgange, die hier der kumulierten Menge X entspricht, von der Anzahl der Lose ab. Diese ergibt sich, wenn man die Lagerabgangsrate durch die LosgroBe teilt:

X = - (3.11)

Da innerhalb der Zyklusdauer T insgesamt dlq Lose eingelastet werden, ergeben sich die gesamten Riistkosten fur die Periode T aus der Gesamtkostenformel der Durchschnittstheorie als:

kR{^) = kRi U^'^ \^ J

(3.12)

Dabei bezeichnen A:^(^) die durchschnittlichen Riistkosten je Los, kjî die durchschnittlichen Riistkosten des ersten Loses und s^ die Lernelastizitat bezug-lich der Riistvorgange.

Bei den Lagerhaltungskosten wird der durchschnittliche Lagerbestand nicht mehr mit dem statischen Kostensatz ki bewertet, sondern mit einem dynami-


schen Kostensatz, der von den Lagerhaltungskosten der ersten Einheit k^ und den aufgrund der kumulierten Produktions- bzw. Lagerabgangsmenge erzielten Lerngewinnen abhangt. Dabei bezeichnet 8^ die Lernelastizitat der Lagerhaltungskosten. Die Gesamtkosten fiir das betrachtete Intervall T ergeben sich, indem man die Gleichung der durchschnittlichen Lagerhaltungskosten mit dem durch-schnittlichen Lagerbestand multipliziert:

kL{^) = kn'd'^ -1 ^

2 1- - (3.13)

Im Normalfall liegen fiir die Lernkurven, die hinter den Riist- bzw. den Lagerhaltungskosten liegen, unterschiedliche Lerngrade und damit Lernelastizitaten vor. Durch Einsetzen der beiden Lernkurven in das Grundmodell der klassischen Los-groBe ergibt sich schlieBlich eine im Vergleich zur statischen Losung erweiterte Gleichung. Die durchschnittlichen Gesamtkosten im Grundmodell betragen:

q 2 y X (3.14)

Setzt man nun fiir die von der Gesamtmenge unabhangigen Kostenparameter die oben hergeleiteten, iiber Lerneffekte mengenabhangigen Kostenfunktionen ein, so erhalt man:

A^dyn)=1^R\' 2 ^dyn ) ^Ll

C ^ \ 1 - ^

-/ (3.15)

•kRvd^^-q%^„^k,,.d^l-'.''-f-

Zur Unterscheidung von der Losung des statischen Grundmodells wird die Los-groBe des dynamischen Modells als ( ^ ^ bezeichnet. Es ist zu beachten, dass sich die Lerneffekte bei den Riistvorgangen auf jedes Los, bei der Lagerhaltung jedoch auf jede Einheit beziehen. Die optimale dynamische LosgroBe ergibt sich als Minimum dieser Gleichung, das als Nullstelle der ersten Ableitung bestimmt wird:

dk

dqdyn = -SR^kj,,^d'^^q-;^-'^-k,,-d'L 1

1 - ^ 1 = 0 (3.16)

^dyn ~

ka-d''-'-\- X-'-

^R-kRx-d"^ (3.17)

200 Marion Steven

SR+\ _ 2'SR'kiii'd^^

^y^ A i d

^^ ^ (3.18) (l^£\ d^'-'

Substituiert man den ersten Bruch mithilfe der oben angegebenen optimalen statischen LosgroBe durch q^^ und setzt man die jeweiligen statischen und dynami-schen AnfangsgroBen ftir die Rustkosten und Lagerhaltungskosten gleich,

kii=ki bzw. kRi=kR (3.19)

so folgt fiir die optimale LosgroBe unter Beriicksichtigung von Lemeffekten:

? ? ; ' = d • "-^^ = A • e, • d^'^-^L (3.20)

<ldyn = ''%l-^R-d'^-''^ (3.21)

Diese optimale dynamische LosgroBe weist im Vergleich zur optimalen statischen LosgroBe einige Besonderheiten auf:

• Sind im statischen Fall die Rlist- und Lagerhaltungskosten bei der optimalen LosgroBe identisch, so gilt dies im dynamischen Modell aufgrund der Nichtli-nearitat der Lagerhaltungskosten nicht mehr. Je groBer die Lerngrade, desto starker weicht die dynamische von der statischen Losung ab. In Abhangigkeit von der Hohe der Lerngrade sowie von der Kostenart, bei der die starkeren Lerneffekte auftreten, ergeben sich unterschiedliche Einflusse auf die wirt-schaftliche LosgroBe.

• Liegen fiir eine Kostenart keine Lerneffekte vor, so fallt die zugehorige Kurve mit der im statischen Grundmodell zusammen, wahrend die andere Kurve durch den Lerneffekt im Ganzen absinkt und somit die LosgroBe verandert. Falls Lerneffekte ausschlieBlich bei den Rustkosten vorliegen, so verschiebt sich das Minimum der Gesamtkostenkurve zu kleineren LosgroBen, wahrend bei Lerneffekten ausschlieBlich in Bezug auf die Lagerhaltungskosten die Riistkosten relativ mehr Gewicht gewinnen und die Lose groBer werden.

• Findet bei beiden Kostenarten Lernen statt, so kann vorab keine generelle Aussage Uber den Einfluss auf die optimale LosgroBe gemacht werden, da sie in diesem Fall sowohl von den Absolutwerten als auch von dem Verhaltnis der beiden Lerngrade sowie auch von den jeweiligen Kosten der ersten Einheit abhangt. Bei groBen Differenzen zwischen den Lerngraden verschiebt sich die LosgroBe in die Richtung, wie dies auch bei Vorliegen nur eines Lerneffekts


der Fall ware, also zu kleineren Losen bei uberwiegenden Rustgewinnen und zu groBeren Losen bei uberwiegendem RUckgang der Lagerhaltungskosten. Liegen die Lemgrade hingegen nah beieinander, so konnen je nach den Abso-lutwerten der Rust- und Lagerhaltungskosten sowie den Absolutwerten der beiden Lemgrade sowohl groBere als auch kleinere Lose resultieren.

Fiir den Sonderfall, dass die Lemgrade bezuglich der Rust- und der Lagerhaltungskosten identisch sind,

SR=SL=S (3.22)

vereinfacht sich diese Losung zu:

qdyn='^(A~e (3.23)

In diesem Fall kann die optimale dynamische LosgroBe aufgrund des Definitions-bereichs der Lernelastizitat (0 < s < 1) niemals kleiner sein als die optimale stati-sche LosgroBe.

Bei Vernachlassigung von Lerneffekten (e^ =8^ =1) geht die optimale dynamische LosgroBe in die optimale Losung des statischen Modells uber, so dass dieses als Spezialfall im komplexeren dynamischen Modell enthalten ist.

Der Einfluss von Lerneffekten auf die LosgroBenplanung wird nun anhand ei-nes numerischen Beispiels fUr das vorgestellte Grundmodell veranschaulicht. Aus-gangsbasis sind die folgenden Daten:

Lagerabgangsrate: c/ = 300 Produktionsrate: x - 600 Kosten je Riistvorgang: ki = kn = 48€ Lagerhaltungskosten: kj^ -^Ri =100€

Die optimale statische LosgroBe ergibt sich somit als:

, 2.100-300 _ , . ^ . , qst = 7 T = 50 (3.24)

48 600

Die zugehorigen Kosten betragen L200 € und setzen sich je zur Halfte aus Rust-und Lagerhaltungskosten zusammen.

Der Lerngrad fiir die Umrlistungen betragt 15%, die Lernelastizitat somit 8^ = 0,766 , wahrend fur die Lagerhaltungskosten ein Lerngrad von 20% bzw. eine Lernelastizitat von Zi= 0,678 angenommen wird. Dieses Verhaltnis der Lemgrade ist durchaus realistisch, da hinter dem RUckgang der Lagerhaltungskosten eine groBere Anzahl an Wiederholungen bei den Produktionsvorgangen steht, als dies bei den Riistvorgangen der Fall ist. Dann lautet die optimale dynamische LosgroBe:

q^„ = °'^^^^^502.0,766-SOO^'^^^-O'^^^ = 95,85 « 96 (3.25)

202 Marion Steven

Diese Losung ist mit Gesamtkosten von 422,81 € verbunden, die sich aus 239,52 € Rustkosten und 183,29 € Lagerhaltungskosten zusammensetzen. Die Losung ist in Abb. 4 dargestellt.

'E 1200 h N

E nj to 0)

600

423

\\ 1 7 — / /

\ \^' ' ' '* I / fc(9.,) = 1200

VL \ 1 /

r / N ^ ^ ^ " ^ — © —

L ,—-— 1 1

^:^:i*-«r"" ^

ohn m

1 e Lernen t Lernen ~~"

d = 300 H

ar = 600

kL = 48

A-ii = 100

eL= 0.678

ER = 0.766

1 50 96 111.5

Menge bzw. LosgroBe

200

Abb. 4. Beispiel zur LosgroBenplanung

Ausgangspunkt ist der gestrichelt dargestellte statische Fall, bei dem sich die optimale LosgroBe von 50 Stuck sowohl als Minimum der Gesamtkostenfunktion als auch als Schnittpunkt von RUst- und Lagerhaltungskostenkurve ablesen lasst. Im dynamischen Fall, der durch durchgezogene Linien dargestellt ist, liegt sowohl die Kostenkurve der Rustvorgange als auch die der Lagerhaltung aufgrund der Lernef-fekte deutlich unterhalb der jeweiligen statischen Kurve. Die Lagerhaltungskostenkurve hat sich starker verschoben, da hier zum einen der Lerngrad hoher ist und zum anderen die StUckzahlverdopplungen wesentlich schneller auftreten als die Losanzahlverdopplungen und somit die Kostenreduzierungen deutlich fruher ein-treten. Im vorliegenden Fall liegt das Minimum der Summe aus Riist- und Lagerhaltungskosten und damit die optimale dynamische LosgroBe bei ungefahr 96 Stuck und somit deutlich Uber dem statischen Wert von 50 StUck. Die zugehorigen Kosten haben sich von 1.200 € auf ungefahr 423 € reduziert, so dass die Lernef-fekte einen deutlichen Kostensenkungseffekt zur Folge haben.

Die hier fUr den einfachsten Fall des klassischen LosgroBenmodells gefundenen Ergebnisse lassen sich prinzipiell auch bei anderen Lagerhaltungsmodellen herlei-ten. Mit zunehmender Anzahl an Parametern und EinflussgroBen steigt jedoch die Komplexitat der nichtlinearen Beziehungen stark an, so dass schnell nur noch eine iterative Losung moglich ist. Eine Losung von umfangreichen nichtlinearen Pro-


grammen kann dann liber eine stuckweise Approximation der an sich kontinuierli-chen Lemkurve erreicht werden.

4. Ausblick

Die vorliegenden Ausfiihrungen haben gezeigt, dass Kostensenkungen aufgrund von Lerneffekten bei Entscheidungen nicht nur direkt in der Fertigung, sondem auch in produktionsnahen Bereichen wie der Materialwirtschaft eine Roile spielen konnen. Die Beriicksichtigung lernbedingter Kostensenkungen im Bereich der Materialbedarfsplanung fuhrt zu keinen uber die aus dem Produktionsbereich be-kannten Auswirkungen hinausgehenden Ergebnissen. Bei der Wahl des Bezugs-wegs eines benotigten Materials hingegen konnte gezeigt werden, dass sich die kritische Menge, ab der eine Eigenfertigung kostengunstiger ist als der Fremdbe-zug, bei Beriicksichtigung von Lerneffekten deutlich nach unten verschiebt. Um-gekehrt ist die Bestimmung eines kritischen Lerngrads moglich, ab dem die Eigenfertigung den Fremdbezug dominiert.

Auch bei der LosgroBenplanung, auf der der Schwerpunkt der AusfUhrungen lag, kann die optimale Entscheidung durch Lerneffekte erheblich beeinflusst werden. So fuhren lernbedingte Kostensenkungen sowohl zu einer Senkung der Ge-samtkosten als auch zu einer Verschiebung der optimalen LosgroBe. Das AusmaB und die Richtung dieser Verschiebung hangen davon ab, ob der Lerneffekt bei den RUstkosten oder bei den Lagerhaltungskosten starker ausgepragt ist. Sinkende Rustkosten, die Uber lernbedingte Verkiirzungen der Rustzeiten erreicht werden, fiihren c.p. dazu, dass sich die optimale LosgroBe reduziert. Ublicherweise dominiert jedoch der lernbedingte Riickgang der Lagerhaltungskosten aufgrund der haufigeren Wiederholung der zugrunde liegenden Produktionsvorgange den Ruckgang der Rustkosten, so dass sich die optimale LosgroBe bei Vorliegen von Lerneffekten per Saldo erhoht.

Ein anderes Bild kann sich ergeben, wenn es aufgrund von Investitionen in technisch fortschrittlichere Maschinen, mit denen sich erheblich kiirzere Riistzei-ten realisieren lassen, zu einer Reduktion der optimalen LosgroBe kommt. Dieser Effekt der Substitution von Umlaufvermogen durch Anlagevermogen im Rahmen der Produktion auf Abruf ist z.B. durch Kistner 1994 beschrieben worden, der jedoch auch zeigt, dass sich dabei die LosgroBe niemals bis auf das von manchen Vertretern des Just in Time-Prinzips geforderte Niveau von Eins reduzieren lasst. Durch technischen Fortschritt wird ein Unternehmen in die Lage versetzt, neue Technologien zu implementieren, die mit anderen Faktorkombinationen verbun-den sind und haufig zu Veranderungen beim Produktionsverfahren selbst sowie bei der Organisation der Produktion fuhren.

Wahrend der technische Fortschritt aus externen Einfltissen resultiert, handelt es sich bei Lerneffekten um unternehmensinterne Vorgange, bei denen durch die wiederholte Durchfiihrung bereits bekannter, identischer Aufgaben Produktivitats-fortschritte erzielt werden, die Rahmenbedingungen der Produktion jedoch unver-andert bleiben. Somit ist auch im Rahmen der Produktion auf Abruf zu erwarten,

204 Marion Steven

dass es nach Beginn der Fertigung auf den neuen Anlagen aufgrund von Lernef-fekten, die sich in der Regel starker auf die Produktions- und damit auf die Kapi-talbindungskosten als auf die Riistkosten auswirken, zum oben beschriebenen Ef-fekt des Riickgangs der Gesamtkosten aufgrund der lernbedingten Erhohung der LosgroBe kommt.

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Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien

Christian Bierwirth

Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat, Martin-Luther-Universitat Halle-Wittenberg

Ubersicht

Flexible Produktionslinien sind vollautomatisierte Produktionssysteme, die dem Anordnungstyp FlieBfertigung folgen und zugleich eine umrustfreie Mehrprodukt-Fertigung gestatten. Der Beitrag beleuchtet das erst schwach erforschte Feld der Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien und zeigt insbesondere den hohen Schwierigkeitsgrad des Aufgabenbereichs auf. Zunachst werden flexible Produktionslinien in die Klasse der flexiblen Produktionssysteme eingeordnet. Anschlie-Bend werden die komplexen Fertigungsprozesse, die in einer flexiblen Produkti-onslinie zu vollziehen sind, in einem Grundmodell abgebildet. Es folgt eine Darstellung von drei einfachen heuristischen Verfahren fiir die Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien. Ausgehend von den Schwachstellen dieser Verfahren wird eine neue, auf dem Prinzip der adaptiven Zeitfenster basierende Heuristik vorgestellt. AbschlieBend werden die behandelten Verfahren unter veranderlichen EinflussgroBen an einem Fallbeispiel aus der Teilefertigung in der Flugzeugin-dustrie vergleichend getestet.

1. Flexible Produktionssysteme

In der Klasse flexibler Produktionssysteme unterscheidet man flexible Fertigungs-systeme, roboterbediente Fertigungszellen und flexible Produktionslinien. Flexible Produktionssysteme besitzen zwei wesentliche charakteristische Merkmale. Das erste Merkmal ist die Moglichkeit, unterschiedliche Produktarten flexibel, d.h. in prinzipiell beliebig kleinen LosgroBen und ohne manuelle Riistvorgange der Ar-beitsstationen nebeneinander fertigen zu konnen. Das zweite charakteristische Merkmal flexibler Produktionssysteme besteht in der Vollautomatisierung der Fertigung. Erreicht wird diese durch die Integration eines rechnergesteuerten Trans-portsystems, das die Arbeitsstationen des Produktionssystems miteinander verbin-det und ihnen automatisch Material zufuhrt. Das Transportsystem verfugt tiber eine oder mehrere Fordereinrichtungen. Hierbei haben die Struktur des Transport-systems und die Geschwindigkeit der Fordereinrichtungen im AUgemeinen einen starken Einfluss auf die Produktionsrate. Im Rahmen der Produktionsablaufpla-

206 Christian Bierwirth

nung konnen die Transportzeiten daher nicht, wie bei konventioneller FlieB- oder Werkstattfertigung sonst Ublich, vemachlassigt werden. Hierdurch wird die Kom-plexitat der Planung drastisch erhoht. Hinzu kommt, dass die Transportzeiten auf-grund der erforderlichen lastfreien Positionierfahrten der Fordereinrichtungen pla-nungsabhangig sind und somit im Gegensatz zu den Bearbeitungszeiten nicht durch feste GroBen approximiert werden konnen.

Tabelle 1. Charakterisierung flexibler Produktionssysteme

Anzahl Arbeitsstationen Fordereinrichtungen Anordnungstyp Pufferlager verfugbar maximale Verweilzeiten

Flexibles Fertigungssystem klein - mittel mehrere job-shop ja nein

Roboterbediente Fertigungszelle klein eine flow-shop nein (no-buffer) nein

Flexible Produktionslinie mittel - groB eine - mehrere hybrider flow-shop nein (no-buffer) ja (no-wait)

Die Auspragung der Fordersysteme ist je nach Typ des Produktionssystems unter-schiedlich. Flexible Fertigungssysteme verfugen in der Regel Uber ein flurgebun-denes Transportsystem mit mehreren Fordereinrichtungen (siehe Tabelle 1). In ro-boterbedienten Fertigungszellen sind die Arbeitsstationen zumeist in einem Kreissegment angeordnet und werden von einem einzigen stationar zirkulierenden Arm bedient. Demgegenuber konnen flexible Produktionslinien eine oder mehrere Fordereinrichtungen besitzen. Die Fordereinrichtungen verkehren in der Regel flurlos und schienengebunden oberhalb der Produktionslinie. Sind mehrere Fordereinrichtungen beteiligt, so ist ihnen jeweils ein individueller Bedienbereich mit festen Materialiibergabepunkten zugeordnet. Da die Fordereinrichtungen horizon-tale Fahrtbewegungen und vertikale Hubbewegungen ausfuhren, werden flexible Produktionslinien in der Literatur auch synonym als kranbediente Produktionslinien bezeichnet.

Tabelle 1 zeigt weitere Systemmerkmale von flexiblen Produktionssystemen. Wahrend roboterbediente Fertigungszellen nach dem Prinzip der FlieBfertigung arbeiten (flow-shop), kann in flexiblen Fertigungssystemen das allgemeine Prinzip der Werkstattfertigung (job-shop) realisiert werden. Die Arbeitsstationen gestatten haufig eine gewisse Universalitat hinsichtiich der ausfuhrbaren Verrichtungen. Zudem ist die Struktur des Transportsystems zwischen den Arbeitsstationen ge-schlossen oder gar vernetzt, wodurch gegenlaufige Materialflusse bei der Ferti-gung unterschiedlicher Produktarten moglich werden. Im Gegensatz hierzu stellt der Anordnungstyp in flexiblen Produktionslinien eine Hybridform dar. Die Arbeitsstationen sind spezialisiert und konnen nur eine einzige Art der Verrichtung durchfiihren. Im Rahmen der Layoutplanung ist daher eine lineare Anordnung der Arbeitsstationen festzulegen, die im Sinne einer Transportwegeminimierung einen uni-direktionalen Materialfluss fUr alle Produktarten vorsieht (Paul et al. 2001). AUerdings kann dieses Prinzip auch durchbrochen werden, etwa wenn einzelne Produktarten gegenlaufige Materialfliisse zwischen Stationen bewirken oder wenn das Zugangslager zugleich auch als Abgangslager genutzt wird.

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien 207

Fur die Ablaufplanung eines flexiblen Produktionssystems ist auBerdem die Frage relevant, ob, und in welcher Menge und Dauer, Zwischenprodukte vor ihrer endgultigen Fertigstellung gelagert werden konnen. In flexiblen Fertigungssyste-men stehen hierfur im Allgemeinen Pufferlager zur Verfugung. Wird ein unferti-ger Auftrag nach der Bearbeitung durch eine Arbeitsstation nicht unmittelbar von einer anderen Station weiterbearbeitet, so kann das Zwischenprodukt ins Pufferlager verbracht werden, um die Arbeitsstation ftir nachfolgende Auftrage freizuge-ben. Roboterbediente Fertigungszellen verfugen demgegentiber tiber kein Pufferlager (no-buffer). Wird hier ein Auftrag nicht unmittelbar weiterverarbeitet, so muss er fUr die Dauer der Wartezeit auf der Arbeitsstation verbleiben. Die Arbeitsstation steht wahrend dieser Zeit anderen Auftragen nicht zur VerfUgung.

Flexible Produktionslinien verfugen ebenfalls nicht iiber ein Pufferlager. Dar-uber hinaus sind in flexiblen Produktionslinien typischerweise fiir einige der Ar-beitsstationen maximale Verweilzeiten zu berucksichtigen. Sie sagen aus, wie lan-ge Zwischenprodukte nach Ablauf der Bearbeitungszeit auf den Stationen ver-weilen durfen, ohne beschadigt zu werden. Bedeutung haben Verweilzeiten unter anderem in Fertigungsprozessen, in denen Bearbeitungsvorgange nicht abgeschal-tet werden konnen. Eine Beendigung dieser Vorgange kann nur dadurch erfolgen, dass das Material die entsprechende Arbeitsstation verlasst. Ist eine maximale Verweilzeit fur eine Station angegeben, so beschrankt diese die nach der Bearbeitung einsetzenden Wartezeiten der Auftrage. Im Extremfall ist die maximale Ver-weildauer an einer Station gleich Null. In dieser Situation (no-wait) mussen alle Auftrage unmittelbar nach Ablauf der Bearbeitungszeit von dieser Station zur nachsten Arbeitsstation transportiert werden.

2. Modellierung der Fertigung in einer flexiblen Produktionslinie

In der Literatur wurde das Problem der Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien unter Beriicksichtigung des Transportsystems erstmals von Phillips und linger (1976) behandelt. Eine Ubersicht und eine Klassifikation der resultierenden Ablaufplanungsprobleme findet sich bei Crama et al. (2000).

Flexible Produktionslinien sind typischerweise in der Prozessindustrie anzutref-fen. Die Arbeitsstationen sind hierbei nicht Maschinen, die mechanische Verrich-tungen ausfiihren, sondem Bader, die mit Substanzen fiir die elektro-chemische Oder thermische Behandlung von Arbeitsmaterialen gefullt sind. Abb. 1 zeigt den Aufbau einer solchen Produktionslinie mit einer Fordereinrichtung. Diese nimmt das bereitgestellte Arbeitsmaterial aus einem Zugangslager und befordert es in der gewunschten Arbeitsgangfolge zu den beteiligten Arbeitsstationen und schlieBlich zum Abgangslager. Die Fertigung erfolgt durch das Eintauchen des Materials in Wirkbader, wobei Prozesszeiten und Badfolgen zu beachten sind. Der Arbeits-gang, der ausgeftihrt wird, wahrend ein Bad beftillt ist, wird als Wirkprozess be-zeichnet. Eine Abfolge bestimmter Wirkprozesse bildet zusammen eine Wirkse-quenz. Produktionssysteme, die Wirksequenzen durchfuhren, werden u.a. bei der


Oberflachenbehandlung metallischer Teile, bei der Leiterplattenherstellung, in der pharmazeutischen Laborfertigung und in der Lebensmittelindustrie eingesetzt.

Kran

JUUi

^-^ ^v ^-^ ^-^ ^v ^-^

Zugaiigs lager - Produktionslinie Abgangslager

Abb. 1, Schema einer flexiblen Produktionslinie mit einer Fordereinrichtung (Kran)

Die besondere Schwierigkeit der Ablaufplanung in einer flexiblen Produktionslinie resultiert aus der Notwendigkeit, Restriktionen bzgl. der erlaubten Verweilzei-ten (no-wait) und der Zwischenlagerungsmoglichkeiten (no-buffer) zu beachten. Wenn die Bearbeitungsdauer eines Auftrags abgeschlossen und die maximale Verweilzeit erreicht ist, dann muss das zugehorige Teil unverzuglich dem Wirk-bad entnommen werden. Um dies realisieren zu konnen, muss sowohl eine Fordereinrichtung als auch das nachfolgende Bad in der Badfolge des Auftrags ver-fiigbar sein. Anderenfalls kommt es zwangslaufig zur Ausschussproduktion. Hieraus ergibt sich die Notwendigkeit, Bearbeitungsvorgange und Transportvor-gange gemeinsam zeitlich zu planen.

Folgendes Modell wird fiir das Produktionssystem zugrunde gelegt:

1)

2)

3)

4)

5) 6) 7) 8)

9)

Die betrachtete Produktionslinie besteht aus m Arbeitsstationen (z.B. Bader), die entlang eines linearen Transportsystems aufgestellt sind. Das Transportsystem verfiigt liber genau eine Fordereinrichtung (z.B. liber ei-nen fahrbaren Kran). Fertigungsauftrage werden in Gestalt einer Arbeitsgangfolge (also z.B. als Wirksequenz) definiert. Die Arbeitsgangfolge legt die Reihenfolge, in der der Auftrag von alien oder einer Teilmenge der m Arbeitsstationen zu bearbeiten ist, sowie die zugehorigen Bearbeitungs- und Verweilzeiten fest. Auftrage mit identischer Arbeitsgangfolge beziehen sich auf dieselbe Pro-duktart. Die Durchfuhrung von Arbeitsgangen darf nicht unterbrochen werden. Auftrage konnen zu einer Zeit nur an einer Station bearbeitet werden. Keine Station kann mehr als einen Arbeitsgang zu einer Zeit durchfuhren. Nachdem ein Arbeitsgang an einem Teil abgeschlossen ist, darf dieses Teil bis zum Ablauf der maximalen Verweilzeit dort lagem. Zusatzliche Zwi-schenlagerplatze sind nicht vorhanden. Der Transfer von Teilen zwischen den Arbeitsstationen erfolgt durch die Fordereinrichtung. An der abgebenden Arbeitsstation wird das Teil aufgenom-men und nach erfolgter Lastfahrt der empfangenden Station zugefuhrt. Die


Dauer der Lastfahrt und der Ladevorgange bestimmt gemeinsam die Last-transportzeit.

10) Im Anschluss an eine Lastfahrt kann die Fordereinrichtung an der empfan-genden Station warten, um nach Beendigung des Arbeitsgangs hier die nachs-te Lastfahrt zu starten. Alternativ kann sie eine Leerfahrt zum Zweck der Po-sitionierung an einer abgebenden Station vomehmen und von dort eine Lastfahrt aufnehmen.

11) Die Fordereinrichtung kann nur hochstens ein Teil zurzeit aufnehmen. 12) Die Geschwindigkeit der Fordereinrichtung ist im beladenen und unbeladenen

Zustand gleich und konstant, Beschleunigungsvorgange werden nicht beriick-sichtigt. Aus diesem Grund sind die Lasttransportzeiten durch die Distanzen zwischen den Arbeitsstationen determiniert und im Voraus bekannt.

Das hier untersuchte Modell trifft einige weitere Annahmen. Es soil ein Produkti-onsprogramm bestehend aus n Fertigungsauftragen vorliegen. Jeder Fertigungs-auftrag gehort dabei einer bestimmten Produktart an. Das Mengenverhaltnis der Produktarten kann in unterschiedlichen Programmen verschieden sein. Neben dem Produktionsprogramm ist zusatzlich die Einlastungsreihenfolge der Auftrage vor-gegeben. Sie kann sich zum Beispiel aus der Materialbereitstellung im Eingangs-lager ergeben. Das Ziel der Planung besteht in der Ermittlung von Einlastzeitpunk-ten fUr alle Fertigungsauftrage entsprechend der gegebenen Einlastungsreihenfolge, so dass

a) die Produktion von Ausschussteilen vermieden wird (Sachziel) und b) die Zykluszeit des Produktionsprogramms minimal ist (Formalziel).

Strukturell handelt es sich bei dieser Aufgabenstellung um ein Maschinenbele-gungsproblem bei FlieBfertigung mit no-buffer und no-wait Bedingungen sowie zusatzlichen Restriktionen hinsichtlich des Materialtransports. Auf den ersten Blick erscheint die Losungskomplexitat des Problems moderat, da die Reihenfolge der Auftragseinlastung vorgegeben und nicht Gegenstand der Planung ist. Den-noch ist das dargestellte Ablaufplanungsproblem bereits im Einproduktfall NP-hart (Lei u. Wang 1989), d.h. die Produktionslinie wird nicht flexibel, sondern ex-klusiv zur Herstellung einer einzigen Produktart eingesetzt. Dieser Spezialfall ist insgesamt leichter zu behandeln als der hier fokussierte Mehrproduktfall.

3. Ansatze zur Komplexitatsreduktion

Die Schwierigkeit der betrachteten Aufgabenstellung wird unter anderem an der Zielformulierung deutlich. Im Sinne der Sachzielerreichung a) mussen die Einlas-tungszeitpunkte der Auftrage groBe Abstande aufweisen, um die Wahrscheinlich-keit von Ressourcenkonflikten zwischen Auftragen, die zwangslaufig zu Aus-schussproduktion fuhren, zu reduzieren. Im Extremfall wird die gesamte Produktionslinie nur einen Auftrag zu einer Zeit bearbeiten. Hierdurch kann zwar Ausschussproduktion sicher verhindert werden, zugleich wird aber die Zykluszeit maximal ausgeweitet. Im Sinne der Formalzielerreichung b) muss eine hohe Ka-


pazitatsauslastung der Produktionslinie angestrebt werden. Sie ist durch kurze Ab-stande zwischen den Einlastungszeitpunkten der Auftrage erreichbar, was aber wiederum die Gefahr der Produktion von Ausschussteilen vergroBert. Aus Sicht der Planung resultiert somit die Forderung nach einer Methode, die es erlaubt, ei-nen effizienten Kompromiss zwischen Sicherheitsstreben und betriebswirtschaftli-cher Zeit-Leistungsorientierung herzustellen.

Zur Reduzierung der Komplexitat der Ablaufplanung in flexiblen Produktions-linien werden in der Literatur drei Ansatze behandelt. Sie zielen im Kern auf eine Verkleinerung des zu durchsuchenden Losungsraums ab. Den Ausgangspunkt die-ser heuristischen Vorgehensweise stellt dabei jeweils ein charakteristisches Lo-sungsmerkmal dar, von dem angenommen wird, dass es positiv mit der Qualitat der Ablaufplane korreliert.

3.1 Zyklische Ablaufplanung

Sofern lediglich eine Produktart auf einer Produktionslinie gefertigt wird, lasst sich das Problem der Ablaufplanung vergleichsweise einfach behandeln. Im Ein-produktfall werden zyklische Ablaufplane gesucht, durch die genau ein Auftrag in die Produktionslinie eingelastet und ein anderer Auftrag ausgelastet wird (Shapiro u. Nuttle 1988). Ein solcher Zyklus kann durch eine zeitliche Abfolge von Last-fahrten, auch Fordersequenz genannt, reprasentiert werden. Diese Fordersequenz wird anschlieBend solange repetiert, bis das gesamte Produktionsprogramm termi-niert ist. Zwar ftihrt auch die durchlaufzeitminimale Fordersequenz nicht notwen-digerweise zu einem optimalen Ablaufplan fur das Produktionsprogramm, den-noch stellt der Ansatz, den die zyklische Ablaufplanung verfolgt, eine gute Approximation dar.

Im Mehrproduktfall besteht die Moglichkeit der Erzeugung zyklischer Ablaufplane im Allgemeinen nicht. Eine notwendige Bedingung ftir die Existenz eines repetierbaren Zyklus ist, dass das relative Mengenverhaltnis der Produktarten, die innerhalb einer Fordersequenz bearbeitet werden, dem Mengenverhaltnis der Produktarten im gesamten Produktionsprogramm entspricht. Im Normalfall verstoBt dies jedoch bereits gegen die Forderung nach Ganzzahligkeit der LosgroBen. FUr den Zweiproduktfall haben Lei u. Liu (2002) ein Verfahren zur Bestimmung zyklischer Ablaufplane vorgeschlagen. Der Ansatz setzt allerdings die beliebige Teil-barkeit der LosgroBen voraus und kann daher nicht auf eine Teilefertigung tiber-tragen werden.

3.2 Wartezeitfrele Ablaufplanung

Ein Ansatz zur Generierung von Ablaufplanen besteht darin, die Auftrage in der gegebenen Reihenfolge zum jeweils fruhest moglichen Zeitpunkt in die Produktionslinie einzulasten. Auf diese Weise wird ein Auftrag gestartet, sobald die For-dereinrichtung verftigbar und die erste Arbeitsstation der Arbeitsgangfolge frei ist. Das Verfahren, auch EST-Methode (earliest starting time) genannt, haben Song et


al. (1993) ftir den Einproduktfall untersucht. Es zeigt sich, dass bereits die Be-stimmung zulassiger Einlastzeitpunkte eine keineswegs triviale Aufgabe darstellt. Dies resultiert aus dem Umstand, dass mit der Einlastung eines Auftrags zugleich die Verftigbarkeit der Ressourcen ftir alle nachfolgenden Arbeitsschritte sicherge-stellt werden muss. Stellt sich bei der Einplanung eines Auftrags heraus, dass es auf einer nachgelagerten Arbeitsstation zur einem Engpass kommt, so muss der vorgesehene Einlastzeitpunkt um die Zeitspanne hinausgezogert werden, durch die der Engpass aufgehoben wird. Dieser Test muss solange wiederholt werden, bis der letzte Arbeitsgang des Auftrags konfliktfrei eingeplant ist.

Mit dem EST-Verfahren konnen auch im Mehrproduktfall zulassige Ablaufpla-ne generiert werden. Allerdings ist die Methode nicht in der Lage, Zwischenlage-rungen durch die Berticksichtigung von Verweilzeiten einzuplanen. Die Zielset-zung des EST-Ansatzes ist es, ablaufbedingte Wartezeiten zu umgehen, um die folgenden Arbeitsschritte „so friih wie moglich" ausfuhren zu konnen. Dass dieses Ziel jedoch nicht immer erreicht wird, verdeutlicht Abb. 2. Ein Vergleich beider Ablaufplane zeigt, dass die Inanspruchnahme von Verweilzeiten eine positive Wirkung auf die Entwicklung der Zykluszeit haben kann.

^10

^11

d i i

^ 1 2

^12! ^30 ^20

^21

^21

^11 ho lîolhil^nl 03J I 1021

12 nJ

Abb. 2. Wartezeitfreier Ablaufplan (oben) vs. Ablaufplan mit Verweilzeit auf Station S2

Gezeigt ist eine Situation, in der zwei Auftrage in einer Linie mit zwei Arbeitssta-tionen Si und S2 auszufuhren sind. Die Bearbeitungszeit von Auftrag i auf Station Sj wird mit 71 bezeichnet. Die Bewegungen der Fordereinrichtung K sind in Last-fahrten und Positionierfahrten unterschieden. Die Lastfahrtzeit dy bezieht sich auf den Transport, der ftir Auftrag i durchgefuhrt wird und bei Station j beginnt. Das Eingangslager fungiert dabei als Station 0. Demgegenuber bezeichnet 5jk die Dau-er einer lastfreien Positionierfahrt zwischen den Stationen j und k. Im oberen Ablaufplan sind die Auftrage nach dem EST-Prinzip eingeplant, wohingegen im un-teren Ablaufplan eine Zwischenlagerung von Auftrag 1 im Anschluss an die Bear-beitung auf S2 mit der Verweilzeit ni2 erfolgt. Deutlich zu erkennen ist, dass aufgrund der Verweilzeit eine hohere Aktivitat der Fordereinrichtung und zugleich eine hohere Auslastung der Arbeitsstationen im Planungszeitraum erreicht werden


kann. Ein ahnlicher Wirkungszusammenhang ist aus dem Bereich der klassischen Werkstattfertigung zwischen verzogerungsfreien (aktiven) und unverzogerten Ablaufplanen bekannt (Giffler u. Thompson 1960).

3.3 Permutationsbasierte Ablaufplanung

Eine Moglichkeit, Verweilzeiten auch im Mehrproduktfall potenziell in der Ablaufplanung zu beriicksichtigen, haben Yin u. Yih (1992) aufgezeigt. Ihr Verfah-ren beruht auf dem Konzept permutationsbasierter Ablaufplane. In permutations-basierten Ablaufplanen ist die Bearbeitungsreihenfolge der Auftrage auf alien Arbeitsstationen identisch. Der Ansatz beruht auf der prinzipiellen Annahme, dass sich Auftrage im Verlauf der Bearbeitung nicht gegenseitig iiberholen konnen bzw. sollen. Ist dies der Fall, so werden die Auftrage an der Produktionslinie in identischer Reihenfolge ein- und ausgelastet. Ein Reihenfolgeproblem ist insofern nur fur die erste Arbeitsstation zu losen. Eine mogliche Losung kann immer als Permutation der Auftrage reprasentiert werden, weshalb vereinfachend auch von einem Permutationsplan gesprochen wird.

^12

p ^ di3[

S

^40 ^20 ^21 = 22

S

H

dm ^11 8,^ d '20 °20 ^ 21 °23 "42 °12 °13 dxJ Ki ^12 d'

^23 ^13

Zeii

Abb. 3. Permutationsplan (oben) vs. Ablaufplan mit „Uberholmanover" auf Station S3

Die Heuristik von Yin und Yih wurde von Yih (1994) maBgeblich weiterentwi-ckelt. Ausgangspunkt des PBA-Verfahrens (permutations-basierte Ablaufplanung) ist wiederum die vorgegebene Einlastungsfolge der Auftrage. Zunachst wird der erste Auftrag nach dem EST-Prinzip, d.h. ohne Beriicksichtigung von Verweilzeiten, eingeplant. Da die Produktionslinie noch unbeschaftigt ist, kann es hierdurch nicht zu Ressourcenkonflikten kommen. Die Arbeitsgange des nachstfolgenden Auftrags werden anschlieBend ohne Leerzeiten auf den entsprechenden Arbeitsstationen eingeplant. Hierbei konnen Unzulassigkeiten im Hinblick auf die maxima-


len Verweilzeiten als auch im Hinblick auf die Verfiigbarkeit der Fordereinrich-tung auftreten. Zunachst werden Verletzungen der Verweilzeiten behoben. Hierzu werden die Arbeitsstationen entgegen der Materialflussrichtung, also beginnend mit der letzten Station S^, inspiziert. Kommt es erstmals auf Sk zu einer tFber-schreitung der Verweilzeit, so wird der Beginn der Arbeitsgange des Auftrags auf den Stationen Si bis Sk einheitlich um die Dauer der tJberschreitung verzogert. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die letzte potenzielle Verletzung der Ver-weilzeitrestriktion auf Si behoben ist. AnschlieBend werden bestehende Konflikte um die Fordereinrichtung behoben. Hierzu wird die Realisierbarkeit des Material-transports fur den aktuellen Auftrag von der Einlastung bis zur Auslastung Uber-pruft. Wird ein Konflikt mit einem Transportauftrag fiir einen bereits vollstandig terminierten Auftrag festgestellt, so wird zunachst versucht, diesen zu beseitigen, indem den Arbeitsgangen auf benachbarten Stationen zusatzliche Verweilzeit ein-geraumt wird. Erst wenn durch diese MaBnahmen die Unzulassigkeit des Ablauf-plans nicht aufgehoben werden kann, wird der aktuelle Auftrag wie im Fall einer Verweilzeitiiberschreitung insgesamt verzogert. Die einheitliche Permutations-struktur der Auftragsbearbeitung stellt sicher, dass hierdurch nicht erneut Unzulas-sigkeiten in Bezug auf die Verweilzeiten entstehen.

Das PBA-Verfahren wird nacheinander auf alle Auftrage des Produktionspro-gramms angewendet. Im Ergebnis liegt ein zulassiger Permutationsplan vor, der auch Verweilzeiten von Auftragen bei bestimmten Arbeitsstationen einbezieht. Es ist daher zu fragen, inwieweit die positiven Effekte von Verweilzeiten durch die Beschrankung auf Permutationsplane kompensiert werden. Abb. 3 zeigt einen diesbezuglichen Extremfall. Im oberen Ablaufplan kann Auftrag 2 erst begonnen werden, nachdem Auftrag 1 vollstandig abgeschlossen ist. Zwar kann Auftrag 2 schon auf Si eingelastet werden, wahrend Auftrag 1 noch auf S2 bearbeitet wird (siehe den unteren Ablaufplan), jedoch flihrt die Weiterbearbeitung von Auftrag 2 auf S3 dann zu einem Konflikt mit Auftrag 1, sofern die Bearbeitungsreihenfolge der Auftrage auf dieser Station eingehalten werden muss. Wird sie jedoch umge-kehrt, d.h. wird Auftrag 1 nach Auftrag 2 auf S3 bearbeitet, so resultiert eine dras-tische Reduzierung der Zykluszeit. Hieran ist zu erkennen, dass die Beschrankung auf Permutationsplane die optimalen Plane von der Suche moglicherweise aus-schlieBt. Diese Gefahr wird umso groBer, je starker die Bearbeitungszeiten an den Stationen variieren. Lange Belegzeiten einzelner Auftrage an einer Station konnen dann namlich nicht von der Fordereinrichtung fiir zweckmaBige tJberholmanover anderer Auftrage genutzt werden, die nicht an dieser Station zu bearbeiten sind.

4. Ablaufplanung mit adaptiven Zeltfenstern

In den vorangegangenen Abschnitten wurde gezeigt, dass die ausschlieBliche Be-riicksichtigung von wartezeitfreien oder permutationsbasierten Ablaufplanen die Zielerreichung erheblich beeintrachtigen kann. Um in einer flexiblen Produktions-linie die Moglichkeit von Verweilzeiten auszunutzen und zugleich die Nachteile von Permutationsplanen zu uberwinden, haben Paul et al. (2004) ein neues Ver-


fahren vorgeschlagen. Ahnlich wie beim EST-Ansatz werden auch in diesem Ver-fahren die Arbeitsgange und die erforderlichen Bewegungen der Fordereinrich-tung ftir jeden Auftrag nacheinander in einen bestehenden Ablaufplan eingefugt. Kommt es hierbei zu einem Konflikt, so wird, anders als bei EST, zunachst ver-sucht, durch die Anpassung von Verweilzeiten der betroffenen Arbeitsgange eine Auflosung herbeizufiihren. Erst wenn sich zeigt, dass dies nicht moglich ist, wird der aktuelle Auftrag partiell oder vollstandig verzogert. Somit ist es moglich, die Belegzeiten bereits eingeplanter Auftrage auch im Nachhinein zu modifizieren. Realisiert wird dieses anspruchsvolle Konzept durch eine Zeitfenstersteuerung fur die Arbeitsgange und Fordervorgauge. Zeitfenster drucken hierbei Pufferbereiche aus, in denen Aktivitaten potenziell verschiebbar sind. Sie sind entsprechend der bestehenden Vorganger-Nachfolger Beziehungen zwischen Aktivitaten unterein-ander vernetzt. Wird eine zeitliche Verschiebung einer Aktivitat erwogen, so kon-nen andere, hiervon betroffene Aktivitaten als eine Kette im Aktivitatsnetzwerk identifiziert und ihre Zeitfenster gegebenenfalls angepasst werden. Die Methode wird daher als „adaptive time window" Verfahren (ATW) bezeichnet.

EC, LC •1^

E C LCi

Einlastzeitpunkt ES 15

Abb. 4. Initialisiemng von Zeitfenstern

LS15 EC15 LC15

Das Prinzip der Zeitfenstersteuerung verdeutlicht Abb. 4 am Beispiel der Initialisiemng der Zeitfenster von Auftrag 1. Er wird als Folge von Aktivitaten aio, an... aiN aufgefasst, die abwechselnd Lastfahrten der Fordereinrichtung und Arbeitsgange an den Arbeitsstationen bezeichnen. Ausgehend von der Einlastfahrt aio wird fur alle Aktivitaten der fruheste und der spateste Startzeitpunkt sowie der fruheste und der spateste Endzeitpunkt ermittelt. Es wird davon ausgegangen, dass Aktivitaten so fruh wie moglich innerhalb ihres Zeitfensters auszufUhren sind. Der fruheste Startzeitpunkt einer Aktivitat wird daher mit dem frtihesten Endtermin der Vorgangeraktivitat gleichgesetzt. Die maximale Verweilzeit des Arbeitsgangs an der ersten Arbeitsstation Si bestimmt die zu an gehorige spateste Endzeit. Die-se Zeitspanne wird dem Zeitfenster der nachfolgenden Lastfahrt a^ zugerechnet. Auf diese Weise kumuliert das Zeitfenster einer Aktivitat die maximalen Verweil-


zeiten aller vorangehenden Arbeitsgange. Gerat eine bereits eingeplante Aktivitat im ATW-Verlauf in einen Ressourcenkonflikt, so kann aufgrund ihres Zeitfensters entschieden werden, um welche Zeitspanne diese Aktivitat hinausgezogert werden darf, ohne die Einlastfahrt des zugehorigen Auftrags zu verschieben. Zusammen mit der Vorganger-Nachfolger-Verkettung der Aktivitaten ist das zeitliche Flexibi-litatspotenzial der einzelnen Auftrage vollstandig und transparent abgebildet.

Abb. 5. Prinzipieller Ablauf des Verfahrens ATW

Abb. 5 zeigt das Zusammenspiel der Hauptschritte im ATW-Verfahren. Die Auftrage werden in der Reihenfolge ihrer Einlastung in die Produktionslinie eingeplant. Hierbei werden die Aktivitaten des aktuellen Auftrags entsprechend der Reihenfolge ihrer Durchfuhrung - also Einlastfahrt, Arbeitgang, Lastfahrt, Ar-beitsgang usw. - eingeplant. Zunachst wird eine unverzogerte Einplanung einer Aktivitat angestrebt. Ftihrt dies zu einem zulassigen Ablaufplan, so werden die Zeitfenster der von der Einplanung betroffenen Aktivitaten anderer Auftrage entsprechend angepasst. Gelingt es hingegen nicht, die Aktivitat zulassig einzupla-nen, so erfolgt ein Re-Scheduling.

Beim Re-Scheduling wird versucht, eine Aktivitat unter Ausnutzung der Ver-weilzeiten der bereits eingeplanten Aktivitaten desselben Auftrags zu verzogern. Gelingt dies, so erfolgt wiederum die Anpassung der Zeitfenster der vom Re-Scheduling betroffenen Aktivitaten. Gelingt dies nicht, so wird die aktuelle Aktivitat zuruckgestellt und ein Backtracking auf die zuletzt eingeplante Aktivitat vollzogen. Nunmehr wird ein Re-Scheduling dieser Aktivitat in prinzipiell dersel-ben Weise, wie es oben dargestellt ist, angestrebt.

Das Zusammenwirken von Re-Scheduling und Backtracking verdeutlicht Abb. 6 an einem Beispiel. Die gezeigten Aktivitaten U-Z gehoren zu Auftragen, die bereits vollstandig eingeplant sind. Aktivitat i gehort zum aktuellen Auftrag und ist


bereits auf Station Sj eingeplant. Die nachfolgende Aktivitat i+1 der Forderein-richtung K wird anschlieBend frtihestmoglich durchgefuhrt. Es zeigt sich, dass es hierdurch fiir Aktivitat i+2 zu einem Konflikt an der Station Sj+i kommt. Aufgrund einer nicht ausreichend verfUgbaren Verweilzeit von Aktivitat i+1 ist die ange-strebte Verzogerung von Aktivitat i+2 nicht moglich. Es erfolgt daher ein Backtracking zu Aktivitat i+1 und eine Verzogerung dieser Aktivitat innerhalb der Verweilzeit von Aktivitat i.

Si

K

Sj+i

u i

^ x

f\—^ i+1 i H ^ h ^ N

Z 1

Y]—[

V

i+1 i

\ i+2

ES5 E q LS^ LC5 ^ ' t

Abb. 6. Backtracking und Re-Scheduling von Aktivitaten

Nachdem die Aktivitaten eines Auftrags vollstandig eingeplant sind, erfolgt eine abschlieBende Riickwartsrekursion, wie sie aus der klassischen Netzwerktechnik bekannt ist. Hierbei wird die Kompatibilitat der Zeitfenster aller Aktivitaten des Auftrags wieder hergestellt. Eine ausfUhrliche Darstellung der erforderlichen Re-chenschritte zur netzwerkbasierten Adaption abhangiger Zeitfenster im ATW-Verfahren geben Paul et al. (2004).

5. Fallbeispiel aus der Praxis

Im Folgenden wird die Ablaufplanung einer flexiblen Produktionslinie in der Flugzeugindustrie betrachtet (Paul et al. 2001). Die Produktionslinie dient zur Oberflachenbehandlung von metallischen Teilen, die an der auBeren Hulle eines Flugzeugs im Rumpf- und Flugelbereich verbaut werden. Die hohen Qualitatsan-forderungen der aus Stahl und Aluminium geformten Komponenten machen eine auBerst exakte Einhaltung der physikalisch-chemischen Fertigungsvorschriften er-forderlich (Grubbs 2002).

5.1 Beschreibung der Produktionslinie

Die Produktionslinie besteht aus 18 Tauchbadern (Arbeitsstationen), in denen un-terschiedliche Hauptwirkprozesse sowie Farbe- und Verdichtungsprozesse und Spulvorgange zur Neutralisation der Komponenten stattfinden. Der Abstand zwi-schen zwei benachbarten Badern betragt 2 Meter. Das Transportsystem verfUgt liber eine einzige Fordereinrichtung, die mit einer Geschwindigkeit von 1 m/sec.


verkehrt. Die Hub- und Senkzeiten betragen 12,5 sec. Die Lasttransportzeit zwi-schen benachbarten Badem betragt demzufolge 27 sec.

Die Anlage gestattet die Durchfuhrung von vier unterschiedlichen Verfahren zur Oberflachenbehandlung, namlich Chromsaureanodisieren, Gelbchromatieren, Schwefelsaureanodisieren mit Verdichten und Schwefelsaureanodisieren mit Far-ben. Jedes der Verfahren wird ausgefiihrt, indem die zu behandelnden Metallteile eine Teilmenge der Bader in einer bestimmten Reihenfolge passieren.

Tabelle 2. Technische Arbeitsgangfolgen von vier Produktarten

Produktart Arbeitsgangfolge Gesamtbear-(Wirksequenz nach Tabelle 3) beitungszeit

Chromsaureanodi sieren (CSA) Gelbchromatieren (GCM) S7, Sg, S9, S^, S5 26

Si, S2, S3, S4, Se, S5 62

Schwefelsaureanodisieren (SSA) & Verdichten Schwefelsaureanodisieren (SSA) & Farben

Si3» S14, S15, S18, S17, S16, Sii, Sio, S6, S5 154

Si3> S14, S15, S12, Sii, Sio, Sg, S5 136

Tabelle 3. Reihung der Arbeitsstationen (mit Arbeitsgangdaten) in einer Produktionslinie

A K • Bearbeitungs- erlaubte relative Q AI/ r^^""^ ^ 2:eit Verweilzeit Verweilzeit Gruppe bj (Wirkprozess) TTJ (Min.) ni(Min.) UJ n, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

CSA Hauptbad CSA Spule 1 CSA Spule 2 CSA Spule 3 Trocknung BCreislaufspUle GCM Hauptbad GCM Spule 1 GCM Spule 2 Verdichten Spule 1 Verdichten Spule 2 Verdichten SSA Hauptbad SSA Spule 1 SSA Spule 2 Verdichten-Farben Farben Splile Farben

23 3 3 15 15 3 2 3 3 2 2

40 70 2 2

40 3 15

3 1 1 ---1 1 1 -1 5 3 1 -5 -5

0.130 0.333 0.333

0 0

0 0

0 0

0.500 0.333 0.333

0 0

0.500 0.125 0.043 0.500

0 0

0.125 0 0

0.333

A B B C C C B B B C B A A B C A C A

Die mittels unterschiedlicher Behandlungsformen realisierbaren vier Produktarten sind mit den zugehorigen Wirksequenzen in Tabelle 2 aufgelistet. Die Gesamtbe-arbeitungszeiten resultieren aus der Summe der Einzelbearbeitungszeiten. Es ist


erkennbar, dass einige der Bader in mehreren Verfahren zum Einsatz kommen, wahrend andere Bader exklusiv in jeweils einem Verfahren genutzt werden.

Tabelle 3 zeigt die Bearbeitungszeiten und die zulassigen Verweilzeiten in den 18 Badern. Aus dem Verhaltnis der Bearbeitungszeit und der erlaubten Verweil-zeit in einem Bad resultiert die relative Verweilzeit. Sie driickt den Grad der Fle-xibilitat aus, der bei der Belegung eines Bades im Rahmen der Ablaufplanung ausgenutzt werden kann. Die Bader, fiir die keine maximale Verweilzeit angege-ben ist, weisen in diesem Sinne eine unbegrenzte Flexibilitat auf. Die anderen Bader besitzen im hier behandelten Fall eine eher geringe Flexibilitat.

5.2 Einfluss der Verweilzeiten

Um eine Testumgebung fiir die Heuristiken EST, PBA und ATW aus dem aufge-zeigten Fallbeispiel zu generieren, werden nachfolgend die Bearbeitungszeiten und die Verweilzeiten an den Arbeitsstationen variiert. Hierfiir wird zunachst ein Verweilzeitfaktor eingefiihrt, durch den die relative Verweilzeit skaliert werden kann. Betragt der Verweilzeitfaktor 0, so wird eine no-wait Situation hergestellt, in der die Bauteile unmittelbar nach Ablauf der Bearbeitungszeit das Wirkbad ver-lassen miissen. Fiir den Verweilzeitfaktor 1 werden die in Tabelle 3 gezeigten erlaubten und relativen Verweilzeiten beibehalten. Mit einem Verweilzeitfaktor gro-Ber als 1 wird demgegeniiber die Flexibilitat bzgl. der Belegung eines Bades heraufgesetzt. Auf diese Weise kann untersucht werden, inwieweit die Heuristiken in der Lage sind, die sich ergebenden positiven Effekte erlaubter Wartezeiten im Rahmen der Ablaufplanung auszuschopfen.

0.0 0.125 0.25 0.5 1.0 2.0

Verweilzeitfaktor

Abb. 7. Leistungsvergleich der Heuristiken bei veranderlichen Verweilzeiten

Im ersten Experiment wird der Verweilzeitfaktor schrittweise zwischen 0 und 8 variiert. Fur jede dieser Einstellungen wird eine rechnerbasierte Simulation mit den Heuristiken EST, PBA und ATW durchgefiihrt. Hierbei wird jeweils dasselbe


Produktionsprogramm, bestehend aus 40 Auftragen bei gleichem Produktmix (68% CSA, 16% GCM, 8% SSA-Verdichten, 8% SSA-Farben), zugrunde gelegt. Um die Rechenergebnisse nicht durch eine vorgegebene Einlastfolge der Auftrage zu verzerren, werden innerhalb eines Simulationslaufs die Ablaufplane fiir 100 zu-fallige Einlastfolgen generiert. Der Mittelwert der hierbei beobachteten Zykluszei-ten wird anschlieBend dem Simulationslauf zugerechnet.

Abb. 7 zeigt die relativen Zykluszeiten, die von PBA und ATW gegentiber EST bei veranderlichen Verweilzeiten erzielt werden. EST kann als BezugsgroBe ge-wahlt werden, weil diese Heuristik per Konstruktion wartezeitfreie Ablaufplane erzeugt und folglich nicht auf eine Veranderung der erlaubten Verweilzeit rea-giert. Die horizontale Linie auf dem Niveau 1 driickt daher die relative Zykluszeit aus, die EST bei positiven Verweilzeiten gegentiber dem no-wait Fall erzielt.

Der Linienverlauf verdeutlicht, dass PB A und ATW jeweils eine Reduktion der Zykluszeit realisieren konnen, wenn die erlaubten Verweilzeiten an den Arbeits-stationen verlangert werden. Allerdings ist sowohl das absolute Leistungsniveau als auch die relative Verbesserung gegentiber EST fiir beide Heuristiken deutlich verschieden. Im strengen no-wait Fall erzielen ATW und EST dasselbe Leistungsniveau (tatsachlich arbeitet ATW wie EST, sofern die Verweilzeiten Null betra-gen). Demgegenuber dominiert EST das PBA-Verfahren um annahernd 17%. Bei Ausdehnung der Verweilzeiten bis zum Achtfachen der ursprUnglichen Werte kann PBA den Ruckstand zu EST lediglich um 2% verkurzen. ATW hingegen dominiert EST durchgangig und kann seinen Vorsprung sogar kontinuierlich auf mehr als 7% ausbauen.

5.3 Einfluss der Bearbeitungszeiten

Das schwache Abschneiden von PBA im vorliegenden Fall kann durch die starken Unterschiede in den Bearbeitungszeiten der Bader erklart werden. Extreme Ab-weichungen, wie sie etwa zwischen dem GCM Hauptbad mit 2 Min. und dem SSA Hauptbad mit 70 Min. zu beobachten sind (vgl. Tabelle 3), bewirken in Per-mutationsplanen an vielen Arbeitsstationen uberdurchschnittlich lange Leerzeiten. Folgt namlich z.B. ein Auftrag vom Typ GCM einem Auftrag vom Typ SSA, so darf er diesen nicht iiberholen, obwohl er mit einer Gesamtbearbeitungszeit von nur 26 Min. fiir alle erforderlichen Bader (vgl. Tabelle 2) sicherlich fertig gestellt werden konnte, noch ehe der SSA-Auftrag das Hauptbad verlassen hat. Sind im umgekehrten Fall die Unterschiede zwischen den Bearbeitungszeiten an den Arbeitsstationen nur marginal, so ist zu vermuten, dass die relative Leistungsfahig-keit von PBA gegentiber EST und ATW zunimmt.

Es werden daher in einem zweiten Experiment nun die Bearbeitungszeiten der Bader unter Beibehaltung der relativen Verweilzeiten variiert. Um hierdurch eine Niveauangleichung zwischen alien Bearbeitungszeiten herbeizuftihren, erfolgt zu-nachst eine Aufteilung der Bader in drei Gruppen (vgl. Tabelle 3).

Bader der Gruppe A weisen uberdurchschnittlich lange Bearbeitungszeiten und geringe relative Verweilzeiten auf. Bader der Gruppe B haben demgegentiber kur-


ze Bearbeitungszeiten und ebenfalls geringe relative Verweilzeiten. SchlieBlich gehoren Bader der Gruppe C an, wenn die erlaubte Verweilzeit nicht begrenzt ist.

Die Modifikation der Bearbeitungszeiten erfolgt separat innerhalb der Gruppen mittels eines Bearbeitungszeitfaktors. Betragt der Bearbeitungszeitfaktor 1, so werden die urspriinglichen Bearbeitungszeiten beibehalten. Der Faktor wird bis zu einem Wert von 0,05 abgesenkt. Fiir die betroffenen Bader wird hierdurch die Be-arbeitungszeit auf ein Zwanzigstel der urspriinglichen GroBe reduziert. Die Bear-beitungszeit des SSA-Hauptbades (Gruppe A) kann also z.B. von 70 Min. auf bis zu 3,5 Min. verkiirzt werden, was der durchschnittlichen Bearbeitungszeit aller Bader in Gruppe B (2,57 Min.) sehr nahe kommt.

1.05

1

0.95

0.9

0.85

0.8

0.75

0.7

0.65

Gruppe A —^— Gruppe B — ^ ^ Gruppe C + ••

r^--^^'^ k

0.2 0.4 0.6

Bearbeitungszeitfaktor

0.8

Abb. 8. Leistungsvergleich der Heuristiken bei veranderlichen Bearbeitungszeiten

Unter ansonsten unveranderten Bedingungen wird nun das Leistungsverhalten von ATW und PBA getestet. Da ATW das EST-Verfahren prinzipiell dominiert, wird auf eine erneute Beriicksichtigung von EST verzichtet. Abb. 8 zeigt die ermittelten relativen Zykluszeiten von ATW gegenuber PBA bei variierenden Bearbeitungszeiten in den drei Gruppen A, B und C. Die Kennlinie fiir Gruppe B verdeutlicht, dass eine Verkurzung der Bearbeitungszeiten von Badern, die bereits vergleichs-weise kurze Bearbeitungszeiten aufweisen, eine weitergehende Verschlechterung der Qualitat der von PBA ermittelten Permutationsplane bewirkt. Demgegenuber wird durch eine Niveauangleichung der Bearbeitungszeiten aller Bader (ausgelost durch die Verktirzung der Bearbeitungszeiten in Gruppe A, vgl. Kennlinie) der umgekehrte Effekt ausgelost. Je geringer die Unterschiede zwischen den Bearbeitungszeiten werden, umso leistungsfahiger wird PBA gegenuber ATW. Werden die Bearbeitungszeiten in Gruppe A mit dem Faktor 0,05 abgesenkt, so dominiert PBA sogar ATW, d.h. die Zykluszeit des Permutationsplans ist kurzer als die Zyk-luszeit des von ATW ermittelten Ablaufplans.


5.4 Zusammenfassung

Angesichts des Schwierigkeitsgrads der Ablaufplanung in einer flexiblen Mehr-produkt-Produktionslinie hat der Beitrag unterschiedliche heuristische Losungsan-satze aufgezeigt und ihre Leistungsfahigkeit an einem Fallbeispiel aus der Praxis untersucht. Es stellte sich heraus, dass es sowohl prinzipiell moglich als auch Er-folg versprechend im Sinne der Zielerreichung ist, zulassige Verweilzeiten als Freiheitsgrad in die heuristische Ablaufplanung einzubeziehen. Ob dies besser durch eine permutationsbasierte Planung oder durch eine adaptive Zeitfenstersteu-erung realisiert wird, hangt hingegen von der Problemstruktur ab. Differieren die Bearbeitungszeiten stark - wie oft in der Praxis zu beobachten - so ist die adaptive Zeitfenstersteuerung die klar Uberlegene Methode.

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Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

Sven Behrens

Fakultat fur Wirtschaftswissenschaft, Ruhr-Universitat Bochum

1. Einfuhrung

Wer Klaus-Peter Kistner kennt, weiB, dass ihm betriebswirtschaftliche Modelle viel Freude bereiten, vor allem, wenn sie eine mathematische Formulierung auf-weisen. Im besonderen MaBe gilt dies fUr die LosgroBenmodelle der Lagerhal-tungstheorie, und so ist es kein Wunder, dass die Lagerhaltungstheorie als Vorle-sung im Kistnerschen Lehrprogramm an der Universitat Bielefeld einen besonderen Stellenwert einnimmt.

Im Sommer 2004 war es mir moglich, diese Vorlesung im Rahmen eines Lehr-auftrags naher kennen zu lernen, und so entstand die Idee, einen Beitrag zur Lagerhaltungstheorie fur diese Festschrift zu verfassen. Nun ist die Lagerhaltungstheorie bereits ein geschlossenes Lehrgebaude mit statischen und dynamischen, deterministischen und stochastischen, unkapazitierten und kapazitierten sowie ein-stufigen und mehrstufigen Modellen, so dass es auf den ersten Blick schwer fallt, dort eine Lticke zu finden, die noch zu fUllen ist. Andererseits sind die LosgroBenmodelle, die in der Lagerhaltungstheorie behandelt werden, allesamt dreiBig Jahre und alter, und die Betriebswirtschaftslehre ist seitdem nicht stehen geblie-ben.

Ein - aus Sicht der Lagerhaltungstheorie - neuerer Aspekt, den ich mit diesem Beitrag aufnehmen mochte, ist die Entwicklung zur verteilten Entscheidungsfin-dung.i Angewandt auf LosgroBenmodelle bedeutet sie, dass es einen Unterschied macht, ob eine mehrstufige Fertigung innerhalb eines Unternehmens oder verteilt auf mehrere selbststandige Unternehmen stattfindet. Dieser Unterschied wird durch die Begriffe „Zulieferer" und „Abnehmer" im Titel verdeutlicht. Wenn die LosgroBenentscheidungen in einer mehrstufigen Fertigung nicht mehr in einer Hand liegen, sondern auf eine Zulieferer- und eine Abnehmerseite verteilt sind, hat dies Auswirkungen. Auswirkungen, die sich - wie in diesem Beitrag deutlich wird - als trade-offs thematisieren lassen, denn setzt der Abnehmer sein Interesse durch, so geht dies zu Lasten des Zulieferers, nimmt er hingegen Abstriche vor, so kann jener davon profitieren.

Vgl. den Ubersichtsartikel SchneeweiB 2003.

224 Sven Behrens

Die damit angesprochenen trade-offs erweitern die im Rahmen von Losgro-Benmodellen schon immer thematisierten trade-offs zwischen bestandsabhangigen und losfixen Kosten. Durch die auf Zulieferer und Abnehmer verteilte Entschei-dungsfindung entstehen vier KostengroBen, zwischen denen trade-offs bestehen, namlich die bestandsabhangigen und losfixen Kosten des Zulieferers und die bestandsabhangigen und losfixen Kosten des Abnehmers.

Ehe diese trade-offs im vierten Abschnitt in verschiedenen Modellen quantifi-ziert werden, wird im zweiten Abschnitt zunachst der Gegenstand der Lagerhal-tungstheorie sowie die Vielfalt der LosgroBenmodelle geklart. Im dritten Abschnitt erfolgt die Hinfuhrung auf die verteilte Entscheidungsfindung.

2. Lagerhaltungstheorie und LosgroBenmodelle

2.1 Der Gegenstand der Lagerhaltungstheorie

Ein Lager ist zunachst ein Gebaude, in dem materielle GUter eingelagert werden. In dieser Funktion ist ein Lager Gegenstand verschiedener Fachlehren und wissen-schaftlicher Disziplinen, die sich mit der Gebaudetechnik, der Einlagerungstech-nik und Ahnlichem befassen. Dass ein Lager dartiber hinaus auch Gegenstand der Betriebswirtschaftslehre ist, verdankt es zwei Umstanden, namlich

• zum einen, dass mit dem Betrieb des Lagers die Auspragung betriebswirt-schaftlicher ZielgroBen, insbesondere AufwandsgroBen, beriihrt ist,

• zum zweiten, dass es Handlungsalternativen hinsichtlich dieses Betriebs gibt, durch die die Auspragung der ZielgroBen beeinflusst wird.

Beide Umstande bewirken zusammengenommen, dass es sinnvoll erscheint, Mo-delle zu entwickeln, die sich der effizienten und optimalen Gestaltung eines Lagers annehmen. Effiziente Gestaltung bedeutet dabei, sich auf solche Handlungsalternativen zu beschranken, die nicht von besseren Handlungsalternativen dominiert werden. Eine optimale Gestaltung liegt vor, wenn diejenige Handlungs-alternative ausgewahlt wird, die den optimalen Wert einer Zielfunktion erreicht. Handelt es sich bei der Zielfunktion um eine Kostenfunktion, so gilt es diese zu minimieren, liegt eine Gewinnfunktion vor, wird der maximale Wert gesucht.

Effizienz und Optimalitat sind betriebswirtschaftliche Kriterien, die normative Aussagen in dem Sinne erlauben, dass aus einer Menge von Handlungsalternativen ausgewahlt wird. Wahrend die Effizienz die Aussonderung unzweckmaBiger Alternativen erlaubt, ermoglicht die Optimalitat die weitergehende Festlegung einer herausragenden Alternative. Daher ist einem Optimierungsmodell grundsatz-lich der Vorrang gegeniiber einem bloBen Effizienzmodell einzuraumen. Dass es gleichwohl nicht nur Optimierungsmodelle, sondem auch Effizienzmodelle gibt, liegt daran, dass ein Optimierungsmodell die Formulierung einer Zielfunktion ver-langt - eine Voraussetzung, die haufig nicht erfUllbar ist. Ein Beispiel dafur bietet der vorliegende Beitrag, in dem die Interessen von Zulieferer und Abnehmer ge-geneinander abgewogen werden. Gehoren beide unterschiedlichen Unternehmen

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen 225

an, so ist die Formulierung einer gemeinsamen Zielfunktion eher nicht zu erwar-ten, auch wenn die Literatur zum Supply Chain Management gerade dieses nahe legt.

Nun ist die Ausgestaltung der Lagerhaltung ein weites Feld, und Handlungsal-ternativen bestehen hinsichtlich der unterschiedlichsten Gegenstande, z.B.

• quantitative und qualitative Kapazitat des Lagers (GroBe, Art der einzulagern-den Artikel)

• Standort des Lagers (Verkehrsanbindung, Entfemung zu anderen Standorten) • Zweck des Lagers (Rohstoffe, Zwischenprodukte, Endprodukte) • Lagergebaude (Fassadengestaltung, Regaltechnik) • Lagerungstechnik (Computersteuerung, Robotereinsatz, Ein-/Auslagerungster-

minals) • Lagerungssicherheit (Kodierung der Bestande, Zugangsbeschrankungen) • Lagerbestande (Sicherheitsbestande, saisonale Bestande, losgroBenbedingte

Bestande)

Zwischen den genannten Gegenstanden einer betriebswirtschaftlichen Gestaltung der Lagerhaltung bestehen zudem Interdependenzen. So legt beispielsweise die quantitative Kapazitat Obergrenzen fur die Bestande fest. Der Abstand zu den Produktionsstatten bzw. Absatzmarkten hangt damit zusammen, ob Zwischenprodukte Oder Endprodukte eingelagert werden. Die Ausgestaltung des Lagergebau-des hat Einfluss auf Sicherheitsaspekte usw.

Diese Interdependenzen konnen dazu verleiten, ein Totalmodell aufzustellen, in dem alle relevanten Aspekte abgedeckt sind. Die Anwendung der betriebswirt-schafdichen Kriterien der Effizienz und Optimalitat auf dieses Totalmodell fiihrt dann zu umfassenden Gestaltungsempfehlungen. In der Tat sind eine Zeit lang sol-che betriebswirtschafdichen Totalmodelle aufgestellt worden. Mehrere Griinde haben dazu gefiihrt, dass dieser Weg zurzeit aber nicht weiter verfolgt wird:^

1. Jedes Totalmodell ist nur auf einer bestimmten Aggregationsstufe tatsachlich ein Totalmodell. Ein reines Lagerhaltungsmodell vernachlassigt beispielsweise die Interdependenzen zur Produktion und zum Absatz. Versucht man auch diese Interdependenzen zu erfassen, so bleiben doch Finanzierungswirkungen un-beriicksichtigt usw. Der Anspruch, ein Totalmodell aufzustellen, fuhrt somit unweigerlich dazu, fur jede Einzelentscheidung, die an irgendeiner Stelle im Betrieb zu fallen ist, die gesamte Geschaftstatigkeit des Unternehmens in ei-nem einzigen Modell zusammenzufuhren.

2. Je mehr Daten in einem Modell verwaltet werden, desto starker macht sich bemerkbar, dass die verwendeten Daten keine bloBen Fakten sind, die unab-hangig von den handelnden Personen und von Raum und Zeit Giiltigkeit haben. Vielmehr stellen die mangelnde Vollstandigkeit und Aktualitat der Daten sowie diverse Fehlerquellen, die zu falschen Angaben fiihren, ein erhebliches Problem dar, das die Anwendung von Modellen stark beschrankt.

2 Vgl. auch Kistner u. Steven 2001, S. 207.

226 Sven Behrens

3. Die Bedeutung eines Modells fiir die praktische Anwendung wird in erhebli-chem Mafie von seiner Losbarkeit bestimmt. Je mehr Variablen ein Modell enthalt, desto schwieriger ist es, eine optimale Losung anzugeben. Dies gilt insbesondere fur ganzzahlige oder binare Variablen. In der Tat lasst sich die Geschichte der Betriebswirtschaftslehre auch als eine Geschichte der verwen-deten Losungsmethoden lesen. Wahrend im 19. Jahrhundert Kalkiile, die auf Grenznutzen und Grenzkosten basieren und sich dabei auf die Differenzial-und Integralrechnung stutzen, dominierten, nahmen in der zweiten Halfte des 20. Jahrhunderts mit der Entdeckung des Simplex-Algorithmus lineare Model-le einen enormen Aufschwung.

Die Alternative zur Aufstellung eines Totalmodells, die Gestaltungsfragen in je-weils einem Partialmodell zu behandeln, fiihrt jedoch ebenso wenig zu sinnvollen Ergebnissen. Will man beispielsweise die kostenminimale Ausgestaltung der La-gerkapazitat in einem Partialmodell ermitteln, so fuhrt dies folgerichtig zu dem Ergebnis, dass eine Minimierung dieser Kosten nur mit dem Verzicht auf jegliche Lagerkapazitat zu erreichen ist, da ja die Kosten fur den Aufbau einer Lagerkapa-zitat monoton mit der GroBe des Lagers steigen. Aus der Gesamtsicht ebenso sub-optimal ist, wenn eine Maximierung der Sicherheitstechnik den Ablauf der Ein-und Auslagerung erheblich behindert.

Wenn nun weder die Erfassung aller Interdependenzen in einem Totalmodell noch die Missachtung der Interdependenzen in Partialmodellen zu befriedigenden Ergebnissen fiihrt, stellt sich die Frage nach einem goldenen Mittelweg. Dieser ist in der Betriebswirtschaftslehre mit den hierarchisch integrierten Modellen gefun-den worden.^ Hierarchisch integrierte Modelle zeichnen sich dadurch aus, dass sie ein Gestaltungsproblem in Teilprobleme zerlegen, die einzeln gelost werden, dass zugleich aber die partiellen Losungen sinnvoll zusammenwirken. Das wesentliche Instrument ist dabei die Hierarchisierung, das heiBt die Zerlegung in vertikal an-geordnete Planungsebenen:^

• Auf der strategischen Planungsebene werden grundlegende Entscheidungen iiber Ziele, Ressourcen und Strategien getroffen.

• Auf der taktischen Planungsebene wird der effiziente und effektive Einsatz der Ressourcen sichergestellt.

• Auf der operativen Planungsebene werden untergeordnete spezielle Aufgaben ausgestaltet.

Die Planungsebenen unterscheiden sich nach ihrer Bindungskraft, nach ihrer Fristigkeit und nach ihrer Detaillierung. Strategische Entscheidungen bilden Vor-gaben fur die taktische Planungsebene, taktische Entscheidungen wiederum bestimmen uber das Entscheidungsfeld auf der operativen Planungsebene. Strategische Entscheidungen wirken zudem in der Regel langfristig und konnen auch

^ Zur hierarchischen Planung vgl. Kistner 1992. Die Bezeichnung ,Jiierarchisch integriert" geht auf Rollberg 2002, S. 142f, zuruck, um sie von der ebenfalls hierarchischen Suk-zessivplanung abzugrenzen.

^ Vgl. dazu Kistner u. Steven 2001, S. 12.


nur mit erheblichem Aufwand korrigiert werden. Taktische Entscheidungen wei-sen hingegen in der Regel eine mitdere Fristigkeit auf, wahrend operative Entscheidungen kurzfristig wirken. Strategische Entscheidungen betreffen stark ag-gregierte Daten und Variablen, die fiir taktische und operative Entscheidungen wieder disaggregiert werden konnen.

Im Zusammenhang mit der Lagerhaltung bedeutet dies, dass sich die Gegen-stande der Gestaltung hinsichtiich ihres Rangs unterscheiden. Dabei kommt ein strategischer Rang allenfalls der Frage zu, ob das Lager selbst betrieben werden soil Oder die damit verbundenen Aufgaben fremdvergeben werden sollen. Die taktische Planungsebene betrifft die Wahl der Kapazitat und des Standorts sowie den Zweck des Lagers. Die Ausgestaltung des Gebaudes, der Technik, der Sicherheit und der Bestande sind von der taktischen Planung abhangige operative Teilprob-leme. Dabei ist zu beachten, dass das Konzept der hierarchisch integrierten Planung keine reine Sukzessivplanung vorsieht. Vielmehr sind die antizipierten Er-gebnisse der operativen Planungsmodelle bei der taktischen Gestaltung zu beriicksichtigen. So wird beispielsweise Uber die quantitative Kapazitat des Lagers nicht unabhangig von den erwarteten Lagerbestanden entschieden. Weiter beein-flussen bestimmte Fragen der Lagertechnik und des Gebaudes die Standortwahl usw.

Ein besonderer Vorzug der hierarchisch integrierten Planung liegt aus produk-tionswirtschaftlicher Sicht darin, dass die Integrationsleistungen der Planung weitgehend auf der taktischen Ebene erfolgen mussen, wahrend auf der operativen Ebene uneingeschrankt Partialmodelle eingesetzt werden konnen. Da der Schwer-punkt der produktionswirtschaftlichen Modellbildung traditionell auf der operativen Ebene der LosgroBen- und Reihenfolgeplanung liegt, lassen sich diese Model-le muhelos in eine hierarchisch integrierte Planungskonzeption einbetten.

Im Folgenden beschranken auch wir uns auf die operative Planungsebene, und zwar auf die Planung der Lagerbestande. Als Lagerbestand wird die eingelagerte Menge eines Artikels verstanden. Bestande bestehen aus vier verschiedenen Be-standsarten, die aus unterschiedlichen Griinden im Lager gehalten werden:^

• Sicherheitsbestand. Er wird bei Unsicherheit bezuglich des Lagerzugangs und -abgangs sowie positiver Wiederbeschaffungsfrist gehalten, um Fehlbestande zu vermeiden.

• LosgroBenbestand. Er resultiert aus einem losweisen Lagerzugang oder -ab-gang.

• Saisonbestand. Er entsteht, wenn sich Nachfrage und Angebot zeitweise unterscheiden (z.B. bei landwirtschafdichen Erzeugnissen).

• Work in Process (WIP). Er umfasst Bestande im laufenden Prozess wahrend der Durchlaufzeit. Er befindet sich dann im Lager, wenn die Wertschopfung dort erfolgt (z.B. Spekulationsbestand oder Reifung).

Die Optimierung der Bestande kann nicht pauschal, sondern nur getrennt fUr jede Bestandsart erfolgen. Wahrend fUr die Gestaltung der Sicherheitsbestande MaB-nahmen zur Verminderung der Unsicherheit ergriffen und bei nicht weiter redu-

Vgl. Fleischmann 2003, S. 23.

228 Sven Behrens

zierbarer Unsicherheit stochastisciie Modelle zur Minimierung der resultierenden Kosten herangezogen werden konnen, dienen zur Gestaltung des LosgroBenbe-stands LosgroBenmodelle. Saisonbestande konnen mit geeigneten LP-Modellen minimiert werden, der WIP durch eine Verringerung der Durchlaufzeit. In der La-gerhaltungstheorie werden traditionell LosgroBenmodelle behandelt.

2.2 LosgroBenmodelle

Die grundlegende Entdeckung, die die Entwicklung der Lagerhaltungstheorie an-gestoBen hat, ist vor fast hundert Jahren gemacht worden. „How many parts to make at once?" fragte der amerikanische Ingenieur F.W. Harris und bot als Ant-wort einen fertigen mathematischen Kalkiil, den wir noch heute als „klassisches LosgroBenmodell" in unseren Lehrveranstaltungen behandeln.^

Harris entdeckte, dass es Kosten gibt, die unmittelbar von der GroBe eines Loses abhangen, und es gelang ihm, eine Kostenfunktion zu formulieren, in der diese Abhangigkeit ausgedruckt ist. Die Minimierung dieser Kostenfunktion fiihrt dann zu der optimalen (kostenminimalen) LosgroBe. Die Eleganz dieser Losung liber-zeugt bis heute, denn in der optimalen LosgroBe werden zwei gegenlaufige Ten-denzen ausgeglichen, namlich die Tendenz zu groBen Losen, die vom Rustauf-wand herruhrt, der fur jede Losauflage zu treiben ist, und die Tendenz zu kleinen Losen, die von den variablen Lagerhaltungskosten ausgeht, die fUr die Bestande anfalien. In der optimalen LosgroBe stimmen beide Kostenbestandteile genau u-berein.

Gleichwohl zeigt die bis heute anhaltende Diskussion uber LosgroBenmodelle, dass mit dem kiassischen LosgroBenmodell von Harris nicht alle denkbaren Falle erfasst sind. Die Pramissen, die dem Modell von Harris zugrunde liegen, schran-ken seine Allgemeingiiltigkeit ein. Vor allem vier Pramissen sind es, die zur Wei-terentwicklung der Lagerhaltungstheorie durch immer neue Modelle angeregt ha-ben:

• Harris nimmt an, dass die Nachfrage nach dem gelagerten Artikel im Zeitver-lauf vollig gleich bleibt. Insofern ist sein Modell ein statisches Modell. In der Folgezeit sind dynamische LosgroBenmodelle entwickelt worden, die eine schwankende Nachfrage zulassen.

• Weiter liegt dem kiassischen LosgroBenmodell die Annahme vollstandiger Information zugrunde, so dass keine Unsicherheit uber die zuktinftige Nachfrage besteht. Insbesondere ist es bei effizientem Verhalten unmoglich, dass Fehl-mengen entstehen. Insofern handelt es sich bei dem kiassischen LosgroBenmodell um ein deterministisches Modell. In der Folgezeit sind stochastische LosgroBenmodelle entwickelt worden, die unter anderem Fehlmengen zulassen.

• Im kiassischen LosgroBenmodell wird nur ein Produkt eingelagert, die Lager-und Fertigungskapazitat ist unbegrenzt. Insbesondere gibt es keine Engpasse, die aus der Konkurrenz mehrerer Produkte um einen begrenzten Lagerraum

Vgl. Harris 1913.


stammen. In der Folgezeit sind LosgroBenmodelle fur mehrere Produkte ent-wickelt worden, die Kapazitatsbeschrankungen beriicksichtigen.

• Die LosgroBenentscheidung erfolgt im klassischen LosgroBenmodell unabhan-gig von der Einbettung in eine Abfolge von Fertigungsstufen. Insbesondere geht Harris davon aus, dass die Versorgung mit Vorprodukten und Rohstoffen gewahrleistet ist. In der Folgezeit sind mehrstufige LosgroBenmodelle, in de-nen die Koordination miteinander verknupfter LosgroBenentscheidungen the-matisiert wird, entwickelt worden.

Von den hier angesprochenen Entwicklungen der Lagerhaltungstheorie steht die Mehrstufigkeit der Fertigung im Mittelpunkt des vorliegenden Beitrags. In mehr-stufigen Modellen werden sachliche Interdependenzen zwischen den LosgroBenentscheidungen benachbarter Fertigungsstufen berticksichtigt. Wahrend die Nach-frage auf der Endproduktstufe vom Absatzmarkt vorgegeben ist, hangt die zeitliche Verteilung des Bedarfs nach Vorprodukten und Rohstoffen von den Dis-positionen der nachgelagerten Stufe ab. Mehrstufige LosgroBenmodelle ermogli-chen es, die losgroBenbezogenen Dispositionen der Fertigungsstufen zu koordinie-ren. Der Einsatz verschiedener Koordinationsinstrumente, insbesondere die EinfUhrung einer gemeinsamen Planung, hangt aber von der Struktur der Fertigung ab. Im folgenden Abschnitt werden daher zunachst Besonderheiten prozess-orientierter Strukturen vorgestellt.

3. Lagerhaltung in prozessorientierten Strukturen

In der Lagerhaltungstheorie und auch sonst in vielen Bereichen der Produktions-wirtschaft wird die Annahme verwendet, dass es ein einheitliches Entscheidungs-zentrum gibt, in dem alle relevanten Informationen verfugbar sind und die Ent-scheidungen auf dieser Grundlage getroffen werden. FUr dieses Entschei-dungszentrum - man kann dafUr den Begriff „Produzent" verwenden - gelten zudem einheitliche Praferenzen, mit denen eine Entscheidungssituation und die Auswirkungen der getroffenen Dispositionen bewertet werden. In kleineren Betrieben weist der Unternehmer diese zentrale Rolle auf, in groBeren Betrieben der Abteilungsleiter oder das Vorstandsmitglied fur die Produktion.

Angesichts der Detailfiille der Dispositionen und der von den zeitlichen und sachlichen Interdependenzen hervorgerufenen Komplexitat ist es aber undenkbar, dass alle relevanten Entscheidungen von einer zentralen Stelle aus getroffen werden. In der Praxis findet sich vielmehr eine dezentral verteilte Entscheidungsfin-dung. Dass dennoch die Pramisse eines einheitlichen Entscheidungszentrums nicht vollig an der Realitat vorbeigeht, hangt mit zwei Umstanden zusammen, namlich

• zum einen den verwendeten hierarchisch integrierten Planungsansatzen. Sie bewirken, dass die relevanten Informationen in den verschiedenen Planungs-ebenen vorliegen, die Entscheidungen aufeinander abgestimmt und die Interdependenzen dabei angemessen berticksichtigt werden.

230 Sven Behrens

• zum anderen dem implizit angenommenen Solidaritatsaxiom.^ Es besagt, dass die Praferenzen aller Beteiligten in der Produktion ubereinstimmen, und stellt sicher, dass eine einheitliche Bewertung der Handlungsalternativen besteht. Das Solidaritatsaxiom beinhaltet, dass es kein opportunistisches Verhalten von Bereichsmanagern oder ausfUhrend Beschaftigten gibt, so dass auch keine An-reize ftir ein Verhalten, das konform zu den Praferenzen der Unternehmenslei-tung ist, gesetzt werden mussen.

Beide Umstande, die hierarchisch integrierte Planung und die Solidaritat, besitzen eine unternehmensweite Gultigkeit und ermoglichen es so, die Produktion eines Unternehmens als Einheit aufzufassen. Sie bilden die Rechtfertigung fur die pro-duktionswirtschaftlichen Modelle, die von einer derartig einheitlichen Produktion ausgehen. Aus diesem Grund sind auch bislang kaum Principal-Agent-Ansatze im Bereich der Produktionswirtschaft formuliert worden.^

Hierarchisch integrierte Planung und Solidaritatsaxiom geraten jedoch an Grenzen, wenn untemehmensUbergreifende Entscheidungen modelliert werden. In zwischenbetrieblichen Kooperationen fehlt in der Kegel eine gemeinsame Instanz, in der eine hierarchisch integrierte Planung koordiniert wird. Auch kann nicht da-von ausgegangen werden, dass die Praferenzen der beteiligten Unternehmen ubereinstimmen. Wenn es beispielsweise darum geht, welcher der Partner ein Lager vorhalt und damit das Risiko fur Nachfrageschwankungen tragt, oder auch bei Preisverhandlungen besteht ein Konflikt zwischen den Partnern, der mit einem Kompromiss zwischen den gegenlaufigen Interessen ausgeraumt werden muss.

Hinzu kommt, dass auch der Austausch von Informationen liber Unterneh-mensgrenzen hinaus zusatzliche Schwierigkeiten aufwirft. Neben eher technisch bedingten Schwierigkeiten wie unterschiedlichen Bezeichnungen und Datenfor-maten sowie Soft- und Hardwareunterschieden tritt hier vor allem das Problem der Geheimhaltung sensibler Informationen auf. Wenn beispielsweise ein Abnehmer weiB, dass das Lager des Zulieferers voll ist, besitzt er einen zusatzlichen Ver-handlungsspielraum und kann einen Rabatt durchsetzen.^ Der Zulieferer wird darum in diesem Fall versuchen, diese Information vor dem Abnehmer geheim zu halten.

FUr die Lagerhaltungstheorie folgt daraus, dass ein einheitlicher Planungsansatz fur mehrstufige LosgroBenentscheidungen nur dann verwendet werden kann, wenn sich die Fertigungsstufen in einem Unternehmen befinden. Bei unterneh-mensubergreifenden Logistikketten hingegen kann weder davon ausgegangen werden, dass alle relevanten Informationen zentral vorliegen, noch dass einheidi-che Praferenzen darUber bestehen, welche Dispositionen vorzunehmen sind. Modelle fiir untemehmensUbergreifende mehrstufige LosgroBenentscheidungen mussen demnach sowohl das Problem der unvoUkommenen Information als auch die abweichenden Praferenzen beriicksichtigen.

7 Vgl. Albach 1997, S. 1263. ^ Eine Ausnahme bildet allerdings Luhmer 1999. 9 Vgl. Bretzke 2002.


Dass gleichwohl ein Bedarf an Modellen fur diese Situation existiert, hangt mit dem gegenwartig feststellbaren Trend zu prozessorientierten Strukturen zusam-men. Diese zeichnen sich durch die Kooperation mehrerer organisatorischer Ein-heiten aus, die dabei zumindest in Grenzen selbststandig agieren, sich jeweils am okonomischen Prinzip orientieren und untereinander Interdependenzen aufweisen. Prozessorientierte Strukturen entstehen zum einen durch eine Modularisierung aus hierarchischen Strukturen, zum anderen durch Verfestigung marktlicher Bezie-hungen in Form einer Kooperation selbststandiger Unternehmen.^^ Sie umfassen beispielsweise Netzwerke, Allianzen, virtuelle Unternehmen, modulare Fabriken, fraktale Fabriken und Center-Organisationen. Beispiele bilden die Zerlegung von ABB anlasslich der Fusion von Asea und BBC im Jahre 1988 oder Zulieferer-Netzwerke in der Automobilindustrie.

Prozessorientierte Strukturen nehmen eine mittlere Stellung zwischen hierarchischen Strukturen und marktlichen Beziehungen ein. Von hierarchischen Strukturen unterscheidet sie das Fehlen einer zentralen koordinierenden Instanz, von marktlichen Beziehungen die Langfristigkeit der Zusammenarbeit, die gemeinsa-me Planung und der erhohte Informationsaustausch.

4. LosgroBenmodelle fur Zulieferer-Abnehmer-Beziehungen

4.1 Voruberlegungen

In einem zweistufigen LosgroBenmodell sind grundsatzlich vier Kostenkompo-nenten zu beachten, namlich die losfixen und bestandsabhangigen Kosten des Ab-nehmers sowie die losfixen und bestandsabhangigen Kosten des Zulieferers. Die Hohe dieser Kosten hangt bekanntlich nicht allein von den gewahlten LosgroBen, sondern auch von den Pramissen der Modellierung ab. Aus diesem Grund werden diese Pramissen zunachst prazisiert.

Wie im klassischen LosgroBenmodell wird eine konstante exogen vorgegebene Nachfragerate angenommen, die der Abnehmer zu erfiillen hat. Weiter werden Fehlmengen beim Abnehmer wie auch beim Zulieferer ausgeschlossen. Es gibt keinen Mengenrabatt, so dass alle Kostenparameter, namlich sowohl die losfixen Kosten als auch die Lagerhaltungskostensatze fur Abnehmer und Zulieferer, kon-stant sind.

Fur den Lagerzugang lassen sich sowohl beim Abnehmer als auch beim Zulieferer unterschiedliche Annahmen setzen. Aus diesen Unterschieden resultiert die Vielfalt der im Folgenden dargestellten Modelle. Zu beachten ist dabei, dass der Lagerzugang beim Abnehmer mit dem Lagerabgang des Zulieferers korrespon-diert. Dabei wird vom Transportvorgang abstrahiert, das heiBt, es wird angenommen, dass eine Menge, die das Ausgangslager des Zulieferers verlasst, unmittelbar in die Produktion des Abnehmers einmiindet.

' Vgl. Behrens 2000.

232 Sven Behrens

Die einfachste Pramisse ist, dass sowohl das Lager des Zulieferers als auch das Lager des Abnehmers mit unendlicher Rate aufgefullt wird. Unendliche Produkti-onsrate beim Zulieferer bedeutet, dass er entweder eine geschlossene Produktion aufweist oder nicht selbst produziert, sondem als Handler auftritt. Eine unendliche Zugangsrate beim Abnehmer entspricht einer geschlossenen Produktweitergabe seitens des Zulieferers.

Demgegenuber wird bei einer endlichen Produktionsrate des Zulieferers das Ausgangslager aus einer offenen Produktion heraus kontinuierlich aufgebaut. Eine endliche Zugangsrate des Abnehmers wird durch eine offene Produktweitergabe durch den Zulieferer erreicht. Sind beide Zugangsraten endlich, mussen die beiden Falle unterschieden werden, dass der Abnehmer eine geringere bzw. eine hohere Rate als der Zulieferer aufweist.

Aus der Kombination von endlicher und unendlicher Lagerzugangsrate beim Zulieferer bzw. Abnehmer ergeben sich die drei in Tabelle 1 angegebenen Model-lierungsvarianten. Weiterhin sind Autoren angegeben, die sich mit dem jeweiligen Modell auseinander gesetzt haben. Der letzten Spalte kann entnommen werden, in welchem Abschnitt das entsprechende Modell behandelt wird.

Tabelle 1. Varianten des LosgroBenmodells flir Zulieferer-Abnehmer-Beziehungen

Zugangsrate Zulieferer Zugangsrate Abnehmer Autoren Abschnitt unendlich unendlich Goyal 4.2

endlich unendlich Fandel, Stadtler 4.3 Mtiller-Merbacl Bogaschewsky

J,. , J,. , Mtiller-Merbach, . . endlich endlich T i i 4.4

4.2 Das Modell von Goyal

Zur Darstellung der Modelle werden zunachst die benotigten Bezeichnungen ein-gefuhrt.^^ Sie werden in alien drei folgenden Abschnitten verwendet.

d - Nachfrage nach dem Produkt des Abnehmers

c^ - losfixe Kosten beim Abnehmer

Ci - Lagerhaltungskostensatz fiir Endprodukte des Abnehmers

cf - losfixe Kosten beim Zulieferer

cf - Lagerhaltungskostensatz fiir Endprodukte des Zulieferers

q"^ - LosgroBe des Abnehmers

q^ - LosgroBe des Zulieferers

k^ - losfixe Kosten pro Zeiteinheit beim Abnehmer

A:f - losfixe Kosten pro Zeiteinheit beim Zulieferer

^ Die Bezeichnungen sind in Anlehnung an Kistner u. Steven 2001, S. 41, gewahlt.


kf - bestandsabhangige Kosten pro Zeiteinheit beim Abnehmer

kl - bestandsabhangige Kosten pro Zeiteinheit beim Zulieferer

k^ - gesamte losgroBenabhangige Kosten pro Zeiteinheit beim Abnehmer

k'^ - gesamte losgroBenabhangige Kosten pro Zeiteinheit beim Zulieferer

Da der Abnehmer eine unendliche Zugangsrate und eine endliche Abgangsrate aufweist, gilt fUr ihn das klassische LosgroBenmodell im Bestellfall. Das heiBt, es gilt:

k i = ^ (4.1) q

und

kL-\q^'ct (4.2)

Bevor die Kosten des Zulieferers berechnet werden konnen, ist zunachst festzu-stellen, dass ein Los des Zulieferers aufgrund der geschlossenen Produktweiterga-be immer mindestens ein Los des Abnehmers umfassen muss, denn sonst entste-hen Fehlmengen. Weiter ist es ineffizient, wenn der noch nicht vom Abnehmer beanspruchte Anteil zu gering ist, um ein weiteres Los des Abnehmers abzude-cken. In diesem Fall muss der Zulieferer ein neues Los auflegen, obwohl noch ein Restlagerbestand vorliegt. Diese Handlungsalternative wird von einer Losauflage-politik dominiert, bei der ein Los immer dann aufgelegt wird, wenn kein Restlagerbestand mehr vorliegt und ein neues Abnehmerlos befriedigt werden muss. Diese Argumentation zeigt, dass ein Zuliefererlos aus Effizienzgriinden immer das ganzzahlige Vielfache eines Abnehmerloses umfassen wird, das heiBt, es gibt eine ganze Zahl n , so dass

q^ =n-q^ (4.3)

Ein Loszyklus des Zulieferers umfasst dementsprechend n Loszyklen des Abnehmers, und es gilt somit

f =-^ = -V- (4.4) n-q q

Der Lagerbestand des Zulieferers ergibt sich aus der Abb. L Es folgt:

^f=i («- l ) . ,^ .c != l .^ . / . c f (4.5) 2 2 n

Die losgroBenbedingten Kosten des Abnehmers hangen nur von seiner eigenen LosgroBe ab, so dass er unabhangig vom Zulieferer dariiber verfugen kann. Der Zulieferer muss hingegen bei seiner Disposition die Hohe der Abrufmenge des Abnehmers beachten. Dieses einseitige Abhangigkeitsverhaltnis ergibt sich aus

234 Sven Behrens

der Fesdegung, dass keine Fehlmengen entstehen diirfen. Wlirde der Zulieferer seine LosgroBe ebenfalls autonom festsetzen, so waren Fehlmengen nicht mehr ausgeschlossen.

Abb. 1. Lagerbestandsverlauf beim Zulieferer im Modell von Goyal fur n = l

Die Abhangigkeit des Zulieferers von der Planung des Abnehmers ftihrt zu einem sukzessiven Planungsansatz, in dem zunachst der Abnehmer seine LosgroBe fest-legt und anschlieBend der Zulieferer das fUr ihn optimale n bestimmt. Bei vorlie-gender AbnehmerlosgroUe q"^ ergibt eine Minimierung der losgroBenbedingten Kosten des Zulieferers ein optimales (reellvêrtiges)

\2cl'd (4.6)

Der optimale ganzzahlige Wert kann ermittelt werden, indem die beiden ganzen Zahlen, zwischen denen der reellwertige Wert liegt, in die Zielfunktion eingesetzt werden. Das Ergebnis, das sich aus diesem Vorgehen fur den Zulieferer ergibt, kann im Einzelfall deutlich von der individuell optimalen LosgroBe abweichen, die sich bei kontinuierlicher Nachfrage ergeben wtirde.

Aus diesem Grund schlagt Goyal einen simultanen Planungsansatz vor, in dem die Summe aus den losgroBenbedingten Kosten des Abnehmers und des Zulieferers minimiert wird. Dieses Vorgehen setzt voraus, dass es eine zentrale Planungs-stelle gibt, die uber die relevanten Daten, insbesondere alle Kostensatze, verfugt und die fur beide Partner verbindliche Planungsergebnisse durchsetzen kann. Eine besondere Brisanz liegt darin, dass die verbesserte Losung, die durch eine simul-tane Planung erzielt wird, allein dem Zulieferer zugute kommt, wahrend der Abnehmer eine Steigerung seiner Kosten ertragen muss. Die Durchsetzbarkeit einer simultanen Planung hangt also auch davon ab, ob es gelingt, den Koordinationser-los gerecht auf die beiden Partner zu verteilen. In Tabelle 2 finden sich beispiel-hafte Ergebnisse zum Vergleich des sukzessiven und des simultanen Planungsan-satzes.


Tabelle 2. Vergleich der Kosten im Modell von

sukzessive Planung LosgroBe Kosten

Zulieferer 1.132 347 € Abnehmer 283 141 € total 488 €

Goyap2

simultane Planung LosgroBe Kosten 1.032 297 €

516 168 € 465 €

4.3 Das Modell von Fandel

Ahnliche Ergebnisse wie im Modell von Goyal lassen sich erzielen, wenn beim Zulieferer eine endliche Produktionsgeschwindigkeit x^ angenommen wird. Der daraus resultierende Lagerbestandsverlauf des Zulieferers ist in der Literatur erst-mals 1988 von Fandel, Fran9ois und May untersucht worden. Weiterhin hat sich Stadtler 1992 mit diesem Modell befasst. Dabei wird angenommen, dass es eine konstante Abrufmenge a, namlich die BestelllosgroBe q"^ des Abnehmers, und einen regelmaBig wiederkehrenden Abrufzyklus der Lange t, namlich den Be-stellzyklus des Abnehmers, gibt. Abb. 2 zeigt einen typischen Verlauf des Lager-bestands wahrend einer Produktionsperiode des Zulieferers. Dabei wird zunachst die Menge fiir den ersten Abruf vorproduziert und anschliefiend das Lager weiter gefullt, bis das Produktionslos vollstandig erzeugt ist. Der aufgelaufene Lagerbe-stand wird von den folgenden Abrufen vollig verzehrt.

Abb. 2. Lagerbestandsverlauf beim Zulieferer bei konstanten Lieferabrufen durch den Abnehmer

^ Das Zahlenbeispiel ist Gilles u. Souren 2002, S. 1076f. entnommen.

236 Sven Behrens

Auch bei dieser Modellannahme ist es fur den Zulieferer effizient, wenn sein Pro-duktionslos jeweils das ganzzahlige Vielfache der Abrufmenge darstellt.^^ Ware namlich ein Produktionslos q^ echt kleiner ais die Abrufmenge a, so musste rechtzeitig vor dem Abrufzeitpunkt ein weiteres Los ausgelegt werden. Ist dies nicht moglich, weil das Los q^ noch nicht abgeschlossen ist, liegt eine unzulassi-ge Losung vor. Ist dagegen das Los q^ fertiggestellt, so ist damit ein Lagerbestand aufgelaufen, der mindestens die Hohe erreicht, die durch ein Los der Hohe a, das rechtzeitig vor dem Abrufzeitpunkt aufgelegt wurde, verursacht worden ware. Dies zeigt, dass das Los c^ sowohl zusatzliche Riistvorgange als auch zu-satzliche Lagerbestande verursacht. Es wird damit von einem Los der GroBe a mit Auflagezeitpunkt rechtzeitig vor dem Abrufzeitpunkt dominiert und ist ineffi-zient. FUr ein Produktionslos 'q^ mit n-a<^^ <{n-\-\)'a fUr eine natUrliche Zahl n gilt die gleiche tjberlegung nach n Abrufzyklen.

Erftillt umgekehrt ein Produktionslos die Ganzzahligkeitsbedingung, so lasst es sich immer nur entweder in Bezug auf die Anzahl der Riistvorgange oder in Bezug auf den kumulierten Lagerbestand verbessern. Eine Verringerung der Anzahl der Losauflagen impliziert hohere Lagerbestande, eine Verringerung der Lagerbestande ist nur durch haufigere Auflagen erreichbar.

Der Dispositionsspielraum des Zulieferers erschopft sich bei sukzessiver Pla-nung somit darin, den Quotienten n aus seiner ProduktionslosgroBe und der Abrufmenge a des Abnehmers festzulegen. Der resultierende Lagerbestand des Zulieferers lasst sich mit einer vollstandigen Induktion liber n herleiten. Er betragt

^-\f 1 2

1-2 .A (4.7)

Diese Formel wird hier fur den Fall n = 1 anhand einer Abbildung erlautert. Sie entspricht der des klassischen LosgroBenmodells bei kontinuierlicher Nachfrage, versehen mit einem Korrekturterm, der den abweichenden Lagerbestandsverlauf bei der hier vorliegenden geschlossenen Produktweitergabe wiedergibt.

Wahlt man q^ = a, das heiBt, Zulieferer und Abnehmer fertigen synchron, so ergeben sich bei Einschrankung auf effiziente Losungen die in Abb. 3 angegebe-nen Lagerbestandsverlaufe. Bei offener Produktweitergabe besteht eine kontinu-ierliche konstante Nachfrage mit Rate d . Es erfolgt zunachst ein Lageraufbau mit der Rate x^-d. AnschlieBend wird der Lagerbestand bis zum Ende des Zyklus mit der Rate d wieder abgebaut. Bei geschlossener Produktweitergabe wird das Lager bis zum Abrufzeitpunkt mit der Produktionsrate Xz aufgefullt und an-schlieBend mit einem Schlag komplett geraumt. Bis zum Beginn des nachsten Produktionszyklus steht das Lager leer. Es gilt somit fur den kumulierten Lagerbestand in einem Produktionszyklus bei offener Produktweitergabe

13 Vgl. Behrens 2002, S.20f.


Yh=~^'W ' ^z

't, (4.8)

im Falle geschlossener Produktweitergabe

2 xz

Die kumulierten Lagerbestande pro Zeiteinheit betragen demnach

.o4-/- / 1-

^Z

A V ^ z d mdYQ=-'q 2 Xz

(4.9)

(4.10)

denn es gilt t = -

/•h-^

Abb. 3. Lagerbestandsverlaufe innerhalb eines Produktionszyklus bei offener (O) und geschlossener (G) Produktweitergabe

Fur die Differenz zwischen den Lagerbestanden bei offener und geschlossener Produktweitergabe folgt daraus

.,-., 4./{,-A 2 Xz

2 ^ 1-2--

xz

1 = — -a-

2 1-2--

xz

(4.11)

also gerade die angegebene Form.

238 Sven Behrens

Im allgemeinen Fall kann der Korrekturterm fiir effiziente Losungen durch vollstandige Induktion bewiesen werden. " Er ist positiv, wenn x^ >2'd, also wenn die Produktionsrate mehr als doppelt so groB ist wie die Nachfragerate. In diesem Fall ist demnach Produktion auf Abruf (geschlossene Produktweitergabe) fur den Zulieferer giinstiger als ein kontinuierlicher Produktabfluss. In Abb. 3 ist der umgekehrte Fall, dass also die offene Produktweitergabe insgesamt zu gerin-geren Lagerbestanden fuhrt, dargestellt.

Fiir die losgroBenbedingten Kosten des Zulieferers pro Zeiteinheit folgt daraus:

1 z z d \ z k^ =4^—+^4•

q 2 \ ^z I z (4.12)

Sie sind insbesondere von der LosgroBe des Abnehmers abhangig. In einem klei-nen Zahlenbeispiel lassen sich die Interdependenzen zwischen den LosgroBen des Abnehmers und des Zulieferers verdeutlichen. Seien dazu^^ d = 200, x^ = 600 , Ci =30 undc^ =125, auBerdem c^ =70 sowie c^ =280, dann betragen die optimalen LosgroBen fur den Zulieferer q^ = 50 und fiir den Abnehmer q = 40. Es ist folglich « = 1 zu wahlen. Je nachdem, welche gemeinsame LosgroBe ge-wahlt wird, entstehen bei Zulieferer und Abnehmer unterschiedliche Kosten, vgl. Tabelle 3. Bei gemeinsamer Planung ware die LosgroBe ^ = 45 optimal. Dies setzt aber voraus, dass die Partner einander oder einer dritten Stelle ihre Kostenda-ten preisgeben und dass eine gerechte Verteilung der Koordinationserlose gefun-den wird.

Tabelle 3. Vergleich der Kosten im Modell von Fandel

LosgroBe Kosten des Zulieferers Kosten des Abnehmers 40 825 2.800 45 781 2.819 50 750 2.870

gesamte Kosten 3.625 3.600 3.620

4.4 Das Modell von Muller-Merbach

Weist nicht nur der Zulieferer eine endliche Produktionsrate auf, sondem auch der Abnehmer, so ist eine offene Produktweitergabe vom Zulieferer zum Abnehmer denkbar, bei der die zwischengelagerten Produkte des Zulieferers direkt in die Fer-tigung des Abnehmers eingespeist werden. Diese Konstellation ist in der Literatur erstmals 1965 von Muller-Merbach untersucht worden. In der Folgezeit hat vor al-lem Bogaschewsky mit wechselnden Koautoren dieses Modell behandelt.*^

1 Vgl. Behrens 2002, S. 25-27. 15 Vgl. Kistner u. Steven 2001, S. 44. 1 Vgl. Bloech et al. 1998, S. 250ff, Bogaschewsky et al. 1999, Bogaschewsky u. Buscher

1999, S. 337ff.


Die Gestalt des Lagerbestands beim Zulieferer hangt wesentlich davon ab, wel-che Produktionsgeschwindigkeit hoher ist. Weist der Zulieferer eine hohere Pro-duktionsrate auf, so reicht es aus, wenn er seinen Produktionszyklus zeitgleich mit dem Abnehmer beginnt. Der nicht sofort vom Abnehmer verwendete Anteil der Vorproduktion bildet ein Kumulationslager. Ist hingegen die Produktionsrate beim Zulieferer niedriger als beim Abnehmer, so muss der Zulieferer vorproduzieren, um Fehlmengen zu vermeiden. Der vorproduzierte Bestand bildet ein ZerreiBla-ger, das im Zuge der Produktion des Abnehmers nach und nach aufgelost wird.

Wahrend sich das ZerreiBlager ahnlich wie das im vorigen Abschnitt behandel-te Lager bei Lieferabrufen verhalt, weist das Kumulationslager Besonderheiten auf, insbesondere eine abweichende Effizienzaussage. Anders als im ZerreiBlager und auch bei Lieferabrufen ist es dem Zulieferer beim Kumulationslager moglich, Lose aufzusplitten, vgl. Abb. 4. Neben die Moglichkeit, eine ganze Anzahl von Abnehmerlosen zu einem Zuliefererlos zusammenzufassen, tritt demnach die Moglichkeit, ein Abnehmerlos in eine ganze Anzahl von Zuliefererlosen aufzutei-len. ' Dagegen ist beim ZerreiBlager lediglich die Konstellation effizient, dass der Zulieferer eine ganze Anzahl von Abnehmerlosen zusammenfasst.^^

yz\

hi

Abb. 4. Lagerbestandsverlauf im Kumulationslager bei Lossplitting

Im Fall synchroner Produktionszyklen bei Zulieferer und Abnehmer lassen sich die bestandsabhangigen Kosten des Zulieferers je Zeiteinheit leicht berechnen.^^ Sie betragen im Falle des Kumulationslagers

^ Zum Beweis, dass genau diese beiden Falle effizient sind, vgl. Behrens 2002, S. 29-32. 18 Vgl. Behrens 2002, S. 33-35. 19 Vgl. Kistner u. Steven 2001, S. 166.

240 Sven Behrens

kl^cf.^

und im Falle des ZerreiBlagers

kl=cl.^ r_i_

^z

J_

(4.13)

(4.14)

mit der gemeinsamen LosgrOBe q = q^ = q^ • Wird ein Abnehmerlos in m Lose des Zulieferers gesplittet, so ist m-q^ = q >

und die bestandsabhangigen Kosten pro Zeiteinheit sinken proportional zu der re-duzierten ZuliefererlosgroBe auf

kl=cl.^ J_ (4.15)

Diese Moglichkeit besteht nur beim Kumulationslager. In Abb. 4 ist der Fall m = 2 abgebildet.

Werden n Abnehmerlose zu einem Zuliefererlos zusammengefasst, gilt also q =n'q , so betragen die resultierenden bestandsabhangigen Kosten pro Zeiteinheit des Zulieferers^^ beim Kumulationslager

q^dr J Z Z

und beim ZerreiBlager

J_ Â

n (n-\)

^z

1r^ J-q^dr 1-n

^z 1 , (^-1)

x^ d

(4.16)

(4.17)

Den Lagerbestandsverlauf im Kumulationslager fiir den Beispielfall « = 3 gibt Abb. 5 wieder.

Geht man davon aus, dass der Zulieferer seine optimale LosgroBe gegentiber dem Abnehmer durchsetzen kann, so lohnen sich fUr ihn weder Lossplitting noch Loszusammenfassung. Zwar lassen sich durch Lossplitting die bestandsabhangigen Kosten und durch Loszusammenfassung die losfixen Kosten reduzieren, der jeweils andere Kostenbestandteil steigt aber und Uberkompensiert die Kostenver-minderung. Beim Lossplitting verhalten sich die gesamten losgroBenabhangigen Kosten im Zeitverlauf fUr den Zulieferer in Abhangigkeit von m wie

20 Vgl. zur Berechnung Behrens 2002, S. 39ff.


k^(m) = -m + -

^"(1), (4.18)

denn die losfixen Kosten steigen proportional zu m, wahrend sich die bestands-abhangigen Kosten proportional zum Kehrwert von m verhalten. Da aber gilt, dass

1 ^ m

(4.19)

fur jedes ganzzahlige m > 1, steigen die Gesamtkosten an. FUr die Loszusammenfassung gilt eine ahnliche Argumentation, denn hier sin-

ken die losfixen Kosten proportional zum Kehrwert von n , wahrend die bestands-abhangigen Kosten annahernd quadratisch in n anwachsen. Bedenkt man jedoch, dass der Zulieferer in der Regel seine optimale LosgroBe nicht durchsetzen kann, eroffnet sich ein Spielraum fur Lossplitting oder Loszusammenfassungen.

yA

k

yz

V

k

t ^

•

Abb. 5. Lagerbestandsverlauf im Kumulationslager bei der Zusammenfassung von Abneh-merlosen

Zur Illustration des Modells von Muller-Merbach wird an das Zahlenbeispiel des vorigen Abschnitts angekntipft. Sei nun zusatzlich noch x^ = 360, so liegt der Kumulationslagerfall vor. Die optimale LosgroBe des Abnehmers betragt nun g" = 60. Fertigt der Zulieferer synchron, d.h. gilt ebenfalls q = 60, so ergeben sich losgroBenabhangige Gesamtkosten von k - 2483 , vgl. die erste Zeile in Ta-

242 Sven Behrens

belle 4. Weder durch eine Loszusammenfassung noch durch ein Lossplitting kann der Zulieferer seine Kosten absenken. Wahlt er « = 2 und fasst damit zwei Ab-nehmerlose zusammen, steigen seine Lagerhaltungskosten auf den achtfachen Wert, vgl. die zweite Zeile in Tabelle 4. Teilt er hingegen ein Abnehmerlos in zwei Lose auf, sinken zwar die Lagerhaltungskosten. Die losfixen Kosten steigen jedoch durch die haufigere Losauflage wieder an, vgl. die dritte Zeile von Tabelle 4.

Die losabhangigen Kosten des Zulieferers sinken jedoch, wenn der Abnehmer von seiner optimalen LosgroBe abweicht. Wahlt er die fur den Zulieferer optimale LosgroBe q = 86,7, so sinken dadurch die Kosten des Zulieferers auf ein Minimum von k = 578 ab. Diese Kostensenkung wird jedoch durch die Kostenstei-gerung beim Abnehmer Uberkompensiert, vgl. die vierte Zeile in Tabelle 4. Die optimale LosgroBe bei gemeinsamer Planung betragt q =q = 65,5 .

Tabelle 4. Vergleich der Kosten im Model! von Muller-Merbach

<]'

60 60 60 86,7 65,5

/ 60 120 30 86,7 65,5

5. Ausblick

k^

1.867 1.867 1.867 1.994 1.874

k^ ^R 417 208 833 289 218

f 200

1.600 100 289 382

k'

617 1.808 933 578 600

k

2.483 3.675 2.800 2.572 2.474

In alien drei betrachteten Modellen ergibt sich der Ubereinstimmende Befund, dass sich durch ein Abgehen von einer rein sukzessiven Planung, in der zunachst der Abnehmer seine optimale LosgroBe festlegt und anschlieBend der Zulieferer iiber seine LosgroBe befindet, Kosten senken lassen. Dies zeigt, dass eine Kooperation zwischen Zulieferer und Abnehmer Vorteile gegenuber einer rein marktlichen Be-ziehung aufweist.

Das Problem liegt jedoch darin,

• dass allein der Zulieferer profitiert, wahrend der Abnehmer fur ein Abweichen von seiner optimalen LosgroBe zusatzliche Kosten tragen muss,

• dass fur eine Verwirklichung der Kostensenkung Informationen, insbesondere die Rust- und Lagerhaltungskostensatze, geteilt werden miissen und

• dass die bei gemeinsamer Planung optimale LosgroBe weder mit der optimalen LosgroBe des Abnehmers noch mit derjenigen des Zulieferers ubereinstimmt, sondern irgendwo dazwischen liegt.

Bedenkt man dartiber hinaus, dass der Abnehmer in der Regel nicht nur mit einem einzigen, sondern mit mehreren Zulieferern zusammenarbeitet, ergibt sich ein doppeltes Koordinationsproblem, namlich zum einen die Frage nach der Stelle, in


der die gemeinsame Planung erfolgt, zum anderen die Frage nach der gerechten Verteilung der Kooperationserlose.

Da der Abnehmer seine LosgroBe autonom festlegen kann und zudem als einzi-ger Partner Interdependenzen mit alien Zulieferern aufweist, liegt es nahe, dass er die Koordination Ubernimmt. Um zu verhindern, dass die Zulieferer dem Abnehmer Betriebsgeheimnisse, insbesondere Kostensatze, preisgeben, bietet sich ein Vorgehen in Anlehnung an ein Modell von SchneeweiB zur hierarchisch integrier-ten Planung an. ^

Der Abnehmer (als top-level) ermittelt dabei im ersten Schritt auf der Grundla-ge seiner internen Kostendaten seine (bei isolierter Betrachtung) optimale LosgroBe und ubermittelt sie an alle betroffenen Zulieferer (als base-level). Der zweite Schritt besteht darin, dass die Zulieferer ihre jeweiligen Kosten in Abhangigkeit von der LosgroBe des Abnehmers berechnen und als Riickmeldung die aus ihrer Sicht optimale LosgroBe des Abnehmers sowie das damit verbundene Kostensen-kungspotenzial zuruckgeben. Ftir diese Berechnung bedienen sie sich dabei der Modelle von Goyal, Fandel oder Miiller-Merbach. Der Abnehmer sucht nun im dritten Schritt eine KompromisslosgroBe, die zwischen den verschiedenen optima-len LosgroBen liegt und ein moglichst groBes Kostensenkungspotenzial verwirk-licht. Der zweite und dritte Schritt werden eventuell wiederholt, bis nur noch ein geringes Verbesserungspotenzial besteht. Im vierten Schritt geben die Zulieferer an, wie stark ihre Kosten durch die Anderung der LosgroBe gegenuber der Aus-gangslosung gesunken sind.

Der Vorteil dieses Vorgehens liegt darin, dass ein nahezu optimales Ergebnis erreicht wird, ohne dass die Zulieferer allzu viele Informationen preisgeben mtis-sen. Zugleich werden Informationen erzeugt, die fur die Verteilung der Kooperationserlose verwendet werden konnen. Je nach Starke seiner Verhandlungsposition kann der Abnehmer einen mehr oder minder groBen Anteil an der Kostensenkung beim Zulieferer ftir sich beanspruchen.

Literatur

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21 Vgl. dazu SchneeweiB 2003, S. 238f.

244 Sven Behrens

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Vierter Teil

Operations Researchi

A Modified (S-1,S) Perisliable System Under Renewal Demands

Saraswathi Kalpakam\ Subramanian Shanthi

Department of Mathematics, Indian Institute of Technology, Madras, India

Abstract

This article deals with a lost sales perishable inventory model with renewal demands and exponential lead times, in which orders are placed at every demand epoch with variable order quantity so as to take the inventory position back to its maximum level S. The items are supplied on at a time with mean rate proportional to the total amount on order. The techniques of semi-regenerative process are employed to obtain the steady state operating characteristics. The problem of minimizing the long-run expected cost rate is discussed with numerical examples.

1. Introduction

Traditional inventory models assume that items can be stored indefinitely to meet the future demands. However, certain types of inventories either deteriorate or perish and hence are unusable after a certain period. While dealing with such systems, the consequent loss due to perishability must be explicitly taken into account, as its inclusion from the model yields inaccurate system performance. The analysis of perishable systems is far more difficult than their infinite lifetime counterparts. The review articles of Nahmias (1982) and Raafat (1991) provide excellent summaries to many of the early modelling efforts, which mostly deal with periodic review systems with fixed lifetimes or continuous review systems with instantaneous supply of orders.

The (5-1,5) policy, also known as base-stock policy, is often employed as a stock control policy for expensive slow moving items and is also used in spare parts inventory control. In the case of unit sized demands, this policy is known to be optimal under certain conditions for items with infinite lifetimes (ref. Schultz 1990). Hence it should provide a reasonable approximation to the true optimal policy for its finite lifetime counterpart.

* corresponding author, e-mail: [email protected],

mailto:[email protected]

248 Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

In the literature on (S-l,S) perishable systems, almost all the models deal with Poisson demands (ref. Pal 1989, Kalpakam/Sapna 1995 and Perry/Posner 1998). The assumption of Poisson demands can be justified only if the demands originate from a large number of independent clients. The first paper that deals with (5-1,5) perishable system under renewal demands is due to Kalpakam and Sapna (1996), who studied a lost sales situation with independently and identically distributed lead times. Further, all the models studied so far assume that a reorder for an item is placed at both demand and failure epochs. However, for systems stocking perishable goods, it would be more meaningful not to place orders when the inventory level depletes due to failure. Also this would be more practical and economical as it avoids continuous monitoring of the system for detection of failure. Earlier the authors studied (5-1,5) systems with Poisson demands in which orders are placed only at demand epochs (ref. Kalpakam, Shanthi 2000, 2001) and developed matrix recursive schemes to determine the steady state operating characteristics.

The points discussed above provide motivation for the perishable system studied in this article with exponential lifetimes under renewal demands and variable order quantity. Items are supplied one at a time with mean replenishment rate dependent on the total amount on order. The analysis of this complex model is rather difficult and the same is achieved by first obtaining the transient solution of the Markovian vector process of the inventory level and the amount on order, using the method of generating functions. Cost optimization which includes sensitivity analysis of the optimal value S to system parameters is carried out.

2. Problem Formulation and Analysis

Consider an inventory system stocking perishable goods, with a maximum stock of S units, under the following assumptions.

• Demand process: Unit demands occur according to a renewal process with inter-demand times having a common distribution function F(.) and mean m.

• Lifetime of each item is exponentially distributed with rate y >0 . • Ordering policy: At every demand epoch t, an order is placed for

S - I(t) - X(t) units where I(t) denotes the inventory level of usable items and X(t) the total amount on order at time t.

• Input process: Under the above ordering policy, the reorder quantity is not fixed. Items are supplied one at a time and the replenishment rate is assumed to depend on the number of items on order. More specifically,

Pr[ a replenishment for one unit in (t,t + A\X(t) = n] = njuA + o(A), l<n<S

• Demands during stock out periods are lost.

We use the following notation:

m=F'{t)

A Modified (S-1,S) Perishable System Under Renewal Demands 249

5(t) = l - F ( 0

N ° = {0,1,2, }

E ={0,1,2,...,...,5-1}

F ={0,1,2,...,...,5}

]y(t)]"[l-Mt)]""", 0<n<m Bim,n,m) =

k

^m^

h h ... V i ; k\

kilk2l...k„_ilk„\

wherek^ = k-(ki+k2 -^ ... + k^_i).

Let 0 = TQ < Tj < ...denote the successive epochs at which demands occur. Let /„ = I(T^). Then the process (I,T) = {(/„,r^); ne N } is a Markov renewal process with state space E x [0,oo). As the inventory position at T^ is always 5, it is advantageous to view the system at T^ than at T~ . In the former a knowledge of inventory level is sufficient, whereas in the latter we need to know both the inventory level and the amount on order to predict the future behaviour of the process.

In order to determine the semi-Markov kernel of the Markov renewal process (I T), we introduce the auxiliary functions y/i(j\r,t) which are defined between two successive demand epochs as follows

V , (;,r,t) = Mm = J,X(t) = r I /o = /•] (2.1)

Determination of y/j (J, r, t)

Since the lifetime of items and lead times of the reorders are exponential, between two demand epochs the vector process {(I(t),X(t)),t>0}with state space G = {(j,r) \0<r <S -i,0< j <S -r;iGE} is Markovian in nature and the functions i/î(j,r,t) satisfy the following forward differential equations.

¥i (j\ r, t) = -{JY + r/j)\i/i (y, r, t\ j = i^r = S-i

¥\ (y. r, t) = -iJr + r/u)y/i (y, r, 0 + U + l)r¥i U +1^ ^ 0,

0<j<i,r = S-i

Wi (j\ r, t) = -(jr + rju)y/i (j, r, t)-^(r-^ l)juy/j (j - 1 , r -H1, t),

0<r<S-iJ = S-r

W'i {j. r, t) = -Ur + r/u)y/i (j, r, 0 + (j +1)^^^- (J +1, r, 0

+ (r + l ) / /^y(7- l , r + l,0, 0<j<S-r,0<r<S-i

y/\ (0, r, 0 = -rjiiij/i (0, r, 0 + Y¥i (I > 0. 0 < r < 5" - /

y/\ (5,0,0 = -Syxî (5,0, /) + ^y/i {S -1,1, t\


W'i Ufi, t) = -jyy/i U,0, t) + ij + \)yy/i(j +1,0,0 + MWI (J - hi0, 0<J<S

(2.2)

The above set of difference-differential equations is solved using the two dimensional generating function method. Let

S-iS-r G(z,w,t) = X Z z'wV/O'.Ô,

r=OJ=0 H<i,Hî

Since

dG_

dt

S-iS-r

XZ2'-wv;a,r,o r=Oj=0

QQ S-iS-r

'^ r=oy=o

QQ S-iS-r

the set of equations (2.2) is equivalent to

-—+ Kw -1)-—• + Mz - w)-—= 0 ot aw oz

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

A solution to the above partial differential equation can be obtained by solving

dt dw dz dG

1 Y{W-\') fx(z-w) 0

From the last term we get

G = C (a constant)

The first and second terms of (2.7) on integration yield

{w-\)e-^ =Ci

Similarly the second and third terms of (2.7) yield

{w-\) -fi/r z + (w-l)-^ 1 = c,

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Hence from (2.8), (2.9), (2.10) any solution to (2.6) is of the form


G(z,w,t) = ^\ z - l + (w- l ) -r-ju

| ( w - l ) - ^ / ^ ( w - l ) ^ - (2.11)

J-i.J where 0(...) is an arbitrary function. Since G(z, w,0) = z w , we have

= z'-'w\

Then

S-i

(^+iy (2.12)

where

^ = \z-\^(w-\)- iw-X)-^'^ and i; = {w-\),

Substituting for 0(<^,(^) from (2.12) in (2.11) we have

G(z,w,0 = ^ - l > " ^ + l ] ' | ( ^ - l K ^ ' + ( w - l ) - ^ ( e - ^ - ^ - ^ ) + l l

(2.13)

Although it is difficult to obtain y/i(J,rj) from (2.13) by calculating the coefficients of z^w^\ the same is made simpler by adopting the following partition. Let [x] denote the integral part of x .

Case 1: i = 0

¥oU^r,t) = r J

0<r<Sfi<j<S-r

(2.14)


Case 2: l < / < [ 5 ' / 2 ]

^ /(y>,0 =

Lf S-i ^ 21 1=0 /• J-l

jut-\S-i-r-j+l

M U J-I

J

\e-''^B(i,l,e-^)[77it)y-'[l-77it)-e-f^]

0<j<i-l,0<r<S-2i

0<j<S-i-r,S-2i + l<r<S-i

^-'•^B{i,l,e-^)Mt)y-'[l - 77(0 - e-^f-'-'-J^',

i<j<S-i-r,0<r<S-2i

\e-'-f'B{i,l,e-^)Mt)y-'[l - lit) - e-^f-'-'-J^', S-i \

Z S-i

r j-l

S-i-r-hl<j<i,S-2i-{-\<r<S-2i

|e-^^B(/ , / , . -^)[7(0r [1 -/7(0 - ^ " ^ ^ ] ^ - ^ " ' ' - ^ ' ^ ^

S-i-r-\-l<j<S-r,0<r<S-2i

i-\-l<j<S-i,S-2i + l<r<S-i

Case 3: [ ^ / 2 ] < / < 5 ' - l (2.15)

^/(y,^0 = i l=j-S+i+rV J V

5--/

0<j<S-i-r,{)<r<S-i

jut-iS-i-r-j+l

l=j-S+i+r

S-i

r j-l

|^-^^B(/,/,e-^)[77(0]^"^[l - /7(0 - e-^']

S-i-r-\-l<j<i,0<r<S-i

\e-'^B(iJ,e-^)[f](t)y-^[l - r](t) - e-^'f-^-'-J^\

i-\-l<j<S-r,0<r<S-i

(2.16)

where

77(0 = • r-/j

-(e-^-e-^)

It can be seen that the expressions in (2.14) to (2.16) are equivalent to


Wi(j\r,t) =

' S ^

r J 0<r<S,0<J<S-ni = 0

min(/,y)

I /=max(0,y-5'+/+r)

r j-l \e-'^B{ae-r^)[rj(t)y-^

[l-jj(t)-e-^^f-^-'-J^^,

0<r<S-i,0<j<S-nl<i<S-l

(2.17)

Let 6(i, j , t) denote the derivative of the semi-Markov kernel given by

e{iJ,t) = -Vr[Ix =j,t<Ti<t + A\Io= i], ij G E A

Since the demand process is independent from the state of the system, we get

e(ij,t) = lim —Pr[/ <Ti<t-\- A]Pr[/i =j,\t<Ti<t-^ AJQ = i] A->0 A

= /(0^(/,y,0, / , y e E

(2.18)

where

^(/,7,0 = Pr[/i=7,|71"=^,/o=0-

Using standard probability arguments we obtain ^(i,j,t) as

nij,t) =

s-i s

r=0 r=0

S-j-\

ZôO' + i'Ô, r=0

S-i S-i

r=0 r=0

S-i

^V^,(7 + l,r,0, r=0

r=0

1 < 7 < 5' - 1 , / = 0

y = 0 , l < / < 5 ' - l

1 < y < / -1,1 < / < 5* - 1

/ < 7 < 5 ' - l , l < / < 5 ' - l

(2.19)


The one step transition probability function p(i, j) of the underlying Markov chain {/„;« G N } is given by

P(hj)= \9{iJJ)dt 0

Let

(2.20)

Lk = {{m,n) \0<m<S-k,0<n<k + m}

Lj^j = {(m,n, p)\0<m<i-l,0<n<S-i-k-\-l,0<p<k-l-\-n}

and define

(m,n)eLj^

s

k m

k + m (-1)"

/ \

r-M,

k+m

f [(k-\-m - n)y-\-n/u]

n(kj)= X (m,n,p)eLki

S-i Yk-l + n

I m]\k-l n (-1)

m+n+p\ /£

r-ju

(2.21)

k-i+n

/ [(/ + w + p)r + (« - PM

(2.22)

H(^,/)= X {m,n,p)eLki

^ i Y S-i Yk-l + n^

^l mj k-l n \(^_l^m+n+p (_tL_

k-l+n

5 [(l + m +p)y + (n-p)/u]

(2.23)

Using equations (2.17) to (2.19), from equation (2.20), we obtain

H(1) + H(0), 7 = 0,/ = 0

H(y + 1), l < y < 5 - l , / = 0

piij) = \ H(l, 0) + H(l, 1) + H(0, 0), y = 0,1 < / < 5 - 1 min(!,y+l)

XH(^, / ) , 1=0

l<J<S-l,l<i<S-\

(2.24)


From the structure of p{i,j), it can be seen that {I^;ne N} is irreducible. Since the Markov chain is also finite, unique stationary distribution {7t{j)J e E} exists and is given by

<j) = Z ^ ( O ^ a J) and X <J) = 1 (2.25) ieE jeE

Inventory level distribution Let

P(i, j \ t) = Pr[/(/) = y I /o = /], / e E, y 6 F (2.26)

From our assumptions it can be seen that {I(t);t > 0} is a semi-regenerative process with embedded Markov renewal process {I,T). AS such, the functions P{i,J,t) satisfy the following Markov renewal equations

P(iJ,t) = K(iJ,t) + X l0(i,hu)P(l,j,t- u)du, / E E,y e F (2.27) / e E o

where

K(i,j\t) = ?T[I(t) = J,Ti>t\Io=i]

= Pr[7i>?]Pr[/(0 = y | r , > ? , / o = ' ] (2.28)

Hence

K{i,j,t) =

S-i 7(0 I WiU^rJ), 0<J<i

r = 0

s-j HO Z Wi(J,r,t), i + l<j<S

r = 0

(2.29)

Substituting for îiJ,r,t) from (2.17) in the above equation, we have

min(/,y)

K{iJ,t) = Ht) X BiU,e-^)B{S-i,J-lMO) (2.30) max{0,j-S-\-i)

The Markov renewal process (/, T) is irreducible and positive recurrent, as the underlying MC {I^;ne N} is irreducible and positive recurrent. It is also aperiodic, since the derivative of the semi-Markov kernel exists. As m(0, the mean sojourn time in state /is m\/ i, we have from (2.27) (ref. Cinlar, 1975)

P(j) = \imP(iJ,t) t->0


= i : S ^ « * 0 ' ' ^ ) (2.31)

where

"îeB

k(ij)= JK(Uj,t)dt 0

From (2.29), we get

min(/j) k(ij)= X HO; / ) , l<j<S (2.32)

l=msLx{0,j-S+i)

Reorders and shortages Let Nj^ (t) denote the number of reorders of size k placed in (0, 0- Define

hi(k,t) = lim lpr[Nk(t-Â)-Nk(t) = 11 /Q = /] • AÔ A

Using the classification that the reorder at t is either the first one or a subsequent one, we get

_ t

hi (k, t) = hj (k, 0 + Z 1 ('*' J^ ")^7 (^' ~ ")^^ ( - ^ JeBo

where

hi(k,t)= \im-Fr[Nf,(t + A)-Ni,(t) = U<Ti <t-hA\Io = / ] . A->0 A

To determine hi(k,t) we consider the following two cases:

• Inventory level is zero and there is a demand which is lost. • Inventory level is positive and there is a demand for one unit.

The above arguments lead to

hi(k,t) =

S-k+\ f(t)y/, (0, S-k,t)+ X /(O^/ 0'' S-J + l-kjX k>i

0, otherwise

(2.34)

Let M{t) denote the number of shortages in (0, t). Define

and

Then


gi (0 = lim - Pr[M(/ + A) - M(t) = 11 /Q = /] AÔ A

g,(0 = lim —Pr[M/(^ + A) - M / ( 0 = l,t <Ti <t + A\IQ =i]. AÔ A

gi (0 = gi (0 + Z j (''' J^ ") y ( - ") ^ yeEo

(2.35)

where

g/(0 = Z/«^KO,^0. r=0

(2.36)

In the steady state, let Tj (^) (1 < A: < 5) and T2 denote the mean rates of reorders of size k and shortages respectively. Then from (2.33), (2.35), on taking the limit as r ^^ 00 , we get (ref. Srinivasan 1974)

ri(k) = lim hj(k,t) t->o

= ±Y,7r(0hi(kl l<k<S m .

(2.37)

r2 = l img , (0

=—Y^ô)gi (2.38)

where

h^(k)= jhi(k,t)dt 0

' ;^f-'g7 s-i |/_i\*-(-ni+«2+"3

: / [(5-A: + «2)/^ + «3r] / . , A"l 5^+1 min(i,y) td f ,• ^

- I I I j=l max(0,/+l-*) «i=0 v^ " l y


. y A - , - l + j - „ 2 „ y S-, \ k-i-UJ

x(-l)'^l""2-«4

and

^ ^k-i-\+j-n2

E Z «4=0

0

S-i i ( : \S-r-i-jf ,, \S-r-i-n2

- - i n ^ i /. r=0«i=0 ."1 V'U \r-Mj «2=0

r n^ n^ rii - n^

As P(j) also denotes the long-run proportion of the time the system is in state j , r3 , the mean rate of failure in the steady state is given by

7=1

(2.39)

3. Cost Optimization

Let C(S) denote the long-run expected cost rate under the following cost structure: c is the purchase price per unit, g is the shortage cost per unit shortage, k is the cost per unit failure. The inventory carrying cost is assumed to be proportional to S, the maximum capacity, as perished goods are detected only at demand epochs (however, no additional complexity will arise if inventory carrying cost is taken to be proportional to the average inventory level). Then

C(S) = hS-\- kr^ + gT2 + cY,mri(m). (3.1) m=l

Due to the complex form of p{ij), it is not possible to obtain 7r(J) explicitly. Hence a computer program is developed to evaluate the various operating characteristics and the long-run expected cost rate. In all our results C(S) turned out to be a convex function which shows the existence of a unique minimum. In some cases it turned out to be an increasing function. Numerical search procedure is employed to obtain the optimal values of S and C(S).


From the examples carried out as part of sensitivity analysis, it is observed that whenever c> g S = 1. This is illustrated in Table 1 where the inter-demand interval is Erlangian of order 3. Also, we note that S is not a monotonic function of product lifetime. This behaviour which is counter intuitive is also noticed earlier by Schmidt and Nahmias (1985) for non-perishable (S-l,S) systems and later by Kalpakam and Sapna (1996) for perishable systems under the usual (S-l,S) policy with renewal demands.

Table 1. Effect of altering g and y on the optimal values l/m = 4,5,// = 2,1, c = 2,h = Ofi05,k = 1

1 D \ g

0,5

2

3,5

5

6,5

1

6,81

1

8,31 1

9,81

1

11,31

1

12,81

1

4

12,64

2

17,76

1

19,94

1

21,94

1

23,83

1

7

13,66

4

22,39

3

28,32

2

32,58

1

34,86

1

10

14,10

5

24,75

4

32,61

4

38,84

4

44,09

3

20

15,00

5

28,66

5

39,95

4

49,58

4

58,21

4

30

15,34

6

30,81

6

43,96

7

55,78

7

66,32

7

60

16,14

6

34,38

8

50,79

9

65,94

10

80,93

11

70

16,24 1 7

35,32

8

52,23 1 10 1

68,43 1 11 1

85,27

11 1

However, most of the numerical results agree with what is normally expected. A typical example is illustrated in Table 2 wherein we study the effect of varying h and ju on S when the inter-demand times have Erlangian distribution of order 4 with mean 2. We note that as h increases S decreases and the optimal expected cost increases as expected.

Table 2. Influence of holding cost and mean replenishment rate l/m = 0,5, JU = 0,1, c = 2,g = 20,k = l

D \ h

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,01

2,23

7

2,05

4

2,03

4

1,83

3

1,78

3

0,03

2,37

7

2,15

4

2,13

4

1,91

3

1,86

3

0,07

2,7

6

2,35

4

2,35

4

2,07

3

2,02

3

0,1

2,91

6

2,65

4

2,63

4

2,31

3

2,26

2

0,5

6,21

5

5,07

3

5

3

4,26

2

4,04

2

0,6

6,86

4

5,55

3

5,01

3

4,62

2

4,4

2

0,7

7,51

4

6,07

3

6,01

3

5,01

2

4,79

2

1

8,06

4 1 6,39

3

6,37

3

5,25

2

5,03

2


References

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Ameisensysteme und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung

Martin Feldmann

Fakultat fur Wirtschaftswissenschaften, Universitat Bielefeld

1. Einleitung

Mit den Ameisensystemen (Dorigo et al. 1999; Dorigo u. Stutzle 2004) und den Schwarmalgorithmen (Bonabeau et al. 1999; Kennedy et al. 2001) werden in den letzten Jahren zwei Metaheuristiken diskutiert, die das interagierende Verhalten von z.B. Insekten oder Fischen als Vorbild nutzen, um neue Losungswege aufzu-zeigen. Im Folgenden wird untersucht, wie diese beide Ansatze im Kontext der be-reits etablierten Metaheuristiken einzuordnen sind.

Generell bieten sich Metaheuristiken an, wenn fiir eine Problemstellung erwie-sen ist oder zumindest mit grower Wahrscheinlichkeit vermutet wird, dass sie schwer im Sinne der Komplexitatstheorie (Garey u. Johnson 1979) ist. Fiir diese Probleme konnen exakte Verfahren bei praxisrelevanter GroBe nicht empfohlen werden, weshalb auf Heuristiken zuruckzugreifen ist. Nach Kistner (2003, S. 239) versteht man unter einer Heuristik ein Verfahren, das mit akzeptablem Aufwand gute, zulassige Losungen liefert, ohne aber deren Optimalitat zu garantieren. Jede Metaheuristik ist durch die folgende Zweiteilung charakterisiert (Voss et al. 1999):

Ein Ubergeordneter, iterativ ablaufender Master-Prozess dirigiert durch ein allgemein anwendbares Prinzip der Informationsauswertung und Steue-rung einen untergeordneten, problemnahen Such-Prozess.

Metaheuristiken bewahren sich als robuste Verfahren, da sie erfahrungsgemaB Losungen hoher Qualitat liefern und sich die Anpassung an das konkrete Optimie-rungsproblem i.d.R. unproblematisch gestaltet: Der Master-Prozess liegt problem-unabhangig vor und kann in Kombination mit unterschiedlichen, problemspezifi-schen Such-Operatoren eingesetzt werden. Um die Problemstellung in eine Form zu iiberfiihren, die sich fur den Einsatz der Such-Operatoren (wie z.B. Mutation oder Crossover) eignet, arbeitet jede Metaheuristik auf einer Reprasentation des Problems bzw. seiner Losungen. Zur Reprasentation kann z.B. ein Bitstring oder eine Permutation von Zahlen genutzt werden. Die so kodierten Losungen werden durch Such-Operatoren verandert und hinsichtlich der Zielfunktion bewertet. Auf den bewerteten Losungen setzt der Master-Prozess zur Steuerung und Informati-

262 Martin Feldmann

onsauswertung auf. Orientieren sich die Representation und/oder der Master-Prozess an Ablaufen, die der Natur entlehnt sind, liegt ein naturanaloges Verfah-ren vor (Feldmann 1999; Feldmann u. Kistner 2000).

Im Weiteren werden die Ameisen- und Schwarmalgorithmen beschrieben und ihre Charakteristika herausgearbeitet. Die konzeptionelle Einordnung zeigt Syner-giepotenziale auf und tragt zum verfahrensubergreifenden Vergleich bei. Am Bei-spiel der Wahl des Konstruktionsgraphen fur quadratische Zuordnungsprobleme wird eine Vorgehensweise in die Ameisensysteme ubertragen, die sich im Kontext genetischer Algorithmen bereits vielfach bewahrt.

2. Ameisensysteme

Die Grundidee eines Ameisensystems besteht darin, klinstlichen Ameisen einfache Regeln vorzugeben, nach denen diese autonom agieren und kommunizieren. Die Zielsetzung ist, durch die Interaktion der Ameisen ein System zu erschaffen, das bestimmte emergente Eigenschaften aufweist, die zur Losung eines Problems ge-nutzt werden konnen. Als emergente Eigenschaften bezeichnet man die Systemei-genschaften, auf die man bei der Beschreibung der einzelnen Komponenten des Systems verzichten muss, da sie sich erst aus dem Zusammenwirken vieler Komponenten ergeben (Holland 1998). Als Beispiel fur eine emergente Eigenschaft im Ameisenstaat kann die Fahigkeit genannt werden, arbeitsteilig kiirzeste Wege zu Futterstellen zu finden. Bevor auf das grundsatzliche Vorgehen eingegangen wird, werden die Eigenschaften des (Sozial-)Verhaltens der Ameisen diskutiert.

2.1 NatiJrliches Vorbild: Ameisenstaat

Ameisen sind Insekten, die fast durchgangig Staaten bilden und darin eusozial le-ben (Holldobler u. Wilson 1990). Eine Eusozialitat (Dorigo et al. 2000, S. 859) wird durch die folgenden Merkmale charakterisiert: Die Brutpflege ist mehreren Individuen Ubertragen, es uberlappen sich mindestens zwei Generationen und nur wenige spezialisierte Individuen (die Koniginnen) sind zur Reproduktion fahig. Im Ameisenstaat stellen die sterilen Arbeiterinnen somit die weitaus groBte Gruppe dar und Ubernehmen alle ubrigen Aufgaben. Bei vielen Arten gehoren die Arbeiterinnen dazu Kasten an, die auf bestimmte Aufgaben spezialisiert sind.

Eine Eusozialitat setzt aber Kommunikation und Koordination der Aktionen voraus. Ameisenstaaten bilden dazu so genannte dichte Heterarchien, die eine be-sondere Form der Hierarchic bezeichnen (Holldobler u. Wilson 1990, S. 355). Der Begriff geht auf das griechische heteros (der andere) und archein (herrschen) zu-riick und charakterisiert ein System, das sich durch die „Herrschaft des anderen" auszeichnet: Jede Ameise ist jederzeit bereit, sich durch andere Ameisen hin-sichtlich ihrer gegenwartigen Tatigkeit beeinflussen zu lassen. Diese Heterarchie wird als „dicht" bezeichnet, da es alien Ameisen eines Staates moglich ist, mitein-ander zu kommunizieren und die Aktionen zu koordinieren. Die bei den Ameisen

Ameisensysteme und Schwarme: Bin Beitrag zur konzeptionellen Einordnung 263

beobachtbare Selbstorganisation lasst sich nach Bonabeau et al. (1999, S. 9ff) aus dem Zusammenwirken von vier wesentlichen Mechanismen erklaren: Positives Feedback, negatives Feedback, zufdlliges Abweichen und Interaktion.

Zur Kommunikation, zur Verteidigung und zum Angriff besitzen die meisten Arten Drusen, mit denen sie chemische Stoffe, etwa Ameisensaure oder Pheromo-ne, produzieren. Letztere dienen - in Kombination mit dem gegenseitigen Bertih-ren der Fiihler - zur Kommunikation unter den Ameisen. Pheromone werden z.B. fur die Kastenerkennung, die Markierung oder zum Spurlegen genutzt: Indem die Ameisen auf dem RUckweg zum Nest Spurpheromone ausbringen, legen sie von ihrem Nest zu den Futterquellen Pfade. Zu der direkten Kommunikation tritt somit die gezielte Veranderung der Umwelt durch chemische Stoffe, die als Nachrichten interpretierbar sind. Diese Form der indirekten Kommunikation wird als Stigmer-gie bezeichnet (Dorigo et al. 2000; Theraulaz u. Bonabeau 1999). Sie kann als eine spezielle Form der Stimulanz aufgefasst werden: stigma (der Ansporn) und ergon, (die Arbeit und das Produkt der Arbeit) vereinen sich zum „anspomenden Produkt der Arbeit". Kommunikation mittels Stigmergie liegt dann vor, wenn ein Individuum durch seine Tatigkeit die Umwelt derart verandert, dass ein bestimm-tes Verhalten bei anderen Individuen ausgelost wird. Oft folgt daraus ein autokata-lytischer Regelkreis: Spurpheromone locken z.B. weitere Ameisen an, so dass die Pfade, die zu Futterquellen fUhren, intensiv genutzt und wiederholt markiert werden. 1st eine Futterquelle ausgeschopft, markieren die Ameisen diesen Pfad nicht mehr, sondern wenden sich der Umgebung zu. Da Pheromone fliichtige Stoffe sind, verblassen mit der Zeit die Spuren auf den nicht mehr genutzten Pfaden. Das Erinnerungsvermogen des Ameisenstaates, definiert als die Gesamtheit aller Phe-romonspuren, wird somit durch ein Vergessen erganzt.

Der Ameisenstaat als Ganzes erreicht einen weitaus hoheren Entwicklungs-stand hinsichtlich des Reaktionsvermogens, der Kompliziertheit der entstehenden Strukturen etc. als der, den jede einzelne Ameise erkennen lasst. Diese Losungs-mechanismen mit kUnstlichen Ameisen nachzubilden und sie z.B. fur betriebswirt-schaftliche Probleme einzusetzen, ist das Ziel der Ameisenalgorithmen.

2.2 Kunstliche Ameisen

Ameisenalgorithmen, auch als Ant Colony Optimization bezeichnet, konnen wie folgt charakterisiert werden (Dorigo u. StUtzle 2004; Dorigo et al. 2000):

Ein Ameisenalgorithmus ist ein Multi-Agenten-System, das auf Stigmergie beruht und durch die Beobachtung echter Ameisenkolonien inspiriert ist.

AUgemein versteht man unter einem Agenten „ein langerfristig arbeitendes Pro-gramm, dessen Arbeit als eigenstandiges Erledigen von Auftragen oder Verfolgen von Zielen in Interaktion mit einer Umwelt beschrieben werden kann" (Gorz et al. 2000, S. 949). Unmittelbar aus dieser Definition ist abzuleiten, dass die Agenten Autonomie besitzen, da sie keiner (unmittelbaren) Steuerung und Kontrolle durch einen Nutzer unterliegen. Die Agenten kooperieren und kommunizieren mit anderen Agenten, um kollektive Problemlosungsstrategien zu konstruieren. Zudem ha-

264 Martin Feldmann

ben sie die Fahigkeit zur Kommunikation mit dem Nutzer und zum Erlernen und Erkennen seiner Bediirfnisse. Die Agenten reagieren dabei auf Veranderungen der Umgebung (Reaktivitdt) und handeln aus eigenem Antrieb heraus (Proaktivitdt). Treten mehrere interagierende Agenten auf, liegt ein Multi-Agenten-System vor.

Kunstliche Ameisen sind als primitive Agenten einzuordnen, die zwar autonom agieren, aber weder mit dem Nutzer noch direkt untereinander kommunizieren. Die einzige Form der Kommunikation erfolgt iiber Stigmergie. Dazu lesen und schreiben sie in einem Graphen kunstliche Pheromonspuren. Diese Spuren sind den Kanten der Kantenmenge L in dem sogenannten Konstruktionsgraphen zuge-ordnet. Indem eine Ameise einen Pfad in diesem Graphen auswahlt, konstruiert sie eine Losung des zugrunde liegenden Problems. Pfade im Konstruktionsgraphen G = (C, L, W, P) reprasentieren somit die gesuchten Losungen des Problems. Hierbei bezeichnet C = {c;, C2,,.., c } die endliche Menge von Problemkomponen-ten - die um kiinstliche Komponenten erganzt sein konnen - und L = {/y} eine Menge an Kanten, die Knoten der Menge C verbinden. Jeder Kante /,y ist ein Spei-cher pij zugeordnet, der die auf dieser Kante hinterlassene Pheromonmenge angibt. Die Kosten bzw. die Erlose einer Kantennutzung werden als Wj, abgespeichert und konnen z.B. als die Distanzen zwischen den Orten interpretiert werden, die bei der Konstruktion einer Rundreise zu beriicksichtigen sind. Ebenso kann Wy der Eig-nung einer Person / fiir die Bearbeitung einer Aufgabe j in einem Zuordnungs-problem entsprechen. Die Gewichtung W und die Bewertung P miissen weder symmetrisch vorliegen, noch muss jede Kante /y gewichtet oder bewertet sein. In Erweiterung zu der iiblichen Darstellung (Bonabeau et al. 1999) wird hier nicht verlangt, dass L vollstandig alle Knoten aus C verbindet.

Jede Ameise versucht, innerhalb des Graphen G einen Pfad zu finden, der einer zulassigen Losung des Optimierungsproblems entspricht. Dabei hat sie eine Menge von Restriktionen R mit R{C, L) zu beriicksichtigen und orientiert sich an den Gewichten W und den Bewertungen P. Jede kiinstliche Ameise bringt fiir diese Aufgabe mindestens die folgenden Fahigkeiten und Eigenschaften mit:

• Sie lebt in einer diskreten Welt aus Knoten, die sie eindeutig unterscheiden kann.

• Pro Iteration wechselt jede Ameise von einem Knoten / zu einem anderen Knoten 7, der direkt von dem Knoten / aus erreichbar ist. Die Geschwindigkeit, mit der sie sich zwischen den Knoten bewegt, ist unabhangig von der Bewertung Wy und von der Zahl der Ameisen in den Knoten / und j sowie von der Zahl der Ameisen, die in der gleichen Iteration die Kante /y nutzen.

• Sie verfiigt iiber ein Gedachtnis (die sogenannte Knotenliste), in dem sie die bereits besuchten Knoten speichert, und iiber eine Abbruchbedingung sowie ggf. uber weitere Restriktionen R, die sie bei der Kantenwahl priift.

• Trifft sie in einem Knoten i auf verschiedene weiterfiihrende Kanten, kann sie erkennen, in welchen Knoten 7 die Kante /y fiihrt, ohne ihr zu folgen.

• Sie kann im Knoten / die Bewertung der Kanten Wy und die aktuellen Phero-monmengen py ablesen, diese Werte vergleichen und einfache Berechnungen zur Kantenwahl durchfiihren.

Ameisensysteme und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung 265

• Die Ameise entscheidet lokal, welcher Kante sie als nachstes folgt. Neben Wy, Pij und den berechneten Werten geht der Zufall in die Wahl der Kante ein.

• Jede Ameise kann ihr Gedachtnis (die sogenannte Knotenliste) auslesen und damit ihren Weg im Graphen zuriickverfolgen.

• Bei Oder nach der Nutzung einer Kante kann sie die Pheromonmenge p^ ver-andern.

Zur Darstellung des Verfahrens wird der kurzeste Pfad in einem Graphen von ei-nem Ausgangs- zu einem Zielknoten gesucht. Das Beispiel wurde gewahlt, da es eine wesentliche Vereinfachung erlaubt. Die Abbildung des Problems in einem geeigneten Konstruktionsgraphen ist trivial, da das Problem unmittelbar als Graph vorliegt, der direkt als Konstruktionsgraph verwendet werden kann.

Bei der Initialisierung wird eine Zahl an Ameisen (AnzahLAmeisen) mit jeweils leerer Knotenliste im Ausgangsknoten ausgesetzt und dieser Knoten als erste Position der Knotenliste jeder Ameise gespeichert. Die Binarvariablen Abbruch, Ziel__erreicht und Start_erreicht sind pro Ameise auf „false" gesetzt. Jede Ameise wahlt in jeder Iteration zufallig einen der fur sie aktuell erreichbaren Knoten, wo-bei sie nicht zu den Knoten zuriickkehrt, die sie bereits besucht hat und - bei einem Minimierungsproblem - jene Kanten bevorzugt wahlt, deren Gewicht w^ klein ist. Jeden besuchten Knoten fugt sie ihrer Knotenliste an. Die Ameisen be-wegen sich damit zeitlich parallel, aber unabhangig voneinander auf den Kanten des Graphen.

Erreicht die erste Ameise den Zielknoten, wird ihre Binarvariable ZieLerreicht auf „true" gesetzt und die Losung des Optimierungsproblems ermittelt, die dem Pfad der Ameise entspricht. Die Ameise erhalt eine vorgegebene Pheromonmenge und kehrt auf genau dem Weg zum Ausgangsknoten zuruck, den sie zuvor gewahlt hatte. Dazu bestimmt sie anhand der Lange ihrer Knotenliste den Anteil des Pheromons, den sie pro Kante setzen wird und verteilt dann die Pheromonmenge iiber die Kanten ihres Pfades, bis der Test auf Start_erreicht positiv ausfallt. Ab der zweiten Ameise, die den Zielknoten erreicht, kann die Pheromonmenge proportional zur Giite der gefundenen Losung angepasst werden: Ameisen, die kurzere Pfa-de gefunden haben, erhalten mehr Pheromon als die, die auf langeren Pfaden zum Ziel gelangt sind. Hier steuert der Ubergeordnete Master-Prozess, wie die Vertei-lung des Pheromons an die Ameisen vorzunehmen ist. Die Qualitat der bisher gefundenen Losungen wird gespeichert und die Pheromonmenge pro Ameise in Ab-hangigkeit von ihrer Losungsgute angepasst. Auf die Kanten, die zu besonders guten Losungen fUhren, wird folglich eine groBe Menge Pheromon ausgebracht. Treffen Ameisen auf ihrem Weg vom Ausgangsknoten zum Zielknoten auf bereits mit Pheromon bewertete Kanten, gehen in die Auswahl der nachsten Kante nicht nur die Gewichte der Kanten w , sondern auch deren Bewertung pij ein. Je starker eine Kante mit Pheromon bewertet ist, desto groBer wird ihre Wahrscheinlichkeit, ausgewahlt zu werden. Die Wahl der Kante wird folglich durch zwei Komponen-ten beeinflusst: Erstens durch das konstante Gewicht Wy, mit dem im Konstruktionsgraphen die Struktur des zu losenden Problems wiedergegeben wird, und zwei-tens durch die von den Ameisen gemeinsam vorgenommenen Bewertungen der Kanten uber die Pheromone. Um nachzubilden, dass die Pheromone im Verlauf

266 Martin Feldmann

der Zeit ausdiinsten, wird z.B. pro Iteration die Bewertung jeder Kante pij mil ei-ner Konstanten < 1 multipliziert. Die Bewertung auf den nicht vorteilhaften Kan-ten verschwindet mit der Zeit, wahrend sich die Spuren auf den Kanten verdich-ten, die zu den besten Losungen fuhren. Diese Kanten werden bevorzugt gewahlt, so dass erfolgreiche Pheromonmuster im Graphen emergieren. Das Vorgehen wird in dem Pseudocode in Abb. 1 vorgestellt:

Ameisenalqorithm us Initialisierung Verfahren: Initialisierung Graph:

Initialisierung Ameise:

Bis Anzahl_Ameisen erreichi

Anzahl__Ameisen; lterationen_max; Iteration := 0 Ausgangsknoten, Zielknoten und w/'i/einlesen; Pij := 0 auf alien Kanten Knotenliste := leere Liste; Abbruch Ziel_erreicht := false; Start__erreicht

= false; := false;

Erster Knoten der Knotenliste := Ausgangsknoten t: Initialisierung Ameise

Solange (Iteration < lterationen_max) Fur jede Ameise

Prufeauf Abbruch Prufe auf Ziel_errelcht Falls (Abbruch = Ziel_erreicht = false)

Kantenwahl (wif, p,y) Update Knotenliste

Falls (ZieLerreicht = true) Pheromonzuteilung Wiederhole

Kante bewerten (p,y) Knotenliste abbauen Prufe auf Start_erreicht

Bis (Start__erreicht = true) Falls ((Abbruch = true) oder (Start_erreicht =

Pheromonverdunstung Iteration := Iteration + 1 Ende

Initialisierung Ameise true))

Abb. 1. Pseudocode Ameisenalgorithmus

In der Grundform wird nicht vorausgesetzt, dass der Konstruktionsgraph vollstan-dig ist. Es kann daher Ameisen geben, die bei der Konstruktion scheitern, da sie keinen Knoten mehr wahlen konnen, den sie nicht schon aufgesucht haben. Fiir diese Ameisen greift das Abbruchkriterium: Sie werden mit leerer Knotenliste er-neut im Ausgangsknoten ausgesetzt, ohne dass sie Pheromon ausbringen.

Zwar stehen fur dieses leichte Problem polynomial beschrankte Algorithmen zur Verfugung, doch eignet sich der Ameisenalgorithmus auch dann, wenn statt der konstanten Gewichte W mit der Zeit schwankende Werte auftreten. Derartige Probleme stellen sich z.B. im Kontext des Betreibens von Kommunikationsnetzen Oder bei der Planung von Routen auf unterschiedlich stark frequentierten Strecken. Sie fuhren regelmaBig zu sehr anspruchsvollen Optimierungsproblemen, bei denen sich die Informationsweitergabe mittels Stigmergie positiv bewahrt hat (Guntsch et al. 2000; Guntsch u. Middendorf 2002).

AmeisensySterne und Schwarme: Bin Beitrag zur konzeptionellen Einordnung 267

2.3 Varianten der Ameisenalgorithmen und ihre Gemeinsamkeiten

Die vorgestellte Grundform der Ant Colony Optimization hat mittlerweile zahlrei-che Modifikationen erfahren (vgl. z.B. die Zusammenstellung in Dorigo u. Sttitzle 2004). Die wichtigsten Ansatzpunkte zur Unterscheidung sind

a) die Vorschrift zur Auswahl der Kanten, b) die Regel, nach der einer Kante Pheromon zugewiesen wird, c) die Auswahl der Ameisen, die Pheromone ausbringen dtirfen, d) die Steuerung der Pheromonverdunstung, e) der Zeitpunkt und die Art des Pheromonupdates, f) die Form des Informationsaustausches bei parallelen Systemen, g) die Eigenschaften der Ameisen bei Systemen mit verschiedenen Ameisenarten.

Ursprtinglich lagen drei von Dorigo et al. (1991) entwickelte Varianten vor. Bei Ant Density wird zu dem Pheromonwert einer Kante eine konstante Menge ad-diert. Ant Quantity legt die Pheromonmenge umgekehrt proportional zu Wy fest, d.h. bei einem Minimierungsproblem werden kurze Kanten generell intensiver markiert. Ant Cycle passt die insgesamt zu verteilende Pheromonmenge umgekehrt proportional zur Losungsqualitat an, so dass die zu guten Losungen fixhren-den Kanten besonders stark markiert werden. Bei der Elitist Strategic (Dorigo et al. 1996) wird die Bewertung erst vorgenommen, wenn jede Ameise eine zulassi-ge Losung gefunden hat. Zusatzlich markiert eine Ameise die Kanten der bisher besten Losung. Der Ant-Q-Algorithmus (Gambardella u. Dorigo 1995) - oft auch als Ant Colony System (Dorigo u. Gambardella 1997) bezeichnet - stellt eine der bekanntesten Varianten dar. Dort entfernen die Ameisen laufend Pheromon von den Kanten, die sie nutzen. Dies fUhrt zu einer Erhohung der explorativen Kraft der Suche. Der Algorithmus stagniert seltener in schwachen lokalen Optima. Au-Berdem fuhrt das Pheromonentfernen dazu, dass die Kanten, die zu schlechten Losungen fuhren, schnell unvorteilhaft erscheinen. Eine ahnliche Idee wird bei der Max-Min-Strategie (Stutzle u. Hoos 1999) verfolgt. Die Pheromonbewertung einer Kante darf weder tiber einen maximalen Wert steigen, noch unter einen minimalen Wert fallen. Auch diese Variante wirkt vorzeitigem Konvergieren auf schwachem Niveau entgegen. Beim Rank-Based Ant System (Bullenheimer et al. 1999) brin-gen die k besten Ameisen Pheromone aus, wobei Ameisen mit besserem Rang mehr Pheromon verteilen. Diese Variante erinnert an das rangbasierte Auswahlen von Eltern in genetischen Algorithmen und fuhrt tendenziell zu einem Erhalt der Vielfalt von Informationen im Graph. Beim Best-Worst Ant System (Cordon et al. 2002) bringt die beste Ameise Pheromon aus, wahrend die schlechteste Ameise Pheromon einsammelt. Die Kanten, die regelmaBig zu schlechten Losungen ftih-ren, werden damit sehr schnell erkennbar. Unterschiedliche Ameisenarten, etwa Transport- und Erkundungsameisen, werden im Recruiting Ant Colony System (Stamer 2003) eingesetzt, wahrend im Ant Net (Di Caro u. Dorigo 1998) unterschiedliche Pheromonarten Verwendung finden. Auf mehrere parallel arbeitende Ameisensysteme greift Parallel Ant Colonies (Talbi et al. 2001) zuriick. Mehrere Kolonien und unterschiedliche Methoden des Informationsaustausches untersu-chen Middendorf et al. (2002) im Multi Colony Ant Algorithm.

268 Martin Feldmann

Die Idee der Metaheuristik bleibt aber in alien Varianten unverandert. Die Ameisen werten bei der Konstruktion der Losung die Knotenliste als privates Ge-dachtnis und die Pheromonspuren als gemeinsames Gedachtnis aus. Sie entschei-den bei der Kantenwahl myopisch, da im Moment der Entscheidung nur der kleine Ausschnitt der Pheromonbewertung ftir die aktuell erreichbaren Kanten zugang-lich ist. Um den Stand der Losungskonstruktion zu verwalten, wird das private Gedachtnis in Form der Knotenliste gehalten. Die ktinstlichen Ameisen konstruie-ren mithilfe dieser Liste Losungen, die sie in dem Moment wieder vergessen, in dem sie ihre gewonnene Information - den Pfad - fUr das gemeinsame Gedachtnis verfUgbar gemacht haben. Der Ubergeordnete Master-Prozess entscheidet, welche der Informationen zu einer Veranderung der Pheromonspuren beitragt. Grundsatz-lich werden aber nur Kanten erinnert und nicht der Pfad als Ganzes: Beim Uber-gang in das gemeinsame Gedachtnis wird auf die Information verzichtet, in wel-cher Kombination die Kanten zu wahlen sind, um eine bestimmte Losung zu erhalten. Zusammenfassend zeichnet sich diese Metaheuristik durch folgende Merkmale aus:

• Die Suche erfolgt populationsgestutzt. • Die Ameisen konstruieren sukzessiv Losungen des Problems. • Der Zufall und heuristische, lokale KalkUle beeinflussen die Wahl der Kante

im Konstruktionsgraphen. • Der Konstruktionsprozess wird durch ein privates Kurzzeitgedachtnis gesteu-

ert; Erfahrungen friiherer Losungen werden dort nicht erinnert. • Die Speicherung der Erfahrung erfolgt liber Stigmergie im gemeinsamen Kon

struktionsgraphen und orientiert sich an den natiirlichen Ameisen. • Jede einzelne Ameise partizipiert lokal an den Erfahrungen, die andere Amei

sen bereits gemacht haben. • Weitergegeben wird in einem Ameisensystem grundsatzlich nur die Informati

on zur Konstruktion der Losung, nicht aber das Ergebnis.

Der Ameisenalgorithmus ist prinzipiell fiir jedes Problem anwendbar, ftir das sich eine konstruktive Heuristik angeben lasst (vgl. Dorigo u. Sttitzle 2004, S. 34). Ein-geschrankt wird dies durch die Tatsache, dass das Problem zuvor in einen Graphen zu iiberfiihren ist. Diskrete Problemstrukturen und Wertebereiche eignen sich fiir eine Optimierung mit ktinstlichen Ameisen daher besser als Problemstellun-gen, die auf kontinuierlichen Wertebereichen formuliert sind. Dariiber hinaus ist es fiir viele kombinatorische Probleme naheliegend, eine Darstellung in Form ei-nes Graphen zu wahlen. Der Schritt zum Konstruktionsgraphen ist dann z.B. beim Traveling Salesman Problem trivial. Bei anderen Fragestellungen (z.B. Zuord-nungsproblemen) ist zunachst ein geeigneter Konstruktionsgraph auszuwahlen und der Konstruktionsprozess ggf. durch Restriktionen R{C, L) einzuschranken.


3. Schwarmalgorithmen

Mit den Schwarmalgorithmen, auch als Particle Swarm Optimization bezeichnet, soil die Form der koordinierten Suche mittels dezentraler Abstimmung erreicht werden, die insbesondere bei niedrig entwickelten Tieren, etwa Insekten oder Fi-schen, beobachtbar ist. Nachgebildet werden die Mechanismen, die z.B. dazu fUh-ren, dass in einem Schwarm eine wahrgenommene Gefahren- oder Futterquelle derart kommuniziert wird, dass sich eine praktisch synchrone Richtungsanderung einstellt. Bevor auf den typischen Ablauf der Schwarmalgorithmen eingegangen wird, sind die besonderen Eigenschaften des Schwarms vorzustellen.

3.1 Natijrliches Vorbild: Schwarm

Nach Parrish und Hamner (1997) lasst sich ein Schwarm als eine nichtorganisierte Anhaufung (Menge) sich bewegender Individuen - ublicherweise Insekten oder Fische - definieren und zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus: Ein Schwarm hat meist klar definierte Rander und weist eine gleichmaBige Partikel-dichte auf. Innerhalb des Schwarms konnen die so genannten Partikel aktiv ihre Position andern und sich relativ zu ihren Nachbam umpositionieren. Schwarme fiihren dabei koordinierte Bewegungsmuster aus, ohne dass ein Anfiihrer identifi-zierbar ist. Die Emergenz einer stabilen Formation, die auf einer dezentralen Ko-ordination statt einer hierarchischen Abstimmung beruht, soil bei der Entwicklung des optimierenden Verfahrens nachgebildet werden.

Schwarme liegen als so genannte anonyme Verbande vor, d.h. die Organismen kennen sich nicht individuell und es steht weiteren Artgenossen offen, sich dem Verband anzuschlieBen. Der Zusammenhalt eines Schwarms wird durch die an-ziehende Wirkung sozialer Signale, durch soziale Attraktion, sichergestellt, womit der Verband selbst zur Quelle der Anziehung wird. Diese Eigenschaft kann als eine elementare Form von Stigmergie interpretiert werden. Die Arbeit, die die Partikel verrichten, und die dadurch verursachte Veranderung der Umwelt liegen in der gemeinsamen Bewegung und Ausrichtung, die den Schwarm als eine Einheit er-scheinen lasst. Diese wird von anderen Partikeln wahrgenommen und regt sie dazu an, sich dem Schwarm anzuschlieBen. Die Umwelt wird somit nur temporar ver-andert; Botenstoffe oder andere Signale mussen nicht ausgebracht werden.

Jeder Partikel folgt zur Positionsveranderung im Schwarm den drei grundle-genden Prinzipien: Auswertung, Vergleich und Imitation (Kennedy et al. 2001). Er bewertet seinen aktuellen Standort, vergleicht ihn mit dem der benachbarten Partikel und imitiert ggf. deren Verhalten (die Richtungsanderung). Dabei achtet er darauf, nicht mit anderen Partikeln zu kollidieren, d.h. er halt eine Art „Mindest-abstand" ein. Bewegt sich ein Schwarm nur innerhalb einer bestimmten Region, bezeichnet man ihn als einen territorialen Schwarm. In diesem Fall existiert ein Attraktionspunkt, zu dem jeder Partikel zuruckkehren mochte.

Als Vorteile der Schwarmbildung fUr die Organismen sind die Schutzfunktion, der Verwirrungseffekt und die groBere Wachsamkeit in der Gruppe zu nennen. Hinzu kommt die Effektivitatssteigerung bei der Fortbewegung, bei der Suche

270 Martin Feldmann

nach Futter oder bei der Partnerwahl (Parrish u. Hamner 1997). Fur die Ubertra-gung als Optimierungsmethode sind die Koordination der Bewegung, die Effekti-vitatssteigerung im Verband und die selbststandige Intensivierung der Suche we-sentlich. So muss z.B. nur ein Partikel Nahrung ausmachen, um das Verhalten der gesamten Gruppe zu beeinflussen. Andert er seine Richtung, werden einige der benachbarten Partikel diese Veranderung abgeschwacht aufgreifen. Machen auch sie die neue Nahrungsquelle aus, passen sie ihre Bewegung weiter an und wieder folgen deren benachbarte Partikel, bis unter Umstanden der ganze Schwarm in die Richtung einschwenkt. 1st die Nahrung erschopft, verliert sich die gemeinsame Ausrichtung, die Partikel orientieren sich an der Bewegungsrichtung des restlichen Schwarms bzw. folgen einem neuen Impuls (Parrish u. Hamner 1997). Durch die groBe Zahl der Partikel und ihre Moglichkeit der adaptiven Steuerung wird der Suchraum intensiv durchkammt und die Suche an den erfolgversprechenden Stel-len erheblich verstarkt. Die sprichwortliche Intensitat der Heuschreckenschwarme kann eine Vorstellung des gewunschten Effekts vermitteln.

3.2 KiJnstliche Schwarme zur Optimierung

In einem Schwarmalgorithmus werden jedem Partikel einfache und dezentral an-wendbare Regeln vorgegeben. Mit diesen wird versucht, ein Verhalten des Systems „Schwarm" auszulosen, das emergierende Eigenschaften hervorbringt, die zur Losung eines Problems nutzbar sind. Diese Algorithmen sind wie folgt zu cha-rakterisieren (Kennedy et al. 2001):

Ein Schwarmalgorithmus ist ein stochastisiertes, populationsgestUtztes lokales Suchverfahren, dessen Agenten direkt interagieren.

Die Agenten bzw. Partikel sind als Punkte in einem hochdimensionalen Raum, dem Losungsraum, aufzufassen. Die Dimension entspricht der Zahl der Entschei-dungsvariablen des Optimierungsproblems, wobei jeder Partikel eine zulassige Losung verkorpert und liber die folgenden Fahigkeiten verfUgt:

• Er kann seine momentane Position feststellen, die damit erreichte LosungsgUte bestimmen und sich an seine bisher beste Position erinnern.

• Jeder Partikel bestimmt autonom die Richtung und das AusmaB der Veranderung, in die bzw. mit der er sich in dem Suchraum bewegt.

• Jeder Partikel nimmt Vergleiche innerhalb seiner Bezugsgruppe (d.h. einer Menge anderer Partikel) vor. Er vergleicht seine aktuell erreichte LosungsgUte und pruft, welche Setzung der Entscheidungsvariablen bei dem besten Partikel in seiner Bezugsgruppe zum Erfolg ftihrt.

• Ftir die Bestimmung der Richtungsanderung zieht der Partikel neben seiner ei-genen Erfahrung auch die aktuell beste Losung in der Bezugsgruppe heran.

• In die Festlegung der Richtungsanderung gehen zufallige Komponenten ein.

Ein Partikel ist somit als ein Losungsvorschlag x und damit als ein Punkt im Losungsraum aufzufassen. Da jeder Partikel neben der aktuellen Losung auch seine bisher beste Losung speichert, werden in einem Schwarm doppelt so viele Losun-

AmeisensySterne und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung 271

gen erinnert, wie dieser Partikel umfasst. In jeder Iteration werden an jedem Partikel - unabhangig von der Qualitat seiner Losung x(t) - kleine Veranderungen vor-genommen. Im Weiteren wird dazu ein einzelner Partikel betrachtet, der von der Losung in Iteration t zu einer Losung in t+l wechselt:

x(f+l) = H [x(t), v(0, e(t), d{t)]

Der Vektor x umfasst fiir den Partikel die m Entscheidungsvariablen des Problems. In die Funktion H gehen neben den Werten der Variablen x im Zeitpunkt t die Veranderung des Partikels v(t) und zwei Erfahrungswerte ein:

• Der Vektor e(t) gibt die bis zum Zeitpunkt t beste Losung dieses Partikels an und speichert sie als Individualerfahrung.

• Der Vektor d(t) gibt die beste Losung an, die im gegenwartigen Zeitpunkt t in der Bezugsgruppe des Partikels vorliegt. Dieser Vektor stellt die Gruppener-fahrung dar. Die Wahl der Partikel als Bezugsgruppe kann auf einer raumli-chen (physischen) oder auf einer sozialen Nachbarschaft definiert sein.

Alle Vektoren haben die Dimension m und geben Werte fiir die Entscheidungsvariablen an. In die Veranderung v(t), die der Partikel hinsichtlich seiner m Di-mensionen in t erfahrt, gehen e(t) und d{t) ein:

v(r) = a v(M) + zi ki [e{t) - x(t)] + Z2 k2 [d(t) - x^t)]

In die Bestimmung des Veranderungsvektors gehen somit drei Komponenten ein: Erstens die bisherige Veranderung des Partikels v(^l). Diese wird mit a gewichtet und als Tragheit interpretiert. Sie stellt eine Form des Kurzzeitgedachtnisses des Partikels dar und sorgt daftir, dass die zuletzt eingeschlagene Richtung der Veranderung beriicksichtigt wird. Zweitens geht, mit dem Parameter ki gewichtet, die Distanz zwischen den aktuellen Werten der Entscheidungsvariablen des Partikels x{t) und seiner eigenen Erfahrung e(t) ein. Die individuelle Erfahrung ist als ein Langzeitgedachtnis ausgestaltet, da der beste Punkt im Losungsraum erinnert wird, den der Partikel bisher fand. Drittens wird, mit k2 gewichtet, die Distanz zwischen dem aktuellen Punkt x(t) und der Gruppenerfahrung d(t) beriicksichtigt, die der Imitation entspricht. Die gewichteten Erfahrungen werden mit den Zufalls-zahlen zi und Z2 multipliziert, die z.B. aus dem Intervall [0,1] stammen.

Fiir v(0 kann erganzend ein Intervall [Vmin» y.m^] vorgegeben sein, das pro Ent-scheidungsvariable extreme Veranderungen verhindert, die entweder zu einem Verharren fiihren oder so groBe Spriinge im Suchraum verursachen, die den Erfolg des adaptiven Steuerns gefahrden. Mit der Festlegung der drei Parameter a, ki und k2 sowie des Intervalls, aus dem Zi und Z2 zufallig gezogen werden, kann der Ein-fluss der Tragheit, der eigenen Erfahrung und der Imitation festgelegt werden. Diirfen die Entscheidungsvariablen beliebige kontinuierliche Werte annehmen, er-gibt sich x(t+l) unmittelbar aus den Werten x{t), die gemaB v(0 verandert werden:

x(f+l) = jc(0 + v(0

Wahrend in der Natur jeder Organismus im Schwarm die ihn unmittelbar physisch umgebenden Individuen beobachtet und sich damit die Zusammensetzung seiner

272 Martin Feldmann

Bezugsgruppe laufend andern kann, wird in den kunstlichen Schwarmen regelma-Big darauf verzichtet, variierende Bezugsgruppen zu implementieren. Stattdessen wird mit wesentlich geringerem Rechenaufwand fiir jeden Partikel eine feste Gruppe bestimmt, mit der er sich vergleicht. Dieses Vorgehen bildet, folgt man Kennedy, Eberhart und Shi (2001), soziale Kontakte nach. Um die Bezugsgruppen festzulegen, kann man sich die Partikel bei ihrer Initialisierung ringformig aufge-reiht denken. Ausgehend von einem Partikel / werden die g Partikel, die links und rechts von ihm auf dem Ring angeordnet sind, als Bezugsgruppe BGi des Partikels / definiert. Die Gruppen uberlappen sich, d.h. BGj und BGi+i stimmen in 2(^-1) Partikeln Uberein. Unabhangig von den Werten x{t), d.h. den Positionen, die diese Partikel im Losungsraum wahrend der Suche einnehmen werden, bleibt die Zu-sammensetzung der Bezugsgruppe pro Partikel konstant. Der Ausgangspunkt je-des Partikels: x{l) wird zufallig gesetzt. Raumliche und soziale Nahe miissen sich somit nicht entsprechen (Kennedy et al. 2001, S. 311).

Der Pseudocode in Abb. 2 fasst die Vorgehensweise fiir ein Minimierungsprob-lem zusammen, wobei auf die Beschrankung der Veranderung v(t) auf das Inter-vall [Vmin» Vmax] vcrzichtct wurdc. F gibt die Bewertung der Partikel an, t_max be-schrankt die Iterationen und AnzahLPartikel die Machtigkeit des Schwarms.

Schwarmalqorithmus Initialisierung Verfahren: Anzahl_Partikel; t_max; t := 1; a, /cy und kz einlesen; Initialisierung Partikel: Xi{t) := zufallige Setzung; ej^t) := xîty, v,<t) := 0; v,<0) := 0;

fur/= 1,..., AnzahLPartikel Festlegung der Bezugsgruppe BGj; dff) := min {F(xj{t))} fur alle Partikel y in BGi;

Solange (t < t_max) Fur jeden Partikel/

Bewerten: Falls F{Xj{t)) < F(e,(0) e,<0:=x,{0:

Vergleichen: dj(t) := min {F{xj{t))} fur alle Partikel y in BGi; Imitieren: v,{t) := a v,<M) + Zi ki[e,(f) -x,{0)l + Z2 k2m) - m] \ Bewegen: Xj{t+1) := Xj{t) + Vj{t);

t : = t + 1 ; Ende

Abb. 2. Pseudocode Schwarmalgorithmus

Ein Problem des Schwarmalgorithmus wird anhand dieser Darstellung sofort deut-lich: Rein prinzipiell konnen Partikel den Losungsraum verlassen, wenn durch v(0 die Entscheidungsvariablen iiber ihren Wertebereich hinausgehend verandert werden. Diesem Effekt kann man erstens dadurch begegnen, dass die Partikel, die un-zulassige Losungen verkorpem, durch die Funktion F mit einer Strafe belegt werden, die eine RUckkehr des Partikels in den zulassigen Raum auslost. Zweitens kann bei der Berechnung der Position x{t) verhindert werden, dass eine Veranderung einer Variablen vorgenommen wird, die diese aus ihrem Definitionsbereich fiihrt: Die Variable wird stattdessen auf der Grenze ihres Definitionsbereichs fi-xiert. Drittens kann man den Algorithmus erweitern, indem man mit einem Attrak-tionspunkt in die Berechnung der Veranderung eine Tendenz zur RUckkehr zu diesem Punkt integriert. Der Schwarm ahnelt dann einem territorialen Schwarm.


Auch bei den Schwarmalgorithmen existieren eine Reihe von Varianten, die sich nur gering z.B. bei der Setzung der Parameter, der Definition der Bezugs-gruppe Oder der Berucksichtigung konstriktiver (den Schwann einengender) Kom-ponenten unterscheiden (vgl. Kennedy et al. 2001, S. 327ff.). Eine wichtige Ver-besserung geht auf Veeramachaneni et al. (2003) und Peram et al. (2003) zuriick. Dort flieBt nicht nur die gegenwartig beste Position d(t), sondem auch die bisher in der Bezugsgruppe beste gefundene Losung git) als vierte Komponente in die Bestimmung der Richtungsanderung v(t) ein. Diese Variante wirkt der vorzeitigen Konvergenz auf schwachem Niveau entgegen, da der Suchprozess die Richtung beriicksichtigt, die (in der Bezugsgruppe) in der Vergangenheit zum Erfolg fuhrte. Der Verfahrenskern bleibt aber unverandert und lasst sich wie folgt beschreiben:

Ein Schwarmalgorithmus ist ein populationsgestUtztes, zufdllig initialisier-tes Verfahren, bei dem sich die Verdnderung der Partikel durch eine zufdllig gewichtete Mischung aus sozialem Lernen, d,h. Imitation in der Bezugsgruppe und durch lokales Erinnern sowie durch Trdgheit bestimmt.

Der erste Versuch, Schwarmalgorithmen bei diskreten Problemstellungen einzu-setzen, stammt von Kennedy und Eberhart (1997), die v(0 analog zur Grundform festlegen. Mithilfe einer sigmoiden Funktion s, z.B. der logistischen Funktion, wird s(v(0) fiir jede Entscheidungsvariable bestimmt und dieser Wert einer zufal-lig gezogenen Wahrscheinlichkeit gegenlibergestellt. Ist die Zufallszahl kleiner (groBer) als s(v(0) wird der Variablen der Wert 1(0) zugewiesen. Dieser Vorgang wird separat fur alle Entscheidungsvariablen wiederholt. Wahrend die binare Variante des Schwarmalgorithmus fur diverse multimodale Testfunktionen recht gute Ergebnisse erzielt (Kennedy u. Spears 1998), kann der Algorithmus bei kombina-torischen Problemen bislang nicht Uberzeugen (Clerc 2004). Deshalb schlagen Al-kazemi und Mohan (2003) vor, eine Hybridisierung mit lokalem Hill Climbing vorzunehmen. Die eigentliche Suche ubemimmt das Hill Climbing, das auf den Losungen aufsetzt, die mittels v(0 verandert wurden. Fiihrt das Verfahren zum Erfolg, ist allerdings nur schwer erkennbar, ob dies der Steuerung des Schwarms zu-zuschreiben ist oder aus dem parallelen Hill Climbing folgt.

4. Vergleich und Beurteilung

Nach der Darstellung der Verfahren wird nun untersucht, worin ihre Gemeinsam-keiten liegen, die u.a. dazu ftihren, dass diese beiden Ansatze oft in einem Atem-zug genannt werden (vgl. z.B. Bonabeau et al. 1999). Zunachst ist die dezentral ausgelegte Steuerung durch autonome primitive Agenten und die Betonung der Kommunikation mittels Stigmergie hervorzuheben. Durch die Vorgabe einfacher Regeln wird jeweils versucht, ein Verhalten des Systems auszulosen, das emergie-rende Eigenschaften hervorbringt, die zur Losung des Optimierungsproblems nutzbar sind. Beide Verfahren greifen das Verhalten von Insekten bzw. niedrig entwickelten Tieren als Vorbild auf.

274 Martin Feldmann

Mit der Verwendung einer Population drangt sich unmittelbar der Vergleich mit evolutionar motivierten Verfahren, z.B. genetischen Algorithmen (Holland 1975, 1992; Goldberg 1989, 2002) und Evolutionsstrategien (Rechenberg 1994; Schwefel 1995; Back et al. 2000a, 2000b) auf. Es stellen sich die folgenden Fra-gen:

• Wie unterscheiden sich die Ansatze von den evolutionar motivierten Verfahren?

• Erlauben strukturelle Ahnlichkeiten eine Identifikation von Synergiepotenzia-len?

• Konnen diese Potenziale zu einer Verbesserung der Strategien beitragen?

Grundsatzlich greift jede Metaheuristik auf die Komponenten Selektion, Variation (als Mutation oder als Rekombination) und Bewertung zuruck. Diese Schritte werden iterativ und ggf. populationsgestutzt wiederholt, bis ein Abbruchkriterium erreicht ist. Dabei ist von besonderem Interesse, wie jeweils Informationen gehal-ten, selektiert und dem Suchprozess erneut zuganglich gemacht werden.

4.1 Beurteilung der Schwarmalgorithmen

Bei einem Schwarmalgorithmus halt jeder Partikel mehrere Informationen: v(r), x(t), e{t) und d{t), Beim Ubergang von Iteration t zu t+\ wird fur jede Variable ihr neuer Wert in Abhangigkeit dieser Komponenten festgelegt. Die Auswahl der dabei zu beriicksichtigenden Losung erfolgt rein deterministisch, so dass die Selekti-on der Eltern letztlich identisch zur Evolutionsstrategie geschieht. Die Behauptung bei Kennedy, Eberhart und Shi (2001, S. 360), im Schwarm fande keine Selektion statt, trifft nicht zu. Ein „Survival of the fittest'' ist innerhalb der Bezugsgruppe gegeben, da die Information des Bezugsgruppenbesten selektiert wird und sie eine hohe Wahrscheinlichkeit hat, wiederholt weitergegeben zu werden. AUerdings verzichtet der Schwarmalgorithmus im Gegensatz zu den genetischen Algorithmen auf eine Auswahl der Eltern nach erreichter Fitness, d.h. alle Losungsvor-schlage werden im Schwarm weiter verfolgt, selbst wenn sie unterlegen sind.

Zur Steuerung der Suche werden bei der Evolutionsstrategie erganzend Informationen uber die bisher erfolgreiche Art der Suche weitergegeben. Dazu wird die Kodierung der Losung erweitert, indem neben dem konkreten Losungsvorschlag auch die bisher verwendete Schrittweite oder der Operator der lokalen Suche ge-speichert werden. Diese Information wird mitvererbt, kombiniert und ggf. mutiert, so dass sich eine evolutionare Entwicklung auf zwei Ebenen ergibt: Losungsvor-schlage werden verbessert und indirekt die Parameter der Suchoperatoren opti-miert (Schwefel 1995; Rechenberg 1994).

Informationen uber bereits bewahrte Losungen halt auch der Schwarm. Eine Anpassung der Schrittweite findet dort aber nur indirekt statt. Durch dit), e(t) und v(r) wird die Richtung der Veranderung weitergegeben und iiber die Parameter a, ki und k2 eine Begrenzung der Schrittweite vorgenommen, die nochmals durch das Intervall [Vmin, Vmax] erganzt wird. Die Anpassung der Parameter an den Suchver-lauf ist in der Grundform nicht vorgesehen; sie wird aber bereits diskutiert (Ken-


nedy et al. 2001, S. 34Iff.), so dass sich hier eine noch starkere Annaherung zur Evolutionsstrategie abzeichnet.

Hinsichtlich der Nutzung der gemeinsamen Erfahrung zeichnet sich der Schwarmalgorithmus durch eine wichtige Besonderheit aus: Es wird ein sich iiber-lappendes, vermaschtes Gedachtnis genutzt, d.h. einzelne Partikel sind zugleich mehreren Bezugsgruppen zugehorig. Die Reichweite, in der ein Partikel andere beeinflusst, ist durch die Definition der Bezugsgruppe begrenzt. Erfolgt ihre Fest-legung fix - interpretiert als soziale Nachbarschaft - entspricht sie den Demen, die in den genetischen Algorithmen zur Strukturierung der Population haufig Ver-wendung finden (Feldmann 1999, S. 202). Ist die Bezugsgruppe hingegen variabel und auf der physischen Nachbarschaft definiert, liegt ein originar neues und wich-tiges Konzept vor, das in keinem Verfahren bislang eingesetzt wurde.

Hinsichtlich der Variation der Partikel, also dem Ubergang von x(t) zu x{t+l), wird die Veranderung einer Variablen x generell unabhangig von den Verande-rungen der Ubrigen Variablen vorgenommen. Implizit wird damit unterstellt, dass der Beitrag der einzelnen Entscheidungsvariablen zur Qualitat einer Losung „se-parierbar" ist: Eine vorteilhafte Setzung fuhrt auch in Kombination mit verander-ten Werten anderer Variablen zu Losungen mit einer hohen Qualitat. Dieser Zu-sammenhang ist gerade bei kombinatorischen Problemen haufig nicht gegeben. Erstens entstehen i.d.R. unzulassige Plane, wenn z.B. aus mehreren Maschinenbe-legungsplanen die Sequenzen der Auftrage gemischt werden. Zweitens macht das Festlegen und Beibehalten einer Richtung, in der eine Losung verandert werden soil, bei kombinatorischen Problemen wenig Sinn. Es existiert regelmafiig kein sinnvolles MaB fur die Bestimmung der Distanz zwischen zwei Losungen. Eine Definition der Bezugsgruppe uber die physische Nachbarschaft muss daher entfal-len. Drittens konnen, abweichend vom Vorbild, mehrere Partikel die gleiche Losung verkorpern. Dieser Fall wird z.B. eintreten, wenn Variable auf ganzzahlige Werte gerundet werden. Unterschiedlich positionierte Partikel stellen dann die gleiche Losung dar und bremsen den Prozess. Viertens konnen bereits kleine Va-riationen bei einzelnen Variablen zu erheblich veranderten Losungen fuhren, so dass eine simultane Anderung vieler Variabler mehr Struktur zerstort als erhalt.

Zusammengefasst werden auf der Ebene der Entscheidungsvariablen in einer kombinatorischen Problemstellung keine Schwarmstrukturen auftreten, da x{t) nicht in den notigen kleinen Schritten variierbar ist und keine gemeinsame Aus-richtung der Bewegung moglich ist. Wird dennoch eine Veranderung durch v(t) vorgenommen, reduziert sich die Suche auf eine willkUrliche und zufallige Variation. Die Schwarmalgorithmen erscheinen daher schon aufgrund ihrer Konzeption fur kombinatorische Optimierungsprobleme wenig geeignet; eine Einschatzung, die sich in den Versuchen von Clerc (2004) bestatigt.

In kontinuierlichen Suchraumen bieten die Schwarmalgorithmen - bis auf die variablen Bezugsgruppen - keine Idee, die nicht schon im Rahmen der Evolutionsstrategie nach Rechenberg (1994) und deren Weiterentwicklungen (Back et al. 2000a, 2000b) diskutiert wurde. Die enge Beziehung zwischen den Evolutions-strategien und den Schwarmen sollte nicht - wie Kennedy, Eberhart und Shi (2001, S. 359-368) dies noch versuchen - infrage gestellt, sondern zum Identifi-zieren von Synergien genutzt werden. In den co-evolutionaren Methoden, mit Pa-

276 Martin Feldmann

rasiten etc., wurde z.B. der Einsatz unterschiedlicher Individuen bereits erprobt. Auch in Schwarmen konnten daher Partikel mit verschiedenen Eigenschaften (z.B. mit unterschiedlichen Werten der Parameter) eingesetzt werden. Weiter muss es fUr den Schwarm nicht immer vorteilhaft sein, nur Bezugsgruppen gleicher GroBe zuzulassen. Hier konnen Ergebnisse der geschachtelten Evolutionsstrategien (Re-chenberg 1994) herangezogen werden.

4.2 Beurteilung der Ameisenalgorithmen

Wahrend beim Schwarmalgorithmus der einzelne Partikel als Individuum einer populationsgestutzten Suche aufgefasst werden kann, ist dies bei einem Ameisen-algorithmus nicht eindeutig gegeben. Einerseits kann man argumentieren, dass je-de Ameise ein Individuum einer populationsgestutzten Suche darstellt. Dann aber ergibt sich das Problem, wie das gemeinsam genutzte Gedachtnis (die Pheromon-spuren) einzuordnen ist. Andererseits kann man auch die Spuren im Graphen als wesentlich ansehen. Auf Basis dieser Spuren werden Versuche durchgefuhrt, die diese in einen neuen Zustand uberfuhren. Die gemeinsame Suche der Ameisen lasst sich als eine - mehrfach und parallel durchgefuhrte - Mutation auffassen. Ist die Pheromonmatrix aber der Kern des Verfahrens, dann drangt sich eine bislang nicht untersuchte Parallele zum Genpool der Genetischen Algorithmen auf.

Genetische Algorithmen orientieren sich unmittelbar am evolutionaren Prozess auf Ebene der Genotypen, wobei sie das Vererben mittels Crossover und Mutation nachbilden. Dazu werden in einer Population mehrere, zufallig initialisierte L6-sungsvorschlage (Individuen) gehalten. Diese liegen als Genotypen in einer Form kodiert vor, die sich fUr den Einsatz der Suchoperatoren eignet. Die Individuen werden hinsichtlich ihrer Losungsgute bewertet und die mit hoherer Fitness be-vorzugt, aber zufallig als Eltern fur die nachste Generation ausgewahlt. Durch Crossover und Mutation entstehen aus den elterlichen Erbanlagen Genotypen der Nachkommen. In diesen sollen sich die Eigenschaften kumulieren, die zu der ho-hen Fitness der Eltern gefuhrt haben, wobei die Mutation fiir die notige Vielfalt im Genpool sorgt (Holland 1992; Feldmann 1999).

Bezieht man die Suche statt auf die einzelnen Individuen auf die im Genpool weitergegebenen Muster, die sogenannten Schemata (Spears 2000), wird deutlich, dass ein genetischer Algorithmus nicht nur explizit, sondem zudem implizit parallel sucht. Jeder einzelne Genotyp kann als Instanz mehrerer Schemata aufgefasst werden. Der Algorithmus erprobt diese Muster, er rekombiniert sie und gibt die Auspragungen bevorzugt weiter, die sich bewahren. Stellt man diese Idee den Ameisenalgorithmen gegenuber, wird deutlich, dass auch dort Muster als Phero-monspuren parallel von verschiedenen Ameisen genutzt und somit erprobt werden. Allerdings bezieht sich die Information, die ein genetischer Algorithmus halt, auf die Losung und nicht auf den Prozess der Konstruktion einer Losung. Durch diesen sukzessiven Charakter kann im Ameisenalgorithmus eine situationsabhan-gige Anpassung vorgenommen werden. Die Akzeptanz (Auswahl) einer Kante entspricht dabei der Selektion zur Fortpflanzung. Die Berucksichtigung des Pfades (die Pheromonausbringung) gleicht der Selektion zum tJberleben. Als Besonder-


heit erlaubt der Ameisenalgorithmus eine graduelle Abstufung iiber die Phero-monmenge je Kante, mit der auch die Information iiber eine unvorteilhafte Ent-scheidung weitergegeben wird. Im genetischen Algorithmus werden hingegen ganze Gensequenzen getauscht und i.d.R. wird erst im Anschluss gepriift, ob sich zulassige Losungen ergeben haben.

Trotz der Unterschiede liefert die Parallele von Genpool und Pheromonmatrix einen niitzlichen Hinweis: Bei der Kodierung von Losungen fur genetische Algo-rithmen hat es sich vielfach bewahrt, expansiv zu kodieren. Dazu werden nicht in-formationstragende Gene, sogenannte Dummys oder Introns, in den Genotyp in-tegriert (Feldmann 1999, S. 167f.; Back et al. 2000, S. 163). Sie helfen, die Zahl unzulassiger Nachkommen zu reduzieren und erleichtern die Interpretation des Genotyps. Auf die Ameisenalgorithmen Ubertragen, konnen Dummys die Wahl eines geeigneten Konstruktionsgraphen erleichtern. Die ubliche Vorgehensweise (Stutzle u. Dorigo, 2004, S. 21 Iff) erfahrt damit eine wichtige Erweiterung, die im Folgenden fiir das quadratische Zuordnungsproblem (QAP) gezeigt wird.

4.3 Dummys im Konstruktionsgraphen

Das QAP ist NP-schwer (Garey u. Johnson 1979) und kann wie folgt beschrieben werden: Gegeben sind zwei nxn Matrizen A = (a^) und B = (^jj), die z.B. die Ent-fernungen zwischen n Orten und die Transportfrequenzen zwischen n Elementen angeben. Gesucht ist die Permutation, die /[TT) minimiert, wobei 7r[n) die Men-ge der Permutationen der n Elemente iiber die n Orte ist:

mm ;r€nO

n n in f(7t) = y y an bjr.rr.

Die hohe betriebswirtschaftliche Relevanz des QAP zeigt sich bei vielen betriebli-chen Layout-Entscheidungen, wenn Maschinen (oder Lager, Fabriken, Server etc.) so auf n Standorte zu verteilen sind, dass die Transportkosten minimal werden.

Zur Losung dieses Problems wurden wiederholt Ameisenalgorithmen einge-setzt (Bonabeau et al. 1999, S. 56-67; Dorigo u. Stutzle 2004, S. 160-164). Der dabei genutzte Konstruktionsgraph besteht aus 2n Knoten, die vollstandig unter-einander verbunden sind (vgl. Dorigo u. Stutzle 2004, S. 161). Wechselt eine Ameise von einem Ort / zu einem Element y, legt sie die Zuordnung des Elements j auf den Ort i fest. Hat sie alle Orte erreicht, ist eine Losung konstruiert.

Integriert man Dummys und lasst unvollstandige Netze zu, kann das QAP (fUr eine n = 5 Instanz) auch mit dem Graph in Abb. 3 dargestellt werden. Sein Vorteil liegt erstens darin, eine problemnahe Abbildung anzubieten, in der pro Zuordnung ein Knoten vorgesehen ist. Zweitens wird der Konstruktionsprozess durch die Dummys in sinnvolle Abschnitte geteilt und drittens werden die Losungen eindeu-tig reprasentiert, ohne dass eine groBe Zahl an Kanten benotigt wird.

Dummys konnen somit die Wahl eines geeigneten Graphen erheblich vereinfa-chen. Zudem kann der Graph leichter an die Spezifika des Problems angepasst

278 Martin Feldmann

werden, wenn eine Strukturierung durch nicht informationstragende Knoten bzw. Kanten zugelassen wird.

Die in der Abbildung dunkel hervorgehobenen Knoten sind die nicht informati-onstragenden Dummy-Knoten. Wahlt eine Ameise in der Spalte A den Knoten 1, weist sie das Element A dem Ort 1 zu und nimmt diesen Ort in ihre Knotenliste auf. Danach wechselt sie in den folgenden Dummy-Knoten und wendet sich der Zuordnung fiir das Element B zu, wobei der Ort 1 gemaB ihrer Knotenliste ge-sperrt ist.

5J \5J X 5

Abb. 3 . Konstruktionsgraph mit Dummys

Die Phe romonbewer tung wird nach Abschluss der Losungskonst rukt ion auf den Knoten ausgebracht , so dass die Ameisen gleichzeitig in be iden Rich tungen L 6 -sungen konstruieren konnen. SchlieBt man den Graphen zu e inem Ring , in d e m der erste und der letzte D u m m y - K n o t e n identisch sind, konnen die Ameisen au-Berdem in bel iebigen Knoten ausgesetzt werden und die Konstrukt ion mit und ge-gen den Uhrzeigers inn vornehmen.

Bis lang wird der Leser hinsichtlich der Wahl des Konst rukt ionsgraphen darauf verwiesen, seiner Intuit ion und Erfahrung zu folgen, sich an bes tehenden Graphen zu orientieren oder fiir j ede mogl iche Setzung einer Variablen einen Knoten vor-zusehen (Stutzle u. Dor igo 2004 , S. 211) . Die Notwendigkei t , fUr nicht Standard-p rob leme Losungswege aufzuzeigen, sehen bislang nur Mon tgomery et al. (2004) . Dor t wird versucht , a l lgemein einen Ruckschluss von Problem-Eigenschaf ten auf geeignete Graphen herzustel len und daraus Des ignempfehlungen abzuleiten. Die Potenziale von D u m m y s und unvollstandigen Graphen wurden bis lang nicht dis-kutiert, obwohl sie wesentl ich dazu beitragen konnen, Ameisensys teme auch auf Prob leme anzuwenden , fiir die sich nicht unmittelbar ein Graph anbietet .


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Autorenverzeichnis

Albach, Horst, Prof. Dr. Humboldt-Universitat zu Berlin, Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat Spandauer StraBe 1, 10178 Berlin

Behrens, Sven, Dr. Ruhr-Universitat Bochum, Fakultat fur Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl fiir Produktionswirtschaft Universitatsstr. 150, 44801 Bochum

Bierwirth, Christian, Prof. Dr. Martin-Luther-Universitat Halle-Wittenberg, Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat, Institut fur BWL, insbes. Produktion und Logistik GroUe SteinstraBe 73, 06108 Halle

Feldmann, Martin, PD Dr. Universitat Bielefeld, Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaften, Lehrstuhl fiir Betriebswirtschaftslehre, insbes. Unternehmensforschung Universitatsstr. 25, 33615 Bielefeld

Hildebrandt, Lutz, Prof. Dr. Humboldt-Universitat zu Berlin, Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat Institut fUr Marketing Unter den Linden 6, 10099 Berlin

Kalpakam, Saraswathi, Prof. Dr. Indian Institute of Technology Madras, Department of Mathematics Chennai - 600036, India

Konig, Rolf, Prof. Dr. Universitat Bielefeld, Fakultat fur Wirtschaftswissenschaften, Lehrstuhl fiir Betriebswirtschaftslehre, insbes. Betriebliche Steuerlehre Universitatsstr. 25, 33615 Bielefeld

Letmathe, Peter, Prof. Dr. Universitat Siegen, FB 5: Wirtschaftswissenschaften Lehrstuhl BWL III/ Umweltokonomik Holderlinstr. 3, 57068 Siegen

Luhmer, Alfred, Prof. Dr. Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg, Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaft, Lehrstuhl fiir Untemehmensrechnung und Controlling Universitatsplatz 2, 39106 Magdeburg

282 Autorenverzeichnis

Rogalski, Marlies, PD Dr. t Universitat Bielefeld, Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaften, Lehrstuhl fur Betriebswirtschaftslehre, insbes. Unternehmensforschung Universitatsstr. 25, 33615 Bielefeld

Schumacher, Stephan, Dr. E.ON Westfalen Weser AG Bielefelder Str. 3, 32051 Herford

Settnik, Ulrike, Dr. Bundesanstalt fiir Finanzdienstleistungsaufsicht Graurheindorfer Str. 108, 53117 Bonn

Shanthi, Subramanian, Dr. Indian Institute of Technology Madras, Department of Mathematics Chennai - 600036, India

Sommersguter-Reichmann, Margit, Dr. Technische Universitat Wien, Fakultat fiir Maschinenbau und Betriebswissen-schaften, Institut fur Managementwissenschaften, Abteilung fiir Industrielle Betriebswirtschaftslehre und Wettbewerb Theresianumgasse 27/11, A-1040 Wien

Sonntag, Susanne, Dr. noventum consulting GmbH Miinsterstr. H I , 48155 Munster

Stepan, Adolf, Prof. Dr. Technische Universitat Wien, Fakultat fur Maschinenbau und Betriebswissen-schaften, Institut fiir Managementwissenschaften, Abteilung fur Industrielle Betriebswirtschaftslehre und Wettbewerb Theresianumgasse 27/11, A-1040 Wien

Steven, Marion, Prof. Dr. Ruhr-Universitat Bochum, Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl fiir Produktionswirtschaft Universitatsstr. 150, 44801 Bochum

Temme, Dirk, Dr. Humboldt-Universitat zu Berlin, Wirtschaftswissenschafdiche Fakultat Institut fiir Marketing Unter den Linden 6, 10099 Berlin

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Quantitative Unternehmensführung: Denken in Austauschraten