RT2_EIT_Skript_Teil10_11_Zustandsraum_MIMO_V1.0

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RT2, Teil 10/11, Zustandsraum-Darstellung für Mehrgrössen-Systeme – Prof. Dr. D. Zogg 02.05.2012 1/35

Regelungstechnik 2 für EIT

Teil 10/11:Zustandsraum-Darstellung für Mehrgrössen-Systeme (MIMO)

Version 1.0

Prof. Dr. David Zogg

Institut für Automation IAHochschule für Technik

Fachhochschule Nordwestschweiz

Windisch, Mai 2012




Dokumentenkontrolle

Änderungen

Version Datum Autoren Bemerkung

1.0 02.05.2012 David Zogg Erstellung




1. Zweck 4 2. Referenzen 4 3. Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 5 3.1. Allgemein 5 3.2. Gasturbinen-Modell 6 4. Einführung 7 4.1. Lernziele 7 4.2. Von der klassischen Regeltechnik zur modellbasierten Regelung 7 4.3. Zustandsraum-Darstellung (Repetition) 8 4.4. Praxisbeispiel Gasturbine 9 4.5. Teilmodelle der Gasturbine 11 4.6. Serieschaltung der Teilmodelle in MATLAB 14 4.7. Analyse der Regelstrecke in MATLAB 15 4.8. Zustandsregler mit LQR-Entwurf auslegen (Repetition) 18 4.9. Beobachter mit LQE-Entwurf auslegen 19 4.10. Synthese zum kombinierten Beobachter/Zustandsregler (LQG-Regulator) 21 4.11. Der Schritt zum Folgeregler mit Soll/Ist-Vergleich 23 4.12. Die kombinierte Auslegungsmethode für Beobachter und Zustandsregler

(LQG/LTR) 24 4.13. Anwendung des LQG/LTR-Entwurfs auf die Gasturbine 27 4.14. Simulation des entworfenen Reglers unter realen Bedingungen 31 4.15. Zusammenfassung 35




1. Zweck

Das vorliegende Skript dient als Grundlage für das Modul „Regelungstechnik 2“ (rt2) im6. Semester des Studiengangs Elektro- und Informationstechnik (EIT).

Im Modul „Regelungstechnik 1“ (rt1) des 5. Semesters wurde die Auslegung von zeitkon-tinuierlichen PID- und Zustandsreglern behandelt.

Im vorliegenden 10./11. Teil wird die Zustandsraum-Darstellung auf massive Mehrgrös-sen-Systeme (MIMO = Multiple Input Multiple Output) erweitert. Neben der bekanntenLQR-Auslegungsmethode für Zustandsregler wird die verwandte LQE- Auslegungsmethode für Beobachter eingeführt.

Die Theorie wird anhand eines realen Beispiels einer modernen Gasturbine für einKombikraftwerk erklärt.

2. Referenzen

[ 1 ] J.P. Keller: Zustandsraummethoden, Skript Systemtechnik RT2, Windisch 2009

[ 2 ] J. Zellweger, Zustandsregelkreise, Kapitel 5, Skript, Windisch

[ 3 ] H. Gassmann: Theorie der Regelungstechnink, 2. Auflage, Verlag Harri Deutsch,Rapperswil/Frankfurt 2003

[ 4 ] H.P. Geering: Regelungstechnik, 3. Auflage, Springer Verlag, Zürich/Berlin 1994

[ 5 ] K. Müller: Entwurf robuster Regelungen, B.G. Teubner Stuttgart, 1996




3. Symbol- und Abkürzungsverzeichnis

3.1. Allgemein

A Zustandsraumdarstellung: Systemmatrix, Dynamikmatrix

B Zustandsraumdarstellung: Eingangsmatrix für Stellgrösse u

Bw, Bw Zustandsraumdarstellung: Eingangsmatrix für Prozessrauschen w

C Zustandsraumdarstellung: Ausgangsmatrix

D Zustandsraumdarstellung: Durchgangsmatrix (Direct Feedthrough)

G Regelstrecke (Übertragungsfunktion)

G u, Gu Regelstrecke mit Stellgrössen u am Eingang

G d , Gd Regelstrecke mit Störgrössen d am Eingang

H Beobachter-Rückführmatrix (Beobachter-Verstärkungsmatrix)

I, I n Identitäts-Matrix (Dimension n x n)

K Zustands-Rückführmatrix

L Offener Loop (Kreisverstärkung G0)

L f , Lf Offener Loop des LQ-Estimators (Kalman-Filter, Beobachter)

Lr, Lr Offener Loop des LQ-Regulators (Zustandsregler)

Q x , Qx Gewichtungsmatrix für Zustandsgrössen (LQ-Regulator)

Qy, Qy Gewichtungsmatrix für Ausgangsgrössen (LQ-Regulator)

Qw, Qw Gewichtungsmatrix für Prozessrauschen bzw. Schätzfehler (LQ-Estimator)

Ru, Ru Gewichtungsmatrix für Stellgrössen (LQ-Regulator)

Rv, Rv Gewichtungsmatrix für Messrauschen (LQ-Estimator)

d Störgrössen

e Regelfehler

i Imaginär-Anteil

s Laplace-Operator (zeitkontinuierlich)

u Eingangsgrössen (Stellgrössen, Steuergrösse)

w Führungsgrössen (Sollwert)

x Zustandsgrössen

y Ausgangsgrössen (Messgrössen, Istwert)

ρ Auslegungsparameter für LQ-Regulator (Methode LQG/LTR)

µ Auslegungsparameter für LQ-Estimator (Methode LQG/LTR)

ω Kreisfrequenz (rad/s)




LQ Linear-Quadratisch

LQR Linear-Quadratischer Regulator

LQE Linear-Quadratischer Estimator

LQG Linear-Quadratisch mit Gauss’scher Verteilung (der Rauschsignale)

LTR Loop Transfer Recovery

3.2. Gasturbinen-Modell

Aij Wärmeübergangsfläche zwischen Bilanzelement i und j

cv,i Spezifische isochore Wärmekapazität des Mediums im Bilanzelement i

c p Spezifische isobare Wärmekapazität des Mediums (Stoffstrom, Massenstrom)

h Br Spezifische Enthalpie des Brennstoffes

mi Masse des Mediums im Bilanzelement i

kij Wärmedurchgangszahl zwischen Bilanzelement i und j

mi Masse des Mediums im Bilanzelement i

m* i Massenstrom des Mediums durch das Bilanzelement i

m* Br,i Brennstoff-Massenstrom im Bilanzelement i (Zufuhr in Brennkammer)

T i Temperatur des Mediums im Bilanzelement i (= Temperatur am Austritt)

T in,i Temperatur des Mediums am Eintritt des Bilanzelementes i




4. Einführung

4.1. Lernziele

Teil 10 (Zustandsraum-Darstellung)

Lernziel Taxonomiestufe (Bloom)

Repetition: Schritt von der klassischen Regelung zurmodellbasierten Regelung Verständnis

Zustandsraum-Darstellung auf massive Mehrgrössen-systeme mit vielen Ein-/Ausgängen anwenden kön-nen

Anwendung

Teil 11 (Auslegungsmethoden)

Lernziel Taxonomiestufe (Bloom)Repetition: Zustandsregler nach LQR-Methode ausle-gen können

Anwendung

Neu: Optimalen Beobachter nach LQE-Methode aus-le en können

Anwendung

Mehrgrössen-Folgeregelung mit Beobachter und Zu-standsregler verstehen

Verständnis

Kombinierte Auslegungsmethode LQR/LTR anwen-den können

Anwendung

4.2. Von der klassischen Regeltechnik zur modellbasierten Regelung

In der klassischen Regeltechnik wird der Prozess (Regelstrecke) zwar analysiert, für dieReglerauslegung ist aber kein explizites Prozessmodell notwendig. In einem Grossteilder praktischen Anwendungen ist deshalb der PID-Regler vorherrschend (Abbildung 1).

Dieser Regler kann auch dann eingestellt werden, wenn die Regelstrecke nicht genau bekannt ist.

Abbildung 1: Regelkreis mit klassischem PID-Regler




Die klassische Regeltechnik stösst aber bei folgenden Situationen an ihre Grenzen:

• Massive Mehrgrössensysteme mit vielen Ein- und Ausgangsgrössen• Starke Kopplungen zwischen den Signalen (bzw. Zustandsgrössen)• Nicht alle Grössen messbar (Zustands-Beobachter notwendig)• Hochdynamische („schnelle“) Regelstrecken, welche hohe Reglerperformance

benötigen (z.B. aktive Schwingungsdämpfung in mechanischen Systemen)• Sicherheitskritische oder sehr langsame Regelstrecken, welche nicht von Hand

oder durch Einstellregeln (Sprungantwort, Ziegler-Nichols) eingestellt werdenkönnen

In solchen Situationen ist es ratsam, zunächst ein Prozessmodell aufzustellen. DiesesModell kann anschliessend für die Auslegung des Reglers verwendet werden (Abbildung

2). Dazu sind folgende Möglichkeiten vorhanden:

• Verwendung des Prozessmodells zur mathematischen Auslegung des Reglers(modellbasierter Zustandsregler)

• Direkte „Einpflanzung“ des Prozessmodells in den Regler( Verwendung eines Beobachters mit Zustandsregler)

Abbildung 2: Regelkreis mit modellbasiertem Regler

4.3. Zustandsraum-Darstellung (Repetition)

Die Zustandsraum-Darstellung ist durch folgendes Differentialgleichungssystemgegeben:

( 1 ) DuCx y

Bu Ax x

+=

+=&

Die Stellgrössen sind im Eingangsvektor u zusammengefasst, die (nicht messbaren)Zustandsgrössen im Zustandsvektor x und die (messbaren) Ausgangsgrössen im Ausgangsvektor y. Die Systemmatrix A ist für die Dynamik der Regelstrecke zuständig,

die Eingangsmatrix B beschreibt den Einfluss der Stellgrössen, die Ausgangsmatrix C selektiert die messbaren Ausgangsgrössen und die Durchgangsmatrix D definiert die(statischen) direkten Zusammenhänge zwischen Eingang u und Ausgang y (oft ist D=0).

Das zugehörige Singalflussbild (Blockdiagramm) zeigt Abbildung 3




Abbildung 3: Allgemeines Signalflussbild für Zustandsraum-Darstellung

Folgend ist die Zustandsraum-Darstellung für ein System 3. Ordnung mit 3Eingangsgrössen u1..u3, drei Zustandsgrössen x 1..x 3 und einer gemessenen Ausgangsgrösse y dargestellt (Beispiel):

( 2 )

Falls auch der Einfluss der Störgrössen d modelliert werden soll, wird folgendeerweiterte Variante gewählt (Beispiel mit 2 Störgrössen d 1 und d 2 am Eingang):

( 3 )

[ ] [ ] [ ]

⋅+

⋅+

⋅=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

2

1

21

3

2

1

321

3

2

1

321

2

1

3231

2221

1211

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

d

d d d

u

u

u

d d d

x

x

x

ccc y

d

d

bb

bb

bb

u

u

u

bbb

bbb

bbb

x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

d u

d u

D

d d

D

uuu

C

B

d d

d d

d d

B

uuu

uuu

uuu

A

484764 4 84 4 7648476

4 484 4764 4 4 84 4 4 764 4 84 4 76

&

&

&

Dabei wird die Eingangsmatrix in zwei Teile Bu (Einfluss der Stellgrössen u) und Bd (Ein-fluss der Störgrössen d ) aufgeteilt. Ebenso wird die Durchgangsmatrix in Du und Dd auf-geteilt.

4.4. Praxisbeispiel Gasturbine

Gasturbinen dienen in modernen Kombikraftwerken der Stromerzeugung (Abbildung 4).

Durch eine Kopplung mit einer Dampfturbine (Nutzung der Abwärme der Gasturbine) werden heute Kombi-Wirkungsgrade von bis zu 60% erreicht. Speziell dazu wurden von ABB (heute Alstom) Gasturbinen mit sequentieller Verbrennung entwickelt. Zwei hin-tereinandergeschaltete Brennkammern ermöglichen eine vollständige Verbrennung mitkleiner NOx-Emission bei gleichzeitig hoher Austrittstemperatur, was wiederum für dennachgeschalteten Dampfkreislauf von Vorteil ist.

[ ] [ ]

⋅+

⋅=

⋅

+

⋅

=

3

2

1

321

3

2

1

321

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

u

u

u

d d d

x

x

x

ccc y

u

u

u

bbb

bbb

bbb

x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

&

&

&




Abbildung 4: Gasturbine GT24/26 von ABB/Alstom mit 240 MW Leistung

Diese Gasturbinen hatten in den Anfängen allerdings eine „Kinderkrankheit“, esentstanden nämlich unerklärliche Pulsationen in den Brennkammern. Das verursachtehohe Kosten durch Ausfälle. Natürlich wurde fieberhaft nach Lösungen gesucht. Ein

Ansatz betraf die Regeltechnik. Die konventionelle Regelung der Abgastemperatur warüber einen einschleifigen PID-Regelkreis gelöst (Abbildung 5). Damit wurden die Werteder Temperatursensoren gemittelt, welche im Austrittgehäuse über dem Umfang verteilt waren. Die gemittelte Temperatur wurde anschliessend über einen PID-Regler auf dieBrennstoffzufuhr geführt, welche wiederum alle Brenner zusammen ansteuerte. Damit war es nicht möglich, Brenner einzeln anzusteuern bzw. Störungen in denTemperaturverteilungen auszuregeln.

Abbildung 5: Klassische Regelung über einschleifigen PID-Regler

In einem Zwischenschritt wurde der einschleifige Regelkreis durch mehrere parallelangeordnete PID-Regelkreise ersetzt, welcher jeder für sich eine Abgastemperatur auf die entsprechende Brennstoffzufuhr zurückführt (Abbildung 6). Dabei muss berücksichtigt werden, dass in der Turbine eine Ablenkung der Strömung durch die Leit-und Laufschaufeln entsteht. Die Sensoren müssen also den richtigen Aktuatorenzugeordnet werden. Zudem kann man sich einfach vorstellen, dass die Brennstoffzufuhran einem Brenner auch die Temperatur der seitlich benachbarten Kammern beeinflusst,




da eine Vermischung stattfindet. Diese Kopplungen können mit den (getrennt) parallellaufenden PID-Reglern nicht berücksichtigt werden.

Abbildung 6: Klassische Regelung über mehrere parallele PID-Regler (hellgelbe Pfeile: Kopplungen)

Als nächster Schritt wurde deshalb der modellbasierte Ansatz gewählt. Damit werden dieKopplungen automatisch berücksichtigt, weil sie bereits im Prozessmodell vorhandensind. Auch die Ablenkung in der Turbine wird automatisch berücksichtigt.

Abbildung 7: Modellbasierte Regelung (Prozessmodell mit Kopplungen)

4.5. Teilmodelle der Gasturbine

Nun wollen wir das Prozessmodell für die Regelstrecke der Gasturbine aufstellen. Dazuteilen wir das System in mehrere Bilanzelemente auf (Abbildung 8). Für die TeilmodelleBrennkammer, Turbine und Austrittsgehäuse sind je n Bilanzelemente über den Umfangder Maschine verteilt (n ≥ Anzahl Temperatursensoren am Austritt). Das sind insgesamt3 x n Bilanzelemente (für n = 6 also 3 x 6 = 18 Bilanzelemente).




Abbildung 8: Bilanzelemente, verteilt über den Umfang

Für jedes Bilanzelement wird die thermodynamische Gleichung der Wärmebilanz aufge-stellt. Folgende Differentialgleichung gilt für ein Bilanzelement der Brennkammer:

( 4 )

Die Symbole zu ( 4 ) sind im Abschnitt 3.2 definiert. Die Gleichung ( 4 ) ist wie folgt zulesen: „Die Veränderung der inneren Energie des Bilanzelementes (Dynamik) ist gleichder zugeführten Wärme von den benachbarten Elementen j und k (Wärmeübertragung)plus der konvektiv zugeführten Energie (Konvektion) plus der zugeführten Brennstoffe-nergie (Brennstoff)“.

Gleichung ( 4 ) ist in allgemeiner Form dargestellt und kann nun für alle Bilanzelementeeinzeln angewandt werden. Für das Teilmodell der Brennkammer wird die Gleichungin die Form ( 5 ) gebracht:

( 5 )

Wird das System nun für n gekoppelte Bilanzelemente aufgestellt, resultiert folgendeZustandsraum-Darstellung für die Brennkammer (Beispiel n=6, Übung!):




( 6 )

Die Brennstoffmassenströme m* Br,i gehen als bekannte Stellgrössen u ein, während dem

die unbekannten Temperaturen T in,i am Eintritt der Brennkammer als Störgrössen ud

eingehen. Dabei sind die Koeffizienten in ( 6 ) wie folgt definiert:

( 7 )

In einem weiteren Schritt wird das Teilmodell der Turbine betrachtet. Hier wird nurdie Ablenkung durch die Leit- und Laufschaufeln berücksichtigt (kein Wärmeaus-tausch), was durch die „Shift-Matrix“ ( 8 ) definiert werden kann. Damit wird die Tem-peratur des zweiten Elementes am Eintritt dem ersten Element am Austritt zugeordnet,

die Temperatur des dritten Elementes dem zweiten, usw.

( 8 )

8764 4 4 84 4 4 76876 d

in

in

in

in

in

in

out

out

out

out

out

out

u

T

T

T

T

T

T

K

k

k

k

k

k

k

y

T

T

T

T

T

T

⋅

=

,6

,5

,4

,3

,2

,1

,6

,5

,4

,3

,2

,1

00000

00000

00000

00000

00000

00000




Als drittes Teilmodell folgt nun noch das Austrittsgehäuse. Hier wird wieder die Glei-chung ( 5 ) bzw. die Zustandsraum-Darstellung ( 6 ) als Basis genommen, wobei hierkeine Brennstoffmassenströme als Stellgrössen vorhanden sind (u = 0, also Bu = 0):

( 9 )

Für das betrachtete Teilmodell sind die Temperaturen T i,in in ( 9 ) als Störgrössen ud zu-sammengefasst, wobei diese gleich den Austrittstemperaturen des vorgeschalteten Teil-modelles sind (also der Turbine).

Damit ist der nächste Schritt schon definiert: Die drei Teilmodelle müssen nun in Serie

hintereinander geschaltet werden, was in folgendem Abschnitt mit Hilfe von MATLABdurchgeführt wird.

4.6. Serieschaltung der Teilmodelle in MATLAB

Die Teilmodelle der Brennkammer, Turbine und des Austrittsgehäuses werden nun inmit Hilfe von MATLAB in Serie geschaltet.

Wir verwenden dazu folgende MATLAB-Befehle:

Funktion MATLAB-BefehlTeilmodell Brennkammer ( 6 )mit Koeffizienten ( 7 )

GBrK = ss(A, [Bu Bd], C, [Du Dd])

aik = 1;

bid = 10;

aii = 2*aik+bid;

biu = 500;

Teilmodell Turbine ( 8 )mit Koeffizient k

GTrb = K

k = 0.8

Teilmodell Austrittsgehäuse ( 9 )mit Koeffizienten ( 7 )

keine Brennstoffzufuhr:

GAus = ss(A, Bd, C, Dd)

aik = 0.5;

bid = 1;

aii = 2*aik+bid;

biu = 0;

Serieschaltung der Teilmodelle

zum Gesamtsystem „Gasturbine“

G = GAus*GTrb*GBrK

Auswahl der Eingangsgrössen:nur Stellgrössen unur Störgrössen d

Gu = G(:, 1:6); Gd = G(:, 7:12);

File: RT2_Strecke_GT.m




4.7. Analyse der Regelstrecke in MATLAB

Die Analyse der Regelstrecke erfolgt wiederum in MATLAB. Es ist zu beachten, dass wires hier mit einem Mehrgrössensystem zu tun haben, welches 6 Eingänge und 6 Ausgän-ge hat (MIMO: Multiple Input Multiple Output). Ein Bode-Diagramm ist aber nur fürein System mit einem Eingang und einem Ausgang definiert (SISO: Single Input SingleOutput). Anstelle des Bode-Diagrammes verwenden wir deshalb hier sogenannte „Singu-

larwertverläufe“. Das ist im Prinzip der Amplitudengang für ein Mehrgrössensystem(Phasengang entfällt). Die MATLAB-Funktion „sigma“ stellt die Singularwerte über derFrequenz dar.

Definition der Singularwerte [ 5 ], S.167 (Zusatzinfo für Interessierte): Diesingulären Werte σ i geben an, um welchen Faktor sich ein Vektor x durch die Abbildungan der Matrix Ax in der Länge ändert. Im Gegensatz zu den Eigenwerten λ i kann sichdabei die Richtung des Vektors ändern. Wie auch bei den Eigenwerten gilt:

( 10 ) [ ] ∏∏==

==n

i

i

n

i

i A11

det λ σ

Die singulären Werte charakterisieren das „Verstärkungsverhalten“ einer Matrix besser

als die Eigenwerte, denn die grösste bzw. kleinste Längenänderung erfolgt nicht zwangs-läufig auch in der Richtung des Eingangsvektors x. Dies kommt durch die Eigenschaft

( 11 ) minminmaxmax λ σ λ σ ≤≥

zum Ausdruck. σ max ist der grösste Singularwert. Er beschreibt die maximal möglicheLängenänderung eines Vektors durch Abbildung an einer Matrix und kann als Verallge-meinerung des Betrags von Skalaren aufgefasst werden.

Für die Analyse der Regelstrecke verwenden wir folgende MATLAB-Befehle:

Funktion MATLAB-BefehlPole und Nullstellen pzmap(Gu)

Impulsantwort auf Stellgrössen u impulse(Gu)

Bode-Diagramm bode(Gu)

Singularwertverläufe sigmaplot(Gu)

File: RT2_Strecke_GT.m

Abbildung 9 zeigt die Impulsantwort für das MIMO-System mit 6 Stellgrössen (horizon-tal) und 6 Ausgangsgrössen (vertikal). Es ist eindeutig die Struktur der Matrix A in ( 6 )zusammen mit der „Shift-Matrix“ ( 8 ) ersichtlich. Die grösste Impulsantwort liegt in derKammer mit dem Brennstoff-Impuls vor, während kleinere Impulsantworten in den benachbarten Kammern vorliegen. Die Reaktionen in den benachbarten Kammern er-folgen aufgrund der seitlichen Wärmeübertragung bzw. Kopplungen.

Abbildung 10 zeigt das Bode-Diagramm für das MIMO-System. Da das Bode-Diagrammnur für SISO-Systeme definiert ist (siehe Bemerkung oben), werden hier 6x6 Bode-Diagramme für jede Eingangs-/Ausgangskombination dargestellt. Daraus können keinesinnvollen Aussagen für das Gesamtsystem gemacht werden.

Abbildung 11 zeigt die Singularwertverläufe, welche nun anstelle des Bode-Diagrammestreten. Die Singularwertverläufe verhalten sich ähnlich wie Amplitudengänge. Hier sinddie zwei kleinsten und zwei grössten Singularwertverläufe dargestellt (kleinste undgrösste Verstärkungen des Systems).




Abbildung 9: Impulsantwort auf die Stellgrössen. In(1)..In(6) = Stellgrössen u 1..u 6 , Out(1)..Out(6) =

Ausgangsgrössen y 1..y 6

Abbildung 10: Bode-Diagramm für das MIMO-System. In(1)..In(6) = Stellgrössen u 1..u 6 , Out(1)..Out(6)

= Ausgangsgrössen y 1..y 6




Abbildung 11: Singularwertverläufe des MIMO-Systems (Durchtrittsfrequenz bei ca. 20 rad/s).




4.8. Zustandsregler mit LQR-Entwurf auslegen (Repetition)

Ist die Regelstrecke in der Zustandsraum-Darstellung gegeben, kann daraus der Zu-standsregler berechnet werden. Es resultiert das geregelte System in Abbildung 12. DieserRegelkreis bewirkt nichts anderes, als die Zustandsgrössen mit den Anfangsbedingungen x 0 auf Null zu bringen ( x 0). Es ist noch kein Soll-/Istvergleich wie in einem konven-tionellen Regelkreis vorhanden. Dieser wird später eingeführt.

Abbildung 12: Strecke im Zustandsraum (A,B,C,D) mit Zustandsrückführung (-K)

Der Zustandsregler tritt als Matrix K auf, welche die Zustandsgrössen x auf die Ein-gangsgrössen (Stellgrössen) u zurückführt. Es ist also ein reiner P-Regler, welcher aller-dings die Kopplungen zwischen den Zustandsgrössen berücksichtigen kann (ausserdia-gonale Elemente der K-Matrix).

Die Matrix K wird aufgrund einer Optimierung mit folgendem Gütekriterium berechnet:

( 12 ) [ ]∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅=

T

uT

xT

u x dt t u Rt ut xQt xu J

0

, )()()()()(

Das Gütekriterium ( 12 ) wird minimiert, was in einer Minimierung der Zustandsgrösse

x(t) über der Zeit sowie der Stellgrösse u(t) über der Zeit resultiert. Mit den Gewich-tungsmatrizen Q x und Ru kann das Verhältnis von Zustands- zu Stellgrössenminimie-rung gewählt werden. Damit kann das Verhältnis der Regelgüte (Performance) zur ver- wendeten Energie (Stellgrösse) eingestellt werden (wie eine Art Schieberegler!).

Anstatt der (nicht messbaren) Zustandsgrössen x(t) können auch die (messbaren) Aus-gangsgrösseny(t) gewichtet werden:

( 13 ) [ ]∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅=

T

uT

yT

u y dt t u Rt ut yQt yu J

0

, )()()()()(

In ( 13 ) tritt anstelle von Q x die Gewichtungsmatrix Qy. Zwischen Q x und Qy besteht

folgender Zusammenhang:( 14 ) C QC Q y

T x ⋅⋅=

Dies kann durch Einsetzen von ( 14 ) in ( 12 ) einfach nachvollzogen werden.

Das Optimierungsproblem wird nun wie folgt definiert:

Minimierung von ( 12 ) unter Berücksichtigung der folgenden Nebenbedingungen:

( 15 ) x BK A x ⋅−= )(& 0)0( x x =




Die Nebenbedingungen ( 15 ) bedeuten nichts anderes, dass die Differentialgleichungdes Regelkreises mit Zustandsrückführung sowie die Anfangsbedingungen x(0) einge-halten werden.

Damit wird auch die Bedeutung von LQR klar, was nichts anderes als „Linear Quad-ratic Regulator“ bedeutet. Linear ist die Regelstrecke, während das Gütekriteriumquadratisch ist.

Ohne auf die Herleitung einzugehen, wird als Lösung des Optimierungsproblems die

Matrix-Riccatigleichung gefunden:

( 16 ) 01

=+−+−

xT

uT QP BPBRPAP A

welche folgende Zustandsrückführung K ergibt:

( 17 ) P B RK T

u

1−=

Der entsprechende MATLAB-Befehl lautet:

[K,P,E] = lqr(A,B,Qx,Ru)

mit

K = ZustandsrückführmatrixP = Lösung der Matrix-RiccatigleichungE = Eigenwerte von A-BK (Dynamik Regelkreis mit Zustandsrückführung)

4.9. Beobachter mit LQE-Entwurf auslegen

Wir wollen nun den Schritt vom Zustandsregler zum Beobachter wagen. Der Beobachterkann mit einer ähnlichen Optimierungsmethode ausgelegt werden.

Doch zunächst zur allgemeinen Struktur eines Beobachter, welche in Abbildung 13 dar-gestellt ist. Der Beobachter dient dazu, die Zustandsgrössen zu schätzen. Dies ist insbe-sondere dann wichtig, wenn nicht alle Zustandsgrössen gemessen werden können. Ohne

Beobachter könnte in diesem Fall kein Zustandsregler ausgelegt werden.Im Beobachter ist im Prinzip eine „Kopie“ der Regelstrecke abgebildet, wobei die Zu-standsraum-Matrizen ( A,B,C,D) im Beobachter nie genau den realen Matrizen im Pro-zess entsprechen. Zudem ist der Anfangswert x 0 im Allgemeinen nicht genau bekannt. Aus diesen Gründen müssen die Schätzwerte x im Beobachter laufend korrigiert werden, was durch einen permanenten Vergleich der geschätzten Ausgangswerte y mit den ge-messenen Ausgangsgangswerten y geschieht. Der Fehler wird über die Beobachter-

Rückführung H auf die Ableitung der Schätzwerte x& geführt. Auch hier ist also wiederein reiner P-Regler im Spiel (mit entsprechenden Kopplungen in den ausserdiagonalenElementen von H ).

Den Beobachter kann man auch als Ersatz für einen „Differentiator“ ansehen, welcheraus den bekannten Ausgangsgrössen y die Ableitungen x& berechnet. Nur macht er dies

„besser“ als ein Differentiator, in dem er vorwärts integriert und damit wie ein Filter wirkt. Die Beobachter-Rückführung H definiert, wie stark das Filter auf sich verändern-de Messgrössen y reagiert. Damit ist der Beobachter bei entsprechender Auslegung

auch für verrauschte Messgrössen geeignet (im Gegensatz zum Differentiator).




Abbildung 13: Beobachter Struktur mit Beobachter-Rückführung L

Der Beobachter bzw. dessen Rückführmatrix H kann auf verschiedene Arten ausgelegt werden, u.A. über Polvorgabe. Wir wollen hier aber die optimale Auslegung analog zumZustandsregler betrachten. Folgende Berechnungsmethode führt auch zum sogenannten„Kalman-Filter“. Dazu werden zwei zusätzliche (künstliche) Rauschsignale definiert:

• Prozessrauschen w am Eingang des Prozesses. Diese Störgrösse modelliertRauschvorgänge im Prozess selber und kann als zusätzliche Stör-Eingangsgrösse betrachtet werden. Der Einfluss auf den Prozess wird über die Matrix G definiert.Man kann die Grösse Bw⋅ w auch als Abweichung zwischen x& und x& bzw. w alsMass für den Schätzfehler ( x xe ˆ−= ) betrachten.

• Messrauschen v am Ausgang des Prozesses. Diese Störgrösse modelliert Rausch- vorgänge in Sensoren und wirkt direkt auf die Ausgangsgrösse y . Damit wird al-

so der Einfluss des Messrauschens modelliert.

Die Matrix H kann aufgrund einer Optimierung mit folgendem Gütekriterium berechnet werden:

( 18 ) [ ]∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅=

T

vT

wT

vw dt t v Rt vt wQt ww J

0

, )()()()()(

Das Gütekriterium ( 18 ) wird minimiert, was in einer Minimierung des Einflusses desProzessrauschens w(t) über der Zeit sowie des Einflusses des Messrauschens v(t) über

der Zeit resultiert. Mit den Gewichtungsmatrizen Qw und Rv kann das Verhältnis vonSchätzfehler-Minimierung zu Messrausch-Unterdrückung gewählt werden (also wiedereine Art Schieberegler!).

Die Matrizen Qw und Rv können auch durch folgende Kovarianzmatrizen beschrieben werden:

( 19 ) wT Qww E =)( v

T Rvv E =)( 0)()()( ===T wv E v E w E




In ( 19 ) wird der Erwartungswert des quadrierten Prozessrauschens w mit Qw bezeich-net, der Erwartungswert des quadrierten Messrauschens v mit Rv und die beidenRauschsignale sind unkorreliert (Kreuzvarianzmatrix = 0).

Das Optimierungsproblem wird nun wie folgt definiert:

Minimierung von ( 18 ) unter Berücksichtigung der folgenden Nebenbedingungen:

( 20 ) y H u HD B x HC A x ⋅+⋅−+⋅−= )(ˆ)(& 0ˆ)0(ˆ x x =

Die Nebenbedingungen ( 20 ) bedeuten hier, dass die Differentialgleichung des Be-obachters mit Beobachterückführung sowie die Anfangsbedingungen eingehalten wer-den.

Der Begriff LQE bedeutet „Linear Quadratic Estimator“. Linear ist die Regelstrecke(bzw. die Beobachtergleichung), während das Gütekriterium quadratisch ist. Der resul-tierende Beobachter wird engl. mit „Estimator“ („Schätzer“) bezeichnet.

Ohne auf die Herleitung einzugehen, wird als Lösung des Optimierungsproblems dieMatrix-Riccatigleichung gefunden, nun in der Beobachter-Form:

( 21 ) 01

=+ΣΣ−Σ+Σ− T

wvT T

B BQC RC A A

welche folgende Beobachterrückführung H ergibt:

( 22 )1−

Σ= vT RC H

Der entsprechende MATLAB-Befehl lautet:

[H,S,E] = lqe(A,Bw,C,Qw,Rv)

mit

H = Beobachter-Verstärkungsmatrix S = Lösung der Matrix-Riccatigleichung E = Eigenwerte von A-LC (Beobachter-Dynamik)

4.10. Synthese zum kombinierten Beobachter/Zustandsregler (LQG-Regulator)

Wirklich interessant wird es nun, wenn der optimale Beobachter mit dem optimalenZustandsregler zu einem vollständigen Regelkreis geschlossen wird, was Abbildung 14zeigt. Die Zustandsgrössen x werden durch den Beobachter geschätzt und anschliessendüber den Zustandsregler auf die Eingangsgrössen u zurückgeführt. Dies funktioniertauch dann, wenn nicht alle Zustandsgrössen gemessen werden. Wir haben es hier mitdem LQG-Regulator zu tun, wobei L für die lineare Regelstrecke, Q für das quadrati-sche Gütekriterium und G für das Gauss’sche Rauschen (w und v) steht.

Die Gleichungen des vollständigen Beobachters mit Zustandsregler lauten wie folgt:

( 23 ) y H x HDK BK HC A x ⋅+⋅+−−= ˆ)(&

( 24 ) xK u ˆ⋅−=

Gleichung ( 23 ) beschreibt die Schätzung der Zustandsgrössen x aus den Messgrössen y und ( 24 ) beschreibt die Zustandsrückführung auf die Stellgrössen u .




Abbildung 14: Kombination von Beobachter und Zustandsrückführung

In MATLAB kann das System wie folgt ausgelegt und zusammengesetzt werden:

K = lqr(A,B,Qx,Ru)

H = lqe(A,Bw,C,Qw,Rv)

Die kombinierte Zustandsraumdarstellung von Beobachter und Zustandsregler lautet wie folgt (Eingang y , Ausgang u , Zustandsgrössen x ):

Alqg = A-HC-BK+HDK

Blqg = H

Clqg = -K

Dlqg = 0

Klqg = ss(Alqg, Blqg, Clqg, Dlqg)

Als Alternative können in MATLAB auch folgende Befehle verwendet werden:

Ge = ss(A, [B Bw], C, [D H])

K = lqr(A,B,Qx,Ru)

Kest = kalman(Ge,Qw,Rv)

Klqg = lqgreg(Kest, K)

Die Zusammensetzung des LQG Regulators erfolgt gemäss folgender Grafik:

Abbildung 15: Synthese zum LQG-Regulator (Quelle: MATLAB Control Toolbox)




4.11. Der Schritt zum Folgeregler mit Soll/Ist-Vergleich

In Abbildung 14 haben wir noch keinen Soll/Ist-Vergleich, welchen wir nun einführen wollen. Dies erfolgt mit einem einfachen Schritt, wie Abbildung 16 zeigt. Anstelle desMesswertes y wird nun die Differenz zwischen Sollwert w und Istwert y, also der Regel-fehler e in den Beobachter geführt. Man beachte die Vorzeichen, welche hier umgekehrtdefiniert werden, um keinen Vorzeichenwechsel im Regelkreis herbeizuführen (negative

Rückführung – K muss erhalten bleiben).

Abbildung 16: Einführung des Sollwertes w und Regelfehlers e (Soll/Ist-Vergleich)

Aus obiger Abbildung wird klar, dass der Beobachter nicht mehr die absoluten Zu-standsgrössen x , sondern nur noch deren Abweichungen vom Betriebspunkt schätzt.Bei einem Regelfehler null sind auch die geschätzten Zustandsgrössen x null. Dies istgrundsätzlich nichts Neues, da wir hier sowieso von einem linearen Modell der Regel-strecke ausgehen, welches in der Realität in einem bestimmten Betriebspunkt lineari-siert wird.

Durch Umzeichnen wird nun die bekannte, klassische Darstellung des Regelkreises mitRegler und Strecke in Abbildung 17 erreicht (die Durchgangsmatrix D wurde hier 0 ge-setzt). Der Regler besteht nun aus den Teilen des Beobachters und Zustandsreglers.

Damit ist auch sofort ersichtlich, wie die Strecke im Regler abgebildet wird (Pfeil). Wirsind also beim Ziel von Abbildung 2 angelangt.




Abbildung 17: Folgeregler in klassischer Darstellung

4.12. Die kombinierte Auslegungsmethode für Beobachter und Zu-standsregler (LQG/LTR)

Wir haben nun einen kombinierten Regler, bestehend aus Beobachter und Zustandsreg-ler. Wir kennen auch die Auslegungsmethoden, mit welchen der Beobachter und derZustandsregler einzeln ausgelegt werden:

• LQR-Methode für die Auslegung des Zustandsreglers mit quadratischem Güte-

kriterium [ ]∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅=

T

uT

xT

u x dt t u Rt ut xQt xu J

0

, )()()()()(

• LQE-Methode für die Auslegung des Beobachter bzw. Kalman-Filters mit quad-

ratischem Gütekriterium [ ]∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅=

T

vT

wT

vw dt t v Rt vt wQt ww J

0

, )()()()()(

Damit haben wir insgesamt vier Gewichtungsmatrizen für das „Design“ des Reglers(Beispiel mit m=3 Eingängen und p=3 Ausgängen, Ausserdiagonale Elemente der Matri-zen auf 0 gesetzt):

• Gewichtungsmatrizen für den LQ-Regulator (Zustandsregler):

• Gewichtungsmatrizen für den LQ-Estimator (Beobachter):

Damit haben wir für obiges Beispiel insgesamt 12 Auslegungsparameter! Die Frage ist, wie man diese am besten einstellt.

Für den Zustandsregler alleine war dies noch relativ einfach durch Ausprobieren mög-lich. Man konnte z.B. mit folgenden Gewichtungen starten:




Schritt 1:

=

100

010

001

u R

=

100

010

001

xQ

um dann sukzessive eine Gewichtungsmatrix um Zehnerpotenten zu erhöhen, z.B.:

Schritt 2:

=

100

010

001

u R

=

1000

0100

0010

xQ

Man hat dann den Effekt auf die Sprungantwort betrachtet und bei erreichter Perfor-mance die Gewichtungsmatrizen „eingefroren“. Geübte konnten sich auch darin versu-chen, die Diagonalelemente verschieden hoch zu gewichten, usw. Man hatte damit zwar viele Möglichkeiten, die Einstellung brauchte aber einiges an Übung und Erfahrung.

Wenn der Beobachter nun noch dazukommt, wird das Einstellen von vier statt nur zweiGewichtungsmatrizen noch wesentlich anspruchsvoller. Deshalb wollen wir dieses Vor-gehen nun vereinfachen, indem wir auf ein kombiniertes Auslegungsverfahren zurück-greifen.

Dieses kombinierte Auslegungsverfahren heisst LQG/LTR [ 4 ]:

• LQG = Linear Quadratic Gaussian• LTR = Loop Transfer Recovery

Den Namen des ersten Schrittes LQG kennen wir bereits, während wir den Namen deszweiten Schrittes bald begreifen werden.

Wir wollen das Ganze praktisch an den Gewichtungsmatrizen erklären. Das Ziel des Ver-fahrens muss ja sein, die Wahl der Gewichtungsmatrizen massiv zu vereinfachen. Dieserreichen wir mit folgendem Ansatz (Beispiel wieder mit m=3, p=3):

• Gewichtungsmatrizen für den LQ-Regulator (Zustandsregler):

• Gewichtungsmatrizen für den LQ-Estimator (Beobachter):

Wir sehen sofort, dass wir nur noch 2 Auslegungsparameter haben statt 12 wie vorher! Wir haben also nur noch einen Parameter ρ , welcher die Auslegung des Zustandsreglers beeinflusst, und einen Parameter µ , welcher die Auslegung des Beobachter beeinflusst. Wir erinnern uns auch an die Idee der „Schieberegler“, mit welchem wir die Perfor-

mance des Zustandsreglers und des Beobachters festlegen konnten. Die Parameter ρ und µ kann man sich also je durch einen „Schieberegler“ vorstellen. Damit können wir alleseinstellen!

Der aufmerksame Leser fragt sich, wie die Wahl der Gewichtungsmatrizen Q x und Qw zustande kommt. Auch dies ist ganz einfach. FürQ x wird das Gütekriterium der Aus-gangsgewichtung ( 13 ) mit ( 14 ) genommen. Die Ausgangsgewichtung Qy wird dabei auf die Identitätsmatrix I p gesetzt, also auf eine Matrix der Dimension p x p mit den Diago-nalelementen 1. Die Ausgangsgewichtung hat den Vorteil, dass wirklich nur beeinfluss-




bare Grössen gewichtet werden (diese werden ja auch gemessen und mit dem Sollwert verglichen). Bei der Zustandsgewichtung kann es vorkommen, dass einzelne Zu-standsgrössen zu stark gewichtet werden, welche in der Realität gar nicht im gewünsch-ten Masse beeinflusst werden können (diese werden ja auch nicht geregelt).

Analog wird beim Beobachter eine spezielle Wahl der Gewichtungsmatrix Qw getroffen. Vereinfachend wird angenommen, dass die Eingangsmatrix des Prozessrauschens Bw gleich der Eingangsmatrix B sei (siehe Abschnitt 4.9), also:

( 25 ) B I B B I BQ m

T

wm

T

ww ⋅⋅=⋅⋅=

Auch hier kann also wieder mit der Identitätsmatrix I m als Gewichtung gearbeitet wer-den, also einer Diagonalmatrix der Dimension m x m mit den Elementen 1.

Da die Eingangsmatrix B und die Ausgangsmatrix C bekannt sind, ist die Wahl von Q x und Qw trivial.

Basierend auf den Parametern ρ und µ wird nun das Vorgehen der LQG/LTR-Methode beschrieben:

• 1. Schraube = Parameter ρ . Mit diesem Parameter wird das „Loop Shaping“ beschrieben. Der LQ-Regulator gibt also die Form des offenen Loops durch Lr

vor, wobei ρ die Bandbreite bestimmt. Dabei werden die guten Robustheitseigen-schaften des LQ-Regulators übernommen (garantierte Phasenreserve von 60°).In MATLAB werden dazu folgende Befehle ausgeführt:K = lqr(A,B,Qx,Ru) Zustands-Rückführung KLr = K*inv(s*eye(n)-A)*B Loop Shape Lr des LQ-Regulators

• 2. Schraube = Parameter µ . Mit diesem Parameter wird der „Loop TransferRecovery “-Schritt (LTR ) vorgenommen, was bedeutet, dass der offene Loop L des Gesamtsystems an das Loop Shaping Lr angeglichen wird. Der Parameter µ bestimmt dabei, wie stark der Loop angeglichen wird.In MATLAB werden dazu folgende Befehle ausgeführt:H = lqe(A,Bw,C,Qw,Rv) Beobachter-Rückführung HAlqg = A-H*C-B*K+H*D*K Synthese LQG-Regulator Blqg = H

Clqg = -K

Dlqg = 0

Klqg = ss(Alqg,Blqg,Clqg,Dlqg)

L = Gu*Klqg offener Loop Gesamtsystem

Wir haben also ein sehr einfaches Vorgehen in zwei Schritten. Obige Reihenfolge giltallerdings nur für den Fall, dass die Anzahl p der Ausgangsgrössen grösser als die Anzahl m der Stellgrössen ist. Ein solcher Fall ist beispielsweise der Servoantriebmit einer Stellgrösse (Strom bzw. Kraft/Moment) und mehreren voneinander abhängi-

gen Ausgangsgrössen (Geschwindigkeit, Position). Hier können auch die Sollwerte fürdie einzelnen Ausgangsgrössen nicht beliebig vorgegeben werden, sondern die Abhän-gigkeiten müssen berücksichtigt werden (Position = Integrierte Geschwindigkeit). Einanderes Beispiel ist der Mehrmassenschwinger (Laborversuch!), bei welchem nur eineStellgrösse, aber mehrere Ausgangsgrössen (Positionen der einzelnen Massen) vorhan-den sind. Im Laborversuch wird nur eine Position geregelt, ansonsten müssten auch hierdie Abhängigkeiten berücksichtigt werden.




Im umgekehrten Fall, wenn also die Anzahl m der Stellgrössen grösser odergleich der Anzahl m der Ausgangsgrössen ist, gilt die „duale Methode“. Diese wirdfür die Mehrheit der Anwendungen verwendet, da im Normalfall die Ausgangsgrössenpraktisch unabhängig sind und deshalb mindestens gleich viel Stellgrössen vorhandensein müssen, um alle Ausgangsgrössen beeinflussen zu können. Die „duale Methode“ wird folgend beschrieben:

• 1. Schraube = Parameter µ . Mit diesem Parameter wird das „Loop Shaping“

beschrieben. Der LQ-Estimator gibt also die Form des offenen Loops durch L f vor, wobei µ die Bandbreite bestimmt. Dabei werden die guten Robustheitseigen-schaften des LQ-Estimators übernommen (garantierte Phasenreserve von 60°).In MATLAB werden dazu folgende Befehle ausgeführt:H = lqe(A,Bw,C,Qw,Rv) Beobachter-Rückführung HLf = C*inv(s*eye(n)-A)*H Loop Shape Lf des LQ-Estimators

• 2. Schraube = Parameter ρ . Mit diesem Parameter wird der „Loop TransferRecovery “-Schritt (LTR ) vorgenommen, was bedeutet, dass der offene Loop L des Gesamtsystems an das Loop Shaping L f angeglichen wird. Der Parameter ρ bestimmt dabei, wie stark der Loop angeglichen wird.In MATLAB werden dazu folgende Befehle ausgeführt:K = lqr(A,B,Qx,Ru) Zustands-Rückführung KAlqg = A-H*C-B*K+H*D*K Synthese LQG-Regulator Blqg = H

Clqg = -K

Dlqg = 0

Klqg = ss(Alqg,Blqg,Clqg,Dlqg)

L = Gu*Klqg offener Loop Gesamtsystem

Wie bei jeder Methode muss darauf hingewiesen werden, dass der Regler beim Entwurf nicht „übertunt“ werden sollte. Speziell ist auf folgende Punkte zu achten:

• „Loop Shaping“: Die Bandbreite von L sollte gegenüber der Regelstrecke G

nicht zu stark erhöht werden.• „Loop Transfer Recovery “: Der Parameter µ bzw. ρ sollte nicht zu gross ge- wählt werden, weil sonst ein „high gain“-Regler mit hohem „D-Anteil“ entstehenkann, welcher bei verrauschten Signalen nicht mehr realisierbar ist. Es darf alsodurchaus noch eine Abweichung von Lg und L übrig bleiben.

4.13. Anwendung des LQG/LTR-Entwurfs auf die Gasturbine

Wir wollen nun die LQG/LTR-Methode aus Abschnitt 4.12 auf das Gasturbinen-Modellin Abschnitt 4.4 bis 4.7 anwenden. Dazu erstellen wir ein MATLAB-File, welches dieeinzelnen Schritte des Reglerentwurfes durchführt. Die MATLAB-Befehle sind im We-sentlichen in Abschnitt 4.12 aufgeführt. Das MATLAB-File soll folgende Schritte ausfüh-

ren:• Anwendung der LQG/LTR-Methode auf das Gasturbinen-Modell (mit 6 Stell-

grössen, 12 Zustandsgrössen und 6 Ausgangsgrössen)• Darstellung der Singularwertverläufe für das Loop Shaping

(Befehl sigmaplot verwenden)• Darstellung der Singularwertverläufe des offenen Loops für das Gesamtsystem

und Vergleich mit dem Verlauf des Loop Shaping




• Darstellung der Singularwertverläufe der Regelstrecke und des resultierendenReglers (als Kontrolle)

• Tuning der Parameter µ und ρ , bis ein optimaler, realisierbarer Regler heraus-kommt

File: RT2_LQGLTR_GT.m

Folgend sind ein paar typische Outputs (Singularwertverläufe) von MATLAB gezeigt.Beim Loop Shaping in Abbildung 18 sollte darauf geachtet werden, dass die Durchtritts-

frequenz gegenüber der Regelstrecke (bei ca. 20 rad/s, siehe Abbildung 11) nicht zu stark erhöht wird.

Abbildung 18: Singularwertverläufe Loop Shaping Lf (Durchtrittsfrequenz bei ca. 50 rad/s)

Im LTR-Schritt muss für eine gute Auslegung darauf geachtet werden, dass der Gesamt-Loop L nicht zu nahe an den Shaping Loop L f herangedrückt wird, was Abbildung 19zeigt. Der resultierende Regler ist in Abbildung 20 dargestellt (rote Kurve Klqg). Hierist ein PD-Verhalten mit beschränktem D-Anteil ersichtlich (Amplitudenabfall bei höhe-ren Frequenzen, also PD-T2).

Im Gegensatz dazu ist auch eine schlechte Auslegung mit „übertuntem“ LTR-Parameterdargestellt. In Abbildung 21 ist ersichtlich, wie der Gesamt-Loop L künstlich auf den

Shaping Loop L f gedrückt wird. Abbildung 22 zeigt den resultierenden Regler (rote Kur- ve Klqg), welcher bei hohen Frequenzen noch eine grosse Verstärkung zeigt („highgain“). Bei verrauschten Signalen kann dies zu Problemen führen, wie die Simulation infolgendem Abschnitt zeigen wird. Die Regelstrecke G u kann durch den Regler Klqg alsonicht auf eine beliebige Vorgabe „gedrückt“ werden! Natürlich ist dieses Verhalten auchabhängig von den Eigenschaften der Regelstrecke G u, hier haben wir es immerhin miteinem gekoppelten System 12. Ordnung zu tun!

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Singular Values

Frequency (rad/s)

S i n g u l a r V a l u e s ( d B

)

Lf




Abbildung 19: Loop Shaping Lf und Loop Transfer Recovery L (gute Auslegung)

Abbildung 20: Regelstrecke Gu, Loop Transfer Recovery L, Regler Klqg (gute Auslegung)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Singular Values

Frequency (rad/s)

S i n g u l a r V a l u e s ( d B )

Lf

L

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Singular Values

Frequency (rad/s)


Gu

L

Klqg




Abbildung 21: Loop Shaping Lf und Loop Transfer Recovery L („übertunt“)

Abbildung 22: Regelstrecke Gu, Loop Transfer Recovery L, Regler Klqg („übertunt“)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Singular Values

Frequency (rad/s)


Lf

L

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Singular Values

Frequency (rad/s)


Gu

L

Klqg




4.14. Simulation des entworfenen Reglers unter realen Bedingungen

Wichtig ist, dass der entworfene Regler unter möglichst „realen“ Bedingungen ausgetes-tet wird, bevor er implementiert wird. Dies ist unabhängig von der Entwurfsmethode!

Hier wird eine Simulation in MATLAB/Simulink durchgeführt, um reale Effekte wieRauschen auf den Messsignalen oder Stellgrössenbeschränkungen zu berücksichtigen.Dazu wird folgendes Simulink-Modell aufgebaut ( File: RT2_Regelkreis_GT.mdl ):

Abbildung 23: Simulink-Modell zum Austesten des Reglers mit Rauschen am Ausgang,Stellgrössenbeschränkung und zusätzlichen Störgrössen am Eingang

Als RegelstreckeG wird in Abbildung 23 das Modell aus Abschnitt 4.6 (Serieschaltungder Teilmodelle) verwendet. Es hat 12 Eingänge, wobei die ersten 6 Eingänge die Stell-grössen sind und die weiteren 6 Eingänge die Störgrössen. Dies wird genutzt, um zusätz-liche Störgrössen am Eingang auf das System zu geben. Zudem kann ein Rauschen miteinstellbarer Varianz am Ausgang des Systems überlagert werden, wozu der Block „Ran-dom Number“ verwendet wird. Die Stellgrössenbeschränkung am Eingang ist durch ei-nen Block „Saturation“ realisiert. Schliesslich können verschiedene Sollwertvorgabengefahren werden. Der Regler ist wie die Strecke mit einem LTI-Block definiert, wobei dieÜbertragungsmatrix –Klqg aus Abschnitt 4.13 verwendet wird (Achtung negatives Vor-

zeichen!). Die Ein- und Ausgangsgrössen sind skaliert, um physikalisch einigermassensinnvolle Werte zu haben (Stellgrössen sind Brennstoffmassenströme in kg/s, Ausgangs-grössen sind Temperaturen in °C).

Folgend sind ein paar typische Simulationen gezeigt. Zunächst wird eine Sollwertvorga- be gemacht, es wird also das Verhalten als Folgeregler untersucht. Abbildung 24 zeigt, wie der Istwert in Kammer 1 (y1) schön dem Sollwert folgt, die Temperaturen der ande-ren Kammern (y2..y6) bleiben auf dem ursprünglichen Wert, trotz Querkopplungen imSystem. Der Regler hat also optimal entkoppelt! Dies ist auch klar in den Stellgrössen- verläufen auf Abbildung 25 ersichtlich. Es reagiert nicht nur eine Stellgrösse, sondernauch die Stellgrössen der benachbarten Kammern. Es ist auch ersichtlich, dass Stellgrös-se u2 am stärksten reagiert statt Stellgrösse u1. Wir erinnern uns an die Ablenkung in der

Turbine, durch die „Shift-Matrix“ in Abschnitt 4.5 beschrieben. Auch dieses Verhalten wird im Regler automatisch übernommen, da eine Kopie des Modells im Beobachterabgebildet ist. Der Regler steuert also automatisch die richtige Brennkammer an!




Abbildung 24: Verlauf der Ausgangsgrössen y 1..y 6 (Temperaturen) auf einen Sollwertsprung(600°C in Kammer 1 bei 0..2 sec)

Abbildung 25: Verlauf der Stellgrössen u 1..u 6 (Brennstoffmassenströme) beim Sollwertsprung

In Abbildung 24 ist aber auch eine kleine bleibende Sollwertabweichung ersichtlich, 600°C wird nicht ganz erreicht. Warum dies? Wir betrachten nochmals den Regler in Abbil-dung 20 (rote Kurve) – dies ist ein PD-Regler, der I-Anteil fehlt also! Mit einem kleinenTrick könnte auch dieses Problem noch gelöst werden. Man müsste das System mit ei-nem künstlichen I-Anteil (auf allen Kanälen) erweitern. Für die Gasturbine spielt diesaber keine Rolle und wir lassen die Erweiterung weg.

Nun wollen wir austesten, was bei einem „übertunten“ Regler geschieht, gemäss Abbil-dung 22. Da wir Rauschen auf dem Messsignal haben, sollte dies nun deutlich verstärkt werden. Und tatsächlich, Abbildung 26 rechts zeigt eine stark verrauschte Stellgrösse.

Diese Reglereinstellung ist also nicht brauchbar! Natürlich könnte man in der Realitätein zusätzliches Filter einbauen, um die Messdaten zu filtern, bevor sie in den Reglerkommen. Aber ein solches Filter würde durch dessen Zeitkonstante die Performance desSystems ebenfalls verschlechtern. Somit können wir auch den „trägeren“ Regler verwen-den.

Nebenbei sehen wir auch, wie der Sollwert in Abbildung 26 links etwas besser erreicht wird. Dies ist auf die grössere Verstärkung des Reglers zurückzuführen.




Abbildung 26: Verlauf von Ausgangsgrössen y 1..y 6 (links) und Stellgrössen u 1..u 6 (rechts) bei„übertuntem“ Regler

Als letzte Simulation lassen wir nun die Störgrössen am Eingang „spielen“. Diese sollenzufällige Temperaturvariationen am Eingang der Brennkammer simulieren. Die Sollwer-te werden konstant gehalten, der Regler hat also die Aufgabe der reinen Störunterdrü-ckung. Der Regler erfüllt diese Aufgabe optimal, wie folgende Abbildungen zeigen (Plot-Skalierungen vergrössert).

Abbildung 27: „Zufällig“ variierende Störgrössen d 1..d 6 (Temperaturen ändern jede Sekunde)

Abbildung 28: Resultierende Ausgangstemperaturen y 1..y 6 (Betriebspunkt 500 °C)




Abbildung 29: Stellgrössen u 1..u 6 (Betriebspunkt 200 kg/s)

Damit wurde gezeigt, dass die Auslegung nach LQG/LTR optimale Regler sowohl für dieFolgeregelung wie auch die Störunterdrückung liefert. Wichtig ist – wie bei allen Ein-stellmethoden – dass der Regler nicht „übertunt“ wird und unter möglichst realen Be-

dingungen ausgetestet wird.




4.15. Zusammenfassung

Teil 10 (Zustandsraum-Darstellung)

Gelerntes Lernzielerreicht?

Klassische vs. modellbasierte Regelung Klassisch: Kopplungen im System werden nicht berücksichtigt,

Black-Box-Ansatz Modellbasiert (Prozessmodell als Basis): White-Box-Ansatz

☺☺☺

Zustandsraum-Darstellung MIMO-Systeme (Multiple Input Multiple Output) Kopplungen und Dynamik bei Modellierung berücksichtigt Serieschaltung/Zusammensetzen von Teilmodellen in MATLAB

möglich

☺☺☺

Analyse von MIMO-Systemen Singularwertverläufe treten an die Stelle des Bode-Diagrammes Analog zum Amplitudengang, aber auf Mehrgrössensysteme er-

weitert

☺☺

Teil 11 (Auslegungsmethoden)

Gelerntes Lernziel erreicht?Zustandsregler nach LQR-Methode auslegen können „Performance“ vs. „Energieverbrauch“

☺☺☺

Optimalen Beobachter nach LQE-Methode auslegen können „Minimaler Schätzfehler“ vs. „Rauschunterdrückung“

☺☺☺

Mehrgrössen-Folgeregelung mit Beobachter und Zustandsregler verstehen Wie klassischer Regelkreis Kopie der Regelstrecke im Regler! Alle Kopplungen usw. automatisch berücksichtigt!

☺☺☺

Kombinierte Auslegungsmethode LQR/LTR anwenden können Nur noch 2 Auslegungsparameter! Schrittweises Vorgehen mit Loop Shaping

und Loop Transfer Recovery Automatisch robuste Regler! Achtung „Übertuning“! Immer mit Rauschanteilen und Stellgrössenbeschrän-

kungen simulieren!

☺☺

Documents

RT2_EIT_Skript_Teil10_11_Zustandsraum_MIMO_V1.0