Satz des Pythagoras Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmteSatz des Pythagoras Weitergabe bzw. Vervielfältigung Diese Präsentation bietet einen Einstieg

Mathematik 9. Jahrgang:

Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“Satz des Pythagoras“

Diese Präsentation bietet einen Einstieg in den Themenbereich „Satz des Pythagoras“. Damit ist die Beziehung von Seiten in rechtwinkligen Dreiecken gemeint. In Ergänzung dieses Themas wird ebenso der „Satz des Thales“ dargestellt. Dieser Satz eignet sich besonders gut zur Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken. Er ist zudem hervorragend geeignet, das Verfahren eines „mathematischen Beweises“ zu verdeutlichen. Die Präsentation ist über die Homepage der Wilhelm-Raabe-Schule jederzeit frei zugänglich. Die Weitergabe bzw. Weitergabe bzw. VervielfältigungVervielfältigung der Präsentation ist ausdrücklich erlaubt.

Selbstverständlich dürfen sich auch ELTERNELTERN bzw. NACHHILFELEHRKRÄFTENACHHILFELEHRKRÄFTE gern mit dieser Präsentation beschäftigen. Der Verfasser möchte alle Nutzer dazu ermutigen, sich ggf. zur Präsentation zu äußern und bittet darum, zu diesem Zweck die auf der Homepage der Homepage der Wilhelm-Raabe-SchuleWilhelm-Raabe-Schule angegebenen Kontaktmöglichkeiten zu nutzen.

Bei der Herstellung der Präsentation wurde ausschließlich frei – kostenlos – zugängliche Software benutzt. WORDWORD und EXCELEXCEL sind über OPEN-OFFICE verfügbar. DynaGeoDynaGeo steht für Angehörige der Wilhelm-Raabe-Schule ohnehin frei zur Verfügung.Auf dieser Homepage stehen weitere Beispiele klassischer euklidischer Geometrie – MÖNDCHEN DES HIPPOKRATESMÖNDCHEN DES HIPPOKRATES bzw. QUADRATUR DES QUADRATUR DES KREISESKREISES – zur Verfügung.



Jedes mathematische Verfahren hat im Grunde drei unterschiedliche Aspekte:

Die mathematische Aussage (Satz)Die mathematische Aussage (Satz)Der Beweis dieses Satzes Der Beweis dieses Satzes Die Anwendung dieses SatzesDie Anwendung dieses Satzes

(In aller Regel reicht es völlig aus, den Satz anwenden zu können. Das Verständnis des Beweises ist wünschenswert, aber nicht notwendig. Den Beweis selbst erbringen zu können, ist eine mathematische Spitzenleistung.)



Die mathematische Aussage (Satz):Die mathematische Aussage (Satz):

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Quadrate über den Katheten genauso groß wie das Quadrat Quadrate über den Katheten genauso groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.über der Hypotenuse.

0 22Hypotenuse=8,17

0 22Erste_Kathete=3,25

Quadrat_der_zweiten_Kathete

56,18

Quadrat_der_ersten_Kathete

10,56

Summe_dieser_Quadrate

66,73

Quadrat_der_Hypotenuse

66,73

Zweite_Kathete

7,495

In der Abbildung () sehen wir das große blaue Quadrat über der Hypotenuse und die beiden roten Quadrate über den beiden Katheten.



Dieser Satz wird im allgemeinen als

„„a² + b² = c²“a² + b² = c²“

bezeichnet, wobei a und b die Namen der

Katheten sind, c ist der Name der Hypotenuse.



Merke:

Die Hypotenuse ist grundsätzlich die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Die Katheten sind immer kürzer als die Hypotenuse. Sie bilden den rechten Winkel im Dreieck.



c

ab90 °

Hier sehen wir noch einmal das Dreieck und die mit a, b und c benannten Seiten. Es gilt die Gleichung:

a² + b² = c²a² + b² = c²



Bislang wissen wir nichts darüber, ob diese Behauptung stimmt oder nicht. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Behauptung zu überprüfen:

1. Die technische Lösung – dann müssten wir eine hinreichend große Anzahl rechtwinkliger Dreiecke ausmessen und die Quadrate prüfen.

2.2. Die mathematische Lösung – dann müssten wir einen Weg Die mathematische Lösung – dann müssten wir einen Weg finden, um ganz unabhängig von der bestimmten Form finden, um ganz unabhängig von der bestimmten Form und Größe eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, und Größe eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, dass die Behauptung stimmt. dass die Behauptung stimmt.



0 22Hypotenuse=9,1



75


7,756


82,76


82,76

Zweite_Kathete

8,66

Hier ist eine technische Prüfanlage aufgebaut worden. Dabei ist die Länge der Hypotenuse und die Länge einer Kathete einstellbar. Die zweite Kathete wird gemessen; dann werden die Quadrate ausgerechnet.

In der aktuellen Abbildung sehen wir a = 8,66 ; b = 2,79 und c = 9,1 .

Demnach müsste gelten:

8,66² + 2,79² = 9,1²Bitte ausrechnen!



0 22Hypotenuse=9,1



75


7,756


82,76


82,76

Zweite_Kathete

8,66

Hier ist eine technische Prüfanlage aufgebaut worden. Dabei ist die Länge der Hypotenuse und die Länge einer Kathete einstellbar. Die zweite Kathete wird gemessen; dann werden die Quadrate ausgerechnet.

In der aktuellen Abbildung sehen wir a = 8,66 ; b = 2,79 und c = 9,1 .

Demnach müsste gelten:

8,66² + 2,79² = 9,1²

Bitte ausrechnen:

75,0 + 7,78 = 82,81

Und für Techniker stimmt das. Genauer geht es eben nicht!



0 22Hypotenuse=17,7



104,7


209,7


314,4


314,4

Zweite_Kathete

10,23

BITTE SELBER NACHRECHNEN! – BITTE SELBER NACHRECHNEN! – Für Techniker reicht das!Für Techniker reicht das!



Mathematiker rechnen nicht einfach blöde drauflos. Sie überlegen. Und dann zeichnen sie ein großes Quadrat, das in ein kleineres Quadrat und in vier Dreiecke unterteilt ist.

Die vier Dreiecke sind alle gleich; es sind rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenusen des kleinere Quadrat bilden.

Das kann man sich nur schwer Das kann man sich nur schwer vorstellen. vorstellen.

Das muss man sehen. Okay!Das muss man sehen. Okay!



a

a

a

a b

b

b

bc

c

cc

Vier grüne Dreiecke – alle sind gleich – alle sind rechtwinklig.

Jeweils ein a und ein b bilden die Seitenlänge des großen Quadrates.

Die Hypotenusen c bilden das rote Quadrat in der Mitte.

Und jetzt wird gerechnet.



a

a

a

a b

b

b

bc

c

cc

Das große Quadrat hat die Seitenlänge Das große Quadrat hat die Seitenlänge a+b. Also ist die Fläche (a+b)².a+b. Also ist die Fläche (a+b)².

Ausgerechnet nach binomischer Ausgerechnet nach binomischer Formel:Formel:

A = a² + 2ab + b²A = a² + 2ab + b²

a

a

a

a b

b

b

bc

c

cc

Das große Quadrat wird aus fünf Das große Quadrat wird aus fünf Einzelteilen gebildet. Rotes Quadrat Einzelteilen gebildet. Rotes Quadrat und vier grüne Dreiecke.und vier grüne Dreiecke.

Rotes Quadrat = c²Rotes Quadrat = c²

Grünes Dreieck = 0,5 * abGrünes Dreieck = 0,5 * ab

Zusammen: A = c² + 2 * abZusammen: A = c² + 2 * ab



Wir haben also zwei Flächenberechnungen für dasselbe Quadrat

A = a² + 2ab + b² und A = c² + 2ab

Was gleich ist, kann gleichgesetzt werden:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab / subtrahiere 2ab

a² + b² = c² a² + b² = c²



Quod erat demonstrandum – q.e.d.

Ein logischer, mathematischer oder ähnlicher Beweis wird traditionell mit den lateinischen Worten „“ (abgekürzt q. e. d.) respektive mit „“ (abgekürzt w. z. b. w.) abgeschlossen.

Hinter einer Behauptung und vor dem Beweis heißt das Kürzel: „Was zu beweisen wäre“. Die wörtliche Übersetzung aus dem Lateinischen lautet eigentlich „was zu zeigen war“ bzw. „was bewiesen werden musste“ (siehe Gerundivum).

Die Floskel ist eine Übersetzung des griechischen ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hóper édei déixai), mit dem die griechischen Mathematiker, unter anderen Euklid (um 300 v. Chr.) und Archimedes, ihre Beweise abschlossen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_(Mathematik)

http://de.wikipedia.org/wiki/Tradition

http://de.wikipedia.org/wiki/Latein



Besonders wichtig:

Der „Satz des Pythagoras“ lautet: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten.

Die Abkürzung dafür ist: a² + b² = c²

Das bedeutet keineswegs, dass die Katheten immer nur a und b bzw. die Hypothenuse immer c heißen muss.



In diesem Fall ...

gilt: John² + Hans² = Susi²

Hans

Susi

John



Standardaufgaben:

Gegeben sind die Katheten a = 5 cm und b = 12 cm. Berechne die Hypotenuse.Aus a² + b² = c² wird c² = a² + b² Formel

c² = 5² + 12² Einsetzenc² = 25 + 144c² = 169 Wurzel ziehenc = 13 Ergebnis

Antwort: Die Hypotenuse ist 13 cm lang.



Standardaufgaben:

Gegeben sind die Katheten a = 175 m und die Hypotenuse c = 380 m.Wie lang ist die zweite Kathete?

Aus a² + b² = c² wird b² = c² - a² Formelb² = 380² - 175² Einsetzenb² = 144400 - 30625b² = 113775 Wurzel ziehenb = 337,31 Ergebnis

Antwort: Die zweite Kathete ist 337,31 m lang.



Grundlage jedes Lösungsgangs bei einer Sachaufgabe ist die Planfigur.In dieser Planfigur wird eingetragen, welche Größen vorhanden sind (grüne Kennzeichnung) und welche gesucht sind (rote Kennzeichnung).

Und dann gilt:

F(ormel) – E(insetzen) – E(rgebnis)

Details dazu im Unterricht – bitte gut aufpassen!



Bevor nun begonnen wird, einzelne Anwendungen des Satzes darzustellen, ein kurzer Blick auf den Satz des Thales:

In einem Halbkreis bildet jeder Punkt auf dem In einem Halbkreis bildet jeder Punkt auf dem Kreisbogen gemeinsam mit den beiden Enden Kreisbogen gemeinsam mit den beiden Enden des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck.des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck.

Auch diesen Satz begreift man bildlich besser.



A B

C

Die Punkte A und B sind die beiden Enden des Durchmessers. Gemeinsam mit C entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel liegt beim Punkt C auf dem Kreisbogen. Wird C auf dem Kreisbogen verschoben, so bleibt der rechte Winkel grundsätzlich erhalten. Siehe dazu die zusätzlichen Abbildungen.

A B

C

A B

C



Dieser Satz ist wichtig, um kinderleicht und schnell rechtwinklige Dreiecke konstruieren zu können.

Dieser Satz ist wichtig, weil die Beweisführung einen typischen mathematischen Gedanken-gang aufweist.



A B

C

In dieser () Form ist gar nichts beweisbar. Das Dreieck muss zunächst zerlegt werden, um vorhandene mathematische Kenntnisse anwenden zu können.

A B

CWir verbinden die Mitte des Durchmessers mit dem Punkt C und haben damit das ursprüngliche Dreieck in zwei Dreiecke unterteilt.



A B

C

M

Das ursprüngliche Dreieck ist also durch die Linie von M nach C unterteilt worden.

Wir haben jetzt zwei Dreiecke: ein Grünes und ein Blaues.

Und diese beiden Dreiecke haben ein besondere Eigenschaft:

Es sind beides gleich-schenklige Dreiecke, da jeweils zwei Seiten vom Radius des (Halb-)Kreises gebildet werden.



A B

C

M

Das sieht man Das sieht man hier genau: Alle hier genau: Alle roten Linien sind roten Linien sind Radien!Radien!



Und diese Eigenschaft ist sehr wichtig. Schließlich haben

Dreiecke mit zwei gleichen Seiten – nämlich den

beiden Radien – grundsätzlich auch zwei gleiche Winkel.

Und um Winkel geht es ja beim Satz des Thales.



A B

C

M

Um mit den Winkeln arbeiten zu können, müssen sie Namenbekommen.Gleiche Winkel bekommennatürlichauch gleiche Namen.



... und das sieht so aus:

A B

C

M

w1

w1w2

w2w3 w4



Jetzt sind alle Aussagen in mathematischer Form ganz einfach aufschreibbar:

A B

C

M

w1

w1w2

w2w3 w4

Die Behauptung lautet jetzt:

w1 + w2 = 90°w1 + w2 = 90°

(Satz des Thales)

Dazu ist folgendes bekannt:

2*w1 + w3 = 180°

2*w2 + w4 = 180°



Jetzt muss gerechnet werden:Wir addieren die beiden Dreiecke

2*w1 + w3 = 180°

2*w2 + w4 = 180°

und erhalten2*w1 + w3 + 2*w2 + w4 = 360°



Hier kommt die Rechnung, denn ...

A B

C

M

w1

w1w2

w2w3 w4

... diese Gleichung kann vereinfacht werden:

2*w1 + 2*w2 + w3 + w4 = 360°und jetzt schau auf die Zeichnung

w3 + w4 = 180° also:

2*w1 + 2*w2 + 180° = 360°(auf beiden Seiten also 180° abziehen)

2*w1 + 2*w2 = 180°(auf beiden Seiten durch 2 teilen)

w1 + w2 = 90°w1 + w2 = 90°



Quod erat demonstrandum – q.e.d.

Ein logischer, mathematischer oder ähnlicher Beweis wird traditionell mit den lateinischen Worten „“ (abgekürzt q. e. d.) respektive mit „“ (abgekürzt w. z. b. w.) abgeschlossen.

Hinter einer Behauptung und vor dem Beweis heißt das Kürzel: „Was zu beweisen wäre“. Die wörtliche Übersetzung aus dem Lateinischen lautet eigentlich „was zu zeigen war“ bzw. „was bewiesen werden musste“ (siehe Gerundivum).

Die Floskel ist eine Übersetzung des griechischen ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hóper édei déixai), mit dem die griechischen Mathematiker, unter anderen Euklid (um 300 v. Chr.) und Archimedes, ihre Beweise abschlossen.

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Satz des Pythagoras Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmteSatz des Pythagoras Weitergabe bzw. Vervielfältigung Diese Präsentation bietet einen Einstieg