Sitzung 2 1 Alexander Spermann WS 2007/2008 Ökonomische Theorie leitet Beziehungen zwischen unterschiedlichen ökonomischen Variablen ab Ziel der Ökonometrie:

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Sitzung 2

Alexander SpermannWS 2007/2008

Ökonomische Theorie leitet Beziehungen zwischen unterschiedlichen ökonomischen Variablen ab

Ziel der Ökonometrie: Verifizierung und Quantifizierung der abgeleiteten theoretischen Beziehung

Beispiel: Wodurch und in welchem Ausmaß werden individuelle Löhne bestimmt?

durch Ausbildung, Berufserfahrung?

durch das Geschlecht ?

Einfache Regressionsgleichung

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Quelle: Dougherty

Beispiel: y = Lohn x = Schuljahre

Ökonomische Theorie lässt positive Beziehung zwischen beiden Variablen vermuten

allgemein: y = f(x)

z.B. lineare Beziehung y = + x

(Ökonomisches Modell)


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x ist eine nicht-stochastische exogene Variable

reale Beobachtungen werden kaum auf einerGerade liegen

yi = + xi + ui (Ökonometrisches Modell); i = 1,..., n (= 4)

y = abhängige Variable, x = erklärende Variable

u = Störterm (error term), erfasst zufällige sowie nicht beobachtbare Einflussfaktoren, die auf y wirken


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Sitzung 2


Der Annahmen der Methode der kleinsten Quadrate liegen folgende Gauss-Markov Bedingungen zugrunde:

1. Bedingung: Durchschnittswert der Störterme gleich Null

2. Bedingung: Homoskedastizität = gleiche Varianz der Störterme

3. Bedingung:Keine Autokorrelation (autocorrelation) zwischen den

Störtermen

4. Bedingung:Der Störterm soll unabhängig verteilt von den erklärenden Variablen sein

Einfache Regressionsgleichung - die Gauss-Markov Bedingungen

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Ökonometr. Modell:

u Zufallsvariable y ebenfalls Zufallsvariable

E(y) = E( + x + u) = E( + x) + E(u) = + x

lineare Beziehung zwischen E(y) und x

y = E(y) + u

Var(y) = E(y - E(y))2 = E(y - - x)2 = E(u)2 = Var(u)

Komponentezufälligei

Komponentezufälligenicht

ii uxy


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1. Gauss-Markov Bedingung: E(ui

lxi) = 0Durchschnittswert der Störterme gleich Null

Intuition:Die positiven Störterm-Werte gleichen die negativen ui-Werte aus, so dass der Durchschnittswert bezogen auf y Null ist.

Quelle: Gujarati

ii xyE )(

Einfache Regressionsgleichung – 1. Gauss-Markov (GM) Bedingung

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2. Gauss-Markov Bedingung: Var(ui|xi) = E[ui -E(ui)]² = E(ui)² wegen GM1

Homoskedastizität oder gleiche = ², z.B. ² = 5

Varianz der Störterme.

Quelle: Gujarati

ii xyE )(

Einfache Regressionsgleichung – 2. Gauss-Markov Bedingung (1)

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Quelle: Gujarati

ii xyE )(

Zum Vergleich: Heteroskedastizität: Var(ui|xi) = i² , d.h. Var ≠ konst.

Einfache Regressionsgleichung – 2. Gauss-Markov Bedingung (2)

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3. Gauss-Markov Bedingung: Cov(ui,uj) = E[ui -E(ui)] E[uj -E(uj)]

Keine Autokorrelation zwischen den Störtermen = E[ui uj] wegen GM1

= 0 i ≠ j Beispiel:

Quelle: Gujarati

Positive Autokorrelation

NegativeAutokorrelation

keine Autokorrelation

Einfache Regressionsgleichung – 3. Gauss-Markov Bedingung

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4. Gauss-Markov Bedingung:

Kovarianz Null zwischen u und x : Cov(x, u) = 0.

Intuition:

Störterm und erklärende Variablen sind in verschiedenen Perioden (Zeitreihe) bzw. über verschiedene Individuen (Querschnitt) unabhängig voneinander. Der Störterm fängt alle fehlenden Variablen auf.

Besonderheit:GM4 ist automatisch erfüllt, wenn x keine Zufallsvariable, d.h. nicht zufällig oder nicht stochastisch ist, oder GM1 gilt.

Einfache Regressionsgleichung – 4. Gauss-Markov Bedingung

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Einfache Regressionsgleichung – GM und Zentrales GrenzwerttheoremAnnahme der Normalverteilung (normality assumption) der

Störterme ui:

Zentrales Grenzwerttheorem (central limit theorem): die theoretische Rechtfertigung für die Annahme der Normalverteilung von ui.

Aussage zur Angleichung an Normalverteilung mit steigendem n: „Wenn eine Zufallsvariable X den Durchschnittswert und die Varianz 2 hat, dann wird die Verteilung der Stichprobe von X normal, wenn die Anzahl der Observationen n zunimmt.“ gilt auch für die Verteilung der Störterme ui

if (u )

iu0

n klein

n groß

n sehr groß

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Ökonometrisches Modell: yi = + xi + ui , i = 1,..., n

Ziel: Schätzwerte a und b für „wahre“ Parameter und

geschätzte Werte sind dann:

ŷi=a+bxi

Quelle: Dougherty

a und b sind die Schätzer für


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OLS = Ordinary Least Squares = Methode der kleinsten Quadrate

Minimiere S (Ableiten nach a und b) !

ŷi=a+bxi = Kleinstquadratvorhersagen

ei = Kleinstquadratresiduen

Quelle: Dougherty

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23

22

213

2

1

eeeeS

bxaye

yye

iii

iii

.

.

ˆ.


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Kleinstquadrat- oder OLS-Schätzer:

OLS OLSa und b sind Schätzer für die wahren Parameter und

2

1

2

1

nvarianzStichprobe

y)Cov(x, nkovarianzStichprobe

xxn

ii

n

iii

OLSs

xx

xxyy

b

)(

))((

xbyaOLS


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Streudiagramm (scatterplot) für:

Einfache Regressionsgleichung –Streudiagramm

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Lineares Modell: y = + x + u

gibt an, um wie viel Einheiten sich y verändert ,

wenn x sich um eine Einheit verändert

x

y

Interpretation der Koeffizienten in empirischen Schätzgleichungen

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Logarithmisches Modell: ln( y) = + ln(x) + u

gibt an, um wie viel Prozent sich y verändert , wenn

x sich um ein Prozent verändert

xx

yy

x

y

/

/

ln

ln


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Semi-Logarithmisches Modell: ln(y) = + x + u

gibt an, um wie viel Prozent sich y verändert , wenn

x sich um eine Einheit verändert

x

yy

x

y /ln


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Lohngleichungen werden üblicherweise als semi-

logarithmisches Modell spezifiziert:

ln(y)= ln(y0) + ß ·x + ... + u

x = Schuljahre

ß wird dann als Ertragsrate eines weiteren Schuljahres bzw.

Berufserfahrungsjahres interpretiert

(ß = „return to education“)


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iiiiii eyyyyeaus ˆˆ.1

Varianzder

Anteilrunerklärte

i

VarianzderAnteilerklärter

ii eeyyyy 222 )()ˆˆ()(.2

222 3 eeyyyy sss ˆˆ.

squaresofsum

sidual

squaresofsum

Explained

squaresofsum

Total

RSSESSTSSRe

. 4

Bestimmtheitsmaß R2

(=Goodness of Fit)

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}TSSESS

RSS

2

2

2

22 1

yy

ee

yy

yy

s

s

s

sR ˆˆ

)²(

)²ˆˆ(exp

yy

yy

squaresofsumtotal

squaresofsumlained

TSS

ESSR

i

i2

TSS = ESS + RSS

Bestimmtheitsmaß R2

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Sitzung 2


Zwischen den Variablen Y und X herrscht keineBeziehung:

Bestimmtheitsmaß R2 = 0

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Alle Beobachtungen von Y und Xliegen auf derRegressionsgeraden, folglich werden diesevollständig von dem Modell erklärt:

Bestimmtheitsmaß R2 = 1

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