Springer-Lehrbuch Masterclass

Andreas Knauf

Mathematische Physik: Klassische Mechanik2., überarbeitete und ergänzte Auflage

Andreas KnaufDepartment MathematikUniversität Erlangen-NürnbergErlangen, Deutschland

MasterclassISBN 978-3-662-55775-4 ISBN 978-3-662-55776-1 (eBook)

Planung: Dr. Annika Denkert

Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier

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https://doi.org/10.1007/978-3-662-55776-1

Inhaltsverzeichnis

Bemerkungen zur Mathematischen Physik xiMotive und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiInhalte des Buches ,Klassische Mechanik’ . . . . . . . . . . . . . . . xiiiVorwort zur zweiten Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xivZur Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvKleines Englisch-Worterbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

1 Einleitung 1

2 Dynamische Systeme 112.1 Iterierte Abbildungen, dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . 122.2 Stetige dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Differenzierbare dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Gewohnliche Differentialgleichungen 313.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Lokale Existenz und Eindeutigkeit der Losung . . . . . . . . . . 373.3 Globale Existenz und Eindeutigkeit der Losung . . . . . . . . . . 443.4 Transformation in ein dynamisches System . . . . . . . . . . . . 473.5 Das maximale Existenzintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 Der Hauptsatz der Differentialgleichungstheorie . . . . . . . . . 53

3.6.1 Linearisierung der DGL entlang einer Trajektorie . . . . . 543.6.2 Aussage und Beweis des Hauptsatzes . . . . . . . . . . . 553.6.3 Folgerungen aus dem Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . 58

4 Lineare Dynamik 614.1 Homogene lineare autonome Differentialgleichungen . . . . . . . 624.2 Explizit zeitabhangige lineare Differentialgleichungen . . . . . . 694.3 Quasipolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Klassifikation linearer Flusse 775.1 Konjugationen linearer Flusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Hyperbolische lineare Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Lineare Flusse in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4 Beispiel: Feder mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

v

vi Inhaltsverzeichnis

6 Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe 936.1 Gradientenflusse und hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . 94

6.1.1 Gradienten–Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 946.1.2 Hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2 Die symplektische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.1 Lineare hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . . . . 996.2.2 Symplektische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2.3 Die symplektische Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3 Lineare hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3.1 Harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3.2 Harmonische Gitterschwingungen . . . . . . . . . . . . . 1156.3.3 Teilchen im konstanten elektromagnetischen Feld . . . . 118

6.4 Unterraume symplektischer Vektorraume . . . . . . . . . . . . . 1216.5 * Der Maslov–Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7 Stabilitatstheorie 1337.1 Stabilitat linearer Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 1347.2 Liapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.3.1 Verzweigungen von Ruhelagen . . . . . . . . . . . . . . 1407.3.2 Verzweigungen periodischer Orbits . . . . . . . . . . . . 1447.3.3 Verzweigungen des Phasenraums . . . . . . . . . . . . . 147

8 Variationsprinzipien 1498.1 Lagrange- und Hamilton–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 1508.2 Holonome Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.3 Das hamiltonsche Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.4 Die Geodatische Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.5 Die Jacobi–Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.6 Das fermatsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748.7 Die geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9 Ergodentheorie 1839.1 Maßerhaltende dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 1849.2 Ergodische dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.3 Mischende dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.4 Der birkhoffsche Ergodensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.5 Der poincaresche Wiederkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10 Symplektische Geometrie 20710.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 20810.2 Lie–Ableitung und Poisson–Klammer . . . . . . . . . . . . . . . 21410.3 Kanonische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21910.4 Lagrange–Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22510.5 Erzeugende kanonischer Transformationen . . . . . . . . . . . . 228

Inhaltsverzeichnis vii

11 Bewegung im Potential 23111.1 Allgemein gultige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

11.1.1 Existenz des Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23211.1.2 Reversibilitat des Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . 23311.1.3 Erreichbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

11.2 Bewegung im periodischen Potential . . . . . . . . . . . . . . . 23511.2.1 Existenz der asymptotischen Geschwindigkeiten . . . . . 23611.2.2 Verteilung der asymptotischen Geschwindigkeiten . . . . 23811.2.3 Ballistische und diffusive Bewegung . . . . . . . . . . . 242

11.3 Himmelsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24511.3.1 Geometrie des Kepler–Problems . . . . . . . . . . . . . 24611.3.2 Zwei Gravitationszentren . . . . . . . . . . . . . . . . . 25411.3.3 Das n–Korper-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

12 Streutheorie 26712.1 Potentialstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26812.2 Die Møller-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27612.3 Der differentielle Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . 28312.4 Zeitverzogerung, Radon–Transform., Inverse Streutheorie . . . . 28712.5 Kinematik der Streuung von n Teilchen . . . . . . . . . . . . . 29512.6 * Asymptotische Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13 Integrable Systeme und Symmetrien 31313.1 Was bedeutet Integrabilitat? Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . 31413.2 Der Satz von Liouville-Arnol’d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31713.3 Winkel-Wirkungskoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32313.4 Die Impulsabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33113.5 * Reduktion des Phasenraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

14 Starre und bewegliche Korper 35314.1 Bewegungen des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35414.2 Kinematik starrer Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35514.3 Losung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 361

14.3.1 Kraftefreie Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36214.3.2 Schwere (symmetrische) Kreisel . . . . . . . . . . . . . 368

14.4 Bewegliche Korper, anholonome Systeme . . . . . . . . . . . . . 37114.4.1 Geometrie beweglicher Korper . . . . . . . . . . . . . . 37114.4.2 Anholonome Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 374

15 Storungstheorie 37715.1 Bedingt-periodische Bewegung des Torus . . . . . . . . . . . . . 37815.2 Storungstheorie fur eine Winkelvariable . . . . . . . . . . . . . . 38615.3 Hamiltonsche Storungstheorie erster Ordnung . . . . . . . . . . 38915.4 KAM-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

15.4.1 * Ein Beweis des KAM–Satzes . . . . . . . . . . . . . . 39915.4.2 Maß der KAM–Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

viii Inhaltsverzeichnis

15.5 Diophantische Bedingung und Kettenbruche . . . . . . . . . . . 415

15.6 Cantori: Am Beispiel der Standardabbildung . . . . . . . . . . . 420

16 Relativistische Mechanik 425

16.1 Die Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

16.2 Die Lorentz– und die Poincare–Gruppe . . . . . . . . . . . . . . 428

16.3 Geometrie des Minkowski–Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . 433

16.4 Die Welt in relativistischer Sichtweise . . . . . . . . . . . . . . . 439

16.5 Von Einstein zu Galilei — und zuruck . . . . . . . . . . . . . . 444

16.6 Relativistische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

17 Symplektische Topologie 451

17.1 Das symplektische Kamel und das Nadelohr . . . . . . . . . . . 452

17.2 Der Satz von Poincare–Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

17.3 Die Arnol’d–Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

A Topologische Raume und Mannigfaltigkeiten 463

A.1 Topologie und Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

A.2 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

A.3 Das Tangentialbundel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

B Differentialformen 485

B.1 Außere Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

B.2 Differentialformen auf dem Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

B.3 Integration von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . 496

B.4 Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . 499

B.5 Innere Ableitung und Lie–Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . 500

B.6 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

B.7 Das Poincare–Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

B.8 de-Rham–Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

C Konvexitat und Legendre–Transformation 514

C.1 Konvexe Mengen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

C.2 Die Legendre-Fenchel–Transformation . . . . . . . . . . . . . . 515

D Fixpunkt- und Urbildsatze 519

E Gruppentheorie 522

E.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

E.2 Lie–Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

E.3 Lie–Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

E.4 Lie–Gruppenwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

Inhaltsverzeichnis ix

F Bundel, Zusammenhang, Krummung 537F.1 Faserbundel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537F.2 Zusammenhange auf Faserbundeln . . . . . . . . . . . . . . . . 541F.3 Distributionen und der Satz von Frobenius . . . . . . . . . . . . 547F.4 Holonomie und Krummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

G Morse–Theorie 552G.1 Morse–Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552G.2 Singulare Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556G.3 Geodatische Bewegung und Morse–Theorie . . . . . . . . . . . . 560

H Losungen der Aufgaben 568

Literaturverzeichnis 627

Namensregister 638

Symboltabelle 640

Abbildungsnachweis 641

Sachregister 643

Bemerkungen zurMathematischen Physik

Motive und Ziele

”The laws of nature are constructed in such a way as to make the universe as

interesting as possible.” Freeman Dyson, in Imagined Worlds (1997)

In der Mathematischen Physik wird versucht, ausgehend von physikalischenGrundgleichungen und -Annahmen (wie der newtonschen Gleichung, der Boltz-mann–Verteilung oder der Schrodinger–Gleichung) physikalische Sachverhaltemathematisch abzuleiten.

Im Mittelpunkt steht also das physikalische Problem (zum Beispiel die Fragenach der Stabilitat des Sonnensystems, dem Grund fur die Existenz von Kristallenoder der Lokalisierung von Elektronen im amorphen Festkorper).

Die zur Losung des jeweiligen Problems benotigten Methoden lassen sichmehrheitlich Analysis oder Geometrie zuordnen, aber auch algebraische Techni-ken spielen eine Rolle. In grober Zuordnung entspricht mathematisch der

• Klassischen Mechanik die Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen,

• der Quantenmechanik die Funktionalanalysis und

• der (klassischen) Statistischen Mechanik die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Zu einem Zyklus uber Theoretische Physik gehort aber auch die Elektro-dynamik und damit mathematisch gesehen die Theorie der Maxwell–Gleichung,einer linearen partiellen Differentialgleichung. Die Allgemeine Relativitatstheorie,eins der Fundamente der modernen Physik, fuhrt wie viele andere Fragestellun-gen auf eine nichtlineare partielle Differentialgleichung. Die Quantenfeldtheorieberuht auf einer Vielfalt analytischer, geometrischer wie algebraischer Methoden.

Bei dieser Uferlosigkeit des Gebietes stellt sich die Frage, wie es moglich ist,hier in vernunftiger Zeit Boden unter den Fußen zu bekommen, und ob sich dieBeschaftigung mit Mathematischer Physik lohnt.

Der vorliegende Band gibt ein Teilangebot zur ersten Frage.1

1Es ist nicht ausgeschlossen, dass ihm Bande zur Quantenmechanik und zur statistischenMechanik folgen.

xi

xii Bemerkungen zur Mathematischen Physik

Die zweite Frage muß jeder fur sich entscheiden. Studierende der Mathematikund der Physik haben hier oft unterschiedliche Motive:

• In den Kursusvorlesungen der Theoretischen Physik kann ein mathematischrigoroser Unterbau aus Zeitgrunden nicht geschaffen werden. Notgedrungenwerden etwa Schrodinger-Operatoren wie endliche Matrizen behandelt. Hierbietet die Mathematischen Physik eine sinnvolle Erganzung.

Der fur eine hohere mathematische Genauigkeit zu zahlende Preis bestehtdarin, dass ein Kurs zur Mathematischen Physik bei Bachelor-regulierter Zeitnicht die gleiche Vielfalt physikalischer Phanomene behandeln kann, wie dasin einem Kurs zur Theoretischen Physik moglich ist. Stattdessen werden be-griffliche Grundlagen geklart und exemplarische Modelle untersucht.

• Im Mathematik-Studium wird aus gutem Grund eine deduktive Entwicklungmathematischer Begriffe gewahlt.

Hier kann die problem- und nicht methodenorientierte Mathematische Phy-sik die praktische Relevanz dieser Begriffe motivieren, etwa die dynamischeBedeutung der Spektralanteile eines selbstadjungierten Operators.

Ein weiterer Grund fur das Interesse an der Mathematischen Physik ist ein Phano-men, das Eugene Wigner zum Titel eines 1960 erschienenen Essays machte,namlich

”The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”

Oder mit Albert Einstein:

”Wie ist es moglich, daß die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung un-abhangiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstande der Wirk-lichkeit so vortrefflich paßt?” 2

Unmittelbar bezieht sich das Zitat Einsteins auf alle ,Gegenstande der Wirk-lichkeit’. Aber seine beste Bestatigung findet es in der Physik. Hier weisen ma-thematische Strukturen (wie die Differentialgeometrie fur die Relativitatstheorieoder die Gruppentheorie fur die Quantenfeldtheorie) oft vor experimentellen Be-obachtungen den Weg zur angemessenen Theorie.3

Dagegen sind etwa in der Biologie als neuer Leitwissenschaft naturhistorischentstandene Strukturen entscheidend. Auch wenn sich viele Phanomene mathe-matisch modellieren lassen, ist die Voraussagekraft der Modelle begrenzt. Glei-ches gilt in verstarktem Maß etwa fur die Wirtschaftswissenschaften.

Zwar laßt sich auch die Vielfalt technischer Erfindungen in mathematischerSprache beschreiben, auch hier wird mehr problem- als methodenorientiert gear-beitet. Ein Unterschied liegt aber in der Zielsetzung. Ziel Mathematischer Physikist zunachst Erkenntnis von Naturvorgangen, wahrend es in der Technomathema-tik letztlich um die Simulation und Optimierung von Strukturen und Prozessengeht.

2A. Einstein: Geometrie und Erfahrung. Festvortrag, gehalten an der Preussischen Akademieder Wissenschaften zu Berlin, am 27. Januar 1921. Berlin: Julius Springer 1921.

3Dass umgekehrt ,physikalische Beweise’ mathematischer Sachverhalte moglich sind, zeigtauf sehr unterhaltsame Weise das Buch [Lev] von Mark Levi.

Bemerkungen zur Mathematischen Physik xiii

Inhalte des Buches ,Klassische Mechanik’

”Als μηχανη (mechane) bezeichnet man vorwissenschaftlich im Griechischeneine Konstruktion, einen Kunstgriff oder auch einen — illegitimen — Trick.

Wenn griechische Staatsvertrage hinterlistiges Verhalten ausschließen wollten,verboten sie den Einsatz von τ εχνη (techne) oder mechane,

von Hinterlist und Tucke.” [Me], Seite 129

Die logischen Beziehungen zwischen den Kapiteln dieses Buches werden inerster Naherung durch den folgenden Baum dargestellt.

2: Dynamische Systeme

3: Gewohnliche Differentialgleichungen

4: Lineare Dynamik

5: Klassifikation linearer Flusse 6: Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

7: Stabilitatstheorie 8: Variationspr. 10: Symplektische Geometrie

13: Integrable Systeme

15: Storungstheorie

14: Der starre Korper 17: Symplektische Topologie 16: Relativistik

9: Ergodentheorie 11: Potentialbew.

12: Streutheorie

Grob gesagt, liefern also Kapitel 2 bis 6 ein Grundgerust, von dem ausgehendspeziellere Fragen betrachtet werden konnen.

Einer vierstundigen Vorlesung kann beispielsweise (falls Grundkenntnisse ubergewohnliche Differentialgleichungen vorausgesetzt werden konnen) die folgendeStoffauswahl zugrunde gelegt werden:

• Kapitel 2: Dynamische Systeme

• Kapitel 6: Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

• Kapitel 8: Variationsprinzipien

• Kapitel 9: Ergodentheorie

• Kapitel 10: Symplektische Geometrie

• Kapitel 13: Integrable Systeme

Erganzend zu den Anhangen dieses Buches sei das Taschenbuch der Mathematik[Zei] von Eberhard Zeidler [Hg] empfohlen.

xiv Bemerkungen zur Mathematischen Physik

Vorwort zur zweiten Auflage

Explizit vorausgesetzt werden nur die Vorlesungen zur Analysis und zur LinearenAlgebra. Anhange fassen die wichtigsten Voraussetzungen etwa aus Differenti-algeometrie, Gruppentheorie, Topologie und Wahrscheinlichkeitstheorie zusam-men. Essentials etwa aus der Theorie gewohnlicher Differentialgleichungen oderder Funktionalanalysis werden an Ort und Stelle eingefuhrt. Bei entsprechendenVorkenntnissen konnen die entsprechenden Kapitel ausgelassen werden.

Der Band eignet sich auch zum Selbststudium.Dieses Lehrbuch versucht, die Breite aktueller Fragestellungen abzubilden und

Voraussetzungen fur das Verstandnis spezialisierterer Literatur zu schaffen.Die durch einen Stern (*) gekennzeichneten Kapitel sind mathematisch an-

spruchsvoller, werden aber im Weiteren nicht vorausgesetzt.Die (in diesem Band uber 100) Ubungsaufgaben werden teilweise durch

Losungstipps erganzt, denn sie variieren stark in ihrem Schwierigkeitsgrad. Ineinem Anhang findet man die Losungen.

Die (fur den vorliegenden Band etwa 340) Illustrationen sind – soweit moglich– quantitativ exakt.

60 von ihnen sind in der zweiten Auflage qualitativ verbessert oder neu hin-zugefugt worden Ebenso wurden fur diese Auflage erkannte Druckfehler beseitigtund der Text an einigen Stellen verbessert oder erganzt.

Danksagung Der vorliegende Band hat seinen Ursprung im Vorlesungszyklus,Mathematische Physik’, der von Ruedi Seiler am Fachbereich Mathematik derTU Berlin etabliert wurde. Ihm verdanke ich und verdankt das Buch sehr viel.

Robert Schrader4, der am Fachbereich Physik der FU Berlin meine Diplom-arbeit und Dissertation betreute, hat meine Sicht der Mathematischen Physikentscheidend geformt. Er war ein ausgezeichneter Wissenschaftler. Fur mich warer Mentor, Kollege und Freund. Ich widme dieses Buch seinem Andenken.

Ich danke Frau Irmgard Moch, die in detektivischer Arbeit meine Handschriftentzifferte und dieses Buch schrieb. Christoph Schumacher hat unter Anderemmehrere Aufgaben beigetragen. Viviane Baladi, Tanja Dierkes, Jacques Fejoz,Daniel Matthes, Herbert Lange, Johannes Singer, Zhiyi Tang, Stefan Teufel,Stephan Weis sowie zahlreiche weitere Kolleginnen und Kollegen fanden Feh-ler im Manuskript oder trugen anderweitig zu seiner Verbesserung bei. JochenDenzler, der das Manuskript fur die englische Ausgabe ubersetzte, trug mit seinenVorschlagen auch wesentlich zur deutschen Neuauflage bei.

Frau Allewelt, Frau Denkert, Frau Herrmann und Herrn Heine vom Springer–Verlag danke ich fur ihre freundliche Hilfe bei der Veroffentlichung und Neuauf-lage des Buches.

Alle Fehler gehen naturlich auf mein Konto. Fur entsprechende Hinweise binich dankbar. Erlangen, im Juli 2017, A.K.

4Die International Association of Mathematical Physics (IAMP, www.iamp.org) veroffent-lichte einen Nachruf auf Robert Schrader in ihrem News Bulletin vom April 2016.

Bemerkungen zur Mathematischen Physik xv

Zur Notation

Teilmengen: Sind A und B Mengen, dann heißt A Teilmenge von B (in ZeichenA ⊆ B), wenn gilt: x ∈ A ⇒ x ∈ B. Insbesondere gilt B ⊆ B. Die echteInklusion A � B bedeutet, dass A ⊆ B, aber A �= B gilt. In der mathematischenLiteratur findet man auch das Teilmengenzeichen A ⊂ B. Dies benutzen wir statt� als Hinweis auf eine echte Teilmenge.

Potenzmengen: Ist A eine Menge, dann ist die Potenzmenge von A

2A := {B | B ⊆ A} .Synonym findet man auch die Notationen P(A) und P(A).

Funktionen: Fur f : M → N und A ⊆ M ist f(A) := {f(a) | a ∈ A}.Fur B ⊆ N ist f−1(B) := {m ∈ M | f(m) ∈ B}. Fur b ∈ N ist f−1(b) :=f−1({b}).Zahlen: Menge N = {1, 2, . . .} der naturlichen Zahlen, N0 = {0, 1, 2, . . .},Ring Z = {0, 1,−1, 2,−2, . . .} der ganzen Zahlen.Korper Q,R,C der rationalen, reellen beziehungsweise komplexen Zahlen.Fur einen Korper K bedeutet K∗ die multiplikative Gruppe K∗ := K \ {0}, und

R+ := {x ∈ R | x > 0} = (0,∞) .

Intervalle: Fur a, b ∈ R, a < b ist

(a, b) := {x ∈ R | x > a, x < b} , (a, b] := {x ∈ R | x > a, x ≤ b} etc.

(Synonym findet man auch die Notation ]a, b[= (a, b), ]a, b] = (a, b] etc.)

Matrizen: Mat(m × n,K) bezeichnet den K–Vektorraum der m × n–Matrizenmit Eintragen aus dem Korper K, und Mat(n,K) den Ring Mat(n× n,K).

Spharen und Kugeln: Fur d ∈ N0 ist Sd := {x ∈ Rd+1 | ‖x‖ = 1} = ∂Bd+1,also Rand der abgeschlossenen Vollkugel Bd

r := {x ∈ Rd | ‖x‖ ≤ r} vom Radiusr > 0, und Bd := Bd

1 .Wir schreiben S1 ⊂ C fur {c ∈ C | |c| = 1}, aber auch S1 := R/Z (mit derIdentifikation [x] �→ exp(2πıx)) fur die multiplikative bzw. additive Gruppe.

Das griechische Alphabet: a) Kleinbuchstaben

α Alpha ζ Zeta λ Lambda π Pi φ, ϕ Phiβ Beta η Eta μ My ρ,� Rho χ Chiγ Gamma θ,ϑ Theta ν Ny σ,ς Sigma ψ Psiδ Delta ι Jota ξ Xi τ Tau ω Omegaε, ε Epsilon κ Kappa o Omikron υ Ypsilon

b) Großbuchstaben (soweit verschieden von den lateinischen)

Γ Gamma Θ Theta Ξ Xi Σ Sigma Φ Phi Ω OmegaΔ Delta Λ Lambda Π Pi Υ Ypsilon Ψ Psi

xvi Bemerkungen zur Mathematischen Physik

Kleines Englisch-Worterbuch

abelian abelschabsolute value Betragacceleration Beschleunigungaccumulation point Haufungspunktangular momentum Drehimpulsarea Flacheassertion Aussageassociativity Assoziativitatas. completeness as. Vollstandigkeitasymptotic value Grenzwertaverage Mittelwertball Vollkugelbarycenter Schwerpunktbifurcation Verzweigungbilliard Billardbound Schrankebounded beschranktbox Wurfelbundle Bundelcardinality Machtigkeitcartesian product kartesisches Produktcentroid Schwerpunktchain rule Kettenregelcircle Kreislinieclosed abgeschlossencomplete vollstandigconditionally periodic bedingt-periodischconnected zusammenhangendconnection Zusammenhangconstraint Zwangsbedingungcontinuity Stetigkeitconvergent konvergentconvolution Faltungcountable abzahlbarcovering Uberlagerungcritical point Ruhelage; kr. Punktcritically damped Aperiodischer Grenzfallcross section Wirkungsquerschnittcurvature Krummungdegree Abbildungsgradderivative Ableitungdisjoint disjunktdisk Kreisscheibedistance Abstanddivergent divergentdomain Definitionsbereichempty set leere Mengeequilibrium Ruhelageequivalence class Aquivalenzklasseescape time Fluchtzeitexpectation value Erwartungswertfibre Faserfield Korperfixed point Fixpunktflow Flussforce Kraftforced oscillation erzwungene Schwingungfriction Reibungfunction Funktiongolden ratio/mean Goldener Schnittgraph Graphgroup Gruppegroup action Gruppenwirkungill-posed schlecht gestellt

image Bildimaginary part Imaginarteilimgaginary unit imaginare Einheitinequality Ungleichunginitial condition Anfangsbedingungintersection Durchschnittinterval Intervallinverse mapping Umkehrabbildunglimit Limeslinking number Verschlingungszahlmanifold Mannigfaltigkeitmap Abbildung, Kartemeasure Maßmetric Metrikmetric space metrischer Raummixing mischendmoment of inertia Tragheitsmomentmomentum Impulsmonotonous monotonneighborhood Umgebungnumbers Zahlen- complex - komplexe- integer - ganze- irrational - irrationale- natural - naturliche- rational - rationale- real - reelleone-to-one injektivonto surjektivopen offenorder Ordnungoverdamped Kriechfallpartition Zerlegungproposition Satzpower series Potenzreihepower set Potenzmengeprimes Primzahlenprincipal bundle Hauptfaserbundelproper map eigentliche Abb.real part Realteilrelation Relationresidue class Restklassering Ringroot Wurzelscattering Streuungsection Schnittsemicontinuous halbstetigsequence Folgeset Mengesign Signumsolution Losungspeed Betrag der Geschw.stable stabilsubsequence Teilfolgesubset Teilmengetheorem Satztime delay Zeitverzogerungtime reversal Zeitumkehrtriangle inequality Dreiecksungleichungunderdamped Schwingfallunion Vereinigungunit Einheitvelocity Geschwindigkeitwell defined wohldefiniert