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slyk1993
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Erstsemester Uni Frankfurt, persönliche Zusammenfassung
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Grundbegriffe
Grundgesamtheit: Menge aller relevanten Objekte alle Studenten der Gruppe
Merkmal: interessierende Größe (Variable) Vorbereitungszeit Merkmalsausprägung: konkreter Wert des Merkmals Stichprobe: tatsächlich untersuchte Teilmenge der Grundgesamtheit
Person 1, ..., n Stichprobenumfang: Anzahl der Objekte in der Stichprobe n n = Rohdaten: nicht geordnete, in der Erhebungsreihenfolge gegebene Daten
x1, x2, x3
Geordneter Datensatz: nach aufsteigender Größe sortierte Beobachtungen x1≤ x2≤…≤xn
Merkmalstypen
Unterscheidung nach Anzahl möglicher Ausprägungen Diskret: endlich o. zählbar unendlich viele Ausprägungen Stetig: alle Werte eines Intervalls sind mögliche Ausprägungen („immer
wieder teilbar“)Unterscheidung nach Skalenniveau:
Nominal: Ausprägung lediglich Namen, Anordnungen; Abstände nicht sinnvoll!
Ordinal: Ausprägungen können geordnet werden; Abstände sind nicht möglich
Metrisch: Ausprägungen können geordnet werden; Abstände sind möglich
Merkmale können eindimensional (univariat) o. mehrdimensional (multivariat) sein.
Häufigkeitsverteilungen
Diskrete Merkmale
Diskretes Merkmal X mit Ausprägungen a1 < ... < ak
Stichprobenumfang n
Absolute Häufigkeit von aj: nj-Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe, die gleich aj sind (n4=24 sind a4=2.0 24 Leute mit Merkmalsausprägung a=2.0)
Relative Häufigkeit von aj: hj = nj/n Stabdiagramm: graphische Darstellung der rel. Häufigkeiten Histogramm
Kumulierte relative Häufigkeit: h (X ≤a j )=∑i=1
i
hi
Empirische Verteilungsfunktion für a1 < a2 < ... < ak:
Stetige Merkmale
Einteilung der Ausprägungen eines stetigen Merkmals X in k Klassen: (ao*,a1*], (a1*, a2*], (a2*, a3*], ... , (ak-1*, ak*]
Klassenbreite: ∆ j=a j¿−a j−1
¿ j = 1,...,k Absolute Häufigkeit: nj = Anzahl der Beobachtungen in (aj-1*, aj*]
Relative Häufigkeit: h (a j−1¿ <X ≤a j¿ )=h j=
n j
n
Kumulierte relative Häufigkeit: h (X≤a j¿)=∑
i=1
j
hi
Häufigkeitsdichte:
Histogramm: graphische Darstellung der Häufigkeitsdichte f (nicht F!) als Funktion von x
Empirische Verteilungsfunktion:
Empirische Verteilungsfunktion kumuliert Teilflächen des Histogramms
Maßzahlen
Lagemaße
Arithmetisches Mittel
Rohdaten: Aus Häufigkeitstabelle, diskretes Merkmal: Aus Häufigkeitstablle, stetiges Merkmal, klassierte Daten, approximativ:
Eigenschaften:
(Summe der Abweichungen vom Mittelwert = 0)
Median
= 50%-Punkt, halbiert geordneten Datensatz x1≤ x2≤…≤xn
Median charakterisiert Stichprobe besser als Mittelwert, resistenter gegen Ausreißer
p-Quartile bei klassierten Daten (10%,25%,75%,...)
Streuungsmaße
Mittlere quadratische Abweichung
Rohdaten:
Häufigkeitstabelle, diskretes Merkmal (gewichtet):
Häufigkeitstabelle, stetiges Merkmal, klassierte Daten, approximativ:
Variationskoeffizient
Interquartilsabstand
Schiefe und Wölbung (Kurtosis)
Symmetrische Verteilung
Linkssteile (rechtsschiefe) Verteilung
Rechtssteile (linksschiefe) Verteilung
Schiefekoeffizient
Wölbung (Kurtosis)
Konzentrationsmessung
Konzentrationsmaße Beschreibt eine Struktureigenschaft empirischer Verteilung Merkmalssumme: Summe aller Merkmalsausprägungen
o S= x1+x2+…+xn=∑i=1
n
x i
Konzentrationsmessung = Messung von Ungleichheit
Arbeitstabelle1. Ordne aufsteigend (!) nach Merkmal X, sodass gilt 0≤a1<…<ak2. Berechne für alle Ausprägungen k den kumulierten Anteil an allen
Beobachtungen n: ui=
∑j=1
i
n j
n=∑
j=1
i
h ji=1,2,…,k
3. Berechne für alle Ausprägungen i=1,2,...,k die Teilsumme der kumulierten Merkmalsausprägungen X (, den die Gruppe der kleinsten i
Merkmalsausprägungen auf sich vereint): Si=∑j=1
i
n j x j i=1,2 ,…k
D.h.: Xi kumulieren!
4. Berechne den Anteil an der gesamten Merkmalssumme (, den die Gruppe der kleinsten i Merkmalsausprägungen auf sich vereint):
v i=S iSk
=∑j=1
i
n j x j
∑j=1
k
n j x j
i=1,2 ,…,k
D.h.: Si/Merkmalssumme (Summe aller X)
Lorenzkurve vi gegen ui
geradlinige Verbindung der Koordinaten in einem Koordinatensystem (u0, v0), (u1,v1), ..., (uk, vk) wobei (u0, v0) = (0,0) und (uk, vk) = (1,1)
o gibt zu jedem Anteil der Beobachtungen den zugehörigen Anteil der Merkmalssumme an
Konzentrationsfläche Fläche zwischen der Diagonalen und der Lorenzkurve zeigt, wie gemessene Konzentration/Ungleichheit von einer Lorenzkurve
bei vollständiger Gleichverteilung entfernt isto Ungleichheit steigt mit der Entfernung der Lorenzkurve von der
Gleichverteilungsdiagonale
Gini-Koeffizient Quotient aus Konzentrationsfläche und der Fläche unter der Diagonale
G= KonzentrationsflächeFlächeunter Diagonale
so dass0≤G≤1
Gini-Koeffizient G misst die Konzentration oder Ungleichheit
Gleichverteilung
Wenn x1 = x2 = ... = xn dann ist hj = 1/n, für alle j=1, ... , n und ui = i/n, für alle j=1,...,n
Geringste Konzentration/minimale Ungleichheit Lorenzkurve ist identisch mit der Diagonalen im Einheitsquadrat Gini-Koeffizient = 0
Gesamte Merkmalssumme entfällt auf einen Merkmalsträger x1 = x2 = ... = xn-1 = 0 und xn = S maximale Konzentration/maximale Ungleichheit Lorenzkurve ist für (n-1) Anteile 0, steigt dann auf 1
Gini-Koeffizient: G=
n−12n12
=n−1n
da (aus der Dreiecksberechnung)
Konzentrationsfläche K=12− 12n
Berechnung des Gini-Koeffizienten allgemein Konzentrationsfläche = Summe von Trapezflächen unter der Lorenzkurve
3.2. Zeitreihen
3.2.1. Preisbereinigung
Nominale Größe: xt: in jeweiligen Preisen des jeweiligen Zeitpunktes t
Messzahlen oder Indexzahlen: Bezug 2 inhaltlich gleicher Größen verschiedener Zeitpunkte (Bsp.: Preisniveau 2007 der BRD im Verhältnis zum Preisniveau 2001)
Preisindex: P0,t zur Basisperiode 0 (z.B. 1995 = 100)
Reale Größe xrt : Wert von xt in Preisen der Basisperiode 0, x t
r=x tP0 , t
(„Deflationierung“)
Indexzahlen üblicherweise Prozentzahlen, Indexwert der Basisperiode = 100
Änderung von Indexzahlen: i.d.R. Prozentpunkte (z.B. Steigerung eines Index von 150 auf 165 bedeutet Steigerung um 15 Prozentpunkte und um 10 %)
Preis und Mengenindizes Ziel: Ermittlung der generellen Preisentwicklung (in einer
Volkswirtschaft, Sektor, Region) Lösung: Indexbildung Wirtschaftspolitische Wichtigkeit: Lohnverhandlungen, Rentenzahlungen Warenkorb (repräsentativ): Güter, die sachlich zusammengehören, bilden
einen Warenkorb; gewichteter Durchschnitt von Mengen und Preiseno Verschiedene Warenkorbe: Familie, Single-Haushalt, ...
Konsumgewohnheit unterschiedlich je nach Lebenssituation Indexbildung: Vergleich desselben Warenkorbs zu verschiedenen
Zeitpunkten, Preisverhältnis bilden Verbraucherpreisindex: misst durchschnittliche Preisveränderung aller
Waren und DL, die von privaten Haushalten für Konsumzwecke gekauft/verbraucht werden.
o Im Allgemeinen als Maßstab für Inflation verwendeto Güter des täglichen Bedarfs (Lebensmittel, Bekleidung), Mieten,
langlebige Güter (Kfz, Kühlschrank), DL (Friseur, Reinigung)
Preisindizes Laspeyres Preisindex: Festlegung auf historische Mengen in Zähler und
Nenner, bzw. Betrachtung eines zeitlich konstanten Warenkorbs
Paasche Preisindex: Festlegung auf aktuelle Mengen in Zähler und Nenner, bzw. Konzentration auf Bewertung des aktuellen Warenkorbs
Mengenindizes Messung von Mengenveränderung unabhängig von Preisentwicklung
o In Zähler und Nenner identische Preise Mengenindex nach Laspeyres: Festlegung auf historische Preise in
Zähler und Nenner Preise festhalten
Mengenindex nach Paasche: Festlegung auf aktuelle Preise in Zåhler und Nenner
Probleme bei Anwendung und Interpretation von Preisindizes
Paasche:+ laufende Erfassung eines aktuellen Warenkorbs - für diesen existieren aber eventuell keine historischen Preise (moderne Smartphones vor 5 Jahren?) - laufende Aktualisierung ist teuer
Bsp.: Basisjahr 1995, aktueller Warenkorb enthält NavisErkenntnis: Basisjahr darf nicht zu weit zurück liegen
Laspeyres:+ Betrachtung eines konstanten Warenkorbs ist preisgünstig und „machbar“- dieser spiegelt aber eventuell veränderte Konsumgewohnheiten nicht wieder
Bsp.: Warenkorb eines Basisjahres 1995 enthalte bestimmte Menge an RindfleischErkenntnis: aktuelle Konsumgewohnheiten weichen nach BSE-Skandals davon ab
Substitutionseffekt: Preissteigerungen führen zu Substitution eines zu teuer werdenden Gutes durch ein billigeres Produkt
o Bsp.: Teurer werdende Butter des Warenkorbs eines Basisjahrs werde durch billige Margarine ersetzt Preissteigerung oft überzeichnet, weil aktuelle Konsumgewohnheiten nicht ausreichend berücksichtigt werden
Effekteo Laspeyres: teures Produkt bleibt im Warenkorb, da historischer
Warenkorb gewollt Überschätzung des Preiseffekts, da Konsument das teure Gute vermeidet und seinen „wahren“ Warenkorb der Preisentwicklung anpasst
o Paasche: zu vergleichender Warenkorb repräsentiert aktuelle Konsumgewohnheiten (z.B. Trend zu Margarine, wenn Butter zu teuer erscheint) Unterschätzung der Preisentwicklung früherer Perioden (da im Warenkorb der teure Butterkonsum früherer Jahre weniger gewichtet wird als er in den Jahren tatsächlich war)
Veränderung der Qualität der Produkte nicht erfasst: Gut PC im Jahr 2012 nicht vergleichbar mit Gut PC 1995 (Technik generell) Preisindizes der Lebenshaltung des Statistischen Bundesamtes würden potentiell zu hohe Inflationsraten ausweisen, wenn man Qualitätsverbesserungen nicht berücksichtigen würde
o Ausweg: Berechnung hedonischer Preisindizeso Hedonische Methoden: spezielle Verfahren der
Qualitätsbereinigung. Ermitteln mithilfe der Regressionsanalyse den Einfluss von Produktmerkmalen auf Verkaufspreis. Dadurch diejenigen Preisänderungen, die auf qualitative Veränderungen bestimmter Eigenschaften beruhen, von den eigentlich zu messenden, „reinen“ Preisänderungen rechnerisch trennen und eliminieren.
Umbasierung
Verknüpfung
3.2.2. Wachstumsraten
Zuwachs: ∆ x t=x1−x t−1 t=1 ,…,n Wachstumsrate: r1=∆ x t/ x t−1
o (Veränderung relativ zum Niveau der Vorperiode)o Interpretation: Renditen, Verzinsung, etc.o Näherung bei kleinen Zuwächsen (~10%): rt≈ ln (x1 )−ln (x t−1)
Wachstumsfaktor: q t=x tx t−1
=1+r t t=1 ,…,n
o Eigenschaft: x0 ∙ q1 ∙ q2 ∙…∙qn=xn
bzw .x0 ∙ (1+r 1) ∙ (1+r2 ) ∙…∙ (1+rn )=xn
Mittlerer Wachstumsfaktor: Mittlere Wachstumsrate:
3.3. Bivariate Häufigkeitsverteilungen
3.4. Streudiagramm und Korrelation
StreudiagrammGesucht: Maßzahl für den linearen Zusammenhang zwischen zwei metrischen Merkmalen X und Y
Wertepaare (x1, y1), ..., in einem zweidimensionalen Koordinatensystem
Empirische Kovarianz
(vgl. mittlere quadratische Abweichung: Spezialfall der Kovarianz, wenn x=y)
dxy > 0 : Punkte überwiegend in II. & IV. Quadranten dxy < 0 : Punkte überwiegend in I & III dxy = 0 : Anzahl der pos. Summanden = Anzahl der neg. Summanden
ungefähr, gleiche Verteilung über die QuadrantenEigenschaften
Verschiebungssatz: Lineartransformation:
(vgl. Herleitung Aufzeichnungen!)
Korrelationskoeffizient
r xy=dxy
√dx2 ∙d y2
Eigenschaften −1≤r xy≤+1 (Koeffizient befindet sich auf Intervall [-1;1] r xy=r yx (Symmetrie) stellt Zusammenhang her zwischen X und Y hohe Korrelation: Punkte nah um Regressionsgeraden herum Verschiebung von X und Y um Konstanten haben auf Korrelation kein
Einfluss:o r xy=r(X +a)(Y + b)
Korrelation bleibt von Multiplikation mit Konstanten unberührto r xy=r(aX )(bY )
FOLGERUNG: Normierung, Standardisierung keinen Einfluss auf Höhe der Korrelation!
o z.B.:
Scheinkorrelation: Korrelation KEIN kausauler Zusammenhang! Korrelation kann keine Kausalität zwischen zwei Größen herstellen!
3.5. Lineare Regression
Konstruktion einer Geraden y=a+bx, welche an die n Wertepaare (x1,y1),..., (xn,yn) angepasst ist
Anpassung mithilfe der Methode der kleinsten Quadarate (KQ-Methode):
o Abstandsfunktion ∑i=1
n
¿¿ = Summe der quadrierten Abweichungen
der Punkte (xi, yi) von der Geraden y=a+bxo Berechnung der Parameter (minimieren Abstände)o Wahl der Regressionsgeraden
Eigenschaften
Residuen: unerklärte Restterme
Bestimmtheitsmaß(wie gut passt die Regressionsgeraden zu den Punkten? Bei guter Passung großes R)
(mittlere quadratische Abweichungen)
Eigenschaften:
4.1. Zufallsvorgang und Ereignisse
Ein Zufallsvorgang führt zu einem von mehreren, sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen
Vor der Durchführung ist ungewiss, welches Ergebnis tatsächlich eintreten wird
Von einem Zufallsexperiment spricht man, wenn der Vorgang unter gleichen Randbedingungen wiederholbar ist
Ergebnismenge Ω=(ω1 ,ω2 ,…): Menge aller möglichen Ergebnisse ωi eines Zufallsvorgangs
Ereignis: Teilmenge von Omega Elementarereignis: spezielle Teilmenge, Ereignis der Form (wi)
4.2. Verknüpfung von Mengen
4.3. Wahrscheinlichkeiten
Laplace:
4.4. Bedingte Wahrscheinlichkeit
genau umgekehrte totale WSLKT umdrehbar solange Satz der totalen WSLKT gilt
4.5. Unabhängigkeit zweier Ereignisse
5.1. Zufallsvariablen & Verteilungen: Grundbegriffe
Zufallsvariable: Abbildung X: Ω R Ereignis „X nimmt Wert x an“: {X=x }={ω∈Ω /X (ω)=x }, x∈ R Ereignis „X nimmt den Wert kleiner oder gleich x an“:
{X=x }={ω∈Ω /X (ω)≤x }, x∈ R
Verteilungsfunktion: F(x) = P(X ≤ x)
5.2. Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariable X: nimmt nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte {a1,..} an.
5.3. Stetige Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariable X: Verteilungsfunktion F hat die Darstellung
F ( x )=P (X ≤ x )=∫−∞
x
f (a )da mit einer integrierbaren und nichtnegativen Funktion
f.
5.4. Bivariate Zufallsvariablen 2 diskrete Zufallsvariablen X und Y mit nach Größe sortierten
Ausprägungen:o X∈ {a1 ,…,ak }Y ∈{b1 ,…,bk}
gemeinsame WSLKTo pij = P (X = aij, Y = bij) i=1,..,k j=1,...,l
Randwahrscheinlichkeiten
5.5. Unabhängige Zufallsvariablen
5.6. Theoretische Maße
Erwartungswert Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X
o E (X )=µx=∑j=1
k
a j ∙P (X=a j)
o Im Fall eines abzählbar unendlichen Wertebereichs ist k= ∞)
Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable X mit Dichte f:
o E (X )=∫−∞
+∞
a ∙ f (a )da
Eigenschaften des Erwartungswerts (gelten für beliebige Zufallsvariablen X,Y):
o Y = a+bX E(Y) = a + b E(X) (Lineartransformation)o Z = X+Y E(Z) = E(X) + E(Y)
Quantil (Prozentpunkt) einer stetigen Zufallsvariable Xp ist Lösung der Gleichung:
o F (x p )=∫−∞
xp
f (a )da=p ( für0< p<1)
Sonderfall p=0,5: x0,5 heißt Median
6.1. Diskrete Verteilungen
Diskrete Gleichverteilung (Laplace Verteilung) auf {1,2,...,k} (k aus N)o X ~ DG(k)o Wertebereich von X: {1,2,...,k}
o P(X=x)=1k, x=1,2 ,…k
o E(X )=12(k+1)
o Var (X)= 112
(k2−1)
Bernoulli-Verteilung: X~ Be(p), p element (0,1)o Wertebereich von X: {0,1}o P(X=0) = 1 – p P(X=1) = po E(X) = p Var (X) = p (1-p)
Binomialverteilung: X ~ Bi(n,p), n element N, p element (0,1)o Wertbereich von X: {0,1,2,...,n}
oo p < 0,5 rechtsschiefo p > 0,5 linksschief
Bemerkungen:i. n Versuche werden unabhängig voneinander durchgeführt
ii. Der i-te Versuch wird durch eine Zufallsvariable Xi mit Xi ~ Be(p) beschrieben, 1≤i ≤n
a. Interpretation Xi=1 bedeutet „Erfolg“, Xi=0 Misserfolg, wobei P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p
iii. X=∑i=1
n
X i gibt Gesamtzahl der Erfolge an
a. Spezialfall: n=1: Bi(1,p)=Be(p)iv. Zur Berechnung der WSLKT P(X=x)
Geometrische Verteilung : X ~ Ge(p), 0<p<1o Wertebereich von X: {0,1,2,3,...}o P(X=x)=(1−p)x ∙ p x=0,1,2 ,…
o E(X )=1−pp
o Var (X)=1−p
p2
Bemerkungen:i. Ein Versuch hat mit WSLKT p den Ausgang Erfolg und mit
WSLKT 1-p Ausgang Misserfolgii. Versuch so lange wiederholt, bis erstmalig Erfolg
iii. Zufallsvariable X gibt Anzahl der beobachteten Misserfolge an
iv. Zur Berechnung der WSLKT P(X=x)a. P(X=x)=(1−p)x p
6.2. Stetige Verteilung
Stetige Gleichverteilung auf [a,b]:
Exponentialverteilung: X~Ex( ), >0λ λ
Doppelexponentialverteilung: X~De( ), >0λ λ
6.3. Normalverteilung
Normalverteilung (Gaußverteilung): X N (µ ,σ 2 ) , µϵ R ,σ 2>0
Standardnormalverteilung: Z~N(0,1)
6.4. Bivariate Normalverteilung
X und Y zwei normale ZV: X N (μx , σ x2 ) , Y N (μ y ,σ y
2)
Korreliert mit ρ=Cov (X ,Y )
σ xσ y
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsaussagen:
P (X ≤a ,Y ≤b )=∫−∞
a
∫−∞
b
f ( x , y )dydx , f :R2→¿
Bivariat normalverteilt, wenn Dichte folgende Gestalt:
7. Summen und Mittel von Stichprobenvariablen
7.1. Unabhängig und identisch verteilte Stichproben
Zufallsstichprobe: n unabhängige & identisch verteilte ZV X1, X2, ..., Xn
„i.i.d.“: alle besitzen gleichen Erwartungswert & gleiche Varianz
Auftreten einer Zufallsstichprobe: WSLKT der Ziehung eines Stichprobenelements kein Einfluss auf
WSLKT der Ziehung eines beliebigen anderen Stichprobenelements
Realisierbarkeita) Stichprobe mit Zurücklegen (klassisch Lotto, Bernoulli)„Urnnenmodell“; ohne Zurücklegen: 1. Ziehung: 1/n, 2. Ziehung 1/(n-1) gegenseitige Beeinflussung
b) Versuchsreihe: n-malige Durchführung eines Zufallsexperiments (z.B. Wüfel)
c) (Unendlich) Große GrundgesamtheitZiehung endliche Zahl n von Beobachtungen faktisch kein Einfluss auf Ziehungswahrscheinlichkeit (z.B. Zufallsstichprobe aus Bevölkerung)
Eigenschaften:i. E(X i)=μ→E ¿
ii. Var (X i)=σ2→Var ¿
iii. Verallgemeinerung: ohne Annahme identischer Verteilungen gilt bei Unabhängigkeit
E ¿
Varianz der Summe nur identisch mit Summe der Varianzen, wenn stochastische U
7.2. Arithmetisches Mittel und Gesetz der großen Zahlen
Arithmetisches Mittel: X=1n∑i=1
n
X i
Eigenschaften
i. E(X )=1n∙n ∙ μ=μ
ii. Var (X)= 1n2∙n ∙ σ2=σ 2
n,σ X=
σ√n
iii. limn→∞
E(X)=μ limn→∞
Var (X )=0
MSE-Konsistenz/Gesetz der großen Zahlen! (1-Punkt-Verteilung)
iv.
X i N (μ ,σ2) ,i=1,2 ,…,n→X N (μ , σ2
n)bzw .Z= X−μ
σ√n
N (0,1)
7.3. Asymptotische (approximative) Normalverteilung
Zentraler GrenzwertX1, X2, ..., Xn unabh, & identisch verteilte ZV mit E(X i)=μ ,Var (X i)=σ
2>0
dann: Zn=
∑i=1
n
X i−nμ
√n ∙σ für große Werte von n näherungsweise
standardnormalverteilt
Bezeichnung: Zn asymptotisch (approximativ) normalverteilt;
Schreibweise:
FAUSTREGEL „ANWENDUNG NORMALVERTEILUNG“: n>30
Approximative Berechnung von Binominialwahrscheinlichkeiten II (Sonderfall des ZGS)
X Bi(n , p) , X=∑i=1
n
X imit i . d . d .Variablen X i Be( p)
sowie P(X≤ y )≈Φ ( y−np√np (1−p)
) f ü r alle yϵ R
Verbesserung Approximationsgenauigkeit durch Stetigkeitskorrektur
P(X≤ y )≈Φ ( y+0,5−np
√np(1−p) ) , f ü r alle yϵ R Faustregel für Praxis: IMMER ANWEDEN!
8.1. Schätzfunktion
8.2. Eigenschaften von Schätzfunktion
Gegeb.: Stichprobenvariablen X1, X2, ..., Xn
SchätzfunktionFunktion g(X1, X2, ..., Xn) der Variablen X1, X2, ..., Xn mit g :Rn→R
Ziel: Schätzung eines unbekannten Parameters θ Alternative Schreibweise für g(X1, ..., Xn): θ̂(X1 ,…, X n)oder θ̂ Bei gegebener Realisierung x1, x2, ..., xn der Stichprobenvariablen dient
θ̂(X1 ,…, X n) als konkreter Schätzwert für θ̂