Stringtheorie – Elliptische Funktionen Sabine Pallas Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik Elliptische Funktionen Bayrischzell, 07.03.2005

Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas

Seminar Seminar Stringtheorie und Geometrische Stringtheorie und Geometrische

Methoden der PhysikMethoden der Physik

Elliptische FunktionenElliptische Funktionen

Bayrischzell, 07.03.2005 – 11.03.2005Bayrischzell, 07.03.2005 – 11.03.2005


GliederungGliederung

1.1.EinführungEinführung

2.2.Elliptische FunktionenElliptische Funktionen

3.3.Die Weierstrass‘sche -FunktionDie Weierstrass‘sche -Funktion


EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen

Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion

Ausgangspunkt: Ausgangspunkt: Elliptische IntegraleElliptische Integrale

Berechnung der Länge von Berechnung der Länge von EllipsenbögenEllipsenbögen

Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, G.C. FagnanoG.C. Fagnano):):

x

t

dtxE

041

:)(

Abel: Abel: UmkehrfunktionUmkehrfunktion f ist meromorph fortsetzbar in ganz mit f ist meromorph fortsetzbar in ganz mitCC

Offensichtlicher Offensichtlicher reeller Periodereeller Periode

Verborgener Verborgener komplexer Periodekomplexer Periode

Doppelt Doppelt periodisch!periodisch!




Neuer Zugang zu elliptischen Integralen:Neuer Zugang zu elliptischen Integralen:

Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableitenableiten

Weierstrass (1862/1863):Weierstrass (1862/1863):

Vorlesung mit rein Vorlesung mit rein funktionentheoretischerfunktionentheoretischer Einführung in die Einführung in die Theorie der elliptischen FunktionenTheorie der elliptischen Funktionen

Ausgangspunkt: Ausgangspunkt: -Funktion-Funktion (spezielle elliptische Funktion) (spezielle elliptische Funktion)

• Genügt DifferentialgleichungGenügt Differentialgleichung

• Jede elliptische Funktion Jede elliptische Funktion darstellbar als rationale Funktion darstellbar als rationale Funktion in und in und '


Elliptische FunktionenElliptische Funktionen

Elliptische Elliptische FunktionenFunktionen




Definition:Definition: Eine Teilmenge L Eine Teilmenge L сс heißt heißt GitterGitter, wenn es zwei R-, wenn es zwei R-linear unabhängige „Vektoren“ linear unabhängige „Vektoren“ ωω11 und und ωω22 in gibt, so dass gilt: in gibt, so dass gilt:

CCCC

nmnmL , ;2121

ReRe

ImIm

ωω11

ωω22

ωω11++ωω22

--ωω11

--ωω22




CCCf :

CzLzfzf und für )()(

Definition:Definition: Eine Eine elliptische Funktion elliptische Funktion zum Gitter L ist eine zum Gitter L ist eine meromorphe Funktionmeromorphe Funktion

mit der Eigenschaftmit der Eigenschaft

• Bezeichnung: doppelt periodischBezeichnung: doppelt periodisch

• Mengen der Null- und Polstellen sind selbst „periodisch“: Mengen der Null- und Polstellen sind selbst „periodisch“:

MaMa




ReRe

ImIm

ωω11

ωω22

ωω11++ωω22

Der PeriodentorusDer Periodentorus

Gesamte Information über Gesamte Information über eine elliptische Funktion ist eine elliptische Funktion ist in der „Grundmasche“ in der „Grundmasche“ codiertcodiert

1,0 ; 212211 ttttzF

Geometrisches Modell:Geometrisches Modell:

ωω11

ωω22

ωω11++ωω22

00

aa

aa

bbbb aa

bbbb

aa

bb




a

afordfOrd );()(

Definition:Definition: Die Die Ordnung Ordnung einer elliptischen Funktion ist die Anzahl einer elliptischen Funktion ist die Anzahl aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt wird, wie seine Vielfachheit angibtwird, wie seine Vielfachheit angibt

Dabei:Dabei: );( naford f hat in a einen Pol der Vielfachheit nf hat in a einen Pol der Vielfachheit n

Satz:Satz: Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1 Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1


Die Weierstrass‘sche -FunktionDie Weierstrass‘sche -Funktion

Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - -Funktion - -Funktion




Gesucht: Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen FunktionFunktion

Ord(f) = 1Ord(f) = 1 Ord(f)= 2Ord(f)= 2

Einen Pol 2. Einen Pol 2. OrdnungOrdnung

Zwei Pole Zwei Pole 1.Ordnung1.Ordnung

Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt!in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt!

Folgerung: Folgerung: Auch jeder andere Pol muss dann Auch jeder andere Pol muss dann Gitterpunkt sein!Gitterpunkt sein!

a

afordfOrd );()(




Lz

2)(1

Denkbarer Ansatz: Denkbarer Ansatz:

2222

11

)(

1

nmnimz

Problem: Problem: Keine absolute Konvergenz!Keine absolute Konvergenz!

Beweis:Beweis: Für Für z=0, L=Z+Ziz=0, L=Z+Zi, gilt für , gilt für ωω=m+ni=m+ni::

1. Hilfssatz:1. Hilfssatz: Die Reihe Die Reihe

konvergiert dann und nur dann, wenn konvergiert dann und nur dann, wenn > 1 ist> 1 ist

)0,0(),(),(

22 ,

)(

1

nmZZnm

Rnm




3. Hilfssatz:3. Hilfssatz: Sei M Sei M сс L\ L\{0} eine Menge von {0} eine Menge von Gitterpunkten. Die ReiheGitterpunkten. Die Reihe

konvergiert in C\M normal und stellt dort eine konvergiert in C\M normal und stellt dort eine analytische Funktion dar.analytische Funktion dar.

Mz

221

)(1

2. Hilfssatz:2. Hilfssatz: Sei L Sei L сс C ein Gitter. Die Reihe C ein Gitter. Die Reihe

konvergiert für s>2.konvergiert für s>2.

s

L

}0\{

Idee (Weierstrass):Idee (Weierstrass):

Einführung von konvergenzerzeugenden SummandenEinführung von konvergenzerzeugenden Summanden




definierte Funktion heißt definierte Funktion heißt Weierstrass‘sche -Funktion Weierstrass‘sche -Funktion zum zum Gitter LGitter L

Definition (K.Weierstrass 1862/63):Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch Die durch

Lzz

Lzzz

zLzL

für )(

für 1

)(

11)();(

}0\{222

Abbildung:Abbildung:

Die Weierstrass‘sche Die Weierstrass‘sche -Funktion und ihre -Funktion und ihre

AbleitungAbleitung




Satz:Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L

• In ganz C meromorphIn ganz C meromorph

• Pole zweiter Ordnung in den GitterpunktenPole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten

• Außerhalb von L analytischAußerhalb von L analytisch

• Gerade, alsoGerade, also

• Laurententwicklung um zLaurententwicklung um z00=0: =0:

)()( zz

...)( 44

22

12 zazazz




Satz:Satz: Charakterisierung der -Funktion Charakterisierung der -Funktion

Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2Funktion der Ordnung 2

Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3Ordnung 3

L z

z 3)(

12)(' Ungerade: Ungerade: )(')(' zz




Satz:Satz: Nullstellen von : Nullstellen von :

Ein Punkt a Ein Punkt a ЄЄ C ist genau dann eine Nullstelle von , falls gilt: C ist genau dann eine Nullstelle von , falls gilt:

Es gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/LEs gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/L

''

LaLa 2 ,

'Nullstellen von :Nullstellen von :2

,2

,2

2121

Halbwerte der -Funktion:Halbwerte der -Funktion:

2 ,

2: ,

2: 21

32

21

1

eee


Aussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches IntegralAussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches Integral

Theorie der elliptischen Integrale „mitgeliefert“Theorie der elliptischen Integrale „mitgeliefert“



Herleitung der Differentialgleichung für die -FunktionHerleitung der Differentialgleichung für die -Funktion

Erinnerung: Laurentreihe der -FunktionErinnerung: Laurentreihe der -Funktion

0mit 1

...1

)(0

222

44

222

o

n

nn aza

zzaza

zz

Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel: Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel:

)!2(

)0( ,

1)(:)(

)2(

20

222 n

faza

zzzf

n

nn

nn




Induktion nach n liefert für n>1: Induktion nach n liefert für n>1:

}0\{2

)()(

)(

1)!1()1()(

Ln

nn

znzf

Und damit: Und damit:

}0\{)1(2

)2(

2

1

)!2(

)!12(

)!2(

)0(

Ln

n

n n

n

n

fa

L z

z 3)(

12)('

2

1)(:)(z

zzf




n

n Ln

n

nn zn

zza

zz 2

1 }0\{)1(22

0

222

1)12(

11)(

Satz:Satz: Die Reihe Die Reihe

konvergiert absolut, und es gilt:konvergiert absolut, und es gilt:

3, ,}0\{

nNnGL

nn

nn

n

zGnz

z 2)1(2

12

)12(1

)(

Eisenstein-Eisenstein-reihenreihen




Zurück zur Differentialgleichung für die -FunktionZurück zur Differentialgleichung für die -Funktion

Ziel: Stelle als Polynom in darZiel: Stelle als Polynom in dar

2)(' z

...53)( 46

24

2 zGzGzz

...106)( 264

42 zGGzz

...159)( 62

463 GzGzz

...2062)(' 364

3 zGzGzz

...80244)(' 62

462 GzGzz




...14060)(4)(' 62

432 GzGzz

...140)(60)(4)(' 6432 GzGzz

)(60 4 zG

Elliptische Funktion ohne PoleElliptische Funktion ohne Pole

Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in diesem Fall -140Gdiesem Fall -140G66 sein. sein.




Theorem: Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -FunktionAlgebraische Differentialgleichung der -Funktion

}0\{

663

}0\{

442

3232

140140

6060g

mit

)()(4)('

L

L

Gg

G

gzgzz




Vielen Dank für die Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Aufmerksamkeit!

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