Theorieteil + d er PEST Editor im Programmsystem Feflow Theorieteil + d er PEST Editor im Programmsystem

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  • Lsungsweg zu Aufgabe 7Lsungsweg zu Aufgabe 7

    Theorieteil + dTheorieteil + der PEST Editor imProgrammsystem Feflow

    Aufbau und Kalibrierung eines

    Strmungsmodells fr den stationren FallEine kurze Einfhrung in die PEST-Menustruktur als Begleit-PPPrsentation fr Lsungsweg Aufgabe 7

    Modellierung von Hydrosystemen II WS 2003/04

  • Modellierung von Hydrosystemen II WS 2003/04

    Zu Aufgabe 7Feflow-Anwender wird mit der ber den IFM implementierten Parameterschtzer PEST die Lsung von inversen, grundwasserhydrologischen Problemen ermglicht bzw. erleichtert. Das PEST-Modul benutzt die Indirekte Methode, bei der eine Zielfunktion minimiert wird. Die Minimierung erfolgt mit einem Gradientenverfahren nach Levenberg-Marquardt durch iterative Vernderungen der Modellparameter. Die Zielfunktion enthlt die Summe der gewichteten Fehlerquadrate von den mit Feflow berechneten und den im Felde gemessenen Zustands-variablen. Eine typische Anwendung ist die Parameterschtzunghydraulische Leitfhigkeit mit PEST aus gemessenen Zustands-variablen, den gemessenen Grundwasserstnden inBeobachtungsbrunnen (Kaiser 1998, Doherty et al. 1994). Dem zeit-variierenden Parameter wird ein Startwert vorgegeben, von dem ausdie Parameter mit Hilfe eines speziellen Algorithmus so lange variiert werden, bis ein Minimum im n-dimensionalen Parameterraum gefunden ist.

  • http://www.sspa.com/PEST/example.html

    Anwendungsbeispiel fr eine

    nichtlineare Parameter-

    schtzung im Zuge der

    Kalibrierung eines Grund-

    wasserstrmungsmodells

    mit Neubildung.

  • PEST [Parameter ESTimator]: Model-Independent Parameter Estimation

    Entwickelt von DohertyDoherty, J. et. al. (1994): PEST - Model Independent Parameter Estimation.-Watermark Computing, Corinda, AustraliaDoherty, J. (1998): PEST User Manual

    Methodik des nichtlinearen Parameterschtzers:

    PEST benutzt die Indirekte Methode, bei der eine Zielfunktion minimiert wird.Diese Funktion enthlt die Summe der gewichteten Fehlerquadratevon berechneten und gemessenen Zustandsvariablen. Das PEST-Modulassistiert bei der Dateninterpretation und der Modellkalibrierung.

    Die Minimierung erfolgt mit einem Gradientenverfahren nach Levenberg-Maequardt durch iterative Vernderung der Modellparameter

  • Das Inverse Problem wird mit der Indirekten Methode (IM) gelst,

    wobei die IM auf die Interpretation der Modellgleichung zurckgreift.

    Die Strmungsdifferentialgleichung z.B. wird dabei fr die Piezometerhhe

    als abhngige Zustandsvariable gelst. Allgemein prft man, wie das Modell-

    verhalten vom beobachteten Systemverhalten abweicht.

    Ein Ergebnisfehlerkriterium quantifiziert die Gre der Abweichung (Summe der

    gewichteten Fehlerquadrate).

    Modell kalibriert, wenn durch iteratives Lsen der Modellgleichungen mit vernderten

    Parametern die Zielfunktion ihr Minimum erreicht hat.

    Mit der Maximum Likelihood-Methode wird der optimale Parametersatz durch

    Maximierung der Wahrscheinlichkeitsdichte der Zielfunktion gefunden (weitere

    Erluterungen: Niedermeyer 1998, Kuhlmann 1994)

  • Merke:

    Als Minimierungsalgorithmen verwendet PEST ein Derivat aus der Klasse der

    Gradientenverfahren:

    Gau-Newton Algorithmus mit Modifikationen von

    Levenberg 1944 & Marquardt 1963

  • Der PEST-Algorithmus (mathematische Grundlagen)(weitere Informationen im User Manual von Doherty (1994) ;hier in Anlehnung an Kaiser (1998):

    Modellform fr das Direkte Problem:

    Bei nichtlinearen Problemen ist die Parameterschtzung/-optimierung ein iterativer Prozesse. Zur Lsungdes Inversen Problems werden die Parameter variiert, bis die Zielfunktion minimal wird. Die N x N Gewichtsmatrix Q ist diagonal und die Residuen werden aus der Differenz zwischen berechneten und gemessenen Zustnden gebildet:

    ( )pMo =

    N Zustandsvariablen

    M Modellparameter

    rQr t=

    Zielfunktion Residuen

  • Linearisierung mittels Taylor-Entwicklung (Parameternderungsvektorund Jacobi-Matrix).

    Im Gau-Newton-Verfahren ist die neue Suchrichtung des k-ten Iterations-

    schrittes (mit der Normalmatrix N): . Fr ein lineares Modell ist das

    Inverse Problem damit schon gelst. Die Nichtlinearitt erfordert die iterative Anwendung, umdie Zielfunktion zu minimieren!

    Im Gradienten Verfahren wird die neue Suchrichtung aus dem steilsten Anstieg der

    Zielfunktion bestimmt:

    ( ) rQJtp t1N

    QJJ

    =

    rQ2Jg t

    ==

  • Das Levenberg-Marquardt-Verfahren ist eine Kombination aus beiden.

    Um eine optimale Wirkung zu erzielen, bildet man:

    mit (Marquardt Parameter: 0 < ). Der Marquardt Parameter dreht den Suchvektor aus der Gau-Newton-Richtung in die Richtung des steilsten Abstiegs. Fr = 0 erhlt man das reine Gau-Newton-Verfahren und fr das Gradienten-Verfahren.

    PEST benutzt eine vorteilhafte numerische Konditionierung der o.g. Gleichung, die mit der N x N Matrix S skaliert wird. Sie enthlt nur Diagonalelemente.Damit wird in PEST das folgende Gleichungssystem mit den Diagonalelementen Aii = 1

    und den Nichtdiagonalelementen Aii < 1 gelst:

    Der Levenberg-Marquardt-Parameter ist durch das grte Element gegeben:

    ( ) rQJIQJJp t1t +=

    ( )[ ] ( ) rQJSSSQJSJSpS t1A

    tt1

    +=

    ( )iitSSmax

  • In einem Iterationsschritt k wird zunchst das Gleichungssystem freinige Levenberg-Marquardts gelst und die Wirkung auf die Ziel-Funktion getestet.Mit der gnstigsten Suchrichtung wird ein neuer Parametervektor fr den nchsten Iterations-

    schritt k+1 gebildet: . Dabei ist ein passend gewhlter Dmpfungsfaktor,

    Um das berschieen des Minimums zu verhindern.Der bergang von k-ten zum k+1-ten Schritt bildet den Kern des Minimierungsalgorithmus.

    Ablauf einer PEST-Optimierung in drei Einheiten:1. Initialisierung: Rechenlauf mit den Startparametern, berechnet Startwert der Zielfunktion.

    2. Jacobi-Schleife: Aufbau der Jacobi-Matrix J mit mindestens M Rechenlufen, pro Lauf wird

    die nderung aller Zustandsvariablen in Abhngigkeit von einem Parameter berechnet.

    3. Marquardt-Iteration: 3.1 berechnet 0 mit 03.2 berechnet 1 mit 0 = 0; 0 < < 13.3 wiederholt Schritt 3.2 bis ein Abbruchkriterium der Marquardt-Iteration

    erfllt ist

    3.4 testet mit dem neuen Parametervektor die Abbruchkriterien der

    gesamten Optimierung, beendet ggf. die Optimierung und geht zu 3.5

    3.5 startet neuen Optimierungsschritt und geht zu 2.

    kk1k ppp

    +=+

  • Parameter 2

    Parameter 1

    Parameter Startwert

    Isolinien der Zielfunktion im Zwei-Parameter-Raum

    Auffinden des Minimumsbei einer erfolgreichenOptimierung.

    Diagramm zeigt, wie derimplementierte Minimierungs-algorithmus bei einer erfolg-reichen Optimierung zumMinimum der Zielfunktionfhrt!

    knowledge constrains

  • 33rdrd Kind Boundary Condition (Cauchy Type)Kind Boundary Condition (Cauchy Type)

    h

    d

    3

    infiltrating

    4 hd 3

    e xfil trati ng

    4

    h)(hq ref =

    d

    k f

    AqQ =Aq2Q =

    href: reference hydraulic head at the bc

    : transfer rate (material condition)

    at a model border

    inside the model domain

  • 33rdrd Kind Boundary Condition (Cauchy Type) riverKind Boundary Condition (Cauchy Type) river--groundwater groundwater system (flow only)system (flow only)

    1.1. Eingabe der Flusswasserstnde zur Definition der PotentialverhlEingabe der Flusswasserstnde zur Definition der Potentialverhltnisse. Dietnisse. DieGrundwasserstnde werden als Anfangsbedingung eingegeben bGrundwasserstnde werden als Anfangsbedingung eingegeben bzw. whrendzw. whrendder Strmungssimulation ermittelt.der Strmungssimulation ermittelt.Vorgehen:Vorgehen:Flow Data Flow Data --> Flow boundaries > Flow boundaries --> Transfer (3> Transfer (3rdrd Kind) Kind) --> Werte fr Wasserstnde > Werte fr Wasserstnde eingeben in mNN.eingeben in mNN.

    2.2. Leakage Koeffizient eingeben.Leakage Koeffizient eingeben.Vorgehen:Vorgehen:Flow Data Flow Data --> Flow materials > Flow materials --> Transfer rate in/out > Transfer rate in/out --> Wert fr Leakage > Wert fr Leakage Koeffizient eingeben in 1.00EKoeffizient eingeben in 1.00E--4 d4 d--11 (Wert setzt sich zusammen aus Durch(Wert setzt sich zusammen aus Durch--lssigkeit und Mchtigkeit der Kolmationsschicht). lssigkeit und Mchtigkeit der Kolmationsschicht). Wichtig:Wichtig: Transfer rate (ExfiltrationsTransfer rate (Exfiltrations--/Infiltrationsrate) ist richtungsabhngig/Infiltrationsrate) ist richtungsabhngig

    unterschiedlich, so dass Grundwasserexfiltrationsunterschiedlich, so dass Grundwasserexfiltrations-- Uferfiltrationsrate!Uferfiltrationsrate!

    3.3. Die Parametrisierung der Kolmationsschicht ist kompliziert (SediDie Parametrisierung der Kolmationsschicht ist kompliziert (Sedimentproben)!mentproben)!Eingehende Beschreibungen der vielen Aspekte der KolmationsentstEingehende Beschreibungen der vielen Aspekte der Kolmationsentstehungehungknnen bei Geldner (1981), Schlchli (1993) und Blaschke (2002) knnen bei Geldner (1981), Schlchli (1993) und Blaschke (2002) entent--nommen werden. In einem Flusslauf wechseln sich Exfiltrationsnommen werden. In einem Flusslauf wechseln sich Exfiltrations-- und und Infiltrationsgebiete hufig ab.Infiltrationsgebiete hufig ab.

  • PEST - Supporting Sites and Related Links

    Environmental Modeling Systems, Inc. (EMS-I) provides software, support, training, a and consulting servicesfor water resources modeling using the Groundwater Modeling System (GMS), Surface-water Modeling System(SMS), and Watershed Modeling System (WMS) software. These