Band 16, Heft 4 August 1936 c 0 11 a t z , Uber das Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen 239

Uber das Differenzenverfahren bei Anfangswertproblemen partieller Differentialgleichungen.

Von L. Collatz in Karlsruhe. rotz der Erfolge, die das Differenzenverfahren bei Randwertproblemen elli ptisclier Differential- T gleichungen zu verzeichnen hat, ist es bisher nur wenig zur Behandlung von Anfangs-

wertproblemen partieller Differentialgleichungen verwendet worden. Der Grund hierfiir liegt wohl an einer namentlich bei Auftreten hoherer partieller

Ableitungen in der Differentialgleichung ungunstigen Fehlerfortpflanzung, die, wie das Beispiel einer Schwingungsdifferentialgleicliung vierter Ordnung in 1 zeigt, das Verfahren vollkommen unbrauclibar machen kann, wenn es in der ublichen Weise verwendet wird, indem die Differential- quotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die vorliegende Arbeit behandelt nun allgemein die Fehlerfortpflanzung und bringt insbesondere zwei neue Gesichtspunkte, die der Aufstellung yon ,,brauchbaren'L finiten Ausdriicken dienen sollen. Ein ausfuhrliches numerisches Heispiel in 6 zeigt, daB das Differenzenverfahren bei Verwendung der auf diese Weise gefundenen finiten Ausdrucke an Stelle der Differenzenquotienten zufriedenstellende Resultate liefert.

1. Beispiel, daa das Differenzenverfahren in der gewohnlich verwendeten Form unbrauchbar sein kannl). Es liege das Problein vor, die Differentialgleichung

d 4 f a ' f -+,=o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax4 d y

unter den vorgegebenen Randbedingungen

x f ix, 01 = sin 7 x - 2

im Gebiet 0 I: x I: 2 , 0 5 y zu losen'). Physikalisch kann man f ( x , g) als die Ausbiegung der Stelle x eines transversal schwingendcn Balkens der Lange 2 zur Zeit t(es ist t propor. tional y) deuten. Der Balken ist an beiden Enden eingespannt, zur Zeit t = g = 0 gemah der vorgegebenen ungefahr sinusformig aussehenden Funktion f (x , 0) ausgebogen und wird dann sich selbst uberlassen.

Wir gehen genau wie auch sonst beim gewohnlichen Differenzenverfahren vor, legen ein rechteckiges Gitter zugrunde, das aus den Schnittpunkten der Geraden

. . . . . . . . . x=1h1 y = x Z , ( t , x = O , I , F 2 . . . . ) (4)

besteht, und suchen Naherungswerte F,, wir iiblicherweise

fur die Funktionswerte f (1 h, x 1). Dazu ersetzen

Ft + 2 , x -4 Fl+ 1, x + 6 Fl, x -4 F1-1, x + F1-2, x h4 durch - a 4 f (1 h, x I )

a x4 (1) entspricht dann die Differenzengleichung

1) In den bisher bekannt gewordenen Fallen, in dene!~ die Losungen des Differenzenverfahrens nicht gegen die Losung des Differentialgleichungs-Problems konvergieren (vgl. die Arbeit vou R. C o u r a n t , K. F r i e d r i c h s und H. L e w y : ,,Uher die partiellen Differenzengleiohungen der mathematischen Physik", Math. Ann. 100 (1928), 32 his 74, mid L. C o l l a t I : ,,Das Differenzenverfahren mit hoherer Approximation fur lineare Differentialgleichungen", Schriften d. Math. Sem. u. d. Inst. f. ang. Math. Univ. Berlin, Bd. 3, 1 bis R4), l ag die Nichtkonvergenz stets daran, daI3 die Zeit-Maschenweite, d. h. die Maschenweite in Fortpflanzur~gsriehtnng, zu groB gewahlt war, so daB man schneller vorwiirtsging, als es dem Fortsohreiten der Charakteristiken entsprach. Bei Verkleinern dieser Maschrnweite t ra t wieder Konvergenz ein. I n dem vorliegenden Beispiel jedoch liegt das Versagen des Differenzenverfahrens nicht daran, daS die Zeit-Mascheuweite zu groD ist, sondern ist schon im Ersetzen der Differentialquotienten durch Differenzenquotienten begrunde t.

2) Die Differentialgleichung (1) ist wegen d4g __ (') - - 'y",",!?' -- = 0 auch in den beiden Endpunkten erhillt. d x4

Ztschr f aiigew C o 11 a t z , Uber das Diffcrenzenverfahren particller Diflerentialgleichungen M a t h . ;id Mech: - 240

a 2 f a f (3x2- d y Wir setzen nun, genau so wie man es bei der Warmeleitungsgleichung -- - 2 - zu tun pflegt 3, :

. . . . . . . . . . . . . . . . h2 = 1 (6).

Bei dem Ansatz (6) nimmt die Differenzengleichung (5) die Form an:

F,, x + i = - FL t 1 , x + F1 -t 1 , x - FL . x + 4 FL - 1, x - FL - 2, x - Ft, x - i . . . . . (7).

1 4 Wahlen wir als Maschenweite etwa h = - , so entspricht den Anfangsbedingnngen (2)

. . . . . . . . . . . . . . F,,,=O; F - 1 . x =F1,% (8)

(aus Symmetriegrunden konnen wir uns auf das Gebiet x 5 1 oder i entspricht :

4 beschranken) und (3)

. . . . . . . F , , , = g ( t * h ) = g (1) - , F,,,=F,,_, (L=ol1,2,3,4), (9).

Fur die erste Zeile (y = 1) besagt (7)

1 Ft, I = Pi, -1 = 3 (- FL+ 2 . o + F~ + I , o - FL, o -k 4 p6-1, a - FL- 2 ,o ) . , . . (1%

fur die weiteren Zeilen ergeben sich nach (7) die Zahlen des folgenden Schemas:

Nach dem gewohnlichen Diff erenzenverfahren berechnete Naherungswerte F , ,

0 1 2 3 4 5

0

0,125

0,25

~ 0,039071735 0,044652602 0,000257993 0,321214435

- 2,888846123 31,203006508

~

0,039071735 0,044652602 0,000257993 0,321214435

- 2,888846123 + 31,203006508

0,118058158 0,109863744 0,125533042

- 0,239579119 3,462780402

- 41,180005336

0,187t568754 0,176862238 0,134975166 0,324 199479

- 3,228868720 + 44,950525752

0,214601837 0,203013184 0,168515843

3,097603475 - 0,048341312

- 45,098583152

Schon an diesen wenigen Zahlen erkennt nian die vollige Unbra,uchbarkeit des Verfahrens in der hier angewandten Form, da derart springende Zalilen nicht als geeignete Ndierungen fur die Ausbiegungsfunktion angesehen werden konnen. Es wurde rnit so vielen Dezimal- stellen gerechnet, damit nicht etwa das Anwaclisen der Abrundungsfehler als Grund fur die Unbrauchbarkeit angesehen werden kann, sondern nur die Formel (7), nach der gerechnet wurde.

In 6 soll gezeigt werden, dab dasselbe Beispiel bei Verwendung ,,besserer" Formeln als (7) eine brauchbare Durchrechnung zulafit.

2. Allgemeinere Falle, in denen das bisher verwendete Differenzenverfahren unbrauchbar ist.

1. Die F , , x liaben dem Betrage nacli grofie Koeffizienten iin Vergleich zu dein Koeffizienten

2. ,,Benaclibarte" F,, x - Werte werden mit verscliiedenen Vorzeichen genommen.

Diese beiden Eigenschaften wirken zusammen dahin, dak die zu berechnende Grtibe F,, + , als Differenz groher Zahlen erscheint. Wie stark auf diese Weise ein vorhandener Fehler E

anwachsen kann, zeigt sich deutlich aus der folgenden Fehlertabelle, in der zur Illustration einmal angenomnien sei, es bestunde kein Verfahrenfehler und die Funktioriswerte F,,,, Ft, , seien alle bis auf einen einzigen Fa,l exakt richtig.

Die Forniel (7) hat folgende zwei ungunstigen Eigenschaften :

1 des Gliedes F l , + 1, das bereclinet werden soll.

3) R . C o u r a n t , K. F r i e d r i o h s , H. L e w y a. a. 0.1) S. 68.

24 1 Band 16, Heft 4 August 1936 c o 11 a t z , Uber das Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen

Fehler der F,,,-Werte

0 4 &

- 4 0 ~ 4966

- 6200 E

% = I x = 2

x = 3 x = 4

x = 5

0 0 - & 0 24 & - 8 E

- 3 3 7 ~ 172

&

- 4 E 19 &

- 560 E

6833 E

Bei den Zahlen der Tabelle in 1 ist nicht die Fortpflanzung der Abrnndungsfehler, sondern die der Verfahrenfehler entscheidend. Die Abrundungsfehler konnte man durch Mitschleppen einer zu Anfang grotien Stellenzahl klein halten, die Verfahrenfehler jedoch nur durch Ver- wendung besserer Forineln als (7).

Die gleichen Schwierigkeiten treten allgemein auf, wenn man Anfangswertprobleme bei partiellen Diff ererentialgleichungen hoherer Ordnung nach dem Differenzenverfahren in der Weise behandelt, da6 man Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt, z. B. :

und die so entstehende Differenzengleichung nach dem Gliede I?,, + auflost. (e ist an sich

willkiirlich, wird aber gewbhnlich gleich x oder [ x - ~ gesetzt.) Auch wenn nian die Differentialquotienten e i n z e 1 n durch hohere annahernde finite Ausdriicke ersetzt, also Z. B. :

bleiben dieselben Schwierigkeiten bestehen.

3. Zwei neue Gesichtspunkfe bei der Aulstellung finiier Ausdriicke. Zur Anfstellung brauchbarer finiter Ausdriicke stehen zwei Auswege zur Verfiigung.

A. Zur deutlicheren Fixierung der Vorstellung beschranken wir uns im folgenden auf lineare partielle Differentialgleichungen rn-ter Ordnung bei 2 unabhangigen Variablen x, y:

Es seien etwa auf der a-Achse die zur Eindeutigmachung von f (5, y) notigen Anfangsdaten vorgegeben, und es werden Naherungswerte F1,% der Losungsfunktion f (x, y) fur y > 0 gesucht. Man pflegte bisher bei Zugrundelegung des rechteckigen Gitters (4) finite Gleichungen zu (11)

,r cl, x F', x = t b , , xo . . . . . . . . . . . . . (12) L. x

aufzustellen, indem man

. . . . .

nach dem T a y 1 o r schen Satz nach f und den Ableitungen von f an der Stelle I , , xo entwickelte und die C , , so bestimmte, daB (13) mit L (f.,,.,) bis auf Glieder mdglichst hoher Ordnung ubereinstimmte. Die Ausdriicke (12) waren von der Form, dab ein C , , % mit dem grotiten x , etwa Ci, k auftrat, und (12) wurde benutzt, um B'i,k aus den FL,% mit x < k zu berechnen. Dabei wurde der Punkt I , , x , mbglichst in die Mitte des ,,Sternes" gelegt, der von den in (12) auftretenden (von 0 verschiedenen) C t , % gebildet wurde; war L(f) symmetrisch, so wurde stets auch der Stern der C,, symmetrisch gewahlt. Zur Erlangung brauchbarer finiter Ausdriicke ist es jedoch oft wesentlich, dati der Nullpunkt der Taylorentwicklung 1 , ) x o von der Mitte des Sternes verlagert wird nach der Fortpflanzungsstelle hin, d. h. in Richtung wachsender y.

16

Ztschr. f. angew. C o 11 a t z , Uber das Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen Math. und Meoh. 242

Von wie entscheidendem Einflub diese Verlagerung sein kann, zeigt 5.

B. Man nehme aufSer den zur Ubereinstimmung von L ( f L u , xu) niit den eritspreclienden Gliedern der Taylorentwicklung von (13) benbtigten C,, nocli weitere Punkte, also weitere zur Verfiigung steliende Unbekannte C,, hinzu, die nicht einer hoheren Approximation dienen sollen, sondern einer Verkleinerung des ,,IndexL' des finiten Ausdruckes. Dabei verstehen wir unter dem Index J eines finiten Ausdruckes Ci , k F ! , k + 2 C,, F,, x , bei dem nach dem Gliede

Fi,k aufgelost werden soll, den Ausdruck x t k

(14). J=- * ~ l c l , x l . . . . . . . . . . . . . . . x < k

1 ci, kl

Der Index eines Ausdruckes der Gestalt (13) wird also erlialten, indem man (12) nach dem Gliede mit dem grofiten x auflost:

Fi,k =--- -- ci, k x c k

und die Summe der Betrage der Kocffizienten aller anderen B'l,x bildet. Wir konnen die Ergehnisse von 1 dahin zusammenfassen : Das Differenzenverfahren versagte bei dem Beispiel in 1, weil der Index des dort verwendeten finiten Ausdruckes (7) zu grab war. In 6 wird gezeigt werden, wie stark Zusatzglieder C,, den Index herabdriicken konnen.

4. Fehlerbetrachtung. Stimmen in der Entwicklung von (13) nacli dem T a y l o r when Satz die Glieder mit denen von L ( f L o , .,) bis auf Glieder r-terordnung (es sei r 2 m) iiberein, so lassen sich die Restglieder unter der Voraussetzung, da13 samtliche ( r -+ 1)-ten partiellen Ableitungen von f i n dem betrachteten Gebiet existieren und den1 Betrage nach durch f ( T + I' abgeschatzt werden konnen, zusammenfassen zu 6 . D . lr-" + f (r + I) . Dabei ist 18 I 5 1, D eine vom Gitter und vom Differentialausdruck L, aber nicht von f abhangende abschltzbare GrGiPe, lilngt also im allgemeinen von den Maschenweiten h und 1 ab, und zwar ist D in 1 ein Polynom von hochstens m-tem Grade: also

2 c,, x f', x = L ( f L u , x u ) + 91) l ' -m + f t r + * ) . 6 , x

Nach (12) gilt daher fur den Fehler Y,, = F,, - f,,

. . . . . . . . . . . L, 2 1 C , , x ~ , , = - - 6 n l r - m + 1 x f " + " (15)-

Da man auf der Anfangsgeraden y = O alle gewunschten Ableitungen von f aus den gegebenen Anfangsdaten berechnen kann, kann man auf allen ,, Anfangsgeraden" y = 0, y = 1 . . . . y = ( N - 1) 1 (in dem finiten Ausdruck (12) mdgen hochstens N + 1 aufeinander. folgende x vorkoinmen) Naherungen F,, ic berechnen nach

v

. . . . (Wl so dab

p+l x r + l I Y'i, x I WiIji- f c r + " fur O l x S A - 1 . . . . . . (17).

Mit den Formeln (15) und (17) ist die Frage nach der Fehlerabschatzung im Prinzip erledigt.

im Falle r > m explizit so ab- schltzen, dafi die Konvergenz der Losungen des Differenzenvrrfallrens gegen die Losung der An- fangswertaufgabe evident ist. Wirgeben eine Schrankenfolge 0 < Y, < Y, < Y, < ... < Yx < . . . an mit ]yL,xl d Y,: (man kann (12) durch C i , k durchdividieren, also Ci,k = 1 erreichen)

YxSMax ( ITx-l , Yx-,, . . . ., Yx-~)+DZ'-m+l ~ t r + r ) ,

1st der Index J S 1 '), so kann man die Fehlerfunktion Y',

') Das ist z. B. der Fall, wenn man dor Warmeleitunesgleicllullp - f - k &! die flnite Gleichung d x 2 - b g

- F', x F L + ~ , x - ~ F F , , x + FL- 1, x FL, x + .- k 1

-__= h'

mit den Maschenweiten k , 1 ='/I. a kh* gegeniiberstellt, wo a eine b o l i e b i e e Zahl aus dem Interval1 O < a s l ist.

243 Band 16, Heft 4 Angust 1 9 ~ ~ c o 11 a t z , Uber dss Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen

Dieser Forderung geniigen wir in bekannter Weise durch s,

Ausdr uck (18)

- 1

16 -

1 -.16 - 1 2 h 2 ~ ~ , x - 2 - 1 6 1

- 1 + 16

oder

Ausdruck (19) Ausdruck (20)

- 11 - (35 + 12 h2 91 . X ) - 12 - ( 4 + 1 2 h 2 g l , X - , ) 12 36 32 36

- 4 12 32 32 + I - 11

-1 4 - 12 4 - 1 -1 -32 -48 -32 -1

Wahlen wir als Yo das Maximum aller Ausdrucke (17), so folgt

An einer festen Bereichstelle x, y, (y = x . I = const) geht die Fehlerschranke mit 1 gegen 0, wenn nur r > m ist oder wenn im Falle r = m das Polynom D die Masclienweite I als Faktor entlialt. (Das ist z. B. stets der Fall, wenn in der betrachteten Differentialgleichung (11) die Funktion f undifferenziert nicht vorkomnit, d. h. A o , = 0).

5. Anwendung des Gesichtspunktes A. Im folgenden will ich fur einen einfachen Fall, in dem der Index .T > 1 ist, den Weg zu einer expliziten Feblerabschatzung andeuten. Zugleich sol1 dieser Fall den Einflufi des ersten Gesichtspunktes aus 3 illustrieren. Es werde die Gleichung

a 2 f P f ax2 ay

L (f (x, y)) =- - c 2 y - g (2 , y) f = t (s, y)

bei konstantem c betrachtet. Als Maschenweite walilen wir h und 1 = c h . Wir suchen finite Ausdrucke holierer Annaherung, die in ilirer Taylorentwicklung bis auf Glieder 4. Ordnung einschliehlicli mit L ( f ) iibereinstimmen.

Je nachdem, ob man die Taylorentwicklung auf die Mitte des Sternes (den Punkt 1 , x - 2) oder auf den Punkt 1 ,x-1 oder auf die 'Spitze des Sternes, den Punkt i , x bezieht, ergeben sicli (zwangslaufig) die folgenden finiten Ausdrucke :

Diese drei Ausdrucke sind ohne die t-Glieder ubersichtlicher in folgender Tabelle, deren Darstellungsweise wolil klar ist, zusammengestellt:

5 ) Ahnlich wie bei R. v. M i s e s : Zur nurncrischen Intogration von Differentialgleichungen, ZAMM 1930 , s . 86 bis88. 16'

Ztschr. f . angew. c o 11 a t z , Uber das Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen Math. und Me&. 244

Wir skizzieren die Fehlerabschatzung in1 Falle g l , , = 0 fiir das Rechnen mit der finiten G1. (20), die wir in der Gestalt schreiben

fur die Lbsungsfunktion

das Restglied Izi, k kann dabei abgeschatzt werden durch

h5 N5 )Izi,kl g il =-!=-- (14+ 105 c + 380 C Z + S l O c3 +970 c4 + 1789 c 6 ) ,

wo M, der Maxinialbetrag aller funften partiellen Ableitungen von f im betrachteten Gebiet ist. Also gilt fur den Fehler

4

driickt man in gleicher Weise die Y L , k - l durch Yl,x mit k - 5 5 x 5 k - 2 aus, so folgt 4

Yi, k = 25’ 2 5 ’ ~ ~ , , x ( ~ ) yi-t, l i - x - I + Ii, k + z a l , l ( l ) ~ i - , , k - l . L x = l L

So fortfahrend erhalt man 4 k - 4

!Pi, k = 22 al, x ( k - ’’ Y, 2 - , , 4 - x + Li, k + 22Ql, *(”’ A L L , k - v . (21).

Wahrend sich nun die a,, ,(”) in sehr uniibersichtlicher Weise durch die Ausgangsgrotien, die a‘, ,“’ ausdriicken, bestehen einfache Relationen fur die Summep a,‘v’ =c a,, , ( v ) , und es

L x = t L v = l

kommt gerade auf diese Summen an, da sich bei gleichem Vorzeichen der X , Y fur verschiedene 1 ) nach (21) sofort die Abschatzung ergibt:

(bei festem

4 k - 4

I K, 1 5 2 I axck- 3, I y4-, t il (I +C 1 a,‘”) ij . . . . . . . . (2211 v= 1

wobei Yx = Max 1 Y,, 1 sei. L

Entsprechend der Entstehung der a,, ,‘’) gilt

a,‘Yfl) = aX+,lv’ + a,‘”’ ax‘l’.

Es geniigen alle a,‘”’ (d. h. fur x = 1,2, 3,4, es ist abCv1 = 0 zu setzen) der totalen Differenzen- 4

gleichung z, -2 aQ“’ zv-e = 0, fur die man den Lbsungsansatz zv = 5,” durchfuhren kann, wo p = 1

4 5, die Wurzeln der Gleichung x4 - 2aq‘l’ x4-4 = 0 sind. Im vorliegenden Fall hat 35x4 - 104 zs

+ 1 1 4 ~ 2 - 5 6 x + 1 1 = 0 die Wurzeln 1;1;---35--- 17 ’ * vx, so dab man alle a,”’ durch ja,(”’I

SConst. Y abschatzen kann.

p = 1

Aus (22) folgt daher

I !Pi,kl I c o n s t k - Y + const k*. 1, wo fur den Anfangsfehler Y= Max ( !Po, !PI, !Ps, !Pa) nach (16) (17) I !PI 5 const. I’ erreicht werden kann. An einer festen Bereichstelle (2 = k I = const) ist mithin I Pi, k I I const . 6.

Fur einige weitere Typen von Differentialgleichungen stellen wir in der folgenden Tabelle finite Ausdriicke hoherer Approxjmation zusammen, die nach den in 3 aufgestellten Gesichts- punkten gefunden wurden (der Ubersichtlichkeit halber sind an Stelle der Indizes i, k und i - L . k - x die Tndizes 0,O und - 1, - x geschrieben; A, B, C, t sind Funktionen von z, y):

245 Band 16, Heft 4

August 1936 C o 11 a t z , Uber das Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen

T a b e l l e : E i n i g e f i n i t e A u s d r i i c k e 2 ( F ) h d h e r e r A n n a h e r u n g .

d 2 f a2 f d x dy2

L ( f ) = A 7 - B p - f C f = t

Restglied :

z6 ) I 6 f (6' z4 L ( f ) - .Io,, ( f ) = 90 [ IAl(14h' + 105K 1 f 380hZ2 + 810 Z3 + 970 + 1 0 0 2 ~ + 1790 I B J - Z3

mit 1-91 1 . Fur A = B ein einfacherer Ansdruck mit einem um 1 niedrigeren Annaherungsgrad") (h = I ) :

- ( F 1 , - 3 + F - 1 , - 3 ) AOdl 2i,o ( F ) = C,,, + m2 [-- 3FO,, + 3 (Fl, -1 + p-I, -1) - 2FO. -* -

Fo, - 4 1 = to ,o 2;," ( f ) = L ( f ) + Restglied 4. Ordnung.

d2f d f d x d y L ( f ) = 7 - b - + C f = t , Maschenweiten 1, h mit 2 . 1 = b h2; b sei eine Konstante.

12h2 2,,0 (F) = (-30 + 12 h2 C,,,) F0,O + 16(F1, +F_,, -,) - (F2, - 4 + - 4 ) = 12h2 to,,,

20,0(f) = L ( f ) f 6 h 4 R mit 1.9.15 1 ; R setzt sich aus Maximalbetragen partieller Ableitungen von f zusammen (ist von h unabhangig).

6. Aufstellung eines ,,brauchbaren" finiten Ausdrucks fur die Balkenschwingungsgleichung (Anwendung der Gesichtspunkte A und B). Zum SchluD wollen wir noch zeigen, daS unsere Metlioden ausreichen, urn das in 1 genaunte Beispiel in Ordnung zu bringen. Zunachst brauchen wir einen geeigneten finiten Ausdruck 2 Cl, Fl, fur den Differentialausdruck (1). Wir bezeichnen die C,,

X a X X b X b X d X c X d

X e X e X g X f XY,

wobei wir ausnutzen, dab die beiden Gitter (das Gitter, das die Punkte mit a, b, c, d, el f, g enthalt und das Gitter, dessen Punkte durcli Kreuze angedeutet sind) sich nicht beeinflussen, und wir so bei den Masclienweiten 2 . 1 = h2 zum Vordringen bis zu einer Stelle y = ys die gleiche Anzahl von Funktionswerten berechnen miissen wie in 1. Dann ergeben sich fur die Cl,

mit a, b, c , d, el f, Q wie in der Darstellung:

bei einer Taylorentwicklung an der Stelle a die Gleichungen: ~ _ _ _ _ _ -

0) Der Aosdruck verwendet nur FL,X , bei denen L + X gcrade ist. Das Gitter aller ~,x-I'unkte zerfallt dann in zwei sich nicht beeinflussende Gitter, und man kann die Rechnung fur jedes Gitter getrennt durchfuhren; jedes Gitter Piir sich liefert einen U berblick iiber den Funktionsverlauf.

Koeffizient von f : a f 2 b + c f 2 d f 2 e + f + 2 g = O '

11 I, 1 fur 2 6 + 2 c + 4 d f 6 e f 4 f + Sg=O

1 21, + 8 d f 2 e + 8g=O h2

11 - $ f f x x :

1. 2 b +16cl+ 6 e +32g=O h2 1

11 2 f x x l l :

11 + 32 9 =h4 11 24 f 3 c x x x : 24 J 2 6 + 3 2 d $ 2 e h4 __

Die Koeffizienten von f x , f x y , f x x x , f x u u verschwinden wegen der eynimetrischen Annahmen uber a, b, c, d, el f, g von selbst. Es sind hier alle Glieder bis h4 einschliePlich aufgeschrieben. Diesen 6 Gleichungen konnte man auch ohne die GroEe g genugen, es wird sich aber zeigen (als Anwendung des Gesichtspunktes B), dab g einen starken Einfluh auf den lndex hat. Die Aufltisung des Gleichungssystems (23) liefert als finite Gleichung fur (1)

} (241, (' -' ( F L , X - F b + I, X --1 - F L - l g X - 1) + (2f (FL, X - 2 + F L , X - 4 ) + (l- ( F L + 2, X - 2

t FL -2. x - 2 ) - (2 + 4 G) ( K + I , X - 3 + FL-1, x - 3 ) + c* (F, + 2. x--P + F,--8, x-4) = O

wo G = 4 g l 2 noch willkurlich ist. Den Index J als Funktion von G aufgetragen, veranschau. licht die Abb. 1. Fur G = O ist der Index J = 7 , wBhrend der kleinste Wert von J , der

Abb. I.

1 Wert 3,s fur G=-- angenommen wird. Der finite Ausdruck wird also vie1 besser, wenn 2 wir die Punkte mit g hinzunehmen. Das Beispiel von 1 ist im folgenden noch einmal mit

1 dem finiten Ausdruck (24) fur G = -s 8F,, - 8 (F, + I , % - I + FL- X - J + 2 FL, x--2 + 3 (F, + 2 , x--2 + FL-2, x - 2 ) -f- 2 F,,

- (F ,+ , ,x -4 t P , - 2 , X - 4 ) = 0 } . (25)

durchgerechnet. Auf der Zeile y = 0 sind die Werte f , , o = F,, ,, nach (3) vorgegeben, (8) und (9) werden ohne Anderung iibernommen. Bezeichnen wir die M'erte von F auf den Geraden y =O, 1,2 1 mit A, B, C, D, a, B :

0

0 C n

0 C D

n I u B P

a l a P B

A / - - A - -B----BB- I

y = O

247

so sind die Werte C, D auf den Geraderi y = f 1 naeh dem gewohnlichen Differenzenausdruck (5)

fur 1 =-h2gerecllnet7); fur die beiden zunachst noch unbekannten Werte a, @ auf den Ge- raden y = k 2 1 ergeben sich nach (25) zwei lineare Gleichungen:

Band 16, Heft 4 August 1946 c o 11 a t z , Ober das Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen

1 2

8 a -8 C+2 A + 3 (B + A ) + 2 a -(a +@) = 0

8 - 8 (C+ D) + 2 B+ 3 ( A + B) + 2 @ - (a + p) = 0 . Damit kcnnt man die F,, auf den Zeilen y = - 1 , y = 0 , y = 1, y = 2 1 und der Anwendung von (25) zur Bereclinung von E;, , auf den weiteren Zeilen y = 3 I , y = 4 1 , . . . . steht nichts mehr ini Wege. So ergab sich das Schema der Nlherungswerte Fa):

Niiherungen F' , , , berechnet nach (25) fur das Problem (1) (2) (3).

ic

0 1 2 3 4 5

10

15

20

25

- Y

0

0,125

0,25

0,375

0,5

0,625

0,75

L = - 1 1 4

2=--

0,03907

0,03870

0,03363

0,02521

0,01481

0,00330

- 0,00822

- 0,01883

- 0,02776

- 0,03426

- 0,03771

- 0,03779

- 0,03451

- ~

> = O

: = 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

~

1 = 1 1 4

x=-

0,03907

0,03870

0,03363

0,02521

0,01481

0,00330

- 0,00822

- 0,01883

- 0,02776

- 0,03426

- 0,03771

- 0,03779

- 0,03451

L = 2 1 2

x=- ~ _ _ _ _ _ ~

0,11806 0,11600

0,10614

0,08669

0,05943

0,02733

- 0,00657

- 0,03936

- 0,06837

- 0,09122

- 0,10594

- 0,11122

- 0,10666

- 0,09278

L = 3 3 4

x=-

0,18757

0,17837

0,15446

0,11726

0,07011

0,01735

- 0,03636

- 0,08629

- 0,12811

- 0,15829

- 0,17431

- 0,17494

- 0,16027

1= 4

x= 1

(0,21460) 0,21170

0,19288

0,15718

0,10852

0,05089

- 0,01080

- 0,07098

- 0,12425

- 0,16598

- 0,19269

- 0,20231

- 0,19419

- 0,16923

Zeilen- summen S,

0,45328 0,44371 0,43413 0,40516 0,37618 0,33056 0.28493 0,22738 0,16982 0,10555 0,04129

- 0,02393 - 0,08915 - 0,14969 - 0,21023 - 0,26099 - 0,3 1175 - 0,34842 - 0,38510 - 0,40457 - 0,42405 - 0,42475 - 0,42545 - 0,40751

- 0,35478 - 0,38957

Die ersten Maxima der Ausbiegung ergeben sich somit zu

m, = F4,0 = 0,2146, m, = 1 F,,,, 1 = 0,2023, Wie auch sonst beim Differenzenverfahren erster Annaherung wird man an die hier er- haltenen Werte keine zu hohen Genauigkeitsanspruche stellen durfen (man bedenke, dab in jeder Spalte der letzten Tabelle durchschnittlich nur 5 Zahlen zwischen Maximalwert und Nullage berechnet wurden, fur genauere Werte mufjte man kleinere Maschenweiten benutzen,

beini Rechnen mit h =-T wird Im,l N 0,212, das ist etwa lo/o Fehler), sondern der Wert des Verfalirens wird in der Moglichkeit gesehen, mit recht geringer Rechenarbeit einen Uberblick fiber den Verlauf der Losungsfunktion zu gewinnen, 571

ma = F,,,, = 0,190

1 6

7 ) Dieser Ausdruck ist auf der R n f a n g s g e r a d e a ? J = Z brauchbar wegen F L . l = F t . - j , Der Faktor des zn berechnenden Gliedes F, , 1 verdoppelt sich mithin (vgl. (1U) ), wahrend diese Stiirkung des Faktors des zu berechnenden Gliedes bei den folgenden Zeilen fortfallen wurde und das gewohnliche Differenzenverfahren also weiterhin nicht mehr brauchbar ist.

eine J I

8 ) DasBilden der Zeilensnmmen S x = x ' F s V + ~ . , fiir gerades x , S, =ZF21.,x fiir ungerades x liefert V = 0 v = I

wichtige Kontrolle: S ~ , + L S ~ ~ + r = ' L . S r x + ~ fur alle X .