TRIANTAFYLLIDIS, TII.: Randelementmethoden in der Wellendiffraktion 15

ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 73 (1993) 1 , 15-26 Akademie Verlag

TRIANTAFYLLIDIS, TH.

Uber die Anwendung der Randelementmethoden auf Probleme der Wellendiffraktion

Bei der Anwendung der Randelement- oder Randintegralmethode auf Gebiete, bei denen sog. ,,Schattenzonen“ entstehen, wird die Kausalitiit der Liisung verletzt. Da es hieriiber bereits Veroffentlichungen mit gegensdtzlichen Positionen giht, wird in dicser Arheit das Problem auj anulytischem Weg behundelt. Fur den Full einer einfullenden SH- (sheur lioriiontal) Welle agf’ eine zylindrische Inhomogenitat im Vollraum wird sowohl die Randintegralmethode anabtisch angewendet uls auch die mialrtisclie Lijsung des Problems angegeben. Beim Vergleich der beiden Liisungen stellt man ,fist, dajj sie nicht identisch sind. Die Grundefiir die Unstimmigkeiten zwischen den beiden Liisungen werden in dieser Arbeit diskutiert, und es wird die Miiglichkeit einer korrekten Anwendung der Randelementmethode fur solche Gebiete aufgezeigt.

The ciolution of u particular type of the causality constraint due to the conventional application of the Boundar! Element Method f BEMj in elastodynamics within “shadow zones” in the domains under consideration is the subject qf the present pciper. For the case of‘ incident SH-(sheur horizontal) ~.i~ares ucting on a cylindrical inclusion in the ,full integral equation as concentionally used in bounahry element methods considering the respective boundary in an analytical way and is compured with the analytical solution of the particular boundary value prohleni. The results of’ the direct boundary integrul formulation are not identical to those obtained from the anal.yticul solution due to the ciolation of the causalitj properties of the fundamental solutions used within non convex or “shadow zones” o f the domain under consideration.

MSC (1980): 73D25, 45L10, 65R20.

Einfuhrung

Die Randelementmethode wurde in den letzten Jahrzehnten erfolgreich zur Losung elastodynamischer Probleme eingesetzt. Der wesentliche Vorteil dieser Methode im Vergleich zu anderen numerischen Methoden ist, daIj die Abstrahlungs- bedingungen bereits in den verwendeten Grundlosungen berucksichtigt sind und bei fehlenden Volumenkraften die Dimensionalitat des betrachteten Problems um eine Dimension reduziert wird. Die Losung des Problems wird zunachst an der Berandung des betrachteten Gebietes angegeben und, falls erforderlich wird, ZustandsgroRen im Inneren des Gebietes anzugeben, so werden diese durch eine Folgerechnung ermittelt.

Die Randelementformulierung liefert direkt aus der bekannten Integralgleichung der Elastodynamik (ACHENBACH [I], ERINGEN and SUHUBI [2]) mit Kernen die Fundamentallosungen der Wellengleichung. Fiir ein sog. ,,regulares Gebiet“ (KELLOOG [3]) und bei verschwindenden Volumenkraften und Anfangsbedingungen lautet diese Integralgleichung:

~Jx’) u,(x’) = 1 Gi,(x, t ; x‘, t‘) * t , ( ~ , t’) dC - Fi j (x , t ; x’, t’) * u,(x, t’) dC , (1) C C

wobei G,,, F i j die Fundamentallosungen fur die Verschiebungskomponente ui und die Spannungsintensitltskomponente ti am Aufnehmerort x zum Zeitpunkt t aufgrund einer Einheitskrafterregung in Richtung j am Ort x’ zum Zeitpunkt t’ sind. (Das Symbol * deutet auf eine Faltung bezuglich der Zeit hin.) Der Diskontinuitatsfaktor cij hangt nur von der Geometrie des Randes C des betrachteten Gebietes V am Punkt x’ ab. Falls der Rand am betrachteten Punkt stetig verlauft, erhalt der Term c i j den Wert 0,5 (fur nicht glatte Rander s. TRIANTAFYLLIDIS [4]), innerhalb des Gebietes V den Wert 1 und auoerhalb von V den Wert 0.

Wendet man die Integralgleichung (1) ohne jegliche Modifizierung fur Gebiete an, welche sog. ,,Schattenzonen“ enthalten, so tauchen Zweifel uber die Richtigkeit der ermittelten Losung auf (s. ANTES und ESTORFF [5] , [8], TRIANTAFYLLIDIS and DASGUPTA [6J). weil eine wichtige Eigenschaft der Losung, namlich die Kausalitltseigenschaft nicht erfullt ist. .,Schattenzonen“ (GROENENBOOM [7]) sind Bereiche in einem vorgegebenem Gebiet, deren Punkte keinen direkten Sichtkontakt zu allen anderen Punkten des Gebietes haben, so daB ein Teil des Euklidischen Abstandes r = Ix - x’I zwichen zwei Punkten nicht innerhalb des definierten Gebietes liegt. Dieser direkte Abstand r ist aber das Argument der Grundlosung, da die Herleitung dieser Losung die Existenz des Vollraumes voraussetzt. Dieses Problem taucht u. a. in nicht konvexen Gebieten auf. Im Bild 1 ist das Beispiel einer passiven Abschirmung im Halbraum durch einen offenen Schlitz dargestellt.

Die Wellen, die vom Punkt A starten, durchstol3en die Berandung C und ein Teil des Abstandes zwischen Punkt A und B liegt auDerhalb des betrachteten Gebietes. Falls man den EinfluR zwischen den beiden Punkten mit Hilfe der Fundamentallosungen G, F und der Randelementmethode errechnet, so ist dieser nicht korrekt, da er nicht durch den direkten Abstand definiert ist. Eine nachtraghche Berucksichtigung der Randbedingungen fuhrt nicht zwangslaufig zum richtigen Resultat, da bereits der Fehler in der EinfluDmatrix vorliegt. Die Verletzung der Kausalitatsbedingung ist im Zeitbereich offensichtlich, da eine Antwort am Empfangerpunkt B zu einem fruherem Zeitpunkt vorliegt als es den Wellen physikalisch ermoglicht wird.

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In anderen Veroffentlichungen (s. ANTES und MEISE [9]: ESTORFF u. a. [lo], ESTORFF und PRABUCKI [ll]) werden solche Probleme numerisch behandelt, und es wird die Behauptung aufgestellt, daD die nicht kausalen Anteile der Losung verschwinden, wenn die Diskretisierung fein genug ist bzw. hohere Formfunktionen iiber die Elemente angesetzt werden.

Zur numerischen Behandlung solcher Gebiete sind bereits in mehreren Arbeiten [5 - 81 Hinweise angegeben. Da diese ,,Schattenzonen" nicht nur in nicht korivexen, sondern auch in nicht einfach zusammenhangenden Gebieten auftauchen konnen, wurde der Begriff der ,,kausalen" Formulierung der lntegralgleichung (s. TRIANTAPYLLIDIS [4]) eingefiihrt in dem Sinne, daD das Gebiet die Forderung der Kausalitat der vewendeten Funktionen (hier Grundlosungen) erfiillt. Diese Arbeit hat zum Ziel, die Verletzung der Kausalitat der Losung bei der bisherigen Art der Anwendung der Randelement- methode (BEM: Boundary Element Method) auf analytischem Wege aufzuzeigen.

Wir betrachten zunachst das Beispiel der passiven Abschirmung durch einen offenen Schlitz (s. Bild 1) und legen den Frequenzbereich zugrunde. Im Grenzfall, bei dem die Kraft weit weg vom Schlitz wirkt, handelt es sich um eine Fernfelderregung, die durch eine einfallende Wellenfront im Bild 1 dargestellt ist. Es genugt also, die Verletzung der Kausalitat fur den Fall von harmonisch einfallenden Wellen zu zeigen, wenn keine Modifizierung der Formulierung vorgenommen wird. Das Problem des offenen Schlitzes im Halbraum ist allerdings sehr kompliziert, deshalb wird anstelle des Halbraumes ein Vollraum zugrundegelegt und der offene (oder gefiillte) Schlitz wird durch eine zylindrische Inhomogenitiit (z. B. Hohlraum, starrer Korper) ersetzt. Als eine weitere Vereinfachung wird angenommen, daI3 die einfallende Wellenfront aus SH-Welleri (horizontal polarisierten Scherwellen) besteht. Diese Vereinfachungen wurden vorgenommen mit dem Ziel, die Randintegralformulierung fur das entsprechende Problem analytisch anzuwenden und mit bereits vorhandenen analytischen L,osungen zu vergleichen.

Bild 1. im Halbraum im Vollraum

Beispiel einer passiven Abschirmung durch einen Schlitz Bild 2. Einfallendes SH-Wellenfeld auf einen zylindrischen Korper

Diffraktion von SH-Wellen an einer zylindrischen Inhomogenitat

Eine zylindrische Inhomogenitat im Vollraum in der Form eines Hohlraumes oder eines starren, unbeweglichen Zylinders wird betrachtet. Als Erregung wird eine zeitlich harmonisch wirkende SH-Wellenfront angesetzt, welche sich senkrecht zur Achse des zylindrischen Korpers ausbreitet. Die Geometrie des Problems und die gewahlten Koordinatensysteme sind im Bild 2 angegeben.

Die elastischen Eigenschaften des Mediums sind durch den Schubmodul p und die Dichte e gegeben. Das einfallende Wellenfeld breitet sich in Richtung x1 aus, und das Verschiebungsfeld lautet:

(4 uo - u; = 0 , 1 - ug = wo ,i(kxi-wt)

wobei k = o f c die Wellenzahl und c = v p f ~ die Wellengeschwindigkeit bezeichnet. Das diffraktierte Wellenfeld hat ebenso wie das einfallende nur eine Komponente, so daB die resultierende Bewegung

ebenfalls horizontal polarisiert bleibt. In Polarkoordinaten (s. Bild 2) schreibt sich das resultierende Wellenfeld aul3erhalb der zylindrischen Inhomogenitat wie folgt :

u, = uo = 0 , u, = u! + w(r, 0 ) epiWt , (3)

17 TRRIAIITAF~ LLIDIS, TH.: Randelementmethoden in der Wellendiffraktion _____ __

wobei w(r , H ) das Diffraktionswellenfeld bezeichnet, welches die reduzierte Wellengleichung

(4) erfullt und A den Laplace-Operator. Die Losung des Randwertproblems sol1 einerseits die Randbedingungen an der zylindrischen Oberflache r = a (a Zylinderradius, s. Bild 2) erfullen und andererseits die Abstrahlungsbedingungen im Unendlichen (Wellen. die fur r = cc verschwinden) befriedigen.

A N + k 2 h = 0

Die Spannungen an einer Oberflache im betrachteten Medium konnen wie folgt errechnet werden:

aw cc aw to- = - -.

ar r ae t , , = p -- ;

Wir betrachten zwei Grenzfalle: Fall I: Starrer, unbeweglicher Zylinder F a1 1 11: Zylindrischer Hohlraum Die L6sung beider Randwertaufgaben wird durch zwei voneinander unabhangige Methoden ermittelt: a) Durch die

Losung der Differentialgleichung (DGL) unter Beriicksichtigung der entsprechenden Randbedingungen, und b) durch die Anwendung der Randintegralmethode, so wie sie ublicherweise in der BEM eingesetzt wird, wobei die Auswertung der resultierenden Integrale analytisch erfolgt.

Durch den Produktansatz

w(r, 0, t ) = R(r) @(O) e-'"'

r2R" + rR' + [(kr)' - n2] R = 0 ,

(6) erhiilt man aus der DGL (5) folgendes System von DGLn:

0" + n2Q = 0 . (7) Unter Berucksichtigung der Abstrahlungsbedingungen liefert die Besselsche DGL (7), zusammen mit der Losung der DGL (7),

wobei H,!') die Hankelsche Funktion erster Art ist und Ordnung n und A, frequenzabhingige Koeffizienten sind, welche aus den Randbedingungen entlang der zylindrischen Oberflache bestimmt werden.

Aufgrund der Identitiit (s. WATSON [13])

(9)

mit J,( 1 Besselsche Funktion erster Art und n-ter Ordnung, konnen das resultierende Wellenfeld nach (3) und die nicht identisch verschwindenden Spannungsintensitaten (5) in folgender Form geschrieben werden:

eikxi = eikrcosO - - 5 i"J,(kr) eine = 2 E,SJ,(kr) cos nfl , E~ = 1 , E , = 2 , n = 1,2, _.. , n = --SI n = O

7

uz = w0 C [E,,inJ,(kr) + ~ , , ~ ; ' ) ( k r ) ] cos ne e-'"', n = O

W g t,, = p -- c (@'[n.l,(kr) - krJ , , (kr)] + A,[nH:"(kr) - krH!YI (kr) ] ) cos nfl e-iW',

r n = O

W'" *.

tOz = --I* - ii[E,i"J,(kr) + A,H,!')(kr)] sin nfl e-io'. f' n = O

Zur Bestimmung der Koeffizienten A, werden nun fur beide Falle die Randbedingungen an der Zylinderoberflache

Fa1 1 1: Stirrer, unheweglicker Zylinder Aus der Unbeweglichkeit des Zylinders ermittelt man zunachst die Koeffizienten A,:

herangezogen.

u,(r, 8, t ) = OI,,, --f A , = -E,i"(J,(ka)/H!')(ka)). (1 1)

Dic Spannung flL im Material direkt an der Zylinderoberfliche mit dem Normalenvektor n = (- 1,0,0) lautet (s. (IOJ):

wo ka wo cos no a n = O H,!"(ka) an n = O H!')(ku) '

t,, = - p - 1 E,in __ cos nO[Hi:),(ka) J,(ka) - J , , , (ka) HA1)(ku)] = - 2 p - E,,?"" ___

AuBerhalb des Zylinders errechnet sich das resultierende Verschiebungsfeld (s. (10,)) zu:

2 Z. angew. Math. Mech.. Eid.73, H. I

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Fall 11: Zylindrischer Hohlraum Die Randbedingung lautet:

Durch Einsetzen von (14) in (10,) errechnen sich die Koeffizienten A, wie folgt:

A, = -E,i”(J:,(ka)/H:“’(ka)! ,

wobei das Symbol ’ eine Differentiation nach dem Argument der entsprechenden Funktion bezeichnet. Das resultierende Verschiebungsfeld ist dann gegeben durch

Die Verschiebungen an der Oberflache des zylindrischen Hohlraumes errechnen sich zu

Im niichsten Abschnitt werden die zwei Randwertprobleme mit der Randintegralgleichungsmethode behandelt, wobei die Vorgehensweise derjenigen der BEM entspricht. Die Losung mit Hilfe dieser Methode wird analytisch ermittelt mit dem Ziel die Ergebnisse aus der Randintegralformulierung direkt mit denjenigen aus der analytischen Losung zu vergleichen.

Anwendung der Randelementmethode auf Diffraktionsprobleme

Den Ausgangspunkt fur die Anwendung der Randintegralmethode bildet die Ermittlung der Fundamentallosung der DGL der Bewegung. Fur den Fall harmonischer SH-Wellen, die im Unendlichen (r --t co) abgestrahlt werden, lautet die Fundamentallosung (s. ACHENBACH [I], ERINGEN und SUHUBI [2]):

wobei x’, x den lokalen Vektor fur die Position des Erreger- bzw. Aufnehmerpunktes im globalen Koordinatensystem bezeichnet und G , , die Verschiebungskomponente in Richtung 3 am Punkt x aufgrund einer Einheitskraftkomponente in derselben Richtung, die am Punkt x’ wirkt, bezeichnet.

Im Polarkoordinatensystem (s. Bild 2) konnen die iokalen Vektoren x, x’ wie folgt geschrieben werden:

x = r cos Oil + r sin 8i2, x’ = yo cos Ooi1 + ro sin 0,iZ (19)

Mit Hilfe des Additionstheorems fur Besselsche Funktionen [ 131 wird die Fundamentallosung nach (18) wie folgt mit i,, i, Einheitsvektoren in Richtung 1, 2.

beschrieben (ohne den Term eViWt):

Der entsprechende Term fur die Spannungen lautet:

wobei n,(x) die i-te Komponente des nach aul3en gerichteten Normalenvektors am Punkt x an der Oberflache, die das zugrundegelegte Gebiet umschlieBt, darstellt.

In Polarkoordinaten (s. Bild 3 ) lautet (21):

i H i l ) ( k Ix - x’l) F, , (x ,x’ ) = - - __ {kr - kr, cos (0 - O,) } .

4 k (X - XI(

Zur Vereinfachung des Terms F , und speziell fur eine Integration im Polarkoordinatensystem wird das Grafsche Additionstheorem fur Besselsche Funktionen (s. WATSON [13]) benutzt. Mit Hilfe der Abkiirzungen (s. Bild 3)

kr - kr, cos (0 - 0,) d

G = k I / r 2 + r i - 2rr0 cos (6 - O , ) , cos IQ =

19 __ __ TRIANTAFYLLIDIS. TH Randelementmethoden in der Wellendiffraktion - . - ___ - ._ ~~

4

Bild 3. Darstellung des Argumentes der Fundamentallosung in Polarkoordinaten sowie des Grafschen Additionstheo- rems fur das Argument der Besselschen Funktionen

X'

Bild 4. Isolierung des singuliren Punktes x' durch den Kreisabschnitt C, zur Ermittlung des Cauchyschen Hauptwertes

lafit sich der Term F , , wie folgt schreiben:

ik 4

F33(r , 0) = - - Hp@) cos lp

Mit den eingefuhrten Vereinfachungen lassen sich die Randintegrale fur die noch zu behandelnden Randwertprobleme analytisch errechnen.

Der F,,-Term zeigt eine Singularitat der Ordnung l/r, wenn der Erregerpunkt und der Aufnehmerpunkt zusammenfallen. Zur Ermittlung der cjj-Diskontinuitat fur diese singularen Punkte bei der Anwendung der Randintegral- methode plazieren wir die Erreger x in einem Abstand E = ro - r vom Aufnehmer x' entfernt und integrieren den F,,-Term im Sinne des Cauchychen Integralsatzes (s. Bild 4):

(25) 1

E'O &+O 2 F 3 3 ( ~ , , x') dC, = lim {H$')(ke) k8j = -.

CC

Dieser Wert ist fur glatte Rander bereits bekannt [12].

a) Indirekte Randintegralformulierung

Das Konzept der indirekten Randintegralformulierung, wie es ublicherweise bei der BEM benutzt wird (s. BANERJEE und BUTTERFIELD [12]), ist schematisch im Bild 5 dargestellt. Der Rand C umfaRt das Gebiet V und bildet eine Begrenzung fur das Komplement des Gebietes V . Das Gebiet P wird zusatzlich durch einen im Unendlichen liegenden Rand begrenzt (s. Bild 5) . Bei verschwindenden Volumenkraften und unter Beriicksichtigung der Abstrahlungsbedingungen im Unendlichen

20

konnen die Verschiebungen und die Spannungen in jedem Punkt mit Hilfe der folgenden Superpositionsintegrale bestimmt werden:

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wobei der Term c die Form der Losung im Unendlichen bestimmt und @(x') fiktive Erreger (also ohne physikalischen Zusammenhang) sind, die an der Oberflache C plaziert sind. Die GroBenordnung dieser Erreger wird durch die Randbedingungen ermittelt.

/' /

/ 1

/-

/--

/ /

\ < /

\ v /

/ . / -- _ _ - L c --- Bild 5. Prinzip der indirekten Randintegralformulierung -- L.

'-.\

Im ersten Schritt werden die Aufnehmerpunkte x an den Randern plaziert, und aufgrund der Randbedingungen wird die Verteilung der fiktiven Quellen @(x) an den Randern mit Hilfe von (26) bestimmt. Nach der Bestimmung der Quellen @ kann die Losung (Verschiebung, Spannung) fur jeden beliebigen Punkt innerhalb des Gebietes durch eine Folgerechnung mit Hilfe von (26) ermittelt werden.

Fall I: Starrer, unbeweglicher Zylinder Die Randbedingung entlang der Zylinderoberflache (r = a) lautet fur diesen Fall:

u,(a, e) = o = u:(a, 0) + u:(a, el. (27)

Das diffraktierte Wellenfeld u;(r = a) hat aufgrund eines harmonisch einfallenden Wellenfeldes ui die Form (ohne den harmonischen Faktor):

Die Verschiebungen entlang des Randes r = a nach (26,) lauten:

2 R ika cos 0 u3(a, 0) = 0 = a G,,(a, 8,00) @(0,) doo + wo e

0

oder 2rr s ia

-wo 1 E,i"J,(ka) cos no = - W

EmJ,(ka) HA1)(ka) cos m(e - 0,) @(Oo) do,. n = O 4/1 m = O

0

Wir nehmen genauso wie bei der Ermittlung der analytischen Losung an, daI3 die Quellen @ folgende Form haben:

00

@(a, eo) = C B, c~~ 18,. I = O

Durch Einsetzen von (30) in (29) folgt:

Die GroRe der Quellen @ ist gegeben durch:

TRIANTAFYLLIDIS, TI].: Randelementmethoden in der Wellendiffraktion 21

Die Spannungen im Vollraurn entlang der Zylinderoberfliche aufgrund des Diffraktionsfeldes konnen mit Hilfe von (26,) errechnet werden:

Die resultierenden Spannungen konnen aus der Addition der durch das einfallende Wellenfeld induzierten Spannungen mit denjenigen, die aus dem Diffraktionsfeld herruhren, ermittelt werden. Das inzidente Spannungsfeld (ohne den Faktor e-iwt) an der Zylinderoberfllche lautet:

wo Lx

- 1 €,,in cos nO[nJn(ka) - kaJ,, l (ka)] a n = O

t!, =

Die Addition beider Felder nach (32) und (33) liefert folgende Spannungsintensitat am Umfang des Zylinders:

wobei in (34) folgende Beziehung benutzt wurde (s. WATSON [13]):

J,,,(ka) H,!’)(ka) - J,(ka) H!?,(ka) = 2i/nka.

(33)

(35)

Durch den Vergleich zwischen (34) und (12) stellt man fest, daD die indirekte Randintegralformulierung dasselbe Resultat wie die analytische Losung liefert.

Fa 11 I1 : Zvlindrischer Hohlraiim In diesem Fall liefert die spannungsfreie Zylinderoberfllche ein

denselben Betrag aber mit umgekehrtem Vorzeichen wie das einfallende Quellen wird (26), benutzt:

t;, = -t:: = J F33(x, x’) @(x’) dC(x‘). c

Durch Einsetzen von (33) und (24) in (36) bekommt man:

- - - i 1 H f l ,(ka) J,(ka) cos m(6 - 6,) @(a, 6,) do,. 4 In=-%

0

gebeugtes Spannungswellenfeld, welches exakt Spannungsfeld hat. Zur Ermittlung der fiktiven

Die Quellen @ werden wie folgt angenommen:

e

@(a, 6,) = C A , cos 10,. l = O

Durch EinsetLen von (38) in (37) errechnen sich die unbekannten G r o k n A, zu

Ji(ka) 1 A - -4il-1 Y.5 _.__ ___ na H;“)(ka) J,(ku) i -

Die Quellen @(a, 6,) sind demzufolge bestimmt durch

(37)

22

Die Verschiebungen an der Oberflache des zylindrischen Hohlraumes konnen mit Hilfe von (26,) errechnet werden:

ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 73 (1993) 1

2wo cos nfl W + w0 &,i".l,(ku) cos n0 = __ Q ' + l ____ n = O zka n = o H;')(ka) *

(41)

Ein Vergleich zwischen (41) und (17) zeigt, daD das Ergebnis der indirekten Randintegralformulierung identisch rnit demjenigen der analytischen Losung ist.

b) Direkte Randintegralformulierung

Ohne die Zuhilfenahme von fiktiven Quellen werden bei der direkten Randintegralformulierung die ZustandsgroBen eines Randwertproblems ermittelt. Die direkte Randintegralformulierung steht im direkten Zusammenhang mit der Greenschen Integralidentitat oder mit dem Reziprozitatstheorem in der Elastodynamik ([l], [2]).

Zur Losung der Diffraktionsprobleme aufgrund von einfallenden harmonischen Wellenfeldern wird in der Literatur fur BEM (s. BANERJEE und BUTTERFIELD [12]) folgende Formel angegeben:

c 3 3 ( ~ 3 ~ 3 ( x ' , W ) - u:(x', 0) = S G 3 3 k x', W ) t 3 ( ~ ) dC(x) - F33(x, x', 0) uj(x) dS(x). (42) C C

Der Term u: beschreibt das einfallende harmonische Wellenfeld. Die zwei bereits behandelten Probleme (starrer, unbeweglicher Zylinder, zylindrischer Hohlraum) werden nun mit Hilfe der Formulierung nach (42) gelost. Bei dieser Formulierung setzt man voraus, daI3 das einfallende Wellenfeld, iihnlich wie im Falle des offenen Schlitzes nach Bild 1, ein nicht ,,kausales" Gebiet durchlauft. Man setzt also die Existenz dieses Feldes und seine Form auch innerhalb der InhomogenitHt des Vollraumes voraus.

Fa l l I: Starrer, unbeweglicher Zylinder Die Randbedingung an der Zylinderoberflache r = a lautet

u3(a, 0,o) = 0 . (43)

Mit Hilfe von (43) folgt aus (42):

0

Xhnlich wie bei den anderen Losungsmethoden wird t , in folgender Form angenommen:

t3(a, 0,) = c B, cos noo n = O

Wenn die Relation

eikacosO - - f E,imJm(ka)cosmfl m = O

in (44) eingesetzt wird, folgt:

wo ian: * W

E,imJm(ka) cos m0 = - - 1 E,$,J,(ka) HA1'(ka) cos mO . m = O 4~ m = O

Aus (47) ermittelt man die Unbekannten B, in der Form

B, = - 4 ~ 0 , ~ im-' ______ a71 Hi1'(ka)'

Die Spannungsverteilung entlang der zylindrischen Oberflzche ist dann gegeben durch

(45)

Ein direkter Vergleich zwischen (49) und der analytischen Losung nach (12) zeigt, daD die beiden Losungen nicht ubereinstimmen. Der Grund fur diese Diskrepanz liegt in der Annahme, daB der EinfluB des einfallenden Wellenfeldes auf der Schattenseite des Zylinders nicht korrekt berechnet wird. Diese Annahme verursacht ,,nicht kausale" Anteile der

TRIANTAFYI.I.IDIS. TH.: Randelementmethoden in der Wellendiffraktion 23

Losung, welche in diesem Fall sogar analytisch angegeben werden konnen. Wir schreiben die rechte Seite von (49) so um, da5 der erste Term die richtige Losung wiedergibt und der zweite Term die nicht kausalen Losungsanteile reprasentiert :

Eine wiederholte Anwendung der Randintegralgleichung (42) kann das resultierende Verschiebungsfeld auBerhalb des Zylinders liefern, wobei die bereits ermittelten, nicht korrekten Spannungen an der Zylinderoberflache in (42) eingesetzt werden. Das Resultat lautet

Man kann einfach feststellen, daD dieses Ergebnis wieder mit demjenigen aus der analytischen Losung (s. (13)) iibereinstimmt, obwohl die ermittelte Spannungsverteilung nicht korrekt errechnet wurde. Die Randbedingung (43) ist identisch erfiillt, wenn man in (50) r = a setzt, obwohl die Spannungsverteilung (49) einen nicht kausalen Anteil enthilt. Eine zweimalige Anwendung einer nicht kausalen Formulierung hat also ein richtiges Ergebnis geliefert. Dies ist allerdings nicht immer der Fall, wie es im nachsten Beispiel demonstriert wird.

F a 11 I1 : Zylindrisc/zer Holzlraum Die Randbedingung fur dieses Randwertproblem lautet

t33(a, 6, IU) = 0 .

Substitution von (51) in (42) liefert

Das inzidente Wellenfeld und das Verschiebungsfeld an der Oberflache des zylindrischen Hohlraumes lassen sich wie folgt schreiben (ohne den Term eCi""):

u: m

ui(a, 8 , o ) = wo C ~ , i ~ ~ , ( k a ) cos mO , u,(a, H, w) = wo C B, cos m~ . m = O m = O

Wenn man (53) in (52) einsetzt und die Integration uber das Argument 6, durchfiihrt, erhalt man:

<m n " -iak - B,&,J,(ka) Hi')(ka) cos mH = C ~,i"J,(ka) cos me.

4 m = O m=O

Aus (54) folgt fur die Koefizienten B,:

Die Verschiebung an der zylindrischen Hohlraumoberfllche errechnet sich nach (53,) wie folgt:

(53)

(54)

Ein Vergleich von (56) mit der analytischen Losung (17) zeigt, dalj beide Losungen nicht identisch sind. Das Ergebnis nach (56) wird so aufgespalten, daI3 der erste Term in der rechten Seite von (57) den korrekten und der zweite den nicht kausalen Losungsanteil darstellt :

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Das resultierende Verschiebungsfeld fur r > a errechnet sich durch Einsetzen des Ergebnisses fur die Verschiebung nach (56) in (42):

Dieses Ergebnis stimmt mit der analytischen Losung (s. (16)) ebenfalls nicht iiberein. Eine Moglichkeit der Anwendung der Randelementmethode in Gebieten, bei denen Schattenzonen vorhanden sind,

ist die Substrukturmethode. Bei dieser Methode behandeln wir erst das Diffraktionswellenfeld, und nur fur dieses Feld wird die Losung zunachst angegeben. Diese Vorgehensweise entspricht der indirekten Methode, wobei die fiktiven Quellen durch die ZustandsgrSBen eines fiktiven Gebietes ersetzt werden.

Anwendung der direkten Randintegalmethode auf Gebiete mit Schattenzonen

Die direkte Randintegralmethode wird anhand von Substrukturen fur Gebiete mit Schattenzonen angewendet. Bei den be- trachteten Problemen wird ein fiktives, konvexes Gebiet zugrundegelegt, welches das Komplement des betrachteten Gebie- tes ist. Fur dieses Gebiet wird nur das diffraktiQrte Wellenfeld betrachtet. Die Randintegralgleichung fur dieses Gebiet lautet :

wobei der obere Index s das diffraktierte (scattered) Wellenfeld beschreibt. Das resultierende Wellenfeld kann aus der Addition des inzidenten rnit dern diffraktierten Wellenfeld ermittelt werden.

Fal l I: Der starre, unbewegliche z,ylindrische Korper Die Randbedingung fur das Diffra.ktionswellenfe1d lautet in diesem Fall :

Wir setzen zunichst die Punkte x' an die Oberflache des Zylinders und fuhren die Integration nach (59) uber diejenigen Terme durch, die die GroBe u3 enthalten. Das Ergebnis lautet (s. hierzu (25)):

Es wird genauso wie bei der analytischen Losung angenommen, daI3 die vom Diffraktionsfeld induzierten Spannungen an der zylindrischen Oberflache folgende Form haben:

Mit Hilfe von (61) folgt aus (59):

Aus (63) folgt fur B,:

H:'.)(ka) H A') (ka)

B, = - kwope,imJ,(ka) -- .

25 - - - - -

TRIASTA~YI LIDIS, TH.: Randelementmethoden in der Wellendiffraktion __-_ ____-__

Die Spannungen an der zylindrischen Oberflache werden nun rnit Hilfe von (62) bestimmt:

Das resultierende Spannungsfeld an der Zylinderoberflache lautet dann:

i n - 1 w,, = 2,L- c En- cos nO

n = O HA"(ka)

Dieses Ergebnis stimmt mit der analytischen Losung (s. (12)) iiberein, da hier die Spannungen am zylindrischen Korper angegeben werden und in (1 2) die Spannungen am anderen Ufer (Multiplikation rnit dem Vorzeichen des Norrnalenvektors).

F a 11 I i : Zjlindrischer Hohlraum Zur Erfullung der spannungsfreien Randbedingung an der zylindrischen Oberflache fiihren wir an dieser Oberflache

ein diffraktiertes Spannungsfeld ein, welches dem Betrage nach gleich dem inzidenten Spannungsfeld aber rnit umgekehrtem Vorzeichen versehen ist:

Die Auswertung des ersten Integrals in (59) entlang der zylindrischen Oberflache liefert :

x = - iakw, - f &;i"Jb(ka) J,(ka) H!')(ka) cos no .

4 n = O

Unter der Annahme. dab das diffraktierte Wellenfeld die Form

u; = 2 ~ , c o s n ~ n = O

hat, konnen die restlichen Ausdrucke in (59) wie folgt errechnet werden:

n * F3& dC + c3& = iak -- B,E,J,(ka) HA')(ka) cos no. s 4 n = O

c

Durch Substitution von (70) und (69) in (59) errechnen sich die Terme B, wie folgt:

Das diffraktierte Wellenfeld an der zylindrischen OberflLche des Hohlraumes ist gegeben durch

Die Addition des inzidenten Wellenfeldes rnit demjenigen aus der Diffraktion liefert das resultierende Wellenfeld an der zylindrischen Oberflache, welches lautet :

Das Resultat nach (73) ist identisch mit demjenigen aus der analytischen Losung (s. (17)).

rung in Gebieten mit Schattenzonen das korrekte Ergebnis liefern kann. Durch die beiden Beispiele ist gezeigt worden, darj die Substrukturmethode bei einer direkten Randintegralformulie-

26 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 73 (1993) 1

Schluflfolgerungen

Auf analytischem Wege wurden die Probleme der Anwendung der direkten Randelementformulierung in Gebieten mit ,,Schattenzonen" gezeigt. Dabei zeigt es sich, dal3 ohne Substrukturen die Anwendung dieser Methode in solchen Gebieten eine Verletzung der Kausalitatseigenschaften der Losung verursachen kann. Die indirekte Randintegralmethode andererseits hat bei den untersuchten Randwertaufgaben korrekte Losungen geliefert. Die Griinde fur das unterschiedliche Verhalten beider Methoden, obwohl sie in der Ldteratur als aquivalent betrachtet werden, liegen in der Voraussetzung iiber die Stetigkeit der Grundlosungen auch in Gebieten, bei denen physikalisch diese Voraussetzung nicht erfiillt ist.

Literatur

1 ACHENBACH, J. D. : Wave propagation in elastic solids. North-Holland, Amsterdam 1980. 2 ERINGEN, A. C.; SUHUBI, E. S.: Elastodynamics. Vol. 11. Linear theory. Academic Press, New York 1975. 3 KELLOGG, 0. D.: Foundations of potential theory (Capter IV, pp. 84- 121). J. Springer, Berlin 1929. 4 TRIANTAFYLLIDIS, TH. : Halbraumlosungen zur Behandlung dynamischer Probleme mit der Randelementmethode. Habilitationsschrift,

5 ANTES, H.; ESTORFF, 0.: On causality in dynamic response analysis by time-dependent Boundary Element Method. Earth. Engng.

6 TRIANTAFYLLIDIS, TH.; DASGUPTA, B.: The causality of the Boundary Element Method in elastodynamics. Soil Dyn. and Earthq. Eng.

7 GROENENBOOM, P. H. L.: Wave propagation phenomena. In BREBBIA, C. A. (eds.): Progress in Boundary Element Methods. Vol. 2, Chapter 7. Pentech Press 1983.

8 ANTES, H.; ESTORFF, 0.: The effect of non-convex boundaries on time-domain Boundary Element solutions. In BREBBIA, C. A.; WENDLAND, W. L.; KUHN, G. (eds): Boundary elements IX. Vol. 1: Mathematical and computational aspects. Springer, Berlin 1987,

Veroffentl. des Instituts fur Bodenmechanik und Felsmechanik der Universitat Karlsruhe, Heft Nr. 116, Karlsruhe 1989.

and Struct. Dyn. 5 (1987), 865-870.

9 (1990) 2, 78 - 84.

pp. 305 - 320. 9 ANTES, H.; MEISE, TH.: Coping with non-convex domains in the boundary elment analysis. Computational Mech. 6 (1990) 6,47 - 53.

10 ESTORFF, 0.; PAIS, A. L.; KAUSEL, E.: Some observations on time domain and frequency domain Boundary Elements. Internat. J.

11 ESTORFF, 0.; PRABUCKI, M. J.: Dynamic response in the time domain by coupled boundary and finite elements. J. Computational

12 BANERJEE, P. K.; BUTTERFIELD, R.: Boundary Element Methods in engineering science. McGraw-Hill, London 1981. 13 WATSON, G. N.: A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1952.

Received January 7, 1990, revised February 7, 1992

Address: Dr.-Ing. habil. THEODOR TRIANTAFYLLIDIS, c/o Leighton Bruckner Foundation Engineering Ltd., 49/F., Hopewell Centre, 183

Numer. Meth. in Eng. 29 (1990), 785-800.

Mech. 6 (1990) 1, 35-46.

Queen's Road East, Hong Kong