ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. Band 319. Nr. 5242. 10.

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f h c r die Bewegung der Himmelskorper im widerstehenden Mittel. Von B. Gtrasimovif. I. Aerodynamische Grundlagen der Theorie.

Die Grundlage der vorliegenden Theorie der Bewegung der Himmelskorper im widerstehenden Mittel bildet die Voraus- setzung, daO die Reaktion des Mittels eine Kraft ist, welche in der Richtung der Tangente zur Bahn liegt. Diese Voraus- setzung stammt noch von Netofon, welcher die erste Theorie solcher Bewegungen gegeben hat. Da * N c w ~ Q ~ Medium< ein Gemenge von diskreten, keinen EinfluO aufeinander ausiibenden Partikeln ist, welchen der sich bewegende K6rper einen Teil seiner Bewegungsflae mitteilt, so kann die Reaktion eines solchen diskontinuierlichen Mittels natblich nur der Ge- schwindigkeit entgegengesetzt sein. Trotz der groflen Fort- schritte der Mechanik der kontinuierlichen KLirper hat man im vorigen Jahrhundert doch den Mcchanismus des Wider- standes nicht erkannt. Die beriihmten Arbeiten von HtZmhoZf~, Kirchiirof u. a. haben zwar erwiesen, daO die Entriltselung des Widerstandes eher hinter dem bewegten Ktirper ale vor ihm zu suchen sei; sie haben aber die Druckverteilung urn fliegende Kolrper nicht entdeckt. Erst die Fortschritte der modernen Aerodynamik, hervorgeru fen durch das rein praktische Be- diirfnis, den Flug der Apparate, welche schwem als die Luft sind, zu erkltrren, haben diese Frage einigermakn erleuchtet.

Schon Lanchtsfer I), der wahre Begrhder der modernen Theorie des Fliegens, deutete darauf hin, daO unter dem flie- genden Kdrper sich eine Region von erh6htem Druck, und uber dem fliegenden Korper eine Region von vermindertem Druck herausbilde; durch diesen Druckunterschied ist eine normale Komponente des Widerstandes bedingt, welche eine Sunterhaltende Krafte des Stromes bildet. Dieser Zustand ist eine Folgerung der Existenz von Zirkulationsbewegungen um den fliegenden KLirper, sogenannten s peripheroidalen Be- wegungene. Nach den brbeiten Kuffas hat N. Schukowsky4) eine vollstbdige Theorie dieser Bewegungen, welche die Grundlage der modernen Aerodynamik bilden, gegeben. Diesen Bewegungen im zweidimensionalen Raum entspricht ein ebener Strom mit einem zyklischen, d. h. mehrdeutigen Geschwindig- keitspotential, als dessen Folge die obenerwahnte Zirkulation entsteht. Im dreidimensionalen Raum bilden der umflossene Korper und der Strom schon einen mehrfach zusammen- hilngenden Bereich und die Zirkulationsbewegungen werden, nach der Theorie von Sfokts, moglich nur durch das Vor- handensein der Wirbel. Es ist tatsachlich besttitigt, daO an der Fltrche des fliegenden K6rpers sich ununterbrochene Wirbel- schniire bilden, welche von ihm abfliefkn und aufs neue g c bildet werden. I m zweidimensionalen Raum ist die Sunter- haltende Krafte des Stromes, welche als Folge d a erwahnten Zirkulationerscheint,nach ScludowskpTheoriegleich P= e Vy, wo e = Dichtigkeit der Flthsigkeit, V = Stromgeschwindig- keit (fiir unendlich), y= Zirkulation der umflossenen Kontur entlang. Um die Richtung der Kraft P z u erhalten, mu6 man

den Vektor V urn 90' in der der Zirkulation entgegenge- setzten Richtung umwenden. Da die Zirkulation der Ge- schwindigkeit proportional ist, ist P proportional dem Quadrat der Geschwindigktit. Die in Moskau von Schkowsky gemachten Experimente haben diese Theorie vollkomrnen bestatigt.

Nun hat die Reaktion des Mittels vom jetzigen Stand- punkt aus zwei Komponenten : eine tangentielle (sogenannter Stirnwiderstand) und eine normale (die unterhaltende Kraft des Stromes). Als Grundlage der aerodynamischen Theorie gilt die Voraussetzung, daO die Geschwindigkeit eines fliegenden Kolrpers kleiner als die Geschwindigkeit der Verbreitung der elastischen Wellen in der Flhsigkeit, d. h. der Schallge- schwindigkeit, sei. Nur in diesem Falle finder eine reelle Rotation der Fliissigkeit um den fliegenden Ktirper herum statt. Die Mechanik des Widerstandes gegen die Bewegung der Korper, welche mit einer Oberschallgeschwindigkeit fliegen, ist aus ganz erklklichen Grtinden noch wenig erforscht. Aber vom Standpunkt der formalen Hydrodynamik aus betrachtet, muO es auch ftir sie eine Zirkulation geben, weil die Be- obachtung uns lehrt, daO ihr Flug von intensiven Wirbel- bildungen begleitet wird. Infolgedessen - dem Stokcsschen Theoreme gemW - werden die momentanen Geschwindig- keiten der Fliissigkeit so verteilt, als ob die Zirkulations- bewegungen wirklich stattanden. Als Folgerung davon wird SCiruRows&s Theorem auf Geschwindigkeiten, die groi0er als Schallgeschwindigkeit sind, angewandt. Ballistische Beob- achtungen k6nnen leider nicht den Effekt der normalen Kom- ponente entdecken; im angegebenen Falle ist er tilein im Vergleich zum Stirnwiderstand, Seine game Wirkung besteht in einer gewissen Verllnderung der SchuOweite; sie wird mit der Wirkung des Stirnwiderstandes vermischt, und da diese letztere kleine rationelle Theorie besitzt, kann sie von ihr nicht getrennt werden.

Alle diese Erwilguagen notigen uns, den Effekt der normalen Komponente in der Bewegungstheorie der Himmels- koirper im widerstehenden Mittel zu berechnen. Natiirlich erscheint die ganze Theorie als Resultat einer weitgehenden Extrapolation. Das ist eben der Kern der Frage; die Theorie der tangentiellen Komponente beruht auch auf einer Extra- polation der Tatsachen der aufleren Ballistik.

Doch bevor wir den aerodynamischen Standpunkt ver- lassen und zu demjenigen der Himmelsmechanik iibergehen, ist es notig, die wichtige Frage zu losen uber die Richtung der Zirkulation des Mittels um den sich bewegenden Planeten und die Richtung der normalen Komponente zu bestimmen. Es ist unmgglich diese Frage a priori nir symmetrische und nur translatorisch bewegte K6rper EU l&n. Wenn aber ein sich bewegender K6rper sich nm eine Achse, welche durch ihn hindurchgeht, umdreht, so wird die Richtung der Zirkulation

l) k k ~ t ~ . Aerodynamik. Vol. 1. 3 N. Y o ~ o w J ~ ~ . ACrodpmique p. 139. Paris. Gautbier-Villam 1916. i a

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im zweidimensionalen Raume vollkommen bestimmt; da der sich herumdrehende Planet das Mittel mit sich zieht, so wird die niomentane Zirkulation die Richtung der Rotation selbst haben. Lord Ruylcigh weist darauf hin, dat3 eine Kugel, welche sich rasch um ihre Achse dreht, wenn sie in senkrechter Richtung in der Luft fliegt, eine betrachtliche Deviation bemerken lafit, die dabei entstehende Lufthebungskraft kann bei vertikalem Flug sogar der Schwerkraft als Gleichgewicht dienen.

Betrachten wir jetzt die zweidimensionale Bewegung des Planeten, indem wir uns denselben vorstellen als einen Diskus, welcher sich urn eine Achse, die

ist und durch das Zentrum des Dis- kus hindurchgeht. Wenn Y die Bahngeschwindigkeit des Planeten ist, so wird der Vektor - Y die re- lative Geschwindigkeit des hlittels darstellen (des der Bahnebene parallelen Stromes). Die direkte Rotation des Planeten ruft eine Zir- kulation ebenso in direkter Rich- tung hervor. Nach dem Theorem von Schukows&~ sol1 sich die Kraft P nach der inneren Normale der Bahn richten.

11. U b e r s l k u l a r e S t o r u n g e n , we lche d u r c h d i e nor- m a l e W i d e r s t a n d s kom p o n e n te h e r v o r g e r u f en werden.

Wenn wir voraussetzen, dat3 die Dichtigkeit des Mittels im umgekehrten Verhaltnis zur stcn Potenz der Entfernung Y

von der Sonne abnimmt, so erhalten wir, da die Zirkulation der Geschwindigkeit proportional ist, fur die normale Kom- ponente P den Ausdruck P= kYz/r', wo k eine fur den gegebenen Korper charakteristische Konstante ist.

*/.--._ perpendikular ZurBewegungsebene . ,' ,* -.>--.*$,

Da P und der tangentielle Widerstand R unabhlngig voneinander wirken, werde ich den gut erforschten EinfluO von R nicht berucksichtigen. Ich will nur darauf aufmerksam machen, dat3 er zu einer akularen Verminderung der g r o k n Halbachse und Exzentrizitilt reduziert wird.

Nun seien S und T Projektionen der Kraft P auf den Radiusvektor und die Senkrechte zu demselben in der Richtung zunehmender Langen. Wenn wir die Storungen von E nicht berucksichtigen, konnen wir folgende Gleichungen der Variation der willkurlichen Konstanten niederschreiben in der GuuJschen Form fur den Fall des storenden Einflusses seitens des wider- stehenden Mittels :

da/dt = (2 /n) * ( I -c*)-'/' { SC cos W + T( I +C COSW))

dc/dt = ( I - ~ ~ ) ~ " / r z u X

e d a / d t = ( I -c2)'l*/nu X ~ { S s i n w + T[COSZU+(COSW-C)/(I+-CCOSW)]}

X { --S cos w+ T [ I + I / ( I +c cosw)] sin w ] . Hier ist w die wahre Anomalie.

Radiusvektors und der Tangente, so wird S = - P s i n v

Wenn 3 der Winkel ist zwischen den Richtungen des

T = P c o s v . Wenn wir nun l/r nach seiner Tangente mit Hilfe der

Yolargleichung der Bahn bestimmen, erhalten wir : s = - P( I +c cos w)/ ( I + c? + 2c cos w)" T = Pesinw/( I +fa+ zccos w)'".

Indem wir S und T in die Gleichung fur da/dt ein- setzen, werden wir uns uberzeugen, daO die normale Kom- ponente auf die grot3e Achse keinen EinfluO ausubt; dieses Resultat war natiirlich auf Grund elementarer Betrachtungen vorauszuse hen.

Fiir die Storungen der anderen Elemente erhalten wir:

dc/dt = - ( I - c?)*/* 4 Y r sin w / [ 91 a r' ( I +c cos IU) ( I +ce + zc cos w)'/'] c dG/dt = ( I -c2)'/' k Y2 (cosw+2c+c2 cos~o)/[rzu r' ( I + c * + z c ~ ~ ~ w ) ' ~ ~ ( I +ccosw)] .

Wenn wir einsetzen Y 2 = (A2/p) - ( I +c2+ 2c coszu), wo A die Gravitationskonstante ist, und als neue Verander- liche tu einfiihren durch die Relation d i = r2dul/Ap1/*, erhalten wir:

dc/dm = - k s i n w ( ~ + c ~ + ~ c c o s w ) ' ~ ' ( ~ - e * ) ( ~ + c c ~ s w ~ ~ ~ / ~ ~ ~ c d a / d w = k (1+c?+2ccosw)~~*(cosw+zc+c?cosw) ( ~ + c c o s w ) ~ - ~ / p ~ - ~ .

Die Integration der ersten Gleichung gibt fur de eine periodische Summe. Die normale Komponente ruft also keine

\Venn wir c" nicht berucksichtigen, erhalten wir: sakularen Storungen der Exzentrizitat hervor. Ihr Vorhandensein beweist aber die sakulare Perihelbewegung.

c d a / d w = (R/d-') [ ( I + zc) + ( - - ) cos w+ ( * . * ) cos z w+ - - -1 . Eine Integration fur den Verlauf einer Umlaufsperiode

Dies ist die sakulare Perihelbewegung im direkten Sinne. Da s negativ ist und wahrscheinlich infolge einer starken Kondensation des Mittels bei der Sonne betrachtlich ist, so wird die sakulare Perihelbewegung besonders bei den inneren Planeten bemerklich sein. Iler Koeffizient k ist von der (;roRe des Himmelskorpers, von seiner Form und der Ge- schwindigkeit der Rotation urn seine Achse abhangig.

Ich bin weit entfernt davon, durch das Vorhandensein einer normalen Komponente gewisse Anomalien in der Be- wegung des Rlerkur erkliiren zu wollen. Ich mache nur darauf aufmerksam, daR zu allen moglichen, sogar wahrscheinlichen

ergi bt : c da = k ( I + 2 C ) 2 n / d - r . Einflussen (Abplattung der Sonne, kosmische Staubwolke usw.), welche die Apsidenlinie Merkurs storen, noch einer hinzutritt. Das erweckt einen noch groReren Verdacht gegen die Ge- nauigkeit, mit welcher die Relativitiitstheorie die Anonialien der Perihelbewegung des Merkur erklart. 111. U b e r d a s w i d e r s t e h e n d e Mi t t e l n a c h M. VaZicr.

Das die Sonne umgebende Mitiel wird wohl kaum un- beweglich sein. Schon Fuyc vermutete, daO es sich gleich- mlflig um die Sonne herumdrehe, und hat den Widerstand, welchen es der Bewegung der Himmelskorper entgegensetzt, erforscht. A. A. Iwanow hat eine erschopfende Analyse fur diesen Fall gegeben (rnit der wenig wahrscheinlichen An- nahme, dafl der Widerstand der ersten Potenz der Geschwin-

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digkeit proportional sei). Es war aber klar, daB diese Ltisung des Problems kaum auf die Himmelsmechanik angewandt werden ktinne.

Desto interessanter ist eine neue Bewegungsart des Mittels, auf welche M. Yalier in AN 216.303 hinweist. In- dem er darauf aufmerksam macht, dafi der Raum um die Sonne durch eine Menge von Partikeln, welche durch die Kraft des Radiationsdrucks abgestokn werden, erfullt ist, hiilt er es fur moglich zu vermuten, daB dieses Mittel eine enorme Kadialgeschwindigkeit, welche von der Sonne weg gerichtet sei, besitze. Weitere Uberlegungen fUhren Vulic~ zu der Vermutung, dafl diese Geschwindigkeit die tangentielle Komponente des Widerstandes des unbeweglichen Mittels so- zusagen aufheben ktinne, und auf diese Weise erklirt er manche ratselhafte Erscheinungen in der Kometenbewegung.

Diese interessante Vermutung Vulins ist durch die gewohnliche Methode der Siikularsttirungen zu prUfen. Wir haben selbstverstandlich keinen Grund zu vermuten, dafl die Radialgeschwindigkeit des Mittels so enorm whe, wie Yalicr annimmt. Der interplanetare Raum ist von Partikeln, welche die verschiedenartigsten Bewegungsgrtikn besitzen, erfullt. Da sind die kleinen Partikel, welche durch die Kraft des Radiationsdruckes abgestokn werden, eine grok Menge von hyperbolischen Meteoriten, abgesehen von den parabolischen Stromen; da sind auch Produkte des Zerfalls der Kometen, welche sich in einem Zustande fast relativen Gleichgewichts befinden. Es scheint ratsamer, wenn wir ftir die der Sonne nachsten Regionen eine kleine radiale (von der Sonne weg gerichtete) Geschwindigkeit des Mittels zulassen. Indem wir

Charkow, Ukraina, Sternwarte, 192 2 Dezember.

diese allein wahrscheinliche Hypothese annehmen, werden wir das Quadrat des Verhiltnisses v/ Y vernachlbsigen, wo v die Geschwindigkeit des Mittels in bezug auf die Sonne, Y die Bahngeschwindigkeit des Himmelskorpers ist.

Sei Vl die relative Geschwindigkeit des Mittels, a ihr Winkel mit dem Radiusvektor (d. i. mit der Geschwindigkeit v), der Winkel zwischen v und V ist offenbar 180"-9. Die Losung des Geschwindigkeitsparallelogramms ergibt :

6 2 = V S + v S - 2 v Y c o s ~ Wenn wir das Quadrat von E = v / Y vernachlassigen,

sina = s i n t , b + 2 ~ s i n ~ c o s ~ cosa = - c o s ~ + 2 s s i n 2 ~ . Wir werden den Widerstand durch folgendes Quadrat-

gesetz ausdrllcken : K = e v, 2 . Es seien S, und 7"' die Komponenten in der Richtung

des Radiusvektors und senkrecht dazu desjenigen Teiles des Widerstandes, welcher von v abhangig ist. So finden wir:

Sl = ~ X Q Y * E Tl = 0 .

Wenn wir die erhaltenen Ausdriicke in die Gleichungen der Sakularsttirungen einsetien und dieselben auf die neue Verinderliche w umformen und sie integrieren, so erhalten wir die Sttirungen der Elemente als periodische Summen ohne konstante Glieder.

Hiernach wird das von Yulier angenommene Mittel, unter der allein wahrscheinlichen Annahme in bezug auf seine Geschwindigkeit, keine dkularen Storungen der Elemente be- wirken, als Zusatz zu den gut erforschten Storungen infolge des Widerstandes des unbeweglichen Mittels.

sina = v/Yl.sinq.

haben wir: V l y t = I + 2 E C O S l y

B. Grrasimouit.

La deviazione dei rag@ stellari nel campo gravitazionale del Sole durante l'eclisse totale del 10 Settembre 1923. Di Pio EnzangelZi. (Mit einer Tafel.) -

Le spedizioni astronomiche che osserve- No, ranno questo eclisse nel Messico si sono proposte = principalmeate di raccogliere del materiale foto- grafico per lo studio della flessione dei raggi stellari nel campo gravitazionale del Sole, se- condo Einstein. 4

A1 tempo dell'eclisse, il Sole si troveri 5 in una parte della costellazione del Leone, dove 6 le stelle saranno a1 di sotto della 6lltrn, ad 7

a 9

eccezione del no. 63 (=BD+6"2437 =LpzII

Nella seguente tabella sono elencate tutte I I

le stelle di grandezza >9m7 che si troveranno, 12

a1 tempo dell'eclisse, nella regione celeste, a1 '3 I4 ' 5

cui centro & il Sole, e la cui estensione & di 16" quadrati (4" di lato). Questa regione e 16

1 7 Nella I. colonna della tabella & il no. 18

d'ordine; nella 2. il numero nei Cataloghi I 9

dell'A. G. (A = Albany, I, = Leipzig 11); nella I 3" e nella 4. la posizione per il 1923.7 ; nella 22

5" e nella 6. le coordinate x e d y delle stelle 23

I

5778 = uLeonis) la quale i? di 4'". I 0

riprodotta nel diagramma (Tav. I).

20

- m(1923.7:

I I h 4'"18' 4 24 4 32 4 5 0

4' 53 5 1 5 I 7 5 29 5 57 5 59 6 1 1

6 14 6 30 6 47 7 1 7 7 24 7 26

' 7 26 7 39 7 5 0

9 4 9 4

8 53

+ 3" 56!8 3 36.5 3 38.2 5 24-3 4 36.0 5 28.1 6 37.0 6 39.6 6 10.8 4 7 .5 3 46.6 6 43.2 4 8.9 6 56.9 5 0.7 5 30.7 3 55.7 6 22.5 2 57.1 6 14.1 5 18.3 5 38.9 5 6.1

X

+ 2.482 + 2.455 +2.415 +2.320 + 2.308 +2.265 +2.180 +2.121 + 1.983 + 1.985 + 1.92 I

+ 1.897 + 1.827

+ 1.589 + 1.553 + 1.546 + 1.540 + 1.488 + 1.422 + 1.1 10

+ I . 0 5 5 + 1.056

1.732

Y

- 1.37 I

- 1 . 7 7 7 - 1.744 +0.380 -0.588 +0.454 + 1.834 + 1.885

-1.157 - 1.576 +1.958 - 1.128 +2.23 I

- 0.092 +0.506 - 1.394 +1.542 - 2.565 + '-375 +0.259 +0.67 I

+ O . O I S

1.309

- Gra Vis. __ -

7m8 8.8 7.8 8.5 9.4 8.6 9.7 9.5 8.6 8.5 8.7 8.7 9.4 9.4 9. I

9-0 8.3 8.6 8.3 8.8 8.9 8.7 9 -0

- A - - I4 I!9 I 5 1.5

149.0 I I 7.6 I 19.1 I I 5.5 142.4 141.8 I I 8.8 I 14.8 124.3 136.2 107.4 141.3 79.5 8 1.6

104.1 109.0 148.2 98.9 57.0 62.5 52.8

12.

- D

~ -

j.2 0

. I 8

.I9 -24 -23 -24 . 2 0

.20 *2 3 -24 .2 2

. 2 0

.26

.3 5 -34 -2 7 .26 -19 .28 -49 *45 *5 3

. 2 0