Über die integrale algebraischer differentialgleichungen

Tber die Integrale algebraischer Difforentialgleichungen.

Von ERICH KAHLER in Hamburg.

Eins der wichtigsten und schwierigsten Probleme der Analysis ist die Integration der algebraischen Differentialgleichungen. Im allgemeinen sind die dutch eine algebraische Differentialgleichung bestimmten Funk- tionen transzendenter Natur, aber sie sind gleiehsam auf algebraischem Boden gewachsene Transzendente, die ihre Herkunft dutch irgendwelche besonderen Merkmale verraten mfissen. D'as Integrationsproblem besteht gerade darin, die aus algebraisehen Differentialgleichungen entspringenden Funktionalrelationen zwischen den auftretenden Variablen durch ,,innere Symmetrien" zu kennzeichnen.

Als der erste umfassende Vorstof auf" dieses Problem ist die Ent- deckung des Abelschen Theorems anzusehen. In der Tat gestattet dieses Theorem eine vollsti~ndig befriedigende L0sung aller Differential- gleichungen yon der Form d y ~ ~ ( x ) d x , wo ~(x) eine algebraisehe Funktion von x allein ist. Sodann hat POINCAR~, dem das Integrations- problem besonders am Herzen lag, durch die Aufstellung der fonctions Fuchsiennes und zgtafuchsiennes alle ffir die Integration der linearen algebraischen Differentialgleichungen mafgebenden Gesichtspunkte erfaft, wenn aueh im einzelnen noch manche Fragen zu erledigen sind. Bei den nichtlinearen Gleiehungen ist bisher nur in ganz wenigen FAllen eine im obigen Sinne geschlossene Integration gelungen. Die Frage nach Differentialgleichungen, deren altgemeine Ltisungen eindeutige Funktionen sind, hat bei Gleichungen 1. Ordnung nur elementare Typen ergeben, und die yon PAINLEVI~ entdeckten derartigen Differentialgleichungen h(Iherer Ordnung sind von zu spezieller Struktur, als daft ihre Unter- suehung das Integrationsproblem sonderlieh f0rdern k0nnte. Dagegen betreffen die von PICARD eingeleiteten Untersuchungen fiber die totalen Differentiale auf algebraisehen Fliichen eine recht wichtige Klasse yon Differentialgleichungen 1. Ordnung, ni~mlich alle die, welche einen algebraischen Multiplikator besitzen.

In der vorliegenden Abhandlung wird versucht, durch Betrachtungen aus der Funktionentheorie zweier Variablen einen neuen Zugang zu dem allgemeinen Integrationsproblem zu gewinnen. Tatsachlich ffihren diese Uberlegungen auf eine ausgedehnte Klasse von algebraischen Differential- gleicbungen 1. Ordnung, die mit den hyperabelschen Funktionen in

356 E. Ki~hler.

engem Zusammenhang stehen und deren ni~here Erforsehung sowohl im ginblick auf die Funktionentheorie zweier Variablen wie auf das Integrationsproblem zu wfinschen ist.

(A)

.

Im folgenden wird das allgemeine Integral

F(x, y) ~- konst.

einer algebraischen Differentialgleichung

dx _ dy p (x, y) q(x, y)'

als Funktion der beidenVeri~nderliehen x,y untersucht. Aus Betrachtungen fiber die allgemeinen Eigensehaften der Funktion _F(x, y) werden einige neue Gesichtspunkte gew0nnen, die ffir die stilgerechte Integration einer Klasse yon Differentialgleichungen matigebend sind.

Das Integral obiger Differentialgleichung kann in unendlich mannig- faeher Weise auf die Form (A) gebraeht werden; denn bezeiehnet O(w) eine beliebige analytische Funktion von w, so ist neben (A) auch

�9 [F(x, y)] = konst.

eine Form des Integrals. Audererseits werden auf diese Weise auch alle m5glichen Formen gewonnen. Trotz dieser Willkiir in der Wahl der Integralfunktion F(x , y) lassen sich fiber deren analytische Eigen- schaften folgende allgemeinen Aussagen machen:

1. Die singularen Gebilde yon F(x , y) bestehen, soweit sie nicht mit

den Verzweigungskurven des Quotienten p (x, y) q (x, y) zusammenfallen,

aus Integralkurven, 2. Setzt man die Funktion F(x , y) li~ngs eines gesehlossenen Weges

in der durch p (x, y) bestimmten vierdimensionalen Riemannschen q (x, y)

Mannigfaltigkeit /~ analytisch fort, so erleidet F(x, y.) eine Trans- formation yon der Form

F ' (x, y) = �9 [F (x, y)],

wo �9 eine analytische Funktion bezeichnet. Die letztere Eigenschaft legt es nahe, nach solchen Differential-

gleichungen zu fragen, bei denen sich eine Integralform F(x , y) finden lal~t, deren si~mtliche Substitutionen �9 linear sind. Setzt man weiter voraus, daft F(x , y) nur isolierte singuli~re Kurven besitzt - - eine Ausdrucksweise, die spi~ter pri~zisiert wird - - so schliel~t man unter

Integrale algebraischer Differentialgleichungen. 357

Zuhilfenahme des ersten Satzes, da6 F(x , y) nur eine endliche Anzahl algebraischer Kurven als Singulariti~ten besitzt und ferner al s Quotient zweier unabhiingigen L~sungen eines simultanen Systems 2. Ordnung

OZ a Z ~ Z ~Z p~-~x ~ - q ~ y + r Z ~- O, 3x ~ +g~-~x + h Z - ~ 0

mit in R eindeutigen (ira allgemeinen algebraischen) Koeffizienten dar- gesteUt werden kann. Die auf solche Weise ausgewi~hlten Differential- gleichungen bekommen dadurch noch besonderes Interesse, dal~ die von PICARD eingeffihrten hyperabelschen Funktionen sich ihnen unterordnen.

Einige Tatsachen aus der Theorie der Funktionen zweier komplexen Yer nderlichen.

2.

Da in den folgenden Untersuchungen viel yon Betrachtungen aus der Theorie der Funktionen zweier komplexen Variablen Gebrauch gemacht wird und wegen des noch sehr jugendlichen Stadiums dieses Zweiges die betreffenden Vorstellungen und Ausdrucksweisen noch wenig ausgebildet sind, so seien bier einige Definitionen und Tatsachen aus diesem Gebiete vorausgeschickt.

Der Raum der komplexen Variablen x, y ist eine geschlossene vierdimensionale Mannigfaltigkeit R4. Man denke sich die x-Ebene und die y-Ebene stereographisch auf zwei Kugeln X, Y bezogen. Die durch Zuordnung der Punkte yon X zu denen yon Y definierte vierdimensionale Mannigfaltigkeit ist ein anschauliches Bild fiir den topologischen Charakter yon R~1). Insbesondere folgt daraus, dal] die beiden unendlich fernen Gebilde (x z ac, y beliebig), (x beliebig, y ~ ~ ) als geschlossene zweidimensionale Mannigfaltigkeiten (Fli~chen) angesehen werden mfissen, die sich nur in dem einen Punkte (x ~ ~ , y ~ ~ ) schneiden.

Die Ungleichungen

I x - - xo I ~ 01, I Y - - yo I ~ Q~ (0~" r hinreichend klein)

definieren eine Umgebung des Punktes (Xo, yo), wenn Xo, yo endlich sind.

I s t x o : r o d e r y o : a c , so i s t x - - x o dutch 1 bzw. y - - y o durch 1 x y

zu e.rsetzen. Bei allen unseren Uberlegungen, wo auf die M0glichkeit, da6 xo oder Yo ~ oo sein k(innen, nicht besonders Rticksicht genommen wird, ist in solchem Falle die eben genannte Substitution vorzunehmen.

1) //, ist das topologische Produkt der beiden zweidimensionalen Mannigfaltig- keiten X und Y.

358 E. g~hler.

Unter einer analytischen Kurve ist die durch eine monogene analytische Relation zwischen x und y bestimmte zweidimensionale Mannigfaltigkeit im R4 zu verstehen. Ist eine solche Kurve K in der Umgebung einer Stelle (Xo, Yo) in der Form

?~(X--xo, y - -yo) ~ 0

darstellbar, wo ~ eine mit Gliedern 1. Ordnung beginnende Potenzreihe bezeicbnet, so heist (Xo, yo) ein einfacher Punkt yon K.

Eine analytische Funktion F(x, y) kann hie in einem isolierten Punkte singular werden, vielmehr sind im niedersten (bei den Anwendungen allgemeinen) Falle die singuli~ren Gebilde analytische Kurven.

Eine algebraische Funktion z (x, y) ist durch eine irreduzible Gleichung

f (x , y, z) : 0 ( f ein Polynom)

definiert. Die singularen Gebilde yon z(x, y) sind si~mtlich algebraisehe Kurven, und zwar figurieren sie als Pol- und Verzweigungskurven. Ist n d e r Grad yon f in bezug auf z, so bestimmt die Funktion z(x, y) durch ihre analytische Fortsetzung in bekannter Weise eine fiber dem (x, y)-Raum n-faeh ausgebreitete Riemannsehe Mannigfaltigkeit R.

Setzt man einen bestimmten Zweig Zo(X, y) von z(x, y) dureh die ganze, hinreichend klein gew~hlte Umgebung ~ eines Punktes (xo, yo) analytisch fort, ohne dabei aus ~ herauszutreten, so heiflt die Gesamtheit der hierbei berfihrten Punkte yon R eine Umgebung des Punktes (Xo, yo, zo). Diese Umgebung kann relativ zu R~ mehrbli~ttrig sein, dann ni~mlich und nur dann, wenn zo (x, y) in der Umgebung yon Xo, yo verzweigt ist.

Es sei (Xo, yo, Zo) ein Punkt von R, durch den nur eine Verzweigungs- kurve Q(x, y)-----O, und zwar einfaeh hindurchgeht. Ein solcher Punkt heift nach einer yon Herrn WIRTINGER ~) eingefiihrten Bezeichnung ein singul~trer Punkt 1. Art des Zweiges Zo (x, y). In der NiChe yon (Xo, yo, zo) bilden dann einige Zweige, etwa Zo, zl, z~, ..., z~-i der Funktion z(x, y) einen Zyklus, so daft die Umgebung 2~ yon (Xo, yo, Zo) durch eine Ent- wicklung yon der Form

1

z (x, y) ~ ~3o (x - - Xo, y - - Yo) + Q ~" ~1 (x - - Xo, y - yo) ~ - " "

�9 .. ~- Q " �9 ~ - 1 (x - - Xo, y - yo)

gekennzeichnet wird . .Dabei bedeuten die ~3i gew6hnliche Potenzreihen in X--Xo, Y--Yo, und es ist vorausgesetzt, daf z(x, y) in 2~ endlich bleibt; andernfalls ist das Produkt P(x, y). z(x, y), wo P ein geeignet gewahltes Polynom bezeichnet, in ~" endlieh und daher fiir dieses eine Darstellung yon obiger Form gfiltig.

2) Vgl. K. BRAUNER, Hamb. Abh. 6 (1928), S. 1-55.


Ist (Xo, Yo, zo) ein nicht einfaeher Punkt der Kurve Q ~ 0 oder ein Punkt, der zugleich einer anderen Verzweigungskurve angehCirt, so nennt man ihn einen singularen Punkt 2. Art des Zweiges zo (x, y). In der Umgebung einer solchen Stelle kann die Verzweigung yon zo(x, y) auch nicht zyklisch sein, wie aus den Untersuehungen yon Herrn BBAUNER s) hervorgeht. Die singularen Stellen 2. Art sind nur in endlicher hnzahl vorhanden.

Als lokale Parameter einer Stelle (xo, yo, zo) bezeiehnen wir solehe komplexe Gr6~en u, v, durch die die Umgebung von (xo, yo, zo) eineindeutig auf die (,,einblattrige") Umgebung des Punktes u ~ 0, v ~ 0 im (u, v)-Raum abgebildet wird. Ftir eine singulare Stelle 1. Art bestimmen die Gleichungen

a (x - - Xo) ~- b (y - - yo) ~ u, Q (x, y) ~-- v ~

bei geeignet gewahlten Konstanten a, b ein Paar yon lokalen Parametern. Ftir die singularen Stellen 2. Art miiflte die Existenz der lokalen Para- meter in dem hier definierten Sinne noch genauer untersucht werden.

Man sagt, eine auf R erklarte Funktion F(x , y, z) verhalt sich an einer Stelle (Xo, yo, Zo) relativ regular, wenn sie sich in der Umgebung dieser Stelle in Form einer Potenzreihe in den lokalen Parametern u, v - - relativ rational, wenn sie sich als Quotient zweier solcher Reihen darstellen lai~t.

Eine auf R eindeutige Funktion F(x , y, z), die sich tiberall auf R, evtl. mit Ausnahme gewisser isolierten Stellen (a~, bi, cl), (az, bz, c~), . . . , relativ rational verhalt, ist eine rationale Funktion von x, y, z.

Beweis. Es seien z~, z~ , . . . , zn die zur Umgebung eines Punktes (Xo, yo), ,tiber ~ dem kein Verzweigungsgebilde yon z(x, y) liegt, geh(irigen n Zweige yon z(x, y) und F1, F. , . . . , F , die entsprechenden Zweige tier Funktion F(x , y, z), Die Ausdrticke

Zk ( x , y) = ~ . F~ --~ ~ F.2 -~ . . . ~- zkn . F n ( k = O, 1, 2 , . . . , n - - l )

lassen sich unter Vermeidung gewisser isolierten Stellen durch den ganzen (x, y)-Raum eindeutig fortsetzen und zeigen dabei aus Symmetriegriinden fiberall, evil. mit Ausnahme jener isolierten Stellen, den Charakter einer rationalen Funktion yon x, y. Daraus folgt aber4), dab Zk (x, y) eine rationale Funktion von x, y ist. Aus den n obigen Gleiehungen bestimmt sich hierauf FI als rationale Funktion von x, y, zl.

3) Vgl. loc. cit.2), ferner: E. K.I~HLER, Math. Zeitschr. 30, S. 188--204. ~) Zufolge einer leicht beweisbaren Verallgemeinerung des Satzes, dal~ eine

Funktion F(x, y), die sich fiberall im (x, y)-Raum rational verhiflt, eine rationale Funktion ist. Siehe HVRWITZ, J. f. Math. 95 (1883), S. 201--207.

360 E. K~thler.

Eine analytische Kurve K in R ist, wenn R mehrbli~ttrig ist, durch die zwischen x und y bestehende analytisehe Beziehung noch nicht eindeutig festgelegt. Es ist vielmehr n0tig, den Verlauf von K in den einzelnen Bli~ttern von R zu fixieren, was am besten dadurch geschieht, da~ man noch die zwischen x und z bestehende monogene Relation hinzuffigt. Ein Punkt (Xo, yo, zo) yon K heii~t dann ein relativ zu R einfacher Punkt, wenn sich K in den zugeh(Irigen lokalen Para- metern u, v in der Form

v) ---- 0

darstellen li~fit, unter ~ eine mit linearen Gliedern beginnende Potenzreihe verstanden.

Unter den topologischen Charakteren einer Riemannschen Mannig- faltigkeit R ist von besonderer Wichtigkeit die 1. Bettische Zahl P1, welche die um 1 vermehrte Anzahl der in bezug auf Homologien unabhi~ngigen geschlossenen Linien in R angibt. Ist P1 ~---1, so nennt man R eine reguli~re Mannigfaltigkeit im Gegensatz zu den irregularen, bei denen PI ~ 1 ist.

I. Allgemeine Eigenschaften des Integrals einer algebraischen Differentialgleichung.

Die Koeffizienten der

(1) p

seien rationale Funktionen

~

Differentialgleichung

OF OF __ 0 -~-xx + q o y

des durch eine Gleichung n-ten Grades

(2) f ( x , y, z) --~ 0

in z definierten K0rpers R . Ohne Einschri~nkung kann vorausgesetzt werden, da~ fiber den Kurven x ---- r und y z ~ keine Verzweigungs- gebilde yon z (x, y) liegen, was durch eine einfache birationale Trans- formation stets zu erreichen ist. Da p und q noch mit einem beliebigen Proportionaliti~tsfaktor versehen werden k6nnen, dtirfen wir ferner annehmen, da~ p, q ira Endlichen nirgends unendlich werden.

Es soll zuni~chst gezeigt werden, dai~ es mit Ausnahme einer endlichen Anzahl yon Stellen in der Umgebung eines beliebigen Punktes (xo, yo, Zo) v o n / / e i n e Form des Integrals yon (1) gibt, welche sich dort relativ regular verhi~lt. Dies folgt aus dem Satz yon S. v. K0WALEWSKI.

Ist (Xo, Yo, Zo) ein im Endlichen liegender Punkt yon /~, der auf keiner Verzweigungskurve von z(x , y) liegt und ffir den nicht beide

Integrale algebraischer D{fferentialgleichungell. 361

Koeffizienten p, q verschwinden, so braucht man n u r - wenn z .B. q (xo, yo, Zo) ~: 0 ist - - die Gleichung (1) in der Form

OF __ p OF 0y q 3x

zu schreiben und etwa die fiir y ---- yo sich auf F ( x , yo) ~ x - - Xo reduzierende L(isung zu bestimmen, um ein Integral v o n d e r verlangten Form zu bekommen.

Es sei jetzt (xo, Yo, zo) ein im Endlichen gelegener einfacher, freier Punkt einer Verzweigungskurve Q (x, y) ~ 0 yon z (x, y), d. h. ein einfacher Punkt yon Q ~--- 0, der nicht zugleich einer anderen Verzweigungs- kurve angehtirt. In der Umgebung eines solehen Punktes lassen sich p und q in der Form

1 2

~o ( x - - Xo, y - - Yo) + Q-f" $~ (x - - xo, y - yo) -~ Q~-" $~ (x - - Xo, y - - yo) -[- �9 V--1

�9 .. ~ Q " �9 ~3,.-1 (x - - Xo, y - yo)

darstellen, wo ~i gewtihnliche Potenzreihen in (x - -xo) , ( Y - - Y o ) bezeichnen und v die Anzahl der li~ngs Q ~ 0 zusammenhi~ngenden Zweige yon z ( x , y) angibt. Durch die Substitution

a ( x - - x o ) ~ b ( y yo) ~ u , Q ( x , y) - ~ v",

welche in der Umgebung yon Xo, yo bei geeigneten Werten a, b regular nach x, y aufgelOst werden kann, wird die Umgebung der Stelle (xo, Yo, zo) eineindeutig auf die einfache Umgebung des Punktes u ~---0, v ~ 0 im (u, v)-Raum abgebildet. Die Funktionen p, q gehen hierbei in Potenz- reihen nach u, v fiber, und die Gleichung (1) transformiert sich in

O F O F - - O, (pu~ + quy)-~-~u -~- (pVx + qvu) O v

d. h. in

(3) v . (ap q- bq) v "-1 O F OF _ O. Ou q - ( P Q * f f q Q Y ) Ov

Ist der Ausdruck p Q x q - q Q y nicht ftir alle Punkte yon Q ~ 0 gleich Null, so verschwindet er nut ffir eine endliche Anzahl yon Punkten; werden diese ausgeschlossen, so gibt es in der Umgebung jedes der fibrigen Punkte (Xo, yo, Zo) yon Q ~ 0 eine dort reguli~re L~isung F (u, v) von (3), die ffir v ---- 0 in F ( u , O) ~-- u fibergeht.

Verschwindet jedoch p Q x ~ q Q y fiir alle Punkte yon Q ~ 0, so 1

ist dieser Ausdruck durch eine gewisse Potenz v x von v ----- Q7 teilbar. Der fibrigbleibende Faktor

362 E. Kithler.

p Qx-]- qQy ).

kann dann nur fiir endlich viele Punkte von Q ~ 0 verschwinden; diese m6gen wieder ausgeschlossen werden.

Wenn ~ v ist, stellt Q ( x ~ y ) ~ 0 eine singulare L6sung der Differentialgleichung

(4) dx dy P q

dar. Nach Division mit v ~ erhalt man aus (3) eine Gleichung, auf welche dieselben Schltisse wie oben angewandt werden k6nnen.

Im Falle it ~ j, ist Q ~ 0 eine partikulare L0sung yon (4). Hier kann man in jedem einfaehen, freien Punkte yon Q ~ 0, ftir den p und q nicht gleichzeitig verschwinden, durch passende Wahl yon a, b erreichen, da~ in

~F pQx~-qQy ~F ~u ~,(ap-~- bq)v "-1 Ov

OF der Koeffizient yon ~ regular ist. Nach dem Satz yon K0WALEWSKI

existiert dann eine regulare L6sung F(u, v), die sich fiir u ~ 0 auf F (0 , v) ~ v reduziert.

Schliefilich ist noch das Verhalten im Unendlichen zu untersuehen. Da x ~ Qc keine Verzweigungskurve sein soll und deshalb n versehiedene Kurven auf R darstellt, so gilt in tier Umgebung eines allgemein

gewahlten Punktes (r yo, zo) fiir p-- eine Entwicklung q

q

1 mit ganzem m, wo ~ eine Potenzreihe in - - , y - - y o bezeiehnet. Setzt

x

1 man - - = u, y - - y o - - v und fiihrt dies in (1) ein, so entsteht

x

0 v ~u

Je nachdem ob 2 - - m ~ O odor m - - 2 ~ 0 ist, wird man diese oder die folgende Form der'Gleichung (1)

a F u ~-2 ~ F ~ ~ (u, v) ~ v


zur Herstellung einer fiir die Umgebung yon (~ , yo, zo) holomorphen Form des Integrals verwenden, und zwar kann die L6sung im ersten Falle dureh die Bedingung F(u, 0) ~-- u, im zweiten dureh F(0, v) ~--- v fixiert werden. Das Velffahren versagt h6chstens in denjenigen Punkten, wo die Kurven x : oc yon q(x, y, z) --= O oder y : ~ oder einer Ver- zweigungskurve getroffen werden - - im Falle m 7 2 sind auch die

Stellen, wo ~ v.erschwindet, auszuschlielien --, auf jeden Fall nur

in endlieh vielen Punkten. Entsprechendes gilt fiir die Kurven y-- - -~ . Alles in allem findet die obige Bemerkung ihre Bestatigung. Wir

haben tiberdies gesehen, dab man fiir jeden der nicht ausgeschlossenen Punkte von R ein relativ regulares Integral finden kann, dessert Ent- wicklung mit Gliedern 1. Ordnung in den lokalen Parametern beginnt. Die endlieh vielen ausgeschlossenen Punkte m6gen im folgenden als die Punkte (ai, bi, ci) bezeichnet werden.

.

Betrachten wir nun eine ganz bestimmte Form F(x, y, z) ~- konst. des Integrals in bezug auf ihr Verhalten bei analytischer Fortsetzung auf tier zu (2) geh6rigen Riemannschen Mannigfaltigkeit R.

Ist (xo, Yo, zo) ein Punkt, in dem sich F(x, y, z) relativ regular verhMt, so kann F(x, y, z) langs der ganzen dureh diesen Punkt gehenden Integralkurve K yon (4) dx dy

P q

relativ regular fortgesetzt werden, sofern die Punkte (a~, bi, ci) dabei gemieden werden.

Beweis. Ware dies nicht der Fall, so mtiBte man bei analytischer Fortsetzung langs einer Linie L auf K - man beachte, dab K eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist - - von (Xo, yo, zo) ausgehend auf einen Punkt (xl, yl, z~) stoBen, yon dem aus F(x, y, z) nicht mehr relativ regular fortgesetzt werden kann. DaB dies nicht m0glich ist, erkennt man folgendermaBen.

Wir setzen voraus, dab L durch keinen der oben ausgeschlossenen Punkte geht. Es gibt dann nach w 3 fiir den Punkt (Xl, yt, zl) ein relativ regulares Integral F1 (x, y, z), dessen Entwieklung nach Potenzen der lokalen Variablen u, v in einer gewissen Umgebung 2 yon (x~, y~, z~) gleichmafiig konvergiert und auBerdem mit Gliedern 1. Ordnung beginnt. Da die Funktion F(x, y, z) sich in den zwisehen (Xo, yo, zo) und (x~, y~, z~) liegenden Punkten yon L relativ regular verhi~lt, so besteht in einer hinreichend kleinen Umgebung eines solchen Punktes (x.~, y~, z.~), voraus-

364 E. Ki~hler.

gesetzt, daf er innerhalb Z liegt, zwischen F(x , y, z) und Fi(x , y, z) eine analytische Relation

(5) F(x , y, x) ---- �9 [F~ (x, y, z)].

Die drei Gleichungen

- - 0 , - - 0 F~ ~ 0, ~u ~v

haben innerhalb ~ nur eine endliche Anzahl yon Ltisungen gemein, da

andernfalls sowohl ~ als auch ~ durch F~ teilbar waren und somit

ftir u ~ 0, v ~ 0, d. h. in (xi, y~, Zl) verschwinden wtirden. Wit ktinnen also den Punkt (x~, y~, z~) z (us, v~) so wahlen, daft die Entwicklung yon F~ nach Potenzen yon ( u - u~), (v--v~) folgendermafen lautet

= a( t - - + b ( , - - + . . . ,

wo a, b nicht beide gleich Null sind. Es sei etwa b 4 0. Die letztere Gleichung kann dann fiir hinreiehend kleine I F~[ und l u - - ~ ] nach v--v~ aufgeltist werden und ergibt ffir v - v~ eine Potenzreihe

(6) v - - ---- % ( u - - F , ) .

In der Umgebung yon (x~, y~, z~) gilt fiir F(x , y, z) nach Voraussetzung eine Entwieklung

F ~-- Co ~ cl (u - - u2) ~- c~ (v - - v~) -~ . . . .

Wird hier ftir v - v~ der Ausdruck (6) eingefiihrt, so muf aus dcr so entstehenden Darstellung yon F als Potenzreihe in F1 und u - us die Gr0fe u yon selbst verschwinden, und man erkennt durch Vergleich mit (5), daft die Funktion �9 ftir gentigend kleine [ F1 ], etwa ftir I F1 ] ~ e, regular ist. Die Beziehung (5), die ursprtinglich nur ffir die nachste Umgebung yon (x~, y~, z 2 ) ~ (us, v~) aufgestellt war, erkl~trt die Funk- tion F in dem ganzen yon ] F t l ~ e aus Z ausgesehnittenen Gebiete/7. Insbesondere erlaubt sie, die Funktion F(x, y, z) li~ngs L durch (xl,y~, zl) hindurch fortzusetzen, da der innerhalb ~ liegende Teil yon K auch in F enthalten ist. Hiermit ist die obige Behauptung bewiesen.

Wenn sich also F (x , y, z) in einem der nicht ausgeschlossen~n Punkte (xo, yo, zo) relativ regular verhalt, so gilt dies fiir die ganze durch (Xo, yo, zo) eindeutig bestimmte Integralkurve K mit Ausschluf der evtl. auf K liegenden Punkte (ai, hi, ci). Zeigt jedoch F(x , y, z) in (Xo, yo, Zo) singulares Verhalten, so ist K ffir F eine singul~tre Kurve. Die Singularitaten einer Integralfunktion verteilen sich demnaeh auf eine endliche oder unendliche Anzahl yon Integralkurven.


Da~ bei dem Beweise gewisse Punkte ausgeschlossen i~ndert am Resultat nichts; denn eine analytische Funktion Variablen kann keine isolierten singuli~ren Punkte besitzen.

wurden, zweier

.

Die in w 3 gewonnene Erkenntnis, da~ es ftir jede yon den Punkten (ai, b,:, ci) verschiedene Stelle (xo, yo, Zo) ein relativ reguli~res Integral gibt, dessen Entwieklung nach Potenzen der lokalen Parameter u, v mit Gliedern 1 .0 rdnung beginnt, erm0glicht in einfacher Weise, die Existenz und Uniti~t einer durch (Xo, Yo, zo) gehenden Integralkurve zu beweisen.

Es sei F(u, v) eine derartige Integralfunktion und

(7) du dv

p'(u, v) q'(u, v)

die naeh ~, v transformierte Differentialgleichung (4). Da F(u , v) der Gleichung

(s) q, - - 0

gentigt, so wird durch (9) F ( u , v) = o

eine durch (Xo, Yo, Zo) gehende Integralkurve festgelegt. Andererseits folgt aus (7) und (8), dab jede L0sung von (7), die sich in bestimmter Weise dem Punkte (Xo, yo, Zo) hi, bert, der Funktion F(u, v) einen konstanten Wert erteilt, und zwar den Wert 0, weil F (u, v) ftir u ~ 0, v ~ 0 verschwindet. Wegen des Auftretens von Gliedern 1 .0 rdnung bestimmt aber die Gleichung (9) nur eine Kurve.

In den Punkten (ai, bi, ci) zeigen die Integralkurven im allgemeinen ein ganz anderes Verhalten. Es ist z .B. bekannt, dal~ sich an die

Stellen, wo der Quotient p~- unbestimmt wird, im allgemeinen Falle eine q

unendliche Anzahl yon Integralkurven heranwindet. Eine einzelne Integralkurve K kann sich nur in den Punkten

(ai, hi, c~) unbestimmt verhalten; denn in jedem anderen Punkte ist der Verlauf von K durch eine Gleiehung yon der Form (9)best immt. Was jedoeh im obigen Uniti~tsbeweis zu dem Zusatz ,,sich in bestimmter Weise dem Punkte (Xo, yo, Zo) ni~hernd" zwang, ist folgender Umstand. Faint man yon jeder durch die Umgebung ~ yon (xo, Yo, Zo) gehenden Integralkurve nur den in 2" liegenden Teil ins Auge, so geht durch jeden Punkt eine und eine L0sungkurve. Es kann aber vorkommen, dai~ yon diesen Teilen eine endliche oder unendliehe Anzahl nur die analytische

366 E. Ki~hler.

Fortsetzung einer und derselben Kurve K ' ist. Ist dies der Fall und hi~ufen sich die betreffenden Kurventeile gegen die durch (Xo, Yo, Zo) bestimmte Integralkurve K, so kSnnte man auch K ' als eine durch (xo, yo, Zo) gehende L(isung bezeichnen.

Ein einfaches Beispiel hierftir liefert die vielzitierte Gleichung

dy __ y~ d x x

Schreibt man das Integral in der Form

Y 1 ~ - y l o g x - - c,

C so stellen die Werte c. - - derIntegrationskonstantenffiralle

1 ~ 2~,~ic ganzen u dieselbe Integralkurve K t d a r . Jede Integralkurve mit c 4 0 ni@ert sich asymptotisch der Kurve y ~ 0, die selbst Integralkurve ist.

Man pflegt derartige Unbestimmtheiten nur dann zu erwarten, wenn die Differentialgleichung in der Umgebung einer Stelle u = 0, v = 0 die Form

dv - - v , ~ ( u , v ) (/~ ~ 0 , ~. holomorph)

du

annimmt. Dag dem nicht so ist, dal~ vielmehr jede Integralkurve eine Hi~ufungskurve sein kann, sieht man aus folgendem Beispiel. Es sei

J ~ d x ~o(x) ein nieht reduzierbares Abelsehes Integral yore Gesehleeht p > 1.

Bei der Differentialgleiehung

d x - - ~ ( x ) d y = 0 zeigt dann jede Kurve

f dx _ konst. Y - - ~(x)

den genannten Haufungscharakter.

.

Das Integral einer Differentialgleichung I. 0rdnung besitzt noch eine andere allgemeine Eigenschaft.

Es seien F(x , y, z) ~ konst, eine Form des Integrals und Fl(X, y, z}, ~ ( x , y, z) zwei beliebige in der Umgebung eines Punktes (Xo, yo, Zo) relativ reguli~re Zweige der Funktion F(x , y, z). Da F~ und F~ der Differentialgleichung

a~ a~ ,= 0 P -~-x + q a y


gentigen, so besteht ffir eine hinreichend kleine Umgebung yon (xo, yo, zo) eine analytische Relation (10) ~ : O(F~),

wo O(w) eine in der Umgebung yon wo ~ - F i ( x o , yo, Zo) algebroide Funktion yon w bezeichnet. Fiihrt man namlich lokale Parameter u, vein, so stellen sich F1 und F~ dar als regulare Potenzreihen in u, v. Wenn aber zwischen zwei solchen Reihen eine Relation von der Form (10) besteht, kann q)(w) in Wo h0chstens eine algebroide Singularitat besitzen.

Samtliche Zweige F~, F~, Fs, ..- yon F(x , y, z), die sich in der Um- gebung yon (Xo, Yo, zo) relativ regular verhalten, lassen sich mithin aus einem beliebigen dieser Zweige, etwa aus F~, dureh analytische Trans- formationen yon der Form

: : O , ( F 1 ) , . . .

ableiten. Setzt man die beiden Zweige F1, F~ langs eines yon (Xo, Yo, Zo)

ausgehenden Weges L in R analytisch fort, so bleibt nach dem Prinzip der Invarianz von Funktionalgleichungen die Beziehung (10) langs L bestehen. Man kann daher, sofern sich F1 auf L relativ regular verhalt, das Verhalten yon F~ mit Hilfe tier Substitution q)(w) in folgender Weise bestimmen.

Durchlauft der Punkt (x, y, z) die Linie L, so beschreibt die Wertefolge w : F~(x, y, z) einen eindeutig bestimmten Weg 1 in der v-Ebene. Wir ktlnnen uns (Xo, yo, Zo) so gewahlt denkeu, dal~ q)(w) in w : Wo holomorph ist. Bei der analytischen Forsetzung von O(w) fangs 1 kann es passieren, dab man auf eine Singularitat w = wi von q)(w) st(il~t. Ist w~ eine wesentlich singulare (d. h. nicht algebroide) singulare Stelle ffir O(w), so kann der Zweig F..(x, y, z) nicht auf der ganzen Linie L fortgesetzt werden; denn da F~(x, y, z) sich auf L fiberall relativ regular verhalt, zeigt die Funktion

= �9 ( x , y , z ) )

in der durch Fl(x , y, z) ~- w~ bestimmten Kurve wesentlich singulares Verhalten. Wenn jedoch wl nur eine algebroide singulare Stelle ist und daher O(w) in der Umgebung yon w~ nach ganzen Potenzen einer

1

Grtifie (w - - wl) m entwickelt werden kann, so geh(/rt zu wl ~- F~ (x, y, z) hCichstens eine relativ algebroide Singularitat, d. h. F~ ist eine algebroide Funktion der lokalen Parameter. Dabei kann es vorkommen, daft F~ relativ regular ist, obwohl �9 (w) sich algebroid singular verhalt.

Jedem yon (xo, Yo, zo) ausgehenden geschlossenen Wege L in R, auf dem sich F~ (x, y, z) relativ regular fortsetzen lafit, entspricht eine

368 E. Ki~hler.

Substitution q)(w), welche den Ubergang von dem urspriinglichen Zweige F1 (x, y, z) zu dem nach Rtickkehr zum Ausgangspunkt sich ergebenden Zweige F~ (x, y, z) vermittelt.

Der Gesamtheit aller derartigen Linien L in R entspricht eine abzahlbare Menge M yon Substitutionen O~ (w), O~ (w), Os (w), . . . . abzahlbar deshalb, weil der Definitionsbereich yon F(x , y, z) dutch eine abzahlbare Menge. yon Hyperkugeln, in denen sich F(x, y, z) relativ regular verhalt, ausgeschtipft werden kann.

�9 Geh(iren zu den Wegen 5 1 , L 2 bzw. die Substitutionen q)~, q)~ und laltt sich neben E1 aueh Ot (F~) langs L~ analytisch fortsetzen, so gehOrt zu dem Wege L~L2, der durch Zusammensetzung yon L1 und L~ entsteht, die Substitution q)t [03 (w)]. In diesem Sinne kOnnte man yon einer Gruppeneigenschaft der Menge M sprechen. Eine Gruppe im strengen Sinne bilden die Substitutionen q)(w) dann und nur dann, wenn sie umkehrbar eindeutige, d.h. lineare Funktionen sind.

Die Gestalt der Substitutionen O(w) ist natiirlich in hohem Grade abhangig yon der Wahl der Integralform. Integral der Gleichung

dx d y - -

z

in der Form

F(x, y, z) y - -

Schreibt mar z. B. alas

( V 4 x 8 - g 2 x - g 3 ~ z)

x

f V 4 8 x - - g~ x - - g3

so haben die Substitutionen q) die Gestalt

konst.,

wo ool, ~% zwei primitive Perioden des elliptischen Integrals, ml,m~ ganze Zahlen bedeuten.

Setzt man aber das Integral in der Form

F* (:c, y, z) ~- go (F(x, y, z) i~l, o,~) z konst.

an, so ist F* (x, y, z) eine eindeutige Funktion des K6rpers der rationalen Funktionen yon x, y, z und M besteht nur aus der Einheitssubstitution q)(w) w.

II. Integrale mit linearer Monodromiegruppe. 7.

Das Problem der Integration algebraischer Differentialgleichungen besteht darin, aus der unendlichen Mannigfaltigkeit der verschiedenen zu derselben Differentialgleichung geh0rigen Formen des Integrals die-

Integrale algebraischer Differe~tialgleichungen. 369

jenigen mit den einfachsten analytischen Eigenschaften auszuwahlen und analytisch darzustellen. Die oben erkannten allgemeinen Gesetzmagig- keiten der Integralfunktionen ermtiglichen es, diese noch unbestimmte Fassung des Problems durch einige Forderungen zu ergi~nzen. Es wird dann unsere Aufgabe sein, zu untersuchon, wieweit diesen Bedingungen genfigt werden kann.

Zu einer ersten Kennzeiehnung des Integrals F(x, y, z) wollen wir die Forderung wi~hlen, dag die singularen Kurven yon F, die ja immer Integralkurven der betreffenden Gleichung sind, nur isoliert auftreten. D. h.: ist (Xo, yo, Zo) eine yon den Punkten (a~, bi, ci) verschiedene Stelle, in der sich ein bestimmter Zweig Ft der Funktion F(x, y, z) singular verhalt und K die dureh (Xo, Yo, Zo) bestimmte Integralkurve, so zeigt Ft (x, y, z) in hinreichend kleiner Umgebung von (Xo, yo, Zo) nur in K singulares Verhalten. Insbesondere daft also F(x, y, z) keine natiirlichen Grenzen besitzen.

Eine bestimmte Integralform F(x, y, z) definiert eine Reihe von analytischen ,Monodromiesubstitutionen" ~1 (w), q)~ (w), ..., durch welehe die Verzweigungsart yon F(x, y, z) gekennzeichnet wird. Die Gesamtheit dieser Substitutionen bildet dann und nur dann eine Gruppe F, wenn die q)i(w) lineare Funktionen sind. Wir werden daher zur weiteren Auswahl der Integralfunktionen die Forderung stellen, da6 ihre verschiedenen Zweige durch lineare Substitutionen zusammenhangen.

Aus diesen Voraussetzungen lagt sich bereits folgendes schliegen: Die singularen Kurven yon F(x, y, z), die eine wesentliche 5) Sin-

'gularitat relativ zu R bedeuten, sind samtlich algebraische Kurven und treten nur in endlicher Anzahl auf. Die l~[onodromiegruppe r wird aus endlich vielen Elementen erzeugt

Es sei K eine wesentlich singuliire Kurve und (Xo, yo, Zo) eln yon den (ai, bi, ci) verschiedener, d. h. einfaeher, freier Punkt yon K. Ferner sei Fl(x, y, z) ein Zweig der Funktion F(x, y, z), der ftir eine gewisse Umgebung 2 yon (Xo, yo, Zo) erklart ist und sich in K wesentlich singular verhalt. Dabei k~nnen wir uns ~ so klein gewahlt denken, dag auger K dureh 2 keine weitere wesentlich singulare Kurve yon F1 hindurchgeht. Jeder andere zur Umgebung yon (Xo, Yo, Zo) geh~irige Zweig F~ geht aus F~ durch eine lineare Transformation hervor. Daraus folgt, dag F~ ebenfalls in ganz ~" erkli~rt ist und dort nur langs K wesentlich singulares Verhalten zeigt. Die wesentlich singularen Kurven erfassen daher alle relativen Zweige yon F(x, y, z) in gleieher Weise.

Sind y ~- f (x) , z--~ g(x) die Gleichungen der Kurve K, so ist die Funktion f(x) , da K eine Integralkurve ist, nach bekannten Satzen in

6) Als wesentlich singular ist dabei jedr yon einer Polkurve verschiedene Sin- gularit~t anzusehen.

370 E. Ki~hler.

tier ganzen x-Ebene mit Ausnahme der Punkte x ~ a/ algebroid fort- setzbar. Sie erkl~trt daher eine fiber der x-Ebene ausgebreitete Riemannsche Fli~che ~, welche h0chstens die Punkte x ~ ai als Grenz- punkte hat. Hi~tte nun ~ unendlich viele Bli~tter, so wfirden die zu einem allgemein gewi~hlten Wert Xo geh0rigen Punkte von K einen Hi~ufungspunkt (xo, y*, z*) auf R aufweisen und die durch (Xo, y*, z*) gehende Integralkurve ware eine nicht isolierte singuli~re Kurve gegen die Voraussetzung. Die Fli~che (f hat also nur endlich viele Bl~ttter. Analog erkennt man, dat~ auch die Umkehrungsfunktion x -~ h(y) yon f ( x ) eine endlich vieldeutige Funktion vom selben Typus wie f ( x ) ist, womit die algebraische Natur der Kurve K bewiesen ist.

Die wesentlich singul~tren Kurven k0nnen auch nur in endlicher Anzahl vorhanden sein, da sonst ebenfalls eine Hi~ufung der Singulariti~ten auftreten wtirde.

Mit /(1, K ~ , . . . , K~, seien die singuli~ren Kurven yon F(x , y, z) bezeichnet, die eine Verzweigung relativ zu R bewirken. In R ziehe man yon einem beliebigen Punkte (xo, yo, Zo) aus lauter geschlossene Linien L, welche die Kurven Ki nicht schneiden. Sieht man zwei solche Wege als nicht verschieden an, wenn sie sich ohne Uberschreitung der Ki stetig ineinander fiberffihren lassen, so bildet die Gesamtheit der L in bezug auf ihre Zusammensetzung eine Gruppe G, zu der die Gruppe F der Monodromiesubstitutionen isomorph ist.

Jeder Weg L lafit sich nach PIChRD 6) unter Vermeidung der Kurven K~ bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt (Xo, yo, zo) in R so deformieren, dab er in die durch x ~ xo aus R ausgeschnittene zweidimensionale Mannigfaltigkeit Mxo zu liegen kommt, wenn der Wert xo hinreichend allgemein gewahlt ist. Der topologische Charakter yon Mx ~ entspricht dem der Riemannschen Fli~che ~ der Kurve f ( xo , y, z) ~ O. Da nun jeder Weg L in M%, welcher die endlich vielen Schnittpunkte yon Mxo mit den Ki nicht trifft, aus endlich vielen Elementarwegen zusammen- gesetzt werden kann, so wird auch G und daher F aus endlich vielen Elementen erzeugt.

Einige weitere topologische Betrachtungen, die sp~ter Anwendung finden werden, seien gleich an dieser Stelle angeffihrt.

Man ziehe von (xo, yo, Zo) aus eine die Ki nicht treffende Linie l in die NiChe eines einfachen, freien Punktes (x~, y~, zi) einer Km've K~ - - d. h. eines Punktes, der keiner andercn singularen Kurve Ki angehOrt - - und anschliefiend in der nachsten Umgebung yon (x~, y~, z~) eine geschlossene Linie ;~. Den Weg L := 1;,l -~, wo l -~ den riickwi~rts durch- laufenen Weg 1 bezeichnet, nennen wir eine Umkreisung yon K~. Sind

~) Siehe PICARD-SII~[ART, Fonctions alg~briques de deux variables ind~pendantes~ I, p. 68.


u, v lokale zu (xl, y~, z~) geh(irige Variable mid ist q,,(u, v) ~ 0 die Dar- stellung yon K~, so heiBe L insbesondere eine einfache positive Umkreisung yon K~, wean sich der Ausdruck log q~ (u, v) beim Durchlaufen von y um ~- 2 z i i~ndert. Der Punkt (x~, yz, zz) soll als Mittelpunkt, die Linie l als die Zuleitung yon L bezeiehnet werden.

Zwei einfache positive Umkreisungen mit derselben Zuleitung sind topologiseh aquivalent, d.h. sie bestimmen dasselbe Element der Gruppe G. Denn die zu derselben Zuleitung gehtirenden Umkreisungen bilden eine zyklische Unte~:gruppe von G, welehe von einer einfachen positiven Umkreisung erzeugt wird.

Eindeutige Integralfunktionen. 8.

Der einfachste Fall, der unter den gemachten Voraussetzungen ein- treten kann, ist der, wo die Monodromiegruppe r nur aus einem Element, der Einheitssubstitution �9 (w) ~ w, besteht. Dies bedeutet, die Funktion F(x, y, z) ist relativ zu R eindeutig. Die Bedingung, daft die singul~ren Kurven nur isoliert auftreten sollen, ffihrt hier zu dem SchluB, dab alle singularen Kurven, auch die relativen Polkurven, algebraiseh sind und nur in endlicher hnzahl auftreten.

Der Fall einer algebraisch integrierbaren Differentialgleichung ordnet sich dem bier betrachteten unter. Hat namlich eine Gleiehung

09 ~P (11) Ox p ( x , y, z ) + - ~ y q(x, y, z) --~ 0

ein algebraisches Integral (x, y) ~ konst.,

so gibt es immer auch eine im K(irper R rationale Form des Integrals. Es seien ~Pl (x, y, z), ~0~ (x, y, z), . . . , ~p~ (x, y, z) die verschiedenen

zu einer Stelle (Xo, yo, zo) gehtirigen Zweige der Funktion ZP(x, y), d.h. diejenigen relativen Zweige von ~ ( x , y ) , ftir welche die Ausdrticke

Ox p(x , y, z)--~ q(x, y, z) (i = 1, 2, . . . , m)

in der Umgebung dieser Stelle verschwinden. Setzt man die m Funk- tionen ~i langs eines beliebigen in R geschlossenen Weges analytiseh fort, so sttlft man nur auf relativ algebroide Singularit~ten und die nach Rtickkehr zur Stelle (Xo, yo, zo) resultierenden Zweige sind bis auf die Reihenfolge mit den ~i identisch, da der Ausdruck

ox p-[- q

372 E. Ki~hler.

auch ftir diese Zweige verschwindet. Jede symmetrische Verbindung der ~Pi ist daher eine bezfiglich R eindeutige algebraische Funktion, d. h. eine rationale Funktion yon x, y, z. Da yon diesen Verbindungen wenigstens eine nicht konstant i s t - - - andernfalls wi~re tp(x, y) selbst eine Konstante - - und der Gleichung (11) gentigt, so erhi~lt man auf diese Art eine rationale Form des Integrals.

Integrale mit Abelscher Monodromiegruppe. 9.

Bevor wit zu den allgemeinen linearen Monodromiegruppen fiber- gehen, sei dem Fall, wo si~mtliehe Elemente der Gruppe F untereinander vertauschbar sind, eine besondere Betrachtung gewidmet.

Wenn zwei lineare Substitutionen vertausehbar sind, so haben sie gleiche Fixpunkte und umgekehrt. Durch Austibung einer geeigneten linearen Transformation auf die Integralfunktion F(x, y, z) kann man daher erreichen, dab alle Substitutionen von F entweder die Form �9 (w) = w + a oder O(w) ----- w . a haben. Trifft das letztere zu, so haben die Substitutionen von log F(x, y, z) die Gestalt q ) ( w ) ~ w + a uad es gentigt deshalb, den ersten Fall zu behandeln.

Haben die Substitutionen yon F die Form (1) (w) ~ w + a , so sind ~ F ~ F

sowohl ~ als auch ~ relativ zu R eindeutige Funktionen P(x, y, z)

bzw. Q(x, y, z) mit isolierten Singulariti~ten, woraus man wie oben schlie•en kann, da~ die letzteren si~mtlich algebraische Kurven sind.

Die Differentialgleichung

dx dy p (x, y, z) q(x, y, z)

besitzt dann den in R eindeutigen Multiplikator

P(x, y, z) Q(x, y, z) Q - - q ( x , y , z ) - - p ( x , y , z ) "

Umgekehrt ftihrt bei Existenz eines solchen Multiplikators Q (x, y, z) der Ansatz

a F - - Q(x, y , z ) . q(x, y , z),

Ox

auf eine Integralfunktion, deren w' ~ w + a haben.

~ F - - Q (x, y , z ) . p (x, y , z) Oy

Monodromiesubstitutionen die Form

Da auBer evtl. x --~ ac oder y ~ r162 jede relative Polkurve von (Fx, y, z) auch fiir P(x, y, z) und Q(x, y, z) Polkurve ist, sind auch die Polkurven yon F(x, y, z) nur in endlicher Anzahl vorhanden und si~mtlich algebraisch.

Integrale algebraiseher Differentialgleichungen. 373

Uber das Verhalten der Funktion .F(x, y, z) in der Nahe der relativen Verzweigungskurven/(1, Ks, . . . , K~, li~gt sieh aus der Kenntnis der ~Ionodromiegruppe folgendes aussagen.

Es sei :~ die hinreichend klein gevti~hlte Umgebung eines Punktes (Xo, yo, Zo), dureh den die Kurven K~, Ks, . . . , K~ (1 =< ~) hindurch- gehen m0gen. In den zugehOrigen lokal~n Parametern seien

ql (u , v) ----- O, qs(u, v) = O, . . . , q~(u, v) = 0

die irreduziblen holomorphen Formen der Gleichungen yon K~, Ks, ... , K , , Wie oben in bezug auf die ganze Mannigfaltigkeit R die Gruppe der geschlossenen, die K~ nicht schneidenden Linien definiert wurde, kann man auch ftir fiir die Umgebung von (Xo, yo, Zo) eine entsprechende Gruppe g erkli~ren, indem man nur die innerhalb ~ verlaufenden Wege L in Betracht zieht. Dementsprechend ist jetzt auch unter einer Umkreisung ein ganz in ~ liegender Weg zu verstehen.

Zwei einfache positive Umkreisungen L, L' der Kurve qi(u, v) = 0 mit demselben Mittelpunkte bestimmen dieselbe Monodromiesubstitution w' = w + a; denn wir kSnnen setzen:

L 17 1-1, L' ., ,,-1

wo l, l' die Zuleitungen yon L , L ' bezeichnen. Dann ist l' l -~ eine geschlossene Linie~4, zu der die Monodromiesubstitution w ' = w + b gehtfren mCige. Bestimmt L die Substitution w ' ~ - w + a, so geb~irt zu

L' = lr7 l '-1 = .4 l 71-1A-1 = .4 L A -1

die Substitution t w = w + b - - } - a - - b ~ w + a ,

also dieselbe wie zu L. Hieraus sehliet~t man welter, da~ zwei beliebigen Umkreisungen

L1, Ls yon qi(u, v) = 0 dieselbe Substitution w ' = w-4-ai entspricht. Denn die Mittelpunkte (Ul, v,), (us, vs) yon L1, Ls kann man stets durch eine auf der Kurve qi(u, v) = 0 verlaufende und den Punkt (u = 0, v ~ 0) meidende Linie c verbinden. Indem man L1 so versehiebt, da$ der Mittel- punkt (u~, vl) langs c wandernd in (us, vs) tibergeht, wird man auf den eben behandelten Fall gleieher Mittelpunkte geftihrt.

Bilden wir nun den Ausdruek

q'(u, v) = F ( x , y, z ) - - - al

2 ~ i log q, (u, v ) - - - a2 log q2 (~, v) . . . .

2zri

a~ log q,,(u, v), 27ri

374 E. K~hler.

SO bleibt dieser bei jeder Umkreisung der singul~ren Kurven unge~ndert, well sieh bei einfacher positiver Umkreisung yon qk (u, v) ~ 0 F und

ak log qk um -~ ak ~ndern, w~hrend alle fibrigen Logarithmen unge~ndert

bleiben. Da sieh nun jeder Weg L in ~ aus Umkreisungen der q~ ~ 0 zusammensetzen l~Bt, ist ~ ( u , v) eine in ~ eindeutige Funktion yon u, v. In der Umgebung der Stelle (xo, Yo, zo) l ~ t sich demnach die Funktion F(x, y, z) in der Form

F (x, y, z) -~ ~p (u, v) + ~ log q~ (u, v) ~- 2 ~ / l o g q~ (u. v) ~- . . .

ar �9 .. ~- ~ - log q~ (u, v)

darstellen. Ganz analog wie oben zeigt man, dai] zu allen, auch den nicht auf

beschri~nkten Umkreisungen einer singularen Kurve Ks dieselbe Sub- stitution w'-~- w ~ a geh0rt.

Handelt es sich insbesondere um den K6rper der rationalen Funktionen yon x, y und sind

Q~(x,y) ----- 0, Q~(x,y) --~ 0, ..., Q.,(x,y) ~ 0

die Gleichungen der Kurven Ki, welche wir als yon den unendlieh fernen Gebilden x ---- or bzw. y ~- ~c verschieden voraussetzen k6nnen, so ist tier Ausdruck

al a~ g,(x, y) : F(x, y ) - - - 2 z i log Ql(x, y ) - - 2 ~ i log Q2(x, y) . . . .

. . . . at' log Qt' (x, y) 27~i

eine eindeutige Funktion von x, y, da jeder die Ki nicht treffende Weg in R sich aus Umkreisungen der Ki zusammensetzen lafit und ~p bei jeder Umkreisung invariant ist.

Die bereits sehr entwickelte Theorie der totalen Differentiale auf algebraischen Fl~chen gestattet auch bei allgemeinen algebraischen K6rpern eine vollsti~ndige Ubersicht fiber die bei Existenz eines in R eindeutigen Multiplikators m6glichen Integraltypen.

Die Differentialgleiehungen mit algebraischem Multiplikator definieren ein totales algebraisches Differential auf R , und dessen Integral ist eine Funktion von der in uiesem Paragraphen geforderten Beschaffenheit. Man teilt diese Funktionen ein in drei Gattungen, und zwar geh6rt ein solches Integral F(x , y, z) zur 1. Gattung, wenn es sich fiberall in R relativ regular, zur 2. Gattung, wenn es sich fiberall relativ rational und schlie~lich zur 3. Gattung, wenn es wesentliche Singularitaten relativ


zu R benutzt, welche dann nur logarithmischer Natur sein k~innen. Nach einem von PICARD und SEVERI bewiesenen Theorem 7) kann

man in R eine bestimmte Anzahl Q yon algebraischen Kurven C1, C2, . . . , C e finden yon der Art, d a f e s stets ein Integral 3. Gattung gibt, welches sich in C~, (/�89 . . . , C e und einer beliebig hinzugenommenen Kurve C logarithmisch singular verhi~lt und sonst nirgends, daft es dagegen keine Funktion gibt, die nur in den Kurven C~, C2, . . . , C e relativ zu R verzweigt, und zwar logarithmisch verzweigt ist. Diesem Satz entspricht in der Funktionentheorie einer Variablen die topologisch begriindete Tat- sache, daft ein Abelsches Integral 3. Gattung mindestens zwei logarithmische Punkte haben muf.

Ist nun F ( x , y, z) irgendeine Integralfunktion auf R mit Abelscher Monodromiegruppe und bezeichnen wie oben K1, K2, . . . , Kz die relativen Verzweigungskurven yon F, w' ~- w + a~, w' = w ~- a~, �9 �9 w' = w + a;~ die entspreehenden Monodromiesubstitutionen, so bilde man die Integrale 3. Gattung J~ (x, y, z), J~ (x, y, z), . . . , J~. (x, y, z), welche bzw. in K1, K2 . - . , Kx und in einigen oder allen Kurven Ci logarithmisch singular werden. Wir k(Innen noch Jr (x, y, z) so normieren, da6 es sich bei einer einfachen positiven Umkreisung yon K~ um ~- 1 vermehrt. Der Ausdruck

~(x , y, z) = F ( x , y, z ) - - a l J l - - a 2 J ~ . . . . . a~ J~

stellt dann eine Integralfunktion dar, die h0chstens in den Ci logarithmisch singular wird, woraus nach der Erkliirung der C/ folgt, daf sie tiberhaupt keine relativen Verzweigungen aufweist. Trotzdem braucht ~(x, y, z) noch keine eindeutige Funktion auf R zu sein. Ist n~tmlich die erste Bettische Zahl P~ des vierdimensionalen Riemannschen Raumes R gr(ifer als 1, so werden den (/>1--1) unabhi~ngigen geschlossenen Wegen in R i m allgemeinen ebenso viele Perioden yon ~(x, y, z) entspreehen. Nun kann man aber, genau wie bei gewCihnlichen Abelschen Integralen, eine solche Linearkombination

P~--I b , J ;

1

aus / > 1 - 1 linear unabhi~ngigen totalen Integralen 2. Gattung finden, da6 die Perioden der Differenz

Pt--1 (x, y, z ) - , ~ b,, J~ = ~p (x, y, z)

1

si~mtlich gleich Null sind und daher ~p(x, y, z) eine in R eindeutige Funktion ist s).

7) Siehe PICARD-SIMART, Fonctions alg~briques de deux variables, tome II, p. 241 und Note V, p. 498.

s) Bei Existeuz eines algebraisehen Multiplikators ist ~p(x, y, z) sogar rational.

376 E. Ki~hler.

Wenn also eine DifferentialgleichUng a u s / / einen in R eindeutigen Multiplikator besitzt - - es geniigt fibrigens vorauszusetzen, dab ein endlich vieldeutiger Multiplikator existiert, da daraus schon die Existenz eines eindeutigen folgt - - so gestattet ihr Abelsches Integral F(x , y, z) eine Darstellung yon der Form

P,- -1

F (x, y, z) = ~ " a~ J~ -~- ~ . ~ b# J~ ~- ~p (x, y, z). 1 1

Besonderes Interesse verdient der Fall /)1 = 1. Dann reduzieren sich die Integrale 3. Gattung nach SEVERI 9) auf Logarithmen rationaler Funktionen aus R und es ergibt sich, da[~ in solchen algebraisehen K0rpern alle Differentialgleichungen mit algebraischem Multiplikator in tier elementaren Form

F(x , y, z) = ,~,~ a,~ log R , ( x , y, z) + ~ (x , y, z) 1

integriert werden k0nnen, wo R~ und ~/, rationale Funktionen bezeichnen.

Integrale mit hyperabelscher Monodromiegruppe. 10.

Wesentlich weitergehende Resultate liefert die Untersuchung des allgemeinen ,,hyperabelschen" Falles, wo die Monodromiesubstitutionen beliebige lineare Substitution sind. Dabei wollen wir den Fall ausschlielien, dal~ die Monodromiegruppe F von F(x , y, z) eigentlich diskontinuierlich ist, weil sich dann auch eine eindeutige Integralfunktion finden liil~t. Ist n~mlich g (w) irgendeine zur Gruppe F geh(irige eindeutige automorphe Funktion, so ist

g(F(x , y, z)) = konst.

eine eindeutige Form des Integrals. Gehtirt bei einer solchen Integralfunktion F(x , y, z) zu einem ge-

schlossenen Wege L die Substitution

w'-- ~w§ [ w + • ' ( a a - - / ~ r : 1),

so erleiden die beiden Funktionen 1 1

(12) Z~ (x, y, z) = F . ~ , Z~ (x, y, z) -----

bei analytiseher Fortsetzung li~ngs L die lineare Transformation

Z; = . Z l + ~ Z ~ ,

(13) Z~ : r Z~+(~Z.~.

~P) Siehe etwa loc. cit. 7), p. 498.


Setzt man, unter c~, c2 willktirliche Konstanten verstehend,

Z = c,Z +c,Z

und bezeichnet mit D, D', D" irgend drei Differentialoperatoren yon der om+n

Form O x m 0 yn, SO gibt die Entwieklung der identisch verschwindenden

Determinante D Z D ' Z D" Z

D Z1 D' Z~ D" Z~ ~ 0

D Z~ D' Z2 D" Z~

nach den Elementen der 1. Zeile eine Gleichung

a D Z + b D ' Z + c D " Z = O,

wo a : b : c gleich dem VerhMtnis der aus der 2. und 3. Zeile gebildeteu Minoren ist. Dieses VerhMtnis ist aber wegen (13) bei analytischer Fortsetzung l~tngs eines beliebigen geschlossenen Weges in R invariant, und daher k6nnen a, b, c als in R eindeutige Funktionen gewi~hlt werden. Insbesondere bestehen also die Gleichungen

0Z 0Z I r ~ y + r l - ~ x + r o g = O,

O~Z O Z II + a, + go z = o,

" 02Z ' h t ~ y + h o Z O,

mit in R eindeutigen Koeffizienten. Die Funktion F(x , y, z) hat nach einer frtiheren Uberlegung nur

eine endliche Anzahl yon algebraischen Kurven Kx, A~, . . . , K~ als wesentlich singulare Gebilde. Ftihrt man die Ausdrticke (12) ftir Zt, Z~ in die Unterdeterminanten ein, denen die Koeffizienten yon I, II, III

proportional sind, so erkennt man, dag jeder der Quotienten rl ro r~ r~

gx go ht ho sich als rationale Funktion yon F(x , y, z) und einigen gt7 g~, h~' h~ Ableitungen yon F darstellen li~gt. Wir sehliegen daraus, dalt diese Ausdrticke h6chstens die Ki als wesentlich singuli~re Kurven besitzen k6nnen.

Aus I i s t zu ersehen, dag der Quotient F ~ Zl:Z~ der Gleichung

OF ~ F rl -~x + r~' By - - 0

378 E. Kithlex.

genfigt. Ftir r~, ra ktinnen also die in der zugrunde gelegten algebraischen Differentialgleiehung

dx dy p(x , y, z) q(x, y, z)

auftretenden rationalen Funktionen _p, q gewtthlt werden. Ein aus zwei Gleichungen yon der Form I, II bestehendes System

yon simultanen partiellen Differentialgleichungen - - die Gleichung HI li~t sich aus I und II ableiten - - kann nicht mehr als zwei linear unabhiingige L(/sungen Z~, Za besitzen. Denn da zwisehen Z~ und Za keine Relation yon der Form

z a = Z (y) . Z , ,

mit nur yon y abhi~ngigem )L bestehen kann - - weil sich aus I sofort 0Z

- - 0 ergeben wtirde - - wird die Gleichung II allgemein durch 0y

z = c: (y) + ca (y)

integriert, wo c~ (y), ca (y) willkfirliche Funktionen yon y bezeichnen. Durch Einffihrung dieses Ausdrucks in I erhi~lt man

d.h.

[dcl dc~ . Za) ---- O, q \-~y . Z: @-~y

dc~ ~ O, dca __ O, w. z. b. w. dy dy

Mit Hilfe der Gleichungen I und H lassen sich samtliche Ab- OZ

leitungen von Z linear durch zwei yon ihnen, etwa durch Z und 0--x-

ausdriicken. Damit jedoeh diese Bestimmung nieht zu Widersprfichen fiihrt, miissen gewisse Integrabflittitsbedingungen erfiillt sein. Berechnet

8aZ - - auf zwiefache Weise, indem man man namlich die Ableitung ~ xa ~ Y

das eine Mal yon I, das andere Mal yon II ausgeht und die beiden

Resultate auf die Form A o Z ~x + B Z reduziert, so mtissen die Koeffi-

zienten A bzw. B einander gleich sein. Dies er~bt zwei Bedingungs- gleichungen fiir die Koef-fizienten yon I, II. Wenn diese erftillt sind, lassen sich alle weiteren Ableitungen yon Z auf eindeutig bestimmte Art berechnen und daraus mit Hilfe des calcul des limites die Existenz zweier linear unabhi~ngigen Ltisungen erschlie~en.

Von besonderer Wichtigkeit sind die simultanen Systeme yon der Form I, ]I, wo si~mtliche Koeffizienten rationale Funktionen aus R sind.

Integrale algebraischer Ditferentialgleichungen. 379

Jedes solche System ffihrt durch Bildung des Quotienten aus den beiden unabh~ngigen L6sungen auf eine Funktion F(x, y , z), die allen den oben an eine byperabelsche Integralfunktion gestellten Forderungen gentigt.

11. Uber das Verhalten der hyperabelschen Integrale in der Umgebung

der relativen Verzweigungskurven gestattet die Betrachtung der Mono- dromiegruppe einige Aussagen zu machen.

Es seien wie oben die singul/tren Kurven yon .F(x, y, z), l~tngs denen eine Verzweigung relativ zu R stattfindet, mit K1, K s , . . . , K~ bezeiehnet. (Xo, Yo, Zo) sei ein Punkt auf einer dieser Kurven, etwa auf K1, und zwar wollen wir zun/ichst annehmen, da~ er ein einfacher, freier Punkt yon KI ist, also keiner anderen Kurve Ki mit angehOrt. In den zu (Xo, Yo, Zo) geh6rigen lokalen Parametern u, v sei

(14) q~ (u, v) = 0

die Gleiehung yon K~, deren linke Seite nach Voraussetzung mit linearen Gliedern beginnt.

Es 1/~l~t sieh leieht zeigen, daft die in der Umgebung ~ yon u = 0, v = 0 im (u, v)-Raum verlaufenden geschlossenen Wege, welehe die Kurve (14) nieht treffen, eine zyklisehe Gruppe g bilden. Als erzeugendes Element S kann man dabei eine einfaehe positive Umkreisung yon K~ wahlen. Bezeichnet s die S entsprechende Substitution der Monodromie- gruppe, so gehen sKmtliche Zweige yon F(x, y, z), die in der Umgebmlg yon (Xo, yo, Zo) analytisch zusammenhangen, durch eine Potenz s ~ yon s auseinander hervor. Man kann die lineare Substitution s immer in der Gestalt s = la1-1 schreiben, wo a ent~ceder die Form

?~b y = W . a

oder die Form w' = w-f- b

hat. Bei der Funktion F* (x, y, z) : l(F) entspricht dann dem Element S yon g die Substitution a. Im ersten Falle nimmt also F* (x, y, z) bei analytiseher Fortsetzung l~ngs 2 den Faktor a an. Da dasselbe auch

yon der Funktion q~ (u, v) ~ gilt, wo ~ - - 1 2~ i log a, so ist der Quotient

F*(x , y, i ) .q -~ = ~p(u, v)

bei S invariant, d. h. eine eindeutige Funktion in ~. I-Iat a die Form w ' ~ w-}-b, so ist die Differenz

b F*(x , y, z) 2~ i logql(u, v) ----- ~O(u, v)

in :~ eindeutig.

380 E. Ki~hler.

Wir sehen also, dali die Funktion ~' nach Austibung einer geeigneten linearen Transformation 1 in der Umgebung einer relativen Verzweigungs- stelle 1. Art in einer der beiden Formen

= (u, v) ? ( u , v) oder

b l (F) - - 2 ~ i logql(u , v ) + ~p(u, v)

dargestellt werden kann. Wenn (xo, Yo, zo) eine relative Verzweigungsstelle 2. Art ist, wenn

also (xo, yo, zo) ein nieht einfaeher Punkt yon K1 ist oder aueh anderen Kurven Ki angehSrt, ist die Gruppe g der gesehlossenen, die Ki meidenden Wege in der Umgebung :~ yon (Xo, yo, zo) nieht mehr zyklisch. Ist z. B. dieser Punkt ein freier, gewtihnlicher Doppelpunkt yon /s so ist g die von zwei Elementen erzeugte freie Abelsche Gruppe. Die allgemeine Gestalt der Gruppe g ist zuerst yon Herrn BRAU.~ER lo) untersueht worden. Gehen durch (xo, Yo, zo) ~ Zweige des aus den Ki bestehenden Kurven- systems hindureh, so wird g yon gewissen Elementen Pj, P ~ , . . . , Pu erzeugt, deren Anzahl endlich und mindestens gleieh v ist.

Es ist klar, daft jeder Relation zwisehen den Pk eine Beziehung zwischen den zugehtirigen Monodromiesubstitutionen pk entsprieht. In manchen Fallen gelingt es, allein aus solchen topologisehen Betraehtungen aueh an den sonst sehr schwierig zu behandelnden singuli~ren Stellen 2. Art eine Darstellung fiir F(x , y, z) zu gewinnen.

Betrachten wir als Beispiel den Fall, wo die dureh (xo, Yo, zo) gehenden singul~ren Kurvenzweige durch v Gleichungen

q l (u ,v) = 0, q~(u;v) ~- 0, . . . , q~(u, v) = 0

gegeben sind, welche v sich in (u = 0, v ~- 0) sehneidende Kurven mit versehiedenen Tangenten repri~sentieren. Unter diesen Umsti~nden wird g yon gewissen Elementen Ri, Si ( i - ~ - l , 2 , . . . , v - - l ) erzeugt, zwischen denen die Relationen

RiS i = Sil~i (i ~ 1 , . . . , ~ - - 1 ) ,

//kSk ----- R~+I Sk+l (k ~--- 1, . . . , v ~ 2)

bestehen. Sind ri, si die Ri, Si entsprechenden Elemente der Monodromie- gruppe, so gelten auch zwischen diesen die Relationen

ri 8i ~ 8i ri, r k 8k ~ r k + l 8 k 4 - 1 �9

Nun folgt aber aus der Vertauschbarkeit zweier linearen Transformationen die Gleiehheit der Fixpunkte und umgekehrt, ri und si haben also

1o) Loc. cit. 2) und 3).


gleiche Fixpunkte. Wenn nun ftir irgendeinen Index i r i ~: 8-i -1, SO gilt dies wegen der 2. Relationengruppe ffir alle i und aus risi = ri+lSi+l schlielit man dann auf die Gleichheit der Fixpunkte beider Seiten. Es haben dann also alle Substitutionen ri, si die gleichen Fixpunkte und sind somit si~mtlich untereinander vertauschbar. Wenn jedoch fiir ein i riSi ~- 1, so auch ftir alle i. Im ersten Falle wird die der Gruppe g entsprechende Untergruppe r der Monodromiegruppe/" yon den v vertauschbaren Sub- stitutionen Sl, 15, r~, 'rs, . . . , rr-~ erzeugt, zwischen denen au~er der Vertauschbarkeitsrelation topologischerseits keine weitere Beziehung ge- fordert wird. Im Falle ri si ---~ 1 hingegen wird 7 yon r~, r~, . . . , rr-1 erzeugt, zwischen denen fiberhaupt keine Relation zu bestehen braucht, soweit topologische Grfinde sprechen.

Xhnliche Verh~tltnisse ergeben sieh in allen obigen Fallen, die bei singularen SteUen 2. Art auftreten k0nnen. Es lis sich u. a. zeigen: Ist (Xo, yo, zo) ein freier aber sonst beliebiger Punkt einer Kurve Ki und enthMt }, kein Element von endlicher 0rdnung, so sind alle Elemente yon ;, untereinander vertauschbar.

Der Umstand, dat~ s~mtliche Elemente von ;, vertauschbar sein k0nnen, hat deshalb besonderes Interesse, well sieh dann F(x , y, z) nach Austibung einer geeigneten linearen Transformation 1 in einer der beiden Form6n

l (F (x , y, z)) = ql(u, v) ~'q~(u, v) l~. . , q,(u, v) x ~ ( u , v) oder l (F(x, y, z)) -~ ul logql (u, v)+u~log q~ (u, v) + ... + a, log q~(u, v)+ ~p(u, v)

darstellen, wo qi(u, v) wie oben die singuli~ren Kurvenzweige und ~(u , v) eine in der Umgebung yon (Xo, yo, Zo) eindeutige Funktion bezeiehnen.

Da die Ki algebraische Kurven sind, so gibt es in ganz R nur endlich viele relative Verzweigungsstellen 2. Art. Uberdies k(innen sich diese nur unter den (ai, bi, ci) finden, well die Ki als Integralkurven nur an diesen Stellen Schnittpunkte oder nicht-einfache Punkte aufweisen k0nnen.

Jeder Kurve 1{4 ist, wenn li~ngs ihr keine logarithmische Verzweigung stattfindet, eine Zahl ;~i zugeordnet als Exponent in der ftir einen einfachen freien Punkt von Ki gtiltigen Darstellung

1 (F) -~ qi (u, v) ;~' ~0 (u, v).

Diese Zahl ~i ist nattirlich noch bis auf ganze Zahlen unbestimmt, im fibrigen aber unabhangig yon der Wahl tier Stelle (xo, yo, zo), in dessert Um- gebung man obige Entwicklung aufstellt. Denn e 2~ix' ist der Multiplikator tier linearen Substitution, die e i ne r gewissen einfaehen, positiven Um- kreisung yon Ki entspricht. Sind a == lr1-1, a' -~ l'}/1 r-1 irgend zwei solehe Umkreisungen yon Ki, wo l, l' die Zuleitungen bedeuten, und s, s'

382 E. Ki~hler.

die zugeh0rigen Monodromiesubstitutionen, so zeigt man wie oben (s. S. 373), daft man durch stetige Versehiebung ~len Mittelpunkt yon a' in den von a fiberftihren kann. Ist nach dieser Deformation l" die Zuleitung yon a', so ist l" 1-1 = L ein geschlossener Weg und

d = l"y1 "-1 = L171-1L -1 ~ L a L -1.

s' geht daher aus s durch Transformation mit der zu L gehtirigen Sub- stitution t yon F hervor, woraus folgt, dai~ s und s' denselben Multiplikator besitzen.

Hyperabelsche Funktionen. 12.

Die vorangehenden Betrachtungen finden ihre eigentliehe Recht- fertigung in den Anwendungen, die sie auf die Theorie der hyperabelschen Funktionen zulassen.

Nach PICARD I1) nennt man eine eindeutige automorphe Funktion F(u, v) hyperabelsch, wenn die Substitutionen ihrer Gruppe r reell und yon der Form

( a u + ~ v ~ a ' v + / Y ) u--) y u + ~ ' ~-~~-~

sind, und ferner sich F(u, v) im Fundamentalbereich D wie eine rationale Funktion verhalt mit Ausnahme der evtl. vorhandenen Stellen, wo D bis an die nattirliehen Grenzen yon F(u, v) heranreieht und andere Vorsehriften fiber alas Verhalten yon F(u, v) gemacht werden miissen. Zwisehen drei beliebigen zu derselben Gruppe r geh0rigen Funktionen besteht dann immer eine algebraisehe Relation und alle diese Funktionen lassen sich rational durch drei geeignet gewi~hlte Funktionen x(u, v), y(u, v), z(u, v), zwischen denen eine algebraische Beziehung

besteht, darstellen. Die Quotienten

f ( x , y, z) ~ 0

8y 8x 0 y . 8x Ou : 0 u ' Ov" 8v

sind offenbar ebenfalls hyperabelsche Funktionen mit der Gruppe Fund daher als rationale Funktionen ~(x, y, z) bzw. ~O(x, y, z) darstellbar. D i e beiden algebraischen Differentialgleichungen

dy __ ~(x, y, z), a) dx

(15) f ( x , y, z) ~--- O, b) dy __ ~(x, y, z),

dx

11) PICARD, Sur les fonctions hyperah~liennes. Journ. de Math. (4), t. 1 (1885).


werden demnach durch x = ~(~, 0 , y = y(u , v)

allgemein integriert, wobei das erste Mal v, Integrationskonstante anzusehen ist.

Bestimmt man aus den beiden Gleichungen

das zweite Mal v als

x ~ x (u , v), y ~ y (u , v)

u und v als Funktion yon x, y, so ist

v(x, y) ~ konst.

das allgemeine Integral von (15a) und

u (x, y) ~ konst.

das allgemeine Integral yon (15b). Zwei eindeutige Funktionen Z~ (u, v), Z~(u, v), die sich bei Aus-

tibung einer Substitution (u-~S(u) , v ~ T(v)) tier Gruppe F naeh dem Schema

Z~ (S(u), T(v)) - - c~ Z~ (u, v) + c~ Z~ (u, v),

(16) Z~ (S(u), T(v)) -~ cs Zl (u, v) + c4 Zz (u, v),

- - ci --~ konst. - - transformieren, seien in Analogie zu den Poincardschen fonctions zdtafuchsiennes als ein Paar konjugierter hyperabelscher Zeta- funktionen bezeichnet.

Man erkennt leicht, dab die Ausdriieke

1 ~Z~ ~ZI ~Z1 1 0Z~ 0Z, 8Zs - - f - v - - , - - - - + ~ - - , xu ~u Ox Oy xu Ou ~x Oy

_ _ _ OZI 1 ~Z~ OZ~ OZ~ xv 3v ~ x Oy xv Ov Ox Oy

zwei Paare konjugierter Zetaftmktionen bilden, die sieh mit genau denselben Konstanten ci wie Z~, Z~ transformieren. Setzen wir daher

z - = a Z ~ + b Z ~

mit konstanten a, b und entwickeln die identiseh verschwindende Deter- minante

1 o Z

Xu ~ U

l OZI Xu ~ U

1 oZ~ Xu 0 u

1 OZ Z

Xv ~V

1 OZI ZI - : 0

Xv OV

1 ~z~ z~ xv Ov

384 E. Ki~hler.

nach den Elementen der ersten Zeile, so ist in tier resultierenden Gleichung

~Z OZ

das VerhMtnis der ai bei Ausiibung einer Substitution der hyperabelsehen Gruppe invariant. Die a~ sind also proportional zu gewissen rationalen Funktionen p(x, y, z), q(x, y, z), r(x, y, z) yon x(u, v), y(u, v), z(u, v), so dab Z tier Differentialgleichung

OZ a z + = o

gentigt. Analog erkennt man, dal] zwischen drei beliebigen nach x, y genommenen Ableitungen yon Z stets eine homogene lineare Relation mit rationalen Koeffizienten besteht.

Die Funktion Z ist daher die allgemeine L0sung eines simultanen Systems yon der Form I, II (siehe S. 377).

(17)

Da die Funktionen

z ; =

V Ox Z~ ~ u } / Ox

V~ Ov ' Z~ ~ v Ov

zwei Paare konjugierter Zetafunktionen vorstellen, so sind u(x, y) und v (x, y) als Quotient der beiden unabhi~ngigen L(isungen zweier simultaner Systeme 2. Ordnung yon der Form

OZ OZ p ~ x + q-~y + r Z ~- O,

(18) ~ Z + ~Z ~x ~ g-~x + h Z ~- 0

darstellbar, und alle oben ffir solche Funktionen erkannten Gesetzmi~i~ig- keiten sind an u(x, y) und v(x, y) zu beobachten.

Die Gesamtheit der hyperabelschen Gruppen bildet eine Mannig- faltigkeit yon noch unfibersehbarem Formenreichtum. Es wi~re ffir die Funktionentheorie wie ftir die Theorie der DifferentialgleiChungen yon groBer Wichtigkeit, hyperabelsche Gruppen explizit aufzusteUen, Vor allem aber interessiert die Frage, in welchen algebraischen K(irpern es nicht-triviale Integrale mit hyperabelscher Gruppe gibt. Man wird ver- tauten, dab dies gerade diejenigen K(irper sind, die sich durch hyper- abelsehe Funktionen uniformisieren lassen.

Es scheint bisher noch nicht bemerkt worden zu sein, daft die hyperabelschen Funktionen mit einem so einfachen simultanen System


wie (18) in Zusammenhang stehen; denn seit dem Vorgange von PICARD findet sich fiberall nur das System 4. 0rdnung, dem die Funktionen

U~ ~ V D ~

( OxOy ~x ~y) D - - ~T ~ , ~v ~ u

genfigen, als Differentialgleiehungen der hyperabelschen Funktionen zitiert~*). Statt eines Systems 4. 0rdnung haben wir zwei Systeme 2. 0rdnung, ni~mlich die beiden zu Z~, Z,2 bzw. Z~, Z,~ (siehe (17)) geh6rigen Systeme.

Zum Schlu~ sei noch auf eine Mtiglichkeit hingewiesen, die oben dargelegten Ansiitze zur Integration der algebraischen Differential- gleichungen zu erweitern.

Sind

FI (x, y, z) ~ kons t . , /~ (x, y, z) ~ konst., . . . , FI~ (x, y, z) - - konst.

verschiedene Formen des Integrals einer Differentialgleichung

dx dy - - f ( x , y , z ) = o , p (x, y, z) q (x, y, z) '

so ist offenbar auch q) (F1, F , , . . . , Fk) ~ konst.,

wo �9 eine betiebige analytisehe Funktion ihrer k Argumente bezeichnet, eine Form des Integrals.

Man wird sieh fragen: gibt es ein solches System

F1 (x, y, z), F,~ (x, y, z), . . - , FI~ (~J:, y, z)

yon Integralformel~, dai~ diese Funktionen bei analytischer Fortsetzung li~ngs eines beliebigen gesehlossenen Weges in der zu f (x , y, z) ~ 0 geh6rigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine projektive, allgemein eine Cremona-Transformation erleiden ?

1_~) Bei G. GIRAUD, Ann. de I'll]cole Normale (3) 38 (1921), p. 160, finder sich ein analoges System 4. 0rdnung.

Documents

Über die integrale algebraischer differentialgleichungen