YSERENTANT, H. : On Maximum Norm Convergence of the Finite Element Method 91

XARIM . 2. Angew. Math. U. Meoh. 66 (1985) 2,91-100

Y SBRINTANT , F

Uber die Maximumnormkonvergenz der Methode der finiten Elemente bei geringsten Regularitatsvoraussetzungen

In dieser Arbeit werden Aussagen iiber die Maximumnorm des Fehlers bei Anwendung der Methode der finiten Elemente bewiesen, ohne dabei von Regularitatseigenschaf ten des kontinuierlichen Problems und seiner Diskretisierung Gebrauch zu machen. Die erzielten Ergebnisse gelten fur ebene elliptische 'Randwertprobleme zweiter Ordnung. Sie lassen sich in zwei Gruppen einteilen. Zum einen wird gezeigt, daJ sich der Maximumnormfehler im wesentlichen durch den Energie- normfehler abschatzen la&, und zum anderen, daJ d ie Maximumnormkonvergenz der Methode der finiten Elemente eirc rein lokales Phanomen darstellt, unabhtingig von der Regularitat des kontinuierlichen Problems und der Quasiuniformitat der benutzten Elementeinteilung. Der lokale Fehler in der Maximumnorm la& sich immer durch den Maximumnormfehler eines lokalisierten Problems und den lokalen Fehler in der &Norm abschatzen.

The aim of this paper is to get results on the maximum norm of the error in finite element discretizations without using regularity properties of the continuous problem and its discretization. The theorems apply to second order elliptic boundary value problems on plain domains. The work may be divided in two parts. In the first part i t is shown that the maximum norm error can be estimated essentially by the error in the energy norm, and in the second part that maximum norm convergence is a totally local phenomenon independent of the regularity of the continuous problem and the quasiuni- formity of the subdivision of the domain in finite elements. I t is proved that the maximum norm of the local error can be estimated by the maximum norm error of a localized problem and the local error in the &-norm.

B HacToRveii c-raTbe n o ~ a a a ~ b ~ p e a y n b ~ a ~ b ~ o C X O ~ ~ M O C T H Hopmi MaKcmyMa O I I I M G K ~ npn npaiweHeHnn MeTona KoHewmx W ~ M ~ H T O B , iie npa6era~ I E npennonomeHam perynapHocTa iienpepmwofi aaaarIa ci IC He& A ~ C E F ~ ~ T H ~ ~ Y ~ M . P e a y n b ~ a ~ b ~ npmeHReMbr H a w ~ n a n ~ ~ ~ e c ~ a e Kpaeme 3 a ~ a s ~ ~ ~ o p o r o nopnni;a wa nnowoma. Mx MO)KHO p a 3 ~ e n a ~ b Ha nse Yacm. B nepBoii Yamn n o ~ a a a ~ o , YTO ou1146~a B HopMe MaHcamyMa M0)fFeT 6bi~b oueHena, B OCHOBHOM, sepea 0lrraB~y B mepreTaqecHoii Hopme, BO B T O ~ O B qacm, YTO cxona- Momb B Hope MaKcaMyMa npencTasnseT c060fi YMCTO noKanbHae mneHae, H ~ ~ ~ B ~ C M M O OT peryaqmocm ~enpepbimot aanarla a OT K B ~ ~ ~ - ~ ~ B H O M ~ P H O C T H p a a n e n e ~ a ~ o 6 n a c ~ ~ B KoHewbie ~ J I ~ M ~ H T H . IIpennona- raeTcn, TITO noKanmym o m a 6 ~ y B HopMe MaKcmyMa ncerna MOHEHO oueHmb sepea omaGtry B iropiwe Maw czmyMa HexoTopot no~ankianpona~~oii aanavn M sepe3 noKanmym o m a 6 ~ y B ~opmc L,.

1. Einleitung

.Q sei eine offene und beschrankteTeilmenge der Ebene und wl~~(Qn) der Raum aller auf Q schwach differenzierbaren Funktionen, deren erste Ableitungen uber 52 quadratisch integrierbar sind. Wir versehen W1, 2(12) mit der Halbnorm

l l ~ ( 1 ~ , ~ ; ~ ist die L,-Norm von u.

Ordnung sei das Randwertproblem gegeben, eine Funktion u E H ( Q ) mit H ( 0) sei ein abgeschlossener h e a r e r Teilrauin von Q). Stellvertretend fur die Randwertprobleme zweiter

fur alle v E H ( l 2 ) zu finden. Die aij und c sollen dabei meRbare und beschriinkte Funktionen und f eine quadratisch integrierbare Funktion sein, so daB die durch die linke Seite von (1.3) gegebene Bilinearform B auf W1>2(Q) x W1, 2 ( Q ) stetig ist, und die rechte Seite von (1.3) ein stetiges lineares Funktional auf W1,2(12) definiert. Der Teilraum H ( Q ) von Wl,z(Q), uber den1 das Randwertproblem (1.3) gestellt ist, und die Bilinearform B sollen aueerdem so beschaffen sein, da13 fiir alle u E H ( 0 )

B(% u) 2 p ll~1121,2,a (1.4) mit einer positiven Konstanten p gilt. (1.4) garantiert die eindeutige Losbarkeit des Randwertproblems.

K oef f izientenf unktionen aij Die Koerzivitatsungleichung (1.4) ist beispielsweise erfullt, wenn H ( a ) der Raum W i , 2 ( Q ) ist, wenn fur die

fur alle (ql, qz) E W2 und alle (z, y) E 0 mit einer Konstanten 6 > 0 gilt, und wenn auf .Q

c(z, Y) 2 0 (1.6) ist. (1.3) ist dann die sehwache Formulierung eines Diriehletschen Randwertproblems niit homogenen Randbedin- gungen. 6 ist die Elliptizitiitskonstante des Problems. Gilt zusatzlich c(z, y) 2 c, > 0 auf l2, so ist (1.4) sogar fur alle u E W1,2(Q) erfullt. H ( Q ) = W1,2(Q) fiihrt auf ein Randwertproblem mit freien Randbedingungen.

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Das Randwertproblem (1.3) kann man naherungsweise mit dem Galerkin-Verfahren losen. Die Naherungslosung Pu ist dann eine Projektion der exakten Losung u auf einen endlichdimensionalen Ansatzfunktionenrauni s"( $2) c

H(fZ). Pu geniigt fur alle v E S(S) der Beziehung

B(Pu,u) = B(u,v) , (1.7) wobei B die Bilinearform auf der linken Seite von (1.3) bezeichnet. Bezuglich der Norm (1.2) ist der Projektions- operator P automatisch beschrankt. Pu ist deshalb bezuglich dieser Norm eine quasioptimale Approximation von u : Fur alle w E Y(Q) ist

llPu - Ull1,Z;sa 5 Qllv - Ull1,z;n . (1.8) Die Konstante C in (1.8) l l B t sich meistens sehr einfach in den Griff bekommen. Sie hangt oft nur von Schranken fur die Koeffizientenfunktionen der Bilinearform, von deren Elliptizitatskonstanten und dem Durchmesser des betrachteten Gebietes ab.

Seitdem Galerkin-Verfahren in Gestalt der Methode der finiten Elemente eine weite Verbreitung gefunden haben, ist es Anliegen der Forschung, vom Effekt her (1.8) entsprechende Quasioptimalitats- und Konvergenzaus- sagen auch fur andere Normen als der dem Problem in natiirlicher Weise zugeordneten Norm (1.2) zu machen. Vor allem ist man an Konvergenzaussagen in der Maximumnorm interessiert . Fur Finite-Element -Ansatzfunktionen- raume beweist NATTERER [5 ] , da13 unter bestimmten Regularitatsvoraussetzungen in der Maximumnorm fast die opti- male Konvergenzordnung erreicht wird. Die von NATTERER erzielten Ergebnisse sind von NITSCHE [6] vervollkomm- net worden. NITSCHE beweist, da13 die von der Struktur der Ansatzfunktionen her optimale Ordnung angenommen wird. Mit einer anderen Technik erzielen auch SCOTT El21 und FREHSE und RANNACHER [a] solche Ergebnisse. Die Methode von NITSCHE ist auf eine Vielzahl auch nichtlinearer Probleme angewandt worden.

I n entscheidender Weise geht in alle diese Arbeiten die Regularitat des Problems und seiner Diskretisierung ein. Das betrachtete Gebiet muB glatt berandet oder konvex sein. Quasioptimalitatsaussagen fur nicht notwendiger- weise konvexe polygonale Teilgebiete der Ebene werden von SCHATZ und WAHLBIN [lo], [ll] gemacht. Die in den zitierten Fehlerabschatzungen auftretenden Konstanten hangen in vielfaltiger Weise mit der Regularitat des Pro- blems und seiner Diskretisierung zusammen und sind von ihrer tatsachlichen QroBenordnung her kaum zu uber- blicken. Die bewiesenen Konvergenzaussagen sind damit von rein asymptotischer Natur. Dies widerspricht etwas dem Charakter der Methode der finiten Elemente. Der praktische Wert dieser Methode liegt oft gerade darin, daI3 man schon mit relativ groben Elementeinteilungen ausreichende Genauigkeit erzielen kann und bei linearen Pro- blemen der beschriebenen Art nie Stabilitatsprobleme auftreten.

Wie im ersten Teil dieser Arbeit vorgefiihrt wird, ist es moglich, mit ganz elementaren Mitteln eine robuste, von der Regularitat des Problems vollig unabhangige Abschatzung fur die Maximumnorm des Fehlers herzuleiten. Jn diese Abschltzungen gehen keine Regularitiitseigenschaften der Zerlegung des Gebietes in finite Elemente ein. So wird zum Beispiel nicht bendtigt, da13 sich der Durchmesser des grol3ten Elementes durch den Durchmesser des kleinsten Elementes abschatzen la B t oder der Durchmesser aller finiten Elemente unterhalb einer gewissen Kon- stanten liegt. Als ein Hauptergebnis wird in Abschnitt 4 gezeigt, da13 fur jede Funktion u aus dem Losungsraum H(sZ), die auf dem betrachteten finiten Element Q, stetig oder zumindest beschrankt ist, fur die Galerkin-Projektion Pu auf den Finite-Element-Ansatzfunktionenraum und fur jede Ansatzfunktion v aus diesem Raum die Abschatzung

gilt. Der Nachteil dieser hier behandelten Fehlerabschatzungen gegenuber den etwa von NITSCHE erzielten Resulta-

ten ist, da13 in gunstigen Situationen nicht die optimale, von der Struktur der Ansatzfunktionen her mogliche Kon- vergenzordnung erreicht wird, sondern, abgesehen von dem logarithmischen Faktor, nur eine um eins niedrigere Ordnung. I n dieser Hinsicht gleicht das hier vorgefuhrte Resultat den Ergebnissen aus einer alteren Arbeit von CIARLET und RAVIART [2] fur stuckweise lineare Ansatzfunktionen. Fur stuckweise lineare Ansatzfunktionen kann man (1.9) aus einem Ergebnis von OGANESJAN und RUCHOVEZ [8, S. 74-77] herleiten, auf das der Verfasser vom Re- ferenten aufmerksam gemacht wurde.

Aufbauend auf den Ergebnissen der Abschnitte 2 und 3 wird in Abschnitt 5 und 6 gezeigt, da13 die Maxi- niii tnnormkonvergenz der Methode der finiten Elemente ein lokales Phiinomen ist.

G, sei eine kompakte Menge mit Q n G, # 0. Falls GI den Rand von SZ schneidet, aQ n B, also nicht leer ist, wird vorausgesetzt, da13 das Gesamtproblem auf dem Randstuck O S Z n G, homogenen Dirichletschen Randbedin- gungen geniigt, und da13 der Ansatzfunktionenraum 3(Q) aus Funktionen besteht, die auf diesem Randstiick ver- whwinden. Go sei eine kompakte Teilmenge des Innern von G,. Wir untersuchen den lokalen Maximumnormfehler

auf a n Go fiir auf dieaer Menge heachrankte Funktionen u c El(@. Unter der Voraussetzung, dafi die Xoeffizien-

tenfunktionen al , von B auf a n G, \ Go stetig differenzierbar sind, wird gezeigt (Satz 6.1), daB sich der Fehler (1.10) durch den L,-Norm-Fehler

der Projektion Pu iiber dem Randstreifen a n G, \ 6,, von

IIPu - UII0 ,rn;DnC. (1.10)

0

I I PU - U I 1 0 , 2; F n c~\& (1.11) n Go und einen lokalen Maximumnormfehler

(1.12)

YSERENTANT, H. : O n Maximum Norm Convergence of the Finite Element Method 93

abschatzen IaBt. (1.11) 1aBt sich als Verschmutzungsterm interpretieren. Dieser Term erfaBt die nichtlokalen Ein- flusse auf den Fehler (1.10). Der lokale Anteil (1.12) beschreibt, wie gut die abgesehnittene Losung m u als Losung eines lokalen Dirichletproblems, das uber einer Obermenge 5 n G, von 5 n GI gestellt ist, mit der Methode der finiten Elemente und den gegebenen Ansatzfunktionen approximiert wird. Die Maximumnormkonvergenz der Me- thode der finiten Elemente ist daher bei ebenen Problenien unabhangig von deren Regularitat und der Regularitat der Diskretisierung ein rein lokales Phanomen. Alle globalen Einflusse auf die Maximumnorm des lokalen Fehlers lassen sich durch einen lokalen L,-Norm-Fehler der Form (1.11) erfassen.

Fur den Fehler in der W1S2-Norm sind derartige Lokalisationssatze erstrnals von NITSCIIB und SCIIATZ 171 be- wiesen worden. Wie in SCHATZ und WAHLBIN [9] werden dabei nur kompakte Mengen Go zugelassen, die im Innern von a liegen. Sowohl in [7] als auch in [9] werden lokal erhebliche Regularitatsforderungen gestellt. So wird zum Beispiel vorausgesetzt, daB die Elementeinteilung in den betrachteten Gebieten quasiuniform ist, sich also der maximale Elementdurchmesser durch den minimalen Elementdurchmesser abschatzen lafit, und daB der maximale Elementdurchmesser unterhalb einer gewissen Schranke liegt. An die Stelle des L,-Norm-Pehlers treten in [7] und [9] lokale Fehler in schwacheren Dualnormen. I n beiden Arbeiten wird das asymptotische Verhalten des (1 . l a ) ent- sprechenden lokalen Anteils fur gegen Null strebende maximale Elementdurchmesser untersucht. Lokalisations- satze spielen auch in [lo] und [ l l ] eine groBe Rolle. Bedingt durch die anspruchsvollen Beweistechniken ist es nicht ganz einfach, ein Gefuhl fur die GroBenordnungen der in den zitierten Arbeiten auftretenden Konstanten zu be- kornmen. Die gewonnenen Ergebnisse sind daher mehr asymptotischer Natur und beschreibcn vor allcm das Ver- halten der Naherungslosung bei sehr feinen Elementeinteilungen.

Neu an den in Abschnitt 6 vorgefuhrten Abschatzungen ist, daD zu ihrem Beweis nahezu keine Kegularitats- voranssetzungen an das Problem und seine Diskretisierung gestellt werden mussen. Zum Beweis der Ergebnisse wird weder die elliptische Regularitatstheorie benutzt, noch wird vorausgesetzt, daB sich in den betrachteten Teilgebieten der minimale Elementdurchmesser in irgendeiner Weise durch den maximalen Elementdurchmesser abschatzen last und der maximale Elementdurchmesser unterhalb einer gewissen Konstanten liegt. I n diesem Sinne ist das bewiesene Lokalisationsprinzip robust.

2. Eine Abschatzung, die fur alle Funktioilon aus W,l*2(Ja) gilt

Das Ziel dieses Abschnittes ist eine moglichst scharfe Abschatzung des Mittelwertes des Betrages von Punktionen aus W:,2 (Q) iiber Kreisen kleinen Durchmessers durch die Norm (1.1). Zusammen niit einer inversen Ungleichung wird aus dieser Abschatzung eine Abschatzung fur die Maximumnorm von Finite-Element-Ansatxfunktionen durch ihre Norm (1 . l ) folgen. Diese Abschatzung wird dann daxu dienen, die behaupteten Konvergenzaussagen zu bewei- sen.

Im folgenden bezeichnet K((xo , yo), R) den Kreis vom Radius R um den Punkt (zo, yo) der Ebene. K(0 , R) ist speziell der Kreis vom Radius R um den Nullpunkt.

H i l f s sa t z 2.1 : u: K(0, R ) + R sei eine stetig differenzierbare Funkt ion , die auf d e m Rande des Kreises K(0 , R) verschwindet. f: W, + R sei stetig, und F : W, -+ R durch

r F ( r ) = t f ( t ) dt

0

gegeben. Dann ist

B e we i s : In Yolarkoordinaten ist

Unter den gegebenen Voraussctzungen kilnn man das LuBero lntegral iluf der rcchten Seite dieser Glcichung durch partielle Integra- tion umformen und erhalt so

11 2n - I F(r ) J (D,u) (r cos p,, r sin p,) sin p, dp, dr .

0 0

Wendet man auf die inneren Integrale auf der rechten Seite die Schwarmche Ungleichung an, so erhalt man

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Durch Anwendung der Schwarzschen Ungleichung auf die PuReren Integrale ergibt sich

woraua offenbar mit der elcmentorcn Ungleichung

a -1- 6 v r y m nach Ruckwandlung in Cartesische Koordinatcn die Behauptung folgt.

Die Abschatzung aus Hilfssatz 2.1 fur einen gewichteten Mittelwert der Punktion u sol1 jetzt zu einer Ab-

Hi l f s sa t z 2.2: Unter den Voruussetxungen won Hilfssqtz 2.1 gilt fur f 2 0 die Abschatxung schatzung fur den Betrag von u verbessert werden:

I1

J ‘ J li(0, It) 0

Be weis: Als Hilfsmittel werden die auf der ganzen Zahlengeraden dcfinierten stetig diffcrenzierbaren Punktionen B,(t) = ( t 2 + n+)1/2 - n-l, n E N ,

benutzt. Wegen IBtL(t) - It [I 5 l /n gilt fur alle n mit der Dreiecksungleichung

1 f(~F~~212) lu@, y)n d (2, Y) 5 1 Am) Bn(u(2, Y)) d (2, Y) + -~ rL lf(l’mI d(s, y) . l i(0, II) ‘ S K ( O , K)

K ( O , a) Die Funktionen B,(u(z, y)) sind stet,ig differenzierbar urid verschwinden wcgcn Bn(0) = 0 ouf dem Barid des Kreises K(O, B). Man kann daher auf das erste Integral ouf der rechten Seite der eben hergeleiteten Unglcichung Hilfssatz 2.1 anwenden und er- halt ( J R F T ) d,j1/2 1 f ( V F q ; z ) B,(u(z, y)) d (2, y) 5 V 2 n _- IBn 0 ull,a;#(o, I t )

A(0, fl) 0 mit

lBn 0 u112,z; X(0, ft) = I IAL(u(z, !/))I’ ( (DiV (2, Y) + (-%u)z (2, Y)) d (2% Y) . K(0, R)

Oben eingesetzt, folgt daraus mit lBh(t)l 5 1 die Behauptung.

Niihert illan die unstetigo Qowichtsfunktion

durch stetige, etwa stiickweise lineare Funktionen an, SO crh6lt man aus Hilfssatz 2.2 die folgende Abschitzung :

wrschwindet. DutLn gi l t fur 0 < d < 12 Hi l f s sa t z 2.3: u: K(0, R) - R sei eine stetig differeruierbare Funktion, die auf dem h‘ande des Kreises K(0 , 12)

Die Absohatzung aus Hilfssatz 2.3 laDt sich nicht verschirfen. I>as xeigt das Beispiel der stetig differenzier- baren Funktionen u ~ ~ , ~ : K(0, R ) --t R, 0 < a 5 R, die durch

_ _ ~

U R , o ( Z , Y) = @N,.(iZ2 + Y2) 7

gegeben sind. Fur diese Punktionen geht die Ungleichung aus Hilfssatz 2.3 in eine Gleichung uber.

natenursprungs die zum Beweis der Hesultate dieser Arbeit entscheidende Abschatzung :

(xo, yo) E SL und alle a E (0, R] fiir alle Funktionen u E W$z(Q)

Da Ct(0) unter derNorm (1.1) in Wl,,z(0) dicht liegt, folgt aus Hilfssatz 2.3 mit einer Verschiebung des Koordi-

S a t z 2.1 : 52 sei eine offene und beschrankte Teilmenge der Ebene wom Durchmesser R. Dann gilt fur alle Punkte

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Der Vorfaktor auf der rechten Seite der Abschatzung aus Satz 2.1 wachst monoton in Rla gegen Unendlich, aber auljerordentlich langsam. Fur R/o 5 400 ist er kleiner als 1, fur R/o 5 1O1O noch kleiner als 2 und fur R/a 5 kleiner als 10.

3. M~xirnumnormabschltzungen fur Finite-Element-Ansatzfunktionen

In diesem Abschnitt soll die Maximumnorm von Finite-Element-Ansatzfunktionen durch ihre W1$ 2-Norm abge- schatzt werden. Die wesentlichen Hilfsmittel werden dabei die im letzten Abschnitt gewonnerle gewichtete Ll-Norm- Abschatzung, die unten zitierte eleinentweise inverse Ungleichung (3.1) fur die Ansatzfunktionen und gewisse Fortsetxungsoperatoren sein.

Die abgeschlossene Hiille der offenen urid beschrankten Teilnienge 52 der Ebene sei nun naherungsweise in affine und isoparametrische finite Eleniente Q,,j = 1 , ... , N , unterteilt. S(52) sei ein lZaum von auf der Vereinigung u Qj der 52, in ublicher Weise definierten Finite-Element-Ansatzfunktionen. Hier sollen nur konforme Methoden betrachtet werden, so da8 die Ansatifunktionen uber die Elementgrenzen hinweg stetig sind. Xo(Q) sei der Kaum der Ansatzfunktionen aus X ( Q , die auf dem Rand von U Qi, das heifit in den 1Zandknoten verschwinden. S(Q) ist dann auf Grund seiner Konstruktion ein Teilraum von W1,2( U SZ,) und So(f2) ein Teilraum von Wipz( \J 52,).

Fur die Ansatzfunktionen v E X(52) und die einzelncn finiten Elernente 0, gilt die inverse Ungleichung

I 1 4 I 0, 00; a, 5 coq 2l I VI I 0 , l ; Qj Y (3.1) wobei hj der Durchmesser von 52, sein SOU. Die in (3.1) auftretende Konstante Co hangt nur vom Grad der betrach- teten Anslitzfunktionen und der Verformung des Elementes 52, gegeniiber der Gestalt des Referenzelementes, nicht aber von der Grolje des Elementes ab. Man vergleiche dazu etwa CIARLET [3].

Der einfachste Typ von Maximumnormabschatzungen laDt sich fur Ansatzfunktionen herleiten, die auf dem Rand des betrachteten Gebietes verschwinden :

S a t z 3.1: Es gibt eine nur von der Konstanten C,, aus der inuersen Ungleichung (3.1) ubhungige Konstante C mit

fur ulle Ansatzfunktionen v E So(f2) und alle finiten Elemente SZj. R ist der Durchmesser der Vereinigung U a, aller finiten Elemente 52% und h, der Durchmesser des finiten Elernentes 0,.

13 e w eis : Dns Elleluent SZ, ist eine Teilinengc der Kreisscheibe K , voiri Radius h, urn einen Yunkt aus Oj. Naoh (3.1) ist deshalb

Die rctahte Seite dieser Ungleichurig kann inan riiit Saix 2.1 weiter abschatzen und erhalt

Global gilt damit fur die Funktionen v E So(52) die Abschatzung

(3.2)

in ckr tt,* tler minimale Durchmesser der finiten Eleniente 9, ist. Uni Abschatxungen zu erhalten, die auch fur Ansatzfunktionen gelten, die nicht auf den1 gesamten Rand des

Gebietes verschwinden, machen wir die im Rahmen dieser Arbeit naturliche Voraussetzung, da8 das abgeschlossene Gebiet a Vereinigung relativ weniger Dreiecke oder nichtlinear verformter Dreiecke ist, und nehmen an, dalj die den benutzten Finite-Element-Riiumen zugrundeliegenden Triangulierungen Verfeinerungen dieser Ausgangstri- angulierung sind.

Dann kljt sich zunachst fur jedes Dreieck T der Ausgangstriangulierung ein linearer Fortsetzungsoperator EYT: W1r2(T) + Wi,z(G,) so angeben, dalj ETu 1 T = u und

IE 'Yul1 ,Z;oT r ~ T l l ~ l l l , z ; z ~ (3.3) fdr alle u E ? V 2 ( T ) gilt. GT soll dabei etwa ein Kreis sein,in dessen Innerem dasDreieck T licgt. Einen solohen Port- setzungsoperator ET kann man ganz elementar durch fortgesetzte Spiegelung von u und Abschneiden mit einer stetig differenzierbaren Funktion konstruieren; einen Beweis fur allgemeinere Gebiete findet man in ADAMS [l].

Aus (3.3), Satz 2.1, angewandt auf Erv, und der elementweisen inversen Ungleichung (3.1) folgt nun: S a t z 3.2 : Fur alle Funktionen v am dem gegebenen Finite-Element-Ansatzfunktionenraum gilt

d ( T ) ist dabei der Durchmesser des Dreiecks T der Ausgangstriangulierung und h, der minimale Durchmesser aller finiten Elemente D,, i n die das Dreieck T unterteilt ist. Die Konstante KT hangt nur vom Durchmesser und dem Grad der Verformung des Azcsgangsdreiecks T , dem Brad der Verformung der finiten Elemente Of, in d ie T unterteilt ist, und worn T y p der Ansatzfunktionen ab.

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Mit Satz 3.2 erhalt man sofort die globale Abschatzung

(3.4)

fur alle Finite-Element-Anfangsfunktionen w. R ist dabei wie in Satz 3.1 der Uurchniesser des G e k t e s 9, uber den: das Handwertprobleni gestellt ist und h* jetzt der miniinale Durchmesser aller finiten Eleniente, in die a unterteilt ist.

Uni die Abschatzung (3.4) zu erhalten, kann man statt mit den lokalen Fortsetzungsoperatoren EII aus (3.3) auch mit eineni globalen Fortsetzungsoperator E : W1l2(Q) -+ W;,"G) arbeiten, wobei G ein beschranktes Gebiet sein soll, dessen Inneres das abgeschlossene Gebiet a urnfafit. Man kann dann die Voraussetzung fallen lassen, daB die dem Finite-Element-Ansatzfunktionenraum zugrundeliegende Triangulierung eine Verfeinerung einer groben Ausgangstriangulierung ist, mu13 dafiir aber in Kauf nehmen, daB die auftretenden Konstanten in komplizierter Weise von der Geometrie von Q abhangen. Mit einer anderen, weniger elem2ntaren Technik wird eine (3.4) ent- sprechende Aussage in Wendland [12], Lemma 8.3.3, bewiesen.

4. Abschatzuagon fur die Maximiniiiorru dos Fehlers der Pinite-Eloment-Naherungen

Aus den im letzten Abschnitt hergeleiteten Abscliatzungen fur die Ansatzfunktionen folgen ganz zwanglos Abschat- zungen des Maxiriiuninormfehlers der Finite-Element-Naherungen.

Um Schwierigkeiten bei der Definition der Naherungslosung aus dem Weg zu gehen, wird jetzt vorausgesetzt, daS U 0, = ist, die finiten Elemente das Gebiet also genau iiberdecken. 3(Q) c H ( Q ) sei der Teilraum des Finite-Element-Raumes x ( 9 ) aus dem letzten Abschnitt, uber dem das diskrete Randwertproblem gestellt ist. Die Naherungslosung Pu E Y'(S1) ist dann bestininit durcli die Forderung

x) = fit4 x) , x E f ( J J ) ; (4.1) u E B(Q) ist die exakte Losung.

liri einfachsten Pall des Dirichlet-Yroblenis ist B(Q) der Kaum X,(L.) aller Ansatzfunktionen, die auf den: Itand des Gebietes verschwinden. Erfullen die Koeffizientenfunktionen der Bilinearforrn B auSerdem (1 5) und (1.6), so gilt:

S a t z 4.1 : Piir ulle finiten Elernente Qj, ulle Funktionen u E W:,z(Q) n C(Qf) und alle Ansutxfunktionen w E X o ( 9 ) ist

mit einer Konstanten C, die nur won den Schranken fur die Koeffizienten~ui2~tionen von B, der E'llipptixitiitsl%onstcmten 6 aus (1.5), ewentuell worn Durchmesser won SZ und von der Konstanten aus der inwersen Ungleichung (3.1) ffir die Ansatz- funktionen abhangt.

Beweis: Fur alle Ansatzfunktionen v ist

IIPU - ~ I I o , C o ; J ? j s llPu - vlI0,U;uj + 112, - ullo,n,;uj - Nach Saki 3.1 gilt fur den ersten Term auf der rechten Seite dieser Ungleichung

Da v = Pv ist, rind d s die Operatornorni von P beziiglich der Norm (1.1) durch eine Konstante C, beschriinkt ist, die iiur von den Schranken fur die Koeffizientenfunktionen von B , der Elliptizitatskonstanten 6 aus (1.5) und fiir c # 0 voni Uurchmesser von 9 abhangt, gilt

I P ~ - vi1,2;u = I ( P ( U - w ) ~ ~ , ~ ; ~ ~ 2 cZiu - w ~ ~ , ~ ; ~ ~ . Man sollte festhalten, da13 in den Beweis von Satz 4.1 nur Eigenschaften des Elementes eingehen, uber das

abgeschatzt wird. Aus der in Satz 4.1 forniulierten lokalen Abschatzung ader (3.2) folgt

llPu - U I l 0 , m ; Q 5 c log-+- Iw - UI1,'L;O + 112, - ~ l 1 o , c o ; u , (4.2) ( h", Y2 wobei h, der riiiniiiiale Durchmesser aller finiten Elemente 9, ist.

Ua iin Beweis von Satz 4.1 nur benotigt wird, daB die Differenz zwischen der Naherungslosung u* = Pu und der Ansatzfunktion v in den Handknoten und daiiiit auf dern ganzen Rand von D verschwindet, erhalt man genauso eine Absch&tzung

112 (4.3)

R IIu* - .uIlo,~;o, 5 C('O"+f) 1v - U I 1 , z ; n + 112, - UIIo,m;o,

fur Finite-Element-Naherungslosungen von Dirichlet-Problemen mit inhomogenen Randbedingungen. Von der Differene u* - v zwischen der Naherungslosung u* und der Ansatzfunktion v mu13 man nur verlangen, da13 sie auf dem Rand von Q verschwindet, das heiBt, da13 v genau wie u* in den Randknoten die exakte Losung ZG inter- poliert.

YSERENTANT, H. : On Maximum Norm Convergence of the Finite Element Method 97

Abschatzungen fur Probleme mit allgenieineren Randbedingungen beweist man mit Satz 3.2 beziehungsweise der Abschatzung (3.4) an Stelle von Satz 3.1. Man benotigt in diesem Fall, dal3 die Norm (1.2) auf dem Losungsraum aquivalent zu der von der Bilinearform B induzierten Energienorni ist.

5. Abschatzungen fur Ansatzfunktionen, die lokal das homogene Problem liisen

Um den angestrebten Lokalisationssatz beweisen zu konnen, braucht man eine Abschatzung fur Ansatzfunktionen, die lokal das homogene Problem losen. Diese Abschatzung wird dann auf die Differenz zwischen der Niiherungslosung des globalen Problems und der Niiherungslosung des lokalisierten Problems angewendet.

Den folgenden Hilfssatz beweist man durch partielle Integration:

Hilf s s a t z 5.1 : co sei eine auf a zweimal stetig differenzierbare Funktion. Die Koeffizientenfunktionen aij der stetigen Bilinearform

uber W1,2( 52) x W1,z(Q) seien auf einer' in der Spurtopologie auf a offenen Obermenge der Trciger von D,co und D,w stetig differenzierbar. Dann gilt mit den Funktionen

'2

a1 = z (at] + a,J DtOJ E Cl(Sz) , j = 1 , 2 , 1-1

2 a = (D,a,Dp + ai3DgDiw) E C ( a )

L,J=1

f u r alle Funktionen u E W1,2(a) und v E W:,2(12) 2

B(wu, U) - B(u, OW) = J ( 2' a j l ) , ~ + I X V ) u dz . f2 j=1

Neben allgemein bekannten Eigenschaften von Finite-Element-Ansatzfunktionen wird im Beweis von Satz 5.1 eine lokale Superapproximationsaussage benutzt, die man etwa auch in [7] findet.

H i l f s s a t z 5.2: w sei eine auf dem finiten Element 52,: c G definierte, (q + 1)-mu1 stetig differenzierbare Funk- tion. Dann gilt fiir alle Finite-Element-Ansatzfunktionen u fiir die Interpolante v von OJU durch solche Ansatzfunktionen

Bie Konstante C hangt dabei nur uom Grad q der Ansatzfunktionen, von der VerformNng des f initen Elementes SZ, gegeniiber der Gestalt des Referenzelementes und vom Durchmesser der kompakten M e w e G ab.

Der Beweis dieses Hilfssatzes beruht im wesentlichen auf der Tatsache, da13 die partiellen Ableitungen der Ordnung q + 1 eines Polynoms q-ten Grades verschwinden.

S a t z 5.1 : G, und G, seien kompakte Mengen. G, sei eine Teilmenge des Innern von G,. a n Go und a n GI seien Vereinigunyen finiter Elemente. Die Koeffizientenfunktionen der stetigen Bilinearform

IIOU - vll1,2;s.), 5 c11OJ11qtl,cO,f~j h,ll4Il,z;fJ, *

0 uber W1z2(L?) X W1!2(52) seien auf

mit einer von u unabhangigen Konstanten S > 0.

V , die auf dem Rand von a n G, und auperhalb dieser Menge verschwinden, sei

Dann gilt f u r diese Funktion u mit einer nur vom Abstand von G, zum Rand von GI, vom Durchmesser von a n GI, van den Xchranken fur die Koeffizientenfunktionen uon B und den Schranken f u r die Ableitungen erster Ordnung der aii

auf a n G, \ Go, von der lokalen Elliptizitatskonstanten 6 , von der Ordnung der benutzten Ansatzfunktionen und von der

Verformung der f initen Elemente 52, C_ G, \ G, gegeniiber der Gestalt des Referenzelementes abhangigen Konatanten C

n G, \ G, stetig difjerenzierbar. Fiir alle u E W1~2(52) sei B(u, U ) 16IUI1,2;Rn &

u sei cine Ansatzfunktion, die auf a52 n G, verschwindet, falls diese Menge nicht leer ist. Fur alle Ansatzfunktionen

B(u, U) = 0 .

0

0

I I U I I ~ , ~ ; D ~ G , 5 CItuI[o,2;on~,\&.

1 '

7 8. angew. Math. u. Meoh., Bd. 66, €I. 2

98 ZAMM . Z. Angew. Math. u. Mech. 66 (1985) 2

Beweis: Wir benutzen einen lokalen Projektionsoperator Pl, der jeder Funktion u E Wllz(Q) eine An- satzfunktion Plu zuordnet, die auWerhalb von a n Gl und auf den1 Rand dieser Menge verschwindet, und durch

fur alle Ansatzfunktionen w, die aul3erhalb von a n Gl und auf dem ltand dieser Menge verschwinden, definiert ist.

Wir benutzen weiter eine genugend oft differenzierbare Funktion o, die auf einer offenen Obermenge von Go den Wert 1 annimmt, und die aul3erhalb einer kompakten Teilmenge des Innern von G, verschwindet.

Unser Ziel ist, eine Abschatzung fur I ( w u l l l , z ; ~ zu beweisen. Dazu spalten wir w u auf und schatzen die beiden Terme auf der rechten Seite der folgenden Ungleichung getrennt ab:

B(P1u, w) = B(u, w )

Ilwull1,z;n 5 IIPl(wu)lll,z;o + l lwu - P,(~.u)lIl,z;a -

IIP,(wu)ll;,z;n 5 CoIB(ou, Pl(04) - B(u, op,(w)l + CoB(~,oP,(w.4) -

IB(wu, pi(ou)) - B(u, wPi(cou))l 5 cill~110,2;PnG,\8, llPi(w~)/ll,Z;Q

(5.1) Mit einer nur vom Durchmesser von a n G, und der Elliptizitatskonstanteri B von B auf dieser Menge abhangigeri Konstanten C,, gilt nach Definition der Projektion Pl(wu)

(5.2) Da u in W1,z(Q) und Pl(wu) in W,$z(Q) liegt, gilt fur den ersten Term auf der rechten Seite von (5.2) nach Hilfs- satz 5.1

iiiit einer nur von den Schranken fur die Ableitungen erster und zweiter Ordnung von co und den Schranken fur die

Koeffizientenfunktionen a,. und deren Ableitungen erster Ordnung auf Q n GI \ Go abhangigen Konstanten C,. Urn den zweiten Term auf der rechten Seite von (5.2) abzuschatzen, mu13 man spezielle Eigenschaften von u

und den Ansatzfunktionen heranziehen : Nach Voraussetzung ist fur alle Ansatzfunktionen w , die au13erhalb von l.. n G, und auf den1 &and dieser Menge verschwinden, B(u, w) = 0. Da a n a, eine Vereinigung finiter Elemente Q, ist, ist die Interpolante w von wPl(wu) eine solche Funktion: Es gilt

Ha auch a n Go eine Vereinigung finiter Elemente Q, ist, und da aufG, w = 1 ist, ist coPl(wu) = v auf a-n Go. Aus

(5.4) folgt deshalb init einer nur von den Schranken fur die Koeffizientenfunktionen von B auf n C, \ Go ab- hangigen Konstanten C,

(5.3)

- 0

-.

B(u, wP1(Ou)) = B(u, oP,(wu) - v) . (5.4)

0

Urn die rechte Seite von (5.5) weiter abzuschatzen, setzt man Hilfssatz 5.2 ein:

Neben den Schranken fur die Koeffizientenfunktionen von B gehen in C, die Verformung der finiten Elemente

Oi G, \ Go gegenuber der Gestalt des Referenzelementes, der Durchmesser von a n G,, Schranken fur die Ab- leitungen von w und der Grad der Ansatzfunktionen ein. Die auf der rechten Seite von (6.6) auftretenden h, kann man ausnutzen, um mit Hilfe der bekannten inversen Ungleichungen (siehe z. B. [3]) fur Finite-Element-Ansatz- funktionen in (5.6) ~ ~ u ~ ~ l , z ; ~ j durch J ~ u I J ~ , ~ ; ~ ~ zu ersetzen:

0

Die Konstante C, hangt wieder nur von den Schranken fur die Koeffizientenfunktionen von B, der Verfor-

Gl \ Go, dem Grad der Ansatzfunktionen, Schranken fur die Ableitungen von w 0

mung der finiten Elemente Qf und dem Durchmesser von a n Gl ab. Mit der Schwarzschen Ungleichung fur Summen folgt aus (5.7)

I+, wP,(wu))l 5 c,/ I 4 10,z; a n GI\& I I P,(wu)Il1, 2; R -

I I p l ( w 4 I I1,z;n 5 C,l I 4 l o , 2 ; l 2 n (A\& -

(5.8) Setzt man (5.3) und (5.8) in (5.2) ein, so erhalt man eine Abschatzung fur den ersten Term auf der rechten Seite von (5.1) :

(5.9) Wir wenden uns jetzt den1 zweiten Term aiif der rechten Seite von (5.1) zu. J)a w auI3erhalb von G, und u ge-

gebenenfalls auf as2 n G, verschwindet, verschwindet wu auf dem ltand und auljerhalb von b n Gl. Da diese Menge eine Vereinigung finiter Elemente ist, verschwindet damit auch die Interpolante w von wu auBerhalb von a n a, und auf dem Rand dieser Menge. Nach Definition von Pl(wu) gilt daher mit einer nur vom Durchmesser von n G, und von der lokalen Elliptizitatskonstanten 6 abhangigen Konstanten C,

(5.10) Da auch a n Go eine Vereinigung finiter Elemente ist, und auf Go w = 1 , das heiljt w = wu ist, erhalt nian aus (5.10) mit einer zusatzlich nur von den Schranken fiir die Koeffizientenfunktionen von B auf a-n G, \ do abhangigen Konstanten C,

IIP~(cuu) - wuIl?,z;Q 5 C,B(P,(uu) - w - mu) .

YSERENTANT, H. : On Maximum Norm Convergence of the Finite Element Method 99

Schatzt man die einzelnen Summanden auf der rechten Seite von (5.11) wieder mit Hilfssatz 5.2 und entsprechenden inversen Ungleichungen fur die Ansatzfunktionen ab, so erhalt man

(5.12)

II~UII1,2;n s QIIU\10,2;UnG1\6, * (5.13) Da auf Go w = 1 ist, impliziert das die Behauptung.

Ein wesentliches Merkmal der Abschiitzung aus Satz 5.1 ist, daO von der Diskretisierung nur der Grad der Verforinungen der einzelnen finiten Elemente gegeniiber der Gestalt des Referenzelementes in die Konstante ein- geht, die gegenseitigen GroDenverhaltnisse der finiten Elemente aber keine Rolle spielen. Genauso wenig wird zum Beweis von Satz 5.1 die elliptische Regularitatstheorie benutzt.

Die Abschatzung aus Satz 5.1 ist ein diskretes Gegenstuck zu entsprechenden Eigenschaften harmonischer Funktionen. Sie gilt fur ebene wie fur dreidiniensionale Probleme. Der Beweis von Satz 5.1 beruht auf Ideen von NlTYCIIE und SCHATZ [7]. Im Gegensatz zu Satz 5.1 lLDt sich die folgende Abschiitzung, deren Beweis Satz 5.1 und Satz 2.1 benutzt, nur fur ebene Probleme beweisen, wenn man nicht zusiitzliche Regularitatseigenschaften ins Spiel bringen will.

S'a t z 5.2 : Unter den Voraussetzungen von Satz 5.1 gil t :

Bie Konstante C hiingt nur von den in Satz 5.1 genannten GroJen und won der Verformung der finiten Elemente Q, c a n Go gegenuber der Gestalt des Referenzelementes ab. R, ist der Durchmesser von a n GI und h, der minimale

Durchmesser aller finiten Elemente Qf Beweis: u) sei die Funktion aus dem Beweis von Satz 5.1. h, sei der Durchmesser des finiten Elementes

Qj Go. Dann gilt wegen der inversen Ungleichung (3.1) und Satz 2.1 die Abschatzung

Go.

Zusamnien init (5.13) im Beweis von Satz 5.1 erhalt man daraus die Behauptung. H Der logarithmische Paktor in der Abschatzung ails Satz 5.2 wachst zwar monoton in R,/h, gegen Unendlich,

jedoch so langsam, daW er fur realistische GroWenordnungen von R,lh, sicherlich nicht den EinfluB der Konstanten C uberwiegt. Fur R,/h, 5 1Olo ist er kleiner als 5 und noch fur R,/h, 5 lo4, kleiner als 10.

6. Der Lokalisationssatz

S a t z 6.1 ; Go, GI und G, seien kompakte Mengen. Go sei Teilmenge des Innern von G, und G, Teilmenge des Innern von G,. Palls BQ n G, nicht leer ist, unterliege dasGesamtproblem auf diesem Randstuck won Q homogenen Dirichlet- Randbedingungen. Die Mengen n Go, f i n GI und n G, seien Vereinigungen finiter Elemente.

Die Koeffizientenfunktionen aij der stetigen und definiten Bilinearform

Q uber W 1 * 2 ( Q ) x W 1 , z ( Q ) seien auf a n G, \ Go stetig dijferenzierbar. Fur alle u E Wl?Z(Q) sei

B(u7u) 1 ~ 1 U I 1 , 2 ; R n &

mit einer von u unabhangigen Konstanten 6 > 0. cu sei eine genugend oft differenxierbare Punktion, die auf G, den Wert 1 hat und die auberhalb von G, verschwindet.

Pur u E W1>2(f2) sei P,(cuu) die Ansatzfunktion, die auberhalb von a n G, und auf dem Rand dieser Menge verschwin- det, und fur die

B(P,(ou), v ) = B(ou, vj fur alle solchen Ansatzfunktionen v ist.

raum Dann gilt mit der Konstanten C aus Xatz 5.2 fur alle auf a n Go beschrankten Funktionen u aus d e m Losungs-

Wie in Satz 5.1 ist R, der Durchmesser von a n G, und'h, der minimale Durchmesser aller finiten Elemente GI C s;! n Go. 7'

100 ZAMM . Z. Angew. Math. u. Mech. 65 (1985) 2

Beweis: Fur alle Ansatzfunktionen v, die auBerhalb von a n G, und auf dem Rand dieser Menge verschwin- den, ist nach Definition der Projektionen P,(cou) und Pu wegen w = 1 auf G,

B(P,(wu) - Pu, v) = B(ou - u, v) = 0 . Sollte aQ n Gl nicht leer sein, so unterliegt das Gesamtproblem nach Voraussetzung auf dem Randstuck a 0 n GI von l2 homogenen Dirichlet-Randbedingungen, so daB P,(ou) - Pu auf i3Q n C, verschwindet. Auf die Ansatz- funktion Y,(ou) - Pu kann man daher Satz 5.2 anwenden. Mit der Dreiecksungleichung erhalt man wegen 0 = 1 auf Go

119% - u l ( O , c o ; R n G , 5 IIp,(wu) - Pu~lO,co;~nG, f IIp2(ou) - ~ ~ ( I O , c o ; ~ n C c ,

Der e r s t e Term

llpu - u110,2;GnC,\& (6.1) auf der rechten Seite der Abschiitzung aus Satz 6.1 erfaIJt die von auberhalb von ~2 n U2 konimenden Einfliisse auf den Fehler Pu - u uber a n Go. Dieser Term kann im Rahmen einer reinen L,-l'heorie niit den dort gebrauchlichen Duditatsargumenten untersucht werden. Fur den Pall, daB G, im Innern von a liegt, schatzen NITSCIIE und SCIIATZ [7] diesen Fehler unter gewissen Regularitatsvoraussetzungen durch einen lokalen L,-Fehler von der Ar t des zwei- ten und dritten Terms in unserer Abschatzung und durch den Fehler Pu - u in einer Dualnorm ab, die ihrer Natur nach noch schwacher als die L,-Norm in (6.1) ist.

Der zwe i t e Term

IIpz(wu) - wullO,2;hnG,\& (6.3) in der Abschatzung aus Satz 6.1 sind von rein lokaler Natur. Fur ihre QriiBe ist nur mafigehlich, wie gut die abge- schnittene Losung wu des Gesamtprobleriis als Losung eines lokalen Dirichletproblems approxirniert wird.

Der logarithmische Vorfaktor ist der Preis, der dafur zu zahlen ist, da13 die Abschatzung unter minimalen Regularitatsvoraussetzungen bewiesen wurde. Da dieser Faktor sich fur realistische Verhaltnisse R,/h, wie eine harmlose Konstante verhiilt, darf man diesen Preis als gering ansehen.

Literatur

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Bonner Math. Schriften 89, Bonn 1976.

9 S~HATZ, A. H.; WAHLBIN, L. B., Interior maximum norm estimates for finite element methods, Math. Comput. 31 (1977), 414 - 10 SCHATZ, A. H.; WAHLBIN, L. B., Maximum norm estimates in the finite element method on plane polygonal domains. 1, Math.

11 SCHATZ, A. H.; WAELBIN, L. B., Maximum norm estimates in the finite eIement method on plane polygonal domains. 2: Refinc-

12 SCOTT, R., Optimal Loo-estimates for the finite element method on irregular meshes, Math. Comput. 30 (1976), 681-697. 13 WENDLAND, W. L., Elliptic Systems in the Plane, London - San Francisco - Melbourne 1979.

Eingegangen am 19. Mai 1982, in revidierter Fassung am 4. Mai 1983

Adresse: Dr. HARRY YSERENTANT, Institut fur Geometrie und Praktische Mathematik der RWTH Aachen, Templergraben 55,

442.

Comput. 3% (1978), 73-109.

ments, Math. Comput. 38 (1979), 465-492.

D-5100 Aachen, BRD