Monatshefte ffir MaShematik 75, 1--13 (1971) (~ by Springer.Verlag 1971

~ b e r D i f f e r e n t i a l g l e i e h u n g e n der F o r m F(z, -~) w;; - - n(n + 1) ~ = 0

Von

Karl Wilhelm Bauer, Graz

(Eingegangen am 8. Mai 1970)

In neuerer Zeit hat die Frage der Darstellung yon LSsungen partieller Differentialgleiehtmgen ein besonderes In~eresse gefunden. Es sei ]tier nut an die Verwendung yon Integraloperatoren in den Verfahren yon BERGMANN [4], ]~ICHLER [8] und VEKUA [9] oder an die yon BERS [5] und NIRENBERG [6] entwickelten Methoden erinnert. In der vorlie- genden Arbeit soll ein Verfahren vera]lgemeinert werden, das bei der Dffferentialgleichung

( l + E z ~ ) 2 w ~ q - e n ( n A - 1 ) w = O , ~ = ~ = 1 , h e n 1

angewendet wurde ([1], [2], [3]). Es war bier unter Verwendung yon gewissen Differentialoioeratoren m/Sglich, alle in einem einfach zusam- menh/~ngenden Gebiet definierten LSsungen mi$ ttilfe einer holomor- phen und einer an$iholomorphen Funktion und deren Ableitungen his zur 0rdnung n darzustellen. Im folgenden soll nun gezeig~ werden, dal] es gelingt, die genannte Me,bode auch im Fall der Differentialgleiehung

F (z, z) w~ -- n ( n + l ) w = 0, n e N (1)

anzuwenden, wenn die Funktion F (z, z) der nichtlinearen Differential- gleiehtmg

F (log F)~ + 2 = o (2)

geniig~ (I-IilfssaSz 1). Es werden zun~chst die LSsungen der Differential- gleiehungen (vergl. die Definitionen (3) und (4))

D " + l w = 0 und d ~ + l w ~ 0 , h e n

1 Mi$ N bzw. i: wird die Menge der natfirlichen bzw. komplexen Zahlen bezeichnet.

~s ffir ~athcmatLk~ Bd. 75/1 1

2 K.W. BAu~

bestimmt (Hilfssatz 2). Sodann wird ein allgemeiner Darstellungssatz f0r die LSsungen yon (1) hergeleitet (Satz 1). Um einen l~berblick fiber die Differentialgleichungen zu erhalten, bei denen die bier entwickelte Methode anwendbar ist, werden absehliel~end die LSsungen der Dfffe- rentialgleichung (2) explizit ermittelt (Satz 2). Dabei wird die Darstel- lung der reellwertigen LSsungen besonders beriieksiehtigt.

Wir verwenden im folgenden die Dffferentialoperatoren

0 z - 2 ~-x - i ~ - 2 ~ + i sowie

und

D~ = w, D-----F-~, D'+I = DD ", yeN, (3)

d~ c l=F-~z , d ' + l = d 4 ", ~eN. (4)

| bezeiehne ein einfaeh zusammenhiingendes Gebiet der komplexen Zahlenebene C. F (z, z) sei eine in (~ definierte, dor~ nicht verschwindende zweimal stetig dffferenzierbare Funktion.

Hflfssatz 1. F geni2ge in | der Di//erentialgleivhung (2). Dann gilt fi2r jede in G de/inierte LSsung yon (1):

Dk+lw I Vkw -~-4Y-| z-- [n(n+l) -- k(~-l)] pk+l -- 0 (5)

und { d~+lw I dkw - ~ - / ~ - [~(n+l) - k(k+l)] p~+~ -- o (6)

/iir k ~ - 0 , 1 . . . . ,n.

Der Beweis wird dutch vollstiindige Induktion gefiihrt. Mit k = 0 liegt bei (5) und (6) die Dffferentialgleichung (1) vor. (5) gelte fiir k = 0, 1, . . . , m. Leitet man (5) re_it k = m naeh z ab, so folgt

- - ( re+l) (logF)~ Fm+~ - - ( m + l ) ~ - | - - ~ 5 - ] , + [ - ~ r

F~ Draw Dm+lw + ( r e + l ) [n(n+l)--m(m+l)] F iV m+l -[n(n+l) -m(m+l)] Fm+---~- -~0

und unter Beriicksiehtigung yon (1) und (2)

l~ber Differentialgleichungen der Form F(z, z)wz:--n(n+l) w=0 3

I Dm+2w I __ D m+l w .F,,+~ ]~ [n (n+1 ) - - ( r e + l ) (m+2 ) ] /7,n+~ - - 0.

Die Relation (6) wird entsprechend bewiesen.

Itilfssatz 2. F geniige in | der Di/]erentialgleichung (2). Dann geIten die /olgenden Aussagen:

a) Jede in ~ definierte L6sung der Di//erentiaOleichung

D"+lw = O, n e N (7)

l~iflt sich mit in ~ Itolomorphen Funktionen g,(z), u ---- O, 1, . . . , n, gemiifi

--/73 w = X g.(z) ~:~-" m i t r -- (8)

,=0 2/7

darstellen.

b) Umffekeh~t stellt (8) eine L6sung von (7) in | dar, wenn die Er- zeugenden g~(z) in | holomorph sind.

c) Jede in (~ de]inierte LSsung der Di//erentialgleichung

d n + l w - = 0 , h e n (9)

lgflt sich mit in ~ holomorphen Funktionen h,(z), r ----- 0, 1, . . . , n, gemiiJ3

-21 w = X h.(z)09~-~ mit 0 9 - " (10)

,=o 2/7

darstellen.

d) UmgeIcehrt stellt (10) eine L6sung yon (9) in ~ dar, wenn die Er- zeugenden h,(z) in ~ holomorph sind.

Beweis: Wenn man ~ gem~il~ (8) verwendet, so gilt unter Beriick- sichtigung der Differentialgleichung (2)

1 ~ - ; - /7. (11)

Sukzessive Integration yon (7) liefert sod~nn mit Hilfe yon (11) die Aussagen a) und b). Fiir die in (10) definierte GrSl]e co gilt, wenn man wieder (2) verwendet,

1 09~- F ' (12)

Dutch sukzessive Integration yon (9) fo]gen unter Verwendung yon (12) die Aussagen c) und d).

K. W. BivE~

Sei nun w eine L6sung yon (1) in | wobei F der Dffferentialglei- chung (2) geniigt. Dann gilt unter Verwendung yon Hilfssatz 1 mit k ~ n

D ~+1 w = F ~+1 H(z) (13) und

= F G(z), (14) wobei H(z) und G(z)beliebige in | holomorphe Funl~ionen darstellen. Bezeichnen wit mit I~ bzw. I~ den inversen Operator zu D bzw. d, so folgt aus (13) unter Beriieksiehtigung yon Hilfssatz 2

w = I~ +~ (F ~+~ H(z)) -F w~ (15) mit

w 1 = Xg~(z)v ~-~, g,(z) beliebig holomorph in @, v = 0

und aus (14) w ~-- I~ +1 (F "+1 G(z)) H- w2 (16)

mit

w~ = ~ h,(z)w "- ' , h,(z) beliebig holomorph in | ~ 0

Setzt man wl in (1) tin und beriieksiehtigt, dal]

eine in I~ holomorphe Funk~ion darstellt, so erh~lt man eine LSsung yon (1) in | falls die l~unktfionen ~%(z) den folgenden Bedingungen gentigen:

(2n) t g o ( z ) - n! g(z), g(z) beliebig holomorph in @,

n - - ~ l (18)

: 1, . . . , n , g _ l ( Z ) ------ O.

Unte~ Verwendung yon (18) l~tBt sieh damit ein Operator definieren, dutch den aus einer beliebigen in (~ holomorphen Funl~ion g(z) eine in | definierte L6sung w 1 yon (1) erzeugt wird. Wit bezeiehnen diesen Operator mit E und setzen

Eg: = (19) m=O

~ber Differentialgleichungen der Form ~V(z, g)wzs--n(n+ 1)w=0 5

mit g,(z) gem~.l] (18). Im Falle q)(z) ~ 0 erh~lt der Operator E die spezi- elle Form

d r (2n--v)! E = X A ~ " - ' - - mit (20)

~=o dz ~ A , = ~ i "

Setzt man w~ in (1) ein und beriicksichtigL dal]

eine in | holomorphe Funktion darstellL so erh~lt man eine L5sung yon (1) in | falls die Funktionen h,(z) den folgenden Bedingungen geniigen:

(2n)[ ho(z - - h(z), h(z) bel iebig holomorph in ~,

|/h'(~) = ~ ~ , o , ~ ~-~ , {g_d~)+ (~-~+2)~(~)h~_#)}, (22)

t ~, = 1, . . ., n, h_ l (z ) =~ O.

Unter Verwendung yon (22) l~l]t sieh ein weiterer Operator der oben genannten Art definieren, den wit mit E* bezeichnen; wit setzen

E,h: = ~ &(z) o, "-~ (23) v=0

mit h,(z) gem~l~ (22). Im Falle T(z) ~- 0 hat E* die spezielle Form

d ~ E* = ~ Ao ~"-" - - (2~)

Mit w~ trod w~ ist aueh

wl + w2 = Eg + E * h

mit beliebigen in | holomorphen Erzeugenden g(z) und h(z) eine LS- sung yon (1) in |

Umgekehrt 1/~l~t sieh jede LSsung w yon (1) in | in der Form

w =/~g + E*h mit geeigneten in | holomorphen Funktionen g(z) lind h(z) darstellen. Wir fiikren den Beweis indirekt. Angenommen dies tr~fe fiir eine LS- sung w* nicht zu. Darm gilt wegen tIilfssatz 1

OT, n + l W* F ~ + ~ - - G ( z ) ,

6 K . W . Bx~r~

wobei G(z) eine eindeutig bestimmte in (~ holomorphe Funktion be- zeiohnet. Ande~erseits erhalten wir wegen (18) unter Verwendung yon

mit d "+1 (Eg) ~+1

F , + ~ - Z a~(z)g(~)(z) g=O

einen linearen Differentialausdruck der 0rdnung 2n-F1, wobei die Koeffizienten %(z) Polynome in q}, q~', . . . , q~(~-~> und damit in | holomorphe Funktionen darstellen. Bedingt durch die in (18) vorge- nommene Normierung yon q0(z) gilt insbesondere a~+l(z ) -= 1. Mit

2~q-I

z ~(z) ~")(z) = G(z) (25)

]iegt also eine lineare Dffferentialgleichung mit in (~ holomorphen Koeffizienten vor. Ist g(z) eine partikul/ire LSsung in | so erh/ilt man die allgemeine LSsung (vergl. etwa [7]) dutch

2n+ l

~(z) = g(z) + z B~g:(~), B~ e C, (26)

$ wenn die Funktionen g,(z) ein Fundamentalsystem der zugehSrigen homogenen Differen~ialgleichung bezeichnen. Mit Hilfe einer parti- kularen LSsung g(z) folgt abet

d~+l(w * -- Eg) = 0

trod dami~ unSer Verwendung yon Hilfssatz 2

w* -- Eg = _r h,(z) o~ ~-'. ,=0

Setz~ man die LSsung w * - Eg in die Differentialgleichung (1) ein, so folgt mi~ (22)

w* = Eg + B*h.

Damit erhalten wit einen Widerspruch.

Geht man yon einer L~sung w = Eg -f- E*h aus, so mul~ die Erzeu- gende h(z) wegen

D n+] w F~+I - H(z)

und (22) der Differentialgleichung

t~ber Differentialgleichungen der Form F(z, g)Wz:2--n(n~-l)w=O 7

2n+l

z ~ ( z ) h(")(z) = H(z),/%~+1 = 1 (27) re=0

genfigen, wobei die Koeffizienten ft,(z) Polynome in T, T ' , . . . , T (2'~-1) bezeichnen. Ist h(z) eine pa~tikul~re L5sung der inhomogenen Diffe- rentialgleichung (27), so gilt fiir die allgemeine L5sung

9~+I

~(~) = h(~) + z c,h~(~), o~ ~ c, (2s) f t=l

wenn die Funktionen h*~(z) ein Fundamentalsystem der zugehSrigen homogenen Dffferentialgleichung darstellem

Bei vorgegebener LSsung w sind die Erzeugenden nicht eindeutig bestimmt. Ist g(z) und h(z) ein geeignetes Erzeugendenpaar fiir die Dar- stellung yon w, so miissen die allgemeinsten Erzeugenden g(z) und 7z(z) notwendig den Relatiouen (26) und (28) genfigen. Beriicksichtigt man noch

E (~-F#g.,) = '1(Eg~) -F tt(Eg2) (29) und

E*(~h~ + ~h~) = ~(E*hJ + ~(E*h~) (30)

mit ,t, # ~ C, so folgt

E (g--g) + E*(h--h) = 0 und

2n+ l

{B~(Eg*) + CAB h~)} = o.

Damit gilt der folgende allgemeine Darstellungssatz fiir die LSsun- gen yon (1).

Satz 1. Sei ~ ein ein/ach zusammenhgngendes Gebiet der komplexen Zahlenebene. F sei L6sung der Di]/erentiaIgleichung

F (log F)zi -1- 2 = 0

in | D und d, E und E* seien die dutch (3) und (4) bzw. (19) und (23) de/inierten Operatoren. Dann gelten die/olgenden Aussagen:

a) Zu jeder in (~ definierten LSsung der Differentialgleichung

F w~i - - n(n-F1) w ---- 0, n ~ N

gibt es in ff~ holomorphe Funktionen g(z) und h(z), so daft

w = Eg + l~*h. (3])

8 K.W. BAu~g

b) Umgekehrt stellt (31)/i~r jedes Paar yon in ~ holomorphen Funk- tionen g(z) und h(z) eine L6sung yon (1) in q~ dar.

c) Bei vorgegebener Zi~ung w sind die Funktionen

d ~+1 w {D ~+1 w ] G(z) - - F,+I und H(z) = \ ~ ] (32)

eindeutig bestimmt. Die Erzeugenden g(z) und h(z) sind bei Vorgabe yon w nicht eindeutiff /estgelegt. Man ertdilt das allgemeinste Evzeugendenpaar ~(z) und h(z) dutch

2n+l

K(z) = g(z) --F X B~g*~(z), B , e C (33) k t= l

uncl

mit

2 n + l

~(z) = h(z) + z r O. e C (34) It=l

2n+1

Z {B~,(Eg,) --k C~(E h,)} = 0. (35) 3t=1

Dabei stellen die Funktionen g*~(z) und h*~(z) ein Yundamentalsystem der linearen Di]/erentialgle@hung

d~+l(Eg) = 0 bzw. D ~+1 (E,h) = 0 in q6 dar.

Die Darstellung der LSsmagen vereinfacht sich erheblich, falls die in (17) und (21) definierten Funktionen q)(z) und kg(z) identisch ver- schwinden. Man erh/~lt die LSsungen yon (1) in diesem Fall mater Ver- wendung yon (20) mad (24) dutch

= ~ A, {g(')(~) ~-" + h(')(~) ~ -~} . (36) tt~ 0

Stellt F (z, z) eine reellwertige Lgsung yon (2) dar, so gilt r = mad ~b(z) = W(z). Damit folgt ffir die L6sungen w von (1) unter Be- riieksiehtigung yon (19) mad (23)

w = Eg -F Eh. (37)

Fiir die praktische Anwendung des Darstellungssatzes ist es nicht notwendig, die L6sungen der Dffferentialgleichung (2) explizit zu kennen. Man hat lediglich zu priifen, ob V der Differentialgleichmag (2) geniigt, und sodann die Gr6J]en

~ber Differentialgleichungen der Form F(z, ~)wz~ --n(n + l )w=O 9

T - u n d ( o - 2F 2F

zu bestimmen, um die LSsungen yon (1) mit Hilfe der 0peratoren E und E* angeben zu kSnnen. Eine Kenntrds der LSsungen yon (2) ist jedoch erforderlich, wenn man sieh einen ~berbliek fiber die Diffe- rentialgleiehungen verschaffen will, bei denen die bier entwiekelte Methode anwendbar ist. In diesem Zusammenhang shad die reellwer- tigen L5sungen von besonderem Interesse.

Satz 2. a) Jede in | de/inierte LSsung der Di]/erentialgleichung (2)

F (log F)~; § 2 = 0

liiflt sich gemgfl

[~(z) + ~o(z)]~ E - (38)

~'(z) ~'(~)

mit geeigneten in (~ meromorphen Funktionen ~o(z) und qJ(z) darstellen, die den/olgenclen Bedingungen geniigen:

(i) q~(z) und ~o(z) besitzen in ~ nut endlich vide Polstellen yon hSch- stens erster Ordnung.

(ii) ~(z) und ~p(z) haben keine qemeinsamen Polstellen.

(iii) [~(z) + ~(z)] ~'(z) ~'(z) ~: o in ~.

b) Andererseits stellt (38) ]iir jedes Paar yon in (~ meromorphen Funktionen q~(z) und y~(z), die den Bedingungen (i) his (ill) geniigen, eine L6sung yon (2) in | dar.

c) Bei gegebener LSsung F sind die in | holomorphen Funktionen

hl(z ) = [~]~ und h2(z) -~ [v2],~ (39) eindeutig gemiifi

(/~,)* - 2 F F ~ hi(z) = 2p2 , (40)

(y3 ~ - 2 ~ h~(z) = 2Y (4i)

~it [~o]z wird die Schwarzsche Derivierte [q~]z = --~- yon

q(z) beziiglich z bezeichnet.

10 K.W. B~osg

~(z ) -

mit

bestimmt. Die Erzeugenden q~(z) und V(z) sind bei Vorgabe der L6sung t~ nicht eindeuHg ]estgelegt. Man erhiilt das allgemeinste Erzeuffendenpaar ~(z) un~ ~(z) dutch

auq~--al: , ~ ( z ) - - --all v~-a12-- (42) --a21 ~-a2~ a~l v+a~

an, a,2, a~t, a~e e C, ana2~ -- a~2 a21 :--- i 1 .

d) Jede in (~ de]inierte reellwertige L5sung yon (2) lgJ3t sich gem~fl

[1-k~](z)/(z)] 2 F = , e : • ( 4 3 )

-#'(z) l'(z)

mit einer geeigneten in | meromorphen Funktion /(z) da~stellen, die den ]olgenden Bedingungen geniigt:

(i) ](z) besitzt in ~ nur endlich viele Polstellen yon hSehstens erster Ordnung.

(ii) [1 + el(z ) t(z)]/'(z) + o in ~.

e) Umgekehr stellt (43) ]iir jede in | meromorphe Funktion /(z), die den Bedingungen (i) und (ii) geniigt, eine reellwertige LSsung yon (2) in (~

f) Bei gegebener reellwertiffer LSsung Fis t die in | holomorThe Funk- tion

eindeutig bestimmt. Die E~zeugende ](z) ist bei Vorgabe der reellwertigen L6sung F nicht eindeutig /estgelegt. Man erh~lt die allgemeinste E~zeugende

dutch

/ ( z ) - -a I l : a e C u ~, 7(~) = ~ ~ + e ~ / ( ~ ) m i t i v [ = ~ ~ , e = e---- - - 1 : l a I < 1. (45)

Zum Beweis setzen wit

log F = - -2W.

Dann geniigt W der Dffferentialgleichung

WA _____ e ~ w, (46)

womit ein spezieller Fall der Differentialgleichung

Ober DifferentiMgleichungen der Form F(z, 5)wz~--n(n-~l)w=O 11

( l+&z) 2 W~; = d--ae ~w, ~ ~ --1, 0, +1, a -- J : l ,

vorliegt, die yon G. WAI~ECKE in [10] behandelt wurde. Die LSsungen lauten, wenn man in [10], Satz 1, 8 = 0 und a = --1 setzt:

[~(~) + ~(z)]~

~'(z) ~'(z)

wobei die Funktionen ~(z) und y;(z) den Bedingangen (i) bis (iii) gentigen miissen.

Bei vorgegebener L5sung F sind die Funktionen hl(z ) und h2(z) gem/~]3 (40) und (41) bestimmt, wie man sofort naehrechnet. Die Erzeu- genden q~(z) and ~f(z) sind nicht eindeutig festgelegt. Fiir das allge- meinste Erzeugendenpaar ~(z) und ~/(z) gilt unter Beriieksiehtigung von (39) zunitchst

~(~) - ~ , ( ~ ) + ~, ' ~(~) - ~ ( ~ ) + ~ '

Beaehtet man noeh, dal~ die Erzeugenden ~(z) und ~(z) die gleiche Liisang wie 9(z) and ~v(z) Iiefern miissen, so folgen die Aussagen (42).

Fiir die reellwertigen LSsangen folgt zun~ehst wegen F = F anger Beriicksichtigang yon e)

[~], = [ 9 ] , . Damit gil~

A ~ + B ~o-- Oq~+D,A,B,O, DeC, A D - - B C = e mit e = ~ c l .

F hat dann notwendig die Form

F =

Die Bedingung F = _ ~ liefert Zlmgchs~ D = A oder D = - - A . Setzg man sodann

aq~(z)+b / - - - - mit a,b,c ,dr und ad - -bc#O, cq~(z)+d

so folgt unter Beriicksichtigung elementarer Eigenschaften der Kreis- verwandtschaften erster Art, dal~ sieh jede reellwertige LSsang E yon (2) in der Form (43) darstellen liil3t, wobei/(z) eine in | meromorphe Funktion bezeiehnet, die den Bedingungen (i) und (ii) geniigt. Umge-

12 K.W. B~u]~

kehrt rechnet man sofort nach, dal] (2) dutch (43) erfiillt wird, wenn/(z) den genannten Bedingnngen entspricht.

Fiir eine vorgegebene reellwertige LSsung folgt mit (43) sofort die Aussage (44). Damit geniigt die allgemeinste Erzeugende/(z) notwendig der Rdat ion

[(z) - ~ t (z )+~ ~ - ~ r * o. (47) ~t(z)+~ '

Unberscheidet man die F~lle 8 = 1 und ~ -- --1, so folgt entsprechend wie oben, dab es sich bei (47) im Falle 8 -- 1 um Kugeldrehungen und im Falle ~ = --1 urn Automorphismen des Einheitskreises handelt.

Beriicksichtig~ man die im Satz 2 gewonnenen Ergebnisse im Zu- sammenhang mit der Darstellung der L6sungen der Differentialgleichung (1), so erh~lt man im Falle einer komplexwertigen Funktioa F(z, z):

- r ~"(~) - + - - (48) ~(z)+~(z) 2r '

-~'(~) ~,"(~) , (49)

~(~)+~(z) 2~'(~)

1 1 �9 (~) = ~[~]~, T(z) = ~ [vL. (50)

Ist F(z, z) zeellwertig, so gilt:

-d ' (z) t(z) l"(z) 1 T - - - + - - - r [tL. (51)

l+#(z) t(z) 2t'(z)' = ~

Abschliel~end seien noch der Form (1) als Beispiele genannt. Verwendet man (38), so erhalt man mit

~v(z) = e TM, ~o(z) • • -2~ ' , ~ : -4-1, A e C (=4=0)

die Differentialgleiehungen

[sinh A(z+V~)] ~ w~ -- vA s n ( n + l ) w = 0 und

[cosh A ( z + ~ ) ] 2 w,-i + ~A ~ n ( n + l ) w = 0.

Verwendet man (43), so erh~lt man mit / ~-- z die in [1], [2] und [3] behandelte Differentialgleichung

(l~-~zz)2w,~ -k ~n(n~-l) w ---- 0.

einige spezielle Dffferentialgleichungen

tJber Differentialgleichungen der Form F(z, ~)wz~ --n(nq-1)w=O 13

Literatur

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Anschrift des Verfassers: Prof. Dr. K. W. BA[yE~ 1. Lehrkanzel und Inst i tut ftir Mathematik Teehnische Hochschulo Kopernikusgasse 24 A-8010 Graz