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I~ber Funktionen zweier komplexer Veri~nderlicher.

Von Hans Hahn in Wien.

I~1 Band 2 der Acta mathematiea spricht P o i n c a r 6 am Schlusse sciner bekannten Abhandlung ,Sur les fbnetions de deux variables ind6pendentes" die Ansieht aus, die Methode, welche er daselbst zum Beweise des Satzes bentitzt~ da$ jede Funktion zwaier voneinander unabhiingiger komplaxer Veranderliahar~ welche im Endliehen kaine wesentlieh singul~tren Stallen hat~ als Quotient zwaier ganzar Funktionen darstallbar ist~ kiJnne noeh zum Bewaise anderer Theorema aus der Theoria der Funktionen zweiar kom- plexer Ver~tnderlicher verwandet warden, u n d e r f~thrt insbeson- dere den Satz an: ,,Bedeutet Yirgand ein% nicht eindeutige Funk-" tion yon X, welehe im Endliahen keine wesentlieh sing'ul~tre Stalla hat un(~[ nieht ftir einen und danselben Wert yon X unendliah viele unendlich benaahbarte Warte annehmen kann~ so kann sie als LSsung eirer Gleiehung G (A, Y) -~- o betraahtet werdan~ wo G eine ganze Funktion bedautet. ~ Ein Beweis dieses Satzes wurde meines Wissans wedar auf dam yon P o i n a a r 6 vorgesehlaganen Wege noah sonstwie arbraeht; ~) ieh hielt as daher niaht ftir iiberfltissig~ ainen Beweis mitzuteilen, dar niaht nut den genannten P o i n e a r 6- sehen Satz, sondern noch eiue Reihe ~thnlieher S~ttze aus einem Resultate allgemeinerer Natur abzuleitan gestattat. Allerdings er- leidet dabei der Satz gewisse einsehriinkende Bedingungen~ die aber~ wie ich im folgenden zei~,e~i~, nieht nur hinraiahend I sondern auah notwandig sind. Endliah verwende ieh noeh die auf diese Weise gewonnenen Resultata zum Bewaise fines Satzes~ der als alas Ana- logon, zu W e i a r s t r a l Y Satz fiber die Zerlegung einar ganzen Funktion einar Ver~tnderliehen in Primfaktoren ffir alas Gebiat zweier Varanderliaher betraahtet werden kann und tier einen yon B i e r m a n n ~) im Ansehlusse art A p p e l l 3) bawiesenen Satz als speziellen Fall enthi~lt.

1) Doeh vergleiche man eine w~hrend der Drucklegung dieses Aufsatzes erschienene Note yon P. B o u t r o u x (Comptes rendus 1904), sowie H. B a k e r , Proc. of London Mathem. Soc. ser II. vol. 1. 1903.

2) 0. B i e r m ~ n n : Wiener Ber., Bd. 89. 8) A p p e l l : Acta mathem., Bd. 2.

30 Itans Hahn.

w Wir werden uns im s mit Fnnktionen zweier von-

einander unabh~tngiger komplexer Veranderlicher x and y zu be- sehifftigen haben. Die Werte einer jeden dieser beiden Ver~tnder- lichen m(igen in der bekannten Woise auf je einer Ebene darge- stellt werden. Das Wertesystem x o~ Yo wollen wit aueh als den Pankt (Xo, Yo) bezeiehnen und die beiden Werte x o und Yo als die Koordinaten dieses Punktes. Als ein Gebiet der beiden Veriinderliehen x und y wollen wir die Gesamtheit aller jener Punkte bezeiehnen~ deren x-Koordinate einem besti;nmten Ge- biete der x-Ebene nnd deren y-Koordinate einem bestimmten Gebiete der y-Ebene angeh~rt~ wobei das Gebiet in der x- Ebene yon der Lage des Panktes y im Gebiete seiner Ebene g~tnzlieh nnabhangig sein sell nnd ebenso das Gebiet in dec y- Ebene nnabhangig sei yon der Lage des Punktes x. ]:[at dabei das Gebiet der x -Ebene die Bezeiehnung R~ das der y-Ebene die Bezeiehnung S, so werden wit das Gebiet des Punktes (x, y) mit (R, S) bezeiehnen. Wit wollen weiter yon einem Punkte (x~ y) dann~ und nut dann, sagen~ er liege im Innern yon (R, S), wenn sowohl x im Innern yon R als aueh y im Innern yon S liegt; ist aueh nur einer der beiden Punkte x und y ein Randpunkt seines Bereiehes, so werde aueh der Punkt (x, y) als Randpunkt yon (R, S) bezeiehnet. We sehleehtweg yon Funktionen dec beiden Veran- derliehen x und y die Rede ist, sincl immer Fanktionen zu ver- stehen, die im betraehteten Gebiete eindeutig und analytiseh sind.

Ieh werde die folgenden Entwieklungen auf einen yon P. C o u s i n im 19. Bande der Aeta mathematiea bewiesenen Satz sttitzen. ~) Derselbe laatet:

Seien zwei beliebige, ganz im Endliehen gelegene Bereiehe T~ und T~ gegeben, 2) der eine in tier x-Eben% der andere in der y-Ebene, f'erner zwei beliebige zugehSrige Bereiehe f/'~. und Ts Jedem Pnnkte (xo, yo) yon (T~, T~) mSgen entspreehen:

1. ein Kreis ['%yo mit dem Mittelpunkte Xo und ein Kreis 7~o~/., mit dem Mittelpunkte yo~ klein genug, mn ganz innerhalb ~/~, beziehungsweise ~ zu liegen;

2. eine innerhalb (P~o,Jo, "(,oyo) regul~tre Funktion V~o~jo (x, y) yon der Eigensehaf b dal3, wenn (xs einen anderen Punkt des Ge-

bietes (F~o,Jo, 7~o,Jo) bedeutet~ der Quotient V~:o~/o ( x , y ) i m Punkte v ; , (x, ~) p r

(Zo, Yo) regular und yon Null versehieden ist:

1) p. Cousin. Aeta math. 19. Sur les fonetions de n variables com- plexes. S. 25.

2) Die Bezeiehnung ist die yon Osgood in Enzykl. tier math. Wiss., II. B. 1, festg'ehaltene. (Siehe daselbst Seite 10.) Die Bereiehe T x und Ty ent- halten ihre Randpunkte nicht, wi~hrend die ganz im Innern yon T x bezlehungs- weise T u gelegenen Bereiche T: und T; ihre Randpunkte enthMten

Ober Funktionen zweier komplexer Verhnderlicher. 31

V n /~/~P ~rltx d a n n e x i s t i e r t e i n e i n j e d e m P u n k t e o / ~1~) r e g u l . ~ r e F u n k t i o n V(x~ y) y o n d e r E i g e n s e h a f b dal~ in j e d e m P u n k t e (x o,yo) von ( x, ~/:j) tier Quotient

V(%y) r e g u l a r u n d y o n N a l l v e r s e h i e d e n ist. v~.. ~o (x, y) Wir werden diesen Satz bentitzen~ um das naehstehende

Theorem zu beweiseh: Sei ~/~ ein ganz im Endliehen gelegenes Gebiet der x-Ebene

und T ein ebensolehes Gebiet tier y-Ebene. Nit y ~ f ( x ) werde eine in T definierte (im allgemeinen unendlieh vieldeutige)ana-- lytisehe Funktion bezeichnet. D a m i t es zu j e d e m in (T , i ; ) g e l e g e n e n B e r e i e h e (Ts 7;~) e i n e in d e m s e l b e n e i n d e u - t i g e u n d a n a l y t i s e h e F u n k t i o n G(%y) y o n x u n d y

T / f ! geb% v o n d e r Art , dal3 d ie in ( x~ 7)) g e l e g e n e n N u l i - s t e l l e n y o n G(x I y) g e n a u t t b e r e i n s t i m m e n m i t d e n d u t c h d i e G l e i e h u n g y = f ( x ) g e l i e f e r t e n W e r t e p a a r e n , s o f e r n s ie in C/" ~' x, T~j) l i e g e n , - mit anderen Worten~ damit y = f(x) in (T~, tr~) als L0sung einer Gleichung G (x, y ) = o be- traehtet werden k S n n e , - - i s t n o t w e n d i g u n d h i n r e i e h e n d ~ dal3 d ie F u n k t i o n y~---f(x) d e r f o l g e n d e n B e d i n g u n g

T / r a g e n t i g e : Zu jedem Bereiehe ( ~, Tj) nnd za jedem Punkte x yon Ts l~i13t sieh eine Konstante p so definieren~ dal3 alle dutch die

T' Gleiehung y = f ( x ) gelieferten Wertepaare die in ( ~, T,]) liegen und deren x- Koordinaten der Ungleiehung I x - - x o I ~ P gentigen, dutch eine endliehe Anzahl yon Entwieklungen der Form:

CO 9z

~ 0

geliefert werden, wo unter p positive ganze Zahlen zu verstehen sind.

Wit zeigen zun~,tehst~ dal~ diese Bedingung eine n o t w e n - d i g e ist. Es sei eine Folge yon Wertepaaren (x, y) gegeben~ die tier Gleiehung ~ / = f ( x ) gentigen und gegen einen Punkt (Xo, y.) yon (T~, T,j) konvergieren. Sei:

(x . ,7~), (x,, y~), . . . , (x , ~/~),...

diese Folge. SolI dann y -=f (x ) einer Gleichung G(x,y)-~O geniigen~ so mul~:

e (x~ y~) = G (x~ Y2) . . . . . e (x, y~) . . . . . 0

sein~ und hieraus folgt, da G (x~ y) an der Stelle (Xo~ y~ regular und somit stetig sein soll~ aueh:

e (~o, ~o) = 0.

3~ Hans Hahn.

Dann gilt aber naeh einem s Satze yon Weier- stral~ ftir eine Umgebung I x - - x0] < r~ [ y - - yo I < r' der Stelle (Xo~ yo) die Identitat :

G (,, y) = (y~ + ~1 (x) y ~ -1 + .. + ~,,, (x)) e "(x, ")

wo % (x)~...: %~(x) an der Stelle Xo~ and H(x,y) an 3er Stelle (Xo~ yo) regular sin& ttieraus folgt aber~ dal~ "alle dureh die Glei- chung y ~ f ( x ) gelieferten Wertepaare (x, y), die gegen (Xo~Yo) konvergieren, anch der Gteiehung:

y ' ~ + ~ (x) y"~- 1 + . . . + ~ (x) = 0

gentigen mtissen~ and somit in der Tat durch eine endliehe Anzahl Entwieklungen yon der Form:

y = E ~'~ ( x - Xo)" ~ = 0

geliefert werden mtissen. Unsere Bedingung wird sieh also als notwendig erwiesen haben~ sobald gezeigt ist~ (tag es in jedem ~/'~ nur eine endliche Anzahl yon Werten yo geben kann yon der Art~ dal~ wenn Xo einen Pankt yon I ' und x~ x2~ �9 .~ x~ ... eine gegen Xo konvergierende Fo]ge bedeuten~ sieh unter den Funktionswerten:

f (x~), / G ) ~ " , f (*,,), "

eine gegen yo konvergierende Folge:

YI~ Y~ ' "~ Y ~ ' " auswahlen l~tl~t.

Um dies za beweisen~ setzen wit' zunaehst:

G (x, y) = (x ...... Xo) 'o Cq (x~ V),

wo (x - - x ) " die hOehste in G (x~ y) aufgehende Potenz von (x - - Xo) sei~ so dal~ Gz (x~ y) i'iir x ~ x ~ nieht mehr identiseh versehwinde. O~tbe es nun in ~'~ unendlich vide Werte Yo yon der oben ange- gebenen Art~ so mtil~ten sie mindestens eine in 1,j gelegene H~tu- fungsstelle y~ haben. Der Punkt y~ ware aber dann fiir die nieht identisch versehwindend% fat" y = y~ regulate analytische Funktion G(Xo~ y) eine Haufungsstelle yon Nullstellen~ was unmSglieh ist.

Es kSnnen also in ~/~ nat eine endliehe Anzahl Werte No yon der angegebenen Besehaffenheit liegen~ and unser Beweis ist somit geftihrt.

Wi t gehen nunmehr an den Beweis, dal~ die angeftihrte Be- dingung aueh hi n r ei c h e n d ist ; and zwar soll der Beweis mit Hilfe des eingangs zitierten Satzes yon C o u s i n geftihrt werden.

[ l b e r F u n k t i o n e n z w e i e r k o m p l e x e r Y e r ~ n d e r l i e h e r . 33

r 7 ~ T , t r ! Es sei also ein bdiebiger zu (~/x, ~/y) gehSriger Bereieh ( x, TV) gegeben.

Wit teilen die samtliehen Punkte yon ~/~ in vier Klassen. Die erste midge alle Ptmkte Xo yon des Art enthalten~ da[3 yon s~tmtliehen Zweigen yon f (x ) flit x---xo keiner einen in T,j gele- genen West annimmt. In die zweite nehmen wir alle diejenigen Punkte Xo aaf~ fits welche die zugeDSrigen in ~"~i liegenden Funk- tionswerte f(Xo) samtlieh versehieden sind und kein einziger der- selben auf den Rand yon T,~ zu liegen kommt. Die dritte enthalte jene Punkte, far welehe mehrere des Zweige yon f ( x ) denselben in ~/'~ gelegenen Wert go annehmen~ wahrend keiner der Funktions- werte auf den Rand von T,~ falle; and endlieh die vierte Klasse enthalte diejenigen Werte Xo Nr welehe mindestens einer der za- geh~rigen Funktionswerte auf den Rand -con T,~ falle.

Wit ordnen nun gemini; dem Satze yon C o u s i n jedem Pankte (x0, yo) yon (~2~, T~) ein Gebiet (F oSo, "&oSo) und eine Funk- tion %oyo (x, y) zu; and zwar zunaehst denjenigen Punkten, deren x-Koordinate des Klasse (1) angehSrt. Sei also (Xo, yo) sin solcher Punkt. Zunaehst li~l~t sieh aus des Bedingung~ der die Funktion f (x ) unterliegt~ leieht folgern~ dag dann eine Umgebung der Stelle Xo existiert yon des Art~ daft aueh ftir keinen Punkt dieser Umge- bung ein Zweig v o n f @ ) einen in ~ gelegenen West annimmt. Wit ordnen nun dem Punkte (Xo, yo) zu:

1. Einen Kreis F o.v ~ in des x -Ebene yore Radius 07 wo p so klein zu wahlen ist~ dug dieser Kreis ganz in die eben genannte Umgebung des Stelle xo fallt; und einen Kreis 7,o yo in des y- Ebene vom Radius p'~ der so klein zu wahlen is b dai3 des Kreis ganz in T~ liegt.

2. Eine Funktion %~ ~Jo (z~ y) =- e H (< v), wo H (x, y) irgend eine innerhalb dieser Kreise regulate Funktion bedeutet.

Man sieht sofort~ daii die Bedingung des Cousinsehen Satzes~ des die Funktionen %oVo (x, y) unterliegen: hies erfttllt ist. Denn jeder in (P~o~o, 7~oVo) liegende Punkt (x~,y~)ist wieder yon der Klasse (1)~ die ibm zugeordnete Funktion %:: (x, y) hat also die Form e e'(~'y) und somit ist der Quotient:

%oVo (x~ y) __ efi(~,v)_~,(~ ,,J) %; y; (x, y)

im Punkte (xl, y:) regular und yon Null versehieden. Wit gehen nun tiber zur Betraehtung des Punkte, deren x -

Koordinate der zweiten Klasse angehSrt. Es werde mit:

r = A (x), y<~) = f ~ (x), ..., v (~ =Z~ (~) ]~onatsh. ftir 3lathematlk u. 1)hysik, XVI, ~'ahrg. 3

H a n s H ~hn .

die Gesamtheit aller jener Zweige bezeiehnet, die far x = x o einen in ff~ gelegenen Wef t yo(~) annehmen. Zufolge der tiber f ( x ) ge- maehten Voraussetzung litl~t sich dann jede der l?unktionen f , (x) (v = 1, 2 , . . . , n) nach positiven ganzzahligen Potenzen yon x - - - x entwiekeln.

Wi t bestimmen nun irgendwie n Teilgebiete T(~) yon T ge- Y y

m~il~ den folgenden Vorsehriften: 1. Die Randpunkte yon T~) gehSren nicht zu T(~).v 7. Jeder Punkt yon ~/ geh~rt mindestens einem der Gebiete

T!~) an (also gemN~ der ersten Bedingung als innerer Punkt). ~) 3. T!~) enthalt den Punkt y(:) (in seinem Innern), w~thrend

yon den tibrigen ( n - - 1 ) Punkten Jo'~'(~) " ' " y('] kein einziger we- der im Innern noeh am Rande yon T(~) liegen soll.

Y Jedem Punkte (xo, Yo) yon ( ,, TI) , dessert x-Koordinate der

zweiten Klasse angehSrt, ordnen wit nun zu: .r ~" in der x-Ebene, dessen Radius p so 1. Emen Kreis F%v ~

klein zu w~thlen ist, dalJ ffir I x - - X o [ % p: ~) auger den n Zweigen f , (x) (v ~- 1, 2, . . . , n) kein weiterer

Zweig yon f ( x ) einen in T' gelegenen Wert annimmt (was unter unserer Voraussetzung immer msglieh ist),

~) keiner der n Zweige f~ (x)(~ = 1, 2 , . . . , n) einen Wert y annimmt, der sei es am Rande yon T' sei es am Rande oder im y' hmern eines tier Gebiete T(~') liegt, wenn v' =]= ~ ist; ~)

ferner einen Kreis 7~oVo in der y -Eb ene vom Radius p'~ der so zu w~thlen ist, dal~ wenn yo in T~) liegt) aueh der ganze Kreis "~o.,Jo in T( ~),,I liegt.

2. Die Funktion:

V o, o (x, v) ---- - Z (*),

die im Gebiete (PoVo , ~(,oVo) regullir ist; dabei ist~ wenn Y0 meh- reren Gebieten T(~) angeh~rt, unter den zugehOrigen Fanktionen f,, (z) eine beliebige auszuwiihlen. Es ist nun wieder zu zei- gen, dag diese Zuordnung der Bedingung des Cousinsehen Satzes entsprieht. Es geh5rt offenbar jeder Punkt (x~,y~), der in (Fovo,~(~,y) liegt, ebenfalls der zweiten Klasse an. Ffir x -~ x '

o nehmen nun genau dieselben n Zweige yon f ( x ) i n T' gelegene Y Werte an, wie fitr x-=zo; nehmen wit also aueh far x-=x' naeh

o

1) Diese l ?o rderung ha t zur Fo lge , dal] s ieh die T ~ ) tei lweise t iberdeeken werden.

~) D a r a u s folgg u n m i t t d b a r , dab ftir ] x - - x o ] < i ~ die Po t enz re lhen :

. t ; (*)= ~ ~(~) (x - ,o) ~ (, = 1, 2, .. . , ,,) ~no ~o~rgi~r~. i ~ O

Uber Funktionen zweier komplexer Veriinderlicher. 35

den obigen Regeln eine Teilung yon ~1' in Teilintervalle T(~) vor~ Y Y

so lassen sich die Indices der T~) so wahlen~ dal3 gerade_ der oben mit A (x) bezeiehnete Zweig ffir x - ~ x ' einen in T(~)gelegenen

o Weft annimmt. Wit' haben nan zwei Falle zu unterseheiden; entweder liegt y, in ~/'~) und y: in ~/'(~); dann ist:

somit : %,:0 (% Y)= ~'~o ,~o' (~, ,'/)= ,v--,L r

V o~ ~ (x, y) %,~ y:, (x, y)

oder es liegt yo in T(~) and y: in Ty), ohne da~ v ' = v w~tre. ]:)ann kann filL" y = y: der Ausdruck y - - f ~ , (x:) nieht verschwin- den~ da y: in 7xo~Jo und somit in T~) liegt. Ebensowenig_ kann abet der Ausdruek y : - - J • (x:) versehwinden: da y: in ~/'(~')y liegt. Es ist also in der Tat in allen Fallen fiir jeden Punkt (x:~ y : )yon

% ,~o (x, y) (Fo~W 7~ ~ yo)der Quotient v , , (% y) regular und yon Null ver-

Xo YO

sehieden. Wir wenden uns nunmehr den Punkten (xwyo) zu~ deren x -

Koordinaten der dritten Klasse angehSren. Ist etwa y([) ein Wert aus dem Innern yon T' der flit x - ~ x yon mehreren Zweigen y~ o

von f ( x ) angenommen wird~ ~) so gilt far jeden dieser Zweige ~ �9 eine Entwmklung : cx:) i

y - - y(:) = E a~ (x - - %) ~:. i ~ 1

Werden also mit y O ) y ( ~ ) " ' b y(-O die samtlichen Zweige yon f ( x ) bezeiehnet~ die far x = x o den Wert y~:) annehmen~ so ist:

~:)v ( X ) ,~) = (~]1 - - ~] (1)) ( y - - ,~ (2)) , . , ( ,~ - - ,~/(m)) - - -

.r % (x) r = § q- %~ r

wo % (x), ...~ %~(x) Funktionen von x bedeuten~ die ftir x = x o regular (and eindeutig) sind.

Wir fiihren nun bier genan wie oben die Teilgebiete T(~) ein Y

und ordnen dem Punkte (xo, y o) zu: 1. einen Kreis F oy ~ in der x ,Eben% dessen Radius p so

klein za wahlen ist: dab fiir I x - Xo I-~, p: a) auger den n Zweigen f~ (x), .,f~ (x) , . . . , f~ (x) kein weiterer

Zweig yon f (x) einen in T ' gelegenen Wert annimmt, Y

1) Wegen tier fiir f(x) ffeltenden Einschrankung ist die Anzahl dieser Zweige immer elne endliche.

3 ~.

36 Hans Hahn.

~) der Zweig j ; (x) (,~ ~- 1, 2, . . . , n) nur solehe Werte y an- nimmt~ die weder im Innern noeh am Rande eines anderen Teil- gebietes liegen~ als desjenigen, in dessen Innern der Wert y(:') liegt~ den f~ (x) far x ~---x o annimmt, oder aber am Rande yon T' liegen ; v

-;) aul3er far x = x o keine zwei unserer n Zweige gleiehe Werte annehmen ;

ferner einen Kreis -, in der y - E b e n e vom Radius p', der I x 0 ,~/0

so zu wahlen ist~ dal3, wenn Yo in T~j) liegt, aueh der ganze Kreis "&o Vo in T!~) liegt.

2. Wenn der Punkt Yo in T( ~)~ liegt und der Wert y(o) nur yon einem Zweige angenommen wird~ so ordnen wit dem Punkte (xo~ Yo) die Funktion zu:

% ~o (x, ~) = ~ - s ( x ) ;

wird hingegen der Wert y(o ) yon mehreren (etwa m) Zweigen an- genommen~ so werde dem Punkte (Xo~ Yo) die oben definierte Funk- tion :

zugeordnet. Wi t zeigen aueh hie B daf5 die Zuordnung entspreehend dem

Satze yon C o u s i n vorgenommen wurde. Es bedeute also (xo~yo) einen von (x o, go) versehiedenen Punkt des Gebietes (I" ovo~-l~o vo ). Der Punkt x: gehSrt dann offenbar der zweiten Klasse an. Es liege nun der Punkt Yo in einem zu dem mehrfaehen Punkte y(:) gehSrigen Bereiehe T(~)~ und y(0 sei einer jener Zweig% die ffir x~-~-x o den Weft y(~)annehmen. Der }Vert dieses Zweiges far x--X'o werde mit (y(~))' bezeiehnet und liege im Gebiete T~). Wir nehmen nun zunachst an, der Punkt y: liege auch in ~/~':). Dann ist :

Y

% ~ 0 (*, ~) = ~ (x, ~); ~ , , (x, ~) = ~ - Zi (~) x0 Y0

und mithin : r

V;~o % 'J) v - - Z (*) 1

wo der Akzent am Produktzeiehen andeutet, dal3 der Faktor ( y - - r (x)) auszulassen ist.

Dieses Produkt ist aber offenbar im Punkte (xs y:) regulKr und yon Null versehieden, was man wie bei Behandlung der zwei- ten Punktklasse erkennen kann. L i e g t hingegen der Punkt Yo nicht in dem zu dem mehrfaehen Punkte y(o ~) gehSrigen Bereiche

{Jber Funktionen zweier komplexer Ver~inderlicher. 37

T(~)~ oder gehSrt der Bereieh T(') nieht zu einem Zweige der far :/ x ~ - x o den Wert y(~) annimmt so unterseheidet sieh die anzuwen- dende Argumentation iiberhaupt nieht yon der far die zweite Klasse verwendeten.

Wir haben nun nur noeh den Fall zu untersuehen~ dal~ die Abszisse x o yon (~o~ Yo) der vierten Klasse angeh~Srt. Wit bestim-

r " o , " men die l~mle, ebmte yon T wie bisher: Aueh die Kreise Fxo;/o~ "&oVo~ sowie die Funktionen %o,,o (x~ y) sind zu definieren wie his- her. Nut wird bei Bestimmung des Radius ? yon P ovo fttr alle Zweige f , (x)~ die for x ~ x o einen am Rande yon T' gelegenen

Y

Wert amlehmen, die Bedingung wegfallen, daft sie keine am l~ande yon T'v gelegenen Werte annehmen sollen. Jeder Punkt (x:, y:) aus dem Inneren yon (P~ovo~ 7xov,,) geh(Srt dann, bei gentigend kleiner Wahl des Radius yon l'ovo der ersten~ zweiten oder vierten Klasse

v (x, V) XO YO * a n Dug , ( . , Punkte (*:, V:) regular u n a . o n er- XO Yo

sehieden ist~ wird bewiesen wie bisher. ).~, , Wit haben jetzt jedem Punkte yon ( ~, T~I) zugewiesen:

1. einen Kreis F oso in der x-Ebene und einen Kreis ";~o,:o in dcr y-Ebene,

2. eine in (Vo vo' 7~o s,o) definierte Funktion %~ ~o (x, y); wit haben uns welter itberzeugt, dag die Funktionen %o~Jo (x, Y) der Voraus- setzung des zu Beginn dieses Aufsatzes zitierten Theorems yon Cousin entsprechen.

Die Anwendung dieses Theorems zeigt als% dal~, wenn (~/~'~ 517) einen ganz im Innern yon (T~ T~) gelegenen Bereich yon der Art dieses letzteren bezeiehnet~ es immer eine in ( T , ~/~) regulaLe Funktion

J

gibt, di% dureh %o,,o(X~ y) dividiert~ in (Fo ~o, %oy,,) regul~tr und yon Null versehieden ist. Diese Funktion ist offenkundig diqjenig% deren Existenz wit beweisen wollten. (T:~ 5/'v) bedeutet dabei einen belie- bigen ganz in (T~ T j) gelegenen Bereieh, denn offenbar ltigt sieh zu einem beliebig gegebenen (T;', T';) immer ein (~:, T~) finden, das einerseits (T"~, lv) ganz in seinem Innern enthMt, anderseits aber selbst in (5~, T) enthalten ist. Unser Satz ist somit bewiesen.

w Dureh Spezialisierung des in w 1 erhaltenen Resultates erDtlt

man eine Reihe bemerkenswerter S~ttze~ deren einer im Folgenden bewiesen werden mSge.

Wir wollen annehmen, das Gebiet ~/, sowohl wie das Gebiet T v seien Kreise, deren Mittelpunkt der Koordinaten- ursprung der betreffenden Ebene sei~ und die Bedingungen unseres Satzes seien erftillt, wie grog wir aueh die Radien dieser Kreise

38 Hans Hahn.

wahlen. Unter Anwendung einer yon W e i e r s t r a g herr~ihrenden, bereits klassiseh gewordenen Beweismethode, die aueh auf Funktionen mehrerer Ver~nderlicher schon wiederholt angewendet wurde, 1) gehen wir nun folgendermal3en vor. Es bezeiehne K~, K ~ ~ " . , ~

K ~ .. eine Fo]ge yon Kreiseu in der x-Ebene: deren gemein- samer Mittelpunkt der Koordinatenursprung dieter Ebene sei und deren Radien mit v ununterbrochen his ins Unendliehe wachseu mSgen. Dieselbe Bedeutung habe K~.~' K~v~ "" '~ K ~y~ ... f~ir die y-

K 1 2 Ebene. Wir betraehten die Gebiete ( ~, K~), (K , K~),..., (Kz, K~), . . . . Auf jedes dieser Gebiete ist der Satz des vorigen Para- graphen anwendbar und liefert eine im Innern desselben regulare Funktion G <*) (x:y). In ( ~, K~) ist sowohl G<*+~)(x, ~) als

G <~+~) (x~ y) ist daselbst reg@ir G~)(x~) regula 6 und der Quotient G <~) (x, .q)

und yon Null verschieden. Es lal3t sieh daher lg G 0'+~) (x, ~,) - - lgG~ *)(x~y) in eine in K * ( ~ K~)kouvergierende~ naeh Potenzen yon x und y fortsehreitende Potenzreihe entwickeln. Unter z~ %, ..~ ~ , . . . verstehen wir eine Folge positiver~ gegen Null kenvergie-

reader Z~d~len yon der Art, daf3 ~ s einen endliehen Wert hat.

Dann lal3t sieh immer eine Folge yon Polynomen /~ ) (x : y) so be- stimmen~ dal3 im ganzen Gebiete (K~ K~) die Ungleiclmng besteht.

I t~ ~(~ + ~) (x, ~) - - l~ G ~ (~, ~) - p ~ (x, ~) I < ~,,.

Bestimmt man nun welter eine Fo]ge yon Polynomen O~") (x~ y) aus den Bedingungen:

P(") (z, y) -=- 0 <~ + ~ (x, y) ~ (2 ~ (x, ~),

G(~) (x~ ~) - - ftir jedes endliche Wertepaar (z~ y) und so existiert ~=o~]im e~(~ ) (~,~)

stellt eine gauze Funktion G (x~ y) dar~ yon der Art~ daf3 Liberall G (x, ~)

in (Kx, K~,) der Quotient G(~)(x,y) regular und yon Null ver-

sehieden ist. Wit kSnnen daher den folgenden Satz ausspreehen (Satz yon

P o i n c a r 6 ) ~): D a m i t es e i n e g a u z e F u n k t i o n Gix~y) yon x u n d y

gebe~ d e r e n N u l l s t e l l e n z u s a m m e n f a l l e n m i t d e n d n r e h

~) P o l n c a ' r d . Acta mathem, Bd. 2; Appel], Acta mathem., Bd. 9; B i e r - m a n n , Wiener Ber, Bd. 89; Cousin~ Acta mathem ~ Bd. 19.

~) P o i n c a r d . Act~ mathem. Bd. 2. S. 113.

Ober Funktionen zweier komplexer Ver~lnderlicher. 39

d i e G l e i e h u n g y-~-f(x) g e l i e f e r t e n W e r t e p a a r e n , i s t n o t w e n d i g u n d h i n r e i e h e n d ~ da{~ d i e F u n k t i o n f(x) der B e d i n g u n g g e n t i g e : Z u j e d e r b e l i e b i g e n p o s i t i v e n Z a h l A s o w i e z u j e d e m P u n k t e x ol~tgt s i e h e i n e K o n s t a n t e p so d e f i n i e r e n , dal~ a l l e d e r G l e i e h u n g y ~ f ( x ) g e n t i g e n d e n W e r t e p a a r e ( x , y ) ~ d e r e n x - K o o r d i n a t e d e r U n g l e i e h u n g IX--Xol<p gent ig t~ u n d d e r e n y - K o o r d i n a t e d e m ab- s o l u t e n B e t r a g e n a e h u n t e r A l i e g t , d u r c h e i n e end- l i c h e A n z a h l y o n E n t w i e k l u n g e n d e r F o r m :

y = 2 a~(x--xo) T ~ 0

g e l i e f e r t w e r d e n . Man kann diese eine Bedingung aueh durch die drei folgen-

den ersetzen : 1. FOr keinen endlichen Wert yon x haben die Funktions-

werte y eine im Endliehen gelegene Hiiufungsstelle (was z. B. bei y ~ x - ~ der Fall war% wenn ~ eine irrationale oder komplexe Zahl bedeutet)~ noeh kiinnen fiir einen endlichen Wert yon x unendlich viele Zweige yon y einen und denselben endlichen Wert annehmen

1 (was etwa bei der Funktion y-~- lgx fiir x ~ - 0 eintritt).

2. ttaben ftir x ~ - x o einer odor mehrere Zweige yon y sin- g'uli~re Stellen~ ohne dal~ ftir dieselben Entwicklungen yon der Form:

y = "A a (X- -Xo) ~ v ~ O

gelten~ so mul~ ffir alle diese Zweige lira y ~-c,o sein~ und zwar

so, dal3 sieh zu jeder noch so grel~en Zahl A eine zweite P so finden liil3t~ dal3 for I x - - x 0 / < p for alle diese Zweige die Un- gleiehung besteht :

I~1>~. (Dadureh sind alle Funktionen ausgesehlossen, welehe far einen endliehen Wert yon x eine Stelle der Unbestimmtheit, z. B. eine iso!ierte wesentlieh singul~re Stelle haben; aueh li~gt sieh aus die- sen Bedingungen folgern~ da$ die Funktion y ~ f ( x ) keine Linien yon singul~tren Stellen haben kann.)

3. Bedeuten R und R' positive Konstant% yon denen R' die kloinere sei~ so mul~ sieh zu jedem Punkte x 0 eine Konstante definieren lassen~ so da[~ alle Zweige yon f(x)~ deren Absolutwert fiir x ~ x o grSl~er als R ist, ftir I x - - x o i < ~ grSl~er als R' bleiben.

Die dritte dieser Bedingungen kommt in dem in der Einlei- tung zitierten Satze yon Poinear6 nieht vet. Es ist denkbar~ dal~ sle eine Folge der beiden ersten Bedingungen ist~ doeh ist es mir nieht gelungen~ dies zu zeigen. Da~ alle drei Bedingungen auch

40 H a n s H a h n .

notwendig sind~ geht aus den Uberlegungen des ersten Paragra- phen hervor.

DaI$ dieses Resultat versehiedener Verallgemeinerungen fahig ist, liegt auf der Hand. So kann man annehmen, dag die Funk- tionswerte y ~--f(x) sieh auger im Unendlichen~ noeh in einer An- zahl im Endtiehen gelegener Punkte y~ , . . . ~ y,~ h~ufen kbnnen und dalt alle Zweige yon f(x)~ die sieh an der Stelle x o nicht verhalten wie eine algebraisehe Funktion~ daselbst unendlieh werden oder einen der Werte N~ "" ~ Y,~ zur Grenze haben. Bei ttinzu- nahme einer der dritten Bedingung unseres obigen Satzes analogen Bedingung kann man dann beweisen, dal~ unsere Funktion als Wurzel einer Gleiehung F (x, ~/) = 0 aufgefal~t werden kann, wo F (x , y), als Funktion yon y betrachtet, auger im Unendliehen nur in den Pankten .y~, ...,y,~ singul~tre Stellen haben kann, als Funk- tion yon x betraehtet aber eine ganze Funktion ist.

Der Beweis dieses Satzes sowie einiger ahnlieher S~ttze 151~t sieh unsehwer ftihren bei Bentttzung der S~tze, die in der sehon mehrfaeh erw~hnten ausgezeiehneten Arbeit yon C o u s in enthalten sind. Ieh brauehe hier nieht n~ther darauf einzugehen, zumal wir im folgenden yon diesen S~ttzen keinen Gebraueh maehen.

3 , �84

Die bisher gewonnenen Resultate ermSgliehen es uns nun, einen Satz zu beweisen, der als Ubertragung des bekannten Satzes yon W e i e r s t r al~ fiber die Zerlegung einer ganzen Funktion einer Veriinderliehen in Primfaktoren auf die Theorie der ganzen Funk- tionen zweier komplexer Ver~tnderlicher betraehtet werden kann.

Zu diesem Zwecke mug ich zuni~chst auf eine spezielIe Klasse yon ganzen Funktionen hinweisen. Sei G(x~y) eine beliebige ganze Funktion yon x und y, die ftir (x0~ Yo) verschwinde. Be- kanntlieh gilt dann ftir eine Umgebung yon (Xo, Yo) die Identiti~t:

woraus sieh ergibt~ dal3 alle fibrigen in der Umgebung yon (x,,, Yo) gelegenen Nullstellen yon G (x~ y ) d u r c h eine oder mehrere Ent- wicklungen yon der Form:

oo

- y o = xo);

geliefert werden. Wir greifen eine dieser Entwicklungen heraus und betraehten sie als Element einer analytisehen Funktion y -~f(x) von x. Es ist Mar, dal~ alle dutch diese Funktion gelieferten Wertepaare (x, y) wieder Nullstellen yon G (x.v) darstellen. Es sind nun zweierlei Falle zu unterscheiden: es ist msglich, dais die dutch die Gieiehung y = f ( x ) gelieferten Wertepaare die Null- stellen yon G (x, ~/) erschSpfen; es ist aber aueh mSglieh~ dag dies

Llber Funktionen zweier komplexer Ver~inderlicher. 41

nieht der Fall ist. Schon bei den Polynomen yon x and y treten ja bekanntlieh beide FSlle auf.

Die Ftlnktionen der ersten A r t - bei denen~ wie wir uns aueh ausdrttcken ktinnen, die Ntlllstellen auf einer einzigen analy- tisehen Kurve liegen -- wollen wit nun noch weiter einsehr~inken. ~Vir wollen n~tmlieh diejenigen unter ihnen besonders hervorheben~ bei welehen im Produkte

keine zwei identiseh gleiehen Faktoren. vorkommen~ und dieselben als P r i m f u n k t i o n e n "con z w e l V e r ~ n d e r l i c h e n be- zeichnen. 1)

Es gilt zunitchst der Satz~ dal3 jede ganze Funktion yon zwei Ver~nderlichen~ deren Nullstellen auf einer einzigen analytisehen Kurve liegen~ abgesehen yon einem Exponentialfaktor e a, (~, ~j) [wo G 1 (x, y)wieder cine ganze Funktion bedeutet]~ als Potenz einer Primfunktion aufgefal3t werden kann~ wie sieh sofort aus den Uberlegungen yon w 2 ableiten lagt. Wir k0nnen d.emgemsl3~ genau wie far Funktionen einer Veranderliehen~ yon emem em- fachen oder mehrfaehen Versehwinden ganzer Funktionen zweier Ver~nderlicher in den Punkten einer analytischen Kurve sprechen.

Der Satz, den ich beweisen will~ ist der folgende: J e d e b e l i e b i g e g a n z e F u n k t i o n y o n z w e i V e r a n -

d e r l i e h c n lal3t s i ch d a r s t e l l e n a ls P r o d u k t e i n e r end- l i c h e n o d e r u n e u d l i c h e n A n z a h l y o n P r i m f u n k - t i o n e u .

Dieser Satz steht zu dem eingangs erw~hnten Satze yon W e i e r- stral3 tiber die Zerlegung einer ganzen Funktion einer kom- plexen Ver~tnderlichen in Primfaktoren in demselben VerhMtnisse~ wie der Satz~ dal3 sich jedes Polynom in x und y als Produkt yon unzerlegbaren Polynomen darstellen l~tl3t~ Ztl dem Satze~ dag jedes Polynom in x ein Produkt yon Linearfaktoren ist. Denn in der Tat sind die unzerlegbaren Polynome in x and y dadureh eharak- terisiert~ dal3 die durch Nullsetzen eines solchen Polynoms definierte Funktion y eine monogene Funktion yon x ist.

Ieh schicke zunaehst die Bemerkung voraus: dal3~ wenn (T~ Tj) irgend einen ganz im Endliehen gelegenen Bereich bedeu- tet~ es unter den dureh die Gleichung:

G (x, y) = 0

definierten monogenen Funktionen y---~f(x) nut eine endliche Anzahl gebcn kann~ die in (T~ T,J) gelegene Wertepaare liefern; denn angenommen~ es gabe unendlich viele soleher Funktionen:

.v = A = A ".' , v (x), . . . , x) Man erkennt, daft die ganze Funktion G (x,y), die wir in w 2 herge-

stellt haben, eine solche Primfunktion ist.

4 2 H a n s H a h n .

die die in (T~,)~,j) gelegenen Wertepaare (x, Yl), @2, Ys) "'" (x,~, ~/~). �9 annehmen. Diese Wertepaare mtissen mindestens einen Punkt yon (T~, T.,)(oder einell Randpunkt dieses Bereiches) zur Haufungs- stelle haben; er werde bezeiehnet mit (xo~ Yo). Aus der Stetigkeit yon G(x,y) in der Umgebung yon (Xo~Yo) folgt dann:

G (Xo, Yo) ~ 0.

Aus dcm nun schon mehrfach angewendeten Satze yon W e i e r s t r a i 3 folgt weiter~ dal3 alle in der Umgebung yon (Xo~yo) gelegenen Nullstellen yon G (x~ ~/) dureh eine Gleichung:

4- + . . . + (x) = o

geliefert werden, entgegen unserer Annahm% dal~ unendlieh viele monogene Funktionen Nullstellen liefern, die gegen (Xo: ~/o) konver- ~ ' l e r e I l .

Die hiemit bewiesene Eigensehaft der ganzen Funktionen G (x~ y )kann als Analogon betraehtet werden zur Tatsaeh% dal~ eine ganze Funktion G (x) in jedem endlichen Bereiche nut eine endliche Anzahl yon Nullstellen hat. Eine unmittelbare Fo]ge davon ist, dal3 die dureh eine Gleichung:

G (x, 5') = 0

definierten monogenen Funktionen y = f ( x ) n u r eine abzfihlbare Folge bilden kSnnen.

Die dureh die Gleiehung G (x, y ) ~ - 0 definierten monogenen Funktionen ordnen wir nun in der folgenden Weise an. Es be- zeiehne :

K 1 K 2 K " . x~ x~ ' " ' ~ x~ " "

eine Folge yon Kreisen in der x-Eben% deren gemeinsamer Mittel- punkt der Nullpunkt dieser Ebene sei und yon denen immer der folgende den vorhergehenden einschliel?t. Die Radien dieser Kreise mSgen ins Unendliche waehsen. Dieselbe Bedeutung habe:

K~, K~, ..., K;, ... far die y-Ebene.

Es kann unter den dutch G (x~ ~/)~ 0 definierten monogenen ~ " [ ~ K~ gele- [unktmnen nur eine endliche Anzahl geben, die in ~.~, vj

gene Wertepaare liefern; etwa:

Y = Z (x), .~ :=/~ (x), ..., Y = f ~ (x).

Wir bilden nun naeh den Vorsehriften yon w 2 Primfunk- tionen~ deren Nullstellen mit den durch diese Funktionen gelieferten Wertepaaren abereinstimmen und bezeichnen sie mit:

G~ (x, y), G~ (x, y), . . . , G~ (x, y).

Ober Funktionen zweler komplexer Veranderlicher. 4~

Der Quotient : G (x, y)

G~ (x, y)

ist dana selbst wieder eine gauze Funktion, die keine anderen Nullstellen haben kann als G (x~ y). Es sind zwei Falle zu unter- seheiden. Entweder verschwindet dieser Quotient ffir alle Nu]l- stellen yon (;1 (x, y), oder er kann nicht l~tngs eines noch so kleinen Sttiekes der analytischen Kurve:

G1 (x, y) == 0

verschwinden. Im ersten Falle ist dann aueh noeh:

G (x, :,/)

eine ganze Funktion. Indem man in der angegebenen Weise weitersehliel~t, kommt man sehliel~lieh zu einer ganzen Funktion

G (x, y)

die hir kein noeh so kleines Stiick der Kurve G 1 (x, y ) = 0 mehr verschwindet. Alle in (K~, K~) gelegenen Nullste|len dieser ganzen Funktion mtissen auf einer der Kin'yen:

62 (x, y) ~- o, .., G.~ (x, y) = 0

liegen. Indem wit alle diese Kurven so behandeln wie G 1 (x~ y) ~ 0, erhalten wir eine gauze Funktion:

G (~, y)

K1 1 die in ( ~ Ky) fiberhaupt keine Nullstelle hat. Wit betraehten nun die gleiehfalls nur in endlieher Anzahl

vorhan4enen monogenen Funktionen:

y = / ~ + ~ (x), "." y = Z , , , (x),

welehe nur solehe Nullstellen yon G (x, y) l iefern, die wohl in (Ke~, K~), nieht aber in (K~ K~) liegen. Wir werden dadureh auf eine ganze Funktion:

a (x, y)

K2 gefiihrt~ die in ( ~, K~j) keine Nullstelle mehr hat. Diese Schlul]- weise kann beliebig fortgesetzt werden. Man beachte nun, dal~ die Funktionen G~ (x, y), G 2 (x, y ) , . . , so gewi~hlt werden ksnnen, dal~ das Produkt:

44 ~-~ans Hahn.

c o

1

eine ganze Funktion darstellt, die nur far solehe Wertcpaare (x~ y) versehwindet~ ffir die mindestens einer ihrer Primfaktoren ver- sehwindet. Der Beweis kann genau so geftihrt werden~ wie er in w 2 gefiihrt wurde~ und bietet keine Sehwierigkeit.

Der Ausdruek: G (x, y) 1' (x, y)

ist somit eine ganze Funktion~ die im Endliehen nirgends ver- sehwindet und dahet" in der Form darstellbar:

G (x, y) __ e "<~, 'J) 1 ~ (x, y)

wo H (G Y) ebenfalls eine ganze Funktion bedeutet. Wit haben also (lie definitive Formel:

(DO

1

das heil~tt wit haben die willkiirliehe ganze Funktion G (.r, y) dar- gestellt als Produkt yon Primfunktionen G~ (x~y) worunter wit ganze Funktionen verstanden haben yon der Art, dab dureh die Gleiehung: G ~ ( x ~ y ) = 0 nut eine einzige monogene Funktion y yon x definiert wird.

Man sieht, wie aueh dieses Resultat gewisser Verallgemei- nerungen Nhig ist. Man kann aus demselben dutch Berufung auf einen Satz yon P o i n e a r 6 das folgende ableiten : J e d e F u n k- t i o n z w e i e r V e r ~ t n d e r l i e h e r , d i e im E n d l i e h e n k e i n e w e s e n t l i e h s i n g u l ~ t r e n S t e l l e n hat~ i s t in d e r F o r m d a r s t e l l b a r :

(2)0

g (x, y) e ~<~, 'J) (2)0

1

wo s o w o h l / ~ ( x , y ) a l s G,(x,y) P r i m f u n k t i o n e n be- d e u t e n .

Dureh diese Darstellung sind also sowohl die analytisehen Kurven~ li~ngs deren d ie meromorphe Funktion (2 (x~ y) verschwin- det~ als diejenigen~ auf welchen ihre Pole liegen~ in Evidenz ge- setzt.