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Technische Universitat Berlin Fakultat II Institut fur Mathematik

Differentialgleichungen fur IngenieureWintersemester 2010/11

Doz.: G. Barwolff; Ass.: S. Neumeierhttps://www.isis.tu-berlin.de/course/view.php?id=3782

7. Ubungsblatt

Stabilitat bei linearen und nicht-linearen Systemen

Laplacetransformation: Berechnung von Laplace-Integralen

Abgabe 13.12. 17.12.2010 im Tutorium

Entgegen erster Ankundigungen finden die Tutorien Fr 10-12 und 14-16 am 10.12.

wie gewohnt statt. Die Tutorin wird von den anderen beiden studentischen Tu-toren vertreten. Die betreffenden Studenten brauchen sich nicht auf die anderenTutorien derselben Woche zu verteilen.

Tutoriumsvorschlage

1. Aufgabe

Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte und untersuchen Sie ihr Stabilitatsverhalten:

a) x =

0 18 6

x, b) x =

3 00 3

x, c) x =

2 41 2

x, d) x =

0 00 0

x,

e) x =

0 0 0

1 0 0

0 0 2

x, f) x =

1 9

1 5

x, g)

x = x + y + 2,

y = y x2 + 4,h)

x = y + x3,

y = x + y3.

2. Aufgabe

Welche der stationaren Losungen xk(t) = k, k Z, der Pendelgleichung mit linearerDampfung

x + Dx + gl

sin x = 0

mit positiven reellen Zahlen D , g , l sind stabil, welche instabil? Verwenden Sie den Sta-bilitatssatz im nichtlinearen Fall.

3. Aufgabe

Berechnen Sie mit Hilfe der Definition die Laplace-Transformierte von cosh t. Auf wel-cher komplexen Halbebene ist sie definiert?

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Hausaufgaben

1. Aufgabe 5 Punkte

Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte und untersuchen Sie das Stabilitatsverhalten:

a) x =

1 3

1 2

x, b) x =

0 0

1 0

x,

c) x =

1 1

4 1

x, d) x =

2 1

1 4

x, e) x =

1 3

3 1

x.

2. Aufgabe 4 Punkte

Bestimmen Sie fur das nichtlineare DGL-System

x = x 2y2, y = y 8x4

die stationaren Losungen und deren Stabilitatscharakter.

3. Aufgabe 3 Punkte

Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von t1/2.Hinweis: Machen Sie eine geeignete Substitution und verwenden Siedie Beziehung

0est

2

dt = 12

(s )1/2, Re s > 0.

Gesamt: 12 Punkte

Hinweis: Fur die Zulassung zur Klausur ist es notwendig (aber nicht hinreichend!),in den Ubungen 1 bis 7 42 Punkte von 84 moglichen erreicht zu haben. Wenn in denUbungen 8 bis 13 weitere 36 Punkte erlangt werden, erfolgt die Zulassung zur Klausur.