Unabh~ngige Einheitensysteme tiir eine allgemeine Klasse algebraiseher Zahlkiirper

Von FRANZ HALTER-KOCH in Essen

BERNSTEIlq, I~IAssE und STENDER [1, 2, 4] haben ffir eine allgemeine Klasse totalreeller algebraischer Zahlk6rper mit Hilfe des Modifizierten JACOBI-PERRON'schen Algorithmus ein System unabhi~ngiger Einheiten konstruiert und dieses in Spezialfiillen als Grundeinheitensystem er- kannt bzw. gezeigt, wie man daraus ein Grundeinheitensystem gewinnen kann. In der vorliegenden Arbeit werde ich maximale unabh/~ngige Ein- heitensysteme fiir eine wesentlich gr6$ere Klasse algebraischer Zahl- k6rper angeben. Inwieweit diese Einheiten wieder aus einem Algorithmus gewonnen werden k6nnen und in welchen F/illen es sich dabei um Grund- einheiten handelt, bleibt weiteren Untersuchungen vorbehalten.

1. Formulierung der Ergebnisse

Gegeben sei ein irreduzibles ganzzahliges Polynom der Gestalt

r l /'1 + r2

! ( x ) = 1-I ( x - d j ) . 1-[ (X - ~j) (X - ~ ) - d j = l j = r l + l

mit r 1>/0, r , ~ 0 , n = r 1+ 2r 2>3, d, d j e Z, d 1> d 2> . . . > d , l u n d ganzen imagin~irquadratischen Zahlen ~I~(E mit Konjugiert-Komplexen ~1 derart, dab f'tir aUe in Yrage kommenden Indizes i, 1" gilt:

d l (d~-d~), d l (d , - ~j) d l ( ~ i - ~j), d l ( ~ i - ~j)

und

Id~-dj[>2, Ida- ~jl >2,

im Falle r 1 = 3, r~ = 0, [d] = 2 sei zus/s entweder d l - d~ >~4 oder dz - d3 ~> 4. Unter diesen Bedingungen gilt:

Satz 1. / hat genau r 1 reelle Nullstellen ~o(~) . . . . , co(r,) und genau

r~ Paare konjugiert-komplexer Nullstellen o~(r1+1), ~(rl+l) . . . . , w(rl+: ),

co(rl+r~) ; diese liegen wie folgt verteilt :

86 F r a n z H a l t e r - K o c h

I m F a l l e d > 0 is t

d2 i 1 - < co (20 < d2i ffir 2

1 d2i+l < o) (2~+a) < d~i+l + -

2

i m F a l l e d < 0 i s t

2 < 2 i ~-~rl,

fiir l < 2 i + l < r a ;

d2 s < (o(2i) < d2 i + 1 ffir 2 < 2 i ~-~r 1 2

dzi+ ~ 1 O)(2i+ 1) - - - < < d2i+1 ffir 1 < 2 i + 1 ~ r l ;

2

in j e d e m Fa l l e is t

1 [ c o ( 0 - ~ l < - ffir r l + l < i < r l + r 2.

2

Satz 2. Sci w eine Nul l s t e l l e y o n / u n d K = Q(e)), D a n n is t K ein u lgeb ra i sche r Zahlk(~rper y o r e G r a d n m i t r 1 reeHen u n d r~ P a a r e n k o n -

j u g i e r t - k o m p l e x e r K o n j u g i e r t e r , a lso d e m E i n h e i t e n r a n g r I + r e - 1. Die Z a h l e n el, ~2 . . . . ' eq+'2 e K seien wie fo lg t de f in ie r t :

I m Fa l l e [d I > 1 sei

[ d_ , fiir 1 ~ i ~ r 1

st = ~ (co - d3 d 2

I ( i ~ - ~ i ) ~ ~)] . ffir

I m F a l l e [d I = 1 sei

r l + l ~ i < r l + r 2.

1 fiir 1 < i < r 1

(~o - d~) 1 f f i r r 1 -]- 1 ~ i ~ r 1 -Jr- r 2.

D a n n s ind s~ . . . . , sq+q E i n h e i t e n in de r O r d n u n g Z [co] y o n _K m i t

r~+r2 I] j = l

ffedes (r 1 + r 2 - 1)-gl iedrige T e i l s y s t e m y o n {~1, . . . , eq+,,} is t e in u n -

a b h g n g i g e s E i n h e i t e n s y s t e m u n d e r z e u g t die G r u p p e

E = @1 . . . . , s,~+~:>

y o n E i n h e i t e n in 7 [co].

Unabh/ingige Einheitensysteme f/Jr eine allgemeine Klasse 87

Satz 3. Es sei I d [ > 1, und th . . . . . q,~+, e K seien wie folgt definiert: I m Falle r~ > 0 sei

[ gl 1, falls i = 1

[(o--_dj, falls 2 ~<i < r 1 I/i =/m - - d 1

i ((z)-~(~ falls r l - b l < ~ , ~ . r l + r 2. [ (co - d , ) ~ '

I m Fal le r~ = 0 sei

] [{~----~1)-? - - -~l ) ] r~ , falls i = 1

r h = / ' w - - ~ " ' ~ - - ~ ' , falls 2 ~ . i < r 2.

D a n n sind ~/1 . . . . . qq+,~ Einhe i ten in der 0 r d n u n g Z[(o] von K mit

r l + r 2

j= l

Jedes ( r l + r 2 - 1)-gliedrige Tei lsys tem yon {t/a . . . . ,11,~+,~} ist unab- h/~ngiges E inhe i t ensys tem und erzeugt die Gruppe

H = Oh . . . . . ~/~1+,~>

yon Einhe i ten in ;7 [r I s t E wie in Satz 2 definiert, so gilt E c H u n d

/n 'I+'2-2, falls r 1 > 0 (H : E) =/2n,2_2, falls r 1 = 0.

Insbesondere ist also im Fal le ] d I > 1, r a + r~ ~> 3, keines der (r 1 + rz - 1)- gliedrigen Teflsysteme yon {El, . . . , r ein Grundeinhe i tensys tem.

2 . B e w e i s e

Zu Satz 1. Sei zuni~chst 1 < ~ i ~ r z un d d > 0. Wegen [ ( d i ) < 0 geniigt es, zu zeigen:

[(di-l) > 0 , falls i - O m o d 2 \ 2]

f ,ls, lmo 2

88

I m Falle i = 0 mod 2 ist

Franz Halter-Koch

mit

Nun ist im F a l l e d ~> 2

und man erh~lt wegen rl + 2r~/> 3 und der zus~tzlichen Voraussetzung im Falle rl = 3, r~ = O, I d I= 2 s tets

~ l > d .

I m F a l l e d = 1 ist

also ebenfalls ~o i > d. In den verble ibenden Fs (i = 1 mod 2, d < 0) schliel3t man analog. Sei nun rl + 1 ~ i < r l + r , ; das Po lynom

r I FI-~- t ]

1o (x) = l-I (x - d j). 17[ (x - r (x - r j = l j = r ~ + l

{~e CI I ~ - ' , ] < 1}] genau eine Nullstelle, n~mlieh ,,. Also geniigt ha t in

es zum Beweis von Satz 1 (nach dem Satz von Rouch6) zu zeigen, dab 1

ftir alle ~ e C mit ]~ ] = ~ gilt:

11o(r + 0 1 > Id.I. 1

N u n ist aber fiir I~ I =

j = l j = r t + l

- 1 y - 1 . . . . _1 1. ( td l >(Idl ~)" (Idl ~)~'~ 2 = 2 _ 2/ '

woraus im Falle I dl > 2

llo(r + t:)l > Id

Unabh/~ngige Einheit~ensysteme fiir eine allgemeine Klasse 89

folgt . I m Fal le [d[ = 1 gi l t :

also ebenfa l l s

C)"-C; 1 lo ( ~ + ~) i > �9 - > 1 2

I lo (~, + C) I > I d I, q.e.d.

Zu Satz 2. Fi i r 1 ~ i ~ r 1 ist

(o~- d~)" -~ 0 m o d [d[ i n Z [to],

u n d ftir r l + 1 < i ~ rl + r~ ist

(o~ -- ~i)" --- (w -- ~i) ~ = 0 m o d [d] i n 7 [~o, ~ i ] ,

woraus

1 - e T [ ~ ]

rl+r~ 1 fiir alle i folgt . N u n ist aber l~ - = -+ 1, u n d d a r a u s folgt , dab ~1, - - - ,

j=l s

e,,+,, E i n h e i t e n in Y/[w] s ind u n d dab jedes (r 1 + r 2 - 1 ) - g l i e d r i g e Tell- s y s t e m y o n {sl . . . . , Sri+,,} die Gruppe E erzeugt .

U m n u n zu beweisen, dab jedes (r I - { - r g . - 1)-gliedrige Te i l sys tem yon {~, . . . , ~rl+r,} ein unabh/~ngiges E i n h e i t e n s y s t e m ist, geni ig t es n a c h [3], w 28, zu zeigen, dab fiir alle i, ?" s {1, 2, . . . , rl + r2} m i t i 4= j g i l t :

leiJ) l < 1;

dabe i e n t s t e h t ~(J) aus ~ d u r c h Er se t zen y o n to d u r c h co(J). N a c h Sa tz ] gi l t aber f'tir aUe i 4= ?" im FaUe [d [ > 1

u n d

w o r a u s

I c o ( J ) - d i l > l d l - l - fiir l ~ i ~ r l 2

1 [co (j) - ~i[ > I d l - : fiir r 1 + 1 ~ i ~ r 1 + r2,

2

I~Is) l <

I d l fiir 1 ~ i ~ r 1

fiir r 1 + 1 ~ i ~ r 1+r2,

90 Franz Halter-Koch

also I ei(J) [ < 1 ffir alle i # j folgt. Im Falle [ d] = 1 ist

3 ]co ( j ) - d i ] > - ff ir 1 ~ < i ~ < r 1

2 u n d

3 I o) (i) - ~ 1 > - f a r

2

also wieder I~y>l < 1 fiir alle i # j,

Zu Satz 3. Es is~ im Faile rl > 0

. {s1"~71 fiir

~i = 512 ~i-- 1 fiir

und im Falle r l = 0

~/~ = e~ -1

r 1 + 1 ~ i ~<r 1 + r~,

1 < i < ~ r 1

r l + l < ~ i < ~ r l + r 2

q.e.d.

~7 = E1 SZ 1 fiir 1 < i ~<r~;

daraus ersieht m a n zun/~chst, dal~ die ~i E inhe i ten des K6rpers K sind mi t

r~4-r~

1-I t/j = _ 1. j = l

U m nachzuweisen, da$ die t/~ sogar E inhe i ten in Z [co] sind, genfigt es,

zu zeigen, alas

und

(9 - d i - - e Z [ r ffir l < i , k < - < r 1, o~ - d ,

o~ - - ~ - - e Z [o~, ~ ] co - d k

ffir 1 ~ k ~ < r 1,r l + l ~ < i ~ < r l + r 2,

r ffir r l + l ~ < i , k ~ < r l + r 2. 0) - - ~k

N u n ist ffir 1 ~< i, k ~< r~

und

also

09 - di _ 1 + dk - d i

09 - d k ~o - d k

r 1 r 14- r~

d k - d~ _ d k - d i . l--[ (o~ - d j ) " I-[ (o~ - ~J) (co - ~ i ) ,

o) - d k d j = l j = r l + l j * k

co - d i - - e Z [ ~ o ] ; co - d k

Unabhiingige Einheitensysteme fiir cine allgemeine Klasse 91

derselbe SchluB ffihrt auch in den beiden ande ren F/~llen z u m Ziel.

Z u m Beweis yon E c H b e t r a c h t e m a n die Dars te l lung der si durch ~i:

es is t im Fal le ra > 0

E i

u n d im F a l l e r 12----- 0

[ ~/~-1, falls i = 1

t/1at/i,,, falls l < i ~ < r 1 - - 2 - - n (t/a t h , falls r 1 + 1 ~ < i < r a + r e

~t/~ -2, falls i = 1 N

(rl[ atl[-', falls 1 < i ~ r2 ;

da raus erh~lt m a n den I n d e x (H : E) durch Berechnung der E x p o n e n t e n - de t e rminan ten .

Literatur

[1] L. BERNSTEIN, The Jacobi-Perron Algorithm, I t s Theory and Application, Springer Lecture ~o te s No. 207, 1971.

[2] L. BERNSTEIN und t t . HASSE, An explicit formula for the units of an algebraic number field of degree n />2 , Pacific J. of Math. 30 (1969), 293--365.

[3] 1-I. ]LIAssE, Zahlentheorie, 3. Aufl., Berlin 1969. [4] H.-J . ST~DER, Einheiten f'dr eine allgemeine Klasse algebraischer Zahlk6rper,

J . f. reine u. angew. Math. 257 (1972), 151--178.

Eingegangen am 22. 5. 1974