Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003Einführung + Kap1 1

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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerische Methoden, SS 2003 Einführung + Kap1

Numerische Methoden

Vorlesung im Rahmen des Diplomstudienganges Energie- und Anlagentechnik

Version 2, SS 2003F. Schmidt

Teil 1: Modellierung technischer ProblemeTeil 2: Rechner als endliche MaschineTeil 3: Grundoperationen auf diskretisierte FunktionenTeil 4: Differentialgleichungen

Ergänzung: Übungen zu numerischen Methoden

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Vorbemerkung

Die Vorlesung Numerische Methodenversteht sich als Experimentalvorlesung. Sie besteht daher aus vier wesentlichen Einheiten: In diesem Skript sind Grundideen und Eigenschaften numerischer Verfahren

zur Lösung von Basisproblemen des Maschinenbaus zusammengestellt. Sie werden in der Vorlesung (V) erläutert und durch Computerexperimente (E) veranschaulicht.

Diese Computerexperimente bilden die zweite wichtige Einheit. Elemente aus ihr werden zum einen in der Vorlesung verwendet und stehen zum anderen im Netz für ergänzende Untersuchungen zur Verfügung. Sie sind dort zusätzlich mit erläuternden Texten versehen.

Die dritte Einheit bilden die Übungen (Ü) parallel zur Vorlesung. In ihnen wird der Stoff anhand ausgewählter Computerexperimente vor allem auf Basis von Excel und Matlab vertieft.

Abschließend wird gezeigt, wie man nach Software zur Lösung numerischer Probleme im Internet suchen kann.

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Das sollten Sie heute lernen

Was ist das Ziel der Vorlesung Wie ist die Vorlesung aufgebaut Wie gestalte ich meine Teilnahme am effektivsten Warum sind Modelle der Ausgang der Überlegungen Wie modellieren wir technische Systeme

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Ansprechpartner

VorlesungProf. Dr.-Ing. habil. F. Schmidt

Telefon: 0711/685-2116

E-Mail: [email protected]

Anschrift: Institut für Kernenergetik und Energiesysteme

Abt. Wissensverarbeitung und Numerik (WN)

Universität Stuttgart

Pfaffenwaldring 31

D-70569 Stuttgart

Praktikum und Übungen:Darko Sucic

Telefon: 0711/685-2492

E-Mail: [email protected]

Telefax: 0711/685-2010

http://www.ike.uni-stuttgart.de/~www_wn/wnhome.html

Folgende Informationen finden Sie auch im Netz:Skript zur Vorlesung Stand März 2002Hinweise auf numerische Bibliotheken: Vorlesung 12 - nur INTERNET-VersionUnterlagen zu ComputerexperimentenVorgehensmodell Studien- und DiplomarbeitenThemen für Studien- und Diplomarbeiten

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Inhalt Teil 1 und Teil 2

Teil 1: Modellierung technischer ProblemeV1: Lösung technischer Probleme auf Rechnern 22.04.03

• Einführung in die Vorlesung• Modelle als Basis numerischen Rechnens

Teil 2: Rechner als endliche MaschineV2: Modellieren auf endlichen Maschinen 29.04.03

• Warum Computerrechnungen immer fehlerbehaftet sind• Vom Rechnen mit Zahlen, Modulen und Komponenten• Bessere Rechner via bessere Verfahren

V3: Rechnen auf endlichen Maschinen 06.05.03• Rundungsfehler • Diskretisierung von Funktionen

E1: Berechnung der Zahl e, FehlerfortpfalnungE2: Näherung eines Polynomes nach verschiedenen AnsätzenÜ1: Numerik mit Excel und Matlab

V4: Operationen auf diskrete Werte am Beispiel iterativer Verfahren 13.05.03 • Nullstellensuche • Nichtlineare Gleichungen

E3: Bestimmung von x aus ax2 - b = 0 nach verschiedenen Verfahren

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Teil 3: Grundoperationen auf diskretisierte Funktionen

V5: Integration 27.05.03• Verfahren nach Newton und Gauss

Ü2: Integration

V6: Differenzieren von Funktionen 03.06.03 • Differenzenverfahren

• Vorwärts-Rückwärts- und zentrale Differenzen

Ü3: Differenzieren

Teil 4: Differentialgleichungen

V7: Gewöhnliche Differentialgleichungen 10.06.03 • Das Anfangswertproblem

• Euler-Verfahren, Runge-Kutta-VerfahrenE4: Stationäre Wärmeleitung in einer Dimension, Bewegungsgleichung für freien FallÜ4: Differentialgleichungen

V8: Partielle Dglen oder alternativ Gew. Dglen Anwendungen 17.06.03 • Grundbegriffe

• Diskretisierung nach dem Differenzenverfahren

E5: Transiente Wärmeleitgleichung in einer Dimension, Stationäre Wärmeleitung in 2 Dimensionen

Ü5: Lösung der transienten Wärmeleitgleichung in Excel

Inhalt Teil 3 und Teil 4

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Inhalt Teil 5

Teil 5: Systeme linearer Gleichungen

V9: Beschreibung der Systeme: Matrizen und ihre Speicherung 24.06.03 Definitonen und Rechenregeln Spezielle Matrizen Kennzahlen Speicherung

V10: Lösung von linearen Gleichungssystemen 1 03.07.03 Direkte Verfahren

V11: Lösung von linearen Gleichungssystemen 2 10.07.03 Iterative Verfahren Verfahren der konjugierten Gradienten

E6: Gleichungslöser im Vergleich

Ü6: Lösung von Gleichungssystemen mit Matlab

V12: Numerik im Internet 17.07.03 Vorbereitung auf die Prüfung

E7: Suchen im Netz

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Literatur

/ 1/ Böhm, Gose, Kahman: Methoden der Numerischen Mathematik. Vieweg

/ 2/ Björck, Dahlquist: Numerische Methoden. Oldenburg Verlag.

/ 3/ Becker, et al.: Numerische Mathematik für Ingenieure. Teubner.

/ 4/ Engeln-Müllges, Reuter: Numerische Mathematik für Ingenieure. BI

/ 5/ Richter: Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen mit der Finite-Elemente-Methode. Vieweg.

/ 6/ Maess: Vorlesung über numerische Mathematik 1. UTB - Große Reihe.

/ 7/ Schwarz: Numerische Mathematik. Teubner.

/ 8/ Schwarz: Methode der finiten Elemente. Teubner.

/9/ Schwarz: Fortran Programme zur Methode der finiten Elemente. Teubner.

/10/ Stiefel: Einführung in die numerische Mathematik. Teubner.

/11/ Noble: Numerisches Rechnen. Band 1 und Band 2. BI.

/12/ Stoer: Einführung in die numerische Mathematik. Heidelberger Taschenbücher.

/13/ Press et al.: Numerical Recipies. Cambridge University Press.

/14/ Young, Gregory: A Survey of Numerical Mathematics. Addison-Wesley.

/15/ Carnahan et al.: Applied Numerical Methods. John Wiley + Sons, Inc.

/16/ Schäfer: Numerik im Maschinenbau, Springer Lehrbuch.

/17/ Cheney, Kincaid: Numerical Mathematics and Computing. Brooks/Cole Pub. Comp.

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V 1 Modelle als Basis numerischen Rechnens

Teil I: Modellierung technischer Probleme

Kap. 1: Modelle als Basis numerischen Rechnens

Inhalt:

Modellierung

Simulation

Grundmodelle technischer Systeme

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Bildung von Modellen - Ziel

Problem

mathematischesModell

physikalischesModell

Analyse und Darstellungder Ergebnisse

Analyse des mathe-matischen Modells

Existenz von Lösungen

numerisches Modell

Konsistenz, Konvergenz

Simulation

Daten-Beschaffung

ModulVerknüpfung

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Bildung von Modellen -Problem

Problem





Existenz und Lösungen

numerisches Modell


Simulation

Daten-Beschaffung

ModulVerknüpfung

Entwurf und Implementierung eines Programmes

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Wärmebedarf eines Wohngebäudes

Ta

Transmissions-verluste

SolareWärmegewinne

Lüftungs-verluste

Ti

Interne Wärmegewinne

Wärmebedarf

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Bildung von Modellen - Physik

Problem






numerisches Modell


Simulation

Daten-Beschaffung

ModulVerknüpfung


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Physikalisches Modell

Zonenweise stationäre Energiebilanz bei vorgegebener Sollinnentemperatur

Q Q Q Q QT L I S

Gesucht: Heiz-Wärmebedarf Q

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Bildung von Modellen - Mathematik

Problem






numerisches Modell


Simulation

Daten-Beschaffung

ModulVerknüpfung


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Mathematisches Modell

• Transmissionsverluste:

• Lüftungsverluste:

• Interne Wärmegewinne:

• Solare Wärmegewinne bleiben unberücksichtigt

Q k A T T tT i a ( )

Q a V c T T tL i a ( )

tAQQ II

:IQ Mittlere interne Wärmegewinne auf der Basis eines durchschnittlichen 2,7-Personenhaushaltes pro Tag und Wohnraumfläche

Die Differenzengleichungen können auch als Differentialgleichungen oder als Integralgleichungen formuliert werden.

Je nach Art der mathematischen Formulierung werden andere Aspekte des physikalischen Modells betont.

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Grundmodelle technischer Vorgänge Basismodell Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls in

komponentenspezifischer Formulierung Grundform zeitliche Änderung einer Systemgröße y = Differenz aus Quellen und Senken Simulationsmodelle erfordern mathematische Modelle und darauf abgestimmte Daten Datenmodelle müssen Semantik des Weltausschnittes und der Modellierung seines Verhaltens

enthalten (Ontologie) Mathematische Modelle

a) differentielle Betrachtungsweise

Das ist gewöhnliche Differentialgleichung am Ort x i

b) Integrale Betrachtungsweise an Zeitpunkten tn und tn+1

Das ist eine Integralgleichung

c) Systeme von Differentialgleichungen erhält man, wenn- mehrere Systemgrößen und

- mehrere Ortspunkte zu berücksichtigen sind.

y,tftyStyQdt

dy ,,

dttytt ftyty nn

nn,)()( 1

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Komponentenbasiertes Modell eines Kreislaufes

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Eigenschaften von Modellen

ŸModelle- beschreiben Ausschnitt der Welt- haben beschränkte Gültigkeit- unterliegen vielen Fehlerquellen

ŸModelle sind- nicht wahr, aber brauchbar- nicht verifizierbar, aber validierbar- nicht richtig, aber nützlich

ŸModellergebnisse benötigen- Interpretation- Validierung- Daten

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Nutzen besserer Modelle im Maschinenbau

Interpolation zwischen Meßwerten(Verringerung teuerer Messungen)

Korrelation verschiedener Bereiche(Gesamtschau statt Einzeleffekt)

Untersuchung von alternativen Lösungen(Variantenkonstruktion)

Optimierung des Betriebs unter aktuellen Randbedingungen

Untersuchungen in Grenzbereichen(Störfallsimulation)

Und immer mehr Computational Engineering oder Ergänzung der realen Anlagen durch virtuelle Anlagen und Systeme

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designdevelop

constr.docs constructionschem

bids

commissioning

occupancy

A.lnk E+ .lnk Radiance.lnk

COMIS

…

…spaceneeds

energyefficiency

airquality

greenbuilding

discussion

presentations

charrettes

workshops

simulated datareal data

design

real building

instrumentation

measurements

performance metrics

benchmarks

diagnostics

DOE-2 4-DArt-lantis.lnk

Art-lantis-.lnkPVSYS

T-.lnk

virtual building

time

Smc.lnk

LBNL Entwicklungsumgebung für virtuelle Gebäude

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VDI-Definitionen zur Modellierung durch Simulation -1

VDI-Richtlinie 3633 (Beuther Verlag, Berlin 1996)

definiert den Begriff des Systems

“Abgegrenzte Anordnung von Komponenten, die miteinander in Beziehung stehen. Es ist gekennzeichnet durch:

- Systemgrenze, Systemein- und ausgangsgrößen

- Subsysteme, Systemelemente,

- Aufbaustruktur

- Ablauflogik

- Zustandübergänge und -größen“,

den Begriff des Modells

„Ein Modell ist eine vereinfachte Nachbildung eines existierenden oder gedachten Systems mit seinen Prozessen in einem anderen begrifflichen oder gegenständlichen System. Es unterscheidet sich hinsichtlich der unter-suchungsrelevanten Eigenschaften nur innerhalb eines vom Untersuchungsziel abhängigen Toleranzrahmens vom Vorbild“. Es wird genutzt, um eine bestimmte Aufgabe zu lösen, deren Durchführung mittels direkter Operationen am Original nicht möglich oder zu aufwendig wäre.

- Gedankliches Modell: Modell, das noch nicht in ein Simulationsmodell umgesetzt wurde.

- Experimentierbares Modell oder Simulationsmodell: Reales Modell, das aus dem gedanklichen Modell entstand und mit dem Experimente durchgeführt werden können.“

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VDI-Definitionen zur Modellierung durch Simulation -2

Den Prozeß der Modellierung

„Die Modellierung umfaßt bei der Simulation das Umsetzen eines existierenden oder gedachten Systems in ein experimentierbares Modell“,

und der Begriff der Simulation:

„Simulation ist ein Verfahren zur Nachbildung eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind.

Im weiteren Sinne wird unter Simulation das Vorbereiten, Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem Simulationsmodell verstanden.

Mit Hilfe der Simulation kann das zeitliche Ablaufverhalten komplexer Systeme untersucht werden“.

Auf Basis des Modells vom Verhalten eines Systems können Entwurf und Steuerung von Anlagen geplant werden. Die Steuerung geschieht über die Leittechnik. Die VDI-Richtlinie 3814 definiert als Aufgaben und Zielsetzung beim Einsatz von Gebäudeleittechnikanlagen das Leiten (DIN 19222) von betriebstechnischen Anlagen, d.h. die "Übernahme oder Unterstützung folgender Aufgaben:

- Anlagenautomation

- Betriebskontrolle

- Betriebsführung

- Archivierung

- Betriebsanalyse

- Energiemanagement

- Instandhaltungsmanagement."

Als wesentlichstes Element wird der Erhalt der Selbständigkeit der betriebstechnischen Anlagen gefordert.

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Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Was ist das Ziel der Vorlesung Was ist ein Modell Wie sind Technische Modelle strukturiert Was sind die mathematischen Grundbeziehungen

technischer Modelle

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