Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden SS 2003Teil IV, Kp. 7 7/1 V

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Universität Stuttgart W

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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 7

V 7: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Teil IV: Differentialgleichungen

Kap. 7: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Inhalt: Das Anfangswertproblem Die Diskretisierung der Zeit Euler-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren

Experimente: Stationäre Wärmeleitung in einer Dimension Bewegungsgleichung freier Fall

Übung 3: Erstellung eines Excel sheets zur Lösung von gewöhnkichen Differentialgleichungen

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Was wir zur numerischen Lösung von Dglen wissen

Modelle sind Abstraktionen. Es darf nur Unbedeutendes weggelassen werden

Das numerische Modell muss in Einklang mit dem physikalischen und dem mathematischen Modell sein. Deshalb sind Grundverständnisse beider Modellierungsschritte nötig

Mathematische Grundbeziehungen technischer Modelle sind Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form

Integrale und differenzielle Form legen den Schwerpunkt der Aussage auf unterschiedliche Effekte. Ziel beachten

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Was wir zur numerischen Lösung von Dglen wissen

Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern kennen gelernt

Rundung, Diskretisierung, Abbruch Kondition eines Algorithmus, Konsistenz einer Diskretisierung und

Konvergenz einer Lösung bedeuten

Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler werden beherrscht

Wie diskretisieren wir Funktionen

Was ist ein iteratives Verfahren Nullstellensuche nach Newton Wie berechnet man für eine Funktion f(x) das Integral in (a,b)

Wie berechnet man die Ableitung der Ordnung n an Stelle xi

xNayy ii

n

i

0

np

n

pxFx 1

i

iii

xg

xgxx

'1

jj

jii

bi

aiH

abdxxf

2

~

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Das sollten Sie heute lernen

Damit alle Grundlagen gelegt und wir können mit der Anwendung auf konkrete Differentialgleichungen beginnen. Dabei wird das meiste, das wir lernen handwerkliches sein und kann aus dem bisher Gelernten abgeleitet werden.

Unser Schwerpunkt heute

Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung Wie diskretisiert man Differentialgleichungen Was sind explizite und implizite Verfahren Beispiele gewöhnlicher Differentialgleichungen und ihre

numerische Lösung

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Grundbegriffe aus der Theorie der Differentialgleichungen

Gleichungen zwischen Funktionen und ihren Ableitungen heißen Differentialgleichungen (Dgl). Man unterscheidet gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten nur gewöhnliche Ableitungen. Als Beispiel sei die Schwingungsgleichung angeführt:

Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen sind immer gewöhnliche Differentialgleichungen. Differentialgleichungen mit mehreren unabhängigen Variablen enthalten gewöhnlich partielle Ableitungen nach den einzelnen Variablen. Man spricht dann von partiellen Differentialgleichungen. Sie werden entweder direkt oder in Operatorform angeschrieben. Sei L der Operator

so lautet die Schwingungsgleichung L y = f(t)

L kann verschieden definiert werden.

Die Ordnung n einer Differentialgleichung gibt die höchste Ableitung in der Differentialgleichung an.

)(22 tfyyy

222

2L

dtd

dt

d

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zu lösen sei in a t b

mit y(a) = yo

Typischerweise hat bei solchen Problemen die unabhängige Variable die Bedeutung der Zeit. yo ist dann ein Anfangswert.

Von den Problemen, die im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden, fordern wir:

a) Sie müssen eine eindeutige Lösung y(t) haben.

b) Die Lösung darf nur vom Anfangswert abhängen.

c) Sie darf sich nur wenig ändern, wenn yo oder f wenig (z.B. durch Rundungsfehler) geändert werden.

),( tyfydt

d

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung heißt

linear, wenn ihre Koeffizienten nicht von den abhängigen Variablen oder ihren Ableitungen abhängen;

halb-linear, wenn in den Randbedingungen nichtlineare Funktionen der Abhängigen oder ihren Ableitungen vorkommen;

quasi-linear, wenn auch in den Koeffizienten der Differentialgleichung Abhängigkeiten der Lösungen auftreten,

nicht-linear, wenn die Differentialgleichung Potenzen von Ableitungen enthält.

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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Integriert man

so erhält man

Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt:

btamittyfydt

d ),(

21 2

1......a ),(),(

),()()(

tt t

t dttyfdttyf

dttyfbaayby

dttyfyy n

n

t

tnn,1

1

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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen:

1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren

Euler- und Runge-Verfahren.

2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration

Adams-Verfahren.

3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n

Gear-Verfahren.

Die Verfahren werden in den folgenden Folien erläutert.

Wir konzentrieren uns dabei auf die Euler Verfahren

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Euler-VerfahrenDer Integrand wird durch einen konstanten Wert genähert. Dazu gibt es drei Möglichkeiten:

a) f (y,t) = f (yn,tn)

b) f (y,t) = f (yn+1, tn+1)

c) f (y,t) = f (yn+, tn+ ) mit 0 1

Die rechte Seite wird damit

Daraus folgen 3 Bestimmungsgleichungen für

a) explizites Verfahren:yn+1 = yn + h • f (yn, tn)

b) implizites Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+1, tn+1) (entspricht Iterationsvorschrift)

c) modifiziertes Euler-Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+ , tn+)

Setzt man = 0, 5, so folgt Prediktorschritt

Korrektorschritt

Euler-Verfahren entsprechen der Differenzennäherung

),(222/1 tyfhyy nnn

1 n hf fdt nt

nt

) t,(y fh y y21/n21/nn1n

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Berechnung von nach dem Differenzenverfahren

Es sind 2 Sichten möglich:

Festhalten der Berechnungsstelle oder Festhalten der Näherung

Vorwärtsdifferenz

Rückwärtsdifferenz

Zentrale Differenz

ydx

d

)(1i

i

iii xf

x

yyy

dx

d

)(1

1i

i

iii xf

x

yyy

dx

d

)(1

11i

ii

iii xf

xx

yyy

dx

d

)(1i

i

iii xf

x

yyy

dx

d

)( 11

1

ii

iii xf

x

yyy

dx

d

)( 2/11

2/1

ii

iii xf

x

yyy

dx

d

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Runge-Kutta-Verfahren

Verwendet man zur Integration der rechten Seite Verfahren höherer Ordnung, so erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

a) Integration mit Trapez-Regel

Beim Verfahren von Heun erfolgt die Lösung iterativ mit Startwert

)),(),((2 111 tytyyy nnnnnn

ffh

),(1 tyyy nnn

o

n fh

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Runge-Kutta-Verfahren

b) Iteration mit Simpson-Regel

Die Simpson-Regel verwendet die Punkte tn,tn+1/2 und t n+1 zur Integration, f (y,t) muß also an diesen Punkten genähert werden. Dies leistet gerade das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4.

Die Zwischenwerte werden wie folgt genähert:

Für f (y,t) = f (t) degeneriert das Verfahren zur Simpson-Formel.

),(),2

(2/1

),2

(2/1

3412

231

yhtfhyyyh

tfhyy

yh

tfhyyyy

nnnn

nnn

)),(),2

(2),2

(2),(6/14321

( ytytytytyy hfh

fh

ffhnnnnnnn

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Beispiel zum Runge-Kutta-VerfahrenGegeben sei das Anfangswertproblem: = y2 mit

y (0) = - 4 0 t 0,3 h = 0,1

Die exakte Lösung lautet

Für und

Für den Schritt n+1 folgt:

2)2)2)(201(

101()4,(

2)2)(201(

201

101

4

2)2)2)(201(

201()3,2(

22201

201

3

2)2)(201()2,2(2

201

2

2)1,n(tf

)41(/1

2

nynynyyhntfund

nynynynyy

nynynyyhntfundnynynyy

nynyyhntfundnynyy

wirdnyy

ty

y

nyy 1

222220/120/110/12

22220/120/122220/12260/1

1

ny

ny

ny

ny

ny

ny

ny

ny

ny

ny

ny

ny

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Adams-Verfahren

Eine weitere Verbesserung der Bestimmung der rechten Seite erhält man dadurch, daß man den Integranden über eine Funktionsentwicklung darstellt.

Als Entwicklungskoeffizienten können die Werte der diskreten Zeitpunkte verwendet werden.

Entwicklungsfunktionen sind dann wieder die Lagrange-Polynome .

Zum Zeitschritt n ist folgende Entwicklung möglich:

mit m n

Damit läßt sich f (y, t) integrieren.

Die mi sind tabelliert.

m

i

miin

tin

yftyf0

),(),(

n

i

mim

infdtjn

t

jnt

mijn

t

jnt

m

iin

fdttyf

0111 0

,


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Baskford-Adams und Adams-Moulton -Verfahren

Man unterscheidet zwei Fälle:

a) j = 1 Verfahren nach Adams-Baskford

Bestimmung von yn+1 durch Integration zwischen tn und tn+1

Entwicklung von f bis zur Stelle tn

Aus Entwicklung bis tn wird Verlauf extrapoliert - Prediktor-Schritt.

b) j = 0 Verfahren nach Adams-Moulton

Bestimmung von yn+1 durch Integration zwischen tn und tn+1

Entwicklung von f bis zur Stelle tn+1 (ersetze n durch n+1 in allgemeiner Formel)

Entwicklung verwendet schon Endwert - Korrektor-Schritt oder implizit.Lösungen nur iterativ.

Für beide Fälle findet man die Entwicklungskoeffizienten in der Literatur tabelliert

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Baskford-Adams-Verfahren

Man unterscheidet zwei Fälle:

a) j = 1 Verfahren nach Adams-Baskford

Bestimmung von yn+1:

Integration zwischen tn und tn+1

Entwicklung von f bis zur Stelle tn

Aus Entwicklung bis tn wird Verlauf extrapoliert - Prediktor-Schritt. Für die Integrale ni gilt:I

ni

0 1 2 3 4

ni 1

2ni 1 1

12ni 5 1 -1

24ni 9 19 -5 1

720ni 251 646 -264 106 -19

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Adams-Moulton-Verfahrenb) j = 0 Verfahren nach Adams-Moulton

Bestimmung von yn+1

Integration zwischen tn und tn+1

Entwicklung von f bis zur Stelle tn+1 (ersetze n durch n+1 in allgemeiner Formel)

Entwicklung verwendet schon Endwert - Korrektor-Schritt oder implizit. Lösungen nur iterativ.

Für die Integrale ni gilt:

I

ni

0 1 2 3 4

ni 1

2ni 1 1

12ni 5 1 -1

24ni 9 19 -5 1

720ni 251 646 -264 106 -19

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Gear-Verfahren - 1

kn

r

kknn

kn

r

kknnn

nrkkn

r

nrk

r

kknn

rk

r

kkn

ybfa

yoder

ybayafydt

dmanerhält

kfürdt

d

abund

dt

damit

tdt

dyty

dt

dDaraus

tyty

11

1

11

11

110

10

11

01

1

01

)()(

)()(

Die Klasse der Gear-Verfahren erhält man, wenn man nicht den Integranden,sondern die Lösung nach Lagrange-Funktionen entwickelt und anschließend ableitet

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Gear-Verfahren - 2

nnn

knn

kk

r

kjj jnkn

jnnk

knrk

r

j jnn

yftyund

bt

a

tta

pb

rfürtt

ttp

rfürpdt

d

tta

1

1

11

1 11

11

1

1 11

11

konstantt und 1 rfür manerhält Daraus

1

11

1

Die allgemeine Form der Koeffizienten lautet:

Das entspricht dem Ergebnis nach Euler

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Gear-Verfahren -3

tkonstfürttt

t

ttttta

nn

n

nnnnn

tan2

31

111

manerhält 2 r Für

1

1

1111

)tan1(

)tan2(

1

12

1

111

tkonsfürtt

ttp

tkonstfürtt

ttp

nn

nn

nn

nn

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Stabilität -1

Drei Fehlerquellen können auftreten

a) Näherung von

b) Näherung des Integrals der rechten Seite,

c) Bestimmung von y.

Werden Fehler durch die Zeitfortschaltung verkleinert, so heißt ein Verfahren stabil. Analog der notwendigen Bedingung für die Verkleinerung von Fehlern bei der Iteration gilt auch bei der Zeitfortschaltung.

ydt

d

Bedingungnotwendigedieygwar

ygyg

ygygcondwegen

gcondwennstabilistygyn

1)(

)()(

)(

1,1

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Stabilität -2

Mehrschrittverfahren kann man darstellen als

Dann gibt es zu dieser Gleichung ein charakteristisches Polynom p ()

Für p () = 0 gibt es m-Nullstellen und man kann zeigen:

Ein Verfahren ist stabil, wenn für alle Nullstellen gilt

und Nullstellen mit höchstens als einfache Nullstellen vorkommen.

Verfahren nach Adam und Gear sind stabil. Die Verfahren von Runge-Kutta sind schwach stabil. Explizite Euler-Verfahren sind für große Zeitschritte instabil.

0

11

22

11

aammam

mamp

1

1

),(10

....1211

tyFhmn

yany

ma

ny

ma

ny

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Systeme gewöhnlicher DifferentialgleichungenEin System der Ordnung m wird durch m-Gleichungen definiert

Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muß nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen.

Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösungen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton- oder Newton-Raphson-Methoden zur Lösung verwendet werden.

),,2

,1

(

),,2

,1

(2

2

),,2

,1

(1

1

tmyyy

mf

dtm

dy

tmyyyf

dt

dy

tmyyyf

dt

dy

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Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen

Für einen Zeitschritt n gilt etwa

Dieses System kann als Matrixgleichung beschrieben werden. Zur Lösung müssen Gleichungslöser für Systeme eingesetzt werden.

),,2

,1

(1

.

.

),,2

,1

(221

2

),,2

,1

(111

1

tmyyyn

mfhnmy

nmy

tmyyynfhnyny

tmyyynfhnyny

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Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en

Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Verwndet man dazu Excel, so lässt sich eine allgemeine Struktur für Gewöhnliche Differentialgleichungslöser angeben:

Eingabe Berechnung für Zeitschritt Zeitschrittfortschaltung Ergebnisdarstellung

Alle Elemente haben Sie schon erprobt. In den Übungen können Sie sie neu zusammensetzen

Für Systeme sind kompliziertere ‚Programme nötig

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Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en

Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flußdiagramm gezeigt.

Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration,

Nichtlinearität

Lösung des Gleichungssystems

Berechnung der rechten Seiten

Neue

Matrizen

Nicht linear

ja

nein

nein ja (bei Quellrechnung, Endzeitpunkt,

Endgenauigkeit)

Eingabe und ihre Verarbeitung Geometrie, Materialdaten,

Randbedingungen, Anfangswerte

Ausgabe

Nein linear

Erzeugung des Gleichungssystems

Ende

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Diskretisierung einer elliptischen Differentialgleichung mit der Methode der finiten Differenzen am Beispiel der eindim. stationaeren Waermeleitgleichung mit inneren Waermequellen und vorgegebener RandtemperaturModelliert wird ein isolierter Stab der Laenge 1 m mit der Waeremeleitfaehigkeit Lambda = 15 W/mK. Die innere Waermequelle sei konstant ueber die gesamte Stablaenge. Die linke und rechte Randtemperatur, sowie die Staerke der inneren Waermequelle koennen variiert werden.Das Loesungsgebiet wird durch n Loesungspunkte beschrieben. Berechnet werden insgesamt 5 Loesungen, wobei n jeweils um 2 erhoeht wird.

Diskretisierung der 1-dim stationären Wärmeleitgleichung

1-dim. stationäre Wärmeleitgleichung

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Daraus ergeben sich für die Systemmatrix M und die rechte Seite R bei 5 Zeitschritten mit folgenden Bedingungen: Anfangshöhe , Anfangsgeschwin-digkeit , Zeitschrittweite t.Jetzt muß nur noch das lineare Gleichungssystem gelöst werden:My=R. Wobei y der Lösungsvektor der Fallhöhe zu dem diskreten Zeitpunkt darstellt.Aufgabe: Bestimme Zeitschrittweite, sodaß exakte Lösung und Näherung in der Zeichengenauigkeit übereinstimmen.

Diskretisierung und Lösung der Bewegungsgleichung

Die Differentialgleichung der Bewegungsgleichung lautet . Ihre ana-lytische Lösung ist . Um die Dgl. zu lösen muß sie zunächst in eine Differenzengleichung umgewandelt werden. An der Stelle i gilt für konstante Zeitschrittweite t: . Die Diskretisierung erfolgt auf dem Maschenrand. Am linken Rand (i=0) sind als Anfangs-bedingungen und vorzugeben. Damit lautet die Gleichung für die einzelnen Punkte:

ddt y g

2

2

y0 vy y

t00 1

y = y

= g

y = g

=

00

0 1 0

0 1 22

y y t v t

y y t

²

²

y0

v0

Der Versuch wird durchKlick gestartet

ddt

yy y y

tgi i i

2

22 1

2

2

R

yt g v t

t gt gt gt g

02

02

2

2

2

M

1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0

1 2 1 0 0 00 1 2 1 0 00 0 1 2 1 00 0 0 1 2 1

y t gt v t y( ) 12

20 0

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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) -1

Euler

Heun

implizit)1

,1

(1

explizit),(1n

y

tny

ntF

ny

ny

tny

ntF

ny

tnot

nt

1

~,1

,21

),(1

~

ny

ntF

ny

ntF

tny

ny

tny

ntF

ny

ny

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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) - 2

Runge Kutta

tKyttFK

tK

ny

tntFK

tK

ny

tntFK

tny

ntFK

KKKKny

ny

nn

),(

)22,

2(

3

)21,

2(

2

),(1

432

22

16

11

34

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Beispiele für gewöhnliche Differentialgleichungen-1

1. Temperaturverlauf T eines Körpers Anfangstemperatur To ,

Umgebungstemperatur Tu. Wärmeübergangskoeffizient

Lösung

)( TuT

dt

dT

2. Bewegungsgleichung

mit m Masse des Systems, x (o) Anfangswert

F (t) treibender Kraft, v (o) Anfangsgeschwindigkeit

Reibungskraft

dt

dxKtF

dt

xdm )(

2

2

dt

dxK

n

teoT

uT

uTtT )()(

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Beispiele für den Einsatz gewöhnlicher Differentialgleichungen -1a

1)(

2

2)(

1

/1)(

.)(

CK

moxC

CKoF

ovC

mkteK

Cmt

KoF

tx

konstoFtF

Lösung für

wo

und

)()(

2

2)(

tkvtFdt

dvmwird

dt

dv

dt

xdundtv

dt

dxmit

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Beispiele für den Einsatz gewöhnlicher Differentialgleichungen -2

3. Einfacher elektrischer Schaltkreis

a) Spannungsquelle U (t), Widerstand R und Kapazität C

Ladung des Kondensators

b) Spannungsquelle U (t), Widerstand R und Induktivität L

Strom im Kreis

4. Grundform der Erhaltungslgeichungen

wo Q die Rate des Zuwachses und

S die Rate der Abnahme der Substanz x sind

to

UtUwotUR

qRCdt

dq sin)()(11

L

tUI

L

R

dt

dI )(

SQdt

dx

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Beispiele für den Einsatz gewöhnlicher Differentialgleichungen -3

5. Zerfall radioaktiver Isotope

6. Stationäre Wärmeleitgleichung (Randwertaufgabe)

zeit)(Halbwerts)(2

1)(

giltdiefürist,Zeitdiewo

/2lngiltdabei

oynTy

nT

nTK

Kydt

dy

rTbT

lTaTund

bxamitqTdx

d

)(;)(

2

2

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Aufgabe 1:Ein Gebäude hat eine mittlere Wärmedurchganszahl von K = 1.0. Im Gebäude wird Wärme durch innere Lasten produziert, die proportional zum Volumen sind

wo x das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen darstellt. Berechnen Sie für einen Sommertag (Tu = 30oC) und einer temperaturbezogenen, spezifischen, inneren Last die sich einstellende Temperatur im Gebäude.

Aufgabe 2:

x sei CO-Konzentration im Hörsaal von Volumen 2000 m3

xo 3 %,

Start der Lüftung mit 0,2 m3/min und Reduktion des CO-Gehaltes auf 0.002 %

Bestimmen Sie, wann die CO-Konzentration auf unter 1 % gesunken ist. Wie groß muß die Luftwechselrate sein, daß dies innerhalb von 15 Minuten geschieht ?

x

AqVqQ

10q

31

2000min

32,0

315102

min

32,0

m

xm

m

m

dt

dx

Umgang mit gewöhnlichen Dglen -1

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Aufgabe 3:

C14 hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren. Daraus ergibt sich, daß K = ln 2 / 5730 [1/a] ist. Bestimmen Sie das Alter einer Holzprobe, bei der der C14-Gehalt auf 15 % abgesunken ist.

Aufgabe 4:

Schwingendes System mit Feder

Rücktreibende Kraft F (t) = - a . m . x a Federkonstante

Bestimmen Sie für a = 8, xo = 0 und vo = 1 die Form der Bewegungen.

Aufgabe 5:

Pendel mit Auslenkung y

Rücktreibende Kraft

l Pendellänge

g Gravitationskonstante (g 10)

Bestimmen Sie für ein Pendel der Länge 1 die Form der Bewegung bei

Anfangswerten yo = 300 und vo = 0

yl

gsin


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itu

ng

un

d N

um

erik



02

2 y

l

g

dt

dy

dt

yd


Aufgabe 6:

Für geringe Auslenkungen eines Pendels lautet die Schwingungsgleichung mit Dämpfung

Bestimmen Sie für ein Pendel der Länge g/l =4 und den Anfangswerten y(0) = 0.1 und y‘(0) = 0

den Verlauf der Bewegung je für = 1, 2, 3, 4 und 5

Aufgabe 7:

Für einen elektrischen Schaltkreis mit Induktion L, Widerstand R, Kapazität C und Spannung U gilt nach den Kirchhoff‘schen Gesetzen für den Strom I

Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes für einen Schaltkreis mit

L = 16, R = 8, C = 0,1 und U = 220 sin t/60

mit = 0 und

)(1

2

2tUI

Cdt

dIR

dL

IdL

00Io

I

7/39


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Aufgabe 8:

Temperaturverteilung im Stab

Berechnen Sie die Temperaturverteilung in einem Stab der Länge 1

mit der Randbedingung T(0) = 100 und T (1) = 20 bei einer Wärmequelle von

10q

bxamitqTdx

d 2

2

7/40


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen

1. Gekoppelte Federn

Massen m1 und m2

Federkonstanten K1 und K2

Auslenkungen x1 und x2

2. Konkurrierende Systeme (Räuber-Opfer-Systeme)

Populationen x1 und x2

Überschuß Geburt-Tod a11 und a22

Nahrungsraten a12 und a21

12222

1221111xxKxm

xxKxKxm

2221212

2121111

xaxax

xaxax

7/41


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



System gewöhnlicher Differenzialgleichungen

7/42


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



iniTn

iTn

iT

xiT

Tdx

dT

allefür1

212

2

2

Transiente Wärmeleitgleichung

Transiente Wärmeleitgleichung nach Diskretisierung des Ortes

7/43


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



321

032

2

122

011131

1

1

III

ILIC

IR

VIRILIC

Anwendungsbeispiele für einfache Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen -3

Elektrische Netze

Elektrische Netze mit Widerständen R, Induktionen L, Kapazitäten C und Spannungsquelle V werden mittels der drei Kirchhoff‘schen Gesetze ausgelegt, wo qi die Ladung des

Kondensators i und I der Strom im Schaltkreis sind.

Beispiel: 2 Schaltkreise sind über eine gemeinsame Induktivität L gekoppelt

VCqdt

dqIüberoder

dt

dVCI

Idt

dLV

IRV

.3

.2

.1

7/44


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Geben Sie Eigenschaften gewöhnlicher Differentialgleichungen an

Wie erhält man eine integrale Form Geben Sie die Grundzüge der folgenden Verfahren an:

Euler Runge- Kutta Adams Gear

Was ist Stabilität Geben Sie die Struktur eines Programmes zur Lösung gew.

Dglen an Geben Sie Beispiele gewöhnlicher Differentialgleichungen und

ihre numerische Lösung

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Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden SS 2003Teil IV, Kp. 7 7/1 V