Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden SS 2003Teil IV, Kp. 8 8/1 Lösung

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Universität Stuttgart W

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nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik

Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8

Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Integriert man

so erhält man

Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt:

btamittyfydt

d ),(

21 2

1......a ),(),(

),()()(

tt t

t dttyfdttyf

dttyfbaayby

dttyfyy n

n

t

tnn,1

1

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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen:1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren

Euler- und Runge-Verfahren.

2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration

Adams-Verfahren.

3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n

Gear-Verfahren.

Die Verfahren werden in den folgenden Folien erläutert. Wir haben folgende Verfahren kennengelernt:

Euler, Runge Kutta und Differenzenverfahren

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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) -1

Euler

implizit)1

,1

(1

explizit),(1n

y

tny

ntF

ny

ny

tny

ntF

ny

tnot

nt

1

~,1

,21

),(1

~

ny

ntF

ny

ntF

tny

ny

tny

ntF

ny

nyHeun

Problem: y ist unbekannt und muss durch diskrete Werte yn

beschrieben werden. Ist yn bekannt, so können wir yn+1 aus der diskreten Form der Dgl berechnen

Dies ermöglichen iterative Verfahren oder Vorschriften mit Zwischen-schritten, wie die von Heun oder Runge-Kutta

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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) - 2

Runge Kutta

tKyttFK

tK

ny

tntFK

tK

ny

tntFK

tny

ntFK

KKKKny

ny

nn

),(

)22,

2(

3

)21,

2(

2

),(1

432

22

16

11

34

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V8: Systeme von Differentialgleichungen

Teil IV: Differentialgleichungen

Kapitel 8: Partielle Dglen als Beispiel für Systeme gew. Dglen

Inhalt: Systeme gewöhnlicher Dglen Partielle Dglen Diskretisierung der Wärmeleitgleichung nach dem Differenzenverfahren Aufbau eines Programms zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen

Experimente 5: Stationäre Wärmeleitung in zwei Dimensionen, Transiente Wärmeleitgleichung in

einer Dimension

Übung 5: Lösung der transienten Wärmeleitgleichung in Excel/ Matlab

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Das sollten Sie heute lernen

Was ist eine System gew. Differentialgleichungen Was ist eine partielle Differentialgleichung Was wendet man die Differenzenmethode zur Lösung der

Wärmeleitgleichung an Wie sind Programme zur Lösung partieller

Differentialgleichungen aufgebaut

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Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen

Ein System der Ordnung m wird durch m-Gleichungen definiert

Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muß nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen.

Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösungen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton-Methoden zur Lösung verwendet werden.

),,2

,1

(

),,2

,1

(2

2

),,2

,1

(1

1

tmyyy

mf

dtm

dy

tmyyyf

dt

dy

tmyyyf

dt

dy

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Für einen Zeitschritt n gilt etwa

Dieses System kann als Matrixgleichung beschrieben werden. Zur Lösung müssen Gleichungslöser für Systeme eingesetzt werden.

),,2

,1

(1

.

.

),,2

,1

(221

2

),,2

,1

(111

1

tmyyyn

mfhnmy

nmy

tmyyynfhnyny

tmyyynfhnyny

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1. Gekoppelte Federn

Massen m1 und m2

Federkonstanten K1 und K2

Auslenkungen x1 und x2

2. Konkurrierende Systeme (Räuber-Opfer-Systeme)Populationen x1 und x2

Überschuß Geburt-Tod a11 und a22

Nahrungsraten a12 und a21

12222

1221111xxKxm

xxKxKxm

2221212

2121111

xaxax

xaxax

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System gewöhnlicher Differentialgleichungen

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032

2

122

011131

1

1

III

ILIC

IR

VIRILIC

Anwendungsbeispiele für einfache Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen -3

Elektrische Netze

Elektrische Netze mit Widerständen R, Induktionen L, Kapazitäten C und Spannungsquelle V werden mittels der drei Kirchhoff‘schen Gesetze ausgelegt, wo qi die Ladung des

Kondensators i und I der Strom im Schaltkreis sind.

Beispiel: 2 Schaltkreise sind über eine gemeinsame Induktivität L gekoppelt

VCqdt

dqIüberoder

dt

dVCI

Idt

dLV

IRV

.3

.2

.1

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iniTn

iTn

iT

xiT

Tdx

dT

allefür1

212

ert werdendiskretisi

Zeit Punkt-Orts selben am Terme alle dass erfordert, Konsistenz

Ortes des ierung Diskretisnach leichungWärmeleitg Transiente

2

2

Überführung der transienten Wärmeleitgleichung in ein System gew. Dglen

Transiente Wärmeleitgleichung

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Lösung von Differentialgleichungen - prinzipielles Vorgehen

1. Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen und Maschen

2. Beschreibung der Gebiete mit gleichem Lösungsansatz durch Basisgebiete

3. Auswahl des Lösungsansatzes

- punktweise Darstellung

- Entwicklung nach bekannten Funktionen

- stochastisch

4. Diskretisierung der Operatoren

5. Aufstellung der Systemgleichungen

6. Lösung des linearisierten Gleichungssystems

7. Darstellung der Ergebnisse

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Lösung von Differentialgleichungen Das Differenzenverfahren in seiner Grundform

1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Rechtecke

2. Lösungspunkte auf Maschenrand oder Maschenmitte

3. Lösung konstant in Basisgebiet

4. Diskretisierung der Operatoren über Taylorreihen

5. Tri- und pentdiagonale Systeme. Diagonal dominant bis auf hyperbolische Gleichungen

6, Lösen auf Basis Gauß-Seidel möglich

7. Darstellung von Verläufen längs Linien

2121

2

21

x

iiii

xtnnn

t

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Anwendung auf Diskretisierung der Wärmeleitgleichung

Wärmeleitgleichung

Die diskrete Gleichung lautet

d.h. die Zeitableitung gilt für alle Stellen n + im Zeitintervall (n, n+1). Die Diskretisierung ist also nicht mehr eindeutig.

Aufgrund der ersten Ableitung der Zeit gilt ferner, dass die resultierende Matrix im x-t-Raum nicht mehr symmetrisch ist.

Für = 1/2 und uin+1/2 = 0,5 (ui

n+1) erhält man

Für = 0 verschwinden die mit 0 gekennzeichneten Elemente,

Für = 1 verschwinden die mit gekennzeichneten Elemente.

2

2

x

utu

2121

1

x

niu

niu

niu

t

niu

niu

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Anwendung auf Diskretisierung der Wärmeleitgleichung

1 x o

2 o x o

3 o x o

4 o x

x x o

6 x o x o

x o x o

8 x o x

x x o

10 x o x o

x o x o

12 x o x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1,3 2.3 3,3 4,3

9 10 11 12

1,2 2,2 3,2 4,2

5 6 7 8

1,1 2,1 3,1 4,1

K = 1 = 2 3 4

Ort IM = 4

X markiert die Diagonalelemente

Die mit 0 bezeichneten Elemente verschwinden, wenn man = 0 (explizite Verfahren) wählt.

Die mit Δ bezeichneten Elemente verschwinden, wenn man = 1 (implizite Verfahren) wählt.

K

Abbildung 2D auf 1D: k = (j-1)*IM+i

JM = 3

ORT

ZE IT

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Die Wärmeleitgleichung als Beispiel

Am Ortspunkt i gilt

Das ergibt eine gewöhnliche Differentialgleichung für alle diskreten Punkte des Ortsraumes. Wir beschreiben es als ein System von Differentialgleichungen.

Zur Lösung des Problems benötigen wir

Die Länge des Stabes

Die Zahl der Punkte i

Werte für T am linken und rechten Rand

Einen Wert von

Die Dauer der Simulation

Die Zahl der Zeitschritte

Die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt 0.Die Diskretisierung ist konsistent, wenn Orts- und Zeitableitung am gleichen Raum-Zeit-Punkt erfolgen.

21

21

x

iT

iT

iT

dtiT

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Die Wärmeleitgleichung in diskreter Form

Explizites Verfahren

Implizites Verfahren

Zwischenschrittverfahren

Fehlerfortpflanzung beim expliziten Verfahren

Für cond g = verringert sich der Fehler

wegen

folgt, daß beschränkt ist, t und x hängen also voneinander ab.

2/2)1

21

(1 xtTniTniTniTniTni

)11

1211(1 TniTniTniTniTni

)121(1 TniTniTniTniTni

TnTnTngTn )(1

1)(

1

Tng

gTn

)(1 Tng

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Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en

Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Verwndet man dazu Excel, so lässt sich eine allgemeine Struktur für Gewöhnliche Differentialgleichungslöser angeben:

Eingabe Berechnung für Zeitschritt Zeitschrittfortschaltung Ergebnisdarstellung

Alle Elemente haben Sie schon erprobt. In den Übungen können Sie sie neu zusammensetzen

Für Systeme sind kompliziertere ‚Programme nötig

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Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en

Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flußdiagramm gezeigt.

Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration,

Nichtlinearität

Lösung des Gleichungssystems

Berechnung der rechten Seiten

Neue

Matrizen

Nicht linear

ja

nein

nein ja (bei Quellrechnung, Endzeitpunkt,

Endgenauigkeit)

Eingabe und ihre Verarbeitung Geometrie, Materialdaten,

Randbedingungen, Anfangswerte

Ausgabe

Nein linear

Erzeugung des Gleichungssystems

Ende

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Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Was ist eine partielle Differentialgleichung Wie löst man partielle Dglen numerisch, geben Sie die

wichtigsten Arbeitsschritte an Was ist die Differenzenmethode Geben Sie die Struktur der Matrix eines diskretisierten

Laplace Operators an Wie sind Programme zur Lösung partieller Differential-

gleichungen aufgebaut

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Die Wärmeleitgleichung lautet .Für den Versuch sollen die folgenden Bedingungen gelten.

Die Diskretisierung erfolgt nach dem Differenzenverfahren mit • Lösungspunkte auf dem Maschenrand • Konstanten Maschenweiten

• Ansatz für Lösung

• Ansatz für Differentiale

• Konsistenzbedingung

ddt

T ddx

T2

2

T t T x T x TL L R R( ) , ( ) , ( )0 0 T T

x x t t dtdxi n , 2

T x t Tin( , )

ddt

T T Tt

ddx

TT T T

x

n n n

i

i i i

1 2

21 1

2

2

,

ddt

T ddx

Tn n

ii

=

2

2

Lösung explizitLösung implizit

Diskretisierung der Wärmeleitgleichung

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Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem expliziten Verfahren1/2

Beim expliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt . Es gilt also .Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, daß die Temperaturen eines Zeitpunk-tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei-se: . E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B:

Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müßte bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.)

T T T T Tin

in

in

in

in

11 12( )

E T B Tn n 1T T T Ti

nin

in

in

11 11 2 ( )

B

1 0 0 0 0 0 0 01 2 0 0 0 0 0

0 1 2 0 0 0 00 0 1 2 0 0 00 0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 0 0 1

tn 0

T0

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Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das explizite Verfahren konvergiert aber nur für , bei größeren Werten zeigt sich, daß die Lösung instabil ist.

Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt.

Aufgabe:Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10.Untersuchung der Stabilität undder Genauigkeit.

E T B Tn n 1

Der Versuch wird durchKlick gestartet

T B Tn n 1

Tn1 Tn

0 5.

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Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem impliziten Verfahren

Beim impliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt . Es gilt also für die Wegdiskretisierung.Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, daß die Temperaturen eines Zeitpunk-tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei-se: . E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B:

Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müßte bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.)

1

T0

tn1

T T T T Tin

in

in

in

in

1

11 1

112( )

T T T Tin

in

in

in

1

1 11

12( ) ) B T E Tn n 1

B

1 0 0 0 0 0 0 01 2 0 0 0 0 0

0 1 2 0 0 0 00 0 1 2 0 0 00 0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 0 0 1

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Der Versuch wird durchKlick gestartet

2/2Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das implizite Verfahren konvergiert für alle Werte von . Der Rechenaufwand beim impliziten Verfahren ist wegen der damit verbundenen Lösung größer als beim expliziten, dafür bleibt aber das Verfahren für alle Werte stabil.Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt.Aufgabe:Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10.Untersuchung der Stabilität undder Genauigkeit.

Tn1 Tn

B T E Tn n 1

B T Tn n 1

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