Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2002Teil II: Kp. 22/1 Diese

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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2

Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Was ist das Ziel der Vorlesung -

Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge Was ist ein Modell - Abstraktion Wie sind technische Modelle strukturiert - horizontal und vertikal Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer

Modelle -

Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form

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V2: Modellieren auf endlichen Maschinen

Teil II: Rechner als endliche Maschine

Kap. 2: Modellieren auf endlichen Maschinen

Inhalt: Endlichkeit von Rechnern Vom Problem zum Programm Bessere Rechner via bessere Verfahren

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Simulation mit Hilfe von Rechnern

Das Rechnen auf dem Computer ist - im Gegensatz zu Algebra - ein Rechnen mit Zahlen auf einer endlichen Maschine. Die Zahlen werden durch Rechenvorschriften - Algorithmen - generiert. Die Rechenvorschriften sind über Attribute, die konkrete Werte annehmen müssen (z.B. Geometriedaten oder Materialdaten) mit der Wirklichkeit verknüpft; unter Umständen müssen die Attribute selbst über Rechenvorschriften bestimmt werden. Daraus ergeben sich für den Einsatz von Rechnern zur Lösung von technischen Problemen eine Reihe von Konsequenzen und Fehlermöglichkeiten: Probleme müssen so aufbereitet (modelliert) werden, daß sie durch

Zahlen und Operationen auf Zahlen beschreibbar sind, Zahlen und Operationen auf Zahlen sind auf endlichen Maschinen zu

verarbeiten, die Attribute müssen so aufbereitet sein, daß sie die Realität auf das

Rechenmodell abbilden.

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Das sollten Sie heute lernen

Wie lösen wir Probleme auf Rechnern Was sind Datenstrukturen und Abstrakte Datentypen Was sind Algorithmen und Funktionsmodule Warum ist ein Rechner eine endliche Maschine Was ist eine Simulation und warum kann sie durch moderne

Rechner verbessert werden Rolle der Numerik bei Simulationen

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Lösung von Problemen

Methoden zurBeschreibung

DatenstrukturAlgorithmen

Modell

Reduktion

System

AbstrakteDatentyp-Module

Methoden zur Lösung (Beschreibung des Verhaltens)

Simulationsprogramm(Modul)

Reduktion Komplexität

Komplexität

Funktions-Module

Problem

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Datenstruktur -1

Definition Zusammenfassung von Daten verschiedenen Typs zur Beschreibung eines Problems

Datentypen Beschreibt Menge der möglichen Werte,

zulässige Operationen der Variablen eines Typs.

Abstrakter Datentyp Datenstruktur + darauf definierten Operationen

Datenstruktur Realisierung eines Abstrakten Datentyps auf Rechner

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Datenstruktur -2

Implementierung einer Datenstruktur

bestimmt Effizienz der darauf definierten Operationen

Erfahrung Falsch gewählte Datenstrukturen können Lösung eines Problems unmöglich machen.

Schlußfolgerung Es müssen verschiedene Sichten auf Daten eines Problems möglich sein.

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Beispiele für abstrakte Datentypen

GrundtypenInteger, Real, Character, etc.

ADT's aus der DatenverarbeitungTupel - Satz von Grundtypen

Operationen: SQL

Menge - Sammlung gleichartiger Datenobjekte

Operationen: Schnitt und Vereinigung

Abbildung - Relation zwischen ADT's

Operation: Erzeugung von Tupeln

Folge - Geordnete Menge

Operation: Warteschlangen

ADT's aus der NumerikVektor - Folge von Zahlen, Länge N

Operationen: Vektoroperationen

Matrix - zweidimensionale Anordnung einer Menge

Text - Folge von Character

Operationen: abhängig von Semantik

(Beschreibung, Programm, Prozedur,

Eingabe)

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Algorithmen -1

Definition Verfahren zur Lösung von Problemen

Eigenschaften Korrektheit - durch Testen kann man Anwesenheit von Fehlern nachweisen

Effizienz - Speicherbedarf

Rechenzeitbedarf je als Funktion der Problemgröße

Implementierung Abbildung eines Verfahrens auf Grundoperationen

- einer konkreten Programmiersprache

- eines konkreten Rechners

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Algorithmen -2

Grundoperationen Methoden abstrakter Datentypen (Algorithmen können so formuliert werden, daß sie nur auf Datentypen und ihre Methoden zurückgreifen).

Erfahrung Es sind in der Regel konkurrierende Verfahren, konkurrierende Implementierungen, konkurrierende Datentypen

möglich.

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Modul

Faßt man die Operationen zur Lösung einer Aufgabe unter einer Schnittstelle zusammen, so erhält man einen Modul.

Beschreibung Funktion

Interface

Validierung

Typen Funktionsmodul: Eingabe Daten - aus Eingabe folgt eindeutige Ausgabe in Form neuer Daten

Abstrakter Datentyp-Modul

Eingabe Methode - aus Eingabe folgt Zustandsveränderung der Datenstruktur.

Realisierung Unterprogramm

Prozedur

Hierarchische Strukturierung des Kontrollflusses

Hierarchische funktionale Zerlegung durch schrittweise Verfeinerung (HIPO)

Modularisierungskonzepte betreffen sowohl den Entwurf, die Spezifikation als auch die Programmierung.

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ADT - Modul

Zu jeder Datenstruktur gehören Basisoperationen wie

Generieren, Modifizieren, Speichern oder Darstellen

Module, die diese Operationen für einen Datentyp zur Verfügung stellen, heißen

Abstrakte Datentyp-Module.

ADT-Module können als Folge von Operationen unter einer Schnittstelle beschrieben werden. Sie verbergen Details der Implementierung der Datenstruktur.

Beim Aufruf eines ADT-Moduls muß die gewünschte Operation angegeben werden. Das Resultat der Operation ist vom Zustand des Datenobjektes abhängig, ADT-Module haben ein Gedächtnis.

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Funktions - Modul

Das Verhalten eines Systems wird durch Transformationen von Eingangsgrössen in Ausgangsgrössen beschrieben. In der Regel sind dabei der Zustand des Systemes und systemspezifische Parameter (Attribute) zu beachten

Module, die diese Transformationen durchführen, heißen

Funktions - Module.

Funktions-Module können als Folge von Methoden von ADT‘s unter einer Schnittstelle beschrieben werden. Sie verbergen Details der Implementierung einer Methode und des die Methode umsetzenden Algorithmuses.

Beim Aufruf eines Funktions-Moduls müssen die zu tranformierenden Daten und die Systemparameter angegeben werden. Das Resultat der Operation ist nur davon abhängig.

Funktions - Module haben kein Gedächtnis

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Funktions Modul zur Beschreibung des Wärmetransportes in einem Rohr

Prinzip: Input - Prozeß - Output

IN P U T

O U T P U T

Te i n

Te m b

Te x

m

.

m

.Q.

PA R A M E T E R

L , D , , c

h o r iso n ta le o d e r

v e rtik a le R o h re

p

T Y P E 7 0

R o hrle itu ng

T Y P E -IN P U T S :T ein E in tri t ts te m p e ra tu r d e s H e iz w a ss e rm a ss e n flu s se i [G ra d C e ls iu s ]m H e iz w a ss e rm a s se n flu ß [k g /s ]T am b U m g e b u n g s te m p e ra tu r [G ra d C e ls iu s ]

T Y P E -P A R A M E T E R .L R o h rlä n g e l [m ]D R o h rd u rc h m e ss e r [m ] E m is s io n s z a h l fü r d ie ä u ß e re R o h ro b e r flä c h e [ .]c p s p e z if isc h e W ä rm e k a p a z ite t d e s F lu id s [ J /k g K ]

> o d e r = 0 v e rt ik a le s o d e r h o riz o n ta le s R o h r [ .]T Y P E -O U T P U T S :

T ex A u s tri t ts te m p e ra tu r d e s H e iz w a s se rm a ss e n f lu ss e s [G ra d C e ls iu s ]m H e iz w a ss e rm a s se n flu ß [k g /s ]

Q a b g e g e b e n e W ä rm e s tro m [W ]

Durchführung:

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Integration von Funktions Modulen in System

Schritt 1: Verbinden der Schnittstellen (Semantik)

Regelung

Wärme-Erzeuger

Wärme-Verteiler

Wärme-ÜbergabeRaum 2

Wärme-ÜbergabeRaum 1

Nutzer 1

Nutzer 2

Nutzer 3Wärme-

ÜbergabeRaum 3

T,M T

Schritt 2: Steuerung des Ablaufes

Schritt 3: Verfeinerung einzelner Teilaufgaben

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Beispiel Auswertungsmodellierung Verbindung von ADT- und Funktions- Modulen

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endlich viele Stellen - Rundungsfehler endlich viele Werte - Diskretisierungsfehler endlich viele Schritte - Abbruchfehler endlich viele Rechnerkomponenten - Rechenergebnisse von Anlage

abhängig Problem gut konditioniert - Rundungsfehler spielen keine Rolle Problem konsistent - alle Diskretisierungsfehler gleiche

Ordnung Problem konvergent - alle Abbruchfehler gleiche Ordnung

Ziel: Verfahren und Implementierungen so gestalten, dass Qualität der Lösung aus Qualität des Modelles und seiner Daten (Simulation) bestimmt werden.

Rechnen auf endlichen Maschinen

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Moderne Rechner erlauben• feinere Diskretisierung

• Verbesserung der Konvergenz

• realitätsnähere Modellierung

Detaillierte Modellierung erfordert• Detaillierung der Beschreibung

• Integration neuer Effekte

• verläßlichere Materialdaten

• zuverlässigere Experimente

• exaktere Randbedingungen

• Integration von Erfahrungen aus Nachbardisziplinen

Das alles führt über Computer Aided Engineering (CAE) und Computational Engineering (CE) zu virtueller Realität (VR).

Simulation mit modernen Rechnern

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Moderne numerische Verfahren erlauben• weniger Einfluss der Rundungsfehler

• gröbere Diskretisierung bei geringeren Diskretisierungsfehlern

• Verbesserung der Konvergenz

• realitätsnähere Modellierung durch heterogene Modelle

• stabile und fehlertolerante Algorithmen

Moderne numerische Verfahren müssen von modernen Software- Engineering-Konzepten begleitet werden• Datenmodelle zur Beschreibung von Produkten

• Workflows zur Beschreibung von Abläufen

• Komponenten zur Erbringung von Berechnungsdiensten

• Kommunikation und Kooperation zur Unterstützung der Zusammenarbeit

Das alles führt zu verteilten Systemen.

Simulation mit modernen Verfahren

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designdevelop

constr.docs constructionschem

bids

commissioning

occupancy

Virtual Building Environment of LBNLVirtual Building Environment of LBNL

A.lnk E+ .lnk Radiance.lnk

COMIS

…

…spaceneeds

energyefficiency

airquality

greenbuilding

discussion

presentations

charrettes

workshops

simulated datareal data

design

real building

instrumentation

measurements

performance metrics

benchmarks

diagnostics

DOE-2 4-DArt-lantis.lnk

Art-lantis-.lnkPVSYST

-.lnk

virtual building

time

Smc.lnk

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Effektivitätssteigerung durch numerischer Verfahren

Beschleunigung

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1,0E+04

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Gauß-Elimination

Gauß-Seidel

SOR

PCG

Mehrgitter

Adaptivität

Entwicklungen im Bereich der Verfahren zur effektiveren Lösung von Gleichungssystemen

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Effektivitätssteigerung durch verbesserte Rechner

Beschleunigung

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CDC 7600

Cray X-MP

IBM SP-2

Parallelrechner

Vektorsupercomputer

Beschleunigung der Lösung von Gleichungssystemen durch schnellere Rechner

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Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Was ist eine Datenstruktur Was ist ein Abstrakter Datentyp Was ist ein Algorithmus und was sind seine Eigenschaften Was ist ein Modul Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern Was bedeuten Konvergenz, Konsistenz und Kondition Wie können wir die Effektivität einer Simulation steigern Was sind die Konsequenzen verbesserter Modellierung

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