Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architekturfgt.ieb.kit.edu/downloads/Statik_und_Festigkeitslehre_12_Vorlesung_WS_1011.pdf · KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg

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Biegung offener ProfileVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur

Fachgebiet Bautechnologie

Tragkonstruktionen

2 20.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und Festigkeitslehre Biegung offener Profile

TrägheitsmomentSpannungsnachweise


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmoment

d

min σ−

max σ+

xy

Querschnitt

b

de

σ(e)

(e) max e(e) maxe d/ 2 d/ 2

++σ σ

= ⇒ σ = σ ⋅

2 3y

M e M e M M(e) e eW d/ 2 b d / 6 d/ 2 b d /12 I

σ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅

Spannung an der Stelle e

Trägheitsmoment [cm4]

z

3

yb dI12⋅

=


Tragkonstruktionen



d

∆L(1-ε)

∆L(1+ε)

x y

z

Querschnitt

b

d∆L

Allgemein

min σ−

max σ+

z

y

M(z) zI

σ = ± ⋅y

Mfür z 0 (z) 0 0I

= ⇒ σ = ± ⋅ =

3 21 1y 12 6

d M d M d Mz (z)2 I 2 b d 2 b d

= ⇒ σ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

yy

IW (z)

z=

TrägheitsmomentWiders tandsmomentAbs tand von Mittelachse

=


Tragkonstruktionen



y

zz1

z2 zS S1

S2

A1

A2

zs

ys

n

i ii 1

S n

ii 1

A zz

A

=

=

⋅=∑

∑3 4

y,1 1 11I b d [cm ]

12= ⋅ ⋅

3 4y,2 2 2

1I b d [cm ]12

= ⋅ ⋅

2 2y,ges y,1 y,2 1 1 S 2 2 SI I I A (z z ) A (z z )= + + ⋅ − + ⋅ −

2 2z,ges z,1 z,2 1 1 S 2 2 SI I I A (y y ) A (y y )= + + ⋅ − + ⋅ −

Zusammengesetzter Querschnitt


Tragkonstruktionen



y

zz1

z2 zS S1

S2

A1

A2

zs

ys3 4

z,1 1 11I d b [cm ]

12= ⋅ ⋅

3 4z,2 2 2

1I d b [cm ]12

= ⋅ ⋅

= + + ⋅ + ⋅ = + = ⋅ ⋅ + ⋅2 2 3 3z,ges z,1 z,2 1 2 z,1 z,2 1 1 2 2

1I I I A (0) A (0) I I (d b d b )12

1 S 2y y y= =

Zusammengesetzter Querschnitt


Tragkonstruktionen



y,gesy,oben

S

IW

(d z )=

−

y,gesy,unten

S

IW

z=

y

zd =

d 1+

d 2

zS S1

S2

A1

A2

zs

ys

z,gesz,links z,rechts

IW W

b / 2= =

b = b2

Widerstandsmomente


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreTrägheitsmomente

n n2

y,ges y,i i i Si 1 i 1

I I A (z z )= =

= + ⋅ −∑ ∑n n

2z,ges z,i i i S

i 1 i 1I I A (y y )

= =

= + ⋅ −∑ ∑

z S=

e u

dges

bmax

z

y

A1

A2

A3

S1

S2

S3

Trägheitsmomente

Widerstandmomente

y,ges y,gesy,oben

ges S o

I IW

(d z ) e= =

−

y,ges y,gesy,unten

S u

I IW

z e= =

e o

ey ey

Sgesys

zs


Tragkonstruktionen



Genormte Stahlprofile

IPE HEA HEB HEM U

L L Quadratrohr Rechteckrohr Rundrohr ungleich- gleichschenkligschenklig


Tragkonstruktionen




Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit

BH = 0

A8 m 2,5 m

BV

Charakteristische Einwirkungen

Eigenlast g = 5,0 kN/m²

(Deckenaufbau)

Nutzlast p = 2,0 kN/m²

Abstand der Träger a = 4,0 m

Bemessungswert der Einwirkungen

qd = (1,35·5,0 kN/m² + 1,5 · 2,0 kN/m²)·4,0 m = 39 kN/m2

V,d39 kN/m (8 m + 2,5 m)B 268,73 kN

8 m 2= ⋅ =Auflagerkräfte

Ad = 39 kN/m · (8 m + 2,5 m) – 192,94 kN

= 140,77 kN


Tragkonstruktionen



Querkraftverlauf140,77 kN

97,5 kN

x

B,reQ 39 kN/m 2,5 m = 97,5 kN

= ⋅

B,liQ 97,5 kN - 268,84 kN = -171,23 kN

=

2

St(2,5 m)minM 39 kN/m

2 121,88 kNm

= − ⋅

= −

2 2

maxA (140,77 kN)M 254,05 kNm2 q 2 39 kN/m

= = =⋅ ⋅

A 140,77 kNx 3,61 mq 39 kN/m

= = =

Momentenverlauf

-171,23 kN

-121,88 kNm

254,05 kNm


Tragkonstruktionen



,, ,

,

1E dE d R d

R d

σσ σ

σ≤ ⇒ ≤

E,d 3 3

254,05 kNm 25405 kNcm1380 cm 1380 cm

σ = =

2 2E,d 18,41 kN/cm 184,1 N/mmσ = =

Biegespannungsnachweis Feldmoment

dE,d

y

max MW

σ =

aus Tabelle HEB 280, Wy = 1 380 cm³

Bemessungswert der Bauteilfestigkeit

σR,d = fy,k/γM = 240 N/mm² / 1,1= 218,2 N/mm2

Nachweis der Tragfähigkeit

Bemessungswerte der Bauteilwiderstände Stahl S 325

Charakteristische Festigkeitfy,k = 240 N/mm²

184,1 0,84 1218,2

= ≤


Tragkonstruktionen



,, ,

,

1E dE d R d

R d

σσ σ

σ≤ ⇒ ≤

E,d 3 3

121,88 kNm 12188 kNcm1380 cm 1380 cm

σ = =

2 2E,d 8,83 kN/cm 88,3 N/mmσ = =

Biegespannungsnachweis Stützmoment

St,dE,d

y

min MW

σ =

aus Tabelle HEB 280, Wy = 1 380 cm³

Bemessungswert der Bauteilfestigkeit

σR,d = fy,k/γM = 240 N/mm² / 1,1= 218,2 N/mm2


Bemessungswerte der Bauteilwiderstände Stahl S 325

Charakteristische Festigkeitfy,k = 240 N/mm²

88,3 0,40 1218,2

= ≤


Tragkonstruktionen



E,d 3

25405 kNcm 16,94 kN/ cm²1500 cm

σ = =

Alternative Querschnitte


169,4 0,78 1218,2

= ≤

IPE 450 Wy = 1 500 cm³

IPE 320 Wy = 1 480 cm³

E,d 3

25405 kNcm 17,17 kN/ cm²1480 cm

σ = =


171,7 0,79 1218,2

= ≤


Tragkonstruktionen



IPE 450 Wy = 1 500 cm³b/H = 190/450 mmg = 0,663 kN/m

HEA 320 Wy = 1 480 cm³b/H = 300/310 mmg = 0,976 kN/m

HEB 280 Wy = 1 380 cm³b/H = 280/280 mmg = 1,03 kN/m

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