Wachstum und Entwicklung - uni-muenster.de · 2008. 6. 15. · Modell von Arrow/Romer Fazit 1.) Technischer Fortschritt in Form von Wissensakkumulation an die Investition (rival)

Dipl.-Math. Eric Meyer1

Wachstum und EntwicklungNeue Wachstumstheorie –Theorie endogenen Wachstums

Dipl.-Math. Eric MeyerInstitut für Genossenschaftswesenim Centrum für Angewandte WirtschaftsforschungUniversität Münster


Modell von Arrow/Romer

Grundideen des Modells von Arrow (1962) und Romer (1986):

Der nicht-rivale technische Fortschritt wird in der Akkumulation an einenrivalen Faktor (das Kapital) gebunden.→ Learning by doing→ Proxy für den Wissensbestand ist damit der Kapitalbestand

Wissensbestand ergibt sich aus dem Wissen aller Unternehmen undist für das einzelne Unternehmen exogen.


Modell von Arrow/RomerDas Modell

WKi

andereGüter

ProduktionK = ∑Ki

Firmen

Learning-by-doing

Y F K L Ki i i= ( , , )

Li

Ki⋅

Investition

Wissen


Modell von Arrow/RomerModellgleichungen

(1) dte1CU

0

t1

∫∞

δ−η−

η−= Intertemporale Nutzenfunktion

der Haushalte

(2) ai

a1iiii )KL(KA)KL,K(FY −⋅== Produktionsfunktion des

Unternehmens i (i=1,...,N) (3) CYK −=& Akkumulationsgleichung

Weiterhin: ∑=

=N

1iiYY , ∑

==

N

1iiKK und L=const.


Modell von Arrow/RomerProduktionsfunktion

ai

a1iiii )KL(KA)KL,K(FY −⋅==

Die Produktionsfunktion eines einzelnen Unternehmens

Kapitaleinsatz Wissensbestand(Kapital als Proxy)

Arbeitseinsatz

Li gibt den (physischen) Arbeitseinsatz an

KLi gibt den Arbeitseinsatz in Effizienzeinheiten an. Wissen macht dieEingesetzte Arbeit produktiver.


Modell von Arrow/RomerProduktionsfunktion

Alle Unternehmen sind mit identischen Zins- und Lohnsätzen konfrontiert. ⇒ Identischer Kapital- und Arbeitseinsatz Also gilt:

KK N1

i = und LL N1

i = für i=1,...N

Für die Produktionsmengen aN1aa1

N1

i KLA)KL(KAY ⋅=⋅= − für i=1,...N

Für das Sozialprodukt also: aKLAY ⋅= . → Analogie zur AK-Produktionsfunktion.


Modell von Arrow/RomerOptimierungsaufgabe

Zu lösen ist also das folgende Optimierungsproblem

CKLACYK:.t.s

dte1CUmax

a0

t1

C

−⋅=−=

η−= ∫

∞δ−

η−

&

Über den Ansatz der Hamilton-Funktion erhält man dasselbe Ergebnis wie zuvor:

ηδ−

= KFC


Modell von Arrow/RomerPrivates/Soziales Grenzprodukt

Entscheidend: In der Ramsey-Regel ist zwischen dem privaten und dem sozialen Grenzprodukt zu unterscheiden! Privates Grenzprodukt: Für das einzelne Unternehmen ist der Wissensbestand K exogen. Also gilt:

ai

ai

privK )KL(K)a1(AF

i

−⋅−⋅=

Da K = N ⋅ Ki ist, folgt nun:

a

ai

aii

ai

privK

L)a1(A

)NL()a1(A

)LKN(K)a1(AFi

⋅−⋅=

⋅−⋅=

⋅⋅⋅−⋅= −



Soziales Grenzprodukt: Für den gesamtwirtschaftlichen (sozialen) Planer hingegen ist das Wissen K endogen, er beachtet es also bei der Ableitung. Also gilt:

asozK LAF

i⋅=

Ergebnis: In beiden Fällen liegen konstante Grenzprodukte (bei L=const.) vor mit:

aa

sozK

privK

LALA)a1(

FFii

⋅<⋅⋅−

<



Marktlösung realisiert suboptimalen (privaten) Pfad mit einem niedrigeren Kapitalgrenzprodukt (Zins). Gesamtwirtschaftliches Optimum hat höheren Zins ⇒ Anreiz für mehr Investitionen und Konsumverzicht ⇒ Aber höheres Konsumwachstum möglich ⇒ Subvention nötig um den sozialen Optimalpfad zu erreichen (Externer Effekt)


Modell von Arrow/RomerSteady-State-Wachstum

Da das Modell die Eigenschaften des AK-Modells hat gilt für den Steady-State-Pfad:

YKC ==

Also erhält man als Konsumpfad:

t

0 eC)t(C⋅

ηδ−ϑ

⋅= mit aLA: ⋅=ϑ bzw. aL)a1(A: ⋅−⋅=ϑ als dem sozialen bzw. privatenGrenzprodukt.


Modell von Arrow/RomerFazit

1.) Technischer Fortschritt in Form von Wissensakkumulation an die Investition (rival) gebunden. 2.) Es ergibt sich eine Charakteristik des AK-Modells ⇒ Keine verschwindende Grenzprodukte. 3.) Durch Externalität unterscheiden sich der private und soziale Pfad für die Kapitalakkumulation und den Konsum. 4.) Soziale Pfad des Konsum hat höhere Wachstumsrate als der private Pfad (slange das Grenzprodukt größer als die Zeitpräferenzrate ist.


Modell von Uzawa/Lucas

Grundideen des Modells von Uzawa (1961) und Lucas (1988):

Technischer Fortschritt wird über die Akkumulation von Humankapitalmodelliert→ Learning by schooling

Eigenes Investitionskalkül der Individuen

Modellierung der Humankapitalakkumulation als Entscheidung zwischenZeit in der Produktion und Zeit in der „Schule“

Zusätzlich: Externer Effekt der Humankapitalakkumulation


Modell von Uzawa/LucasDas Modell

K

CProduktion YY = F(K, uH)

Hsoz(1 u) H− ⋅

u H⋅

H H (1 u)⋅= ⋅ ⋅ −ρ

Investition K⋅

Learning byschooling

Produktiver Ei n-satz von Arbeit


Modell von Uzawa/LucasModellgleichungen

(1) dte1CU

0

t1

∫∞

δ−η−

η−=

Intertemporale Nutzenfunktion der Haushalte

(2) γ−= H)uH(AKY aa1 Produktionsfunktion

(3) CH)uH(AKK aa1 −= γ−& Akkumulationsgleichung des Kapitals

(4) )u1(HH −⋅⋅ρ=& Akkumulationsgleichung des Humankapitals

Weiterhin: L=1, A=const., 1u0 ≤≤


Modell von Uzawa/LucasProduktionsfunktion

γ−= H)uH(AKY aa1

Kapitaleinsatz ProduktiverHumankapitaleinsatz

(Zeitanteil mal Bestand)

Externer Effekt desHumankapitals

Einzelwirtschaftlich wird der Effekt des Humankapitals Hγ als gegebenbetrachtet, gesamtwirtschaftlich ist er hingegen endogen.

⇒ Einzelwirtschaftlich linear-homogene Produktionsfunktion, Gesamtwirtschaft Homogenitätsgrad > 1


Modell von Uzawa/LucasHumankapitalproduktionMotor des Wachstums ist die Humankapitalproduktionsfunktion:

)u1(HH −⋅⋅ρ=&

Neu produziertesHumankapital

Produktivität derHumankapital-

produktion

Humankapital-bestand

Aufgewandte Zeitin der Humankapital-

produktion

Diese „Produktionsfunktion ist homogene vom Grad 2 (mit den Produktionsfaktoren Zeit und Humankapitalbestand)

Humankapitalproduktionsfunktion ist der Motor des Wachstums.


Modell von Uzawa/LucasHumankapitalproduktion

Angenommen es wäre )u1(HH −⋅⋅ρ= θ& Dann folgt: )u1(HH 1 −⋅⋅ρ= −θ Wäre dann θ < 1 dann würde gelten 0Hlim)u1(Hlim 1

HH=⋅−ρ= −θ

∞→∞→

Nur für θ = 1 kann (für ein im Steady-State konstantes u) eine positive Wachstumsrate erreicht werden.


Modell von Uzawa/LucasOptimierungsaufgabe

Die Optimierungsaufgabe lautet:

CH)uH(AKK

)u1(HH:.t.s

dte1CUmax

aa1

0

t1

u,C

−=

−⋅⋅ρ=

η−=

γ−

∞δ−

η−

∫

&

&

Beachte: Es gibt nun ZWEI Kontrollvariablen und ZWEI Bestandsgrößen! Hamiltonfunktion:

))u1(H()CH)uH(AK(1C aa1

1−⋅⋅ρµ+−λ+

η−= γ−

η−

H


Modell von Uzawa/LucasNotwendige Bedingungen

Als notwendige Bedingungen ergeben sich:

λ=⇒

=λ−=∂∂

η−

η−

C

0CC

!H

uu

a1aa1

!a1aa1

HFHHHuaAK

0HHHuaAKu

&⋅µ=⋅λ⇒

µρ=⋅λ⇒

=µρ−⋅λ=∂∂

γ−−

γ−−H

Wert einer Zeiteinheit in der Produktion = Wert einer Zeiteinheit in der Schule


Modell von Uzawa/LucasNotwendige Bedingungen

Nach viel Rechnerei erhält man: (1) KC =

(2) Ha

aK γ+=

(3) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛γ+

δ−ρ

η=

aa1Hsoz bzw. ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−γ+δ

−−γ+

ρη

=η

γη

γ )a(a

)a(a1Hpriv

(4) ρ−= /H1*u


Modell von Uzawa/LucasErgebnisse

1. Für γ > 0 wächst der Kapitalstock schneller als der Humankapitalbestand (Wirkung des externen Effektes).

Damit wächst auch der Konsum stärker als der Humankapitalbestand.

2. Je höher die Steady-State-Wachstumsrate und je niedriger dieProduktivität im Bildungssektor, desto größer ist derArbeitseinsatz in der Produktion.

3. Würde die Wachstumsrate des Humankapitals gegen Null sinken,wäre kein dauerhaftes Wachstum möglich (siehe oben).


Modell von Uzawa/LucasErgebnisse

4. Es sei nun angenommen, dass γ = 0 ist.Dann gilt:

Der soziale und der private Pfad stimmen also überein.

Positives Wachstum nur für δ < ρ.

Negatives Wachstum bei:- geringer Produktivität im Bildungssektor- hoher Zeitpräferenzrate⇒ Problem in Entwicklungsländern

ηδ−ρ== /)(HH privsoz


Modell von Romer (1990)

Grundideen des Modells von Romer (1990):

Aufteilung der Wirtschfaft in Endproduktesektor, Zwischenproduktesektorund FuE-Sektor

Kapitalstock setzt sich aus „kleinen“ Kapitalstöcken zusammen

Monopolrenten im FuE-Sektor als Anreiz für Forschung


Modell von Romer (1990)Das Modell

Blaupausen

HA

CYIx1

xn

Wissen

F&E

HY

K1

Kn

X

K

ZP1

ZPn

A

FuE-Sektor Zwischenprodukte-sektor

Endprodukte-sektor


Modell von Romer (1990)Die Modellgleichungen

(1) dte1CU

0

t1

∫∞

δ−η−

η−=

Intertemporale Nutzenfunktion der Haushalte

(2) ∑=

−=A

1i

a1i

a x)Hu(Y Produktionsfunktion

(3) ii Kv1x = Produktionsfunktion des

Zwischenproduktesektors

(4) ∑=

=A

1iixvK

Kapitalbestand

(5) AH)u1(A ⋅−⋅ρ=& „Produktionsfunktion“ des Wissens Weiterhin: .constL = , Gesamthumankapitalbestand 0H > und

.constH = , 1u0 ≤≤


Modell von Romer (1990)Produktionsfunktionen

∑=

−=A

1i

a1i

a x)Hu(Y

Produktionsfunktion Endproduktesektor:

Humankapitaleinsatz(Zeitanteil mal Humankapitalbestand)

Kapitaleinsatz, besteht aus A„kleinen“ Kapitalgütern

Produktionsfunktion Zwischenproduktesektor:

ii Kv1x =

Produktion erfolgt mir Kapitalgut Ki und einer zugehörigen Blaupause zur Fertigung des Gutes aus dem FuE-Sektor.v ist der Kapitalkoeffizient


Modell von Romer (1990)ProduktionsfunktionenProduktionsfunktion FuE-Sektor:

AH)u1(A ⋅−⋅ρ=&

Produktion neuen Wissens

Produktivität des FuE-Sektor

Anteil desHumankapitalsim FuE-Sektor

Wissensbestand(„Bestand anBlaupausen“)

Wieder liegt eine Produktionsfunktion mit einer Homogenität von 2 vor.


Modell von Romer (1990)Modelltreiber

1.) Der Kapitalstock X des Endproduktesektors wird in viele „kleine“ Kapitalgüter ix aufgeteilt. Zahl der Güter wird gesteigert, nicht der Kapitaleinsatz selbst. Wachstum nicht über die Einsatzmenge dieser Kapitalgüter sondern über deren Anzahl erfolgt ⇒ Keine abnehmenden Grenzprodukte 2.) Produktionsfunktion des Wissens A hat konstante Grenzprodukte und einen Homogenitätsgrad von 2.


Modell von Romer (1990)Lösungsstruktur

FuE-Sektor Zwischenproduktesektor Endproduktesektor Produktionsfunktion:

AH)u1(A ⋅−⋅ρ=& Produktionsfunktion:

iv1

i Kx = Produktionsfunktion:

∑=

α−α=A

1i

1ix)Hu(Y

Unternehmen maximiert H)u1(wAp

AHA −⋅−& Unternehmen maximiert:

Aiii prvxx)x(p −− Unternehmen maximiert:

ixHY xp)Hu(wYpiY⋅−−⋅

bestimmt Monopolmenge ix ← bestimmt Nachfrage-

und Monopolpreis ZPp funktion )x(p i

Monopolmarkt für jedes ix

absorbiert den Monopol- ← bestimmt Monopolgewinn ZPπ gewinn des ZP-Sektors

Monopolmarkt für jede Blaupause


Modell von Romer (1990)Lösung: EndprodukteDer Endproduktesektor ist mit einem festen Marktpreis 1pY = (Numeraire) konfrontiert. Kosten: 1.) Für Humankapital Hu:HY = 2.) Für spezifische Kapitalgüter ix . Maximierungskalkül:

iH

A

1i

a1i

aYY xpHuw)x)Hu((pmax

Y⋅−−⋅=π ∑

=

−

Differentiation nach den eingesetzten Faktoren ix und Hu liefert die inverse Nachfragefunktion des Endproduktesektors nach dem ix und den Lohnsatz für das Humankapital im Endproduktesektor

YHw :

ai

ai x)Hu()a1()x(p −⋅−=

∑=

−−⋅=A

1i

a1i

1aH x)Hu(aw

Y


Modell von Romer (1990)Lösung: ZwischenprodukteJeder Produzent eines Zwischenproduktes xi ist hierfür Monopolist. Sein Erlös ist folglich ii x)x(p ⋅ . Kosten: Für das eingesetzte Kapital iK (Zinssatz r(t)) Produktionstechnologie: iv

1i Kx ⋅= mit v als Kapitalkoeffizienten.

Das Maximierungsproblem eines Unternehmens lautet folglich: i

a1i

aiiiiZPx

vx)t(rx)Hu()a1(K)t(rx)x(p)x(maxi

−⋅−=−=π −

Daraus ergibt sich der Monopolpreis:

a1v)t(rpZP −

=

und der Monopolgewinn: a1a

ZPZP x)Hu)(a1(axap −−==π


Modell von Romer (1990)Lösung: ZwischenprodukteZur Produktion des Kapitalgutes ix benötigt das Unternehmen ferner einmalig einen Plan bzw. eine Blaupause, die es vom FuE-Sektor für einen fixen Preis

Ap erwirbt.

Der Preis Ap für eine Blaupause ist der mit dem Zinssatz abdiskontierte Monopolgewinn, der mit der Herstellung des mit dieser Blaupause verbundenen Zwischenproduktes ix von dem Unternehmen des Zwischenproduktesektors erzielt werden kann.

a1aZPA x)Hu)(a1(

)t(ra)t(

)t(r1p −−=π=

Der FuE-Sektor schöpft den Monopolgewinn des Zwischenproduktesektors ab.


Modell von Romer (1990)Lösung: FuE-SektorDie Erlöse des FuE-Sektors ergeben sich aus dem Preis Ap multipliziert mit der Menge der neu erfundenen Blaupausen A& . Kosten: Lohnkosten für den Anteil (1-u) des Humankapitalbestandes, den er einsetzt. Das bisher entwickelte Wissen A steht kostenlos zur Produktion weiteren Wissens zur Verfügung (positiver externer Effekt) Sein Gewinn ist somit: H)u1(wAH)u1(pH)u1(wAp

AA HAHAFuE −−⋅−⋅ρ=−⋅−=π & Die Maximierung nach dem Humankapitaleinsatz H)u1(HA −= ergibt den Lohnsatz für das Humankapital im FuE-Sektor: Apw AHA

ρ=


Modell von Romer (1990)Lösung: HaushalteDie Haushalte maximieren ihre intertemporale Nutzenfunktion:

dte1CU

0

t1

∫∞

δ−η−

η−=

Der Zinssatz r wird von ihnen als exogen gegeben betrachtet. Wie im Ramsey-Modell (Marktlösung) ergibt sich dann:

η

δ−=

)t(rC


Modell von Romer (1990)Steady-State-LösungIm Steady-State muss die Entlohnung des Humankapitals im Endproduktesektor und im FuE-Sektor gleich sein.

Apx)Hu(a

ww

A

A

1i

a1i

1a

HH AY

ρ=⋅

=

∑=

−−

Einsetzen von pA ergibt:

)a1(rHu−⋅ρ

=

Mit der Bewegungsgleichung des Wissens H)u1(A ⋅−⋅ρ= ergibt sich

)a1(

rHA−

−ρ=


Modell von Romer (1990)Steady-State-Lösung

Mit dem Zinssatz aus der Ramsey-Regel δ+η= Cr

Damit ergibt sich insgesamt:

)a1(H)a1(CKAY−+η

δ−ρ⋅−====


Modell von Romer (1990)Ergebnisse

1.) Endogenes Wachstum ist möglich, solange die Produktivität des FuE-Sektors hinreichend groß ist, d.h. wenn δ>ρ⋅− H)a1( 2.) Technologieparameter des Zwischenproduktesektors spielen keine Rolle. 3.) Gleichgewichtige Wachstumsrate ist negativ mit dem Zinssatz korreliert. 4.) Monopolgewinn für FuE-Sektor ist notwendig für Wachstum. (Anderfalls wäre der Gewinn im ZP-Sektor Null und damit auch der Preis pA, folglich wäre auch der Lohnsatz im FuE-Bereich Null, so dass dort kein Humankapitaleingesetzt würde ⇒ 0A =& )


Modell von Aghion/Howitt (1992)

Grundideen des Modells von Aghion/Howitt (1990):

Statt des Aufbaus „vieler kleiner Kapitalstöcke“, wird ein Kapitalstock (odereine fest vorgegebene Zahl N von Kapitalstöcken) in der Qualität gesteigert.→ Statt Produktvielfalt, wird Produktqualität zum Wachstumstreiber!

Grundlage für die Modelle „Schumpeterianischen Wachstums“

Sehr detaillierte Modellierung der Innovationsanreize


Modell von Aghion/Howitt (1992)Modellskizze

∑=

−=N

1j

a1j

a XLY

Produktionsfunktion Endproduktesektor:

Arbeits- bzw.Humankapitaleinsatz

Kapitaleinsatz, besteht aus kleinen„qualitätsgewichteten“ Kapitalgütern

∑=

⋅=jm

1iij

ij xqx

Qualitätsindikator Einsatzmenge



q

q1

q2

q3

q4

Qualität

Sektor



q

q1

q2

q3

q4

Qualität

Zeit



∑=

⋅=jm

1iij

ij xqx

Die Produkte xij werden in einem Zwischenproduktesektor hergestellt. Die Produzenten des Top-Levels mj sind Monopolisten und können entsprechend Monopolpreise verlangen.

Denkbar wäre es, dass die Produzenten der Vorprodukte niedrigerer Qualität mit qualitätsadjustierten Preisen auch noch im Markt wären,dieses verhindern die Monopolisten durch „limit pricing“→Nur die höchste Qualität wird eingesetzt.

Also: Wachstumstreiber ist die Erhöhung der Qualität, also die Erhöhungvon mj.



Innovation bewirkt: 1mm jj qq +→

Innovationen finden mit der Wahrscheinlichkeit P statt (Poisson-Prozess)

Innovationsanreiz ergibt sich aus:

Monopolgewinn x Dauer des Monopols

Dauer des Monopols wird durch neue Innovationen begrenzt, d.h. bestimmt durch den Poisson-Prozess treten neue Innovationen auf.



Der Poisson-Prozess der neuen Innovationen wird beeinflusst durch:

1.) den Forschungsaufwand2.) den aktuellen Stand der Qualität (Je höher die der Stand der Qualität,

desto schwieriger sind Neuentwicklungen.)

Abzuwägen ist nun:

Forschungsaufwand vs. erwarteten Ertrag der Innovation

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Wachstum und Entwicklung - uni-muenster.de · 2008. 6. 15. · Modell von Arrow/Romer Fazit 1.) Technischer Fortschritt in Form von Wissensakkumulation an die Investition (rival)