Weehselseitig aflinparallele Karven mad Fliiehen.

Von

Wilhelm Siil~ in Kagoshima (Japan).

1. In airier ia den Math, Anna2ea ersekienenen &rbeit fiber a/fine Ge0metrie 1) habe ieh u. a. den Satz bewiesen, dal~ die Ellipsoide die ein- zigen ,Eiflgchen koastant~r Mfinbreite" sind. Hierbei verst~he ieh tinter der Mfinbreir eine~ Eifl~ehe E in airier gewlssen Riehtung die Affinent- farming ~) (B. S. 110) eines Yunktes (5) yon E yon demjenigen Fl~ehen. punkt (~*), dessert Tangentenebene zu derjenigen in (~) paralld ist:

Die Fordertmg der Konstanz der Mfinbreite erweist sieh also verh~dtnis- m/il]ig als vial anger als diejenige der Konstanz der (gewShnliehen)Breite einer Eifl~he in der ~quiformen Geometrie. Dieselbe Bemerkung t r i ~ bei dam affingeometTisehen Gege~stiiek einer anderen Begriffsbildtmg der /iqttiformen Geometrie za: bei den ,u, echsdseitig a//inparallelen-~ichen". Ieh beweise n~imlieh bier (w 2) den folgenden Sate, weleher iiberclies den obea genam~ten a]s Sondeffall en~h~ilt:

Sind zwel Ei[ldcherb wechselseitig z,ueir~ander a]]ireparallel, so Mnd Sie einander gihnliehe and zueinauder dhntieh getegene Ellipsoide,

~lerbei nenne ich z. ]3. eine F~che F zu einer zweiten F* affm. Parallel, wenn sieh dit~ Punld~e yon ~ denjenigen yon F* derartig einein- dsutig dutch Parallelismus der Tangentenebenen zuordmen lassen, daft die

x) Uber a~fine Geometxie XL: EiflRohen konstanter ~dfmbreite. ~ Ann~lea {19%), S. 251 ft. Siehe nueh die MiWeilung in den ~ g s of the Imperial

Academy 2, Totals 1926, S. 1031t.: ,Cha~kteri~tische Eige~haften des F_~llipsold~ ~, 8~t~ 5 mid 6.

~) In den Bezeiehnmagen sehIiefien wit uns m6glicbst tier ,~-0~amenfaasende~a /~a~elluag yon W. Blasekke and K. l~idemeisr~r aal: W. Bla~hke, Vorle~mag'~ fiber I~eXentlalgeometrio o Berlin 192~. Wit ~itieren diese~ Bach mR K, i~be~oa4ta'o di~ FOrmela des dortigen w 63 mit B. (...).

31~ W. Slitk

Affinen~fernmlgen Mler Punk't~ yon -~ yon den ihnen en~spreehenden suf F* einen und denselben lessen Wer~ besitzen. Andere affingeometrisehe Ubertragungen des ~quiformen Fl~chenparalletismlls sGmmen mit der genannten irrhaltlieh iiberein, wie am Ende (w 3) gezelg~ wird.

Die Frage, auf welehe Fl~chen man gefiihrt wird, wean man die obige Beschr~nkung auf Ei/ldchen fallen l~Bt~ fiihrt auf ,a]f~ne Weingarten. ]ldvhen" ; es ergibt sich zwisehen ihren als endlich vorausgesetzten affinen Haaptkriimmungsradion eine einfacho bilineare Gleichung mi* konstanten Koeffizienten (Nr. 6). Es zeigt sich also aueh bier die bescl~,~nkende Wirkung der Forderung des wechselseitigen Affmparallelismus.

In w 1 sehicken wit eine Untersuohung wechselwei,e affinparallehr ebener Kurven voraus, wel~o auf Kegelschnitte fii~en wird. Raumkurven werden bier nicht behandelt; ihr Parallelismus unterscheidet sieh yon demjenigen ebener Kurven oder von gl~hen derart, dal~ eine nicht ~riviale Ubertragang in die Mfingeometria auf Grund des Begriffes tier Affinent- fernung nicht nahe liegt a).

w

Ebene Kurven.

~. Wie in tier F1/ichentheorie sei $ der Normaleneinheitsvektor. Wit bezeichnen die (gewShnlieJae)/iquiforme Krfimmung mit x, die affine mit und mi t r den Mfinbogen. Dann benu~zen wit auch in der ebenen Geo-

metric einen Vek~r ~ = . l ~ , de rm i t der Afflnnormalen ~ " = d~r dutch

die Beziehung verbunden ist:

(1) ~ " = 1 .

Der Fak~or 2 bestimm~ sich nach B. w 14 dutch

2 -~= r"~ = Ir"[ cos (~", ~) = !~"1 sin (~", ~')

( 2 ) ~ = ~ - ~ .

Sollen nun die beidon ebenea Karvea ~ und ~* weehselweise ein- ander affinparaltel sein, so muB nach unserer Definition in Nr~ 1 und (e)

( 3 ) ~(~, ~-*) = (~ - ~ * ) ~ * = p * = ~on~t.

~) MaukannfiirRaumkurveneinenVektor~dur~h~'=0, ~ ' = ~# '= l ei~fihren und mlt seinor Hi]re naeh (o) eine Aftlnent~eraung bei Raumkurven definieren. Zwei Raumkurven mlt paa'allelen begleitenden affinen DreAbeinen und fesgen Affil~en~er- nungen entsprechender Pnnk~e w~ren daun einauder affiaparallel za nennen. Es zeig~ aich, da~ sie dutch e'me inhalt~t~eue Affinit~t ineinander fibergeffihr~ werden kSnnet~,

Affm{mmIlvle Kin'yea und Ft~hen. 3t~

~im Machen wit den Ansat~

so folgt aus (1) und (a)

(~*-- ~)~s ~ B ~ ~ ~ konst.,

( , ,a** f f ) ~ = O = A , k~" - a T - - also ist

(4=) g* -- ~ = ~ " = -- ~*~*,,.

Infolge der bekannten Beziehung ~t/ p

fdg~ au~ (4)

t ~ . , d~* p f f , , , ds* , - & ( = i f + = g ( 1 - - 1 o k ) ~ + p * k * - a T ~ ; * ,

(4a) j ,,~ tin* ~ , , dY** %

Infolge der Normierung des Affmbogens

( ( , if ') = (~*', ~*") = t ist somit

/ e ~ ' ? _ (1 - - ~k)~ \ d ~ ] - -

(5) / ~*"=(1-~*'=(1-#)~(' ~ ) - ~ " - � 8 9 - ' ' ' --l~k) ~ / ~ ~ .

Aus (4) und (5) exgibt aich

(t - ~,~)-~ ~ ' = o. Es ist also k=kons t , trod atmlog k*=konst . , d. h. die Karven

mad ~* sind Kegelsclmitte (B. w 7 ). AusffilMieher tolgt aus (4) und (5)

1 - - p ' k * = - - { \ ~ " ) ~ '~

und aus (4a) mad (5) (7) -- pk = lo*k* (1 -- iok).

N~ch (6) und (7) ist endlieh

d.h. die beiden Karven sind gleiekzeitig Pambeln, Ellipsen oaer ttyporl~ln (k~ O, > O, < 0). Wh: kommea also zu dom Ergdonis:

816 w. S~.

Zwei weehselsei~ig affinparallete ebene Kurven sind stets Keqetschnit~ gleicher ArL

Man kann diesen Satz noch etwas anders ~asson. Ersetzt man in der iibtiohen Definition der Dilatation die Normale dutch die Affmaor. male, so erh~lt man eine ,Affindilatation". Dann besagt der eben ge- nannte Satz auch:

Nut Kegelsehnitte lazsere sich wecl~etweise dutch A/findilatation in. einander i~berp~hren.

w

Fl~ehen.

3. Jctzt solI dsr in Nr. 1 ausgcsprochene Sa~z /fir wechselweise s ~ - paraliele Fl~chon ~(u ~, u~), ~*(u~,u ") bowiesen werden. ]Es bestehen fiir sie die Defmigionsgleichungen

(1) ,~*(u ~, u ~) = + ~(u ~, u"')

(2) e (~, ~*) = ('~ - - ~*) E* = p* = konst.

Infolge der linearea Unabh~agigkeit der Vektoren ~t, ~ und t) ~lt wegen (2) ehl A~sat~ voll der l~'orm

Deshalb isb nach B. (a 19)

wegen G ~ 0 somit a ' ~ O ( t ~ l , 2). Somit ist:

d.h. bei weehselseitig a//inpara2tden FIdcheu /dllf die Verbindu~zg~gera~,e # zweier einander entsprechenden Punkte mit den beiden A//innormalen daselbst zusamn~n.

Wir leiten zun~cJas~ einige Beziehungen zwisohen den Skalaren and Vektoren in einander entsprechenden Punkten (~) und (~*) her. Aus B. (a 9) folgt, clal~ fiix G + 0 die Vek~oren ~ , ~ und E voneinander linear unabhiingig "sind. Da nach (3) ein Ansat~ yon tier Form

gilt, so folgt hieraus t~'iE, b , = -- a ' G ~ = 0 ( x = l , 2);

wegen G - ~ 0 ist also r 0 (t = 1, 2):

(4) p ~ * + p*~ = 0.

Affinparallde Kurven und Ft~h~n. ~17

Au~ (2), (3), (4) una B. (a 9.1) ergibt ~ich a ~ n

(5) z 2 = B,~.

4. Aus (4) Iolg~ nun der in Nr. 1 genannte ~a~z t~r Eifl~ohen., Deun bedeu~et .K das Gau~sche Krfimmungamag dar (element, are.n) ~luiformen Fl~zJaentheorie mad ~ den EinJaeitsvektor der FlJ4chennormale, so ist naoh B. (w 6~)

Fiir Eifl~ehen folgt also aus (4)

Nach dem bekannten Satz H. Minkowskis fiber die Besgimmung einor Ei- fl~iche dureh ihre Krfimmungsfunk~ion ~) geh~ deshalb die Eifl~iche ~* aus 5

ParalMverschlebung um einen Vektor a hervor:

= + o

Hieraus folg~ bei affinen Kriimmun~linienparame~ern nach (3)

p* ~- 7 ~ ,

also ~ r i o*~ + ~" ps

R 1 = R~ ~ ~-2-_ ~-*~ = konst.

mad ebenso 5" sind naeh B. (w 74) somit Ellipsoide, die augerdem oin- ander ~nl ieh sind mad deren Mittelpunkte nach (8) zusammenfallen m~sse~, w. z, b, w.

5. Im folgenden werde angenommen, dag eine der (allgemeinen) 1Eiichen~), etwa ~, keine Affinsph;4~~ sei. Dann is~ aueh ~* keine Affin- sphere; dean dies~ sind dadureh gekenn~iehnet, da$ auf ihnen jede K u ~ e hffinkriimmungslinie ist, d. K dag die Affinnormalen l~ngs jeder ~li4chen- kurve Torsen bilden; de abet die Affinkriimmungstinien bekler Fll4ehen einander (lurch (3) zugeordnet siad, so kennte 5" nut dann eine Mfin- sph~e sein, wenn auch 5 eine solehe w ~ .

Man kann somit u ~, u ~ gleiehzeitig ale Parameter der Affiukriimmungs- liaien in den Punkah (5) und (~*) benut~en. Bei dieser Parameterwahl is~, wie man aus B, (a 3), (a 13), (a 19), (a 20) und (a 21) erkennf~

(6) G~ = B~ ~ A ~ = G~_~ ~ B ~ ~ A~,~ = 0.

*) Volumen und Oberttfw.Jae, Math. Annalen ~i7. ~) Van jetz~ an set~ea wit voraus, dag die Ft~ohe ~- roellr A f l i ~ m a g a l i n i e u

~t~e und ihre s~non Haup~kriimmungsradien end]ich seien,

818 W. Sag.

Und es fotgt aus (3) mad B. (a 13)

also

(7) ~ * = R ~ * + ~ * ~ , ~*=-~: mad hieraus nach(4) trod B. (a 3) flit die KoeftizienCen det erstea Grund. formen

6. Fiir alas l%lgende fiibxen wh" die abkiirzonde Bezeiehnung eia:

~ f , i ~ * *

indizessymbole sin&

( l o ) ~r:~ = c ~ ~s'' ~a,~ , ~s~,~ \~u~ ~u r T ~.u~-/.

Dann folgt aus (4):

also nach (4) und B. (a 19):

(11) ~ ' 3,~. - - A , . ~ F ~ _ A * ~ F * ~

~ ' . , b ~ ~ ~ s (6), (7) , (s) mad (~o):

o v

Die Wahl eines gestriehenen Index ~' s~atr ~ soil andenten, dal} fiber ihn nieht zu summieren ist; dabei ist abet V = . Wegen der Apol~r i~ beziehungen , , = A~, = 0 lB. (a 6)] ist n~ch (1t ) mad (12)

(~s) ~L ~ o

und

K R~ R~

(,)" �9 ) ~ km-ze Rechnung liefer~ ffr e den Wear 0 = ~ -

A~inl~amn~te Kurven uud Flgohen. 8 t9

Naeh (7) kann man start dessert auch schr~ben:

(15) (~ - ~ ) ( p - e~) p~ ---- ~ ~ .~ = o ~ konsL

Die Fl~0he ~ ksam infolge dJeser CdeAchung i/it die affmen Haupt~ krfimmaugsradielt eine ,,a]]ine Weinga~ten]l~he" genannt wezden. Mit (15) is~ die in Nr. I genannte Behauptung im Falle allgsmdner Fl~hen ~wiesen '~).

w

.'~quivalenz vers~iedener Defiuitionen yon wechselseitigem A~nparallelismus.

7. Zwei Fl~chen ~ und ~* seieu dutch Parallelismus der Tangeuten- ebenen einander punk~veise so zugeordnet, dal~ die Verbindungsgerade einander entsprechender Puakte mit der Mfirmormalen daselbst zasammen- fall~. Wit behaupten, dal] dutch diese in Nr, 3 erkaunte Eigenseha~ weehse]weise affinparalleler Fl~chen der Affinparalleli~mus gleichfalls c2aa- rakterLsicr~ ist. Denn die~e zweite Definition besagt das Bestehen der Gleiohungen (1) and (3) in w 2, worin allerdings die Konstanz yon p uzd p* noch zu bewelsen ist.. Di~e folgt abet durch I)ifferealtiaVion yon (3) naeh B. (a 19) und sodann (2) aus (1) and (3) nach (e).

Diese zweite Definition 1~$~; sich noeh r welter gestalten. Zu jedem Pankte (~) einer M~c~e ~ gebe es mindesgen~ einen Pank~ (~*) einex zweiten Fl~iehe ~*, so dal~ ffir jeden anderen Punkt (~*) von ~* und fiir einen festen Weft p die Bedingung erfiillt ist:

p ist daun das Minimum yon e(~*,~), wean (~*) auf ~* varlier~. Also ist nach (e)

: ? ~ = 0, d, h. es ist ~* ~ + ~, also (1) erfiillt. Maehen wit nun gem~B (e) und B. (a 9) den hns~tz

~* - - ~ ~ r ' b -[- p t }, so ~t

~) (Anmerkung bei de r K o r r e k t u r , 11, 4. 1927.) Inzwisc&en ist die Be- dingung-~lelohung (1,5) in der Arhedt you W. van d~ Woude: ~Edn Problem der Affmgeometrie~ (Math. Zeitse, hx'~ 26, S. 186--195) veri~en~ol~ worden, Die doff, Usd die hiex gegebene Ableitnng yon (15) ~rggnzon einmader in~o/ern, als ~ tier Wools

l~e~hmmg mit Halle yon Aeymptotenpa~am~tern d ~ r e ~ .

320 W. SiiB. Affinparallele Kurve~a und Fl~chen.

also r ~ g , . = 0 (z = 1, 2),

wegen G ~ 0 ist also r ' = 0 mad es folgt

Fordern wir nan aueh, dal~ sich umgekehrt ~* zu ~ so verhalte wle zu ~*, so ist somit aueh (2) erfiilt~. Aueh dieses affine Analogon einer

Definition yon ~quiformem FtKchenimrallelismus ffihrt auI die ers~e Defi- nition yon 1fir. 1 zuriiek.

8. Eine dritte affme E*weiterung der Definition (let ilquiformen Par~l- ]elfl~iehen fiihr~ fii~ den Fall gesehlossenor F15.ehen zal den beiden vorher- gehenden zuriiek. Es seien auf ~. und 5" Ptmkte mit parallelea Affin- normalen eJnander zugeordnet nnd die beiden Affiuentfernmagen je zweier sieh entspreehender Pankte kons~ant. Naeh dieser dri~ten Definition von AJfinparallelismus bestehen die Gleiehungen

(~) t)* = q t J ; (fl) (~*- - ~)3~= 20=konst .

(z) (~ - ~*)~* = 20* = konst.

Nach B. (a 9) gilt sodann ein Ansatz yon der Form

+ ~ 0 " (?~) ; * - - ~ = a ' ~ . + 2 0 " O = a ' ; ~ ~ �9

Aut der gesehlossenen Fl~ehe $ existiert ehte Stelle (~o), an weleher q einen statianaren Wer~ qo hat. Naeh (~) and B. (a 19) ist dort $* = _+ ~o' Multipliziert man (~) f'tir (~o) skalar mit 3~*, so ist deshatb nach (7) and

B. (a 9) : 20* = -- L Alle extremen Werte yon q sind also einander gleieh, qo

d.h. q ~ -- ~ = konst, und deshalb iiberaI1 ~* ~ + $. Diese dritte De-

finition fiihrt somit auch auf die erste zuriiek, w . z . b . w .

Bad K i r i s h i m a , im August ]926.

(Eingegangen am 20. 10. 1926.)