Weltweit Lehrbuch zur QGq-grav.com/pdfs/PDF-2016ToEger.pdf · den Elektromagnetismus in sein Konzept der Allgemeinen Relativi- ... ximalenergie ist (durch das einbettende Universum)

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Claus Birkholz

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Weltweit 1. Lehrbuch zur QG

Zum Studieneinstieg für Erstsemestler, zugleich Überblick für Nicht-Studenten

;Unsere Welt,

erklärt durch die

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Inhaltsverzeichnis Quellennachweis .......................................................................... 1

Die alte Physik am Ende ........................................................... 3

Die Neue Physik ........................................................................... 7

Erzeugung und Vernichtung – neu besehen .......................... 9 Was sind Dimensionen, was Kräfte? ..................................... 11

Quantengravitation ........................................................................ 13

Die Physik von Handlungsabläufen........................................ 16 Was aber sind Raum und Zeit eigentlich? ............................ 24 Die „Weltformel” ......................................................................... 29 Das kosmische Hyperboloid .................................................... 34 Kosmische Inflation ................................................................... 41 Paarerzeugung .......................................................................... 45 Hinter dem Ereignishorizont .................................................... 49 Spin und Drehimpuls ................................................................ 59 Wozu ein „Vakuum“? ................................................................ 62 Wieso die Raum-Zeit nicht linear sein darf ........................... 67

Die Grand Unification (GUT) ............................................... 69

Die “Internen” Kräfte der Natur ................................................ 71 Horizonte und das „Quark Confinement“ ............................... 74 Das System der Leptonen ....................................................... 77 Dunkle Materie ........................................................................... 80 Das Fließen der Zeit, der Zeitpfeil .......................................... 88 Paulis Ausschließungsprinzip.................................................. 93 Die Feinstrukturkonstante ........................................................ 98 Old-Timer „Standardmodell” – ein Nachruf ......................... 102 Flavours .................................................................................... 106 Paritäten .................................................................................... 110 Neutrino-Physik ....................................................................... 113

Die Welt, in der wir leben .................................................... 117

Der Faktor „Mensch“ ............................................................... 119 Youngs Auffaserung der Welt in Universen ........................ 121 Abspaltung der Dunklen Materie .......................................... 123 Zur Entstehung Schwarzer Löcher ....................................... 125 Neutrino-Helizitäten ................................................................ 127 Das Spektrum stabiler Teilchen ............................................ 130 Resonanzkurven ...................................................................... 132 Determinismus und Kausalität .............................................. 136

Verlorene Zeiten ...................................................................... 143

Der Autor ................................................................................... 149

Mathematischer Anhang .................................................... A-01

Matrizen .................................................................................. A-03 Erzeuger und Vernichter ...................................................... A-10 Gruppen .................................................................................. A-15 Darstellungen ......................................................................... A-25 Symmetrien ............................................................................ A-32 Casimirs .................................................................................. A-39 Gruppenkontraktion .............................................................. A-42 Spiegelungseigenschaften ................................................... A-50 Halbwelten .............................................................................. A-56 Die „Internen“ Strukturen ...................................................... A-58 Wechselwirkungen ................................................................ A-64 Elementarteilchen.................................................................. A-68

Impressum .................................................................................................................... A-73

Quellennachweis Das ursprüngliche Stammwerk zu Quantengravitation und Neuer Physik erschien im Jahre 2010 noch als Print-Buch im Buchhandel („Weltbild … nach Vereinigung aller Kräfte der Natur …“, ISBN 978-3-00-030847-6). Auszüge daraus nebst konsequenten Weiterentwicklungen prä-sentierte der Autor 2011 bis 2015 an diversen Universitäten im Rahmen der alljährlichen Frühjahrstagungen der Deutschen Physi-kalischen Gesellschaft (DPG), Sektionen T (Teilchenphysik), GR (Gra-vitation und Relativität), MP (Mathematische Grundlagen der Phy-sik) sowie AGPhil (Arbeitsgruppe Philosophie der Physik). Ihre zahl-reichen, überwiegend englisch-sprachigen Manuskripte stehen für jedermann offen zugänglich im Internet, siehe www.q-grav.com. Ihre “Abstracts” wurden auch unter „Verhandl. DPG (VI)“, ab Band 46 (2011), veröffentlicht (siehe unter www.dpg-physik.de). Aus diesen Forschungsberichten zu den gemeinsamen Grundla-gen von Elementarteilchenphysik und Kosmologie sowie über die Zusammenführung beider zur „Quantengravitation“ und zur „Grand Unified Theory (GUT)“ erwuchsen 2013 als Extrakte zum rascheren Überblick fachtheoretisch-mathematische Abhandlungen mit noch vorläufigem Charakter („Die Weltformel, Strategiepapier zur Neuen Physik …“/“The World Formula, …“, siehe www.q-grav.com). Weiter aktualisiert verdichteten sie sich zu einem kohärenten Top-Down-Weltbild aus einem Guss. E-books dazu (deutsche Fas-sungen): „Neue Physik, Morgendämmerung der Erkenntnis“ (2013), als 2. Auflage: „Fluss der Zeit, Neue Physik per Quantengravitation“ (2014). Wo diese Darstellungen allzu detailliert am schnellen Leser vor-bei gezogen wären, zollten sie mehr den Bedürfnissen einer popu-lärwissenschaftlichen Darstellung Tribut. Trotzdem hatte es im Be-streben des Autors gelegen, auch hier – wenigstens in Form von Stichworten in Randbemerkungen – den fachlichen Kontext für den Interessierten zu wahren. Dass der Autor mit diesem Vorgehen richtig lag, beweisen 20.000 verkaufte e-books in nur 2 Jahren.

http://www.q-grav.com/

http://www.dpg-physik.de/

http://www.q-grav.com/

2 Quellennachweis

Mit der automatischen Einbeziehung der Physik im Inneren eines Schwarzen Loches, ihren Übergangsbedingungen durch den Ereig-nishorizont hindurch sowie den experimentellen Prüfmöglichkeiten von Voraussagen der Quantengravitation haben diese Arbeiten inzwischen einen derartigen Reifegrad erreicht, dass ihre hier vor-liegende 3. Auflage den Schritt zum weltweit ersten Lehrbuch zur Quantengravitation, eingebettet in eine Grand Unification sämtli-cher Kräfte der Natur, anzutreten wagen darf. Das Bild ab rundet die Berechnung der Feinstrukturkonstante. Der Inhaltliche Ausbau dieses Pionierwerkes weit über die bei-den Vorgängerauflagen hinaus führen zu noch wesentlich tieferen Erschütterungen unserer bisher schon so umwälzend neuartigen Erkenntnisse über das Wesen der Natur – wie sie eine Quantengra-vitation als gemeinsamer Nenner von Einsteins Allgemeiner Relati-vitätstheorie mit Plancks Quanten und Gell-Manns Quarks unwei-gerlich nach sich ziehen musste. Textlich und vom Aufbau her stellt dieses Werk eine Fortschrei-bung vorausgegangener Versionen dar. Die für den raschen Leser, der nur den Überblick sucht, eher hinderliche Mathematik ist, wie schon bisher, in Kurzform in besonders gekennzeichnete Kästchen ausgelagert. Das zugehörige Hintergrundwissen dazu findet der mathematisch Interessierte, neu, in 12 thematischen Anhängen. Mit dieser formalen Trennung erfüllt die hier vorliegende 3. Auf-lage sowohl ihre Aufgabe als Einstiegslehrbuch für das Selbststudi-um eines Fachstudenten (inkl. Anhang) als auch zugleich (ohne An-hang) als Übersichtsdarstellung für den interessierten Laien. Der Titel der englischen Version lautet: ”ToE; New Physics explaining our world by Quantum Gravity; World’s first Textbook on QG“. Ein besonderes Augenmerk richtete der Autor auf den Umstand sicherzustellen, dass die hier getroffenen Aussagen nicht auf den sonst in der Sparte üblichen weltfremden Fantastereien “beyond“ irgendetwas beruhen, sondern auf dem gesicherten Boden experi-menteller Befunde und einer konsistenten Mathematik verbleiben. Historisch und politisch antiquierte Kurzschlüsse, die diesen Pau-kenschlag neuartiger Erkenntnisse über das Wesen der Natur bisher machtvoll hinausgezögert haben, werden an den Pranger gestellt.

Die alte Physik am Ende Dies ist eine Geschichte, die die Gemeinschaft der Physiker tief in gegnerische Lager spaltet. Mit seiner „Weltformel“ prägte Einstein einst einen Begriff, der heute für den missglückten Versuch steht, den Elektromagnetismus in sein Konzept der Allgemeinen Relativi-tätstheorie von 1915 zu integrieren, die ja ihrerseits eine Geome-trisierung der Gravitationskraft darstellt. Inzwischen hat sich die Anzahl der als fundamental erachteten Kräfte der Natur durch die Hinzunahme von Kernkräften erhöht. Die Dynamik all jener „internen“ Kräfte über die Gravitation hinaus lässt sich grob durch Schrödingers Wellenmechanik beschreiben. Diese stellt einen Teilaspekt der Quantentheorie dar. Deren („chirale“) Wechselwirkungen scheinen ebenfalls mitei-nander vergleichbaren Strukturen zu folgen (den „Eichtheorien“) – wenngleich diese bezüglich ihrer abstrakten Herkunft seitens des „Standardmodelles“ bis heute nicht recht verstanden werden. Die Quantentheorie basiert auf der Entdeckung Plancks von 1900, dass sich die Natur nicht in kontinuierlicher Weise beschreiben lässt, sondern in diskreten Schritten daher kommt. Dies wiederum ist zwingend eine Folge davon, dass physikalische Aussagen durch Messungen verifizierbar sein müssen. Aufgrund seiner begrenzten Lebenszeit kann ein lebender Orga-nismus wie der Mensch nämlich nicht bis Unendlich zählen. Folglich sind Unendlichkeiten unphysikalisch, da messtechnisch nicht verifi-zierbar; alles in der Physik muss endlich bleiben. Selbst ein Elemen-tarteilchen kann nicht unbegrenzt beschleunigt werden; seine Ma-ximalenergie ist (durch das einbettende Universum) beschränkt. Da sich eine irrationale, kontinuierliche Zahl nur durch Grenz-wertbildung aus einer unendlichen Reihe rationaler Zahlen (z.B. De-zimalziffern hinter dem Komma) reproduzieren lässt, sind auch irratio-nale Zahlen nicht abzählbar. Rationale Zahlen dagegen lassen sich „zählen“ (d.h. in eine diskrete Reihe sortieren). Eine Grundlagenphysik dürfte sich demnach nur mit endlichen Sätzen rationaler Zahlen befassen, also auch nicht mit deren Grenzwerten („Limites“).

4 Die alte Physik am Ende

Anbetracht ihrer kontinuierlichen Behandlungsweise von Raum und Zeit ist damit selbst die Klassische Physik – einschließlich Ein-steins Allgemeiner Relativitätstheorie – „unphysikalisch“. Somit müssen diese Theorien notwendigerweise „diskretisiert“ oder, wie wir heute sagen, „quantisiert“ werden. Nur, seit einem Jahrhundert weigert sich die Gravitation, be-schrieben durch Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie, beharrlich, mit Plancks Quantentheorie zu „kooperieren“ – und umgekehrt verschließen sich auch die „internen“ Kräfte jeglicher Kooperation mit der Allgemeinen Relativitätstheorie. Die Wirkungsweise der Allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich am besten durch das wohlbekannte Modell einer flachen, horizon-talen Gummi-Membran veranschaulichen. Durch das Gewicht eines darauf gelegten Gegenstandes in Verbindung mit der Elastizität der Membran wird sich dort eine nach unten durchhängende Kuhle bilden. Lassen wir nun eine kleine Murmel (dezentral) auf diesen Gegenstand zurollen, dann wird diese von ihrem geraden Kurs ab-gelenkt, so als zögen sich Gegenstand und Murmel formal an. Die Ursache für dieses eigenartige Verhalten liegt natürlich an der Geometrie dieser Kuhle in der Membran: Die vorher noch ebe-ne Fläche ist jetzt nicht mehr eben, sondern an der Stelle um den Gegenstand herum nach unten eingedellt. Mathematiker verweisen bei solch einer Flächenkrümmung auf die Existenz einer „nicht-linearen“ Bedingung. (Denn „lineare“ Gleichungen beschreiben nur ge-rade Linien und ebene Flächen.) Nun arbeitet Einsteins Spezielle Relativitätstheorie in einer fla-chen Raum-Zeit. Physikalisch ignoriert sie also jene Beschleunigung, die durch Massenanziehung ausgelöst wird. Diese Beschleunigung aber ist gerade der Springende Punkt bei einer Kraft (im Beispiel: der Gravitation). Die Spezielle Relativitätstheorie vernichtet Kräfte. Andererseits arbeiten jedoch die offiziellen Theorien für Elemen-tarteilchen – die „Quantenfeldtheorien“ – ausschließlich mit der Speziellen Relativitätstheorie. Offiziell ist kein einziger erfolgreicher Ansatz belegt, in dem dieser eine Erweiterung hin zur Allgemeinen Relativitätstheorie gestattet hätte.

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Genauso wenig zeigt Einsteins Form der Gravitationstheorie eine Neigung dazu auf, eine Wellentheorie in Form einer Überlagerung von Wellen zu dulden. Dies muss dann als weiteres Indiz dafür her-halten, dass Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie angeblich nicht „konsistent“ mit Plancks Konzept einer Quantisierung vereinbar sei. Schrödingers Wellenmechanik ist ja nur eine Ableitung aus Letzte-rer. Kurz: Niemandem wird derzeit (offiziell) zugestanden, eine kon-sistente Zusammenführung von Plancks Quantentheorie mit Ein-steins Allgemeiner Relativitätstheorie zustande gebracht zu haben. Einfach gestrickte Zeitgenossen versuchen gar uns einzureden, eine Vereinigung der Theorien von Einstein und Planck sei grund-sätzlich unmöglich. Ihr Trugschluss liegt darin, uns eine lineare Überlagerung als Widerspruch zu einer nicht-linearen Fläche ver-kaufen zu wollen. (Sie vergleichen also Äpfel mit Birnen.) Diese falsche Schlussweise ist jedoch symptomatisch. Denn wir sahen ja gerade, dass die Spezielle Relativität Kräfte vernichtet. Statt sich aber von allgemein-relativistischen Ideen leiten zu lassen, erfinden Teilchenphysiker permanent irgendwelche Ersatzstrate-gien zur Beschreibung von Wechselwirkungskräften, nur um die Allgemeine Relativitätstheorie zu umgehen. Ein wesentlich vielversprechenderer Zugang würde sich umge-kehrt ergeben, wenn man versuchte, die Allgemeine Relativitäts-theorie durch Hinzunahme der „internen“ Kräfte zu erweitern. Dies wäre jedoch Einsteins alte Idee einer „Weltformel“, die dann wie-der ausgegraben werden müsste – obwohl dieser Zugang gemäß seines wohldokumentierten Scheiterns in der Vergangenheit einen schweren Verlust an Reputation erlitten hatte. Zudem ist seit der Entdeckung von Kernkräften Einsteins Begriff einer „Weltformel“ etwas ambivalent geworden. Denn einerseits müsste sie eine konsistente Vereinheitlichung von Plancks Quan-tentheorie mit Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie umfassen; dies liefe heute unter der Bezeichnung einer „Quantengravitation“, die es zu konstruieren hieße.

6 Die alte Physik am Ende

Andererseits müsste sie aber auch die Zusammenfassung aller „internen“ Kräfte miteinander und mit der Gravitation zu einer „Grand Unified Theory“ (GUT) aller Kräfte der Natur enthalten. (Die String-Leute sagen dazu „Theory of Everyting (ToE)“.) Unsere so genannten „Standardmodelle“ (das der Teilchen und das der Kosmologie) sind jedoch weit davon entfernt, irgendeines dieser Ziele auch wirklich anzupacken. Mit ihren reinen Datenfits irgend-welcher willkürlichen, unverstandenen Ansätze dümpeln sie nur vage an der Oberfläche herum. String/Brane-Modelle graben sich sogar noch tiefer in jene Sackgasse der Physik hinein, indem sie wesentliche Teile jener abwegigen Ideen aus den überalterten Quantenfeldtheorien kritiklos übernehmen. (Für den Fachmann lassen Sie mich als Beispiel nur das „Variationsprin-zip“ mit seinen „Pfadintegralen“ und dem „Lagrange-Formalismus“ mit der Willkürlichkeit seiner Parameter zitieren. Deren Benutzung läuft grob auf die Verletzung von Wahrscheinlichkeiten hinaus, ist also physikalisch inkonsistent. Letztendlich reicht dieser Formalismus 400 Jahre bis auf Leibniz und Bernoulli zurück und war einst für die klassische Punktmecha-nik konzipiert worden. Für sie hatte er einst hervorragende Dienste geleis-tet. Aber taugen Ur-Ur-Urgroßvaters „Kochrezepte“ noch für heute?) Typische Strukturen, die die „Standardmodelle“ überhaupt nicht bzw. nicht sauber in den Griff bekommen oder gar zu erklären im-stande wären, laufen unter Begriffen wie „Big Bang“, „Schwarzes Loch“, „kosmologische Konstante“, „kosmische Inflation“, „Dunkle Energie“, „Dunkle Materie“, „Paritätsverletzung“, „Flavour-Physik“, „gebrochene Quantenzahlen“, „Nicht-Valenz-Teil eines Elementar-teilchens“, „Virtueller Zustand“, „Quark-Confinement“ usw. und so fort. Doch selbst derart simple Alltagsbegriffe wie „Masse“, „Länge“, „Zeit“, „Dimension“, „Ladung“ und vieles mehr befinden sich darun-ter. Jedermann ist sich im Innersten bewusst, dass die immer erneut nur notdürftig geflickten, altersschwachen „Standardmodelle“ seit vielen Jahrzehnten bereits auf den Müllhaufen der Geschichte ge-hören – doch „niemand“ weiß konkreten Ersatz – große Ratlosigkeit allerorten.

Die Neue Physik Theoretische Physik bedeutet die Abbildung (von Teilen) der Natur in die Mathematik. Heutige String-„Theorien“ lassen die Natur au-ßen vor. Insofern kann man String-Modelle nicht guten Gewissens zu den „Natur“-Wissenschaften rechnen. Sogar für ihre Protagonis-ten ist es unklar, was sie da eigentlich in die Mathematik abbilden. String-Modelle trachten nicht [mehr] danach, ein Abbild der Na-tur zu sein. Sie hoffen hingegen umgekehrt, dass sich in der Natur Strukturen werden aufdecken lassen, die zu ihren Modellen passen. Derartige Über-Kreuz-Methoden „jenseits des Standard-Modells“, nicht von der Theorie zu verlangen, die Natur zu reproduzieren, sondern von der Natur, der Theorie zu folgen, hatten noch bis in die 1960-er Jahre hinein als abschreckender Inbegriff für unseriöse Heilslehren wirrer Inkompetenz gegolten. Wie sich die Zeiten doch ändern – ein halbes Jahrhundert Stagnation im theoretischen Ver-ständnis der Grundlagenphysik treibt seine Blüten! Verfolgen wir also einen anderen Weg. Können wir nicht bis un-endlich zählen, so lässt sich auch ein Messergebnis nur höchstens bis zur Genauigkeit einer rationalen Zahl ermitteln. Folglich muss die Gesamtheit primärer Messergebnisse eine endliche Anzahl rati-onaler Zahlenwerte darstellen – ich erwähnte es gerade erst. Physikalische Modelle der Natur haben deshalb grundsätzlich von atomistischer Struktur, also „quantisiert“, zu sein, um nicht nur falsifizierbar sondern auch verifizierbar zu bleiben. Dies sind per Definition die Schlüsseleigenschaften der Physik. Bezeichnen wir jene „Atome“ hier kurz als „Quanten“. Nun lässt sich bei der riesi-gen Menge solcher „Quanten“ in unserem Universum dem Großteil ihrer Strukturen nur durch statistische Methoden beikommen. In der Mathematik behandelt man eine solche atomistische Struktur mittels der Kombinatorik, und Statistik ist das Reich der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Kombination beider heißt „Gruppentheorie“. Ein typisches Beispiel für die Gruppentheorie ist der „Spin“ – jener „innere Drehimpuls“, bei dem sich überhaupt nichts „dreht“.

8 Die Neue Physik

Für die Mehrzahl der Physiker ist diese Gruppentheorie jedoch noch heute ein Buch mit sieben Siegeln. Auch Einstein ließ sie links liegen; seine Allgemeine Relativitätstheorie kennt keinen Spin. Schrödinger gar schimpfte sie verächtlich “Gruppenpest”, und Pauli sprang mit auf jenen Zug der Zeit. „Lebenslanges Lernen“ war halt schon damals ein unilaterales Postulat von Älteren an die Jüngeren – nicht jedoch mehr an ge-standene „Semester“. Es ist nur allzu menschlich, im Berufsalltag, müde vom Stress einer langen Ausbildung, allen darüber hinaus greifenden, neuartigen Anforderungen erst einmal mit skeptischem Argwohn ablehnend gegenüber zu treten, statt aus ihnen freudig Ansatzpunkte für eine neue, bessere Physik herauszudestillieren zu suchen, wie es in produktiven Zeiten einst üblich gewesen war. Wohin ist diese „Neu-Gier“ der Theoretiker nur versickert?! Fachlich unbedarfte Trittbrettfahrer versprechen sich von einer Verstärkung jenes unwillkürlichen Abwehrverhaltens von Vorge-setzten Vorteile, indem sie sich als Resonanzboden anzubiedern suchen und die unsinnigsten Unterstellungen hinaustrompeten. Für die Umsetzung wahrhaft neuer Erkenntnisse bleibt also nur das Warten auf den Gestaltungsdrang nachwachsender Generationen, die sich nicht mit ihrem Abstellen in verrußten Dampflokschuppen von Museen zufrieden geben. Wir werden schnell feststellen, wie diese so sehr unterschätzte und bisher weitgehend unter den Teppich gekehrte Disziplin „Gruppentheorie“ der Mathematik gerade das „Missing Link“ zwi-schen den Theorien Plancks und Einsteins darstellt. Noch im Laufe dieses Jahrhunderts dürfte sie mit dem Abtreten der älteren Gene-rationen die führende Rolle in der Grundlagenphysik übernehmen. Primär an diese Jüngeren wendet sich mein Buch. Hinweg mit Urgroßvaters verstaubtem Mief, die Zukunft ruft, gestalten wir sie!

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Erzeugung und Vernichtung – neu besehen Die erste Zutat zu einer „Gruppentheorie“ ist die Kombinatorik. Sie allein, ohne ein zusätzliches Wahrscheinlichkeits-Konzept, führt zu diskreten Symmetrien, wie wir sie in der Physik zum Beispiel in ihrer Anwendung auf Kristallgitter kennen. Nummerieren wir die Atome (gleichen Typs) eines Kristalls ein-mal durch. Unterwerfen wir sie nun einer „Transformation“ (Dre-hung, Spiegelung oder was auch immer), nach deren Ausführung jedes Atom des Kristalls aus seiner ursprünglichen Position heraus in der eines anderen (gleichartigen) Atoms (oder auch in seiner eigenen ehe-maligen Position) zu liegen kommt, ohne dabei irgendeine Position auszulassen oder doppelt zu besetzen, so verändert das betrachte-te Kristall nicht seine Form – obgleich einzelne Atome (oder auch alle) durchaus ihre Positionen 1:1 gewechselt haben. Die diskrete Transposition eines Atoms von einer alten Stelle r‘ zu einer neuen Stelle r“, wie sie von einer Transformation A(r“,r‘) bewirkt werde, lässt sich auch ausdrücken als ein Vernichten an der ursprünglichen Position r‘, gefolgt von einer Wiedererzeugung an der neuen Position r“:

A(r”, r’) ≡ a+r”a−

r’ .

Jene Sekundär-Operatoren „a“ beiderlei Vorzeichens im oberen Index heißen „Erzeugungs-“ bzw. „Vernichtungs-Operator“. (Für Details siehe die Anhänge bis „Erzeuger und Vernichter“.) Spezielle Line-arkombinationen A(r“,r‘) mit A(r‘,r“), die in der Mathematik „Per-mutationen“ heißen, sind in der Physik besser unter der Bezeich-nung „Generatoren“ bekannt. In der Physik gilt also:

Eine Permutation ist ein „Generator“.

Hinweis: Diese Permutationen beschreiben nicht unbedingt in jedem Fall auch physikalisch ausführbare Aktionen, sondern sind eher als Gedankenexperimente zur Veranschaulichung (kristall-artiger) Ordnungsstrukturen in der Natur gedacht!

10 Die Neue Physik

Die derzeitige Grundlagenphysik hat offiziell noch immer nicht begriffen, dass moderne Physik mehr bedeutet als lediglich das Aufwärmen einiger klassischer Prinzipien vergangener Jahrhunder-te, die bloß ein paar alte Formalismen funktionentheoretischer Art aus der Schulzeit zu erweitern suchen. Es geht nicht darum, eine Handvoll zusätzlicher Parameter einzuführen. Nein, jene Prinzipien sind zu überdenken, statt immer nur weitere Ad-hoc-Parameter zu installieren, wie es die „Standardmodelle“ praktizieren! Traditionell pflegen die „Standardmodelle“ einen Generator G über irgendeinen Pfad aufzuintegrieren. Solch ein willkürlicher In-tegrationspfad könnte zufällig einmal an irgendeiner zulässigen Git-terposition für das transponierte Atom enden; üblicherweise je-doch wird er an irgendeiner Stelle zwischen solchen erlaubten Stel-len stranden. (Nur wenn er gerade eine zulässige Position trifft, dann sprechen wir von einem betreffenden „Eigenwert“.) Solch eine zufällige Position „zwischen allen Stühlen“ entspricht aber keinem brauchbaren Integrationsweg, auch nicht im Sinne der klassischen Physik, sondern eher einem Interpolationswert aus sich überlagernden „benachbarten“ Permutationen innerhalb des Kris-talls in statistischem Sinne! Beispiel für einen Fall, in dem als (lineare) Messwerte nur die natürlichen Zahlen 1,2,3,… zulässig seien. Mit der Wahrscheinlich-keit in Prozent ergibt sich dann z.B. der „krumme“ Wert 2,8 durch die Überlagerung

2,8 = 2 x 20% + 3 x 80% .

Kombinationen dieser 2,8 aus anderen Messwerten mit entspre-chend anderen Prozentzahlen sind genauso möglich. Lediglich bei den „zulässigen“ („Eigenwert“-)Positionen genügt die Angabe eines einzigen Messwertes mit 100% Wahrscheinlichkeit. Hier macht sich deutlich der Wahrscheinlichkeits-Aspekt einer „Quanten“-Physik bemerkbar, der durchaus nichts Mysteriöses an sich hat, wie es ihr aufgrund gewisser mathematischer „Theoreme“ (Bells Ungleichungen z.B.) gern angedichtet wird, deren zugrunde gelegten speziellen Annahmen jedoch physikalisch so nicht erfüllt sind (Beschränkung auf die Spezielle Relativitätstheorie, kontinuierliche, d.h. unphysikalische Basis u.Ä.).

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Was sind Dimensionen, was Kräfte? Die Physik erfordert, wie wir sahen, ein Wahrscheinlichkeits-Konzept auf Grundlage eines atomistischen Modells. Jene „Atome“ hatten wir als „Quanten“ bezeichnet. Die Einführung von Parame-tern in Form endlicher Indizes lässt sich als Konzept von „Klas-sen“ (also Komponenten, Dimensionen) jener Quanten interpretieren. Doch wie viele solcher Klassen (Dimensionen) mögen da existieren? Aus Normierungsgründen benötigt die Wahrscheinlichkeits-Rechnung einen Divisionsoperator. Dann aber, belehrt uns die Zah-lentheorie, beträgt die höchste Dimension von Zahlen, innerhalb derer sich noch eine Division definieren lässt, 8. (Zum Vergleich sei daran erinnert, dass die komplexen Zahlen z = a+ib mit den reellen Zah-len a und b einen Zahlenkörper der Dimension 2 bilden.) In der Mathe-matik heißen jene 8-dimensionalen Zahlen „Oktonionen“. Für die Physik bedeutet dies die Aufspaltung des laufenden In-dexwertes n, der unsere Quanten durchzählt (n = 1, … ,N), in ein Paar von Indizes: n -> (r,x). Ihr erster Teil r bezeichnet die Klasse (r von 1 bis 8) und der Teil x den ihnen verbleibenden Rest an Individualität. Diese Prozedur lässt sich aber iterativ fortführen:

n -> r;x -> r,s;y -> r,s,t;z -> …

Die Indizes x,y,z, … , die den Rest an Individualität auf dem jewei-ligen Niveau bezeichnen und nicht mitgemessen werden, lässt man üblicherweise weg. Somit ergibt sich aus der Statistik – plus Zahlen-theorie – dass sich uns die Natur in Potenzen von 8 Dimensionen darstellen sollte. Das Experiment zeigt, dass Potenzen höher als 2 zurzeit nicht benötigt werden. Damit fixiert sich die Dimension unserer Welt – nach dem ge-genwärtigen Stand experimenteller Technik – auf den Wert 8x8 = 64. Der erste Faktor 8, werden wir sehen, reproduziert die Quan-tengravitation, der zweite Faktor 8 die „internen“ Kräfte der Natur, und beide zusammen die Grand Unification (GUT)! Doch gehen wir dies (in den Folgekapiteln) schrittweise an.

12 Die Neue Physik

Für Nicht-Mathematiker mag eine Rechnung mit Oktonionen etwas seltsam anmuten. Der gegenwärtige Stand der Technik in der Grundlagenphysik benötigt jedoch deren hochgestochene Multipli-kationsregeln gegenwärtig glücklicherweise noch nicht. Zurzeit be-nötigen wir lediglich die Tatsache, dass jene Oktonionen in 8 Vari-anten (Dimensionen) auftreten. Vergleichen wir doch einmal die Oktonionen mit den 3 Dimensi-onen des Raumes: Wer stört sich daran, dass wir ein (achsen-paralleles) Rechteck in der xy-Ebene als Produkt in Einheiten „100 m in x-Richtung“ mal „100 m in y-Richtung“ ausmessen – statt jenes Einheitenprodukt (entsprechend den Oktonionen) wie auch immer, z.B. zu „Hektar“, „auszumultiplizieren“?? Wir könnten dies auch mit den Elementen Phosphor und Sauer-stoff in der Chemie vergleichen: Zusammen würden sie sofort Feuer fangen. Verpacken wir aber beide Elemente sicher in getrennte Flaschen, dann lassen sich beide friedlich gemeinsam stapeln, ohne dass etwas passiert. Betrachten wir also unseren gegenwärtigen Zugang zur Grundla-genphysik in einem Stadium gut verkorkter „Flaschen“, deren Glas-wände, d.h. unsere gegenwärtige Mathematik, uns gegen jene ag-gressiven Multiplikationsregeln der Oktonionen abschirmt. Aber wir beobachten sehr wohl, dass wir es mit 8 unterschiedlichen Typen solcher „Flaschen“ zu tun haben. Man betrachte diese Vorgehens-weise meinetwegen als eine erste Annäherung an eine Physik in ferner Zukunft. Um es kurz zusammenzufassen: Dimensionen ergeben sich als Folge der Normierbarkeit von Wahrscheinlichkeiten als Klassen-nummern – insbesondere die 4-Dimensionalität unserer Raum-Zeit, wie wir noch sehen werden. Kräfte dagegen werden sich, in noch zu präzisierender Weise, als notwendige Folge einer Anwendung von Permutationen erweisen – also als Statistikeffekte (Wahrscheinlich-keiten) über spezifische Permutationstypen entsprechend den un-terschiedlichen Kraft-Typen in der Natur. Details später.

Quantengravitation Überblick: Der erste Faktor 8 aus dem vorigen Kapitel, wurde be-reits identifiziert. Er liefert Diracs 4 „kovariante“ zuzüglich seiner 4 „kontravarianten“ Dimensionen. Aus ihnen werden wir später auch die 4-Dimensionalität unserer Raum-Zeit herleiten. Damit erweist sich die 4-Dimensionalität von Raum und Zeit (und genauso die von Energie und Impuls) als Output der Theorie auf Basis einer statisti-schen Wahrscheinlichkeitsbetrachtung. Für sämtliche anderen Mo-delle – Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie inklusive – bedeutet sie noch einen unbekannten, externen Input in die Theorie. Die Zusammenlegung beider 4-dimensionaler Dirac-Strukturen (als gegensätzliche „Varianzen“ ein und derselben Unterstruktur) liefert bereits eine konsistente Quantengravitation als voll quantisierte Variante von Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie auf einer voll quantisierten, gekrümmten Raum-Zeit! Sie ergibt sich in mathematisch „geschlossener“ Form (also nicht nur als Näherung, sondern exakt) und erweist sich als „hintergrundun-abhängig“, wie es bei Einstein heißt. Will heißen, sämtliche Physik spielt sich innerhalb jener gekrümmten „Hyperfläche“ ab, kann jene weder verlassen noch auf Dinge außerhalb zugreifen. Damit nimmt diese Quantengravitation die große Hürde, über die, nach Einstein, kein anderes Modell mehr zu springen imstande war. (Die sog. „Loop Quantum Gravity“ ist nicht voll quantisiert!) Diese Aufteilung der Dimension 8 in zwei je 4-dimensionale Teil-typen („ko-“ bzw. „kontravariant“) bewirkt, dass – anders als bei den herkömmlichen Modellen der Quantenfeldtheorien – grundsätzlich kein einziges Quant verloren gehen kann (wie es Standard ist bei den “Kommutatoren” der so genannten “2. Quantisierung“ im „Stan-dardmodell“) und dass auch kein Quant vom Himmel fällt (z.B. als “Vakuumpolarisation”). Somit bleibt in der Quantengravitation ein Vakuum tatsächlich leer – oder es ist kein Vakuum. In der Quantengravitation stellen die 4 („nicht-linearen“) Raum-Zeit-Komponenten X simple Quotienten aus „generierenden“ Ope-ratoren mit der Schweren Masse M als gemeinsamem Nenner dar:

14 Quantengravitation

Xµ =Qµ

M0 („Strahldarstellung").

Die Quantengravitation ist das einzige (Teilchen-)Modell, das die-se schon fast triviale Beziehung wieder ausgegraben hat, die schon in der Physik vor Einstein und Planck allen recht vertraut war. (Jenes Q=MX ist die additive Raum-Zeit im Schwerpunktsystem, englisch: „CMS“-System.)

Bemerkung – nur für Mathematiker: Ausgewertet wird dieser Quotient für Xµ natürlich in der impliziten Form

M0XµM0 = 12M0, Qµ

+.

Moderne Modelle – wie etwa die “Loop-Quantengravitation” – die nur schwache Versuche einer Annäherung an partielle Struktur-Komponenten einer echten Quantengravitation darstellen, kratzen nicht einmal an ihrer Oberfläche. Nach beträchtlichem Computer-Aufwand großen Stils machen sie viel Wesens darum, qualitative Hinweise darauf gefunden zu haben, dass der Big Bang wohl nicht-singulär sein könnte. Na und? In der Quantengravitation können wir dieses Ergebnis ohne Aufwand, sofort, exakt und quantitativ (als „Casimir-Operator zweiter Ordnung“) hinschreiben, wie wir noch se-hen werden. Betrachteten wir jene Schwere Masse nicht als Operator, son-dern als Konstante, so reproduziert der Raum-Zeit-Operator zu-sammen mit dem Energie-Impuls-Operator Heisenbergs Unschärfe-relation, und die spezielle Mathematik dahinter (der „Kommuta-tor“ der Raum-Zeit mit dem Energie-Impuls) liefert gerade die „kanoni-sche Quantisierung“ der alt-ehrwürdigen Quantenmechanik – ur-sprünglich einmal ein Relikt aus der uralten Variationsrechnung. Betrachten wir dagegen die Schwere Masse als Operator, der er ist, dann ergeben sich (Details in späteren Kapiteln) Zusatzterme pro-portional zu einem inversen Längenquadrat. Diese Länge wird sich als Radius des Big-Bang-Bereiches entpuppen. (In der Quantengravi-tation ist der Big Bang keine Punkt-„Singularität“ mehr, sondern ein aus-gedehnter Bereich.)

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Diese Zusatzterme reproduzieren aber gerade die Verhaltens-weise einer Dunklen Energie. Durch Einsetzen der experimentellen Daten zur Dunklen Energie lässt sich also jener Radius des Big Bang experimentell messen.

Nun befolgt in der Quantengravitation ein Elementarteilchen dieselben Gleichungen wie unser Universum als Ganzes. Der Unter-schied liegt nur darin, von woher wir es betrachten: Ein Teilchen beobachten wir von außen, unser Universum von innen. Somit erscheint uns ein Teilchen als „klein“, seine Reaktionen laufen schnell ab – meistens zu schnell, als dass wir sie in allen De-tails experimentell vermessen könnten. Im anderen Extrem er-scheint uns unser Universum als riesig groß, und seine Reaktionen verlaufen im Allgemeinen derart langsam, dass wir sie ebenfalls kaum wahrnehmen. Die Verbindung beider Bereiche durch die Quantengravitation bietet uns nunmehr die Gelegenheit, Teilchen-reaktionen gewissermaßen in Zeitlupe zu studieren, und die Ent-wicklung unseres Universums im Zeitraffer. Die Quantengravitation erklärt nicht nur die Dunkle Energie, sondern auch die „Kosmische Inflation“. Hubbles Gesetz erweist sich als internes Detail von Einsteins „Kosmologischer Konstante“, von der sie sich künstlich abspaltet. Von Letzterer lässt sich zeigen, dass ihr inverser Ausdruck gerade dem „Propagator“ aus der Teil-chenphysik entspricht. (Die Aufteilung zwischen quadrierter Schwerer Masse und „Kosmologischer Konstante“ ist eine Frage der Definition, denn experimentell messen wir zurzeit lediglich die Summe von beiden.) Die scheinbare Komplexität von Quantentheorien ist künstlich geschaffen, nicht echt. Sie stammt aus unserer evolutionär entwi-ckelten Affinität, die Raum-Zeit Q aus ihrer „Strahldarstellung“ X heraus zu betrachten. Legen wir diese Scheuklappen beiseite, so entwickelt sich mit der additiven Raum-Zeit Q vor unseren Augen ein wesentlich klareres Bild von den Prinzipien, denen die Natur folgt. Soweit schon diese Vorschau auf nachfolgende Kapitel.


Die Physik von Handlungsabläufen Die Klassische Physik – Einsteins Version der Allgemeinen Relativi-tätstheorie eingeschlossen – ist eine Physik von Zahlen. Quanten-physik dagegen ist die Physik von Handlungsabläufen. Was ist der Unterschied? Für reelle oder komplexe Zahlen ist deren Reihenfolge innerhalb einer Summe oder eines Produktes egal: a+b = b+a, und axb = bxa. Mathematiker sagen: die Zahlen „kommutieren“ miteinander, sie sind „kommensurabel“. Bei Handlungsabläufen ist dies anders: sie können kommutieren, brauchen aber nicht. Nehmen wir ein Bei-spiel:

A) Frage eine Person nach dem Weg, B) Diese Person wird vom Auto überfahren.

Im Fall BA (Mathematiker lesen das von rechts nach links) könnte ich Glück haben und eine Antwort erhalten; denn B liegt nach A. Im umgekehrten Fall AB aber wird die Person überfahren (B), bevor ich meine Frage gestellt habe (A); dann ist meine Chance, dennoch eine Antwort zu erhalten, relativ gering. Die kombinierte Aktion AB wird demzufolge nicht notwendiger-weise mit BA identisch sein. Ihr Grad an Übereinstimmung lässt sich durch die Differenz AB–BA messen; dies ist der „(Minus-) Kommu-tator“ [A,B] von A mit B. Für „kommutierende“ (= vertauschbare) Aktionen (AB = BA) gilt [A,B] = 0: das Ergebnis zweier Aktionen ist unabhängig von ihrer Ausführungsreihenfolge. Aktionen heißen deshalb „kommensurabel“, wenn ihr Kommutator „verschwindet“. In der Physik wird eine Aktion, ein Handlungsablauf, durch einen mathematischen „Operator“ dargestellt. „Transformation“ be-deutet das Gleiche. Doch sofort eine Warnung: Nicht jede mathe-matisch formulierbare „Transformation“ ist zugleich auch eine phy-sikalisch ausführbare „Aktion“! Im Gegenteil: Die überwältigende Mehrheit aller Transformationen, die sich Mathematiker ausdenken, sind keine physikalisch ausführbaren Aktionen, die von einem Zu-stand X zu einem Zustand Y führen, sondern dienen lediglich einem physikalischen Vergleich von X mit Y.

Die Physik von Handlungsabläufen 17

Ein Zuwachs an Zeit etwa ist ein typisches Beispiel, wo zwei un-terscheidbare Zustände – ein Start- und ein Endzustand – miteinan-der verglichen werden, ohne dass eine physikalische Prozedur exis-tiert (außer, in die eine Richtung, Abwarten), mit der eine solche Trans-formation hin und zurück ausgeführt werden könnte. Der mathematische Hintergrund ist folgender (näher Interessierte wenden sich an den Anhang „Gruppen“): Anders als in der klassischen Physik stellen jene Permutationen, also die kleine Anzahl von „Ge-neratoren“, das Fundament der Physik dar – und nicht ihre aufinte-grierten Aktionen, jene vollen Transformationen mit all ihren zu-sätzlichen, kontinuierlichen Integrationspfaden, die im Experiment sowieso nicht mitbeobachtet werden!

Für mathematisch Interessierte: „Aktion“ und „Generator“ stehen in einer Beziehung von Exponentialfunktion und (na-türlichem) Logarithmus zueinander:

A = exp [𝑖ζG] ⇔ ζG = 𝟏𝒊 lg A .

Im (unitären) Reaktionskanal lässt sich die Aktion A als Summe zweier trigonometrischer Funktionen wiedergeben:

exp [𝑖ζG] = cos (ζG) + 𝒊 sin (ζG) , im (pseudo-unitären) dynamischen Kanal dagegen (G → −iG) durch hyperbolische Funktionen:

exp [ζG] = cosh (ζG) + sinh (ζG) . Erstere sind periodisch, letztere nicht. Im Reaktionskanal ist der laufende Parameter gewöhnlich der beschränkte Eigenwert von A, im dynamischen Kanal hin-gegen vorzugsweise der unbeschränkte Parameter ζ.

Für die klassische Physik stellt sich also das Problem: Welcher der 8 „Dimensionen“ sollen wir jene reellen Pfadparameter eigent-lich zuschlagen? Bei den nur 2 Dimensionen einer komplexen Ebene hätten wir jeweils die übliche Auswahl zwischen den (reellen) Wer-ten auf der reellen bzw. denen auf der imaginären Achse. Im „Stan-dardmodell“ liegt diese Alternative jeweils invariabel fest: entweder ist die reelle Achse zu nehmen oder die imaginäre – und dies gilt dort für jeden Parameter einzeln.


So fand Einstein, dass man für seine Spezielle Relativitätstheorie die 3 Raumparameter am besten durch die eine Sorte von Achsen beschrieb, die Zeit jedoch durch die andere. Einstein zementierte dies dann mit seinen Lorentz-Transformationen der Speziellen Rela-tivitätstheorie. All dies ist jedoch nur Folge einer künstlichen Interpretation von Integrationspfaden, die experimentell überhaupt nicht „beobach-tet“ werden; beobachtet werden lediglich Anfangs- und Endzustand! Die Quantengravitation ist frei von solchen Vor-Festlegungen. In ihr bleiben potenziell stets beide Typen von Systemen abrufbar, da sie ja auf der identischen Basis von „Generatoren“ (einer „komplexen Lie-Algebra“) zugreifen. Diese 2 Systeme sind z.B.:

ein („unitärer“) Reaktionskanal und ein („pseudo-unitärer“) dynamischer Kanal.

Der Reaktionskanal, in dem Wahrscheinlichkeiten erhalten blei-ben, wird in der konventionellen Physik schlicht ignoriert. Damit aber fallen fundamentale Eigenschaften der Physik unter den Tisch! Dies ist nur einer der Gründe, warum das „Standardmodell“ mit „Kopplungskonstanten“ (Kraftstärken) zu arbeiten hat, deren Werte sich nicht aus dem Modell heraus ergeben sondern nur experimen-tell zugänglich sind. (Denn im pseudo-unitären dynamischen Kanal exis-tiert keine „positiv-definite Norm“, um die Wahrscheinlichkeitserhaltung zu gewährleisten.) Am Ereignishorizont wegtauchende Materie wird die tatsächliche Existenz dieses Kanals auch physikalisch beweisen. In der Quantengravitation ist der parallele Gebrauch beider Sys-teme kein Problem. Ohne das für das „Standardmodell“ so charak-teristische Variationsprinzip erledigt dies hier anstandslos eine 8-dimensionale „Umkettung“ beiden Systemen ineinander (Stichwort: „Dirac“ im Anhang „Erzeuger und Vernichter“). Für ein besseres Ver-ständnis hier ein Beispiel dazu in klassischer Argumentation. Die Parameter s und t eines Zustandes mögen auf einem Kreis liegen:

s2 + t2 = C = const.

Dieselbe Gleichung lässt sich hyperbolisch umschreiben in

s2 – t’2 = C, mit t’ ≡ 𝑖t .


Werden s in “cm” und t’ in “sec” gemessen, so ergibt dies bei geeigneter Normierung “1 sec = 𝑖 cm”, mit 𝑖 als imaginärer Einheit. Direkte Messungen liefern aber nur reelle Zahlen – jenes zusätzliche “𝑖” stammt aus der Theorie (wie auch jegliche Gleichung). Zur forma-len Beseitigung des expliziten Auftretens solcher “𝑖” führte man zusätzliche „Metrik“-Tensoren in die Theorie ein, zog also das “𝑖” eines „Ket“-Vektors mit dem eines „Bra“-Vektors zu einem gemein-samen (quadratischen) Faktor „–1“ zusammen. Nun erwartet man natürlich, dass die Gleichung einer Hyperbel bei gleichen Werten s und C wie beim Kreis i.A. zu anderen Werten t‘ als dem t aus dem Kreis gehören wird; lediglich für t=0=t‘ stim-men sie überein. Lösung: Mit t‘=t muss dann eben auch das C der Hyperbel variieren! Dies bedeutet aber, dass mit jedem t des Krei-ses auch die Form der jeweiligen Hyperbel variiert: Zu einem Wan-dern auf einem festen Kreis gehört ein Springen von Hyperbel zu Hyperbel! Der dabei insgesamt durchlaufene Wertebereich der di-versen Hyperbeln bleibt aber wie der beim Kreis endlich. Um dies besser zu begreifen: In der klassischen Physik ist die betrachtete „Gruppe“ primär, und aus ihr erst leitet sich die Form der „(reellen) Lie-Algebra“ mit ihren Generatoren ab. In der Quan-tengravitation ist das genau umgekehrt: Primär sind die Generato-ren; die Lie-Algebren (und mit ihnen auch die Gruppen), die sich daraus zusammenbasteln lassen, sind sekundär. Während also in der klassischen Physik obiger „Kanal“, innerhalb dessen argumentiert werden soll, von vorn herein fest voreinge-stellt ist, bleibt er in der Neuen Physik a priori offen; über Umdia-gonalisierungen (innerhalb der einbettenden 8-dimensionalen Quanten-gravitation) können wir zwischen den Systemen beliebig hin und her springen; beide Kanäle bleiben jeweils möglich! Da in der Physik alles endlich sein muss, um messbar zu bleiben, ist der („kompakte“) Reaktionskanal als primär zu betrachten, und der (formal: „nicht-kompakte“) dynamische Kanal ist als sekundär, abgeleitet anzusehen: Der (2x4 = 8-dimensionale) Reaktionskanal definiert das Spektrum aller denkbaren Beobachtungen; der (8-dimensionale) dynamische Kanal mischt dann alles bloß wieder an-ders zusammen (vgl. Anhang „Gruppen“).


(Heruntergebrochen auf die 4-dimensionalen Teilräume führt dies zum Formalismus einer „komplexen Lie-Algebra“ 4-dimensional. Funktionen-theoretisch stellt eine U(n,n) nichts weiter dar als die Aufintegration der Gesamtheit aller komplexen Lie-Algebren, die sich aus der reellen Lie-Algebra einer U(n) ableiten lassen.)

So verschwimmt hier immer mehr die erkenntnistheoretische Frage, ob wir es originär mit einer „kompakten“ Gruppe (mit der Eins-Metrik) oder mit einer „nicht-kompakten“ Pseudo-Gruppe (mit abgewandelter Metrik) als anderer Untervariante ihrer komplexen „Lie-Algebra“ zu tun haben. Dieser Streit um „des Kaisers Bart“ pointiert deutlich, wie ge-künstelt im Grunde doch das Bestreben ist, die Natur, koste es was es wolle, auf irgendeine spezielle Variante einer Lie-Algebra festna-geln zu wollen. Allein die Generatoren sind maßgeblich – alles dar-über hinaus ist lediglich menschliche, fallweise Interpretation, eine Frage an die Diagonalisierungsrichtung für unsere jeweilige Argu-mentation. Nun gut. Die Natur geht primär von den existierenden Quanten-zuständen (und deren Überlagerungen) aus – egal, welcher Kanal dadurch gerade favorisiert wird. Beide Kanäle bedeuten nur unter-schiedliche Faserungen ein und derselben Obermenge von Zustän-den nach unterschiedlichen Kriterien: der Reaktionskanal benutzt zwecks Wahrscheinlichkeitserhaltung die kompakte Ausprägung, der dynamischen Kanal, nach anderen Kriterien, eine seiner nicht-kompakten Ausprägungen. Die übergreifende Konstruktion einer komplexen Lie-Algebra als Sammelbecken für beide Kanäle ist dann nur noch ein rein formalis-tischer Akt, der der eleganteren Handhabe seitens der Mathematik dient. Die Faserung einer Teilmenge in elementefremde „Darstel-lungen“ (siehe Anhang „Darstellungen“) führt zur Auslagerung und Verteilung von Strukturen auch auf „benachbarte“ 4-dimensionale Teildarstellungen, an die wir aus unserer isolierten Einzeldarstellung heraus mit dem in ihr vorgehaltenen mathematischen Instrumenta-rium nicht herankommen.


Dies ändert sich erst, wenn wir zur gemeinsamen Oberstruktur in 8 Dimensionen übergehen, zu der beide Kanalvarianten (zueinander inkommensurabel) einbettende Teilstrukturen darstellen. Das Wan-dern von einer dieser Unterstrukturen zu einer anderen ist dann durch ein „Umketten“ à la Kreis/Hyperbel möglich. Nun gehört zum Reaktionskanal ein Satz von „Darstellungen“ (in obigem Kreis/Hyperbel-Beispiel: ein Satz unterschiedlicher Ellipsen) – zum dynamischen Kanal hingegen ein anderer Satz (unterschiedli-cher Hyperbeln). Die Umkettung innerhalb der einbettenden 8-dimensionalen Obergruppe verstreut also die eine (4-dimensionale) „Darstellung“ (entsprechend unserem Kreis) über viele „Darstellun-gen“ des anderen Kanals (oben: Hyperbeln): Der eine Kanal wird nach einem anderen Kanal „entwickelt“. Berechnen wir so etwa für einen festen Parameter-Satz im Reak-tionskanal irgendwelche Kopplungskonstanten, dann können wir anschließend zum dynamischen Kanal hinüberschalten, um dort „dynamisch“ die zeitliche Entwicklung weiterzuverfolgen. Aus die-sem Hin und Her leiten sich schließlich auch Halbwertszeiten ab. In der Tat existieren in der Teilchenphysik unzählige Beispiele für solche „endlich-dimensionalen“ pseudo-unitären Darstellungen der nicht-kompakten Lorentz-Gruppe der Speziellen Relativitätstheorie. Doch ich will mich hier nicht zu sehr in Details verzetteln. Fassen wir zusammen: „Dynamisch“ ablaufende „Reaktio-nen“ führen zu einem ständigen „Umketten“ hin und her zwischen zwei Systemen. Das 400 Jahre alte Variationsprinzip stellt nur eine unnötige, drastische Einschränkung moderner physikalischer Be-trachtungsweisen dar. Der („unitäre“) Reaktionskanal definiert die physikalische Basis – und der („pseudo-unitäre“) dynamische Kanal fungiert als eine Art Überlagerungsstruktur zu ihr. Traditionell werden Diracs Erzeugungs- und Vernichtungsopera-toren nicht in eindeutiger Weise angewendet. Ursprünglich einmal diente der „Vernichter“ auf der Bra-Seite eines Inneren Produktes nur als technisches Hilfsmittel zum Abzählen entsprechender „Er-zeuger“ auf der Ket-Seite; gleiche Anzahlen auf beiden Seiten tru-gen zum Produkt bei, ungleiche nicht. (Interessierte schauen in den Anhang „Darstellungen“.)


„Vernichter“ dienten also der Zerlegung eines zusammengesetz-ten Gebildes auf der Bra-Seite in „kontravariante“ Faktoren, und „Erzeuger“ auf der Ket-Seite der Zerlegung in „kovariante“ Faktoren. Die nachträgliche Zulassung auch von Erzeugern auf der Bra- und von Vernichtern auf der Ket-Seite hatte bei Theoretikern jedoch zu einer Verunsicherung in den Regeln geführt. Nicht-Mathematiker schufen sich als „Escape-Strategie“ „quick and dirty“ eine stark vereinfachte, eigene „Mathematik“ (vgl. An-hang „Darstellungen“). Diese „Kommutator“-Logik (Stichwort „2-te Quantisierung“, „Normalordnung“) ist aber willkürlich, hochgradig inkonsistent und legte den Grundstein zum heutigen Wirrwarr und Unverständnis in der Grundlagenphysik. Ferner muss eine Transformation zur Gewährleistung der Wahr-scheinlichkeitserhaltung nach den Regeln der Mathematik „unitär“ sein. Damit beschreibt der Reaktionskanal ein (im Sinne der Thermo-dynamik) „abgeschlossenes“ System mit Wahrscheinlichkeits-Erhaltung, der dynamische Kanal hingegen ein „offenes“ System ohne (garantierte) Wahrscheinlichkeits-Erhaltung. Dafür ermöglicht es der dynamische Kanal per Konstruktion (vgl. den Anhang „Grup-pen“), einen reell-wertigen „Zustand“ auch seinen Transformatio-nen gegenüber reell zu belassen – eine Eigenschaft, die wiederum der Reaktionskanal nicht bietet.

Es ist dieses Wechselspiel zwischen einem „nackten“ Generator auf der einen Seite und einer aufintegrierten „Aktion“ mit ihren Willkürlichkeiten und Vieldeutigkeiten auf der anderen Seite, das selbst erfahrene, hartgesottene Physiker von Ruf davon abhält, die Regeln der Quantenmechanik komplett zu durchschauen, d.h. wirk-lich zu „verstehen“. Dabei ist es so einfach: Die Generatoren enthalten die gesamte „Grundlagen“-Physik. Wir messen Endergebnisse („Eigenwerte“, „Er-wartungswerte“) und nicht etwa die „Pfade“ dazwischen! Die Integ-rationswege in den „Aktionen“ repräsentieren zusätzliches Beiwerk: Interpolationen u.Ä., die nicht Gegenstand (Eigenwerte, Erwartungs-werte) experimenteller Messreihen waren. Punkt!


Das gegenwärtige Dilemma in der Theoretischen Grundlagen-physik liegt darin, dass sie beide Aspekte miteinander vermischt. Rein mathematische Dinge werden als physikalisch interpretiert. Alles wird zu einem undurchdringlichen, zähen Brei verkocht. Schließlich hält man mathematische Formalismen bereits für Physik. “Standard”- und String-Modelle lassen grüßen. – Doch wehret den Anfängen! (Der Leser sollte sich nicht durch „imaginäre Eigenwerte“ in die Irre führen lassen: reelle Eigenwerte ergeben sich aus hermiteschen Operato-ren – und „Hermitezität“ ist eine Frage der Definition!)


Was aber sind Raum und Zeit eigentlich? Gewisse Untermengen von Generatoren der Quantengravitation sind in beiden Kanälen – Reaktionskanal wie dynamischem Kanal – 4-dimensional identisch. Diese gemeinsamen Generatoren würde das „Standardmodell“ als „kompakt“ bezeichnen, nähme es sie als Operatoren zur Kenntnis. Eine noch engere Teilmenge von ihnen lässt, bis auf Zahlenfaktoren (die auch das System der Maßeinheiten definieren), sogar den Zustand, auf den sie einwirken, unverändert. Letztere Zahlenfaktoren sind ihre „Messwerte“, und die zugehö-rigen Generatoren heißen „diagonal“. (Diese Bezeichnung bietet sich an, wenn man sich den Generator als Matrix vor einem Zustands-Vektor hingeschrieben denkt.) Eine andere Bezeichnung für diese „Messwer-te“ wäre „Quantenzahlen“. Technisch gesehen zählt solch ein (linearer) „diagonaler Genera-tor“ gerade die Anzahl gewisser Typen von Quanten ab, aus denen sich der physikalische (Produkt-)Zustand zusammensetzt, und die unterschiedlichen (linearen) Quantenzahlen ein und desselben Zu-standes unterscheiden sich durch die Quantentypen, die sie mit positiven bzw. negativen Vorzeichen aufaddieren. Bis auf irgendwelche künstliche Einheiten wie etwa „1 cm mal 1 Gramm“ oder ähnliche Ausdrücke aus einer willkürlichen Normierung sollten diese „Quantenzahlen“ also jeweils ein ganzzahliges Vielfa-ches (z.B.) der Zahl 1 sein. („Spins“ pflegt man stattdessen in Grund-einheiten 1/2 zu fixieren, Teilchenzahlen und Ladungen dagegen häufig in Basiseinheiten 1/3.) Bis auf (willkürliche) Normierungsfaktoren und Vorzeichen haben wir es in der 4-dimensionalen Variante der Quantengravitation demnach mit 4 linearen „diagonalen“ Quantenzahlen zu tun, die jene 4 Quantentypen lediglich (in unterschiedlicher Weise) abzählen:

1) Teilchenzahl, 2) Energie, 3) CMS-Ort (3-Komponente), 4) Spin (3-Komponente).

Was aber sind Raum und Zeit eigentlich? 25

Für den speziell mathematisch interessierten Leser seien diese 4 Generatoren (in Diracs Terminologie, mit Paulis Matri-zen σµ) noch einmal aus dem Anhang zitiert:

1) L0 ≡ 𝟏𝟐(a+σ𝟎a− − b−σ𝟎b+) ,

2) P’0 ≡ 𝟏𝟐(a+σ𝟎a− + b−σ𝟎b+) ,

3) Q’3 ≡ 𝟏𝟐(a+σ𝟑a− + b−σ𝟑b+) ,

4) L3 ≡ 𝟏𝟐(a+σ𝟑a− − b−σ𝟑b+) .

In der traditionellen Physik haben wir es mit einem System von cgs-Einheiten zu tun (cm, Gramm, Sekunde). In der Quantengravitati-on dagegen ist eine Maßeinheit ein Maß für die Anzahl von Quan-ten eines Typs. Im CMS-System ist die Schwerpunkts-Koordinate Q‘ der Raum-Zeit genauso eine additive Größe wie Energie und Im-puls. Ihre Nicht-Additivität im X-Rahmen rührt dort von der Division von Q‘ durch die schwere Masse her, wie wir schon sahen. Dirac hatte die „Pseudo-Unitarität“ seines dynamischen Kanals damals dadurch überspielt, dass er in jeweils 2 seiner 4 Komponen-ten den Erzeugungs- und Vernichtungs-Charakter formal gegenei-nander auswechselte:

a𝟐+i± → −𝒊 ∑ (σ1)i,i'bi'

∓1,2i'

.

Zur Gewinnung physikalischer Lorentz-Transformationen benöti-gen die klassischen Quantenfeldfeldtheorien auf dieser Basis ledig-lich 2x3 = 6 der 16 („γ“-) Matrizen aus seiner „Dirac-Algebra“ (die ja nichts Anderes darstellt als die Lie-Algebra unserer 4x4 = 16 Generatoren). Diese künstliche Selbstkasteiung vernagelte ihnen bis heute die Einsicht, dass sie zwecks Erweiterung ihrer so drastisch einschrän-kenden speziell-relativistischen Lorentz-Struktur zur vollständigen, allgemein-relativistischen Gesamtstruktur kaum mehr hätten zu tun brauchen als auch den restlichen 16–6 = 10 Matrizen aus der Dirac-Algebra physikalisches „Leben“ einzuhauchen. Doch dies wäre Gruppentheorie gewesen. Quantenfeldtheoreti-ker sind jedoch (primär) Funktionentheoretiker. Wieder stehen wir vor dem alten, künstlichen Theorien-Schisma „Planck vs. Einstein“.


Die volle Quantengravitation fügt zu den 4 Zähl-Operatoren (in ihrer 4-dimensionalen Variante) noch den Rest an Dynamik hinzu – wie z.B. schwere Masse oder auch die

CMS-Zeit: Q’0 ≡ 𝟏

𝟐(a+σ𝟎b+ + b−σ𝟎a−) .

Rein gruppentheoretisch behalten jene umbenannten b’s aber ihre Original-Eigenschaften als Erzeugungs- bzw. Vernichtungs-Operatoren unverändert bei: b− ist noch immer ein Erzeugungsope-rator und b+ ein Vernichtungsoperator. Ihr Anwendungsbereich bleibt also der einer „endlich-dimensionalen, nur formal pseudo-unitären Gruppe“. In Diracs Formalismus wird jener Erzeuger/Vernichter-Aspekt der b’s aber umgekehrt! Infolgedessen bewahrt obiger Generator der CMS-Zeit dort nicht mehr die Gesamtzahl aller Quanten: sein erster Term vergrößert diese Gesamtzahl bei seiner Anwendung um zwei Einheiten, und der andere Term verringert sie um zwei Einheiten. Insgesamt geht dort ein physikalischer Zustand aus n Quanten bei Anwendung der CMS-Zeit also in eine Überlagerung aus Zustän-den mit (n+2) und (n−2) Quanten über, bei der nächsten Anwen-dung in eine Überlagerung von (n+4), n und (n−4) Quanten, usw. Die Aufsummierung zu einer Exponentialfunktion (in ihrer „Taylor-Entwicklung“) liefert schließlich einen Zustand mit einer unendlichen Anzahl solcher Quanten. Dies wären mehr als im gesamten Univer-sum überhaupt vorhanden sind! Solche Unendlichkeiten sind natür-lich unphysikalisch. Damit erweist sich auch das „Standardmo-dell“ erneut als unphysikalisch. Gemäß diesem Formalismus der Quantenfeldtheorien (QFT) wol-len wir festhalten: Die Zeit reproduziert (zählt) nicht den Zustand, auf den sie angewendet wird, sondern sie fächert ihn (bezüglich n) zu einer immer breiteren Überlagerungsstruktur auf. Diese Expan-sion zeigt: Damit jenes (n+2) wenigstens näherungsweise zu n äqui-valent und damit messbar wird, benötigen wir im Rahmen einer QFT unbedingt das

Gesetz der großen Zahl.

Was aber sind Raum und Zeit eigentlich? 27

„Große“ Zahlen sind jedoch auch unabhängig vom speziellen Formalismus einer QFT anzusetzen. Denn im täglichen Leben scheint die Zeit ja tatsächlich exakt messbar zu sein – und zwar „kontinuierlich“. Für einen zugrunde liegenden physikalisch quanti-sierten Zustand bedeutet dies, dass er aus einer hinreichend „gro-ßen“ Anzahl von Quanten bestehen muss. Dies aber ist indirekt die experimentelle Bescheinigung für die Existenz eines

Subniveaus von „Quanten“ weit unterhalb des Niveaus von Quarks!

Neben den paar Quanten, die seinen Valenzteil ausmachen, be-herbergt ein Elementarteilchen damit notwendigerweise zusätzlich eine „große“ Anzahl von Quanten einer

Nicht-Valenz-Struktur.

Anders als bei einer traditionellen QFT würde die Betrachtungs-weise der Zeit als verkappter Version eines Generators des Reakti-onskanals sie jedoch nicht wesentlich anders behandeln als den Ort selber. (So arbeitet ja auch schon die „Loop-Quantengravitation“.) Als „Auf/Absteige-Operator“ (siehe die Anhänge „Erzeuger und Vernich-ter“ und „Symmetrien“) zählt die Zeit keine „Quanten“ sondern „Sprungweiten“ (innerhalb einer Lie-Algebra). Mehr dazu später. Erst die Erkenntnis, dass die Zeit neben ihrer Trivialrolle zur Pa-rametrisierung (eines Teiles) der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit im Re-aktionskanal noch eine zweite, gewichtigere Rolle im dynamischen Kanal spielt, führt zu ihrer physikalischen Sonderbedeutung, die speziell auch der Philosophie arge Kopfschmerzen bereitet. Diese Sonderbedeutung besteht i.W. in dem „Rätsel“, wieso die Zeit makroskopisch immer nur in eine Richtung läuft, aber niemals rückwärts. Thermodynamische Entropieargumentationen helfen solange nicht weiter, wie derlei Änderungen in der Entropie nicht auch stichhaltig begründet werden können. Dazu fehlen uns im Moment aber noch ein paar notwendige Grundlagen. Bis zum Kapi-tel „Das Fließen der Zeit, der Zeitpfeil“ werden wir diese gelegt ha-ben; Fortsetzung also dort.


Hier nur so viel: Die Zeit spielt eine Doppelrolle:

1) als Generator (aus „Auf- und Absteige-Operato-ren“) im Reaktionskanal,

2) als Tensor im dynamischen Kanal (der den Regeln der „Youngschen Tensormultiplikation“ = eines erweiterten „Spin-Additionstheorems“, sie-he Kapitel „Symmetrien“ im Anhang, unterliegt).

Nicht-diagonale Generatoren (wie etwa die Zeit oder der X-Raum) werden einer Messung (allenfalls) nach dem Gesetz der großen Zahl, also als „emergente“ Größen, näherungsweise zugänglich. Auch die schwere Masse ist ein nicht-kompakter Generator. Folglich gilt für sie die gleiche Argumentation wie für die Zeit. Nach der Division des Ortes Q durch diese Masse erhalten wir den Raum in seiner „ge-wöhnlichen“ X-Form. Damit weisen alle 4 Komponenten von X das gleiche, nicht-lineare Verhalten wie die Zeit auf. Die Existenz eines Nicht-Valenzteiles, der eine breite Anzahl von Quanten umfasst, löst auch das alte Problem, wieso ein einzelnes „Teilchen“ an einem Gitter ein Interferenzmuster auslösen kann. Gleichermaßen erweist sich das „Mysterium“ von Schrödingers „Wellenmechanik“ für ein einzelnes Teilchen schlicht als Anwen-dung einer mechanischen Statistik auf seine vielen Nicht-Valenzquanten. Für die „kompakten“ Operatoren des Reaktionskanals existiert, sofern sie „diagonal“ sind, auch noch eine weitere Interpretations-möglichkeit, nämlich die eines elementaren Aufbaus einer Eigen-schaft. So summiert der Energie-Operator seine Gesamtenergie aus lauter einzelnen „Energiequanten“ zusammen, die 3-Komponente des (CMS-)Raumes die entsprechende (CMS-)Koordinate des „Ge-samtraumes“ aus lauter „Raumquanten“ oder „Raumstückchen“, usw. Es ist diese konzeptuelle Einfachheit einer physikalischen Argu-mentation − nicht ihre technischen Berechnungen! − die eine gute Physik von mühsamen Alibi-Monumenten reiner Fleißarbeiten und mathematischer Geschicklichkeit („Tricks“) unterscheidet, wie sie im „Standardmodell“ oder in den String/Brane-Modellen vorliegen.

29

Die „Weltformel” Nach Hinzufügung des Wahrscheinlichkeits-Aspektes zu unseren „Generatoren“ („Permutationen“) pflegt „man“ aus ihnen durch funktionentheoretische Aufintegration Handlungsabläufe („Aktio-nen“) zu konstruieren. Dies aber fügt zusätzliche „Integrationspfa-de“ in Form kontinuierlicher „Winkel“, „Translations-Parameter“ u.Ä. hinzu. Umgekehrt definieren sich Generatoren in der traditio-nellen Physik, wie schon erwähnt, als Logarithmen von „Aktionen“. In den Ohren von Nicht-Mathematikern mag dies reichlich abs-trakt klingen. Aber seien Sie versichert: für Mathematiker ist dies reine Routine. Der Vorteil der Generator-Methode liegt auch darin, dass die – mitunter recht trickreiche – „Multiplikation“ von Aktio-nen, d.h. ihre Hintereinander-Ausführung, auf die wesentlich einfa-chere Addition und Subtraktion von einer Handvoll überschaubarer „Generatoren“ zurückgeführt wird. Wir sahen bereits, dass solche „Winkel“ u.Ä. unphysikalisch sind. In ihrer 4-dimensionalen Variante benötigt die Quantengravitati-on 4x4 = 16 solcher „dynamischen“ Generatoren (siehe Anhang „Gruppen“):

L0 : Teilchenzahl, Li : Spin (3 Komponenten), M0 : Schwere Masse, Mi : Lorentz-Booster (3 Komponenten), P0 : Energie, Pi : Impuls (3 Komponenten), Q0 : Zeit (im Schwerpunktsystem, engl. CMS), Qi : Raum (3 Komponenten, im CMS).

Die Schwerpunkts-Raum-Zeit Q ist additiv („linear”). Nach ihrer Division durch die Schwere Masse ist die resultierende gewöhnliche, gekrümmte Raum-Zeit X Einsteins dies nicht mehr (sie ist dann „nicht-linear“). Diese Situation erinnert an den additiven Impuls, der nach Division durch diese Schwere Masse in die ebenfalls nicht-additive Geschwindigkeit übergeht.


Um zu begreifen, wieso Einsteins Raum-Zeit in der Tat nicht flach sondern gekrümmt ist, bedarf es eines Ausfluges in die Gruppen-theorie (vgl. das Kapitel „Gruppen“ im Anhang): Die 16 Generatoren von oben definieren („erzeugen“) eine Gruppe von Aktivitäten, die die Mathematik als eine U(2,2) zu bezeichnen pflegt. Das „U“ steht für „unitär“ (oder auch für „pseudo-unitär“) – was immer dies im Moment bedeuten mag. Die Nummern dahinter bezeichnen die Dimen-sion der Gruppe – hier 2+2 = 4. Der Grund dafür, warum diese Dimension hier in zwei Einträge aufge-spalten wurde, liegt darin, dass sich 2 davon wie Zeitkomponenten verhal-ten und die anderen beiden wie Ortskomponenten. Deshalb wird diese Gruppe auch in „pseudo“-unitär umbenannt. (Mathematisch drehen sich lediglich ein paar Vorzeichen um.) Nun lässt sich die Teilchenzahl – ausnahmsweise – abspalten; die übri-gen 15 Generatoren „erzeugen“ dann noch immer eine vollständige (Un-ter-)Gruppe, in diesem Falle eine SU(2,2); das „S“ steht für „speziell“. Ab-gesehen von „topologischen“ Eigenschaften besitzt diese „Speziell-Unitäre“ Untergruppe die gleichen Eigenschaften wie eine Gruppe SO(2,4), deren „O“ für „orthogonal“ steht. Die SO(2,4) repräsentiert eine gewöhnliche Gruppe von Drehungen in 2 Zeit- und 4 Raum-Richtungen, zusammen also in 6 Dimensionen. (Eine „Drehung“ innerhalb einer Ebene, die durch 1 Zeit- und 1 Raum-Richtung aufgespannt wird, ist übrigens der „Lorentz-Boost“ der Speziellen Relativi-tätstheorie.) Die SO(2,4) heißt auch „Konforme Gruppe“. Näheres im An-hang.

Für das (uralte) Variationsprinzip ist es tödlich, dass die Konfor-me Gruppe SO(2,4) mit 2 Zeit-Dimensionen ausgestattet ist. Denn die Existenz von exakt 1 Zeit-Richtung ist gerade seine Arbeitsvo-raussetzung: Mit einer zweiten Zeit bricht sein gesamtes System einer „kanonischen Konjugation“ zusammen“, auf dem die altehr-würdige Quantenmechanik à la Schrödinger aufsetzt. Auch das „Standardmodell“ basiert fundamental darauf. Diese zweite Zeit-Dimension der Quantengravitation versetzt ihm den Todesstoß. Doch dies ist nur einer von vielen; denn das „Standard-modell“ ist ja – schon von seiner Entstehungsgeschichte her – der Inbegriff einer über und über inkonsistenten Konstruktion.

Die „Weltformel“ 31

Man hüte sich davor, die orthogonale 4-Dimensionalität der Raum-Zeit als eine SO(1,3)-Unterstruktur der konformen SO(2,4) mit der 4-Dimensionalität unserer SU(2,2) zu verwechseln. Die Gleichheit beider Zahlen ist rein zufällig. Trotzdem, haben wir oben gesehen, führt die unitäre 4-Dimensionalität auch zur orthogonalen 4-Dimensionalität von Einsteins Raum-Zeit (4 Komponenten). Unser Hauptziel war hier jedoch, die „Weltformel“ hinzuschrei-ben, an der sich Einstein vergeblich die Zähne ausgebissen hatte, weil er in seinen Überlegungen die Gruppentheorie unberücksich-tigt gelassen hatte. Und unser zweites Hauptziel war es gewesen zu zeigen, warum die resultierende Raum-Zeit nicht flach sondern ge-krümmt herauskommt. Die Voraussetzungen dazu haben wir inzwi-schen schon fast zusammen. Wir benötigen nur noch die Definition eines „Casimir-Operators“ (vgl. den Anhang „Casimirs“). „Erzeugungs“- und „Vernichtungs“-Operatoren waren oben (vgl. ein paar Kapitel zurück) per Uminterpretation von Transpositionen A eingeführt worden. Nun befinden sich unter den Produkten solcher A auch solche, die in der Mathematik als „Invarianten“ bezeichnet werden. Der Leser benötigt hier nicht unbedingt ihre expliziten Formen, sondern lediglich dass sie sämtlich – mit Ausnahme der ersten – nicht-linear sind.

Für den mathematisch interessierten Leser: Casimir-Operator: Aa

bAbc … Ay

zAza ,

paarweise summiert über alle gleichen Indizes.

Für eine fundamentale „unitäre“ oder „pseudo-unitäre“ Gruppe haben sie die Eigenschaft, dass ihre dergestalt aus Generatoren konstruierte, unabhängige Anzahl gerade gleich der Dimension ihrer unitären oder pseudo-unitären Gruppe selber ist. Von diesen „Invarianten“ wird derjenige Satz mit den kleinsten Anzahlen an Faktoren „Casimir-Operatoren“ genannt. Jene Anzah-len variieren also von 1 bis zur Gesamtzahl an Dimensionen. Der „Casimir(-Operator) erster Stufe“ ist der „lineare“; für unsere dy-namische U(2,2) ist er proportional zum Generator der Teilchenzahl.


In einer „speziell“-unitären oder -pseudo-unitären Gruppe fehlt dieser Teilchenzahl-Generator. Die sonstigen („nicht-linearen“) Casi-mirs gleicher Stufe der originalen, nicht-speziellen Gruppe lassen sich mit denen der speziellen Gruppe in Übereinstimmung bringen. Die Werte der Casimirs charakterisieren unitäre und pseudo-unitäre Gruppen. Die Komponenten solcher Gruppen lassen sich ebenfalls durch die Werte entsprechender Casimirs geeigneter Un-tergruppen kennzeichnen. Zu unterschiedlichen Werten der Casi-mirs gehören folglich auch unterschiedliche Darstellungen der Gruppen bzw. Komponenten. Demnach lässt sich die Physik selber durch die Angabe ihrer benötigten Casimir-Operatoren charakteri-sieren. Diese bilden unsere (primären) Naturkonstanten. Einsteins „Weltformel“ muss also, gültig für sämtliche benötig-ten Casimirs, lauten:

Casimir = const.

In der Quantengravitation (und in ihrer GUT-Erweiterung) ersetzt diese Formel den „Lagrange“-Formalismus des „Standardmodells“. Im Reaktionskanal gestattet sie die explizite Berechnung aller Kopp-lungskonstanten als Funktionen so genannter „Clebsch-Gordon-Koeffizienten“. In Lagrange-Modellen sind sie noch von extern ein-zuflicken. Somit ist die Vorhersagekraft der Quantengravitation nebst ihrer GUT-Erweiterung wesentlich stärker als die des „Standardmodells“. Und sie ist sogar mathematisch konsistent! Während das „Stan-dardmodell“ als „bottom-up“-Modell nur beschreibt, was – unzu-sammenhängend – unmittelbar einprogrammiert wurde, versteht sich die Quantengravitation (und GUT) als „top-down“-Modell mit dem Anspruch, (auf seinem 8x8 = 64-dimensionalen Niveau) in konsis-tenter Weise die gesamte Physik zu erklären. In ihrer 4-dimensionalen Version ist die Quantengravitation die Anwendung einer U(2,2). Als solche besitzt sie genau 3 nicht-lineare Casimirs. Auflösung nach ihren 3 Ortskomponenten liefert makro-skopisch demnach exakt 3 unabhängige “Bewegungsgleichungen” (3-dimensionaler Ort als Funktion der Zeit – und weiterer Parameter). Dies ist die wohlbekannte 3-Dimensionalität der Bewegung.

Die „Weltformel“ 33

Da aber ein nicht-linearer Casmir-Operator, als konstant ange-setzt (“Weltformel”!), eine nicht-lineare Bedingung darstellt, bildet die 4-dimensionale „Hyperfläche“ der Raum-Zeit im Rahmen des 16-dimensionalen Parameter-Raumes der U(2,2) eine gekrümmte Mannigfaltigkeit: die Raum-Zeit resultiert aus dem „quadratischen“ Casimir (dem der 2-ten Stufe) also automatisch in gekrümmter Form! Einsteins Geodäsie-Bedingung aus der Variationsrechnung zur Verfolgung eines Weges durch die Allgemeine Relativitätstheorie wird nicht benötigt: gewöhnlich legt der Casimir 2-ter Stufe die ge-krümmte Hyperfläche der Raum-Zeit (in Abhängigkeit von Schwerer Masse usw.) fest, und die anderen beiden Casimirs (dritter und vierter Stufe) schreiben dann den Weg innerhalb dieser Hyperfläche vor. Einsteins „Hintergrund-Unabhängigkeit“, d.h. seine Nebenbedin-gung, dass die Physik diese krumme Hyperfläche nicht verlassen darf, ist dann nichts anderes als die “Irreduzibilitäts-Bedingung” der Gruppentheorie (vgl. Anhang „Symmetrien“). Mathematisch spaltet die Irreduzibilität den Parameter-Raum unserer Gesamtwelt in lauter (elementefremde) Scheiben gekrümm-ter Universen auf, die ihrerseits nicht weiter in Stücke zerhackbar sind. Ohne diese Irreduzibilitäts-Bedingung wären unsere Natur-konstanten nicht „konstant“. Nun basiert die Priorität des (”unitären”) Reaktionskanals über den dynamischen Kanal auf der zweifelsfreien Tatsache, dass Wahr-scheinlichkeiten absolute Erhaltungsgrößen in der Natur sind: Nichts geht verloren, nichts fällt vom Himmel. Und mathemati-scherseits sind es eben die streng „unitären“ Gruppen, die die Wahrscheinlichkeiten erhalten. Die Koexistenz eines „pseudo“-unitären dynamischen Kanals als Overlay muss dann notwendigerweise eine sekundäre, untergeord-nete Eigenschaft darstellen. Um mit dem primären Reaktionskanal zu koexistieren, muss dann der dynamische Kanal als sekundäre Äußerung der Natur auf dessen Basis aufsetzen. Aufgrund der End-lichkeitsbedingung muss schließlich auch die („pseudo-unitäre“) dy-namische Gruppe in ihrer endlich-dimensionalen Darstellungsform vorliegen.


Das kosmische Hyperboloid Anwendung der “Weltformel” auf den „quadratischen” Casimir der U(2,2) ergibt folgende Skizze (vgl. Anhang „Gruppenkontraktion“):

Die Achse senkrecht zur Zeichenebene fasst kollektiv sämtliche Parameter außerhalb von Raum und Zeit zusammen. Als Wurzel kann sie auch imaginär werden; darauf gehe ich später ein. In der hier skizzierten (Teil-)Darstellung expandiert unser Universum mit der Zeit – und zwar auch von der Zeit null zu negativen Zeiten hin! Den Taillen-Parameter kennen wir schon von der Dunklen Ener-gie her. Gemäß Skizze wird ein Teilchen (oder Antiteilchen) in posi-tiver Absolutzeit nach außen hin beschleunigt, um auf der Oberflä-che des sich stetig ausweitenden Hyperboloids zu verbleiben – bis es asymptotisch gegen die Lichtgeschwindigkeit konvergiert. Genau dies ist aber auch die Botschaft der Dunklen Energie; die Quantengravitation beschreibt sie quantitativ. Gemäß ihrer Her-kunft aus einem Kommutator von Generatoren lässt sich somit die Dunkle Energie auch als „Quanteneffekt kosmischen Ausmaßes“ interpretieren! (Details im Anhang „Gruppenkontraktion“.)

Das kosmische Hyperboloid 35

Ein Ausgangspunkt bei negativer Absolutzeit hingegen bremst ein Teilchen (oder Antiteilchen) positiver Energie bis zur Zeit null hin ab. Für Zustände negativer Energie kehren sich die Beschleunigungs-richtungen um. Für sie eröffnet sich demnach eine zeitgespiegelte Welt. Beide Teilwelten überlagern sich. In Bereichen vorherrschend positiv-energetischer Zustände werden eingestreute Zustände ne-gativer Energie ihre Energiebilanz mit Hilfe der Zustände positiver Energie zu neutralisieren suchen: sie „zerstrahlen“ miteinander. Das Experiment bestätigt, dass die Thermodynamik für jeden der beiden Quantentypen Diracs, a bzw. b, ein Gleichgewicht anstrebt, in dem – unter Berücksichtigung von Erhaltungssätzen wie Teil-chenzahl, Energie usw. – nur noch Zustände mit dem vorwiegenden Energievorzeichen des lokal umgebenden a- bzw. b-Bereiches übrig bleiben (z.B. Hadronen für Diracs a-Bereich, Leptonen für Diracs b-Bereich, wie wir noch erkennen werden). Diese gegenseitige „Zerstrahlung“ ist jedoch eine Eigenschaft des kompakten Reaktionskanals! Diracs nicht-kompakter dynamischer Kanal kennt 4-dimensional aufgrund seiner Teilchenzahlerhaltung keine Generatoren mit Vertauschungen

a+ ↔ a− oder b+ ↔ b− .

Dazu müsste er die kompakten „Spiegelungseigenschaften“ T oder C des Reaktionskanals bemühen (siehe gleichnamigen Anhang). Der Operator T der Zeitumkehr leistet das Verlangte: Bei einer Zeit-spiegelung konvertiert ein vorwärts laufendes Quant (a+) formal in ein rückwärts laufendes Quanten-„Loch“ (a–), wie es Dirac ur-sprünglich einmal formuliert hatte. („Vorwärts/rückwärts laufend“ ist eine Begriffsbildung aus seinem Nicht-Valenzteil!) T kann dies natürlich nur deshalb leisten, weil es ein Operator aus der 8-dimensionalen Quantengravitation darstellt:

A XY D

ψψ+ .

A und D sind Transformationen auf Diracs beiden 4-dimensiona-len Spinoren – T aber kombiniert die nicht-diagonalen X mit Y!


Betrachtet aus unserer Welt positiver Absolutzeiten nach „dem“ Big Bang, stellt sich dieses (aus Sicht eines Beobachters vor dem Big Bang:) rückwärts laufende Quanten-„Loch“ negativer Energie indes nach wie vor als vorwärts laufendes „Quant“ positiver Energie dar. Insofern geschieht beim Passieren des Big-Bang-Bereiches (Zeit um null herum) physikalisch nichts Besonderes – alle Regeln der Phy-sik gelten unverändert weiter. Lediglich die bereichsinterne Inter-pretation der Dynamik ändert sich je nach der Position ihres Be-trachters vor bzw. nach der Zeit null. Gemäß dem betroffenen „TCP-Theorem“ aus dem genannten An-hang bleibt die Physik beiderseits der Zeit null, jede Seite für sich allein betrachtet, aber die gleiche. Trotzdem haben wir es hier mit 2 getrennten Bereichen des dy-namischen Kanals zu tun, die sich in 4 Dimensionen zwar bereichs-übergreifend überlagern, in 4+4 Dimensionen aber nicht dynamisch verknüpft sind, vgl. das letzte Bildchen oben. Erst der kompakte Reaktionskanal stellt – über die Operatoren des TCP-Theorems aus X und Y – diese Verknüpfung her. Die experimentell gesicherte Koexistenz dieser Spiegelungseigenschaften aus dem kompakten Reaktionskanal mit der Dynamik des nicht-kompakten Kanals zeigt exemplarisch die physikalische Belanglosigkeit der Kanalwahl. Diese Wahl unterliegt lediglich pragmatischen Erwägungen der jeweils besseren Messbarkeit. Es kommt in der Physik also tatsäch-lich nur auf die Generatoren selber an (und nicht auf die (zufällig) gerade genutzte Ausprägung ihrer „komplexen Lie-Algebra“)! 4-dimensional haben wir also von 2 sich dynamisch überlagernden Welten auszugehen – einer für positive Absolutzeiten mit ein paar „verirrten“ Ausläufern in die negativen Zeiten hinein, und einer für negative Absolutzeiten mit ein paar „verirrten“ Ausläufern in positive Zeiten hinein. Das Aufeinandertreffen beider Teilwelten weitläufig um die Zeit null herum beobachtet die Astronomie in Form einer gigantischen Explosionsstruktur im Reaktionskanal – populär-wissenschaftlich als „Urknall“ („Big Bang“) bezeichnet. Physikalisch rekombinieren sich dort Quanten (a+,b–) mit Quanten-„Löchern“ (a–,b+) i.W. zu 4x4 = 16 Typen von Quantenpaaren, summarisch unter dem Begriff „Dunkle Materie“ bekannt. Diese werden wir noch im Detail behandeln.


In Einsteins nicht-quantisierter Originalform der Allgemeinen Relativitätstheorie schrumpft der Taillen-Radius des „Flaschenhal-ses“ im Hyperboloid zu einem Punkt zusammen. Sein gesamtes kosmisches Hyperboloid entartet dann zu einem Doppelkegel mit einem singulären, also unphysikalischen Big Bang im Zentrum, und die Dunkle Energie verschwindet. Innerhalb jener Zeichenebene Einsteins bewegen sich dann alle Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit; damit sind sie zwangsläufig mas-selos. So kennen wir es aus dem „Standardmodell“. Deshalb musste dort für massive Teilchen auch extra ein undurchsichtiger „Higgs-Mechanismus“ erfunden werden, der für die Quantengravitation überflüssig ist. (Das „Higgs“-Boson ist bei uns ein ganz gewöhnliches Teilchen.) In konventionellen Modellen wird üblicherweise der negative Teil von Einsteins „Lichtkegel“ weggelassen, und gestandene Physi-ker behaupten allen Ernstes – mit der Überredungskraft ihres Am-tes, doch in klarem Widerspruch zu den Erhaltungssätzen der Phy-sik – Einsteins gesamte Raum-Zeit sei an jenem singulären Urknall-„Punkt“ erst „entstanden“, „vorher“ habe nichts existiert: Dogma-tisch aus der Luft gegriffene Ad-hoc-Behauptungen sollen Unwis-senheit kaschieren!

Dieser „Flaschenhals“ in unserem elliptischen Hyperboloid hat aber nichts – gar nichts – mit einem „Anbeginn der Zeit“ zu tun. Dahinter geht es beidseitig weiter! Hier „entstand“ auch nicht unse-re Welt. Ihr Entstehungsprozess entspricht gruppentheoretisch nur einem der Direkt-Summanden in der Produktentwicklung („Ausre-duktion“) kollidierender Vorläuferstrukturen. Auch „Zeit“ und ihr Voranschreiten sind lediglich Ausdruck eines nicht-kompakten Parameters bzw. einer speziellen Eigenschaften des dynamischen Kanals, herausgegriffen aus einer Vielzahl anderer. Unser „Universum“ beherbergt als „irreduzibles“ Gebilde ganzheit-lich seinen gesamten, endlichen Wertebereich von Parametern, der diese Irreduzibilität halt ausmacht – auch den der Zeit. Für Folgekapitel ist also noch genügend Stoff zur Diskussion vor-handen!


– Nun mag man sich vielleicht fragen, wieso eine solch simple Gruppe wie eine SU(2,2) mit ihren so wenigen Parametern eine derart komplizierte Landschaft generieren kann, wie wir sie mit Einsteins gekrümmter Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit als unsere „Welt“ identifizieren [wollen]. Nun, erstens betten wir ja diese SU(2,2) in die 64 Dimensionen der Grand Unification ein. Deren Darstellung enthält bei ihrer „Aus-reduktion“ nach Darstellungen der nur 4-dimensionalen Unter-gruppe SU(2,2) i.A. recht viele Unterdarstellungen der SU(2,2), die auch mehrfach auftreten (können): Gleiche Unterstrukturen wer-den durchaus auch immer wieder anzutreffen sein: Es existiert eben mehr als z.B. nur ein einziges Elektron in der Welt! Zweitens jedoch – und dies ist der Hauptverursacher von Kom-plexität: Ein physikalisches „Ensemble“ wie etwa ein Stuhl besteht aus einer astronomisch hohen Anzahl von Elementarteilchen und ein Elementarteilchen selber wiederum aus einer astronomischen Anzahl von „Quanten“. All diese vielen Quanten müssen sich ir-gendwie auf die 64 Dimensionen der Grand Unification verteilen. Die Anzahl unterschiedlicher Kombinationsmöglichkeiten solch einer Verteilung wächst – grob geschätzt – mindestens mit der Po-tenz, wenn nicht fast mit der Gamma-Funktion der Anzahl ihrer Quanten an. Nun stelle man sich nur vor, allein wie viele Stühle wir auf der Erde haben, mal Anzahl Nukleonen, Elektronen und Photo-nen (Wärmestrahlung!), mal Anzahl Quanten pro Teilchen … Die experimentell beobachtete Komplexität unseres Universums bekommen wir so locker zusammen! Und mit dem nach Young be-nannten Formalismus des Kapitels „Symmetrien“ im Anhang haben wir auch das mathematische Rüstzeug an der Hand, nicht zu um-fangreiche Strukturen auch explizit zu berechnen bzw. umfangrei-chere wenigstens modellweise anzunähern, d.h. sinnvoll zu simulie-ren. Eine Aufgabe von Physikern ist es also, jeweils hinreichend „klei-ne“, aber typische Teilstrukturen herauszupicken und diese „exemplarisch“ (d.h. übertragbar, erweiterbar) zu lösen.


Unser Hyperboloid repräsentiert einen Casimir 2-ter Stufe. Die-ser stellt eine Summe quadratischer Generatoren dar, in dem einige Terme (gemäß ihrer „Metrik“) mit positiven, andere mit negativen Vorzeichen beitragen. Lösen wir diesen Ausdruck nun nicht, wie in obiger Skizze, nach seinen Raum-Zeit-Parametern auf sondern nach seinem Energie-Impuls-Gehalt, so lässt sich aus ihm die nach Klein und Gordon benannte Bewegungsgleichung der Teilchenphysik herausziehen. Diese ist dann gleich einem inhomogenen Teil, der aus den restlichen quadrierten Generatoren besteht. Für die Kosmologie hatte Einstein diesen inhomogenen Teil summarisch als „kosmologische Konstante“ bezeichnet – ohne da-mals jedoch ihre Zusammensetzung zu kennen, wie sie die Quan-tengravitation bzw., in erweiterter Form, die GUT explizit liefert (siehe Anhang „Gruppenkontraktion“). Teilchenphysiker dagegen pfle-gen ihr Analogon zu dieser „kosmologischen Konstante“ mit ihrer (quadrierten) Schweren Masse zusammenzufassen, um dann eine effektive (quadrierte „schwere“) Teilchenmasse zu erhalten. Massenwerte, die nicht mit den asymptotisch beobachteten Massen „freier“ Teilchen in einer flachen Raum-Zeit übereinstim-men – Teilchenphysiker arbeiten ausschließlich mit der Speziellen Relativitätstheorie – werden von diesen als „virtuell“ bezeichnet. Aufgrund der gravitativen Wechselwirkung aller Materie findet in der Allgemeinen Relativitätstheorie ständig ein Austausch zwi-schen Raum-Zeit und Energie-Impuls statt. (Um sich das anhand der Gummi-Membran plastisch vor Augen zu führen: Dort führt eine Änderung der Energie (des Gewichtes) des eindellenden Objektes zum Strecken bzw. Kontrahieren der Kuhlenfläche.) In der Sprechweise der Teilchenphysiker, die die Allgemeine Re-lativitätstheorie ignorieren, läuft die Kosmologie also fast aus-schließlich im „virtuellen“ Bereich ab, doch häufig genug unweit des reellen Bereiches. So lässt sich die Ursache dafür, warum ein Teil-chen mitunter auch einen „virtuellen“ Zustand annimmt, klar auf einen Effekt zurückführen, wie wir ihn längst aus der Allgemeinen Relativitätstheorie her kennen.


Solange sich Teilchenphysiker jedoch weiterhin mit der gegen-wärtigen Hartnäckigkeit der Kosmologie und speziell der Allgemei-nen Relativitätstheorie gegenüber abnabeln, wird für sie die Exis-tenz „virtueller“ Zustände ein ungelöstes Rätsel bleiben. Ihr funda-mentales Verständnis für die Grundlagenphysik wird dann auch für die überschaubar weitere Zukunft im Dunkel selbstverschuldeter Isolation verharren. Dieselbe „irreduzible Darstellung“ der Gruppentheorie, in der sich (auch) ein „reeller“ Teilchenzustand befindet, beschreibt, ma-thematisch betrachtet, zugleich auch zusätzlich noch eine Vielzahl „virtueller“ Zustände dieses Teilchens gleich mit. Beide Typen las-sen sich per Quantengravitation ineinander überführen, und das Experiment bestätigt die physikalische Existenz dieses Überganges. Jene „virtuellen“ Zustände sind so zu sagen unvermeidbare Begleit-zustände aus dem „Schwanz“ eines „realen“ Teilchens. Dies lässt sich recht anschaulich „verstehen“. Die Spezielle Rela-tivitätstheorie definiert sich aus der Konstanz folgender Begriffe:

P'02 − P' 2 = M0

2 , Q' 2 − Q'0

2 = const. L 2 − M 2 = const.

Die Allgemeine Relativitätstheorie addiert alle 3 schlicht zum gemeinsamen Casimir der SU(2,2):

P'𝟎𝟐 − P' 𝟐 − M𝟎

𝟐 − Q'𝟎𝟐 − Q' 𝟐 + L 𝟐 − M 𝟐 = const.

Eine Änderung der Energie muss jetzt nicht mehr unbedingt durch eine Änderung des Impulses kompensiert werden, sondern eine Änderung in der Raumzeit Q oder im Lorentzrahmen M tut es genauso! Einsteins Differentialgeometrie formuliert das gleiche über sein Äquivalenzprinzip nur wesentlich umständlicher. Die Zusatzterme über die P’s bzw. Q’s der Speziellen Relativitäts-theorie hinaus gestatten ganz klar auch die Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit, wie es für das Passieren des Ereignishorizon-tes eines Schwarzen Loches tatsächlich beobachtet wird.

41

Kosmische Inflation Bei Beschränkung auf die Spezielle Relativitätstheorie wird der Pa-rameter X9 senkrecht zur Zeichenebene des kosmischen Hyperbolo-ids vom vorigen Kapitel zu einer Konstante. Verschwindet diese, so fällt ein betreffender Kegelschnitt mit der dortigen Zeichenebene zusammen. Bei anwachsendem (reell-wertigen) Parameter wird die horizonta-le Lücke zwischen beiden Hyperbelästen zur Zeit t=0 mehr und mehr schrumpfen, solange bis diese „Hyperbel“ zu einem Kreuz am Ursprung null von Raum und Zeit entartet – jedoch in einer Ebene parallel zur Zeichenebene im Abstand der Taille des Hyperboloids. Dies ist der klassische Big Bang „Punkt“. Wächst der Parameter noch weiter an, so öffnet sich dieses Kreuz wieder, und unser speziell-relativistischer Kegelschnitt nimmt folgende Gestalt an, jetzt mit einer vertikalen Lücke in Zeit-Richtung:

Bei weiter anwachsendem Parameter weitet sich auch der Ab-stand zwischen „Big Bang“ und „Big Crunch“ immer mehr.

X92 = const.> 𝓵2 Speziell-relativistischer Schnitt

Big Bang

Big Crunch

Inflation

Deflation


Im traditionellen „Standardmodell“ fallen beide „Bigs“ zusam-men. (Dies entspricht der gerade erwähnten „Kreuz“-Konfiguration.) Die Existenz des unteren Astes wird üblicherweise jedoch totgeschwie-gen. Dies führt dann zu den abenteuerlichsten Interpretationen, nur um vor der Öffentlichkeit seine eigene sachliche Unwissenheit mit markigen Sprüchen zu überspielen. Anders aber als bei Einsteins klassischem Modell, wo der Big Bang noch einen singulären Punkt darstellte, weil der Chef die Zu-sammensetzung seiner kosmologischen „Konstante“ damals nicht kannte, gestattet es unser Hyperboloid mit Leichtigkeit, diesen aus-gezeichneten Punkt „weiträumig zu umfahren“: Die Quantengravi-tation ist frei von Singularitäten. Interessanter jedoch ist die Tatsache, dass eine Tangente an der Position des „Big Bangs“ exakt horizontal zu liegen kommt. Der kleinste Zuwachs an Zeit führt also zu einem riesigen Zuwachs an Raum rund um diesen Punkt. Dies bedeutet einen Sprung in Raum-Richtung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit! (Formal wäre er un-endlich schnell.) Dieses Verhalten einer lokal unbeschränkten Aufblähung unseres Universums unmittelbar nach seiner „Entstehung“ ist in der Kosmo-logie wohlbekannt: Es handelt sich um die „Kosmische Inflation“, die bisher kein Modell einleuchtend erklären konnte. Selbstredend führte dieser Prozess „schneller als Licht“, der in dieser Form ja nur speziell-relativistisch existiert, in der Kosmologie zu argen Kopf-schmerzen. Die lahme Ausrede, auf die man sich schließlich einigte, lautet: Nicht die physikalischen „Objekte“ in Raum und Zeit würden dort derart schnell beschleunigt, sondern der „Raum selber“ expandiere dort mit Überlichtgeschwindigkeit; die physikalischen Objekte wür-den lediglich „mitgerissen“. Diese faule Ausrede verschiebt jedoch das unphysikalische Ver-halten lediglich von den „Objekten“ hin zum gleichermaßen mystifi-zierten „Raum“, in dem sie liegen. (Man erinnere sich daran, dass sol-che Äther-ähnlichen Modelle, die dem Raum Eigenschaften zuweisen, seit Einstein eigentlich „out“ seien sollten!)

Kosmische Inflation 43

Einstein hatte die Raum-Zeit auf eine Eigenschaft der Materie reduziert: Ohne Materie existiert auch keine Raum-Zeit. Ein leerer Raum – mit null Quanten – kann auch nicht expandieren: Null mal etwas bleibt null! In der Quantengravitation sind Raum und Zeit nicht kommensurabel. So wird im Reaktionskanal üblicherweise eine Komponente des (CMS-)Raumes diagonal angesetzt, während der dynamische Kanal stattdessen näherungsweise von einer Dia-gonalisierung der Zeit ausgeht. Aufgrund dieser Nicht-Verträglichkeit und im Gegensatz zur nie-mals verifizierten Meinung der Kosmologie beschreibt die Kosmi-sche Inflation keine Beschleunigung von Materie – sagen wir: – von jenem spezifischen Big Bang auf dem ausgewählten Kegelschnitt zu einem anderen, weit entfernten Punkt innerhalb desselben speziell-relativistischen Kegelschnittes hin. Stattdessen beschreibt sie die Sicht eines externen Beobachters von einem anderen Kegelschnitt her, der dichter an der Zeichen-ebene liegt. Von dort werden beide Punkte also von einem gemein-samen dritten Punkt her betrachtet. Damit aber stehen unsere beiden Ausgangspunkte nicht direkt in kausaler Beziehung miteinander – dies verstieße sonst gröblichst gegen traditionelle Grundsätze der Physik, und eine „Raum“-Ausdehnung ohne Materie würde in die Physik die zusätzliche Exis-tenz eines mysteriösen Stoffes wie Äther oder was auch immer wiedereinführen. Verfolgen wir aber beide Ausgangspunkte unabhängig voneinan-der bis zu einem gemeinsamen dritten, früheren Punkt auf einem anderen der parallelen Kegelschnitte zurück, die das volle Hyperbo-loid in Scheiben zerlegen, dann bezöge sich die Kausalität nur noch auf die Distanz jenes dritten Punktes relativ zu unseren beiden ur-sprünglich betrachteten Punkten. Kausale Beziehungen mit Überlichtgeschwindigkeit werden dann nicht mehr benötigt. In der Neuen Physik erklärt sich also auch die Kosmische Inflation ganz von selbst. Und der Raum bleibt jener endliche Abzähleffekt von Quanten.


Damit bleibt aber auch unser Universum (wie auch jedes Ele-mentarteilchens) von endlicher Ausdehnung. Denn der Wert einer räumlichen Koordinate summiert sich ja (im Schwerpunktsystem) ge-rade aus der endlichen Anzahl von Beiträgen zusammen, die die ein-zelnen Quanten liefern. „Hinter“ dem letzten Quant – da ist halt nichts mehr (der „Aufsteige-Operator“ bricht ab)! Die Kosmische Inflation dient den Astronomen dazu, sich die (näherungsweise) Isotropie des Mikrowellen-Hintergrundes in unse-rem Universum als fernes Überbleibsel „des“ Urknalls plausibel zu machen. Ihre Argumentation läuft über die Kausalität vom Aus-gangspunkt der Inflation her, die die dort herrschenden Strukturen lediglich extrapoliere und damit in etwa berechenbar mache. Man beachte jedoch, dass es keinen einzelnen „Punkt“ als Big Bang gibt sondern eine ganze (nicht-singuläre) Linie nebst Umgebung, die von der Zeichenebene des Hyperboloids im vorigen Kapitel schräg nach hinten abgeht. Die einzelnen Photonen dieses Mikro-wellen-Hintergrundes hatten demnach ihren Ursprung in Reaktio-nen, die sich in „virtuellen“ Bereichen unseres frühen Universums abgespielt haben – doch nicht sämtlich auf demselben, speziell-relativistischen Schnitt, sondern in einem ganzen Bereich von Schnitten! Implizit berücksichtigt dies die Inflationsargumentation längst, indem sie den Start der Inflation nicht auf den Nullpunkt legt son-dern erst für eine spätere Zeit ansetzt. (Sonst gäbe es ja keine „Struk-tur“.) Insofern liefert die Quantengravitation hierzu lediglich neues Hintergrundwissen, ändert aber nichts Wesentliches an der expe-rimentellen Auswertungsmethode. Und: Unser Universum nahm „am Urknall“ nicht seinen Anfang. Rechentechnisch ist es, wie gesagt, überhaupt kein Problem, den Bereich dieser „Big Bangs“ zu passieren, um zu negativen Absolut-zeiten unseres Universums zu gelangen. Physikalisch ist sie keine Singularität! Schließlich sei noch darauf hingewiesen, dass der mathematische „Ursprung“ (alle Parameter gleich null), also Einsteins Nullpunkt, kein Punkt unseres gekrümmten Universums darstellt und damit physi-kalisch auch nicht zugänglich ist. Doch: wozu auch!

45

Paarerzeugung Jener Spezialfall imaginärer Werte auf der Achse senkrecht zur Zei-chenebene ist in unserem kosmischen Hyperboloid einer der „vir-tuellen“ Bereiche im Sinne der speziell-relativistischen Quanten-feldtheorien.

Die Rollen von Raum und Zeit vertauschen sich hier formal: die Zeit ist begrenzt, und der Raum erscheint unbegrenzt. In der hier gezeigten (Teil-)Darstellung dehnt sich die Zeit zusammen mit dem Raum aus und konvergiert asymptotisch gegen ihn. Wieder beachte man, dass sich zwei getrennte Äste auftun – diesmal jedoch nicht mit einer Lücke in der Zeit wie bei der Kosmi-schen Inflation, sondern im Raum. Da in Quantengravitation und GUT Teilchen und Universum gleich beschrieben werden, erinnert obige Skizze an die Paarerzeugung (Auseinanderlauf) bzw. Paarver-nichtung (Zusammenlauf) von Teilchen und Antiteilchen. Dies stellt jedoch einen recht engen Blickwinkel dar, abgeleitet aus der Erzeugung eines Fermionen-Paars aus einem Meson. Wir sollten uns ganz allgemein damit abfinden, dass Universen in glei-cher Weise wie Teilchen miteinander reagieren. Lediglich die An-zahl beteiligter Quanten unterscheiden sich, und das auch gleich in ungeheuerlicher Größenordnung.


Daran lassen sich grundsätzliche, ganz allgemeine Bemerkungen anknüpfen. Unsere 8-dimensionale Quantengravitation bettet sich in die 8**2 = 64-dimensionale GUT als „internes Singlett“ ein; erst die GUT fächert es mit ihrer Hinzufügung „interner“ Kräfte weiter auseinander. Der Rahmen dieser Herleitung war jedoch weit an-spruchsvoller gewesen. Umfassendere Achter-Potenzen hatten im Raume gestanden, für deren Existenz wir experimentell zumindest zurzeit (noch?) keine Hinweise als solche identifizieren konnten. Doch das muss nicht immer so bleiben! Unser derzeitiges Modell sollte dies als Arbeitshypothese im Auge behalten und das Tor zu künftigen Weiterentwicklungen nicht ohne Not vorzeitig zuschlagen. Dann wäre ganz ähnlich auch unsere GUT nur als (Singlett?-) Kom-ponente innerhalb einer noch höheren Struktur zu erwarten. Wie-der hätten wir uns mit Fragen einer Einbettung auseinanderzuset-zen. (Auf numerologischer, nicht experimenteller Basis geistern spora-disch bereits spekulativ als „Monster“ titulierte Darstellungsformen durch die Literatur.) Wir wollen diesbezüglich nur so viel im Gedächtnis behalten: Die hier besprochenen Strukturen werden auch dort noch überleben – als Unterstrukturen und Näherungen. Und Universen werden sich dort ganz ähnlich verhalten wie Teilchen in unserem Universum. Beim Anschalten jener zusätzlichen Strukturen werden Universen vergleichbar miteinander wechselwirken wie unsere Teilchen beim Anschalten ihrer wechselseitigen Kräfte. Wie in der Teilchenphysik dürfte auch die „Grenze“ eines Univer-sums nicht absolut undurchdringlich sein: Prinzipiell sind Unter-strukturen jedweder Größenordnung austauschbar – von einer blo-ßen Impulsübertragung und „Strahlung“ bis hin zu vollständigen Spaltprodukten. Dies ermöglicht – vom Prinzip her jedenfalls – auch inter-universelle Kontakte. All dies ist nur Frage der „Einbettung“. Auch die Erzeugung und Vernichtung von Universen wird keine Angelegenheit mehr von „Big Bangs“ und „Big Crunches“ sein. Wie in der Teilchenphysik haben wir auch Universen schlicht zu multipli-zieren und ihr Produkt dann zu einer „direkten“ Summe irreduzibler Komponenten auszureduzieren. Diese ergeben dann die einzelnen Universen wie das Unsrige.

Paarerzeugung 47

Erzeugung und Vernichtung ist nicht Sache des Zeit-Generators sondern Angelegenheit einer Ausreduktion! In der Teilchenphysik erweisen sich derart neu gebildete Zustän-de üblicherweise als „virtuell“. Nicht anders wird es bei Universen sein. Kollisionen nach der heutigen Thermodynamik nachempfun-denen Konstruktionsprinzipien werden schrittweise in Richtung auf ein Gleichgewicht „stabiler“ Universen zusteuern. Der Teilchenphysik entnehmen wir, dass sich ein „freies“ Teil-chen – so wie wir es als ausgereifte, „erwachsene“ Struktur lange nach seiner Entstehung von außen her in unserem Universum her-umschwirren sehen – in seiner räumlichen Ausdehnung standard-mäßig ebenfalls als wohlbegrenzt erweist, sobald wir seine Abmes-sungen, wie auch immer, im Reaktionskanal messen. Dies folgt un-mittelbar aus der Endlichkeit jeglicher Messung in der Physik – bei Offenhaltung abschließender Philosophien. Die eigene Ausdehnung eines Teilchens konvergiert also gegen irgendeinen festen Wert, der von seiner endlichen Anzahl von Quanten bestimmt wird, die in diesem abgeschlossenen System verfügbar sind – vorausgesetzt, seine externen Wechselwirkungen bleiben außer Betracht. (Andernfalls wäre es ein offenes System mit unscharfem Ort.) Die Kosmologie mag dies als indirekten experimentellen Hinweis darauf werten, dass auch unser Universum – als „freies“ Universum – mit anwachsender Zeit einer endlichen Größe zustreben dürfte: Wie jedes seiner „Teilchen“ sollte es ebenfalls zu einer endlichen Darstellung von Quantengravitation und GUT gehören. Auch die „Vakuumpolarisation“ des konventionellen „Standard-modells“ ließe sich formal durch Quantenzustände mit entgegenge-setzten Quantenzahlen nachstellen. Diese könnten sich aus den beiden Schalen obiger Paarerzeugung bilden – oder auch aus ge-genüberliegenden Regionen des einschaligen Teiles unseres kosmi-schen Hyperboloids (im Mikrokosmos). Trotzdem könnten sie aber nicht rein aus dem Vakuum entste-hen. Denn zur Erhaltung der Anzahl von Quanten benötigen sie ei-nen konkreten Auslöser, der diese liefert – sei es eines Bosons oder der Dunklen Materie.


Anders als im Falle der 2-schaligen Paarerzeugung berühren und durchdringen sich im 1-schaligen Teil unseres kosmischen Hyperbo-loids beide (ausgedehnten) Bereiche vornehmlich entgegengesetz-ter Quantenzahlen in ihrem relativ engen Zentralbereich an der Taille. Astronomen beobachten in diesem Bereich somit den Zu-sammenprall von „Zuständen“ entgegengesetzter Quantenzahlen in Form (eines Hintergrundes aus Mikrowellen-Strahlung aus) einer gewal-tigen „Explosion“. Diese wurde einst „Big Bang“ getauft, und nach Einstein entsprä-che sie einer Punkt-Singularität. Wir lernten inzwischen, dass dieser Bereich ausgedehnt ist sowie dass unser Universum nicht notwen-digerweise auch dort „entstanden“ sein muss. Sein „Entste-hen“ bedeutet (vgl. Kapitel „Das kosmische Hyperboloid“) keinen zeit-lich ablaufenden Prozess. „Zeit“ ist nur irgendeiner seiner internen Parameter, der erst mit entsteht, und zwar über seinen gesamten Wertebereich hinweg auf einen Schlag! Man unterscheide aber die unterschiedlichen Hierarchiestufen: Ein Teilchen trägt nur seine eine Ladung. Wegen +1+(+1-1)=+1 schließt eine Gesamtladung +1 in unserem Universum nicht die simultane Koexistenz auch entgegengesetzt geladener Teilchen (+1-1) aus. So kann es zwar im Zentrum unseres Universums zu einer gewaltigen Explosion entgegengesetzt geladener Zustände kommen. Das Analogon auf Teilchenebene wäre aber der Zusammenprall unterschiedlich geladener Teilchen, bei dem sich im Wesentlichen die Nicht-Valenzteile der beteiligten Teilchen umsortieren. Beschreibt unser kosmisches Hyperboloid ein Teilchen(paar), dann trennt die beiden direkten Opponenten mindestens ihr dop-pelte Taillenradius – allenfalls ausgedehnte Bereiche könnten über-lappen. Im Falle des 2-schaligen Hyperboloids (obige Paarerzeugung) berühren sich die beiden Bereiche (Teilchen) entgegengesetzter La-dungen nicht einmal: ihre Raum-Lücke hält sie auf Distanz. Für die Teilchenphysik heißt dies, dass zumindest diese Typen von Paarerzeugung und -vernichtung nicht-lokale Prozesse darstel-len – welcher auch immer der auslösende Boson-Zustand sein mag.

49

Hinter dem Ereignishorizont Gemäß der Speziellen Relativitätstheorie lässt sich ein Objekt nur asymptotisch auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen – also nur abstrakt, im Grenzwert, aber nicht wirklich. Dem gegenüber gestat-tet Einsteins klassische Form der Allgemeinen Relativitätstheorie die Existenz superschwerer Objekte im All, deren Massenanziehung als Funktion der Annäherung so stark anwachsen kann, dass makro-skopische Objekte diese Barriere tatsächlich zu erreichen vermögen. Diese Grenz-„Linie“ heißt „Ereignishorizont“, das superschwere Objekt dahinter „Schwarzes Loch“. Der experimentelle Beleg für die Existenz Schwarzer Löcher durch die beobachtende Astronomie zog infolge von Einsteins defektivem Modell einen ungeahnten Ratten-schwanz ungelöster Probleme nach sich, insbesondere die Frage nach der Welt in seinem Inneren. Für Beobachter von außen gilt am Ereignishorizont aufgrund der gravitativen Wechselwirkung effektiv nicht mehr das Äquivalenz-prinzip

Träge Masse = Schwere Masse.

Da nämlich makroskopische, „schwere“ Objekte dort die Lichtge-schwindigkeit nicht nur asymptotisch, sondern tatsächlich erreichen, verhalten sie sich dort, als wären sie masselos wie das Licht:

Träge Masse = 0 (d.h. Energie2 = Impuls2).

Nun beobachtet die Astronomie nicht nur das Erreichen eines Ereignishorizontes, sondern auch das Verschwinden ganzer Sterne und selbst des Lichtes hinter ihm: Aufgrund des physikalischen Grundsatzes, dass weder etwas verschwinden noch „vom Himmel fallen“ dürfe, bleibt uns nichts anderes übrig als zu schlussfolgern, der Ereignishorizont werde überschritten, ein Schwarzes Loch „fres-se“ alles auf. Dahinter steuert Einsteins technisches Formelwerk, experimentell nicht weiterverfolgbar, auf eine Singularität zu. Da-mit endet sein Anwendbarkeitsbereich de facto am Ereignishorizont, wo es beim Überschreiten der Lichtgeschwindigkeit aussteigt.


Die offizielle Sprachregelung lautet: Da ein Schwarzes Loch nicht einmal eingefangene Photonen wieder freigebe, existiere kein ex-perimenteller Weg, überhaupt an irgendwelche Informationen über das Innere eines Schwarzen Loches heranzukommen. Damit entzie-he sich sein Inneres jeglicher physikalischen Behandlungsmethode. Punkt, aus. Klar, dass die Quantengravitation solch eine Selbsteinschränkung nicht akzeptieren kann! Der Trugschluss liegt im einseitigen Behar-ren Einsteins auf der Behandlung des Falles rein in seinem „dynami-schen Kanal“. (Dies entspricht: Ende der Fahnenstange am Ereignis-horizont). Das tatsächliche, astronomisch beobachtete „Verschwinden“ von Materie über den Ereignishorizont hinweg, d.h. die Überschrei-tung der Lichtgeschwindigkeit, ist zwar nicht in Einsteins dynami-schem Kanal nachvollziehbar; sie funktioniert jedoch – vgl. das Thema „Verschränkung“, auf das ich hier nicht eingehe – sehr wohl im Reaktionskanal! Mathematisch bestätigt dieser experimentelle Sachverhalt er-neut die These der Quantengravitation, die Physik stecke nicht in aufintegrierten, mit Integrationskonstanten gespickten, kontinuier-lichen Transformationen der Funktionentheorie sondern bereits unmittelbar in den Generatoren selber, die der eine im dynami-schen Kanal, der andere im Reaktionskanal bearbeiten mag – je nach persönlichem, fallbezogenen Gusto. Doch zurück zur Gruppentheorie. Dirac hatte Zweien seiner vier U(2,2)-Dimensionen Zeitartigkeit verordnet – sagen wir den unte-ren beiden; die oberen beiden beließ er raumartig. In seiner Metrik drückt sich das durch seine Substitutionsregel aus (vgl. Anhang „Er-zeuger und Vernichter“), für den Mathematiker:

ψ ∝

⎝

⎛

a1+

a2+

a3+

a4+⎠

⎞ Dirac⎯

a1+

a2+

−𝒊b𝟑−

−𝒊b𝟒−

.

Durch Multiplikation mit der imaginären Einheit i wird daraus:

Hinter dem Ereignishorizont 51

a1+

a2+

−𝑖b3−

−𝑖b4−

mal 𝑖 ⎯⎯

𝒊b𝟏−

𝒊b𝟐−

a3+

a4+

.

Beide Formen sind gleichwertig, beide beschreiben eine [S]U(2,2). In ihrer (lokal) äquivalenten Darstellungsweise als Konforme Grup-pen beschreibt die eine Variante eine SO(4,2), die andere eine SO(2,4). Lediglich die Eigenschaften „zeitartig“ und „raumartig“ sind wechselseitig ausgetauscht. Die physikalische Unterscheidbarkeit beider Varianten gegenei-nander existiert nur im dynamischen Kanal (U(2,2)): Sie entspricht der Drehung einer Hyperbel um 90°, d.h. formal der Vertauschung ihrer „x/y“-Achsen; im Reaktionskanal (U(4)) liefert diese Multipli-kation mit i dagegen gruppentheoretisch nichts Neues: eine Kreis-peripherie bleibt eine Kreisperipherie. Der Leser wird sich an das Kreis/Hyperbel-Beispiel aus dem Kapi-tel „Die Physik von Handlungsabläufen“ erinnern. Im Anhang „Halbwelten“ kann sich der Interessierte noch einmal explizit damit auseinandersetzen, wie sich durch Diracs Substitutionen die „kom-pakte“ U(8) des Reaktionskanals beim Übergang zur „nicht-kompakten“ U(4,4) des dynamischen Kanals formal in zwei separate „Äste“ aufspaltet. Die Trennlinie zwischen beiden, ansonsten völlig gleichwertigen Bereichen im dynamischen Kanal ist allein Folge von Diracs partiel-len Substitutionen. Ihre Trennlinie ist Einsteins Ereignishorizont! Der eine „Hyperbelast“ entspricht unserer eigenen (Halb-)Welt, in der wir leben, und der andere „Ast“ stellt die andere Halbwelt dar, wie wir sie hinter dem Ereignishorizont antreffen. Beide sind ge-geneinander austauschbar. Wir werden dies sofort noch genauer aufklären. Nur so viel vor-weg: Zwar stellt diese „Trennlinie“, der Ereignishorizont, für das Arbeiten rein im dynamischen Kanal ein ärgerliches Hindernis für die Funktionentheoretiker dar – nicht aber für den Reaktionskanal der Gruppentheorie, den die bisherige Grundlagenphysik, wie schon mehrfach ausgeführt, bisher sträflich ignoriert.


Experimentell und zum Verständnis der Physik Schwarzer Löcher müssen wir also tunlichst den Reaktionskanal mit bemühen. Der Austausch der oberen Hälfte von Diracs Spinor gegen seine untere Hälfte lässt sich (bis auf für das Verständnis unwesentliche Vorzeichen) am einfachsten durch die Drehung um 90° mit der zweiten Pauli-Matrix, dem Generator der Schweren Masse, bewerkstelligen:

M0 ∝ σ0 ⊗ σ2 .

Wegen Diracs Substitutionen „dreht“ die Schwere Masse als Ge-nerator des dynamischen Kanals aber nicht trigonometrisch (mit cos, sin), sondern hyperbolisch (mit cosh, sinh). Zwecks Rückkehr zum Reaktionskanal (cosh, sinh -> cos, sin) ist die Schwere Masse also mit der imaginären Einheit zu multiplizieren:

B ≡ 𝒊M𝟎 .

B ist unser „Black Hole“-Generator. Dieser stellt kein künstliches Artefakt dar, sondern beweist seine konkrete, experimentelle Exis-tenz durch den tatsächlich beobachteten Übertritt von Materie über den Ereignishorizont hinweg! B kommutiert (natürlich mit Teil-chenzahl und Schwerer Masse sowie) mit sämtlichen Generatoren der Speziellen Relativitätstheorie, ist mit letzterer also kommensurabel. Eine Drehung mit B um 90° vertauscht jedoch die CMS-Raum-Zeit Q‘ mit dem ebenfalls 4-dimensionalen Energie-Impuls P‘ – und damit auch die gewöhnliche Raum-Zeit X‘ mit der Vierergeschwin-digkeit V‘:

Q'µB

↔ ∝P'µ und X'µB

↔ ∝V'µ .

Der experimentelle Befund, dass Materie beim Passieren des Ereignishorizontes überlichtschnell wird, relativiert sich sofort dadurch, dass diese Geschwindigkeit dabei in die gewöhnliche Raum-Zeit konvertiert, wie sie innerhalb des Schwarzen Loches als solche zu interpretieren ist. Umgekehrt konvertiert (klassisch-relativistisch: an dieser Grenze) unsere eigene Raum-Zeit zur dorti-gen Vierergeschwindigkeit.


Im Prinzip bleibt also die Physik als solche vor und hinter einem Ereignishorizont die gleiche: Die Physikalische Halbwelt hinter ei-nem Ereignishorizont schaut aus dortiger Sicht genauso aus wie unsere eigene Halbwelt davor! Quantentheoretisch braucht es für diese Vertauschung von Q‘ mit P‘ nicht einmal die Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit; es reicht völlig aus, wenn sich – wie auch immer experimentell realisiert – Q‘ und P‘ im speziell-relativisti-schen Bereich virtuell austauschen. Quantenfeldtheorien kennen mit den Partialzuständen, wie sie ihnen ihre „Feynman-Graphen“ liefern, diverse Beispiele für solche exotischen, „virtuellen“ Zustände außerhalb ihrer jeweiligen „Mas-senschalen“ – nur ist ihnen nicht bewusst, wie dicht sie da stellen-weise im Grunde schon heute, de facto „hinter dem Ereignishori-zont“ herumfuhrwerken. Ihre Abwehr gegen alles Allgemein-Relativistische verstellt ihnen den Blick für das fundamentale Ver-ständnis ihrer virtuellen Zustände. Mit dem koexistenten B-Generator greift auch die Physik des dynamischen Kanals explizit (Winkel 90°) auf den Reaktionskanal zu! Wir sollten dieses B deshalb als Operator einer Spiegelung zwischen den beiden dynamischen Halbwelten zum dynamischen Kanal er-gänzen. Die Lorentz-Transformationen würden sich durch ihn um eine (kommutierende, und deshalb bisher experimentell unbeach-tete) 0-Komponente erweitern:

e−𝑖ζ ∙M → e±𝑖ζ0B−𝑖ζ ∙M .

Sie trüge (Paritäts-ähnlich) der Aufspaltung einer ganzheitlichen Welt im Reaktionskanal in die zwei Halbwelten des dynamischen Kanals Rechnung: B besorgt – in Übereinstimmung mit dem Experi-ment! – den Übergang zwischen beiden dynamischen Teilsystemen. Nun sehe aber unsere eigene Welt mit ihrer Unzahl punktuell eingestreuter Schwarzer Löcher an den verschiedensten Orten im All keineswegs so aus, als bildete sie eine „gleichwertige“ Alternati-ve zum Inneren eines – ja welches? – Schwarzen Loches, könnte man einwenden.


Die Ursache für diese scheinbare Disparität liegt an der „Strahl-darstellung“ (englisch: ray representation) unserer Welt. Als optisch aktive Lebewesen haben wir uns evolutionär nämlich so entwickelt, dass wir nicht Q‘ und P‘ unmittelbar beobachten, sondern nur die Quotienten

X‘µ ≡ Q‘µ/M0 , V‘µ ≡ P‘µ/M0 .

Die beiden SO(2,4)-Dimensionen der Nummern 4 (für die additi-ve Raum-Zeit Q‘ im Schwerpunktsystem) und 6 (für den Energie-Impuls P‘) werden durch den Generator der schweren Masse divi-diert, der als Generator B diese Richtungen 4 und 6 auch ineinander umwandelt. Doch was verbirgt sich dahinter physikalisch? Einige der Generatoren unserer SO(2,4) müssen im Vergleich zu den anderen Generatoren schon von der Theorie her mit besonders großen Messwerten verknüpft sein (vgl. Anhang „Gruppenkontrak-tion“, gelbe Kästchen). Dies sind die Komponenten der beiden Vie-rervektoren Q‘ und P‘ sowie die Masse. Per Division solcher hohen Werte durch einander entstehen kleinere, handlichere Größen. Mathematisch besorgt dies die Strahl-Darstellung; biologisch leitete uns so die Evolution weg von Q‘ und P‘ hin zur Betrachtung von X‘ und V‘. Dies hat aber philosophische Folgen: Punkte, die sich im Q‘-Raum noch deutlich voneinander unterscheiden, können in dieser Strahldarstellung im X‘-Raum plötzlich zusammenfallen. Ent-sprechendes gilt für P‘ relativ zu V‘. Die Strahldarstellung führt also zu Punkteballungen. Evolutionsbiologisch betrachten wir solche Punkteballungen als einheitliche, zusammenhängende „Objekte“, sofern sie sowohl be-züglich X‘ als auch zugleich bezüglich V‘ (in etwa) übereinstimmen – wohlbemerkt: bezüglich V‘ = P‘/M, und nicht bezüglich P‘ selber! Nun geht eine U(n,m) in eine U(m,n) über, wenn wir (z.B. durch Diracs Substitutionen) ihre zeitartigen Dimensionen in raumartige und ihre raumartigen in zeitartige konvertieren. (Für n=m erkennt man dies schlecht; aber es funktioniert genauso.) Formal lässt sich diese Konversion durch eine geeignete „Drehung“ à la B auch ganz allge-mein innerhalb unserer 8-dimensionalen Basis bewerkstelligen.


Dabei gehen sämtliche Generatoren der 4-dimensionalen Versi-on der Quantengravitation (ggf. bis auf Vorzeichenwechsel) in sich über – lediglich ihre konformen Dimensionen 4 und 6 vertauschen sich gegeneinander: die alte Raum-Zeit Q‘ im Schwerpunktsystem wird zum neuen Energie-Impuls und der alte Energie-Impuls wird zur neuen CMS-Raum-Zeit. Oder auch – Ich wiederhole in anderer Formulierung – Einsteins Raum-Zeit X‘ vertauscht ihre Rolle mit der Vierergeschwindigkeit V‘:

Übergänge am Ereignishorizont:

a± ↔ −𝒊b∓ , Q‘µ ↔ ∝ P‘µ , X‘µ ↔ ∝ V‘µ .

Fazit: Die Welt hinter dem Ereignishorizont, innerhalb eines Schwarzen Loches, ist von gleicher Natur wie unsere eigene Welt vor dem Ereignishorizont! Der Ereignishorizont teilt unsere Welt bezüglich Q‘ und P‘ zwei-felsohne in 2 gleichartige Teile auf, die aus unserer einseitigen Sicht nur deshalb so unsymmetrisch wirken (mit einer Vielzahl voneinan-der getrennter Schwarzer Löcher innerhalb unserer eigenen zu-sammenhängenden Sphäre), weil wir sie aus evolutionsbedingten Gründen unsymmetrisch betrachten: die nicht-lineare Raum-Zeit X‘ nämlich als primär, den Energie-Impuls als Vierergeschwindigkeit V‘ jedoch als von sekundärer Bedeutung. (Der quadratische U(4,4)-Casimir beschreibt beide Varianten noch völlig symmetrisch!) Die Sortierung primär nach X‘ führt auf unserer Seite primär zu Objekten als Punkteballungen bezüglich X‘ – sagen wir: zu einem Kinderkreisel. Bringen wir ihn zum Rotieren, so sind bei ihm radius-abhängig sehr viele unterschiedliche Geschwindigkeiten zu be-obachten; trotzdem bleibt der Kreisel als kompakte Einheit erhalten; die divergenten Geschwindigkeiten V‘ seiner Einzelpunkte reißen ihn nicht als Gesamtobjekt auseinander. Eine Sortierung seiner Punkte primär nach V‘ hingegen liefert uns ein breites Spektrum unterschiedlicher V‘-Werte.


Ein zweiter Kreisel an einem anderen Ort X‘ erscheint für uns als anderes Objekt – selbst wenn sein Geschwindigkeitsspektrum V‘ mit dem des ersten in etwa übereinstimmen sollte. Gehen wir mit diesen beiden Objekten aus der Sicht vor dem Ereignishorizont jetzt hinter den Ereignishorizont, so erfolgt die dortige Sortierung primär nach dem neuen X‘ = dem alten V‘: Ein breites X‘-Spektrum an den unterschiedlichsten Orten (der neuen Art) resultiert; doch „zufällig“ stimmen alle Punkte in ihren (neuen) Geschwindigkeiten V‘ grob überein, die sich um 2 Werte herum zusammenklumpen (um die vorherigen Ortskoordinaten X‘). Nehmen wir als anderes Beispiel die Straßenbahnen in einem rechtwinkligen, schachbrettartigen Straßensystem. Alle Wagen des Verkehrsnetzes befinden sich im dortigen rechtwinkligen Straßen-system an unterschiedlichen Orten. Aber viele von ihnen fahren eine Zeit lang mit ähnlichen Geschwindigkeiten und Richtungen. Nach Passieren des Ereignishorizontes bildet sich nun eine kleine Anzahl kompakter (ausgefranster) Objekte an einigen wenigen Stel-len bezüglich des neuen X‘ heraus, deren (neue!) Partialgeschwin-digkeiten V‘ (den vorherigen Orten X‘) jedoch über ein breites Spektrum wabern. Völlig entsprechend werden sich die vielen Schwarzen Löcher, wie wir sie in unserem All verstreut vorfinden, aus Sicht hinter ei-nem beliebigen ihrer diversen Ereignishorizonte zu einem Ge-samtweltall zusammenfinden, in dem sich unser eigenes All (infolge der Konversion X‘ <-> V‘) in lauter einzelne, kugelähnliche Inseln des-integriert, die nun jede für sich ihren eigenen Ereignishorizont aus-bildet. D.h., auch hinter dem Ereignishorizont finden wir eine Welt vor, die der unsrigen recht ähnlich sehen wird. Letztendlich wird es nicht absolut unterscheidbar sein, auf welcher Seite eines Schwar-zen Loches wir uns befinden. Auch die Welt hinter dem Ereignisho-rizont besitzt ihr kosmisches Hyperboloid mit seiner Dunklen Ener-gie usw. und so fort.


Deutlich bestätigt sich die Äquivalenz beider „Halbwelten“ zuei-nander auch, wenn wir statt ihrer Generatoren ihren Materiegehalt, d.h. ihre Spinoren, betrachten. Durch deren eingangs erwähnte Multiplikation mit der imaginären Einheit am Ereignishorizont ver-wandelt sich Materie (a-Spinor) positiver Masse (oberer Index +) in Diracs „Löcher“ (obiger Index –) von Antimaterie (b-Spinor) (vgl. auch das letzte Kästchen oben). Ein „Loch“ in Diracs Sinne bedeutet keine einfache „Auslas-sung“ einer Position (Masse null) sondern eine aktive „Ausker-bung“ an jener Stelle (Masse negativ)! Einem „Loch“, das sich in die eine Richtung vorwärts bewegt, entspricht also ein Teilchen bzw. Antiteilchen, das sich in die entgegengesetzte Richtung, rückwärts, bewegt. Passiert Materie den Ereignishorizont von der einen Seite, so tritt es als Antimaterieloch auf der anderen Seite aus. Zu interpretieren ist dieses aus dortiger Sicht einlaufende „Loch“ gemäß Dirac aber als Antimaterie, die sich in Richtung auf den Er-eignishorizont zu bewegt (Zeitumkehr)! Passieren des Ereignishori-zontes vertauscht unsere Zukunft gegen dortige Vergangenheit! Wir können uns also drehen und wenden, wie wir wollen: Ein Ereignishorizont spuckt niemals Materie (inklusive Antimaterie) aus, sondern er „frisst“ sie stets immer nur in sich hinein – egal von wel-cher seiner beiden Seiten wir diesen Vorgang betrachten! Letztend-lich ist dies nur eine Anwendung des so genannten TCP-Theorems (siehe Anhang „Spiegelungseigenschaften“). Wollen wir Information aus einem Schwarzen Loch herausholen, so sind wir auf dort auslaufende Materie angewiesen, die wir bei uns als in die Vergangenheit hineinlaufende Antimaterie-Löcher umzuinterpretieren haben. Nach Dirac entsprechen diese aber An-timaterie, die aus unserer Vergangenheit her in den Ereignishori-zont hinein läuft. Die mit Diracs Uminterpretationen verbundene Zeitumkehr stellt also einen glatten Durchlauf durch den Ereignis-horizont als scheinbare Paarvernichtung direkt im Horizont dar. Dies zeigt die Unzulänglichkeit des dynamischen Kanals allein zur Beschreibung unserer Welt. Experimentatoren sollten sich mehr auf Versuchsanordnungen konzentrieren, die auf der Auswertung von Eigenschaften des Reaktionskanals basieren.


Dafür, dass dieses Postulat kein Hirngespinst ist, bieten sich zur-zeit 2 konkrete Beispiele aus der Experimentalphysik an; bereits heute existieren Verknüpfungen beider Halbwelten miteinander durch die experimentell gesicherte Wirkungsweise

1. der Paritätsverletzungen von C und CP=–T, 2. des „Black-Hole“-Generators B.

Beide Ansätze gilt es, experimentell weiter auszubauen. Mit der Quantengravitation haben wir das theoretische Rüstzeug dazu kon-kret in die Hand bekommen, um mit diesem auswertend neu auf die experimentellen Resultate der Teilchenphysik zu virtuellen Zu-ständen aufzusetzen: Feynmans „tachionische“ Zwischenzustände (d.h. die mit „raumartigem“ Viererimpuls) sind als nichts anderes als Boten aus jener „anderen“ Halbwelt zu betrachten. T führt uns in die verborgene (Halb-)Welt „vor dem Urknall“, C und B in die hin-ter dem Ereignishorizont eines Schwarzen Loches. So erweitert die Quantengravitation durch Hinzunahme des „Black Hole“-Generators B den 3-dimensionalen Lorentz-Boost M auf 4 Dimensionen. Diese Erweiterung gestattet den mathematisch sauberen Übergang vom Äußeren eines Schwarzen Loches über dessen Ereignishorizont hinweg zu seinem Inneren. Damit liefert die Quantengravitation den Zugang zu einer mathematisch sauberen Beschreibung auch des Inneren eines Schwarzen Loches, das in Einsteins unquantisierter Allgemeinen Relativitätstheorie bisher noch als Black Box behandelt werden musste. Mit den Paritäten C und CP = –T (siehe Anhang „Spiegelungsei-genschaften“) eröffnet sich – erstmalig in der Physikgeschichte – der Fingerspalt eines Fensters hinüber in die uns ansonsten bislang strikt verborgene, „andere Halbwelt“ unseres Universums. Es dürfte jedermann klar sein, dass Paritäten nur die Rolle eines Türöffners zu jener „Schattenwelt“ zukommt, deren Existenz uns das klassi-sche „Standardmodell“ mit seinem Kuddelmuddel an Formalismen und mathematischen Inkonsistenzen so beharrlich zu verschweigen sucht. Lassen wir uns nicht weiterhin derart unproduktiv hinhalten und abwimmeln, gehen wir’s an!

59

Spin und Drehimpuls Der halbzahlige Spin-Wert bei einer SU(2,2) weist diese als „Überla-gerungsgruppe“ der zugehörigen konformen SO(2,4) aus, die nur ganzzahlige Spin-Werte enthält. Beide Spin-Typen sind Eigenschaf-ten ihrer jeweiligen Generatoren. Die Quantengravitation verwendet ein System „natürlicher Maß-einheiten“:

Für den mathematisch interessierten Leser: Pµ ≡ 𝟏

l P'µ Qµ ≡ lqQ'µ D ≡ qM0 wobei |q| << 1/|l|<< 1 .

Aber betrachten wir einmal die Casimirs dritter und vierter Stufe der SU(2,2). Sortieren wir deren Beiträge nach Größenordnungen, wie sie sich gemäß den natürlichen Maßeinheiten der Quantengra-vitation ergeben (s.o.), so entdecken wir, dass beide Casimirs – bis auf additive („Gruppen-Kontraktions“-)Terme experimentell vernach-lässigbarer Größenordnung sowie multiplizierende Massen – im Wesentlichen gerade die beiden Casimirs der Lorentz-Gruppe aus der Speziellen Relativitätstheorie reproduzieren. Ihre Komponenten als „Gesamt-Drehimpuls“ werden einigen der Leser noch aus der Schulphysik geläufig sein:

L ≡ L + X × P , M ≡ M + X P𝟎 − X𝟎P .

Sein roter Anteil heißt „Bahndrehimpuls“. Die untere Zeile ist seine speziell-relativistische Lorentz-Erweiterung. Der Bahn-Anteil lässt sich auch prägnanter darstellen:

Lµν(X,P) ≡ XµPν − XνPµ .

Die beiden Casimirs der Quantengravitation lauten:


CSU(2,2)(𝟑) ∝ L ∙ M D + Kontraktionsterme,

CSU(2,2)(𝟒) ∝ M 𝟐 − L 𝟐 D2+ Kontraktionsterme.

Lediglich ihre speziell-relativistischen Generatoren von Spin L und „Boost“ M sind durch ihre Gesamt-Drehimpulse und Gesamt-Boosts substituiert, und an beide Lorentz-Casimirs sind zusätzlich noch (unterschiedliche) Potenzen des Generators der Schweren Mas-se heranmultipliziert. Dies bedeutet: Der 3. und 4. Casimir der Quantengravitation lie-fern (in guter Näherung) den Gesamt-Drehimpuls (Spin plus Bahn) so-wie den Gesamt-Boost als Erhaltungsgrößen. Experimentell ist die-ser Umstand schon lange bekannt – zumindest für den Drehimpuls, weniger für den Lorentz-Boost. Für die Theorie ist dieser Beweis hingegen nie streng geführt worden! Interessant ist aber auch die Tatsache, dass diese beiden Erhal-tungsbedingungen in der Quantengravitation nicht exakt sondern nur näherungsweise erfüllt sind! Die Abweichungen sind jedoch winzig – aber es sind Abweichungen. Dies gäbe für die Experimen-talphysiker Anlass, diese von der Quantengravitation vorhergesag-ten Zusatzterme (Details siehe im Anhang „Casimirs“) in Präzisions-messungen sauber zu verifizieren und damit die neuen Maßeinhei-ten der Quantengravitation quantitativ zu ermitteln.

Für die Theorie heißt dies in Hinblick auf den quadratischen Casimir, der die Bahn-Teile nicht enthält, strikt zwischen Bahn- und Spin-Anteilen zu unterscheiden. In der Vergangenheit wurden beide Komponenten oft als synonym zueinander gehandhabt – insbeson-dere für den Boost-Anteil. Dies ist nun nicht mehr haltbar. In der Astronomie, die Spin-Argumentationen gewöhnlich vom Tisch zu fegen pflegt, sollte nun sorgfältiger zwischen einem „Bahn-Boost“ als Folge einer Variation von Ort und Impuls einerseits und einem „Spin-Boost“ andererseits unterschieden werden. Dies könn-te möglicherweise – aber nicht notwendigerweise – Einfluss z.B. auf die Bestimmungen gewisser Stern-Entfernungen nach der Rot-Verschiebungs-Methode haben. Dies wäre sorgfältig nachzuunter-suchen.

Spin und Drehimpuls 61

Und für die Teilchen-Physik wäre eine “P-Wellen-Bahn-Anregung” etwas Anderes als die Aufaddition eines höheren Spin-Wertes!

Wie im Falle des ersten und zweiten Casimirs werden sich in der Teilchenphysik noch weitere Terme aus der Chiral-Erweiterung zur GUT hinzu addieren. Momentan werden deren Beiträge allerdings weit unter der gegenwärtigen Nachweisbarkeitsschwelle liegen.

62

Wozu ein „Vakuum“? Dies hier ist ein technisches Kapitel. Es skizziert, warum die „2. Quantisierung“ der traditionellen Quanten-Feldtheorien auf einer falschen Anwendung der Mathematik beruht, die systematisch die Wahrscheinlichkeitserhaltung zerstört. Der mathematisch weniger bewanderte Leser könnte Teile dieses Kapitel überblättern. – Anfangs hatten wir im Zusammenhang mit Transpositionen der Kombinatorik Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren eingeführt. Transpositionen wurden dort (mathematisch) zu Permutationen zu-sammengesetzt und diese (physikalisch) als Generatoren identifiziert. Einen alternativen Zugang liefert die Schul-Mathematik. Statt Erzeuger und Vernichter als Vektoren darzustellen, definieren wir sie als quadratische Matrizen, die auf Teilmengen („Vakua“) projizie-ren.

Nur für den speziell mathematisch interessierten Leser: Man betrachte die beiden singulären Matrizen

a+ ≡ 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 ≡ −𝒊b−, a− ≡ 𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 ≡ −𝒊b+.

Ihre Produkte

a−a+ = 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 = −b+b−, a+a− = 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 = −b−b+

sind “Projektions”-Operatoren. Definieren wir jetzt die 4 „Vakuum“-Typen

|𝟎⟩a ≡ 𝟏𝟎,

⟨0a |≡ (1 0),

|𝟎⟩b ≡ 𝒊 𝟎𝟏,

⟨0b |≡ 𝑖(0 1),

dann liefern ihre “Vakuum-Erwartungswerte” ⟨𝟎a

|a−a+|𝟎⟩𝐚 = 𝟏, ⟨𝟎a

|a+a−|𝟎⟩𝐚 = 𝟎, ⟨𝟎b |b−b+|𝟎⟩𝐛 = 𝟏, ⟨𝟎b |b+b−|𝟎⟩𝐛 = 𝟎.

Die vektoriellen Erzeuger und Vernichter der Quantengravitation sind dann die Produkte dieser Matrizen-Operatoren in Anwendung auf ihre oben als „Vakuum“ deklarierten Vektoren (teils in transpo-nierter Form) – nur dass obige Projektionen („Vakua“) unsere Welt in vier separate Teilwelten aufspaltet, die erst unsere Quantengravita-tion wieder konsistent zusammenflicken muss.

Wozu ein „Vakuum“? 63

Ursprünglich hatte die Gruppentheorie (vor 100 Jahren) noch ko- und kontravariante Darstellungen sauber voneinander getrennt: Tensorindizes waren damals noch entweder alle ko- oder alle kon-travariant (vgl. die Anhänge „Erzeuger und Vernichter“ sowie „Darstel-lungen“). Zur Definition eines Inneren Produktes im Sinne der Vektorrech-nung wählte man eine seiner Seiten ko-, die andere kontravariant. Damit musste man zu einer rein kovarianten Darstellung (einem kovarianten „Tensor“) noch zusätzlich 1:1 eine kontravariante Dar-stellung (einen kontravarianten „Tensor“) erstellen. (Ein „Tensor n-ter Stufe“ ist dann eine Überlagerung n-facher Produkte von Vektoren, jeder mit seinem eigenen Index.) Dies wurde die Stunde der Einführung eines mathematischen Formalismus‘ von Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren: Jeder Faktor („Vernichter“) auf der linken Seite des Inneren Produktes musste einen entsprechenden Faktor („Erzeuger“) auf der rechten Seite in eine Zahl (ungleich null) verwandeln. Jeder „Vernichter“ auf der linken Seite, der keinen passenden „Erzeuger“ auf der rechten Seite vorfand, verwandelte das gesamte Innere Produkt (dieses Terms) zu null. Nur ein reines „Umschaufeln“ von Faktoren durfte (im Rahmen von „Tensor-Symmetrien“) Beiträge ergeben. (Mit dieser Technik berechnen Mathematiker letztendlich ihre „Clebsch-Gordon-Koeffizienten“, also ihre „Übergangsamplituden“ von der einen zur anderen Seite.) Dazu entwickelte man innerhalb ein und derselben Seite formal alle Faktoren („Erzeuger“ auf der einen, „Vernichter“ auf der anderen Seite) in jeweils ein „direktes“ Produkt der Art:

S ⊗ T ⊗ U ⊗ …

(Die S, T, U, … sind die individuellen Vektor-Komponenten, also jene „Operatoren“, aus denen sich der Tensor zusammensetzt.)

Dabei blieb es auch, als man später daranging, Tensoren zuzulas-sen, die beiderlei Varianz-Typen auf ein und derselben Seite eines Inneren Produktes versammelten.


Der Fehler bei der „2. Quantisierung“ ist es nun, dass sie nicht sauber zwischen einem „direkten“ und einem gewöhnlichen Pro-dukt unterscheidet; beider Eigenschaften werden in inkonsistenter Weise miteinander verquickt. Dieser kritische Punkt wird in dem Moment überschritten, wenn ein Vernichtungs-Faktor einen Erzeugungs-Faktor innerhalb dessel-ben „direkten“ Produktes zu einem „Kronecker-Delta“, also zu einer „Zahl“, zusammenzieht, wie z.B. folgendermaßen:

a−⊗ a+ → (a−a+) → δ.

Der Vernichtungsoperator a− wird hier auf den Erzeugungsopera-tor a+ dahinter angewendet, so als handele es sich um ein gewöhn-liches Produkt. Dies zeigt die Inkonsistenz recht transparent an: Die „2. Quantisierung“ gegenwärtiger Quantenfeldtheorien bewahrt nicht die Anzahl direkter Faktoren: 2 am Anfang, null am Ende. Dies stellt eine schwere Verletzung des Tensor-Kalküls dar! Als Ausrede für diese Verletzung mathematischer Strukturen bietet man, wie bereits andernorts erwähnt, ein „Konzept“ folgen-der Art an: Die Vektorkomponenten, aus denen sich der Tensor zusammensetzt, seien hier ja Operatoren – und Operatoren dürften halt alles! Das Ergebnis heißt dann „Standardmodell“ – mathematisch in-konsistent vom ersten Strich an. Selbstverständlich werden jene dergestalt unter den Teppich gekehrten Quanten wieder anderswo im Modell benötigt, z.B. bei der „Vakuumpolarisation“. In einer konsistenten Theorie übernähme man jene Quanten für die „Vakuumpolarisation“ stattdessen direkt von dort her, wo sie gestrichen werden. Dann stände die Senke von Quantenpaaren in Beziehung zu ihrer späteren Quelle. Im „Standardmodell“ indessen ist ihre Vernichtung per 2. Quantisierung völlig unabhängig von ih-rer späteren Wiederauferstehung als „Vakuumpolarisation“. Teil-chenphysiker wollen nicht einmal wahrnehmen, dass jener „See“ von Quantenpaaren unter dem Teppich gerade das ist, was die Ast-ronomie in ihren Statistiken als „Dunkle Materie“ führt.

Wozu ein „Vakuum“? 65

Die Einführung einer Inkonsistenz zieht dergestalt unmittelbar die Einführung einer zweiten nach sich, deren Aufgabe es ist, den Fehler der ersten wenigstens teilweise wieder auszubügeln. Auf die 2. folgt die 3., usw. So funktioniert das „Standardmodell“. Statt das Kernproblem bei der Wurzel zu packen, entwickelt man eine unge-heure Kreativität im Erfinden immer neuer Ausreden. Die Neue Physik korrigiert dies. Sie benötigt nicht wirklich ein Konzept zur physikalischen Beschreibung eines Vakuums. In der Neuen Physik ist ein Vakuum schlicht leer, ohne Eigenschaften, oh-ne Quantenzahlen – es ist überflüssig! Die Quantengravitation kennt nur das Endprodukt eines Erzeugers oder Vernichters in An-wendung auf solch ein „Vakuum“ – nicht beide getrennt! Bei Dirac waren seine „Löcher“ einst noch gleichberechtigt mit seinen „Teilchen“ und „Antiteilchen“. Erst die Quantenfeldtheorien beschränken diese Allgemeinheit der Darstellung mit ihrer geküns-telten Einführung von Projektionen, genannt „Vakua“, auf Teilbe-reiche unserer Welt. Mit ihrer Verweigerung einer gleichartigen Behandlung von Zu-ständen negativer Energie mit solchen positiver Energie durch die Unsymmetrie ihrer Kommutatorlogik auf ihrem Vakuum verstümmeln sie unsere Welt willkürlich um die Halbwelt „vor dem Big Bang“ (Einschränkung der Zeitumkehr T), und mit ihrer auf dieser „Logik“ aufsetzenden „2. Quantisierung“ (s.o.) verstümmeln sie unsere Welt noch weiter um die Halbwelt hinter dem Ereignishorizont ei-nes Schwarzen Loches (Einschränkung der Ladungskonjugation C). In der Quantengravitation spaltet sich ein 8-dimensionaler Basis-„Spinor“ (Vektor mit halbzahligem Spin) in zwei 4-dimensionale Teile auf. Ihr Paritätsverhalten bezüglich Zeitumkehr und Ladungs-konjugation liefert uns Beziehungen zwischen beiden Hälften, die experimentell gemessen werden. In Gegenden unseres Universums, wo diese Basis-Spinoren bezüglich ihrer Teilchenzahl diagonal sind, dient die Definition eines Vakuums als Projektion auf eine der bei-den Hälften des Parameterraumes als technisches Hilfsmittel, um exakt jene Hälfte zu bedienen; für die andere Hälfte wäre dann die entgegengesetzte Definition zuständig.


Zwei solcher Definitionen (Energie und Teilchenzahl) zugleich proji-zieren auf ein Viertel unserer Welt. Zufällig leben wir in demjenigen Viertel mit vorherrschend positiven Massen und Zeiten und vor-herrschend Hadronen und Leptonen statt deren Antiteilchen. Nun kennzeichnen den Reaktionskanal (neben seiner Teilchen-zahl) Energie sowie die 3-Komponenten von Spin und CMS-Raum. Energie und CMS-Raum ließen sich ebenso gut gegen 2 alternative Generatoren austauschen. Beispiele für solche kommutierenden Tripletts von Generatoren (die 3-Komponente von M ist der Lorentz-Booster) wären:

P’0 / Q’3 / L3

M0 / M3 / L3

P’3 / Q’0 / L3

Die Generatoren der ersten Zeile sind alle „kompakt“, kenn-zeichnen physikalische Zustände also gemäß ihrem Reaktionskanal. In den beiden alternativen Tripletts sind die jeweils ersten beiden Generatoren „nicht-kompakt“ und gehören demzufolge zum dyna-mischen Kanal. Dieser benötigt zum vernünftigen Arbeiten das Ge-setz der großen Zahl. Schreiten wir von der ersten Zeile, wo die Energie sowie (eine Komponente des) CMS-Raum(es) kommutieren, zur zweiten Zeile, dann sind stattdessen (schwere) Masse und (eine Komponente des) Lorentz-Booster(s) kommensurabel. Dies ist das (lila) System der gegenwärtigen Quantenfeldtheorien, die mit der Lorentz-Gruppe der Speziellen Relativitätstheorie arbeiten. Für sie ist die schwere Masse ein externer Input. Quantenfeldtheorien sind folglich nicht in der Lage zu erklären, was ein virtueller Zustand eigentlich ist, des-sen Masse von jenem Wert abweicht. Und das „Standardmodell“ ist lediglich eine Anwendung jener Quantenfeldtheorien. Die dritte Zeile macht schließlich die CMS-Zeit zusammen mit ihrer kommensurablen 3-Komponente des Impulses zugänglich. Man beachte, dass keine dieser 3 Zeilen jeweils mit einer der anderen beiden kommensurabel ist.

67

Wieso die Raum-Zeit nicht linear sein darf Wir pflegen die „gewöhnliche“ X-Zeit von ihrer additiven CMS-Version Q = MX zu unterscheiden. Im Reaktionskanal der Quanten-gravitation stellen – neben der Teilchenzahl – Energie und die 3-Komponenten von Spin und Raum einen kompletten Satz additiver, kommensurabler (= kommutierender) Generatoren dar. Zu jedem von ihnen gehört eine eigene, individuelle Maßeinheit. Spin, als eine von ihnen, wird üblicherweise in Einheiten von Plancks Wirkungsquantum ħ gemessen. Geschichtlich war der Spin der erste Generator gewesen, der quantisiert worden war. In den nachfolgenden Jahrzehnten fand man heraus, dass seine Maßein-heit keinen erkenntnistheoretischen Sinn machte: In sämtlichen später abgeleiteten Beziehungen erwies sie sich als äquivalent zur Zahl 1 der „Sprungweite“ (der 0-Komonente) des Aufsteige-Operators Q‘+iM. Somit stellt sie eine Beziehung zwischen den physikalischen Einheiten (cm, Gramm, Sekunde) dar, aus denen sich Plancks Wir-kungsquantum einst zusammenmultipliziert hatte. Im Ergebnis darf die Theorie deshalb einfach festlegen:

ħ = 1.

Auf ähnliche Weise ergab sich über die Lichtgeschwindigkeit oh-ne Beschränkung der Allgemeinheit auch eine Beziehung zwischen Raum und Zeit; man setzte also auch

c = 1.

Diese beiden Gleichsetzungen reduzieren die Anzahl offener Maßeinheiten aller 2x3=6 Generatoren “Spin” und “Lorentz-Boost” der Speziellen Relativitätstheorie auf null: „alles bekannt“. Doch noch benötigen wir Einheiten für 1) Energie-Impuls, 2) Raum-Zeit, 3) schwere Masse. Da aber das Generatoren-Triplett – Energie, schwe-re Masse und CMS-Zeit – nur eine 2-dimensionale Gruppe (eine SU(1,1)) generieren, sind nur 2 dieser 3 Maßeinheiten wirklich un-abhängig voneinander. Meine Wahl fiel auf die Werte im blauen Kasten im vorletzten Kapitel.


Gemäß dem mathematisch „abgeschlossenen” Reaktionskanal, ist die 3-Komponente des CMS-Raumes diagonal. Ein Überschalten zu dem Fall, in dem die schwere Masse mit der 3-Komponente des Lorentz-Boosters kommutiert, bringt uns zum „offenen”, dynami-schen Kanal. Der offene Kanal benötigt jedoch das Gesetz der gro-ßen Zahl, um sauber zu arbeiten. Aus dem Lorentz-Boost der CMS-Zeit bestätigen wir schließlich, dass alle 4 Komponenten der CMS-Raum-Zeit mit „großen Zahlen” hantieren. Nun entwickelte sich die Menschheit per Evolution in einer Wei-se, dass unser optischer Sinn Positionen und Geschwindigkeiten wahrnimmt. Geschwindigkeit ist aber eine sekundäre Konstruktion, die entweder Raum durch Zeit dividiert oder Impuls durch (schwere) Masse. In beiden Fällen ist die Geschwindigkeit als Quotient zweier „großer” Zahlen ein wesentlich kleinerer Wert. Und ein Quotient ist natürlich nicht-linear. (Es soll Tiergruppen geben, z.B. unter den Repti-lien, die evolutionsbedingt nur Geschwindigkeiten wahrnehmen können. Die „Angststarre“ einer Maus als Abwehrmechanismus, sich in einer Welt von Reptilien vor 100 Millionen Jahren „unsichtbar“ zu stellen!) Die menschliche Beobachtung eines “Gegenstandes” kombiniert die Beobachtung seiner Position mit der seiner Geschwindigkeit. Beide Beobachtungen – Position und Geschwindigkeit – wären mit-einander nicht kompatibel, würde die Geschwindigkeit nicht-linear, die Position aber linear gemessen. Um eine kompatible Sicht auf unsere Nachbarschaft zu erhalten, wenn die Geschwindigkeit ein nicht-linearer Quotient ist, muss die Position, also der Raum – und mit ihm: die Zeit, notwendigerweise ebenfalls ein Quotient („Strahl-darstellung“) sein, und zwar einer mit dem identischen Nenner! Die Nicht-Linearität von Einsteins Raum-Zeit X, wie wir sie anstel-le ihrer linearen CMS-Version Q beobachten, ist die notwendige Konsequenz, damit ein „Gegenstand” des täglichen Lebens in unse-ren Augen als alte Jäger und Sammler etwas Kompaktes bleibt. An-dernfalls stimmten die „Punkte” benachbarter Koordinaten, die sich zu einem Gegenstand zusammengruppieren, bei einer Beobachtung von Ort und Geschwindigkeit nicht überein – sie würden auseinan-der laufen!

Die Grand Unification (GUT) Übersicht: Grundprinzipien der Physik sind

• die Natur: Messbarkeit durch den Menschen, • Reproduzierbarkeit von Teilfunktionen, • Mathematik als Verknüpfungslogik, • aus nichts kommt nichts, nichts geht verloren.

Damit erweist sich die Natur als 8x8 = 64-dimensional. Ergebnis ist die „Grand Unified Theory“ (GUT) – die Vereinheitlichung aller Kräfte der Natur. Der Reaktionskanal ihres ersten Faktors 8, d.h. der der reinen Quantengravitation, drückt sich auf das Gesamtsystem in Form einer („unitären“) Gruppe U(64) mit strikter Wahrscheinlich-keitserhaltung durch. Ihm gegenüber steht als Overlay-Struktur der („pseudo-unitäre“) dynamische Kanal in Form einer U(32,32). Die Physik eines abgeschlossenen Systems spielt im Reaktions-kanal: Dynamik ist sekundär. Die gegenwärtigen Quantenfeldtheo-rien des „Standardmodells“ arbeiten dagegen im dynamischen Ka-nal, den sie (über ihren so genannten „Lagrange-Formalismus“) zum Reaktionskanal „umzufunktionieren“ suchen – eine Methode, die trotz Feynmans Graphen nur zum Scheitern verurteilt sein kann. Unabhängig hiervon lässt sich die Gesamtheit aller 64 Dimensio-nen multiplikativ in 8x8 Dimensionen oder additiv in eine Summe 8+8+8+8+8+8+8+8 von Dimensionen zerlegt denken. Auf letzterem additiven Split in acht „chirale“ Oktetts vom dynamischen U(4,4)-Typ (Quantengravitation) beruhen die „Eichmodelle“ der Quanten-feldtheorien (vgl. Anhang „Wechselwirkungen“). Im Unterschied zu dort benötigt die Ausprägung der Eichtheo-rien, wie sie sich aus der GUT ergeben, nicht die Einschränkung der Quantenfeldtheorien auf strikte Masselosigkeit ihrer „Eichbosonen“, die dort über jenen fürchterlich intransparenten „Higgs“-Formalis-mus erst wieder mühselig an die physikalische Realität angepasst werden muss. Die Neue Physik hat keine Verwendung für diesen Griff in die Trickkiste; in ihr ist Masse nichts Gekünsteltes sondern integraler Bestandteil des Modells.

70 Die Grand Unification (GUT)

Nun existieren in der vollen, 64-dimensionalen Gruppe U(32,32) der GUT mehr Generatoren (64x64 = 4096), als in der Summe aller 8 chiraler Gruppen U(4,4) insgesamt (8x(8x8) = 512) vorhanden sind. Diejenigen Generatoren aus der 64-dimensionalen Gruppe, die nicht zugleich auch Generatoren einer der 8 chiralen Untergruppen oder der Quantengravitation sind, verknüpfen die acht chiralen Teilgruppen miteinander und mit der Quantengravitation. Indem diese „übrig bleibenden“ Generatoren (der „kompakten“ Variante) jeweils die eine der „internen“ Kräfte in eine der anderen – oder auch in die gravitative – Komponente überführen bzw. (die der „nicht-kompakten“ Variante) an sie (hyperbolisch) annähern, erfüllt die 64-dimensionale Gesamtgruppe die Definition einer Vereinheit-lichung sämtlicher Kräfte der Natur. Details in den nachfolgenden Kapiteln.

71

Die “Internen” Kräfte der Natur Nach der (multiplikativen) Abspaltung des dynamischen Oktetts der Quantengravitation von der GUT bleibt das andere Oktett, das der „internen“ Wechselwirkungen, als Faktor übrig. Die 8 Komponenten seines 8-dimensionalen Basis-„Spinors“ lassen sich wieder mit ei-nem Index durchnummerieren, der von 1 bis 8 läuft, oder gleich-wertig, da 2**3 = 8 ist, mit 3 Indizes, von denen jeder unabhängig voneinander die Werte 1 bis 2 variiert. Für die physikalische Anwendung charakterisieren sie u.a.

die elektromagnetische Kraft, die „Starke“ Kernkraft sowie die „Schwache“ Kernkraft.

Dies mitunter in einer unkonventionellen Weise. Denn zur Erin-nerung: die GUT ist nicht das „Standardmodell“! Formal haben alle drei Indizes die gleiche mathematische Struk-tur. Dies gestattet die Anwendung von Permutationen auf diese 3 Indizes, oder auch, allgemeiner, die Anwendung „unitärer“ Trans-formationen einer U(3) auf sie. (Die „Irreduzibilität“ solcher Transfor-mationen erfordert es dann, die (mathematische) „Spur“ (= 1/3) aus den 3x3-Matrizen ihrer Generatoren zu ziehen.) Dies bedeutet (vgl. Anhang „Die ‚Internen‘ Strukturen“), wir müssen von den primären Generatoren jeweils 1/3 mal die Einheitsmatrix abziehen. So auch von den (verdoppelten) „Ladungswerten“. Aus einem Spin-Paar zu den Werten (+1/2,–1/2) wird so ein Ladungs-wert (+1/3,–2/3). Dies liefert einen Satz „interner“ Generatoren. Das „chirale“ Ana-logon einer Teilchenzahl in der Quantengravitation ist in der GUT eine „Ladung“. A priori ist uns jedoch nicht bekannt, in welchen („Linear“-) Kombinationen diese Ladungen gerade in der Natur vor-liegen. (Dies ließe sich erst aus dem, bisher unbekannten, Verteilschlüssel der 64 Quantentypen auf unser Universum ermitteln.) Trachten wir ohne diese Kenntnis danach, mit der experimentel-len Situation, wie wir sie vorfinden, im Einklang zu bleiben, so fin-den wir beispielshalber folgende (lineare) Ladungskombinationen:


T ist die Hauptkomponente der „Starken“ Wechselwirkung. Wäh-len wir nach obigen Ausführungen die Werte von N, Q und T jeweils als (ganze) Vielfache von 1/3, dann heben sich in den restlichen Ladungskombinationen diese Drittelungen gerade gegenseitig weg. Der Leser mag etwas verwirrt sein, warum wir hier 8 Ladungen anstelle der 4 konventionellen haben, wie sie uns aus dem „Stan-dardmodell“ geläufig sind; die zusätzlichen 4 sind:

Die Begründung ist einfach: Es handelt sich um die 2**3 = 8 La-dungskombinationen der 3 Indizes. Das “Standardmodell” ignoriert schlicht einen Teil wohlbekannter Strukturen aus der Kernphysik. So führen A und M zusammen mit Q zu den spezifischen Massendiffe-renzen innerhalb der Isospin-Multiplette von Teilchen und Atom-kernen, die das „Standardmodell“ einst erfolglos meinte, über die „Feynman-Diagramme“ aus geeigneten Polynomen von Q allein reproduzieren zu können. Speziell ist A die (Ladung von derjenigen) Kraft, die die Nukleo-nen innerhalb eines Kerns auf Distanz zueinander hält, sodass sich ein Deuteron dem Experimentator nicht als 6-Quark-Struktur son-dern primär als 2-Nukleonen-Struktur darbietet. (Denn das verkruste-te „Standardmodell“ ist allergisch gegenüber Teilchen-Konstruktionen aus mehr als 3 Quarks – wenngleich inzwischen immer mehr davon auch in den Journalen auftauchen.) Λ schließlich ist „fundamentaler“ als die W- und Z-Mesonen, mit denen die konventionelle Physik die „Schwache“ Wechselwirkung bearbeitet.

N : Teilchenzahl, Q : elektrische Ladung, T : Trialität, L : Leptonzahl.

Λ : leptonische Ladung, E : exotische Ladung, A : Starke Ladung (2. Komponente), M : Starke Ladung (3. Komponente).

Die „Internen“ Kräfte der Natur 73

Lediglich E ist hier neu – daher ihr Name als „exotische Ladung“. (Hierzu sei am Rande erwähnt, dass vor der experimentellen Entde-ckung der „Schwachen“ Bosonen die Schwache Kernkraft noch recht um-ständlich und undurchsichtig durch 4-Punkt-Kräfte beschrieben werden musste. Die GUT führt jetzt zu der Voraussage, dass auch die W- und Z-Mesonen ihrerseits wieder zusammengesetzte Teilchen aus GUT-Quarks, s.u., darstellen, bei denen die Quantenzahlen L und Λ eine entscheidende Rolle spielen; Details später.) Insgesamt finden wir folgende Zuordnungen zwischen Diracs „Erzeugungs“-Quanten vom Typ a+ und den 8 GUT-Quantenzahlen von oben:

N Q T L Λ E A M a+

i211 +⅓ +⅔ −⅓ 0 0 0 0 0 a+

i111 +⅓ −⅓ −⅓ 0 0 0 0 0 a+

i222 +⅓ +⅔ +⅔ 0 0 0 +½ +½ a+

i122 +⅓ −⅓ +⅔ 0 0 0 +½ −½ a+

i212 +⅓ +⅔ −⅓ −½ −½ 0 0 0 a+

i112 +⅓ −⅓ −⅓ −½ +½ 0 0 0 a+

i221 +⅓ +⅔ +⅔ +½ 0 +½ −½ 0 a+

i121 +⅓ −⅓ +⅔ +½ 0 −½ −½ 0 (Die Farben in der Tabelle haben nichts mit der Quantenzahl „Co-lour“ des „Standardmodells“ zu tun!)


Horizonte und das „Quark Confinement“ Ein Produkt aus n Generatoren kann auf maximal n unterschiedli-che Quanten simultan zugreifen; dies liefert eine „n-Punkt-Kraft“. Konventionelle Teilchenmodelle beschränken sich üblicherweise auf 2-Punkt-Kräfte wie die Yukawa-Kraft und ihren masselosen Coulomb-Abkömmling. In ihrer 4-dimensionalen U(2,2)-Variante kann die Quantengravitation – über ihren Casimir 4-ter Stufe – ma-ximal 4-Punkt-Kräfte beschreiben. Für ihren Casimir 2-ter Stufe reicht es dagegen lediglich für 2-Punkt-Kräfte. Somit behandelt ein Spin nur 2-Punkt-Kräfte, wäh-rend ein (Bahn-)Drehimpuls zusätzlich auch noch 3- und 4-Punkt-Kräfte zu behandeln vermag. Und die volle, 64-dimensionale Versi-on der GUT kann sogar Wechselwirkungen mit bis zu 64-Punkt-Kräften beschreiben. Bleiben wir jedoch noch ein Weilchen bei den 2-Punkt-Kräften des Casimirs 2-ter Stufe. Seine Terme zum Energie-Impuls und zur Schweren Masse liefern zusammen die Klein-Gordon-Gleichung der Teilchenphysik. (Die „Schrödinger-Gleichung“ ist nur eine Variante von ihr.) Aus der Klein-Gordon-Gleichung leitet sich bereits in der ge-wöhnlichen Quantenmechanik die Yukawa-Kraft ab, die im Falle eines verschwindenden Masse-Terms in die Coulomb-Kraft über-geht. Berücksichtigen wir überdies auch noch die Raum-Zeit-Parameter im Casimir, so erhalten wir obendrein noch einen Wech-selwirkungsterm vom Oszillator-Typus, dessen Masse seine inverse Reichweite wiederspiegelt. Oszillator-Kraft und Yukawa/Coulomb-Kraft treten also stets paarweise zusammen auf. Ein Oszillator lässt sich durch eine Spiral-feder veranschaulichen: Durch Ausdehnen und Loslassen eines ih-rer beiden Enden gerät sie für einige Zeit ins Hin- und Herschwingen zwischen zwei Extrem-Positionen (ihren „Umkehrpunkten“); deren (halber) Abstand bezeichnet die Reichweite der Kraft. Bei mehr als 2 Dimensionen wird das Wort „Reichweite“ häufig durch das Wort „Horizont“ ersetzt. Solche Oszillator-Kräfte sind auch der Aus-gangspunkt für das „Schalenmodell der Kernphysik“.

Horizonte und das „Quark Confinement“ 75

Betrachten wir schließlich noch den Term mit dem im Casimir 2-ter Stufe der Quantengravitation enthaltenen Lorentz-Casimir, so ergibt sich auch noch das Hubble-Gesetz der Kosmologie als weite-rer, untergeordneter Bestandteil des Gesamt-Casimirs. Doch zurück zum Oszillator. In der GUT-Erweiterung ist seine Kopplungsstärke proportional zur „Ladung“ der jeweiligen Kraft-Sorte, und ein Teilchen – oder Quant – kann dessen Horizont, sei-nen Umkehrpunkt, nicht überschreiten: es ist „gebunden“. Den-noch existiert ein Weg, dieser „Gefangenschaft“ zu entkommen: Für den Fall, dass das Quant einen (oder mehrere) Partner findet, mit dessen/deren Hilfe es seine betreffende Ladung neutralisieren kann, bleibt ja kein Angriffspunkt für die Oszillator-Kraft mehr übrig. Genau dies geschieht in der Teilchenphysik. Ein einzelnes Quark oder Quant mit einer „Starken“ (Trialitäts-)Ladung ungleich null unterliegt rigoros jener Gefangenschaft (englisch: „Confinement“) durch das Oszillator-„Gefängnis“ – jedoch nur solange bis es ihm eventuell gelingt, zusammen mit geeigneten Partnern ein (trialitäts-neutrales) Meson oder Baryon zu bilden. Mit seiner derart neutrali-sierten Trialitäts-Ladung kann es jetzt als „freies Teilchen“ ent-kommen. Dies ist das berüchtigte „Quark Confinement“. Für konventionel-le Modelle (inklusive dem „Standardmodell“) ist jenes Quark Confine-ment noch heute ein ungelöstes Rätsel. Weder hatte irgendjemand eine Vorstellung, wo solch eine Oszillatorkraft herkommen sollte, noch wieso die “Starke” Trialitäts-Ladung ausgerechnet in Vielfa-chen von 1/3 daherkommt. Im Rahmen unserer GUT ist beides ge-löst (vgl. Anhänge „Darstellungen“ und „Die ‚Internen‘ Strukturen“). Der Trialitäts-Horizont liegt in der Größenordnung eines Nukleo-nen-Radius’, d.h. es handelt sich um eine Reichweite im mikrosko-pischen Bereich. Für den Elektromagnetismus und die Gravitation liegt diese Reichweite dagegen in der Größenordnung unseres (endlichen) Universums, ist also von kosmischer Ausdehnung. Die Massen ihrer (leichtesten) Übermittlungsträger, des Photons bzw. des Gravitons, muss daher in etwa um null herum liegen. Noch andere Kräfte haben makroskopische oder gar subnukleare Reichweite-Horizonte.


Der speziellen Form der Kräfte (siehe Anhang „Wechselwirkungen“) entnehmen wir, dass eine Coulomb-Kraft, umgeschrieben in CMS-Koordinaten, folgende Gestalt annimmt:

Coulomb-Kraft ∝ 1r2 = 𝐥𝐥𝐥𝐥→𝟎 m

mr

𝟐 ,

mr = |Q' | .

Mit m gegen null muss dann notwendigerweise der Abstand r gegen unendlich gehen; physikalisch übersetzt bedeutet dies: Kon-vergenz gegen „sehr große“ Werte, m wird also „klein“, bleibt aber ungleich null. „Sehr große“ Werte ist eine Anforderung an das Sys-tem der benutzten Maßeinheiten, wenn die gemessenen Werte von r in „normalen“, makroskopischen Größenordnungen bleiben sollen. Die Quantengravitation benutzt dazu ihre eigenen Einheiten (vgl. Anhang „Gruppenkontraktion“), ich zitiere aus dem Kapitel „Spin und Drehimpuls“:

Pµ ≡ 𝟏l P'µ

Qµ ≡ lqQ'µ D ≡ qM0

In diesen „natürlichen“ Einheiten kürzt sich für eine Coulomb-Kraft zwar q heraus; X (ohne den Strich) wird dann jedoch noch im-mer in der „sehr großen“ Längeneinheit aus obigem Kästchen ge-messen. Die klassische Physik setzt dieses Messverfahren so für die Gravitationskonstante um; für deren „Planck-Länge“ (Maßeinheit in der Größenordnung von Q‘, mit Strich!) findet sie dann als Einheit die winzige cgs-Größenordnung um 10 hoch minus 32 cm herum. (Die klassische Physik vermutet in der Planck-Länge so etwas wie ein Maß, um deren Größe herum die Quantennatur der Gravitation auch ex-perimentell messbar werden sollte, um Einsteins Singularität beim Ab-stand gegen null mittels einer noch „neu“ zu entwickelnden Physik aufzu-heben. – O.k., hier ist die „Neue Physik“, wenden wir sie doch an!) Für den Elektromagnetismus wird die klassische Physik inkonse-quent; dort koppelt sie sich mit eigenen Maßeinheiten ab.

77

Das System der Leptonen Einer der neuen Ladungstypen der Grand Unification ist Λ, die „lep-tonische“ Ladung. Eine Forschung pflegt mit der Frage zu beginnen: „Was wäre wenn …?“ Nun, was wäre wenn der Horizont von Λ noch wesentlich – nicht „größer” sondern – „kleiner“ als der der Trialitäts-Ladung T wäre (und der der „exotischen“ Ladung E noch ein-mal wesentlich kleiner)? Gemäß der (farbenfreudigen) Ladungstabelle der „internen“ Kräf-te vor 2 Kapiteln existieren – abgesehen vom Spin – nur 2 (gleich-variante) Quantenarten in der GUT mit Werten ungleich null für Λ (nämlich die „blauen“), und deren Λ-Ladungen sind exakt entgegen-gesetzt. Ein Verbund beider miteinander wäre bezüglich Λ also neutral. Nennen wir solch einen a-Doppelquant einen „Anti-Leptonukleus“ und sein b-Pendant einen „Leptonukleus“:

Anti-Leptonukleus: ai',𝟐𝟏𝟐+ ai",1𝟏𝟐

+ .

Leptonukleus: bi',𝟐𝟏𝟐+ bi",1𝟏𝟐

+ .

Ein (Anti)Leptonukleus kann den „leptonischen“ Horizont durch-dringen. Der nächst-größere Horizont, auf den er trifft, ist dann der der Trialität T. Die Ladung eines Anti-Leptonukleus‘ ist T=–2/3, und seine elektrische Ladung Q=+1/3. Zur Absättigung von T benötigt unser Leptonukleus noch ein weiteres Quant, um auch den T-Horizont zu durchdringen. Dafür existieren genau zwei Kandidaten mit der Leptonenzahl L=0 (in der Ladungstabelle: die „grünen“); ihre elektrischen Ladungen sind Q=+2/3 bzw. –1/3. Nach Hinzubinden zum Anti-Leptonukleus ergibt sich die elektrische Gesamtladung der jeweiligen Agglomeration zu +1 bzw. null. Damit sind beide Komplexe schließlich in der Lage, auch noch den T-Horizont zu durchbrechen: sie werden als „freie“ Teilchen beobachtbar. Mit ihrer Leptonenzahl L=–1 stellen sie Anti-Leptonen dar, liegen jedoch in demselben GUT-Multiplett wie die Baryonen. Antileptonen sind also Baryonen (mit L ungleich null), und Lepto-nen sind Antibaryonen (mit L ungleich null).


Warum aber existieren dann neben diesem Paar aus Positron und Positron-Neutrino auch noch entsprechende Paare mit (Anti-) Myonen und Tauonen? Wieder ist die Antwort trivial: Der Grund ist derselbe wie der für die Existenz von Nukleon-Resonanzen N* und Delta. Das Baryonen-Multiplett ist groß genug, um mehrere Kandi-daten der Art unterzubringen.

Für den mathematisch Interessierten: In der Zerlegungskette der U(32,32) ist hier die Untergruppe U(8)⊗SU(2) von Belang; sie wirkt auf die Erzeuger von Diracs 8 b-Typen (s. Anhang „Elementarteilchen“). Der SU(2)-Spin ist für alle 3 „Generationen“ gleich, nämlich 1/2, doch die Symmetrie-Konfigurationen ihrer 3-Quant-Valenzen unterscheiden sich:

U(16) U(8)“intern“ SU(2)Spin

e−,νe total-

symmetrisch gemischt-


symmetrisch

µ−,νµ gemischt-



symmetrisch

τ−,ντ total-

symmetrisch anti-


symmetrisch .

Weitere Leptonen sind leicht vorhersagbar. In gewöhnlichen Baryonen, deren „Valenzteile“ sich nur aus Quanten mit L=0 (und auch die exotische Ladung E=0) zusammenset-zen, werden all diese Quanten gleichartig durch die Oszillatorkraft der Trialitätsladung T zusammengehalten. Die „leptonische“ Λ-Ladung aber wirkt ungleich stärker als T. Damit werden 2 der 3 („Valenz“-)Quanten unserer Leptonen wesentlich fester aneinander gekettet als an das dritte. Dies ergibt eine Situation, wie sie uns bereits aus der gewöhnlichen Atomphysik geläufig ist, wo elektro-magnetisch locker gebundene Elektronen eine weite „Schale“ um einen fast als „Punkt“ erscheinenden, ungleich fester – nämlich durch die „Starke“ Kernkraft T – gebundenen Kern bilden. Den entsprechenden Fall mit 2 Kräften sehr unterschiedlicher Stärke haben wir innerhalb eines Leptons vor uns: Eine durch T nur relativ (!) „locker“ gebundene Schale aus einem „gewöhnlichen“ Quant liegt – vergleichbar mit einem Deuterium-Atom – um einen fast punktförmigen, durch Λ gebundenen Leptonukleus herum.

Das System der Leptonen 79

Nun tragen die beiden „leptonischen“ Quanten im Leptonukleus entgegengesetzte Λ-Ladungen, ziehen sich demnach ungemein stark an. Der Versuch, zwei bezüglich Λ gleich-geladene „leptoni-sche“ Quanten miteinander zu koppeln, ist aufgrund ihrer so star-ken Abstoßungskräfte illusorisch. Man vergleiche dies mit dem Ver-such, 2 Protonen – ohne zusätzliche Neutronen als „Kitt“ – mitei-nander zu einer Art doppelt geladenem „Deuteron“ zu verheiraten! So werden experimentell nur wenige der theoretisch denkbaren Kombinationsmöglichkeiten der Nukleonen miteinander auch wirk-lich beobachtet, nämlich die im schmalen „Steg“ Neutronenanzahl = Protonenanzahl in den Nuklid-Tabellen der Kernphysik, mit einem kleinen Überschuss an „kittenden“ Neutronen für höhere Werte. Entsprechend sind nur wenige der denkbaren Λ-Konfigurationen als Lepton-Multipletts physikalisch beobachtbar. Dies erklärt die – zurzeit – so magere Ausbeute an Lepton-„Generationen“ in den Teilchen-Tabellen im Vergleich zu den ge-wöhnlichen Baryonen. In diesen Tabellen wurden die 3 bisher ge-fundenen Lepton-Dubletten durch einen eigenen „Flavour“-Formalismus künstlich zu „Generationen“ aufgepäppelt – was al-lerdings nichts über die Existenz weiterer Generationen aussagt, die lediglich schwerer im Experiment zu erzeugen sind.

Die Überraschung um die Jahrtausendwende war die Entdeckung so genannter „Neutrino-Oszillationen“; das sind Umwandlungen von Neutrinos unterschiedlicher „Flavour“ ineinander, hin und zu-rück. Mit jenem „solaren Neutrino-Rätsel“ löste sich der ursprüngli-che Ansatz dieser Flavour als „Quantenzahlen“ endgültig auf. „Fla-vour“ sind keine strikt erhaltenen „Quantenzahlen“, sondern nicht-lineare Unterstrukturen von nur bedingt stabilem Charakter. Für das „Standardmodell“ wurde dies zum Anlass, die zuvor noch hochgehaltene Masselosigkeit von Neutrinos zu Grabe zu tragen. Denn das zerfallende Neutrino sollte schwerer sein als das Zerfalls-ergebnis. Da die Oszillationen in beide Richtungen liefen, ergaben sich Probleme. Die GUT präsentiert für diesen Sachverhalt ein we-sentlich einfacheres Konzept, ohne Masse-Effekte (siehe nächstes Kapitel).


Dunkle Materie Nach dem Spin-Additions-Theorem der Quantenmechanik liefert das Produkt zweier Spins (üblicherweise) eine Summe sich überla-gernder Spins. Deren einzelne Terme unterscheiden sich in ihrem Spin-Gehalt. Nach gleichem Muster lässt sich das Produkt zweier Teilchen in eine Summe sich überlagernder „irreduzibler“ „Zwischenzustän-de“ entwickeln. Ein Produkt-Zustand ist gewöhnlich also nicht mehr „irreduzibel“ sondern setzt sich aus einer Reihe überlappender Zu-stände unterschiedlicher Eigenschaften zusammen. Als Ergebnis dieses “Irreduzibilitäts-Konzepts” – es bedeutet nichts anderes als die quantisierte Form von Einsteins “Hinter-grund-Unabhängigkeit” – können unser Universum auf der einen Seite und die Teilchen innerhalb dieses Universums auf der anderen Seite nicht beide zugleich irreduzibel sein. Mit anderen Worten: Ist unser Universum irreduzibel, kann es sich nicht aus Teilchen „zusammensetzen“. Einzelne Teilchen kön-nen sich allenfalls als lokal begrenzte Interferenzknoten – begrenzt in Raum und Zeit – unterschiedlicher Komponenten unseres einen Universums ergeben und so lokal die Existenz eines Teilchens in ihm als konstruktiven Überlagerungseffekt vortäuschen. Weiter draußen verliert sich dieser Welleneffekt wieder und verschmiert sich bis zur Unkenntlichkeit. Mit einer ähnlichen Argumentation wird auch die Deutung des Messprozesses unhaltbar, nach der sich unser Universum bei einer Messung in parallele, miteinander koexistierende Teil-Universen aufspalten soll; diese Art von „Parallelwelt“-Szenarien gehört ins Reich der Science Fiction. Diese inkonsistente „Kopenhagener Deutung“ des Messprozes-ses ist dahingehend zu korrigieren, dass sie notwendigerweise auch das Messgerät in den Prozess mit einzubeziehen hat, das den Input-Zustand (in „unitärer“ Weise) physikalisch in Richtung eines seiner Output-Kanäle „dreht“ (vgl. das Kapitel „Determinismus und Kausali-tät“), statt sich abstrakt-mathematisch als Produkt zweier jeweils unphysikalischer Aktionen darzustellen, als da wären:

Dunkle Materie 81

1. Zuerst eine „Projektion“, 2. gefolgt von einer „Renormierung“.

Eine Projektion ist „singulär“ und liefert einen unvollständigen Teilzustand; in der Natur existieren aber keine „halben“ Elektronen! Gleichermaßen unphysikalisch ist jene „Renormierung“, die aus einem „halben“ Teilchen wieder ein „ganzes“ Teilchen machen soll. Anders ausgedrückt: Im „Standardmodell“ ist selbst die Kopen-hagener Deutung des Messprozesses noch immer physikalisch „un-verstanden“, nicht nachvollziehbar.

Mit dieser Vorrede im Hinterkopf wollen wir uns wieder unse-rem eigentlichen Problem zuwenden: Nach diesen Einschränkungen kann unser „irreduzibles“ Universum nicht aus Teilchen „bestehen“. Und wenn da tatsächlich Teilchen existieren, dann können diese sich nicht zu einem „irreduziblen“ Universum zusammenmultiplizie-ren. Notwendigerweise muss da also irgendein „Kitt“ vorhanden sein, der alle Teilchenstrukturen derart zusammenleimt, dass unser (ge-mäß der GUT:) „atomistisches Universum“ aus Quanten irreduzibel wird. Dieser „Kitt“ besteht nur zu einem kleinen Teil aus dem In-strumentarium von Gravitation und Neutrinos. Dieses reicht näm-lich quantitativ bei weitem nicht aus. Sein (offiziell unidentifizierter) Großteil wird in der Kosmologie „(Kalte) Dunkle Materie“ genannt. Nun, unsere GUT erhebt den Anspruch, “alle” Information zu enthalten, die (auf dem 64-dimensionalen Niveau) gewinnbar sind. Ihre konstituierenden „Atome“, die „Quanten“, begründen (geomet-rische) Kräfte. Dunkle Materie muss demnach ebenfalls aus diesen Quanten konstruierbar sein. Doch anders als Gell-Manns „Quarks“ sind unsere „Quanten“, wie gesagt, keine „Bestandteile“ unseres Universums, keine „Teil-chen“ in ihm, sondern sie bilden seine Basis: Weder hängen sie vom Impuls noch von der Raum-Zeit ab. Die Faktenlage ist genau umge-kehrt: Impuls und Raum-Zeit ergeben sich erst nachträglich, als „emergente“ Funktionen dieses Fundamentes!


Die einfachsten „Meson“-artigen Kombinationen von Quanten, die sämtliche „internen“ Kräfte gegenseitig absättigen, sind die fol-genden 4 Paartypen (mit den „a’s und b’s“ gemäß Dirac):

Sie summieren sich paarweise über alle “internen“ Indizes auf (vgl. Anhang „Elementarteilchen“). Lediglich ihre Spin-Indizes „i“ dür-fen unabgesättigt offen bleiben. Da diese „i“ von 1 bis 2 laufen, er-geben sich je 2x2=4 solcher i-Index-Kombinationen für obige 4 Paa-re. Insgesamt erhalten wir demnach 4x4=16 zu unterscheidende Einheiten. Den wesentlichen Anteil ihrer Entstehungsgeschichte im Berüh-rungsbereich zweier gegensätzlicher „Halbwelten“ um die Absolut-zeit null herum hatten wir – rein unter dem Gesichtspunkt eines zeitlichen Ablaufes – schon versucht, uns als explosionsartige Re-kombination („Big Bang“) von Diracs Quanten-„Löchern“ (a–,b+) mit ihren Quanten (a+,b–) plausibel zu machen (siehe Kapitel „Das kosmi-sche Hyperboloid“). Versuchen wir jetzt einen detaillierteren Ansatz. Nehmen wir an, in unserem Universum sei es der Mehrzahl aller Quanten gelungen, sich gemäß obigem Schema gegenseitig abzusättigen. Dann bleibt die Frage, was wohl mit den restlichen, unabgesättigt übrig blei-benden Quanten geschehen sei. Vergleichen wir jene abgesättigten Paare mit einer Wolke aus Wasserdampf in der Luft, also mit deren Feuchtigkeitsgehalt, so würden die übrig gebliebenen Quanten eine Art von „Kondensati-onskeimen“ in ihr bilden, die die „Wassermoleküle“ dazu verleiten, sich locker an sie anzudocken. Im Endergebnis würden aus dieser „Dampfwolke“ komplette Elementarteilchen mit jenen winzigen Kondensationskeimen als Valenzteil und den vielen angelagerten Quantenpaaren von oben als Nicht-Valenzteil „ausregnen“. Nun trägt jedes dieser a+ und b+ die Energie-Einheit +1/2 als Quantenzahl, und jedes a− und b− eine Einheit –1/2. In obiger Reihenfolge wären den 4 Typen von Paar-quanten also die Energie-Werte +1,0,0,–1 zuzuordnen.

a+i'b

+i" , a+

i'a−i" , b−

i'b+

i" , b−i'a−

i" .

Dunkle Materie 83

Zwei dieser Typen tragen Energie-Werte ungleich null. Vernach-lässigen wir bei der Summation die Beiträge der wenigen Va-lenzquanten, so summiert sich die Energie – im Ruhesystem also auch die Masse – i.W. als Resultante aus dem Nicht-Valenzteil eines Teilchens zusammen. Für einen zusätzlichen, dubiosen „Higgs“-Mechanismus zur Erzeugung von Massen besteht also keinerlei Notwendigkeit. Nun definieren die Astronomen ihre Dunkle Materie (u.a.) durch

• die Existenz einer gravitativen Aktivität, • kombiniert mit einer Nicht-Lokalisierbarkeit.

Der erste Punkt erfüllt sich durch das Überwiegen positiver ge-genüber negativen Energie-Werten innerhalb jener „Wolke“ oben; an ihnen setzt summarisch die Gravitationskraft an. Der zweite Punkt bedarf einer etwas ausgeklügelteren Beweisführung. Dazu halten wir fest, dass Einsteins 4 Komponenten seiner ech-ten Raum-Zeit (also nicht ihre additiven Schwerpunkts-Koordinaten) durch so genannte „nicht-kompakte“ Operatoren des „dynami-schen Kanals“ dargestellt werden. Um aber einen wohldefinierten („diagonalen“) Messwert zu liefern, muss sich dann eine große Men-ge an Quanten in einer gewissen, mathematisch vorgegebenen Weise als Gesamtheit organisieren. Dies ist der typische „Emergenz“-Fall (englisch: to emerge = auftau-chen; gemeint ist „sekundär, im Nachhinein, nicht schon ursprünglich vor-handen“): So wie in der Thermodynamik Begriffe wie Temperatur, Druck oder Entropie nicht bereits Eigenschaften eines einzelnen Gasmoleküls der ihr zugrunde liegenden Statistischen Mechanik sind, so sind in der Quantengravitation und GUT auch die „nicht-kompakten“ Eigenschaften „emergente“ Größen, die sich (nach dem „Gesetz der Großen Zahl“) erst aus dem Zusammenspiel sehr vieler Quanten ergeben, für ein einzelnes Quant aber keinen Sinn machen. Der Nicht-Valenzteil eines Teilchens ist groß genug dafür; ein einzelnes, unabhängiges Quantenpaar aus der „Wolke“ ist dazu aber viel zu winzig. Folglich lässt sich für die Lokalisierung solcher ungeordneten Paarquanten kein sauberer Messwert finden, der einem Ort oder Impuls entspräche.


Der Versuch einer Lokalisierung ergäbe eine weit aufgefächerte Überlagerung von Ergebnissen; ein scharfer Einzelwert ließe sich nicht ermitteln. Die ungeordnete Wolke aus Paarquanten reprodu-ziert exakt diejenige Situation, wie sie uns die Astronomie experi-mentell für die Dunkle Materie beschreibt. Zwar generiert sie „Raum“; ihr Grad an Ordnung reicht aber nur so weit aus, sie global auf der Oberfläche des kosmischen Hyperboloids zu halten. – Nun geht ein atomistisches Modell, wenn es endlich bleiben soll, notgedrungen von irgendeiner Startmenge von „Quanten“ aus. Unsere GUT beherbergt davon 64 unterschiedliche Typen (die nicht ineinander umwandelbar sind). Von jedem dieser Typen existiert also jeweils eine bestimmte, von außen vorgegebene Teilanzahl. Es exis-tieren (in der GUT) also 64 unterschiedliche Teilzahlen. Ihre Summe zeigt die Gesamtzahl aller Quanten des Ausgangsproduktes an. Die Quanten selber können sich intern beliebig zusammenmi-schen und überlagern. Ordnungskriterien wären hilfreich, diesen Wust überschaubar zu halten. Physiker verständigten sich auf 2 solcher Kriterien: 1) ein „Reaktionskanal“ soll Wahrscheinlichkeiten erhalten. Unabhängig davon soll 2) ein „dynamischer Kanal“ „reelle Zustände“ reell beibehalten. Beide Kanäle vertragen sich nicht miteinander, sie überlappen sich. Aber beide – jeder für sich – zerfasern die Gesamtmenge aller Quanten in jeweils elementefremde „Klassen“; die Gruppentheorie sagt „Darstellungen“ zu den „Fasern“ oder „Klassen“, und „elemen-tefremd“ wird in „irreduzibel“ umgetauft. Die „Entwicklung“ eines Zustandes aus dem einen Kanal nach Zuständen aus dem anderen Kanal läuft also jeweils über die Gesamtmenge aller Fasern jenes anderen Kanals (also über den Produktzustand aus sämtlichen Quanten)! – Nach seiner Auskondensation aus der oben beschriebenen „Dampfwolke“ aus Quanten gewinnen wir aus dem eingangs er-wähnten „Interferenzknoten“ ein selbständiges Elementarteilchen, indem wir dessen noch verbliebene Verbindungen zum einbetten-den Universum rigoros kappen. Sein wesentlicher Teil wird derart zu einer irreduziblen Einheit. Effektiv ist die Anzahl seiner Quanten aus 64 Typen somit ebenfalls rigoros dezimiert.

Dunkle Materie 85

Sein Nicht-Valenzteil konstruiert sich aber nach wie vor aus „in-tern“ abgesättigten Erzeuger-Paarstrukturen – nur dass diese nicht mehr „interne“ Singletts darzustellen brauchen; die bilden ja be-reits die Dunkle Materie. (D.h. Ihre Paarstrukturen koppeln zwar je 2 gleiche Indizes aus dem „internen“ Bereich, summieren diese aber nicht unbedingt.) Damit untergliedert sich solch ein Nicht-Valenzteil gemäß den acht Chiralkomponenten der 8x8 = 64-dimensionalen GUT. Entspre-chend liefert die Anwendung eines Generators der nur 8-dimensio-nalen Quantengravitation, die diese Untergliederung nicht kennt, mehrere Beiträge: für jeden Chiralteil einen. Nun sehen zwar die acht chiralen Untergruppen formal eine wie die andere aus; doch zu jeder von ihnen gehört eine andere Beset-zungszahl an (umdiagonalisierten) Quanten der jeweiligen Provenienz. Generell wird das Anwenden eines Generators diesen Zustand ver-ändern. Die Anwendung eines Generators der Quantengravitation wird zu einer i.A. unsymmetrischen Aufsplitterung seines Ergebnis-ses bezüglich der chiralen Unterstruktur führen. Dies generiert eine Abhängigkeit des Resultats von den acht chi-ralen Untergruppen: Trägheit (Impuls), Masse und Raum-Zeit-Verhalten des betrachteten Teilchenzustandes werden zu Funktio-nen auch der „internen“ Quantenzahlen: die spezielle Form eines effektiven Teilchenzustandes wird Gegenstand einer Art Gleichge-wichtsbetrachtung emergenter Erwartungswerte. Nach hinreichend häufiger Anwendung des Zeit-Operators ist der Ausgangszustand gewöhnlich nicht mehr wiederzuerkennen. Eine Maßeinheit für diesen Wiedererkennungseffekt ist die so genannte „Halbwertszeit“ (gemessen als Parameterwert einer Exponentialfunktion der Zeit unter gewissen Nebenbedingungen). Am geläufigsten ist der Begriff einer Halbwertzeit bei Streu- und Zerfallsprozessen, in der unser Teilchen erst frisch aus anderen er-zeugt wird. Dabei wird seine „Masse“ bei der maximalen Erzeu-gungswahrscheinlichkeit festgelegt; der Zustand heißt dann „reell“. Vergleichbare Zustände mit abweichender Masse heißen „virtuell“. „Massenformeln“ beziehen sich grundsätzlich nur auf „reelle“ Zu-stände. Sie sind also Gegenstand von Extremwertbetrachtungen.


Man hüte sich davor, ein „Quark“ von Gell-Mann mit einem „Quant“ aus der Quantengravitation oder GUT zu verwechseln: Ein Quark bezeichnet ein komplettes Teilchen – Valenz- plus Nicht-Valenzteil – während ein einzelnes „Quant“ lediglich einen „atomis-tischen Baustein“ der Natur, eine Basisstruktur in ihr, darstellt und keinen Nicht-Valenzteil besitzt! Letzteres gilt auch für die 16 Typen der Dunklen Materie. Die konventionelle Grundlagenphysik basiert (in ihrem Teilchen-sektor) auf Elementarteilchen. String-Modelle übernehmen den Bal-last wesentlicher Grundprinzipien (die unphysikalische Funktionenthe-orie) aus dem veralteten „Standardmodell (der Teilchen)“. Auch sie kennen z.B. keinen expliziten Nicht-Valenzteil. Dafür erfanden sie eine „Doppel-Punktmechanik“ hinzu (eben jene „Strings“). Unsere Neue Physik dagegen zieht in die klassische Physik „emergenter“ Messgrößen explizit eine komplett neue Ebene atomistischer Punkt-Quanten weit unterhalb des Teilchen-Niveaus ein! Der Grund dafür, warum das „Standardmodell“ überhaupt einen „Higgs-Mechanismus“ benötigt, liegt darin, dass es die Existenz von Nicht-Valenz-Strukturen innerhalb eines ausgedehnten Elementar-teilchens ignoriert. Während unsere Neue Physik diese Nicht-Valenz sauber in Form von Young-Strukturen zu konkretisieren vermag, trachtet das „SM“ danach, alle Eigenschaften eines Elementarteil-chens, wie sie sich anschaulich recht simpel aus seinem Nicht-Valenzteil ergeben, auf eine mystische „Balkon-Mathematik“ physi-kalisch völlig intransparenter Provenienz auszulagern. (Statt also das Modell von Grund auf zu renovieren, werden immer neue „Balkons“ ange-hängt.) Die Herausforderung an Mathematiker besteht jetzt darin, kon-kret, auf Basis der GUT, einige Klassen von Referenz-Konstruktionen für Nicht-Valenzteile explizit zur Verfügung zu stellen, die die Physi-ker auf den Computer legen könnten, um mit ihnen eine Vielzahl realistischer physikalischer Reaktionen durchzurechnen. Denn in der Physik muss ja alles endlich bleiben. Dann aber kann man das Jonglieren mit jener „Young“-artigen Mathematik der Gruppenthe-orie getrost dem Computer überlassen. –

Dunkle Materie 87

Das vorige Kapitel brachte uns den Begriff einer „Neutrino-Oszillation“: Die drei zurzeit bekannten Neutrinosorten wechseln im Laufe der Zeit ihre Identität. Getreu alten Vorstellungen deutete man dies als Zerfall der einen Sorte in die andere Sorte. Bei einem Zerfall sollte aber die Startsorte eine höhere Masse als das Endpro-dukt besitzen. So erteilte man den vorher als masselos geltenden Neutrinos halt eine winzige Masse zu. Das Problem war nur: Auch den „Zerfall“ in die umgekehrte Rich-tung ließ sich nachweisen, der „Zerfall“ entpuppte sich als eine „Neutrino-Oszillation“! Man kann sich vorstellen, dass dies den Modellbau nicht gerade vereinfachte. Doch da existiert noch unbeachtet eine ganz simple Alternative: Die Umwandlungsrate hatte sich als extrem gering erwiesen. Was wäre, wenn dieser Effekt keinen Zerfallsprozess mit all seinen theo-retischen Fallstricken darstellte, sondern einen trivialen Streupro-zess des Valenzteiles des Neutrinos an der Dunklen Materie? Klar: Für eine Streuung am Nichtvalenzteil wären die beteiligten Energien um viele Größenordnungen zu gering, um zu experimen-tell beobachtbaren Abweichungen im Viererimpuls zu führen. Doch eine Streuung am Valenzteil eines Neutrinos würde dessen Identität ändern! Anders als bei Prozessen der „Starken“ Wechselwirkung hätten wir es bei den drei bisher bekannten Neutrinotypen jedoch mit Teilchen gleicher Masse (nämlich nach wie vor =0) zu tun, so-dass die Umwandlungsenergie keine Rolle spielt. Beispiel mit H = Dunkle Materie:

νe + H𝟏 ↔ νµ + H𝟐 .

Da sich beide Neutrinos lediglich in der inneren Anordnung (Symmetrie) ihrer drei Valenzbausteine unterscheiden, ergäben sich (aus der „Ausreduktion“ beider Seiten) tatsächlich Übergangs-wahrscheinlichkeiten >0. Dies erlaubt die Beibehaltung der Masse-losigkeit der Neutrinos. Als Nebeneffekt würde dies auch die expe-rimentelle Bestimmung der Konzentration Dunkler Materie auf der durchlaufenen Strecke gestatten.


Das Fließen der Zeit, der Zeitpfeil Themengebiet der Naturwissenschaften ist die Natur – der Name sagt es. Passiv „beobachten“ wir die Natur. Als Menschen sind wir jedoch auch Teil von ihr. Sobald wir in sie eingreifen, „handeln“ wir aktiv in ihr; wir verändern, gestalten. Die Physik versucht, beides, das Beobachten und das Handeln, in die Mathematik abzubilden. In Teilen („Modellen“) gelingt ihr das auch. Für die elementaren Grundlagen der Physik ist das zurzeit um-fassendste Modell, das mit der Natur im Einklang steht, das der „Grand Unification“. Es basiert auf „Quanten“ in 64 Versionen. Die GUT „behandelt“ die Quanten mittels „Erzeugern“ (Spaltenvekto-ren) und „Vernichtern“ (Zeilenvektoren) (vgl. Kapitel „Erzeugung und Vernichtung …“). Ihr Produkt ist in dieser Reihenfolge (von links nach rechts) eine quadratische Matrix A:

A = Erzeuger ∙ Vernichter .

Im Produkt zweier A stehen in der Mitte ‘Vernichter mal Erzeu-ger‘; diese multiplizieren sich zu der Zahl 1 oder 0. Übrig bleibt dann (allenfalls) das äußere Paar ‘Erzeuger mal Vernichter‘. Dieses Ver-fahren wird von Schritt zu Schritt abstrakter. Letztendlich führt es zu den „Kommutatoren“ der Gruppentheorie. Nun sind (in dieser Modellierung) Vernichter nichts anderes als Erzeuger in Zeilenform geschrieben. Den Komponenten ist es als einfachen, reellen Zahlen nicht anzusehen, ob sie aus einem Erzeu-ger oder Vernichter stammen. So lässt sich ein Vernichter kompo-nentenweise problemlos aus den Komponenten eines Erzeugers nachstellen. Als Linearkombination aus lauter Termen ‘Erzeuger mal Erzeu-ger‘ lässt sich also auch eine „Zwei-Quant“-Struktur rein aus Erzeu-gern ohne weiteres aus den Skalar-Komponenten einer ‘Erzeuger mal Vernichter‘-Struktur nachbauen – obwohl eine Erzeuger-Erzeuger-Struktur als Gesamtobjekt einen langen Spaltenvektor darstellt, eine Erzeuger-Vernichter-Struktur dagegen eine quadrati-sche Matrix. (Der Anhang „Elementarteilchen“ demonstriert dies am Beispiel der Dunklen Materie.)

Das Fließen der Zeit, der Zeitpfeil 89

Den einzelnen Komponenten sieht man, aus dem Zusammen-hang gerissen, ihre ursprüngliche Einbettung nicht mehr an. Die GUT-Welt setzt sich aber ausschließlich aus Erzeugern zusammen, positiver wie negativer Energie. Die Vernichter sind nur mathemati-sche Hilfswerkzeuge, mit denen ein Übergang zwischen zwei Zu-ständen simuliert werden soll, deren einer (als Ket-Vektor-Erzeuger) den Input beschreibt und der andere (als Bra-Vektor-Vernichter) den Output. Anders als beim mathematisch inkonsistenten „Standardmo-dell“ existieren in der GUT auf der Input-Seite keine Vernichter und auf der Output-Seite keine Erzeuger. Eine „Aktion“ (ein „Operator“) verknüpft solch ein Input-Output-Paar miteinander. Ein Generator dient zur Abstraktion ihrer Wirkungsweise (per beidseitiger Projektion) auf der „atomaren“ Ebene unserer elementaren Quanten – zu wei-ter nichts! Nun erwähnten wir gerade, dass sich die Wirkungsweise eines Generators (Erzeuger mal Vernichter) in gewissem Grade auch durch Paare der Art ‘Erzeuger mal Erzeuger‘ simulieren lasse. Was liegt dann näher als beider Wirkungsweisen rationell zu vereinen:

Generator ≡ Erzeuger ∙ Vernichter → Generatorneu ≡ Erzeuger ∙ Vernichter + Erzeuger ∙ Erzeuger + Vernichter ∙ Vernichter .

Bezeichnenderweise nehmen die 16 Zusatzterme ‘Erzeuger mal Erzeuger‘ zu den 16 Generatoren der Quantengravitation gerade die Form der 16 Varianten der Dunklen Materie an! Wir werden gleich sehen, dass sich diese Zusatzterme „wie ein Düsentriebwerk“ in die Materie unseres Universums hineinsaugt. Erzeuger lassen sich multiplizieren. Eine Division ist nicht defi-niert. Zwar könnte man rückwärts daran gehen herauszutüfteln, welche Überlagerung von Input-Zuständen erforderlich wäre um irgendeinen festen Output-Zustand zu erzeugen. Doch – solch eine Überlagerung werden wir experimentell in der Natur kaum vorfin-den! Damit ist dies kein „physikalisches“ Verfahren.


(Streng genommen ist dies eine statistische Aussage, die verhindern soll, dass eine „Kausalität“ auch rückwärts wirksam würde.) Ein Prozess aber, der nur in eine Richtung abläuft, ist trivialer-weise nicht umkehrbar. Thermodynamiker würden sagen, er erzeu-ge Entropie. Dieser Entropiezuwachs lässt sich noch steigern, indem wir durch mehrfache Anwendung eines Generators auf einen Pro-duktzustand von Erzeugern dessen Streuweite variieren und somit verbreitern. Quantenfeldtheorien erheben den Generator dazu in den Exponenten einer Exponentialfunktion; zur einfacheren Varia-tion bekommt er dort auch noch einen Zahlenfaktor verpasst:

G → exp[iαG] .

Eine Exponentialfunktion summiert (in ihrer Taylor-Entwicklung) eine ganze Palette an Potenzen, also Mehrfachanwendungen, des Generators. Bei irgendeinem Wert des Parameters im Exponenten maximiert sich dann die Übergangswahrscheinlichkeit des Inputs zum Output; stellt G die Zeit dar, lässt sich der zugehörige Parame-terwert in die „Halbwertszeit“ des Übergangs umrechnen. G be-schränkt sich aber keineswegs nur auf die Zeit: Jeder GUT-Generator leistet (bei seiner Variation) entsprechende Dienste. Substitution des einfachen Generators durch seine erweiterte Neu-Form von oben zerpflückt ihn in zwei Teile. (Man vergleiche dies mit der Zerlegung eines Gesamtdrehimulses in Spin plus Bahndrehimpuls.) Der „alte“ Generatorteil lässt Variationen seines Wertebereiches in beide Richtungen zu: vorwärts wie rückwärts; seine Aktionen sind „reversibel“. Seine Neu-Erweiterung jedoch gestattet nur eine Rich-tung – nämlich die zunehmender Entropie, sie ist „irreversibel“! Betrachten wir dazu unser kosmisches Hyperboloid (im gleichna-migen Kapitel). Nach „außen“ hin wird es (bei positiv wie negativ anwachsender Zeit) immer breiter in Raum-Richtung. Das heißt: nach außen hin ist, absolut betrachtet, jeweils „mehr“ an Raum vorhanden. Dorthin wächst die Entropie an. Als Resultat beobach-ten wir (formal) ein

stetiges Fließen der Zeit !

Das Fließen der Zeit, der Zeitpfeil 91

Und dieses Fluss ist nach außen gerichtet: für positive Zeiten auf der Skizze „nach oben“, für negative Zeiten „nach unten“. Diese „Fließrichtung“ der Zeit bezeichnen wir als

Zeitpfeil.

Die Aussage lautet demnach: Für astronomische Zeiten existiert eine feste Zeitrichtung; sie ist bestimmt durch die „neuen“ Zusatz-terme von oben in den Generatoren. Für mikroskopische Zeitinter-valle wird dieser Zeitpfeil bei irgendeiner Größenordnung vernach-lässigbar gegenüber der Wirkung des alten Zeit-Generators. Mit dem astronomischen Zeitpfeil ist aber 3-dimensional auch ein kosmischer Zuwachs an Raum gekoppelt. (Zur Erinnerung: Das kosmische Hyperboloid gehört nicht zum „geschlossenen“ System des Reaktionskanals, der Wahrscheinlichkeiten erhält, sondern zum „offe-nen“ System des dynamischen Kanals!) Damit existiert auch ein kosmi-scher „Raumpfeil“, der, wie bei der Zeit, im mikroskopischen Be-reich vernachlässigbar wird. (Für mathematisch Interessierte: Im offenen System wandelt der Kom-mutator mit der Q-Zeit Energie in Masse um und den Lorentz-Booster in Q-Raum. So erzeugt die Zeit dort Raum, den sie simultan abkühlt (abneh-mende Energie). Solange bis sie keine dazu geeigneten Quanten in Form Dunkler wie ordentlicher Materie mehr vorfindet. Dann bleibt die Zeit stehen – nachdem sie sich immer mehr „verlangsamt“ hat.) Unser „makroskopischer“ Bereich liegt im Grenzbereich zwi-schen der astronomischen und der mikroskopischen Betrachtungs-weise unserer Umwelt durch die Physik: Für die (makroskopische) Zeit befinden wir uns bereits im Kosmos, für den Raum noch im Molekularbereich. Mit der Lichtgeschwindigkeit in cm/sec beträgt die (von uns wahrgenommene) Größendifferenz zwischen beiden Messskalen gut 10 Zehnerpotenzen. Kosmologisch ist der „Raum-pfeil“ ja durchaus (in Form der kosmischen Expansion) als existent nachweisbar. Die Endlichkeit unseres Universums begrenzt die Wirkung des Zeitpfeils auch für extrem große Zeiten, wie wir sie experimentell noch lange nicht erreicht haben. Da es nur endlich-viele Quanten enthält, werden die sich im Laufe der Zeit ausdünnen, und am letz-ten Quant „ist unsere Welt zu Ende“.


Verstehen können wir dies besser im Reaktionskanal. In ihm zei-gen die diversen „Pfeile“ in ihren 1-dimensionalen Projektionen sämtlich zur Mitte des jeweiligen Parameterbereiches, wo sich, in der Projektion (!), die meisten Quanten konzentrieren. (Für den offenen, dynamischen Kanal denken wir an die Veranschaulichung von Kegelschnitten in manchen Lehrbüchern, wo man die Hyperbel (unseren dynamischen Kanal) auf die Ellipse (unseren Reaktionskanal) zurückzuführen sucht, indem man sich ihre Asymptoten über das Unendliche verbunden vorstellt.)

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Paulis Ausschließungsprinzip Die Gruppentheorie entstand an der Wende von 18XX nach 19XX. Ihr Highlight war die Erfindung der „Young Tableaux“. Zu jener Zeit nahmen diese neue Mathematik nur wenige Physiker ernst. Ein-stein und die große Mehrheit seiner Zeitgenossen gehörten nicht zu ihnen. „Was der Bauer nicht kennt, das isst er nicht“! Infolge dessen wurden sie auch nicht mit Youngs „gemischten Symmetrien“ vertraut. So beliefen sich ihre Ergebnisse nur auf eine total symmetrische „Bose-Einstein-Statistik“ für „Bosonen“ (Teilchen mit ganzzahligem Spin) sowie auf eine völlig antisymmetrische „Fer-mi-Dirac-Statistik“ für „Fermionen“ (Teilchen mit halbzahligem Spin). Letztere liefert das „Pauli-Prinzip“. Weder zogen sie in Betracht, dass auch Statistiken zu “gemisch-ten Symmetrien” existieren könnten – wie sie sich für Gell-Manns Quarks als nötig erwiesen – noch dass das Pauli-Prinzip auch aus ganz anderen Überlegungen heraus folgen könnte. Jener vorläufige Wissensstand wurde dann fest eingefroren und blieb so auch der letzte Schrei im „Standardmodell (der Teilchen)“. Meines Wissens ist bisher niemand auf die Idee gekommen, dass das Pauli-Prinzip auch Ergebnis des Austausches eines „intermediä-ren“ Teilchens sein könnte, wie es inzwischen für alle anderen Kräf-te der Natur üblich ist anzusetzen. Das „Standardmodell“ sieht noch heute, hundert Jahre nach der Entthronisierung dieser lediglich 2 Typen von Statistik, den statistischen Ursprung des Pauli-Prinzips als unumstößlich an – die Namen zu vieler berühmter Physiker sind damit verbunden. Doch betrachten wir einmal das Gravitationsgesetz. Seine Kraft ist – klassisch – proportional zu einer Gravitationskonstante G, für die das Experiment (im Rahmen unserer üblichen Maßeinheiten) einen sehr, sehr kleinen Wert liefert. Andererseits stellt es überhaupt kein Problem dar, dieses G auf einen Wert in der sonst – bei den „inter-nen“ Kräften – üblichen Größenordnung um 1 herum zu bringen:


Wir bräuchten sie lediglich mit einem geeigneten Faktor zu mul-tiplizieren, sodass dieses Produkt – das dann die revidierte Gravita-tionskonstante bezeichnen würde – in der gewünschten Größen-ordnung zu liegen kommt. Um damit aber nicht das Gravitationsge-setz zu verletzen, müssten wir als Kompensation den Abstand r mit der Wurzel aus diesem Faktor multiplizieren:

λ𝟐Gm𝟏m𝟐(λr)𝟐 = 𝐆

m𝟏m𝟐

r𝟐

Nach dieser Erweiterung hätten wir dann jedoch den Abstand nicht mehr in der üblichen Weise in Einheiten „cm“ zu messen, sondern in Einheiten cm, dividiert durch jenen Faktor. Angesichts der Winzigkeit von G würde dies zu einer Längenskala in der Grö-ßenordnung der Planck-Länge führen (in etwa 10 hoch minus 32). Während jedoch die „internen” Wechselwirkungen nur auf den Valenzteil eines Teilchens wirken, tut dies die Gravitation auf deren Nicht-Valenzteil. (Ihr Beitrag aus dem Valenzteil ist vernachlässigbar). Denn die Gravitation stellt ja gerade die Singlett-Komponente in Bezug auf die „internen“ Wechselwirkungen dar. Aber ist denn die Gravitation die einzige Singlett-Kraft bezüglich „interner“ Reaktionen? Gemäß dem „Standardmodell“ sollten wir uns vorrangig um asymptotisch masselose Teilchen mit Spin=1 (die „Eichbosonen“) kümmern, wenn wir nach Mitbewerbern des Gra-vitons (Spin=2) Ausschau halten. Solch ein Teilchen sollte in demselben System von Maßeinheiten (cm, sec, gram) gemessen werden, das wir auch auf das Graviton angesetzt hatten. Wie das Graviton würde es dann eine Kopplungs-konstante in der Größenordnung der Gravitationskonstante besit-zen. Als „Vektor-Teilchen“ – sagt uns die Feldtheorie – würde es die symmetrische Kraft der Gravitation mit einer antisymmetrischen Komponente überlagern. Außerdem würden sich zwei gleiche La-dungen N nicht anziehen sondern abstoßen. Doch ein derartiges Teilchen wurde bisher experimentell genauso wenig nachgewiesen wie das Graviton selber.

Paulis Ausschließungsprinzip 95

Das Graviton zeigt sich aber indirekt, z.B. durch die symmetri-sche Form und die lange Reichweite der Kraftwirkung. Für einen antisymmetrischen Vektor-Anteil dagegen gibt es gegenwärtig kei-nen Anhaltspunkt. Über diesen Befund wäre das Thema „Vektor-Graviton“ als weiteres Eichboson üblicherweise gestorben. Was aber, wenn solch ein „Vektor-Graviton“ doch eine hinrei-chend kleine Masse besäße? Dann würde die langreichweitige Coulomb-Kraft solch eines Teilchens in die kurzreichweitige Yuka-wa-Kraft übergehen, und deren Existenz stünde nicht im Wider-spruch zu den experimentellen Daten. Zugleich würde solch eine Kraft von ihrer sanft abklingenden Form nach außen hin zu einer Art kurz begrenzter „Hardcore-Kraft“ konvertieren, deren Wirkung sich effektiv auf ihr unmittelbares Zentrum beschränken würde. Dort aber müsste sie eine stark abstoßende Wirkung ausüben. Nun, solch eine Kraft ist experimentell tatsächlich bekannt: Es handelt sich um diejenige Kraft, die sich als Pauli-Prinzip bemerkbar macht. Zur Erinnerung: Das Pauli-Prinzip verbietet es zwei Fermion-Zuständen, in sämtlichen Quantenzahlen exakt übereinzustimmen. In den laufenden Modellen wird dieses Pauli-Prinzip aber nicht auf die Wirkungsweise „intermediärer“ Austauschteilchen (wie obi-ges „Vektor-Graviton“) zurückgeführt, sondern man pflegt, historisch bedingt, einen dialektischen Purzelbaum zu schießen, indem man diese physikalische Aktion des Pauli-Prinzips in mathematisch-abstrakt verbrämter Form der Wirkungsweise eines Plus-Kommutators der beteiligten Teilchen zuschreibt („Fermi-Dirac-Statistik“). Dies gehört – neben der Variationsrechnung – zu den vielen un-bewiesenen Grundannahmen des „Standardmodells“; es bildete seinerseits auch die Grundlage zur Einführung einer so genannten „2-ten Quantisierung“, die all dies noch „verschlimmbessert“. Andererseits hat jenes alte „Standardmodell“ mit all seinen Schein-Konsequenzen aus komplizierten inneren Widersprüchen im Laufe der Zeit eine derartige Eigendynamik entwickelt, dass es heu-te schier ein absolutes Tabu ist, an seinen Festen auch nur zu rüt-teln, um wenigstens seine exzentrischsten Ideen zu korrigieren, wie sie sich aus der Vergangenheit aufgeschaukelt haben.


Schließlich bedarf es keines Erdbebens mehr, um jenes gesamte Kartenhaus zum Einsturz zu bringen. Einstige Fehlinterpretationen bündeln sich zu einem undurchdringlichen Dschungel aus vordefi-nierten und voreiligen Festsetzungen. Diese blinde, babylonische Gefangenschaft in Form des „Standardmodells der Elementarteil-chen“ macht jeden Versuch illusorisch, dessen verkrustete Physik zu renovieren. Aus gutem Grund verteidigen es ihre Protagonisten mit Zähnen und Klauen. –

Zu klären bliebe noch, wieso das Pauli-Prinzip sich nur auf “gleichartige” Teilchen auswirkt. Lassen wir die Neutrinos beiseite, so ist es eine der typischen Eigenschaften ungleicher Teilchen, eine ungleiche Ruhemasse zu besitzen. Das bedeutet: Ungleiche Teil-chen haben auch intern eine unterschiedliche Struktur. Ungleiche Teilchen werden deshalb auch nicht „näherungsweise vollstän-dig“ miteinander interferieren. Die Hardcore-Abstoßung sich unterscheidender Fermion-Typen kann nicht voll wirksam werden, weil ihre Wechselwirkungs-Bereiche (bezüglich unseres „Vektor-Gravitons“) nur wenige Planck-Längen messen, während sich die Nicht-Valenzteile der Teilchen räumlich in ganz andere Größenordnungen ausdehnen. Daher wird die Abstoßung im Experiment erst voll wirksam sichtbar, wenn sich die Teilchen vollständig überlappen. Somit vermag es unser „Vektor-Graviton“, das Pauli-Prinzip tat-sächlich als Effekt einer mehr oder weniger „gewöhnlichen“ Kraft zu erklären. Nur steht diese so nicht im Katalog des „Standardmo-dells“. Der alte Erklärungsversuch des Pauli-Prinzips dagegen mutet doch sehr formalistisch und an den Haaren herbeigezogen an. Dies bedeutet aber zugleich auch einen Umdenkungsprozess in unserer Betrachtungsweise der Grundlagenphysik. Diese „Neue Physik“ kollidiert fundamental mit der konventionellen, völlig veral-teten Methode des „Standardmodells“. Seit Jahrzehnten bereits äußert die Gemeinschaft der Physiker den Verdacht, dass ihr „Stan-dard“ wohl nur eine Art von Modellierung darstellen dürfte, um die Natur mittels der Mathematik zu parametrisieren, dass ihr Modell also längst an seinen Grenzen angelangt sein dürfte.

Paulis Ausschließungsprinzip 97

Indem das „Standardmodell“ einen „Balkon“ nach dem anderen an ein brüchiges Fundament anhängt, ohne zuvor dessen irrefüh-rende Strukturen von früher zu sanieren, versucht es einerseits zu überleben, zugleich aber nicht zu weit hinter den Erkenntnissen aus frischeren Experimenten hinterher zu hoppeln. Im Endeffekt führt aber jeder „Balkon“ in ein noch dickeres Ge-strüpp aus Schein-Erkenntnissen, die dann rasch ihr Eigenleben entfalten, ohne Aussicht, jenes Tohuwabohu je wieder entwirren zu können. Dies ist das „Standardmodell“, getoppt nur noch durch die „String-Modelle“.


Die Feinstrukturkonstante Die „Feinstrukturkonstante“ ist die makroskopische Koppelungs-konstante der elektromagnetischen Kraft. Wie die Gravitations-konstante leitet auch sie sich aus der klassischen Form einer Coulombkraft her:

Kraft = α e𝟏e𝟐

r𝟐 .

Mit den Ladungen e als reinen Zahlen und den Umrechnungsfak-toren ħ und c des Planckschen Wirkungsquantums und der Lichtge-schwindigkeit gleich 1 gesetzt ergibt sich diese Kopplungskonstante ebenfalls als reine Zahl. „Makroskopisch“ soll in diesem Zusam-menhang heißen: Wir setzen die elektrische Gesamtladung eines Elektrons in der Coulombkraft oben mit ihrem Bruttowert –1 an. Nun kennen wir den Effekt, dass wir nicht durch eine massive Wand aus Beton schreiten können. Zwar ist die Wand insgesamt elektrisch neutral; was uns jedoch am Durchschreiten hindert, das sind die negativ geladenen Elektronenschalen ihrer Atome, die die genauso negativ geladenen Elektronenschalen der Atome, aus de-nen wir selber bestehen, beim Aufeinandertreffen abstoßen. Aus demselben Grunde fallen wir ja auch nicht durch den Fußboden. Fazit: Wir müssen von Fall zu Fall sauber zwischen der Gesamtla-dung eines Komplexes und den Teilladungen seiner Konstituenten unterscheiden! Für die klassische Physik soll dieser Unterschied für ein Elektron per Definition keine Rolle spielen; denn dort wird ein Elektron als punktförmig angesetzt. In der GUT dagegen besteht ein Elektron – vergleichbar mit einem Deuterium-Atom – aus 3 Konstituenten: einem eng gebundenen Leptonuleus aus zweien von ihnen, „um-kreist“ von seinem wesentlich lockerer gebundenen dritten Konsti-tuenten. Bei einer Annäherung nach obiger „Methode Wand“ „spü-ren“ wir also vordringlich erst jene 3. Komponente, noch nicht je-doch das Kernpaar.

Die Feinstrukturkonstante 99

Damit erhalten wir für die Berechnung der Feinstrukturkonstante erst einmal das Quadrat der elektrischen Ladung –2/3 jener dritten Komponente als Faktor. Zu multiplizieren ist er mit der eigentlichen Kopplungskonstanten (dem „Clebsch-Gordon-Koeffizienten“ der Koppe-lung). Diese berechnet sich (als Erwartungswert (Matrix) des Photons (als Operator) zwischen 2 „gleichen“ Spinorkomponenten (jener dritten Komponente als Vernichter bzw. Erzeuger)) als Wahrscheinlichkeit aus dem Verhältnis 1 der beteiligten „Komponente“ des Photons aus seinem U(64)-Teilchenmultiplett im Reaktionskanal der GUT, divi-diert durch die Anzahl aller in ihm vorhandenen Komponenten. Die derart grundlegende Bedeutung dieses Befundes für die Phy-sik veranlasst mich, die Rechnung hier ausnahmsweise im Hauptteil zu skizzieren. Weniger Interessierte mögen sie überblättern. Das einfachste Boson-Multiplett einer U(64) besteht aus 2 Va-lenzquanten. (Ihre spezielle Form findet sich im Anhang „Elementarteil-chen“. Ich nutze hier die komponentenweise Äquivalenz einer 2-Erzeuger-Darstellung zur Vernichter-Erzeuger-Matrix aus.) Ihr Produkt ist reduzi-bel; es gestattet die Abspaltung eines U(64)-Singletts. Das Photon muss aber im „Rest“ stecken – sofern es nicht zu irgendeiner noch höheren Darstellung gehört. Dieser „Spur“-Effekt liefert für das verbleibende Multiplett außerhalb des Singletts (auf der Diagonale seiner Matrix-Darstellung) einen Koppelungsfaktor

1 −1

64=

6364

.

Schließlich interessiert uns von den 64 Komponenten des Basis-Spinors nur die eine, die an die gerade wirksame Komponente des Photons ankoppelt: Faktor 1/64. Sammeln aller Faktoren ergäbe in dieser groben Näherung

−23

2

∙6364

∙1

64=

1146,28 …

.

Nun hatten wir uns in der Quantengravitation klar gemacht, dass ihre 8-dimensionale Basisdarstellung 2 Spinoren einer Untergruppe U(2,2) zusammenfasst. Das Produkt aus ihren 4x4 Komponenten bildet die 16 Typen der Dunklen Materie.


Erweitert zur GUT, ist über deren 8 Komponenten paarweise zu summieren. Das funktioniert aber nur, solange jede dieser beiden je 8 GUT-Komponenten auch wirklich vorhanden ist! Der physikalische Clou an der Geschichte ist jetzt: Fehlt in der Natur eine dieser GUT-Komponenten – z.B. weil sie für die Bildung von Dunkler Materie bereits aufgebraucht ist – dann fällt nicht nur die weitere Bildung von Dunkler Materie dieses Typs aus, sondern mit ihr gleich die Bildung von insgesamt 4 Typen! Grund: Diese eine (jetzt fehlende) Komponente des einen dynamischen 4-Spinors wird in der Dunklen Materie mit allen 4 Komponenten des anderen 4-Spinors verknüpft. Demnach sind alle 4 Komponenten aufgebraucht. Gleiches gilt für das Photon: Auch ihm fehlt nun nicht nur diese eine Komponente zur Paarbildung, sondern alle 4 Varianten des anderen 4-Spinors im Paar. De facto wirkt sich das so aus, als wären auch für das Photon von den 64 GUT-Komponenten nur noch 60 verfügbar:

U(64) ⊃ U(4) ⊕ U(60) .

Die U(64) kollabiert de facto also zu einer U(60). (Ich erinnere an den Neutrino-Fall, wo auch eine der „Helizitäts“-Komponenten fehlt. Dazu später mehr.) Für die Feinstrukturkonstante bedeutet dies in Zahlen:

α = −23

2

∙6364

∙1

𝟔𝟎=

𝟏𝟏𝟑𝟏, 𝟏𝟒𝟑

.

Der experimentelle Wert lautet 1/137,036; die Abweichung be-tragt 0,08 % ! Umgekehrt würde die Umrechnung des experimen-tellen Wertes 59,953 statt obiger 60 noch verfügbaren Dimensio-nen für die U(64) erfordern. Dieser Zahlenwert ist recht plausibel: Das potenzielle Reservoir zur Bildung dieser 4 seltensten Typen an Dunkler Materie ist zu 100% ausgenutzt; unsere „sichtbare“ Materie aus Teilchen muss sehen, wie sie mit dem Rest an ungepaarten Quanten zurechtkommt. Für die ungehinderte Neubildung Dunkler Materie ist ein erster Limit erreicht – ab hier gäbe es Einschränkungen!

Die Feinstrukturkonstante 101

Die Präzision der theoretischen Werte verifiziert die Klassifikation des Photons als 2-Quant-Struktur. Heranmultiplizieren eines langen Nicht-Valenzteiles wird bei der Ausreduktion unvermeidlich zu Kon-figurationsmischungen mit geringfügigen Anpassungen führen. Die Größenordnung dieses Effektes ist momentan, ohne explizite Rechnung, genauso schwer abschätzbar wie die Detailauswirkungen auf eine Mehr-Quant-Valenz, wie sie ein Elektron in der Realität darstellt. Die Optimierung überlassen wir getrost zukünftigen Spe-zialisten. Jedenfalls bestätigt die Herleitungsweise obigen Wertes für die Feinstrukturkonstante diverse Details unseres GUT-Modells, insbe-sondere auch seine Dimensionalität als 8x8 = 64. Die Art der La-dungsabschirmung des Leptonukleus‘ im Elektron durch sein „Scha-len“-Quant verifiziert unseren Ansatz für die Substruktur eines Lep-tons, und die Reduktion von 64 auf 60 beim Photon aktive Dimensi-onen erhellt unser Verständnis für die Zusammensetzung der Dunk-len Materie und ihre Wechselbeziehung zur gewöhnlichen Materie.


Old-Timer „Standardmodell” – ein Nachruf Neben den „leptonischen Flavour” kennen wir aus dem Experiment auch noch “hadronische Flavour”. Diese sind jedoch von völlig an-derer Natur. Gemäß den bisherigen Beobachtungen bleiben letzte-re gegenüber Prozessen der „Starken“ und der elektromagneti-schen Wechselwirkung erhalten, nicht mehr aber unbedingt auch gegenüber solchen der „Schwachen“ Wechselwirkung. Umgekehrt könnte man dies auch als Kriterium dafür heranziehen, um Wech-selwirkungstypen gegeneinander abzugrenzen. Doch was sind „hadronische Flavour“ – im Vergleich zu den „lep-tonischen“? Erst einmal unterscheidet sich ihre Terminologie:

Die leptonischen Flavour Elektron-, Myon- und Tauon-Zahl bezeichnen jeweils ein ganzes Lepton-Multiplett.

Die hadronischen Flavour “Charm“ und “Strangeness“ dage-gen bezeichnen dasselbe Flavour, jedoch aufgeteilt nach der elektrischen Ladung. Und dies gilt genauso für das Flavour-Paar “Top“ und “Bottom“.

„Hadron“ ist ein Begriff aus dem „Standardmodell“ und betrifft alle Teilchen, die ausschließlich aus den dort als „Quarks“ definier-ten Zuständen zusammengesetzt sind. Für unsere GUT müssen wir umdefinieren (vgl. Anhang „Elementarteilchen“): „Hadronen“ sind alle Teilchen, deren Valenzteile sich ausschließlich aus Quanten mit L=0 zusammensetzen, und: einige spezielle Bosonen sollen laut „Stan-dardmodell“ keine Hadronen sein. Wir alle sind vertraut mit den hauptsächlichen Zügen des alten „Standardmodells (der Teilchen)“, mit seinen 3 „Generationen“ von Up- und Down-Quarks, von denen zudem noch behauptet wird, sie träten samt und sonders in je 3 „Farben“ („Colours“) auf:

quarks leptons special bosons up down e− νe g γ g1 g2 g3 … charm strange µ− νµ W+ Z W−

top bottom τ− ντ H1 H2 H3 …

Old-Timer „Standardmodell“ – ein Nachruf 103

Berücksichtigen wir auch noch deren je 2 Spin-Komponenten sowie ihre jeweiligen Antiquarks, so erhalten wir 6x3x2x2=72 un-terscheidbare Zustände. Dies sind allein für die Quarks bereits mehr Zustände als die 64 Stück, die unsere komplette Grand Unification an Einträgen in ihr Periodensystem für die gesamte Natur besitzt! Aber dies ist noch lange nicht alles. Im „Standardmodell“ exis-tiert zu jedem Quark jeweils ein „Erzeugungsoperator“ und ein „Vernichtungsoperator“; macht 144 Einträge: Im „SM“ setzt sich die Natur auch aus Vernichtern zusammen, in der GUT nicht. In unserer GUT sind alle Raum-Zeit-Strukturen „emergente“ Funktionen ihrer nur 64 Quanten. Im „Standardmodell“ dagegen sind all diese Strukturen jedoch – für jeden der 144 Einträge – un-abhängige, zusätzliche Eigenschaften. Setzen wir unvoreingenom-men den Wert 4 für ihre vier Raum-Zeit-Dimensionen als Multipli-kator an, so landen wir bei 532 voneinander unabhängigen Einträ-gen. Doch all dies betrifft lediglich erst die Quarks. Darüber hinaus gibt es aber auch noch entsprechende Einträge für die 6 Leptonen, für das Graviton, für das Photon, für die 8 Gluonen, für die 3 „Schwachen Bosonen“ und für die Higgs-Teilchen, deren Anzahl bisher noch immer zur Diskussion steht. Dabei wird der Teilchengehalt des „Standardmodells“ üblicher-weise als klein und einfach dargestellt. Details werden weggelassen; lediglich die 12 in der Tabelle oben rot eingefärbten Einträge wer-den genannt. Das Faktum, dass sich deren wahre Anzahl bisher schon auf rund tausend wohl unterscheidbare Zustände beläuft, die sämtlich für sich allein als „fundamental“ betrachtet werden müs-sen, wird verschwiegen – eine Inflation an Einträgen! Jede niedrige-re Anzahl ist Augenwischerei. Angesichts dieser riesigen Zahlen im „Standardmodell“ – was bedeuten da schon die nur 64 Einträge für die gesamte Quanten-gravitation inklusive ihrer GUT-Erweiterung! Und wie viel mehr als das „Standardmodell“ leistet es! Ganz abgesehen davon, dass unse-re „Neue Physik“ systematisch alle Singularitäten wegräumt, ein-schließlich aller sonstigen Inkonsistenzen, die das „Standardmo-dell“ nicht müde wird, wieder und wieder aufzutürmen.


In den Teilchentabellen zum „Standardmodell“ gestattet es die wild ausufernde Menge an Spezialbosonen – angefangen beim Pho-ton und (zurzeit) endend mit den Higgs-Bosonen – nicht einmal mehr, sie in eine systematische Ordnung zu bringen. Die Existenz von so manchem dieser Sonderbosonen mag sogar auf freier Erfin-dung basieren, nur um die zum Datenfit erforderliche Anzahl an Parametern für die Variationsrechnung zur Verfügung zu bekom-men. Im Reaktionskanal der Quantengravitation und ihrer GUT-Erweiterung bleiben sämtliche Quanten einzeln absolut erhalten. Im „Standardmodell“ ist dies nicht der Fall. Bei seiner “2. Quanti-sierung” darf ein Input-Quant (als “Vernichtungsoperator”) ein ande-res Input-Quant (als “Erzeugungsoperator”) vernichten. Beide Input-Quanten sind jedoch gleich-variant (beide vom „Ket“-Typ). Dies bedeutet den Missbrauch der Kommutatorlogik zur Umge-hung gruppentheoretischer „Ausreduktionen“ von Produkten: die ausgeklügelte Kommutatorlogik der gängigen Quantenfeldtheorien sind inkonsistent, sie verletzen gröblichst die Regeln der Tensor-rechnung!

Für mathematisch Interessierte: Tensor-Kovarianz gestattet bei korrekter Handhabung nur die Kontraktion zweier Tensor-Indizes entgegengesetzt-varianter Quanten („Bra“ gegen „Ket“) zu einem Doppelquant-Singlett-Zustand. Die „2. Quantisierung“ da-gegen kontrahiert zwei „3-Komponenten“ auf der 16-dimensiona-len Unterebene – und das auch noch unsummiert; dies liefert aber nicht, wie behauptet, das Eins-Element!

Speziell wird dabei auch die Erhaltung von derjenigen (linearen) Quantenzahl verletzt, die die Anzahl der Quanten durchzählt (d.h. der Casimir-Operator erster Stufe des unitären Reaktionskanals, der die positive Norm zur Erhaltung der Wahrscheinlichkeit zur Verfü-gung stellt).

In einer mathematisch korrekten Anwendung der Gruppentheo-rie verursacht ein Wechselwirkungs-Prozess aber nichts anderes als ein Umschaufeln der Input-Quanten: Kein Input-Quant darf ein anderes Input-Quant vernichten, kein Output-Quant darf ein ande-res Output-Quant vernichten.

Old-Timer „Standardmodell“ – ein Nachruf 105

Jene Quantenpaare, die von den gegenwärtigen Quantenfeld-Theorien unter den Teppich gekehrt werden, summieren sich letzt-endlich zur Dunklen Materie (bzw. zu ihrer abgewandelten Variante als Bausteine der Nicht-Valenzteile von Elementarteilchen) zusammen. Das „Standardmodell“ muss dann notgedrungen eingestehen, keine Ahnung zu haben, was Dunkle Materie wohl sein könnte. Stattdessen betreibt das „Standardmodell“ blind sein Spiel mit sei-nen experimentell unauffindbaren „WIMPs“ weiter (WIMP = Weakly Interacting Massive Particle): die alte Balkontaktik, ohne jede Strate-gie. Statt ein für alle Mal seine Inkonsistenzen auszumerzen, trachtet jenes antiquierte Geschäftsmodell danach, diesen Umstand durch die Einführung einer „Vakuum-Polarisation“ zu verkleistern, um mit ihr jene zuvor gerade unter den Teppich gekehrten Quantenpaare von dort her wieder hervor zu klauben. Wie das Kaninchen auf die Schlange, so starrt das „Standard“-Modell hypnotisiert auf CERN und die inzwischen altersschwachen Strings. Unfähig, selbständig, aktiv eigene Theorien zu entwickeln, wartet und wartet es immer nur passiv darauf, dass sich am CERN experimentell irgendetwas tut: „Hannemann, geh du voran!“ Das „Standardmodell“ „fittet“ nur, interpoliert und extrapoliert; es erklärt nichts! Mit seinen inhärenten Inkonsistenzen bildet es den Nährboden für ominöse Gerüchte, die, zu unbewiesenen Dog-men hochstilisiert, seit Jahrzehnten machtvoll das Verständnis für die Physik untergraben, Forschung behindern – wenn nicht gar in-stitutionalisiert verhindern. Höchste Zeit, das „SM“ endlich in der Schublade der Geschichte verschwinden zu lassen. Noch größeres Unheil als ein halbes Jahr-hundert Stillstand in der Grundlagentheorie kann es allerdings schwerlich anrichten – höchstens ein weiteres Jahrhundert blinder Stagnation!


Flavours Lepton-Flavour wurden als Unterschiede in der detaillierten Struk-tur identifiziert, wie sich ein Leptonukleus innerhalb eines Teilchens einfügt. Allgemeiner ausgedrückt, definiert sich ein Teilchen mit Flavour als die Kopie eines wohlbekannten anderen Teilchens, das jedoch irgendeine zusätzliche, „nicht-lineare“ Eigenschaft besitzt, deren Vorkommen man abzählen kann. Da solch ein Flavour keine Quantenzahl darstellt, ist es auch keine absolute Erhaltungsgröße. Das “Standardmodell” erklärt weder die Anzahl ihrer “Generati-onen” noch was diese eigentlich seien. Das „Standardmodell“ be-harrt auf der Doktrin, dass Leptonen „punktförmige“ Teilchen ohne jede interne Struktur seien. Daher muss die Erkenntnis, warum ne-ben dem Elektron auch noch ein Myon und sogar ein Tauon existie-ren, für das „Standardmodell“ ein mystisches Geheimnis bleiben. Einer meiner Haupt-Kritikpunkte am „Standardmodell“ – neben seinen Singularitäten und sonstigen Ungereimtheiten – ist jedoch seine Doktrin, nach der ein Baryon aus 3 Quarks zu bestehen habe und ein („hadronisches“) Meson aus einem Quark-Antiquark-Paar. Nur – die Natur weiß davon nichts! Und die nicht-hadronischen Mesonen passen sowieso nicht ins Konzept der Teilchentabellen des „Standardmodells“; das ungeordnete Chaos auf der rechten Seite der Tabelle im vorigen Kapitel zeigt dies überdeutlich. Grund: Andernfalls müssten auch Teilchen mit unorthodoxen elektrischen Ladungswerten auftauchen; im Experiment jedoch „existieren dafür keine Anzeichen“. Man schreibt den Theoretikern also ohne Not ein zufälliges Zwischenergebnis momentaner Mess-techniken als Denkverbot für alle Zeiten vor! (Dabei ist es durchaus nicht sicher, ob solche „Resonanzen“ nicht längst entdeckt, dann aber künstlich „wegdiskutiert“ wurden, weil sie eben nicht ins Schema passten.) Doch warum in die Ferne schweifen. Mit nur 2 Spin=1/2-Zuständen („Quarks“ als volle Teilchen im „Standardmodell“, „Quan-ten“ als reine Valenzstrukturen in der GUT) lässt sich kein höherer Spin als 1 zusammenpacken, und mit nur 3 solcher Zustände kein Spin höher als 3/2. Die experimentellen Tabellen dagegen bersten vor Teilchen mit höheren Spins.

Flavours 107

Dann, sagten sich die Leute, müsse man eben noch einen „Bahn-drehimpuls“ draufaddieren. Damit aber erzeugt man keinen höhe-ren „Spin“, sondern einen höheren „Gesamtdrehimpuls“ (Spin + Bahn) – was ja bekanntlich etwas anderes ist. Für Gell-Manns Quarkmodell ist solch ein “Bahndrehimpuls” aber, streng genommen, ein Fremdkörper außerhalb der Welt der Quarks – eine Hilfskrücke, die die Begriffe „Spin“, „Bahndrehim-puls“ und „Gesamtdrehimpuls“ wild durcheinander wirbelt. Durch eine derart irreführende Bezeichnung wie “Drehimpuls” für einen Spin – bei dem sich ja überhaupt nichts “dreht” – werfen diese Leute mutwillig die Eigenschaften einer (topologisch 2-fach zusammenhängenden) SO(3) mit denen ihrer (topologisch einfach zu-sammenhängenden) Überlagerungsgruppe SU(2) durcheinander: „Goulasch-Physik“! Kein Wunder, wenn da das Verständnis für die eigentliche Physik dahinter irgendwann baden geht. Unmittelbar nach Gell-Manns Einführung seiner Quarks hatte man noch vorsichtiger formuliert. Als „Bahndrehimpuls“ definierte man den „intern“ abgesättigten Verbund aus einem ko- mit einem kontravarianten Quant, wie wir ihn inzwischen als Baustein der Dunklen Materie identifiziert haben und wie wir ihn, nur leicht ver-ändert, auch als Baustein des Nicht-Valenzteiles von Teilchen ken-nen gelernt haben. (Damals verstand man darunter allerdings noch kein Quantenpaar sondern ein Quark/Antiquark-Paar.) Multiplizieren wir aber solch ein Paar (als „P-Welle“) an ein 2-Quant-Meson oder an ein 3-Quant-Baryon heran, so landen wir automatisch bei einem 4-Quant-Meson bzw. bei einem 5-Quant-Baryon. Tun wir dies ein weiteres Mal (als „D-Welle“), so pflanzt sich dies (als Beginn einer „Regge-Trajektorie“) in Form eines 6-Quant-Mesons bzw. eines 7-Quant-Baryons fort. Usw. Im Lichte der Dogmen des “Standardmodells” erschienen diese Viel-Quant-Konstrukte nun aber inopportun. Das „Standardmo-dell“ fuhr fort, derartige Konstruktionen strikt zu verbieten. Ohne jeden vernünftigen, einsichtigen Grund: als Denkverbot, als Schika-ne für die Theoretiker, die bei Verstößen gegen diese Doktrin Ge-fahr liefen, ihres guten Rufes verlustig zu gehen. Das Mittelalter lässt grüßen.


Nun wissen wir vom Experiment her, dass sich ein Teilchen weit einfacher im Rahmen unseres Oktetts der Quantengravitation “an-regen” lässt als bezüglich seines Oktetts der „Intern“-Kräfte der GUT: Spin-Anregungen schießen wesentlich rascher in die Höhe als, meinetwegen, solche des Isospins. (Man denke nur an die Regge-Pol-Modelle.) Es ist diese größere Starrheit der „internen“ Quantenzah-len (und der Teilchenzahl) gegenüber denen der Raum-Zeit-Dynamik, die die beiden GUT-Oktetts (u.a.) unterscheiden. Vergessen wir also die Dogmen des „Standardmodells“ und hal-ten wir uns an die experimentellen Fakten. Unsere Fragestellung war es eingangs gewesen: Was sind „Hadron-Flavour“? Von den Leptonen lernten wir bereits: Flavour sind keine Quantenzahlen sondern einfache, nicht-lineare Strukturen, die innerhalb des Va-lenzteiles eines Teilchens mehrfach auftreten können. Die einfachste Art, solch ein hadronisch geflavourtes Quant zu konstruieren, wäre, es derart mit einem Quant-Antiquant-Paar zu verheiraten, dass sich dabei weder der Spin noch die additiven „in-ternen“ Quantenzahlen dem „nackten“ Quant gegenüber verän-dern. Damit können wir ein paar solcher Flavour-Generationen so-fort als Beispiele hinschreiben:

(Die Indizes mit dem dicken Punkt bezeichnen die entsprechend not-wendigen Spin-Kombinationen. Koppelungen jeweils zu Spin = 1/2.) Mischungen zwischen solchen „Generationen“ können grund-sätzlich nicht ausgeschlossen werden – zumindest nicht zwischen der 2. und der 3. Generation. Zusätzliche Generationen liegen auf der Hand. Ergebnis: Die (hadronisch) einfach geflavourte Valenz ei-nes Einzelquants ist eine 3-Quant-Struktur. Die (Valenzteile unserer gewöhnlichen) Nukleonen (p,n) sowie ihre leichtesten „Delta“-Resonenzen (mit Ladungen ++,+,0,–) bleiben 3-Quant-Strukturen aus je 3 a-Quanten (die Nukleonen gemischt-symmetrische, die Deltas total-symmetrische).

1. a+•222 a+

•122 2. a+

•222 (a+•222 b+

•222) a+•122 (a+

•222 b+•222)

3. a+•222 (a+

•122 b+•122) a+

•122 (a+•122 b+

•122)

Flavours 109

Die einmalige Substitution eines der a-Quanten vom Typ „down“ durch seine geflavourte 3-Quant-Variante a(ab) aus der 2. Generation macht aus den Delta-Resonanzen der elektrischen La-dungen (+,0,–) eine „strange“ 5-Quant-Sigma-Resonanz. (Im ++ kommt kein Down-Quant vor.)

∆++

∆+,p ∆0,n ∆−

(+2/3,+2/3,+2/3) (+2/3,+2/3,−1/3) (+2/3,−1/3,−1/3) (−1/3,−1/3,−1/3)

aaa → aaa → aaa → aaa →

− a a a(ab) a a a(ab) a a a(ab)

− Σ+

Σ0 Σ−

Wird anstelle eines a-Quants vom Typ „down“ einer vom Typ „up“ geflavourt, so ergeben sich die „charm“ Sigma-c (++,+,0).

∆++

∆+,p ∆0,n ∆−

(+2/3,+2/3,+2/3) (+2/3,+2/3,−1/3) (+2/3,−1/3,−1/3) (−1/3,−1/3,−1/3)

aaa → aaa → aaa → aaa →

a(ab) a a a(ab) a a a(ab) a a −

Σc++

Σc+

Σc0

−

Weitere Ersetzungen der Art liefern die 7-Quant-Xi-Resonanzen (0,–), und als 9-Quant-Resonanz das „Omega minus“:

∆0,n ∆−

(+2/3,−1/3,−1/3) (−1/3,−1/3,−1/3)

aaa → aaa →

a a(ab) a(ab) a a(ab) a(ab)

Ξ0

Ξ−

∆− (−1/3,−1/3,−1/3) aaa → a(ab) a(ab) a(ab) Ω−

Ähnlich erhalten wir die K- und D-Mesonen als 4-Quant-Strukturen. Die Valenzteile hadronisch geflavourter Resonanzen sind also Viel-Quant-Strukturen. Demnach gehorchen „Lepton-Flavour“ – als Strukturdifferenzen in der Einbindungsart ihres Leptonukleus‘ in die restliche Valenz – und „Hadron-Flavour“ – als Substitutionsergebnis je einer 1-Quant- durch eine 3-Quant-Struktur – völlig unterschiedlichen Konstrukti-onsprinzipien und haben nichts miteinander zu tun. Ihre Zusam-menpferchung zu gemeinsamen Quark-Lepton-„Generationen“ durch das „Standardmodell“ ist gekünstelt und entbehrt jeder phy-sikalischen Grundlage: Man betrieb halt Zahlenmythologie.


Paritäten Was wir gewöhnlich als „Parität“ bezeichnen, ist eine Spiegelungs-eigenschaft im 3-dimensionalen Ortsraum. Ihr typisches Beispiel ist ein Ortsvektor: Nach einer Spiegelung in allen 3 Raum-Richtungen weist er in die entgegengesetzte Richtung. Das bedeutet, alle 3 sei-ner Komponenten werden mit –1 multipliziert. Dieser gemeinsame Faktor –1 ist seine „Parität“. Parität ist eine multiplikative Eigenschaft: Als Produkt aus Orts- und Impulsvektor hat der Vektor eines (Bahn-)Drehimpulses dem-nach die Parität (–1)x(–1)=+1. Deshalb wird er auch als „Pseudovek-tor“ oder als „Axialvektor“ bezeichnet. Die „1“ darf man auch weg-lassen, das Vorzeichen genügt: eine Parität ist „positiv“ oder „nega-tiv“. 1-dimensionale Einheiten heißen entsprechend „Skalare“ bzw. „Pseudo-Skalare“. Die Farbe „lila“ z.B. hat die Parität “plus”, denn sie ist räumlichen Spiegelungen gegenüber invariant. Mathematisch existiert da jedoch ein topologisches Problem: „Ort“ ist durch einen Vektor im 3-dimensionalen Ortsraum definiert, d.h. seine 3 Raum-Richtungen liegen „orthogonal“ zueinander. Die Drehungen in diesem Ortsraum bilden eine Gruppe SO(3). Ihre Spin-Überlagerungsgruppe ist jedoch eine SU(2). Für deren halbzah-lige Spins aber ist Parität nicht wohldefiniert (denn es ist kein Grup-penelement)! Diese Tatsache ändert sich auch nicht beim Übergang zur Lo-rentz-Gruppe der Speziellen Relativitätstheorie. Erst in der Quan-tengravitation wird Parität wieder zu einer wohldefinierten Aktion mit Messwerten +1 und –1, und zwar sowohl für ihre konforme Gruppe SO(2,4) als auch für deren Überlagerungsgruppe SU(2,2). Da sich die momentane Teilchenphysik jedoch (unnötigerweise) auf die Spezielle Relativitätstheorie einschränkt, wird die Paritätszuord-nung dort recht willkürlich, zufällig gehandhabt. Ein Riesenproblem bei der Parität ist es auch, dass die Teilchen-physik die Existenz von Nicht-Valenzteilen grundsätzlich ignoriert; sie kennt nur Valenzteile, deren Basis sie „Quarks“ nennt statt „Quanten“.

Paritäten 111

Auf der anderen Seite aber sind aufgrund der „Irreduzibilitäts“-Eigenschaft Valenz- und Nicht-Valenzteil eines Teilchens vonein-ander untrennbar. Jede andere Handhabung ist mathematisch in-konsistent. So sind die Quantenfeldtheorien zurzeit sämtlich ent-weder mathematisch inkonsistent oder spiegeln nicht die Natur wider (oder beides). Ein typisches Beispiel ist die Beschleunigung eines Teilchens aus seiner Ruheposition zu einem bewegten Zustand. In letzterem dreht sein 3-Impuls bei der Anwendung des Paritätsoperators auf ihn sein Vorzeichen um. Damit sind Parität und 3-Impuls nicht gleichzeitig messbar (denn sie kommutieren nicht). Im Ruhesystem verschwindet der 3-Impuls jedoch, und +0 ist nun mal gleich –0! So lässt sich die Parität im Ruhesystem (bei ganzzahligem Spin) sehr wohl bestimmen. Feldtheorien tun dies auch. Doch ihre Übertragung dieser Definition aus dem Ruhesystem ins bewegte System ist mathematisch falsch! Dann werden nämlich jene künstlich unter den Teppich gekehrten Konsistenz-Eigenschaften durch die Hintertür („P-Wellen“!) doch wieder ans Tageslicht gezerrt. Als Ergebnis, konstatieren wir, kann einem bewegten Zustand keine eindeutige Parität zugeordnet werden. Im bewegten System überlappen sich beide Paritäten in einem Verhältnis, das sich aus dem Parameter „Lorentz-Boost“ berechnet. Asymptotisch, bei hin-reichend großen Geschwindigkeiten, konvergiert dieses Verhältnis gegen 50:50. Experimentell ist dies am besten durch (die Nicht-Valenzteile von) Neutrinos belegt. Neutrinos werden beschuldigt, die Parität „maxi-mal“ zu „brechen“. Da sie sich immer mit Lichtgeschwindigkeit be-wegen, ist für sie kein Ruhezustand messbar; so ist man hier ge-zwungen, ausnahmsweise doch einmal auf ihre Nicht-Valenzteile zuzugreifen – und schon versteht man die Welt nicht mehr. Nun ja, die Quantengravitation zeigt, dass sich die Neutrinos haarscharf so und nicht anders verhalten müssen: Nicht die Neu-trinos „verletzen“ die Parität, sondern die massiven Teilchen wer-den von den Feldtheorien mathematisch inkonsistent behandelt!


Diese Parität der Raumspiegelung ist eine (spezielle) Drehung nur im gemeinsamen Bereich von Reaktionskanal und dynamischem Kanal unserer gravitativen SU(2,2). Die zusätzlichen Paritäten von Zeitumkehr und Ladungskonjugation dagegen sind, wie wir schon sahen, echte U(4,4)-Transformationen, die beide Typen von Diracs Spinoren miteinander in Beziehung setzen. Eine „PC-Verletzung“ stellt somit einen ersten experimentellen Befund in Hinsicht auf eine höhere Transformationsgruppe – wie unsere U(4,4) – über die SU(2,2) der Allgemeinen Relativitätstheorie hinaus dar. Zu Paritäten könnte noch eine Menge ausgeführt werden. Aber fassen wir es kurz: Quantenfeldtheorien sind inkonsistent. Eine der Hauptursachen dafür liegt in ihrer Ignoranz der Folgerungen aus dem mathematischen Begriff der „Irreduzibilität“, wie er sich auch in Einsteins „Hintergrund-Unabhängigkeit“ der Allgemeinen Relati-vitätstheorie wiederfindet, insbesondere in ihrer quantisierten Form als Quantengravitation. Ich sagte es bereits: Das „Missing Link“ zwischen Planck und Ein-stein ist halt die Gruppentheorie; diese führt zur Quantengravitati-on. Sie erst durchschlägt den Gordischen Knoten aus einem Jahr-hundert miteinander akribisch verwobener Fehlinterpretationen.

113

Neutrino-Physik Die Eigenschaft, die eine SU(2,2) maßgeblich von einer konformen SO(2,4) unterscheidet, ist ihre Topologie. In einer orthogonalen Gruppe reproduziert eine Drehung um 360° den Startzustand – in einer unitären Gruppe benötigen wir dazu den doppelten Winkel. (Spin L ist die halbe Pauli-Matrix; erst 2 Spinoren ergeben den vollen Drehwinkel.) So kennt die „2-fach zusammenhängende“ orthogonale Gruppe nur ganzzahlige Spins; die „einfach-zusammenhängende“ unitäre Gruppe lässt zusätzlich auch halbzahlige Spins zu. In der Sprache der Mathematik stellt die SU(2,2) die „Überlage-rungsgruppe“ der SO(2,4) dar. Das Experiment bestätigt uns, dass in der Natur tatsächlich die Überlagerungsgruppe angelegt ist, d.h. wir beobachten auch halbzahlige Spins. Nun wird in den heute üblichen Feldtheorien die „Schwache“ Kernkraft durch die elektrisch geladenen W-Mesonen bzw. durch das neutrale Z-Meson vermittelt. Alle drei sind auch experimentell bekannt. Ihre Leptonzahl ist L=0. Der einfachste Ansatz für den Zerfall solch eines „Schwachen Bosons“ in ein Lepton-Antilepton-Paar wäre ein gebundener Zu-stand aus einem Leptonukleus mit einem Anti-Leptonukleus. Damit wäre sein Valenzteil eine 4-Quant-Struktur. Um es korrekt als elekt-risches Triplett zu realisieren, benötigten wir noch ein weiteres, „gewöhnliches“ Quant-Antiquant-Paar. Damit hätten wir es aber zumindest mit einer 6-Quant-Valenzstruktur zu tun. Solch eine (3+3)-Quant-Struktur hätte negative Parität. Um auch ein Neutrino in seinem Zerfallsprodukt zu erhalten, das eine 50:50-Mischung aus beiden Paritätswerten darstellt, müsste noch ein weiteres, „gewöhnliches“ Quant-Antiquant-Paar überlappen, womit wir schließlich eine (4+4)-Quant-Struktur vor uns hätten. Zwei derart „überlappende“ Teilchenzustände sind jedoch nicht mehr als Ganzes „irreduzibel“. Folglich müssten beide sich überlap-pende Strukturen zu derselben GUT-Darstellung mit dann je 4+4 Quanten als Valenz gehören. Dann aber wären die Paritäten beider Strukturen nicht entgegengesetzt sondern gleich. Ein wirres Knäuel aus Widersprüchen tut sich auf.


Dabei ist der Ausweg aus der Misere so einfach: In einer der bei-den überlappenden Teilstrukturen haben wir es tatsächlich mit ei-ner 8-Quant-Valenzstruktur zu tun, während in der anderen Teil-struktur das eine Paar-Quant eben nicht zum Valenzteil sondern zum Nicht-Valenzteil gerechnet wird; schon bekommen wir mit sei-nem Rest-Valenzteil von nur 3+3 Quanten die entgegengesetzte Parität! Denn die Parität des Nicht-Valenzteiles bleibt ja im – derge-stalt fehlerhaften – „Standardmodell“ unberücksichtigt. Das Problem liegt also nicht bei der Parität sondern beim „Stan-dardmodell“. Dessen Ignoranz des Nicht-Valenzteils führt zu einer ungemeinen Verkomplizierung des Verständnisses der Natur. Nach dem „Standardmodell“ haben wir es mit einem „reduziblen“ Va-lenzmix zu tun, nach der GUT mit einer Überlagerung von Partial-komponenten einer einzigen „irreduziblen“ Gesamtdarstellung aus Valenz- plus Nicht-Valenzteilen. Nach dem Wirrwarr im “Standardmodell”, das nicht sauber zwi-schen Spin, Bahndrehimpuls und Gesamtdrehimpuls unterscheidet, hier sein weiteres Kuddelmuddel zwischen Valenz und Nicht-Valenz. Damit dürfte es auch klar sein, wieso das „SM“ nicht in der Lage ist, die 3 „Schwachen Bosonen“ in die Tabelle „gewöhnlicher“ Bosonen zu integrieren:

1. Es sind 8-Quant-(Valenz-)Strukturen (8>2!), 2. Valenzen überlappen sich mit Nicht-Valenzen, 3. Nicht-Valenzen fallen im „SM“ unter den Tisch.

Für die Dogmen-Sammlung, die unter dem Namen „Standard-modell“ firmiert, sind die „Schwachen Bosonen“ also „Ausnahme-fälle“, die nicht als „gewöhnliche“ Bosonen aus Quarks behandelt werden dürfen, sondern einer Extrabehandlung im Rahmen eines zusätzlichen „Balkons“ bedürfen, der an die vielen weiteren „Balko-ne“, an denen das „Standardmodell“ sowieso schon zu ersticken droht, noch einmal angehängt wird. Es ist dieser Ausnahme-Mystizismus, der zur integralen Botschaft des gesamten „Standardmodells“ gedieh. Man lehnt es schlicht ab zu akzeptieren, dass die Grundlagenphysik nach einfachen, einheit-lichen Regeln funktionieren könnte.

Neutrino-Physik 115

Statt konsequent nach einheitlichen Strukturen zu forschen, entwickelte sich das “SM” – kurzsichtig, taktisch im Einklang mit der jeweiligen Tagespolitik – zu einem Instrumentarium der Faktenver-schleierung und, im Widerspruch zu feierlichen Beteuerungen, de facto mit Ewigkeitsanspruch. Denn wehe, jemand wagt ohne sofortigen, experimentell be-glaubigten Beleg irgendeine Argumentation an jenen unbewiese-nen Dogmen des „Standardmodells“ vorbei – der ist sofort „weg vom Fenster“; niemand aus der Hierarchie findet sich bereit, ihm auch nur zuzuhören! Wer Gehör finden will, muss sich damit auto-matisch „linientreu“ gebärden; dann aber darf er Claqueuren den gröbsten Unfug anbieten. Welch eine Perversion des einst teuer erkämpften Kulturgutes „Forschung“! So erstickt man Ideen, statt sich von ihnen anregen zu lassen. Und all dies ungeachtet dessen, dass dann eben Quantenzahlen zu „brechen“ sind, die Atomphysik (mit ihrer Hauptquantenzahl und ihrem Formalismus von S,P,D,F, …-Wellen) unreproduzierbar bleibt, usw., und so fort. – In meinen Vorträgen habe ich gezeigt, dass über die GUT auch der gesamte Bereich der „Schwachen“ Wechselwirkung – in lepto-nischen wie nicht-leptonischen Prozessen – komplett ohne Verlet-zung einer einzigen Quantenzahl auskommt. Der Vollständigkeit halber erinnere noch einmal an das drasti-sche Beispiel der bereits abgehandelte Neutrino-Oszillation: Das „Standardmodell“ musste den drei bisher bekannten Neutrino-Sorten dazu Massen zuordnen. Das Problem dabei war nur: Das schwerere Neutrino sollte in das leichtere zerfallen, nicht umge-kehrt. Die „Neutrino-Oszillation“ läuft jedoch tatsächlich auch in der jeweils entgegengesetzten Richtung. Entsprechend umständlich gestaltet sich der Griff in die Trickkiste des „Standardmodells“. Die GUT gestattet es dagegen, diese Oszillation, wie beschrieben, auch weiterhin für masselose Neutrinos darzustellen, und zwar als Streuprozess. Als Streu-Partner dienen die Bausteine der Dunklen Materie – man erinnere sich, dass deren detaillierte Struktur im Rahmen der GUT vollständig aufgeklärt wurde und zur Verfügung steht.


Das Problem, warum sich ein Neutrino nur in dem einen seiner beiden theoretisch denkbaren Helizitätszustände zeigt, muss ich noch einen Moment zurückstellen. (Helizität ist die Spin-Projektion auf die Bewegungsrichtung. Sie wird auch „Händigkeit“ genannt.) Dieser Umstand beantwortet dann auch indirekt die Frage, warum Neutrinos masselos sind: Andernfalls könnte man sie nämlich, unter Beibehaltung ihrer Teilchenzahl, experimentell auch in die umge-kehrte Helizität umklappen.

Die Welt, in der wir leben Wir hatten die Welt in Facetten betrachtet, von den Quanten bis hin zur kosmischen Perspektive:

• Ebene der Quanten, • Mikrokosmos, • Makrokosmos, • Ebene der Astronomie, • Ebene der Universen.

Höchste Zeit jetzt, ihre ganzheitlichen Aspekte zu untersuchen, Querbeziehungen aufzudecken. Auch dies tun wir wieder aus einer Top-Down-Strategie heraus. Wir beginnen bei uns selber, dem Menschen, der ja all dies steuert. Persönliche „Erfahrungen“ Einzelner gerinnen kumulativ zu den „Erkenntnissen“ ganzer Gesellschaftskreise. Verdrängen wir jedoch nicht den charakteristischen Hintergrund von „Erkenntnissen“: Wei-tergereicht wird nur, was gewissen „Anderen“ subjektiv gerade in den Kram passt. Gesellschaften sind auch Fakten-Unterdrückungs-Maschinerien! Und unsere Sinne gaukeln uns auch so einiges vor, was andere eher als „Hirngespinst“ abtun würden. Auf die Geschichte zu bauen, wäre ein gewagtes Unterfangen; das kann ins Auge gehen. Philosophen können ein Lied davon sin-gen, wie rasch doch gefeierte „Erkenntnisse“ wieder den Bach hin-unter gehen. Theologen haben es resignierend aufgegeben, die „Erkenntnisse“ ihrer Gründerväter dem heutigen Kenntnisstand noch anzupassen, Erkannt-Unsinniges aus ihren Lehren wieder zu entfernen. Auf diesem Sackgassenniveau laboriert seit einem hal-ben Jahrhundert auch die theoretische Grundlagenphysik. Es ist das Anliegen der Quantengravitation, jene verkrusteten Denkschemata aufzubrechen, den Zeitgeist der erkennenden Physik von „rückwärts“ wieder auf „vorwärts“ umzupolen, um jungen Ge-nerationen eine Zukunft zu weisen, für die es sich lohnt zu arbeiten, statt gebetsmühlenartig unverstandenen Riten verblichener Epo-chen zu huldigen. Geschichte ruhe sanft; die Zukunft ruft!

118 Die Welt, in der wir leben

Die hier folgenden Unterkapitel sind die des globalen Zusam-menhanges. Sie bündeln das bisher Gelernte zu einem einheitlichen Weltbild unter der Prämisse menschlicher Erfahrungen.

119

Der Faktor „Mensch“

Wir sind Lebewesen, Gattung Mensch. All unsere Wahrnehmungen laufen neuronal über spezielle Sinnesorgane. Mindestwartezeiten in der Wiederverwendbarkeit und molekular begrenztes Auflö-sungsvermögen bedingen in endlicher Zeit endliche Pulsketten in endlich-vielen Signalisierungskanälen. Die Abspeicherung erfolgt in Neuronen. Deren Anzahl variiert, bleibt aber ebenfalls endlich. Während unserer Lebensspanne ver-arbeitet ein jeder also nur endlich-viele Signale. Auch die seit der Entstehung des Lebens vorausgegangene Ah-nenreihe, von der wir etwas vererbt bekommen haben könnten, ist zwar groß aber endlich. Kurzum, unsere Wahrnehmungen sind end-licher Natur, vom Prinzip her also abzählbar. Physik beruht auf Wahrnehmungen und damit auf einer abzähl-baren, endlichen Basis. Damit muss sich auch die Physik selber auf endlich-viele, diskret behandelbare Objekte zurückführen lassen; wir hatten sie „Quanten“ genannt. Unendlichkeiten – sei es in Form von Kontinuen oder Singularitäten – sind also grundsätzlich unphy-sikalisch. Physik ist als Abbildung (von Teilen) der Natur in die Mathematik definiert. Die Wahrnehmung durch jemanden bedeutet physikalisch einen „Messprozess“. Die mathematische Abbildung ordnet ihm eine Zahl aus einer „endlichen, diskreten Reihe“ zu, s.o. Eine solche Zahl ist aber äquivalent zu einer „rationalen“ Zahl, und die ist reell-wertig. Andererseits ist Irren menschlich. Der Messprozess unterliegt einer gewissen Wahrscheinlichkeitszuordnung. Aus ihr ließ sich über die Zahlentheorie die Dimensionen-Frage für unsere Welt klä-ren: In erster Näherung lieferte sie die Quantengravitation, in zwei-ter Näherung die Grand Unification (GUT, ToE). Weitere Näherun-gen sind vorstellbar; experimentell liegen für diese zurzeit jedoch keinerlei Anzeichen auf dem Tisch. Wie gezeigt, existieren vornehmlich 2 Ordnungskriterien für die-se Quanten:


• der Reaktionskanal als „abgeschlossenes System“, • der dynamische Kanal als „offenes System“.

Zur Unterscheidung beider ist der Begriff eines „Zustandes“ er-forderlich. „Kommensurable“ Messungen liefern einen Satz von Messwerten („Quantenzahlen“). Der gemeinsame Anwendungsbe-reich dieser Messungen ist sein „Zustand“. Mathematisch lässt er sich (mit Hilfe seiner „Quantenzahlen“) als Vektor hinschreiben, auf den eine Messung bzw. Änderung über „Generatoren“ einwirken. Der dynamische Kanal zeichnet sich durch diejenigen Aktionen aus, die den Zustand[svektor] (zulasten der Wahrscheinlichkeitserhal-tung) reell belassen. Umgekehrt sorgt der Reaktionskanal für die strikte Einhaltung der Wahrscheinlichkeit (doch zulasten des Zu-standsvektors, der in ihm nicht unbedingt mehr reell bleiben muss). In einer U(n) ist die Anzahl n ihrer Dimensionen gleich der Anzahl ihrer Nebenbedingungen (Casimirs). Bis auf Mehrdeutigkeiten durch das Wurzel-Ziehen ist somit alles fest, stationär. Doch indirekt füh-ren Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen (also das Gesetz der großen Zahl) über Dichtegradienten zu Übergangsamplituden ungleich null von Regionen höherer Punktedichten zu solchen niedrigerer hin. Stellen wir den 2. Casimir als Punkte auf einer Kugeloberfläche dar, so zeigt sich keine Dichtevariation; erst eine „Verknaut-schung“ dieser Fläche, z.B. zu einem Hyperboloid, erzeugt solche Dichtegradienten: Formal folgt dieser Effekt, wenn wir vom statio-nären Reaktionskanal zum dynamischen Kanal umschalten:

Der offene, dynamische Kanal wird benötigt, um für ein geschlossenes, stationäres System

Bewegung zu generieren.

Physikalische Bewegung lässt sich somit auf eine thermodynami-sche Interpretation von Wahrscheinlichkeitseffekten zurückführen – ohne diese „stände die Zeit still“! (Und dies ist kein Effekt, der nur die Zeit auszeichnet: Jeder nicht-kompakte Generator täte es genauso.) Soweit der rein menschlich-subjektive Aspekt der Physik und unmittelbare, erste Folgerungen aus ihm nach den Regeln der ma-thematischen Logik.

121

Youngs Auffaserung der Welt in Universen

Mathematisch bedeuten beide Kanäle Nebenbedingungen. Sie zie-hen in die Menge aller Quanten (und Komplexen aus ihnen) jeweils eine Struktur ein. Die Mathematik, Unterrubrik „Gruppentheorie“, zeigt, dass sich jedweder Komplex aus unseren Quanten für beide Typen von Kanälen jeweils in elementefremde Zustandsmengen („Darstellungen“) auffasert, die für beide Kanäle jedoch unter-schiedlich ausfallen: U(64) vs. U(32,32). Weder ist uns bekannt, wie viele fundamentale Quanten uns als Bausteine zur Verfügung stehen, noch wissen wir, woher sie stam-men. Aber selbst wenn die Klärung ihrer Herkunft zurzeit noch im Dunklen liegt – was immer da auch Sache sein mag: Nach all dem, was wir in der Natur vorfinden, muss unseren Betrachtungen ir-gendeine endliche Grundmenge von 8x8 = 64 Typen von Quanten zugrunde liegen – soundso viele Quanten von dem Typ und sound-so viele von jenem. Das einfache Produkt aus all diesen unsymmetrisiert von außen vorgegebenen Quanten stellt einen „Supercluster“ an Quanten dar, für den – wenn auch in wesentlich diffuserer Definition – der Begriff „Multiversum“ im Umlauf ist. Durch Anwendung einer „Young-Symmetrisierung” entsteht daraus ein irreduzibles „Universum“, d.h. eines, in dem sämtliche Naturkonstanten einen festen, nicht verschmierten Wert annehmen. Nun wird die Anzahl all jener Quanten wahnsinnig groß sein. Deshalb sollte auch eine riesige Anzahl solcher zusätzlichen Sym-metrie-Varianten existieren. Jede Variante entspricht einem Uni-versum. Es ist kein vernünftiges Argument ersichtlich, wieso sich jene zusätzlichen Young-Symmetrien nicht auch in der Natur niederge-schlagen haben sollten – im Gegenteil: Man ziehe nur die Parallele einer Menge aus Universen zu einer entsprechend strukturierten Menge aus Elementarteilchen. Selbstverständlich steht auch dieser Punkt unter dem Vorbehalt einer späteren Bestätigung durch das Experiment – wenngleich sich unsere Technologie bis dahin noch sehr wird ertüchtigen müssen.


Eines aber ist klar: Der dynamische Kanal bildet andere Univer-sen aus als der Reaktionskanal; erst die Menge aller Universen des einen Kanals führt insgesamt zu demselben Multiversum wie die Menge aller Universen des anderen Kanals. (Die „Entwicklung“ eines Zustandes des einen Kanals nach Zuständen des anderen Kanals läuft also über das beiden gemeinsame Multiversum!) Der hyperbolische Gehalt des dynamischen Kanals zieht mit sei-nen getrennten Doppelästen gemäß der jeweiligen Sichtweise der beiden Paritätsoperatoren T = Zeitumkehr (reell) und C = Ladungs-konjugation (imaginär) eine Vierteilung unseres Multiversums nach sich, eine Aufspaltung in je eine Halbwelt gemäß

T: vor/nach „dem“ Big Bang, C: diesseits/jenseits des Ereignishorizontes.

Für den („kompakten“) Reaktionskanal hingegen ist dies kein Thema. Für ihn existieren diese künstlichen Begrenzungen nicht; er kann sie frei passieren.

123

Abspaltung der Dunklen Materie

Unter den Generatoren der Grand Unification befindet sich auch der Energie-Operator. Als „Potenzial“ uminterpretiert, dient der Physik klassisch sein Änderungsverhalten in Abhängigkeit von Zeit und Ort zur Definition von Kräften. In der GUT dient dafür stattdes-sen als Gleichung die „Weltformel“ Casimir = constans. Die bekanntesten Krafttypen folgen aus den Casimir-Operatoren zweiter Ordnung der U(2,2) bzw. U(32,32). Diese liefern (u.a.) die Kombination Yukawa/Coulomb-Kraft mit jeweiliger Oszillator-Kraft, deren Wechselspiel auf kosmischer Ebene dafür sorgt, dass sowohl Materie als auch Diracs „Löcher“ auf der Oberfläche des kosmi-schen Hyperboloids verbleiben. All diese Kräfte sind aber „emergenter“ Natur, benötigen also das „Gesetz der großen Zahl“ (an Quanten). Einen speziellen Typus von Materie bildet die Dunkle Materie. Auf sie lässt sich das Gesetz der großen Zahl, zumindest im Mikro- und Makrokosmos, nicht an-wenden; denn aus deren Sicht besteht sie – anders als aus der ge-samtheitlichen kosmischen Sicht – aus unkorrelierten 2-Quant-Zuständen (vom Typ Meson-Valenz, d.h. Teilchenzahl =0). In Bezug auf sämtliche „internen“ Strukturen der GUT handelt es sich um Sing-letts. Als solche verhalten sich diese Bausteine der Dunklen Materie allen „internen“ Kräften gegenüber neutral – ähnlich einem Edelgas in der Chemie. Ihre typische Wechselwirkung, die Gravitation, läuft rein über den 4-dimensionalen Dirac-Teil der GUT. Diese 4x4=16 Typen von Bausteinen kombinieren jeweils die 4 Komponenten eines Dirac-Spinors mit den 4 Komponenten eines Antispinors. Somit endet die Bildung „interner“ Singletts der Dunklen Materie spätestens dann, wenn alle 4 Dirac-Komponenten eines der beiden Spinoren aufgebraucht sind. Sagen wir, es handele sich um die Sor-te mit der „exotischen Ladung“ E=+1/2 zur Teilchenzahl N=–1/3. Danach ließen sich exotische Ladungen E zwar immer noch bezüg-lich ihrer linearen Quantenzahlen „absättigen“, nicht aber mehr zu den quadratischen Konstrukten „interner“ Singlett-Bausteine der Dunklen Materie koppeln.


Genau auf solch eine unterste Stufe einer Partialblockade hatte uns mit hoher Präzision die Berechnung der Feinstrukturkonstante hingewiesen, als wir die ursprünglich 64 Dimensionen der GUT um 4 Einheiten auf ziemlich exakt 60 Dimensionen hatten zusammen-streichen müssen. Das Photon spiegelt also denjenigen Zustand unserer Welt wieder, der mit dem Abschluss der Bildung Dunkler Materie erreicht wurde. Als erstes bleiben also typische Eigenschaften höherer Struktur-ebenen auf der Strecke; aber lineare Ausdrücke finden vorerst noch Partner, mit denen sie sich wenigstens paarweise neutralisieren können – wenn auch, in allgemeinerem Zusammenhang, nicht mehr jeweils unbedingt alle Typen „interner“ Kombinationsmöglichkeiten offen stehen mögen. Diese Paare bilden den Nicht-Valenzteil von Teilchen aus. Gehen schließlich auch derartige Absättigungspartner aus, so landen wir beim individuellen Valenzteil eines Elementarteilchens. In dessen „Ruhesystem“ müssen sich auch die Spin-Komponenten paarweise zu Singletts organisieren. Übrig bleibende Komponenten von Spin-Tripletts bilden Raum- bzw. Impuls-Strukturen aus.

125

Zur Entstehung Schwarzer Löcher

Unsere Quanten tragen „intern“ 8 Typen von Ladungen Z = N,Q,T,L,Λ,E,A,M. Die endliche Anzahl von Quanten erzeugt bei der partiellen Aufsummierung ihrer Komponenten zum betreffenden CMS-Raum in Abhängigkeit von Z natürlich auch unterschiedliche Werte für ihren jeweiligen Oszillator-Horizont. Entsprechendes gilt auch für die Energie-Werte. Nun hatten wir – nicht per Zufall – für die exotische Landung den engsten aller Oszillatorhorizonte angesetzt, noch um Größenord-nungen enger als für den „leptonischen“ Horizont. Das korrespon-diert zur höchsten Mindestmasse für ein Austauschteilchen, das diese „exotische“ Kraft vermittelt. Für die Quantenzahlen sei die Tabelle vom Ende des Kapitels „Die ‘internen‘ Kräfte der Natur“ zitiert:

N Q T L Λ E A M a+

i211 +⅓ +⅔ −⅓ 0 0 0 0 0 a+

i111 +⅓ −⅓ −⅓ 0 0 0 0 0 a+

i222 +⅓ +⅔ +⅔ 0 0 0 +½ +½ a+

i122 +⅓ −⅓ +⅔ 0 0 0 +½ −½ a+

i212 +⅓ +⅔ −⅓ −½ −½ 0 0 0 a+

i112 +⅓ −⅓ −⅓ −½ +½ 0 0 0 a+

i221 +⅓ +⅔ +⅔ +½ 0 +½ −½ 0 a+

i121 +⅓ −⅓ +⅔ +½ 0 −½ −½ 0

Die letzte Isospin-Dublette (oben in Rot) gibt die „exotischen“ Quanten wieder. Ihre Leptonzahl ist zu der der „leptonischen“ Quanten entgegengesetzt. Diese Dublette ist die einzige, die die „exotische“ Quantenzahl trägt. Ähnlich wie wir bei den Leptonen einen Leptonukleus entdeckten, so lässt sich auf Grundlage der beiden „exotischen“ Quanten ein „Exonukleus“ konstruieren. Wie-der sättigen sich in ihm seine beiden beteiligten (roten) Quanten bezüglich ihrer „exotischen“ Ladung E gegenseitig ab. Ohne „lepto-nische“ Ladung Λ ist der nächst-weitere Horizont des Exonukleus‘ der der Trialität T, der Hauptkomponente der „Starken“ Kernkraft.


Anders als beim Leptonukleus b+b+ mit T=+2/3 trägt der Exo-Nukleus a+a+ die Trialitäts-Ladung T=+4/3; er kann demnach nicht nur 2 sondern 4 „gewöhnliche“ (gelbe) Quanten mit je T=–1/3 bin-den. Dieses kleine Beispiel zeigt bereits die wesentlich höhere Bin-dungskraft und ihre Möglichkeit zur breiteren Bindungsvariabilität der „exotischen“ Kraft im Vergleich zu sämtlichen anderen Kräften. Eine dramatische Vielfalt subnuklearer Strukturen bietet sich dar, die an Typen aus der Festkörperphysik erinnern: an „Kristalle“, „Po-lymere“ und metallartige Materie mit frei beweglichen Elektronen. Dank der enormen Stärke dieser Kraft, wird sie auch ungewöhnlich hohe Massen auf minimalen Raum-Volumina vereinen. Man erinne-re sich daran, dass Kristall-ähnliche Strukturen auf der Erde Berge, Kontinente und sogar den gesamte äußeren Erdmantel unseres Planeten aufbauen, während der Erdkern metallische Struktur auf-weist. Es könnte sogar sein – aber ohne die zugehörigen expliziten Be-rechnungen dazu muss dies zurzeit noch Spekulation bleiben – dass diese Korrelation aus maximaler Massen-Konzentration auf mini-malem Raum irgendwo in unserem Universum ausgereicht hat, um einen Gravitationskollaps auszulösen. Dies würde dann erklären, warum wir bisher im Experiment noch keine „exotische“ Materie aufgespürt haben, und dies könnte auch einer der Mechanismen sein, wie sich ursprünglich einmal Schwarze Löcher initialisierten. Aus Sicht von jenseits des Ereignishorizontes, von wo aus sich umgekehrt unsere eigene Teilwelt als Schwarzes Loch (mit ein paar Substitutionen, siehe Kapitel „Hinter dem Ereignishorizont“) darstellt, würde die aus unserem Blickwinkel ins Schwarze Loch hineinstür-zende exotische Materie per Zeitumkehr als in unsere Welt hinaus-stürzende Antimaterie interpretiert werden. Ihre Betrachtungsweise wäre demnach aus beiden Blickwinkeln die gleiche: Sie wird als jeweils im anderen Bereich, „jenseits des Ereignishorizontes“ befindlich betrachtet, wirkt jedoch mit ihrer Masse auch in den eigenen Bereich hinein. Ihr im „eigenen“ Bereich seit der Absolutzeit null noch verbliebener Restanteil wird zuneh-mend rudimentärer sein – was nicht im Widerspruch zum gegen-wärtigen experimentellen Befund steht!

127

Neutrino-Helizitäten Mit dem (zunehmenden) Ausscheiden der „roten“ Komponenten (und damit der Dunklen Materie) aus unseren weiteren Betrachtungen sind Nicht-Valenzteile die nächste Konsolidierungsstufe von Quan-tenensembles, bevor schließlich nur noch Valenzteile zur Verteilung übrig bleiben. Als nächst-seltene Klasse von Quanten nach den „ro-ten“ fungiert die „blaue“ Sorte. Deren Befähigung zur Bildung dynamischer Singletts aus sich gegenseitig absättigenden „blauen“ Singletts in Nicht-Valenzteilen erlischt, sobald der erste Typ an „blauen“ Dirac-Komponenten auf-gebraucht ist. Der als Zweiter aufgebrauchte „blaue“ Dirac-Typ be-stimmt nun (über seine von außen her vorgegebenen Besetzungszahlen) die weitere Organisationsform des Restes aus

(Spin) x (a/b-Spin) x (Teilchenzahl) .

Dazu zeigt die experimentelle Situation für die „blauen“ Typen eine offenbar etwas höhere Affinität der beiden äußeren Faktoren zueinander auf als die eines der beiden äußeren hin zu Diracs mitt-lerem a/b-Spin. Die Organisationsform, die wir in der Natur (von außen her vorgegeben) vorfinden, lautet demnach (näherungsweise)

SU(4,4) ⊃ SU(2,2)Spin,N ⊗ SU(1,1)a/b , SU(2,2)Spin,N ⊃ SU(2)Spin ⊗ SU(1,1)Nl “lokal“ = SO(1,3)Spin,N .

Zur Erläuterung: Mathematisch ist das letzte Produkt zweier Spin-artiger Gruppen in 2 Dimensionen („lokal“) äquivalent zu Dre-hungen in 4 Dimensionen, und das Produkt zweier 2-Spinoren (2x2 = 4) liefern ein Singlett und ein Triplett (1+3 auch = 4). Nachdem der erste „blaue” Typ für die Nicht-Valenzteile nicht mehr zur Verfü-gung steht, ist das Singlett (aus 2 Quanten) nicht mehr konstruierbar, sondern nur noch das Triplett. Mit dem Ausfall einer weiteren „blauen“ Komponente kollabiert das Triplett schließlich zu einer Dublette.


Für die Mathematiker: Eine symmetrische An-passung der Diagonalisierung (so dass es gerade die mittlere Komponente ist, die ausfällt) reißt auch die Diagonalisierung des Nicht-Valenzteils entsprechend mit, sodass aus einer Spin-Komponente eine Helizitätskomponente wird.

Verfolgen wir die Ausreduktionskette zughöriger Zustände mit, so sind für ein geladenes Elektron selbstverständlich andere Kom-ponenten derselben GUT-Darstellung zuständig als für ein neutrales Neutrino. Im letzten Schritt mag die Ausreduktion für ein geladenes Lepton bei obigem Triplett mit 2 Spin-Komponenten pro Vorzeichen der Teilchenzahl enden, weil die aufgebrauchte „blaue“ Komponen-te dort bei geeigneter Konstruktion der W-Bosonen nicht benötigt wird. Für ein Neutrino jedoch, in dem sie tatsächlich gebraucht wird, aber nicht vorhanden ist, muss die Ausreduktion des Tripletts not-gedrungen weiterlaufen, bis jene fehlende „blaue“ Komponente auch für sie herausfällt. Bei der erwähnten Dublette ist dies endlich der Fall. Die beschriebene, spezielle Reduktionskette liefert eine Verknüpfung von Helizität und Teilchenzahl: Beide Helizitätskom-ponenten („Helizität“ = Spin-Projektion auf die Flugrichtung) tragen entgegengesetzte Teilchenzahl! Dies verdammt Neutrinos aber zur Masselosigkeit. Denn andern-falls, bei einem massiven Teilchens, ließen sich beide Helizitäts-komponenten über eine simple Lorentztransformation in die je-weils entgegengesetzte Helizität gleicher Teilchenzahl überführen. Per Konstruktion soll solch ein Partnerzustand jedoch nicht (mehr) existieren! Wie am Ende des Kapitels „Abspaltung der Dunklen Materie“ beschrieben, lässt sich der Grad an Organisation von Materie in der Natur in eine Klassifikationskette eingliedern:

Dunkle Materie, Nicht-Valenzen,

Valenzen.

Neutrino-Helizitäten 129

Exo- und Leptonuklei sind Strukturen zwischen letzteren beiden. Nach der Bildung von Leptonen noch übrig bleibende freie „blaue“ Valenzen teilen ihr Schicksal mit entsprechenden „roten“ Valenzen. Auch ihre engen Oszillatorhorizonte führen zu extrem schweren Teilchenmassen, die rasch in die Zentren kosmischer Schwerge-wichte absinken und uns deshalb (sowie infolge ihrer Seltenheit) im Experiment kaum begegnen werden. Die explizite Konstruktion von Klassen typischer Nicht-Valenz-strukturen in Abhängigkeit von ihren Quantenzahlen und deren weitgehenden Paar-„Absättigungen“ wäre eine – etwas tüftlerisch-fummelige Herausforderung für Mathematiker, desgleichen die explizite Einbeziehung der Valenzteile der „Schwachen“ Bosonen. Erste Simulationen könnten numerischer Natur vom Computer sein. Darauf aufsetzend ließen sich erste Wechselwirkungsprozesse ex-plizit durchrechnen. Einzelvalenzen „in Blau“ oder „in Rot“ dürften noch während der Entstehung unserer Multiversums-Universen hinter die jeweiligen Ereignishorizonte abgedrängt werden. Eine denkbare Lösung wäre, dass sie dann gar nicht erst ins Multiversum mit aufgenommen würden. Doch letzteres ist eine pure Vermutung, deren experimen-telle Verifikation bzw. Falsifikation noch lange auf sich warten las-sen dürfte. Weitere Spekulationen über Folgen sind deshalb müßig.

– Die charakteristischen Besonderheiten unserer Welt der Quan-ten hätten wir jetzt abgeschlossen. Die „normalen“ „gelben“ und „grünen“ Quanten unterliegen als engstem ihrer Oszillatorhorizonte nur noch der Herrschaft der Trialität. Deren Eigenschaft (das „Quark Confinement“) wurde bereits abgehandelt. Die Konstruktion typi-scher Valenz-Multiplette ist nur noch eine reine Fleißarbeit.


Das Spektrum stabiler Teilchen

Ich war bereits darauf eingegangen, dass wir in der Natur sowohl mikroskopische, makroskopische als auch kosmisch-große Horizon-te vorfinden. Eines besonderen Augenmerkes bedarf es in diesem Zusammenhang für das Spektrum physikalisch beobachtbarer Teil-chen in Abhängigkeit davon, welche Horizonte wir von außerhalb und welche von innen heraus betrachten. Die Grenze zwischen beiden Typen ist jedoch eine rein biologi-sche. Sie ist ein Ergebnis, das von unserer eigenen Größe in Metern abhängt. Damit spielt auch hier wieder ein gewisser Aspekt an menschlicher Subjektivität in die Physik hinein, so wie wir sie be-schreiben. Aber zurück zur reinen Physik. Wir hatten festgestellt, dass in unserem endgültigen Universum Valenzquanten als Kondensations-keime („Staubsauger“) für „intern“ abgesättigte, aber unsummierte Quantenpaare wirken, die ihnen nach dem „Gesetz der Großen Zahl“ (erst) ihre Raum-Zeit-Eigenschaften (Energie-Impuls, Masse u.ä. inklusive) in Form von Nicht-Valenzteilen verleihen. Dies ändert jedoch nichts an der Tatsache, dass insgesamt ledig-lich 64 unterschiedliche Typen an stabilen (End-)Zuständen existie-ren können. Sie klumpen jetzt unter dem Einfluss ihrer Kräfte – Os-zillator-Kräfte, Coulomb/Yukawa-Kräfte, Mehr-Punkt-Kräfte – nur in unterschiedlicher Weise zusammen:

(Mischungsdetails, speziell auch zu den 8 „Exoten“, sind noch zu klären.)

16 Zustände der Dunklen Materie, 8 Zustände Elektron/Positron, 8 Zustände Proton/Antiproton, 8 Zustände „exotisches“ (Anti-)Fermion, 12 Zustände 3 (Anti-)Neutrinos, 4 Zustände eines Photons, 4 Zustände eines Gravitons, 4 Zustände von Paulis ω(0). 64 Zustände

Das Spektrum stabiler Teilchen 131

Als Konsistenz-Check der Natur bestätigt eine derart spezielle Auswahl korrekter Anzahl unseren Modellansatz für die GUT. Doch was steckt dahinter? Von Natur aus sind alle Ladungen gleichberechtigt. Lediglich ihre spezifischen Auswahlwerte für unser Universum führen zu unterschiedlichen Horizont-Radien und über diese hinaus zu ihren unterschiedlichen Sekundär-Eigenschaften. Schließlich übt die Young-Symmetrie unseres Universums zusätzlich auch einen gewissen begrenzenden Einfluss aus. Neben den Bausteinen der Dunklen Materie, deren “interne” Quantenzahlen sich zu “internen” Singletts aufsummieren (Verhal-tensmuster wie ein Edelgas), sollten da noch Unmengen an unsum-mierten, ”intern“ lediglich “neutralen” Quantenpaaren in unserem Universum existieren. Von ihnen dürften wir erwarten, dass sie den Großteil der Nicht-Valenzteile von Teilchen, zusätzlich zu den Bausteinen der Dunklen Materie, stellen. Ein offenes Problem ist noch ihre Verteilung auf die Nicht-Valenzteile von Elementarteilchen, also auf

3 massive Fermion-Typen, 3 masselose Fermion-Typen, 3 masselose Bosonen.

Diesen Verteilschlüssel in Abhängigkeit von der Auswahlmenge an Quantentypen für unser Universum zu knacken stellt eine aktu-elle Herausforderung dar. Damit implizit verbunden ist ein weiteres, kleineres Problem, warum sich die Quanten gerade in der Weise organisieren, dass sie die folgenden Teilchenklassen bilden:

24 = 3x8 massive Teilchenzustände, plus 24 = 12+12 = 2x(3x4) masselose Teilchenzustände.

(„Masselos” im Rahmen der Messungenauigkeit.) Irgendwie „riecht“ das nach einem Verhalten gemäß irgendeiner noch nicht identifizierten Symmetrie und Antisymmetrie. Zusätzlich scheinen auch gewisse 3-Teilungen eine Rolle zu spielen. Dies könn-ten ggf. Punkte für eine Behandlung des Patienten mit geeigneten weiteren Untergruppen sein.


Resonanzkurven Bemerkenswerterweise bleiben in obiger Tabelle mit den 64 Einträ-gen – Paulis Vektorboson beiseitegelassen – nur 3 effektiv nicht verschwindende Massen übrig, die es zu erklären gilt. Diese sollten sich als Funktionen des erwähnten Verteilschlüssels ergeben, der letztendlich nichts anderes darzustellen versprach als eine nähe-rungsweise „Konsistenzbedingung“ zwischen den unterschiedlichen Aspekten unseres Universums auf Grundlage der ihm durch sein Young-Tableau zuerteilten Anzahlen von Quantentypen. Sämtliche darüber hinaus konstruierbaren Teilchen-Zustände mit Masse wären als instabil zu betrachten, als „virtuell“, vergänglich – wenn mitunter auch mit beträchtlichen Halbwertzeiten. Atomkerne z.B. zerlegen sich über thermodynamische Stoßprozesse hinrei-chend hoher Energie in ihre Komponenten. Das erklärte Bemühen der „Standardmodelle“, möglichst alle Parameter aus der Theorie zu entfernen, wird durch die Gruppen-theorie ad absurdum geführt. Eine Konfiguration – inklusive der unseres Universums – wird nämlich durch die Parameter seiner Darstellung („Young-Rahmen“) von außen festgelegt; in unserer GUT sind es 64 Stück. Darüber hinaus gehört zu einer Konfiguration aber auch ihre interne Komponente. Deren Fixierung benötigt weitere Parameter. Jene Forderung nach “Parameterfreiheit” setzt die Kenntnis ei-nes höher liegenden, einbettenden Systems voraus, das diese Pa-rameter seinerseits festschreibt. Andernfalls vergegenwärtige man sich das Bild eines sich selbst an seinen eigenen Haaren aus dem Sumpf heraus ziehenden Supermans („Bootstrap“-Modelle). Nun hat ein Streuprozess zwei Seiten: Input und Output. Beide Seiten für sich sind Produktzustände, die es jeweils „auszureduzie-ren“ gilt, d.h. in eine Summe „irreduzibler“ (also nicht weiter zerleg-barer) Zustände aufzufächern. Für die Output-Seite ist solch ein ein-zelner Zustand gleichbedeutend mit einem seiner „Output-Kanäle“. Für die Input-Seite ist es das Spektrum seiner (intermediären) „In-put-Kanäle“.

Resonanzkurven 133

Deren relative Wahrscheinlichkeiten hängen aber auch von ihrer Stoßenergie ab: Je stärker der Stoß, desto mehr zusätzliche Reakti-onskanäle werden beobachtbar. Trägt man die Wahrscheinlichkeit über der Stoßenergie auf, so ergibt sich für jeden einzelnen Kanal eine typische Art Glockenkurve mit seinem „Peak“ irgendwo. Die Lage dieses Peaks, seine „Breite“ und Höhe parametrisieren die „Resonanz“-Masse, -Halbwertszeit und -Kopplungsstärke. Anders als bei einem stabilen Teilchen ist die „Ruhemasse“ solch einer „Resonanz“ kein fester Wert, sondern verschmiert sich über einen breiteren Bereich. Da sich diese Kurven im Experiment übli-cherweise nicht einmal als symmetrisch erweisen, ist es eine Frage der Definition, welchen Wert man als Ruhemasse ansetzen will: Soll es der Energiewert am Maximum sein? Oder lieber der Mittelwert über irgendeine „Breite“? Aber welche? Die Theoretiker haben sich auf irgendeine Definition geeinigt. Aus ihren Berechnungen gemäß dem „Standardmodell“ erhalten sie dagegen üblicherweise symmetrische Resonanzkurven („Polmodel-le“), die sich überlappen. Für den experimentellen Vergleich stellen diese recht grobe Näherungen dar. Doch man hat sich daran ge-wöhnt. Der Grund dafür, dass die heutigen theoretischen Modelle die experimentellen Kurven nicht exakt reproduzieren, liegt darin, dass die Theoretiker Modelle benutzen, die die Wahrscheinlichkeit nicht exakt einhalten: „Feynman-Graphen“ sind nicht unitär; sie strotzen nur so vor Inkonsistenzen, Singularitäten und willkürlichen Ansät-zen als Relikten aus der alten Variationsrechnung der klassischen Punktmechanik von vorgestern. Zu diesen Relikten gehören auch die “Kopplungskonstanten”. Streng genommen, würden wir erwarten, dass diese Kopplungen als Konsistenz-Kriterien („Clebsch-Gordon-Koeffizienten“) einer Theo-rie durch diese eindeutig fixiert sind. Doch gerade die „Feynman-Graphen“ sind von jenen Inkonsistenzen massiv betroffen. Sie bil-den damit den unabwendbaren Grundstock für die folgekonse-quente Notwendigkeit zu einer – mathematisch unsinnigen – „Re-normierung“ (Methode: unendlich minus unendlich = endlich). Mathe-matikern treibt dies die Haare zu Berge!


So führt die Einführung einer Inkonsistenz unmittelbar zum Zwang, eine nächste einzuführen – nur um die gröbsten Fehler der jeweils vorangegangenen (wenigstens in Teilaspekten) wieder zu kompensieren – der wohlbekannte Circulus vitiosus im „SM“. Quantengravitation und ihre Erweiterung zur Grand Unification vermeiden diesen Missgriff. Als allgemein-relativistisches Modell berücksichtigt unsere GUT all dies schon per Konstruktion. In der GUT lassen sich Resonanz-Strukturen exakt berechnen, inklusive ihrer Kopplungskonstanten. Aber niemand kann uns davon abhalten, willkürliche Maßeinhei-ten einzuführen, wie wir es schon bei der Gravitationskonstante gesehen haben, wo statt der natürlichen Parameter die metrischen Maßeinheiten eingeführt wurden. Für die Gravitation (einschließ-lich des Pauli-Prinzips) ist der Ursprung jener fatalen Maßeinheiten klar. Die Maßeinheiten für die Kopplungsstärken „interner“ Wechsel-wirkungen dagegen gehen über Ihre Horizont-Parameter auf obigen „Verteilschlüssel“ zurück. Die Streuparameter von Teilchen-Kollisionen holen die Eigenschaften unseres Universums in die Teil-chenphysik. Lassen Sie mich daran erinnern, dass nur wenige stabile (Typen von) Elementarteilchen verfügbar sind und dass alle Output-Kanäle irgendwann und irgendwie in diese paar Teilchen zerfallen. Eine Zerfallsweite größer null bedeutet eine Halbwertszeit ungleich null. Eine solche verweist auf die Notwendigkeit, auch die zeitliche Ent-wicklung des offenen Systems zu berücksichtigen. In der GUT sind all diese Reaktionen prinzipiell berechenbar. Bei Kenntnis all jener Parameterwerte sind sämtliche Resonanz-Strukturen in all ihren Details vorhersagbar. Dazu gehören auch alle Resonanz-Massen und -Weiten (Halbwertszeiten), das gesamte Spektrum aller Resonanzen sowie all ihre Zerfälle. Die Auflösung nach speziellen, kurzlebigen Zwischenzuständen, wie sie die Feyn-man-Graphen liefern – wenn auch in inkonsistenter Weise – ist ge-nauso berechenbar.

Resonanzkurven 135

Technisch messbar bleiben jene „intermediären“ Zustände – unterhalb einer Mindest-Halbwertzeit – jedoch nur indirekt, sei es durch Aufsummierung ihrer Zerfallsprodukte, soweit sie (vermutlich) zusammengehören oder durch die Interpretation aufaddierter Re-sonanzkurven. Alle sonstigen Strukturen mögen vielleicht von intel-lektuellem Interesse sein, sind jedoch rein theoretischer Natur. Da sämtliche Darstellungen in der GUT endlich-dimensional sind, lassen sich deren Reaktionen am einfachsten durch numerische Methoden berechnen, indem man die benötigten Young-Symmetrien einfach auf den Computer legt. Was wir noch von den Mathematikern benötigen, das ist ein Konzept auf Basis ausgewählter 4- und höher-dimensionaler Young-Rahmen über die reinen Fermi- und Bose-Statistiken hinaus, das uns die Erwartungswerte der nicht-kompakten Generatoren in Form angenäherter, emergenter Parameter zur Verfügung stellt – we-nigstens die der Quantengravitation!


Determinismus und Kausalität Gemäß den Paritäten T=–PC von Zeitumkehr und C von Ladungs-konjugation erscheint uns die Welt gevierteilt. Diese 4-Teilung ist jedoch bloß eine „emergente“ Erscheinung des dynamischen Kanals. Sie beruht auf der Nicht-Kompaktheit (einiger) ihrer Generatoren. Jene Emergenz ist Ergebnis einer thermodynamischen Betrach-tungsweise ihres offenen, dynamischen Kanals (siehe Kapitel „Der Faktor ‚Mensch‘“). ‚Bei Einschränkung ihres Anwendungsbereiches auf die Spezielle Relativitätstheorie ergibt sich daraus die Kausalität mit ihrer cha-rakteristischen, hyperbolischen Randbedingung durch die Lichtge-schwindigkeit, die die 4 Teilwelten durch den Ereignishorizont exakt und durch den Null-„Punkt“ der (speziell-relativistischen) Zeit etwas ausgefranster begrenzt. Im Reaktionskanal existieren all jene Grenzen nicht. Als Eigen-schaft des Reaktionskanals ist die Verschränkung also frei von je-nen Begrenzungen durch die Lichtgeschwindigkeit – sie bedeutet lediglich eine Umdiagonalisierung von Generatoren (in elliptische, die sich über alle 4 dynamische Sektionen erstrecken). Beide Kanäle lassen sich allerdings ineinander entwickeln. Grundlage all jener Kanaltypen sind die Casimirs aus der „Welt-formel“, aus der sich ja alles herleitet. Für sie ist die Zeit nur einer ihrer Generatoren, deren Parametrisierung sich klassisch in einem höher-dimensionalen „Phasenraum“ als Satz von Punkten auf einer Art „Tapete“ veranschaulichen lässt. Durch Variation von Parame-tern bilden sich auf ihr (über die „Weltformel“) Linien aus, d.h. Wege durch diese starre, statisch fixierte Parameter-Landschaft. Als „Phy-sik“ interpretiert stellt sich dann alles als deterministisch dar – in jeweils beiden Wegrichtungen: vor und zurück. Dies aber wirft sofort ein Bündel an Fragestellungen auf. Die ers-te Frage – wieso sich Parameter überhaupt ändern und nicht ein-fach stationär bleiben – führte im Kapitel „Der Faktor ‚Mensch‘“ zur Erkenntnis der Notwendigkeit der Einführung eines dynamischen Kanals, um Gradienten in Punktedichten zu generieren.

Determinismus und Kausalität 137

Diese erst bringen die Parameter thermodynamisch „zum Lau-fen“: Selbst die Zeit kann „stehen bleiben“, ihre Änderungs-„Geschwindigkeit“ ist eine Funktion jenes Gradienten. Praktisch werden wir jedoch kaum punktförmigen Parametern begegnen; auch sie werden sich durch die menschliche Unzuläng-lichkeit irgendwie unscharf ausgeschmiert darbieten. Diese Un-schärfe wird sich fortpflanzen und immer mehr verstärken, je wei-ter wir auf solch einem Weg voranschreiten. Diese Ausweitung mangelnder Kenntnis über die genaue Weg-strecke führt zu derselben Abstraktion, wie wir sie bereits aus dem Übergang von einer gemittelten Statistischen Mechanik zur Ther-modynamik her kennen. Es ist der Übergang von der Betrachtung einzelner Punkte zu Punktemengen. Auch aus der „Quantenmechanik“ ist uns jenes Auseinanderlau-fen eines „Wellenpaketes“ wohlbekannt. Man schreibt es dort einer Überlagerung von Schrödingers Wellengleichungen zu unterschied-lichen Parametersätzen zu. Dann haben wir zusätzlich jedoch zu unterscheiden: Kommutieren die zugehörigen Generatoren – oder nicht! Zum kommutierenden Fall gehört das gerade diskutierte „Wel-lenpaket“. Ein Beispiel für den nicht-kommutierenden Fall wäre die „Polarisation“ eines Elektrons. Hier könnte die 3. Spin-Komponente des Elektrons diagonal sein:

L3ψ(up) ≡ 12 +𝟏 𝟎𝟎 −𝟏 𝟏

𝟎 = +12 1

0 ≡ +12ψ(up).

Dann reproduziert aber die 1. Spin-Komponente den Spinor nicht mehr:

L1ψ(up) ≡ 12 𝟎 𝟏𝟏 𝟎 𝟏

𝟎 = +12 0

1 ≡ + 12ψ

(down).

Seine „Polarisation” sprang von „up” auf „down“ um. Dafür wird jetzt die Summe beider Spinoren diagonal:

L1ψ(up) + ψ(down) = +12ψ(down) + ψ(up)

.


Und diese Summe läuft nicht auseinander (sofern die restlichen Parameter identisch bleiben). So kann eine Umdiagonalisierung „Wunder“ bewirken! Dies dürf-te also eine der Wirkungsweisen eines „Messgerätes“ auf seine zu messende Probe sein: eine simple Umdiagonalisierung. Im Fall oben handelt es sich um eine Drehung der 3-Komponente um die 2-Achse in eine 1-Komponente. Allgemein wird sich die Wirkung eines jeden Messgerätes auf eine entsprechende Umdiagonalisierung oder Auffächerung zurückführen lassen. Dies erklärt den scheinbaren Bruch in Schrödingers Wellenfunk-tion durch einen „Messprozess“: Bei fixierten Output-Kanälen ver-sucht das Gerät sein Bestes, einen davon zu treffen; entsprechend „dreht“ das Gerät den Input. Die alte, funktionentheoretische Ko-penhagener Deutung (wie im Kapitel „Dunkle Materie“ beschrieben) ist geradezu absurd! Als Resultat erweist sich die Physik der Quanten also als voll de-terministisch. Alles befindet sich bereits auf jener statischen „Tape-te“; eine Alternative existiert nicht. Unschärfen haben 2 Ursachen:

irreduzibel: Nicht-Diagonalität, reduzibel: Statistik (mangelndes Wissen).

Für ein Teilchenmodell bedeutet Letzteres eine erste Stufe in Richtung auf eine Behandlung nach Art einer Thermodynamik. Und Kausalität ist nichts weiter als die Projektion von Statistik auf eine der beiden Richtungen auf obiger Linie, die die Casimirs in den dy-namischen Kanal einziehen. Im Prinzip braucht es nicht einmal die Zeit zu sein – jeder andere variierende Parameter täte es genauso. Bei jedweder Variation jener Parameter läuft alles gemäß den Gesetzen der Physik ab. Dieser totale Determinismus macht (im Einklang mit Bells „Superdeterminismus“ (1985) zur Überwindung seines No-go-Theorems zu „verborgenen Variablen“) Sinn in der Physik; er vereinfacht unser Verständnis dafür, wie die Natur funktioniert, beträchtlich. Andererseits wird dies zum Problem für die Philoso-phie in ihrer bisherigen Form. Das liegt daran, dass sie sich in einer Lage eingeklemmt zwischen Physik und Biologie befindet.


Da die Biologie noch nicht den Grad an Transparenz erreicht hat wie die Physik, werden Philosophen immer wieder versuchen, in Metaphern auszubrechen, die Dinge infrage stellt, die bisher in der Biologie, Psychologie oder wo immer noch nicht sauber aufgeklärt sind. Mit der Lichtgeschwindigkeit c=1 gesetzt, ergibt sich 1 sec = 300.000 km. Damit erscheint uns die Zeit in menschlichen Maßstä-ben im Vergleich zum Ort als arg komprimiert: 3 cm = 1/10.000.000.000 sec. Was alles auf dem Wege (des Lichtes) auf sei-ner Reise von der Erde zum Mond geschehen kann (384.000 km), das rauscht auf der Zeitskala binnen gut einer Sekunde vorüber. Auf der Zeitskala ist ein 4-dimensionaler Würfel von 3 cm Kan-tenlänge lediglich 1/10.000.000.000 Sekunde breit. Nach menschli-chen Maßstäben (cm, sec) ähnelt dieser Würfel eher einer Zeit-Scheibe mit einer Weite fast null senkrecht zur Ortskoordinate. „Bewegung“ in Zeitrichtung erscheint uns wie das Durchblättern eines Papierstapels. Nun hat solch ein dünnes „Zeit-Blatt“ natürlich nicht exakt die Dicke null sondern ist ausgedehnt – sei es, weil c nicht unendlich ist, sei es aufgrund der Wirkung „nicht-kompakter“ Operatoren, die Koordinatenpunkte zu einem Kontinuum „verschmieren“. Ein Ge-genstand erstreckt sich über 4 Raum-Zeit- (zuzüglich weiterer) Di-mensionen. So gehört zu ihm eine beträchtliche Anzahl von Punk-ten der gekrümmten Hyperfläche unseres Universums, wie sie durch den Casimir 2-ter Stufe definiert ist. Eine lebende Kreatur ist ein spezielles, vergängliches Objekt (eine konstruktive Interferenz), makroskopisch begrenzt durch seine Ab-messungen in Raum und Zeit. Wir selber, unsere Gehirne, die Neu-ronen darin, … sind „Objekte“ mit einer Ausdehnung von grob der Größenordnung jenes 3cm-Würfels (Ein paar Zehnerpotenzen spielen hier als Faktor keine Rolle.). Zweifelsfrei ist ein höheres Lebewesen eine Konstruktion, in die ein “Speicher”, genannt „Erinnerung“, eingebaut ist. Dieser wird in seinen Neuronen ständig kopiert und ergänzt. Sein Füllungsgrad ist ein Maß für seine abgelaufene Lebenszeit. – So weit der statische Rahmen.


„Ausdehnung” umfasst jedoch mehr als nur einen Punkt im Ko-ordinatensystem. Nehmen wir einmal an, unter ihnen befinden sich u.a. auch solche Punkte, die eine physikalische Messapparatur in-klusive Speicherung darstellen. Dann ermöglicht die Ausdehnung des Objektes über jene Punkte hinweg auch den dynamischen Auf-bau eines Speichers aus Input + Output. Solch eine Kombination ermöglicht jedoch einen „Handlungsab-lauf“. Somit widerspricht die Existenz eines statischen „Bewusst-seins“ über spezielle „Ereignisse“ der Vergangenheit – wiederholt auslesbar und selektiv in der Zeit – nicht den Gesetzen der Natur. Die statische Ausdehnung in Zeit-Richtung kann dynamisch als ein („genetisch“ bedingter) Kopiervorgang mit Variationen (Zeugung, Wachsen, Altern, Mutieren, Sterben) interpretiert werden. Nach Korrektur der Kopenhagener Interpretation des Messvor-ganges, nach der ein Messvorgang keine abstrakt-mathematische „Projektion“ mehr ist sondern eine („unitäre“) Drehung unter Einbe-ziehung der Messapparatur, zeigt sich die Physik als komplett de-terministisch – so wie es auch Schrödingers Gleichung bereits vor-her in ihrer Beschreibung zwischen zwei Messvorgängen war. Nun ist das Thema „Lichtgeschwindigkeit“ aber mit Vorsicht zu genießen. Als Folge der Nicht-Kommensurabilität der vier Kompo-nenten der Raum-Zeit miteinander wird die Messung des Quotien-ten von Raumdifferenz zu Zeitdifferenz kaum einen exakten Wert liefern! Andererseits benötigen wir aber einen sauberen Umrech-nungsfaktor zwischen cm und sec. Der konstante Umrechnungsfak-tor und das variable Messergebnis werden in der Physik üblicher-weise jedoch beide miteinander identifiziert und mit demselben Symbol „c“ bezeichnet. Dies ist irreführend. Doch lassen sich beide auch getrennt festsetzen (der Umrechnungsfaktor exakt durch die Lie-Algebra, der Messwert ungenau durch das Experiment). Um nur die lokale Vergangenheit, und nicht gleich mit auch die Zukunft abzuspeichern, müsste unser Gehirn erst die Richtung des Zeitpfeiles ermitteln. Es könnte diese Bestimmung der Richtung des zeitlichen Zuwachses (zusammen mit dem Herausfiltern des spei-chernswerten Extraktes) sein, das jene 300.000 km von oben erfor-derlich macht.


Die Dekodierung dieses Algorithmus‘ würde einen großartigen Fortschritt in der Gehirnforschung bedeuten – auch in technologi-scher Hinsicht. (In diesem Zusammenhang möchte ich daran erinnern, dass Fle-dermäuse bei ihrer Echolotung imstande sind, Laufzeitunterschiede in der Größenordnung einer millionstel Sekunde sauber aufzulösen, während das menschliche Auge dies für Farben im grünen Bereich noch für Lichtfrequenzen bis etwa 10 hoch 13 Schwingungen pro Sekunde schafft!)

Unser Organismus, obiger Würfel, „kennt“ also gemäß seinem Speicher nur die Vergangenheit, einschließlich ihrer reichen Ge-fühlswelt, wie sie dort hinterlegt ist. Nach obigem Ansatz „weiß“ er aber nichts von Gegenwart und Zukunft. Ein Zeit-Sprung vor oder zurück innerhalb seiner eigenen Le-bensspanne bliebe in dieser statischen Szenerie von diesem Orga-nismus unbemerkt. Denn sein jeweils aktuelles „Home“ (d.h. sein Bewusstsein) wäre auch sein „Castle“: Zusätzliche „Erinnerung“ (über seinen aktuellen Stand zur jeweiligen Vergangenheit hinaus) wäre dort nicht verfügbar. Ein Sprung zurück aus der Zukunft würde unweigerlich auch den dort verfügbar gewesenen Zukunfts-Speicher wieder löschen und ihn auf den jeweils gerade „aktuellen“ Stand zurücksetzen. Diese einseitig rückwärts gerichtete Erinnerung würde in jedem Moment die subjektive Illusion einer ständig vorwärts schreitenden Zeit vermitteln.

Unser spezielles Objekt hätte während seiner raum-zeitlich be-grenzten Existenz-Spanne exakt diejenigen Kontakte zum umge-benden Parameterraum unseres Universums, wie sie durch die Ge-setze der Physik, dargestellt durch die Casimir-Operatoren, statisch auf jener „Tapete“ hinterlegt sind. Sogar der „freie Wille“, mit dem man geneigt ist zu widersprechen, und auch die auf ihm aufsetzen-de Sanktionslogik gegenüber „Gesetzesverstößen“ wäre auf der Grundlage unserer 64 Typen von Quanten rein deterministischer Natur.


So hat die (notwendige) Einführung eines Niveaus von “Quanten” weit unterhalb des Niveaus von Gell-Manns Quarks in die Neue Physik den Anlass zur Erkenntnis gegeben, dass die Quantentheorie tatsächlich – entgegen anders lautenden, unbewiesenen Spekulati-onen – keines mysteriösen eigenen Konzeptes zu Wahrscheinlich-keit und Indeterminismus bedarf, wie es ihr die Verfechter der Al-ten Physik so gern aufoktroyieren wollen. (Die Voraussetzungen zur Anwendung von „Bells Ungleichungen“ sind für die Quantengravitation nicht erfüllt, vgl., wie schon gesagt, Bells eigenen Vorschlag eines „Super-determinismus“ von 1985, um sein No-go-Theorem außer Gefecht zu set-zen.) – Doch ich will derlei Ideen hier nicht zu sehr im Detail verfol-gen.

Verlorene Zeiten Die Natur ist komplex – glücklicherweise nicht derart komplex, dass wir ihr nicht hinter die Schliche kämen. Dies funktioniert aber nur Schritt für Schritt; denn wir sind ja Teil der Natur. Als solchem ist es uns verwehrt, diese Natur als externer Beobachter vollständig und neutral „von außen“ her zu betrachten. Wir stecken ja mitten drin und können unseren Horizont von Generation zu Generation immer nur graduell erweitern.

Diese Horizonterweiterung ist Aufgabe der Grundlagenphysik. Zurzeit spielen auch noch stark Medizin und Physiologie mit hinein. Diese müssen uns lehren, wie unsere Sinne funktionieren, mit de-nen wir die Natur zu ergründen suchen: Wir können nicht feststel-len, was ist, sondern lediglich, was uns unsere Sinne und die von ihnen generierte Technik vorgaukeln.

Ein Hai vermag es, elektrische Felder wahrnehmen, die jahres-zeitlich bedingte Wanderung der Zugvögel beruht auf einer Orien-tierung am Magnetfeld der Erde. Wir als Menschen dagegen müs-sen uns zum Erkennen derartiger Phänomene eigene Konstruktio-nen basteln, die Teile der medizinischen Sinne von Tieren in physi-kalische Gerätschaften umdisponieren.

Aber wir können das. Und vieles mehr. Wir müssen nur jeweils wissen, was genau wir ergründen wollen; dann klappt das eines Tages schon irgendwie. Doch diese Zielsetzung kann uns niemand abnehmen. Dogmen sind Aufforderungen zur Kapitulation. Sie do-kumentieren das einbetonierte Gedankengut überholter Zeiten. Dogmenbildung jeder Art ist von jedem Physiker auf das schärfste zu bekämpfen. Dogmen bedeuten den Tod der Wissenschaft.

Noch weit zurück liegen wir gegenwärtig in der Hirnforschung – wenngleich Fortschritte auch auf diesem Gebiet rasant voranschrei-ten. So wie die Chemie als einst unabhängige Naturwissenschaft, mit ihrem Ursprung in Kräuterkunde und Alchimie, auf den Status eines Teilgebietes von Atomphysik und Thermodynamik zurückge-fallen ist, so dürfte es ebenfalls nur eine Frage der Zeit sein, wann die Medizin den gleichen Weg beschreiten wird.

144 Verlorene Zeiten

Ein gravierenderes Problem stellt die Einflussnahme unausgelas-teter Politik-Amateure ohne jegliches Interesse an längerfristigen Erkenntnissen dar. Die zunehmend fortschreitende ständestaatliche Umorganisation der Forschung, die seit der Ökonomisierung der Wissenschaft unter dem Vorwand der Globalisierung den Wettbe-werb freiheitlich-demokratischer Strukturen systematisch zu unter-graben trachtet, birgt die riesige Gefahr des Rückfalles in eine Art „Steinzeit“ mit allgegenwärtig-mittelalterlicher Inquisition und Zen-sur in sich; Funktionäre stehen in den Startlöchern. Konzerne bestimmen mit ihren Eigeninteressen, was an Universi-täten zu betreiben sei und was nicht; Grundlagenforschung wird als unwirtschaftlich gebrandmarkt, läuft Spießruten – es sei denn, staatliche Gießkannen-Fördertöpfe wie beim CERN und bei den Strings stehen mit ihren schier unerschöpflichen Mitteln aus Steu-ergeldern dahinter. Nicht mehr Resultate und Lösungen sind ge-fragt, sondern der Weg ist das Ziel – die Werbewirksamkeit bei Leu-ten, die von der Thematik nichts verstehen und auch nichts verste-hen wollen. Dies ist „Politik“ in Reinkultur. Eines Tages werden es die Spatzen von den Dächern pfeifen, was Quantengravitation und GUT bereits vor Jahrzehnten erkannt und beschrieben haben. Jeder wird die Lösung zu Jahrhunderte alten Problemen kennen. Lediglich die eigentlich zuständigen Universitä-ten werden mit ihrer Bindung an sachfremde Zensurvorschriften ihrer Päpste weiterhin „Blinde Kuh“ spielen. 1905 hatte Einstein seine ersten Arbeiten als einfacher Diplom-Physiker, damals noch ohne Doktor-Titel, publizieren dürfen: als untergeordneter Angestellter einer Behörde – für heutige Verhält-nisse ein Unding! Nach heutigen Regularien wären diese Artikel ungelesen und unbeantwortet in den Müll gewandert. Heutzutage zählen nur formalistische Referenzen, aber keine Ergebnisse oder gar Lösungen! Nach heutigen Spielregeln würde die „Fach-welt“ Einstein in seiner damaligen Situation als armen Irren abtun, als zur Wissenschaft unfähigen Dorftrottel. Man denke nur, wel-chen Verlust unsere Welt so Jahr für Jahr erleidet! Der vorliegende Text will wachrütteln. Versagen schon gegenwärtige Generationen, so heißt dies noch lange nicht, die Jugend tue dies auch „weiter so“!

145

Diese Unterdrückung längerfristig bedeutsamer Ergebnisse der Forschung gedieh inzwischen zur höchsten Maxime eines staatli-chen Selbsterhaltungstriebes. Kurzsichtige Zensurmaßnahmen aus Kreisen der Wirtschaft begünstigen kurzfristige, nur temporär für irgendwelche Modekinkerlitzchen eines rasch vergänglichen Zeit-geistes nutzbare Handlanger-Dienste aus den Universitäten Echte Erkenntnis wird rigoros verfolgt und als Bedrohung des gegenwärtigen Besitzstandes innerster Funktionärskreise bestraft. Denkverbote sind Trumpf. Der düstere Schatten eines Mittelalters vor der Aufklärung erhebt sich aus modrigen Gruften. Die Zemen-tierung von Unwissen, das Stiften von Verwirrung durch bürokrati-sche Formalismen als Mittel der Machterhaltung einer sich selbst glorifizierenden Plutokratie. Die Ausübung von Politik durch Lobby-abhängige Marionetten und ihnen willfährige Behörden. Die Crux dieser Zeit ist: Es geht nicht mehr um das schöpferische Aufdecken neuer Beziehungen – also um „Forschung“ – sondern allenfalls noch um das kombinatorische Zusammenfügen und Ma-ximieren altbekannter Versatzstücke zu neuen Gesamtheiten – also um „Entwicklung“. Für „Forschung“ bräuchten wir Universitäten, für „Entwicklung“ reichen (Fach-)Hochschulen. Es ist diese feine Nuancierung, die mit der Verschulung von Uni-versitäten zulasten echter Forschung brutal unter den Teppich ge-kehrt wird. Das Ergebnis solch einer rein ingenieurhaften Entwick-lung bringt nur Abhängigkeiten und Inkompetenz hervor, statt Auf-geschlossenheit für neue Grundlagen zu fördern – ein parasitäres Leben von der Substanz. Eine „Balkon-Technologie“ wie beim sog. „Standardmodell“ ver-drängt die Akzeptanz für neue Einsichten. Paradebeispiel einer mo-notonen Konserven-Industrie. Arbeitsstil: Casting – die willkürliche Auszeichnung belangloser Modetrends. Gnadenlose Ausgrenzung jedes produktiven Außenseitertums. Hatten wir dies alles nicht schon einmal?? Geschichte wiederholt sich. Der „Wandel“ erschöpft sich auf das Vokabular. Moderne Scheiterhaufen sind subtiler. Ohne Forschung läuft jede Entwick-lung eines Tages leer.


50 Jahre Strings und Branes, mit 10.000-en von Theoretikern, doch ohne jedes physikalisch relevante Ergebnis belegen dies über-deutlich. Die Handhabung der Strings erinnert mich an die Alchimie des Mittelalters: Platzend vor Betriebsamkeit, doch nicht imstande, das versprochene „Gold“ auch vorzuzeigen. Was dagegen bewirkten die nur 3 Jahrzehnte mit nur einem paar Dutzend Theoretikern, von Planck über Einstein, Schrödinger, Hei-senberg und Dirac bis hin zu deSitter! Ihre Forschungen hatten mit weit kürzerer Zeit und Aufwand die Welt wahrlich auf den Kopf ge-stellt. Deren Erfolgsrezept war es noch gewesen, Gesetzmäßigkei-ten der Natur physikalisch aufzudecken, statt sie (siehe „Standard-modell“, siehe Strings) einfach nach Juristenmanier zu „beschließen“. Und wehe, jemand hält sich nicht dran: der ist weg vom Fenster – mit der „Natur“ als erstem unter den Sanktionsopfern! Doch damals galt ja noch die stolze Devise „Inhalt vor Herkunft“. Die inzwischen erfolgte Prioritätenwende zu „Herkunft vor Inhalt“, warf uns zurück ins Zeitalter kleinkarierter Fürstenlaunen und Adelsdiktaturen mit dem Privileg, eigenhändig festzusetzen, was wahr oder falsch sei. Es lebe diese Zensur auf dem Niveau von Ba-nanenrepubliken! Natürlich ist es einfacher, im Internet nach ir-gendeinem Namen zu suchen, als die Qualität einer wissenschaftli-chen Idee zu überprüfen. Verlage sind halt faul – zu faul, als dass sie einen wissenschaftlichen Standard zu verteidigen bereit wären. Dirac stellte seine fundamentalen Fermionen damals in Form seiner Vierer-Spinoren dar. Er war gar nicht auf die Idee gekommen, dass sie Teile einer weit umfassenderen 8-dimensionalen Struktur sein könnten, die seine ko- und kontravarianten Indizes lediglich, je nach dem Vorzeichen ihrer Teilchenzahl, einer jeweils anderen, eigenen Unterdarstellung zuweist. Durch solche Umverteilung von Komponenten spaltet sich eine 8-dimensionale Struktur formal in ein Paar 4-dimensionaler Struk-turen auf, ein einzelner Punkt also in zwei Punkte. Bezeichnet ein einzelner Punkt noch ein 0-dimensionales Gebilde, so charakteri-sieren 2 Punkte formal ein 1-dimensionales Format – eine Linie, einen „String“. Und „Branes“ heißen die höheren Tensorstufen.

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Somit ließen sich die U(4,4)-Variante der 8-dimensionalen Quan-tengravitation bzw. die U(32,32)-Variante der 8x8=64-dimensiona-len GUT nach ihrem Dirac-Split ebenso gut auch als weitere „String-Modelle“ verkaufen. Im strikten Gegensatz zu den existierenden Modellen dieses Namens handelte es sich dann jedoch um „String“-Modelle, die tatsächlich physikalische Ergebnisse liefern, also um eine funktio-nierende Form von String-Modellen – die darüber hinaus sogar im Einklang mit dem Experiment stehen! Insofern lehne ich es ab, Quantengravitation und GUT mit jener Bezeichnung abzuwerten: der Begriff „String-Modell“ hat sich in den 50 Jahren seit Veneziano (1968) einen zu schlechten Ruf erworben. Andererseits verwundert es nicht, wenn sich so manche Eigen-schaft aus den String/Brane-Modellen auch im QG/GUT-Modell wiederfindet. Letztendlich kommen auch die String-Modelle nicht an der doppelten 8-Dimensionalität vorbei – selbst wenn sie dieses schlichte Faktum hinter einem bombastischen Aufwand an Forma-lismen zu verstecken suchen. Statt diese Dimensionen jedoch zu 8x8=64 zu multiplizieren, addieren sie diese zu 8+8=16. Bei korrek-ter Handhabung würden sie also nur (unnötigerweise) auf 6 der 8 Chiralkomponenten unserer GUT verzichten. Doch im Gegensatz zu unserer klaren top-down Vorgehensweise beharren die String-Modelle auf ihren klassisch-umständlichen Infi-nitesimalmethoden nach dem bottom-up Prinzip aus der Kontinu-ums-„Steinzeit“ der theoretischen Physik (Punkt-Mechanik), der Ig-noranz von Nicht-Valenzstrukturen usw. – kurz: auf all dem, was auch den Unterschied des inkonsistenten „Standard“-Modells zur so erfolgreichen Quantengravitation und GUT ausmacht. (Die Zerlegung der 16x16-dimensionalen „adjungierten“ Darstellung liefert bei geeigneter Hermitezitätsdefinition 10 symmetrische „Orts-“ plus 6 antisymmetrische „Zeitkoordinaten“ ihres Vektorraumes der Dimension 4x4=16. Da die Variationsrechnung zwingend die Existenz exakt einer Zeit-richtung vorschreibt, wird die 6x6-dimensionale Zeitmatrix auf ihre Sing-lettkomponente zusammengeschrumpft. Mit den 10 Ortsrichtungen zu-sammen liefert dies die 11 String-Dimensionen.


Nun bleiben bei der Zerlegung der ursprünglichen 16x16-Matrix in ei-nen 6x6-Zeit-Anteil plus einem 10x10-Ortsteil noch die beiden Teilmatrizen zu 6x10 und 10x6 Dimensionen übrig, deren Faktoren „6“ aufgrund der Variationsrechnung jeweils auf „1“ zusammenzustreichen sind. Werden diese je einem ko- und einem kontravarianten Fermion-Zustand zugeord-net und die 10x10-Matrix einem Boson, so erhalten wir die berüchtigte „Supersymmetrie“ zwischen Fermionen und Bosonen.)

Bei jener derart undurchsichtigen, bisherigen bottom-up Trickse-rei mit den Strings auf der dogmatischen Basis einer (kontinuierlichen) Variationsrechnung blieb bisher nicht nur der top-down Überblick auf der Strecke. Kein Wunder, dass sich weder irgendwelche Vo-raussagen der String/Brane-Modelle noch der Supersymmetrie im Experiment in irgendeiner Weise bestätigen ließen. So hart das klingen mag: Die Arbeit eines halben Jahrhunderts 10.000-er von String-Theoretikern war „für die Katz‘“! Knapp formuliert: Die klassischen String/Brane-Modelle haben sich zu weit weg von einem Modell „beyond the Standard Mo-del“ hin zu einem Modell „beyond physics“ entwickelt. Doch theoretisches Wissen lässt sich auf längere Sicht nicht in Gummizellen der Psychiatrie wegsperren. Zurzeit haben wir es mit politischen Systemen angstvoll-arroganter Repression zu tun, mit dem Sand lobbyistischer Fremdkörper im Getriebe, die für langfris-tige Erkenntnisse keine Antenne besitzen. Einige Regierungen ver-fügen, schlicht gesagt, über zu viel Geld, mit dem sie auf Kosten echter Forschung derart verfehlte „Theorien“ einer geschickten Lobby über Jahrzehnte künstlich am Leben erhalten, die „For-schung“ sagt, aber „Schlendrian weiter so im alten Trott“ meint! Blindwütig beschränkt diese Inzucht an Ideen ihre Betriebsam-keit auf die kurzfristige Verwaltung von Finanztiteln, auf inhaltlich entleerte Sisyphus-Bürokratie an Institutionen hochtrabender Na-men aus seliger Vergangenheit und auf sinnlose Budgets wofür auch immer. Aber akademische Titelsucht verbohrter Institutionen hat keine Zukunft. Die digitale Welt schert sich einen Teufel um deren Zensur und Dogmen; die physikalische Wahrheit wird obsie-gen – wenn nicht heute, dann eben morgen.

Der Autor

Geboren 1939 in Berlin. Sport, Klatsch, Smalltalk und akustische Dauerberieselung waren mir als Ex-Klavieramateur stets ein Gräuel. Damit blieb genügend Zeit für echte Herausforderungen. So ging ich bereits während meiner Schulzeit ersten Fragen der vergleichenden Sprachwissenschaften nach, die sich während mei-nes anschließenden Studiums der Physik (Theorie der Elementarteil-chen) auf den Fragenkomplex einer gemeinsamen Ursprache des Indogermanischen mit dem Chinesischen fokussierte. (Beispiele und Lautverschiebungsregeln 2015 als e-book publiziert.)

Auf zu neuen Ufern!

Die Herausforderung der Grundlagenphysik bestand dagegen im Faustschen Verlangen „zu erkennen, was die Welt im Innersten zusammenhält“, kurz: in der Vereinigung von Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie mit Plancks Welt der Quanten („Quantengravita-tion“).

Klar dass dies nicht im Rahmen meiner Diplomarbeit abzuarbei-ten war. Nicht einmal während meiner anschließenden 7-semestri-gen Tätigkeit als Wissenschaftlicher Assistent in Lehre und For-schung erreichte ich dieses mein so hochgestecktes Ziel, kam ihm jedoch bereits beträchtlich nahe.

Nach den „goldenen“ 1960er Jahren des Quark-Modells mit sei-nem forscherischen Enthusiasmus war ich mit dem inkonsistenten Ausbau der „Standard“-Modelle“ und dem Aufkommen der String-Modelle verdammt, den bis heute andauernden schleichenden Nie-dergang der theoretischen Grundlagenphysik als Assistent an der Universität deprimierend am eigenen Leibe miterleben zu müssen.

150 Der Autor

Schon als Student hatte ich darüber gestöhnt, auf wie wackeli-gen Beinen doch das klassische Kartenhaus der theoretischen Phy-sik begründet war, wie sie in Vorlesungen und Seminaren vorgetra-gen wurde und die Literatur beherrschte. Speziell bei der Quanten-theorie stach mir ins Auge, wie wenig selbst die Professorenschaft die Physik dahinter durchschaut zu haben schien, wenn sie endlos mit langatmigen, technischen Formalismen vom erkenntnistheore-tischen Hintergrund abzulenken suchte.

Nach Auslaufen meines letzten Zeitvertrages an der Uni ging ich in die Industrie. In der Software-Entwicklung (Main frame) eignete ich mir bei Siemens betriebswirtschaftliche Kenntnisse in Projektlei-tung und Management an. Da mich jene Software jedoch zu Tode langweilte, fand ich mit meiner Annäherung ans Rentnerdasein Ge-legenheit zum allmählichen Wiederaufgreifen meiner uralten Ideen. Der Durchbruch gelang.

Der Besuch von Fachtagungen zur Teilchenphysik bestätigte mir erneut: Der Stand auf meinem Interessengebiet war noch immer der gleiche wie zum Ende meiner Uni-Zeit vor einem halben Jahr-hundert; ich hatte nichts versäumt – nur dass zur Jahrtausendwen-de die String/Brane-Fans (fast) sämtliche Ressourcen der Teilchen-physik okkupierten und blockierten. Neue Erkenntnisse: Fehlanzei-ge. Während die experimentelle Grundlagenphysik boomte, rotier-te auch die Theorie dazu auf Hochtouren – doch seit 50 Jahren im-mer nur im Kreise herum.

C. Birkholz.

Mathematischer Anhang

Das Grundübel mathematischer Schulausbildung ist ihre Überbeto-nung noch heute von Grundprinzipien, die einmal vor Plancks be-rühmtem Quantisierungsansatz von 1900 für die thermodynami-sche Strahlung „Schwarzer Körper“ von weitreichender Bedeutung für die klassischen Rechentechniken gewesen waren, wie sie sich im bis dorthin allgemein akzeptierten „Mechanischen Weltbild“ der Natur bewährt hatten. Jene 400 Jahre alte Infinitesimalrechnung von Leibniz und Bernoulli beherrscht seither praktisch alle Bereiche der Physik, von der Punktmechanik bis hin zu optischen Wellen. Ihre Krönung hatte sie in der ingenieurmäßigen Handhabung der aus ihr abgeleiteten, fast gleichaltrigen „Variationsrechnung“ mit ihrem Lagrange-Formalismus nebst dessen „Pfadintegralen“ gefunden. All diese Formalismen mögen zwar mathematisch recht elegant erscheinen. Wir kennen diese magische Präferenz des mathema-tisch „Eleganten“ zulasten des physikalisch Verständlichen heutzu-tage beispielshalber auch aus den String-Modellen. Auch der – phy-sikalisch nur unzureichend verstandene – „Higgs-Mechanismus“ ist solch ein eleganter mathematischer Formalismus – nur „bringt“ er so leider physikalisch nichts! Erst die „Grand Unification“ erklärt ihn ganz handfest, explizit und berechenbar im Detail. Das riesige Manko all jener Formalismen liegt im Anschaulichen sowie im Fehlen ihres Bezuges zu ergänzenden, anderen Modellen. Auch handelt es sich bei ihnen samt und sonders um Kontinuums-Theorien! Die Menge an Werten, die ein Kontinuum ausmachen, ist nun aber nicht abzählbar! Überdies provoziert ein Kontinuum als System aus einer unendlichen Anzahl von Elementen die Bildung weiterer Grenzwerte. Solche „Limites“ besitzen aber häufig ganz andere Eigenschaften als die ursprünglichen Elemente. Beispiel: Nehmen wir die Punkte der Oberfläche einer Kugel. Gehen wir jetzt für einen ihrer Punkte mit dem Radius gegen unendlich. Und siehe da – die Krümmung verschwindet, die gekrümmte Kugeloberfläche entartet dort „lokal“ zur Tangentialebene!

A-2 Mathematischer Anhang

Formalismen sollten eigentlich der Prägnanz komplexerer Vor-gänge durch die abstraktere Vereinheitlichung ihrer Darstellungs-formen dienen. Leider jedoch hat es sich eingebürgert, Formalis-men auch als Ersatz für das persönliche Unverständnis komplexerer Vorgänge zu missbrauchen: Wo weiter führende, praktisch brauch-bare Ideen fehlen, da blühen häufig genug abstrakte Formalismen auf. Feierliche Rituale, deren Sinn nicht hinterfragt werden darf, werden zu festgemauerten Dogmen hochstilisiert, die das einfache Verständnis auch künftiger Generationen vernebeln sollen – Relikte des Selbstbehauptungstriebes eines vorzeitlichen Schamanentums. Der Formalismus der Physik ist die Mathematik. Theoretische Physik ist die Abbildung (von Teilen) der Natur in die Mathematik. Physik ist nicht Mathematik, wie es uns gewisse Kreise mit viel nutz-losem Fleiß, Betriebsamkeit und Überredungskunst kraft Amtes aufzuoktroyieren suchen! Es ist Aufgabe dieser Anhänge, die mathematische Kompliziert-heit klassischer, funktionentheoretischer Kontinuums-Modelle der modernen Grundlagenphysik (Teilchen und Kosmos), wie wir sie über Jahrhunderte hochgepäppelt haben, wieder auf die einfacheren, diskreten Strukturen einer endlichen Vektorrechnung zu reduzieren, wie sie automatisch aus Plancks diskretem, quantentheoretischen Ansatz folgen. Aufgrund der stiefmütterlichen Behandlungsweise dieser Art von Mathematik an den Schulen muss ich wohl bei der Matrizenrech-nung aufsetzen. Der wesentliche Teil dieser Mathematik besteht aus der einfachen Kombinatorik von Matrizen („Transformationen“) nebst ihrer zugehörigen Vektoren („Tensoren“). So Manches davon wird der Leser in den Standardwerken der Mathematik dazu ver-geblich suchen; dann handelt es sich um Zusammenstellungen aus physikalischen Quellen der „goldenen“ 1960er Jahre (Quarkmodell), soweit sie sich bereits damals als nützlich erwiesen hatten, bevor „Standard“- und String-Modelle die Grundlagentheorie bis heute in die „dunklen“ Jahrzehnte anhaltender Stagnation zurückwarfen. Wir wollen uns jedoch auf das Notwendigste beschränken. Lesen wir die Anhänge in diesem Sinne – und stückweise. Die Anhänge dienen zum Nachschlagen, nicht zum Auswendig-Lernen!

A-3

Matrizen

Von der Schule her sind wir alle mit der Vektorrechnung vertraut – weniger mit Matrizen. Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle aus Elementen mit m Zeilen und n Spalten:

A ≡ A1

1 ⋯ A1n

⋮ ⋱ ⋮Am

1 ⋯ Amn

≡ Aµν

mit µ = 1, ... ,m und ν = 1, ... ,n.

Warnung: Der hochgestellte Index sollte nicht mit einer Potenz verwechselt werden! Matrizen (gleicher Zeilen- und Spaltenzahl) werden elementweise addiert. „A + B = C“ bedeutet also

Cµν ≡ Aµ

ν + Bµν .

Entsprechendes gilt für die Multiplikation mit Zahlen:

λAµν ≡ λAµ

ν .

Die „gestürzte“ Matrix, bei der die Zeilen mit den Spalten in ver-tauschter Reihenfolge dargestellt werden, heißt ihre „transponierte Matrix“ und wird mit einem hochgestellten „T“ gekennzeichnet:

Aµν

T≡ AT ≡ (AT)ν

µ ≡ A1

1 ⋯ Am1

⋮ ⋱ ⋮A1

n ⋯ Amn

.

Werden in ihr zusätzlich auch noch alle Elemente konjugiert-komplex dargestellt (hochgestellter Stern), so spricht man von einer „hermitesch-konjugierten“ Matrix, geschrieben mit einem hochge-stellten „+“:

A+ ≡ (AT)∗ = (A∗)T ≡ A∗,T = AT,* .


Eine Matrix mit m=n heißt eine „quadratische Matrix“, und ihre Elemente mit Zeilenzahl=Spaltenzahl liegen auf ihrer „Diagonale“. Eine quadratische Matrix, deren Elemente außerhalb dieser Diago-nale sämtlich gleich null sind, heißt selber eine „diagonale Matrix“. Eine diagonale Matrix mit lauter Einsen auf der Diagonale heißt eine „Einheitsmatrix“ oder kurz „Eins-Matrix“; ihre Elemente wer-den durch das „Kronecker-Delta“-Zeichen dargestellt:

„Vektoren“ sind spezielle Matrizen: Für einen „kovarianten“ Vektor gilt fest n=1 und für einen „kontravarianten“ Vektor m=1. Diese fixierten Werte „1“ werden nicht mitgeschrieben:

kovariant: (vµ) ≡ v1⋮

vm ,

kontravariant: (wν) ≡ (w1, … , wn) .

Die Bezeichnungen „ko-“ und „kontra-variant“ werden häufig auch über Kreuz benutzt. Von Bedeutung ist lediglich, dass es zwei unterscheidbare Arten von Varianzen gibt. Insofern ist die Bezeich-nung von „kontravariant“ doppeldeutig: zum einen bezeichnet „kontravariant“ eine spezielle der beiden Varianzarten, zum ande-ren aber lediglich die „entgegengesetzte“ Varianzart. Die Anzahl von Komponenten eines Vektors heißt seine „Dimen-sion“. Ein Vektor der Dimension 1 heißt „Skalar“.

Matrizen-Multiplikation: Um zwei Matrizen miteinander zu mul-tiplizieren muss die Spaltenzahl der links stehenden Matrix mit der Zeilenzahl der rechtsstehenden Matrix übereinstimmen. Dann gilt für C = AB per Definition elementweise

Cµν ≡ ∑ Aµ

κBκν

κ .

Sprechweise für AB=BA: A „kommutiert“ mit B. Man beachte, dass A und B im Allgemeinen nicht kommutieren!

δµν ≡ 1 für µ=ν,

0 sonst .

1 ≡ δµν mit

Matrizen A-5

Speziell folgt für das Produkt zweier Matrizen:

(AB) ∗ = A∗ B∗ , (AB)T = BTAT .

Ist A die Eins-Matrix, so gilt für C=AB: C=B, und B=1 liefert analog C=A. Speziell für einen Spaltenvektor B=v und sein Produkt w sowie für einen Zeilenvektor A=x und sein Produkt y gilt

wµ ≡ ∑ Aµκvκ κ ,

yν ≡ ∑ xκBκν

κ .

Da die beiden linken Seiten als Komponenten von Vektoren 1x1-„Matrizen“ sind, ist es vom Prinzip her egal, ob wir sie transponiert darstellen oder nicht (es sei denn, ihre Elemente sind auch wieder Mat-rizen):

wµ = (wT)µ , yν = (yT)ν .

Für Matrizen ist eine Division nicht definiert. Trotzdem kann zu einer quadratischen Matrix A eine „inverse Matrix“ dergestalt exis-tieren, dass gilt:

A A-1 = 1 und A-1 A = 1 .

Eine Division muss also über die inverse Matrix in eine Multipli-kation umgeschrieben werden. Eine „singuläre Matrix“ ist eine sol-che, zu der keine (oder keine eindeutige) inverse Matrix existiert. (Dies entspräche der Division durch null bei Zahlen.) Für ein inverses Produkt vertauscht sich wieder die Reihenfolge seiner Faktoren:

(AB)−1 = B−1A−1.

Eine „unitäre Matrix“ A definiert sich durch

A−1 = A+ .

Eine „orthogonale Matrix“ A definiert sich durch

A−1 = AT .


Dies führt uns (s.u.) zur eigentlichen Definition der „Kontravari-anz“ durch die Mathematik über ihr Transformationsverhalten hin. Dazu benötigen wir die „kontragrediente Matrix“. Zu einer quadra-tischen nicht-singulären Matrix A lautet sie per Definition

(A−1)T ≡ A−1,T ≡ AT,−1 = (AT)−1 .

(Für ein unitäres A geht dies über in ihre komplex-konjugierte Matrix, und eine orthogonale Matrix ist zu sich selbst kontragre-dient.) Jetzt zur eigentlichen Definition einer Kontravarianz: Transfor-miert sich ein „kovarianter Vektor“ mit den Matrizen A, dann trans-formiert sich sein „kontravarianter Vektor“ mit den zugehörigen kontragredienten Matrizen:

yµ = (Ax)µ = ∑ Aµκxκκ

⇔

yν = Α−1,Τxν

= xΤΑ−1Τ

ν

= xΤΑ−1ν

= ∑ xκΑ−1κ

νκ .

Weitere Adjektive für quadratische Matrizen sind:

M heißt: „symmetrisch“, wenn M = +MT , M heißt: „anti-symmetrisch“, wenn M = −MT , M heißt: „hermitesch“, wenn M = +M+ , M heißt: „anti-hermitesch“, wenn M = −M+ .

Die Summe aller Elemente auf der Diagonale heißt ihre „Spur“.

Das „Skalarprodukt“ der Vektorrechnung multipliziert 2 Vekto-ren miteinander zu einem Skalar („Bra“-Vektor mal „Ket“-Vektor = „Bracket“, englisch für „Klammer“). Der Bra-Vektor, links, ist dabei konjugiert-komplex darzustellen, und einer kovarianten Transfor-mation des Ket-Vektors, rechts, mit einer Matrix A soll dabei einer kontravarianten Transformation des Bra-Vektors mit der konjugiert-komplexen Matrix zu A entsprechen:

⟨x|v⟩ ≡ x+v = (xTv∗)∗ = ((xTv∗)T)∗ = (v+x)∗ = ⟨v|x⟩∗ ,

(A∗)−𝟏,TxAv = A-1,+xAv = x+A−1Av = ⟨x|v⟩ .

Matrizen A-7

Gegenüber unitären Transformationen bleibt das Skalarprodukt also invariant:

⟨Ax|Av⟩ = ⟨x|v⟩ wenn A unitär.

Für x=v nennt man das Skalarprodukt auch die (quadrierte) „Norm“ von x und schreibt

⟨x|x⟩ ≡ ‖x‖2.

Andere Funktionen quadratischer Matrizen, wie z.B. eine Expo-nentialfunktion, werden üblicherweise über ihre funktionentheore-tische Taylor-Entwicklung dargestellt und somit ebenfalls auf die gerade beschriebene Matrizenmultiplikation zurückgeführt:

ei λM ≡ exp[𝑖λM] ≡ ∑ (𝑖λ)n

n!Mn∞

n=0 .

Aufgrund seiner oberen Summationsgrenze „unendlich“ ist solch ein Ausdruck allerdings unphysikalisch; physikalisch interpretiert würde er auf mehr Quanten zugreifen als in unserem Universum überhaupt vorhanden sind. Physikalisch ließen sich derartige Aus-drücke also lediglich als mathematische „Annäherungsversuche“ an die Natur interpretieren, die bei irgendeinem Wert von n als Ober-grenze „abzuhacken“ wären; man spricht dann von einer „n-ten Näherung“.

Als besonders nützlich haben sich für die Physik die 2x2-dimensionalen „Pauli-Matrizen“ erwiesen:

σ0 ≡ 1 00 1 ≡ 𝟏2 , σ1 ≡ 0 1

1 0 ,

σ2 ≡ 0 +𝑖−𝑖 0 , σ3 ≡ +1 0

0 −1 .

Sie zeichnen sich (u.a.) dadurch aus, dass sie selbst hermitesch sind und ihre Quadrate jeweils gerade wieder die 1-Marix liefern:

σµ+

= σµ für alle µ = 0,1,2,3 .

σµ2

= σ0


Sind dagegen die Indizes i,j ungleich null, dann gilt mit dem „Levi-Cività-Symbol“ (Epsilon) und (ijk) zyklisch = (123):

σiσj = −i εijk σk oder (iσi)(iσj) = + εijk (iσk) .

Man beachte, dass die Pauli-Matrix Nummer 2 „schief“- = „anti“-symmetrisch ist (d.h. ihre transponierte Matrix liefert ein Minus-Vorzeichen), während die anderen drei Pauli-Matrizen symmetrisch sind (d.h. mit ihrer transponierten Matrix direkt übereinstimmen). Eine 2x2-Matrix M enthält mit den 4 Positionen ihrer Matrix-Elemente genau 4 Parameter. Sind diese komplex-wertig, so lässt sich jedes solches M als Summe der 4 Pauli-Matrizen linear kombi-nieren:

M = Σµ αµ σµ , αµ = komplexe Zahl.

Ist M reell-wertig, so ist Paulis Matrix Nummer 2 mit einem ima-ginären Koeffizienten zu versehen, während die anderen reell blei-ben.

Arbeitet eine quadratische Matrix M auf Vektoren der Dimension 2m, so lässt sie sich analog nach einem m-fachen „Kronecker-Produkt“ = „Direkten Produkt“ von m Pauli-Matrizen „entwickeln“ (das eingekringelte „x“ heißt: alle m Pauli-Matrizen sollen unabhän-gig voneinander bleiben und sich eben nicht nach den Regeln der Matrizenmultiplikation gegenseitig ausmultiplizieren):

M = ∑ αµ1…µm(µ1…,µm

σµ1⊗ … ⊗ σµm

) .

Nun sei e eine Zahl, M eine quadratische Matrix, y ein Spalten-vektor, und es gelte.

My = ey .

Dann heißen e „Eigenwert“ und y „Eigenvektor“ von M (zu e). Hermitesche Matrizen liefern reelle Eigenwerte, schief-hermitesche imaginäre. Als „Übergangsamplitude“ des Vektors x (per M) nach v bezeichnet man

⟨v|M|x⟩ = v+Mx .

Für v=x sprechen wir von einem „Erwartungswert von M“ (zu x).

Matrizen A-9

Als „Äquivalenztransformation“ (bzgl. N) gilt die Abbildung

M

→ NMN−1 .

Für hermitesches N bleibt ihre Übergangsamplitude von x über M zu v erhalten:

⟨v|M|x⟩ ≡ v+Mx = (N−1,+v)+(NMN−1)(Nx) = (Nv)+(NMN−1)(Nx) ≡ (Nv)NMN−𝟏Nx .

– Nun gilt beispielshalber

(𝑖a∗, b∗) 𝑖cd = (a∗, b∗) −1 0

0 +1 cd .

Statt jeweils eine (feste) Dimension der Vektorkomponente mit der imaginären Einheit zu multiplizieren, können wir also äquivalent auch eine Eins-Matrix einschieben, die an der entsprechenden Stel-le auf ihrer Diagonale die +1 durch eine −1 ersetzt. Dies kann selbstverständlich auch an mehreren Stellen geschehen. Solch eine zusätzliche Matrix heißt „Metrik“. Wir werden noch sehen, dass in der Quantengravitation mit ihren diskret liegenden Eigenwerten derartige Diagonalmetriken auch für gekrümmte Ober-flächen vollends ausreichen! Einstein musste zu diesem Zwecke bei seiner kontinuierlichen, differenzialgeometrischen Rechenmethode noch Nicht-Diagonalmatrizen einführen! Insofern stellt die Quan-tengravitation gegenüber Einsteins unquantisierter Allgemeinen Relativitätstheorie eine beträchtliche Vereinfachung dar. (Voraus-schau: Der Grund ist schlicht in den Kommutationsregeln der Raum-Zeit-Komponenten und ähnlicher Tensoren zu suchen, die neben dem Kronecker-Delta auch das Levi-Cività-Symbol berücksichtigen: letztendlich ist es das Levi-Cività-Symbol, das Einsteins Raum-Zeit-Krümmung liefert!)

In funktionentheoretischen Anwendungen auf einen Vektor wird eine Matrix auch gern als „(lineare) Transformation“ bezeichnet. Eine weitere Bezeichnung lautet „(linearer) Operator“.


Erzeuger und Vernichter

Zwei spezielle Operatortypen in Vektorform heißen:

„Erzeugungsoperator“: a+r(… ) (Spaltenvektor),

„Vernichtungsoperator“: a−r(… ) (Zeilenvektor).

Ihre Komponente an der r-ten Stelle ist jeweils =1, alle anderen Komponenten „verschwinden“ (d.h. sind =0). Beispiel für r=3 bei 4-dimensionalen Vektoren:

a+3 ≡

0010

bzw. a−3 ≡ (0,0,1,0) .

(Die oberen Indizes gehören fest zur Definition der Operator-Namen; das obere „+“ beim Erzeuger hat also nichts mit hermite-scher Konjugation zu tun! Und die eingeklammerten Pünktchen sol-len darauf hinweisen, dass solche Operatoren üblicherweise noch weitere Informationen in Form zusätzlicher Kronecker-Faktoren tra-gen werden.) Als Produkte beider Operatortypen miteinander erhalten wir je nach Reihenfolge der Faktoren:

a−r a+

s = δ rs (Skalar) ,

a+s a−

r = (δsr) (Matrix) .

Beispiel: Als 4-dimensionale Matrix mit s=2, r=3 hat letztere Mat-rix – nennen wir sie A – die Form

A(2,3) ≡ a+2 a−

3 ≡ 0 00 0

0 01 0

0 00 0

0 00 0

.

Die Bedeutung dieser Matrix ist die einer Projektion auf die Posi-tion 3 und ihre nachfolgende „Transposition“ (in nur eine Richtung), nämlich von dieser Position 3 zu einer Position 2. In der Gruppen-theorie heißt solch ein nicht-diagonales A(s,r) für s<r „Aufsteige-Operator“, für s>r „Absteige-Operator“ (oder auch umgekehrt).

Erzeuger und Vernichter A-11

a−sA(2,3)a+

r = δs2 δr3 .

Summe und Differenz einer solchen einseitigen Transposition mit ihrer transponierten werden als volle Transpositionen (hin und zu-rück) in der Physik als (die einfachste Form von) „Generatoren“ be-zeichnet:

symmetrische Transposition ∝ (Ars + Αs

r) , antisymmetrische Transposition ∝ (Ar

s − Αsr) .

(Das „abgebrochene Unendlich-Zeichen“ bedeutet „proportional“.) (Der mathematische Begriff einer „Permutation“ ist mit dem physikali-schen Begriff eines „Generators“ fast identisch. Der Unterschied liegt in der Behandlung von denjenigen Dimensionen, die hier nicht explizit als Indizes mit genannt werden: Eine „Permutation“ lässt sie unverändert, ein „Generator“ projiziert sie (mitunter) auf null.) Generatoren dürfen addiert, subtrahiert und mit (reellen) Zahlen multipliziert werden; solche „Linearkombinationen“ heißen eben-falls „Generatoren“. 2-dimensional lassen sich die Generatoren in ihrer Entwicklung nach Pauli-Matrizen sofort hinschreiben:

Gµ ∝ ∑ a+iσµ

ija−

ji,j = σµ ,

a+ ≡ (a+1, a+

2), a− ≡ a−

1a−

2 .

Zu beachten bleibt hierbei jedoch, dass es sich bei den Erzeugern und Vernichtern in den Klammern noch immer um die 2-dimensionalen Spalten- bzw. Zeilen-Vektoren vom Kapitelanfang handelt: Somit reproduzieren die hier konstruierten Generatoren G ihre 2x2-Pauli-Matrizen! (Quantenfeldtheorien machen sich die Arbeit leicht, indem sie dies ignorieren. Die einschlägige Entwicklung in der Grundlagenphysik beweist leider die schlim-men Verständnisfolgen samt den sich daraus ergebenden Fehlschlüssen, die der-artig fatale Unterlassungssünden nach sich ziehen.) Für eine Zweierpotenz höher in der Dimension erfolgt die analo-ge Entwicklung 4-dimensional (mit den jetzt 4 Komponenten des „Spinors“ ψ) gemäß dem Kronecker-Produkt der Pauli-Matrizen:

Gµν ∝ ψ+σµ ⊗ σνψ− = σµ ⊗ σν .


Hierbei ist es in der Notation üblich, die linke Pauli-Matrix beizu-behalten, die rechte aber nach Komponenten aufzulösen. Die resul-tierenden 4 Generator-Typen lauten in dieser Weise dann (ggf. bis auf reell-wertige Umnormierungen):

Gµ0 = + 12

a1+σµa1

− + a2+σµa2

− ,

Gµ1 = + 12

a2+σµa1

− + a1+σµa2

− ,

Gµ2 = − 𝑖2

a2+σµa1

− − a1+σµa2

− ,

Gµ3 = + 12

a1+σµa1

− − a2+σµa2

− .

Dirac behielt zwar für die oberen beiden Komponenten seiner 4 Dimensionen die Definition aus dem 2-Dimensionalen bei:

a1+ ≡ a1

+1, a1

+2, a1

− ≡ a1

−1

a1−

2 .

Nicht aber für die restlichen beiden. Damit begann sein Forma-lismus. Schreiben wir Diracs Ansatz explizit hin, wie er ihn damals noch implizit gemacht hatte, so lauten seine zusätzlichen Substitu-tionen (mit „i“ als imaginärer Einheit):

a±m ≡ + (a1

±)m , b∓

m ≡ +𝑖(σ1a2±)m .

Der Grund für diese Methode war in seiner Idee zu suchen, seine b’s auf gleiche Augenhöhe mit den a’s zu setzen. Aus seiner Sicht vertauschten sich dabei lediglich der Charakter von Erzeuger und Vernichter.

Mit den a+ und b− (der rechten Seite) als Pauli-„Spinoren“ (vgl. An-hang „Darstellungen“) repräsentieren die a− und b+ dann „Antispino-ren“. Folge:

Gµ0 = + 12

a+σµa− − b−σµb+ ,

Gµ1 = − 𝑖2

b−σµa− + a+σµb+ ,

Gµ2 = − 12

b−σµa− − a+σµb+ ,

Gµ3 = + 12

a+σµa− + b−σµb+ .

Erzeuger und Vernichter A-13

Jede weitere Zweier-Potenz in der Dimension des Anwendungs-raumes würde (rechts am G) einen weiteren Index hinzufügen, der von 1 bis 2 liefe, und die Anzahl zugehöriger Generatortypen würde sich abermals vervierfachen. (Diese etwas umständliche Nomenklatur ist in dieser Form an Diracs „Spinor“-Schreibweise angepasst; so kann man gedanklich rasch zwischen beiden hin und her schalten.)

Die Quantengravitation definiert jetzt (mit den Indizes 0 und i = 1,2,3) die 16 Generatoren der voll quantisierten Allgemeinen Rela-tivitätstheorie:

L 0 ≡ G00 , L i ≡ Gi0 , P’0 ≡ G03 , P’i ≡ Gi1 , M0 ≡ G02 , Mi ≡ Gi2 , Q’0 ≡ G01 , Q‘i ≡ Gi3 .

Hervorgehoben sind die nur 6 Lorentz-Generatoren – 3 „Spin“-Komponenten L sowie 3 „Lorentz-Booster“ M – der eingebetteten Speziellen Relativitätstheorie. Man hüte sich davor, b+ und b− als im mathematischen Sinne streng hermitesch-konjugiertes Paar zueinander zu betrachten! (Denn selbst wenn a+ und a− es wären, dann könnten es gemäß Diracs Substitutionen unter Berücksichtigung seiner imaginären Einheit als Fak-tor nicht auch die b’s zugleich sein – bzw. umgekehrt! Die L, M, P‘ und Q‘ täuschen ihre scheinbare Hermitizität – aufgrund nicht erfüllter Voraus-setzungen – nur formal vor, sie sind es nicht wirklich; ihre Kommutatoren werden dies noch belegen. Die konventionellen Quantenfeldtheorien griffen jenes Wunschdenken der Theoretiker begierig auf, landeten damit jedoch automatisch bei un-endlich-dimensionalen Darstellungen – was sie jedoch keineswegs daran hinderte, sie dennoch so anzuwenden als wären sie endlich-dimensional – der perfekte Flop jener Do-it-yourself-Mathematik auf funktionentheoreti-scher Basis ohne Berücksichtigung gruppentheoretischer Fakten!) Mit einer weiteren Zweier-Potenz höher gelangen wir schließlich zur vollen 8-Dimensionalität der Quantengravitation:

Gµνκ ∝ χ+σµ ⊗ σν ⊗ σκ χ− ∝ σµ ⊗ σν ⊗ σκ ,


χ+ ≡

⎝

⎜⎜⎜⎜⎛

χ+++χ−++

χ+−+χ−−+

χ++−χ−+−

χ+−−χ−−−

⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

≡

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎝

⎛a++

1a++

2

a−+2

a−+1

⎠

⎞

a+−

1a+−

2

a−−

2a−−

1

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

.

Die innersten Klammern fassen die Spin-Komponenten (up/down) zusammen, die mittleren die Energievorzeichen und die äußeren das Vorzeichen der Teilchenzahl entsprechend Diracs beiden Vierer-Spinoren ψ für Teilchen (obere Hälfte) und (abgesehen von Sortierrei-henfolge und Transposition) Antiteilchen (untere Hälfte). In dieser Rei-henfolge indizieren sie oben auch den linken Spinor, während der rechte den vorderen Spin-Index nach hinten absepariert. Gehen wir von diesem 8-dimensionalen Spalten-Spinor aus, dann ist der zugehörige Vernichter der kopfstehende Spinor in transpo-nierter Form. Da sich der Spinor aber nur aus Nullen und Einsen zusammensetzt, gilt für ihn „transponiert = hermitesch konjugiert“:

χ− ≡ ((σ1⊗ σ1⊗ σ1) χ+)+ ≡ χ−−−

⋮χ+++

+

≡ a−−

1⋮

a++1

+

.

Ausführlicher werden wir auf diese Generatoren der vollen, 8-dimensionalen Quantengravitation im Anhang „Spiegelungseigen-schaften“ zurückkommen. Hier nur noch so viel: Die Einbeziehung von Diracs zweitem Spinor verlangt zu dessen Vertauschung der Reihenfolgen a+a– -> a–a+ u.ä. im 4-Dimensionalen die hermitesche Erweiterung

Gµν → 𝟏𝟐 Gµν3 ≡ 1

2(Gµν ⊕ (−(−1)δµ2 Gµν

T)) .

A-15

Gruppen

Eine mathematische „Gruppe“ ist, verkürzt gesagt, eine Menge aus Elementen a,b,c, … , zwischen denen eine „assoziative“ Verknüp-fung * (z.B. Addition, Multiplikation oder was auch immer) besteht.

1) In ihr muss ein „neutrales Element“ existieren (bei der Mul-tiplikation „Eins“ genannt, bei der Addition „Null“).

2) Existenz eines „inversen Elementes“ g‘ zu jedem g aus der Gruppe (multiplikativ g‘ = 1/g, additiv g‘ = –g).

3) „Assoziativität“ heißt a*(b*c) = (a*b)*c .

(Bei einer „additiven“ Gruppe wird üblicherweise vorausgesetzt, dass ihre Verknüpfung „kommutativ“ ist: a+b = b+a; bei einer „mul-tiplikativen“ Gruppe lässt man diese Frage offen.) Bei den Zahlen gibt es viele Beispielmengen (komplexe, rationale, reelle, …). Auch quadratische Matrizen einheitlicher Dimension bil-den eine multiplikative Gruppe, sofern man die „singulären“ Matri-zen außen vor lässt. Komplex-wertig ist dies die Gruppe

• GL(n,c), englisch für „General Linear Group in n dimensions, with complex elements”.

Ihre geläufigsten Untergruppen sind:

• GL(n,r): r = reell-wertig statt komplex. • U(n): die unitären Matrizen. • O(n): die orthogonalen Matrizen (Drehungen in n Dimensio-

nen, plus Spiegelungen).

Zu allen genannten Gruppen existieren auch jeweilige „Spezielle“ Untergruppen: SL(n,c), SL(n,r), SU(n) und SO(n). Sie zeichnen sich dadurch aus, dass für ihre Matrizen die so genannten „Determinan-ten“ – die ich hier undefiniert lasse – sämtlich nicht variabel, son-dern fest =+1 sind. Hier nur so viel: Für diese Gruppen fehlt die Eins-Matrix, und zwar nicht als Gruppenelement, sondern als Gene-rator.


Eng verwandt mit dem mathematischen Begriff einer „Gruppe“ sind die Begriffe „Körper“, „Ring“, „Vektorraum“ und „Algebra“:

• Als „Körper“ (englisch: „field“) bezeichnet man eine additive Gruppe, deren Elemente – nach Herausnahme der Null – zu-sätzlich auch eine multiplikative Gruppe bilden; es gilt das „Distributiv-Gesetz“:

(a+b)x(c+d) = axc + axd + bxc + bxd .

(Beispiele: Reelle Zahlen, komplexe Zahlen, …) • Ein „Ring“ ist ein defektiver Körper: Nicht zu jedem seiner

Elemente (ungleich null) braucht auch ein multiplikatives In-verses zu existieren.

• Ein „Vektorraum“ ist eine additive Gruppe, deren „Vekto-ren“ sich (in der üblichen Weise) mit den Elementen eines Körpers multiplizieren lassen.

• Eine „Algebra“ ist ein Vektorraum, dessen Elemente zusätz-lich einen multiplikativen Ring bilden.

Soweit ein Auszug, wie er an Universitäten üblicherweise unter dem Titel „Lineare Algebra“ für Erstsemestler angeboten und ein-geübt wird. Die nachfolgenden Eigenschaften werden dabei jedoch häufig ausgespart, weil sie in ein anderes Gebiet hinüberführen, nämlich in das der Gruppentheorie. Physiker werden mit ihnen dann später unvorbereitet in Vorlesungen zur Quantenmechanik überfallen, wenn es um den „Spin“ geht. Daher das allgemeine Un-behagen gegenüber Schrödingers „Gruppenpest“.

Der Zusammenhang zwischen einem Generator G und den von ihm (physikalisch: unstatthaft) aufintegrierten, „generierten“ Grup-penelementen M ist im Prinzip recht einfach, nur die abgeleiteten Konsequenzen sind mitunter recht umständlich, fummelig und un-übersichtlich. Aber trösten wir uns damit, dass dieser Anhang nicht zum Auswendig-Lernen da ist, sondern nur zum Nachschlagen! Mit der imaginären Einheit i gilt die Umrechnung

M(ζ) = exp[𝑖ζG]

⇔ 𝑖ζG = log M(ζ) .

Gruppen A-17

Für die klassische Physik sind die aufintegrierten, kontinuierli-chen Transformationen mit all ihren Integrationskonstanten primär und die „diskreten“ Permutationen (Generatoren) sekundär – in der Neuen Physik dagegen sind umgekehrt die Generatoren primär und deren (unphysikalische) Aufintegrationen sekundär, abgeleitet. Der Generator G einer (linearen) makroskopischen Transformati-on M ergibt sich am einfachsten aus ihrer Taylor-Entwicklung; der Wert ζ bleibt dabei noch deutlich als Integrationsparameter identi-fizierbar:

M(ζ) = 1 + iζG + 12!(iζ)2G2 + …

⇒

G = − 𝑖 limζ

→0 1ζ

(M(ζ) − 1) .

(Klassische Sprechweise: Ein Generator ist eine „infinitesimale Transformation“ – nur dass die Infinitesimalrechnung mit ihren Li-mites eben nicht mehr strikt physikalisch ist!) Nun verraten uns die Mathematiker, dass mit 2 Generatoren G und G‘ einer „Gruppe“ linearer Transformationen auch stets deren „(Minus-)Kommutator“ wieder eine Linearkombination von Genera-toren zu derselben Gruppe darstellt:

[G,G‘]− ≡ GG‘ − G‘G = linG"(s(𝐆, 𝐆‘) G").

Alle Generatoren dieser Gruppe zusammen nennen wir eine „re-elle Lie-Algebra“. Ihre „Strukturkonstanten“ s(…) lassen sich wahl-weise (G <-> iG) alle reell oder alle imaginär darstellen. Die multi-plikative Verknüpfung von Generatoren einer Lie-Algebra miteinan-der ist also der Minus-Kommutator, und anstelle des Assoziativge-setzes einer Algebra gilt in einer Lie-Algebra die „Jacobi-Identität“:

[[G,G‘],G“] + [[G‘,G“],G] + [[G“,G,],G‘] = 0 .

Die Gesamtheit aller Strukturkonstanten klassifiziert eine Trans-formationsgruppe (SU(n), O(n), … ), zu der die Generatoren gehören, „lokal“ eindeutig – sagen uns die Mathematiker. „Lokal“ soll heißen: „globale“, also topologische Eigenschaften legen sie nicht fest.


„Komplexe Lie-Algebren“, bei denen die Strukturkonstanten also nicht alle reell oder alle imaginär sind, definieren Gruppen, die i.A. nicht mehr Anwendung für Anwendung einzeln zu ihren Originalen äquivalent sind. So kann eine unitäre U(2) z.B. in eine „pseudo-unitäre“ U(1,1) übergehen, oder eine orthogonale SO(3) in eine „pseudo-orthogonale“ SO(1,2) oder SO(2,1). Beim Übergang von einer Gruppe X(n) zu einer „Pseudo“-Gruppe X(n-m,m) pflegen sich in ihren Strukturkonstanten einige Vorzei-chen umzudrehen. Man spricht dann von n-m „zeit-artigen“ und m „raum-artigen“ Dimensionen – oder umgekehrt. (Ein reeller Vektor heißt zeit-, raum- oder licht-artig, je nachdem ob sein Quadrat un-ter Berücksichtigung seiner Metrik >, < oder = null ist.)

Nun existieren gewisse Gruppen unterschiedlicher Bezeichnun-gen, die sich jedoch „lokal“ aufeinander abbilden lassen. „Lokal“ ist hier ein Begriff aus der Topologie, der darauf hinweisen soll, dass diese Abbildung nicht 1:1 erfolgt, sondern (in den gängigen Fällen) meistens 1:2 bzw. 2:1. Dies bedeutet, dass zwar die Lie-Algebren übereinstimmen, dass aber in ihren (mathematisch aufintegrierten) Transformationen in dem einen Fall 2 unterschiedliche Transforma-tionen zu nur einer einzigen im anderen Fall korrespondieren. Diejenige Gruppe mit den separaten Transformationen heißt dann „(topologisch) ein-fach zusammenhängend“, die andere Grup-pe, bei der k Ausgangstransformationen auf eine gemeinsame Transformation fallen „k-fach zusammenhängend“. Die 1-fach zu-sammenhängende Gruppe heißt dann die „Überlagerungsgruppe“ (“covering group“) der anderen. Gängige Beispiele sind:

1-fach: 2-fach:

SU(2) SO(3) SU(1,1) SO(1,2), SO(2,1)

SU(2) ⊗ SU(2) SO(4) SL(2,c) SO(1,3), SO(3,1) SU(4) SO(6)

SU(2,2) SO(2,4), SO(4,2)

Gruppen A-19

Die SU(2) bezeichnet z.B. die „Spin-Überlagerungsgruppe“ der 3-dimensionalen „Drehgruppe“ SO(3). Die SL(2,c) überlagert die (ho-mogene) Lorentz-Gruppe SO(1,3), und die SU(2,2) überlagert die „Konforme Gruppe“ SO(2,4). Für die Quantengravitation ist die Gruppe U(2,2) von besonderer Bedeutung. Die Relationen zwischen den Generatoren ihrer Unter-gruppe SU(2,2) und denen der konformen SO(2,4) seien hier des-halb extra herausgestellt:

SU(2,2):

SO(2,4): Die Generatoren der Lorentz-Untergruppe SO(1,3) sind die in Gelb hervorgehobenen. Ganz allgemein tauchen hier alle Generato-ren jeweils doppelt auf: Einmal in fett, zweitens im nach rechts oben gespiegelten Bereich in normaler Schrift mit entgegengesetz-ten Vorzeichen; denn die Generatoren der doppelt-zusammen-hängenden SO(2,4) sind bezüglich ihrer Indizes schiefsymmetrisch:

Lab = − Lba mit a,b = 1, … ,6 .

0 –P’0 –M0 –P’3 –P’2 –P’1

+P’0 0 +Q’0 –M3 –M2 –M1

+M0 –Q’0 0 –Q’3 –Q’2 –Q’1

+P’3 +M3 +Q’3 0 +L1 –L2

+P’2 +M2 +Q’2 –L1 0 +L3

+P’1 +M1 +Q’1 +L2 –L3 0

0 +L65 +L64 +L63 +L62 +L61

+L56 0 +L54 +L53 +L52 +L51

+L46 +L45 0 +L43 +L42 +L41

+L36 +L35 +L34 0 +L32 +L31

+L26 +L25 +L24 +L23 0 +L21

+L16 +L15 +L14 +L13 +L12 0


Ergänzen wir zu den drei L in ihren SU(2,2)-Schreibweisen noch eine 0-Komponente (unten in Rot), so lassen sich die dann 16 Gene-ratoren zu 4 Tupeln mit je 4 U(2,2)-Generatoren zusammenfassen:

L0 M0 P’0 Q’0

L1 M1 P’1 Q’1 L2 M2 P’2 Q’2 L3 M3 P’3 Q’3

Aus den gelben und grünen Komponenten erzeugte man in den 1920-er Jahren die 5-dimensionale „deSitter-Gruppe“ SO(2,3) so-wie, aus den gelben und blauen, die ebenfalls nach deSitter be-nannte SO(1,4), um durch deren „Gruppenkontraktionen“ (siehe gleichnamigen Anhang) der Poincaré-Gruppe (= inhomogenen Lorentz-Gruppe) näher zu kommen. Für die jeweils übrig bleibende 6. Di-mension fand man damals keine stimmige physikalische Interpreta-tion mehr. Daher das „rätselhafte“ Wesen einer Masse (M0 ∝ L46).

In der mathematischen Literatur wird all dies selbstverständlich wesentlich präziser ausgeführt; ich beschränke mich hier jedoch auf den für die Grundlagenphysik relevanten Sachverhalt! Unser physikalisches Limes-Verbot, das die rein mathematische Verbindung von den Generatoren zu ihren makroskopischen Trans-formationen kappt (diese kontinuierlichen Größen existieren dann nur noch als Taylor-Annäherungen an die diskrete, quantisierte Physik), zwingt uns zur Interpretation jener klassischen Transforma-tionsgruppen lediglich als abstrakte Klassifikationsschemata. Die klassischen Quantenfeldtheorien hingegen behandeln sie noch als „Symmetrie“-Gruppen – um damit allerdings kläglich Schiffbruch zu erleiden: Kaum eine „Symmetrie“, die dort nicht „gebrochen“ wird – also wirklich gilt! Die Literatur ist voll von Aus-redeversuchen, wieso wohl. Aber die Quantenfeldtheorien be-schränken sich ja (unnötigerweise) auch auf die Spezielle Relativitäts-theorie und stoßen sich nicht daran, dass selbst diese (von der All-gemeinen Relativitätstheorie) gebrochen wird. Man ist dort halt nicht so penibel! Die Folgen sind bekannt: ein halbes Jahrhundert Stagna-tion auf dem Sektor der theoretischen Grundlagenphysik!

Gruppen A-21

Doch wozu brauchen wir pseudo-unitäre Gruppen in der Physik überhaupt? Unsere grundlegende 8-Dimensionalität verlangt eine 1-dimensionale Darstellung jeder dieser 8 Dimensionen – andern-falls kämen wir insgesamt auf mehr als 8 Dimensionen. Als ein-fachste Realisierung bietet sich die durch 8 reell-wertige Achsen an. In einer – in unseren Anwendungsfällen stets möglichen – Ent-wicklung nach Produkten von Pauli-Matrizen und dem üblichen Faktor der imaginären Einheit im Exponenten des aufintegrierten Gruppenelementes M von oben wäre dann zwar der Term mit der 2. Pauli-Matrix reell, wie wir sahen, die anderen Terme aber imaginär. Um ein reelles M zu erhalten, müssten diese anderen Terme also mit der imaginären Einheit als zusätzlichen Faktor multipliziert wer-den. Damit nähmen die Produkte der resultierenden, neuen Gene-ratoren beispielshalber folgende Gestalt an (die 0-Komponente kom-mutiert nach wie vor mit allen anderen):

σ1σ2 = −iσ3

→ (iσ1)σ2 = −i(iσ3) , σ2σ3 = −iσ1

→ σ2(iσ3) = −i(iσ1) ,

σ3σ1 = −iσ2

→ (iσ3)(iσ1) = +iσ2 ,

Mathematisch bewirkt dieser Vorzeichenwechsel den Übergang von der aus den 4 Pauli-Matrizen generierten Gruppe U(2) zu einer U(1,1), und die entsprechenden Kronecker-Produkte von m Pauli-Matrizen gehen entsprechend über gemäß

U(2m)

→ U(2m-1,2m-1) .

Anmerkung: Mit den imaginären Faktoren klappen hier die or-thogonalen Dimensionen 1 und 3 von raum- auf zeitartig um und die Dimension 2 bleibt unverändert raumartig (bzw. umgekehrt – je nach Interpretation). In der Standardliteratur wird stattdessen übli-cherweise jedoch nicht die 2. sondern die 3. Dimension ausgezeich-net, weil man neben der diagonalen 3. Pauli-Matrix nicht noch eine weitere Dimension – wodurch auch immer – besonders auszeich-nen wollte. Dadurch wird die Geschichte etwas unübersichtlicher. Aber beide Darstellungsmethoden erweisen sich (über ein geeignetes N, siehe Anhang „Matrizen“) als „äquivalent“ zueinander.


Für unitäre Matrizen hatten wir im Anhang „Matrizen“ gefunden, dass sie das Skalarprodukt der (komplexen) Vektorrechnung unver-ändert lassen, in ihrer physikalischen Interpretation also die Über-gangsamplituden ihrer „Zustandsvektoren“ unverändert lassen. In der Literatur läuft dies unter dem Begriff „Wahrscheinlichkeitser-haltung“. Dies entspricht in der „Neuen Physik“ dem „Reaktionska-nal“. In ihm liefern die hermiteschen Generatoren reelle Eigenwerte. Dem gegenüber steht der „dynamische Kanal“, dessen aufinte-grierte Transformationen (bei geeigneter Parameterwahl) reell-wertig bleiben, also einen reellen Zustandsvektor reell lassen – was je-doch auf Kosten der Wahrscheinlichkeitserhaltung über die Bühne geht. Fazit:

• Im Reaktionskanal bleibt die Wahrscheinlichkeit erhalten, aber Zustandsvektoren können komplex werden.

• Im dynamischen Kanal können Zustandsvektoren reell ge-halten werden; dafür wird die Wahrscheinlichkeit verletzt.

Wie man eine unitäre Gruppe recht einfach in eine pseudo-unitäre umwandelt, das hat uns Dirac gezeigt (siehe voriges Kapitel). Wegen 8 = 2**3 lässt sich eine U(8) durch 3 Kronecker-Faktoren generieren:

σµ ⊗ σν ⊗ σκ (µ,ν,κ=0,1,2,3)

→ U(8) Dirac ⎯⎯⎯ U(4,4) .

Die U(8) ist unser „Reaktionskanal“, die U(4,4) unser „dynami-scher Kanal“ – beide in 8 Dimensionen. 4-dimensionale Untergrup-pen richten wir am übersichtlichsten blockweise, als „Direkte“ Summanden, an der Diagonale aus. Als Orientierungshilfe diene dabei die Metrik diag(+1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1) der U(4,4). Die simpelste Teilung wäre die in der Mitte; sie trennt in der U(4,4) die zeit- von den raumartigen Komponenten. Als Ergebnis erhalten wir

U(4,4) ⊃ U(4) ⊕ U(4) .

Fassen wir hingegen die Komponenten 1, 2, 7, 8 zusammen, so ergibt sich

U(4,4) ⊃ U(2,2) ⊕ U(2,2) .

Gruppen A-23

Die beiden U(2,2) (unten in Lila bzw. Blau) sortieren ihre Dimen-sionen innerhalb der U(4,4) gewissermaßen gemäß einer „U((2,2),(2,2))“, also einer umsortierten U(4,4):

Beim Übergang zur Direkten Summe zweier U(4) fallen die bei-den nicht-diagonalen 4x4-Blöcke rechts oben und links unten weg, beim Übergang zu den beiden U2,2) stattdessen die 8 weißen 2x2-Blöcke. Gehen wir zur U(2,2)-Unterstruktur über, dann überlagern sich (unter Ausblendung der weißen Blöcke) also die 4 lila Blöcke mit den 4 blauen; dies ist die Situation, wie wir sie bei der 4-dimensionalen Variante der Quantengravitation vorfinden:

⊕

(Zum besseren Verständnis: Für eine lila U(n,m) entspräche dies einer blauen U(m,n).) Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie igno-riert den blauen Teil; für Dirac stellt er die Antiteilchen dar. Die Umwandlung hin und zurück von Dimensionen des einen Kanals in solche des anderen Kanals per Diracs Substitutionsansatz hatten wir besprochen. Anhand des Beispiels Kreis/Hyperbel er-kannten wir im Hauptteil („Die Physik von Handlungsabläufen“) die Notwendigkeit von Umkettungen der durch Diracs Substitutionen gewonnenen Komponenten, d.h. die Neuzusammenfassung ihrer „Punkte“ („Zustände“) zu veränderten Gesamtheiten („Darstellun-gen“): im Beispiel gehörten zu einer Hyperbel eben andere Koordi-naten als zu einem Kreis, lediglich ihre Schnittpunkte waren beiden gemeinsam. Rechentechnisch ist die Basis des einen Systems nach der des anderen zu „entwickeln“. Doch wozu haben wir Computer!


Bemerkenswerterweise läuft diese Umkettung von Zuständen des einen der beiden 4-dimensionalen Kanäle – sei es desjenigen der U(4), sei es desjenigen der U(2,2) – jeweils über alle 8 Dimensi-onen des anderen Kanals; denn auch die Zielgruppe reizt den ihr zustehenden Teil voll aus – und dieser Teil ist ein anderer als der bei der Startgruppe! (Das genaue Procedere lässt sich über die im vorigen Kapitel definierten „Auf- und Absteige-Operatoren“ der Gruppentheorie berechnen, vgl. Anhang „Casimirs“.) Den Grund für die Notwendigkeit solcher Umkettungen hatte ich im Hauptteil („Die Physik von Handlungsabläufen“) versucht, ohne großartige Anforderungen über die Schulmathematik hinaus an-hand des Beispiels Kreis/Hyperbel zu verdeutlichen: Eine U(8) be-sitzt halt andere Strukturkonstanten als eine U(4,4). Deshalb liegen beiden Kanälen unterschiedliche „Kettungen“ der linearen Zu-stands-Komponenten zugrunde. Funktionentheoretisch repräsentieren die 4 raumartigen Achsen zusammen mit den 4 zeitartigen Achsen einer U(4,4) nichts weiter als die Aufintegration einer komplexen Lie-Algebra (4 reelle plus 4 imaginäre Achsen), wie sie sich aus der reellen Lie-Algebra einer U(4) ableiten lässt.

A-25

Darstellungen

Das Charakteristikum der Gruppentheorie sind ihre „Darstellungen“. Soweit für die Grundlagenphysik von Belang, ist die einfachste „Darstellung“ einer Gruppe von Matrizen vom Prinzip her das n-fache Direkte Produkt ihrer Einzelmatrizen M mit sich selber:

D(M) ≡ M ⊗ … ⊗ M .

Anzuwenden sind sie auf ein entsprechend strukturiertes n-faches Direktes Produkt von Spaltenvektoren gleicher Dimension:

T ≡ v ⊗ v‘ ⊗ v“ ⊗ …

Das Interessante an dieser Konstruktion ist, dass diese Einzelvek-toren im Gegensatz zu den Einzelmatrizen M, sämtlich unabhängig voneinander sind! Ihr Gesamtprodukt T heißt „Tensor“. Multipliziert werden Direkte Produkte miteinander gliedweise:

(A1 ⊗ A2 ⊗ A3 ⊗ …) (B1 ⊗ B2 ⊗ B3 ⊗ …) ≡ (A1B1 ⊗ A2B2 ⊗ A3B3 ⊗ …).

Es gilt also D(A) D(B) = D(AB) ,

D(M) T ≡ Mv ⊗ Mv‘ ⊗ Mv“ ⊗ …

Eine Taylor-Entwicklung von D(M) liefert hier in 1. Näherung:

D(M) T = ((1M + 𝑖ζG + …) ⊗ (1M + 𝑖ζG + …) ⊗ …) T = (1D(M) + 𝑖ζ (G ⊗ 1M ⊗ … + 1M ⊗ G ⊗ … + … ) T

und soll = (1D(M) + iζ GD(M) + …)T sein.

Damit wird die „infinitesimale Darstellung“ von D(M) zu

GD(M) = (G ⊗ 1M ⊗ …) + (1M ⊗ G ⊗ …) + … .

D.h. bei der „Darstellung eines Generators“ ist der eigentliche Generator G der Reihe nach auf jeden Faktor des Direkten Produk-tes einzeln anzuwenden, und die Einzelergebnisse sind dann aufzu-addieren:


GD(M) T = (Gv ⊗ v‘ ⊗ v“ ⊗ …) + (v ⊗ Gv‘ ⊗ v“ ⊗ …) + (v ⊗ v‘ ⊗ Gv“ ⊗ …)

+ ⋯ .

Anwendungsbeispiel „gleiche Indizes durchzählen“: Ein diagona-ler Generator habe die Form

G ≡ a+2 a−

2 ≡ (δµ2δν2 δµν) .

Dann zählt seine Darstellung D(G) in Anwendung auf den Tensor T von oben (gemäß dem vorletzten Ausdruck) einfach dessen Indi-zes durch, die auf dem Wert 2 stehen. Es lohnt, sich dies als Übung einmal explizit selber klar zu machen! Die klassischen Quantenfeldtheoretiker, die es nicht gewohnt waren gruppentheoretisch zu arbeiten, lassen sich dahingehend auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dass sie nicht gewillt waren, Direkte Produkte stets sauber von gewöhnlichen Produkten zu un-terschieden. Entsprechend ihrer mathematischen Ausbildung nur in der Funktionentheorie missinterpretierten Physiker die Faktoren eines Direkten Produktes schlicht als gewöhnliche „Operatoren“, die sich ganz „normal“ multiplizierten. So schrieben sie obige Sum-me von Direkten Produkten fälschlicherweise einfach um in

(Gv)v’v“… + v(Gv‘)v“… + vv‘(Gv“)… + … .

Das G sei dabei jeweils immer nur auf den dazugeklammerten v-„Operator“ anzuwenden. Basta. (Einen Generator G dachte man sich – so wie auch beschrieben – als Produkt eines Erzeugungsoperators mit einem Vernichtungsoperator zusammengesetzt, das man nun aber eben-falls funktionentheoretisch als Skalar umdeutete und nicht gruppentheo-retisch als Matrix behandelte.) Im Ergebnis lief das auf eine iterative Anwendung eines Minus-Kommutators hinaus:

G(vv’v“…) = (Gv − vG) v’v“… + vG (v’v“…)

= [G,v] v’v“ + v G(v’v“…) = … = (s.o.)

Darstellungen A-27

Physiker begannen systematisch zu „vergessen“, dass Tensoren einst aus Direkten Produkten von Vektoren entstanden waren. Man traktierte ihre Komponenten nun einfach so, als handelte es sich um Skalare, die man beliebig miteinander multiplizieren könne. Als multiplikative Verknüpfung benutzte man den Kommutator. Man unterschied auch nicht mehr sauber, ob diese neuen „Operato-ren“ für die Bra- oder Ket-Seite definiert waren und mischte alles kunterbunt zu einem Brei unter dem Primat einer an den Mathe-matikern vorbei neu erfundenen und erweiterten Kommutatorlogik eigener Fasson zusammen. Dass derart kein sinnvolles Modell der Natur entstehen konnte, das wurde „man“ sich nicht bewusst. „Man“ ärgerte sich nur die Plätze, dass es hier und da immer wieder unversehens „klemmte“, weigerte sich jedoch beharrlich, dem Übel – einer inkonsistenten Ad-Hoc-„Mathematik“ – systematisch an die Wurzel zu gehen. Mit seinem Herumdoktern an oberflächlichen Symptomen verschlimm-besserte „man“ die Situation nur immer weiter. Mit einem solchen „Standardmodell“ ist wahrlich kein Staat zu machen! Schon aus dem menschlichen Beharrungsvermögen her-aus wird es einer „Neuen Physik“, die im Grunde jeder flehentlich ersehnt, schwer gemacht Boden zu gewinnen. „Wasch mir den Pelz, aber mach mich nicht nass“! Sehr schnell hatten die Strategen bemerkt, dass jene Regel mit dem Minus-Kommutator gerade der Bose-Einstein-Statistik ent-sprach, die aber nur auf „Teilchen“ v, v‘, v“, … mit ganzzahligem Spin anwendbar sei. Für „Teilchen“ mit halbzahligem Spin sei die Fermi-Dirac-Statistik mit ihrem Plus-Kommutator anzuwenden, damit das Pauli-Prinzip erhalten bliebe – hieß es. Und schon halsten sie sich unnötigerweise ein Problem nach dem anderen auf, begin-nend gleich mit der gekünstelten Vorzeichenfrage des (gar nicht benötigten) Kommutators – einer Problematik, die original grup-pentheoretisch überhaupt nicht existiert.


Zügig häuften sich derartige Scheinprobleme. Immer neue Ad-Hoc-Schnellschüsse ohne schlüssige Begründung führten zu einem „Standardmodell“ voller Inkonsistenzen und Problemstellungen an der Physik vorbei, die sich schließlich zu einem kaum noch entwirr-baren Gordischen Knoten verselbständigten.

Doch zurück zu einer mathematisch konsistenten Beschrei-bungsweise der Natur, wie sie die Quantengravitation darbietet. Obige Diskussion verweist auf die Bezeichnung eines Vektors und, in seiner Erweiterung, auch eines Tensors als „Zustandsbeschrei-bung“ eines Systems. Von Bedeutung halte ich hier ferner weitere Ausführungen zu den topologisch mehrfach zusammenhängenden Darstellungen. Nehmen wir die SO(3) als Beispiel. Ihre Überlagerungsgruppe ist die SU(2). Die Vektoren, auf die eine Überlagerungsgruppe anzuwen-den ist, nennt man in der Physik oft „Spinoren“. Den Begriff „Vek-tor“ behält man sich dort dann für die „2-stufige“ Darstellung vor:

Spinor: ψ = ab , Vektor: v = a

b ⊗ cd .

(Die höheren Stufen werden unspezifisch, summarisch als “Tensoren”, „Spinoren“ oder „Vektoren“ bezeichnet.) Solch ein Vektor lässt sich formal auch umschreiben in

v = a c

d

b cd

=

acadbcbd

.

Durch eine Umsortierung der 4 Komponenten („Ausreduktion“ in eine „Direkte Summe“, dargestellt durch ein umkringeltes „+“, sie-he nächstes Kapitel) lässt sich v auch umformen in

w ≡

12(ad − bc)

ac12(ad + bc)

bd

≡ w0w ≡ w0⊕ w .

(Das „Direkt plus“ zerlegt die Vektordimension additiv, ein „Direkt mal“ multiplikativ.)

Darstellungen A-29

Bezüglich einer 3-dimensionalen Unter-Drehgruppe stellt die 0-Komponente nun ein pseudo-skalares „Singlett“ dar, das diesen 3-dimensionalen Drehungen gegenüber invariant bleibt. Die 3 ande-ren Komponenten bilden dagegen als „Triplett“ einen 3-dimensio-nalen Vektor, der sich 3-dimensionalen Drehungen gegenüber ent-sprechend verhält. Als 4-Vektor einer 4-dimensionalen Drehgruppe zerlegt sich w bezüglich einer 3-dimensionalen Unter-Drehgruppe also nicht einheitlich sondern in eine Kombination aus einem Sing-lett und einem Triplett. Auf die beiden SU(2)-Spinoren wirken die SU(2)-Matrizen selber ein. Sie lassen sich nach den Pauli-Matrizen entwickeln. Bei Anwen-dung auf den SO(4)-Vektor dagegen gehen diese Pauli-Matrizen (als Voll-Matrizen, nicht als Generatoren!) über in

D(σµ) ≡ σµ ⊗ σµ .

Da hier auch die 2. Pauli-Matrix doppelt auftritt, multiplizieren sich ihre imaginären Faktoren formal zu einer reellen –1. (Bei einem Direkten Produkt dürfen reine Zahlenfaktoren aus den Direkt-Faktoren herausgezogen werden – es sei denn, sie werden zur Definition einer Lie-Algebra benötigt.) Die 3-dimensionalen Generatoren der Drehgruppe SO(3) sind in der Form, wie sie auf den w-Vektor einwirken, dem-nach – anders als bei der 2-dimensionalen SU(2) – sämtlich reell-wertig! Entsprechend lässt sich an diesem Beispiel sehr schön ablesen, wie sich der topologisch 2-fache Zusammenhang einer SO(3) auto-matisch ergibt: „1-fach zusammenhängend“ liefern in der SU(2) die Matrizen +M und −M zwei unterschiedliche Transformationen, „2-fach zusammenhängend“ aber liefert in der SO(3) ein Wechsel im Vorzeichen das gleiche Resultat:

D(+M) ≡ (+M) ⊗ (+M) , D(−M) ≡ (−M) ⊗ (−M) .

Mit seinem Quarkmodell stellte Gell-Mann nun verblüfft fest, dass er es mit einer topologisch 3-fach zusammenhängenden Struk-tur zu tun hatte, Stichwort „Quark Confinement“.


Er selbst war sich dessen allerdings nicht bewusst. Er stellte le-diglich fest, dass in der Natur immer nur 3 gleich- oder 2 entgegen-gesetzt-variante Quarks zusammenzufinden schienen und dass sich diese nicht auseinanderreißen ließen. Dass es sich bei diesem „Quark Confinement“ tatsächlich lediglich um eine topologische Dreifachstruktur handelte, hat sich bei dem Gros der Theoretiker allerdings bis heute noch nicht herumgesprochen. Nehmen wir zwei Spinoren der Dimension 3 – den einen kontra-, den anderen kovariant – so ist, ganz hausbacken, eine Dreifach-struktur das Ergebnis der „Ausreduktion“ (siehe nächstes Kapitel) ihres Produktes G in ein irreduzibles Oktett plus Singlett: 3x3 = 9 = 8 + 1 , in Matrixschreibweise:

G ≡ (Gab) = (Ga

b – 13 δa

b(Σc Gcc)) + 1

3 δab(Σc Gc

c) .

Mit der Absonderung des „Spur-Singletts“ (a=b summiert) wird das verbleibende Oktett G–(1/3)1 „spurlos“ (deshalb gerade der Faktor 1/3; beim nur 2-dimensionalen Spin lautet der entsprechende Faktor 1/2: der liefert die halbzahligen Spinwerte). Diese Dreifachstruktur begegnet uns in Reinkultur bei den „in-ternen“ Kräften der Natur (der Anhang „Die ‚internen‘ Strukturen“ wird uns noch Ergänzungen liefern). Nummerieren wir die 3 Indizes r,l,t jener „internen“ Kräfte von 1 bis 3 durch, so ergibt die Anwendung der Generatoren G auf sie:

rlt ≡ z ≡

z1z2z3

≡ (zb) ,

Gz ≡ ∑ Ga

b − 𝟏𝟑

δab ∑ Gc

c𝟏,𝟐,𝟑c zb

+ 13

δab∑ Gc

c𝟏,𝟐,𝟑c zb

1,2,3b .

Oben die Oktett-Komponente (rot), unten die des Singletts (blau). Nun zeichnen sich innerhalb der GUT die Generatoren G, die zu den „internen“ Kräften führen, gerade als diejenigen Komponenten aus, für die a=b gilt (Kombinationen der Pauli-Matrizen 0 und 3). Die nicht-diagonalen G (Pauli-Matrizen 1 und 2) verwandeln den einen Krafttyp in einen anderen („Vereinheitlichung“ aller Kräfte der Natur).

Darstellungen A-31

Bei den „internen“ Kräften (das sind die aus dem Oktett) ist von ihren ganzzahligen Ladungswerten also jeweils 1/3 abzuziehen, bei ihren halben Ladungswerten (bedingt durch die 2 Werte des Spins) also 1/6. Dies liefert die gedrittelten Ladungswerte des Quarkmo-dells. Für den mathematisch ungeschulten Laien bereitet schon die Vorstellung einer vierten Dimension über unsere drei räumlichen hinaus Schwierigkeiten. Man behilft sich dann mit ihrer Schreibwei-se als Vektorkomponente. Diese Problematik der Anschaulichkeit potenzieren sich noch im folgenden Beispiel, wo sich zwei unterschiedliche Arten von Struk-turen überlagern: Zum einen haben wir die Variation über die 4 Pauli-Matrizen Nummer 0 bis 3 bei festgehaltener Position b, zum anderen ist da die festgehaltene Pauli-Matrix bei variierender Posi-tion b:

σz𝟏⊗ σz𝟐 ⊗ σz𝟑 , zb ∈ 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 ,b ∈ 𝟏, 𝟐, 𝟑 . .

Bei festgehaltenen b‘s repräsentiert die Variation der z’s in die-sem Kronecker-Produkt gerade die 8x8=64 „internen“ Generatoren der GUT, also unsere „interne“ U(8). Variieren wir stattdessen die Positionen b bei festgehaltenen z‘s, so bedeutet dies die Anwen-dung einer U(3) auf den 3-dimensionalen Vektor:

z ≡ z1z2z3

.

Seine 3x3 = 9 Genearatoren G (s.o.) reduzieren sich dann, wie soeben besprochen, gemäß 9=8+1 zu einem Oktett + Singlett aus. In der GUT-Darstellung des 3-fachen Pauli-Produktes ist dieses Sing-lett dann nichts weiter als die 3-fach zusammenhängende Form

Dσµ ≡ σµ ⊗ σµ ⊗ σµ mit µ = 0 .

Das „Quark Confinement“ mit seinen gedrittelten Quantenzah-len (als Funktionen der 3 Komponenten des z-Vektors) ist damit lediglich eine simple Folgeerscheinung.


Symmetrien

Die „Gruppentheorie“ wäre nicht derart verrufen (Schrödinger: „Gruppenpest“), wenn ihre Arbeitsmethoden ebenso seit Jahrhun-derten auf dem Lehrplan der Schulen, oder wenigstens der Univer-sitäten, gestanden hätten, wie es bei denen der Infinitesimalen Me-thoden der Funktionentheorie der Fall ist. Dies nährt aus der Luft gegriffene Vorurteile und Gerüchte, die Unbedarfte immer wieder und wieder genüsslich als Vorwand zelebrieren, um sich nicht mit ihnen ernsthaft auseinandersetzen zu müssen.

Einen „Tensor“ hatten wir als Direktes Produkt von (gleichvarian-ten) Vektoren definiert. Genauer – müssen wir ergänzen – handelt es sich um Überlagerungen derartiger Direkter Produkte:

Τabc⋯ ≡ ∑ v(λ)a ⊗ w(λ)

b ⊗ x(λ)cλ ⊗ … .

Solche Überlagerungen sind i.A. nicht mehr in ein einfaches Di-rektes Produkt umschreibbar. Setzen wir auf solch einen Tensor physikalisch einen Generator an, so bedeutet dies mathematisch eine Permutation (der Indizes). Auf der Ebene (nicht aufintegrierter) Generatoren ist Tensor-Mathematik demnach nichts Anderes als die Mathematik einer Permutationsgruppe. Nun zeigen die Mathematiker, dass sich jede beliebige Permutation aus der „Multiplikation“ einzelner Paar-Transpositionen (hin und zurück) erreichen lässt. Suchen wir uns irgendein solches Indexpaar heraus und ignorie-ren die anderen Indizes, dann lauten die beiden Standard-Zweier-Permutationen, aus denen sich alles andere kombinieren lässt:

Sa,b ≡ 12

(Tab + Tba) = +Sb,a ,

A[a,b] ≡ 12

(Tab − Tba) = −A[a,b] .

Der Tensor S mit den geschweiften Klammern gehört zu der Klas-se symmetrischer Tensoren, der Tensor A mit den eckigen Klam-mern zur Klasse der antisymmetrischen. Welche Art Symmetrie aber besitzt ein Tensor mit 3 oder noch mehr Indizes?

Symmetrien A-33

Dieses Problem fand im Jahre 1900 seine Beantwortung durch den Mathematiker Young: Jeder beliebige Tensor lässt sich durch die iterative Anwendung von Paar-Symmetrien S und A obiger Art aus seiner Grundform heraus konstruieren. Seine Erfindung waren die „Youngschen Rahmen“ – ein Schema rechteckiger, zusammen-hängender Kästchen, die linksbündig lückenlos an einer vertikalen Linie (Art „Fahnenstange“) ausgerichtet sind und deren Zeilenlängen von oben nach unten jeweils „nicht zunehmen“ dürfen. Leerzeilen (ganz unten) sind zulässig. Für ein Beispiel mit 3 Kästchen ergeben sich folgende Alternati-ven:

, , .

Durch Einfüllen von Tensor-Indizes geht dieses Schema über in ein „Youngsches Tableau“. Die Anzahl Kästchen wird also durch die Anzahl Indizes eines Tensors bestimmt:

a b c a b a , c , b . c

Die Indizes sind nach Young in dieser Kästchenform an ihren Tensor anzuhängen. (Die Kästchenumrandungen werden dann übli-cherweise weggelassen.) Youngs Aussage lautet nun: Solch ein festes Indexmuster bezeichnet die Symmetrieart eines Tensors jeweils eindeutig. Als Gebrauchsanweisung gibt er mit: Erst einmal sind in sämtlichen Zeilen (unabhängig voneinander) alle ihre Indizes zu symmetrisieren, anschließend sind alle Indizes in den Spalten des Ausgangsmusters (unabhängig voneinander) zu antisymmetrisieren. Beispiel für die „gemischte Symmetrie“ in der Mitte:

Tabc

→ Tabc

+Tbac

→

Tabc

− Tcba

+ Tbac

− Tbca

.


(Man beachte die Indexfolge des letzten Terms rechts! Normie-rungsfaktoren sind weggelassen.) Nach Young lässt sich jeder Tensor eindeutig in eine „Direkte Summe“ dieser Symmetrietypen entwickeln. Für seine (quadratische) Transformationsmatrix R bedeutet dies ihre Zerlegung in eine „Di-rekte Summe“ (quadratischer) Untermatrizen U und V auf ihrer Dia-gonale, die nicht notwendigerweise gleich-dimensional zu sein brauchen,

R ≡ U 00 V ≡ U ⊕ V .

(Die beiden Nullen in R sind ihrerseits wieder „Null-Matrizen“, die also ihrerseits nur aus Matrixelementen =0 bestehen.) Bei einer „Darstellung“ D(M) lautet der Terminus technicus für die Zerlegung von D(M) in eine Direkte Summe von Unterdarstel-lungen D‘(M) und D“(M) derselben Gruppe ihre „Ausreduktion“. Lassen sich diese Unterdarstellungen D‘ und/oder D“ ihrerseits nicht noch weiter entsprechend zerlegen („ausreduzieren“), dann heißen sie „irreduzibel“. Dieser etwas spröde Begriff ist einer der wichtigsten in der gesamten Gruppentheorie! (Nebenbemerkung zum Verständnis bzw. zur weiteren Verwirrung: Eine Matrix D(M) „lässt“ sich zerlegen, wenn sich eine lineare Transformation der Basisvekto-ren (entsprechend einer Äquivalenztransformation ihrer Matrizen) mit Elementen aus der Gruppe derart finden lässt, dass D(M) für alle M aus der Gruppe diese selbe blockweise Diagonalgestalt annimmt.) Nach dem „Spin-Additions-Theorem“ zerfällt das Direkte Pro-dukt zweier SU(2)-Tensoren vom Spin=a bzw. b in eine Kette von Spinwerten

a ⊗ b = (a+b) ⊕ (a+b–1) ⊕ (a+b–2) ⊕ … ⊕ |a–b|.

Der fummelige Formalismus einer Ausreduktion (Beispiel: Spin-Additions-Theorem mit seinen „Clebsch-Gordon-Koeffizienten“) war in der Vergangenheit ein weiterer Grund dafür gewesen, warum sich viele der Physiker, die sich in das Gebiet der Gruppentheorie hatten einarbeiten wollen, von diesem Vorhaben verzweifelt wieder ab-gewandt haben. Aktenkundig für so manch einen resignierten “Shit Storm“ zu dieser Thematik sind die sarkastischen Aussprüche Schrödingers und Paulis geworden („Gruppenpest“).

Symmetrien A-35

Dabei lässt sich all diese, zugegeben, etwas umständliche Arbeit heutzutage so einfach auf den Computer abwälzen! Entsprechend parametrisierte Standardprogramme sollten die Mathematiker den Physikern zur Verfügung stellen. Bisher muss man sich dazu müh-sam durch entsprechende Tabellenwerke durchquälen. So aber, ohne solche PC-Apps, „existierten“ für gelernte Funkti-onentheoretiker weiterhin nur totale Symmetrie (Bose-Einstein-Statistik) und totale Antisymmetrie (Fermi-Dirac-Statistik). „Irredu-zibilität“ galt weiterhin als Fremdwort, und gemischte Symmetrien, wie sie noch Gell-Mann zur Darstellung des Dreierpacks von Quarks innerhalb eines Nukleons benötigte, waren damit erst einmal „out“. Doch – Ironie der Geschichte – so ganz kam man um letztere doch nicht herum, experimentelle Fakten waren stärker. So erfand das Standardmodell nachträglich extra eine zusätzliche Quanten-zahl „Colour“, die 3 verschiedene Werte („rot, grün, blau“) anneh-men sollte, um für die erwünschte Fermi-Dirac-Statistik dieser 3 Quarks insgesamt künstlich wieder Antisymmetrie zu ermöglichen. (Mathematische Anmerkung dazu: Eine 3n-dimensionale Antisymmetrie lässt sich nämlich aufspalten in eine Summe Direkter Produkte, unter denen auch ein Summand „gemischte Symmetrie n-dimensional“ „direkt mal“ „Antisymmetrie 3-dimensional (= Colour)“ vorkommt: Eine U(3n) enthält als Untergruppe eine U(n) „direkt mal“ einer SU(3), nach der die 3n-Vektoren ausreduziert werden können.) Experimentell existiert für die Einführung jener Quantenzahl „Co-lour“ jedoch keinerlei zwingende Notwendigkeit! Wir werden noch zeigen, dass es für sämtliche Folgen, für die diese „Colour“ angeb-lich benötigt wird, wesentlich plausiblere Alternativkonstruktionen gibt, die das Experiment genauso reproduzieren – oder gar besser!

Eine Nebenbedingung existiert da noch: Die Anzahl der Zeilen in solch einem Young-Rahmen ist durch die Anzahl der Dimensionen des Basisvektors beschränkt. Zu einer Gruppe U(n) gehören so nur Rahmen mit maximal n Zeilen. Nun entspricht aber eine volle Spalte aus n Indizes (die also total antisymmetrisch ist) gerade einer Singlett-Darstellung der Gruppe. Eine solche lässt sich stets als Faktor abspalten. Sie ist proportional zum (n-dimensionalen) Epsilon-Tensor, der beim Vertauschen zweier benachbarter Indizes jeweils in seinen negativen Wert übergeht:


εa1⋯amam+1⋯an = − εa1⋯am+1am⋯an ,

und ε1,2,3,⋯,n = +1 .

Nach dieser Abspaltung aller vollen Spalten als Singletts bleibt ein Youngscher Rahmen mit höchstens n-1 Zeilen übrig. Zu einem Tensor-Singlett gehört als Generator die Eins-Matrix. Nun zeichnen sich die „Speziellen“ Gruppen aber den „normalen“ gegenüber ge-rade dadurch aus, dass in ihnen diese 1, die einfach nur die Tensor-indizes insgesamt durchzählt, unter den Generatoren fehlt. Damit werden Tensoren, die sich nur in der Anzahl voller Spalten voneinander unterscheiden, gleichwertig: Für den Tensor einer „Speziellen“ Gruppe lassen sich ohne Beschränkung der Allgemein-heit volle Spalten ersatzlos streichen! Der Tensor einer Speziellen Gruppe in n Dimensionen wird also bereits durch Young-Rahmen mit nur n-1 Zeilen eindeutig charakterisiert (n-te Zeilenlänge =0). Soweit die Mathematik. Physikalisch betrachtet steht jedoch jeder Index, d.h. jedes Kästchen, für ein „Quant“. Ein mathemati-scher Tensor aus n Indizes steht für eine entsprechende Überlage-rung von Systemen aus n Quanten. Das Streichen voller Spalten aus einem Young-Tableau streicht physikalisch also ganze Systeme von Quanten, die sich nur zufällig gerade zu einem Singlett zusammen-gefunden haben. Das verstößt gegen das physikalische Grundgesetz „Aus nichts kommt nichts, nichts geht verloren“. „Spezielle“ Grup-pen sind demnach unphysikalisch; sie sind grundsätzlich zu vollen Gruppen zu ergänzen, Singletts sind in der Physik voll zu berücksich-tigen! Die gängigen Quantenfeldtheorien arbeiten, sofern sie Gruppen absolut nicht vermeiden können (wie beim Spin oder bei der Quan-tenzahl „Colour“), möglichst exklusiv mit „einfachen Gruppen“. Dies sind i.W. die S-Gruppen. Quantenfeldtheorien vernichten also un-entwegt „Stoff“ aus unserem Universum. Bei anderer Gelegenheit („Vakuumpolarisation“ z.B.) zaubern sie derartigen „Stoff“ (durch die formale Umkehrung obiger Streicharien) wieder unkorreliert aus dem Hut hervor. So werden physikalische Systeme schlicht gleich gesetzt, die sich in ihrem Aufbau unterscheiden. Kein Wunder, dass es beim „Standard“-Modell vorn und hinten „knirscht“.

Symmetrien A-37

Betrachten wir jenes Streichen kompletter Spalten noch einmal anhand eines Beispiels systematisch:

→

→

→

.

Die gelben Kästchen seien die „echten“, die wirklich mit Indizes besetzten Kästchen. Die fetten Rahmen dagegen verfolgen den ak-tiven Teil der S-Gruppen, wie er im 2. Schema von links dargestellt ist (unterste Zeilenlänge =0). Doch was passiert bei einer „normalen“ Gruppe, wenn man mehr volle Spalten (per Zusammenziehung mit dem kontravarianten Epsilon-Tensor) „streicht“, als dort vorhanden sind? Betrachten wir das Kästchenmuster

⊗

→ ,

entsprechend

∑ εa1⋯ ana1⋯ an-1Ta1⋯ an-1

= Ta1 ,

Antwort: Dann erhalten wir als Resultat der Ausreduktion (auch) kontravariante Indizes, dargestellt durch Kästchen links von der „Fahnenstange“. (Kästchenpaare links und rechts von der Stange „fres-sen“ sich gewissermaßen zum Teil gegenseitig weg.) Analog wird ein kontravariantes Quant mit einem kovarianten Quant zu einem „nxn minus 1“-Plett Direkt-plus einem Singlett aus-reduziert:

ta ⊗ tb = ta ⊗ tb − 1n

δab ∑ tc ⊗ tcc ⊕ 1

n∑ tc ⊗ tcc .


Auf diese Art lassen sich auch gemischt-variante Tensoren in das Irreduzibilitätskonzept mit einbeziehen. Als Bedingung zur Irreduzi-bilität tritt dann hinzu, dass sämtliche Paarspuren ko-/kontravariant in ihm verschwinden müssen, die sich bilden lassen. Wie volle Spalten so lassen sich auch volle Spuren als Singletts aus den Young-Tableaux multiplikativ abspalten. Physikalisch han-delt es sich bei den Spuren um Bestandteile der „Dunklen Materie“, vgl. dort. Auch tragen sie zu den Nicht-Valenzteilen von Teilchen bei. Quantenfeldtheorien ignorieren all dies genauso, wie sie nichts von der Allgemeinen Relativitätstheorie wissen wollen, die z.B., zusam-men mit Van-der-Waals-Kräften, die einzelnen Quantenpaare des Nicht-Valenzteiles eines Teilchens zusammenhält.

Ein Wort noch zu den „Auf- und Absteige-Operatoren“. Die im Anhang „Matrizen“ definierten nicht-diagonalen Transpositionen in nur eine Richtung tragen, wie schon erwähnt, besondere Namen:

Aufsteige-Operator: Aµν für µ > ν ,

Absteige -Operator: Aµν für µ < ν .

Sie werden benutzt, um innerhalb einer irreduziblen Darstellung von einer Komponente zur Nachbarkomponente („Sprungweite“ =1) zu gelangen. Je nachdem ob nun z.B. von einer Tensor-Komponente von einem Index =1 in Richtung auf etwa 2 oder 4 gewandert wer-den soll, bedeutet das – wieder ein Beispiel – beim Dirac-Spinor die Wanderung

von a+1 zu +a+

2 oder zu +a+4 ≡ −i b−

2 .

„Sprungweite“ =3 heißt 3-mal anwenden; dann werden also 3 Indizes im Tensor zugleich abgeändert. Sind nicht (mehr) genügend Indizes der geforderten Art im Tensor vorhanden, dann „bricht der Auf- oder Absteige-Operator ab“, der Maximal- bzw. Minimalwert der betreffenden Quantenzahl wurde erreicht.

A-39

Casimirs

Im Kapitel „Erzeuger und Vernichter“ hatten wir die einfachen Transpositionen (nur in eine Richtung) durch Matrizen A dargestellt, die einen Erzeuger (Index links unten) mit einem Vernichter (Index rechts oben) multiplizierten. Die (Minus-)Kommutatoren dieser A untereinander gehorchen trivialerweise dem Gesetz

[Aab,Ac

d] = δbcAa

d − δdaAc

b .

Daraus lassen sich auch für die Lorentz-Generatoren L und M (mit den unteren Indizes 1,2,3) vom Ende desselben Kapitels sofort die Kommutatoren der SU(2,2) zusammenstellen (G = L, M, P‘, Q‘):

[Li , Gj ] = −iεijk Gk , [Mi,Mj] = +iεijk Lk ,

[Mi, P’j] = −iδij P’0 , [Mi, P’0] = +iδij P’i , [Mi,Q’j] = +iδij Q’0 , [Mi,Q’0] = −iδij Q’i ,

[M0, Lj] = 0 = [M0,Mj].

Analog finden wir für die restlichen Kommutatoren einer SU(2,2):

[P‘µ, P‘ν] = +i(εµνλ Lµ + δµ0 Mν − δ0ν Mµ) , [Q‘µ,Q‘ν] = −i(εµνλ Lµ + δµ0 Mν − δ0ν Mµ) ,

[P‘µ, Q‘ν] = +i ( − 1)δµ0 δµν M0 , [M0, P‘µ] = +i Q‘µ , [M0,Q‘µ] = +i P‘µ .

Die Null-Komponente von L ist der so genannte „Casimir-Operator erster Ordnung“ der U(2,2). Die Casimir-Operatoren einer Gruppe kommutieren mit allen ihrer Generatoren, sind für eine irreduzible Darstellung also äquivalent zu einer Konstanten. Für eine U(n) oder U(m,n-m) existieren genau n voneinander unabhän-gige Casimir-Operatoren, nämlich die der Ordnungen 1 bis n. Ein Casimir m-ter Ordnung ist ein homogenes Polynom m-ten Grades in den Generatoren. Am einfachsten lässt er sich mit Hilfe der Transpositionen A von oben definieren:


Casimir-Operator: AabAb

c … AyzAz

a (m Faktoren) .

(Über alle gleichen Indizes ist paarweise zu summieren.) Der Casimir erster Ordnung zählt als Teilchenzahl-Operator nun nicht etwa komplette Elementarteilchen eines Systems durch, sondern er ad-diert deren einzelne „Quanten“ (die mit negativer Teilchenzahl nega-tiv). In den „Speziellen“ Gruppen S… fehlt er. Alle höheren Casimirs einer U(…) lassen sich (bis auf absonderbare Terme ihres 1. Casimirs) in Übereinstimmung mit denen ihrer SU(…) darstellen. Der Casimir 2-ter Ordnung der SU(2,2) ist derjenige, der Einsteins gekrümmte Raum-Zeit darstellt. Denn als nicht-linearer Ausdruck liefert er, konstant gesetzt, eine krumme „Hyper“-Fläche im Para-meterraum, zu dem auch Einsteins Raum-Zeit gehört. Speziell für die SU(2,2) lässt er sich schneller über die „lokal isomorphe“ SO(2,4) berechnen. Dort stellt er das pythagoräische Quadrat ihrer 15 Ge-neratoren dar, in dem die sog. „nicht-kompakten“ Terme ihre Vor-zeichen umdrehen. Bis auf Normierungen lautet er demnach

CSU(2,2)(2) ≡ P'0

2 − P' 2 − M02

− Q'02 − Q' 2 + L 2 − M 2 ,

CU(2,2)(2) ≡ L𝟎

𝟐 + CSU(2,2)(2) .

Die hinterste Klammer (die mit den L und M) ist proportional zum Casimir der SL(2,c), also der Lorentz-Gruppe SO(1,3) der Speziellen Relativitätstheorie. Der linke Teil dagegen (erste Zeile) stellt (für Casimir =0) die Klein-Gordon-Gleichung der Teilchenphysik dar.

Nun zu den höheren Casimirs einer SU(2,2). Ähnlich wie einst in der Literatur bei den 5-dimensionalen deSitter-Gruppen gehand-habt, wollen wir hier auch für die 6-dimensionale Konforme Gruppe SO(2,4) – nach einer Transskription aus der SU(2,2) gemäß den Ta-bellen im Kapitel „Gruppen“ – einen Hilfstensor w einführen:

wfe ≡ εfedcbaLdcLba

1,…,6

a,b,c,d .

Aus ihm erhalten wir 2 konforme Invarianten, die Casimir-Opera-toren 3-ter und 4-ter Ordnung:

Casimirs A-41

CSU(2,2)(3) ∝ Lfewfe

1,…,6

e,f

, CSU(2,2)(4) ∝ wfewfe

1,…,6

e,f

.

Einsetzen des w von oben liefert für den Casimir 3-ter Ordnung der SU(2,2):

CSU(2,2)(3) ∝ L ∙ Q' P'𝟎 − L ∙ P' Q'𝟎 + L ∙ M M𝟎

− P' × Q' ∙ M .

Entsprechend lautet der Casimir 4-ter Ordnung der SU(2,2):

CSU(2,2)(4)

∝ Q' P'0 − Q'0P' + M M02

− Q' × P' + L M02

− L P'0 − M × P' 2

+ L ∙ P' 2

− L Q'0 − M × Q' 2

+ L ∙ Q' 2

− L ∙ M 2

.

Durch Einbeziehung der Maßeinheiten der Quantengravitation aus dem nächsten Kapitel erhält der 3. Casimir dadurch nur einen gemeinsamen Faktor über alles; aber der 4. Casimir geht über in

CSU(2,2)(4)

∝ Q' P'𝟎 − Q'𝟎P' + M M𝟎𝟐

− Q' × P' + L M𝟎𝟐

−( q)𝟐 L P'𝟎 − M × P' 𝟐

+ L ∙ P' 𝟐

− 𝟏

𝟐 L Q'𝟎 − M × Q'

𝟐+ L ∙ Q'

𝟐− L ∙ M

𝟐 .

Nun gilt M0M0

−1, P'µ−

M0 = P'µ, M0−

= −𝑖Q'µ .

Dies liefert eine Reihenentwicklung

Qµ = 12Xµ,D

++ 1

8q2Xµ, D−1+

+ ⋯ .

Mit ihr verifizieren wir die Aussagen aus dem Hauptkapitel „Spin und Drehimpuls“.


Gruppenkontraktion Physikalisch werden wir kaum mit den „nackten“ Gruppengenera-toren der vorangehenden Kapitel arbeiten; physikalisch werden wir irgendwelche „Maßeinheiten“ einführen. Die historischen Einhei-ten „Plancksches Wirkungsquantum“ und „Lichtgeschwindigkeit“ für die Lorentz-Dimensionen 1,2,3,5 unserer SO(2,4) hatten wir be-reits im Hauptteil besprochen (Kapitel „Wieso die Zeit nicht linear sein darf“):

ħ = 1 = c .

Die noch ausstehenden beiden Maßeinheiten der Dimensionen 4 und 6 seien

Pµ ≡ ħ P‘µ

Qµ ≡ q Q‘µ

D ≡ q M0

(„D“ steht historisch, für „Dilatation“. Ihre Maßeinheit ist redundant.) Gehen wir von der SO(2,4) zur entsprechenden SO(6) des Reak-tionskanals über, so bedeuten diese Parameter physikalisch die Einführung von Krümmungsradien ungleich 1. Die Drehungen einer 6-dimensionalen Kugel gehen in die eines 6-dimensionalen Ellip-soids unterschiedlich langer Halbachsen über. Mit den verbliebenen Parametern schreiben sich die Kommuta-toren der SU(2,2) aus dem vorigen Kapitel folgendermaßen um:

[Pµ , Pν] = + 𝒊 𝟐

(εµνλ Lµ + δµ0 Mν − δ0ν Mµ) , [Qµ,Qν] = −i( q)𝟐 (εµνλ Lµ + δµ0 Mν − δ0ν Mµ) ,

[P‘µ, Q‘ν] = +i ( − 𝟏)δµ𝟎 δµν M0 , [D, Pµ] = + 𝒊

𝟐 Qµ ,

[D, Qµ] = + i( q)𝟐 Pµ .

Die klassischen Resultate produzieren ihre Grenzwerte

Gruppenkontraktion A-43

[Pµ , Pν] → ∞ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 ,

[Qµ , Qν] q → 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 ,

[D , Pµ] → ∞ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 ,

[D , Qµ] q → 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 .

Solcherlei Arten des Überganges (per Limes-Bildung in den Struktur-konstanten) von einer Gruppe in eine andere läuft in der Gruppen-theorie unter dem Schlagwort „Gruppenkontraktion“. Durch sie entkoppeln sich die P’s und Q’s von den L’s und M’s der Lorentz-Gruppe insofern, als sie auf die Lorentz-Gruppe keinen Einfluss mehr nehmen: Die Lorentz-Gruppe wird autark. Umgekehrt wirkt die Lorentz-Gruppe aber sehr wohl noch immer auf die P’s und Q’s ein: diese werden zu Lorentz-Vektoren. Die Kon-traktion der Dimension 4 liefert uns also eine inhomogene ISO(2,3), die bei weiter kontrahierter Dimension 6 in eine „Poincaré-Gruppe“ ISO(1,3) mit dem 4-Impuls P als Inhomogenität übergeht; und die Kontraktion der Dimension 6 liefert uns analog eine inhomogene ISO(1,4), die bei Kontraktion der Dimension 4 in eine Poincaré-Gruppe mit der CMS-Raumzeit Q als Inhomogenität übergeht. Beide zugehörigen, intermediären homogenen Gruppen SO(1,4) und SO(2,3) wurden bereits ab 1917 zum Betätigungsfeld von deSit-ter. Fatalerweise versuchte er jedoch, beiden resultierenden Poin-caré-Gruppen den 4-Impuls als Inhomogenität zuzuordnen – was natürlich ins Auge ging. Auf die Idee, es auch einmal mit der CMS-Raumzeit zu probieren, kam er nicht. So verlief sein durchaus Erfolg versprechender Ansatz im Sande – sonst hätten wir vielleicht schon vor 100 Jahren die Quantengravitation bekommen. Schade!

Das Geschick der „Neuen Physik“ ist es, die Zielgruppen solcher Kontraktionen sehr wohl als Annäherungen an experimentelle Fak-ten im Auge zu behalten, ohne diese Kontraktionen jedoch wirklich durchzuziehen! (Näherungsweise Arbeit gemäß dem „Gesetz der großen Zahl“.)


Die Besonderheit bei der U(2,2) ist, dass wir es bei ihr mit 2 von-einander unabhängige Kontraktionen simultan zu tun haben (Di-mensionen 4 und 6). Obige Limites zur klassischen Physik hin liefern uns also 2 Ungleichungen:

1/| | << 1 , | q| << 1 entsprechend

|q| << 1/| | << 1 .

Nun ist der mittlere der 5 Kommutatortypen von ganz oben (der der P‘s mit den Q’s) – der einzige ohne offene Kontraktionsparameter – von den beiden Grenzübergängen gegen null bzw. unendlich nicht betroffen. Damit steht er gewissermaßen auf halbem Wege zwi-schen der Lorentz-Gruppe und einer der beiden 5-dimensionalen „deSitter-Gruppen“. In diesem Bereich sind die Quantentheorien und mit ihnen auch die Quantenfeldtheorien sowie ebenso die „Loop Quantum Gravity“ auf der Strecke geblieben. Genau dieser Kommutator zwischen den P‘s und den Q’s bildet nämlich die Grundlage für sämtliche klassischen Quantentheorien der Vergangenheit. Deren Ausgangspunkt war das uralte „Variati-onsprinzip“ der Punktmechanik von anno dunnemals gewesen. Ge-nauer gesagt, hatte man dort den „Dilatationsoperator D“ noch als vermeintliche Konstante (!) auf die andere Seite hinüberdividiert und dann mit dem „Q“ zur Raumzeit „X“ zusammengefasst. Was aber lag für einen tüchtigen Funktionentheoretiker näher, als zwei Operatoren, deren Kommutator gerade proportional zum 1-Operator war, als kontinuierliche Variable x nebst ihrer Ableitung zu vermarkten?

Bisherige Quantentheorien: Xµ → xµ , Pµ → ±iħ 𝝏𝝏xµ

.

Diese Primitivmethode einer „kanonischen Quantisierung“ ge-mäß dem Formalismus der Variationsrechnung kennt in ihren Kommutatoren lediglich Kroneckers Deltasymbole, nicht aber die Epsilon-Tensoren. Klar, dass man ohne diese (wie schon ausgeführt) nicht die Raum-Zeit selber quantisieren kann – erst die bewirken ja Einsteins Raumzeit-Krümmung in der Quantengravitation!


Selbst der oft zitierten „Loop Quantum Gravity“ gelang es nicht, über diese rein klassische Sackgasse hinauszutreten. Unsere ande-ren Kommutatoren von oben – und damit die eigentliche Quanten-gravitation, von der Grand Unification ganz zu schweigen – mussten für jene Leute folgerichtig „Böhmische Dörfer“ bleiben!

Eben dieser Kommutator wurde zum Ausgangspunkt für „Hei-senbergs Unschärferelation“:

∆pµ ∙ ∆xν ≥ δµν ħ .

∆p und ∆x sind hier die Erwartungswerte der Abweichungen ihrer Mittelwerte für irgendeinen auf 1 normierten Zustand Ψ. Bei-spiel:

∆xν ≡ Ψ√𝟐(Xν − ⟨Ψ|Xν|Ψ⟩) Ψ , ⟨Ψ|Ψ⟩ = 1 .

(Der Beweis läuft über die Trennung von Real- und Imaginärteil:

𝟐Pµ2

∙ 𝟐Xν2

≥ 4 PµXν2 ≥ 4ImPµXν2

= 4 12

⟨PµXν⟩ − ⟨PµXν+⟩2

= ⟨PµXν − XνPµ⟩2

= ⟨Pµ, Xν⟩2 = ħ2 δµν |⟨Ψ|Ψ⟩|2 = ħ2 δµν .

Dem letzten Schritt lag der Kommutator von P mit X aus dem vorigen Kapitel zugrunde, wie er sich ergibt, wenn man dort die schwere Masse M als Konstante auf die andere Seite hinüberdividiert und mit dem dortigen Q zu X zusammenfasst. Die oben noch von X bzw. P abgezogenen Erwar-tungswerte fallen als kommutierende Konstanten aus dem Kommutator heraus.)

Neben jener Längeneinheit bleibt in einer SO(2,4) also noch eine weitere Maßeinheit offen; denn seit Einstein ist aller Welt bewusst, dass neben der trägen Masse (Wurzel aus dem Quadrat des Viererimp-ulses) auch noch unabhängig eine schwere Masse mit eigener Maß-einheit existieren musste. Für den Spezialfall der „Wechselwirkungsfreiheit“ setzte Einstein beide Typen (links „träge“, rechts „schwere“ Masse) einfach gleich; diese „Klein-Gordon-Gleichung“ wurde sein


„Äquivalenzprinzip“: P'𝟎𝟐 − P' 𝟐 − M𝟎

𝟐 = 𝟎 .

Der Sinn der Einführung obiger „natürlicher“ Maßeinheiten liegt darin, dass die fünf „nicht-kompakten“ unter den Operatoren Q, P, D experimentell als „emergent“ zu betrachten sind (siehe Haupt-teil). Das heißt, sie werden erst bei Anwendung des „Gesetzes der großen Zahl“ asymptotisch diagonalisierbar und damit dem Experi-ment gegenüber überhaupt erst als näherungsweise „messba-re“ Größen zugänglich. Die klassische Kontinuumsphysik kennt effektiv nur den gemein-samen Limes ‘alle Messwerte asymptotisch gegen unendlich‘ (Kon-tinuum!) und zugleich alle 3 Vorfaktoren, ihre „Maßeinheiten“, asymptotisch gegen null; Nebenbedingung: ihre Produkte – unend-lich mal null – sollen den experimentellen Messwerten entsprechen, also endlich bleiben. Die Quantengravitation verweigert sich solcherlei Winkelzügen; für sie bleiben alle Parameter endlich und obige Operatoren (bis auf zwei) nicht-diagonal. Die genannte Asymptotik bedeutet, auf die Kommutatoren angewendet, eine Gruppenkontraktion! Für die Quantengravitation stellt die Durchführung dieser Kontraktionen den Übergang zur klassischen Physik dar; sie führt ihn jedoch nicht durch !! (Die neue Längen-Maßeinheit ist nicht die Planck-Länge!)

Aus dem Casimir 2-ter Ordnung wird, leicht umgeformt, mit der „Klein-Gordon-Gleichung“ als erster Zeile und Einsteins „kosmolo-gischer Konstante“ als zweiter Zeile:

𝟎 = P𝟎𝟐 − P 𝟐 −

𝟏 𝟐q𝟐

D𝟐

− 𝟏

𝟒q𝟐Q𝟎

𝟐 − Q 𝟐 −𝟏 𝟐 CSU(2,2)

(2) + M 𝟐 − L 𝟐 .

DeSitters Problem war es in den 1920-er Jahren gewesen, ob der Viererimpuls P aus einer zeitartigen Dimension (in der SO(2,4): Num-mer 6) oder aus einer raumartigen Dimension (SO(2,4): Nummer 4) zu kontrahieren sei. Ihm war es damals nicht gelungen, dieses Problem zu entscheiden.


Wir können es inzwischen: Im 2. Casimir besitzen die Quadrate der P’s und Q’s entgegengesetzte Vorzeichen. Bei Betrachtung al-lein der ersten Zeile oben im Casimir liefert die Quadratwurzel aus dem 4-Impuls mit unserer Identifikation eine reelle träge Masse; beim Austausch P gegen Q fiele sie dagegen imaginär aus. Eine „Poincaré-Gruppe“ (= inhomogene Lorentz-Gruppe) wäre unter dieser Prämisse also aus deSitters SO(2,3) zu kontrahieren, und nicht aus seiner SO(1,4)!

Nun hatten wir im Hauptteil gesehen, dass sich die nicht-lineare Raumzeit X als Quotient aus Q und der schweren Masse D zusam-mensetzt. Bei nicht-kommutierenden Operatoren einer Quanten-theorie drückt sich das – etwas umständlich – folgendermaßen aus:

DXµD ≡12

DQµ + QµD .

Soweit der Dilatationsoperator umkehrbar ist, wird daraus

Xµ = 1 2 QµD−1 + D−1Qµ .

Zur Berechnung des Kommutators [P,X]=–i... erweist es sich als nützlich, vorweg den Kommutator mit dem nicht-hermiteschen X“ zu ermitteln:

Qµ ≡ X"µD = DX"µ+

⇒ Pµ', Qµ" = Pµ', X"µ"D = Pµ', X"µ"D + 𝑖

2X"µ"X"µ'D

und = 𝑖(−1)δµ'0δµ'µ"D .

⇒ Pµ', X"µ" = −𝑖 𝑖(−1)δµ'0δµ'µ" − 𝑖

2X"µ"X"µ' → ∞ ⎯⎯⎯⎯ − 𝑖 (−1)δµ'0δµ'µ" .

Dieser Grenzwert spiegelt exakt Heisenbergs Unschärferelation wider. In hermitescher Form wäre

Xµ = 1 2 X"µ + X"µ

+ .

⇒

Der Zusatzterm entspricht demnach ganz offensichtlich der Wir-kungsweise einer

„Dunklen Energie“ ∝ 𝑖 2 X"µ"X"µ' + X"µ"X"µ'

+ .


Sie beschreibt einen Effekt, der im Nahbereich unmessbar klein bleibt, im Fernbereich jedoch (räumlich wie zeitlich) ganz allmählich immer stärker anwächst. Ihre Maßeinheit (vor der Klammer) lässt sich experimentell also aus den Daten zur Dunklen Energie gewin-nen. Hier resultiert die Dunkle Energie als natürliche Eigenschaft eines Kommutators. Kommutatoren verbinden wir aus dem „Verständ-nis“ einer klassischen Quantentheorie heraus mit dem Mikrokos-mos. Nun liegt das Produkt D von P und Q hier in der Größenord-nung des Planckschen Wirkungsquantums. Die Division eines mak-roskopischen Wertes X durch einen um viele Größenordnungen kleineren Wert D liefert aber astronomische Größenordnungen: Somit ist die Dunkle Energie ein Quanteneffekt auf kosmischer Größenskala! Für derartig große Skalen zerpflücken wir den quadratischen SU(2,2)-Casimir von oben am besten folgendermaßen:

X72 ≡ ( q)2 M 2 − L 2 + CSU(2,2)

(2) D−2 ,

X8 ≡ m

m(D) mit m(D) ≡ 1 q

D ,

X92 ≡ X8

2 − X72 .

Der Casimir geht dann über in das Paar der beiden alternativen kosmischen Standardgleichungen (Diskussion im Hauptteil):

X 2 + X92 = 2 + X0

2 für X92 ≥ 0 ,

X2

= (𝑖X9)2 + 2 + X02 für X9

2 ≤ 0 .

Im umgekehrten Extrem eines Elementarteilchens definieren wir als „Nicht-Lokalität“

ψ𝑣𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ≡1

4q2 Q02 − Q 2ψ .

Damit ergibt sich (über den 2. Casimir) der „Propagator“-Term der Feynman-Graphen aus der Teilchenphysik:

ψ =1

P02 − P 2 − m'2

ψ𝑣𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 mit


m'2 ≡ m(D)2

+1 2 M 2 − L 2 + CSU(2,2)

(2) .

Die Klammer ganz rechts ist im Laborsystem vernachlässigbar. Die „internen“ Wechselwirkungen werden hier später noch weitere Terme addieren, sodass die Gesamtmasse m‘ auch von ihnen ab-hängig wird. Damit lassen sich Massenwerte – reelle wie virtuelle – für Elementarteilchen berechnen. Diese projizieren sich jedoch noch nicht auf das physikalisch beobachtbare Massenspektrum freier, realer Teilchen! Dazu fehlen uns im Moment noch Details aus dem Hauptteil zum Aufbau des Nicht-Valenzteils.


Spiegelungseigenschaften Im kompakten Falle (Reaktionskanal) führt die Aufintegration einer Pauli-Matrix zu

exp [𝑖ασk] = σ0 cos α + 𝑖σk sin α , k ∈ 1,2,3.

(Beweis durch Reihenentwicklung und „vollständige Induktion“.) Die trigonometrischen Funktionen drehen den 2-dimensionalen Spinor also um den Drehwinkel α auf einer Kreisperipherie herum. Im nicht-kompakten Falle (dynamischer Kanal) geht dieser Kreis in einen Hyperbelast über:

exp [𝑖α(𝑖σk)] = σ0cosh α − σksinh α , k ∈ 1,2,3.

Hyperbeläste treten aber stets paarweise auf! Die „Drehung“ auf dem einen der Hyperbeläste erreicht also nie die Punkte des ande-ren Astes. Dazu wäre eine Spiegelung erforderlich. Höherdimensional entspräche die Hyperbel einem 2-schaligen Hyperboloid, wie es z.B. im Kapitel „Paarerzeugung“ (Äste nach rechts und links) graphisch angedeutet ist. Drehung jener Skizze in-nerhalb der Papierebene um 90° brächte die Äste in Positionen nach oben und unten. All diese Spiegelungen und Drehungen sind nur für den nicht-kompakten Fall, also im dynamischen Kanal, von Interesse. Im kompakten Fall dagegen (Reaktionskanal) haben sie keine „echte“, physikalische Bedeutung: eine Kugel bliebe eine Kugel, und an ihren topologischen Zusammenhangsverhältnissen würde sich ebenfalls nichts ändern. Der dynamische Kanal gestattet eine Darstellung solcher „ech-ten“ Drehungen auch über seine Metrik: Multiplikation seiner Dia-gonalmetrik (+,+,+,+,–,–,–,–) mit –1 überführt diese in (–,–,–,–,+,+,+,+). Dies entspricht der 90°-Drehung im Beispiel von oben für die 4+4 = 8 Dimensionen unserer U(4,4). Unser Ausgangspunkt seien Diracs a/b-Substitutionen in seinen Spinoren gemäß Anhang „Erzeuger und Vernichter“:

Spiegelungseigenschaften A-51

χ+ ≡

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎝

⎛a++

1a++

2

a−+2

a−+1

⎠

⎞

a+−

1a+−

2

a−−

2a−−

1

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎝

⎛a++

1a++

2

−𝑖 b−+2

b−+1

⎠

⎞

−𝑖 b+−

1b+−

2

a−−

2a−−

1

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

.

Definieren wir 3 Operatoren

T ≡ σ𝟏⊗ σ𝟏⊗ σ𝟏 , C ≡ σ𝟏⊗ σ𝟐⊗ σ𝟐 , P ≡ σ𝟎⊗ σ𝟑⊗ σ𝟑 .

Dann ergibt

T

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎝

⎛a++

1a++

2

−𝑖 b−+2

b−+1

⎠

⎞

−𝑖 b+−

1b+−

2

a−−

2a−−

1

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

a−−

1a−−

2

−𝑖 b+−2

b+−1

⎝

⎛−𝑖 b−+

1b−+

2

a++2

a++1

⎠

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

,

also Tχ+ = (χ−)+.

(Diracs Substitutionen erfolgen immer erst als letzter Schritt nach der hermiteschen Konjugation!) Diesem Übergang zum Hermitesch-Konjugierten entspricht beim Inneren Produkt der Vektorrechnung die Vertauschung von Bra und Ket. Physikalisch bedeutet dies die Vertauschung von Input und Output einer Reaktion. In den Quantenfeldtheorien (QFT) bezeich-net man T deshalb als „Operator der Zeitumkehr“ (englisch: time reversal).


Entsprechend vertauscht C – bis auf Vorzeichen – die Erzeugung und Vernichtung eines „Quants a“ bzw. „Antiquants b“. Die QFT sprechen vom „Operator der Ladungskonjugation“ (englisch: char-ge conjugation). Der dritte Operator, P, heißt schlicht Operator der (Orts-)Parität; er wechselt lediglich einige Vorzeichen aus:

L𝟎 L M𝟎 M P'𝟎 P' Q'𝟎 Q' X'𝟎 X' P: + + − − + − − + + −

Man hüte sich davor, die (Orts-)Parität P mit dem Viererimpuls P zu verwechseln! (Das Alphabet besitzt halt nur 26 Buchstaben!) T, C und P sind die 3 klassischen „Paritätsoperatoren“. Die von ihnen heranmultiplizierten Vorzeichen Plus bzw. Minus heißen ihre (je-weiligen) „Paritäten“. Paritäten sind keine Generatoren sondern vollwertige Aktionen. Sie addieren sich also nicht auf – Paritäten sind multiplikative Quantenzahlen, die sich mit den Werten +1 bzw. –1 von Tensorin-dex zu Tensorindex durchhangeln, um dann als Endergebnis ein Produkt zu liefern. Spricht man nur von „Parität“, so ist normaler-weise P gemeint. Nun gilt für die Pauli-Matrizen

σ1σ2 = −iσ3 .

Damit liefert die Ausmultiplikation der drei Aktionen T, C und P das „TCP-Theorem“:

T∙C∙P = –1.

Beispielshalber gestattet es, die Zeitumkehr-Parität T als Spiege-lungsparität rein mit Hilfe von C und P zu ermitteln:

T = – C∙P . (Der Spezialist sei daran erinnert, mit welch trickreichen und schwer durchschaubaren Klimmzügen das „Standardmodells“ arbeitet, um dieses im Grunde derart triviale Theorem zu beweisen. Die Ursachen liegen auf der Hand:


• Als Kontinuumsmodell schleppt es einen Wust überhaupt nicht benötigter, physikalisch belangloser, überflüssiger Integrations-konstanten mit sich herum.

• Dann arbeitet es 4- statt 8-dimensional. • Schließlich benutzt es in den üblichen Beweisketten die Raum-Zeit

nicht in ihrer Q- sondern in der umständlichen X-Form. Im Nachhinein betrachtet, trägt all das eher zur Verwirrung bei als hilf-reich zu sein.) Wieder erweist sich die 8-dimensionale (allgemein-relativistische) Quantengravitation in Einsteins gekrümmter Raum-Zeit als wesent-lich einfacher handhab- und durchschaubar als die 4-dimensionalen, lediglich speziell-relativistischen Quantenfeldtheorien im flachen Raum. (Nach deren Argumentationsweise ließen sich die Paritäten hier übrigens auch als Exponentialfunktionen von Summen und Differenzen aus den 3-Komponenten von L und Q‘ (für die Orts-Parität P) bzw. von M und P‘ (für T und C) darstellen.)

Dirac hatte pro Teilchenzahl nur 2 der 4 Komponenten seiner a/b-Substitution unterworfen. Zu Diracs Form aus dem Anhang „Er-zeuger und Vernichter“ (nachfolgend links) existiert jedoch die Alter-native, eben genau die anderen 4 Komponenten zu substituieren (rechts):

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎝

⎛a++

1a++

2

−𝑖 b−+2

b−+1

⎠

⎞

−𝑖 b+−

1b+−

2

a−−

2a−−

1

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

≡ χ+ ≡

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎝

⎛+𝑖 b++

1b++

2

a−+2

a−+1

⎠

⎞

a+−

1a+−

2

+𝑖 b−−2

b−−1

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

.

alte Definition neu definiert

Nun ist aber die rechte Seite nichts weiter als die imaginäre Ein-heit mal jenes T von oben in Anwendung auf unseren 8-Spinor in seiner linken Form, aber in Zeilenform (als Vernichter) mit formal sämtlichen a‘s und b‘s gegeneinander ausgewechselt:


χ+ ≡ χ+(𝑛𝑣𝑣) = + 𝑖Tχ−(𝑎𝑣𝑣,𝑚𝑖𝑣 a ↔ b)+

.

Mit anderen Worten: Die Metrik-vertauschte „Halbwelt“ ist das Spiegelbild unserer eigenen „Halbwelt“ – lediglich haben die a’s die Rolle der b’s übernommen, und umgekehrt, und Erzeuger und Ver-nichter wurden in ihrer Reihenfolge vertauscht. Diese Vertauschung der a’s mit den b‘s lässt sich auch konse-quent in den Generatoren der Quantengravitation durchführen. So ergeben sich Beziehungen zwischen der alten a/b-Halbwelt und jener neuen b/a-Halbwelt – es drehen sich nur ein paar der Vorzei-chen um:

L𝟎 L M𝟎 M P'𝟎 P' Q'𝟎 Q' X'𝟎 X' T: − − + + + − − + − +

Beispiel für die „kompakten“ Generatortypen beim Wechsel von der a/b-Halbwelt zur b/a-Halbwelt: a+σµa− ∓ b−σµb+

→ b+σµb− ∓ a−σµa+ = ∓a−σµa+ ∓ b+σµb− .

Entsprechendes Beispiel für die „nicht-kompakten“ Generatortypen: b−σµa− ∓ a+σµb+

→ a−σµb− ∓ b+σµa+ = ∓b+σµa+ ∓ a−σµb− .

Auch in den jeweils letzten Zeilen stehen wieder die Erzeuger links von den Vernichtern. Der Vergleich mit der jeweils ersten, originalen Zeile of-fenbart jedoch, dass sich in beiden Fällen wieder die Reihenfolge der Fak-toren vertauscht hat. Um das zu korrigieren, müssen wir das Resultat transponieren. Der Pauli-Matrizen wegen reicht Transponieren allein je-doch noch nicht aus: Das Ergebnis ist jeweils hermitesch zu konjugieren. (Den Erzeugern und Vernichtern ist diese zusätzliche Komplexifizierung egal; denn ihre Komponenten bestehen ja nur aus Nullen und Einsen, und die sind sämtlich reell-wertig )

Ganz ähnlich arbeitet die Ladungskonjugation C. Für sie gilt


C

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎝

⎛a++

1a++

2

−𝑖 b−+2

b−+1

⎠

⎞

−𝑖 b+−

1b+−

2

a−−

2a−−

1

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

− a−−

1a−−

2

−𝑖 b+−2

b+−1

⎝

⎛−𝑖 b−+

1b−+

2

− a++2

a++1

⎠

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

und χ+ ≡ χ+(𝑛𝑣𝑣) = + Cχ−(𝑎𝑣𝑣,𝑚𝑖𝑣 a ↔ 𝑖b)

+.

Die Paritäten der Ladungskonjugation C lauten damit:

L𝟎 L M𝟎 M P'𝟎 P' Q'𝟎 Q' X'𝟎 X' C: + + + + − − − − − −


Halbwelten Infolge von Diracs Substitutionen gilt für die nicht-kompakten Transformationen mit der Schweren Masse gemäß den Kommuta-tionsregeln im Anhang „Casimirs“:

e+𝑖ζM0 Q'µ e−𝑖ζM0 = Q'µ cosh ζ − P'µ sinh ζ , e+𝑖ζM0 P'µ e−𝑖ζM0 = P'µ cosh ζ − Q'µ sinh ζ .

D.h. Energie-Impuls P‘ und CMS-Raum-Zeit Q‘ streben asympto-tisch aufeinander zu – doch zwischen beiden Hyperbelästen steht als Trennlinie ein „Ereignishorizont“, der im „nicht-kompakten“ Fall einer Schweren Masse, also in unserem „dynamischen Kanal“, nicht passiert werden kann. Dem gegenüber stehen die „kompakten“ Formen

e+αM0 Q'µ e−αM0 = Q'µ cos α + 𝑖P'µ sin α , e+αM0 P'µ e−αM0 = P'µ cos α + 𝑖Q'µ sin α .

Hier ist kein Ereignishorizont mehr als Hindernis wirksam. Die Passage zwischen beiden Halbwelten ist freigeschaltet. In diesem kompakten Falle vertauschen sich Q‘ und P‘ für einen Drehwinkel von 90°. Da die Schwere Masse mit ihrem eigenen Boost kommu-tiert, bleibt dieses Verhalten bei der Division durch die Schwere Masse auch für Einsteins gekrümmte Raum-Zeit X‘ gegenüber der Geschwindigkeit V‘ unverändert erhalten. Faktisch bedeuten diese Übergänge lediglich den Wechsel von unserem „dynamischen Kanal“ hinüber zu unserem „Reaktionska-nal“. Er verknüpft die beiden im dynamischen Kanal noch sauber getrennte „Halbwelt“ einer U(4,4)-Metrik (–,–,–,–,+,+,+,+) anstands-los mit der einer Metrik (+,+,+,+,–,–,–,–). Allgemein-relativistisch zählt iM0 zu denjenigen 8-dimensionalen Generatoren, die nicht auch zugleich in Diracs 4-dimensionalen bei-den Untermengen vertreten sind. Der imaginäre Faktor am Opera-tor M0 der schweren Masse sorgt im thermodynamischen „Phasen-raum“ (aus CMS-Raum-Zeit Q‘ und Energie-Impuls P‘) für einen Aus-tausch Q‘ <-> P‘, während die Lorentz-Generatoren kommutieren:

Halbwelten A-57

Q‘µ → ∝ P‘µ

P‘µ → ∝ Q‘µ

Lµ → = Lµ Mµ → = Mµ

Die 0-Komponente von M vermittelt (in ihrer kompakten Form als „B“) zwischen den beiden Halbwelten beiderseits eines Ereignis-horizontes. Im Falle einer Drehung mit B um 90° (und Vertauschung der Spin-Komponenten) ist dies gerade der Operator C der „Ladungs-konjugation“; ihre „C-Parität“ (siehe voriges Kapitel im Anhang) liefert feste Zahlenwerte +1 bzw. –1. Experimentell werden leichte Abweichungen davon registriert. Dies bedeutet aber: Wir messen experimentell tatsächlich echte, kompakte Drehungen ungleich 90°, und zwar im Reaktionskanal! Gleiches gilt für die Zeitumkehr T = –CP. Die Vermessung solcher so genannten „Paritätsverletzungen“ im Reaktionskanal – parallel zu anderen Experimenten im dynami-schen Kanal – bezeugt erneut, dass auch der Reaktionskanal dem Experiment wirklich zugänglich ist! Dies gilt es, experimentell noch weiter auszubauen. T führt uns in die (Halb-)Welt „vor dem Urknall“, C und B in die hinter dem Ereignishorizont eines Schwarzen Loches. Mit der No-menklatur des vorigen Kapitels erhalten wir u.a. die Übergänge

vor hinter Ereignishorizont

T

a+ a−~ b−(neu) nach „Urknall“ b+ b−~ a−(neu)

a− a+~ b+(neu) vor b− b+~ a+(neu)

C

In den blau unterlegten Bereichen herrscht Zeitumkehr. Die Welt innerhalb eines Schwarzen Loches vor „dem“ Urknall schaut also genauso aus wie unsere eigene Welt nach „dem“ Urknall.


Die „Internen“ Strukturen Für die Generatoren der Quantengravitation hatten wir am Ende des Anhangs „Erzeuger und Vernichter“ folgende Darstellung ge-funden:

Gµνκ ∝ χ+σµ ⊗ σν ⊗ σκ χ− ∝ σµ ⊗ σν ⊗ σκ .

Für die „internen“ Kräfte haben wir lediglich noch 3 weitere Pau-li-Faktoren zu ergänzen, in völlig symmetrischer Weise. Ihre neuen Indizes hängen wir an die alten hinten an:

Gµνκ,ρλτ ∝ σµ ⊗ σν ⊗ σκ ⊗ σλ ⊗ σρ ⊗ στ .

Entsprechend erweitern sich die Casimirs um weitere Summan-den. Die Doppelgleisigkeit eines nicht-kompakten dynamischen Kanals neben dem kompakten Reaktionskanal pflanzt sich fort:

U(64) → U(32,32) ⊃ ⊕a=18 U(4,4)a

mit U(4,4)0 ≡ U(4,4)QG .

Diracs Komponenten erweitern sich zu

aklrt± , bklrt

∓ .

Die Generatoren G = L,M,P‘,Q‘ der 8 miteinander kommutieren-den „internen“ Gruppen vom Typ U(4,4) lauten jetzt in Abhängig-keit von Diracs erweiterten a und b:

Gµ(𝟎,+) Gµ

(𝟏,−) Gµ(𝟐,−) Gµ

(𝟑,−) Gµ(𝟏,+) Gµ

(𝟐,+) Gµ(𝟑,+) Gµ

(𝟎,−)

ak111± ak211

± ak121± ak112

± ak122± ak212

± ak221± ak222

±

bk111∓ bk211

∓ bk121∓ bk112

∓ bk122∓ bk212

∓ bk221∓ bk222

∓

Die Umrechnungsmatrix U in die ursprünglichen G’s von ganz oben ist zugleich symmetrisch und orthogonal; ihre Normierung gestattet die sofortige Umkehrung der Gleichung:

Die „internen“ Strukturen A-59

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

Gµ(0,+)

Gµ(1,−)

Gµ(2,−)

Gµ(3,−)

Gµ(1,+)

Gµ(2,+)

Gµ(3,+)

Gµ(0,−)

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

= U

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

Gµ000Gµ333Gµ330Gµ303Gµ033Gµ003Gµ030Gµ300⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

,

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

Gµ000Gµ333Gµ330Gµ303Gµ033Gµ003Gµ030Gµ300⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

= U

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

Gµ(0,+)

Gµ(1,−)

Gµ(2,−)

Gµ(3,−)

Gµ(1,+)

Gµ(2,+)

Gµ(3,+)

Gµ(0,−)

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

,

mit

U ≡ 1√8

⎝

⎜⎜⎜⎜⎛

+1 +1+1 −1

+1 +1−1 −1

+1 −1+1 −1

−1 +1+1 −1

+1 +1+1 +1

+1 +1+1 −1

−1 +1−1 −1

−1 +1+1 +1

+1 +1+1 +1

−1 −1+1 −1

+1 +1+1 −1

−1 +1+1 +1

+1 −1−1 −1

−1 +1+1 −1

−1 +1+1 −1

−1 −1−1 −1⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

.

Nun setzen sich diese 8x8=64 Generatoren ausschließlich aus den beiden diagonalen Pauli-Matrizen 0 und 3 zusammen; die nicht-diagonalen 1 und 2 tauchen hier nirgendwo auf. Folglich sind auch ihre „internen“ Erweiterungen zur Quantengravitation diago-nal. Damit aber handelt es sich bei obigen Generatoren – was ihre „internen“ Anteile anbelangt – um die Diagonalkomponenten von „Drehungen“ (orthogonal oder unitär) im 3-dimensionalen Raum der 3 „internen“ Indizes l,r,t untereinander; diese Komponenten wer-den von den G’s (bis auf reelle Faktoren) unverändert reproduziert. Dies erleichtert enorm die Ausreduktion dieser G’s nach ihren Triplett- bzw. Singlett-Bestandteilen; sie zerlegen sich ausnahmslos gemäß

G...,λρτ = (G…,λρτ −𝟏𝟑 δλρτ G…,000) + 𝟏

𝟑 δλρτ G…,000 mit

δλρτ ≡ (δλ0 + δλ3)(δρ0 + δρ3)(δτ0 + δτ3) .


In Gelb das Triplett, rechts davon das ausgesonderte U(8)-„Intern“-Singlett. (Nur für Mathematiker und Theoretiker: Man beachte, dass die Absonderung dieses Singletts der multiplikativen Zerlegung der GUT in U(8)x(U(8) nicht mit der additiven Zerlegung der GUT in die 8 „in-ternen“ U(8) kommutiert. In die multiplikative Aufspaltung spielen auch die nicht-diagonalen Pauli-Matrizen 1 und 2 mit hinein, die obige Dritte-lung letztendlich bedingen!) Übertragen auf obige Umrechnungsmatrix U bedeutet das Her-ausziehen der U(3)-Spur für ihren Triplett-Teil die Subtraktion von einem Drittel ihrer ersten Zeile von ihren restlichen Zeilen. Geeig-nete Linearkombinationen dieser gedrittelten Zeilen führen an-schließend zu den Quantenzahlen aus den bunten Tabellen im Hauptteil (vgl. etwa Kapitel „Die ‚Internen‘ Kräfte der Natur“). Bei Diffe-renzbildung heben sich die Drittelungen mitunter gegenseitig weg: So sind nicht alle Quantenzahlen der Teilchenphysik gedrittelt! Diese Ausreduktion ist die aus dem Experiment wohlbekannte Drittelung gewisser, typischer Quantenzahlen der Teilchenphysik – eine unabdingbare Voraussetzung für das „Quark Confinement“.

Was aber hat es mit den „Eichtheorien“ auf sich? Nun, Addition zweier der 8 Chiralkomponenten, sagen wir (000) und (333), liefern dann als ihren kombinierten quadratischen Casimir

CU(4,4)(2) (000) + CU(4,4)

(2) (333) .

Picken wir uns aus ihm die Terme der Viererimpulse G=P‘ heraus und benennen sie kürzer um in

P'µ,000 ≡ P'µ , P'µ,333 ≡ −eA'µ .

Dann erhalten wir

P'02 − P' 2 + e2A'0

2 − A' 2

= 12 (P'𝟎 − eA'𝟎)2 − P' − eA'

2

+ 12

(P'𝟎 + eA'𝟎)2 − P' + eA' 2

.


Mit P‘ als 4-Impuls der Quantengravitation und A‘ als elektro-magnetischem 4-Potenzial ist dies exakt die Aufspaltung gemäß dem Vorzeichen der elektromagnetischen Ladung e, wie sie uns aus der „minimalen Kopplung“ der Elektrodynamik geläufig ist:

P'µ → P'µ ∓ eA'µ .

Sie ist das klassische Resultat einer „Eichtheorie“, erweiterbar auf alle Chiralkomponenten. Anders als dort sorgt seine Einbettung in den 2. Casimir jedoch zusätzlich für die gesamte Dynamik, inkl. Masse! e ist hier der Eigenwert des elektromagnetischen Ladungsopera-tors

Q ≡ L𝟎,𝟑𝟑𝟑 .

Hingeschrieben ist er oben für die Kombination Teilchen / Anti-teilchen. Zu Diracs fundamentalen Spinoren gehören, wie gezeigt, die b-Eigenwerte (für Leptonen)

e = ∓ 12 ∙ 1 ± 13 .

(Die beiden Vorzeichen sind miteinander gekoppelt!) In der unquantisierten, klassischen Physik wird der Generator A‘ (= Linearkombination aus je 1 Erzeuger mal 1 Vernichter) gern mit einem Zustand A‘ (bestehend nur aus Erzeugern) identifiziert. Als „Zu-stand“ soll A‘ – gemäß der klassischen Argumentation – das Ele-mentarteilchen Photon darstellen. Wir sahen jedoch bereits, dass sich ein Teilchen (schon aufgrund seines riesigen Nicht-Valenzteiles) ganz anders aus Quanten zusammensetzt als ein Operator. Aus diesem mathematischen Gebräu ließe sich durch Differenz- statt Summenbildung obiger beider Teil-Casimirs zu 000 und 333 ein speziell-relativistisch invarianter Ausdruck herausziehen:

P'0A'0 − P' ∙ A' = ⋯

Klassisch wird dieser Ausdruck gleich null gesetzt („Lorentz-Eichung“); andere Eichungen existieren genauso.


Argumentativ wird darauf hingewiesen, dass nicht dieses „Vek-torpotenzial“ der Elektrodynamik experimentell gemessen werde sondern nur die aus ihm durch Differenzieren abgeleiteten „Fel-der“ der Maxwell-Gleichungen. Das Viererpotenzial selber sei dem Experiment nicht zugänglich, eine additive Integrationskonstante also belanglos – Voraussetzung für jene Art von „Eich“-Theorien. Andererseits stellen die traditionellen Eichtheorien speziell-relativistische Modelle dar, die nur in Abwesenheit von schwerer Masse und kosmologischer Konstante funktionieren. Nur dann nämlich ist der verbleibende Rest des zweiten Casimirs zum qua-drierten Viererimpuls proportional, der bei kanonischer Quantisie-rung jene doppelten Ableitungen liefern, die zu den Maxwell-Gleichungen führen. (NB: Für die Herleitung rein technischer Fakten – wie der Maxwell-Gleichungen aus dem 4-Potenzial – die in jedem Lehrbuch der klassischen Physik zu finden sind, ist dieses Buch hier nicht konzipiert. Es soll nur die erkenntnistheoretischen Grundlagen für Studieneinsteiger schaffen, auf denen die „klassischen“ Folgevorlesungen aufsetzen, die sie verschweigen.)

Der quadratische Gesamt-Casimir über alle 8 Chiralkomponenten, der diese jedoch nicht ineinander umwandelt, lautet

Cchiral(2) ≡ CU(4,4)a

(2)8

a=1

.

Man beachte, dass für höhere Gruppen von Fall zu Fall auch das Ladungssinglett benötigt wird. Damit sind die voll-unitären statt der nur speziell-unitären Gruppen zu benutzen. Vom Prinzip her haben wir es mit einer begrifflichen Schachte-lung von Gruppen zu tun:

CQG(2) ⊂ Cchiral

(2) ⊂ CGUT(2) .

Die Generatoren der vollen, 64-dimensionalen GUT bauen sich multiplikativ aus Kronecker-Produkten mit jeweils 6 Pauli-Matrizen als Direkt-Faktoren auf, s.o.:


Gµνκ,λρτ ∝ σµ ⊗ σν ⊗ σκ ⊗ σλ ⊗ σρ ⊗ στ , anzuwenden auf ein ψijk,lrt .

Experimentell ist von ihnen der Spin-Index „i“ (ganz links) der am leichtesten zu verändernde (durch Drehen, Umklappen). Technisch schwieriger gestaltet sich das schon beim nächsten Index „j“, für dessen Änderung Lorentz-Boosts erforderlich werden. Extrem schwer wird es für eine Änderung des 3. und letzten der dynamischen Indizes, dem „k“; für dessen Änderung müssen wir das Teilchen schon aktiv über den Ereignishorizont eines Schwarzen Loches schicken oder passiv seinen Durchgang durch den Big-Bang-Bereich abpassen – beides Prozesse, die auf das Engste mit Spiege-lungen der nicht-diagonalen Paritäten T und C verbunden sind. Experimentell existiert demnach so etwas wie eine anwachsende „Starrheit“, eine abnehmende „Beweglichkeit“ innerhalb der 6-fachen Indexhierarchie der GUT. In der Nomenklatur der Physiker äußert sich dies in rasant ansteigenden Unterschieden in den zah-lenmäßigen Größenordnungen von Naturkonstanten, gemessen in cgs-Maßeinheiten. Dynamisch bzgl. i,j,k wären dies:

1 → c ~ 1010cm/sec → 1/ħ ~ 1027/(erg sec) .

„Interne“ Analoga bzgl. l,r,t wären etwa „Kopplungskonstanten“.

Die 3 zusätzlichen Kronecker-Pauli-Faktoren der GUT für die „in-ternen“ Kräfte haben auf die Generatoren der reinen Quantengravi-tation, bestehend aus je einem Erzeuger und Vernichter, keine Auswirkung, sehr wohl aber auf die Faktoren des TCP-Theorems (aus dem Anhang „Spiegelungseigenschaften“). Zeitumkehr T und La-dungskonjugation C erweitern sich zu

T ≡ σ𝟏⊗ σ𝟏⊗ σ𝟏⊗ σ𝟏⊗ σ𝟏⊗ σ𝟏 , C ≡ σ𝟏⊗ σ𝟐⊗ σ𝟐⊗ σ𝟏⊗ σ𝟏⊗ σ𝟏 , P ≡ σ𝟎⊗ σ𝟑⊗ σ𝟑⊗ σ𝟎⊗ σ𝟎⊗ σ𝟎 .

(Transparenter ließen sich die 3 Paritäten als 6-fach zusammenhän-gende Spin-Darstellung der Pauli-Matrizen umdefinieren. Das TCP-Theorem ergäbe sich dann als deren Null-Komponente.)


Wechselwirkungen Wechselwirkungen sind grundsätzlich durch die Ausreduktion von Produktzuständen zu beschreiben. Als Wichtungsfaktoren liefert die Mathematik so genannte „Clebsch-Gordan-Koeffizienten“. Diese Methode ist im Reaktionskanal

• vollständig (kein Term wird übersehen), • eindeutig (keine Doppelzählung), • frei von Singularitäten (Wahrscheinlichkeitserhaltung).

Sie liefert eine „Direkte Summe“ von Beiträgen in Form von Compoundzuständen. Das Faktum, dass sich solch ein Zustand aus mehreren Kompo-nenten zusammen-„bindet“ – d.h. als Einheit begreifbar wird, die mehr darstellt als ihr reines Produkt – bedarf nach landläufigem „gesunden Menschenverstand“ einer „Kraft“, die jene Komponen-ten zusammenhält. Mathematisch besteht dieses „Faktum“ aus den Symmetrievorschriften für irreduzible Tensoren. Solch ein Compoundzustand wird im Normalfall ein „virtueller Zustand“ sein, dessen resultierende Masse einen anderen Wert annimmt, als es einem „freien“ Teilchen zukäme. Denn Masse ist lediglich eine Poincaré-Invariante, jedoch weder eine Invariante der Quantengravitation noch der GUT, noch ihrer chiralen Untergrup-pen. Ihr primärer Beitrag stammt aus der Dilatation D. Schauen wir uns solch eine Produktbildung genauer an. Die An-wendung eines Generators auf solch ein 2-Teilchensystem läuft rein mathematisch folgendermaßen:

GψΙψΙΙ = (GψΙ)ψΙΙ + ψΙ(GψΙΙ) = GΙψΙψΙΙ + GΙΙ ψΙψΙΙ = (GΙ + GΙΙ)ψΙψΙΙ .

G wirkt also immer nur jeweils auf einen der Faktoren und lässt den anderen unverändert; zum Schluss werden all solche Einzeler-gebnisse aufaddiert. Der 2. Casimir einer SU(2,2) besteht aus einer Summe von Termen aus je 2 Generatoren:

Wechselwirkungen A-65

CSU(2,2)(2) ≡ P'0

2 − P' 2 − M02 − Q'0

2 − Q' 2

−M 2 − L 2 .

In Anwendung auf den Produktzustand ergibt sich aus ihm

C(2)ψIψII = (C(2)IψI) ψII + ψIC(2)IIψII + 2Cint.(2)ψIψII = C(2)I + C(2)IIψII + 2Cint.(2)ψIψII .

Neben den beiden ersten Termen, bei denen sich der Casimir jeweils immer nur an einen der beiden Zustandsfaktoren wendet, wird automatisch auch ein Wechselwirkungsterm mitgeneriert:

Cint.(𝟐) ≡ P'I𝟎P'II𝟎 − P'I ∙ P'II − (MI𝟎MII

𝟎)

− Q'I𝟎Q'II𝟎 − Q'I ∙ Q'II + MI ∙ MII − LI ∙ LII .

Für die mathematische Behandlung einer Wechselwirkung sind also überhaupt keine besonderen, die Natur verfälschenden Maß-nahmen (in der Literatur: frei erfundene „Lagrangians“) erforderlich! Während Energie-Impuls und schwere Masse auf den klassischen Wechselwirkungstyp einer Yukawa-Kraft – bzw. für masselose Teil-chen auf denjenigen einer Coulomb-Kraft – hinauslaufen und die Lorentzterme L und M Spin-Spin-Koppelungen u.Ä. beschreiben, stellen die Q‘-Terme einen – für die Teilchenphysik – völlig neuarti-gen Typus dar: eine Oszillatorkraft. (O.k.: Oszillatorkräfte wurden ten-tativ schon einmal kurz in der Hoch-Zeit der theoretischen Teilchenphysik Ende der 1960er Jahre postuliert. Danach ist dieses Thema jedoch sofort wieder unausdiskutiert eingeschlafen.) Coulomb/Yukawa-Kräfte treten in der Natur also grundsätzlich immer als Einheit zusammen mit Oszillatorkräften auf. Aus Sicht des gemeinsamen quadratischen Casimirs für beide Zustände aus dem Produktzustand ist der Teil-Casimir des einen Faktors und der Wechselwirkungsterm so etwas wie Inhomogenitä-ten für den jeweils anderen Teil-Casimir: Nur der Gesamt-Casimir ist invariant. Ein positiver Wechselwirkungs-Casimir bedingt Absto-ßung, ein negativer Anziehung („gebundene Zustände“).


Wir verifizieren dies per Auflösung nach der Energie als „Poten-zial“ einer Wechselwirkungskraft ohne bzw. mit dem Wechselwir-kungsterm. Obige Wechselwirkung ist ein typisches 2-Körper-Problem. Seine Lösung (Abspaltung des gemeinsamen Schwerpunk-tes usw.) ist Thema in Vorlesungen zur Punktmechanik. In der „Quantenmechanik“ wird es wieder aufgegriffen. Der 2. Casimir der Quantengravitation enthält Einsteins Äquiva-lenzprinzip „schwere Masse = träge Masse“ in Form der Klein-Gordon-Gleichung als Teilmenge (Grenzfall: Casimir = 0 und Kosmolo-gische Konstante = 0). (Zur Erinnerung (Anhang „Gruppenkontraktion“): Quanten[feld]theo-rien berufen sich auf die experimentelle Bestätigung von Heisenbergs Un-schärferelation und schlussfolgern daraus die Korrektheit ihrer ganz spezi-ellen, nicht allgemein-relativistischen Art der Darstellung des Viererimpul-ses P‘ in der Raum-Zeit X‘ gemäß der uralten Variationsrechnung der Punktmechanik, nämlich als funktionentheoretische „Ableitung“ nach (Erwartungswerten von) X‘:

P'µ → ±𝒊 𝝏

𝝏xµ . Sie nennen das „kanonische Quantisierung“. Einsetzen dieser Darstel-lung von P‘ in die Klein-Gordon-Gleichung liefert bei Uminterpretation des Generators der Schweren Masse in eine unveränderliche Konstante eine „partielle Differenzialgleichung 2-ter Ordnung“. Wird alles außerhalb ihres reinen Klein-Gordon-Teiles zu einer „Inhomogenität“ zusammengefasst und beliebig variiert, so ist dies Inhalt der „Quantenmechanik“. Auflösung der Differenzialgleichung nach dem Energie-Term heißt „Schrödinger-Gleichung“; „Quanten[feld]theorien“ umfassen noch weitere Postulate.)

Die klassische, funktionentheoretische Umsetzung der Klein-Gordon-Gleichung in eine Differenzialgleichung liefert als deren „statische“ (= zeitunabhängige) Lösung die „Yukawa-Kraft“ (mit m = Masse als Konstante, r = Abstand und mx = q = CMS-Ort):

Kraft ∝ ±exp [−m r]

r2 m → 0 ⎯⎯⎯⎯ ±

1r2 .

Für Masse gegen null konvergiert ihr exponentieller Zähler gegen 1. Diese verkürzte Yukawa-Kraft nennt man dann „Coulomb-Kraft“.

Wechselwirkungen A-67

Ihr gegenüber fällt die Yukawa-Kraft mit anwachsendem Abstand wesentlich schneller ab und verschwindet so rasch unterhalb der experimentellen Nachweisbarkeitsgrenze. Im unmittelbaren Nah-bereich ist sie dagegen (bei gleicher Kopplungsstärke) von praktisch gleicher Stärke wie die Coulomb-Kraft. Ihr Gegenspieler ist die „Oszillator-Kraft“ mit positiver Potenz des Abstandes r:

Oszillator: Kraft ∝ ± α r2 .

Umgekehrt wie die Yukawa/Coulomb-Kraft, die im Nahbereich stark ist und asymptotisch im Fernbereich verschwindet, ver-schwindet die Oszillator-Kraft im Zentrum, wächst aber im Fernbe-reich über alle Maße an. Die Größe eines Elementarteilchens resul-tiert aus dem räumlichen Potenzialminimum der Summe beider Typen gegenläufiger singulärer Kräfte. (Aufgrund ihrer klassischen Einschränkungen resultieren beide Kräfte als Grenzformen unphysikalischer Art. Ihre asymptotische Anwendung bedarf klassisch also größter Vorsicht!) Im 2. Casimir ist ihr Potenzial in Form der CMS-Ortskoordinaten Q‘ vertreten. Beide (angenäherten) Krafttypen – Yukawa/Coulomb und Oszillator – sind untrennbare Zwillinge (einer „Laurent-Reihe“). Für Quantengravitation und GUT sind es die Yukawa-Kräfte, die im Wechselspiel mit den Oszillatorkräften der 8 Chiralkomponenten dafür sorgen, dass unsere Quantensysteme („Proben“) auf der Schale des kosmischen Hyperboloids verbleiben: Bei Auslenkungen werden sie (bei „Anziehung“) stets auf diese zurück komplementiert. Vorzeichenumkehr ihrer Ladungen relativ zueinander vertauscht Anziehung und Abstoßung. In diesem Falle treibt alles unsere Probe weg vom Kraftzentrum, bis es irgendwo neutralisiert bzw., notfalls, über irgendeinen Ereignishorizont hinweg katapultiert wird. Ein Universum als Ganzes wird sich also jeweils dergestalt zu bilden suchen, dass es bezüglich der „nicht-dynamischen“ additiven Quan-tenzahlen insgesamt neutral herauskommt. Anders als bei den we-sentlich „kleineren“ Elementarteilchen scheint sich dies zumindest für unser eigenes (dynamisches) Universum auch experimentell zu bestätigen. (Elementarteilchen neutralisieren sich durch Komplexbildung.)


Elementarteilchen „Generatoren” lernten wir als Linearkombinationen aus Paaren kennen, in denen sich je ein Erzeuger als Spaltenvektor mit einem Vernichter als Zeilenvektor koppelt; Generatoren sind also quadra-tische Matrizen. Teilchen (und Antiteilchen) setzen sich dagegen multiplikativ ausschließlich aus Erzeugern, also nur aus Spaltenvek-toren zusammen, deren Produkte es „auszureduzieren“ gilt. Das formale Problem, das dabei auftritt, ist, dass die Komponen-te eines Erzeugers negativer Energie die gleichen Quantenzahlen aufweist wie die eines Vernichters, der ebendiese Energie in ihrer positiven Form vernichtet. Verallgemeinert kennen wir diesen Fall bereits aus der 8-dimensionalen Quantengravitation im Zusam-menhang mit dem TCP-Theorem (Anhang „Spiegelungseigenschaften“):

T χ+ = (χ−)+ .

Der Springende Punkt waren die Indexvertauschungen durch den Operator T, wie sie auch der Operator C bietet. Im Anhang „Wech-selwirkungen“ hatten wir die drei Faktoren T, C und P des TCP-Theorems um die „internen“ Kräfte erweitert. Das TCP-Theorem gilt nicht nur 8-dimensional, sondern auch 64-dimensional, also auch in seiner Erweiterung auf die „internen“ Indizes.

– Die Zustände H der Dunklen Materie setzen sich symmetrisch als reine Erzeuger zusammen, wobei nur die 16 Paarkombinationen der „beweglichen“ Teilindizes i und j unsummiert offen bleiben:

Hi'j',i"j" ∝ χ+i'j'krlt(Tχ+)i"j"krlt

k,r,l,t

.

T kehrt die Reihenfolge der Spinorkomponenten um. So stehen sich hier Komponenten entgegengesetzter Quantenzahlen k,l,r,t, gegenüber. Stünden im rechten Spinor Komponenten des Vernich-ters, dann ergäben die Menge aller (i’j‘,i“j“)-Komponenten gerade die Generatoren der GUT, und die Summe über alle i’j‘=i“j“ ihr Spur-Singlett. So aber liefern die 16 (i‘j‘,i“j“)-Erzeugerpaare (summiert über r’l’t‘ = r“l“t“) gerade die Bausteine der Dunklen Materie.

Elementarteilchen A-69

Im vorigen Kapitel war von einer gewissen „Starrheit“ im System der 6 Spin-artigen Indizes i,j,k,r,l,t der U(32,32) die Rede. Als mehr oder weniger „frei“, d.h. durch unseren gegenwärtigen Stand der experimenteller Technik relativ einfach veränderbar, stellten sich die vorderen beiden Indizes i,j heraus. Die Abspaltung ihrer 2x2 = 4 Dimensionen vom Rest liefert uns demnach in 2 Schritten den „har-ten Kern“ von Teilchenstrukturen. Der 1. Schritt spaltet den Spin ab:

U(32,32) ⊃ SU(2)Spin ⊗ U(16,16) .

Der 2. Schritt unterscheidet nach dem Energievorzeichen:

U(16,16) ⊃ SU(1,1)E ⊗ U(8,8) .

Ganz in den Kinderschuhen steckt noch unsere experimentelle Fähigkeit zur Veränderung der Teilchenzahl N – Stichwort Paritäten T und C, virtuelle Zustände, Ereignishorizont. N wäre Gegenstand eines 3. Schrittes:

U(8,8) ⊃ SU(1,1)N ⊗ U(8)“intern“ .

Inwiefern obige Zwischenschritte über eine U(16,16) und/oder U(8,8) – oder über noch ganz andere Schachtelungshierarchien – auch experimentell eine Rolle spielen, wird die Zukunft entscheiden. Als Alternative käme auch die Trennung von kompakten gegenüber hyperbolischen Strukturen infrage:

U(32,32) ⊃ SU(2,2)E,N ⊗ U(16)Spin,“intern“ ,

U(16) ⊃ SU(2)Spin ⊗ U(8)”intern” .

Jedenfalls sind dies die typischen Aufspaltungen, die – vorerst – unsere Standarddarstellungen zur Klassifizierung von Elementarteil-chen definieren. Obermengen bilden dabei die Bezeichnungen

Meson: N=0; Hadron: L=0, ohne „Eichbosonen“, Graviton, Higgs; Baryon: N=+1, L=0; Lepton: N=–1, L=+1, E=0.


In diesem Sinne sind Nicht-Valenzteile von Teilchen Meson-Zustände; zusätzlich verschwinden für sie sämtliche linearen „inter-nen“ Quantenzahlen. (Die Einschränkung „ohne Eichbosonen, Graviton, Higgs“ des „Standardmodells“ bezüglich obiger Definition eines Hadrons werden sich in der GUT noch als recht gekünstelt erweisen.) Die „Absät-tigung“ eines Nicht-Valenzteiles bedeutet das Weglassen der Sum-mationen in dem eingangs definierten Ausdruck H:

χ+i'j'krlt(Tχ+)i"j"krlt ∝ Hi'j',i"j",krlt.

Nun ist ein „Elementarteilchen“ per Definition ein irreduzibler Zustand seiner Klassifikationsgruppe – in der GUT also der U(64) oder U(32,32). Da sich ein irreduzibler Zustand nicht in Teilzustände zerhacken lässt, ist der Übergang zwischen Valenz- und Nicht-Valenzteil eines Teilchens fließend, nicht sauber definierbar. Erst die Ausreduktion des Produktes ‘Valenzteil mal Nicht-Valenzteil‘ (letzterer nach obiger Definition) liefert eine Kette irreduzibler Zustän-de, die wir, jeden für sich, einzeln als (reellen oder virtuellen) Zustand eines Elementarteilchens interpretieren dürfen. Trotzdem setzt die Literatur solch eine Aufspaltung häufig an – was sie allerdings automatisch inkonsistent macht! Den Valenzteil stellt man dann üblicherweise in Form von Indizes dar und den Nicht-Valenzteil als „Argument“ irgendeines funktionentheoreti-schen Ausdruckes. Diese eklatante mathematische Inkonsistenz treibt dann solche Blüten wie eine angeblich „maximale Paritäts-brechung“ bei Neutrinos (Korrektur im Kapitel „Neutrino-Physik“). Unsere Quanten treten in 64 Varianten auf. Jede dieser Varian-ten ist mit einer von außen vorgegebenen, a priori unterschiedli-chen Belegungszahl an Quanten ausgestattet. Quantenpaare wer-den danach trachten, sich gegenseitig abzusättigen; Restquanten bilden die Valenzteile von Teilchen. Abgesättigte Paare werden ih-rerseits versuchen, sich mit anderen Paaren zu Singletts zusammen-zuschließen; dies ist i.W. die Dunkle Materie. Deren Reste, die keine Singletts mehr zusammenbringen, docken sich als Nicht-Valenz-strukturen an Valenzteile an und bilden mit ihnen die Teilchenzu-stände.

Elementarteilchen A-71

Im Gleichgewicht wird sich ein gewisser Belegungsschlüssel die-ser Quantenpaartypen auf die einzelnen Elementarteilchen heraus-bilden. Dieser hängt auch von dem Verhältnis in unserem Univer-sum insgesamt verfügbarer Quantenpaare zu insgesamt vorhande-nen Valenzstrukturen ab. Dieses Verhältnis liefert uns einen ersten, recht groben Überblick darüber, mit wie vielen Quantenpaaren ein Nicht-Valenzteil im Durchschnitt ausgerüstet sein wird. Entsprechende Überschläge liefern uns grobe Anhaltswerte für die individuellen Sorten solcher Paarquanten. Die Ausreduktion der Produkte ‘Valenzteil mal Nicht-Valenzteil‘ zu Teilchenzuständen wird diese Zahlen gegeneinander variieren – immer vorausgesetzt, wir hätten es mit einem Gleichgewicht zu tun. Teilchenzustände, die diesem Gleichgewicht entsprechen, heißen dann „reell“; solche, deren Zusammensetzungen davon abweichen, sind die „virtuellen“ Zustände der Teilchenphysik. Damit erweist sich die Aufstellung von „Massenformeln“ für „reelle“ Teilchen als Herausforderung für Op-timierungsverfahren (einer Art Thermodynamik).

Bleiben wir bei der Definition eines „Valenzteiles“ als Gesamtheit all dessen, was Theoretiker bisher in Indexform niederschreiben, dann lässt sich der Valenzteil des „angeregten Zustandes“ eines Teilchens als Produkt seines „Valenzteiles“ mit dem eines Mesons (oder auch als Linearkombinationen davon) darstellen. Wir werden noch entdecken, dass „Quarks mit Flavour“ nichts anderes sind als speziell „angeregte“ „normale“ Quarks ohne Flavour. (Zurzeit ist dieses Thema nur erst bei den „hadronischen“ Flavour aktuell.) Flavour werden zu „Generationen“ zusammengefasst. Leptonische Flavour sind anderer Natur. In unserer GUT stellen Antileptonen „Baryonen mit L=–1“ dar. Für ihre gängigen 3 Genera-tionen genügen die Darstellungen ihrer „Valenzteile“ als 3-Quant-Strukturen; der aktuelle Stand experimenteller Technik benötigt zurzeit (noch) keine Anregungszustände von ihnen. Anders als bei den Hadronen basiert ihre Zusammenfassung zu „Generationen“ nicht auf Anregungen sondern auf den gewöhnlichen Unterschie-den in ihren nicht-linearen Quantenzahlen (d.h. rein auf Symmetrie-unterschieden in der Klassifikation).


Meson-Valenzen sind Darstellungen nach Art der Dunklen Mate-rie, bei der als „Muss“ nur noch die Teilchenzahl (Index k) neutrali-siert wird:

Meson-Valenz: χ+i'j'kr'l't'(Tχ+)i"j"kr"l"t"

k

.

Baryon-Valenzen kombinieren sich multiplikativ aus 3 Spinor-Komponenten je positiver Teilchenzahl mal „irgend“-einer festen Anzahl von Meson-Valenzen; Antibaryonen kehren die 3 Teilchen-zahlen um. Leptonen gehören zu den Antibaryonen. Abgesehen von den Bausteinen der Dunklen Materie – sie haben keinen Nicht-Valenzteil – existieren in der GUT keine „Sonder“-Bosonen außer-halb obiger Definition. Die Unterschiede in der Häufigkeitsverteilung der 8 Indexkombi-nationen r,l,t im Elementarteilchens bestimmen (über ihre unter-schiedlichen, endlichen Grenzen zugehöriger Auf- und Absteige-Operato-ren) letztendlich auch Trägheit (Impuls), Masse und Raum-Zeit-Verhalten eines individuellen Teilchenzustandes. Unter Vorgabe ihrer 8 Besetzungszahlen relativ zueinander innerhalb unseres Uni-versums gestattet die GUT also grundsätzlich die Berechnung von Teilchenmassen! I.a. wird es sich erst einmal um „virtuelle“ Teilchenmassen au-ßerhalb des experimentell beobachteten Massenspektrums han-deln. Das „wahre“, experimentelle Massenspektrum folgt dann aus Optimierungsanpassungen an die relativen Besetzungszahlen obi-ger 8 Indexkombinationen, wie sie in unserem Universum verfügbar sind. Dabei handelt es sich um Extremwertbetrachtungen in den Erwartungswerten des im Gesamt-Casimir effektiven Massenopera-tors bezüglich eines durchschnittlichen Teilchens des zu untersu-chenden Typs im „Gleichgewichts“-Fall mit dem umgebenden Uni-versum. Das experimentelle Massenspektrum spiegelt also das „emergen-te“ Ergebnis einer Überschlagsrechnung nach Art einer Thermody-namik wider, wie wir sie in den Hauptkapiteln „Der Faktor ‚Mensch‘“ und „Determinismus und Kausalität“ behandeln.

Impressum © 2016. Alle Rechte vorbehalten. Dies ist das Original zu einem e-Buch mit Datum von 2016 des Verlages BookRix, München. Es trägt die

ISBN 978-3-7396-3009-0. Die englische Übersetzung „ToE; New Physics, explaining our world by Quan-tum Gravity. World’s first Textbook on QG“ von demselben Datum trägt die

ISBN 978-3-7396-3010-6. Beide e-Bücher stellen stark erweiterte dritte Ausgaben zur Vorläuferauausga-be desselben Verlages namens „Neue Physik, Morgendämmerung der Erkennt-nis“ (2013) bzw. „Fluss der Zeit, Neue Physik per Quantengravitation“ (2014) dar.

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Weltweit Lehrbuch zur QGq-grav.com/pdfs/PDF-2016ToEger.pdf · den Elektromagnetismus in sein Konzept der Allgemeinen Relativi- ... ximalenergie ist (durch das einbettende Universum)