Winkel zwischen VektorenAnke Braun

Mathematik Jahrgangsstufe 13

Der Winkel zwischen Vektoren weiter

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Mathematik Jahrgangsstufe 13

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Bei Windflaute wurden stromaufwärts fahrende Schiffe früher oft an langen Seilen von Menschen oder von Tieren geschleppt: Bei diesem „Treideln“ bringt z.B. ein Pferdegespann ständig eine bestimmte Kraft auf. Die Arbeit, die am Schiff verrichtet wird, hängt aber ganz stark von dem Winkel ab, den das Seil und die Flussrichtung bilden. Auf den folgenden Seiten wollen wir uns anschauen wie man solche Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kann.

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ba

bababa

332211cos

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Durch einige Überlegungen, die wir hier nicht betrachten wollen, erhält man für den Winkel zwischen zwei Vektoren die folgende Gleichung:

²²² 321

3

2

1

3

2

1

aaaaundbbb

bundaaa

awobei

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Berechne die Winkel zwischen den Vektoren

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Lösungen: (1) 73,125° (6) 45°

(2) 72,080° (7) 90°

(3) 70,893° (8) 86,782°

(4) 75,504° (9) 90°

(5) 73,937°

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Wir wollen uns nun den Zähler auf der rechten Seite der Gleichung ein wenig genauer anschauen.

Es handelt sich um eine Verknüpfung (Multiplikation) der beiden Vektoren a und b. Bei dieser Multiplikation erhält man als Ergebnis immer eine Zahl (Skalar) und keinen Vektor. Man spricht deswegen von der Skalarmultiplikation. Man schreibt kurz:

Das Skalarprodukt

332211 babababa

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ba

bababa

332211cos

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Klicke nun auf das grüne Fragezeichen und bearbeite die Aufgaben schriftlich.

babababab

ba

a

Das SkalarproduktWas bedeutet das denn geometrisch? Wenn wir unsere gegebene Gleichung umstellen, dann erhalten wir:

babababa

coscos

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Berechne das Skalarprodukt der Vektoren!Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander?

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Lösungen1) 15 6) 3

2) 40 7) 0 Vektoren stehen senkrecht aufeinander

3) 3 8) 5

4) -5 9) 0 Vektoren stehen senkrecht aufeinander

5) 20