d p l d z einset'zen, dann wird das obige Gleichungs- system [ 2 ] :

1 - (P + 2 ) f ( z ) = 0 f " ( z ) [ p f (z ) $- 11 - 2 p f 'Z (2 ) = 0 .

6 . Unsere Ergebnisse konnen leicht auf die Bestirn-

rriurig der Leiter (3) mit dem kleinsten verallgeniei- nerten R e l a tivfehler ubertragen werden. Es sei der- jeuige Paranieterwert p zu bestimmen, fur den

niax niin [ / ; ( x ) y(z)] , c> --I Z 0 ~ Z ~ Z 1

erreicht wird, wobei y~(z) eine gegebene Funktion ist,. Wenn wir

suhreiben, so eritspricht der Formel (9):

Uenut~cn wir jetzt die Bezeiahnung

b o erhdlteri wir wieder die Formel (11). A l e neiteren Fornieln, die q ( x ) enthalten, bleiben unverandert gultig, wahrend jene in f ( z ) jetzt mittels (20) abgeleitet werden niussen. Zuin Beispiel lautet jetzt die Bedin- gung, daB kein Punkt des Bogens A c B der neuen Kurve y = ~ ( x ) unterhalb der Sehne A B liegt, wie folgt:

f ( z 0 ) I'f'(z0) Y ( Z 0 )

f (z ) I l f ' ( 4 3 z )

f @ l ) l ' f ' (Q Y ( Z l ) 1 ' ~~ ~

der Optimalwert des Parameters druckt sicli in diesem Falle durch

&US.

L i t c r a t u r 1 It. I,ru\vli;, U ~ ~ I I I I ~ ~ ~ U I I ~ ~ ~ I I zur giiiistigstcii yrojelitiwii A1)IJilduiig

~ 0 1 1 Skaleii uiid Solnogrammen, ZdlIilI 34. S. 2Y8-299 ( lY54) . 2 11. V. PEx'rmwsI(I, Koriiografia. ~Ioskiiu/I,eiiiiigrad 1949. 3 I<'. I{AI)CI, Ccii iiiai biiii& traiisforiiiarc proicctivi it scirilur la

i ~ o i i i ~ ~ g ~ t t i ~ i c V I I puiictc aliiiiatc (Uic brstc yrojektiw Al)l,ildung dcr Lriterii ilcr YluclitliniL.iitafclii), Stiidii $i ccrcct. dc i i i i i t . ( 'luj 8, S. 181-168 (1957).

A i rAchri f ( : V. K A I I ~ , Ckonretri.;chrr Lelirstulil der Uni- versitiit Babes-Bolyai, Cluj, HumZnicn; oder: Itecheninst,itut der Ruuianischen Akademic, Cluj.

\Ir. &lULLlCR

Zum Nachweis der Instabilitat der Ruhelagen bei gewissen Differentialgleichungen

(1 )

Tn der Differentialgleichung Z"' + f (x) = 0

(der Stricli bezeichne die Differentiation nach der unabhangigen Veranderlichen t ) sei die Funktion f ( x ) stetig und so beschaffen, da13 die Existenz und Ein- deutigkeit der Losungen und ihre stetige Abhangig- keit von den Anfangswerten gesichert sind; dann ist jede isoliertc konstante Losung z( t ) E xo der Glei- uhung (1) instabil. Dieser Sacliverhalt wurde von A. HUAUX [Z] formuliert, aber nicht vollstindig be- wieseii : beispielsweise ist die zeitliche Ableitung der (fur co = 0) unter cler Annahme x /(z) > 0 Zuni Bewcis licnutzten I,Jarun.o\-schen Funktion ((1.6) in

[ 2 ] ) indefinit, sohald

gilt, und die Xn\reiidung des ~ ~ ; ~ a ~ ~ ~ s c h e n Satzes (vgl. [l]) ist dann nicht mehr moglich.

Der Instabilitatsnachweis bereitet jedoch auch in den durch ( 2 ) erfal3ten Fallen keine Gchwierigkeiten, wenn man sich auf den folgenden Satz von PI'. N. KRA- SOVSKIJ [3] stiitfzt:

Das UifferentialgleichuiigssysterrL (3) a!' = X(z) (X(0) = 0))

(.: = (z,, . . . , x,J, X = ( X I , . . . Xn)) besitxc deib Punkt 0 = (0, , . . , 0 ) als isolierte Gleichgewichtslaye. E's existiere eine stiickweise stetig diffeierizierburc~ ska- lure Fupiktiori V ( z ) , die in jeder Umgebu?ag von 0 iiichtnegatice Werte aimimnzt urtd deren ,mit (3) yebil- dete zeitliche Ableitung V' in eirier Uirigebung voii 0 positiv semidefinit ist; der Bere ich V' = 0 in dieser Unigebung enthalte keiiie uon 0 verschiedeiic. 1iositi:e Halbtrujektorie des Systems. Uarii~ ist d i e Huhelage z(t) 0 instabil.

Dieser Satz bietet gleichzeitig eine iVlogliclikeit, ohne grorjere Reclinungen die Instabilitiit der Ruhe- lagen auch bei Differentialgleichungen

(4) x(q2) -1 f ( Z ) = 0

von hoherer Ordnung 7~ nachzuweisen. Die Funktion f (x) sei auch hier stetig iind so be-

schaffen, daB Existenz und Eindeubigkeit, der Losun - gen und ihre stetige Abhlngigkeit von den Anfangs- werten gesichert sind, sie besitze ini Punkte x = xo cine isolierte Nullstelle. Durch die Substitutionen

2, = x - Z o , xk = x(k-1) ( k = 2 , . . . , 7 1 )

wird (4) in ein System (3) von der speziellen Gcstalt

(6) x i = x n . j i ( k = ~ , . . . ~ n - l ) , xh = - f(x1)

uberfuhrt; die Funktion f (x l ) genugt hierbei entweder in einem geeigneten Interval1 Izll 5 h ( h > 0) der Bedingung (6) x1 f(q) > 0 fur Zl + 0 ,

(7) 21 f ( r 1 ) < " oder es gilt

in niindestens cineni dcr I~i t~erral lc - h 5 :rl < 0 oder 0 < x1 5 h.

In den durch ( 7 ) bcsaliriebeiieii Pallen erkenrit lnali (bei beliehigeni 11 > 1) die lnstabilitiit der Hullelage x = 0 mimittelbar, denn inan kariii sofort aus jeder Unigebung /a/ < r ) von 0 eine Losung angeben, dercn Betrag nach Ablauf einer endlichen Zeit griiDer als ein fest vorgegebenes F (0 .: E < h) wird. EY sei dazu (7) als in1 Interval1 0 < x1 5 h erfiillt angenommcn (andernfalls hatte man eine Transformation = - xI voranzustellen), dann sind alle Komponenten der zuni Zeitpunkt t = to vom Punkt z = (0, . . ., 0,s) ausgehenden Losung fur t > to sicher bis zu dern Zeitpunkt t , positiv, zu dem erstmalig xl( t ) = h wird. Irn Zeitraum to < t 5 t, gilt

xl(t) > 6 ( t - t o ) " - - ' / ( l L - l)!,

t 1 - t 0 < ](lx-l)!h/cY;

es ist also 17. - 1 __

aus z,(t,) = h folgt erst recht iz(tl)i > E . [Der Beweis- gang zeigt, daB auch, wenn f ( x ) nicht in isolierten Punkten, sondern in lntervallen x* 5 x 5 z** ver- schwindet, jede der Losungen x = const aus diesen Intervallen instabil ist'.]

Es sei nun f ( xJ als der Bedingung (6) genugend angenomnien. Fur ungeradcs 71 = 2 117 -1- 1 hat die

.,q:;:

360 lileinc Mittcilungeil

niit ( 5 ) gebildete zeitliche Ableitung der Funktion

die Gest>alt V‘ = ILl f (xJ .

Es gilt V’ = 0 nur fur x1 = 0, dieser Bereich enthalt auSer dein Punkt z = 0 keine weiteren Halbtrajek- t,orien des Systems (5); fur > 0 gcniigt die Funk- tion (8) also den Bedingungen dcs oberi ziticrten Satzes von KRASOVSKTJ, die Fiuhelage 2 = 0 ist instabil.

Fiir HL = 0, d. 11. 11 = 1, ist 1.’ = - ~ 2: negativ

definit, V ‘ positiv clefinit, die Ruhelage z1 L= 0 ist also (vgl. [I]) asyniptotisch stabil.

1 2

Fur gerades 71 = 2 ) I L liefert die Funktion I I I

1’ -L 2 (-- l ) k z k x 2 , 1 z j-1-k

V‘ =: 2’ f ( x ) . ~ .; (.- , ) , I , & \ 1 .

h l (‘3)

iiiit (5) clic Ableitung

(10) Fur gerades w , d. 11. fur H = 4 1 ( I > O), geniigt (‘3) den1 K~aSorsK1Jschen Satz, die Rirhelage z = 0 ist instabil. Fur ungcrades 171 ist (9) unbrauchbar, da (10) dann indefinit ist,.

Die Funktion

ist fur jedes System (5) geradcr Ordnung ) I =; 2 TrL ein erstes Integral, d. h., es gilt V‘ = 0 . Zur Herlei- tung von Stabilitatsaussagen ist (1 1) allerdings nur im Falle 7)) = 1, d. 11. )/ = 2, zu gebrittrclien:

1 2 0

v = 2; f J” f ( 6 ) a[

ist dann positiv definit, die Ituhelage 5, = xg = 0 also ( ~ g l . 111) schwacli stabil.

Pur Systeme dor Ordnung ?L = 4 1 +- 2 ( I 2 1) kijnnen StabilitLtsaussagen auf so eirifachem Wege offenbar nicht gewonnen werdrn. Man kanri zeigen, daO fiir sie keine Fuiiktion der Gestalt

(ii1itui.b = ‘ ~ k i ) esistiert, tlcreri init (5) gcbildete zeit- liche Xbleitung auch fiir Funktionen niit der Eigen- schaft (2) noch positiv defi~iit ist und nicht ident,isch verschwindet : Die Ableitung hat die Forin

dabei gilt

b,, = 0 ,

b i k = C l i , k - l {- U i - 1 , k

b,,, = L I ~ , ~ , . , (2 5 li j n ) , (2 5 i <’ 11 5 ) I ) ,

bk f i = 2 < 1 1 c - 1 , p (2 5 lr 5 n) , b i k bki ( i > k )

c1 = - 2 L C l r z , c2 = - 2 u z n + a ,

Ck = -- 2 atn (3 5 k 5 n) .

1 (13)

und

(14) { Ti‘ sei positiv semidefinit und nicht ideiit,isch ver- schwindend, dann mu13 von den Koeffizicnt,eii b/;g ( 2 5 k j n) und cl jeder nichtnogativ und mindestens einer positiv sein.

Zunachst sei angenonimen, daB positive Koeffizien- t’en b k k existieren, es sei i die kleinste Zahl, fur die bii > 0 ist. Da V‘ posit>iv semidefinit sein soll, inuB dann

b . - -0 ( l ~ j ~ i - 1 , j - : k ~ n ) , (15) { I k -

c k = 0 ( 2 5 k S ’ i - 1 )

gelten. Dies ist aber, \vie man aus (13), (14) erkennt, nur fur i = 2 2 + 2 nioglich (wenn nian namlich

1 2 a k , 4 l - , :j-k = -(- 1 f - ’ b.1 ~ “ . 2 1 , ~ 2

(1 5 L 5 2 1 -t 1) wahlt), aber in diesem Falle - der die Funktion (9) liefert - ist el < 0, also V‘ indefinit.

Sind aber alle b k k gleichxull, so hat (15) sogar iiiit i == 5~ zu gelten, und es ist unm6glich, die Koeffizien- ten in (12) so zii walilen, daB c1 > 0 mird.

Setzt man zusatzlich f(q) als zweiinal stetig diffe- rerizierbar und die erst,e Ableitung iin Nullpunlit: als positiv voraus, (16) so liann man die Eunktion in einerii Interval1 ir,l 5 h in der Y‘orni

i’(0) =- c > 0 ,

1 2 /(XI) = c XI f ~~~~ f”(8 XI) .c; (0 < 0 <: 1)

tlarstellen und die Satze uber Stabilitat nach dcr crsten Nalieruiig (vgl. [l]) heranziehen : Die Inst’abili- tiit der X’uhelage des linearen Gleichungssystems

( I ; = 1, . . . , ?L - 1) , (die charakteristische Gleichung 1.: - } - c = 0 besitzt fur H > 2 stets mindestens eine Wurzel rnit positivem Realteil) hat dann die Instabilitat der Ruhelage des Syst)enis ( 5 ) zur Folge.

Keine Sussage kann hier fur diejenigen Systenie der Ordnungen 71 = 6, 10, 14,. . . gemacht werdcn, bei deneri die Funktion f(zl) zwar der Ungleichung (6), nicht aber der Bedingung (IS) genugt. I n allen andcren Fallen wurde das Stabilitatsverhalten isolier- der Ruhelagen der Gleicliung (4) vollstLndig cntschie- ten. Fiir it > 2 liegt stets lnsttabilitat Tor.

$6 = xh ~

r;, = - c LI

L i t e r a t u r 1 \ \ . H A H X , Tlicuric. uird Aiiwcnrlurrq drr ilirekte~i Jlrtlludv vo11

r,jopuiiov (IErgcIm. Jlath. Urcnzgvb.. Ncnc Yolgc, l l c f t % 2 ) ,

dcr l~nbclagcn f iir gcwisse 1 )iffercri t i X I -

KIJ, fiber Bcdingungm fur dir Uiiikchruiig dw voii A. 11. Ljapunov iiber die Instnbilitiit b e i stationlii~w

m, 1)oklaAy ABnA. h’iauk

, l b ~ r g 1959, Sgringcr-Vcrlag.

, T 33-T 34 (1964).

A /ISchTift; Dipl.-i&th.i. FvOLPDIETRICH MULLER, 111- stitut fur Angewandte Mathematilr u 1 ~ 1 Mechanik der D. A. d . W., 108 Berlin, Mohrenstr. 39

8. HUBER und A. KLIXGST Das Erstarren einer Kugel

I n eineni vor niehreren Jahren in dieser Zeitschrift erschienenen Aufsatz’) wurde das Erstarrungsproblem fur einen linearen Leiter iiiittels Warmepotentialen streng forinuliert uiid auf ein Sptern von VOLTRRRA- sclien Integralgleichungen zuruckgefuhrt, deren Kerne jedoch von deni erst gesuchtcn Verlauf der Phaseii- grenze abhangen. Die damit verbundenen Schwierig- keiten wnrden dadurch umgangeri, daIj die fur einen linearen Leiter mit bewegliclien Enden vorgeschrie- bene Randwertaufgabe mittels der APPELLschen Transformation durch eine analoge fur einen Leiter niit festen Endcn erset>zt wurde. An1 ScliluB des

Vbcr dn6: k‘ortsclirrittw drxr Sclnilvlagrriizc in ciIici1L , ZAMiII 19, 1-21 (1 939).