Zur Liisbarkeit einer Klasse von Diff erentialgleichungen Yweiter Ordnung im HILBERT-RBUm --

Von HERBERT GAJEWSKI und KONRAD GROCER in Berlin

(Eingegangen am 23. 12. 1971)

0. Einleitung

Es seien v und H reelle HILBERT-Raume mit V c H c 8*. Von GAJEWSKI [3] wurden Anfangswertprobleme der Form

u” ( t ) + ( L + A ( t ) ) u‘ ( t ) + B(t)u ( t ) = 0 ,

u(0) = ao, u’(0) = a i , mit nichtlinearen Operatoren A ( t ) , B(t) E ( V + V * ) und einem linearen, in H dicht definierten, positiv definiten und selbstadjungierten Operator L betrachtet. Die Ergebnisse dieser Arbeit verallgemeinern Ergebnisse von LIONS-STRAUSS [8] und BROWDER [I], die unter der Voraussetzung erhalten wurden, da13 B(t), t E [0, TI, die spezielle Gestalt R(t) + x(t) besitzt, wobei R(t) ein linearer Operator aus ( V -., V*) ist und E( t ) ein lipschitzstetiger Operator aus ( H + H ) .

In der vorliegenden Arbeit befassen wir uns mit Existenz- und Einzig- keitsaussagen fur Anfangswertprobleme folgender Form :

u”(t) + A(t) u’(t) + (Bu’) ( t ) + (Cu) ( t ) = 0 ,

u(0) = ao, u’(0) = a1,

fur eine Familie A = {A(t)} , 0 5 t 5 T , von nichtlinearen stark monotonen Operatoren aus ( V + V * ) und nichtlineare Operatoren

B E (C (0, T ; H ) + C (0, T ; H ) )

bzw . C E (C (0, T ; V ) + C (0, T ; V * ) ) ,

die in gewissem Sinne lipschitzstetig sind. Zum Beweis benutzen wir wie GAJEWSKI [3, 21 ein Regulariaierungs-

verfahren, das auf der Approximation der Ausgangsaufgabe durch eine Folge von einfacheren Aufgaben in geeigneten HILBERT-Raumen beruht. Dabei stutzen wir uns auf Ergebnisse uber Evolutionsgleichungen mit ,,Ge- diiohtnis“ [6].

11 2 Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen

Die Arbeit besteht aus drei Abschnitten. I m ersten werden Begriffe und Bezeichnungen eingefuhrt. Der zweite Abschnitt enthalt Voraussetzungen und Ergebnisse, der dritte Beweise.

Auf Anwendungen gehen wir in dieser Arbeit nicht ein. Wir bemerken lediglich, da13 Gleichungen der hier betrachteten Art unter anderem Schwingungen von Systemen mit Gedachtnis (zum Beispiel von visco- elastischen Korpern) beschreiben. Ein Rand-Anfangswertproblem, das als einfache Realisierung unserer Problemstellung aufgefaflt werden kann, wurde von GREENBERG, CAMY und MIZEL [4] untersucht.

1. Begriff e und Bezeichnungen

Es seien H und V reelle HILBERT-Raume mit den Skalarprodukten (. , .) bzw. ((,,.)) undden Normen J - 1 bzw. I j . I j . Es sei V c H und V dicht in H . Wir identifizieren H mit seinem dualen Raum H* und kommen so zur In: klusion

V C H c V * ; dabei ist V* der zu V duale Raum. Die Norm in V* bezeichnen wir mit I I . l l r . Den Wert eines linearen Funktionalsf € V* im Punkt x E V bezeichnen wir mit (f, x). 1st speziell f E H , so stimmt diese Form mit dem Skalar- produkt in H uberein. Fur die Normen gelte:

(1.1) jxj 5 cIlx11 fur x E V ; IIyll* (= c Iyl fur y € H , c = const.

Auf V fuhren wir fur n = I,, 2, . . . die folgenden Skalarprodukte und Normen ein :

Unter Benutzung von (1.1) crhiilt man fur x E V

(1.3) l X l 2 s 1x1, 2 < = ( c2 + l)llxl12;

Die Normen zu verschiedenen n sind also zur Norm 1 1 .I) aquivalent. Fur T i mit der Norm j - I n werden wir im weiteren V n schreiben. Wir erzeugen mit Hilfe des Rmszschen Darstellungssatzes Operatoren R, E (?'* -. V ) durch die Festsetzung :

(1.4) (RJ, x), = (f, x) fur jedee x E V .

lldl 2 < = n 1x1;.

Lemma 1. Fur R: E V gilt

GejewskilGroger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen 113

Ein Beweis dieses Lemmas findet sich in [ Z ] . Mit V , bezeichnen wir den Raum V n x V,. Wir definieren, wie ublich,

das Skalarprodukt zweier Elemente

z = (::) und jj = (:p) aus V n

durch

(3, afi = (x09 Yo), + (XI 7 Yz), und machen p, so zu einem HILBERT-Raum rnit der Norm 1 . [ %.

Fur einen HILBERT-Raum X benutzen wir die Bezeichnungen Cz(O, T ;X) und CL(0, T; X ) in ihrer ublichen Bedeutung (siehe beispielsweise GA- JEWSKI [3]). Fur CO(0, T ; X ) schreiben wir kurz C(0, T ; X). T bedeutet hier und im weiteren stets eine endliche reelle positive Zahl.

Fur u E C (0, T ; X ) bezeichnen wir mit u‘ bzw. up’ die erste bzw. zweite Ableitung von u im Sinne der Distributionen uber [0, TI mit Werten in X .

Fur u E C (0, T ; X ) , h > 0 und t E [0, TI sei

1 L ( X , a, h, 4 = ~ sup Ilu(s,) - u(s2)IIx.

0 5 S , , 8 , 5 t + h 181 - 821 5 h

Fiiru E CI(0, T ; X ) ist L ( X , u, h, t ) 5 I / u ’ / I ~ ( ~ , ~ + ~ ; ~ ) .

definierte Funktion aus C (0, T ; X ) .

Funktion w E Ci(0, T ; X) die folgende Beziehung gilt:

1st a EX, so bezeichnen wir mit u, die durch u,(t) = a, 0 (= t 5 T,

Zum AbschluB erwahnen wir, da13 nach KATO [7, Lemma 1.31 fur jede

2. Voraussetzungen, Problemstellung, Ergebnisse

Es sei A = {A(t)} , 0 5 t 5 T, eine Familie von Operatoren aus ( V - V * ) , B ein Operator aus (C (0 , T ; H ) + C (0, T ; H ) ) und C ein Operator aus (C (0, T ; V ) + C (0, T ; V * ) ) . Fur A, B und C seien fur beliebige x, y E B und beliebige s, t E [0, TI die folgenden Voraussetzungen erfullt :

I. (A@) x -A@) y, x - y) 2 m IIX - yp; 11. I I & ) X - 4 4 z/l* 5 I t - S I r,(IxI) (1 + llxll);

IV. IIBU - Bvllc(o,t;II) 5 Ll? lIu - vllc(o,t;H,

V. L ( H , Bu, h, t ) 5 TB(IIuIiC(o,T;H)) (1 + U H , u., h, t ) ) ;

111. A(t ) E ( V -j V*) ist stetig;

fur u, v E C(0, T ; H ) ;

8 Math. Nachr. 1973, Bd. 56, H. 1-6

114 Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen

VI. IICU - C4c(",t;vr) I L c l b - "Ilc(0,t:V) fur u , v E C (0, T ; V ) ;

VII. Dabei seieii TTZ, L, und L, positive Konstanteii und rd, rB und rc stetige nichtfallende Funktionen.

Remerkung. Die Bedingungen IV und V an den Operator B (bzw. V I u n d VII an den Operator C) sind nicht allgemein gebrauchlich. Wir geben deswegen zwei einfacbe Realisierungsmoglichkeiten fur Operatoren an, die den Bedingungen I V und V genugen.

1. B,,(t) E ( H - H ) fur t E [0, TI ; 2. I BO(t) x - B,,(t) y ] 5 L Ill: - y 1, L = const,

( Vv", cu, h, t ) 5 rc(l/4lc(*,T;v)) (1 + L ( V , u, h, 0 ) *

ES sei B,,(t) eine Operatorfamilie mit folgenden Eigenschaften :

fur x', y EH und t E [O, TI;

fiir x E H und x, t E [0, TI; dabei sei rB, eine stetige nichtfallende Funk- tion.

3. IBo(t) - B,,@) x I s I t - 81 ro,(lxl)

Dann genugen die gemail3

(B,u) (4 = Bo(t) u( t ) bzw.

t

(B2u) ( t ) = J Bo (4 (4 ds 0

definierten Operatoren B1, B, E (C (0, T ; H ) ---t C (0, T ; H ) ) den Be- dingungen I V und V. Auf entsprechende Weise konnen die Bedingungen V I und VII an den Operator C realisiert werden (vgl. d a m auch [S]).

Wir betrachten das Anfangswertproblem

(2.1) U'' ( t ) + 4) 21' ( t ) + (Bu') ( t ) + (CU) (t) = 0 5

u ( O ) = C C ~ , ~ ' ( 0 ) = C L ~ , 0 5 t 5 T.

Uber die Anfangswerte setzen wir voraus:

( 2 . 2 ) A (0) &i + (C%") (0) E H *

A , @ ) E ( V , - V,), B,, E (W, T ; V,) - C(O, T ; V,))Y

Fur A(t ) , B und C definieren wir ,,approxiniierende" Operatoren

C, E (C (0, T ; V J - C (0, T ; V n ) ) , n = 1, 2 , . . .,

durch folgencle Beziehungen !

A , ( I ) = R,A ( t ) , ( 2 . 3 )

Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen 115

Neben (2.1) betrachten wir fur n = 1, 2, . . . die Anfangswertprobleme

(2.4) u"(t) + A ( t ) u" + (B,a') ( t ) + (C,U) ( t ) = 0 , ~ ( 0 ) = ~ ( 0 , ~ ' ( 0 ) = a,, 0 5 t I T .

Satz 1. Unter der& Voraussetzungen I-VII besitzt das Problem (2.4) zu

Satz 2. Unter de.n Voraussetzungen I-VII und (2.2) besitzt das Problem

beliebigen Anfangswerten a,, a , E V genuu eine Losung u, f C2(0, T ; V,).

(2.1) genau eine Losung

u E C*(O, T ; V) n Ci(0, T ; H ) n CZ(0, T ; V * ) .

Die Losung u ist in Cl(0, T ; V ) , in Ci(0, T ; H ) undin C2(0, T ; V*) Grenz- wert der Folge (uTt} der entsprechenden Losungen von (2.4) fur n = 1, 2, . . .

3. Beweise

Wir definieren Operatoren A,(t) E (V,*+ V,J und B, f (C (0, T ; V J .-+ C (0, T ; V , ) )

durch folgende Beziehungen :

Das Anfangswertproblem (2.4) kann offenbar in folgender Form geschrieben werden: (3 .1) zc'(t) +A,Jt) c(t) + (B,zc) ( t ) = 0 ,

c (0) = (z:), 0 5 t 5 T.

Eine Funktion ii =

wenn ui = uo 1st und uo Losung von (2.4) aus Cz(0, T ; V,). Lemma 2. Die Operatoren A,(t), 0 5 t 5 T, und B,, besitzen unter den

Voraussetzungen I-VII fur beliebige 2, ij E v, und beliebige s , t E [0, TI &e folgenden Eigenschafteri:

E C (0, T ; V,J ist genau dann Losung von (3.1)) I . (3

I

2 (A,$) rc -J , , ( t ) y,.7 - g)* 2 jz - y1;; (3.2)

(3.3) id,(t) -6 , ( s ) l e i , 2 It - s / r A , , ( l Z l f i ) ; 8.

Beweis. Fur 3 = (zr) und fj = (2) gilt:

Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen 11 7

Analog erhiilt man fur beliebiges 2 E T‘,:

((Baa) (81) - (Baa) (s2)t 2)fi = (- 210 (s1) + 210 b 2 ) , Z O ) ,

+ ( (%I (81) - + ( - % (61) + u1 (szh zi )%

+ I l ( Q ~ O ) ( S l ) - (QUO) ( s 2 ) / / * I I ~ l I l + I%(sf) - %(S2)ln IZil , .

(82 ) + (CU0) (81) - (Quo) (sz), 21)

5 lUO(S1) - uo(s2) In I Z O l n + I(%) (sd - (BUI) (%)I * I Z i I

Daraus folgt unter Benutzung der Voraussetzungen V und VI I L(V,, B,a, h, t )

2 L(V, , UO, h, t ) + ~B(II%lIc(O,T;H)) (1 + L ( H , Ul,h, t,)

5 2 w,, c, h, t ) + ~B(llac(O,T;v,)) (1 + L ( v,, 4, h, 0 )

5 r,,,(II.iillc(o,T;P,~)) ’ ( 1 + w,, a, h, t ) )

+ ~,(lI%lC(O,T;v)) (1 + L(V,uo , h, t ) ) + L(V,, 2 1 1 9 h, t )

+ rc (1; ll~llc(o,T;v,)~ (1 + 6 L (L ‘u, h, t ) )

fur rB , , ( t ) = 2 + ~ ~ ( 6 ) + r c ( l / n ~ ) (1 + 1;). Damit sind alle Behauptungen von Lemma 2 bewiesen.

Beweis v o n S a t z 1. Aus (3.2) und (3.4jfolgt nach einem bekannten Satz von BROWDER, da13 1, + kA,( t ) , lc > 0, eine Abbildung von V , auf sich ist ( I , bezeichnet die identische Abbildung in Y,). Auf Grund dieser Feststellung und der Ergebnisse von Lemma 2 folgt aus Ergebnissen von GROCER [6], da13 die Aufgabe (3.1) genau eine Losung a, E Cl(0, T; V , ) besitzt. Daraus folgt, wie bereits bemerkt, daS die Aufgabe (2.4) genau eine Losung aus Cz(0, T; V,) besitzt. Diese werden wir im weiteren mit u, bezeichnen. Damit ist Satz 1 bewiesen.

Lemma 3. Fur eine geeignete, von n unabhangige Konstante K gilt: T

II~,llc’(0,T;v,) + Il%IlC(O,T;V) + J l l ~ : ( ~ ) l l ~ ds 5 K - O

Beweis. Auf Grund von (1.5) und (2.4) gilt

118 Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentictlgleichungen

Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen 119

120 Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit, einer Klasse von Differentialgleichungen

fur eine geeignete, von n und t unabhangige Konstante M . Wir dividieren die erhaltene Abschatzung durch h2 uiid fuhren den Grenzubergang h -+ 0 durch. Das ist wegen ugt E C2(0, T ; V,) sinnvoll. Es ergibt sich:

120 Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit, einer Klasse von Differentialgleichungen

fur eine geeignete, von n und t unabhangige Konstante M . Wir dividieren die erhaltene Abschatzung durch h2 uiid fuhren den Grenzubergang h -+ 0 durch. Das ist wegen ugt E @ ( O , T ; V,) sinnvoll. Es ergibt sich:

Daraus folgt unter Benutzung der Voraussetzung (2.2)

Folglich ist fur beliebiges t E [0, TI

Hieraus ergibt sich durch Anwendung des GRoNwALLschen Lemmas die Beschrknktheit der Folge ( 1 1 U ~ I / ~ ( , , , ~ ; ~ , ~ ) } . Aus dieser Beschranktheit und Lemma 4 folgt die Behauptung von Lemma 5.

Lemma 6. Die Folge {un} konvergiert in Cl(0, T ; H ) und in C (0, T ; V ) . Beweis. Schreiben wir fur a, - uk kurz u,~, so erhalten wir unter

Benutzung von (1.5) und von Lemma 1

Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleiohungen 12 1

Nun ist

Daher folgt aus der obigen Abschatzung 1

b ; k ( t ) l 2 + I/U.,k(t)/12 + J llu:k(~)l12 ds 0

fur eine geeignete, von n, k und t unabhangige Konstante K. Daraus ergibt sich weiter, da13 fur jedes t E [ O , TI gilt

l l ~ x ( 0 , t : z ) + l l ~ ~ k l l & o > t ; V ) t 1 1

0

Durch Anwendung des GRoNwALLschen Lemmas erhalten wir

fur eine von n, k und t unabhangige Konstante K . Wegen Lemma 6 folgt daraus sofort die Behauptung von Lemma 7.

Aus der Konvergenz der Folge {ui} in C(0, T; V ) und aus den Voraus- setzungen I1 und I11 ergibt sich in elementarer Weise die Konvergenz der Folge { A ( - ) u:(.)} in C(0, T ; V*) (siehe z. B. [ 5 ] ) . Daher folgt aus der obigen Abschatzung die Konvergenz der Folge {uy} in C(0, T ; V*).

Es sei nun x E H und {xi} eine in H gegen x konvergierende Folge aus V . Dann gilt:

I (ui;(t), .)I 5 I (u;;(+ x - xi) I + 1 (4;ctL Xi) I i K l x - xi1 + ll~i;IIC(O,T;V*) IlXill.

Die rechte Seite dieser Ungleichung hiingt nicht von t ab und 1aBt sich fur geeignetes i und hinreichend groBe n und E beliebig klein machen. Damit ist auch der zweite Teil von Lemma 8 bewiesen.

Beweis von S a t z 2. Es sei

das nach der Folge

u E Ci(0, T; V ) n C i (0, T ; H ) n C2(0, T ; V*) Lemma 6, Lemma 7 und Lemma 8 existierende Grenzelement {uJ. Offenbar ist in V ~ ( 0 ) = lim u,(o) = a,; ~ ' ( 0 ) = lim ui(0) = a l .

1 2 - 0 0 n-

Auf Grund der Voraussetzungen 111, IV und VI gilt in V* lim A ( t ) zc,:(t) = A ( t ) zc'(t) ,

lirn (Bui) ( t ) = (Bu') ( t ) ,

lim (Czc,) ( t ) = (Cu-) ( t ) .

n--

n - m

n-m

Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen 123

Daraus und aus Lemma 1 folgt, da13 fur beliebiges x E V gilt:

0 = lim (.l’(t) + An(t) ‘ ~ i ( t ) + (Bn u i ) ( t ) + Ccn ~ n ) ( t ) 7 x) fl- =a

= lim ( u r (%x) + lim ( A ( t ) ui ( t ) + (Bull ( t ) + (Cu,) ( t ) , R, x)

= (u’W + A ( t ) u’(t) + (Bu’) ( t ) + (Cu) ( t ) , .) n-- n- -

Also ist fur t E [0, TI a’‘ ( t ) + A ( t ) a’ ( t ) + (Bu’) ( t ) + (Cu) ( t ) = 0 ,

d. h., u ist Losung der Aufgabe (2.1). Zum Beweis der Einzigkeit dieser Losung nehmen wir an, w = u + w

sei eine weitere Losung von (2.1) aus Ci(0, T; V ) n C i (0, T; H ) . Unter Benutzung von (1.5) erhalten wir dann

t 1 - lw’(t)12 = j- (w”(s), W ’ ( 8 ) ) ds 2 0

1

= - J ( A @ ) W ‘ ( 8 ) - A ( $ ) U‘(8) + (Bv’) (8) - (Bu’) (8)

5 j- {- m Ilw’(s)IP/

0

+ (W (4 - (Cu) (5% w“4) ds t

0

+ (CL,Ijw’lic(o,8;H) + L, IIwllc(o,S;v)) Ilw‘(s)II} Wegen

t t

Ilw(t)1I2 = ( s IlW’(4 I1 ds 5 T j- I l w ’ ( w d 8 0 L

folgt daraus t

Iw’(t)12 + Ilw(t)112 5 (I/W’II&0,8;H) f / ~ w ~ ~ ~ ( o , 8 ; ~ ) ) ds 0

fur eine von t unabhlngige Konstante K. Daher ist fur jedes t E [0 , TI t

r 2 2 Ilw IIc(0,t;a) + IIWlIc(0,t;v) 5 2 K J ~ l l ~ ’ l l ~ ~ o , 8 ; H ) + llwll;(”,8;v)) as.

0

Das GRoNwALLsche Lemma liefert w = 0, d. h. u = w. Damit ist Satz 2 vollstiindig bewiesen.

Literatur

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124 Gajewski/Groger, Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen

[2] H. GAJEWSKI, Zur Approximation nichtlinearer Evolutionsgleichungen durch ab- strakte Differentialgleichungen mit lipschitxstetigen Operatoren. Diese Nachr. 48, 377-385 (1970).

[3] - , Uber eine Klasse nichtlinearer abstrakter Wellengleichungen im Hilbertraum. Diese Nachr. 62, 371-383 (1972).

[4] J . M. GREENBERG, R. C . MACCAMY, V. J. MIZEL, On the existence, uniqueness, and stability of solutions of the equation d ( u J uXx+ 1 uXt2 = gout,. J. of Mathematics and Mechanics 17, Nr. 7, 707-728 (1968).

[5] K. G R ~ G E R , Zur Regularitlit und Approximation von Losungen nichtlinearer Evo- lutionsgleichungen. Dissert. (eingereicht bei der Dt. Akad. d. Wiss.).

[6] K. GROGER, Zur Theorie von Evolutionsgleichungen, in denen die ,,Vorgeschichte" eine Rolle spielt. Diese Nachr. 66,63-72 (1973).

[7] T. KATO, Nonlinear semigroups and evolution equations. J. Math. SOC. Japan 19, Nr. 4 (1967).

[S] J. L. LIONS, W. A. STRAUSS, Some nonlinear evolution equations. Bull. SOC. Math. France 93, 43-96 (1965).

Zentralinstitut fur Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften der DDR, 108 Berlin. Mohrenstr. 39