Zur starken Konvergenz des GALERKINverfahrens bei einer Klasse pseudoparabolischer

partieller Differentialgleichungen

Von HERBERT GAJEWSKI und KLAUS ZACHARIAS in Berlin

(Eingegangen am 2. 6. 1970)

0. Einleitung

Eine Reihe wichtiger Probleme der Kontinuumsmechanik, insbesondere ihres Teilgebiets Rheologie (z. B. [Il l) , fuhrt auf Rand-Anfangswert- Probleme fur sogenannte [I 01 pseudoparabolische partielle Different,ial- gleichungen, d. h. auf Probleme der Form

(0.1

mit

a Lu + M ( t ) u = g ( t ) , u ( x , t) las = 0, Lu(x, 0) = 4 0

at

auf beschranktem Gebiet G c R’& gegebenen, partiellen, elliptischen Differentialoperatoren L und M ( t ) fur jedes t E [0, TI c R1. Die vor- liegende Arbeit ist der Begrundung des GALERKIN-Verfahrens zur Be- rechnung von Naherungslosuiigen fur (0.1) gewidmet. Als wesentlich wird vorausgesetzt, da13 - grob gesprochen - der lineare Operator L min- destens die Ordnung der (moglicherweise) nichtlinearen Operatoren J l ( t ) besitzt. Auf der Grundlage dieser Voraussetzung gelingt die aquivalente Ruckfuhrung von (0.1) auf das Problem

dU ~ + P ( t ) u = f ( t ) , at u(0) = u.0 (0.2)

mit Operatoren P( t ) , die einen geeigneten HILBERT-Raum stetig in sich abbilden.

Die Arbeit besteht aus vier Abschnitten. I m ersten Abschnitt werden notige Begriffe definiert und Hilfsmittel zusammengestellt. Das Haupt- ergebnis der Arbeit, eine Aussage uber die starke Konvergenz des GALERKIN- Verfahrens wird im 11. Abschnitt bewiesen. Im Abschnitt IS1 wird der Nachweis der Aquivalenz von einem (0.1) (in naheliegender Weise) ver- allgemeinernden Problem mit dem Problem (0.2) erbracht. SchlieBlich werden im Abschnitt IV einige Anwendungsbeispiele gegeben.

366 Gajewski Zacharias, Zur starken Bonvergenz des Galerkinverfahrens

I. Bezeichnungeii und Definitionen, Hilfsbetrnchtungen

Sei X eiii reeller separabler HILBERT-Raun? niit dein Skalarprodukt (. , .)x und der Sorm j j . ; t --f u( t ) eiiie auf dem abgeschlossenen und be- schrankten Zeitintervall [O, TI. T > 0, definierte Funktion mit Werten in X. (Wir schreiben dafiir auch: u E ([0, TI -. X).)

Definition 1. Die Funktion t + u( t ) ist stetig auf [O, TI, wenn fur jedea to € [O, TI gilt

1 1 u( t ) - u ( t , , ) j s - 0 fiir t ---f t o ; t E [0, TI. Definition 2. Die Funktion t + u ( t ) ist auf [0, TI differenzierbar, wenn

zu jedem t,, E [O, TI eiii a ( t o ) E S existiert, so daf3

Die Funktion t ---t ~ ( t ) lieifit Ableitung der Funktion u, wir schreiben x = u’. Die Klasse der auf [ O . TI stetigen Funktionen mit Werten in X nenneii wir C (0, T ; S). die Klasse der differenzierbaren Funktionen mit stetiger Ableitung t -+ u ’ ( t ) heil3e C’ (0. T ; X ) . Mit der Norm

/ / u /c‘ = max I / ZL ( t ) i/&y [(),TI

wird C(0, T ; X ) zu einem BsxAcH-hum; analog ist C’ (0, T ; x) BANACH- Raum bezuglich der Xorm

I; u IJci = l l u jlc + /I U‘ llc.

u’ ( t ) + p ( t ) u( t ) = f ( t )

In C(0, T ; X) betrachten wir die Differentialgleichung

(1. 1)

(1. 2) u ( O ) = 2 C O .

init der Anfangsbedinguiig

Der (im allgemeinen nichtlineare) Operator P (.) genuge folgenden Be- dingungen :

A. Die Funktion t - P ( t ) u init n’erten in X ist fur jedes u E X stetig

B. Der Operator u + P ( t ) u ist fur jedes t E [0, TI LIPscHITz-stetig; auf [O. TI.

d. h. fur beliebige u, v E X gilt

I / p( t ) U - P ( t ) 21 //g 5 I / 26 - 21

init der LIPSCHITZ-Konstaiiten L > 0. Eine Aussage uber die Losbarkeit des Anfangswertproblems (I. 1, 2) gibt

Gnjewski,’Zacharias, Zur starken Konvergenz des Galerkinverfahrens 367

Satz 1. Die Differentialgleichung u’(t) + p ( t ) u. ( t ) = f ( t )

besitzt fur f E C (0, T; X), uo e X unter den Bedingungen A., B. genau eine Losung u E Cl(0, T ; X ) , die der Anfungsbedingung

genuyt. u(0) = uo

Den Beweis dieses Satzes findet man in [I].

11. Die starke Konvergenz des GALERKIN-Verfahrens

Zur genaherten Losung des Anfangswertproblemes (I. 1, 2 ) werden GALERKIN-Approximationen verwendet ; dadurch wird das Problem auf eine Folge von Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen reduziert. Eine wesentliche Rolle spielt dabei eine Dichteeigenschaft gewisser Linear- kombinationen in C1 (0, T ; X ) .

Sei (vI , v2, . . .} ein vollstandiges System linear unabhangiger Elemente - eine Basis - in X ; X, bezeichne die abgeschlossene lineare Hulle von (u, > . . ., v7J.

Lemma 1. Zu jedem u E C’ (0, T ; X ) existiert eine Folge I2

(IT. I) W, (.) = C ~ , ~ j (.) ~ j ; aIrj E C1 [O, TI, j = I, . . . n ; j = 1

.so aufi /I W, - u JJc, 4 0 f u r n -+ 00.

B e w e i s. Aus dem (auch irn Raum Cl(0, T ; X) giiltigen) WEIERSTRASS- schen Approximationssatz folgt die Existenz einer Polge p m von Poly- nomcn mit Koeffizienten aus X, so dal3

/I Pm - u Ilc1 + 0 (m - . Approximiert man die Polynomkoeffizienten durch endliche Linearkombi- nationen von Basiselementen, so erhalt man eine Folge (w,} der gewunschten Art.

Fur die Naherungslosungen u, (.); u,(t) E X , V t E [O, T] machen wir den Ansatz

n (I1. 2 , u n ( t ) = 2 C , k ( t ) vk

k=l

mit zu bestimmenden Koeffizienten c n k ( . ) (k = 1, . . . , n). Die I(.) werden so gewahlt, da13 sie der GALERKm-Forderung

u 3 ) + P( t ) u,(t) - f ( t ) J- x, V t E [O, TI

368 Cajev ski Zacharias, Zur starken Konvergenz des Calerkinvcrfaahrens

geniigen, d. h

(11. 3) ( j = 1, . . ., n) .

Das ist ein System gewohnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung der cnt (.) (k = 1, . . . . n). Als Anfangsbedingung wird gestellt

(u:#)> .,)x + (W %,(t)> " j ) X = (At), .,)x

(11. 4) U,,(O) = u.o,, E xn; die uo,, seien derart gewahlt , dafi

1 ; u0,, - U O /Ix + O fur 72 + 03.

Der Satz 1 garaiitiert die Existenz einer LOs~iig

u,, E C'(0. T: XI() c C'(0. T ; X ) . fur jedes n = 1. 2 , . . .

Satz Auskuiift. Uber die Konvergenz des G ~ ~ ~ ~ ~ s ~ ~ - V e r f a h r e n s gibt der nachstehende

Satz 2. SeE u E C' (0 . T ; X ) Losung des Anfungswertproblems (I. 1, 2 ) , {un> die ncich (11. 3. 4) konstruierte Folge con GALERKIN-N&herunqen. nann gilt

] I u,, - u ] l C , - 0 (n + 03).

Beweis. Sci {wl,) gemafi Lemma 1 eirie Folge mit der Eigenschaft

j ' u,t - u j j c , --j 0

U' , , (O) = U,,(O) = u*,,.

CII, ( t ) - a,,, ( t )

(.I,(t,> u,,(t) - u',(t))x + (W) % ( t ) , % ( t ) - w,(t))x = ( A t ) . U,L(t) - u;,(t))x-.

(n - 00). Ohne Beschriinkmig der Allgemeinheit sei

(11. 5 )

Die GaLERKIN-Gleichungell (11. 3) werden mit

cj = 1, . f . n)

multipliziert. Addition der entstehenden Gleichungen ergibt

(11. 6)

Die Differentialgleichung (I. 1) wird in X skalar mit u,(t) - w,(t) multi- pliziert :

(11. 7 ) (u", U.,,(t) - w,, ( q x + (m) u(t) , = (f(% u,,(t) - % ( t ) ) X .

(.h(t) - W h V L u,,(t) - w,,(t))x = (u'(t) - W:,(t)> %(t ) - w,(t))x + (W u( t ) - P ( t ) W,L@)' u,(t) - w,(t))g + (W wn(t) - P( t ) u,W, % ( t ) - w,( t ) )x .

- w,(t))x

Subtraktion der Gleichungen (11. 6, 7 ) fuhrt nach leichter Umformung auf

(11. 8)

Gajewski/Zacharias, Zur st,arken Konvergenz dea Galerkinverfahrens 369

Dieser Ausdruck wird uber das Interval1 [O, s]; 0 5 s 5 T ; integriert. Unter Beachtung der Regel der partiellen Integration (vgl. [I]) nnd (11. 5) : wn(0) = u,(O) folgt fur die linke Seite

8 1 (11. 9) j- (u3) - 4 A % % ( t ) - w,,(t))xdt = - I / %(a) - w,,(s) 11;

0 2 1 2

- - - V,(s).

Die rechte Seite der integrierten Gleichung (11. 8) schatzen wir ab unter Beachtung der LIPscHITz-Stetigkeit des Operators P, der SCHWARZschen Ungleichung im HILBERT-Raum X und der einfachen Ungleichung

Es ergibt sich 2 lab1 (= a2 + b2.

((u’ (0 - w:, (0 , u,, (0 - W,% (t))‘y

+ (P (0 u (0 - P ( t ) w,, ( 0 , zd,, ( t ) - w n X ( t ) ) ) dt

0 s 8

8

0

24 Math. Nachr. 1970, Bd. 47, H. 1-0

370 GajewskiYacharias, Zur starken Konvergenz des Galerkinverfahrens

Hieraus bekommt man mit Hilfe des GRoxwALLschen Lemmas 8

V,,(S) 5 v,,(s) + ( 3 L + 1) J ~ , ( t ) e ( iL+l ) (a - ' )d t . (1

Bilduiig der Maximumnorm und einige grobe Majorisierungen der auf- tretenden Integrale ergeben schliel3lich

I / u, - w,, 11: 5 T max (1, L) e(3L+1)T I1 u - w, Jl&. Beachtet man noch die Dreiecksungleichung in C(O> T ; X ) , so erhalt

man aus dieser Abschatzung

(11. 12)

niit einer durch L, T bestimniten Konstanten A', (L, T ) > 0. Wegen der Approximationseigenschaft der Folge {u' ,~) ist damit die Behauptung von Satz 2 zunachst fur deli Raum C(0. T ; X) bewiesen. Es bleibt die gleich- maBige Konvergenz der Ablcitungen nachzuweisen. Zu diesem Zweck werden die G.~LERKI~-Glcichungen (11. 3 ) mit

/ / u - u,~ 11; (= K I ( L , T) / / u - u,t ~li,i

GI,, ( t ) -

(4 (4, u:,m - ...:,(t)), + ( P U ) u,, (4. u,3) - ...At)), = (f(% uI,(t) - X I ? 3 ) ) X .

( t ) ( j = 1, . . . n) multiplizicrt. Addition der entstehendeii Gleichungen fiihrt zu

Subtrahiert mail hiervon die in X skalar niit ui ( t ) - w i ( t ) multiplizierte Differeiitialglcichung (I. I), so bekommt man

I/ ua(t) - u.,:(t) IiX = (u'(t) - ?af:(O. .ua(t) - wi(t))X + (W) - P ( t ) U , , ( f ) , uam - 4 ( t ) ) x .

Abschltzung der rechten Seite mit Hilfe der ScHwARzschen Ungleichung in X, Beachtung der LIPSCHITZ-Stetigkeit von P und Bildung der Maximum- norm ergibt uiiter Bcachtung von (11, 12)

1 1 u:, - w: j i c (= K 2 ( L , T ) / / u - w,, / Icy1 und mit ahnlichen pberlegungen wie oben schliel3lich

(11. 13)

Aus (11. 12, 13) folgt 1 1 u' - u:L jlc, 5 K,(L, T) 1 1 u - wl, I I c , .

1 u - u,I j'ci 5 K (L , T) 1 ' u - W , IIct.

Damit ist Satz 2 bewiesen.

Bemerkung 1. Die durch das GaLERKIx-Verfahren erreichbare Approxi- mation ist .,quasioptimal", d. h. im westntliclien von derselben Gute wie die bestmogliche Approximation der gesuchten Funktion zc durch Ele- mente, die den Fordcrungtn 17011 Lemma 1 und (11. 5) geniigen.

GajewskijZacharias, Zur starker1 Konvergenz des Galerkinverfahrens 371

d

dt 111. Die Gleichung ~ Au + B ( t ) u = f (t)

Sei H ein reeller separabler HILBERT-Raum. Wir betrachten das Anfangs- wertproblem

d dt

(111. 1) - Azl + B(t) u = f ( t )

(111. 2) Au(O) = 6,

bei vorgegebenen Elementen E C(0, T ; H ) und C,, E H . A und B(t) , V t E [0, TI seien auf einer in H dichten linearenMenge No c H erklkte Operatoren mit Werten in H . A sei linear, symmetrisch, positiv definit ; B(t) im allgemtinen nichtlinear. (Weitere Bedingungen an B ( t ) folgen unten).

Definition 3. u E ([0, TI --+ H ) heil3t Losung von (111. I), (111. a),

(1) u(t) E N o V t E [0, TI; (2) Au E CI(0, T; H); (3) u( t ) genugt (111. 1)

Wir verallgemeinern diesen Losungsbegriff im folgenden und bringen

Sei X der energetische Raum von A [6]. Wegen

wenn :

fur alle t E [0, TI ; (4) Au (0) = Go .

dazu das Problem (111. I), (111. 2 ) auf die Form.(I. I ) , (I. 2).

/I u 11; = (u, u)x = tAu, U ) H 2 y /I u I;> E No gilt X c H ; C(0, T ; X) c C(0, T; H); Cl(0, T ; X) c Cl(0, T; H) und die Ableitungen (gemal3 Definition 2 ) bezuglich Cl(0, T; X) und CI(0, T ; H ) fallen zusammen.

Auf M o c X erzeugen wir uber den Rmszschen Satz genial3 der Vor- schrift ( P ( t ) u, = (B( t ) u, h ) H , h E X fur jedes t E [0, TI einen Ope- rator P ( t ) mit Werten in [X ---f XI. Genuge B( t ) fur jedes t E [0, TI auf No der Bedingung

(111. 3) I (B( t ) u - B(t ) a, I 5 E / / u. - 2, llx 1 1 h JIx, L > 0 I (W - B(4 h ) H I 5 I t - 8 I r(ll u Ilx) II h llx; v - r ( v )

stetig und nichtfallend. AuISerdem sei B(.) u E C(0, T; H) fur u E M o . Durch

P ( t ) u = lim P ( t ) u,, {u,} c No, II u, - u llx - 0 n-w

erklaren wir P( t ) fur alle u E X . Dann ist

P E (C(0, T ; X) --f C(0, T; X)) und LImcHITz-stetig bezuglich der LIPscHITz-Konstanten L = ; aul3er- dem ist P ( . ) u E C(0, T; X) fur jedes u E X . ( P ist stark monoton (mono- 24.

372 GajewskijZacharias. Zur starken Iionvergenz des Galerkinverfahrens

ton) [2, 81, n-enn B(t) anf M , der Bedinguiig

(III. 4) ( B ( t ) u - B(t ) W, u - e)H 2 C / / u - e &, c = const. > 0 ; ( (B( t ) u - B(t) W. u - ~ 3 ) ~ 2 0) geiiiigt) .

Sei f E C(0, T; X ) das Element mit

( f ( % h)x = ( f ( f , , h)H,

(uo, h), = (ti,. h ) H ; v h E x.

v h € s. fur alle t E [O, T] mid uo E X dasjenige mit

Satz 4. Sei u(t) E M , V t E [O, TI uiid Au E Cl (0, T ; H ) . u ist Losung

Bewcis. Zundchst folgt ails A ZL E Cl (0, T ; H ) wegen

von (111. 1 ) . (111. 3 ) genau dann, wenn u Losung von (I. I), (I. 2) ist.

offenbar u E Cl(0. T; X ) . Die Aussagen des Satzes folgen aus den fur h E X giiltigen Beziehungen

d 0 = (u' + P ( t ) u - f , h)s = (u, h), + (W) u - f, h ) R

und 0 = (u(0) - u,, h)s = (Au(0 ) - ti,, h)H sowie der Bemerkung, daB X dicht in H ist.

Satz 4 rechtfertigt die

Definition 4. Jede Losung von (I. 1): (1. 2) heiBt verallgemeinerte Losung von (111. I), (111. 2).

Sei (ZIJ c M , ein in X = H A vollstaiidiges System linear unabhiin- giger Koordinatenelemente. X I , sei die liiieare Hulle von (q, . . . , v,} und {uon> eine Folge mit u,,,, E X,, , 12 = 1, 2 , . . . , [ I uOtL - uo / I x --+ 0 (n - m).

Unter den in diesem Abschnitt genannten Voraussetzungen an A, B ( t ) und f ( t ) ergibt sich aus den Siitzen 1 und 2 die

Folgerung 1. Das Aiifangswertproblem (111. I), (111. 2) hat genau eine verallgemeiiierte Losung u E C'(0. T ; X ) . Zu jedem n existiert genau eine

Losung u,, = 2 ~ , , ~ ( t ) wk des GALERKIN-Systems n

k = 1

Gajewski 'Zacharias, Zur stnrken Konvergenz des Grtlerkinverfahrens 373

die der Anfangsbediiigung

%%(Of = Uun

geniigt, und es gilt

I / u n - u I IC~(O.T:X) - 0 (n -+

IV. Anwendungsbeispiele

Probleme der Form (111. I), (111. 2 ) treten bei der mathematischen Beschreibung von Vorgangen auf, an denen rheologische Medien, insbeson- dere mit gleichzeitig viskosem und elastischem bzw. elastisch-plastischem Verhalten beteiligt sind. Wir betrachten mit den ublichen Bezeichnungen (z. B. [9]) fur die Spannungs- und DehnungsgroBen drei Typen von Span- nungs-De hnungs-Beziehungen

(IV. 1) s = 3 K e ,

a at

(IV. 2 ) sij = 2 b 2 ( t ) g2 (IZ(&)) eij + 2 17 -- e i j , s = 3 K e ,

(IV. 3) s = 3 K e .

Dabei seien b i , g i , i = 1, 2, 3 Materialfunktionen, K , G, q, a positive Ma- terialkonstant'en und

1 1 , l a a I2(a) = - 8.. 13 8.. 2 J , I?(&) = eij e i j , 12(&) = - - e . . - e . .

2 at %J at

Tensorinvarianten. Fur bi ( t ) = 1, g, (12(a)) 3 l / r ] geht (IV. 1) iiber in das &fAxwELLsche Modell der linearen Visco-Elastizitatstheorie, wahrend fur b2( t ) = 1, g, (I.,(&)) = G (IV. 2 ) in das dreidimensionale VoIaTsche Modell iibergeht [9]. Die Beziehungen (IV. 2 ) liegen der von KATSCHANOK bearbeiteten CREEP-Theorie [ 31 zugrunde.

IV. 1. Relaxation eines tordierten Stabes

Sei Q c RZ das (einfach zusammenhangende) Querschnittsgebiet eines prismatischen, urn den konstanten Winkel w tordierten Stabes. Sei S der Rand von SZ und seien (xi, x.) kartesische Koordinaten in Q. Das Material des betrachteten Stabes geniige den Spannungs-Dehnungsbezie- hungen (IV. 1). D a m kann die Relaxation der Spannungsverteilung in f2

374 Gajeu ski Zacharias. Zur starken Konvergenz des Ga1erkiii:rerfahrens

durch die PRANDTLsche Spannungsfunktion u (xI , x2, t ) beschrieben werden. u ergibt sich als Losung des Rand-Anfangswert-Problems

C'U 2 F i

(IV. 4) ( - A u ) - G b 1 ( t ) C -g l ( lgraduI ' ) = 0 , i't 1 = 1 ax, ?xE

u(xl , xq, t)is = 0

(IV. 5 ) - A w ( x ~ , x?, 0) = 2 G o .

(IV. 4), (IV. 5 ) ist ein Spezialfall von (111. I), (111. 2 ) . Wenn wir setzen: A = - A , M,, = (u: u E CZ(Q + X), uls = 0}, H = L,(Q), ist H A = X dem SOBoLEwschen Raum HA (z. B. [ 5 ] ) aquivalent. Der Operator

, 8 PU gl ( I grad u 1') - ~ ,= I axi PX,

B ( t ) u = - G b , ( t ) C geniigt den Bedingungen (111. 3) , (111. 4), sofern fiir tL , t2 E [0, m) die Ab- schat zungen

(IV. 6) (IV. 7 )

I 9, (ti) t , - Sl(i5f) 5 2 I 5 E I 5 1 - E L I

(g1tEq) 51 - sd53 t 2 ) (51 - E 2 ) 2 c I 51 - 5 2 I l

geltell und t + u(t) in [o, T] LIPSCHITZ-btetig ist.

IV.2 Niehtlinear-elastisch-viskose Deforniation einer eingespannten Platte

Wir betrachten eine am Rande S eingespannte Platte der Dicke d, die senkrecht zu ihrer Mittelflache SZ durch den Druck p (xi, xq , t ) belastet wird. Das Plattenmaterial sei inkompressibel und geiiiige den Spannungs- Dehnungs-Beziehungen (IV. 2). Unter den in der geometrisch linearen Plattentheorie iiblichen Voraussetzungen [9] ergibt, sich die Durchbiegung 20 (x, , xl, t ) der Mittelflache als Losung des folgenden Rand-Anfangs- wert-Problems [4, 91

(IT. 9) AdU~(X, , XL', 0) = 0 .

Gaiewski,’Zachsrias, Zur starken Konvergenz des Galerkinverfnhrens 375

Dabei ist: D = --. 311

(IV. 8) (IV. 9) ist ein Spezialfall von (111. I ) , (111. 2). Wenn wir setzen

1 2u A = Ad, Mo = u : u E C4(Q +As), uls = --I { an -

- 0 ,

H = L2(52), ist H A = X aquivalent dem SoBoLEwschen Raum H i (0) (z. B. [ 5 ] ) . Der Operator

genugt den Bedingungen (111. 3), (111. 4), wenn g2(-T2(&)) (IV. 6), (IV. 7) entsprechenden Abschatzungen geniigt und t - u ( t ) in [O, TI LIPSCHITZ-

stetig ist.

IV.3 Gradlinige Rohrstrsmungen spezieller rheologischer Medien

Sei 52 c R2 das Querschnittsgebiet eines prismatischen Rohres, durch das unter dem Druckgradienten p ( t ) ein dem Materialgesetz (IV. 3) ge- nugendes Medium der Dichte e stromt. Das Medium haftet am Rande S von 52. Dann ergibt sich die Geschwindigkeit u(x , , x 2 , t ) in Richtung der Rohrachse als Losung des Rand-Anfangswert-Problems

4 s = 0 ,

du.(x,, X2,O) = 0 . (IV. 10)

Bezuglich (IV. 9), (IV. 10) gilt im wesentlichen das iiber (IV. 3), (IV. 4) Ge-

sagte. Es ist lediglich Au = u - - Au zu setzen. M

e Bemerkung 6. Probleme des Typs (111. I ) , (111. 2) treten auch bei der

mathematischen Behandlung von Stromungen sogenannter Flussigkeiten

376 GajewskijZacharias, Zur starken Konvergenz des Galerkinverfahrens

2. Ordnung [i2] auf. Insbesondere hat TING [ I l l bei der Untersuchung in- stationiirer Rohrstromungen auf der Grundlage von COLEMAN und NOLL vorgeschlagener Spannungs-Dehnungs-Beziehungen Rand-Anfangswert- probleme erhalten, die (IV. 9), (IV. 10) fur b3 3 1, g3 ( I , ( & ) ) = const > 0 entsprechen.

Literatur

[l] N. BOURBAKI, Fonctions d'une variable rbelle. Paris 1961. p2] F. BROWDER, Nonlinear elliptic boundary value problems. Bull. Amer. math. SOC. 69,

[3] L. M. KATSCHANOW, Theorie des Kriechens. Xoskau 1960 (russ.). [4] A. LANGENBACH, Variationsmethoden i n der nichtlinearen Elastizitats- und Plasti-

zitatstheorie. Wiss. Zschr. Humboldt-Univ. Berlin, Math.-nat. Reihe IV, 145-164 (1959,'60).

[5] J. L. LIONS, gquations diffkrentielles opckationelles e t probl&mes aux limites. Berlin 1961.

[6] S. G. MICHLIN, Variationsmethoden in der iuathematischen Physik. Berlin 1962. [7] -, Numerische Realisierung von Variationsmethoden. Moskau 1966 (russ.). [S] G. J. MINTY, Monotone (non-linear) operators in HILBERT space. Duke math. J. 19,

[ Q ] W. NOWACEI, Theorie des Kriechens. Wien 1965.

862-874 (1963).

341-346 (1962).

[lo] R. E. SHOWALTER, Partial differential equations of SOBOLEW-GALPERN type. Pacific J. Math. 31, No. 3, 787-793 (1969).

[ill T. W. TING, Unsteady flows of second-order fluids. Arch. rat. Mech. Analysis 14,

[12] C. TRUESDELL, Second-order effects in the mechanics of materials. Second-order effects in elasticity, plasticity and fluid dynamics. Proc. Inter. Symp. Haifa 1962. Edit. M. Reiner, D. Abir. Pergamon Press 1964.

1-26 (1963).